Kompleksimuodot, bi-ortogonaliteetti ja yleinen viskoosi vaimennus

Transkriptio

1 Rakeede Mekakka Vol. 4, Nro 4, 8, s. 99 Kompleksmuodo, b-orogoalee a ylee vskoos vameus Ramo vo Herze vselmä. yössä ukaa e-verraollses vameeu dskree syseem värähelyä. E-verraollse vameukse apauksessa omasmuodo ova komplekssa a perese orogoaalsuusrelaao evä ole vomassa. Uudelase b-orogoaalsuusrelaao vodaa kuek muodosaa alkuperäse ogelma a se kassa adugodu ogelma omasvekorede avulla esmmäse keraluvu lamuuuaesyksessä. ämä asosa pakkovärähelyla omasmuookehelmässä erme väle kykeä vodaa posaa. lamuuuaesyksessä lavekor kompoe koosuva yleseysä koordaaesa a vasaavsa yleseysä opeukssa, oe lavekor kompoe evä ole ossaa rppumaoma. Krallsuude mukaa ähä saaaa lyä ogelma pakkovärähelyla komplekssessa omasmuookehelmässä. ässä yössä osoeaa, eä lavekor kompoee väle rppuvuus e aheua ogelma, vaa kysee rppuvuus oeuuu lkeyhälöde rakasu kaua auomaases. Eseyä komplekssa omasmuooaalyysä verraaa peresee vameamaoma a verraollses vameeu syseem omasmuooaalyys. Lsäks osoeaa, eä e-verraolle vameus uoaa syseem aauusvasefukoo uude korbuuo, ollasa e verraollse vameukse apauksessa esy. Komplekssa omasmuooaalyysä vodaa sovelaa myös gyroskoopps a srkulaoors syseemeh. Meeelmää havaollseaa umeersella esmerkllä. Avasaa: E-verraolle vameus, e-seadugou, b-orogoalee, rppumaoma kompleksmuodo, omasmuooaalyys Johdao Kakssa värähelevssä rakeessa esyy vameusa, oka muuaa rakeee makroskooppsa eergaa mkroskooppse vapausasede eergaks. Lukussa ukmukssa huolmaa vameukse mekasm ova edelleek värähelyaalyys hekoe ueu osa-alue ekä vameukselle ole vou kehää yhä aoaa uversaala maemaasa malla. Yks syy ähä o se, eä e ole lakaa selvää, mkä lamuuua vakuava vameuksee. Ylesmm käyey, alkuaa Raylegh esämä mall mukaa vameus rppuu aoasaa hekellssä yleseysä opeukssa [], ollo pee värähelye apauksessa päädyää leaarsee vskoosee vameusmall a vasaavaa vameusmars. O kuek syyä korosaa, eä ämä e ole aoa leaare vameusmall, vaa vameus vo rppua musak lamuuusa a myös syseem hsorasa kovoluuoegraal kuvaamalla avalla []. Vameusmekasm vodaa karkeas oae akaa kolmee luokkaa: koko maeraal alueelle akauuu eerga kuluus (maeraalvameus), rakeee 99

2 loks a er ose koakpoh keskyy vameus (reuavameus) a rakeee ympärllä oleva esee a kaasu lkkes lyvä eergakuluus (välaee vameus). Maeraalvameus vo syyä usede mkrorakeeesee lyve mekasme uloksea (kaso esm. [3]). Use sä kue myös välaee vameusa vodaa kuvaa yydyäväs ekvvale leaarse vskoosvameukse avulla, oka o akauuu koko maeraal alueelle. Sä vaso reuavameus o yypllses pakallsa, esmerkks lose koakpoe mkrolusosa aheuuvaa, a se lsäks usessa söörrakeessa huomaavas maeraalvameusa suurempaa, oe se käyäö merkysä e vo äää huomoa. rase a epäharmose värähelyla kuvaamsessa o omasmuooaalyysllä (moodaalyysllä) ollu pereses suur merkys. Iseadugodu syseem omasmuooaalyys o esey käyäöllses kasoe kakssa värähelymekaka oppkrossa. Omasmuooe orogoaalsuusrelaaode avulla saadaa värähelylaa kuvaava omasmuookehelmä kerome kykeyä r ossaa, ollo rakasu helpouu huomaavas. ämä o mahdollsa, mkäl syseem vameus o verraollsa. Maemaases ämä arkoaa sä, eä syseem vameusmars dagoalsouu samalla kogruessmuuoksella ku massa- a äykkyysmars. Merkävä havao o, eä läheskää aa rakeee vameus e ole verraolsa. Useasa kompoesa koosuva söörrakeee apauksessa ämä o pkemmk sääö ku pokkeus, sllä lose aheuama vameus o yypllses e-verraollsa. E-verraollses vameeulle e-seadugodulle syseemlle vodaa hakea aa suhee ekspoeaalsella yreellä omasmuoorakasua. Saadu omasarvo a -muodo uleva kuek komplekssks eväkä omasmuodo eää ole syseem massa- a äykkyysmars suhee orogoaalsa, oe muooe välsä kykeää omasmuookehelmässä e saada pureua. Ogelma kuek rakeaa srymällä ose keraluvu lkeyhälösä esmmäse keraluvu dffereaalyhälöh lamuuuaesysä käyämällä. lamuuuavekor muodosuu alkuperässä koordaaesa a de akadervaaosa. ollo myös kerromarse leaarse dmeso kakskerasuva. Ku lamuuuaesyksessä rakasaa sekä alkuperäse eä se kassa adugodu ogelma omasvekor, vodaa osoaa, eä ämä ova lamuuua-avaruudessa ossa ähde orogoaalsa (s. b-orogoalee). Borogoaleea hyväks käyäe vodaa pakkovärähelyla rakasussa suoraa ällee kompleksmuooe rkykeä, ollo ogelma rakasu helpouu huomaavas. Ylesmm käyeyssä oppkrossa e ole käsely e-verraollsa vameusa ekä komplekssa omasmuooa uur lakaa [4-9]. Pokkeuksea vodaa maa Newlad [], Merovch [] a Kelly [] oppkra. Newlad eselee ylese leaarse vskooses vameeu syseem maemaase rakasu vars peruseellses a kompaks marsesysä käyäe. Kelly kehää eora eseadugoue operaaorede avulla ssäuloavaruuksssa. Nämä esykse ova maemaases okea, mua de kaua e väly samalasa selkeää a havaollsa fyskaalsa kuvaa ku perese omasmuooaalyys kaua. Merovch esää asa kompleksse omasvekorede superposoa, mkä

