Matematiikan perusteet taloustieteilijöille 1a P

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Matematiikan perusteet taloustieteilijöille 1a 802152P"

Transkriptio

1 Matematiikan perusteet taloustieteilijöille 1a P Luentomoniste Kari Myllylä Niina Korteslahti Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syksy 2013

2 Sisältö 1 Perusmatematiikkaa Lukujoukot Rationaalilukujen laskutoimitukset Potensseista ja juurista Induktioperiaate Merkintöjä ja muuta tärkeää Funktiot Funktion määritelmä Funktion kuvaaja (graafinen esitys) Funktion kasvavuus ja vähenevyys Funktion kuperuus Polynomifunktiot Ensimmäisen asteen polynomifunktio eli lineaarinen funktio Ensimmäisen asteen yhtälö Ensimmäisen asteen epäyhtälö Toisen asteen polynomifunktio Toisen asteen yhtälö Toisen asteen epäyhtälö Korkeamman asteen polynomifunktio Korkeamman asteen yhtälö Korkeamman asteen epäyhtälö Polynomifunktion sovellutuksia taloustieteessä Rationaalifunktio Murtoyhtälö Murtoepäyhtälö Itseisarvofunktio Itseisarvoyhtälö Itseisarvoepäyhtälö Neliöjuurifunktio Neliöjuuriyhtälö Neliöjuuriepäyhtälö

3 7 Potenssifunktio Potenssiyhtälö Eksponenttifunktio 31 9 Logaritmifunktio Eksponentti- ja logaritmifunktion sovelluksia taloustieteessä Funktioiden algebraa Funktioiden laskutoimituksia Yhdistetty funktio Surjektio, injektio ja bijektio Käänteisfunktio Yhtälöparit Lineaarinen yhtälöpari Käyrien yhteisten pisteiden etsiminen Raja-arvo Funktion raja-arvo Raja-arvon määräämisestä Polynomifunktio Rationaalifunktio Neliöjuurilausekkeet raja-arvotehtävissä Potenssilausekkeet raja-arvotehtävissä Funktion jatkuvuus Jatkuvuuden määritelmä Jatkuvien funktioiden ominaisuuksia Lukujonot ja sarjat Lukujonon raja-arvo Sarjateoria

4 1 Perusmatematiikkaa 1.1 Lukujoukot Luonnollisten lukujen joukko N = {0, 1, 2,...} Positiivisten luonnollisten lukujen joukko N + = {1, 2,...} Kokonaislukujen joukko Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,...} Rationaalilukujen joukko Q = { m m, n Z, n 0} n Kun täydennetään rationaalilukujen joukkoa Q vielä irrationaaliluvuilla (luvuilla, joiden desimaaliosa on päättymätön ja jaksoton), saadaan reaalilukujen joukko R. Reaaliluvuilla on voimassa seuraavat laskulait (a, b, c R) kommutatiivisuus eli vaihdannaisuus a + b = b + a, ab = ba assosiatiivisuus eli liitännäisyys distributiivisuus eli osittelulaki (a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a(b + c) = ab + ac, (a + b)c = ac + bc 1.2 Rationaalilukujen laskutoimitukset (a, b, c, d, k Z) laventaminen k) a b = ka kb, k 0 supistaminen ka kb = a b, k 0 yhteenlasku (lavennus samannimisiksi) d) a b + b) c d = ad bd + bc bd = ad + bc bd 3

5 vähennyslasku (lavennus samannimisiksi) kertolasku jakolasku d) a b b) c d = ad bd bc bd a b c d = ac bd a b : c d = a b d c = ad bc = ad bc bd Esimerkki 1.1. Esitä seuraavat luvut murtolukuina, jos mahdollista. a) b) c) 1 2 : 2 ( 3 d) ) 3 e) 1, f) g) Potensseista ja juurista Olkoon a reaaliluku ja n N +. Tällöin määritellään a n = a a... a (tekijöitä a on n kappaletta). Siis a 1 = a ja a n+1 = a n a. Lisäksi a 0 = 1 ja a n = 1 a n. Potenssin laskulakeja: (a, b R ja m, n Z) 1) a m a n = a m+n 2) am a n = am n 3) (a m ) n = a m n 4) a n b n = (a b) n ( 5) an a ) n ( a ) ( n n b b = 6) = n b b a) 7) 1 n = 1 8) Jos 0 a, b, niin a = b a 2 = b 2 9) Jos 0 a < b, niin 0 a 2 < b 2 10) Jos 0 a, b ja n N +, niin a = b a n = b n 11) Jos 0 a < b ja n N +, niin 0 a n < b n 4

6 Juuret: Olkoon nyt a R ja n Z + kokonaisluku. Yhtälön x n = a (positiivista) ratkaisua sanotaan luvun a n:nneksi juureksi ja merkitään: x = n a. n a: mikä luku n:teen korotettuna antaa luvun a? Siis x = n a x n = a. Lisäksi a 1 n = n a ja a m n = ( n a) m. Huomautus. (a + b)(a b) = a 2 b 2 (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 Esimerkki 1.2. Sievennä lauseke ( x + y)( 4 x + 4 y)( 4 x 4 y) 1.4 Induktioperiaate Jos on todistettava, että jokin väite P (n) on tosi kaikilla n N +, toimitaan seuraavasti: (i) Osoitetaan, että P (1) on tosi (ts. väite arvolla n = 1). (ii) Oletetaan, että P (k) on tosi jollakin luonnollisella luvulla k (ts. väite arvolla n = k) (induktio-oletus). (iii) Osoitetaan induktio-oletusta käyttäen, että myös P (k+1) on tosi (ts. väite arvolla n = k + 1) (induktioväite). (i) (iii) väite P (n) tosi kaikilla n N +. Esimerkki 1.3. Osoita, että n = n(n+1) 2 aina, kun n N +. Esimerkki 1.4. Osoita, että n + n 2 = 2n n N +. 5

7 1.5 Merkintöjä ja muuta tärkeää = on olemassa = ei ole olemassa = kaikilla, aina kun = ääretön = miinus ääretön = tai : Riittää kun kumpi tahansa ehdoista on voimassa = ja : Molempien ehtojen oltava voimassa yhtä aikaa = unioni (joukoilla) = leikkaus (joukoilla) = implikaatio (jos..., niin... tai... seuraa...) = ekvivalenssi (jos ja vain jos tai yhtäpitävää) Esimerkki 1.5. Tulon 0 sääntö: f(x) g(x) h(x) = 0 f(x) = 0 g(x) = 0 h(x) = 0 Epäyhtälöiden ominaisuuksia: Olkoot a ja b reaalilukuja. Tällöin a < b a + c < b + c aina, kun c R a < b ac > bc, kun c < 0 a < b ac < bc, kun c > 0 0 < a < b 1 > 1 > 0 a b a < b ja b < c a < c a < b a 2 < b 2, kun a, b > 0 a < b a n < b n, kun a, b > 0 ja n N + Yllä < voidaan korvata merkeillä, > ja. 6

8 Summa ja tulo: Olkoot x 1,..., x n reaalilukuja. Tällöin merkitään: n x i = x x n i=1 ja n x i = x 1... x n i=1 Induktioperiaatteen nojalla voidaan liitäntä-, vaihdanta- ja osittelulakien nojalla osoittaa, että 1) 2) 3) c n x i = i=1 n (cx i ), i=1 n (x i + y i ) = i=1 n (x i + c) = i=1 n x i + i=1 n x i + nc, i=1 c = vakio n i=1 y i c = vakio Esimerkki 1.6. Olkoon x i = 2i ja y i = i kaikilla i N +. Laske a) 2 4 x i b) i=1 2 (x i + y i ) c) i=1 3 (x i + 2) i=1 Reaaliakselin välit: Olkoot a, b R ja a < b. ]a, b[= {x R a < x < b} [a, b] = {x R a x b} avoin väli suljettu väli ]a, b] = {x R a < x b} [a, b[= {x R a x < b} puoliavoimet välit 7

9 ]a, [= {x R x > a} [a, [= {x R x a} ], a[= {x R x < a} äärettömät ], a] = {x R x a} ], [= {x R < x < } = R 8

10 2 Funktiot 2.1 Funktion määritelmä Olkoot X ja Y joukkoja ja f funktio eli kuvaus joukosta X joukolle Y ; merkitään f : X Y. Tällöin funktio f kuvaa kunkin joukon X alkion x täsmälleen yhdeksi joukon Y alkioksi f(x). Joukko X = D f on funktion f määrittelyjoukko, eli joukko, jossa funktion arvo voidaan määrittää. Joukko Y on funktion f maalijoukko, joka sisältää mm. funktion arvot. Lisäksi x on muuttuja, joka edustaa määrittelyjoukon alkioita. Merkintä y = f(x) tarkoittaa: y on funktion f arvo muuttujan arvolla x. Funktion f arvojen joukkoa R f = {f(x) x D f } Y sanotaan funktion f arvojoukoksi. 2.2 Funktion kuvaaja (graafinen esitys) Joukon B f = {(x, y) y = f(x), x D f } kuvaa xy koordinaatistossa sanotaan funktion f kuvaajaksi. Puhutaan myös käyrästä y = f(x). 9

11 Eräiden funktioiden kuvaajia: 1. Vakiofunktio f(x) = c x R, c = vakio D f = R f = 2. Identtinen funktio f(x) = x x R D f = R f = 3. Itseisarvofunktio { x, kun x 0 f(x) = x = x, kun x < 0 D f = R f = 2.3 Funktion kasvavuus ja vähenevyys Reaalifunktio f(x) on välillä I ( R). - kasvava, jos x 1 < x 2 f(x 1 ) f(x 2 ) - aidosti kasvava, jos x 1 < x 2 f(x 1 ) < f(x 2 ) - vähenevä, jos x 1 < x 2 f(x 1 ) f(x 2 ) - aidosti vähenevä, jos x 1 < x 2 f(x 1 ) > f(x 2 ) aina, kun x 1, x 2 I. Funktio f on välillä I monotoninen, jos se on tällä välillä kasvava tai vähenevä ja aidosti monotoninen, jos se on aidosti kasvava tai aidosti vähenevä. Funktio f on välillä I paloittain monotoninen, jos väli I voidaan jakaa osaväleihin, joilla kullakin f on monotoninen. Esimerkki 2.1. Osoita, että f(x) = 5x 3 on aidosti kasvava. 10

12 2.4 Funktion kuperuus Olkoon f(x) reaalifunktio. Tarkastellaan väliä [x 1, x 2 ]. Mielivaltainen välin [x 1, x 2 ] piste z voidaan esittää muodossa: z = x 1 + β(x 2 x 1 ), 0 β 1 = (1 β)x 1 + βx 2 = αx 1 + (1 α)x 2, 0 α 1, α = 1 β Pisteen Q y koordinaatti on f(αx 1 + (1 α)x 2 ). Koska kuviossa on yhdenmuotoiset kolmiot, niin pisteen P y koordinaatti on muotoa f(x 1 ) + β(f(x 2 ) f(x 1 )) = (1 β)f(x 1 ) + βf(x 2 ) = αf(x 1 ) + (1 α)f(x 2 ) Reaalifunktio f(x) on välillä I alaspäin kupera, jos αf(x 1 ) + (1 α)f(x 2 ) f(αx 1 + (1 α)x 2 ) aina, kun x 1, x 2 I ja 0 α 1. Vastaavasti funktio f on välillä I ylöspäin kupera, jos f(αx 1 + (1 α)x 2 ) αf(x 1 ) + (1 α)f(x 2 ) aina, kun x 1, x 2 I ja 0 < α < 1. 11

13 Geometrisesti: Funktio f on alaspäin kupera eli konveksi, jos jokainen jana, joka piirretään käyrän y = f(x) kaksi pistettä päätypisteinä, on kokonaisuudessaan käyrän y = f(x) yläpuolella tai käyrällä. Vastaavasti funktio f on ylöspäin kupera eli konkaavi, jos jokainen jana, joka piirretään käyrän y = f(x) kaksi pistettä päätypisteinään, on kokonaisuudessaan käyrän y = f(x) alapuolella tai käyrällä. 12

