Derivaatta: Johdanto. Jatkuvan funktion arvojen muuttumisnopeutta voidaan mitata tangentin kulmakertoimella eli derivaatan arvolla (jos olemassa).

Transkriptio

1 Derivaatta: Johdanto Kuva: Tangentteja. Jatkuvan funktion arvojen muuttumisnopeutta voidaan mitata tangentin kulmakertoimella eli derivaatan arvolla (jos olemassa).

2 Derivaatta: Määritelmä (1/2) Sekantin kulmakerroin eli erotusosamäärä y x f (x+h) f (x) = h. Tästä saadaan tangentin kulmakerroin raja-arvona lim h 0 f (x+h) f (x) h. Määritelmä Jatkuvan funktion f (x) derivaatta f (x) on tangentin kulmakerroin eli f f (x + h) f (x) (x) = lim, h 0 h jos raja-arvo on olemassa. Jos f (x) on olemassa, sanotaan että f on differentoituva pisteessä x.

3 Derivaatta: Määritelmä (2/2) Erilaisia derivaattafunktion merkintöjä: f (x) = Df (x) = y = dy dx = d f (x), jne dx Ja derivaattafunktion arvojen merkintöjä kohdassa x = a: f (a) = Df (a) = y (a) = dy = d dx x=a dx f (x) x=a

4 Derivaatta: graafisia esimerkkejä (1/2) Kuvassa olevat funktiot eivät ole differentoituvia origossa

5 Derivaatta: graafisia esimerkkejä (2/2) 1) Ei yksikäsitteistä tangenttia (kärki) ( f (0) = 1 f +(0) = 1 ) 2) Ei raja-arvoa (± ) 3) Tangenttisuora pystysuora ( f (x) = )

6 Derivaatta: Tangentti ja normaali Tangenttisuora: y f (a) = f (a)(x a) Normaali: y f (a) = 1 f (a)(x a)

7 Derivaatta: Normaalin ja tangentin esimerkkejä Esimerkki 28 Määrää funktion f (x) = x pisteeseen (2, 5) asetetun tangentin yhtälö ja tangentin yhtälö, joka kulkee origon kautta. Esimerkki 29 Etsi käyrän y = tan ( πx ) pisteeseen (1,1) piirretyn tangentin ja 4 normaalin yhtälöt.

8 Derivaatta: Nopeus ja kiihtyvyys (1/2) Jos s = s(t) on ajan funktio, joka ilmoittaa partikkelin paikan, niin v k = s t = s(t + h) s(t) h on keskimääräinen nopeus. Kun annetaan h 0, saadaan partikkelin hetkellinen nopeus Edelleen v(t) = ds dt = s (t). a(t) = v (t) = dv dt = d2 s dt 2 on partikkelin k iihtyvyys.

9 Derivaatta: Nopeus ja kiihtyvyys (2/2) Esimerkki 30 Teknillisissä suureissa usein suureen (absoluuttista) muuttumisnopeutta tärkeämpi on suureen suhteellinen muuttumisnopeus (esim. määrä pienenee 2% viikossa). Suureen F = f (t) suhteellinen muuttumisnopeus muuttujan t funktiona asetetaan suhteena F /F. Erityisen mielenkiintoisia ovat tapaukset, joissa suhteellinen muuttumisnopeus on vakio. Minkä yksinkertaisen lausekkeen F /F saa, kun suhteellinen muuttumisnopeus on vakio a? Laske myös F /F ja F /F funktiolle F (t) = ke (at+b), missä k, a ja b ovat vakioita.

10 Derivaatta: Derivoimissääntöjä (1/2) (f ± g) (x) = f (x) ± g (x), (cf ) (x) = cf (x) (fg) (x) = f (x)g(x) + f (x)g (x) ( f ) (x) f (x)g(x) f (x)g (x) = g g(x) 2 (f g) (x) = Df ( g(x) ) = f ( g(x) ) g (x) d dx x r = rx r 1, d 1 x = dx 2 x, d 1 dx x = 1 x 2 d dx x = x x

11 Derivaatta: Derivoimissääntöjä (2/2) d d sin x = cos x, dx cos x = sin x dx d dx tan x = 1 cos 2 x = 1 + tan2 x f differentoituva f jatkuva Esimerkki 31 Osoita todeksi derivoimissääntö (fg) (x) = f (x)g(x) + f (x)g (x).