3 parhae vasaa peresä omasmuooaalyysä. Esys kompleksvekorea ää kuek hema absrakks ekä lähempää veralua peresee omasmuooaalyys suorea. Ahea o lsäks käsely vasaavalla avalla usessa ulkasussa, kaso esm. [3-9]. O syyä huomaa, eä komplekssa omasmuooaalyysä vodaa sovelaa pas e-verraollses vameeuh myös gyroskoopps a srkulaors syseemeh. ässä yössä eseää komplekse omasmuooaalyys lähä vede [,] parhaa puola yhdsämällä a laaeamalla se, eä esmmäsä keraa muodosuu yheäe kuva, oa o helppo verraa peresee omasmuooaalyys. Se lsäks odseaa, eä laesyksee lyvä lavekor kompoee väle yheys (so. lavekor älkmmäe puolsko o esmmäse puolsko akadervaaa) e aheua ogelma komplekssessa omasvekorkehelmässä. ää e ole odseu yhdessäkää edellä maussa veessä, vakkak se o mau mahdollsea ogelmaa vessä [7,8]. Numeersea esmerkkä käsellää everraollses vameeu rakeukse dyaamsa vasea. eora lamuoo, omasvekor a adugou ogelma arkasellaa ylesä värähelevää leaarsa syseemä, olla o N kappalea rppumaoma vapausasea. Syseem lkeyhälö vodaa kroaa muodossa M X&& + CX+ & KX= F, () mssä M o syseem massamars, C vameusmars a K äykkyysmars (symmersä N N -marsea) a F ulkoe vomavekor ( N -vekor). ässä C o äys ylee symmere mars, oe vameus vo olla myös e-verraollsa. odeaa, eä o vomassa X& I X = +, () M K M C X && X & M F mssä o N N -ollamars, o N -ollavekor a I o N N -ykskkömars. Havaaa, eä ylemp puolsko uoaa deee X& = X& a alemp puolsko palauaa alkuperäse lkeyhälö (). ässä o oleeu, eä massamars M o esgulaare, ollo se kääesmars o olemassa. Muueaa lkeyhälö laesyksee, oe määrellää aluks lavekor Yhälö () vodaa kroaa y lyhyes muodossa X Y= X &. (3) Y= & AY+f, (4)

4 mssä -kerromars A a vomavekorsa aheuuva -vekor f ova muooa I = M K M C A =. (5), (6) F, f M arkasellaa aluks syseem vapaa värähelyä a haeaa rakasua muodossa Y = U, (7) mssä U o -vekor. Sous yhälöö (4) aaa ( F= ) e λ AU = λu. (8) Kyseessä o reaalse mars A omasarvoehävä, oka umeere rakasu osuu yleesä helpos. Omasarvo λ määräyyvä yhälösä de( A λ I) =. Koska A e ole symmere mars, o se omasarvosa aak osa ylesessä apauksessa komplekssa, ollo vasaava omasvekor uleva myös kompleksks. Kerromars A reaalsuudesa ohue o helppo odea yhälö (8) kougomalla, eä os U a λ oeuava yhälö (8), myös U a λ oeuava se, mssä arkoaa komplekssa kougaaa. Nä olle mars A kompleksse omasarvo a vekor esyvä kougaaparea. ämä lsäks vo esyä reaalsa omasarvoa a vekorea. Yhälösä (3) ohue evä omasvekor U kompoe ole ossaa rppumaoma. Merkää ( low) mssä U a U ova N -vekorea. Ku rakasu ( F= ), saadaa äsä ähdää, eä U U=, (9) ( low) U U ( low) = λu U e λ soeaa yhälöö (4), () d ( λ ) d ( λ ) ( λ M U e + C U e + K U e ) =. () d d e λ X= U () o alkuperäse lkeyhälö rakasu el vapaa värähely omasmuoorakasu. ( up Mkäl U ) a λ ova komplekssa, o myös X komplekse, oe se e ole ( up varsae fyskaale rakasu. Yhdsämällä rakasua U ), λ a ( up ) U, λ vasaava omasmuoorakasu saadaa reaale fyskaale rakasu

5 ( ) λ λ Xreal = U e + U e = Re U e λ. (3) Yhälösä () ähdää edellee, eä omasmuoo U o muooa U U= λ U kue yhälöde (3) a (7) oalla pääk olla. Omasvekorede b-orogoalee, (4) Palaueaa aluks mel, eä verraollses vameeu syseem apauksessa lkeyhälösä M X && + CX+ & KX= (5) vodaa koordaae väle kykeä posaa muuoksella X= Uq, mssä U o vasaava vameamaoma ogelma omasmuoovekoresa muodoseu N N - mars a N -vekor q ssälää omasmuookoordaa [8]. Kykeä häväme perusuu she, eä mars U MU, U CU a U KU ova kakk dago- aalsa el mars M, C a K dagoalsouva samalla kogruessmuuoksella, ollo omasmuodo u ( =, K, N) oeuava perese orogoaalsuusrelaao u, ku m M u = m = δm =, ku m. (6) Veessä [] o osoeu, eä välämäö a rävä eho slle, eä ä apahuu, o CM K= KM C. (7) Rävä, mua e kuekaa välämäö, eho yhälö (7) oeuumselle o, eä vameusmars o muooa C = α M + β K. osaala o helppoa odea, eä ylese symmerse vameusmars C apauksessa eho (7) e oeudu, oe yllä maulla kogruessmuuoksella e lkeyhälöde kykeää voda purkaa. E-verraollses vameeu syseem apauksessa o koordaae välse kykeä purkamseks rakasava lamuuuaesyksessä alkuperäse omasarvoyhälö (8) ralla yhälö A V = μv, (8) mssä arkoaa raspoosa. ämä o se asassa yhälö (8) adugou yhälö, sllä o helppoa osoaa, eä marsoperaaor A adugou operaaor o A []. Omasarvo μ määräyyvä ehdosa de( A μ I) =. Koska o vomassa = de( A μ I) = de ( A μi) = de( A μ I), (9) 3