14 3 Polynomifunktiot Olkoon n N. Tällöin n:nnen asteen polynomifunktio on muotoa y = f(x) = a n x n + a n 1 x n a 2 x 2 + a 1 x + a 0, missä a i R vakioita ja a n 0. Polynomifunktion f(x) määrittelyjoukko D f = R ellei muuta sovita. 3.1 Ensimmäisen asteen polynomifunktio eli lineaarinen funktio Ensimmäisen asteen polynomifunktio on muotoa y = f(x) = ax + b, a, b R. Lineaarisen funktion kuvaaja on suora: a > 0 : a < 0 : a = 0 : Olkoon a > 0. Tällöin x 1 < x 2 f(x 2 ) f(x 1 ) = (ax 2 + b) (ax 1 + b) = a(x 2 x 1 ) > 0, joten f(x 1 ) < f(x 2 ) ja siten f(x) = ax + b on aidosti kasvava. Olkoon a < 0. Tällöin x 1 < x 2 f(x 2 ) f(x 1 ) = (ax 2 + b) (ax 1 + b) = a(x 2 x 1 ) < 0, joten f(x 1 ) > f(x 2 ) ja siten f(x) = ax + b on aidosti vähenevä. 13

15 Olkoon a = 0. Tällöin x 1 < x 2 f(x 2 ) f(x 1 ) = (ax 2 + b) (ax 1 + b) = a(x 2 x 1 ) = 0, joten f(x 1 ) = f(x 2 ) ja siten f(x) = ax + b = b on sekä kasvava että vähenevä. Kulmakerroin: Olkoot x 1, x 2 R ja x 1 < x 2. Olkoon y 1 = f(x 1 ) = ax 1 + b ja y 2 = f(x 2 ) = ax 2 + b. Nyt y 2 y 1 = (ax 2 + b) (ax 1 + b) = a(x 2 x 1 ) a = y 2 y 1 x 2 x 1. Siis vakio a on funktion arvon muutos jaettuna muuttajan arvon muutoksella. Vakio a on suoran kulmakerroin ja se ilmaisee funktion kasvunopeuden ja suoran nousujyrkkyyden. Suoran f(x) = ax + b yhtälö saadaan määrättyä, kun tunnetaan yksi suoran piste ja kulmakerroin tai kaksi suoran pistettä. Jos suoran kulmakerroin on a ja suora kulkee pisteen (x 0, y 0 ) kautta (siis y 0 = f(x 0 )), niin suoran yhtälö on y y 0 = a(x x 0 ). Tästä ratkaisemalla y saadaan esille funktio y = f(x) = ax + b. Esimerkki 3.1. Mikä on se lineaarinen funktio, jota vastaava suora kulkee pisteiden ( 1, 3) ja (2, 1) kautta? Ensimmäisen asteen yhtälö Normaalimuoto: ax + b = 0 14

16 Funktion f(x) = ax + b kuvaaja: a > 0 : a < 0 : Yhtälön ax + b = 0 ratkaisu on funktion f(x) = ax + b nollakohta eli juuri. Esimerkki x + 5 = Ensimmäisen asteen epäyhtälö Normaalimuoto: ax + b > 0 (,, <) a > 0 : ax + b > 0 ax > ( b) : a x > b a 15

17 a < 0 : ax + b > 0 ax > ( b) : a x < b a 3.2 Toisen asteen polynomifunktio Toisen asteen polynomifunktio on muotoa y = f(x) = ax 2 + bx + c, a, b, c R, a 0. Funktion f(x) = ax 2 + bx + c kuvaaja: a > 0 : a < 0 : 16

18 Funktio y = ax 2 + bx + c on ylöspäin aukeava paraabeli, kun a > 0, ja alaspäin aukeava paraabeli, kun a < Toisen asteen yhtälö Normaalimuoto: ax 2 + bx + c = 0 (1) Ratkaisuksi saadaan x = b ± b 2 4ac 2a Lukua D = b 2 4ac kutsutaan diskriminantiksi. Jos (i) D > 0, niin yhtälöllä on 2 erisuurta reaaliratkaisua (nollakohtaa, juurta) (ii) D = 0, niin yhtälöllä on 1 reaaliratkaisu (kaksinkertainen) (iii) D < 0, niin yhtälöllä ei ole reaaliratkaisua (kompleksilukujuuret, ks. MPTT2) Olkoot x 1 ja x 2 yhtälön (1) nollakohdat. Tällöin lauseke voidaan jakaa tekijöihin seuraavasti: ax 2 + bx + c = a(x x 1 )(x x 2 ) Jos x 1 on kaksinkertainen nollakohta, niin ax 2 + bx + c = a(x x 1 )(x x 1 ) = a(x x 1 ) 2 Jos ei nollakohtia ei jakaannu reaalisiin 1. asteen tekijöihin Esimerkki 3.3. Osoita, että lauseketta 2x2 +x 1 x 2 +x 2 ei voi supistaa Toisen asteen epäyhtälö Normaalimuoto: ax 2 + bx + c > 0 (,, <) 17

19 Ratkaisumenettely: (i) Ratkaistaan yhtälö ax 2 + bx + c = 0 (2) (ii) Päätellään ratkaisu paraabelin y = ax 2 + bx + c kuvaajan (tai merkkikaavion) avulla. Olkoon a > Yhtälöllä (2) kaksi erisuurta juurta x 1 ja x 2. ax 2 + bx + c > 0 x < x 1 tai x > x Yhtälöllä (2) kaksoisjuuri x 1. ax 2 + bx + c > 0 x R ja x x Yhtälöllä (2) ei ole reaalijuuria. ax 2 + bx + c > 0 x R Olkoon a < Yhtälöllä (2) kaksi erisuurta juurta x 1 ja x 2. ax 2 + bx + c > 0 x 1 < x < x Yhtälöllä (2) kaksoisjuuri x 1. ax 2 + bx + c > 0 ei ratkaisua 3. Yhtälöllä (2) ei ole reaalijuuria. ax 2 + bx + c > 0 ei ratkaisua Esimerkki 3.4. Ratkaise epäyhtälö x 2 + x

20 3.3 Korkeamman asteen polynomifunktio Korkeamman asteen polynomifunktio on muotoa f(x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0, a i R i ja a n 0. Esimerkiksi kolmannen asteen polynomifunktio on muotoa y = f(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d, a, b, c, d R. a > 0 : a < 0 : Korkeamman asteen yhtälö Normaalimuoto: P (x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 = 0, a n 0 (3) Ainoita mahdollisia rationaalilukuratkaisuja ovat luvut p q, missä p on a 0:n tekijä ja q on a n :n tekijä. n. asteen yhtälön ratkaiseminen: (i) Etsitään edellä mainitut mahdolliset rationaalijuuret. (ii) Tutkitaan onko jokin niistä todellinen nollakohta sijoittamalla juuriehdokkaat yhtälöön. 19

21 (iii) Oletetaan nyt, että x = x 1 on todellinen juuri. Tällöin (x x 1 ) on yhtälön vasemmanpuolen eli P (x):n tekijä. (iv) Jaetaan P (x) tekijällä (x x 1 ). Saadaan P (x) = (x x 1 )Q(x), missä Q(x) on astetta n 1. (v) Nyt P (x) = (x x 1 ) Q(x) = 0 x x 1 = 0 Q(x) = 0. (vi) Jatketaan ratkaisemalla yhtälö Q(x) = 0 samalla tavalla. Esimerkki x = 3x 2 + 5x Jos x 1,..., x n ovat yhtälön (3) nollakohdat, niin lauseke P (x) jakaantuu tekijöihin seuraavasti: P (x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 = a n (x x 1 )(x x 2 )... (x x n ) Korkeamman asteen epäyhtälö Normaalimuoto: a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 > 0 (,, <) Ratkaisumenettely: (i) Jaetaan vasen puoli 1. ja 2. asteen tekijöihin. (ii) Päätellään tekijöiden merkkikaavion avulla epäyhtälön ratkaisu. Esimerkki 3.6. x x 2 + 5x 3.4 Polynomifunktion sovellutuksia taloustieteessä Sovellus 1: Olkoon P tavaran hinta. Kuvatkoon D = ap + b kysynnän määrää ja S = cp + d tarjonnan määrää hinnalla P. Nyt P, D, S > 0. Tällöin on oltava: (i) b > 0, jotta kysyntä hinnalla 0 olisi positiivinen. 20

22 (ii) a < 0, jotta kysyntä hinnan noustessa pienenisi. (iii) d < 0, jotta tarjonta olisi negatiivinen hinnalla 0. (iv) c > 0, jotta tarjonta hinnan noustessa kasvaisi. Kysynnän ja tarjonnan tasapaino: Tasapainossa D = S { D = ap + b S = cp + d cp + d = ap + b (c a)p = b d P = b d c a D = a b d c a + b (hinta, jolla kysyntä ja tarjonta ovat tasapainossa) (kysynnän ja tarjonnan määrä) 21

23 Sovellus 2: Olkoot hyödykemäärän x kokonaistuotantokustannukset C(x) = ax 2 + bx + c, missä a, b ja c ovat positiivisia vakioita. Jos tuotetta myydään yksikköhintaan P, niin kokonaistuotto R(x) = P x. Voitto Π(x) on tällöin Π(x) = R(x) C(x) = P x (ax 2 + bx + c) = ax 2 + (P b)x c. Laskemalla suoran R(x) ja paraabelin C(x) leikkauspisteet, saadaan ne arvot x (määrät), joilla voitto Π(x) = 0 eli kokonaistuotto=tuotantokustannukset. Siis { R(x) = P x C(x) = ax 2 + bx + c Koska voiton Π(x) kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli, voitto on positiivinen leikkauspisteiden välisillä (tuotannon määrän) arvoilla. Maksimivoitto (Π max ) saavutetaan paraabelin huippua vastaavalla tuotannonmäärän arvolla. 22

24 4 Rationaalifunktio Rationaalifunktio on muotoa f(x) = P (x) Q(x). Rationaalifunktion määrittelyjoukko D f määräytyy ehdosta Q(x) Murtoyhtälö Normaalimuoto: P (x) Q(x) = 0 Ehto Q(x) 0. Ratkaisumenettely: Esimerkki 4.1. P (x) Q(x) = 0 P (x) = 0 5 x 2x + 1 = 3 Nopeuttava ratkaisuvaihtoehto: voit kertoa nimittäjällä puolittain. 4.2 Murtoepäyhtälö Normaalimuoto: P (x) Q(x) > 0 (<,, ) Ehto Q(x) 0. Ratkaisumenettely: (i) Osoittaja ja nimittäjä jaetaan 1. ja 2. asteen tekijöihin. 23

25 (ii) Päätellään merkkikaavion avulla epäyhtälön ratkaisu. Esimerkki x 2x+1 3 Nopeuttava ratkaisuvaihtoehto: voit kertoa nimittäjällä, jos olet varma sen merkistä, tai huomioit merkin vaihtumisen (osavälijako). 24

26 5 Itseisarvofunktio Jos a R, niin Samoin f(x) = { a, kun a 0 a = a, kun a < 0. { f(x), kun f(x) 0 f(x), kun f(x) < 0. Itseisarvoja sisältävän funktion määrittelyjoukko D f = R, ellei muuta sovita. Huomautus. f(x) 0 kaikilla x R. 5.1 Itseisarvoyhtälö Ratkaisumenettely: Itseisarvoyhtälön ratkaisemiseksi itseisarvomerkit poistetaan tutkimalla itseisarvon sisällä olevan lausekkeen positiivisuutta/negatiivisuutta määrittelyjoukossa ja tämän jälkeen ratkaistaan yhtälö (osavälijako). Esimerkki 5.1. x 3 + x + 2 = 10 Nopeuttavia sääntöjä itseisarvoyhtälön ratkaisussa: 1. f(x) = g(x) f(x) = g(x) tai f(x) = g(x) f(x) = a tai f(x) = a, kun a > 0 2. f(x) = a f(x) = 0, kun a = 0 ei ratkaisua, kun a < 0 3. f(x) = g(x) { f(x) = g(x) tai f(x) = g(x) g(x) 0 25

