Matematiikan tukikurssi
|
|
- Kaija Alanen
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Matematiikan tukikurssi Kurssikerta Integrointi Integrointi on erivoinnin käänteistoimitus: jos funktion F(x) erivaatta on f (x), niin funktion f (x) integraali on F(x). Täten, koska esimerkiksi funktion x 2 + e 2x erivaatta on 2x + 2e 2x, niin tämän funktion 2x + 2e 2x integraali on x 2 + e 2x. Tätä merkitään seuraavasti: 2x + 2e 2x x = x 2 + e 2x. Tässä ( )x tarkoittaa yksinkertaisesti että lauseke ( ) integroiaan. Se on yhtenäinen merkintä, jonka osat ja x eivät tarkoita yksinään varsinaisesti mitään, joskin x kertoo, että integrointi suoritetaan x:n suhteen. Vastaavasti ( )y tarkoittaa integrointia y:n suhteen. Vastaavasti huomataan esimerkiksi, että x 5 x = 6 x6, koska x 6 x6 = x 5. Integrointi on siis helppoa, jos osaat arvata, minkä funktion erivaatta tietty funktio on. Tavallaan siis osaat jo integroia, jos osaat erivoia. Integraalifunktio ei kuitenkaan ole yksikäsitteinen: myös funktio /6x on funktion x 5 integraalifunktio, koska funktion /6x erivaatta on x 5. Itse asiassa jos F(x) on funktion f (x) integraalifunktio eli x F(x) = f (x), niin myös funktio F(x) + C on funktion f (x) integraalifunktio millä tahansa vakion C arvolla, koska (F(x) + C) = f (x) + 0 = f (x). x Kun nyt puhutaan integroinnista, tarkoitetaan määräämättömän integraalin laskemista. Lisäksi on olemassa määrätty integraali. Näien kahen välinen ero selviää aikanaan.
2 Esimerkki (. Funktion ) 4x 2 kaikki integraalifunktiot ovat muotoa 4 3 x3 + C, koska x 43 x 3 + C = 4x 2. Koska integrointi on erivoinnin käänteistoimitus, niin jokaista erivoimissääntöä vastaa käänteinen integroimissääntö. Otetaan näistä esimerkkejä. Esimerkki 2. Potenssifunktion x n erivaatta on nx n. Täten x n x = n + xn+ + C. Eli koska potenssin erivoimissääntö kertoo, että potenssi tulee eteen kertoimeksi ja potenssi vähenee yhellä, kertoo vastaava integrointisääntö että potenssi kasvaa yhellä ja tämän yhellä kasvaneen potenssin käänteisluku tulee eteen kertoimeksi. Tästä seuraa esimerkiksi, että x 325 x = 326 x326 + C. Esimerkki 3. Tunnetusti logaritmin ln x erivaatta on /x. Täten x = ln x + C, x kun x > 0. Tähän mennessä käsitellyt integroinnit ovat olleet käytännössä melko suoraviivaisia. Hankalampia tehtäviä ovat usein erivoinnin ketjusääntöön perustuvat integroinnit. Derivoinnin ketjusääntöhän kertoo, että yhistetyn funktion f (g(x)) erivaatta on f (g(x))g (x). Eli ulkofunktion erivaatta (arvolla sisäfunktio g(x)) kertaa sisäfunktion erivaatta. Täten tämä sääntö kertoo meille esimerkiksi, että x (x2 + 6x) 20 = 20(x 2 + 6x) 9 (2x + 6). Täten luonnollisesti 20(x 2 + 6x) 9 (2x + 6)x = (x 2 + 6x) 20 + C, eli käytännössä tässäkään integroimissäännössä ei ole mitään uutta: se kertoo ainoastaan että f (g(x))g (x)x = f (g(x)) + C. Käytännössä vaikeaa on huomata, että lauseke 20(x 2 + 6x) 9 (2x + 6) on muotoa f (g(x))g (x). 2
3 Esimerkki 4. (3x 2 + 2)e x3 +2x+5 x = e x3 +2x+5 + C. Matemaattisen analyysin kurssilta muistuu mieleen myös, että logaritmin erivoimissääntöä ja ketjusääntöä voi yhistää erivoitaessa funktion f (x) logaritmia: x ln f (x) = f (x) f (x). Tässä pitää muistaa, että logaritmi on määritelty ainoastaan, kun f (x) > 0. Toisaalta jos f (x) < 0, niin silloin puolestaan ln( f (x)) on määritelty (koska tällöin f (x) > 0) ja x ln( f (x)) = f (x) f (x) = f (x) f (x). Täten funktion f (x) integrointi tuottaa tuloksen ln f (x) + C, jos f (x) on f (x) positiivinen, ja tuloksen ln( f (x)) + C, jos f (x) on negatiivinen. Nämä kaksi tapausta voi yhistää kätevästi kirjoittamalla, että f (x) x = ln f (x) + C, f (x) jossa f (x) voi olla negatiivinen tai positiivinen, kunhan f (x) = 0. Koska esimerkiksi x ln(x2 + 5x + ) = 2x + 5 x 2 + 5x +, niin vastaava integrointi kertoo täten, että 2x + 5 x 2 + 5x + x = ln x2 + 5x + + C. Eli jos tunnistat integroitavan funktion olevan muotoa f (x), niin integrointitehtävän vastaus on yksinkertaisesti ln f (x) + f (x) C. Esimerkki 5. Integroiaan nyt funktio 2x x 3 + x. 3