6 määräyyvä omasarvo μ äsmällee samasa karakerssesa yhälösä ku alkuperäse ogelma omasarvo λ, oe e ova samoa (el { μ} = { λ} ). Ava kue edellä vodaa odea, eä os V a μ oeuava yhälö (8), myös V a μ oeuava se, koska A o reaale mars. arkasellaa y alkuperäse ogelma a adugodu ogelma omasarvoehäve rakasua U, λ a V, μ (yhälö (8) a (8)). Kerroaa yhälö (8) vasemmala vekorlla V sekä yhälö (8) vasemmala vekorlla U a raspoodaa ä saau yhälö. ällö saadaa yhälö AU = λu V AU = λv U, () A V = μv U A V = μu V V AU = μv U. () Väheämällä ylemmäsä yhälösä alemp saadaa äsä seuraa, eä = ( λ μ) V U. () V U =, ku λ μ. (3) Nä olle vodaa odea, eä alkuperäse ogelma a se kassa adugodu ogelma omasvekor ova osaa vasaa kohsuorassa vekoravaruude avaomase ssäulo (ässä lma ose ekä kougoa!) melessä, mkäl omasvekorea vasaava omasarvo ova er suure. ää ulosa kusuaa omasvekorede b-orogoaleeks. B-orogoalee oalla vodaa pakkovärähelyla rakasussa posaa omasvekorede väle kykeä, kue akossa osoeaa. Vapaa värähely a alkueho Raouaa seuraavassa käyäössä ylesmpää apauksee, ossa alkuperäse ogelma omasvekor U ( =,,..., N) ova leaarses rppumaoma, ollo e vrävä -uloese kompleksse vekoravaruude. Vapaa syseem ( F= ) ylee la vodaa ss esää rakasude (7) leaarkombaaoa Y= ce λ U = (4) el äydellsemm kroeua X ce λ U = X & = λu. (5) Alkuperäse vapausasee X (ks. yhälö ()) o ss lausuu muodossa 4

7 Olkoo syseem alkueho o = X= ce λ U X() = X, X& () = X &. (6) aeu, ollo lavekor alkueho X() X Y() = = X & () X&. (7) Ny vodaa rakasa vapaa la kehelmäkerome. Kroeaa yhälö (4) hekellä = a kerroaa ä saau yhälö vasemmala vekorlla, ollo saadaa m () c m cδ m = = V Y = V U = = c. (8) m ässä o oleeu, eä samaa omasarvoo λ m lyve omasvekore Um a Vm ormeeraus o suoreu se, eä de ssäulo o yks (el VmUm =). Nä olle alkuehdo (7) oeuavaks vapaa lkkee rakasuks saadaa lamuodossa V m = λ Y () = V Y() e U (9) a alkuperässsä koordaaessa = e λ X () = V Y() U. (3) odeaa seuraavaks, eä ämä rakasu o aa reaale, vakka summassa esyvä erm vova olla myös komplekssa. Kue akasemm o o odeu, esyvä karakersse yhälö uure oko reaaluura a komplekskougaaparea. Merkää reaalsa uura aladeksllä a komplekssa kougaaparea aladeksllä varuseua, s. λ a λ, λ. Summa (3) vodaa y kroaa muodossa ( c =V Y() ) λ λ ( ) λ + + X () = ce U c e U c e U λ + Re ce λ = ce U U, (3) mssä o käyey hyväks sä, eä myös omasvekor V esyvä kougaaparea. Mkäl kakk karakersse yhälö uure ova komplekssa (reaalsa), puuuu yhälösä (3) luoollses esmmäe (oe) summalauseke. Yhälö (3) mukae lauseke o reaale, sllä alkuehovekor Y() o aa reaale a reaalsa omasarvoa vasaava omasvekor U a ova reaalsa. Esmmäe summa- V 5

8 lauseke koosuu ekspoeaalses väheevsä ( λ < ), kasvavsa ( λ > ) a äykä kappalee lkkee ( λ = ) ermesä. Jälkmmäse summalausekkee muokkaamseks kroeaa kompleksse omasarvo muodossa Ku käyeää merköä λ = α + β. (3) U ( ) ( ) ψ u e ( ) ( ) ψ u e = M ( ) ( ) ψ N un e a c = c e φ, (33), (34) saadaa yhälö (3) älkmmäselle summalausekkeelle (rakasu värähelevä osa) muoo β ( ) ( ) up vb α X () = e Re c e U α = e Re c u u u ( ) ( ) ( ) N ( ) ( β+ φ+ ψ ) ( ) ( β+ φ+ ψ ) = M ( ) ( β+ φ+ ψn ) e e e ( ) ( ) u cos( β φ ψ ) + + ( ) ( ) α u cos( β + φ + ψ ) c M ( ) ( ) un cos( β + φ + ψn ) e. (35) odeaa, eä suuree α a β määräyyvä omasarvoehävä omasarvosa, ( ) ( ) suuree uk a ψ k ( k =, L, N ) omasvekoresa a suuree c a φ lkkee alkuehdosa. Mkäl syseem o vameamao a verraollses vameeu, o rakasu ueus muooa [8] ( ) u ( ) α u X vb = e c cos( β + φ ). (36) M ( ) u N Yhälösä (36) ähdää, eä verraollses vameeu syseem vapaa värähely ( ) ( ) ( ) vodaa lausua reaalse omasmuooe u u u N L leaarkombaaoa. Kuk omasmuoo suoraa ekspoeaalses vameevaa (a kasvavaa) harmosa värähelylkeä. Yleesä rakasu (36) yheydessä käyeää merköä [8] 6

