Matematiikan tukikurssi

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Matematiikan tukikurssi"

Transkriptio

1 Matematiikan tukikurssi Kurssikerta Integrointi Integrointi on erivoinnin käänteistoimitus: jos funktion F(x) erivaatta on f (x), niin funktion f (x) integraali on F(x). Täten, koska esimerkiksi funktion x 2 + e 2x erivaatta on 2x + 2e 2x, niin tämän funktion 2x + 2e 2x integraali on x 2 + e 2x. Tätä merkitään seuraavasti: 2x + 2e 2x x = x 2 + e 2x. Tässä ( )x tarkoittaa yksinkertaisesti että lauseke ( ) integroiaan. Se on yhtenäinen merkintä, jonka osat ja x eivät tarkoita yksinään varsinaisesti mitään, joskin x kertoo, että integrointi suoritetaan x:n suhteen. Vastaavasti ( )y tarkoittaa integrointia y:n suhteen. Vastaavasti huomataan esimerkiksi, että x 5 x = 6 x6, koska x 6 x6 = x 5. Integrointi on siis helppoa, jos osaat arvata, minkä funktion erivaatta tietty funktio on. Tavallaan siis osaat jo integroia, jos osaat erivoia. Integraalifunktio ei kuitenkaan ole yksikäsitteinen: myös funktio /6x on funktion x 5 integraalifunktio, koska funktion /6x erivaatta on x 5. Itse asiassa jos F(x) on funktion f (x) integraalifunktio eli x F(x) = f (x), niin myös funktio F(x) + C on funktion f (x) integraalifunktio millä tahansa vakion C arvolla, koska (F(x) + C) = f (x) + 0 = f (x). x Kun nyt puhutaan integroinnista, tarkoitetaan määräämättömän integraalin laskemista. Lisäksi on olemassa määrätty integraali. Näien kahen välinen ero selviää aikanaan.

2 Esimerkki (. Funktion ) 4x 2 kaikki integraalifunktiot ovat muotoa 4 3 x3 + C, koska x 43 x 3 + C = 4x 2. Koska integrointi on erivoinnin käänteistoimitus, niin jokaista erivoimissääntöä vastaa käänteinen integroimissääntö. Otetaan näistä esimerkkejä. Esimerkki 2. Potenssifunktion x n erivaatta on nx n. Täten x n x = n + xn+ + C. Eli koska potenssin erivoimissääntö kertoo, että potenssi tulee eteen kertoimeksi ja potenssi vähenee yhellä, kertoo vastaava integrointisääntö että potenssi kasvaa yhellä ja tämän yhellä kasvaneen potenssin käänteisluku tulee eteen kertoimeksi. Tästä seuraa esimerkiksi, että x 325 x = 326 x326 + C. Esimerkki 3. Tunnetusti logaritmin ln x erivaatta on /x. Täten x = ln x + C, x kun x > 0. Tähän mennessä käsitellyt integroinnit ovat olleet käytännössä melko suoraviivaisia. Hankalampia tehtäviä ovat usein erivoinnin ketjusääntöön perustuvat integroinnit. Derivoinnin ketjusääntöhän kertoo, että yhistetyn funktion f (g(x)) erivaatta on f (g(x))g (x). Eli ulkofunktion erivaatta (arvolla sisäfunktio g(x)) kertaa sisäfunktion erivaatta. Täten tämä sääntö kertoo meille esimerkiksi, että x (x2 + 6x) 20 = 20(x 2 + 6x) 9 (2x + 6). Täten luonnollisesti 20(x 2 + 6x) 9 (2x + 6)x = (x 2 + 6x) 20 + C, eli käytännössä tässäkään integroimissäännössä ei ole mitään uutta: se kertoo ainoastaan että f (g(x))g (x)x = f (g(x)) + C. Käytännössä vaikeaa on huomata, että lauseke 20(x 2 + 6x) 9 (2x + 6) on muotoa f (g(x))g (x). 2

3 Esimerkki 4. (3x 2 + 2)e x3 +2x+5 x = e x3 +2x+5 + C. Matemaattisen analyysin kurssilta muistuu mieleen myös, että logaritmin erivoimissääntöä ja ketjusääntöä voi yhistää erivoitaessa funktion f (x) logaritmia: x ln f (x) = f (x) f (x). Tässä pitää muistaa, että logaritmi on määritelty ainoastaan, kun f (x) > 0. Toisaalta jos f (x) < 0, niin silloin puolestaan ln( f (x)) on määritelty (koska tällöin f (x) > 0) ja x ln( f (x)) = f (x) f (x) = f (x) f (x). Täten funktion f (x) integrointi tuottaa tuloksen ln f (x) + C, jos f (x) on f (x) positiivinen, ja tuloksen ln( f (x)) + C, jos f (x) on negatiivinen. Nämä kaksi tapausta voi yhistää kätevästi kirjoittamalla, että f (x) x = ln f (x) + C, f (x) jossa f (x) voi olla negatiivinen tai positiivinen, kunhan f (x) = 0. Koska esimerkiksi x ln(x2 + 5x + ) = 2x + 5 x 2 + 5x +, niin vastaava integrointi kertoo täten, että 2x + 5 x 2 + 5x + x = ln x2 + 5x + + C. Eli jos tunnistat integroitavan funktion olevan muotoa f (x), niin integrointitehtävän vastaus on yksinkertaisesti ln f (x) + f (x) C. Esimerkki 5. Integroiaan nyt funktio 2x x 3 + x. 3

4 Tämä ei itse asiassa ole muotoa f (x)/ f (x), mutta sen huomataan olevan muotoa 4 f (x)/ f (x). Koska integrointi on lineaarinen operaatio 2, tämän lausekkeen integrointi voiaan suorittaa helposti siirtämällä kerroin 4 eteen: 2x x 3 + x x = 4 3x 2 + x 3 + x x = 4 ln x 3 + x. Tässä vaaitaan täyellisyyen vuoksi vielä ehto x 3 + x = 0. Huomaa, että integraalifunktio F(x) on aina erivoituva, koska määritelmän mukaan F (x) = f (x). Analyysin peruskurssilla osoitettiin, että erivoituva funktio on aina jatkuva. Tästä seuraa, että integraalifunktio on aina jatkuva. Tästä tuloksesta on apua, kun haetaan paloittain määriteltyjen funktioien integraaleja, kuten alla olevassa tehtävässä: Esimerkki 6. Etsitään funktion f (x) = { x 2, kun x 0 x, kun x < 0 integraalifunktio. Aluksi integroiaan funktio paloittain: funktion x 2 integraalifunktiot ovat muotoa 3 x3 + C ja funktion x integraalifunktiot ovat muotoa 2 x2 + C 2. Täten funkion f (x) integraalifunktiot F(x) ovat muotoa { 3 x 3 + C, kun x 0 F(x) = 2 x2 + C 2, kun x < 0. Tämän integraalifunktion pitää kuitenkin olla jatkuva, koska integraalifunktiot ovat aina jatkuvia. Tämä rajoittaa vakioien C ja C 2 arvoja. Jotta tuo integraalifunktio olisi jatkuva, on oltava että pisteessä x = 0 nuo kaksi palasta yhtyvät, eli 3 x3 + C = 2 x2 + C 2, kun x = 0. Tästä seuraa, että on oltava C = C 2. Täten halutut integraalifunktiot voiaan ilmaista muoossa: { 3 x 3 + C, kun x 0 F(x) = 2 x2 + C, kun x < 0. 2 Tämä tarkoittaa, että (a f (x) + bg(x))x = a f (x)x + b g(x)x. 4