4 Tämä ei itse asiassa ole muotoa f (x)/ f (x), mutta sen huomataan olevan muotoa 4 f (x)/ f (x). Koska integrointi on lineaarinen operaatio 2, tämän lausekkeen integrointi voiaan suorittaa helposti siirtämällä kerroin 4 eteen: 2x x 3 + x x = 4 3x 2 + x 3 + x x = 4 ln x 3 + x. Tässä vaaitaan täyellisyyen vuoksi vielä ehto x 3 + x = 0. Huomaa, että integraalifunktio F(x) on aina erivoituva, koska määritelmän mukaan F (x) = f (x). Analyysin peruskurssilla osoitettiin, että erivoituva funktio on aina jatkuva. Tästä seuraa, että integraalifunktio on aina jatkuva. Tästä tuloksesta on apua, kun haetaan paloittain määriteltyjen funktioien integraaleja, kuten alla olevassa tehtävässä: Esimerkki 6. Etsitään funktion f (x) = { x 2, kun x 0 x, kun x < 0 integraalifunktio. Aluksi integroiaan funktio paloittain: funktion x 2 integraalifunktiot ovat muotoa 3 x3 + C ja funktion x integraalifunktiot ovat muotoa 2 x2 + C 2. Täten funkion f (x) integraalifunktiot F(x) ovat muotoa { 3 x 3 + C, kun x 0 F(x) = 2 x2 + C 2, kun x < 0. Tämän integraalifunktion pitää kuitenkin olla jatkuva, koska integraalifunktiot ovat aina jatkuvia. Tämä rajoittaa vakioien C ja C 2 arvoja. Jotta tuo integraalifunktio olisi jatkuva, on oltava että pisteessä x = 0 nuo kaksi palasta yhtyvät, eli 3 x3 + C = 2 x2 + C 2, kun x = 0. Tästä seuraa, että on oltava C = C 2. Täten halutut integraalifunktiot voiaan ilmaista muoossa: { 3 x 3 + C, kun x 0 F(x) = 2 x2 + C, kun x < 0. 2 Tämä tarkoittaa, että (a f (x) + bg(x))x = a f (x)x + b g(x)x. 4
5 Tässäkin esimerkissä tuloksena oli siis joukko integraalifunktioita: yksi integraalifunktio jokaista vakion C arvoa kohen. Käytännössä saaaan vain yksi ratkaisu, jos rajoitetaan funktion arvoa tietyssä pisteessä. Jos yllä olevassa esimerkissä vaaittaisiin vaikkapa, että F(3) = 0, niin silloin C = 0 eli C = 9. Tällöin saataisiin yksikäsitteinen integraalifunktio: F(x) = { 3 x 3 9, kun x 0 2 x 2 9, kun x < 0. Tämä ehto F(3) = 0 on esimerkki alkuarvosta, joita tullaan tapaamaan lisää esimerkiksi ifferentiaaliyhtälöien yhteyessä. 2 Osittaisintegrointi Matemaattisen analyysin peruskurssilla erivoitiin funktioita, jotka olivat kahen funktion tuloja: esimerkiksi funktio (2x 2 + 3x + )(e x + 4x) on funktioien 2x 2 + 3x + ja e x + 4x tulo. Tällainen funktio erivoitiin tulosäännöllä, joka menee seuraavasti: (2.) x ( f (x)g(x)) = f (x)g(x) + f (x)g (x). Tällä kaavalla voiaan laskea esimerkiksi yllä olevan funktion erivaatta: ( ) (2x 2 + 3x + )(e x + 4x) = (4x + 3)(e x + 4x) + (2x 2 + 3x + )(e x + 4). x Derivoinnin tulosääntö eli yhtälö (2.) voiaan luonnollisesti integroia kummaltakin puolelta: x ( f (x)g(x)) x = f (x)g(x)x + f (x)g (x)x. Koska integrointi ja erivointi ovat toistensa käänteistoimituksia, yllä olevan yhtälön vasemmalla puolella nämä kaksi toimitusta kumoavat toisensa ja koko yhtälö saaaan seuraavaan muotoon: f (x)g(x) = f (x)g(x)x + f (x)g (x)x. Tästä yhtälöstä voiaan nyt vähentää kummaltakin puolelta termi f (x)g(x)x, 5
6 jolloin saaaan osittaisintegroinnin kaava: (2.2) f (x)g (x) = f (x)g(x) f (x)g(x)x. Eli: haluamme integroia funktion f (x)g (x). Jos tämä integrointi ei onnistu suoraan (esimerkiksi kappaleessa esitetyllä tavalla), voiaan kokeilla osittaisintegrointia. Tällöin lasketaan ensin funktion f (x) erivaatta f (x) ja funktion g (x) integraali g(x). Lopuksi lasketaan integraali f (x)g(x)x, minkä jälkeen haluttu integraali saaaan kaavasta (2.2). Esimerkki 7. Lasketaan integraali xe x x käyttämällä osittaisintegrointia. Ensinnä luonnollisesti laskettavan integraalin on oltava muotoa f (x)g (x)x. Esimerkin lauseke on tätä muotoa, kun xe x = f (x)g (x). Käytännössä saamme aina valita, kumpi osista x ja e x on f (x) ja kumpi on g (x). Tämä tehtävä ratkeaa ainoastaan, jos valitsemme nämä seuraavasti: f (x) = x g (x) = e x. Seuraava vaihe osittaisintegroinnissa on aina laskea funktiot f (x) ja g(x). Nämä on tällä kertaa helppo laskea: f (x) = g(x) = e x. Tällöin termi f (x)g(x) on yhtä kuin xe x. Tämän tehtävään sovellettuna osittaisintegroinnin kaava kertoo siis seuraavaa: f (x)g (x)x = f (x)g(x) f (x)g(x) xe x x = xe x e x x. 6
7 Koska tuo viimeinen termi e x x on yhtä kuin e x, on tehtävän ratkaisu seuraava: xe x x = xe x e x. Tämä on vielä hyvä varmistaa erivoimalla yllä olevan yhtälön oikea puoli (käytetään erivoinnin tulosääntöä): Eli tehtävän tulos pätee. x (xex e x ) = e x + xe x e x = xe x. Tässä esimerkissä huomasimme osittaisintegroinnin päävaiheet:. Valitaan kumpi integroitavan lausekkeen osista on f (x) ja kumpi on g (x). 2. Lasketaan f (x) ja g(x). 3. Lasketaan integraali f (x)g(x)x 4. Käytetään osittaisintegroinnin kaavaa. Tämä oli yksinkertainen osittaisintegrointitehtävä ja kaikki nämä vaiheet sujuivat vaivatta. Seuraavassa esimerkissä kohta 3 ei toimi suoraan, vaan osittaisintegrointia jouutaan soveltamaan useaan kertaan. Esimerkki 8. Lasketaan seuraavaksi integraali x 2 e x x. Valitaan funktiot seuraavasti: f (x) = x 2 ja g (x) = e x, jolloin f (x) = 2x ja g(x) = e x. Tällöin saaaan osittaisintegroinnin kaavaa käyttäen: x 2 e x x = x 2 e x 2xe x x. Tässä integraali 2xe x x 7