12 Derivaatta: Ketjusääntö Merkitään D(f g)(x) = f ( g(x) ) g (x) y = f (u), u = g(x) y = f ( g(x) ) = f g(x) Leibnitzin merkintä: dy dx = dy du du dx Esimerkki 32 Derivoi ketjusäännön avulla a) y = x b) y = (cos x)

13 Matemaattinen Induktio Menetelmällä todistetaan väite todeksi jokaisella n n 0 N, kun väite pätee arvolla n 0. Todistus vaiheet: 1) Todetaan väite todeksi, kun n = n 0 2) Induktio-oletus: väite voimassa, kun n = k ja k n 0 3) Osoitetaan, että väite on voimassa, kun n = k + 1 Esimerkki 33 Osoita, että Dx n = nx n 1. Esimerkki 34 Osoita oikeaksi summakaava n 1 x k = x n 1 x 1, x 1 k=0

14 Trigonometrisiä kaavoja (1/2) cos(s ± t) = cos s cos t sin s sin t sin(s ± t) = sin s cos t ± cos s sin t sin 2t = 2 sin t cos t cos 2t = cos 2 t sin 2 t = 1 2 sin 2 t = 2 cos 2 t 1 cos 2 t = 1 (cos 2t + 1) 2 sin 2 t = 1 (1 cos 2t) 2 sin t lim t 0 t = 1

15 Trigonometrisiä kaavoja (2/2) Sinilause: Kosinilause: sin A a = sin B b = sin C c a 2 = b 2 + c 2 2bc cos A. Esimerkki 35 Mikä on viisikannan pinta-ala kun etäisyys keskipisteestä jokaiseen kärkeen on 10 metriä?

16 Implisiittinen differentiointi Tarkastellaan xy-koordinaatiston käyrää jolle voidaan kirjoittaa lauseke, esim. ympyrää (x 1) 2 + y 2 = 4. Jos nyt ajatellaan että käyrä määrittelee jonkin funktion, niin selvästi ehdokkaita on oleellisesti kaksi erilaista: y 1 (x) = 4 (x 1) 2 ja y 2 (x) = 4 (x 1) 2. Tason käyrän voidaan siis ajatella määrittävän joukon funktioita. Niillä alueilla joissa käyrä on sileä, derivaatta voidaan ratkaista implisiittisesti differentioimalla, eli derivoimalla käyrän lauseketta puolittain ja muistamalla että y = y(x). Derivaatan lauseke sisältää yleensä myös termejä joissä esiintyy y. Esimerkki 36 a) Määritä y (x) kun y noudattaa käyrää y sin(x) = x 3 + cos(y). b) Määritä y kun y noudattaa käyrää xy + y 2 = 2x. Sovelluksia mm. Käyrän kuvaajan hahmottaminen Differentiaaliyhtälöiden ratkaiseminen

17 Käänteisfunktion derivaatta Käänteisfunktiolle päti lauseke f (f 1 (x)) = x. Derivoimalla tämä puolittain, ja jakamalla termillä f (f 1 (x)) saadaan kaava Esimerkki 37 ( f 1 ) (x) = 1 f (f 1 (x)) Olkoon f (x) = 4x + 1. Laske ( f 1) (5) a) ratkaisemalla käänteisfunktio ensin ja derivoimalla saatua lauseketta b) yläpuolella esitetyllä kaavalla. Esimerkki 38 a) Olkoon f (x) = x x+1. Laske ( f 1) (1/2). b) Olkoon f (x) = x 3 + x 2. Laske ( f 1) ( 2).

18 Ongelmia eksponenttien kanssa Ongelmia: Kuinka laskea 1 Mitä on x, jos a x = y ja a sekä y tunnetaan? 2 Miten määrittää lukuarvo a x kun a > 0 ja x R? Osittaisia ratkaisuja: 1 x = log a (y). Mutta kuinka tämä logaritmi funktio konkreettisesti määritellään? 2 Olkoon luvut q i rationaalilukuja siten että lim i q i = x. Lasketaan lukuja a q i. Ei erityisen tehokasta eikä määrittele funktiota f (x) = a x siten että esim. derivaattaan päästäisiin helposti käsiksi. Seuraavaksi tutkitaan kuinka mm. nämä ongelmat ovat tyydyttävästi ratkaistavissa.

