Tasogeometria. Tasogeometrian käsitteitä ja osia. olevia pisteitä. Piste P on suoran ulkopuolella.

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Tasogeometria. Tasogeometrian käsitteitä ja osia. olevia pisteitä. Piste P on suoran ulkopuolella."

Transkriptio

1 Tasogeometria Tasogeometrian käsitteitä ja osia Suora on äärettömän pitkä. A ja B ovat suoralla olevia pisteitä. Piste P on suoran ulkopuolella. Jana on geometriassa kahden pisteen välinen suoran osuus. Jana P P on kohtisuorassa suoraan S ja tasoon (pintaan) T nähden. Kohtisuorasta janasta (tai suorasta) käytetään nimitystä normaali. Käyrä on väärä tai suora tai molempien peräkkäisten pisteiden muodostamajoukko. Ei aina matemaattinen kuten kuvan käyrä. Janoja ja normaaleja tarvitaan mitattessa kappaleiden tilavuutta ja pintojen kokoa.

2 Trigonometria Trigonometria on kolmioita ja kulmia käsittelevä matematiikan ala. Kulma Geometriassa kulman muodostaa kahden samasta pisteestä, kulman kärjestä lähtevän puolisäteen eli puolisuoran väliin jäävä alue. Puolisäteitä sanotaan kulman kyljiksi. Kylkien väliin jäävän aukeaman laajuutta kutsutaan kulman suuruudeksi eli tasokulmaksi. Sen yksikköjä ovat mm. aste (joka jakaantuu minuutteihin ' ja sekunteihin "), uusaste eli gooni, jota käytetään maanmittauksessa ja matematiikassa käytetty radiaani. Suorakulmio Suorakulmoiden kulmat ona suoria (90 ) ja vastakkaiset sivut yhtä pitkät 6 cm 10 cm a = pituus h = korkeus (leveys) Neliön kaikki kulmat ovat suoria ja sivut Pinta-ala = ah yhtä pitkiä. Piiri = 2a + 2h Pinta-ala = a * a eli a ² Neliön lävistäjän b pituus: ª2 * a = n. 1,41 * a Suorakulmion lävistäjän b pituus: a² + h² = b ²; b = b² 10² + 6² = 136; h = 135 = 11,66 (Neliöjuurien takia saattaa olla laskin tarpeen) 25 = 5, sillä 5 * 5 = 25 eli ts. 5² = 25

3 Kolmio Tasakylkinen kolmio Tasasivuinen kolmio Tylppäkulmainen kolmio Suorakulmainen kolmio ABC Kulma C on suorakulma eli 90, a ja b ovat sen kyljet eli kateetit. Suorakulman vastakkainen kylki on hypotenuusa. Kateetti a on kolmion ja samalla neliön ABCD korkeus (normaali) ja kateetti b on kummankin leveys. Kuvasta voi päätellä, että kolmion pinta-ala on puolet neliön pinta-alasta, mikäli sen korkeus ja leveys ovat samat. Kolmion pinta-ala on siis a * b / 2 Saman kolmio eri asennossa. Vasemmalla olevan korkeus h on normaalina ulkopuolella kolmion ABC, kannan a jatkeella. Kolmion pinta-ala on a * h / 2 Sama kolmia on oikealla käännettynä, jolloin korkeus h' on normaali (eli kohtisuorassa) kannalle c. Kolmion pinta-ala on c * h'/ 2. Molemmissa tapauksissa saadaan kolmiolle ABC sama pinta-ala. 3² + 4² = 5² neliöiden aloina = 25 Suorakulmainen kolmio ja Pythagoraan lause: Suorakulmaisen kolmion kateeteille piirrettyjen neliöiden alojen summa on yhtäsuuri kuin hypotenuusalle piirretyn neliön ala.

4 Muita trikonometrisia (kolmion sisältäviä) kuvioita Suunnikas: vastakkaiset sivut ja kulmat Puolisuunnikas: väh. toiset vastakkaiset sivut yhtäsuuria. Pinta-ala: a * h eripitkiä. Pinta-ala: = a + b * h 2 Säännöllinen monikulmio, viisikolmio. Pinta-ala: 5 * ah Säännöllinen monikulmio, kuusikolmio. Pinta-ala: 6 * ah 2 2 (ympyrä on osoituksena viisikulmion säännöllisyydestä) Ympyrä Ympyrän kehän pituus on (pii) * halkaisija. = n. 3,14 (tarkempi arvo 3, ) tai Ympyrän kehän pituus: * 2 r Ympyrän pinta-ala: * r ² Ympyrän kaaren a pituus, jos kulma g = 45 kaaren a pituus on (360/45) eli kahdeksasosa kehästä Sektorin AOB pinta-ala: r * a / 2, jossa a on kaaren AB pituus (kehää pitkin). tai: g / 360 * * r ², jossa g on sekstorin keskuskulma asteina. Segmentin CED pinta-ala: 2/3 * b * h (tarkkuus sitä huonompi mitä paksumpi segmentti)

5 Harjoituksia Laske kolmioiden pinta-alat. (Sivu 3) Kolmion pinta-ala on a * h / 2 A = B = C = Laske Pythagoraan lauseketta (sivu 2 ja 3) käyttäen korkeuksien h ja h2 sekä ja hypotenuusa c:n pituus. (Ohje: a² + h² = 3² ; h² = 3² - a ²; h = 3² - a ² ) h = h2 = c = a = 4 m c = 4 m, d = 6 m neliön piiri = suorakulmion piiri = pinta-ala = pinta-ala = b:n pituus = e:n pituus =

6 Laske vinoneliön korkeus h Pythagoraan Suunnikkaan ABCD sivu b = 11 m lausekkeella h² = a² - b² Korkeus h = 7 m ja d = 4 m h = Suunnikkaan ABCD sivu b = 11 m Vinoneliön pinta-ala = Suunnikkaan ABCD pinta-ala Kolmion ahb pinta-ala = Laske sivun a pituus Pythagoraan lausekkeella. h² + d ² = a²; a = a² ; a = Päätykolmion pinta-ala Keskellä olevan nelikulmion pinta-ala Laske puolisuunnikkaan pinta-ala (sivu 4) Pytagoraan lausekkeella sivun a pituus k :n pituus Normaalin n pituus Päätykolmion pinta-ala käyttäen normaalia n Päätykolmion pinta-ala käyttäen normaalia h Lävistäjän e pituus Säännöllinen monikulmio voidaan sijoittaa ympyrän sisään. S on ko ympyrän säde. S = 6 m. Säteen suuntainen h on kolmion korkeusnormaali. Säännöllisessä kuusikulmiossa kaikki kuusi kolmiota ovat tasasivuisia, joten h:n ja k:n pituus on laskettava. Laske Pytagoraan lauseketta käyttämällä kuusikulmion pinta-ala. _

