Tiedekunta/Osasto Fakultet/Sektion Faculty. Laitos/Institution Department. Matemaattis-luonnontieteellinen tiedekunta Tekijä/Författare Author

Transkriptio

1 Tiedekuna/Osaso Fakule/Sekion Faculy Maemaais-luonnonieeellinen iedekuna Tekijä/Förfaare Auhor Laios/Insiuion Deparmen Maemaiikan ja ilasoieeen laios Tommi Hyvärinen Työn nimi / Arbees iel Tile Burgersin yhälö ja Lax-Oleinikin kaava Oppiaine /Läroämne Subjec Maemaiikka Sovelava analyysi Työn laji/arbees ar Level Aika/Daum Monh and year Sivumäärä/ Sidoanal Number of pages Pro gradu -ukielma Tiiviselmä/Refera Absrac Tukielmassani käsiellään Burgersin yhälön nimellä unneua kvasilineaarisa osiaisdiffereniaaliyhälöä, sekä paneuduaan osiaisdiffereniaaliyhälöiden eoriaan yleisemmin. Fyysikko Johannes Marinus Burgersin mukaan nimeyllä yhälöllä voidaan kuvaa häiriöiden eenemisä fluideissa, ja siä voidaan sovelaa myös vaikkapa liikenneruuhkien kehiymisen analysoiniin. Burgersin yhälö on esimerkki yleisemmäsä säilymislaisa. Maemaaisessa fysiikassa säilymislakien mukaan eriseyssä syseemissä vuorovaikuusapahumissa ieyjen suureiden kokonaismäärä pysyvä muuumaomina. Tunneuin esimerkki säilymislakeihin liiyen on Noeherin lause, jonka mukaan suurella on vasaavuus ieyn syseemin symmeriaominaisuuden kanssa. Esimerkiksi nesedynamiikan Navier-Sokesin yhälö on esimerkki epähomogeenisesa versiosa säilymislakia. Tukimukseni alussa esiellään Hamilon-Jakobin yhälö, sekä sivuaan variaaiolaskenaa, Legendren muunnosa ja Euler-Lagrangen yhälöiä. Näyeään, mien anneu osiaisdiffereniaaliyhälö voidaan samaisaa karakerisiseen yhälöryhmään, joka koosuu avallisisa differeniaaliyhälöisä. Karakerisinen yhälöryhmä johdeaan kvasilineaarisen osiaisdiffereniaaliyhälön apauksessa ja sille anneaan geomerinen ulkina. Ensimmäisen luvun lopussa Hamilon-Jacobin yhälö rakaisaan Hopf-Lax kaavan avulla. Toisessa ja kolmannessa luvussa esiellään Burgersin yhälö ja rakaisaan se karakerisisen yhälöryhmän avulla. Saau rakaisu ei kuienkaan päde kaikkialla, vaan apauksissa, joissa karakerisise käyrä kohaava ("shokkikäyrä"), Burgersin yhälön rakaisu vaaii rakaisufunkion ehojen heikenämisä ja ingraalirakaisun määrielemisä. Rankine-Hugonio-eho johdeaan ja sen avulla voidaan löyää rakaisuja ilaneessa, jossa karakerisise käyrä leikkaava. Esielen myös enropia-ehdon, jonka avulla karsiaan 'epäfysikaalise' rakaisu pois ja äen saadaan yksikäsieinen ja yleinen rakaisu Burgersin yhälölle. Lopuksi odisan Lax-Oleinikin kaavan, joka anaa rakaisun yleisemmälle ongelmalle. Lopuksi älle rakaisulle rääälöidään enropia-eho, joa siiä saadaan yksikäsieinen. Avainsana Nyckelord Keywords osiaisdiffereniaaliyhälö, Burgersin yhälö, shokkikäyrä, Lax-Oleinikin kaava Säilyyspaikka Förvaringsälle Where deposied Kumpulan iedekirjaso Muia ieoja Övriga uppgifer Addiional informaion

2 Burgersin yhälö ja Lax-Oleinikin kaava Tommi Hyvärinen 27. marraskuua 215 1

3 Sisälö I Johdano 3 II Esiieoja 5 1 Hamilon-Jacobin yhälösä Kvasilineaarisen yhälön rakaisu Karakerisinen yhälöryhmä Alkuehdo ja lokaali yksikäsieinen rakeavuus Variaaiolaskenaa ja Euler-Lagrange yhälö Lipschiz-jakuvuus ja Legendren muunnos Hopf-Lax rakaisu III Burgersin yhälö ja Lax-Oleinikin kaava 27 2 Johdaus Burgersin yhälölle Rankine-Hugonio-eho Burgersin yhälö Shokkikäyrä ja enropia-eho Lax-Oleinikin kaava Johdaus Lax-oleinikin kaavaan Lax-Oleinikin kaava ja sen odisus Lax-Oleinikin kaavan sovelaminen Burgersin yhälöön Lisää enropia-ehdosa

4 Osa I Johdano Graduni käsielee Burgersin yhälön nimellä unneua kvasilineaarisa yhälöä, joka on muooa u + uu x =, sekä yleisempää ongelmaa u + F (u) x = alkuehdolla kun = niin u = g. Burgersin yhälö kuuluu epälineaarisiin osiaisdiereniaaliyhälöihin, joen gradussani ulen myös paneuumaan osiaisdiereniaaliyhälöiden eoriaan yleisemmin. Pääasiallisena läheenäni käyän Lawrence C. Evansin kirjaa Parial Dierenial Equaions, 21. Evans painoaa osiaisdiereniaaliyhälöiden ukimisa yleisessä avaruudessa R n, kun usea oppikirja yyyvä pysyelemään kahdessa ulouvuudessa. Myös noaaion osala ulen pikäli noudaamaan Evanssin esimerkkiä. Vaadiava esiiedo käydään läpi ensimmäisessä luvussa. Evanssin mukainen noaaio esiellään, sekä anneaan muuamien peruskäsieiden määrielmä. Ensimmäisessä luvussa keskiyään Hamilon-Jakobin yhälöihin. Myös variaaiolaskenaa, Legendren muunnosa ja Euler-Lagrangen yhälöiä sivuaan, sekä esiellään mien anneu osiaisdiereniaaliyhälö voidaan samaisaa karakerisiseen yhälöryhmään, joka koosuu avallisisa diereniaaliyhälöisä. Karakerisinen yhälöryhmä johdeaan kvasilineaarisen osiaisdiereniaaliyhälön apauksessa ja sille anneaan geomerinen ulkina. Tää käyeään hyväksi ensimmäisessä luvussa näyämällä, eä Hopf-Lax kaava rakaisee Hamilon- Jacobin yhälön. Burgersin yhälö esiellään luvussa kaksi ja se rakaisaan karakerisisen yhälörymän avulla. Saau rakaisu ei kuienkaan päde kaikkialla, vaan apauksissa, joissa karakerisise käyrä kohaava, Burgersin yhälön rakaisu vaaii rakaisufunkion u ehojen heikenämisä. Luku kaksi keskiyykin ingraalirakaisun määrielemiseen ja Rankine-Hugonioehdon johamiseen. Näiden avulla saadaan yökalu Burgersin yhälön rakaisuun yleisemmässä apauksessa, eli kun karakerisise käyrä kohaava ja muodosava 'shokkikäyrän'. Luvun lopussa esiellään enropia-eho, jonka avulla karsiaan 'epäfysikaalise' rakaisu pois ja äen löydeään yksikäsieinen rakaisu Burgersin yhälölle. Viimeisessä luvussa odiseaan Lax-Oleinikin kaava, joka anaa rakaisun yleiselle ongelmalle u + F (u) x = ja rääälöidään enropia-eho kyseiselle rakaisulle, joa siiä saadaan yksikäsieinen. Burgersin yhälö on esimerkki yleisemmäsä säilymislaisa, joka on muooa u + F (u)u x =. Maemaaisessa fysiikassa säilymislakien mukaan eriseyssä syseemissä vuorovaikuusapahumissa ieyjen suureiden kokonaismäärä pysyvä muuumaomina. Tunneuin esimerkki säilymislakeihin liiyen on Noeherin lause, jonka mukaan suurella on vasaavuus ieyn syseemin symmeriaominaisuuden kanssa. Esimerkiksi energiansäilymislaki seuraa syseemin aikariippumaomuudesa ja liikemäärän säilymislaki on seurausa paikkariippumaomuudesa. Navier-Sokesin yhälö on esimerkki epähomogeenisesa versiosa säilymislakia [4] [5]. 3

5 Burgersin yhälö on prooyyppi yhälösä, joka voi kehiää epäjakuvuuksia, eli shokkikäyriä. Shokkikäyriä ei pysyä maemaaisesi arkaselemaan 'klassisilla' yhälönrakaisumeneelmillä, sen sijaan yleiseyillä funkioilla ämä onnisuu (luku 3). Yleiseyihin funkioihin jouduaan urvauumaan, koska shokkiaallo ilmenyvä äkillisinä epäjakuvuuksina, ja fysikaalisessa mielessä shokkiaalo onkin eenevä häiriö väliaineessa, kuen vaikkapa äänä nopeammin liikkuva aalo ilmassa [7]. Kuvassa on mallinneu Burgersin yhälöä kahdessa ulouvuudessa ja 'shokin' muodosumissa ajan kuluessa [6]. 4