5 Tässäkin esimerkissä tuloksena oli siis joukko integraalifunktioita: yksi integraalifunktio jokaista vakion C arvoa kohen. Käytännössä saaaan vain yksi ratkaisu, jos rajoitetaan funktion arvoa tietyssä pisteessä. Jos yllä olevassa esimerkissä vaaittaisiin vaikkapa, että F(3) = 0, niin silloin C = 0 eli C = 9. Tällöin saataisiin yksikäsitteinen integraalifunktio: F(x) = { 3 x 3 9, kun x 0 2 x 2 9, kun x < 0. Tämä ehto F(3) = 0 on esimerkki alkuarvosta, joita tullaan tapaamaan lisää esimerkiksi ifferentiaaliyhtälöien yhteyessä. 2 Osittaisintegrointi Matemaattisen analyysin peruskurssilla erivoitiin funktioita, jotka olivat kahen funktion tuloja: esimerkiksi funktio (2x 2 + 3x + )(e x + 4x) on funktioien 2x 2 + 3x + ja e x + 4x tulo. Tällainen funktio erivoitiin tulosäännöllä, joka menee seuraavasti: (2.) x ( f (x)g(x)) = f (x)g(x) + f (x)g (x). Tällä kaavalla voiaan laskea esimerkiksi yllä olevan funktion erivaatta: ( ) (2x 2 + 3x + )(e x + 4x) = (4x + 3)(e x + 4x) + (2x 2 + 3x + )(e x + 4). x Derivoinnin tulosääntö eli yhtälö (2.) voiaan luonnollisesti integroia kummaltakin puolelta: x ( f (x)g(x)) x = f (x)g(x)x + f (x)g (x)x. Koska integrointi ja erivointi ovat toistensa käänteistoimituksia, yllä olevan yhtälön vasemmalla puolella nämä kaksi toimitusta kumoavat toisensa ja koko yhtälö saaaan seuraavaan muotoon: f (x)g(x) = f (x)g(x)x + f (x)g (x)x. Tästä yhtälöstä voiaan nyt vähentää kummaltakin puolelta termi f (x)g(x)x, 5

6 jolloin saaaan osittaisintegroinnin kaava: (2.2) f (x)g (x) = f (x)g(x) f (x)g(x)x. Eli: haluamme integroia funktion f (x)g (x). Jos tämä integrointi ei onnistu suoraan (esimerkiksi kappaleessa esitetyllä tavalla), voiaan kokeilla osittaisintegrointia. Tällöin lasketaan ensin funktion f (x) erivaatta f (x) ja funktion g (x) integraali g(x). Lopuksi lasketaan integraali f (x)g(x)x, minkä jälkeen haluttu integraali saaaan kaavasta (2.2). Esimerkki 7. Lasketaan integraali xe x x käyttämällä osittaisintegrointia. Ensinnä luonnollisesti laskettavan integraalin on oltava muotoa f (x)g (x)x. Esimerkin lauseke on tätä muotoa, kun xe x = f (x)g (x). Käytännössä saamme aina valita, kumpi osista x ja e x on f (x) ja kumpi on g (x). Tämä tehtävä ratkeaa ainoastaan, jos valitsemme nämä seuraavasti: f (x) = x g (x) = e x. Seuraava vaihe osittaisintegroinnissa on aina laskea funktiot f (x) ja g(x). Nämä on tällä kertaa helppo laskea: f (x) = g(x) = e x. Tällöin termi f (x)g(x) on yhtä kuin xe x. Tämän tehtävään sovellettuna osittaisintegroinnin kaava kertoo siis seuraavaa: f (x)g (x)x = f (x)g(x) f (x)g(x) xe x x = xe x e x x. 6

7 Koska tuo viimeinen termi e x x on yhtä kuin e x, on tehtävän ratkaisu seuraava: xe x x = xe x e x. Tämä on vielä hyvä varmistaa erivoimalla yllä olevan yhtälön oikea puoli (käytetään erivoinnin tulosääntöä): Eli tehtävän tulos pätee. x (xex e x ) = e x + xe x e x = xe x. Tässä esimerkissä huomasimme osittaisintegroinnin päävaiheet:. Valitaan kumpi integroitavan lausekkeen osista on f (x) ja kumpi on g (x). 2. Lasketaan f (x) ja g(x). 3. Lasketaan integraali f (x)g(x)x 4. Käytetään osittaisintegroinnin kaavaa. Tämä oli yksinkertainen osittaisintegrointitehtävä ja kaikki nämä vaiheet sujuivat vaivatta. Seuraavassa esimerkissä kohta 3 ei toimi suoraan, vaan osittaisintegrointia jouutaan soveltamaan useaan kertaan. Esimerkki 8. Lasketaan seuraavaksi integraali x 2 e x x. Valitaan funktiot seuraavasti: f (x) = x 2 ja g (x) = e x, jolloin f (x) = 2x ja g(x) = e x. Tällöin saaaan osittaisintegroinnin kaavaa käyttäen: x 2 e x x = x 2 e x 2xe x x. Tässä integraali 2xe x x 7

8 ei ole laskettavissa suoraan, mutta sekin voiaan laskea osittaisintegroinnilla, mikä oikeastaan tehtiinkin jo (vakiota 2 vaille) eellisessä esimerkissä: 2xe x x = 2 xe x x = 2(xe x e x ). x 2 e x x = x 2 e x 2xe x x = x 2 e x 2(xe x e x )x = x 2 e x 2xe x + 2e x x. Tämän esimerkin opetus on siis, että joskus osittaisintegrointia pitää soveltaa useamman kerran samassa tehtävässä. Seuraava esimerkki puolestaan kertoo, että joskus osittaisintegrointi vaatii hieman luovuutta funktioien f (x) ja g (x) valinnassa. Esimerkki 9. Lasketaan integraali ln xx. Tässä funktiot f (x) ja g (x) tuntuvat aluksi mahottomilta muoostaa, koska integraalin sisässä näyttää olevan vain yksi funktio: ln x. Pienellä luovuuella huomaamme kuitenkin että tämäkin lauseke voiaan esittää kahen funktion tulona: muoossa ln xx, jolloin voiaan valita f (x) = ln x ja g (x) =. Nyt f (x)g(x) = x ln x ja f (x)g(x)x = x x = x, x jolloin ln xx = x ln x x. Alla olevassa esimerkissä esiintyy kolmas tapaus, joka kohataan usein osittaisintegroitaessa: integrointi ei varsinaisesti tuota tulosta, mutta lopulta saaaan lauseke, josta integraali saaaan pääteltyä. 8

9 Esimerkki 0. Integroiaan nyt osittaisintegroinnilla e 2x sin xx. Valitaan f (x) = e 2x ja g (x) = sin x. Täten f (x) = 2e 2x ja g(x) = cos x (koska kosiinifunktion erivaatta on sin x), joten e 2x sin xx = e 2x cos x 2e 2x ( cos x) = e 2x cos x + 2 e 2x cos x Sovelletaan nyt osittaisintegrointia toiseen kertaan: nyt tuohon jälkimmäisen integraaliin e 2x cos x. Valitaan tässä f (x) = e 2x ja g (x) = cos x. Täten f (x) = 2e 2x ja g(x) = sin x ja yllä oleva lauseke saaaan seuraavaan muotoon: ( ) e 2x cos x + 2 e 2x cos xx = e 2x cos x + 2 e 2x sin x sin x(2e 2x x) = e 2x cos x + 2e 2x sin x 4 sin xe 2x x. Nyt huomataan, että tähän asti saatu tulos kertoo itse asiassa seuraavaa: e 2x sin xx = e 2x cos x + 2e 2x sin x 4 sin xe 2x x Tässä integraali yhtälön vasemmalla puolella on sama kuin yhtälön oikean puolen viimeinen termi, joten ne voiaan siirtää samalle puolelle. Tämän jälkeen integraali ratkeaa helposti: 5 e 2x sin xx = e 2x cos x + 2e 2x sin x 4 e 2x sin xx = e 2x cos x + 2e 2x sin x e 2x sin xx = ( ) e 2x cos x + 2e 2x sin x 5 sin xe 2x x Tiivisteenä: osittaisintegrointi on erivoinnin tulosäännön käänteistoimitus 3. Sitä kannattaa soveltaa silloin, kun f (x)g (x)x 3 Jos et muista tentissä osittaisintegroinnin kaavaa ulkoa, riittää että muistat tulon erivoimissäännön, jolloin voit johtaa osittaisintegraalin kaavan tästä. 9

