Frégier'n lause. Simo K. Kivelä, P B Q A

Transkriptio

1 Smo K. Kvelä, Fréger'n lause Tosen asteen ärllä ellpsellä, paraaelella, hperelellä ja nden erostapauslla on melonen määrä snertasa säännöllssomnasuusa. Eräs tällanen on Fréger'n lause: Oloon P tosen asteen ärällä sjatseva pste ja oloot PA ja PB as tämän psteen autta ulevaa tosaan vastaan ohtsuoraa ärän jännettä. Tällön on olemassa nteä pste Q, jona autta suora AB ulee rppumatta stä, mssä asennossa jänteet PA ja PB ovat. Pste Q sjatsee psteeseen P asetetulla ärän normaallla. Kuva tlanteesta ellpstapausessa: 4 P B -4-4 Q A - -4 Lauseen erostapaus on ollut evään 001 lopplasrjotusten ptän matematan oeessa seuraavassa muodossa: Suoraulmasen olmon a ärjet sjatsevat paraaellla = x ; suoran ulman är on paraaeln hupussa. Osota, että joasen tällasen olmon hpotenuusa leaa paraaeln aseln samassa psteessä. Määrtä tämä pste. Fréger n lauseen todstus vo perustua analttseen geometraan. Tämän johdosta on luontevaa ättää hväs jotan smolsen lasennan ohjelmaa, jollon e tarvtse huolehta monmutassta sevennsstä ja nässä heräst sntvstä vrhestä. E smolsten ohjelmenaan ättö ongelmatonta ole: nllä on omat heoutensa, jota on opttava varomaan. Seuraavassa estetään Fréger'n lauseen todstus ellpstapausessa Mathematca-nmstä smolsta ohjelmaa ättäen, jollon meaanset lasut vodaan antaa ohjelman tehtävs. Itse asassa tämä rjotus on oonasuudesaan laadttu

2 freger.n Mathematcan avulla; se nmttän ssältää mös anan jonntasoset mahdollsuudet testnästteln ja matemaattsten aavojen rjottamseen. Todstus Tarasteltavana oleva ellps vodaan sjottaa orgoesses, lman että proeemaa mtenään rajotetaan. Muodostetaan ss orgoessen ellpsn htälö ja talletetaan tämä nmelle ellps: In[1]:= ellps = x^ê a^ + ^ê ^ == 1 Out[1]= x a + == 1 Lauseessa esntvä pste P valtaan ellpsn ehältä. Joanen ehäpste vodaan esttää muodossa H a coshtl, snhtll. Tässä t on ns. parametr, joa vo saada arvot välltä 0 t < p; tällön joanen ehäpste tulee huomodus. In[]:= Out[]= P = 8a Cos@tD, Sn@tD< 8a Cos@tD, Sn@tD< Psteen oordnaatt vodaan sjottaa ellpsn htälöön, jollon se todellan toteutuu: In[3]:= Out[3]= ellps ê. 8x P@@1DD, P@@DD< êê Smplf True Psteen P autta asetetaan as tosaan vastaan ohtsuoraa suoraa. Annetaan näden htälöt vetormuodossa, jollon ntä on näppärää ästellä. Vetort estetään Mathematcassa ahden alon lstona, esmers ê + 3 êê j muodossa,3}. Kosa suorat ovat ohtsuora, tulee nden suuntavetoreden salaartulon olla = 0. Jos suuntavetort rjotetaan muotoon p,q} ja -q,p} tämä ehto tätt, mutta muulla tavon e suoren suunta ole rajotettu. Vetorestsessä tarvttava parametr oloon u: In[4]:= PA = 8x, < P + u 8p, q< Out[4]= 8x, < == 8p u + a Cos@tD, q u + Sn@tD< In[5]:= PB = 8x, < P + u 8 q, p< Out[5]= 8x, < == 8 q u + a Cos@tD, p u + Sn@tD< Etstään erseen ummann suoran ja ellpsn leauspsteet. Nätä on ummassan tapausessa as ja nstä tonen on luonnollsest ellpsllä oleva pste P, jona autta suorat asetettn. Ratasujen seventämnen edellttää useampaa sevennsäsä perään aseteltuna: //FullSmplf//PowerExpand//FullSmplf : In[6]:= Out[6]= rat1 = Solve@8ellps, PA<, 8x,, u<d êê FullSmplf êê PowerExpand êê FullSmplf ah p Cos@tD + a q Sn@tDL 99u p + a q, x a HH p + a q L Cos@tD apqsn@tdl p + a q, H apqcos@td + H p aqlhp+ aqlsn@tdl p + a q =, 8u 0, x a Cos@tD, Sn@tD<=