7 Ympyrän kehän pituus on (pii) * halkaisija. = n. 3,14 (tarkempi arvo 3, ) tai Ympyrän kehän pituus: * 2 r Ympyrän pinta-ala: * r ² Ympyrän kaaren a pituus, jos kulma g = 45 kaaren a pituus on (360/45) eli kahdeksasosa kehästä Sektorin AOB pinta-ala: r * a / 2, jossa a on kaaren AB pituus (kehää pitkin). tai: g / 360 * * r ², jossa g on sekstorin keskuskulma asteina. Segmentin CED pinta-ala: 2/3 * b * h (tarkkuus sitä huonompi mitä paksumpi segmentti) Ympyrän halkaisija on 60 cm Laske ympyrän kehän pituus Kuinka monta kertaa sen kokoinen rengas pyörähtää kilometrin matkalla? Laske ympyrän pinta-ala Sektorin keskuskulma on 45 Kuinka pitkä on kaari a? Laske sektorin pinta-ala kummallakin tavalla Laske segmentin CED (likimääräinen) pinta-ala. (h = 10 cm)

8 Avaruusgeometriaa Kuutio Kuution kaikki sivut ovat yhtä pitkiä: pituus = 3, leveys = 3 ja korkeus = 3. Tilavuus = 3 * 3 * 3 = 27 pikku kuutiota. Suorakulmainen särmiö Kuutiossa ovat kaikki särmät saman mittaiset. Kuutiometri. Kuinka monta litraa vettä siihen mahtuu? Muutetaan mitat desimetreiksi, sillä kuutiodesimetri vastaa. tilavuudeltaan litraa. Tilavuus on 10 dm * 10 dm * 10 dm = 1000 dm³ = 1000 litraa. Kuinka monta litraa mahtuu viereiseen suotakulmaisen särmiön muotoiseen säiliöön? Muutetaan särmien pituudet desimetreiksi, jolloin tilavuus saadaan kuutiodesimetreinä eli litroina Tilavuus = 3 * 4 * 5 = 60 dm³ eli 60 litraa Pyramidi Viereisen pyramidin mitat ovat samat kuin kuutiometrissä. (Korkeus on mitattu keskeltä pohjaneliötä pyramidin huippuun) Pyramidin tilavuus on kolmasosa vastaavan kuution (tai suorakulmaisen särmiön tilavuudesta). 1 m³/3 = 0,33333 m³ = 333,33 dm³ eli litraa

9 Lieriö Lieriön pohja ja kansi ovat samankokoisia ympyröitä. Lieriön tilavuus = korkeus * ympyrän pinta-ala Ympyrän säde = 9,2cm / 2 = 4,6 cm Pinta-ala = * 4,6² = 3,14 * 21,16 = 66,4424 cm² Lieriön tilavuus = 15,0 * 66,4424 cm³ = 996, 636 cm³ = noin 1000 cm³ = 1000 ml = 1 litra Kartio Oheisen kartion pohjaympyrän halkaisija ja kartion korkeus on sama kuin yllä olevan lieriön. Kartio kapenee ylöspäin kärkipisteeksi. Siitä seuraa se, että kartion tilavuus on vain 1/3 vastaavan lieriön tilavuudesta eli 332,212 cm³ eli noin 1/3 litraa. Pallo Pallon tilavuus Mikä on pallon tilavuus litroina, jos sen halkaisija on 60 cm? Pallon säde on 3 dm (Lasketaan desimetreinä, jolloin saadaan tilavuus suoraan litroina) Tilavuus eli V = 4 * r ³ = 1,33 * 3,14 * 3 * 3 * 3 3 = 112,7574 litraa. Pallon tilavuus on yllättävä suuri. (Taskulaskimella laskien V = 113, litraa) Pallon pinta-ala Pallon pinta-ala on 4 kertaa isoympyrän pinta-ala. r = 3 dm 4 * * 3² = 113,1 dm² = 1,131 m²

10 Harjoituksia 2 Rakennuksen lattian mitat ovat 10 m x 12 m. Siihen valetaan 8 cm paksu betonilaatta. Kuinka paljon betonia tarvitaan? cm Kuinka paljon (neliömetreinä) tarvitaan levyä kuutionmuotoisen laatikon valmistamiseen.? 60 cm 60 cm Säiliön alaosa on lieriö ja yläosa puolipallo. Laske säiliön tilavuus kuutiometreinä. Pallon halkaisija = m Lieriön korkeus = m Pallon (ja lieriön) säde = m Pallon tilavuus = m³ Puolipallon tilavuus = m³ Lieriön tilavuus = m³ Säiliön tilavuus = m³ Laske jäätelötuutin (kartio) tilavuus millilitroina. ml = cm³ cl = 10 cm³ dl = 100 cm³ Kartion ympyrän pinta-ala = cm² Kartion tilavuus = ml = dl

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. A III, B II, C ei mikään, D I. a) Kolmion kulmien summa on 80. Kolmannen kulman suuruus on 80 85 0 85. Kolmiossa on kaksi 85 :n kulmaa, joten se on tasakylkinen.

Lisätiedot

Vastaukset 1. A = (-4,3) B = (6,1) C = (4,8) D = (-7,-1) E = (-1,0) F = (3,-3) G = (7,-9) 3. tämä on ihan helppoa

Vastaukset 1. A = (-4,3) B = (6,1) C = (4,8) D = (-7,-1) E = (-1,0) F = (3,-3) G = (7,-9) 3. tämä on ihan helppoa Vastaukset 1. A = (4,3) B = (6,1) C = (4,8) D = (7,1) E = (1,0) F = (3,3) G = (7,9) 2. 3. tämä on ihan helppoa 4. 5. a) (0, 0) b) Kolmannessa c) Ensimmäisessä d) toisessa ja neljännessä 117 6. 7. 8. esimerkiksi

Lisätiedot

Lieriö ja särmiö Tarkastellaan pintaa, joka syntyy, kun tasoa T leikkaava suora s liikkuu suuntansa

Lieriö ja särmiö Tarkastellaan pintaa, joka syntyy, kun tasoa T leikkaava suora s liikkuu suuntansa Lieriö ja särmiö Tarkastellaan pintaa, joka syntyy, kun tasoa T leikkaava suora s liikkuu suuntansa säilyttäen pitkin tason T suljettua käyrää (käyrä ei leikkaa itseään). Tällöin suora s piirtää avaruuteen

Lisätiedot

Kertausosan ratkaisut. 1. Kulma α on 37 suurempi kuin kulma eli 37. Koska kulmat α ja β ovat vieruskulmia, niiden summa on 180 eli

Kertausosan ratkaisut. 1. Kulma α on 37 suurempi kuin kulma eli 37. Koska kulmat α ja β ovat vieruskulmia, niiden summa on 180 eli Kertausosa 1. Kulma α on 7 suurempi kuin kulma eli 7. Koska kulmat α ja β ovat vieruskulmia, niiden summa on 180 eli 180 7 180 14 : 71,5 Siis 7 71,5 7 108, 5 Vastaus: 108,5, 71, 5. Kuvaan merkityt kulmat

Lisätiedot

MATEMATIIKKA. Matematiikkaa pintakäsittelijöille PAOJ 2. SISÄLTÖ. 1.Pinta-alojen laskeminen 2.Tilavuuksien laskeminen.