6 Osa II Esiieoja 1 Hamilon-Jacobin yhälösä Tässä luvussa haluamme löyää yleiselle ensimmäisen aseen osiaisdiereniaalyhälölle karakerisisen yhälöryhmän ja käyää ää rakaisun löyämiseksi Hamilon-Jacobin yhälölle. Karakerisinen yhälöryhmä koosuu avallisisa osiaisdiereniaaliyhälöisä [1] [4]. Hamilon-Jacobin yhälö on muooa u + H(Du) = u = g (x, ) R n (, ) (x, ) R n = } Tässä u(x, ) : R n (, ) R on unemaon ja Hamilonin funkio H : R n R sekä g : R n R ova anneuja. Aloieaan arkaselemalla seuraavaa yhälöä: F (Du, u, x) =, jossa x U ja U on joukon R n avoin osajoukko. Tässä F : R n R U R on anneu ja u : U R on unemaon funkio u = u(x). Oleeaan edelleen alkueho u = g joukossa Γ U, missä Γ ja g : Γ R ova anneuja. Oleeaan myös, eä F ja g sileiä, eli niiden jokaisen keraluvun derivaaa on olemassa ja se on jakuva. Voidaan määriellä, eä funkio on sileä joukossa A R n, jos se on sileä joukon A sisäpiseissä. 1.1 Kvasilineaarisen yhälön rakaisu Aloieaan esimällä rakaisu ensimmmäisen aseen kvasilineaariselle osiaisdiffereniaaliyhälölle. Yhälö on kvasilineaarinen, kun se on muooa F (Du, u, x) = b(x, u(x)) Du(x) + c(x, u(x)) =. Anneaan älle ensin geomerinen ulkina ja oleeaan, eä u C 1 (U) on rakaisu. Pinaa z = u(x) kohisuorassa oleva normaali piseessä (x, u(x)) on muooa n(x) := (Du(x), 1). Tarkasellaan ny vekorikenää (x, z) := (b(x, z), c(x, z)) R n+1 ja huomaamme, eä (x, u(x)) n(x) = b(x, u(x)) Du(x) + c(x, u(x)) =. (1) 5

7 Eli ongelma voidaan muooilla seuraavasi: Esi pina, jonka normaali on kaikkialla orogonaalinen vekorikenälle (x, u(x)). Kuva: Karakerisinen käyrä γ avaruudessa R 3. Olkoo γ : I R n+1 derivoiuva käyrä, γ(s) := (x(s), z(s)) ja I R yhenäinen väli. Käyrä on angeniliaalinen vekorikenälle, jos γ (s) = (γ(s)). Komponeneiain yhälö voidaan ilmaisa seuraavasi: ẋ 1 (s) = b 1 (x(s), z(s)).. ẋ n (s) = b n (x(s), z(s)) ż(s) = c(x(s), z(s)) Tämän yhälöryhmän avulla voimme rakaisa anneun kvasilineaarisen osiaisdiereniaaliyhälön (esimerkkinä kaso kappale 2.2). Olkoon x R n ja z R ksauja. Tällöin vaadimme arvola I, eä päee x( ) = x z( ) = z. Okoon funkio b Lipschiz-jakuva kaikkien muuujien suheen. Tällöin piseen ympärillä on olemassa yksikäsieinen rakaisu kvasilineaariselle osiaisdiffereniaaliyhälölle, mikä seuraa suoraan lokaalisa olemassaolo- ja yksikäsieisyyslauseesa avallisille diereniaaliyhälöille. 1.2 Karakerisinen yhälöryhmä Tarkasellaan ny yleisempää apausa, kuin edellisessä kappalessa. Tarkoiuksena on löyää karakerisinen yhälöryhmä, joka muunaa osiaisdiereniaaliyhälön F (Du, u, x) = yhälöryhmäksi, joka koosuu avallisisa diereniaaliyhälöisä. Ideana on arkasella käyrää, joka kulkee joukossa U ja saa sen reunalla arvon x. Tavoieena on pysyä laskemaan u ää käyrää pikin. Tarkasellaan 6

8 ny luvun alussa määrielyä yleisä epälineaarisa ensimmäisen aseen osiaisdiereniaaliyhälöä F (Du, u, x) =, (x U) ja rajalla u = g. Paramerisoidaan kyseinen käyrä seuraavasi: x(s) := (x 1 (s),..., x n (s)) sien, eä parameri s kuuluu jollekin inervallille I R. Oleeaan, eä u rakaisee ylläesieyn osiaisdiereniaaliyhälön ja määriellään: z(s) := u(x(s)) p(s) := Du(x(s)), eli p(s) = (p 1 (s),..., p n (s)), jossa p i (s) = u xi (x(s)) ja i = (1,..., n). Voimme kirjoiaa yhälölle ekvivalenin yhälöryhmän: (a) (b) (c) ṗ(s) = D x F (p(s), z(s), x(s)) D z F (p(s), z(s), x(s))p(s) ż(s) = D p F (p(s), z(s), x(s)) p(s) ẋ(s) = D p F (p(s), z(s), x(s)) (2) Ja edelleen F (p(s), z(s), x(s)) kun s I. Yllä esieyssä yhälöryhmässä on siis 2n + 1 avallisa diereniaaliyhälöä. Funkioia x( ) ja p( ) kusuaan karakerisisiksi funkioiksi, ja varsinkin funkioon x( ) = (x 1 ( ),..., x n ( )) ullaan luvuissa kaksi ja kolme viiaamaan projekoiuna karakerisisena käyränä. Yhälöryhmän johaminen sivuueaan. Ny voimme arkisaa kappaleessa 1.1 saadun, geomerisen ulkinnan avulla rakaisun kvasilineaarisen apauksen käyämällä hyväksi yllä johdeua yleisen karakerisisen yhälöryhmän kaavaa: Käyämällä kappaleessa 1.1 käyeyä merkinää, yhälö F (Du, u, x) = muunuu muooon F (p, z, x) = b(x, z) p + c(x, z) =. Täen D p F = b(x, z). Karakerisisen yhälöryhmän (2) yhälö (b) ja (c) muunuva muooon: ż(s) = b(x(s), z(s)) p(s) = c(x(s), z(s)) ẋ(s) = b(x(s), z(s)) Emme siis arvise kolmaa yhälöä. Tulos on siis sama kaavaan sijoiaessa. Siirrymme käyämään karakerisisa yhälöryhmää (2) Hamilon-Jacobin yhälöön: Merkiään G(Du, u, u, x, ) := u + H(Du, x) =, jossa Du = D x u = (u x1,..., u x1 ). Muuujasa pääsemme eroon oamalla se (n + 1):ksi muuujaksi ja aseamalla q = (p, p n+1 ) ja y = (x, ). Siispä G(q, z, y) = p n+1 + H(p, x) = (3) 7

9 Laskeaan edelleen D q G = (D p H(p, x), 1) D y G = (D x H(p, x), ) D z G = Miellämme paramerin s ajaksi. Yhälö (2a) ulee muooon ṗ i (s) = H xi (p(s), x(s)) (i = 1,..., n) ṗ n+1 (s) = Yhälö (2b) ulee kaavan (3) nojalla muooon ż(s) = D p H(p(s), x(s)) p(s) + p n+1 (s) = D p H(p(s), x(s)) p(s) H(p(s), x(s)). Yhälö (2c) ulee muooon ẋ i (s) = H p (p(s), x(s)) ẋ n+1 (s) = 1. Siis kokonaisuudessaan (a) (b) (c) (i = 1,..., n) ṗ(s) = D x H(p(s), x(s)) ż(s) = D p H(p(s), x(s)) p(s) H(p(s), x(s)) ẋ(s) = D p H(p(s), x(s)) Yhälö (b) huomaaan riviaaliksi, koska se riippuu ainoasaan vekoreisa p(s) ja x(s), eikä z(s) esiinny yhälöissä (a) ai (c). Funkio z(s) saadaan siis selville inegroimalla, kunhan p(s) ja x(s) ova selvillä. Jäämälle yhälön (b) pois, voimme määriellä Hamilonin yhälöiksi kusuun yhälöryhmän seuraavasi: ẋ = D p H(p, x) ṗ = D x H(p, x). 1.3 Alkuehdo ja lokaali yksikäsieinen rakeavuus Tukiaan seuraavaksi, mien karakerisinen yhälöryhmä (2) auaa rakaisemaan luvun alussa anneun alkuarvo-ongelman F (Du, u, x) = joukossa U R n alkuehdolla u = g joukossa Γ U, 8

10 missä g ja F ova sileiä. [1] (i) Tarkaselun helpoamiseksi vaihdeaan ensin muuujia sien, eä suoriseaan osa reunasa U lähellä piseä x U. Oleeaan unneuksi, eä on olemassa sileä funkio η, θ : R R sien, eä η = θ 1 ja θ suorisaa reunan U lähellä piseä x. Kuva: Reunan suorisus Tarkalleenoaen määriellään y i = x i =: θ i (x) y n = x n γ(x 1,..., x n 1 ) =: θ n (x) (i = 1,..., n 1), missä γ : R n 1 R on reunan U paramerisoini ksaun piseen x U läheisyydessä. Voimme siis kirjoiaa y = θ(x). Samoin x i = y i =: η i (x) x n = y n + γ(y 1,..., y n 1 ) =: θ n (y) (i = 1,..., n 1),. eli y = θ(x). Olkoon u : U R anneu ja oleeaan, eä se rakaisee yhälön F (Du, u, x) = Määriellään V := θ(u) ja aseeaan v(y) := u(η(y)) (y V ). Tällöin u(x) := v(θ(x)) (x V ). Ny kejusäännön nojalla Du(x) = Dv(y)Dθ(x), eli F (Du(x), u(x), x) = F (Dv(y)Dθ(η(y)), v(y), η(y)) =. Yhälö on muooa G(Dv(y), v(y), y) = joukossa V. 9