10 on vaikea laskea, mutta f (x)g(x)x on helppo laskea. Kuten aina integroitaessa, voi osittaisintegroinninkin tuloksen tarkistaa erivoimalla saatu lauseke. 3 Osamurtohajotelma Usein integroitavana on rationaalifunktio eli funktio, joka on muotoa P(x) Q(x), jossa P(x) ja Q(x) ovat polynomeja. Tällainen rationaalifunktio on esimerkiksi x 5 + 3x + x 3 + 2x 2. Tässä kannattaa kiinnittää aluksi huomiota polynomien asteisiin: yllä osoittajan aste on 5 ja nimittäjän aste on 3. Polynomin aste on siis sen korkeimman potenssin aste. Rationaalifunktioien integraaleja laskettaessa on oleellista huomata ensiksi, onko osoittajan aste suurempi kuin nimittäjän aste. Yllä osoittajan aste on suurempi, kun taas funktion x 2 + 4x x 7 + 5x nimittäjän aste (eli 7) on suurempi kuin osoittajan aste (eli 2). Se onko osoittajan vai nimittäjän aste suurempi ratkaisee miten näitä integraaleja kannattaa laskea. Aluksi käsittelemme tapauksen, jossa nimittäjän asteluku on suurempi. Esimerkki tällaisesta funktiosta on (x 4)(x 2), jonka nimittäjän asteluku on kaksi, minkä voi nähä laskemalla nimittäjän lausekkeen auki. Tätä funktiota on kuitenkin mahotonta integroia suoraan. Oleellista tällaisessa tapauksessa on tutkia nimittäjän nollakohtia. Yllä olevalla funktiolla on kaksi erillistä nollakohtaa: x = 4 ja x 2 = 2. 0

11 Tällaisessa tapauksessa tuolle funktiolle voi tehä seuraavanlaisen osamurtohajotelman: (x 4)(x 2) = A x 4 + A 2 x 2. Tässä A ja A 2 ovat vakioita, jotka pitää ratkaista. Käytännössä nämä ratkaistaan valitsemalla ne siten, että yllä olevan yhtälön vasen ja oikea puoli ovat samoja: (x 4)(x 2) = A x 4 + A 2 x 2 = (x 2)A (x 2)(x 4) + (x 4)A 2 (x 4)(x 2) = (x 2)A + (x 4)A 2 (x 4)(x 2) = A x 2A + A 2 x 4A 2. (x 4)(x 2) Tästä voiaan nyt ratkaista A ja A 2 : täytyy päteä, että (x 4)(x 2) = A x 2A + A 2 x 4A 2 (x 4)(x 2) eli että = A x 2A + A 2 x 4A 2. Koska tällä vasemmalla puolella on pelkkä luku, eikä yhtään x:ää sisältävää termiä, niin on oltava että A x + A 2 x = 0 eli A + A 2 = 0. Toinen ehto, joka saaaan on 2A 4A 2 =. Kun nämä kaksi ehtoa yhistetään, saaaan ensimmäisestä ehosta, että A = A 2, jonka voi sijoittaa toiseen ehtoon ja ratkaista 2A 2 4A 2 = eli A 2 = /2, jolloin A = /2. Täten tuo tehtävän rationaalifunktio voiaan esittää muoossa (x 4)(x 2) = A x 4 + A 2 x 2 = /2 x 4 /2 x 2. Nyt tämä oikea puoli on integroitavissa: /2 x 4 /2 x 2 x = /2 x 4 x /2 x 2 x = /2 ln x 4 /2 ln x 2 + C.

12 Täten tehtävän ratkaisu on x = /2 ln x 4 /2 ln x 2 + C. (x 4)(x 2) Yleisesti ottaen kun integroitavana on rationaalifunktio f (x) = P(x)/Q(x), jonka nimittäjän Q aste on suurempi kuin sen osoittajan P aste ja jonka nimittäjällä on erilliset nollakohat (Q(x) = a(x x )(x x 2 ) (x x n )) niin integraali saaaan ratkaistua jakamalla tehtävän funktio ensin osamurtoihin: P(x) Q(x) = A + A A n x x x x 2 x x n ja ratkaisemalla tästä vakiot A,..., A n. Tästä saaaan lopulta integroimalla ratkaisuksi P(x) Q(x) x = A ln x x + A 2 ln x x A n ln x x n + C Esimerkki. Halutaan laskea integraali x 2 x x. Nyt pitää aloittaa jakamalla nimittäjä tekijöihin, jolloin näemme sen nollakohat: x 2 x = x(x ). Eli nimittäjän nollakohat ovat selvästi 0 ja. Täten osamurtohajotelma on muotoa x(x ) = A x + A 2 x. Tästä voiaan ratkaista kertoimet A ja A 2 vanhaan malliin: x(x ) = A x + A 2 x = A (x ) x(x ) + A 2x x(x ) = A x A + A 2 x. x(x ) Jälleen ratkaistaan termit A ja A 2 asettamalla = A x A + A 2 x. Tästä seuraa heti, että A =. Tästä taas seuraa, että A 2 =. Täten x(x ) x = x x + x x = ln x x + ln x + C. 2

13 Toinen osamurtotapaus, jota käsittelemme, on tapaus jossa osoittajan asteluku on suurempi kuin nimittäjän asteluku. Tällainen funktio on esimerkiksi x 4 x 2 3x + 2. Tällainen polynomi pitää aluksi muokata eri muotoon esimerkiksi jakokulmassa. Alla tämä muokkaus kuitenkin suoritetaan hieman eri tavalla. Ieana on esittää osoittaja x 4 muoossa nimittäjä kertaa jokin luku plus jokin luku. Eli yleisesti ottaen haluamme esittää rationaalifunktion P(x)/Q(x) muoossa a(x)q(x) + b(x) Q(x) = a(x) + b(x) Q(x), jossa a(x) ja b(x) ovat polynomeja ja P(x) = a(x)q(x) + b(x). Ieana on, että osamäärä b(x) olisi muoossa, jossa nimittäjän asteluku olisi suurempi kuin osoittajan Q(x) asteluku. Funktion x 4 x 2 3x + 2 tapauksessa haluamme siis lisätä osoittajaan nimittäjän x 2 3x + 2 kerrottuna jollakin polynomilla. Koska osoittajassa on termi x 4, niin kerrotaan tämä nimittäjä termillä x 2, jolloin näien tulossa esiintyy termi x 4 : x 4 x 2 3x + 2 = x2 (x 2 3x + 2) + (3x 3 2x 2 ) x 2 3x + 2 = x 2 + 3x3 2x 2 x 2 3x + 2. Tuossa jälkimmäinen termi 3x 3 2x 2 valittiin siten, että pätee yhtäsuuruus x 4 = x 2 (x 2 3x + 2) + (3x 3 2x 2 ). Tämän jälkeen osoittajan tekijät jaettiin erikseen nimittäjällä. Saaussa funktiossa on kuitenkin eelleen tekijä (3x 3 2x 2 )/(x 2 3x + 2), jossa osoittajan aste ylittää nimittäjän asteen. Sovelletaan tähänkin samaa tekniikkaa: esitetään sen osoittaja nimittäjän kertoimen ja jäännöstermin avulla: 3x 3 2x 2 x 2 3x + 2 = 3x(x2 3x + 2) + (9x 2 6x) x 2 3x + 2 = 3x + 9x2 6x x 2 3x