8 ei ole laskettavissa suoraan, mutta sekin voiaan laskea osittaisintegroinnilla, mikä oikeastaan tehtiinkin jo (vakiota 2 vaille) eellisessä esimerkissä: 2xe x x = 2 xe x x = 2(xe x e x ). x 2 e x x = x 2 e x 2xe x x = x 2 e x 2(xe x e x )x = x 2 e x 2xe x + 2e x x. Tämän esimerkin opetus on siis, että joskus osittaisintegrointia pitää soveltaa useamman kerran samassa tehtävässä. Seuraava esimerkki puolestaan kertoo, että joskus osittaisintegrointi vaatii hieman luovuutta funktioien f (x) ja g (x) valinnassa. Esimerkki 9. Lasketaan integraali ln xx. Tässä funktiot f (x) ja g (x) tuntuvat aluksi mahottomilta muoostaa, koska integraalin sisässä näyttää olevan vain yksi funktio: ln x. Pienellä luovuuella huomaamme kuitenkin että tämäkin lauseke voiaan esittää kahen funktion tulona: muoossa ln xx, jolloin voiaan valita f (x) = ln x ja g (x) =. Nyt f (x)g(x) = x ln x ja f (x)g(x)x = x x = x, x jolloin ln xx = x ln x x. Alla olevassa esimerkissä esiintyy kolmas tapaus, joka kohataan usein osittaisintegroitaessa: integrointi ei varsinaisesti tuota tulosta, mutta lopulta saaaan lauseke, josta integraali saaaan pääteltyä. 8
9 Esimerkki 0. Integroiaan nyt osittaisintegroinnilla e 2x sin xx. Valitaan f (x) = e 2x ja g (x) = sin x. Täten f (x) = 2e 2x ja g(x) = cos x (koska kosiinifunktion erivaatta on sin x), joten e 2x sin xx = e 2x cos x 2e 2x ( cos x) = e 2x cos x + 2 e 2x cos x Sovelletaan nyt osittaisintegrointia toiseen kertaan: nyt tuohon jälkimmäisen integraaliin e 2x cos x. Valitaan tässä f (x) = e 2x ja g (x) = cos x. Täten f (x) = 2e 2x ja g(x) = sin x ja yllä oleva lauseke saaaan seuraavaan muotoon: ( ) e 2x cos x + 2 e 2x cos xx = e 2x cos x + 2 e 2x sin x sin x(2e 2x x) = e 2x cos x + 2e 2x sin x 4 sin xe 2x x. Nyt huomataan, että tähän asti saatu tulos kertoo itse asiassa seuraavaa: e 2x sin xx = e 2x cos x + 2e 2x sin x 4 sin xe 2x x Tässä integraali yhtälön vasemmalla puolella on sama kuin yhtälön oikean puolen viimeinen termi, joten ne voiaan siirtää samalle puolelle. Tämän jälkeen integraali ratkeaa helposti: 5 e 2x sin xx = e 2x cos x + 2e 2x sin x 4 e 2x sin xx = e 2x cos x + 2e 2x sin x e 2x sin xx = ( ) e 2x cos x + 2e 2x sin x 5 sin xe 2x x Tiivisteenä: osittaisintegrointi on erivoinnin tulosäännön käänteistoimitus 3. Sitä kannattaa soveltaa silloin, kun f (x)g (x)x 3 Jos et muista tentissä osittaisintegroinnin kaavaa ulkoa, riittää että muistat tulon erivoimissäännön, jolloin voit johtaa osittaisintegraalin kaavan tästä. 9
10 on vaikea laskea, mutta f (x)g(x)x on helppo laskea. Kuten aina integroitaessa, voi osittaisintegroinninkin tuloksen tarkistaa erivoimalla saatu lauseke. 3 Osamurtohajotelma Usein integroitavana on rationaalifunktio eli funktio, joka on muotoa P(x) Q(x), jossa P(x) ja Q(x) ovat polynomeja. Tällainen rationaalifunktio on esimerkiksi x 5 + 3x + x 3 + 2x 2. Tässä kannattaa kiinnittää aluksi huomiota polynomien asteisiin: yllä osoittajan aste on 5 ja nimittäjän aste on 3. Polynomin aste on siis sen korkeimman potenssin aste. Rationaalifunktioien integraaleja laskettaessa on oleellista huomata ensiksi, onko osoittajan aste suurempi kuin nimittäjän aste. Yllä osoittajan aste on suurempi, kun taas funktion x 2 + 4x x 7 + 5x nimittäjän aste (eli 7) on suurempi kuin osoittajan aste (eli 2). Se onko osoittajan vai nimittäjän aste suurempi ratkaisee miten näitä integraaleja kannattaa laskea. Aluksi käsittelemme tapauksen, jossa nimittäjän asteluku on suurempi. Esimerkki tällaisesta funktiosta on (x 4)(x 2), jonka nimittäjän asteluku on kaksi, minkä voi nähä laskemalla nimittäjän lausekkeen auki. Tätä funktiota on kuitenkin mahotonta integroia suoraan. Oleellista tällaisessa tapauksessa on tutkia nimittäjän nollakohtia. Yllä olevalla funktiolla on kaksi erillistä nollakohtaa: x = 4 ja x 2 = 2. 0
11 Tällaisessa tapauksessa tuolle funktiolle voi tehä seuraavanlaisen osamurtohajotelman: (x 4)(x 2) = A x 4 + A 2 x 2. Tässä A ja A 2 ovat vakioita, jotka pitää ratkaista. Käytännössä nämä ratkaistaan valitsemalla ne siten, että yllä olevan yhtälön vasen ja oikea puoli ovat samoja: (x 4)(x 2) = A x 4 + A 2 x 2 = (x 2)A (x 2)(x 4) + (x 4)A 2 (x 4)(x 2) = (x 2)A + (x 4)A 2 (x 4)(x 2) = A x 2A + A 2 x 4A 2. (x 4)(x 2) Tästä voiaan nyt ratkaista A ja A 2 : täytyy päteä, että (x 4)(x 2) = A x 2A + A 2 x 4A 2 (x 4)(x 2) eli että = A x 2A + A 2 x 4A 2. Koska tällä vasemmalla puolella on pelkkä luku, eikä yhtään x:ää sisältävää termiä, niin on oltava että A x + A 2 x = 0 eli A + A 2 = 0. Toinen ehto, joka saaaan on 2A 4A 2 =. Kun nämä kaksi ehtoa yhistetään, saaaan ensimmäisestä ehosta, että A = A 2, jonka voi sijoittaa toiseen ehtoon ja ratkaista 2A 2 4A 2 = eli A 2 = /2, jolloin A = /2. Täten tuo tehtävän rationaalifunktio voiaan esittää muoossa (x 4)(x 2) = A x 4 + A 2 x 2 = /2 x 4 /2 x 2. Nyt tämä oikea puoli on integroitavissa: /2 x 4 /2 x 2 x = /2 x 4 x /2 x 2 x = /2 ln x 4 /2 ln x 2 + C.