11 Lisäksi missä := θ(γ) ja h(y) := g(η(y)). v = h joukossa Γ, Yhälö on siis samaa muooa kuin alussakin, joen reunan suorisaminen ei olennaisesi muua ilannea. Täen voimmekin oleaa vasedes, eä joukko Γ lähellä anneua piseä x Γ kuuluu asoon x n = }. (ii) Olkoon p() = p, z() = z, x() = x Ny jos käyrä x( ) kulkee piseen x kaua, niin vaadimme, eä z = g(x ). Reunalla u = g, joen reunan läheisyydessä voimme vaaia u xi (x ) = g xi (x ) (i = 1,..., n 1) Yksinkeraisesi sijoiamalla alkuperäiseen osiaisdiereniaaliyhälöön, saamme yheensopivuusehdoiksi kusuun yhälöryhmän: z = g(x ) p i = g x i (x ) (i = 1,..., n 1) F (p, z x ) = Kolmikkoa (p, z x ) R 2n+1, joka oeuaa yheensopivuusehdo, kusuaan kelvolliseksi. (iii) Oleeaan, eä kolmikko (p, z x ) on kelvollinen ja x Γ on piseen x läheisyydessä aso x n = }. Tarkasellaan piseen x läheisyydessä olevaa piseä y Γ. Tarkoiuksenamme on rakaisa karakerisinen yhälöryhmä (2) piseen y läheisyydessä alkuehdoilla p() = q(y), z() = g(y), x() = y. Löyämme kelvollisen kolmikon (q(y), g(y), y) sien, eä funkio q( ) = (q 1 ( ),..., q n ( )) oeuaa ehdon q(x ) = p, kunhan vain F pn (p, z x ). Tällöin kusumme kelvollisa kolmikkoa (p, z x ) epäkarakerisiseksi (vasedes oleamme ämän). Olkoon s R ja merkiään p(s) = p(y, s) = p(y 1,..., y n 1, s) z(s) = z(y, s) = z(y 1,..., y n 1, s) x(s) = x(y, s) = x(y 1,..., y n 1, s) 1

12 Kääneisfunkiolauseen nojalla voimme johaa lauseen, jonka mukaan on olemassa avoin nollan sisälävä jana I R, piseen x ympärisö W R n 1, sekä piseen x ympärisö V R n sien, eä jokaiselle x V on olemassa yksikäsieinen s I ja y W sien, eä x = x(y, s). Täen voimme lokaalisi ja yksikäsieisesi rakaisa yhälön x = x(y, s) y = y(x), s = s(x) Lopula voimme siis määriellä: u(x) := z(y(x), s(x)) p(x) := p(y(x), s(x)) (x V ) Näillä iedoilla voimme viimein sioa yheen karakerisisen yhälöryhmän rakaisun kappaleen alussa esieyn alkuarvoehävän rakaisuun. Lause (Lokaali olemassaolo) 1.1: Yllä määriely funkio u kuuluu joukkoon C 2 ja se rakaisee alkuarvoehävän F (Du(x), u(x), x) = (x V ) alkuehdolla u(x) = g(x) (x Γ V ). Todisus: (i) Olkoon y Γ lähellä piseä x. Oleeaan, eä yllämäärielly yhälö p(s) = p(y, s) z(s) = z(y, s) x(s) = x(y, s) rakaiseva karakerisisen yhälöryhmän. (ii) Väiämme, eä jos y Γ on arpeeksi lähellä piseä x, niin f(y, s) := F (p(y, s), z(y, s), x(y, s)) =. Nähdäksemme ämän, voimme odea, eä yheensopivuusehdon nojalla päee f(y, ) = F (q(y), g(y), y) =. Lisäksi karakerisisen yhälöryhmän (2) nojalla f s (y, s) = n F pj ṗ j + F z ż + j=1 11 n F xj ẋ j j=1

13 n n = F pj ( F xj F z p j ) + F z F pj ṗ j j=1 + n F xj (F p j ) j=1 =. j=1 Yllä ehdy arkaselu osoiava, eä f(y, s) =. (iii) Ny siis F (p(x), u(x), x) =, joen jää ehäväksi osoiaa p(x) = Du(x). Käyämällä karakerisisa yhälöryhmää ja yheensopivuusehoa, voidaan johaa seuraava kaava: z s (y, s) = n p j (y, s)x i s(y, s) j=1 ja Vihdoin z yi (y, s) = = = = n p j (y, s)x i y i (y, s). (i = 1,..., n 1) j=1 n 1 u xj = z s s xj + z yj yx i j n k=1 n k=1 n p k x k x j = k=1 i=1 n 1 p k x k ss xj + i=1 k=1 n 1 p (x k k ss xj + n p k x k y i yx i j i=1 x k y i y i x j ) n p k δ jk = p j (j = 1,..., n). k=1 12

14 1.4 Variaaiolaskenaa ja Euler-Lagrange yhälö Olkoon L : R n R n R sileä funkio, joa kusumme vasedes Lagrangen funkioksi. Merkiään L = L(v, x) = L(v 1,..., v n, x 1,..., x n ), sekä D v L = (L v1,..., L vn ) ja D x L = (L x1,..., L xn ). Määrielmä 1.2: Olkoon pisee x, y R n ja > anneuja. Määrielemme oiminafunkionaalin kaavalla I[w( )] := ˆ jossa w( ) = (w 1 ( ),..., w n ( )) kuuluu luokkaan L(ẇ(s), w(s))ds, (4) F := w( ) C 2 ([, ]); R n w() = y, w() = x }. Perusavanlaauinen avoie variaaiolaskennassa on löyää käyrä x( ) F sien, eä I[x( )] = min I[w( )]. (5) w( ) F Siis esimme funkioa x( ), joka minimoi funkionaalin I[ ] kaikisa mahdollisisa kandiaaeisa w( ) F. Lause 1.3 (Euler-Lagrange yhälö): Kaavan (5) määrielemä funkio x : R n R rakaisee yhälöryhmän d ds [D vl(ẋ(s), x(s))] + D x L(ẋ(s), x(s)) = ( s ). Todisus: (i) Valiaan sileä funkio y : [, ] R n, y( ) = (y 1 ( ),..., y n ( )) sien, eä y() = y() =. Olkoon τ R ja määriellään w( ) := x( ) + τy( ). Tällöin w( ) F, joen I[x( )] I[w( )]. Täen funkiolla i(τ) := I[x( ) + τy( )] on minimi kohdassa τ = ja äsä johuen derivaaa τ :n suheen anaa meille i () =, mikäli i () on olemassa. (ii) Laskeaan i origossa: Kaavan (4) nojalla joen i (τ) = i(τ) = ˆ ˆ L(ẋ(s) + τẏ(s), x(s) + τy(s))ds, Lvi (ẋ(s) + τẏ(s)), x(s) + τy(s))ẏ i (s) 13

15 Aseeaan τ = niin saamme +L xi (ẋ(s) + τẏ(s)), x(s) + τy(s))y i (s)ds = i () = ˆ Lvi (ẋ, x)ẏ i + L xi (ẋ, x)y i ds Siirreään inegraali summan sisälle ja muiseaan alussa ehy oleus y() = y() = : n ˆ ( = d ) ds L v i (ẋ, x) + L xi (ẋ, x) y i ds. i= Tämä päee kaikille sileille funkioille y( ), joka oeuava ehdon y() = y() =. Siis kun s, päee d ds [L v i (ẋ, x) + L xi (ẋ, x)] = (i =,..., n). Väie on siis osoieu. HUOM: On mahdollisa, eä x( ) F rakaisee Euler-Lagrangen yhälön ilman, eä se oeuaa yhälön (5) (eli ilman, eä se minimoi funkionaalin I[ ]). Käyrää x( ), joka rakasee Euler-Lagrangen yhälön, kusumme funkionaalin I[ ] kriiiseksi piseeksi. Esimerkkinä ällaisesa on yksinkerainen ilanne, jossa n = 1, L(ẇ(s), w(s)) = w(s). Ny olkoon x(s) := x y s + y, eli suora käyrä piseiden x ja y välillä. Näemme, eä ny x( ) oeuaa Euler-Lagrangen yhälön: d ds [L v(ẋ(s), x(s)) + L x (ẋ(s), x(s))] = d [ + 1] =. ds Kuienkin on selvää, eä x(s) ei minimoi inegraalia L(ẇ(s), w(s))ds = w(s)ds. Laskeaan ˆ ˆ ( x y x(s)ds = s + y ds = y + x ) y. 2 Aina voidaan löyää funkio w(s) sien, eä w F ja w(s)ds < (y + x y 2 ). Esimerkiksi mikä ahansa funkio f, joka on kupera välillä [, ], sekä f() = y ja f() = x. Määrielmä 1.4: Lagrangen funkioon liiyy Hamilonin funkio, joka määriellään H(p, x) := p v(p, x) L(v(p, x), x), (p, x R) (6) jossa p(s) := D v L(ẋ(s), x(s)) ( s ) 14

