Derivaatta, interpolointi, L6

Transkriptio

1 , interpolointi, L6

2 1 Wikipeia: ( ) Etälukio: ( pitka_matematiikka/kurssi7/maa7_teoria10.html ) Maths online: ( moe/galerie/iff1/iff1.html )

3 2 Tarkastellaan funktion arvoja kohissa x 0 ja x 0 + h. Kuvaajan pisteien (x 0,f (x 0 )) ja (x 0 + h,f (x 0 + h)) kautta kulkeva suora on melkein kuvaajan suuntainen kohassa x 0. y f (x 0 + h) f (x 0 ) x 0 x 0 + h x

4 2 Tarkastellaan funktion arvoja kohissa x 0 ja x 0 + h. Kuvaajan pisteien (x 0,f (x 0 )) ja (x 0 + h,f (x 0 + h)) kautta kulkeva suora on melkein kuvaajan suuntainen kohassa x 0. y f (x 0 + h) f (x 0 ) x 0 x 0 + h x

5 2 Tarkastellaan funktion arvoja kohissa x 0 ja x 0 + h. Kuvaajan pisteien (x 0,f (x 0 )) ja (x 0 + h,f (x 0 + h)) kautta kulkeva suora on melkein kuvaajan suuntainen kohassa x 0. y f (x 0 + h) f (x 0 ) x 0 x 0 + h x

6 2 Tarkastellaan funktion arvoja kohissa x 0 ja x 0 + h. Kuvaajan pisteien (x 0,f (x 0 )) ja (x 0 + h,f (x 0 + h)) kautta kulkeva suora on melkein kuvaajan suuntainen kohassa x 0. y f (x 0 + h) f (x 0 ) x 0 x 0 + h x

7 2 Tarkastellaan funktion arvoja kohissa x 0 ja x 0 + h. Kuvaajan pisteien (x 0,f (x 0 )) ja (x 0 + h,f (x 0 + h)) kautta kulkeva suora on melkein kuvaajan suuntainen kohassa x 0. y f (x 0 + h) f (x 0 ) x 0 x 0 + h x

8 2 Tarkastellaan funktion arvoja kohissa x 0 ja x 0 + h. Kuvaajan pisteien (x 0,f (x 0 )) ja (x 0 + h,f (x 0 + h)) kautta kulkeva suora on melkein kuvaajan suuntainen kohassa x 0. y f (x 0 + h) f (x 0 ) x 0 x 0 + h x

9 2 Tarkastellaan funktion arvoja kohissa x 0 ja x 0 + h. Kuvaajan pisteien (x 0,f (x 0 )) ja (x 0 + h,f (x 0 + h)) kautta kulkeva suora on melkein kuvaajan suuntainen kohassa x 0. y f (x 0 + h) f (x 0 ) x 0 x 0 + h x

10 2 Tarkastellaan funktion arvoja kohissa x 0 ja x 0 + h. Kuvaajan pisteien (x 0,f (x 0 )) ja (x 0 + h,f (x 0 + h)) kautta kulkeva suora on melkein kuvaajan suuntainen kohassa x 0. y f (x 0 f + (xh) 0 ) x 0 x 0 + h x

11 2 Tarkastellaan funktion arvoja kohissa x 0 ja x 0 + h. Kuvaajan pisteien (x 0,f (x 0 )) ja (x 0 + h,f (x 0 + h)) kautta kulkeva suora on melkein kuvaajan suuntainen kohassa x 0. y f (x 0 f + (xh) 0 ) x 0 x

12 , määritelmä 3 Funktion f (x) kohassa x 0 on funktion erotusosamäärän raja-arvo f f (x 0 + h) f (x 0 ) (x 0 ) = lim. h 0 (x 0 + h) x 0 Derivaatalle käytetään monia merkintöjä. Jos y = f (x), niin merkinnän f (x) lisäksi käytetään myös merkintöjä y, y x, f x,df (x),df, x f (x)

13 , esimerkki 1. 4 Määritetään funktion f (x) = ax 2. f f (x 0 + h) f (x 0 ) a(x 0 + h) 2 ax0 2 (x 0 ) = lim = lim h 0 h h 0 h ax0 2 = lim + 2ax 0h + 2h 2 ax0 2 h 0 h = lim (2ax 0 + ah) = 2ax 0 h 0 = lim h 0 h(2ax 0 + ah) h Siis ( ax 2 ) = 2ax x

14 , apulause* 5 Apulause:Jos n > 0 on kokonaisluku, niin (x + h) n = x n + nhx n 1 + hp n (x,h), missä lim h 0 P n (x,h) = 0. Toistus: (1) Väite pitää paikkansa, kun n = 1, sillä (x + h) 1 = x h x 0 + h 0. (2) Toiseksi oletamme, että väite pitää paikkansa, kun n = 1,2,...,k, ja osoitamme, että se pitää silloin myös paikkansa, kun n = k + 1. Nyt (x + h) k+1 = (x + h)(x k + khx k 1 + hp k (x,h)) = x k+1 + (k + 1)hx k + h[khx k 1 + (x + h)p k (x,h)] } {{ } =P k+1 (x,h) 0, kun h 0

15 , esimerkki 2. 6 Määritetään funktion f (x) = ax n. f f (x 0 + h) f (x 0 ) a(x 0 + h) n ax0 n (x 0 ) = lim = lim h 0 h h 0 h ax0 n = lim + anhxn ahp n (x 0,h) ax0 n h 0 h h(nax0 n 1 + ap n (x 0,h)) = lim h 0 h = lim (nax0 n 1 + ap n (x 0,h)) = nax0 n 1 h 0 Siis x (axn ) = nax n 1