MATEMATIIKKA. Matematiikkaa pintakäsittelijöille PAOJ 2. SISÄLTÖ. 1.Pinta-alojen laskeminen 2.Tilavuuksien laskeminen. MATEMATIIKKA Matematiikkaa pintakäsittelijöille PAOJ. Isto Jokinen 013 SISÄLTÖ 1.Pinta-alojen laskeminen.tilavuuksien laskeminen PINTA-ALOJEN LASKEMINEN Pintakäsittelyalan työtehtävissä on pinta-alojen

Lisätiedot

MATEMATIIKKA. Matematiikkaa pintakäsittelijöille PAOJ 2. SISÄLTÖ. 1.Pinta-alojen laskeminen 2.Tilavuuksien laskeminen.

MATEMATIIKKA. Matematiikkaa pintakäsittelijöille PAOJ 2. SISÄLTÖ. 1.Pinta-alojen laskeminen 2.Tilavuuksien laskeminen. MATEMATIIKKA Matematiikkaa pintakäsittelijöille PAOJ. Isto Jokinen 013 SISÄLTÖ 1.Pinta-alojen laskeminen.tilavuuksien laskeminen PINTA-ALOJEN LASKEMINEN Pintakäsittelyalan työtehtävissä on pinta-alojen

Lisätiedot

Valitse vain kuusi tehtävää! Tee etusivun yläreunaan pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin tarvittavat välivaiheet esille!

Valitse vain kuusi tehtävää! Tee etusivun yläreunaan pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin tarvittavat välivaiheet esille! 5.4.013 Jussi Tyni 1. Selitä ja piirrä seuraavat lyhyesti: a) Kehäkulma ja keskikulma b) Todista, että kolmion kulmien summa on 180 astetta. Selitä päätelmiesi perustelut.. a) Suorakulmaisen kolmion kateetit

Lisätiedot

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti!

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti! MAA3 Koe 1.4.2014 Jussi Tyni Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti! A-Osio: Ei saa käyttää laskinta. MAOL saa olla alusta asti käytössä. Maksimissaan

Lisätiedot

4 Avaruusgeometria. Ennakkotehtävät. 1. a) Pisin mahdollinen jana on jana AC. Pisin mahdollinen jana on jana AG. c) Kulma on 90.

4 Avaruusgeometria. Ennakkotehtävät. 1. a) Pisin mahdollinen jana on jana AC. Pisin mahdollinen jana on jana AG. c) Kulma on 90. Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.10.016 4 Avaruusgeometria Ennakkotehtävät 1. a) b) Pisin mahdollinen jana on jana AC. Pisin mahdollinen jana on jana AG. c) Kulma on 90.

Lisätiedot

[MATEMATIIKKA, KURSSI 8]

[MATEMATIIKKA, KURSSI 8] 2015 Puustinen, Sinn PYK [MATEMATIIKKA, KURSSI 8] Trigometrian ja avaruusgeometrian teoriaa, tehtäviä ja linkkejä peruskoululaisille Sisällysluettelo 8.1 PYTHAGORAAN LAUSE... 3 8.1.1 JOHDANTOTEHTÄVÄT 1-6...

Lisätiedot

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse 6 tehtävää!

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse 6 tehtävää! MAA Koe 4.4.011 Jussi Tyni Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse 6 tehtävää! 1 Selitä ja piirrä seuraavat lyhyesti: a) Vieruskulmat b) Tangentti kulmasta Katsottuna.

Lisätiedot

Mb02 Koe 26.1.2015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/1

Mb02 Koe 26.1.2015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/1 Mb0 Koe 6.1.015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/1 Kokeessa on kolme osiota: A, B1 ja B. Osiossa A et saa käyttää laskinta. Palautettuasi Osion A ratkaisut, saat laskimen pöydältä. Taulukkokirjaa voit

Lisätiedot

Avaruusgeometrian perusteita

Avaruusgeometrian perusteita Avaruusgeometrian perusteita Määritelmä: Kolmiulotteisen avaruuden taso on sellainen pinta, joka sisältää kokonaan jokaisen sellaisen suoran, jonka kanssa sillä on kaksi yhteistä pistettä. Ts. taso on

Lisätiedot

MAA3 TEHTÄVIEN RATKAISUJA

MAA3 TEHTÄVIEN RATKAISUJA MAA3 TEHTÄVIEN RATKAISUJA 1. Piirretään kulman kärki keskipisteenä R-säteinen ympyränkaari, joka leikkaa kulman kyljet pisteissä A ja B. Nämä keskipisteenä piirretään samansäteiset ympyräviivat säde niin

Lisätiedot

TYÖPAJA 1: Tasogeometriaa GeoGebran piirtoalue ja työvälineet

TYÖPAJA 1: Tasogeometriaa GeoGebran piirtoalue ja työvälineet TYÖPAJA 1: Tasogeometriaa GeoGebran piirtoalue ja työvälineet Näissä harjoituksissa työskennellään näkymässä Näkymät->Geometria PIIRRÄ a) jana, jonka pituus on 3 b) kulma, jonka suuruus on 45 astetta c)

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka a) p = 2πr r = 4,5 = 2π 4,5 = 28, piiri on 28 cm. A = πr 2 r = 4,5

Tekijä Pitkä matematiikka a) p = 2πr r = 4,5 = 2π 4,5 = 28, piiri on 28 cm. A = πr 2 r = 4,5 Tekijä Pitkä matematiikka 3 1.10.016 176 a) p = πr r = 4,5 = π 4,5 = 8,7... 8 piiri on 8 cm A = πr r = 4,5 b) = π 4,5 = 63,617... 64 Ala on 64 cm p = πd d = 5,0 = π 5,0 = 15,7... 16 piiri on 16 cm r =

Lisätiedot

[MATEMATIIKKA, KURSSI 9]

[MATEMATIIKKA, KURSSI 9] 2016 Puustinen, Sinn PYK [MATEMATIIKKA, KURSSI 9] Avaruusgeometrian teoriaa, tehtäviä ja linkkejä peruskoululaisille 1 SISÄLLYSLUETTELO 9. KURSSIN SISÄLTÖ... 3 9.0.1 MALLIKOE 1... 4 9.0.2 MALLIKOE 2...