19 Luonnollinen logaritmi ln(x) Määritelmä Ajatellaan yt-koordinaatistoa. Olkoon x piste positiiviselta t-akseliltaa ja A x on se pinta-ala (katso kuva) joka jää suorien t = x ja t = 1, sekä t-akselin ja käyrän y = 1/t väliin. Luonnollinen logaritmi { Ax, x 1 ln(x) = A x, 0 < x < 1 Luonnollisen logaritmin f (x) = ln(x) ominaisuuksia: Määrittelyjoukko D(f ) =]0, [. Arvojoukko R(f ) =], [ Tämän osoittamiseksi tarvitsisimme määrätyn integraalin käsitettä. Aidosti kasvava koko määrittelyjoukossaan ( f (x) > 0 kaikilla x D(f )) ln 1 = 0

20 Eksponenttifunktio e x Määritelmä Luonnollisen logaritmin ln x käänteisfunktio on eksponenttifunktio e x, eli y = e x ln(y) = x. Exponettifunktion f (x) = e x ominaisuuksia: Määrittelyjoukko D(f ) =], [. Arvojoukko R(f ) =]0, [ Aidosti kasvava koko määrittelyjoukossaan ( f (x) > 0 kaikilla x D(f )) e 1 = e = lim n (1 + 1/n) n = e ln(x) = x kaikille x 0 ja ln(e x ) = x kaikille x R

21 Funktioiden ln(x) ja e x laskusääntöjä Funktiolle ln(x) pätee ( ) 1 i) ln(xy) = ln(x) + ln(y) ii) ln x y = ln(x) ln(y) iii) ln(x t ) = t ln(x) 2 i) lim x ln(x) = ii) lim x 0+ ln(x) = 3 Derivaatta: D(ln(x)) = 1/x Funktiolle e x pätee 1 i) e xy = (e x ) y ii) e x+y = e x e y iii) e x = 1 e x 2 i) lim x e x = ii) lim x e x = 0 3 Derivaatta: D(e x ) = e x

22 Yleiset logaritmi- ja eksponenttifunktiot (1/3) Yleiset logaritmi ja eksponenttifunktiot saadaan funktioiden ln(x) ja e x avulla Määritelmä i) Eksponenttifunktio a x määritellään kaavalla a x = e x ln(a). ii) log a (x) on a x :n käänteisfuntio eli y = a x log a (y) = x, eli log a (x) = ln(x) ln(a).

23 Yleiset logaritmi- ja eksponenttifunktiot (2/3) Seurauksena määritelmistä, seuraavat laskukaavat ovat selvästi voimassa kun a > 0, b > 0, x > 0, y > 0, a 1 ja b 1 i) log a 1 = 0 ii) log a (xy) = log a (x) + log a (y) iii) log a ( 1 x ) = loga (x) iv) log a (x/y) = log a (x) log a (y) v) log a (x y ) = y log a (x) vi) log a (x) = log b (x) log b (a) Vastaavasti jos a > 0 ja b > 0 niin i) a 0 = 1 ii) a x+y = a x a y iii) a x = 1/a x iv) a x y = ax a y v) (a x ) y = a xy vi) (ab) x = a x b x

24 Yleiset logaritmi- ja eksponenttifunktiot (3/3) Esimerkki 39 Etsi f (x) kun f (x) on a) log 4 (x 1/2 ) b) ( (1.6) 1/(x+1)) x 2 1 c) ln( g(x) ) Esimerkki 40 a) Laske lim x log 1/2 (x). b) Mitä on x jos log 2 (x 0.7 ) = 10? Esimerkki 41 Sievennä ( lausekkeet a) log a x 4 + 3x ) ( + log a x 4 + 5x ) ( x ) 4 log 2 a + 2 b) log π (1 cos x) + log π (1 + cos x) 2 log π (sin x)