12 Täten tehtävän ratkaisu on x = /2 ln x 4 /2 ln x 2 + C. (x 4)(x 2) Yleisesti ottaen kun integroitavana on rationaalifunktio f (x) = P(x)/Q(x), jonka nimittäjän Q aste on suurempi kuin sen osoittajan P aste ja jonka nimittäjällä on erilliset nollakohat (Q(x) = a(x x )(x x 2 ) (x x n )) niin integraali saaaan ratkaistua jakamalla tehtävän funktio ensin osamurtoihin: P(x) Q(x) = A + A A n x x x x 2 x x n ja ratkaisemalla tästä vakiot A,..., A n. Tästä saaaan lopulta integroimalla ratkaisuksi P(x) Q(x) x = A ln x x + A 2 ln x x A n ln x x n + C Esimerkki. Halutaan laskea integraali x 2 x x. Nyt pitää aloittaa jakamalla nimittäjä tekijöihin, jolloin näemme sen nollakohat: x 2 x = x(x ). Eli nimittäjän nollakohat ovat selvästi 0 ja. Täten osamurtohajotelma on muotoa x(x ) = A x + A 2 x. Tästä voiaan ratkaista kertoimet A ja A 2 vanhaan malliin: x(x ) = A x + A 2 x = A (x ) x(x ) + A 2x x(x ) = A x A + A 2 x. x(x ) Jälleen ratkaistaan termit A ja A 2 asettamalla = A x A + A 2 x. Tästä seuraa heti, että A =. Tästä taas seuraa, että A 2 =. Täten x(x ) x = x x + x x = ln x x + ln x + C. 2
13 Toinen osamurtotapaus, jota käsittelemme, on tapaus jossa osoittajan asteluku on suurempi kuin nimittäjän asteluku. Tällainen funktio on esimerkiksi x 4 x 2 3x + 2. Tällainen polynomi pitää aluksi muokata eri muotoon esimerkiksi jakokulmassa. Alla tämä muokkaus kuitenkin suoritetaan hieman eri tavalla. Ieana on esittää osoittaja x 4 muoossa nimittäjä kertaa jokin luku plus jokin luku. Eli yleisesti ottaen haluamme esittää rationaalifunktion P(x)/Q(x) muoossa a(x)q(x) + b(x) Q(x) = a(x) + b(x) Q(x), jossa a(x) ja b(x) ovat polynomeja ja P(x) = a(x)q(x) + b(x). Ieana on, että osamäärä b(x) olisi muoossa, jossa nimittäjän asteluku olisi suurempi kuin osoittajan Q(x) asteluku. Funktion x 4 x 2 3x + 2 tapauksessa haluamme siis lisätä osoittajaan nimittäjän x 2 3x + 2 kerrottuna jollakin polynomilla. Koska osoittajassa on termi x 4, niin kerrotaan tämä nimittäjä termillä x 2, jolloin näien tulossa esiintyy termi x 4 : x 4 x 2 3x + 2 = x2 (x 2 3x + 2) + (3x 3 2x 2 ) x 2 3x + 2 = x 2 + 3x3 2x 2 x 2 3x + 2. Tuossa jälkimmäinen termi 3x 3 2x 2 valittiin siten, että pätee yhtäsuuruus x 4 = x 2 (x 2 3x + 2) + (3x 3 2x 2 ). Tämän jälkeen osoittajan tekijät jaettiin erikseen nimittäjällä. Saaussa funktiossa on kuitenkin eelleen tekijä (3x 3 2x 2 )/(x 2 3x + 2), jossa osoittajan aste ylittää nimittäjän asteen. Sovelletaan tähänkin samaa tekniikkaa: esitetään sen osoittaja nimittäjän kertoimen ja jäännöstermin avulla: 3x 3 2x 2 x 2 3x + 2 = 3x(x2 3x + 2) + (9x 2 6x) x 2 3x + 2 = 3x + 9x2 6x x 2 3x
14 Tässä valittiin jälleen nimittäjään kerroin 3x siten että osoittajan suurin termi 3x 3 saataisiin nimittäjän ja termin 3x kertoimena. Termi (9x 2 6x) valittiin siten, että pätisi 3x 3 2x 2 = 3x(x 2 3x + 2) + (9x 2 6x). Nyt olemme saaneet alkuperäisen funktion muotoon x 4 x 2 3x + 2 = x2 + 3x + 9x2 6x x 2 3x + 2. Muokataan vielä tämä viimeinen termi samalla taktiikalla kuntoon. Esitetään se muoossa 9x 2 6x x 2 3x + 2 = 9(x2 3x + 2) + (2x 8) x 2 3x + 2 2x 8 = 9 + x 2 3x + 2 Täten olemme saaneet muokattua alkuperäisen funktion muotoon x 4 x 2 3x + 2 = x2 + 3x x 8 x 2 3x + 2. Tämän viimeinen termi ei ole vieläkään integroitavissa, mutta ainakin se on tuttua tyyppiä, jossa nimittäjän asteluku ylittää osoittajan asteluvun. Lisäksi sen nimittäjä voiaan esittää tulomuoossa: x 2 3x + 2 = (x )(x 2), joten lauseke voiaan esittää osamurtoina: 2x 8 x 2 3x + 2 = A x + A 2 x 2. Tästä voiaan ratkaista vanhaan tapaan A = 3 ja A 2 = 24. Täten alkuperäinen funktio saaaan integroitua seuraavasti: x 4 x 2 3x + 2 x = x 2 + 3x x + 24 x 2 x = 3 x x2 + 9x 3 ln x + 24 ln x 2 + C. 4
Matematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 10 1 Sarjakehitelmiä Palautetaan mieliin, että potenssisarja on sarja joka on muotoa a n (x x 0 ) n = a 0 + a 1 (x x 0 ) + a 2 (x x 0 ) 2 + a 3 (x x 0 ) 3 +. n=0 Kyseinen
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 1 Derivaatta Tarkastellaan funktion f keskimääräistä muutosta tietyllä välillä ( 0, ). Funktio f muuttuu tällä välillä määrän. Kun tämä määrä jaetaan välin pituudella,
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 2 Lisää osamurtoja Tutkitaan jälleen rationaalifunktion P(x)/Q(x) integrointia. Aiemmin käsittelimme tapauksen, jossa nimittäjä voidaan esittää muodossa Q(x) = a(x x
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 10 1 Sarjakehitelmiä Palautetaan mieliin, että potenssisarja on sarja joka on muotoa a n (x x 0 ) n = a 0 + a 1 (x x 0 ) + a 2 (x x 0 ) 2 + a 3 (x x 0 ) 3 +. n=0 Kyseinen
LisätiedotMatematiikan tukikurssi: kurssikerta 10
Matematiikan tukikurssi: kurssikerta 10 1 Newtonin menetelmä Oletetaan, että haluamme löytää funktion f(x) nollakohan. Usein tämä tehtävä on mahoton suorittaa täyellisellä tarkkuuella, koska tiettyjen
LisätiedotH5 Malliratkaisut - Tehtävä 1
H5 Malliratkaisut - Tehtävä Eelis Mielonen 30. syyskuuta 07 a) 3a (ax + b)3/ + C b) a cos(ax + b) + C a) Tässä tehtävässä päästään harjoittelemaan lukiosta tuttua integrointimenetelmää. Ensimmäisessä kohdassa
LisätiedotMS-A0107 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (CHEM)
MS-A17 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 CHEM) Laskuharjoitus 4lv, kevät 16 1. Tehtävä: Laske cos x dx a) osittaisintegroinnilla, b) soveltamalla sopivaa trigonometrian kaavaa. Ratkaisu: a) Osittaisintegroinnin
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 7 Differentiaalikehitelmä Funktion f erivaatta pisteessä x 0 eli f (x 0 ) on erotusosamäärän rajaarvo: f (x) f (x 0 ). x x 0 x x 0 Tämä voiaan esittää hieman eri muoossa
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kertausta 2. välikokeeseen Toisessa välikokeessa on syytä osata ainakin seuraavat asiat: 1. Potenssisarjojen suppenemissäe, suppenemisväli ja suppenemisjoukko. 2. Derivaatan laskeminen