27 Varmin tapa: Jos yhtälössä useita itseisarvolausekkeita, niin poistetaan itseisarvot aina tarkastelemalla erikseen joukkoja, joissa itseisarvon sisällä oleva lauseke on positiivinen tai negatiivinen (osavälijako). Esimerkki 5.2. x 1 = x Itseisarvoepäyhtälö Ratkaisumenettely: Poistetaan itseisarvomerkit ja ratkaistaan saatu epäyhtälö (osavälijako). Esimerkki 5.3. x 3 + x + 2 < 10 Nopeuttavia sääntöjä itseisarvoepäyhtälön ratkaisussa: f(x) < g(x) g(x) < f(x) < g(x) Jos g(x) 0, ratkaisua ei ole. g(x) < f(x) ja f(x) < g(x) f(x) > g(x) f(x) < g(x) tai f(x) > g(x) Jos g(x) < 0 epäyhtälö voimassa. 3. Jos epäyhtälön molemmat puolet positiivisia, korota puolittain toiseen. Varmin tapa: Jos itseisarvolausekkeita on useampia, niin itseisarvomerkit voidaan poistaa tarkastelemalla erikseen joukkoja, joissa itseisarvomerkkien sisällä oleva lauseke on positiivinen tai negatiivinen (osavälijako). Esimerkki 5.4. x 6 3 2x Esimerkki 5.5. x 6 x 1 Esimerkki 5.6. x 6 < 3 2x 26

28 6 Neliöjuurifunktio Sisältää termin f(x) Määrittelyjoukko määräytyy ehdosta f(x) 0. Huomautus. 1. f(x) 0 aina, kun f(x) 0 2. f(x) ei ole olemassa, kun f(x) < 0 3. ( f(x) ) 2 = f(x). 6.1 Neliöjuuriyhtälö Perusmuoto: f(x) = g(x) Jotta reaalinen ratkaisu on olemassa, on oltava voimassa ehto: { f(x) 0 g(x) 0 Tällöin yhtälö voidaan korottaa puolittain toiseen: f(x) = g(x) ( ) 2 f(x) = g(x) 2 Ratkaisumenettely neliöjuurta sisältävissä yhtälöissä: (i) Siirretään termejä sopivasti. (ii) Tarkastellaan ehdot. (iii) Korotetaan puolittain toiseen. (iv) Ratkaistaan yhtälö. (v) Tarkistetaan, toteuttavatko ratkaisut alkuperäisen yhtälön. (Tarpeen, jos ehtoja ei ole huomioitu.) Esimerkki x x 1 = 0 27

29 6.2 Neliöjuuriepäyhtälö 1. Perusmuoto: f(x) g(x) [<] Ehdot: { f(x) 0 g(x) 0 [>] Ratkaisu: f(x) g(x) ( ) 2 [<] f(x) g(x) 2 [<] Perusmuoto: f(x) g(x) [>] Osavälijako: 1 o g(x) 0 2 o g(x) < 0 Ratkaisu: 1 o g(x) 0 f(x) g(x) [>] Ehto: f(x) 0 f(x) g(x) ( ) 2 f(x) g(x) o g(x) < 0 f(x) g(x) [>] Ehto: f(x) 0 Tällä osavälillä ko. ehdon ollessa voimassa, epäyhtälö f(x) g(x) toteutuu. 3. Jos molemmat puolet ovat positiivisia, niin korota epäyhtälö puolittain toiseen. 28

30 7 Potenssifunktio Potenssifunktio on muotoa f(x) = x r, r R, r 0. Määrittelyjoukko D f = R +, tai jotain laajempaa riippuen eksponentista r. Esimerkki 7.1. a) f(x) = x 3 d) f(x) = x 1 2 b) f(x) = x 1 2 e) f(x) = x 2 3 c) f(x) = x 3 f) f(x) = x 3 2 Potenssifunktio f(x) = x r on joukossa R + aidosti kasvava, kun r > 0, ja aidosti vähenevä, kun r < Potenssiyhtälö x p = a x = ± p a, kun p parillinen ja a 0 x p = a x = p a, kun p pariton x p = a ei ratkaisua, kun p on parillinen ja a < 0 29

31 Esimerkki 7.2. Ratkaise yhtälöt a) x 2 = 5 d) x 2 = 3 b) x 3 = 5 e) x 3 = 3 c) x 4 = 5 f) x 4 = 3 30

32 8 Eksponenttifunktio Funktio y = f(x) = a x on a kantainen eksponenttifunktio, kun a > 0 ja a 1. Määrittely- ja arvojoukko: D f = R ja R f = R +. Funktio f(x) = a x on aidosti kasvava, kun a > 1, ja aidosti vähenevä, kun 0 < a < 1. a > 1 : 0 < a < 1 : Edellisen perusteella saadaan: a x 1 = a x 2 x 1 = x 2 Siis a x 1 < a x 2 { x1 < x 2, kun a > 1 x 1 > x 2, kun 0 < a < 1 a f(x) = a g(x) f(x) = g(x) { f(x) < g(x), kun a > 1 a f(x) < a g(x) f(x) > g(x), kun 0 < a < 1 Erityisen tärkeä on e kantainen eksponenttifunktio f(x) = e x, jonka kantaluku on Neperin luku e 2, 718. Esimerkki 8.1. Ratkaise yhtälöt a) 4 4 x = 1 8 b) 81 2x = Esimerkki 8.2. Ratkaise epäyhtälöt a) 2 2 x < 1 4 b) 3 x 3 3 x + 2 > 0 31

33 9 Logaritmifunktio Tarkastellaan yhtälöä x = a y, missä a > 0 ja a 1. Siten y on se potenssi, johon a on korotettava, jotta saadaan x. Luku y määritellään luvun x a kantaiseksi logaritmiksi ja merkitään y = log a x. Siis y = log a x x = a y. log a x: Mihin a on korotettava, jotta saadaan x? Saadaan funktio f : R + R, f(x) = log a x, D f =]0, [ ja R f = R. Logaritmin ominaisuuksia: Olkoon x, y > 0, z R. Tällöin 1) log a (xy) = log a x + log a y 5) log a 1 = 0 ( ) x 2) log a = log y a x log a y 6) log a a f(x) = f(x) 3) log a x z = z log a x 7) a log a f(x) = f(x) 4) log a a = 1 8) log b c = log a c log a b Sovellusten kannalta e kantainen eli luonnollinen logaritmi on tärkeä. Funktiota merkitään f(x) = log e x = ln x. Logaritmifunktio f(x) = log a x on aidosti kasvava, kun a > 1, ja aidosti vähenevä, kun 0 < a < 1. 32

34 a > 1 : 0 < a < 1 : Edellisen perusteella saadaan: (x 1, x 2 > 0) log a x 1 = log a x 2 x 1 = x 2 log a x 1 < log a x 2 { x1 < x 2, kun a > 1 x 1 > x 2, kun 0 < a < 1. Siis (f(x), g(x) > 0) log a f(x) = log a g(x) f(x) = g(x) log a f(x) < log a g(x) { f(x) < g(x), kun a > 1 f(x) > g(x), kun 0 < a < 1. Esimerkki 9.1. Määritä a) log b) kantaluku a, kun log a 0, 001 = 3. Esimerkki 9.2. Ratkaise epäyhtälö log 1 (x + 4) > log 1 (5x 2) 3 3 Esimerkki 9.3. Ratkaise epäyhtälö log 1 (x + 4) < 2 + log 1 (2x) 3 3 Esimerkki 9.4. a) 2 x = 3 b) 2e x = 7 Esimerkki 9.5. a) 2 3x = 3 2x b) log 2 (2x) = log 4 x 33

35 10 Eksponentti- ja logaritmifunktion sovelluksia taloustieteessä Koronkorko: Jos korkokanta on 100 i prosenttia vuodessa ja korko lisätään alkupääomaan x k kertaa vuodessa, niin n:n vuoden kuluttua pääoma on ( y = x 1 + i ) nk k y = xe in, kun k on suuri. Kasvufunktiot: Kasvufunktioilla voidaan esittää: yrityksen työntekijöiden lukumäärä vuotuisen myynnin funktiona käytetyn pääoman määrä ajan funktiona myynti mainoskulujen funktiona käyttökustannukset koneen käyttöajan funktiona myynnin määrä markkinoilla olon funktiona Kasvufunktiot ovat kasvavia funktioita. 1 o Biologista kasvua kuvaavat funktiot Monia biologisen kasvun lakeja voidaan esittää yhtälöllä N(t) = N 0 R t, missä N(t) = populaation jäsenten lukumäärä ajan hetkellä t N 0 = populaation jäsenten lukumäärä ajan hetkelä t = 0 (eli alussa) R = kasvun aste (> 0) Oletus: Jokainen populaation jäsen lisää populaation määrää R 1 jäsenellä aikayksikössä ja kukaan jäsenistä ei kuole. Edellistä funktiota voidaan jossain määrin käyttää kuvaamaan nopeasti kehittyvän yrityksen kasvun alkua. 34

36 Esimerkki Yhtiö aloittaa toimintansa 5:llä työntekijällä. Kunkin vuoden lopussa jokainen työntekijä palkkaa 3 apulaista. Kuinka monta työntekijää yhtiössä on 10 vuoden kuluttua, jos kukaan ei poistu yhtiön palveluksesta? Ratkaisu: N(10) = = o Gompertzin funktiot Gompertzin funktiot ovat muotoa N(t) = ca Rt, missä R = kasvun aste (> 0) a = alkupopulaation suhteellinen osuus populaation ylärajasta 0 < a < 1 c = populaation yläraja (c > 0) Kun t = 0, niin N(0) = ca. Esimerkki Yrityksen työntekijöiden lukumäärän kehitystä kuvataan funktiolla N(t) = 200 (0, 04) 0,5t, missä N(t) on työntekijöiden lukumäärä t toimintavuoden jälkeen. Kuinka monta työntekijää yhtiössä oli alunperin? Entä 3 vuoden jälkeen? Kuinka paljon henkilökuntaa yhtiössä on yrityksen ollessa suurimmillaan? Ratkaisu: Työntekijöitä alunperin: Työntekijöitä 3 vuoden jälkeen: N(0) = 200 (0, 04) 0,50 = 8 N(3) = 200 (0, 04) 0,53 = 133, Työntekijöitä yrityksen ollessa suurimmillaan: Koska populaation yläraja c = 200, niin työtekijöitä on enimmillään

37 3 o Oppimisfunktiot Psykologit käyttävät funkiota y = c ae kt, t = aika kuvaamaan oppimista. (c, a ja k ovat positiivisia vakioita) Edellä mainittua muotoa olevia funktioita voidaan käyttää esittämään kustannusja tuotantofunktioita. 36

38 11 Funktioiden algebraa 11.1 Funktioiden laskutoimituksia Funktioiden yhtäsuuruus: Funktiot f ja g ovat yhtäsuuret eli samat jos ja vain jos niiden määrittelyjoukot ovat samat ja arvot yhtyvät, ts. f = g D f = D g ja f(x) = g(x) x D f Esimerkki Ovatko funktiot f(x) = x2 1 x + 1 Määritellään: ja g(x) = x 1 samat? (f ± g)(x) = f(x) ± g(x) D f±g = D f D g (f g)(x) = f(x) g(x) D f g = D f D g ( ) f (x) = f(x) D f = (D f D g ) \ {x g(x) = 0} g g(x) g (cf)(x) = c f(x), c = vakio D cf = D f Esimerkki Määrää funktioiden f(x) = x 1 ja g(x) = 2 x tulo- ja osamääräfunktio. Funktio f on parillinen, jos f( x) = f(x) x D f, ja pariton, jos f( x) = f(x) x D f Yhdistetty funktio Annettujen funktioiden f ja g yhdistetty funktio (f g)(x) = f(g(x)) ja D f g = {x R x D g ja g(x) D f }. Funktio f on ulkofunktio ja g on sisäfunktio. 37