16 ja v = v(p, x) on yhälön p = D v L(v, x) yksikäsieinen sileä rakaisu, oleaen, eä ällainen v on olemassa. Seuraavassa kappaleessa iukennamme Lagrangen ja Hamilonin funkioiden ehoja sien, eä pysymme osoiamaan funkion v olemassaolon. Seuraavaksi kirjoiamme Euler-Lagrangen yhälö 2n avallisisa ensimmäisen aseen yhälöisä koosuvana Hamilonin yhälöryhmänä. Lause 1.5: Olkoon funkio x kaavan (5) määrielemä ja p yllämääriely p(s) := D v L(ẋ(s), x(s)). Tällöin funkio x ja p oeuava Hamilonin yhälöryhmän: ẋ(s) = D p H(p(s), x(s)) ṗ(s) = D x H(p(s), x(s)), lisäksi kuvaus s H(p(s), x(s)) on vakio. Todisus: Tässä siis x( ) = (x 1 ( ),..., x n ( )) ja p( ) = (p 1 ( ),..., p n ( )) = D v L(ẋ(s), x(s)), sekä ẋ( ) = v(p( ), x( )) = (v 1 ( ),..., v n ( )). Laskeaan kaikille i = 1,..., n H xi (p, x) = ja n p k vx k i (p, x) L vk v((p, x), x)vx k i (p, x) L xi v((p, x), x) = L xi (q, x) k=1 H pi (p, x) = v i (p, x) + n p k vx k i (p, x) L vk v((p, x), x)vp k i (p, x) = v i (p, x) k=1 määrielmän 1.4 nojalla. Täen ja edelleen H pi (p(s), x(s)) = v i (p(s), x(s)) = ẋ i (s) H xi (p(s), x(s)) = L xk v((p(s), x(s)), x(s)) = L xi (ẋ(s), x(s)) = d ds L v i (ẋ(s), x(s)) Lopuksi huomaaan = ṗ i (s). = d n H(p, x) = ds H pi (p, x)ṗ i + H xi (p, x)ẋ i k=1 n H pi (p, x)( H xi (p, x)) + H xi (p, x)h pi (p, x) = k=1 15

17 Hamilonin ja Lagrangen yhälö nouseva esille klassisessa mekaniikassa, jossa Hamilonin yhälö kuvaa syseemin kokonaisenergiaa ja Lagrangen yhälö kuvaa kineeisen energian ja poeniaalienergian erousa. 1.5 Lipschiz-jakuvuus ja Legendren muunnos Lipschiz-jakuvuua arvisemme Lax-Oleinikin kaavan odisuksessa. Määrielmä 1.5: Funkio f : R R on Lipschiz-jakuva, jos on olemassa sellainen luku M, eä kaikilla x, y R n. f(x) f(y) M x y Määrielmä 1.6: Funkio f : R n R on konveksi, jos kaikille x, y R n, < < 1. f(x + (1 )y) f(x) + (1 )f(y) (7) Funkio f : R R on konveksi, kun alue f:n yläpuolella on konveksi joukko. Lax-Oleinikin kaavan johamisessa arvisemme Legendren muunnosa. Olkoon L : R n R Lagrangen funkio seuraavin ehdoin kuvaus v L(v) on konveksi sekä L(v) lim =. v v 16

18 Funkion L konvenksisuudesa seuraa myös, eä L on jakuva[8]. HUOM: Vasedes oleamme, eä Lagrangen (ja äen myös Hamilonin) funkio ei riipu enää muuujasa x. Määrielmä 1.7: Legendren muunnos funkiolle L on L (p) := sup v R n p v L(v)} (p R n ) (8) Lause 1.8: Oleeaan, eä L oeuaa yllä esiey oleukse konveksisuudesa ja raja-arvosa, sekä H := L. Tällöin sekä (i) (ii) Lisäksi kuvaus p H(p) on konveksi (ja siis jakuva) H(p) lim =. p p eli H ja L ova duaalisesi konvekseja funkioia. L = H (9) Lisäksi seuraava yhäläisyyde ova ekvivaleneja: p v = L(v) + H(p) p = DL(v), (1) v = DH(p) oleaen, eä H on dierenioiuva kohdassa p ja L dierenioiuva kohdassa v. HUOM: Lauseen oleukse funkioiden L ja H konveksisuudesa ja rajaarvosa = oleeaan vasedes päevän ellei erikseen mainia. lim p H(p) p Todisus: (i) Olkoon v R n vakio, jolloin funkio p p v L(v) on lineaarinen. Näyeään, eä kuvaus p H(p) = L (p) = sup p v L(v)} on v R n konveksi: Käyeään suoraan konveksisuuden määrielmää ja oleeaan, eä 1, sekä p, p R n, ja saamme H(p + (1 )p ) = sup v R n (p + (1 )p ) v L(v)} sup v R n p v L(v)} + (1 ) sup v R n p v L(v)} = H(p) + (1 )H(p ) 17

19 (ii) Olkoon µ >, p ja v = µ p p. Tällöin H(p) = sup v R n p v L(v)} µ p L(v = µ p p ) Tällöin lim inf p H(p) p µ p max B(,µ) L. µ kaikille µ >, joen lim p H(p) p =. (iii) Suoraan määrielmäsä L (p) := sup v R n p v L(v)} saamme L (p) := p v L(v) = H(p) = H(p) + L(v) = p v kaikilla p, v R n. Täsä seuraa, eä L(v) sup p R n p v H(p)} = H (v). Toisaala } H (v) = sup p v sup p r L(r)} p R n r R n = sup p R n r R inf p (v r) + L(r)}. n Ny koska v L(v) on konveksi, on olemassa s R n sien, eä L(r) L(v) + s (r v). Aseamalla p = s, saamme H (v) inf s (v r) + L(r)} = L(v), joen r Rn kaava (9) on odiseu. Näyeään vielä yhälöryhmä (1) odeksi: (i) Oleeaan p v = L(v) + H(p). Ylläjohdeun kaavan (9) nojalla p v = L(v) + H(p) = L(v) + L (p) = L (p) = p v L(v) määr. = sup v R n p v L(v)} Eli L (p) saa suurimman arvonsa kohdassa v. Täsä seuraa, eä ämä on derivaaan DL (p) nollakoha, eli = DL (p) = D(p v L(v)) = p DL(v) = DL(v) = p Hyödynämällä kaavan p v = L(v) + H(p) symmerisyyä, pääsään samanlaisella arkaselulla yhälöön DH(p) = v. (ii) Oleeaan DL(v) = p. 18

20 Inegroimalla saamme L(v) = p v + C(p), jossa C(p) on muuujasa p riippuva funkio ja C : R n R. Kaavan (9) nojalla H (v) = L(v) = p v + C(p) = sup r R n v r H(r)}. Supremumin epsilon-krieerin nojalla kaikille ε >, päee v r H(r) (p v + C(p)) < ε, kun r ja C valiaan sopivasi. Huomaaan, eä ryhmielemällä v r H(r) (p v + C(p)) < ε (r p) v (H(r) + C(p) < ε. Tämä päee ainoasaan silloin kun r p ja C( ) = H( ). Tehdään sijoius ja saamme uloksen L(v) = p v + C(p) = p v H(p) p v = L(v) + H(p). Eli pääsemme kohdan (i) oleukseen, josa edelleen voimme johaa uloksen v = DH(p). Oleamalla sen sijaan v = DH(p), pääsemme myös symmerian akia ulokseen p v = L(v) + H(p) samanlaisella arkaselulla kuin yllä. 1.6 Hopf-Lax rakaisu Tarkoiuksena on siis rakaisa alkuperäinen Hamilon-Jacobin yhälö (1) sien, eä lähdemme liikkeelle karakerisisesa yhälöryhmäsä ṗ = ż = DH(p) p H(p) ẋ = DH(p) Huomaa, eä ensimmäinen yhälö ṗ(s) = D x H(p(s), x(s)) ypisyy nollaksi, kun ehdään oleus, eei Hamilonin funkiossa H esiinny argumenia x. Toinen yhälö muunuu muooon ż = DH(p) p H(p) = L(ẋ), mikä arjoaa avaimen rakaisuun. Silloin kun Hamilon-Jacobin yhälöllä on sileä rakaisu, päee u(x(), ) = z(), joen ällöin u(x, ) = ˆ L(ẋ(s))ds + g(x()). 19

21 Ideana on muokaa rakaisua variaaiolaskennasa saaduilla keinoilla niin, eä se sopii myös myöhemmille ajoille, jolloin yhälöllä ei ole sileää rakaisua. Pyrimme siis minimoimaan lausekkeen eli määrielemme ˆ u(x, ) := inf ˆ L(ẇ(s))ds + g(w()), L(ẇ(s))ds + g(w()) w() = x, w( ) C 1 }. (11) Oleamme, eä alkuarvofunkio g : R n R on Lipschiz-jakuva. Lause 1.9 (Hopf-Lax kaava): Olkoon x R n ja >, sekä g Lipschizjakuva. Tällöin rakaisu u = u(x, ) minimoiniongelmaan (11) on ( ) } x y u(x, ) = min L + g(y). y R Tää yhälöä kusumme Hopf-Laxin kaavaksi. Todisus: Olkoon y R n ja määriellään w(s) := y + s (x y), ( s ), joen siis ẇ(s) = (x y)/. Tällöin kaavan (11) nojalla u(x, ) ˆ ( ) x y L(ẇ(s))ds + g(y) = L + g(y) = u(x, ) inf L y R Toisaala Jensenin epäyhälön nojalla ( 1 L ˆ ) ẇ(s)ds 1 ( ) x y = L + g(y) = inf L y R ( x y ( x y ˆ ˆ ) } + g(y) ) } + g(y). L(ẇ(s))ds L(ẇ(s))ds + g(y) u(x, ). Nämä ulokse yhdisämällä saamme siis ( ) } x y u(x, ) = inf L + g(y). y R Osoieaan vielä, eä inmum on odellakin minimi. 2