LisätiedotMuuttujan vaihto. Viikon aiheet. Muuttujan vaihto. Muuttujan vaihto. ) pitää muistaa lausua t:n avulla. Integroimisen työkalut: Kun integraali
Viikon aiheet Integroimisen työkalut: Rationaalifunktioiden jako osamurtoihin Rekursio integraaleissa CDH: Luku 4, Prujut206: Luvut 4-4.2.5, Prujut2008: s. 89-6 Kun integraali h(x) ei näytä alkeisfunktioiden
Lisätiedot2.7 Neliöjuuriyhtälö ja -epäyhtälö
2.7 Neliöjuuriyhtälö ja -epäyhtälö Neliöjuuren määritelmä palautettiin mieleen jo luvun 2.2 alussa. Neliöjuurella on mm. seuraavat ominaisuudet. ab = a b, a 0, b 0 a a b =, a 0, b > 0 b a2 = a a > b, a
LisätiedotMapu I Laskuharjoitus 2, tehtävä 1. Derivoidaan molemmat puolet, aloitetaan vasemmasta puolesta. Muistetaan että:
Mapu I Laskuharjoitus 2, tehtävä 1 1. Eräs trigonometrinen ientiteetti on sin2x = 2sinxcosx Derivoimalla yhtälön molemmat puolet x:n suhteen, joha lauseke cos 2x:lle. Ratkaisu: Derivoiaan molemmat puolet,
LisätiedotEksponenttifunktion Laplace muunnos Lasketaan hetkellä nolla alkavan eksponenttifunktion Laplace muunnos eli sijoitetaan muunnoskaavaan
Laplace muunnos Hieman yksinkertaistaen voisi sanoa, että Laplace muunnos muuttaa derivaatan kertolaskuksi ja integroinnin jakolaskuksi. Tältä kannalta katsottuna Laplace muunnoksen hyödyllisyyden ymmärtää;
LisätiedotOletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on
Derivaatta Erilaisia lähestymistapoja: geometrinen (käyrän tangentti sekanttien raja-asentona) fysikaalinen (ajasta riippuvan funktion hetkellinen muutosnopeus) 1 / 13 Derivaatan määritelmä Määritelmä
LisätiedotAluksi. 2.1. Kahden muuttujan lineaarinen epäyhtälö
Aluksi Matemaattisena käsitteenä lineaarinen optimointi sisältää juuri sen saman asian kuin mikä sen nimestä tulee mieleen. Lineaarisen optimoinnin avulla haetaan ihannearvoa eli optimia, joka on määritelty
Lisätiedot2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä
2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2.1 Ensimmäisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Muuttujan x ensimmäisen asteen yhtälöksi sanotaan yhtälöä, joka voidaan kirjoittaa muotoon ax + b = 0, missä vakiot a ja b ovat reaalilukuja
LisätiedotEsimerkkejä derivoinnin ketjusäännöstä
Esimerkkejä derivoinnin ketjusäännöstä (5.9.008 versio 1.0) Esimerkki 1 Määritä funktion f(x) = (x 5) derivaattafunktio. Funktio voidaan tulkita yhdistettynä funktiona, jonka ulko- ja sisäfunktiot ovat
LisätiedotMAA10 HARJOITUSTEHTÄVIÄ
MAA0 Määritä se funktion f: f() = + integraalifunktio, jolle F() = Määritä se funktion f : f() = integraalifunktio, jonka kuvaaja sivuaa suoraa y = d Integroi: a) d b) c) d d) Määritä ( + + 8 + a) d 5
LisätiedotMatematiikan tukikurssi: kurssikerta 12
Matematiikan tukikurssi: kurssikerta 2 Tenttiin valmentavia harjoituksia Huomio. Tähän tulee lisää ratkaisuja sitä mukaan kun ehin niitä kirjoittaa. Kurssilla käyään läpi tehtävistä niin monta kuin mahollista.
Lisätiedot(x 0 ) = lim. Derivoimissääntöjä. Oletetaan, että funktiot f ja g ovat derivoituvia ja c R on vakio. 1. Dc = 0 (vakiofunktion derivaatta) 2.
Derivaatta kuvaa funktion hetkellistä kasvunopeutta. Geometrisesti tulkittuna funktion derivaatta kohdassa x 0 on funktion kuvaajalle kohtaan x 0 piirretyn tangentin kulmakerroin. Funktio f on derivoituva
LisätiedotEpäyhtälön molemmille puolille voidaan lisätä sama luku: kaikilla reaaliluvuilla a, b ja c on voimassa a < b a + c < b + c ja a b a + c b + c.
Epäyhtälö Kahden lausekkeen A ja B välisiä järjestysrelaatioita A < B, A B, A > B ja A B nimitetään epäyhtälöiksi. Esimerkiksi 2 < 6, 9 10, 5 > a + + 2 ja ( + 1) 2 2 + 2 ovat epäyhtälöitä. Epäyhtälössä
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 17. Osittaisintegrointi Sijoitusmenettely
Talousmatematiikan perusteet: Luento 17 Osittaisintegrointi Sijoitusmenettely Motivointi Viime luennolla käsittelimme integroinnin perussääntöjä: Vakiolla kerrotun funktion integrointi: af x dx = a f x
Lisätiedot5. OSITTAISINTEGROINTI
5 OSITTAISINTEGROINTI Kahden funktion f ja g tulo derivoidaan kuten muistetaan seuraavasti: D (fg) f g + f Kun tämä yhtälö integroidaan puolittain, niin saadaan fg f ()g()d + f ()()d Yhtälö saattaa erota
LisätiedotReaalilukuvälit, leikkaus ja unioni (1/2)
Luvut Luonnolliset luvut N = {0, 1, 2, 3,... } Kokonaisluvut Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... } Rationaaliluvut (jaksolliset desimaaliluvut) Q = {m/n m, n Z, n 0} Irrationaaliluvut eli jaksottomat desimaaliluvut
LisätiedotMS-A0004 - Matriisilaskenta Laskuharjoitus 3
MS-A0004 - Matriisilaskenta Laskuharjoitus 3 atkaisut Tehtävä Merkitään matriisin rivejä, 2 ja 3. Gaussin eliminoinnilla saadaan 3 5 4 7 3 5 4 7 3 2 4 2+ 0 3 0 6 6 8 4 3+2 2 0 3 0 6 3 5 4 7 0 3 0 6 3+
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle /
MS-A8 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/7 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 5. viikolle / 9..5. Integroimismenetelmät Tehtävä : Laske osittaisintegroinnin avulla a) π x sin(x) dx,
Lisätiedotf (t) + t 2 f(t) = 0 f (t) f(t) = t2 d dt ln f(t) = t2, josta viimeisestä yhtälöstä saadaan integroimalla puolittain
Matematiikan ja tilastotieteen osasto/hy Differentiaaliyhtälöt I Laskuharjoituksen mallit Kevät 09 Tehtävän ratkaisu a) Analyysin peruslauseen mukaan missä c, c R y () = 3 sin() y () = 3 sin() = 3 cos()
LisätiedotMatematiikan tukikurssi, kurssikerta 3
Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus
LisätiedotMapusta. Viikon aiheet
Infoa Mapusta Tiistaina: Ongelmanratkaisu ryhmässä luento klo 8-10 D101. Tähän liittyviä tehtäviä tehään myöhemmin perusopintojen laboratoriotöihin integroituna. Mikäli luento menee ex-temporen päälle,
LisätiedotMATP153 Approbatur 1B Ohjaus 2 Keskiviikko torstai
MATP15 Approbatur 1B Ohjaus Keskiviikko 4.11. torstai 5.11.015 1. (Opiskeluteht. 6 s. 0.) Määritä sellainen vakio a, että polynomilla x + (a 1)x 4x a on juurena luku x = 1. Mitkä ovat tällöin muut juuret?.