25 Logaritminen differentiointi Jos funktio f (x) on muotoa f (x) = g 1 (x)g 2 (x) g n (x) = n g i (x) niin derivaatan laskeminen on työläs prosessi peruskaavalla D(g(x)h(x)) = g (x)h(x) + h (x)g(x). Laskentaa voidaan usein helpottaa ottamalla (luonnollinen) logaritmi puolittain. Logaritmin puolittain ottaminen voi auttaa myös tilanteessa jossa f on muotoa i=1 f (x) = g 1 (x) g 2(x), g 1 (x) > 0 Esimerkki 42 a) Laske f (1) ja f ( 1) kun f (x) = (x+1)(2x+1)(3x+1) 4x+1 b) f (t) kun f (t) = (sin t) ln(t), 0 < t < π.

26 Funktioiden kasvuominaisuuksia ja asymptootteja (1/2) Olkoon a positiivinen vakio. x i) lim a ln(x) x e = 0 ii) lim x x x = 0 a iii) lim x x a e x = 0 iv) lim x 0+ x a ln(x) = 0 Määritelmä Funktiolla on pystysuora asymptootti x = a jos lim f (x) = ± tai lim f (x) = ± x a x a+ Funktiolla on vaakasuora asymptootti y = L jos lim f (x) = L tai lim f (x) = L x x Funktiolla on vino asymptootti y = ax + b jos lim (f (x) (ax + b)) = 0 tai lim (f (x) (ax + b)) = 0 x x

27 Funktioiden kasvuominaisuuksia ja asymptootteja (2/2) Esimerkki 43 Olkoon a > 0 ja b > 0. Määritä edellisten ominaisuuksien perusteella lim x log b x a x. Esimerkki 44 Määritä mahdolliset asymptootit funktiolle a) xex 1+e b) x x2 2x+5 x 1 Esimerkki 45 Muodosta funktio f (x) jolla on vaakasuora asymptootti muuta jonkä derivaatta ei lähesty nollaa kun x.

28 Eksponentiaalinen kasvu ja väheneminen malleissa Oletetaan että y = y(t) kuvaa jonkin suureen arvoa ajan hetkellä t. Jos ajatellaan että suureen muutosnopeus on suoraan verrannollinen suureen arvoon, eli dy dt = ky, missä k on vakio, niin tällöin y = Ce kt missä C on jokin vakio. Mallissa on siis kaksi parametria jotka voidaan määrittää kulloisenkin tilanteen mukaan. Esimerkki 46 Nopeasti lisääntyvän eliöpopulaation lisääntymisnopeuden voidaan ajatella olevan suoraan verrannollinen populaation kokoon. Eräs populaatio on kolminkertaistanut lukumääränsä 2 päivän kuluttua tarkkailun aloittamisesta. Kuinka kauan populaatiolta kestää kaksinkertaistaa kokonsa?

29 Eksponentiaalinen kasvu ja väheneminen malleissa Esimerkki 47 Kappaleen lämpötilan muutosnopeus on suoraan verrannollinen sen lämpötilan ja ympäristön lämpotilojen erotukseen. Verrannollisuuskertoimen voidaan ajatella riippuvan vain ympäristön ja kappaleen materiaaleista. Jos kahvikuppi jäähtyy viidessä minuutissa 80 celsiuksesta 50 celsiukseen huoneessa jonka lämpotila on 20 celsiusta, niin kuinka paljon kauemmin kestää vastaava jäähtyminen huoneessa jonka lämpötila on 40 celsiusta?

30 Määräämätön integraali (1/2) Määritelmä Derivoinnin käänteisoperaatiota kutsutaan integroinniksi. Funktion f (x) integraalia merkitään f (x)dx = F (x) + C, Missä F (x) = f (x) jokaiselle x ja C on (integroimis) vakio. Integraali ei siis ole aivan yksikäsitteinen koska vakio C voi vaihdella. Derivaatalle pätee f (x)dx = f (x) + C. Esimerkki 48 Määritä funktion 6x 3 + x integraali. Mikä on integroimisvakio jos integraalifunktio kulkee pisteen (0, 1) kautta?