39 Huomautus. g f on yleensä eri kuin f g (ei vaihdannainen). Kuitenkin (f g) h = f (g h) (liitännäinen). Esimerkki Olkoon f(x) = 1 x ja g(x) = x + 1. Määrää (f g)(x) ja (g f)(x) sekä D f g ja D g f Surjektio, injektio ja bijektio Olkoon f : X Y funktio, ts. jokaista x X y = f(x) Y. = (D f ) vastaa täsmälleen yksi Funktio f : X Y on surjektio joukosta X joukkoon Y, jos arvojoukko R f = {f(x) x X} = Y. Siis f on surjektio joukosta X joukkoon Y, jos jokaista y Y vastaa ainakin yksi sellainen x X, että f(x) = y (ts. löytyy ainakin yksi alkukuva). Esimerkki Olkoon X = {1, 2, 3, 4}, Y = {1, 2, 3}. Funktio f : X Y, jolle f(1) = 1, f(2) = 2, f(3) = 2, f(4) = 3, on surjektio, sillä jokaisella joukon Y alkiolla on alkukuva. Jos X = {1, 2, 3, 4} ja Y = {1, 2, 3, 4}, niin edellä olevalla tavalla määritelty funktio f ei ole surjektio. Esimerkki Onko funktio f : R R, jolla f(x) = x 2, surjektio? Entä onko funktio f(x) = x 2 surjektio R [0, [? 38

40 Funktio f : X Y on injektio, jos f(x 1 ) = f(x 2 ) x 1 = x 2. Siis f on injektio, kun f kuvaa kaikki joukon X alkiot joukon Y eri alkioiksi. (Siis yksikäsitteinen alkukuva, jos alkukuva on olemassa.) Esimerkki Onko funktio f : R + R, jolla f(x) = x, injektio? Esimerkki Onko funktio f : R [0, [, jolla f(x) = x 2, injektio? Funktio f : X Y on bijektio, jos se on sekä surjektio että injektio. Siis f : X Y on bijektio, kun 1. R f = Y 2. f(x 1 ) = f(x 2 ) x 1 = x 2. Siten f : X Y on bijektio, jos jokaista y Y kohti on olemassa täsmälleen yksi x X, jolle y = f(x). Esimerkki Onko funktio f(x) = 5x + 3 bijektio? Esimerkki Onko funktio f(x) = x + 1 x 2 bijektio? 11.4 Käänteisfunktio Jos f : X Y on bijektio, voidaan määritellä funktio f 1 x = f 1 (y), kun y = f(x). : Y X, jolle Siis f 1 kuvaa jokaisen y Y alkukuvakseen eli x = f 1 (y) y = f(x). 39

41 Funktiota f 1 sanotaan funktion f käänteisfunktioksi. Nyt D f 1 = R f ja R f 1 = D f. Koska y = f(x) x = f 1 (y), saadaan f 1 (f(x)) = x ja f(f 1 (y)) = y. Funktion y = f(x) käänteisfunktion määrääminen: 1. Onko f 1 olemassa eli onko f bijektio? 2. Ratkaistaan yhtälö y = f(x) muuttujan x suhteen. 3. Vaihdetaan muuttujien x ja y paikat, ts. esitetään käänteisfunktio muodossa y = f 1 (x) (x:n funktiona). Lause Jokaisella aidosti kasvavalla (aidosti vähenevällä) funktiolla f : D f R f on käänteisfunktio (ovat bijektioita). Esimerkki Määrää funktion y = f(x) = x + 1 x 2 käänteisfunktio. Olkoon f : X Y reaaliarvoinen funktio ja f 1 : Y X sen käänteisfunktio. Siten funktion f(x) kuvaajan pistettä (x, f(x)) vastaa aina käänteisfunktion f 1 (x) kuvaajan piste (f(x), x). Näin ollen funktion f ja käänteisfunktion f 1 kuvaajat ovat symmetrisiä suoran y = x suhteen. Esimerkki a kantainen eksponenttifunktio f(x) = a x (a > 0, a 1) on joko aidosti kasvava (a > 1) tai aidosti vähenevä (0 < a < 1). Lauseen 11.1 nojalla sillä on olemassa käänteisfunktio. Koska y = a x x = log a y, niin a kantaisen eksponenttifunktion käänteisfunktio on a kantainen logaritmifunktio. 40

42 12 Yhtälöparit 12.1 Lineaarinen yhtälöpari Ratkaistava yhtälöpari: Yhtälöparin ratkaiseminen: { a1 x + b 1 y + c 1 = 0 a 2 x + b 2 y + c 2 = 0 (4) 1) Ratkaistaan jommasta kummasta yhtälöstä yksi tuntematon toisen avulla lausuttuna. 2) Sijoitetaan ratkaistun tuntemattoman lauseke toiseen yhtälöön. 3) Ratkaistaan näin saatu yhtälö jäljelle jääneen tuntemattoman suhteen. 4) Sijoitetaan ratkaistu tuntemattoman arvo jompaan kumpaan alkuperäisistä yhtälöistä ja ratkaistaan toinen tuntematon. Esimerkki Ratkaise yhtälöpari { 2x + 3y + 1 = 0 x + 4y + 3 = 0. Toinen tapa: termien hävittäminen laskemalla yhtälöt sopivasti kerrottuna puolittain yhteen. Suoran yhtälö esitetään yleensä muodossa y = f(x) = ax + b. Tämä esitys voidaan muokata implisiittiseen muotoon a 1 x + b 1 y + c 1 = 0, eli muotoon, jossa muuttuja x ja funktion arvo y esiintyy yhtälön samalla puolella. Näin ollen lineaarisen yhtälöparin ratkaiseminen merkitsee käytännössä vastaavien suorien leikkauspisteiden etsimistä: - Suorat leikkaavat, jos ratkaisu on yksikäsitteinen. - Suorat samat, jos ratkaisuja on ääretön määrä (identtisesti tosi, esim. 0 = 0). - Suorat ovat yhdensuuntaiset eri suorat, jos yhtälöparilla ei ole ratkaisuja. (identtisesti epätosi, esim. 0 = 5) Huomautus. Suorat yhdensuuntaiset: kulmakertoimet samat. Suorat kohtisuorassa: kulmakertoimien tulo on 1. 41

43 12.2 Käyrien yhteisten pisteiden etsiminen Ratkaistava yhtälöpari { y = f(x) y = g(x) Yhtälöparin ratkaiseminen: 1) Asetetaan f(x) = g(x). 2) Ratkaistaan yhtälöstä x. 3) Sijoitetaan saatu x:n arvo (arvot) toiseen alkuperäisistä yhtälöistä, jolloin saadaan leikkauspistettä vastaava y:n arvo (arvot). Tai: kuten lineaarisen yhtälöparin ratkaisemisen 2. tapa. Esimerkki Määritä käyrien x 2 y + 1 = 0 ja y 2x = 0 yhteiset pisteet. 42

44 13 Raja-arvo 13.1 Funktion raja-arvo Määrättäessä funktion raja-arvoa pisteessä a tutkitaan funktion kulkua, kun x valitaan yhä lähempää arvoa a. (Mitä arvoa f(x) lähestyy, kun x lähestyy arvoa a?) Tarkastellaan esim. funktiota Toisaalta f(x) = 3x2 8x + 4, D f = {x R x 2}. x 2 f(x) = 3x2 8x + 4 x 2 = (3x 2)(x 2) x 2 = 3x 2, x 2. Siten funktion f(x) kuvaaja on suora y = 3x 2, josta on poistettu piste (2, 4). Kun x lähestyy arvoa 2, niin f(x) lähestyy arvoa 4. Tällöin merkitään lim f(x) = 4. x 2 Raja-arvon määritelmä: Olkoon funktio f(x) määritelty välillä ]a r, a + r[, (r > 0) mahdollisesti lukuunottamatta kohtaa x = a. Funktiolla f on raja-arvo b kohdassa a, jos jokaista lukua ε > 0 vastaa sellainen luku δ > 0, että f(x) b < ε aina, kun 0 < x a < δ. Tällöin merkitään lim f(x) = b. x a Siis funktiolla f(x) on raja-arvo b kohdassa x = a, jos funktion f(x) arvo saadaan miten lähelle tahansa arvoa b, kunhan vain x valitaan riittävän läheltä arvoa a. Esimerkki Osoita määritelmän nojalla, että 3x 2 8x + 4 lim x 2 x 2 = 4. Huomautus. Raja-arvon määritelmässä oleva luku δ saa riippua sekä luvusta a että luvusta ε, ei kuitenkaan muuttujasta x. Huomautus. Funktion raja-arvo on yksikäsitteinen, jos on olemassa. 43

45 Raja-arvon peruslaskusääntöjä: Lause Olkoon lim f(x) = b ja lim g(x) = c ja k R vakio. Tällöin x a x a a) lim (f ± g)(x) = lim f(x) ± lim g(x) = b ± c x a x a x a b) lim (f g)(x) = lim f(x) lim g(x) = b c x a x a x a ( ) f c) lim (x) = lim f(x) x a = b, jos c 0 x a g lim g(x) c x a d) lim x a kf(x) = k lim x a f(x) = kb, k vakio Lause Olkoot P (x) ja Q(x) polynomeja ja a R. Tällöin a) lim x a P (x) = P (a) P (x) b) Jos Q(a) 0, niin lim = P (a) x a Q(x) Q(a) c) Jos f on vakiofunktio, eli f(x) = c x R, niin lim x a f(x) = lim x a c = c x 3 + 2x + 1 Esimerkki Laske lim. x 1 x + 1 Toispuoleiset raja-arvot: Tarkastellaan funktiota f(x) = { x 1, x < 0 x, x 0. Nyt f(x) lähenee arvoa nolla, kun x lähenee nollaa oikealta. Merkitään lim f(x) = lim x = 0 x 0 + x 0 (oikeanpuoleinen raja-arvo 0:ssa). Toisaalta f(x) lähenee arvoa 1, kun x lähenee nollaa vasemmalta. Merkitään lim f(x) = lim ( x 1) = 1 x 0 x 0 (vasemmanpuoleinen raja-arvo 0:ssa). Tällaisia raja-arvoja kutsutaan toispuoleisiksi raja-arvoiksi. Lause Funktiolla f(x) on kohdassa x = a raja-arvo jos ja vain jos funktiolla f(x) on kohdassa x = a sekä vasemman- että oikeanpuoleinen raja-arvo ja ne ovat yhtäsuuret. 44

46 Siis Tällöin lim x a f(x) lim f(x) = lim f(x). x a x a + lim x a f(x) = lim f(x) = lim f(x) x a x a + { x 2 + 1, x < 0 Esimerkki Olkoon f(x) =. Millä parametrin a arvolla 2 x+a 1, x 0 funktiolla f on raja-arvo kohdassa x = 0? Raja-arvon toinen tärkeä käyttökohde on tutkia funktion arvon kehittymistä, kun muuttujan x arvo kasvaa tai pienenee rajatta. Tällöin puhutaan raja-arvosta äärettömyydessä ja käytetään merkintöjä lim f(x) ja lim f(x). x x Raja-arvot äärettömyydessä: (x ± ) Tarkastellaan funktiota f(x) = 1 x. Kun x kasvaa rajatta, f(x) lähenee nollaa. Siis 1 lim f(x) = lim x x x = 0. Vastaavasti, kun x, niin f(x) 0. Siis 1 lim x x = 0. Epäoleelliset raja-arvot: (f(x) ± ) 1 Tarkastellaan raja-arvoa lim f(x) = lim x 0 x 0 x. Kun x 0 +, niin f(x) ja kun x 0, niin f(x). 45

47 Siis 1 lim x 0 x 1 Näin ollen lim x 0 x = ja lim 1 x 0 + x =. ei ole olemassa. 1 Tarkastellaan vielä raja-arvoa lim. x 0 x Nyt 1 lim = ja x 0 + x Vastaavasti lim x 0 lim x 0 lim 1 x 0 x 1 x =, a 1 x a 1 = eli lim =. x 0 x kun a parillinen ei ole olemassa, kun a pariton. Epäoleelliset raja-arvot äärettömyydessä: (x, f(x) ± ) Tarkastellaan funktiota f(x) = x 3. Kun x, niin f(x) eli Vastaavasti lim x x3 =. Samalla tavalla saadaan Esimerkki Laske lim x 3 =. x lim x x3 = ja lim x x4 =. (1 + x) 2 a) lim x x 3 b) lim x 0 (x 2 + 1) 2 x 6 Symbolia koskevia laskusääntöjä: a) + =, ( ) + ( ) = b) ± r =, ± r =, kun r R c) =, ( ) =, ( ) ( ) = {, jos r > 0 d) r =, jos r < 0 46