22 Selväsi kun y, niin x y, kunhan x R n ja [, [ ova vakioia. Ny ( ) x y L + g(y) = L ( ) x y + g(y) x y x y (kun x y) L ( x y x y ) + g(y) x y kunhan y on arpeeksi suuri. Oleusen nojalla L ( ) x y x y, kun y. Voimme laskea g(y) g(x) + g(x) x y = g(y) x y g(y) g(x) = + g(x) x y x y. Yllä saadussa lausekkeessa ermi g(y) g(x) x y on rajoieu (Lipschiz-jakuvuus) ja g(x) x y, kun y. Yhdisämällä ulokse, saamme ( ) x y L + g(y), kun y. ja äsä seuraa, eä minimin on pakko olla myös inmum. Lause 1.1: Olkoon x R n ja > ja olkoon funkio H : R n R on konveksi (ällöin myös L = H on konveksi) ja sileä, sekä g : R n R Lipschiz-jakuva. Tällöin Hopf-Laxin kaava u(x, ) = min y R n L ( x y ) } + g(y) on derivoiuva melkein kaikkialla joukossa R n (, ), sekä rakaisee Hamilon- Jacobin yhälön u + H(Du) = u = g (x, ) R n (, ) (x, ) R n = }. Todisus: (i) Aloieaan odisus osoiamalla, eä jokaiselle x R n ja s <, päee ( ) } x y u(x, ) = min ( s)l + u(y, s) y R n s 21

23 eli voidaksemme laskea funkion u, voimme selviää u:n ajanhekellä s ja käyää funkioa u(, s) alkuehona jäljellejäävälle aikainervallille [s, ]. Olkoon y R n ja valiaan z R n sien, eä ( ) y z u(y, s) = sl + g(z). s s Ny funkion L konveksisuudesa ja ominaisuudesa x z, saamme ( ) x z L x z = (1 s ( ) x y )L + s ( ) y z s L. s y z s Edelleen ( x z u(x, ) L ) + g(z) ( s)l = ( s)l ( ) x y + sl s ( ) x y + u(y, s). s ( y z = (1 s ) x y s + s ) + g(z) Osoieaan, eä y u(y, s) on jakuva. Olkoon >, sekä x, y R n. Valiaan w R n sien, eä ( ) y w L + g(w) = u(x, ). Kun muiseaan, eä g on Lipschiz-jakuva, saamme ( ) } ( y z x w u(y, ) u(x, ) = min L + g(z) L z R n ( ) ( y y + x w x w = L + g(y x + w) L Siis = g(y x + w) g(w) M y x, jollakin M >. u(y, ) u(x, ) M y x ) g(w) ) g(w) eli funkio y u(y, ) on jakuva mielivalaisesi valiussa piseessä x R n, siis funkio on jakuva kaikkialla. Ny koska y u(y, s) on jakuva, saamme ( s)l u(x, ) min y R n ( x y s ) } + u(y, s) Olkoon w R n edelleen sellainen, eä ( ) y w u(x, s) = L + g(w) (12) 22

24 ja aseeaan y := s x + (1 s eä ( s)l ( x w ( s)l ( x w = L siispä kaavan (12) nojalla u(x, ) min y R n Ja yhdisämällä ulokse u(x, ) = min y R n x y )w. Tällöin s ( x y s ) + sl ( s)l = x w ) + u(y, s) ( y w s ) + g(w) = u(x, ) ( s)l = y w s ) + g(w) ( ) } x y + u(y, s). s ( ) } x y + u(y, s) s ja äsä seuraa, (13) (ii) Funkio u on Lipschiz-jakuva melkein kaikkialla ja äsä seuraa Rademacherin eoreeman nojalla se, eä u on dierenioiuva melkein kaikkialla [9]. Näyeään Lipschiz-jakuvuus ensin muuujalle x ja sien muuujalle : Olkoon > ja x, x o R n, sekä valiaan y R n sien, eä ( ) x y L + g(y) = u(x, ). Tällöin u(x, ) u(x, ) = min z L ( x z ) } g(z) L g(x x + y) g(y) Lip(g) x x. ( x y ) g(y) Yllä suorieu oimius voidaan suoriaa myös vaihamalla x ja x päikseen, jolloin Lipschiz-jakuvuuden eho äyyy ja Lip(u(, ) Lip(g). Ny olkoon x R n ja >. Valisemalla y = x, saamme u(x, ) L() + g(x). Edelleen u(x, ) = min L y ( x y g(x) + min L y ( x y ) } g(y) ) Lip(g) x y } 23

25 = g(x) + max Lip(z) z L (z)} z ( z = x y ) = g(x) max max w B(,Lip(g)) z = g(x) max B(,Lip(g)) H. Täsä ja kaavasa u(x, ) L() + g(x) saamme u(x, ) g(x) C, jossa C := max ( L(), max B(,Lip(g)) H ). w z L(z)} Ny kohdan (i) ja yllä esiellyiden laskuoimiusen nojalla voimme johaa u(x, ) u(x, ) C. ( < < ) (iii) Olkoon v R n ja h >, sekä oleeaan, eä u on dierenioiuva piseessä (x, ) R n+1. Ny kaavaan (13) sijoiamalla s ja +h saamme ( ) } x + hv y u(x + hv, + h) min hl + u(y, ) y R n h hl(v) + u(x, ) u(x + hv, + h) u(x, ) = L(v). h Anamalla h, saamme v Du(x, ) + u (x, ) L(v). Koska epäyhälö päee kaikille v R n, päee u (x, ) + max v R n v Du(x, ) L(v)} = u (x, ) + L (Du(x, )) = u (x, ) + H(Du(x, )). (iv) Ny valiaan z R n sien, eä u(x, ) = L ( ) x z + g(z). Olkoon h > ja aseeaan s = h, sekä y = s x + (1 s x z )z. Tällöin = y z s ja edelleen ( ] x z Eli u(x, ) u(y, s) L ) [ + g(z) L ( ) x z = ( s)l. u(x, ) u((1 h )x + h z, h) L h ( y z s ( x z ) + g(z) ). 24

26 Anamalla h, saamme ( ) x z x z Du(x, ) + u (x, ) L ja edelleen u (x, ) + x z ( ) x z Du(x, ) L u (x, ) + max v Du(x, ) L(v)} v Rn u (x, ) + L (Du(x, )) = u (x, ) + H(Du(x, )) Yhdisämällä ulokse saamme u (x, ) + H(Du(x, )) = ja lause on odiseu. Esimerkki 1.11 (Hamilon-Jacobin yhälön äärellinen eenemisnopeus): Osoieaan, eä päee ( ) } ( ) } x y x y u(x, ) = min L + g(y) = min L + g(y), y R n y B(x,R) jossa R = sup R n DH(Dg) ja H = L, eli näyeään, eä Hamilon-Jacobin yhälöllä on ominaisuus nimelään äärellinen eenemisnopeus. (H ja L ova konvekseja funkioia ja g : R n R on Lipschiz-jakuva.) Rakaisu: Merkiään v(y) := x y, jossa x R n ja > ova ksauja. Esiään minimi derivoimalla funkio y L (v(y)) + g(y), ja aseamalla se nollaksi: D (L (v(y)) + g(y)) = v (y) DL (v(y)) + g (y), jossa y1 (x 1 y 1 ) v (y) = = I n yn (x n y n ) (I n on yksikkömariisi). Konveksi funkio L ja Lipschiz-jakuva funkio g ova melkein kaikkialla derivoiuvia [1, 9]. Siinä apauksessa, eä minimi löyyy epäderivoiuvuuspiseesä y R n, funkion y L (v(y))+g(y) voi approksimoida piseen y läheisyydessä derivoiuvalla funkiolla, jolloin ongelmila välyään [1]. SiisD (L (v(y)) + g(y)) = DL (v(y)) + g (y) ja olkoon ȳ R n se y, joka minimoi lausekkeen, eli DL (v(ȳ)) + g (ȳ) = DL (v(ȳ)) = g (ȳ). 25

27 Muisamme kaavasa (1) p = DL(v) ja v = DH(p). Sijoieaan v = v(ȳ) ja p = g (ȳ) ja ylläjohdeun kaavan nojalla Ny voimme kirjoiaa: v(ȳ) = DH(g (ȳ)). v(ȳ) = DH(g (ȳ)) sup r R n DH(g (r))} = R. Eli v(ȳ) = x ȳ R x ȳ R, siis ȳ B(x, R), joen väie on osoieu. 26

28 Osa III Burgersin yhälö ja Lax-Oleinikin kaava 2 Johdaus Burgersin yhälölle Tässä luvussa määriellään ingraalirakaisu ja johdeaan Rankine-Hugonioeho. Näiden avulla saadaan yökalu Burgersin yhälön rakaisuun yleisemmässä apauksessa, eli kun karakerisise käyrä kohaava ja muodosava 'shokkikäyrän'. Luvun lopussa esiellään enropia-eho, jonka avulla karsiaan 'epäfysikaalise' rakaisu pois ja äen löydeään yksikäsieinen rakaisu Burgersin yhälölle [1]. Tarkasellaan alkuarvo-ongelmaa yhdessä ilaulouvuudessa u + F (u) x = (x, ) R (, ) u = g R = } (14) Esimerkiksi jos F (u) = 1 2 u2, niin F (u) x = uu x. Ongelmalle (14) ei ole mahdollisa löyää yleisä sileää rakaisua, joen joudumme heikenämään rakaisula u vaadiavia ehoja. Seuraavassa johdaelen määrielmän käsieelle inegraalirakaisu. 2.1 Rankine-Hugonio-eho Olkoon v : R [, ) R sileä ja olkoon v:n kanaja kompaki Kusuaan funkioa v esifunkioksi. Kerroaan osiaisdiereniaaliyhälö u + F (u) x = esifunkiolla ja sovelleaan osiaisinegroinia: = = (u + F (u) x )vdxd ˆ uv dxd uvdx = Käyämällä alkuehoa u = g kun =, saamme yhälön uv + F (u)v x dxd + ˆ F (u)v x vdxd. gvdx = = (15) Määrielmä 2.1: Funkio u L (R (, )) on ongelman (14) inegraalirakaisu, kunhan (15) piää paikkansa kaikille esifunkioile v. 27