9 ,, α = ζ ω β = ω ζ ω = α + β ζ = α α + β. (37) ässä ζ edusaa omasmuodo suheellsa vameusvakoa a ω vameamaoa omaskulmaaauua. E-verraollses vameeu syseem vapaa värähelyä kuvaa yhälö (35). Havaaa, eä syseem vapausasee värähelevä y yleesä er vahessa, ku aas yhälö (36) apauksessa kakk vapausasee värähelevä oko samassa a vasakkasessa vaheessa. Erlase vahede aka e yhälössä (35) cos-fukoa saada vekorsa ulos yheseks ekäks. Vapausasee värähelevä kuek samalla kulmaaauudella β a suheellsa värähelyampludea vodaa edellee kuvaa suurella u ( ) u ( ) L u ( ) N. Nä olle omasmuodo ova edellee olemassa, vakkakaa evä ava yhä saasessa melessä ku verraollses vameeulla syseemllä. Eryses vodaa odea, eä omasmuooe solmupsee (psemassoe välse erpolaaode ollakohda) evä pysy pakollaa vaa lkkuva akuvas a eä opa solmupsede lukumäärä vo muuua lkkee akaa. Havaaa, eä yhälö (33) mukase vekor U ssälävä kake rakasussa (35) esyv omasmuooh lyvä amplud- a vaheedo. Nä olle ä vodaa kusua syseem komplekssks omasmuodoks. Nde fyskaale merkys käy lm yhälösä (35) a kuva mukasesa osodagrammsa. Rakasusa (35) ähdää, eä e-verraollses vameeu syseem omasmuooo lyy ekspoeaale vameusvako α a vameeu omaskulmaaauus β. Nämä saadaa lamuoose omasarvoehävä (8) rakasua. Nä olle omasmuooe suheellse vameusvako a vameamaoma omaskulmaaauude saadaa laskeua suoraa yhälösä (37) ekä suheellslle vameusvakolle ζ arvse esää rrallsa arvoa, kue use ehdää verraollses vameeua mallea käyeäessä. ( ) u N Im.. ψ ( ) N. ψ u ( ) ( ) ψ ( ) u ( ) Re Kuva. Kompleksse omasmuodo osoesys e-verraollses vameeulle syseemlle. Yhälö (35) vasaa laea, ossa osome vahekulm lsäää kulma β + φ. ällö osome pyörvä orgo ympär kulmaopeudella β. Koordaae fyskaalse arvo saadaa prosomalla osome reaalaksellle aa fukoa. Verraollses vameeu syseem apauksessa osome vahekulma ova oko yhäsuura a pokkeava ossaa kulma π verra, ollo osome kulkeva pk suoraa. Normeeraukse avulla ämä suora vodaa kääää reaalaksel suuaseks, oe verraollses vameeu syseem omasmuodo vodaa vala reaalsks. 7

10 Pakkovärähely Myös pakkovärähelylaee ylee la vodaa esää omasvekorede (7) leaarkombaaoa, sllä omasvekor U ( =,,..., N) olee leaarses rppumaomks, ollo e vrävä -uloese kompleksse vekoravaruude. Vodaa ss kroaa Ku yre (38) soeaa lkeyhälöö a käyeää hyväks yhälöä (8), saadaa Y () = c () U = Y= & AY+f. (38), (39) c& () U = c () AU + f = c () λ U = = = + f (4) a edellee puola vekorlla V m keromalla c& () m = c() λ m + m el c& m() = λmcm() m = = δm δm V U V U V f V f. (4) Ku määrellää modaale kuormavekor f =V f V V M M V F F ( low) ( low) m m = m m = m (4) a vahdeaa deks kroaa muodossa m, vodaa kehelmäkerome dffereaalyhälö c& ( ) = λ c ( ) + f ( ) ( =, L, N). (43) ämä rakasu o λ λ λ τ c ( ) = A e + e e f ( τ) dτ ( =, L, N). (44) Alkuehdosa Y() = X X & seuraa y Y () = c () U = A U = = (45) 8

11 a yhälö (8) apaa edellee A = V Y(). (46) Lopulle rakasu o ä olle ulos (47) lmasee e-verraollses vameeu syseem pakkovärähelyla rakasu vapaa värähely omasvekorede leaarkombaaoa lma omasvekorede välsä kykeää. Rakasu rsrdaomuus λ λτ Y () = e VY () + e f( τ) dτu = Ku oeaa huomoo yhälö (3) a (4), seuraa rakasusa (47) yhälö X () = e V Y () e f ( ) d U λ λτ + τ τ = X & () = e V Y () e f ( ) d U λ λτ + τ τλ = O merklle paavaa, eä yhälösä (48) saadaa aa suhee dervomalla opeude X & (), oka osaala saadaa suoraa yhälösä (49). Ovako ä saadu ulokse yhäpävä? Usemmssa vessä ähä asaa e ole key mää huomoa [-,6,9]. Veessä [8], oka käselee psemassa lkeä pk apusaa kaapela, vasaava ogelma maaa a osoeaa, eä rsraa e ole. Seuraavassa osoeaa yleses, eä ässä yössä käselävässä dskreessä apauksessa ulokse (48) a (49) ova yhäpävä. Ku yhälö (48) dervodaa aa suhee, saadaa X & () = e V Y () e f ( ) d f () U λ λτ λ + τ τ+ = Joa ämä aas sama ulokse ku yhälö (49), o olava melvalasella kuormalla f( ). Ku ähä soeaa yhälö (4) mukae kuormavekor, käyeää lyheysmerkää a = ( M F( )) ( =, K, N) a seveeää, saadaa yhälö (5) vasemmaks puoleks lauseke. (47), (48). (49). (5) f() U = (5) = 9