48 e) r = {, jos r > 0, jos r < 0 r f) = r = 0, kun r R g) r =, kun r > 0 r = 0, kun r < 0. Seuraavat muodot eivät ole määriteltyjä:, 0,, 0 0, 0, Raja-arvon määräämisestä Polynomifunktio A) Olkoon P (x) polynomi. Lauseen 13.2 nojalla lim x a P (x) = P (a). B) Määrättäessä raja-arvoja lim P (x) ja lim P (x), voidaan ottaa tekijäksi x x korkein esiintyvän muuttujan x potenssi ja päätellä sen jälkeen raja-arvo. Toisaalta raja-arvot lim P (x) ja lim P (x) määräytyvät korkeinta muuttujan x x x potenssia sisältävän termin perusteella. Esimerkki Laske a) lim x 3 (x 4 + 4x 3 + 6x 2 + 4x + 1) b) lim x (x 4 2x 3 3x 2 4x) Rationaalifunktio Rationaalifunktio on muotoa Laskettava lim P (x) x a Q(x) P (x) Q(x)., missä a R. P (x) A) Jos Q(a) 0, niin lim = P (a) (vrt. lause 13.2). x a Q(x) Q(a) 47

49 Esimerkki x 3 4x + 3 lim x 1 x 5 + 7x 2 P (x) B) Jos sekä P (a) = 0 että Q(a) = 0, eli lim = P (a) = 0, niin osoittajassa x a Q(x) Q(a) 0 ja nimittäjässä on tekijänä termi x a, joka supistetaan pois ja lasketaan sitten raja-arvo kuten edellä. Esimerkki x 2 2x 3 lim x 3 x 2 9 P (x) C) Jos P (a) 0, mutta Q(a) = 0, eli lim x a pitää tutkia erikseen toispuoleiset raja-arvot P (x) raja-arvot ovat yhtä suuret, niin lim x a Q(x) (riippuen osoittajan ja nimittäjän merkistä). = P (a) Q(x) Esimerkki Tutki raja-arvoja lim ja lim. x 0 x 2 x 5 x 5 Esimerkki a) lim x 2 x (x + 2) 2 b) lim x 2, mikä ei ole määritelty, P (x) P (x) lim ja lim. Jos kyseiset x a Q(x) x a + Q(x) on olemassa ja se on joko tai x x + 2 Laskettava P (x) P (x) lim tai lim. x Q(x) x Q(x) P (x) D) Määrättäessä raja-arvoja lim ja lim P (x) voidaan supistaa nimittäjässä esiintyvällä korkeimmalla muuttujan x x Q(x) x Q(x) potenssilla. lim P (x) x Q(x) P (x) Toisaalta raja-arvot lim ja x Q(x) korkeimman asteen termien perusteella. Esimerkki määräytyvät osoittajan ja nimittäjän a) lim x x 2 x b) lim x 4x 2 + 3x + 2 2x x c) lim x x 2 + 3x

50 Neliöjuurilausekkeet raja-arvotehtävissä Jos f(x) sisältää neliöjuurilausekkeen niin epämääräinen. lim f(x) = f(a), jos f(a) ei ole x a Monissa tapauksissa on apua laventamisesta ( x + y)( x y) = x y Esimerkki a) lim 2 x + x 2 b) lim ( 1 x + x 2 + 2) x 0 x ( ) x c) lim x + 1 x d) lim x x 0 x Termejä voidaan kuljettaa neliöjuuren sisään tai ulos sieltä seuraavasti: - { x, kun x 0 x 2 = x = x, kun x < 0. - Neliöjuuren alle ei saa viedä negatiivista. Esimerkki a) lim x x 1 2x 2 b) lim x x2 1 2x x c) lim x x2 + x Potenssilausekkeet raja-arvotehtävissä 0, kun 0 a < 1 lim x ax =, kun a > 1 ei ole olemassa, kun a < 0 Huomautus. ( lim x = e. x x) 49

51 14 Funktion jatkuvuus 14.1 Jatkuvuuden määritelmä Funktio f(x) on jatkuva kohdassa x 0 D f, jos lim x x 0 f(x) = lim f(x) = f(x 0 ). x x + 0 Funktio f(x) on jatkuva välillä ]a, b[, jos se on jatkuva välin ]a, b[ jokaisessa pisteessä. Funktio f(x) on jatkuva, jos se on jatkuva jokaisessa määrittelyjoukkonsa pisteessä. Geometrisesti: f(x) on jatkuva välillä ]a, b[, jos funktion f kuvaaja välillä ]a, b[ ei katkea. Esimerkkejä eri tilanteista: 1) Funktio f(x) on jatkuva välillä ]a, b[ 2) Funktio f(x) ei ole jatkuva kohdassa x = x 0, sillä lim x x0 f(x) f(x 0 ) 50

52 3) Funktio f(x) ei ole jatkuva kohdassa x 0, sillä lim f(x) ei ole olemassa, x x0 koska lim f(x) lim f(x) x x + 0 x x 0 Funktion jatkuvuuden tutkiminen kohdassa x = x 0 : (i) Onko f(x) määritelty kohdassa x = x 0? (Jos ei ole ei jatkuva; katso nimittäjä, ja log ) (ii) Onko lim x x0 f(x) olemassa? ( lim x x 0 f(x) = lim f(x)? x x + 0 (iii) Onko lim x x0 f(x) = f(x 0 )? ) Määrittelyjoukossaan jatkuvia funktioita: polynomi- ja rationaalifunktiot eksponentti- ja logaritmifunktiot trigonometriset funktiot (sin, cos, tan ja cot) Esimerkki Tutki onko funktio f(x) = { x, x < 0 x 2 + x, x 0 jatkuva. 51

53 14.2 Jatkuvien funktioiden ominaisuuksia Lause Jos funktiot f ja g ovat jatkuvia kohdassa x = x 0, niin myös funktiot f + g, f g, f g ja c f (c R vakio) ovat jatkuvia kohdassa x = x 0. Lisäksi funktio f g on jatkuva kohdassa x 0, jos g(x 0 ) 0. Siis funktioyhdistelmät jatkuvia jokainen funktio on yksinään jatkuva. Esimerkki Määrää a siten, että funktio f(x) = on jatkuva. { x 1, x 0 x 2 + a, x < 0 Lause Olkoon funktio g(x) jatkuva kohdassa x 0 ja funktio f(x) jatkuva kohdassa g(x 0 ). Tällöin yhdistetty funktio (f g)(x) on jatkuva kohdassa x 0. Suljetulla välillä jatkuva funktio: Sanotaan, että funktio f(x) on jatkuva suljetulla välillä [a, b], jos se on jatkuva avoimella välillä ]a, b[ ja lisäksi lim f(x) = f(a) ja lim f(x) = f(b). x a + x b Esimerkkejä eri tilanteista: 1) Funktio f(x) on jatkuva välillä [a, b] 2) Funktio f(x) on jatkuva välillä ]a, b[ muttei välillä [a, b], sillä lim x b f(x) f(b). Kuitenkin f(x) on jatkuva välillä [a, b[. 52

54 Lause Suljetulla välillä [a, b] jatkuva funktio f(x) saavuttaa suurimman ja pienimmän arvonsa tällä välillä. Siis voidaan löytää sellaiset x 1, x 2 [a, b], että f(x 1 ) f(x) f(x 2 ) aina, kun x [a, b]. Lísäksi jokaista lukua d [f(x 1 ), f(x 2 )] kohti on olemassa ainakin yksi sellainen c [a, b], että f(c) = d. Geometrisesti: f(x 1 ) f(x) f(x 2 ) aina, kun x [a, b]. min f(x) = f(x 1 ) ja max f(x) = f(x 2 ). d [f(x 1 ), f(x 2 )] ja d = f(c 1 ) = f(c 2 ). Esimerkki Funktio f(x) = x 2 3x + 2 on jatkuva suljetulla välillä [0, 3]. Se saavuttaa pienimmän arvonsa kohdassa x = 3, jolloin 2 f(3) = 1, ja suurimman 2 4 arvonsa kohdissa x = 0 ja x = 3. Tällöin f(0) = f(3) = 2. (Maksimin ja minimin etsimisestä myöhemmin!) 53

55 { x, x < 0 Esimerkki Funktio f(x) = on epäjatkuva suljetulla välillä x, x > 0 [ 1, 1], sillä f(x) ei ole jatkuva kohdassa x = 0, koska f(x) ei ole määritelty kohdassa x = 0. Nyt funktiolla f on pienin arvo välillä [ 1, 1] kohdissa x = 1 ja x = 1, jolloin f( 1) = f(1) = 1. Suurinta arvoa funktiolla f(x) ei ole välillä [ 1, 1]. Funktiolla f(x) on kuitenkin ylärajana arvo 0 välillä [ 1, 1]. Esimerkki Funktio f(x) = 1 on rationaalifunktiona jatkuva välillä ]0, 3[. x Nyt lim f(x) = 1 = f(3) ja siten f(x) on jatkuva välillä ]0, 3]. Funktio f ei ole x 3 3 määritelty kohdassa x = 0, joten se ei ole jatkuva kohdassa x = 0. Funktiolla f on pienin arvo välillä ]0, 3] kohdassa x = 3 ja f(3) = 1. Nyt funktiolla f(x) ei ole 3 1 suurinta arvoa välillä ]0, 3], sillä lim f(x) = lim =. x 0 + x 0 + x 54

56 Seuraus 14.4 (Bolzanon lause). Olkoon f suljetulla välillä [a, b] jatkuva funktio ja oletetaan, että f(a) ja f(b) ovat erimerkkiset. Tällöin on olemassa sellainen c ]a, b[, että f(c) = 0. (Jatkuva funktio ei voi vaihtaa merkkiä saamatta arvoa 0.) Geometrisesti: Esimerkki Osoita, että yhtälöllä 20x 3 3x 2 40x+6 = 0 on kolme erisuurta reaalijuurta (nollakohtaa, ratkaisua). 55

57 15 Lukujonot ja sarjat 15.1 Lukujonon raja-arvo Olkoon a 1, a 2,..., a n,... reaalilukujen muodostama päättymätön jono. Lukua a n sanotaan jonon yleiseksi termiksi. Jonoa voidaan merkitä yleisen termin avulla (a n ). Yleensä yleinen termi kertoo jonon rakenteen. Esimerkki Jonoa 1, 2, 3,..., n, (... merkitään ) (n) ja jonoa 1, 1, 1,..., ( 1)n,... merkitään ( 1) n. 2 3 n n Lukujonoa (a n ) sanotaan suppenevaksi ja lukua a sen raja-arvoksi, jos lim n a n = a. Jos jono (a n ) ei suppene, se hajaantuu. Jono (a n ) hajaantuu, jos (i) jonolla (a n ) ei ole raja-arvoa, kun n lähenee ääretöntä. Esim. (a n ) = (( 1) n ) : 1, 1, 1, 1,... (ii) Jono (a n ) kasvaa tai vähenee rajatta, kun n lähenee ääretöntä. Tällöin merkitään lim n a n = (tai ). Esimerkki Tutki seuraavien jonojen (a n ) hajaantumista ja suppenemista ( ) ( 1) n a) (a n ) = (n) b) (a n ) = ( n) c) (a n ) = n Huomautus. Raja-arvojen laskusäännöt kuten funktioilla. Eksponentti- ja potenssifunktiolle pätee: lim n an = 0, kun a < 1 lim n an =, kun a > 1 lim n 1 n k = 0, kun k N +. 56