Lisätiedot

302 Nelikulmion kulmien summa on ( 4 2) 301 a) Ainakin yksi kulma yli 180. , joten nelikulmio on olemassa. a) = 280 < 360

302 Nelikulmion kulmien summa on ( 4 2) 301 a) Ainakin yksi kulma yli 180. , joten nelikulmio on olemassa. a) = 280 < 360 Pyramidi Geometria tetävien ratkaisut sivu 01 a) Ainakin yksi kulma yli 180. 0 Nelikulmion kulmien summa on ( 4 ) 180 = 60. a) 90 + 190 = 80 < 60, joten nelikulmio on olemassa. Hamotellaan kuvaaja, joon

Lisätiedot

Tasogeometriaa GeoGebran piirtoalue ja työvälineet

Tasogeometriaa GeoGebran piirtoalue ja työvälineet Tasogeometriaa GeoGebran piirtoalue ja työvälineet Näissä harjoituksissa työskennellään näkymässä Näkymät->Geometria PIIRRÄ (ja MITTAA) a) jana toinen jana, jonka pituus on 3 b) kulma toinen kulma, jonka

Lisätiedot

Pythagoraan polku 16.4.2011

Pythagoraan polku 16.4.2011 Pythagoraan polku 6.4.20. Todista väittämä: Jos tasakylkisen kolmion toista kylkeä jatketaan omalla pituudellaan huipun toiselle puolelle ja jatkeen päätepiste yhdistetään kannan toisen päätepisteen kanssa,

Lisätiedot

M 1 ~M 2, jos monikulmioiden vastinkulmat ovat yhtä suuret ja vastinsivujen pituuksien suhteet ovat yhtä suuret eli vastinsivut ovat verrannolliset

M 1 ~M 2, jos monikulmioiden vastinkulmat ovat yhtä suuret ja vastinsivujen pituuksien suhteet ovat yhtä suuret eli vastinsivut ovat verrannolliset Yhdenmuotoisuus ja mittakaava Tasokuvioiden yhdenmuotoisuus tarkoittaa havainnollisesti sitä, että kuviot ovat samanmuotoiset mutta eivät välttämättä samankokoiset. Kahdella yhdenmuotoisella kuviolla täytyy

Lisätiedot

Avainsanat: geometria, kolmio, ympyrä, pallo, trigonometria, kulma

Avainsanat: geometria, kolmio, ympyrä, pallo, trigonometria, kulma OuLUMA - Jussi Tyni OuLUMA, sivu 1 Ihastellaan muotoja Avainsanat: geometria, kolmio, ympyrä, pallo, trigonometria, kulma Luokkataso: lukio Välineet: kynä, paperia, laskin Tavoitteet: Tarkoitus on arkielämään

Lisätiedot

Ympyrä 1/6 Sisältö ESITIEDOT: käyrä, kulma, piste, suora

Ympyrä 1/6 Sisältö ESITIEDOT: käyrä, kulma, piste, suora Ympyrä 1/6 Sisältö Ympyrä ja sen yhtälö Tason pisteet, jotka ovat vakioetäisyydellä kiinteästä pisteestä, muodostavat ympyrän eli ympyräviivan. Kiinteä piste on ympyrän keskipiste ja vakioetäisyys sen

Lisätiedot

3 Avaruusgeometria. Lieriö. 324. a) V = 30 20 12 = 7 200 (cm 3 ) 7 200 cm 3 = 7,2 dm 3 = 7,2 l. b) V = A p h = 30 15 = 450 (cm 3 )

3 Avaruusgeometria. Lieriö. 324. a) V = 30 20 12 = 7 200 (cm 3 ) 7 200 cm 3 = 7,2 dm 3 = 7,2 l. b) V = A p h = 30 15 = 450 (cm 3 ) Avaruusgeometria Lieriö 4. a) 0 0 1 7 00 (cm ) 7 00 cm 7, dm 7, l b) A p h 0 15 450 (cm ) 5. Kuution särmän pituus on a 1, cm. a) a 1, 1,78 1,7 (cm ) b) A 6a 6 1, 8,64 8,6 (cm ) 16 6. r d 8 (cm) A p h

Lisätiedot

Kenguru Student (lukion 2. ja 3. vuosi) sivu 1 / 6

Kenguru Student (lukion 2. ja 3. vuosi) sivu 1 / 6 Kenguru Student (lukion 2. ja 3. vuosi) sivu 1 / 6 NIMI LUOKKA/RYHMÄ Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto.

Lisätiedot

Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu a)

Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu a) Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu 8 501 a) Kolmiossa C kaksi yhtä pitkää sivua kuin kolmiossa DEF ja näiden sivujen väliset kulmat ovat yhtä suuret, joten kolmiot ovat yhtenevät yhtenevyyslauseen

Lisätiedot

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät:

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: MAA3 Geometria Koe 5.2.2016 Jussi Tyni Lue ohjeet ja tee tehtävät huolellisesti! Tee tarvittavat välivaiheet, vaikka laskimesta voikin ottaa tuloksia. Välivaiheet perustelevat vastauksesi. Tee pisteytysruudukko

Lisätiedot

Tässä osassa ei käytetä laskinta. Kaikkiin tehtäviin laskuja tai perusteluja näkyviin, ellei muuta ole mainittu.

Tässä osassa ei käytetä laskinta. Kaikkiin tehtäviin laskuja tai perusteluja näkyviin, ellei muuta ole mainittu. Peruskoulun matematiikkakilpailu Loppukilpailu perjantaina 6..009 OSA Ratkaisuaika 30 min Pistemäärä 0 Tässä osassa ei käytetä laskinta. Kaikkiin tehtäviin laskuja tai perusteluja näkyviin, ellei muuta

Lisätiedot

4.1 Urakäsite. Ympyräviiva. Ympyrään liittyvät nimitykset

4.1 Urakäsite. Ympyräviiva. Ympyrään liittyvät nimitykset 4.1 Urakäsite. Ympyräviiva. Ympyrään liittyvät nimitykset MÄÄRITELMÄ 6 URA Joukko pisteitä, joista jokainen täyttää määrätyn ehdon, on ura. Urakäsite sisältää siten kaksi asiaa. Pistejoukon jokainen piste

Lisätiedot

α + β = 90º β = 62,5º α + β = 180º β 35º+β = 180º +35º β = 107,5º Tekijä MAA3 Geometria Kulma α = β 35º.

α + β = 90º β = 62,5º α + β = 180º β 35º+β = 180º +35º β = 107,5º Tekijä MAA3 Geometria Kulma α = β 35º. K1 Kulma α = β 35º. Tekijä MAA3 Geometria.8.016 a) Komplementtikulmien summa on 90º. α + β = 90º β 35º+β = 90º +35º β = 15º : β = 6,5º Tällöin α = 6,5º 35º= 7,5º. b) Suplementtikulmien summa on 180º. α

Lisätiedot

4.3 Kehäkulma. Keskuskulma

4.3 Kehäkulma. Keskuskulma 4.3 Kehäkulma. Keskuskulma Sellaista kulmaa, jonka kärki on ympyrän kehällä ja kumpikin kylki leikkaa (rajatapauksessa sivuaa) ympyrän kehää, sanotaan kehäkulmaksi, ja sitä vastaavan keskuskulman kyljet

Lisätiedot

3. Piirrä kaksi tasoa siten, että ne jakavat avaruuden neljään osaan.

3. Piirrä kaksi tasoa siten, että ne jakavat avaruuden neljään osaan. KOKEIT KURSSI 2 Matematiikan koe Kurssi 2 () 1. Nimeä kulmat ja mittaa niiden suuruudet. a) c) 2. Mitkä kuvion kulmista ovat a) suoria teräviä c) kuperia? 3. Piirrä kaksi tasoa siten, että ne jakavat avaruuden

Lisätiedot

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1.