31 Määräämätön integraali (2/2) Integrointikaavoja: ( ) D f (x)dx = f (x) (af (x) ± bg(x)) dx = a f (x)dx ± b x r dx = x r+1 r C, r 1 sin xdx = cos x + C cos xdx = sin x + C tan xdx = cos 2 x + C f (g(x))g (x)dx = F (g(x)) + C g(x)dx

32 Trigonometristen funktioiden käänteisfunktiot (1/2) Funktioila f on käänteisfunktio f 1 jos ja vain jos f on injektio. Trigonometriset funktiot eivät selvästi ole injektioita. Joudumme rajoittamaan määrittelyjoukkoa. Jos jokin muu alue kiinnostaa niin voidaan käyttää trigonometristen funktioiden π-jaksollisuutta eli jos f on trigonometrinen funktio, niin f (x) = f (x + π). Merkitsemme nyt näiden käänteisfunktioita arcsin x, arccos x ja arctan x, tai lyhyemmin sin 1 x, cos 1 x ja tan 1 x.

33 Trigonometristen funktioiden käänteisfunktiot (2/2) Alla on lueteltu käänteisfunktioiden perus ominaisuuksia f (x) D(f ) R(f ) f (x) f (x)dx arcsin x [ 1, 1] [ π 2, π 2 ] 1 1 x x arcsin x + 1 x 2 2 arccos x [ 1, 1] [0, π] 1 1 x 2 x arccos x 1 x 2 arctan x R ] π 2, π 2 [ 1 1 x 2 x arctan x 1 2 ln ( 1 + x 2) (1) Esimerkki 49 Sievennä a) sin ( cos 1 ( 1/3) ) b) sin sin 1 (0.6) c) tan 1 ( 1) Esimerkki 50 Derivoi ja sievennä a) ( a 2 x 2 + a sin 1 (x/a), a > 0 b) cos 1 ) a a 2 +x 2

34 Hyperboliset funktiot Määritelmä Hyperboliset funktioit cosh x ja sinh x määritellään kaavoilla cosh x = ex + e x, sinh = ex e x 2 2 Laskukaavoja on esim. Beta pullollaan, kaikki aika triviaaleja varmistaa exponenttifunktion laskusääntöjen avulla. Esimerkki 51 Osoita että cosh 2 x sinh 2 x = 1 Esimerkki 52 Etsi funktion cosh x a) käänteisfunktio b) derivaatta c) integraali.

35 Ääriarvojen määrittäminen (1/3) Yleisesti on hyvä tarkistaa 1 Kriittiset pisteet 2 Singulaaripisteet 3 Välin päätepisteet 4 Raja-arvot jos avoimia välejä Jos raja-arvo suurempi (pienempi) kuin mikään arvoista e.m. pisteistä niin ei abs. maksimikohtaa (minimikohtaa).

36 Ääriarvojen määrittäminen (2/3) Lause Jos funktio f (x) on jatkuva suljetulla välillä [a, b] niin mahdollisia lokaaleja maksimi- ja minimikohtia ovat Välin päätepisteet a ja b. Derivaatan nollakohdat f (x), eli kriittiset pisteet. Pisteet joissa derivaatta ei ole määritelty, eli singulaaripisteet Suljetulla välillä jatkuvan funktion abs. eli globaalit maksimija minimikohdat löytyvät lokaalien maksimi- ja minimikohtien joukosta. Avoimella välillä jatkuvalla funktiolla ei välttämättä ole globaalia (tai edes lokaalia) maksimia tai minimiä, mutta jos sillä on niin ne löytyvät singulaaripisteistä tai kriittisistä pisteistä.

37 Ääriarvojen määrittäminen (3/3) Esimerkki 53 Määritä funktion f (x) = x 2 e x absoluuttiset maksimit ja minimit välillä a) ], 0], b) ], 0[ c) ] 1000, 0[ d) ] 1000, 0] e) D(f ). Esimerkki 54 Määritä sen pinta-alaltaan suurimman tasakylkisen kolmion sivujen pituudet, jonka sivujen pituuksien summa on 10 metriä. Esimerkki 55 Määritä funktion f (a) = log a (e) + ln a lokaalit ja globaalit minimit ja maksimit joukoissa a) ]0, 1[, b) ]2, e[ c) D(f ).