58 Lukujonoa (a n ) sanotaan kasvavaksi, jos a n a n+1, ja väheneväksi, jos a n a n+1 aina, kun n N +. Esimerkki Tutki seuraavien jonojen (a n ) suppenemista ja määrää rajaarvot, jos mahdollista. ( a) (a n ) = ) ( n ) b) (a n ) = + 1 n n Lukujonoa (a n ) sanotaan aritmeettiseksi, jos a n+1 a n = d aina, kun n N + ja d on vakio. Lukujono (a n ) on geometrinen, jos a n+1 a n = q aina, kun n N + ja q on vakio. Esimerkki Tutki jonoa (a n ), kun a) (a n ) = (2n 1) b) (a n ) = ( ) 1 2 n 15.2 Sarjateoria Kun lukujonon (a n ) jäsenistä muodostetaan ääretön summa a 1 +a = a k, saadaan lukujonosta sarja. S n = n a k = a 1 + a a n on sarjan n. osasumma. k=1 Sarja a k on aritmeettinen, jos a k+1 a k = d aina, kun k N + ja d on vakio. k=1 Vastaavasti sarja vakio. k=1 a k on geometrinen, jos a k+1 a k k=1 = q aina, kun k N + ja q on Esimerkki Tutki seuraavien sarjojen aritmeettisuus ja geometrisuus. a) a k = k=1 (2k) b) k=1 a k = k=1 k=1 1 2 k 57

59 Aritmeettisen sarjan osasumma S n = a 1 + a 2 + a a n = n a1 + a n. 2 Geometrisen sarjan osasumma na 1, jos q = 1 S n = a 1 (1 q n ), 1 q jos q 1. Sarja k=1 S R). a k on suppeneva ja luku S sen summa, jos lim n S n = S (S äärellinen, Huomautus. Jos sarja k=1 a k suppenee ja summa = S, niin lim k a k = 0. Jos lim k a k 0, niin sarja ei suppene. Jos lim k a k = 0, niin sarja VOI MAHDOLLISESTI supeta. Eräiden sarjojen suppenemisesta: Aritmeettinen sarja hajaantuu aina, sillä lim S n = tai. n Geometrinen sarja suppenee silloin ja vain silloin, kun q < 1 1 < q < 1. Tällöin summa S = a 1 1 q. 58

2.7 Neliöjuuriyhtälö ja -epäyhtälö

2.7 Neliöjuuriyhtälö ja -epäyhtälö 2.7 Neliöjuuriyhtälö ja -epäyhtälö Neliöjuuren määritelmä palautettiin mieleen jo luvun 2.2 alussa. Neliöjuurella on mm. seuraavat ominaisuudet. ab = a b, a 0, b 0 a a b =, a 0, b > 0 b a2 = a a > b, a

Lisätiedot

(x 0 ) = lim. Derivoimissääntöjä. Oletetaan, että funktiot f ja g ovat derivoituvia ja c R on vakio. 1. Dc = 0 (vakiofunktion derivaatta) 2.

(x 0 ) = lim. Derivoimissääntöjä. Oletetaan, että funktiot f ja g ovat derivoituvia ja c R on vakio. 1. Dc = 0 (vakiofunktion derivaatta) 2. Derivaatta kuvaa funktion hetkellistä kasvunopeutta. Geometrisesti tulkittuna funktion derivaatta kohdassa x 0 on funktion kuvaajalle kohtaan x 0 piirretyn tangentin kulmakerroin. Funktio f on derivoituva

Lisätiedot

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2.1 Ensimmäisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Muuttujan x ensimmäisen asteen yhtälöksi sanotaan yhtälöä, joka voidaan kirjoittaa muotoon ax + b = 0, missä vakiot a ja b ovat reaalilukuja

Lisätiedot

Matematiikkaa kauppatieteilijöille P

Matematiikkaa kauppatieteilijöille P Matematiikkaa kauppatieteilijöille 802158P Luentomoniste Kari Myllylä Niina Korteslahti Topi Törmä Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syksy 2018 Sisältö 1 Perusteita 4 1.1 Lukujoukot..............................

Lisätiedot

1. Murtoluvut, murtolausekkeet, murtopotenssit ja itseisarvo

1. Murtoluvut, murtolausekkeet, murtopotenssit ja itseisarvo 1. Murtoluvut, murtolausekkeet, murtopotenssit ja itseisarvo Olkoot a, b, c mielivaltaisesti valittuja reaalilukuja eli reaaliakselin pisteitä. Ne toteuttavat seuraavat laskulait (ns. kunta-aksioomat):

Lisätiedot

Johdatus yliopistomatematiikkaan, 2. viikko (2 op)

Johdatus yliopistomatematiikkaan, 2. viikko (2 op) Johdatus yliopistomatematiikkaan, 2. viikko (2 op) Jukka Kemppainen Mathematics Division Yhtälöt ja epäyhtälöt Jokainen osaa ratkaista ensimmäisen asteen yhtälön ax + by + c = 0. Millä parametrien a, b

Lisätiedot

Epäyhtälön molemmille puolille voidaan lisätä sama luku: kaikilla reaaliluvuilla a, b ja c on voimassa a < b a + c < b + c ja a b a + c b + c.

Epäyhtälön molemmille puolille voidaan lisätä sama luku: kaikilla reaaliluvuilla a, b ja c on voimassa a < b a + c < b + c ja a b a + c b + c. Epäyhtälö Kahden lausekkeen A ja B välisiä järjestysrelaatioita A < B, A B, A > B ja A B nimitetään epäyhtälöiksi. Esimerkiksi 2 < 6, 9 10, 5 > a + + 2 ja ( + 1) 2 2 + 2 ovat epäyhtälöitä. Epäyhtälössä

Lisätiedot

Matematiikkaa kauppatieteilijöille P

Matematiikkaa kauppatieteilijöille P Matematiikkaa kauppatieteilijöille 802158P Luentomoniste Kari Myllylä Niina Korteslahti Topi Törmä Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syksy 2017 Sisältö 1 Perusteita 4 1.1 Lukujoukot..............................

Lisätiedot

monissa laskimissa luvun x käänteisluku saadaan näyttöön painamalla x - näppäintä.

monissa laskimissa luvun x käänteisluku saadaan näyttöön painamalla x - näppäintä. .. Käänteisunktio.. Käänteisunktio Mikäli unktio : A B on bijektio, niin joukkojen A ja B alkioiden välillä vallitsee kääntäen yksikäsitteinen vastaavuus eli A vastaa täsmälleen yksi y B, joten myös se

Lisätiedot

Matematiikkaa kauppatieteilijöille P

Matematiikkaa kauppatieteilijöille P Matematiikkaa kauppatieteilijöille 802158P Luentomoniste Kari Myllylä Niina Korteslahti Topi Törmä Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syksy 2016 Sisältö 1 1 Perusteita 1.1 Lukujoukot Luonnollisten

Lisätiedot

4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio

4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio 4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Tutkitaan yhtälöiden ratkaisuja piirtämällä funktioiden f(x) = x, f(x) = x 3, f(x) = x 4 ja f(x) = x 5 kuvaajat. Näin nähdään, monessako

Lisätiedot

Oletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on

Oletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on Derivaatta Erilaisia lähestymistapoja: geometrinen (käyrän tangentti sekanttien raja-asentona) fysikaalinen (ajasta riippuvan funktion hetkellinen muutosnopeus) 1 / 13 Derivaatan määritelmä Määritelmä

Lisätiedot

( ) ( ) ( ) ( ( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 271 Päivitetty 19.2.2006. 701 a) = keskipistemuoto.

( ) ( ) ( ) ( ( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 271 Päivitetty 19.2.2006. 701 a) = keskipistemuoto. Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 7 Päivitetty 9..6 7 a) + y = 7 + y = 7 keskipistemuoto + y 7 = normaalimuoto Vastaus a) + y = ( 7 ) + y 7= b) + y+ 5 = 6 y y + + = b) c) ( ) + y

Lisätiedot

5 Differentiaalilaskentaa

5 Differentiaalilaskentaa 5 Differentiaalilaskentaa 5.1 Raja-arvo Esimerkki 5.1. Rationaalifunktiota g(x) = x2 + x 2 x 1 ei ole määritelty nimittäjän nollakohdassa eli, kun x = 1. Funktio on kuitenkin määritelty kohdan x = 1 läheisyydessä.

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 1 Derivaatta Tarkastellaan funktion f keskimääräistä muutosta tietyllä välillä ( 0, ). Funktio f muuttuu tällä välillä määrän. Kun tämä määrä jaetaan välin pituudella,

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Polynomifunktiot. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Polynomifunktiot. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA Polynomifunktiot Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Polynomifunktiot (MAA) Pikatesti ja kertauskokeet Tehtävien ratkaisut

Lisätiedot

Eksponenttifunktio ja Logaritmit, L3b

Eksponenttifunktio ja Logaritmit, L3b ja Logaritmit, L3b eksponentti-funktio Eksponentti-funktio Linkkejä kurssi8, / Etälukio (edu.) kurssi8, logaritmifunktio / Etälukio (edu.) Potenssifunktio y = f (x) = 2 Vakiofunktion y = a kuvaaja on vaakasuora

Lisätiedot

Tenttiin valmentavia harjoituksia

Tenttiin valmentavia harjoituksia Tenttiin valmentavia harjoituksia Alla olevissa harjoituksissa suluissa oleva sivunumero viittaa Juha Partasen kurssimonisteen siihen sivuun, jolta löytyy apua tehtävän ratkaisuun. Funktiot Harjoitus.

Lisätiedot

30 + x. 15 + 0,5x = 2,5 + x 0,5x = 12,5 x = 25. 27,5a + 27,5b = 1,00 55 = 55. 2,5a + (30 2,5)b (27,5a + 27,5b) = 45 55.

30 + x. 15 + 0,5x = 2,5 + x 0,5x = 12,5 x = 25. 27,5a + 27,5b = 1,00 55 = 55. 2,5a + (30 2,5)b (27,5a + 27,5b) = 45 55. RATKAISUT, Insinöörimatematiikan koe 1.5.201 1. Kahdessa astiassa on bensiinin ja etanolin seosta. Ensimmäisessä astiassa on 10 litraa seosta, jonka tilavuudesta 5 % on etanolia. Toisessa astiassa on 20

Lisätiedot

x > y : y < x x y : x < y tai x = y x y : x > y tai x = y.

x > y : y < x x y : x < y tai x = y x y : x > y tai x = y. ANALYYSIN TEORIA A Kaikki lauseet eivät ole muotoiltu samalla tavalla kuin luennolla. Ilmoita virheistä yms osoitteeseen mikko.kangasmaki@uta. (jos et ole varma, onko kyseessä virhe, niin ilmoita mieluummin).

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka a) Ratkaistaan nimittäjien nollakohdat. ja x = 0. x 1= Funktion f määrittelyehto on x 1 ja x 0.

Tekijä Pitkä matematiikka a) Ratkaistaan nimittäjien nollakohdat. ja x = 0. x 1= Funktion f määrittelyehto on x 1 ja x 0. Tekijä Pitkä matematiikka 6 9.5.017 K1 a) Ratkaistaan nimittäjien nollakohdat. x 1= 0 x = 1 ja x = 0 Funktion f määrittelyehto on x 1 ja x 0. Funktion f määrittelyjoukko on R \ {0, 1}. b) ( 1) ( 1) f (

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009 Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka..9 x x a) Ratkaise yhtälö =. 4 b) Ratkaise epäyhtälö x > x. c) Sievennä lauseke ( a b) (a b)(a+ b).. a) Osakkeen kurssi laski aamupäivällä,4 % ja keskipäivällä 5,6 %.

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi 2

Matematiikan peruskurssi 2 Matematiikan peruskurssi Demonstraatiot III, 4.5..06. Mikä on funktion f suurin mahdollinen määrittelyjoukko, kun f(x) x? Mikä on silloin f:n arvojoukko? Etsi f:n käänteisfunktio f ja tarkista, että löytämäsi

Lisätiedot

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.8.016 3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) x + x + 1 = 4 (x + 1) = 4 Luvun x + 1 tulee olla tai, jotta sen

Lisätiedot

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus:

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus: . Koska F( ) on jokin funktion f ( ) integraalifunktio, niin a+ a f() t dt F( a+ t) F( a) ( a+ ) b( a b) Vastaus: Kertausharjoituksia. Lukujonot 87. + n + lim lim n n n n Vastaus: suppenee raja-arvona

Lisätiedot

2 Raja-arvo ja jatkuvuus

2 Raja-arvo ja jatkuvuus Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.6 Raja-arvo ja jatkuvuus. a) Kun suorakulmion kärki on kohdassa =, on suorakulmion kannan pituus. Suorakulmion korkeus on käyrän y-koordinaatti

Lisätiedot

1 Peruslaskuvalmiudet

1 Peruslaskuvalmiudet 1 Peruslaskuvalmiudet 11 Lukujoukot N {1,, 3, 4,} on luonnollisten lukujen joukko (0 mukana, jos tarvitaan), Z {, 3,, 1, 0, 1,, 3,} on kokonaislukujen joukko, Q m n : m, n Z, n 0 on rationaalilukujen joukko,

Lisätiedot

Hyvä uusi opiskelija!