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1. ABIKertaus.. a. Ratkaise yhtälö 8 5 4 + + 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on. 4. Jaa polynomi 8 0 5 ensimmäisen asteen tekijöihin ja ratkaise tämän avulla 4 epäyhtälö 8 0 5 0.

Lisätiedot

Kenguru Student (lukion 2. ja 3.), ratkaisut sivu 1 / 13

Kenguru Student (lukion 2. ja 3.), ratkaisut sivu 1 / 13 Kenguru Student (lukion ja ), ratkaisut sivu / pistettä Kuvasta huomataan, että + + 5 + 7 = 44 Kuinka paljon tämän mukaan on + + 5 + 7 + 9 + + + 5 + 7? A) 44 B) 99 C) 444 D) 66 E) 49 Ratkaisu: Kuvan havainnollistuksen

Lisätiedot

Kenguru 2013 Student sivu 1 / 7 (lukion 2. ja 3. vuosi)

Kenguru 2013 Student sivu 1 / 7 (lukion 2. ja 3. vuosi) Kenguru 2013 Student sivu 1 / 7 NIMI RYHMÄ Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta

Lisätiedot

Kun pallojen keskipisteet yhdistetään, muodostuu neliöpohjainen, suora pyramidi (kuva 3), jonka sivusärmien pituudet ovat 2 pallon säde eli 2 1 = 2.

Kun pallojen keskipisteet yhdistetään, muodostuu neliöpohjainen, suora pyramidi (kuva 3), jonka sivusärmien pituudet ovat 2 pallon säde eli 2 1 = 2. Hyvän ratkaisun piirteitä: a) Neliöpohjainen rakennelma Kun pallojen keskipisteet yhdistetään, muodostuu neliöpohjainen, suora pyramidi (kuva ), jonka sivusärmien pituudet ovat 2 pallon säde eli 2 1 =

Lisätiedot

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p MAA..0 Muista kirjoittaa jokaiseen paperiin nimesi! Tee vastauspaperin yläreunaan pisteytysruudukko! Valitse kuusi tehtävää! Perustele vastauksesi välivaiheilla! Jussi Tyni Ratkaise: a) x x b) xy x 6y

Lisätiedot

1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a)

1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a) Pitkä matematiikka YO-koe 9..04. a) b) 7( x ) + = x ( x ) x(5 8 x) > 0 7x + = x x + 8x + 5x > 0 7x = 0 Nollakohdat: 0 8x + 5x = 0 x = 7 x(8x 5) = 0 5 5 x = 0 tai x = Vastaus: 0 < x < 8 8 c) a+ b) a b)

Lisätiedot

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b)

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b) MAA4 ratkaisut. 5 a) Itseisarvon vastauksen pitää olla aina positiivinen, joten määritelty kun 5 0 5 5 tai ( ) 5 5 5 5 0 5 5 5 5 0 5 5 0 0 9 5 9 40 5 5 5 5 0 40 5 Jälkimmäinen vastaus ei toimi määrittelyjoukon

Lisätiedot

Kenguru 2012 Cadet (8. ja 9. luokka)

Kenguru 2012 Cadet (8. ja 9. luokka) sivu 1 / 7 NIMI LUOKKA Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta saat miinuspisteitä

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN alculus Lukion M Geometia Paavo Jäppinen lpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKTESTIN J KERTUSKOKEIEN TEHTÄVÄT RTKISUINEEN Geometia (M) Pikatesti ja ketauskokeet Tehtävien atkaisut 1 Pikatesti (M) 1 Määitä

Lisätiedot

Tekijät: Hellevi Kupila, Katja Leinonen, Tuomo Talala, Hanna Tuhkanen, Pekka Vaaraniemi

Tekijät: Hellevi Kupila, Katja Leinonen, Tuomo Talala, Hanna Tuhkanen, Pekka Vaaraniemi 2. OSA: GEOMETRIA Tekijät: Hellevi Kupila, Katja Leinonen, Tuomo Talala, Hanna Tuhkanen, Pekka Vaaraniemi Alkupala Montako tasokuviota voit muodostaa viidestä neliöstä siten, että jokaisen neliön vähintään

Lisätiedot

Pinta-alojen ja tilavuuksien laskeminen 1/6 Sisältö ESITIEDOT: määrätty integraali

Pinta-alojen ja tilavuuksien laskeminen 1/6 Sisältö ESITIEDOT: määrätty integraali Pinta-alojen ja tilavuuksien laskeminen 1/6 Sisältö ESITIEDOT: Tasoalueen pinta-ala Jos funktio f saa välillä [a, b] vain ei-negatiivisia arvoja, so. f() 0, kun [a, b], voidaan kuvaajan y = f(), -akselin

Lisätiedot

Kenguru 2016 Student lukiosarja

Kenguru 2016 Student lukiosarja sivu 1 / 9 NIMI LUOKKA Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta saat miinuspisteitä

Lisätiedot

235. 236. 237. 238. 239. 240. 241. 8. Sovellutuksia. 8.1. Pinta-alan ja tilavuuden laskeminen. 8.2. Keskiö ja hitausmomentti

235. 236. 237. 238. 239. 240. 241. 8. Sovellutuksia. 8.1. Pinta-alan ja tilavuuden laskeminen. 8.2. Keskiö ja hitausmomentti 8. Sovellutuksia 8.1. Pinta-alan ja tilavuuden laskeminen 235. Laske sen kappaleen tilavuus, jota rajoittavat pinnat z = xy, x = y 2, z = 0, x = 1. (Kappale sijaitsee oktantissa x 0, y 0, z 0.) 1/6. 236.