14 Tässä valittiin jälleen nimittäjään kerroin 3x siten että osoittajan suurin termi 3x 3 saataisiin nimittäjän ja termin 3x kertoimena. Termi (9x 2 6x) valittiin siten, että pätisi 3x 3 2x 2 = 3x(x 2 3x + 2) + (9x 2 6x). Nyt olemme saaneet alkuperäisen funktion muotoon x 4 x 2 3x + 2 = x2 + 3x + 9x2 6x x 2 3x + 2. Muokataan vielä tämä viimeinen termi samalla taktiikalla kuntoon. Esitetään se muoossa 9x 2 6x x 2 3x + 2 = 9(x2 3x + 2) + (2x 8) x 2 3x + 2 2x 8 = 9 + x 2 3x + 2 Täten olemme saaneet muokattua alkuperäisen funktion muotoon x 4 x 2 3x + 2 = x2 + 3x x 8 x 2 3x + 2. Tämän viimeinen termi ei ole vieläkään integroitavissa, mutta ainakin se on tuttua tyyppiä, jossa nimittäjän asteluku ylittää osoittajan asteluvun. Lisäksi sen nimittäjä voiaan esittää tulomuoossa: x 2 3x + 2 = (x )(x 2), joten lauseke voiaan esittää osamurtoina: 2x 8 x 2 3x + 2 = A x + A 2 x 2. Tästä voiaan ratkaista vanhaan tapaan A = 3 ja A 2 = 24. Täten alkuperäinen funktio saaaan integroitua seuraavasti: x 4 x 2 3x + 2 x = x 2 + 3x x + 24 x 2 x = 3 x x2 + 9x 3 ln x + 24 ln x 2 + C. 4

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 10 1 Sarjakehitelmiä Palautetaan mieliin, että potenssisarja on sarja joka on muotoa a n (x x 0 ) n = a 0 + a 1 (x x 0 ) + a 2 (x x 0 ) 2 + a 3 (x x 0 ) 3 +. n=0 Kyseinen

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 1 Derivaatta Tarkastellaan funktion f keskimääräistä muutosta tietyllä välillä ( 0, ). Funktio f muuttuu tällä välillä määrän. Kun tämä määrä jaetaan välin pituudella,

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 2 Lisää osamurtoja Tutkitaan jälleen rationaalifunktion P(x)/Q(x) integrointia. Aiemmin käsittelimme tapauksen, jossa nimittäjä voidaan esittää muodossa Q(x) = a(x x

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 10 1 Sarjakehitelmiä Palautetaan mieliin, että potenssisarja on sarja joka on muotoa a n (x x 0 ) n = a 0 + a 1 (x x 0 ) + a 2 (x x 0 ) 2 + a 3 (x x 0 ) 3 +. n=0 Kyseinen

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi: kurssikerta 10

Matematiikan tukikurssi: kurssikerta 10 Matematiikan tukikurssi: kurssikerta 10 1 Newtonin menetelmä Oletetaan, että haluamme löytää funktion f(x) nollakohan. Usein tämä tehtävä on mahoton suorittaa täyellisellä tarkkuuella, koska tiettyjen

Lisätiedot

H5 Malliratkaisut - Tehtävä 1

H5 Malliratkaisut - Tehtävä 1 H5 Malliratkaisut - Tehtävä Eelis Mielonen 30. syyskuuta 07 a) 3a (ax + b)3/ + C b) a cos(ax + b) + C a) Tässä tehtävässä päästään harjoittelemaan lukiosta tuttua integrointimenetelmää. Ensimmäisessä kohdassa

Lisätiedot

MS-A0107 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (CHEM)

MS-A0107 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (CHEM) MS-A17 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 CHEM) Laskuharjoitus 4lv, kevät 16 1. Tehtävä: Laske cos x dx a) osittaisintegroinnilla, b) soveltamalla sopivaa trigonometrian kaavaa. Ratkaisu: a) Osittaisintegroinnin

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 7 Differentiaalikehitelmä Funktion f erivaatta pisteessä x 0 eli f (x 0 ) on erotusosamäärän rajaarvo: f (x) f (x 0 ). x x 0 x x 0 Tämä voiaan esittää hieman eri muoossa

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kertausta 2. välikokeeseen Toisessa välikokeessa on syytä osata ainakin seuraavat asiat: 1. Potenssisarjojen suppenemissäe, suppenemisväli ja suppenemisjoukko. 2. Derivaatan laskeminen

Lisätiedot

Muuttujan vaihto. Viikon aiheet. Muuttujan vaihto. Muuttujan vaihto. ) pitää muistaa lausua t:n avulla. Integroimisen työkalut: Kun integraali

Muuttujan vaihto. Viikon aiheet. Muuttujan vaihto. Muuttujan vaihto. ) pitää muistaa lausua t:n avulla. Integroimisen työkalut: Kun integraali Viikon aiheet Integroimisen työkalut: Rationaalifunktioiden jako osamurtoihin Rekursio integraaleissa CDH: Luku 4, Prujut206: Luvut 4-4.2.5, Prujut2008: s. 89-6 Kun integraali h(x) ei näytä alkeisfunktioiden

Lisätiedot

2.7 Neliöjuuriyhtälö ja -epäyhtälö

2.7 Neliöjuuriyhtälö ja -epäyhtälö 2.7 Neliöjuuriyhtälö ja -epäyhtälö Neliöjuuren määritelmä palautettiin mieleen jo luvun 2.2 alussa. Neliöjuurella on mm. seuraavat ominaisuudet. ab = a b, a 0, b 0 a a b =, a 0, b > 0 b a2 = a a > b, a

Lisätiedot

Mapu I Laskuharjoitus 2, tehtävä 1. Derivoidaan molemmat puolet, aloitetaan vasemmasta puolesta. Muistetaan että:

Mapu I Laskuharjoitus 2, tehtävä 1. Derivoidaan molemmat puolet, aloitetaan vasemmasta puolesta. Muistetaan että: Mapu I Laskuharjoitus 2, tehtävä 1 1. Eräs trigonometrinen ientiteetti on sin2x = 2sinxcosx Derivoimalla yhtälön molemmat puolet x:n suhteen, joha lauseke cos 2x:lle. Ratkaisu: Derivoiaan molemmat puolet,

Lisätiedot

Eksponenttifunktion Laplace muunnos Lasketaan hetkellä nolla alkavan eksponenttifunktion Laplace muunnos eli sijoitetaan muunnoskaavaan

Eksponenttifunktion Laplace muunnos Lasketaan hetkellä nolla alkavan eksponenttifunktion Laplace muunnos eli sijoitetaan muunnoskaavaan Laplace muunnos Hieman yksinkertaistaen voisi sanoa, että Laplace muunnos muuttaa derivaatan kertolaskuksi ja integroinnin jakolaskuksi. Tältä kannalta katsottuna Laplace muunnoksen hyödyllisyyden ymmärtää;

Lisätiedot

Oletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on

Oletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on Derivaatta Erilaisia lähestymistapoja: geometrinen (käyrän tangentti sekanttien raja-asentona) fysikaalinen (ajasta riippuvan funktion hetkellinen muutosnopeus) 1 / 13 Derivaatan määritelmä Määritelmä

Lisätiedot

Aluksi. 2.1. Kahden muuttujan lineaarinen epäyhtälö

Aluksi. 2.1. Kahden muuttujan lineaarinen epäyhtälö Aluksi Matemaattisena käsitteenä lineaarinen optimointi sisältää juuri sen saman asian kuin mikä sen nimestä tulee mieleen. Lineaarisen optimoinnin avulla haetaan ihannearvoa eli optimia, joka on määritelty

Lisätiedot

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2.1 Ensimmäisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Muuttujan x ensimmäisen asteen yhtälöksi sanotaan yhtälöä, joka voidaan kirjoittaa muotoon ax + b = 0, missä vakiot a ja b ovat reaalilukuja