Hyvä uusi opiskelija! Hyvä uusi opiskelija! Tässä tulee tärkeää tietoa heti syksyn alussa pidettävästä laskutaitotestistä. Tekniikan kieli on matematiikka. Matematiikka tarjoaa perustan tekniikan opiskelulle ja soveltamiselle

Lisätiedot

Juuri 2 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 2 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus K. a) E Nouseva suora. b) A 5. asteen polynomifunktio, pariton funktio Laskettu piste f() = 5 =, joten piste (, ) on kuvaajalla. c) D Paraabelin mallinen, alaspäin aukeava. Laskettu piste f() =

Lisätiedot

Algebra. 1. Ovatko alla olevat väittämät tosia? Perustele tai anna vastaesimerkki. 2. Laske. a) Luku 2 on luonnollinen luku.

Algebra. 1. Ovatko alla olevat väittämät tosia? Perustele tai anna vastaesimerkki. 2. Laske. a) Luku 2 on luonnollinen luku. Algebra 1. Ovatko alla olevat väittämät tosia? Perustele tai anna vastaesimerkki. a) Luku on luonnollinen luku. b) Z c) Luvut 5 6 ja 7 8 ovat rationaalilukuja, mutta luvut ja π eivät. d) sin(45 ) R e)

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015 PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä Matematiikka..5 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä merkittyjen (*) tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6.. a) Ratkaise epäyhtälö >.

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Jatkuvuus Jatkuvan funktion määritelmä Tarkastellaan funktiota f x) jossakin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jatkuva tai epäjatkuva. Jatkuvuuden

Lisätiedot

Aluksi. 2.1. Kahden muuttujan lineaarinen epäyhtälö

Aluksi. 2.1. Kahden muuttujan lineaarinen epäyhtälö Aluksi Matemaattisena käsitteenä lineaarinen optimointi sisältää juuri sen saman asian kuin mikä sen nimestä tulee mieleen. Lineaarisen optimoinnin avulla haetaan ihannearvoa eli optimia, joka on määritelty

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla

Lisätiedot

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2017 Harjoitus 8, ratkaisuista

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2017 Harjoitus 8, ratkaisuista Matematiikan johdantokurssi, sks 07 Harjoitus 8, ratkaisuista. Olkoot f ja g reaalifunktioita. Mitä voidaan sanoa hdistetstä funktiosta g f, jos a) f tai g on rajoitettu? b) f tai g on jaksollinen? Ratkaisu.

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 1 Matemaattisesta päättelystä Matemaattisen analyysin kurssin (kuten minkä tahansa matematiikan kurssin) seuraamista helpottaa huomattavasti, jos opiskelija ymmärtää

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: 1 Funktio 1.1 Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet: 1 1. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä.

Lisätiedot

1.4 Funktion jatkuvuus

1.4 Funktion jatkuvuus 1.4 Funktion jatkuvuus Kun arkikielessä puhutaan jonkin asian jatkuvuudesta, mielletään asiassa olevan jonkinlaista yhtäjaksoisuutta, katkeamattomuutta. Tässä ei kuitenkaan käsitellä työasioita eikä ihmissuhteita,

Lisätiedot

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 6 Maanantai

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 6 Maanantai . (Teht. s. 93.) Määrää raja-arvo MATP53 Approbatur B Harjoitus 6 Maanantai 7..5 cos x x. Ratkaisu. Suora sijoitus antaa epämääräisen muodon (ei auta). Laventamalla päädytään muotoon ja päästään käyttämään

Lisätiedot

Matemaattisten menetelmien hallinnan tason testi.

Matemaattisten menetelmien hallinnan tason testi. Matemaattisten menetelmien hallinnan tason testi. Jokaisessa tehtävässä on vain yksi vaihtoehto oikein.. Laskutoimitusten a) yhteen- ja vähennyslaskun b) kerto- ja jakolaskun c) potenssiin korotuksen järjestys

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 10 1 Sarjakehitelmiä Palautetaan mieliin, että potenssisarja on sarja joka on muotoa a n (x x 0 ) n = a 0 + a 1 (x x 0 ) + a 2 (x x 0 ) 2 + a 3 (x x 0 ) 3 +. n=0 Kyseinen

Lisätiedot

PERUSASIOITA ALGEBRASTA

PERUSASIOITA ALGEBRASTA PERUSASIOITA ALGEBRASTA Matti Lehtinen Tässä luetellut lauseet ja käsitteet kattavat suunnilleen sen mitä algebrallisissa kilpatehtävissä edellytetään. Ns. algebrallisia struktuureja jotka ovat nykyaikaisen

Lisätiedot

Funktiot, L4. Funktio ja funktion kuvaaja. Funktio ja kuvaus. Yhdistetty funktio. eksponenttifunktio. Logaritmi-funktio. Logaritmikaavat.

Funktiot, L4. Funktio ja funktion kuvaaja. Funktio ja kuvaus. Yhdistetty funktio. eksponenttifunktio. Logaritmi-funktio. Logaritmikaavat. Funktiot, L4 eksponentti-funktio Funktio (Käytännöllinen määritelmä) 1 Linkkejä kurssi2 / Etälukio (edu.fi) kurssi8, / Etälukio (edu.fi) kurssi8, logaritmifunktio / Etälukio (edu.fi) Funktio (Käytännöllinen

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi 2

Matematiikan peruskurssi 2 Matematiikan peruskurssi Tentti, 9..06 Tentin kesto: h. Sallitut apuvälineet: kaavakokoelma ja laskin, joka ei kykene graaseen/symboliseen laskentaan Vastaa seuraavista viidestä tehtävästä neljään. Saat

Lisätiedot

Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot

Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot 3. Funktion raja-arvo ja jatkuvuus 3.1. Reaali- ja kompleksifunktiot 43. Olkoon f monotoninen ja rajoitettu välillä ]a,b[. Todista, että raja-arvot lim + f (x) ja lim x b f (x) ovat olemassa. Todista myös,

Lisätiedot

Ratkaisuehdotus 2. kurssikoe

Ratkaisuehdotus 2. kurssikoe Ratkaisuehdotus 2. kurssikoe 4.2.202 Huomioitavaa: - Tässä ratkaisuehdotuksessa olen pyrkinyt mainitsemaan lauseen, johon kulloinenkin päätelmä vetoaa. Näin opiskelijan on helpompi jäljittää teoreettinen

Lisätiedot

Funktion raja-arvo 1/6 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot

Funktion raja-arvo 1/6 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot Funktion raja-arvo 1/6 Sisältö Esimerkki funktion raja-arvosta Lauseke f() = 1 cos määrittelee reaauuttujan reaaliarvoisen funktion f, jonka lähtöjoukko muodostuu nollasta eroavista reaaliluvuista. Periaatteessa

Lisätiedot

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)

Lisätiedot

Ratkaisuehdotus 2. kurssikokeeseen

Ratkaisuehdotus 2. kurssikokeeseen Ratkaisuehdotus 2. kurssikokeeseen 4.2.202 (ratkaisuehdotus päivitetty 23.0.207) Huomioitavaa: - Tässä ratkaisuehdotuksessa olen pyrkinyt mainitsemaan lauseen, johon kulloinenkin päätelmä vetoaa. Näin

Lisätiedot

1. Olkoon f :, Ratkaisu. Funktion f kuvaaja välillä [ 1, 3]. (b) Olkoonε>0. Valitaanδ=ε. Kun x 1 <δ, niin. = x+3 2 = x+1, 1< x<1+δ

1. Olkoon f :, Ratkaisu. Funktion f kuvaaja välillä [ 1, 3]. (b) Olkoonε>0. Valitaanδ=ε. Kun x 1 <δ, niin. = x+3 2 = x+1, 1< x<1+δ Matematiikan tilastotieteen laitos Differentiaalilaskenta, syksy 2015 Lisätehtävät 1 Ratkaisut 1. Olkoon f :, x+1, x 1, f (x)= x+3, x>1 Piirrä funktion kuvaa välillä [ 1, 3]. (a) Tutki ra-arvon (ε, δ)-määritelmän

Lisätiedot

DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS

DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1 Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS Huomautus. Analyysin yksi keskeisimmistä käsitteistä on jatkuvuus! Olkoon A R mielivaltainen joukko

Lisätiedot

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0 Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8.9.07 Kertaus K. a) 6 4 64 0, 0 0 0 0 b) 5 6 = 5 6 = =, 0 c) d) K. a) b) c) d) 4 4 4 7 4 ( ) 7 7 7 7 87 56 7 7 7 6 6 a a a, a > 0 6 6 a

Lisätiedot

Tekijä MAA2 Polynomifunktiot ja -yhtälöt = Vastaus a)

Tekijä MAA2 Polynomifunktiot ja -yhtälöt = Vastaus a) K1 a) Tekijä MAA Polynomifunktiot ja -yhtälöt 6.8.016 ( + + ) + ( ) = + + + = + + + = + 4 b) 4 4 ( 5 + ) ( 5 + 1) = 5 + + 5 + 1 4 = + + + 4 = + 5 5 1 1 Vastaus a) 4 + b) 4 + 1 K a) f ( ) = + 1 f () = +

Lisätiedot

Johdatus reaalifunktioihin P, 5op

Johdatus reaalifunktioihin P, 5op Johdatus reaalifunktioihin 802161P, 5op Osa 2 Pekka Salmi 1. lokakuuta 2015 Pekka Salmi FUNK 1. lokakuuta 2015 1 / 55 Jatkuvuus ja raja-arvo Tavoitteet: ymmärtää raja-arvon ja jatkuvuuden määritelmät intuitiivisesti

Lisätiedot

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. KERTAUS Lukujono KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. Ratkaisussa annetaan esimerkit mahdollisista säännöistä. a) Jatketaan lukujonoa: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, Rekursiivinen sääntö on, että lukujonon ensimmäinen jäsen

Lisätiedot

MAA10 HARJOITUSTEHTÄVIÄ

MAA10 HARJOITUSTEHTÄVIÄ MAA0 Määritä se funktion f: f() = + integraalifunktio, jolle F() = Määritä se funktion f : f() = integraalifunktio, jonka kuvaaja sivuaa suoraa y = d Integroi: a) d b) c) d d) Määritä ( + + 8 + a) d 5

Lisätiedot

1. Olkoot f ja g reaalifunktioita. Mitä voidaan sanoa yhdistetystä funktiosta g f, jos a) f tai g on rajoitettu? b) f tai g on jaksollinen?

1. Olkoot f ja g reaalifunktioita. Mitä voidaan sanoa yhdistetystä funktiosta g f, jos a) f tai g on rajoitettu? b) f tai g on jaksollinen? Matematiikan johdantokurssi, sks 06 Harjoitus 8, ratkaisuista. Olkoot f ja g reaalifunktioita. Mitä voidaan sanoa hdistetstä funktiosta g f, jos a) f tai g on rajoitettu? b) f tai g on jaksollinen? Ratkaisu.