12 , (5) ( low) V U ( VU ) ( N ) N = N + ( low) V M F() U = a M = a M = = = ( low) ( VU V ) UN ( N+ ) N = -omas- mssä o käyey alkuperäse ogelma a adugodu ogelma vekormarsea U [ U U L U ] U U L U U U L U M M M U U L U,, = = N, N, N,, (53) V [ V V L V ] V V L V V V L V M M M V V L V, N, = = N, N, N,. (54) Omasvekorede orogoaalsuudesa a ormeerauksesa (el o omasvekormarselle vomassa m = δm V U ) ohue Nä olle V U V U = I =, oe V ( U ) ( U ) = = a edellee. (55) VU = I = I I. (56) Havaaa, eä lausekkeessa (5) esyy aoasaa mars VU vasemma alaeläekse alkoa, oka ova kakk olla. Nä olle yhälö (5) o aa vomassa, oe rakasu (47) o ssäses rsrdao. Veralu peresee moodaalyys Yhälö (48) mukae rakasu ssälää e-verraollse vameukse apauksessa yleesä komplekssa suurea, sllä yleesä aak osa omasarvosa a omasvekoresa o komplekssa. Fyskaals alkuehoh soveu rakasu X() o luoollses reaale. Muokaaa rakasu lausekea se, eä rakasu reaalsuus o suoraa ähävssä. Summa vodaa akaa ava yhälö (3) apaa reaalsa omasarvoa λ a komplekssa omasarvoparea λ, λ vasaav os, ollo saadaa

13 X () = c () U + Re c () U mssä kehelmäkerome ova y muooa λτ c() = V Y() + e f( τ) dτ e λ, (57). (58) Alkuehoa Y() vasaava erm vodaa lausua kue akasemm (ks. yhälö (3)- (35)). Ulkosa vomaa vasaava rakasu osa o λ λτ λ ( τ) f () = e e f( τ) dτ + Re e f ( τ) dτ X U U. (59) Esmmäe summa koosuu yksomaa ekspoeaalses peeevsä (a kasvavsa) ermesä, ku aas älkmmäe summa ssälää myös harmoses värähelevä eköä. Ku merkää yhälö (33) kassa aalogses V ( ) ( ) θ v e ( ) θ e = M ( ) ( ) θ N vn e ( ) ( low) v (6) a käyeää modaalse kuormavekor lausekea (4), saadaa yhälö (59) älkmmäe summa seveyse älkee muooo X fvb N ( ) α ( τ) ( ) ( ) ( ) u e vk ( M F) k( τ)cos β ( τ ) ψ θ + + k dτ k= = M, (6) N ( ) α ( τ) ( ) ( ) ( ) un e vk ( M ) k( τ)cos β ( τ ) + ψ N + θ k dτ F k= mssä -summaus käy yl omasarvoe kougaapare. Havaaa, eä vasee värähelevä osa ssälää kovoluuoegraal yyppsä suurea kompleksse omasmuooe sesarvoe ( u ) ( ), K, u N eköä. Nää e kuekaa saada ( ) ( ) pysyvekorsa yheseks ekäks vahekulmsa ψ, K, ψ N ohue, oe kompoe värähelevä ossa ähde er vaheessa. Yhälö (6) lmasema rakasu osoaa havaollses, kuka e-verraollses vameeu syseem pakkovärähelyla rakasu muodosuu, ku syseemä aaa ulkoe voma F ( τ ).

14 Eryses vodaa odea, eä rakasu kompoee vahes vakuava sekä ( ) ( ) kompleksse omasmuooe U vahee ψ, K, ψ N eä adugodu ( low) ( ) ( ) ogelma omasvekore alempe puolskoe vahee θ, K, θ N. Verraolle vameus a Duhamel egraal Osoeaa seuraavaks, eä rakasu (6) redusouu verraollse vameukse apauksessa peresee Duhamel egraal avulla lausuuu omasmuoorakasuu [8] X = e u ( τ )s ω ( τ) dτ ( ) u N ζ ω( τ) ( ) Duh M k k d ω F ( ) d k= un V ( ) d ω u F d = u e ζ ω τ ( τ )s ω ( τ) dτ, (6) mssä vameamaoma (a verraollses vameeu) syseem omasmuodo ( ) ( u = [ u,, u N) ] oeuava perese massaoroormeerausehdo u M u = δ. (63) Ku oeaa lähökohdaks rakasu muoo (59) a modaale kuormavekor (4), saadaa λ ( ) ( ) τ low fvb() = Re e M ( τ ) U X V F dτ. (64) ( low) Laskeaa y suure V M F ( τ ), ku vameus muuuu verraollseks. Yhälösä (3) a (4) seuraa ( ) ( ) up up V [ U λu ] ( low) = V el ( low) ( U V + λ V ) =. (65) Ehdosa (7) seuraa, eä verraollse vameukse apauksessa omasvekorelle o vomassa ehdo V ( low) λ V + = ( low) a M U = V + λ V. (66), (67) Ku käyeää merkää λ = α + β, seuraa äsä edellee Ny vodaa laskea ( up ) ( low ) ( low ) M U = ( λ λ ) V = β V. (68)