Lisätiedot3. Reaalifunktioiden määräämätön integraali
50 3. Reaalifunktioiden määräämätön integraali Integraalifunktio Derivoinnin käänteistoimituksena on vastata kysymykseen "Mikä on se funktio, jonka derivaatta on f?" Koska vakion derivaatta 0, havaitaan
LisätiedotDerivointiesimerkkejä 2
Derivointiesimerkkejä 2 (2.10.2008 versio 2.0) Parametrimuotoisen funktion erivointi Esimerkki 1 Kappale kulkee pitkin rataa { x(t) = sin 2 t y(t) = cos t. Määritetään raan suuntakulma positiiviseen x-akseliin
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kertausluento 2. välikokeeseen Toisessa välikokeessa on syytä osata ainakin seuraavat asiat:. Potenssisarjojen suppenemissäde, suppenemisväli ja suppenemisjoukko. 2. Derivaatan
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 4.9.09 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alustavat hyvän vastauksen piirteet on suuntaa-antava kuvaus kokeen tehtäviin odotetuista vastauksista ja tarkoitettu ensisijaisesti
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 9 1 Implisiittinen derivointi Tarkastellaan nyt yhtälöä F(x, y) = c, jossa x ja y ovat muuttujia ja c on vakio Esimerkki tällaisesta yhtälöstä on x 2 y 5 + 5xy = 14
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Jatkuvuus Jatkuvan funktion määritelmä Tarkastellaan funktiota f x) jossakin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jatkuva tai epäjatkuva. Jatkuvuuden
Lisätiedot2.2 Täydellinen yhtälö. Ratkaisukaava
. Täydellinen yhtälö. Ratkaisukaava Tulon nollasäännöstä näkee silloin tällöin omituisia sovellutuksia. Jotkut näet ajattelevat, että on olemassa myöskin tulon -sääntö tai tulon "mikä-tahansa"- sääntö.
LisätiedotMatematiikan peruskurssi 2
Matematiikan peruskurssi Tentti, 9..06 Tentin kesto: h. Sallitut apuvälineet: kaavakokoelma ja laskin, joka ei kykene graaseen/symboliseen laskentaan Vastaa seuraavista viidestä tehtävästä neljään. Saat
LisätiedotDerivaatta, interpolointi, L6
, interpolointi, L6 1 Wikipeia: (http://fi.wikipeia.org/wiki/ ) Etälukio: (http://193.166.43.18/etalukio/ pitka_matematiikka/kurssi7/maa7_teoria10.html ) Maths online: (http://www.univie.ac.at/future.meia/
Lisätiedot30 + x. 15 + 0,5x = 2,5 + x 0,5x = 12,5 x = 25. 27,5a + 27,5b = 1,00 55 = 55. 2,5a + (30 2,5)b (27,5a + 27,5b) = 45 55.
RATKAISUT, Insinöörimatematiikan koe 1.5.201 1. Kahdessa astiassa on bensiinin ja etanolin seosta. Ensimmäisessä astiassa on 10 litraa seosta, jonka tilavuudesta 5 % on etanolia. Toisessa astiassa on 20
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 10 1 Funktion monotonisuus Derivoituva funktio f on aidosti kasvava, jos sen derivaatta on positiivinen eli jos f (x) > 0. Funktio on aidosti vähenevä jos sen derivaatta
LisätiedotMatematiikan pohjatietokurssi
Matematiikan pohjatietokurssi Demonstraatio, 8.-9.9.015, ratkaisut 1. Jaa tekijöihin (joko muistikaavojen avulla tai ryhmittelemällä) (a) x +x+ = x + x + = (x+) x +x+ = (x +x+1) = (x+1) (c) x 9 = (x) 3
Lisätiedot1.7 Gradientti ja suunnatut derivaatat
1.7 Gradientti ja suunnatut derivaatat Funktion ensimmäiset osittaisderivaatat voidaan yhdistää yhdeksi vektorifunktioksi seuraavasti: Missä tahansa pisteessä (x, y), jossa funktiolla f(x, y) on ensimmäiset
LisätiedotLuonnollisten lukujen laskutoimitusten määrittely Peanon aksioomien pohjalta
Simo K. Kivelä, 15.4.2003 Luonnollisten lukujen laskutoimitusten määrittely Peanon aksioomien pohjalta Aksioomat Luonnolliset luvut voidaan määritellä Peanon aksioomien avulla. Tarkastelun kohteena on
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Supremum ja inmum Tarkastellaan aluksi avointa väliä, Tämä on joukko, johon kuuluvat kaikki reaaliluvut miinus yhdestä yhteen Kuitenkaan päätepisteet eli luvut ja
LisätiedotDerivaatta Maarit Järvenpää Puhtaaksikirjoitus Markus Harju
Derivaatta Maarit Järvenpää Putaaksikirjoitus Markus Harju Sisältö Derivaatan määritelmä 2 Derivoimissääntöjä 7 3 Dierentiaalilaskennan peruslauseita 3 4 Funktion ääriarvot 20 Derivaatan määritelmä Olkoon
LisätiedotOpintomoniste lukion integraalilaskennan kurssille MAA10
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Esa Ahlqvist Opintomoniste lukion integraalilaskennan kurssille MAA Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Helmikuu 5 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden
Lisätiedot4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio
4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Tutkitaan yhtälöiden ratkaisuja piirtämällä funktioiden f(x) = x, f(x) = x 3, f(x) = x 4 ja f(x) = x 5 kuvaajat. Näin nähdään, monessako
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 1 Matemaattisesta päättelystä Matemaattisen analyysin kurssin (kuten minkä tahansa matematiikan kurssin) seuraamista helpottaa huomattavasti, jos opiskelija ymmärtää
LisätiedotPERUSASIOITA ALGEBRASTA
PERUSASIOITA ALGEBRASTA Matti Lehtinen Tässä luetellut lauseet ja käsitteet kattavat suunnilleen sen mitä algebrallisissa kilpatehtävissä edellytetään. Ns. algebrallisia struktuureja jotka ovat nykyaikaisen
Lisätiedot6*. MURTOFUNKTION INTEGROINTI
MAA0 6*. MURTOFUNKTION INTEGROINTI Murtofunktio tarkoittaa kahden polynomin osamäärää, ja sen yleinen muoto on P() R : R(). Q() Mikäli osoittajapolynomin asteluku on nimittäjäpolynomin astelukua korkeampi
LisätiedotIntegroimistekniikkaa Integraalifunktio
. Integroimistekniikkaa.. Integraalifunktio 388. Vertaa funktioiden ln ja ln, b) arctan ja arctan + k k, c) ln( + 2 ja ln( 2, missä a >, derivaattoja toisiinsa. Tutki funktioiden erotusta muuttujan eri
LisätiedotVektoreiden A = (A1, A 2, A 3 ) ja B = (B1, B 2, B 3 ) pistetulo on. Edellisestä seuraa
Viikon aiheet Pistetulo (skalaaritulo Vektorien tulot Pistetulo Ristitulo Skalaari- ja vektorikolmitulo Integraalifunktio, alkeisfunktioiden integrointi, yhdistetyn funktion derivaatan integrointi Vektoreiden
LisätiedotSeurauksia. Seuraus. Seuraus. Jos asteen n polynomilla P on n erisuurta nollakohtaa x 1, x 2,..., x n, niin P on muotoa
Seurauksia Seuraus Jos asteen n polynomilla P on n erisuurta nollakohtaa x 1, x 2,..., x n, niin P on muotoa P(x) = a n (x x 1 )(x x 2 )... (x x n ). Seuraus Astetta n olevalla polynomilla voi olla enintään
Lisätiedot4 Integrointimenetelmiä
4 Integrointimenetelmiä 4. Määräämätön integraali Määritelmä 4.. Olkoon funktio f jatkuva välillä I. Tällöin funktion f integraalifunktioiden (välillä I) joukkoa sanotaan funktion f määräämättömäksi integraaliksi
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 1 Funktion kuperuussuunnat Derivoituva funktio f (x) on pisteessä x aidosti konveksi, jos sen toinen derivaatta on positiivinen f (x) > 0. Vastaavasti f (x) on aidosti
Lisätiedotmonissa laskimissa luvun x käänteisluku saadaan näyttöön painamalla x - näppäintä.