16 7 On helppoa ja suoraviivaista osoittaa, että x (f (x) + g(x)) = f (x) + g (x) Perustelu. Olkoon s(x) = f (x) + g(x). Silloin s (x 0 ) = lim h 0 s(x 0 + h) s(x 0 ) h (f (x 0 + h) + g(x 0 + h)) (f (x 0 ) + g(x 0 )) = lim h 0 ( h f (x0 + h) f (x 0 ) = lim + g(x ) 0 + h) g(x 0 ) h 0 h h = f (x 0 ) + g (x 0 )

17 8 Siis: Polynomifunktio erivoiaan termi kerrallaan ja jokainen termi erivoiaan kaavoilla (peruskaava) (vakio-x) (vakio) x (axn ) = nax n 1 x (ax) = a x (a) = 0

18 , esimerkkejä 9 (1) f (x) = 3x 2 + 7x + 15 f (x) = 6x = 6x + 7 (2) g(x) = 2x 5 3x 4 + x 3 + 7x 2 20x + 1 g (x) = 10x 4 12x 3 + 3x x 20 (3) h(x) = x 3 + 4x 2 + 2x + 11 g (x) = 3x 2 + 8x + 2

19 10 Funktioita Potenssifunktio: x (axn ) = nax n 1 Eksponentin n ei tarvitse olla kokonaisluku, vaan se voi olla murtoluku tai esimaaliluku! Neliöjuuri: ax = x x ( a x) = x ( ax 1/2 ) =... Palutui eeltävään kaavaan (EI OMAA KAAVAA)

20 11 Funktioita Eksponenttifunktio: Logaritmifunktio: x ex = e x, x eax = a e ax ( x ax = ln(a) e x ) x ln(x) = 1 x, x ln(ax) = 1 x ( x log a(x) = 1 ) x lna

21 12 Yleisiä Tulon : Eli lyhyesti x (f (c) g(x)) = f (x) g(x) + f (x) g (x) (f g) = f g + f g Osamäärän : ( ) f (x) = f (x) g(x) f (x) g (x) x g(x) (g(x)) 2 Eli lyhyesti ( ) f = f g f g g g 2

22 13 Yleisiä Yhistetyn funktion : x (g(f (x))) = g (f (x)) f (x) Esimerkki 1: Olkoon e 5x = g(f (x)), missä Silloin f (x) = 5x f (x) = 5 g(z) = e z g (z) = e z x (e5x ) = g (f (x)) f (x) = e f (x) f (x) = e 5x 5

23 14 Yleisiä x (g(f (x))) = g (f (x)) f (x) Esimerkki 2: Olkoon (5 + x 2 ) 3 = g(f (x)), missä Silloin f (x) = 5 + x 2 f (x) = 2x g(z) = z 3 g (z) = 3z 2 x ((5 + x2 ) 3 ) = g (f (x)) f (x) = 3(f (x)) 2 f (x) = 3(5 + x 2 ) 2 2x = 6x(5 + x 2 ) 2

24 15 Ketjusääntö y = g(z) = g(f (x)) x f z g y y (g(f (x))) = x x = y z z x = g (z) f (x) = g (f (x))f (x)

25 16 Olkoon y = f (x) funktio, jonka kuvaaja on melkein suora. Tieämme funktion f arvot kahessa kohassa: y 1 = f (x 1 ) ja y 2 = f (x 2 ). Haluamme arvioia (estimoia) funktion arvoa kohassa x 0, joka on kohtien x 1 ja x 2 välissä. y y 2 y 1 x 1 x 0 x 2 x

26 17 Piirretään suora pisteien (x 1,y 1 ) ja (x 2,y 2 ) kautta ja luetaan arvio suoralta y y 2 ŷ 0 y 1 x 1 x 0 x 2 x ŷ 0 y 1 x 0 x 1 = y 2 y 1 x 2 x 1 f (x 0 ) ŷ 0 = y 1 + y 2 y 1 x 2 x 1 (x 0 x 1 )

27 18 f (x 0 ) ŷ 0 = y 1 + y 2 y 1 x 2 x 1 (x 0 x 1 ) Jos x 1 < x 0 < x 2, niin kaavan soveltamista sanotaan interpoloinniksi. Jos x 0 ei ole kohtien x 1 ja x 2 välissä (eli x 0 < x 1 < x 2 tai x 1 < x 2 < x 0 ), niin kaavan soveltamista sanotaan ekstrapoloinniksi. Kaava on sama. Ekstrapoloinnissa syntyvä virhe saattaa olla suuri!

28 19 Linearinen kysyntäfunktio Se hinta p, jolla tuotteen koko tuotanto saaaan myytyä, riippuu tuotteen tarjotusta määrästä q. Kysyntäfunktion p = f (q) lauseketta ei tunneta, eikä se ole pysyvänä ees olemassa. Jos tieämme vastaavat arvot kahessa nykyhetkeen verrattavassa tilanteessa (q 1,p 1 ) ja (q 2,p 2 ), niin voimme estimoia kysyntäfunktiota seuraavasti. Olkoon tunnetut arvot (q 1,p 1 ) = (200kpl/kk,12.50e) ja (q 2,p 2 ) = (250kpl/kk,10.00e). Jos q 1 < q < q 2, niin p = f (q) p 1 + p 2 p 1 (q q 1 ) q 2 q = (q 200) = q