15 V F( τ ) U F( τ) U F ( τ). (69) ( ) ( ) low up M = MM = β β Ku ämä soeaa yhälöö (64), saadaa ( ) ( ) ( ) α τ β τ up fvb() = Re e e ( τ ) β X U F U dτ ( ) ( ) / ( ) β τ π α τ up Re e e ( τ ) dτ β = U F U α ( τ) = u e s β ( τ) ( τ) d β u F τ, (7) mssä o käyey hyväks sä, eä verraollse vameukse apauksessa komplekse omasmuoovekor U redusouu muooo U = u e ψ, mssä ( ) vekor u ssälää aoasaa posvsa a egavsa reaallukua a vahe ψ o kaklle kompoeelle yhee, ollo ψ ( e ) ( ) ( ) ψ τ = τ e U F( ) U u F( ) u = u F( τ) u. (7) Yllä vekor u o luoollses verraollses vameeu syseem omasmuoo. Ku velä palaueaa mel yhälösä (37) yheyde α = ζ ω a β = ω ( ζ ) = ωd, vodaa odea, eä ulos (7) yhyy peresee uloksee (6). Lukaa pyydeää velä veraamaa e-verraollses a verraollses vameeue syseeme vasea (6) a (6) ossa. Harmose heräee vase a resoass E-verraollses vameeu syseem aauusvasekäyäyymse selvämseks arkasellaa laea, ossa syseem kohdsuva ulkoe voma o puhaas harmosa muooa F F() = M cosω = F cosω. (7) F N Pysyvä la laskemseks soeaa ämä voma rakasu lausekkeesee (59), ollo saadaa λ ( ) low λτ ωτ τ X () = e V M F e cos d U + f 3

16 λ ( ) low λτ V F cosωτ τ U + Ree M e d ( low) ωsω λcosω λ M e λ = V F + λ + ω λ + ω U + ( ) s cos ( ) Re low ω ω λ ω λ up M e λ + V F + U. (73) λ + ω λ + ω Ku äsä poseaa rase lyvä vapaa värähely, saadaa pysyvä la (seady sae) rakasuks X ωsω λ cosω U ω sω λ cosω U, (74) s() = b Re + b λ + ω λ + ω mssä o käyey lyheysmerkää bk = Vk M F ( k =, K, N). Esmmäsessä summalausekkeessa kakk suuree ova reaalsa, oe se kuvaa sellaseaa reaalsa omasarvoa vasaavaa rakasu osaa. osessa summalausekkeessa ova suuree b, λ = α + β a U komplekssa. Ku yhälö (74) mukae reaalosa laskeaa, saadaa pysyvä la rakasu yleseks lausekkeeks ( low) s cos b ω ω X = λ ω U + s () λ + ω ωα ( β + ω)s ω α ( α + β + ω)cosω + Re b ( ω α β ) + 4ω α U β ( α + β ω )cosω α β ωsω ( ) Im up b ( ω α β ) + 4ω α U. (75) Havaaa, eä e-verraollses vameeu syseem harmose heräee vase o huomaavas momukasemp ku verraollses vameeu syseem. ämä ohuu älkmmäsessä summalausekkeessa esyväsä ekäsä Re b U, oka everraollses vameeulle syseemlle o ollasa pokkeava. Se saa verraollses vameeulle syseemlle saadaa yhälöde (69) a (7) oalla ollo b U V F U u F u, (76) ( low) = M = β 4

17 Re b U U u F u. (77) =, Im b = β Ku merkää velä yhälöde (37) mukases, α = ζ ω β = ω ζ, (78) saadaa rakasu (75) älkmmäe summalauseke verraollse vameukse apauksessa muooo ( α + β ω )cosω α ω sω u F u ( ω α β ) + 4ω α = + Φ ufu = ( ω ω ) ( ) + ζ ωω ( ω ω) + ( ζ ωω) ( ω ω )cosω ζ ω ω sω cos( ω ) ufu (79) mssä, ζ ω ω ω ω s Φ=, cos Φ= ( ω ω ) ( ζ ωω) ( ω ω) (ζ ωω) + +. (8) ulos o äsmällee sama ku peresellä avalla ohdeu verraollses vameeu syseem vase harmoselle heräeelle [8]. Moodlle ämä huppuarvo saavueaa ueus heräee kulmaaauudella ωpeak = ω ( ζ ). Melekoe kysymys o, mllä heräee kulmaaauukslla ylese lausekkee (75) erm saavuava maksmsa, os saoe, mllä heräee aauukslla e-verraollses vameeu syseem resoo. ää kysymysä ullaa ukmaa osessa yheydessä. Vodaa kuek he odea, eä yhälö (75) mukae harmose heräee vase läheee edellee ollaa heräee aauude kasvaessa, oe peresesä moodaalyyssä uu aauuskakasu (frequecy cuoff) vodaa suoraa myös e-verraollses vameeu syseem apauksessa. Numeere esmerkk arkasellaa esmerkkä kolmkerroksse rakeukse pokasvärähelyä. Rakeus malleaa ous-massa-vame -syseemä kuva mukases. Kerrose massolle a kerrose välslle ous- a vameusvakolle käyeää auluko mukasa arvoa. Alkulaeessa rakee o levossa saasessa asapaoasemassaa. Aahekellä = käyseää alo kolmaessa kerroksessa saseva rumpusuoda. Suodame kokoasmassa o m = kg a epäasapaossa oleva rummu massaeksersyys me= kgm. Suoda aeaa levosa käyöopeueesa leaarsella ramplla (el vakokulmakhyvyydellä) aassa = 4 s, oka älkee lae ää pyörmää vakokulmaopeudella Ω= 6 r/m. 5