.. Käänteisunktio.. Käänteisunktio Mikäli unktio : A B on bijektio, niin joukkojen A ja B alkioiden välillä vallitsee kääntäen yksikäsitteinen vastaavuus eli A vastaa täsmälleen yksi y B, joten myös se
LisätiedotLukion. Calculus. Polynomifunktiot. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN
Calculus Lukion MAA Polynomifunktiot Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Polynomifunktiot (MAA) Pikatesti ja kertauskokeet Tehtävien ratkaisut
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 5: Taylor-polynomi ja sarja
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 5: Taylor-polynomi ja sarja Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 26.9.2016 Pekka Alestalo,
LisätiedotHelsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe klo 10 13
Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 1. Ratkaise seuraavat yhtälöt ja epäyhtälöt. (a) 3 2 x 2 3 2 3 x 1 4, (b) (x + 1)(x 2)
LisätiedotJohdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 7, 28.10.2015
Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 7, 28.10.2015 1. Onko olemassa yhtenäistä verkkoa, jossa (a) jokaisen kärjen aste on 6, (b) jokaisen kärjen aste on 5, ja paperille piirrettynä sivut eivät
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 3. viikolle /
MS-A008 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/07 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 3. viikolle / 5. 7.4. Taylorin Polynomit, Taylorin sarjat, potenssisarjat, Newtonin menetelmä Tehtävä
LisätiedotMAA2.3 Koontitehtävät 2/2, ratkaisut
MAA.3 Koontitehtävät /, ratkaisut. (a) 3x 5x 4 = 0 x = ( 5) ± ( 5) 4 3 ( 4) 6 (b) (x 4) = (x 4)(x + 4) (x 4)(x 4) = (x 4)(x + 4) x 8x + 6 = x 6 x 6 8x = 3 : 8 x = 4 = 5 ± 73 6 (c) 4 x + x + = 0 4 x + 4x
LisätiedotMAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio
MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio Olkoon a 1 = a 2 = 5 ja a n+1 = a n + 6a n 1 kun n 2. Todista induktiolla, että a n = 3 n ( 2) n, kun n on positiivinen
LisätiedotJuuri 2 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Kertaus K. a) E Nouseva suora. b) A 5. asteen polynomifunktio, pariton funktio Laskettu piste f() = 5 =, joten piste (, ) on kuvaajalla. c) D Paraabelin mallinen, alaspäin aukeava. Laskettu piste f() =
Lisätiedota) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3.
Integraalilaskenta. a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. b) Mitä määrätty integraali tietyllä välillä x tarkoittaa? Vihje: * Integraali * Määrätyn integraalin
LisätiedotDerivointikaavoja, interpolointi, jousto, rajatuotto, L4b
, interpolointi, jousto, rajatuotto, L4b Funktioita Potenssifunktio: x (axn ) = nax n 1 Eksponentin n ei tarvitse olla kokonaisluku, vaan se voi olla murtoluku tai esimaaliluku! Neliöjuuri: ax = x x (
LisätiedotA B = (1, q, q 2 ) (2, 0, 2) = 2 2q q 2 = 0 q 2 = 1 q = ±1 A(±1) = (1, ±1, 1) A(1) A( 1) = (1, 1, 1) (1, 1, 1) = A( 1) A(1) A( 1) = 1
Mapu I Viikko 4 tehtävä malli Millä q:n arvoilla vektori A(q) (, q, q ) on kohtisuora vektorin B (, 0, ) kanssa? Ovatko A:n eri ratkaisut keskenään kohtisuoria? Jos eivät, määrää niiden välinen kulma!
LisätiedotNumeeriset menetelmät Pekka Vienonen
Numeeriset menetelmät Pekka Vienonen 1. Funktion nollakohta Newtonin menetelmällä 2. Määrätty integraali puolisuunnikassäännöllä 3. Määrätty integraali Simpsonin menetelmällä Newtonin menetelmä Newtonin
LisätiedotDierentiaaliyhtälöistä
Dierentiaaliyhtälöistä Markus Kettunen 4. maaliskuuta 2009 1 SISÄLTÖ 1 Sisältö 1 Dierentiaaliyhtälöistä 2 1.1 Johdanto................................. 2 1.2 Ratkaisun yksikäsitteisyydestä.....................
Lisätiedotk=0 saanto jokaisen kolmannen asteen polynomin. Tukipisteet on talloin valittu
LIS AYKSI A kirjaan Reaalimuuttujan analyysi 1.6. Numeerinen integrointi: Gaussin kaavat Edella kasitellyt numeerisen integroinnin kaavat eli kvadratuurikaavat Riemannin summa, puolisuunnikassaanto ja
LisätiedotNumeeriset menetelmät
Numeeriset menetelmät Luento 1 Ti 6.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 1 Ti 6.9.2011 p. 1/28 p. 1/28 Numeriikan termejä Simulointi: Reaalimaailman ilmiöiden jäljitteleminen (yleensä)
Lisätiedot5 Integraalilaskentaa
5 Integraalilaskentaa - Tässä rajoitutaan yhden muuttujan funktioiden f:a R (A R) tarkasteluun. - Yleiset integroituvuuteen liittyvät teoriatarkastelut sivuutetaan. Derivaatta(-funktio) ja integraalifunktio:
Lisätiedotw + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.
Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)
Lisätiedot2 dy dx 1. x = y2 e x2 2 1 y 2 dy = e x2 xdx. 2 y 1 1. = ex2 2 +C 2 1. y =
BM20A5830 Differentiaaliyhtälöiden peruskurssi Harjoitus 2, Kevät 207 Päivityksiä: Tehtävän 4b tehtävänanto korjattu ja vastauksia lisätty.. Ratkaise y, kun 2y x = y 2 e x2. Jos y () = 0 niin mikä on ratkaisu
LisätiedotF {f(t)} ˆf(ω) = 1. F { f (n)} = (iω) n F {f}. (11) BM20A5700 - INTEGRAALIMUUNNOKSET Harjoitus 10, viikko 46/2015. Fourier-integraali:
BMA57 - INTEGRAALIMUUNNOKSET Harjoitus, viikko 46/5 Fourier-integraali: f(x) A() π B() π [A() cos x + B() sin x]d, () Fourier-muunnos ja käänteismuunnos: f(t) cos tdt, () f(t) sin tdt. (3) F {f(t)} ˆf()
Lisätiedotf(x) f(y) x y f f(x) f(y) (x) = lim
Y1 (Matematiikka I) Haastavampia lisätehtäviä Syksy 1 1. Funktio h määritellään seuraavasti. Kuvan astiaan lasketaan vettä tasaisella nopeudella 1 l/min. Astia on muodoltaan katkaistu suora ympyräkartio,
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 6 varuusintegraali iemmin laskimme yksiulotteisia integraaleja b a f (x)dx, jossa integrointialue on x-akselin väli [a, b]. Lisäksi laskimme kaksiulotteisia integraaleja
LisätiedotMatematiikan tukikurssi 3.4.