Lisätiedot

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. Trigonometria Ennakkotehtävät. a) Mäessä korkeus kasvaa metriä jokaista vaakasuunnassa edettyä 0 metriä kohden eli jyrkkyys prosentteina on : 0 = 0, = 0 %. b) Hahmotellaan tilannetta kuvan avulla. Kun

Lisätiedot

a b c d

a b c d 1. 11. 011!"$#&%(')'+*(#-,.*/103/465$*784 /(9:*;9."$ *;5> *@9 a b c d 1. + +. 3. 4. 5. 6. + + + + + + + + + + P1. 5 140 8 47 = 5 140 ( 3 ) 47 = 5 140 3 47 = 5 140 141 = (5 ) 140 = 10 140, jossa on

Lisätiedot

3 Ympyrä ja kolmion merkilliset pisteet

3 Ympyrä ja kolmion merkilliset pisteet 3 Ympyrä ja kolmion merkilliset pisteet Ennakkotehtävät. a) Matkapuhelimen etäisyys tukiasemasta A on 5 km. Piirretään ympyrä, jonka keskipiste on tukiasema A ja säde 5 km (5 ruudun sivua). Matkapuhelin

Lisätiedot

11. Geometria Valikot ja näppäintoiminnot. Geometriasovelluksessa voit tehdä puhdasta tai analyyttista geometriaa.

11. Geometria Valikot ja näppäintoiminnot. Geometriasovelluksessa voit tehdä puhdasta tai analyyttista geometriaa. 11. Geometria Geometriasovelluksessa voit tehdä puhdasta tai analyyttista geometriaa. 11.1 Valikot ja näppäintoiminnot Kun valitset päävalikosta Geometry, näyttö tyhjenee ja näkyviin ilmestyy uusi painikevalikko

Lisätiedot

MITTAAMINEN I. Käännä! matematiikkalehtisolmu.fi

MITTAAMINEN I. Käännä! matematiikkalehtisolmu.fi 1 MITTAAMINEN I Tehtävät sopivat peruskoulun alaluokille. Ne on koostettu Matematiikkalehti Solmun Matematiikkadiplomeista I IV. Sivunumerot viittaavat näiden diplomitehtävien sivuihin. Aihepiirejä: oma

Lisätiedot

Pienoismallien rakentaminen Linnanmäen laitteista

Pienoismallien rakentaminen Linnanmäen laitteista Pienoismallien rakentaminen Linnanmäen laitteista Suunnittelu ja ohjeet: Hannele Ikäheimo ja Leena Kokko Valokuvat: Leena Kokko Pienoismallien rakentaminen Linnanmäen laitteista Suunnittelu ja ohjeet:

Lisätiedot

Kenguru 2011 Junior (lukion 1. vuosi)

Kenguru 2011 Junior (lukion 1. vuosi) sivu 1 / 8 NIMI LUOKKA/RYHMÄ Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Jätä ruutu tyhjäksi, jos et halua

Lisätiedot

Kolmiot ABC ja DEF ovat keskenään yhdenmuotoisia eli ABC DEF. Ratkaise. 6,0 cm. Koska vastinkulmat ovat yhtä suuret, myös kulman a suuruus on 29.

Kolmiot ABC ja DEF ovat keskenään yhdenmuotoisia eli ABC DEF. Ratkaise. 6,0 cm. Koska vastinkulmat ovat yhtä suuret, myös kulman a suuruus on 29. 1 Yhdenmuotoisuus Keskenään samanmuotoisia kuviota kutsutaan yhdenmuotoisiksi kuvioiksi. Yhdenmuotoisten kuvioiden toisiaan vastaavia kulmia kutsutaan vastinkulmiksi ja toisiaan vastaavia osia vastinosiksi.

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4 Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / 4 Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa

Lisätiedot

PERUSKOULUN MATEMATIIKKAKILPAILU LOPPUKILPAILU PERJANTAINA

PERUSKOULUN MATEMATIIKKAKILPAILU LOPPUKILPAILU PERJANTAINA PERUSKOULUN MATEMATIIKKAKILPAILU LOPPUKILPAILU PERJANTAINA 4..005 OSA 1 Laskuaika 30 min Pistemäärä 0 pistettä 1. Mikä on lukujonon seuraava jäsen? Minkä säännön mukaan lukujono muodostuu? 1 4 5 1 1 1

Lisätiedot

Kenguru 2013 Cadet (8. ja 9. luokka)

Kenguru 2013 Cadet (8. ja 9. luokka) sivu 1 / 7 NIMI LUOKKA Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta saat miinuspisteitä

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4 Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa A

Lisätiedot

LAHDEN AMMATTIKORKEAKOULU TEKNIIKAN ALA MATEMATIIKAN PREPPAUSTEHTÄVIÄ Kesä 2015

LAHDEN AMMATTIKORKEAKOULU TEKNIIKAN ALA MATEMATIIKAN PREPPAUSTEHTÄVIÄ Kesä 2015 PREPPAUSTA 05.nb LAHDEN AMMATTIKORKEAKOULU TEKNIIKAN ALA MATEMATIIKAN PREPPAUSTEHTÄVIÄ Kesä 05 MURTOLUVUT. Laske murtolukujen 3 ja 5 6 summa, tulo ja osamäärä. Summa 3 5 6 4 3 5 6 8 6 5 6 3 6 6. Laske

Lisätiedot

Kenguru 2016 Student lukiosarjan ratkaisut

Kenguru 2016 Student lukiosarjan ratkaisut sivu 1 / 22 Ratkaisut TEHTÄVÄ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 VASTAUS A C E C A A B A D A TEHTÄVÄ 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 VASTAUS A C B C B C D B E B TEHTÄVÄ 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 VASTAUS D C C E E

Lisätiedot

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion

Lisätiedot

GeoGebra. ohjeita ja tehtäviä 2. Pohdin projekti 1

GeoGebra. ohjeita ja tehtäviä 2. Pohdin projekti 1 Pohdin projekti 1 GeoGebra ohjeita ja tehtäviä 2 1 Lukuvuosina 2008-2012 Tampereen normaalikoulun matematiikan opetusharjoittelijat ovat olleet rakentamassa joko Capri-oppaita ja niiden pohjalta nyt käsillä

Lisätiedot

Kenguru 2014 Student sivu 1 / 8 (lukion 2. ja 3. vuosi)

Kenguru 2014 Student sivu 1 / 8 (lukion 2. ja 3. vuosi) Kenguru 2014 Student sivu 1 / 8 Nimi Ryhmä Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta

Lisätiedot

Tekijä MAA3 Geometria

Tekijä MAA3 Geometria Tekijä MAA3 Geometria 29.9.2016 240 Kuva voidaan piirtää esimerkiksi GeoGebran 3D-piirtoalueessa. Piirtäminen voidaan esimerkiksi aloittaa piirtämällä suorakulmio pohjaksi ja syöttämällä sen jälkeen kartion

Lisätiedot

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. b) B = (3, 0, 5) K2. 8 ( 1)

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. b) B = (3, 0, 5) K2. 8 ( 1) Kertaus K1. a) OA i k b) B = (, 0, 5) K. K. a) AB (6 ( )) i () ( ( 7)) k 8i 4k AB 8 ( 1) 4 64116 819 b) 1 1 AB( ( 1)) i 1 i 4 AB ( ) ( 4) 416 0 45 5 K4. a) AB AO OB OA OB ( i ) i i i 5i b) Pisteen A paikkavektori

Lisätiedot

Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s001.doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia.

Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s001.doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia. Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s00doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia Yleistä Ratkaise yhtälöt n n n n n 5 a) 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 5 b) ( ) ( ) > 0 + = + c) ( ) Suureet ja

Lisätiedot

Tehtävä 1 2 3 4 5 6 7 Vastaus

Tehtävä 1 2 3 4 5 6 7 Vastaus Kenguru Benjamin, vastauslomake Nimi Luokka/Ryhmä Pisteet Kenguruloikka Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Jätä ruutu tyhjäksi,

Lisätiedot

OSA 2: TRIGONOMETRIAA, AVARUUSGEOMETRIAA SEKÄ YHTÄLÖPARI

OSA 2: TRIGONOMETRIAA, AVARUUSGEOMETRIAA SEKÄ YHTÄLÖPARI OSA 2: TRIGONOMETRIAA, AVARUUSGEOMETRIAA SEKÄ YHTÄLÖPARI Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupila, Katja Leinonen, Tuomo Talala, Hanna Tuhkanen ja Pekka Vaaraniemi Alkupala Mitkä kuutiot on taiteltu kuvassa

Lisätiedot

Kenguru 2012 Junior sivu 1 / 8 (lukion 1. vuosi)

Kenguru 2012 Junior sivu 1 / 8 (lukion 1. vuosi) Kenguru 2012 Junior sivu 1 / 8 Nimi Ryhmä Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta

Lisätiedot

Kenguru 2012 Cadet (8. ja 9. luokka) Ratkaisut.

Kenguru 2012 Cadet (8. ja 9. luokka) Ratkaisut. sivu 1 / 16 3 pistettä 1. Kello laitetaan pöydälle viisaripuoli ylöspäin juuri silloin, kun minuuttiviisari osoittaa etelään. Kuinka monen minuutin kuluttua minuuttiviisari seuraavan kerran osoittaa itään?

Lisätiedot

1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot

1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot Helsingin yliopisto, Itä-Suomen yliopisto, Jyväskylän yliopisto, Oulun yliopisto, Tampereen yliopisto ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe (Ratkaisut ja pisteytys) 500 Kustakin tehtävästä saa maksimissaan

Lisätiedot

z Im (z +1) 2 = 0. Mitkä muut kompleksitason pisteet toteuttavat tämän yhtälön? ( 1) 0 z ( 1) z ( 1) arg = arg(z 0) arg(z ( 1)), z ( 1) z ( 1)

z Im (z +1) 2 = 0. Mitkä muut kompleksitason pisteet toteuttavat tämän yhtälön? ( 1) 0 z ( 1) z ( 1) arg = arg(z 0) arg(z ( 1)), z ( 1) z ( 1) . Osoita geometrisesti, että jos = ja niin pätee Im +) = 0. Mitkä muut kompleksitason pisteet toteuttavat tämän htälön? Kirjoitetaan +) = 0 ) ), ) 0 jossa, ja 0 vastaavat kolmion pisteitä kompleksitasossa.

Lisätiedot

a b c d

a b c d .. ÄÙ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ Ð Ù ÐÔ ÐÙÒ Ö Ø ÙØ 202 È ÖÙ Ö Ò ÑÓÒ Ú Ð ÒØ Ø ØĐ ÚĐ Ø a b c d. + + 2.. 4. 5. 6. + + + + + + + + + + P. Koska massojen suhteet (alkuperäinen timantti mukaan lukien) ovat : 4 : 7, niin

Lisätiedot

Kenguru 2013 Cadet (8. ja 9. luokka)

Kenguru 2013 Cadet (8. ja 9. luokka) sivu 1 / 12 3 pistettä 1. Annalla on neliöistä koostuva ruutupaperiarkki. Hän leikkaa paperista ruutujen viivoja pitkin mahdollisimman monta oikeanpuoleisessa kuvassa näkyvää kuviota. Kuinka monta ruutua

Lisätiedot

Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 2015

Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 2015 Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 015 Avoimen sarjan tehtävät ja niiden ratkaisuja 1. Olkoot a ja b peräkkäisiä kokonaislukuja, c = ab ja d = a + b + c. a) Osoita, että d on kokonaisluku. b) Mitä

Lisätiedot

Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a)

Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a) Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.5.6 Kertaus Integraalifunktio ja integrointi KERTAUSTEHTÄVIÄ K. a) ( )d C C b) c) d e e C cosd cosd sin C K. Funktiot F ja F ovat saman

Lisätiedot

Harjoitustehtävät, syys lokakuu 2010. Helpommat

Harjoitustehtävät, syys lokakuu 2010. Helpommat Harjoitustehtävät, syys lokakuu 010. Helpommat Ratkaisuja 1. Kellon minuutti- ja tuntiosoittimet ovat tasan suorassa kulmassa kello 9.00. Milloin ne ovat seuraavan kerran tasan suorassa kulmassa? Ratkaisu.

Lisätiedot

YLIOPPILASTUTKINTO 22. 3. 2000 MATEMATIIKAN KOE - PITKÄ OPPIMÄÄRÄ

YLIOPPILASTUTKINTO 22. 3. 2000 MATEMATIIKAN KOE - PITKÄ OPPIMÄÄRÄ INTERNETIX Ylioppilaskirjoitusten tehtävät Page YLIOPPILSTUTINTO MTEMTIIN OE PITÄ OPPIMÄÄRÄ okeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Eräät tehtävät sisältävät useita osia [merkittynä a), b) jne],

Lisätiedot

Aloita A:sta. Ratkaise osion (A, B, C, D, jne ) yhtälö vihkoosi. Pisteytä se itse ohjeen mukaan.

Aloita A:sta. Ratkaise osion (A, B, C, D, jne ) yhtälö vihkoosi. Pisteytä se itse ohjeen mukaan. Aloita A:sta Ratkaise osion (A, B, C, D, jne ) yhtälö vihkoosi. Pisteytä se itse ohjeen mukaan. Merkitse pisteet sinulle jaettavaan tehtävä- ja arviointilappuun. Kun olet saanut riittävästi pisteitä (6)

Lisätiedot

Cadets Sivu 1

Cadets Sivu 1 Cadets 2004 - Sivu 1 3 pistettä 1/ Laske 2004 4 200 A 400800 B 400000 C 1204 1200 E 2804 2/ Tasasivuista kolmiota AC kierretään vastapäivään pisteen A ympäri. Kuinka monta astetta sitä on kierrettävä kunnes

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 23.9.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 23.9.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 3.9.05 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa

Lisätiedot

Matematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot.

Matematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot. 7 Sovelluksia 90 a) Koska sin saa kaikki välillä [,] olevat arvot, niin funktion f ( ) = sin pienin arvo on = ja suurin arvo on ( ) = b) Koska sin saa kaikki välillä [0,] olevat arvot, niin funktion f

Lisätiedot

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän

Lisätiedot

3. Kuvio taitetaan kuutioksi. Mikä on suurin samaa kärkeä ympäröivillä kolmella sivutahkolla olevien lukujen tulo?

3. Kuvio taitetaan kuutioksi. Mikä on suurin samaa kärkeä ympäröivillä kolmella sivutahkolla olevien lukujen tulo? Peruskoulun matematiikkakilpailu Loppukilpailu perjantaina 4.2.2011 OSA 1 Ratkaisuaika 30 min Pistemäärä 20 Tässä osassa ei käytetä laskinta. Esitä myös lasku, kuvio, päätelmä tai muu lyhyt perustelu.