18 ehävää o määrää syseem dyaame vase. Laskuomukse suore Malab-ohelmsoa käyäe. aulukko. Laskussa käyey kerrosalo paramere arvo. kerrokse massa kerrose a väle m (kg) ousvako k (N/m) vameusvako c (Ns/m) rumpusuoda me x x x 3 m k, c m m 3 k, c 3 3 k, c m, ω Kuva. Kerrrosalo vaakasuuase pokasvärähelye keskeye massoe mall (lumped mass model). Syseem massa-, äykkyys- a vameusmars ova (SI-ykskö) M m 4 = m = m3 3, (8) k+ k k 3 K = k k k3 k + 3 = 8 k3 k , (8) c+ c c 5 3 C = c c c3 c + 3 =. (83) c3 c3 6

19 ukaa seuraavaks ehdo (7) avulla, oko syseem vameus verraollsa. Marsea (8) - (83) käyäe saadaa CM K = = KM C (84) Koska eho (7) e ole vomassa, e syseem vameus ole verraollsa. Laskeaa seuraavaks alkuperäse ogelma a adugodu ogelma omasarvo a omasvekor. Kerromars A o y I A =. (85) M K M C = Omasarvoks saadaa λ = , λ = , λ = , 3 λ = , λ =.36.68, λ = , (86) alkuperäse ogelma omasvekor ova =, =, =, U U U 3 U = U, U = U, U = U a adugodu ogelma omasvekor ova 3, (87) 7

20 =, =, =, V V V3 V = V, V = V, V = V polaar- (ks. yhälö (8) a (8)). Kompleksse omasmuodo muodossa ova 3 u = U ( =,,3) (88) o o o u = , u = , u3 =.84. o o o o o o. (89) Koska omamuodo ova kerraasa vakoa valla ykskäsese, voas omasmuodo (89) haluaessa ormeeraa se, eä esmmäse kompoee vahekulma ulsva ollks. ällä avalla saaas esmmäse muodo vaheks o o o,.36 a.85, ose muodo vaheks o, 3.4 o o a 73.3 sekä kolmae muodo vaheks o o, 86.5 a 7. o. Mkäl vameus ols verraollsa, olsva vahekulma oko o a ± 8 o. ässä yössä o kuek käyey yhälöde (89) mukasa Malab aama omasmuooa, sllä ormeeraus e luoollseskaa vakua lopulls uloks. Koska kakk omasarvo ova komplekslukua, o ylee rakasu yhälö (57) mukaa mssä kerome c X() = Re c () U 3 = oeuava yhälö (43) el, (9) c& λ c c& c& λ c ( low) ( low) ( low) = λ c + V V V3 M F. (9) ässä rumpusuodame massaepäasapaosa aheuuva voma F o muooa F( ) =, F3( )= me( ω sθ αcos θ), (9) F 3() 8

21 mssä suodame kulmakhyvyys α, kulmaopeus ω a kulma θ ova α =Ω /, ω = α, θ = α, ku < α =, ω =Ω, θ =Ω +Ω( ), ku. (93) Yhälössä (9) o kerromars auhaleveys luoollses yks, koska kakk kompleksse omasmuodo kykeyyvä ossaa äydellses r. Kuvassa 3 o esey kompleksse moodkerome c sesarvo a vahekulma välllä 45 s. Moodkerome sesarvosa äkyy selväs omasmuooe (a) sesarvo aka (s) 6 4 (b) vahekulma (rad) aka (s) Kuva 3. (a) Kompleksse omasmuookerome sesarvo ( =,,3) aa fukoa. c a (b) vahekulma φ resoass massaepäasapao aheuama heräee kulmaaauude ohaessa omaskulmaaauude. Kuvasa vodaa havaa sekä moodkerome sesarvoe eä vahekulme oskllova ulkose heräee ahdssa. ämä prre akuu myös 9

22 välllä 4 s 45 s, ollo suodame pyörmsopeus pysyy vakoa a syseem aseuu puhaas harmoose voma aheuamaa saoaarsee laa. ämä käyäyyme pokkeaa verraollses vameeu syseem harmoosesa pakkovärähelyrakasusa, ossa omasmuooe kerome (ormaalkoordaae) amplud pysyy vakoa a vahekulma kasvaa leaarses aa fukoa. Kuvssa 4 (a)-(c) o esey aa fukoa kuk kompleksse omasmuodo osuus kerrose srymssä a kuvassa 4 (d) äde summa el kerrose kokoassrymä. Esmmäe omasmuoo resoo aaheke = 95 s ympärsössä a. kerros.4 (a). kompleksse omasmuodo osuus srymssä (m). kerros.4 (b). kompleksse omasmuodo osuus srymssä (m) kerros. kerros kerros 3. kerros aka (s) aka (s). kerro.4 s(c) 3. kompleksse omasmuodo osuus srymssä (m). kerros.4 (d) Kerrose kokoassrymä (m) kerros. kerros kerros kerros aka (s) aka (s) Kuva 4. Esmmäse (a), ose (b) a kolmae (c) kompleksse omasmuodo osuus kerrose srymssä sekä kerrose kokoassrymä (d). uoaa esmmäsee, osee a kolmaee kerroksee asea kasvava vasee kuva 4 (a) mukases. oe omasmuoo resoo aaheke =8 s ympärsössä. osessa kerroksessa ämä aheuaa erä pee vasee, ku aas esmmäsessä a kolmaessa kerroksessa vasee ova vars huomaava. Kolmas omasmuoo resoo aaheke = 6 s ympärsössä. Suur vase esyy y osessa kerroksessa. Kakk resoasseh lyvä vasee ova sopusoussa