Lisätiedot

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin

Lisätiedot

Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta

Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö Funktion kasvavuus ja vähenevyys; paikalliset ääriarvot Jos derivoituvan reaalifunktion f derivaatta tietyssä pisteessä on positiivinen, f (x 0 ) > 0, niin funktion tangentti

Lisätiedot

Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x 1 ja x 2 on voimassa ehto:

Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x 1 ja x 2 on voimassa ehto: 4 Reaalifunktiot 4. Funktion monotonisuus Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x ja x on voimassa ehto: "jos x < x, niin f (x

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 10 1 Funktion monotonisuus Derivoituva funktio f on aidosti kasvava, jos sen derivaatta on positiivinen eli jos f (x) > 0. Funktio on aidosti vähenevä jos sen derivaatta

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 19.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo

Lisätiedot

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö 3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö Yhtälön (tai funktion) y = a + b + c, missä a 0, kuvaaja ei ole suora, mutta ei ole yhtälökään ensimmäistä astetta. Funktioiden

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet: Luento 5. Käänteisfunktio Yhdistetty funktio Raja-arvot ja jatkuvuus

Talousmatematiikan perusteet: Luento 5. Käänteisfunktio Yhdistetty funktio Raja-arvot ja jatkuvuus Talousmatematiikan perusteet: Luento 5 Käänteisfunktio Yhdistetty funktio Raja-arvot ja jatkuvuus Tähän mennessä Funktiolla f: A B, y = f x kuvataan muuttujan y B riippuvuutta muuttujasta x A Jotta funktio

Lisätiedot

LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN

LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN 1 LUKULAUSEKKEITA Ratkaise seuraava tehtävä: Retkeilijät ajoivat kahden tunnin ajan polkupyörällä maantietä pitkin 16 km/h nopeudella, ja sitten vielä kävelivät metsäpolkua

Lisätiedot

Seurauksia. Seuraus. Seuraus. Jos asteen n polynomilla P on n erisuurta nollakohtaa x 1, x 2,..., x n, niin P on muotoa

Seurauksia. Seuraus. Seuraus. Jos asteen n polynomilla P on n erisuurta nollakohtaa x 1, x 2,..., x n, niin P on muotoa Seurauksia Seuraus Jos asteen n polynomilla P on n erisuurta nollakohtaa x 1, x 2,..., x n, niin P on muotoa P(x) = a n (x x 1 )(x x 2 )... (x x n ). Seuraus Astetta n olevalla polynomilla voi olla enintään

Lisätiedot

Differentiaalilaskenta 1.

Differentiaalilaskenta 1. Differentiaalilaskenta. a) Mikä on tangentti? Mikä on sekantti? b) Määrittele funktion monotonisuuteen liittyvät käsitteet: kasvava, aidosti kasvava, vähenevä ja aidosti vähenevä. Anna esimerkit. c) Selitä,

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 4.9.09 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alustavat hyvän vastauksen piirteet on suuntaa-antava kuvaus kokeen tehtäviin odotetuista vastauksista ja tarkoitettu ensisijaisesti

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus

Lisätiedot

2.2 Täydellinen yhtälö. Ratkaisukaava

2.2 Täydellinen yhtälö. Ratkaisukaava . Täydellinen yhtälö. Ratkaisukaava Tulon nollasäännöstä näkee silloin tällöin omituisia sovellutuksia. Jotkut näet ajattelevat, että on olemassa myöskin tulon -sääntö tai tulon "mikä-tahansa"- sääntö.

Lisätiedot

Ratkaisut vuosien tehtäviin

Ratkaisut vuosien tehtäviin Ratkaisut vuosien 1978 1987 tehtäviin Kaikki tehtävät ovat pitkän matematiikan kokeista. Eräissä tehtävissä on kaksi alakohtaa; ne olivat kokelaalle vaihtoehtoisia. 1978 Osoita, ettei mikään käyrän y 2

Lisätiedot

Reaalilukuvälit, leikkaus ja unioni (1/2)

Reaalilukuvälit, leikkaus ja unioni (1/2) Luvut Luonnolliset luvut N = {0, 1, 2, 3,... } Kokonaisluvut Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... } Rationaaliluvut (jaksolliset desimaaliluvut) Q = {m/n m, n Z, n 0} Irrationaaliluvut eli jaksottomat desimaaliluvut

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet: Luento 5. Käänteisfunktio Yhdistetty funktio Raja-arvot ja jatkuvuus

Talousmatematiikan perusteet: Luento 5. Käänteisfunktio Yhdistetty funktio Raja-arvot ja jatkuvuus Talousmatematiikan perusteet: Luento 5 Käänteisfunktio Yhdistetty funktio Raja-arvot ja jatkuvuus Tähän mennessä Funktiolla f: A B, y = f x kuvataan muuttujan y B riippuvuutta muuttujasta x A Jotta funktio

Lisätiedot

MAA02. A-osa. 1. Ratkaise. a) x 2 + 6x = 0 b) (x + 4)(x 4) = 9 a) 3x 6x

MAA02. A-osa. 1. Ratkaise. a) x 2 + 6x = 0 b) (x + 4)(x 4) = 9 a) 3x 6x MAA0 A-osa. Ratkaise. a) x + 6x = 0 b) (x + 4)(x 4) = 9 a) 3x 6x a) Kirjoitetaan summa x + 6x yhteisen tekijän avulla tulomuotoon ja ratkaistaan yhtälö tulon nollasäännön avulla. x + 6x = 0 x(x + 6) =

Lisätiedot

Funktio 1. a) Mikä on funktion f (x) = x lähtöjoukko eli määrittelyjoukko, kun 0 x 5?

Funktio 1. a) Mikä on funktion f (x) = x lähtöjoukko eli määrittelyjoukko, kun 0 x 5? Funktio. a) Mikä on funktion f (x) = x + lähtöjoukko eli määrittelyjoukko, kun 0 x 5? b) Mikä on funktion f (x) = x + maalijoukko eli arvojoukko? c) Selitä, mikä on funktion nollakohta. Anna esimerkki.

Lisätiedot

1.1. YHDISTETTY FUNKTIO

1.1. YHDISTETTY FUNKTIO 1.1. YHDISTETTY FUNKTIO (g o f) () = g(f()) Funktio g = yhdistetyn funktion g o f ulkofunktio Funktio f = yhdistetyn funktion g o f sisäfunktio E.2. Olkoon f() = 2 + 3 ja g() = 4-5. Muodosta funktio a)

Lisätiedot

Rationaalilauseke ja -funktio

Rationaalilauseke ja -funktio 4.8.07 Rationaalilauseke ja -funktio Määritelmä, rationaalilauseke ja funktio: Kahden polynomin ja osamäärä, 0 on rationaalilauseke, jonka osoittaja on ja nimittäjä. Huomaa, että pelkkä polynomi on myös

Lisätiedot

Vastausehdotukset analyysin sivuainekurssin syksyn välikokeeseen

Vastausehdotukset analyysin sivuainekurssin syksyn välikokeeseen Vastausehdotukset analyysin sivuainekurssin syksyn 015 1. välikokeeseen Heikki Korpela November 1, 015 1. Tehtävä: funktio f : R R toteuttaa ehdot ax, kun x 1 f(x) x + 1, kun x < 1 Tutki, millä vakion

Lisätiedot

Analyysi III. Jari Taskinen. 28. syyskuuta Luku 1

Analyysi III. Jari Taskinen. 28. syyskuuta Luku 1 Analyysi III Jari Taskinen 28. syyskuuta 2002 Luku Sisältö Sarjat 2. Lukujonoista........................... 2.2 Rekursiivisesti määritellyt lukujonot.............. 8.3 Sarja ja sen suppenminen....................

Lisätiedot

VASTAA YHTEENSÄ KUUTEEN TEHTÄVÄÄN

VASTAA YHTEENSÄ KUUTEEN TEHTÄVÄÄN Matematiikan kurssikoe, Maa6 Derivaatta RATKAISUT Sievin lukio Torstai 23.9.2017 VASTAA YHTEENSÄ KUUTEEN TEHTÄVÄÄN MAOL-taulukkokirja on sallittu. Vaihtoehtoisesti voit käyttää aineistot-osiossa olevaa

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kertausluento 2. välikokeeseen Toisessa välikokeessa on syytä osata ainakin seuraavat asiat:. Potenssisarjojen suppenemissäde, suppenemisväli ja suppenemisjoukko. 2. Derivaatan

Lisätiedot

Laudatur 4 MAA4 ratkaisut kertausharjoituksiin

Laudatur 4 MAA4 ratkaisut kertausharjoituksiin Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksiin Yhtälöparit ja yhtälöryhmät 6. a) x y = 7 eli,y+, sijoitetaan alempaan yhtälöön x+ 7y = (, y+, ) + 7y =,y =, y = Sijoitetaan y = yhtälöparin ylempään yhtälöön.,

Lisätiedot

x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua

x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua Mallivastaukset - Harjoituskoe E E a) x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4,35 < 0 x 3 7 4 b) 0 / x + dx = 0 ln x + = ln + ln 0 + = ln 0 Vastaus: ln c) x 4 3x 4 = 0 Sijoitetaan x = u Tulon nollasääntö

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta Integrointi Integrointi on erivoinnin käänteistoimitus: jos funktion F(x) erivaatta on f (x), niin funktion f (x) integraali on F(x). Täten, koska esimerkiksi funktion

Lisätiedot

Koontitehtäviä luvuista 1 9

Koontitehtäviä luvuista 1 9 11 Koontitehtäviä luvuista 1 9 1. a) 3 + ( 8) + = 3 8 + = 3 b) x x 10 = 0 a =, b = 1, c = 10 ( 1) ( 1) 4 ( 10) 1 81 1 9 x 4 4 1 9 1 9 x,5 tai x 4 4 c) (5a) (a + 1) = 5a a 1 = 4a 1. a) Pythagoraan lause:

Lisätiedot

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) OT

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) OT Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) 31.1.-4.2.2011 OT 1. Määritellään kokonaisluvuille laskutoimitus n m = n + m + 5. Osoita, että (Z, ) on ryhmä.

Lisätiedot

Epäyhtälöt 1/7 Sisältö ESITIEDOT: yhtälöt

Epäyhtälöt 1/7 Sisältö ESITIEDOT: yhtälöt Epäyhtälöt 1/7 Sisältö Epäyhtälö Epäyhtälöllä tarkoitetaan ehtoa, missä kahdesta lausekkeesta toinen on suurempi tai mahdollisesti yhtä suuri kuin toinen: f(x) < g(x), f(x) g(x).merkit voidaan luonnollisesti

Lisätiedot

JATKUVUUS. Funktio on jatkuva jos sen kuvaaja voidaan piirtää nostamatta kynää paperista.

JATKUVUUS. Funktio on jatkuva jos sen kuvaaja voidaan piirtää nostamatta kynää paperista. JATKUVAT FUNKTIOT JATKUVUUS Jatkuva funktio Epäjatkuva funktio Funktio on jatkuva jos sen kuvaaja voidaan piirtää nostamatta kynää paperista., suomennos Matti Pauna JATKUVUUS Jatkuva funktio Epäjatkuva

Lisätiedot

= 9 = 3 2 = 2( ) = = 2

= 9 = 3 2 = 2( ) = = 2 Ratkaisut 1.1. (a) + 5 +5 5 4 5 15 15 (b) 5 5 5 5 15 16 15 (c) 100 99 5 100 99 5 4 5 5 4 (d) 100 99 5 100 ( ) 5 1 99 100 4 99 5 1.. (a) ( 100 99 5 ) ( ( 4 ( ) ) 4 1 ( ) ) 4 9 4 16 (b) 100 99 ( 5 ) 1 100

Lisätiedot

MATP153 Approbatur 1B Ohjaus 2 Keskiviikko torstai

MATP153 Approbatur 1B Ohjaus 2 Keskiviikko torstai MATP15 Approbatur 1B Ohjaus Keskiviikko 4.11. torstai 5.11.015 1. (Opiskeluteht. 6 s. 0.) Määritä sellainen vakio a, että polynomilla x + (a 1)x 4x a on juurena luku x = 1. Mitkä ovat tällöin muut juuret?.

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 7 to

Matematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 7 to Matematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 7 to 5..2009 ratkaisut 1. (a) Määritä funktion f(x) = e x e x x + 1 derivaatan f (x) pienin mahdollinen arvo. Ratkaisu. (a) Funktio f ja sen derivaatat ovat

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 18.3.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 18.3.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 8..5 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa

Lisätiedot

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 3 Joukko-oppia 4 Funktioista Funktio eli kuvaus on matematiikan

Lisätiedot

Matemaattisen analyysin tukikurssi

Matemaattisen analyysin tukikurssi Matemaattisen analyysin tukikurssi 11. Kurssikerta Petrus Mikkola 29.11.2016 Tämän kerran asiat Eksponenttifunktio Eksponenttifunktion määritelmä Eksponenttifunktion ominaisuuksia Luonnolinen logaritmi

Lisätiedot