Lisätiedot

Esimerkkejä derivoinnin ketjusäännöstä

Esimerkkejä derivoinnin ketjusäännöstä Esimerkkejä derivoinnin ketjusäännöstä (5.9.008 versio 1.0) Esimerkki 1 Määritä funktion f(x) = (x 5) derivaattafunktio. Funktio voidaan tulkita yhdistettynä funktiona, jonka ulko- ja sisäfunktiot ovat

Lisätiedot

MAA10 HARJOITUSTEHTÄVIÄ

MAA10 HARJOITUSTEHTÄVIÄ MAA0 Määritä se funktion f: f() = + integraalifunktio, jolle F() = Määritä se funktion f : f() = integraalifunktio, jonka kuvaaja sivuaa suoraa y = d Integroi: a) d b) c) d d) Määritä ( + + 8 + a) d 5

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi: kurssikerta 12

Matematiikan tukikurssi: kurssikerta 12 Matematiikan tukikurssi: kurssikerta 2 Tenttiin valmentavia harjoituksia Huomio. Tähän tulee lisää ratkaisuja sitä mukaan kun ehin niitä kirjoittaa. Kurssilla käyään läpi tehtävistä niin monta kuin mahollista.

Lisätiedot

(x 0 ) = lim. Derivoimissääntöjä. Oletetaan, että funktiot f ja g ovat derivoituvia ja c R on vakio. 1. Dc = 0 (vakiofunktion derivaatta) 2.

(x 0 ) = lim. Derivoimissääntöjä. Oletetaan, että funktiot f ja g ovat derivoituvia ja c R on vakio. 1. Dc = 0 (vakiofunktion derivaatta) 2. Derivaatta kuvaa funktion hetkellistä kasvunopeutta. Geometrisesti tulkittuna funktion derivaatta kohdassa x 0 on funktion kuvaajalle kohtaan x 0 piirretyn tangentin kulmakerroin. Funktio f on derivoituva

Lisätiedot

Epäyhtälön molemmille puolille voidaan lisätä sama luku: kaikilla reaaliluvuilla a, b ja c on voimassa a < b a + c < b + c ja a b a + c b + c.

Epäyhtälön molemmille puolille voidaan lisätä sama luku: kaikilla reaaliluvuilla a, b ja c on voimassa a < b a + c < b + c ja a b a + c b + c. Epäyhtälö Kahden lausekkeen A ja B välisiä järjestysrelaatioita A < B, A B, A > B ja A B nimitetään epäyhtälöiksi. Esimerkiksi 2 < 6, 9 10, 5 > a + + 2 ja ( + 1) 2 2 + 2 ovat epäyhtälöitä. Epäyhtälössä

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet: Luento 17. Osittaisintegrointi Sijoitusmenettely

Talousmatematiikan perusteet: Luento 17. Osittaisintegrointi Sijoitusmenettely Talousmatematiikan perusteet: Luento 17 Osittaisintegrointi Sijoitusmenettely Motivointi Viime luennolla käsittelimme integroinnin perussääntöjä: Vakiolla kerrotun funktion integrointi: af x dx = a f x

Lisätiedot

5. OSITTAISINTEGROINTI

5. OSITTAISINTEGROINTI 5 OSITTAISINTEGROINTI Kahden funktion f ja g tulo derivoidaan kuten muistetaan seuraavasti: D (fg) f g + f Kun tämä yhtälö integroidaan puolittain, niin saadaan fg f ()g()d + f ()()d Yhtälö saattaa erota

Lisätiedot

Reaalilukuvälit, leikkaus ja unioni (1/2)

Reaalilukuvälit, leikkaus ja unioni (1/2) Luvut Luonnolliset luvut N = {0, 1, 2, 3,... } Kokonaisluvut Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... } Rationaaliluvut (jaksolliset desimaaliluvut) Q = {m/n m, n Z, n 0} Irrationaaliluvut eli jaksottomat desimaaliluvut

Lisätiedot

MS-A0004 - Matriisilaskenta Laskuharjoitus 3

MS-A0004 - Matriisilaskenta Laskuharjoitus 3 MS-A0004 - Matriisilaskenta Laskuharjoitus 3 atkaisut Tehtävä Merkitään matriisin rivejä, 2 ja 3. Gaussin eliminoinnilla saadaan 3 5 4 7 3 5 4 7 3 2 4 2+ 0 3 0 6 6 8 4 3+2 2 0 3 0 6 3 5 4 7 0 3 0 6 3+

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle /

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle / MS-A8 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/7 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 5. viikolle / 9..5. Integroimismenetelmät Tehtävä : Laske osittaisintegroinnin avulla a) π x sin(x) dx,

Lisätiedot

f (t) + t 2 f(t) = 0 f (t) f(t) = t2 d dt ln f(t) = t2, josta viimeisestä yhtälöstä saadaan integroimalla puolittain

f (t) + t 2 f(t) = 0 f (t) f(t) = t2 d dt ln f(t) = t2, josta viimeisestä yhtälöstä saadaan integroimalla puolittain Matematiikan ja tilastotieteen osasto/hy Differentiaaliyhtälöt I Laskuharjoituksen mallit Kevät 09 Tehtävän ratkaisu a) Analyysin peruslauseen mukaan missä c, c R y () = 3 sin() y () = 3 sin() = 3 cos()

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus

Lisätiedot

Mapusta. Viikon aiheet

Mapusta. Viikon aiheet Infoa Mapusta Tiistaina: Ongelmanratkaisu ryhmässä luento klo 8-10 D101. Tähän liittyviä tehtäviä tehään myöhemmin perusopintojen laboratoriotöihin integroituna. Mikäli luento menee ex-temporen päälle,

Lisätiedot

MATP153 Approbatur 1B Ohjaus 2 Keskiviikko torstai

MATP153 Approbatur 1B Ohjaus 2 Keskiviikko torstai MATP15 Approbatur 1B Ohjaus Keskiviikko 4.11. torstai 5.11.015 1. (Opiskeluteht. 6 s. 0.) Määritä sellainen vakio a, että polynomilla x + (a 1)x 4x a on juurena luku x = 1. Mitkä ovat tällöin muut juuret?.

Lisätiedot

3. Reaalifunktioiden määräämätön integraali

3. Reaalifunktioiden määräämätön integraali 50 3. Reaalifunktioiden määräämätön integraali Integraalifunktio Derivoinnin käänteistoimituksena on vastata kysymykseen "Mikä on se funktio, jonka derivaatta on f?" Koska vakion derivaatta 0, havaitaan

Lisätiedot

Derivointiesimerkkejä 2

Derivointiesimerkkejä 2 Derivointiesimerkkejä 2 (2.10.2008 versio 2.0) Parametrimuotoisen funktion erivointi Esimerkki 1 Kappale kulkee pitkin rataa { x(t) = sin 2 t y(t) = cos t. Määritetään raan suuntakulma positiiviseen x-akseliin

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kertausluento 2. välikokeeseen Toisessa välikokeessa on syytä osata ainakin seuraavat asiat:. Potenssisarjojen suppenemissäde, suppenemisväli ja suppenemisjoukko. 2. Derivaatan

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 4.9.09 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alustavat hyvän vastauksen piirteet on suuntaa-antava kuvaus kokeen tehtäviin odotetuista vastauksista ja tarkoitettu ensisijaisesti

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 9 1 Implisiittinen derivointi Tarkastellaan nyt yhtälöä F(x, y) = c, jossa x ja y ovat muuttujia ja c on vakio Esimerkki tällaisesta yhtälöstä on x 2 y 5 + 5xy = 14

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Jatkuvuus Jatkuvan funktion määritelmä Tarkastellaan funktiota f x) jossakin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jatkuva tai epäjatkuva. Jatkuvuuden

Lisätiedot

2.2 Täydellinen yhtälö. Ratkaisukaava

2.2 Täydellinen yhtälö. Ratkaisukaava . Täydellinen yhtälö. Ratkaisukaava Tulon nollasäännöstä näkee silloin tällöin omituisia sovellutuksia. Jotkut näet ajattelevat, että on olemassa myöskin tulon -sääntö tai tulon "mikä-tahansa"- sääntö.