23 kompleksse omasmuooe (89) sesarvoe kassa. Kuvassa 4 (d) o esey kakke edellse summa el kuk kerrokse kokoasvase. Suurmma kokoassrymä esyvä kolmaessa kerroksessa esmmäse a kolmae resoass yheydessä a ova suuruusluokkaa 3,5 cm. odeakoo velä, eä yllä esey komplekssee omasmuooaalyys perusuva ulokse yhyvä äys yhälösä () suoralla umeersella egrolla saauh uloks umeerse laskeaarkkuude raossa. Johopääökse ässä yössä o esey perese omasmuooaalyys laaeus e-verraollses vameeulle syseemelle. Vakka ulokse aluper ohdeaa laaeeussa esmmäse keraluvu lavekoresyksessä, palaueaa ulokse a de ulka samayyppsks ku peresessä omasmuooaalyysssä oamalla käyöö laesykse omasvekor ylemp puolsko, oka o verraavssa peresee omasmuooo, vakkak se kompoe ova komplekslukua. Vapaa värähely a pakkovärähely vodaa lausua kompleksse omasvekorede leaarkombaaoa a omasvekorede keskäe kykeä vodaa posaa borogoalee avulla. ämä ohdosa kerromars auha leveys o yks, ollo laskea muodosuu varsk suurssa a kykeyssä ogelmssa erä palo opeammaks ku alkuperäsä lamuooesysä suoraa egromalla. Vasee ulka ossaa rppumaome omasmuooe superposoa aaa ogelmalle vahva a havaollse fyskaalse ulka. Harmose heräee vaseesee everraolle vameus syyää uude korbuuo, oka kuek edellee meee koh ollaa heräeaauude kasvaessa, vakkak haamm ku verraollses vameeulla syseemllä. ämä asosa vodaa omasmuookehelmä kakasa sopvasa kohaa heräeaauukse yläpuolela (frequecy cuoff), sllä korkeamma muodo evä käyäössä uoa korbuuoa vaseesee. lae o samakalae ku peresessä moodaalyysssä a yleesä merkäväs keveää laskeayöä. aauuskakasu posaa lsäks rakasava dffereaalyhälösyseem äykkyyde, koska korkea aauude muodo, ode korbuuo vaseesee o käyäössä olla, vodaa äää pos kehelmäsä. ässä yössä o lsäks odseu lavekoresyksee perusuva rakasu rsrdaomuus dskreee syseeme pakkovärähely-laeessa. Numeersessa esmerkssä hava kompleksmuooe kerome sekä sesarvoe eä vahekulme oskllova pakkoheräee ahdssa myös vako-kulmaaauudella, mkä edusaa uudeyyppsä käyäyymsä. ämä mahdollsaa huomaavas mopuolsemma vasee ku peree moodvase, ossa omasmuodo amplud o vako a vahekulma leaarses kasvava. Kosava akoukmukse ahea ova e-verraollses vameeu syseem resoass arkemp ukme a esey eora sovelame gyroskoopps syseemeh (pyörvä muodo) sekä eora laaeame leaarses rppuve omasvekorede apauksee.

24 Krallsuusvee [] Lord Raylegh, heory of Soud, Dover Publcaos, New York, 897. [] J. Woodhouse, Lear Dampg Models for Srucural Vbrao, Joural of Soud ad Vbrao (998) 5(3), [3] C.W. Ber, Maeral dampg: a roducory revew of mahemacal models, measures ad expermeal echques, Joural of Soud ad Vbrao (973) 9, [4] W.. homso, heory of Vbrao wh Applcaos, George Alle & Uw, Lodo, 98. [5] L. Merovch, Mehods of Aalycal Dyamcs, McGraw-Hll, New York, 97. [6] R.W. Clough ad J. Peze, Dyamcs of Srucures, McGraw-Hll, New York, 975. [7] Roy. R. Crag, Jr., Srucural Dyamcs: A Iroduco o Compuer Mehods, Joh Wley&Sos, Ic. Publshers, 98. [8] D.J. Ima, Egeerg Vbrao, Prece Hall, New Jersey,. [9] S. S. Rao, Mechacal Vbraos, Prece Hall, New Jersey, 3. [] D.E. Newlad, Mechacal Vbrao Aalyss ad Compuao for Srucural Vbrao, Logma Scefc & echcal, Sgapore, 989. [] L. Merovch, Prcples ad echques of Vbrao, Prece Hall, New Jersey, 997. [] S.G. Kelly, Advaced Vbrao Aalyss, CRC Press, aylor & Fracs Group, New York, 7. [3 ] J. Bellos ad D.J. Ima, A Survey o Noproporoal Dampg, he Shock ad Vbrao Dges (989) (), 7-. [4] S. Adhkar ad J. Woodhouse, Idefcao of Dampg: Par, Vscous Dampg, Joural of Soud ad Vbrao () 43(), [5] S. Adhkar ad J. Woodhouse, Idefcao of Dampg: Par, No-Vscous Dampg, Joural of Soud ad Vbrao () 43(), [6] R.P.S. Ha ad J.W. Zu, Pseudo No-Selfado ad No-Selfado Sysems Srucural Dyamcs, Joural of Soud ad Vbrao (995) 84(4), [7] B. Yag ad X. Wu, rase Respose of Oe-Dmesoal Dsrbued Sysems: A Closed Form Egefuco Expaso Realzao, Joural of Soud ad Vbrao (997) 8(5), [8] K.-Y. Lee ad A.A. Reshaw, Soluo of he Movg Mass Problem Usg Complex Egefuco Expasos, Joural of Appled Mechacs () 67 Dec., [9] S. Krek, Complex modes ad frequeces damped srucural vbraos, Joural of Soud ad Vbrao 7 (4), [].G. Caughey ad M.E.J. O Kelly, Classcal Normal Modes Damped Lear Dyamc Sysems, Joural of Appled Mechacs (965) 3, [] K.A. Foss, Coordaes whch Ucouple he Equaos of Moo of Damped Lear Dyamc Sysems, Joural of Appled Mechacs 5 (958), Ramo vo Herze, Lappeeraa eklle ylopso, PL, 5385 Lappeeraa, rherze@lu.f