Matematiikan tukikurssi 3.4. Neliömuodot, Hessen matriisi, deiniittisyys, konveksisuus siinä tämän dokumentin aiheet. Neliömuodot ovat unktioita, jotka ovat muotoa T ( x) = x Ax, missä x = (x 1,, x n )
LisätiedotMatemaattisen analyysin tukikurssi
Matemaattisen analyysin tukikurssi 4. Kurssikerta Petrus Mikkola 4.10.2016 Tämän kerran asiat Funktion raja-arvo Raja-arvon määritelmä Toispuolinen raja-arvo Laskutekniikoita Rationaalifunktion esityksen
LisätiedotHelsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet
Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.01 klo 10 13 t ja pisteytysohjeet 1. Ratkaise seuraavat yhtälöt ja epäyhtälöt. (a) 3 x 3 3 x 1 4, (b)
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 7 1 Useamman muuttujan funktion raja-arvo Palautetaan aluksi mieliin yhden muuttujan funktion g(x) raja-arvo g(x). x a Tämä raja-arvo kertoo, mitä arvoa funktio g(x)
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 3 Supremum ja infimum Tarkastellaan aluksi avointa väliä, ) = { : < < }. Tämä on joukko, johon kuuluvat kaikki reaaliluvut miinus yhdestä yhteen. Kuitenkaan päätepisteet
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 Väliarvolause Oletetaan, että funktio f on jatkuva jollain reaalilukuvälillä [a, b] ja derivoituva avoimella välillä (a, b). Funktion muutos tällä välillä on luonnollisesti
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 12 1 Eksponenttifuntio Palautetaan mieliin, että Neperin luvulle e pätee: e ) n n n ) n n n n n ) n. Tästä määritelmästä seuraa, että eksponenttifunktio e x voidaan
LisätiedotJohdatus yliopistomatematiikkaan, 2. viikko (2 op)
Johdatus yliopistomatematiikkaan, 2. viikko (2 op) Jukka Kemppainen Mathematics Division Yhtälöt ja epäyhtälöt Jokainen osaa ratkaista ensimmäisen asteen yhtälön ax + by + c = 0. Millä parametrien a, b
LisätiedotMonisteessa määritellään integraalifunktio ja esitetään perusominaisuuksia. Tässä pari esimerkkiä. = x x3 + 2 x + C.
Integraalifunktio Integraalifunktion määritelmä Monisteessa määritellään integraalifunktio ja esitetään perusominaisuuksia Tässä pari esimerkkiä On integroitava funktio + 5 + / Saadaan ( + 5 + ) + 5 +
LisätiedotEsimerkki 8. Ratkaise lineaarinen yhtälöryhmä. 3x + 5y = 22 3x + 4y = 4 4x 8y = 32. 3 5 22 r 1 + r 3. 0 13 26 4 8 32 r 3 4r 1. LM1, Kesä 2014 47/68
Esimerkki 8 Ratkaise lineaarinen yhtälöryhmä 3x + 5y = 22 3x + 4y = 4 4x 8y = 32. 3 5 22 r 1 + r 3 3 4 4 4 8 32 1 3 10 0 13 26 4 8 32 r 3 4r 1 1 3 10 3 4 4 r 2 3r 1 4 8 32 1 3 10 0 13 26 r 2 /13 0 4 8
Lisätiedot5 Differentiaalilaskentaa
5 Differentiaalilaskentaa 5.1 Raja-arvo Esimerkki 5.1. Rationaalifunktiota g(x) = x2 + x 2 x 1 ei ole määritelty nimittäjän nollakohdassa eli, kun x = 1. Funktio on kuitenkin määritelty kohdan x = 1 läheisyydessä.
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta Eksponenttifuntio Palautetaan mieliin, että Neperin luvulle e pätee: e ) n n n ) n n n n n ) n. Tästä määritelmästä seuraa, että eksponenttifunktio e x voidaan määrittää
LisätiedotDerivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)
Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion
LisätiedotVastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus:
. Koska F( ) on jokin funktion f ( ) integraalifunktio, niin a+ a f() t dt F( a+ t) F( a) ( a+ ) b( a b) Vastaus: Kertausharjoituksia. Lukujonot 87. + n + lim lim n n n n Vastaus: suppenee raja-arvona
Lisätiedotπx) luvuille n N. Valitaan lisäksi x = m,
Lisäyksiä Muutamia lisäyksiä laskuharjoitusten 9 tehtävien ratkaisuihin. Sarjan n n cos4 n π termeittäin erivoituvuus Sarjan n n cos4 n πtermeittäinerivoitavuusonhiukkasenhankalaasia tutkia. Olkoon a n
LisätiedotLisää segmenttipuusta
Luku 24 Lisää segmenttipuusta Segmenttipuu on monipuolinen tietorakenne, joka mahdollistaa monenlaisten kyselyiden toteuttamisen tehokkaasti. Tähän mennessä olemme käyttäneet kuitenkin segmenttipuuta melko
Lisätiedot( ) ( ) ( ) ( ( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 271 Päivitetty 19.2.2006. 701 a) = keskipistemuoto.
Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 7 Päivitetty 9..6 7 a) + y = 7 + y = 7 keskipistemuoto + y 7 = normaalimuoto Vastaus a) + y = ( 7 ) + y 7= b) + y+ 5 = 6 y y + + = b) c) ( ) + y
Lisätiedotx 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua
Mallivastaukset - Harjoituskoe E E a) x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4,35 < 0 x 3 7 4 b) 0 / x + dx = 0 ln x + = ln + ln 0 + = ln 0 Vastaus: ln c) x 4 3x 4 = 0 Sijoitetaan x = u Tulon nollasääntö
Lisätiedot1.4 Funktion jatkuvuus
1.4 Funktion jatkuvuus Kun arkikielessä puhutaan jonkin asian jatkuvuudesta, mielletään asiassa olevan jonkinlaista yhtäjaksoisuutta, katkeamattomuutta. Tässä ei kuitenkaan käsitellä työasioita eikä ihmissuhteita,
Lisätiedot3.4 Rationaalifunktion kulku ja asymptootit
.4 Rationaalifunktion kulku ja asymptootit Rationaali- eli murtofunktiolla tarkoitetaan funktiota R, jonka lauseke on kahden polynomin osamäärä: P() R(). Q() Ainakin nimittäjässä olevan polynomin asteluvun
Lisätiedot3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö
Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.8.016 3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) x + x + 1 = 4 (x + 1) = 4 Luvun x + 1 tulee olla tai, jotta sen
Lisätiedot