29 Oleeaan sien, eä jossain avoimessa alueessa V R (, ) funkio u on sileä sileän käyrän C jommallakummalla puolella. Nimieään käyrän C vasena puola V l ja oikeaa puola V r. Olkoon u ongelman (14) inegraalirakaisu ja eä funkion u ensimmäise derivaaa ova asaisesi jakuvia joukoissa V l ja V r. Rankine-Hugonio ehoa havainnollisava kuva Ensinnäkin valiaan esifunkio v sien, eä sillä on kompaki kanaja joukossa V l. Kaavasa (15) osiaisinegroimalla saamme = vu + F (u)v x dxd = (u + F (u) x )vdxd (16). Osiaisinegroini on salliua, koska u on kerran jakuvasi derivoiuva ja koska v kaoaa joukon V l reunalla. Kaava (16) päee kaikille esifunkioille v, joilla sopiva kanaja, voimme pääellä, eä u + F (u) x = joukossa V l. Samanlaisen arkaselun voimme ehdä joukolle V l, josa saamme samaan apaan u + F (u) x = joukossa V r. Valiaan seuraavaksi esifunkio v sien, eä supp(v) V, mua oisin kuin yllä, funkion v arvo ei välämää mene nollaan käyrällä C. Jälleen kaavasa (15) saamme = vu + F (u)v x dxd ˆ ˆ ˆ ˆ = vu + F (u)v x dxd + V l vu + F (u)v x dxd. V r (17) 28

30 Ny yhdisämällä edellä saadu ulokse, saamme ˆ ˆ vu + F (u)v x dxd V l ˆ ˆ ˆ = (u + F (u) x )vdxd + (u l ν 2 + F (u l )ν 1 )vdl V l C ˆ = (u l ν 2 + F (u l )ν 1 )vdl, (18) C jossa ν = (ν 1, ν 2 ) on joukosa V l joukkoon V r osoiava yksikkönormaali käyrälle C ja l on raja-arvo lähesyäessä vasemmala. Voimme ehdä saman oikealle puolelle: ˆ ˆ vu + F (u)v x dxd V r ˆ ˆ ˆ = (u + F (u) x )vdxd + (u r ν 2 + F (u r )ν 1 )vdl V r C ˆ = (u r ν 2 + F (u r )ν 1 )vdl (19) C Ny yhdisämällä kaava (18) ja (19) kaavaan (17), saamme ˆ [(F (u l ) F (u r ))ν 1 + (u l u r )ν 2 ]vdl =. C Koska ylläoleva on oa kaikille esifunkioille v, päee (F (u l ) F (u r ))ν 1 + (u l u r )ν 2 = käyrällä C. (2) Paramerisoidaan vielä käyrä C aseamalla C = (x, ) x = s()} jollekin sileälle funkiolle s( ) = [, ) R. Täen ν = (ν 1, ν 2 ) = [1 + s 2 ] 1/2 (1, s ). Sijoiamalla ämä kaavaan (2) saamme F (u l ) F (u r ) = s (u l u r ) joukossa V pikin käyrää C. Ylläolevaa kaavaa kusuaan Rankine-Hugonioin ehdoksi pikin shokkikäyrää C. Usein eho kirjoieaan muodossa [[F (u)]] = σ[[u]], jossa [[F (u)]] = F (u l ) F (u r ), [[u]] = u l u r ja σ = s käyrän C nopeus. 29

31 2.2 Burgersin yhälö Tässä kappaleessa on arkoiuksena rakaisa Burgersin yhälö [2, 3]. Burgersin yhälösä kiiäminen on hollanilaisa fyysikko Johannes Marinus Burgersia, joka aloii akaeemisen uransa Leidenin yliopisossa valmisuen fysiikan ohoriksi 23-vuoiaana. Hänen väiöskirjansa aiheena oli Ruhefordin aomimalli, mua pian Burgersin mielenkiino siiryi uididynamiikan ukimukseen. Saauaan professuurin Delfin yliopisosa, Burgers perusi aero- ja hydrodynamiikan ukimukseen keskiyvän laboraorion. Tukimuksen yhenä arkoiuksena oli urbulenssin eoreeinen ja ilasollinen käsiely ja siinä ärkeän aseman sai hänen isensä mukaan nimey Burgersin yhälö, jolla voidaan kuvaa häiriöiden eenemisä uideissa. Nykyään yhälö on käyössä myös kiineän aineen fysiikassa ja kosmologiassa, sekä siä voidaan sovelaa myös esimerkiksi liikenneruuhkien kehiymisen analysoiniin. Uransa loppupuolella vuonna 1955 Burger siiryi Marylandin yliopisoon ukimaan Bolzmannin yhälöä ja sen sovelamisa uidimekaniikkaan [12]. Johannes Marinus Burgers ( ) [11] Tarkasellaan ongelmaa u + F (u) x = u = g (x, ) R (, ) R = }, jossa F (u) = 1 2 u2. Ny = u + F (u) x = u + D x ( 1 2 u2 ) = u + uu x. Yhälöä u + uu x = (x, ) R (, ) (21) u = g R = } kusuaan siis Burgesin yhälöksi. Kyseessä on kvasilineaarinen yhälö, eli se on muooa b(x, u(x)) Du(x) + c(x, u(x)) =, jossa b(x, u(x)) = (u, 1) ja c(x, u(x)). Käyämme kappaleiden 2.1 ja 2.2 noaaioa muuen, mua koska ny u = u(x, ) käyämme paramerisoidulle käyrälle merkinää X(s) := (x 1 (s), x 2 (s)). Ny z(s) := u(x(s)) ja karakerisinen yhälöryhmä on siis Ẋ(s) = b(x(s), z(s)) ż(s) = c(x(s), z(s)) 3

32 = = Ẋ(s) = z(s) ż(s) = ẋ 1 (s) = z(s) ẋ 2 (s) = 1 ż(s) = Toisesa yhälösä saamme ẋ 2 (s) = 1, joen x 2 (s) = s + C = s Se, eä vakio C on nolla, seuraa suoraan alkuarvoehdosa. Viimeisesä yhälösä saamme, eä u on vakio karakerisisa käyrää pikin, ja alkuarvoehdon nojalla saamme ż(s) = = z(s) g(x ) Ny voimme sijoiaa ämän ensimmäiseen yhälöön ẋ 1 (s) = g(x ) Täsä saamme = x 1 (s) = g(x )s + x x = x 1 (s) g(x )s = x 1 (s) u(x, )x 2 (s) Ny valiaan s sien, eä (x 1 (s), x 2 (s)) = (x, ) ja näin saamme x = x u, jonka voimme sijoiaa kolmannen yhälön rakaisuun u = z(s) = g(x ) = g(x u). (22) ja äen olemme löyänee implisiiirakaisun Burgersin yhälölle (21). Löydey rakaisu päee kuienkin vain alueella, jossa projekoidu karakerisise käyrä eivä riseä. Burgersin yhälössä karakerisinen käyrä s (g(x )s + x, s) = (ẋ 1 (s), ẋ 2 (s)). Tämä arkoiaa myös siä, eä funkio u ei ole yleisesi oaen sileä. Tarvisemme siis lisää keinoja yleisemmän rakaisujen löyämiseen. Esimerkki 2.2: Tarkasellaan Burgersin yhälöä (21) sien eä ajanhekellä =, 1 jos x g(x) = 1 x jos x 1 jos x 1 31

33 Ny voimme sijoiaa funkion g kaavaan (22) ja saamme suoraan rakaisun 1 jos x, 1 1 x u(x, ) = 1 jos x 1, 1 jos x 1, 1 Tämä meodi ei kuienkaan enää kun 1, eli kun karakerisise käyrä kohaava. Olkoon ja aseeaan s() = Ny u(x, ) = 1 jos x s() s() x Ny u l = 1, u r =, F (u l ) = 1 2 u2 l = 1 2 ja F (u r) =. Tällöin [[F (u)]] = 1 2 = σ[[u]] siis Rankine-Hugonio eho äyyy. Esimerkkiin 2.2 liiyvä kuva 2.3 Shokkikäyrä ja enropia-eho Ongelmana yllä esieyssä lähesymisavassa on, eä inegraalirakaisu ei ole välämää yksikäsieinen. arkasellaan vaikka esimerkkiä, jossa yhälö on Burgersin yhälö (21) ja g(x) = 1 kun x < kun x >. 32

34 Ny esimerkin 2.2 apainen rakaisu karakerisiseen yhälöryhmään vedoen epäonnisuu alueessa < x < }. Tämä huomaaan aseamalla kun x < u 1 (x, ) := 2 1 kun x >, 2 sekä 1 x u 2 (x, ) := kun x > kun < x < kun x < Ny molemma funkio rakaiseva Burgersin yhälön alkuehdolla g(x) ja Rankine-Hugonio-eho oeuuu. Tarvisemme lisäehdon, joa löydämme yksikäsieisen rakaisun. Tarkasellaan edelleen yhälöä u +F (u) x =. Yllä ehdyn arkaselun nojalla iedämme, eä rakaisun u ollessa sileä, sen arvo on vakio g(x ) projekoiua karakerisisa käyrää s (F (g(x ))s + x, s) pikin. Käyrää, jolla karaerisise käyrä kohaava, kusuaan shokkikäyräksi. Aiemmin yllä odeiin, eä shokkikäyrällä s() = x päee Rankine-Hugonio-eho F (u l ) F (u r ) = s (u l u r ). Pääsäksemme yksikäsieisyyeen haluamme oaa mukaan ainoasaan rakaisu, joilla shokkikäyrälle pääsään vain ja ainoasaan kulkemalla ajassa eeenpäin (äsä samaisus ermodynamiikan enropia-käsieeseen). Tällöin esimerkiksi alla olevan kuvan mukaise ilanee karsiuuva:. Epäfysikaalinen rakaisu Täsä seuraa välämää se, eä projekoiujen karakerisisen käyrien kulmakeroime ova shokkikäyrän kulmakerroina pienempiä vasemmalla puolella shokkikäyrää koordinaaisossa (x, ), koska muuen käyrä eivä koskaan kohaisi (niinkuin ylläolevan kuvan ilaneessa). Kyseessä on aio epäyhälö, sillä jos kulmakeroime ova yhä suure, shokkikäyrä ja projekoiu käyrä olisiva yhdensuunaise. Samanlaisella pääelyllä shokkikäyrän kulmakerroin on aidosi suurempi (x, )-koordinaaisossa, kuin projekoidun karakerisisen käyrän kulmakerroin. Rankine-Hugonio-ehdon arkaselussa shokkikäyrä määrieliin funkioksi s() = x ja sen derivaaaksi s () = σ. Tällöin shokkikäyrän kulmakerroin (x, )- koordinaaisossa on kääneisluku 1/σ. Maemaaisesi ilmaisen ylläoleva ar- 33