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla

Lisätiedot

1.2 Kulma. Kulmien luokittelua. Paralleeliaksiooma

1.2 Kulma. Kulmien luokittelua. Paralleeliaksiooma 1.2 Kulma. Kulmien luokittelua. Paralleeliaksiooma Pisteen, suoran ja tason avulla lähdetään muodostamaan uusia geometrian käsitteitä. Jos suora sahataan (keskeltä!!) poikki ja heitetään toinen puoli pois,

Lisätiedot

Aluksi. Avaruuskappaleista. Lieriö. MAB2: Avaruuskappaleita

Aluksi. Avaruuskappaleista. Lieriö. MAB2: Avaruuskappaleita MAB: Avaruuskappaleita Aluksi Tässä luvussa emme tyydy enää pelkkään tasoon. Aiheena ovat nyt avaruuskappaleet eli kolmiulotteiset kappaleet. Tarkastelemme lieriötä eli sylinteriä, kartiota, särmiötä,

Lisätiedot

Koontitehtäviä luvuista 1 9

Koontitehtäviä luvuista 1 9 11 Koontitehtäviä luvuista 1 9 1. a) 3 + ( 8) + = 3 8 + = 3 b) x x 10 = 0 a =, b = 1, c = 10 ( 1) ( 1) 4 ( 10) 1 81 1 9 x 4 4 1 9 1 9 x,5 tai x 4 4 c) (5a) (a + 1) = 5a a 1 = 4a 1. a) Pythagoraan lause:

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009 Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka..9 x x a) Ratkaise yhtälö =. 4 b) Ratkaise epäyhtälö x > x. c) Sievennä lauseke ( a b) (a b)(a+ b).. a) Osakkeen kurssi laski aamupäivällä,4 % ja keskipäivällä 5,6 %.

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3

Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3 Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (* merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä

Lisätiedot

Matematiikan olympiavalmennus

Matematiikan olympiavalmennus Matematiikan olympiavalmennus Toukokuun 2012 helpommat valmennustehtävät ratkaisuja 1 Määritä sellaisen kolmion ala, jonka kaksi kulmaa ovat 60 ja 45 ja jonka pisimmän sivun pituus on 1 Ratkaisu Olkoon

Lisätiedot

Tarkastellaan neliötä, jonka sivun pituus on yksi metri. Silloinhan sen pinta-ala on 1m 1m

Tarkastellaan neliötä, jonka sivun pituus on yksi metri. Silloinhan sen pinta-ala on 1m 1m MB: Yhdenmuotoisuus luksi Tämän luvun aiheina ovat yhdenmuotoisuus sekä yhdenmuotoisuussuhde. Kaikkein tavallisimmat yhdenmuotoisuuden sovellukset ovat varmasti kartta ja pohjapiirros. loitamme tutuista

Lisätiedot

( ) ( ) 1.1 Kulmia ja suoria. 1 Peruskäsitteitä. 1. a) epätosi b) tosi c) tosi d) epätosi e) tosi. 2. a) Kulmat ovat vieruskulmia, joten

( ) ( ) 1.1 Kulmia ja suoria. 1 Peruskäsitteitä. 1. a) epätosi b) tosi c) tosi d) epätosi e) tosi. 2. a) Kulmat ovat vieruskulmia, joten 1 Peruskäsitteitä 1.1 Kulmia ja suoria 1. a) epätosi b) tosi c) tosi d) epätosi e) tosi. a) Kulmat ovat vieruskulmia, joten α 180 5 155 b) Kulmat ovat ristikulmia, joten α 8. a) Kuvan kulmat ovat ristikulmia,

Lisätiedot

AVOIN MATEMATIIKKA 7 lk. Osio 2: Kuvioiden luokittelua ja pinta-aloja. (Omaan käyttöön muuntanut ja muokannut Jan-Erik Sandelin)

AVOIN MATEMATIIKKA 7 lk. Osio 2: Kuvioiden luokittelua ja pinta-aloja. (Omaan käyttöön muuntanut ja muokannut Jan-Erik Sandelin) AVOIN MATEMATIIKKA 7 lk. Osio 2: Kuvioiden luokittelua ja pinta-aloja Marika Toivola Tiina Härkönen (Omaan käyttöön muuntanut ja muokannut Jan-Erik Sandelin) Alkuperäinen sisältö on lisensoitu avoimella

Lisätiedot

Opetusmateriaali. Tarvittavat välineet: KUVA 1. Rullakko 1. KUVA 2. Rullakko 2, jossa kiekoissa on kuhmu

Opetusmateriaali. Tarvittavat välineet: KUVA 1. Rullakko 1. KUVA 2. Rullakko 2, jossa kiekoissa on kuhmu Opetusmateriaali Tämän materiaali on suunniteltu yhdensuuntaisuuden käsitteen opettamiseen. Yhdensuuntaisuuden käsitettä tarkastellaan ympyrän käsitteen kautta tutkimalla sitä, miten ympyrän kaikki halkaisijat

Lisätiedot

Matematiikan olympiavalmennus

Matematiikan olympiavalmennus Matematiikan olympiavalmennus Syyskuun 014 helpommat valmennustehtävät, ratkaisuja 1. Kuinka monen 014-numeroisen positiivisen kokonaisluvun numeroiden summa on parillinen? Ratkaisu. 014-numeroisen luvun

Lisätiedot

Kenguru Junior (lukion 1. vuosi), ratkaisut sivu 1 / 12

Kenguru Junior (lukion 1. vuosi), ratkaisut sivu 1 / 12 Kenguru Junior (lukion 1. vuosi), ratkaisut sivu 1 / 1 3 pistettä 1. Mikä on lukujen 010010 ja 010 osamäärä? A) 11 B) 101 C) 1001 D) 10001 E) osamäärä ei ole kokonaisluku Ratkaisu: 10001. Ilkan pisteet

Lisätiedot

Tehtävät on koostettu Matematiikkalehti Solmun Matematiikkadiplomista V. Sivunumerot viittaavat sen diplomitehtävien sivuihin.

Tehtävät on koostettu Matematiikkalehti Solmun Matematiikkadiplomista V. Sivunumerot viittaavat sen diplomitehtävien sivuihin. 1 MITTAAMINEN II Tehtävät on koostettu Matematiikkalehti Solmun Matematiikkadiplomista V. Sivunumerot viittaavat sen diplomitehtävien sivuihin. Aihepiirejä: Suomen maantieto, nopeus, matka ja aika, erilaisten

Lisätiedot

MAA4 Abittikokeen vastaukset ja perusteluja 1. Määritä kuvassa olevien suorien s ja t yhtälöt. Suoran s yhtälö on = ja suoran t yhtälö on = + 2. Onko väittämä oikein vai väärin? 2.1 Suorat =5 +2 ja =5

Lisätiedot