3 freger.n 3 In[7]:= Out[7]= rat = Solve@8ellps, PB<, 8x,, u<d êê FullSmplf êê PowerExpand êê FullSmplf ah q Cos@tD a p Sn@tDL 98u 0, x a Cos@tD, Sn@tD<, 9u, a HHa p qlhap+ ql Cos@tD + apqsn@tdl x, H apqcos@td + H a p + q L Sn@tDL == Edellsessä tapausessa edellnen ratasu antaa etstn psteen. Jälmmäsessä tapausessa tämä on jälmmänen. Talletetaan saatujen tosten leauspsteden A ja B oordnaatt omlle nmlleen: In[8]:= Out[8]= In[9]:= Out[9]= A = 8x, < ê. rat1@@1dd 9 a HH p + a q L Cos@tD apqsn@tdl p + a q, H apqcos@td + H p aqlhp+ aql Sn@tDL p + a q = B = 8x, < ê. rat@@dd a HHa p qlhap+ ql Cos@tD + apqsn@tdl 9, H apqcos@td + H L Sn@tDL = Suoran AB htälö vodaan esttää joo vetormuodossa ta x- ja -oordnaatt stovassa muodossa; seuraavassa jälmmänen vahtoehto: In[10]:= Out[10]= AB = A@@DD == HB@@DD A@@DDL ê HB@@1DD A@@1DDL Hx A@@1DDL H apqcos@td + H p aqlhp+ aql Sn@tDL p + a q == j jx a HH p + a q L Cos@tD apqsn@tdl p + a q H apqcos@td + H p aqlhp+ aql Sn@tDL j H apqcos@td + H L Sn@tDL ì j a HH p + a q L Cos@tD apqsn@tdl a HHa p qlhap+ ql Cos@tD + apqsn@tdl Luja saattaa hmetellä, ms tosnaan suoralle ätetään vetormuotosta, tosnaan x-muotosta htälöä. Molemmat ovat peraatteessa htä hvä. Edellä olevat valnnat on teht tavotteena mahdollsmman snertaset ja tosaalta smolsen ohjelman ättömahdollsuusa mahdollsmman hvn valasevat lasut. On ehä aa prtää tlanteesta uvo. Tätä varten on alus ladattava Mathematcan lsäpaett: In[11]:= Needs@"Graphcs`ImplctPlot`"D Kuvota varten tarvtaan jotn numeerset arvot: In[1]:= luuarvot = 8a > 3, >, t > 1., p >, q > 3< Out[1]= 8a 3,, t 1., p, q 3<

4 4 freger.n Lähtöohtana oleva pste P on tällön In[13]:= nump = P ê. luuarvot Out[13]= , < Prtämstä varten muodostetaan suorlle PA ja PB x-muotoset htälöt elmnomalla vetorestsestä parametr: In[14]:= Out[14]= In[15]:= Out[15]= PAx = Elmnate@PA, ud p+ a q Cos@tD p Sn@tD == qx PBx = Elmnate@PB, ud q + a p Cos@tD + q Sn@tD == px Tämän jäleen vodaan prtää tse uva: In[16]:= uva1 = ImplctPlot@ Evaluate@8ellps, PAx, PBx, AB< ê. luuarvotd, 8x, 5, 5<, 8, 5, 5<D Out[16]= Graphcs Fréger'n lause vättää, että suora AB ulee ana saman psteen autta rppumatta ohtsuoren suoren asennosta. Ehdoaspsteen lötämses vodaan suorttaaa edellä oleva lasu sten, että suoren PA ja PB suunnat ovat erlaset (mutta edelleen tosaan vastaan ohtsuorat), jollon saadaan jon tonen suora AB. Ehdoaspste on tällön uuden ja vanhan suoran AB leauspste. Uudet suuntavetort oloot r,s} ja -s,r}.uus hpotenuusasuora saadaan hvn snertasest: orvataan aemmassa suorassa AB vanhat suuntavetorn omponentt uuslla:

5 freger.n 5 In[17]:= AB = AB ê. 8p > r, q > s< Out[17]= H arscos@td + H r aslhr+ asl Sn@tDL r + a s == j jx a HH r + a s L Cos@tD arssn@tdl r + a s H arscos@td + H r aslhr+ asl Sn@tDL j r + a s + H arscos@td + H a r + s L Sn@tDL a r + s ì j a HH r + a s L Cos@tD arssn@tdl r + a s + a HHa r slhar+ sl Cos@tD + arssn@tdl a r + s Tämän jäleen vodaan ratasta uuden ja vanhan suoran AB leauspste. Tulos sevennetään. In[18]:= Out[18]= rat = Solve@8AB, AB<, 8x, <D 99x j j a HH p + a q L Cos@tD apqsn@tdl a HHa p qlhap+ ql Cos@tD + apqsn@tdl H apqcos@td + H p aqlhp+ aql Sn@tDL ja HH p + a q L Cos@tD apqsn@tdl H apqcos@td + H p aqlhp+ aql Sn@tDL j H apqcos@td + H L Sn@tDL ì jh p + a q L j a HH p + a q L Cos@tD apqsn@tdl a HHa p qlhap+ ql Cos@tD + apqsn@tdl ì H apqcos@td + H p aqlhp+ aql Sn@tDL H apqcos@td + H L Sn@tDL j j a HH p + a q L Cos@tD apqsn@tdl a HHa p qlhap+ ql Cos@tD + apqsn@tdl j j H arscos@td + H r aslhr+ asl Sn@tDL r + a s + H arscos@td + H a r + s L Sn@tDL a r + s H apqcos@td + H p aqlhp+ aql Sn@tDL ja HH p + a q L Cos@tD apqsn@tdl H apqcos@td + H p aqlhp+ aql Sn@tDL j

6 6 freger.n H apqcos@td + H L Sn@tDL ì jh p + a q L j a HH p + a q L Cos@tD apqsn@tdl a HHa p qlhap+ ql Cos@tD + apqsn@tdl ì j a HH r + a s L Cos@tD arssn@tdl r + a s + a HHa r slhar+ sl Cos@tD + arssn@tdl a r + s j H apqcos@td + H p aqlhp+ aql Sn@tDL j H apqcos@td + H L Sn@tDL H arscos@td + H r aslhr+ asl Sn@tDL j r + a s + ja HH r + a s L Cos@tD arssn@tdl H arscos@td + H r aslhr+ asl Sn@tDL j r + a s + H arscos@td + H a r + s L Sn@tDL a r + s ì jh r + a s L j a HH r + a s L Cos@tD arssn@tdl r + a s + a HHa r slhar+ sl Cos@tD + arssn@tdl a r + s ì j a HH p + a q L Cos@tD apqsn@tdl a HHa p qlhap+ ql Cos@tD + apqsn@tdl ì j H apqcos@td + H p aqlhp+ aql Sn@tDL j H apqcos@td + H L Sn@tDL j H apqcos@td+hp aqlhp+aqlsn@tdl p +a q + HapqCos@tD+H a p + q L Sn@tDL a p + q a + HH p +a q L Cos@tD apqsn@tdl a HHap qlhap+ql Cos@tD+apqSn@tDL p +a q + a p + q H arscos@td+hr aslhr+asl Sn@tDL r +a s + HarsCos@tD+H a r + s L Sn@tDL a r + s a HH r +a s L Cos@tD arssn@tdl a HHar slhar+sl Cos@tD+arsSn@tDL r +a s +, a r + s j j H arscos@td + H r aslhr+ asl Sn@tDL r + a s + H arscos@td + H a r + s L Sn@tDL a r + s H apqcos@td + H p aqlhp+ aql Sn@tDL ja HH p + a q L Cos@tD apqsn@tdl H apqcos@td + H p aqlhp+ aql Sn@tDL j H apqcos@td + H L Sn@tDL ì