35 kaselu voidaan iivisää epäyhälöpariin (enropia-eho): F (u l ) < 1 σ < F (u r ). Seuraavassa kappaleessa eemme oleuksen, eä F on aidosi konveksi, eli F on aidosi kasvava. Tällöin enropia-eho on yhäpiävä ehdon u l > u r kanssa. 34

36 3 Lax-Oleinikin kaava Tässä luvussa odiseaan Lax-Oleinikin kaava, joka anaa rakaisun yleiselle ongelmalle u + F (u) x =. Luvun lopussa rääälöidään enropia-eho kyseiselle rakaisulle, joa siiä saadaan yksikäsieinen [1]. 3.1 Johdaus Lax-oleinikin kaavaan Tämän kappaleen arkoius on löyää rakaisuehdous osiaisdiereniaaliyhälölle u + F (u) x = (x, ) R (, ) u = g R = } joka sien odiseaan oikeaksi seuraavissa kappaleissa. Oleamme, eä funkio F : R R on konveksi. Tämän lisäksi voimme oleaa, eä F () = ilman, eä rakaisu olisi vähemmän yleinen, koska kaavassa F esiinyy ainoasaan derivoiuna. Olkoon g L (R) ja h(x) := ˆ x g(y)dy (x R). Muisamme kappaleesa 1.6 Hopf-Lax-kaavan ja aseamme ( ) } x y ω(x, ) := min L + h(y) (x R, > ), (23) y R jossa L = F eli funkion F Legendren muunnos. Täen ω on Hamilon- Jakobin yhälön ω + F (ω x ) = ω = h (x, ) R (, ) R = } yksikäsieinen rakaisu. Oleamme hekeksi rakaisun u(x, ) johamisa varen, eä ω on kerran jakuvasi derivoiuva. Ny derivoimme ylläolevan yhälön ja alkuehdon kerran muuujan x suheen ω x + F (ω x ) x = ω x = g (x, ) R (, ) R = } Siispä, jos aseamme u = ω x, saamme rakaisuehdouksen kappaleen alussa esieylle osiaisdiereniaaliyhälölle: u(x, ) := [ ( ) }] x y min L + h(y) x y R ja u on määriely melkein kaikkialla. Tällöin u(x, ) on soviva kandidaai jonkinaseiseksi heikoksi rakaisuksi alkuarvo-ongelmalle (14). Seuraavien kappaleiden arkoiuksena on odisaa ämä. 35

37 3.2 Lax-Oleinikin kaava ja sen odisus Lause 3.1 (lax-oleinikin kaava): Olkoon F : R R sileä ja kaikkialla konveksi, sekä g L (R). (i) Jokaiselle > on olemassa kaikille x R, yksikäsieinen pise y(x, ) sien, eä ( ) } ( ) x y x y(x, ) L + h(y) = L + h(y(x, )) min y R (ii) Kuvaus x y(x, ) on kasvava. (iii) Jokaiselle ajalle >, yllämääriely funkio u on ( ) x y(x, ) u(x, ) = G (24) melkein kaikille x. Yllä on käyey merkinää G := (F ) 1. Todisus: (i) Todeaan ensin, eä L(v) = F (v) = max p R (vp F (p)) = vp F (p ) jollakin p R. Koska F on konveksi, löyyy maksimi myös aseamalla derivaaa d dp (vp F (p)) = v F (p) nollaksi: v F (p ) = = F (p ) = v. Koska G = (F ) 1, päee p = G(v) eli ja edelleen L(v) = vg(v) F (G(v)) (v R) L (v) = G(v) + G (v) F (G(v))G (v) = G(v). Koska funkio F on aidosi konveksi, on F aidosi kasvava kuen on ällöin myös (F ) 1 = G. Täen edelleen G (v) = L (v) >. Tämän, sekä oleuksen F () = nojalla voimme odea, eä L on epänegaiivinen ja konveksi. (ii) Olkoon > ja x 1 < x 2. Kappaleen 2.2 nojalla on olemassa ainakin yksi pise y 1 R sien, eä ( ) ( ) } x1 y 1 x1 y L + h(y 1 ) = min L + h(y). (25) y R Väieään seuraavaksi, eä ( ) ( ) x2 y 1 x2 y L + h(y 1 ) < L + h(y), jos y < y 1. (26) 36

38 Tämän näyääksemme määrielemme Täen < τ := y 1 y =< 1. x 2 x 1 + y 1 y x 2 y 1 = τ(x 1 y 1 ) + (1 τ)(x 2 y) ja x 1 y = τ(x 2 y 1 ) + (1 τ)(x 1 y). Suoraan konveksiuden määrielmäsä (7) seuraa ( ) ( ) ( ) x2 y 1 x1 y 1 x2 y L < τl + (1 τ)l ja ( ) ( ) ( ) x1 y 1 x2 y 1 x1 y 1 L < τl + (1 τ)l joen ( ) ( ) x2 y 1 x1 y 1 L + L ( ) ( ) ( ) ( ) x1 y 1 x2 y x2 y 1 x1 y 1 < τl + (1 τ)l + τl + (1 τ)l ( ) ( ) x1 y 1 x2 y = L + L. (27) Kerroaan yhälön (27) molemma puole luvulla ja lisäään h(y 1 ) + h(y) molemmille puolille: ( ) ( ) x2 y 1 x1 y 1 L + L + h(y 1 ) + h(y) ( ) ( ) x1 y 1 x2 y < L + L + h(y 1 ) + h(y). Kaavan (25) nojalla saamme, eä ( ) ( ) x1 y 1 x1 y L + h(y 1 ) L + h(y). Yhdisämällä ylläsaadu ulokse: ( x2 y 1 2L ( ) ( x2 y 1 x1 y 1 L + L ( ) ( x1 y 1 x2 y < L + L ) + 2h(y 1 ) ) + h(y 1 ) + h(y) ) + h(y 1 ) + h(y) 37

39 ( ) x1 y 1 2L + 2h(y), josa pääsemme yhälöön (26). (iii) Yhälön (25) valossa kaavan L ( x 2 y ) +h(y) minimiä laskeaessa, joudumme oamaan huomioon ainoasaan sellaise arvo y joille päee y y 1, jossa y 1 oeuaa kaavan (25). Määriellään y(x, ) yhä kuin pienin luku y, joka minimoi lausekkeen L ( ) x y +h(y) jokaiselle x R ja >. Täen kuvaus x y(x, ) on kasvava ja jakuva. Funkion x y(x, ) jakuvuuspiseessä x, arvo y(x, ) anaa yksikäsieisen minimin y lausekkeelle L ( ) x y + h(y). (iv) Lauseen 1.1 nojalla jokaiselle >, kuvaus ( ) } x y x ω(x, ) := min L + h(y) y R ( ) x y(x, ) = L + h(y(x, )) on derivoiuva melkein kaikkialla. Edelleen kuvaus x y(x, ) on monooninen ja äen ( myös ) derivoiuva melkein kaikkialla. Siispä kaikille >, kuvaukse x L x y(x,) sekä x h(y(x, )) ova derivoiuvia melkein kaikkialla. Täsä seuraa, eä lauseke u(x, ) := [ ( ) }] x y min L + h(y) x y R ulee muooon u(x, ) = x [ L ( x y(x, ) ) ] + h(y(x, )) ( ) x y(x, ) = L (1 y x (x, )) + h(y(x, )). x Kuvaus y L ( ) x y + h(y) saa miniminsä piseessä y = y(x, ), joen kuvaus z L [ L x Ny ( x y(z,) ( x y(x, ) u(x, ) = L ( x y(x, ) ) + h(y(z, )) saa miniminsä piseessä z = x. Siksi ) ] ( ) x y(x, ) + h(y(x, )) = L y x (x, )+h x (y(x, )) = ) ( ) x y(x, ) L y x (x, ) + h x (y(x, )) ( ) ( ) x y(x, ) x y(x, ) = L = G 38