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi 2

Matematiikan peruskurssi 2 Matematiikan peruskurssi Tentti, 9..06 Tentin kesto: h. Sallitut apuvälineet: kaavakokoelma ja laskin, joka ei kykene graaseen/symboliseen laskentaan Vastaa seuraavista viidestä tehtävästä neljään. Saat

Lisätiedot

Derivaatta, interpolointi, L6

Derivaatta, interpolointi, L6 , interpolointi, L6 1 Wikipeia: (http://fi.wikipeia.org/wiki/ ) Etälukio: (http://193.166.43.18/etalukio/ pitka_matematiikka/kurssi7/maa7_teoria10.html ) Maths online: (http://www.univie.ac.at/future.meia/

Lisätiedot

30 + x. 15 + 0,5x = 2,5 + x 0,5x = 12,5 x = 25. 27,5a + 27,5b = 1,00 55 = 55. 2,5a + (30 2,5)b (27,5a + 27,5b) = 45 55.

30 + x. 15 + 0,5x = 2,5 + x 0,5x = 12,5 x = 25. 27,5a + 27,5b = 1,00 55 = 55. 2,5a + (30 2,5)b (27,5a + 27,5b) = 45 55. RATKAISUT, Insinöörimatematiikan koe 1.5.201 1. Kahdessa astiassa on bensiinin ja etanolin seosta. Ensimmäisessä astiassa on 10 litraa seosta, jonka tilavuudesta 5 % on etanolia. Toisessa astiassa on 20

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 10 1 Funktion monotonisuus Derivoituva funktio f on aidosti kasvava, jos sen derivaatta on positiivinen eli jos f (x) > 0. Funktio on aidosti vähenevä jos sen derivaatta

Lisätiedot

Matematiikan pohjatietokurssi

Matematiikan pohjatietokurssi Matematiikan pohjatietokurssi Demonstraatio, 8.-9.9.015, ratkaisut 1. Jaa tekijöihin (joko muistikaavojen avulla tai ryhmittelemällä) (a) x +x+ = x + x + = (x+) x +x+ = (x +x+1) = (x+1) (c) x 9 = (x) 3

Lisätiedot

1.7 Gradientti ja suunnatut derivaatat

1.7 Gradientti ja suunnatut derivaatat 1.7 Gradientti ja suunnatut derivaatat Funktion ensimmäiset osittaisderivaatat voidaan yhdistää yhdeksi vektorifunktioksi seuraavasti: Missä tahansa pisteessä (x, y), jossa funktiolla f(x, y) on ensimmäiset

Lisätiedot

Luonnollisten lukujen laskutoimitusten määrittely Peanon aksioomien pohjalta

Luonnollisten lukujen laskutoimitusten määrittely Peanon aksioomien pohjalta Simo K. Kivelä, 15.4.2003 Luonnollisten lukujen laskutoimitusten määrittely Peanon aksioomien pohjalta Aksioomat Luonnolliset luvut voidaan määritellä Peanon aksioomien avulla. Tarkastelun kohteena on

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Supremum ja inmum Tarkastellaan aluksi avointa väliä, Tämä on joukko, johon kuuluvat kaikki reaaliluvut miinus yhdestä yhteen Kuitenkaan päätepisteet eli luvut ja

Lisätiedot

Derivaatta Maarit Järvenpää Puhtaaksikirjoitus Markus Harju

Derivaatta Maarit Järvenpää Puhtaaksikirjoitus Markus Harju Derivaatta Maarit Järvenpää Putaaksikirjoitus Markus Harju Sisältö Derivaatan määritelmä 2 Derivoimissääntöjä 7 3 Dierentiaalilaskennan peruslauseita 3 4 Funktion ääriarvot 20 Derivaatan määritelmä Olkoon

Lisätiedot

Opintomoniste lukion integraalilaskennan kurssille MAA10

Opintomoniste lukion integraalilaskennan kurssille MAA10 TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Esa Ahlqvist Opintomoniste lukion integraalilaskennan kurssille MAA Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Helmikuu 5 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden

Lisätiedot

4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio

4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio 4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Tutkitaan yhtälöiden ratkaisuja piirtämällä funktioiden f(x) = x, f(x) = x 3, f(x) = x 4 ja f(x) = x 5 kuvaajat. Näin nähdään, monessako

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 1 Matemaattisesta päättelystä Matemaattisen analyysin kurssin (kuten minkä tahansa matematiikan kurssin) seuraamista helpottaa huomattavasti, jos opiskelija ymmärtää

Lisätiedot

PERUSASIOITA ALGEBRASTA

PERUSASIOITA ALGEBRASTA PERUSASIOITA ALGEBRASTA Matti Lehtinen Tässä luetellut lauseet ja käsitteet kattavat suunnilleen sen mitä algebrallisissa kilpatehtävissä edellytetään. Ns. algebrallisia struktuureja jotka ovat nykyaikaisen

Lisätiedot

6*. MURTOFUNKTION INTEGROINTI

6*. MURTOFUNKTION INTEGROINTI MAA0 6*. MURTOFUNKTION INTEGROINTI Murtofunktio tarkoittaa kahden polynomin osamäärää, ja sen yleinen muoto on P() R : R(). Q() Mikäli osoittajapolynomin asteluku on nimittäjäpolynomin astelukua korkeampi

Lisätiedot

Integroimistekniikkaa Integraalifunktio

Integroimistekniikkaa Integraalifunktio . Integroimistekniikkaa.. Integraalifunktio 388. Vertaa funktioiden ln ja ln, b) arctan ja arctan + k k, c) ln( + 2 ja ln( 2, missä a >, derivaattoja toisiinsa. Tutki funktioiden erotusta muuttujan eri

Lisätiedot

Vektoreiden A = (A1, A 2, A 3 ) ja B = (B1, B 2, B 3 ) pistetulo on. Edellisestä seuraa

Vektoreiden A = (A1, A 2, A 3 ) ja B = (B1, B 2, B 3 ) pistetulo on. Edellisestä seuraa Viikon aiheet Pistetulo (skalaaritulo Vektorien tulot Pistetulo Ristitulo Skalaari- ja vektorikolmitulo Integraalifunktio, alkeisfunktioiden integrointi, yhdistetyn funktion derivaatan integrointi Vektoreiden

Lisätiedot

Seurauksia. Seuraus. Seuraus. Jos asteen n polynomilla P on n erisuurta nollakohtaa x 1, x 2,..., x n, niin P on muotoa

Seurauksia. Seuraus. Seuraus. Jos asteen n polynomilla P on n erisuurta nollakohtaa x 1, x 2,..., x n, niin P on muotoa Seurauksia Seuraus Jos asteen n polynomilla P on n erisuurta nollakohtaa x 1, x 2,..., x n, niin P on muotoa P(x) = a n (x x 1 )(x x 2 )... (x x n ). Seuraus Astetta n olevalla polynomilla voi olla enintään

Lisätiedot

4 Integrointimenetelmiä

4 Integrointimenetelmiä 4 Integrointimenetelmiä 4. Määräämätön integraali Määritelmä 4.. Olkoon funktio f jatkuva välillä I. Tällöin funktion f integraalifunktioiden (välillä I) joukkoa sanotaan funktion f määräämättömäksi integraaliksi

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 1 Funktion kuperuussuunnat Derivoituva funktio f (x) on pisteessä x aidosti konveksi, jos sen toinen derivaatta on positiivinen f (x) > 0. Vastaavasti f (x) on aidosti

Lisätiedot

monissa laskimissa luvun x käänteisluku saadaan näyttöön painamalla x - näppäintä.