7 freger.n 7 jh p + a q L j a HH p + a q L Cos@tD apqsn@tdl a HHa p qlhap+ ql Cos@tD + apqsn@tdl ì j a HH r + a s L Cos@tD arssn@tdl r + a s + a HHa r slhar+ sl Cos@tD + arssn@tdl a r + s j H apqcos@td + H p aqlhp+ aql Sn@tDL j H apqcos@td + H L Sn@tDL H arscos@td + H r aslhr+ asl Sn@tDL j r + a s + ja HH r + a s L Cos@tD arssn@tdl H arscos@td + H r aslhr+ asl Sn@tDL j r + a s + H arscos@td + H a r + s L Sn@tDL a r + s ì jh r + a s L j a HH r + a s L Cos@tD arssn@tdl r + a s + a HHa r slhar+ sl Cos@tD + arssn@tdl a r + s ì j a HH p + a q L Cos@tD apqsn@tdl a HHa p qlhap+ ql Cos@tD + apqsn@tdl ì j H apqcos@td+hp aqlhp+aql Sn@tDL p +a q + HapqCos@tD+H a p + q L Sn@tDL a p + q a + HH p +a q L Cos@tD apqsn@tdl a HHap qlhap+ql Cos@tD+apqSn@tDL p +a q + a p + q H arscos@td+hr aslhr+asl Sn@tDL r +a s + HarsCos@tD+H a r + s L Sn@tDL a r + s a HH r +a s L Cos@tD arssn@tdl a HHar slhar+slcos@td+arssn@tdl r +a s + == a r + s In[19]:= Out[19]= Q = 8x, < ê. rat@@1dd êê Smplf 9 a Ha L Cos@tD a +, H a + L Sn@tD a + = Seventämättömänä tulos monmutanen, mutta se sevenee llättäen sangen snertaseen muotoon. Lopputulos nättää lsäs olevan rppumaton suuntavetoreden omponentesta p, q, r ja s. Mutta tämä mertsee, että Fréger n lause on tullut todstetus: On lötnt ahdella ehdoaspste, joa e rpu lähtöohtana ollesta suuntavetoresta; se ss sjatsee suoralla AB valttnpa suuntavetort mten tahansa! Ratasu e luonnollsestaan mene edellä estetllä tavalla, jos p = r ja q = s. Tätä e lasussa ole mtenään suljettu pos. Mathematca utenn ästtelee tällasessa tlanteessa ns. geneerstä tapausta, ts. tapausta, mssä mtään rajottava erosehtoja e valltse. Itse asassa oletetaan ss p r, q s. Luja mettöön, mstä seuraa, että lödett pste on psteen P autta ulevalla ellpsn normaallla. Avan lopussa oleva anmaato antanee anan vttetä. Esmertapausessa ehdoaspste on

8 8 freger.n In[0]:= Out[0]= numq = Q ê. luuarvot , < Tlanteesta saadaan havannollsemp uva prtämällä as esenään ohtsuoraa suorapara, nätä vastaavat suorat AB ja leauspste: In[1]:= luuarvot = 8a > 3, >, t > 1., p > 3, q > 1< Out[1]= 8a 3,, t 1., p 3, q 1< In[]:= uva = ImplctPlot@Evaluate@8ellps, PAx, PBx, AB< ê. luuarvotd, 8x, 5, 5<, 8, 5, 5<, DsplaFuncton IdenttD; Show@uva1, uva, Graphcs@8PontSe@0.03D, Pont@numPD, Pont@numQD<DD Out[3]= Graphcs Anmaato Tlannetta vodaan havannollstaa mös anmaatolla:

9 freger.n 9 In[4]:= Tale@ Show@Graphcs@8ImplctPlot@Evaluate@8ellps, PAx, PBx, AB< ê. 8a > 3, >, t > 1., p > Cos@wD, q > Sn@wD<D, 8x, 5, 5<, 8, 5, 5<, DsplaFuncton > IdenttD@@1DD, 8PontSe@0.03D, Pont@numPD, Pont@numQD<<, PlotRange > 88 5, 5<, 8 5, 5<<D, DsplaFuncton > $DsplaFuncton, AspectRato > 1D, 8w, 0, P ê, P ê 48<D Anmaato Harjotustehtävä 1) Osota, että pste Q sjatsee psteeseen P asetetulla ellpsn normaallla. ) Psteen Q sjant rppuu psteen P sjannsta ellpsllä. Tut, mllasen ärän pste Q prtää, un pste P ertää oo ellpsn. 3) Todsta Fréger'n lause paraaeltapausessa.