40 mikä siis rakaisee alkuarvo-ongelman u + F (u) x = (x, ) R (, ) u = g R = }. Näin olemme odisanee Lax-Oleinikin lauseen. Lause 3.2 (Lax-Oleinikin kaava inegraalirakaisuna): Lauseen 3.1 oleuksin, kaavan (24) määrielemä funkio u on inegraalirakaisu alkuarvoongelmalle u + F (u) x = u = g (x, ) R (, ) R = }. Todisus: Kuen äskeisessä odisuksessa, määriellään ( ) } x y ω(x, ) := min L + h(y) (x R, > ) y R eli u = ω x ja siis ω x (x, ) = g(x) melkein kaikkialla. Tällöin lauseen 2.9 nojalla ω on Lipschiz-jakuva, derivoiuva melkein kaikkialla, sekä rakaisee ω + F (ω x ) = ω = h Olkoon v mielivalainen esifunkio sien, eä (x, ) R (, ) R = } v : R [, ) R sileä ja olkoon v:n kanaja kompaki. Kerroaan yhälö ω + F (ω x ) = esifunkiolla v, inegroidaan ja aseeaan inegraali nollaksi ˆ = (ω + F (ω x ))v x dxd = (ω + F (ω x ))v x dxd R (, ) = ω v x dxd + F (ω x )v x dxd Huomaamme, eä osiaisinegroimalla ensin muuujan suheen ja sien muuujan x suheen [ˆ ω v x dxd = ωv x dx ˆ = ωv x dx = 39 ] = = ωv x dxd ωv x dxd

41 ˆ = ωv x dx = + = ˆ = ˆ = ˆ ωv x dx = + [ˆ ω x v dxd ω x vdx = [ωv = ] x= x= + ˆ ˆ = ω x vdx = + + Sijoiamalla saamme siis = ˆ = gvdx = + = = ˆ gvdx = + ω v x dxd + gvdx = + ω x v dxd ˆ ω x v dxd + uv + F (u)v x dxd + ω x v dxd ] x= ωv d x= ω x v dxd ω x v dxd F (ω x )v x dxd ω x v + F (ω x )v x dxd ˆ F (ω x )v x dxd gvdx = eli saamme rakaisuksi määrielmän 2.1 edellyämän yhälön (15). Lause on odiseu. 3.3 Lax-Oleinikin kaavan sovelaminen Burgersin yhälöön Burgersin yhälö u + F (u) x = u = g (x, ) R (, ) R = } jossa F : R R ja F (u) = 1 2 u2, voidaan ny rakaisa Lax-Oleinikin kaavan avulla, eli laskea auki rakaisu ( ) x y(x, ) u(x, ) = G. Ensinnäkin G(x) = (F (x)) 1 = (D( 1 2 x2 )) 1 = (x) 1 = x,, 4

42 eli rakaisu saadaan muooon u(x, ) = x y(x, ). Ny piää ainoasaan selviää funkio y. Aloieaan laskemalla L(x) = F (x) = sup [xv F (v)] = sup [xv 12 ] v2 = x 2 1 v R v R 2 x2 = 1 2 x2, sillä supremum 'hyvinkäyäyyvälle' alaspäin kuperalle funkiolle v xv 1 2 v2 löyyy derivaaan nollakohdasa: D v (xv 1 2 v2 ) = x v = eli x = v. Ny ( ) x y(x, ) L + h(y(x, )) = ( ) 2 x y(x, ) + h(y(x, )) 2 = (x y(x, ))2 2 + ˆ y(x,) g(s)ds. Funkio y(x, ) on sellainen, joka minimoi ylläolevan lausekkeen (ja se riippuu siis alkuarvofunkiosa g). 3.4 Lisää enropia-ehdosa Lax-Oleinikin kaavan anama rakaisu ( ) x y(x, ) u(x, ) = G osiaisdiereniaaliyhälöön (14) ei ole yksikäsieinen, eikä välämää edes paloiain sileä. Kuienkin haluamme näyää, eä u on oikea rakaisu kyseiseen ongelmaan, joen on löydeävä sopiva enropia-eho, joka akaa yksikäsieisyyden [1]. Määrielmä 3.3: Funkio u L (R (, )) on enropia-rakaisu yhälölle oleaen, eä u + F (u) x = u = g (i) uv + F (u)v x dxd + v : R [, ) R, joilla on kompaki uki ja (x, ) R (, ) R = } gvdx = (28) = kaikille esifunkioille (ii) u(x+z, ) u(x, ) C(1+ 1 )z jollekin vakiolle C ja melkein kaikilla x, z R ja > sekä z >. Lause 3.4: Olkoon F konveksi ja sileä. Tällöin yhälölle (28) löyyy eninään yksi enropia-rakaisu. 41

43 Todisus: (i) Olkoon u ja ũ kaksi enropia-rakaisua yhälölle (28). Määriellään w := u ũ ja osoieaan, eä w = melkein kaikkialla. Aloieaan arkaselemalla piseä (x, ) ja huomaaan: F (u(x, )) F (ũ(x, )) = = ˆ 1 ˆ 1 d F (ru(x, ) + (1 r)ũ(x, ))dr dr F (ru(x, ) + (1 r)ũ(x, ))dr (u(x, )) ũ(x, )) ja määriellään b(x, ) := 1 F (ru(x, ) + (1 r)ũ(x, ))dr. Olkoon v esifunkio. Ny uv + F (u)v x dxd + ˆ gvdx = ˆ ũv + F (ũ)v x dxd + gvdx = (u ũ)v + (F (u) F (ũ))v x dxd = w[v + bv x ]dxd =. (29) (ii) Olkoon ɛ > ja määriellään ϕ : R (, ) R sien, eä ϕ(x, )dxd = R (, ) 1, lisäksi lim ɛ ϕ e (x, ) = lim ɛ ɛ 2 ϕ( x ɛ, ɛ ) = δ(x, ) ja funkio ϕ on kompaki kanaja. Ny määriellään ˆ u ɛ (x, ) := ϕ ɛ u(x, ) = ϕ ɛ (y, τ)u((x, ) (y, τ))dydτ ˆ ũ ɛ (x, ) := ϕ ɛ ũ(x, ) = Oleeaan suoraan iedeyksi R (, ) R (, ) ϕ ɛ (y, τ)ũ((x, ) (y, τ))dydτ. u ɛ u ja ũ ɛ ũ melkein kaikkialla, kun ɛ. Enropiaehdon (ii) nojalla päee myös u ɛ x(x, ) C ( ) ja ( ũ ɛ (x, ) C ) (3) 42

44 jollakin sopivalla C R. (iii) Määriellään b ɛ (x, ) := ˆ 1 Tällöin kaava (29) ulee muooon = F (ru ɛ (x, ) + (1 r)ũ ɛ (x, ))dr. w[v + bv x ]dxd + w[b b ɛ ]v x dxd. (31) (iv) Olkoon T > ja ψ : R (, T ) R sileä funkio kompakilla kanajalla. Valiaan funkio v ɛ sien, eä se rakaisee yhälön v ɛ + b ɛ v ɛ x = ψ v ɛ = (x, ) R (, T ) R = T }. (32) Rakaisaan yhälö (32) muuamalla se karakerisisen yhälöryhmän avulla. Kiinnieään x R ja T ja käyeään rakaisulle merkinää x ɛ ( ). ẋ ɛ (s) = b ɛ (x ɛ (s), s) (s ). x ɛ () = x Aseeaan v ɛ (x, ) := T ψ(x ɛ (s), s)ds (x R, T ). Tällöin v ɛ on sileä ja yksikäsieinen rakaisu yhälölle (32). Koska b ɛ on rajoieu ja funkiolla ψ on rajoieu kanaja, on ällöin funkiolla v ɛ rajoieu kanaja joukossa R [, T ). (v) Seuraavaksi osoieaan, eä jokaiselle s > on olemassa vakio C s sien, eä v ɛ x C s joukossa R (s, T ). (33) Todeaan ensin, eä jos < s T, niin ällöin b ɛ,x (x, ) = ˆ 1 F (ru ɛ (x, ) + (1 r)ũ ɛ (x, ))(ru ɛ x(x, ) + (1 r)ũ ɛ x(x, ))dr C C s. Seuraavaksi derivoidaan osiaisdiereniaaliyhälö (32) muuujan x suheen: v ɛ x + b ɛ v ɛ xx + b ɛ,x v ɛ x = ψ x. Ny aseeaan a(x, ) := e λ v ɛ x(x, ), jossa λ = C s + 1. Tällöin a + b ɛ a x = λa + e λ [v ɛ x + b ɛ v ɛ xx] 43

45 = λa + e λ [ b ɛ v ɛ xx + ψ x ] = [λ b ɛ,x ]a + e λ ψ x. (34) Koska funkiolla v ɛ on kompaki kanaja, saa funkio a epänegaiivisen maksimin joukossa R [s, ] jossakin piseessä (x, ). Jos = T, niin v x =. Jos aas < T, niin a (x, ) ja a x (x, ) =. Kaavan (34) nojalla Ny [λ b ɛ,x ]a + e λ ψ x piseessä (x, ). [λ b ɛ,x ]a(x, ) = [ C s + 1 b ɛ,x]a(x, ) [ C s + 1 C s ]a(x, ), koska b ɛ,x C s. Tällöin a(x, ) e λ ψ x e λt ψ x L. Samanlaisella peruselulla a(x 1, 1 ) e λt ψ x L piseessä (x 1, 1 ), jossa a saa ei-posiiivisen minimin. Koouna e λt ψ x L a(x 1, 1 ) a(x, ) e λt ψ x L e λt ψ x L e λ v ɛ x(x, ) e λt ψ x L kaikilla (x, ) e λ(t ) ψ x L vx(x, ɛ ) e λ(t ) ψ x L joen väie (33) on peruselu. v ɛ x e λ(t ) ψ x L, (vi) On olemassa vakio D R sien, eä : ˆ v ɛ x(x, ) dx D ( τ), (35) oleaen, eä τ on arpeeksi pieni (odisus sivuueaan). Tämä anaa viimeisen palasen odisuksen loppuun viemiseksi. (vii) Kooaan ulokse: Aseeaan v = v ɛ kohdassa (iii) johdeuun kaavaan (31) ja ehdään kaavan (32) mukainen sijoius: wψdxd = w[b ɛ b]v ɛ xdxd 44