monissa laskimissa luvun x käänteisluku saadaan näyttöön painamalla x - näppäintä. .. Käänteisunktio.. Käänteisunktio Mikäli unktio : A B on bijektio, niin joukkojen A ja B alkioiden välillä vallitsee kääntäen yksikäsitteinen vastaavuus eli A vastaa täsmälleen yksi y B, joten myös se

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Polynomifunktiot. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Polynomifunktiot. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA Polynomifunktiot Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Polynomifunktiot (MAA) Pikatesti ja kertauskokeet Tehtävien ratkaisut

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 5: Taylor-polynomi ja sarja

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 5: Taylor-polynomi ja sarja MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 5: Taylor-polynomi ja sarja Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 26.9.2016 Pekka Alestalo,

Lisätiedot

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe klo 10 13

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe klo 10 13 Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 1. Ratkaise seuraavat yhtälöt ja epäyhtälöt. (a) 3 2 x 2 3 2 3 x 1 4, (b) (x + 1)(x 2)

Lisätiedot

Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 7, 28.10.2015

Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 7, 28.10.2015 Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 7, 28.10.2015 1. Onko olemassa yhtenäistä verkkoa, jossa (a) jokaisen kärjen aste on 6, (b) jokaisen kärjen aste on 5, ja paperille piirrettynä sivut eivät

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 3. viikolle /

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 3. viikolle / MS-A008 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/07 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 3. viikolle / 5. 7.4. Taylorin Polynomit, Taylorin sarjat, potenssisarjat, Newtonin menetelmä Tehtävä

Lisätiedot

MAA2.3 Koontitehtävät 2/2, ratkaisut

MAA2.3 Koontitehtävät 2/2, ratkaisut MAA.3 Koontitehtävät /, ratkaisut. (a) 3x 5x 4 = 0 x = ( 5) ± ( 5) 4 3 ( 4) 6 (b) (x 4) = (x 4)(x + 4) (x 4)(x 4) = (x 4)(x + 4) x 8x + 6 = x 6 x 6 8x = 3 : 8 x = 4 = 5 ± 73 6 (c) 4 x + x + = 0 4 x + 4x

Lisätiedot

MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio

MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio Olkoon a 1 = a 2 = 5 ja a n+1 = a n + 6a n 1 kun n 2. Todista induktiolla, että a n = 3 n ( 2) n, kun n on positiivinen

Lisätiedot

Juuri 2 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 2 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus K. a) E Nouseva suora. b) A 5. asteen polynomifunktio, pariton funktio Laskettu piste f() = 5 =, joten piste (, ) on kuvaajalla. c) D Paraabelin mallinen, alaspäin aukeava. Laskettu piste f() =

Lisätiedot

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3.

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3. Integraalilaskenta. a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. b) Mitä määrätty integraali tietyllä välillä x tarkoittaa? Vihje: * Integraali * Määrätyn integraalin

Lisätiedot

Derivointikaavoja, interpolointi, jousto, rajatuotto, L4b

Derivointikaavoja, interpolointi, jousto, rajatuotto, L4b , interpolointi, jousto, rajatuotto, L4b Funktioita Potenssifunktio: x (axn ) = nax n 1 Eksponentin n ei tarvitse olla kokonaisluku, vaan se voi olla murtoluku tai esimaaliluku! Neliöjuuri: ax = x x (

Lisätiedot

A B = (1, q, q 2 ) (2, 0, 2) = 2 2q q 2 = 0 q 2 = 1 q = ±1 A(±1) = (1, ±1, 1) A(1) A( 1) = (1, 1, 1) (1, 1, 1) = A( 1) A(1) A( 1) = 1

A B = (1, q, q 2 ) (2, 0, 2) = 2 2q q 2 = 0 q 2 = 1 q = ±1 A(±1) = (1, ±1, 1) A(1) A( 1) = (1, 1, 1) (1, 1, 1) = A( 1) A(1) A( 1) = 1 Mapu I Viikko 4 tehtävä malli Millä q:n arvoilla vektori A(q) (, q, q ) on kohtisuora vektorin B (, 0, ) kanssa? Ovatko A:n eri ratkaisut keskenään kohtisuoria? Jos eivät, määrää niiden välinen kulma!

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät Pekka Vienonen

Numeeriset menetelmät Pekka Vienonen Numeeriset menetelmät Pekka Vienonen 1. Funktion nollakohta Newtonin menetelmällä 2. Määrätty integraali puolisuunnikassäännöllä 3. Määrätty integraali Simpsonin menetelmällä Newtonin menetelmä Newtonin

Lisätiedot

Dierentiaaliyhtälöistä

Dierentiaaliyhtälöistä Dierentiaaliyhtälöistä Markus Kettunen 4. maaliskuuta 2009 1 SISÄLTÖ 1 Sisältö 1 Dierentiaaliyhtälöistä 2 1.1 Johdanto................................. 2 1.2 Ratkaisun yksikäsitteisyydestä.....................

Lisätiedot

k=0 saanto jokaisen kolmannen asteen polynomin. Tukipisteet on talloin valittu

k=0 saanto jokaisen kolmannen asteen polynomin. Tukipisteet on talloin valittu LIS AYKSI A kirjaan Reaalimuuttujan analyysi 1.6. Numeerinen integrointi: Gaussin kaavat Edella kasitellyt numeerisen integroinnin kaavat eli kvadratuurikaavat Riemannin summa, puolisuunnikassaanto ja

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät

Numeeriset menetelmät Numeeriset menetelmät Luento 1 Ti 6.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 1 Ti 6.9.2011 p. 1/28 p. 1/28 Numeriikan termejä Simulointi: Reaalimaailman ilmiöiden jäljitteleminen (yleensä)

Lisätiedot

5 Integraalilaskentaa

5 Integraalilaskentaa 5 Integraalilaskentaa - Tässä rajoitutaan yhden muuttujan funktioiden f:a R (A R) tarkasteluun. - Yleiset integroituvuuteen liittyvät teoriatarkastelut sivuutetaan. Derivaatta(-funktio) ja integraalifunktio:

Lisätiedot

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)

Lisätiedot

2 dy dx 1. x = y2 e x2 2 1 y 2 dy = e x2 xdx. 2 y 1 1. = ex2 2 +C 2 1. y =

2 dy dx 1. x = y2 e x2 2 1 y 2 dy = e x2 xdx. 2 y 1 1. = ex2 2 +C 2 1. y = BM20A5830 Differentiaaliyhtälöiden peruskurssi Harjoitus 2, Kevät 207 Päivityksiä: Tehtävän 4b tehtävänanto korjattu ja vastauksia lisätty.. Ratkaise y, kun 2y x = y 2 e x2. Jos y () = 0 niin mikä on ratkaisu

Lisätiedot

F {f(t)} ˆf(ω) = 1. F { f (n)} = (iω) n F {f}. (11) BM20A5700 - INTEGRAALIMUUNNOKSET Harjoitus 10, viikko 46/2015. Fourier-integraali:

F {f(t)} ˆf(ω) = 1. F { f (n)} = (iω) n F {f}. (11) BM20A5700 - INTEGRAALIMUUNNOKSET Harjoitus 10, viikko 46/2015. Fourier-integraali: BMA57 - INTEGRAALIMUUNNOKSET Harjoitus, viikko 46/5 Fourier-integraali: f(x) A() π B() π [A() cos x + B() sin x]d, () Fourier-muunnos ja käänteismuunnos: f(t) cos tdt, () f(t) sin tdt. (3) F {f(t)} ˆf()

Lisätiedot

f(x) f(y) x y f f(x) f(y) (x) = lim

f(x) f(y) x y f f(x) f(y) (x) = lim Y1 (Matematiikka I) Haastavampia lisätehtäviä Syksy 1 1. Funktio h määritellään seuraavasti. Kuvan astiaan lasketaan vettä tasaisella nopeudella 1 l/min. Astia on muodoltaan katkaistu suora ympyräkartio,

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 6 varuusintegraali iemmin laskimme yksiulotteisia integraaleja b a f (x)dx, jossa integrointialue on x-akselin väli [a, b]. Lisäksi laskimme kaksiulotteisia integraaleja

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi 3.4.

Matematiikan tukikurssi 3.4. Matematiikan tukikurssi 3.4. Neliömuodot, Hessen matriisi, deiniittisyys, konveksisuus siinä tämän dokumentin aiheet. Neliömuodot ovat unktioita, jotka ovat muotoa T ( x) = x Ax, missä x = (x 1,, x n )

Lisätiedot

Matemaattisen analyysin tukikurssi

Matemaattisen analyysin tukikurssi Matemaattisen analyysin tukikurssi 4. Kurssikerta Petrus Mikkola 4.10.2016 Tämän kerran asiat Funktion raja-arvo Raja-arvon määritelmä Toispuolinen raja-arvo Laskutekniikoita Rationaalifunktion esityksen

Lisätiedot

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.01 klo 10 13 t ja pisteytysohjeet 1. Ratkaise seuraavat yhtälöt ja epäyhtälöt. (a) 3 x 3 3 x 1 4, (b)

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 7 1 Useamman muuttujan funktion raja-arvo Palautetaan aluksi mieliin yhden muuttujan funktion g(x) raja-arvo g(x). x a Tämä raja-arvo kertoo, mitä arvoa funktio g(x)

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 3 Supremum ja infimum Tarkastellaan aluksi avointa väliä, ) = { : < < }. Tämä on joukko, johon kuuluvat kaikki reaaliluvut miinus yhdestä yhteen. Kuitenkaan päätepisteet

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 Väliarvolause Oletetaan, että funktio f on jatkuva jollain reaalilukuvälillä [a, b] ja derivoituva avoimella välillä (a, b). Funktion muutos tällä välillä on luonnollisesti

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 12 1 Eksponenttifuntio Palautetaan mieliin, että Neperin luvulle e pätee: e ) n n n ) n n n n n ) n. Tästä määritelmästä seuraa, että eksponenttifunktio e x voidaan

Lisätiedot

Johdatus yliopistomatematiikkaan, 2. viikko (2 op)

Johdatus yliopistomatematiikkaan, 2. viikko (2 op) Johdatus yliopistomatematiikkaan, 2. viikko (2 op) Jukka Kemppainen Mathematics Division Yhtälöt ja epäyhtälöt Jokainen osaa ratkaista ensimmäisen asteen yhtälön ax + by + c = 0. Millä parametrien a, b

Lisätiedot

Monisteessa määritellään integraalifunktio ja esitetään perusominaisuuksia. Tässä pari esimerkkiä. = x x3 + 2 x + C.

Monisteessa määritellään integraalifunktio ja esitetään perusominaisuuksia. Tässä pari esimerkkiä. = x x3 + 2 x + C. Integraalifunktio Integraalifunktion määritelmä Monisteessa määritellään integraalifunktio ja esitetään perusominaisuuksia Tässä pari esimerkkiä On integroitava funktio + 5 + / Saadaan ( + 5 + ) + 5 +

Lisätiedot

Esimerkki 8. Ratkaise lineaarinen yhtälöryhmä. 3x + 5y = 22 3x + 4y = 4 4x 8y = 32. 3 5 22 r 1 + r 3. 0 13 26 4 8 32 r 3 4r 1. LM1, Kesä 2014 47/68

Esimerkki 8. Ratkaise lineaarinen yhtälöryhmä. 3x + 5y = 22 3x + 4y = 4 4x 8y = 32. 3 5 22 r 1 + r 3. 0 13 26 4 8 32 r 3 4r 1. LM1, Kesä 2014 47/68 Esimerkki 8 Ratkaise lineaarinen yhtälöryhmä 3x + 5y = 22 3x + 4y = 4 4x 8y = 32. 3 5 22 r 1 + r 3 3 4 4 4 8 32 1 3 10 0 13 26 4 8 32 r 3 4r 1 1 3 10 3 4 4 r 2 3r 1 4 8 32 1 3 10 0 13 26 r 2 /13 0 4 8

Lisätiedot

5 Differentiaalilaskentaa

5 Differentiaalilaskentaa 5 Differentiaalilaskentaa 5.1 Raja-arvo Esimerkki 5.1. Rationaalifunktiota g(x) = x2 + x 2 x 1 ei ole määritelty nimittäjän nollakohdassa eli, kun x = 1. Funktio on kuitenkin määritelty kohdan x = 1 läheisyydessä.

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta Eksponenttifuntio Palautetaan mieliin, että Neperin luvulle e pätee: e ) n n n ) n n n n n ) n. Tästä määritelmästä seuraa, että eksponenttifunktio e x voidaan määrittää

Lisätiedot

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion

Lisätiedot

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus:

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus: . Koska F( ) on jokin funktion f ( ) integraalifunktio, niin a+ a f() t dt F( a+ t) F( a) ( a+ ) b( a b) Vastaus: Kertausharjoituksia. Lukujonot 87. + n + lim lim n n n n Vastaus: suppenee raja-arvona

Lisätiedot

πx) luvuille n N. Valitaan lisäksi x = m,

πx) luvuille n N. Valitaan lisäksi x = m, Lisäyksiä Muutamia lisäyksiä laskuharjoitusten 9 tehtävien ratkaisuihin. Sarjan n n cos4 n π termeittäin erivoituvuus Sarjan n n cos4 n πtermeittäinerivoitavuusonhiukkasenhankalaasia tutkia. Olkoon a n

Lisätiedot

Lisää segmenttipuusta

Lisää segmenttipuusta Luku 24 Lisää segmenttipuusta Segmenttipuu on monipuolinen tietorakenne, joka mahdollistaa monenlaisten kyselyiden toteuttamisen tehokkaasti. Tähän mennessä olemme käyttäneet kuitenkin segmenttipuuta melko

Lisätiedot

( ) ( ) ( ) ( ( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 271 Päivitetty 19.2.2006. 701 a) = keskipistemuoto.

( ) ( ) ( ) ( ( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 271 Päivitetty 19.2.2006. 701 a) = keskipistemuoto. Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 7 Päivitetty 9..6 7 a) + y = 7 + y = 7 keskipistemuoto + y 7 = normaalimuoto Vastaus a) + y = ( 7 ) + y 7= b) + y+ 5 = 6 y y + + = b) c) ( ) + y

Lisätiedot

x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua

x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua Mallivastaukset - Harjoituskoe E E a) x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4,35 < 0 x 3 7 4 b) 0 / x + dx = 0 ln x + = ln + ln 0 + = ln 0 Vastaus: ln c) x 4 3x 4 = 0 Sijoitetaan x = u Tulon nollasääntö

Lisätiedot

1.4 Funktion jatkuvuus

1.4 Funktion jatkuvuus 1.4 Funktion jatkuvuus Kun arkikielessä puhutaan jonkin asian jatkuvuudesta, mielletään asiassa olevan jonkinlaista yhtäjaksoisuutta, katkeamattomuutta. Tässä ei kuitenkaan käsitellä työasioita eikä ihmissuhteita,

Lisätiedot

3.4 Rationaalifunktion kulku ja asymptootit

3.4 Rationaalifunktion kulku ja asymptootit .4 Rationaalifunktion kulku ja asymptootit Rationaali- eli murtofunktiolla tarkoitetaan funktiota R, jonka lauseke on kahden polynomin osamäärä: P() R(). Q() Ainakin nimittäjässä olevan polynomin asteluvun

Lisätiedot

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.8.016 3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) x + x + 1 = 4 (x + 1) = 4 Luvun x + 1 tulee olla tai, jotta sen

Lisätiedot