Funktion derivaatta. Derivaatan määritelmä. Johdanto derivaatan määritelmään

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Funktion derivaatta. Derivaatan määritelmä. Johdanto derivaatan määritelmään"

Transkriptio

1 Funktion derivaatta Derivaatan määritelmä Johdanto derivaatan määritelmään Kstään, mikä on kärän sin origoon piirretn tangentin htälö Möhemmin, kun olemme käsitelleet derivaatat, saisimme tämän helpommin, mutta ajatellaan nt, ettemme vielä tunne derivaattoja tangentti sin Piirretään kärälle origosta sekantteja Olkoon sekantin ja sinikärän leikkauspiste (h, sin h) Toinen leikkauspiste on (0, sin 0) (0, 0) (ja muitakin saattaa olla) (h, sin h) (0, sin 0) h sin h sin Sekantin kulmakerroin on sin h sin 0 h 0 Kun annetaan h:n lähestä nollaa, niin kuviossa sekantti kiert vasemmalle ja lähenee rajalla tangenttia Ilmeisesti tangentin kulmakerroin saadaankin raja-arvona Lasketaan tämä raja-arvo: sin h sin 0 lim h 0 h 0 sin h sin 0 lim h 0 h 0 h 0 sin h 0 h h 0 sin h h Näin ollen tangentin kulmakerroin on, joten tangentti on suora Sama idea toimii leisestikin: Kärän f() tangentin kulmakerroin kohdassa 0 saadaan raja-arvona f() f( 0 ) lim, 0 0 ainakin jos tämä raja-arvo on olemassa; katso kuvaa monisteen sivulla 70

2 Derivaatan määritelmä Funktion derivaatta kohdassa 0 määritellään erotusosamäärän raja-arvona f ( 0 ) f() f( 0 ) lim 0 0 Jos raja-arvo on olemassa, sanotaan että funktio on derivoituva kohdassa 0 Huomautus Jos tentissä kstään derivaatan määritelmää, niin oikea vastaus on o raja-arvolauseke Oikea vastaus ei siis ole tangentin kulmakerroin ; tämä on derivaatan geometrinen merkits, ei määritelmä Derivaatan määritelmä voidaan mös kirjoittaa missä on merkitt f ( 0 ) f lim 0, 0 :n (pieni) muutos, f f() f( 0 ) vastaava f:n muutos, ja kun derivaatalle kätetään merkintää f () df d, tämä nättää mukavalta: df d lim f 0 ; katso kuvaa monisteen sivulla 69, missä f Derivaatan määritelmää joutuu laskutehtävissä kättämään aika harvoin (ainakin tällä kurssilla), sillä leensä selvitään möhemmin esitettävillä derivaatan laskusäännöillä Monisteessa on määritelmän kätöstä esimerkit 4, 44 ja 45 Lasketaan tässä esimerkki 45, siksi että monisteessa on siinä virhe, ja otetaan sitten lisäksi toinenkin vastaavanlainen tehtävä Esimerkki 45 Pitää laskea funktion f() { jos, 3 jos > 3 derivaatta kohdassa eli siis derivaatta f () Derivaattaa ei voi laskea mistään derivaatan laskusäännöistä, koska kohdassa f():n lauseke muuttuu Pitää kättää määritelmää Lasketaan erotusosamäärä erikseen kun < ja kun > ja otetaan raja-arvot:

3 Kun < niin f() f() ja kun > niin ( )( + ) kun + Siis raja-arvo f() f() 3 kun + f() f() lim ei ole olemassa, ts f () ei ole olemassa eli f ei ole derivoituva kohdassa Esimerkki a) Lasketaan funktiolle f() { sin kun 0, 0 kun 0 derivaatta f (0) sin Taaskin on pakko laskea määritelmästä: f (0) 0 f() f(0) 0 0 sin sin Raja-arvo ei ole olemassa (aikaisempi esimerkki), joten f (0) ei ole olemassa b) Lasketaan sama tehtävä funktiolla g() { sin kun 0, 0 kun 0 Tämän kuvaaja heilahtelee paraabelien ja välissä 3

4 sin Nt saadaan g (0) 0 g() g(0) 0 0 sin sin 0 Siis g (0) 0, joten kärällä on tangentti 0, siis -akseli! Kuitenkin kärä leikkelee -akselia äärettömän monta kertaa origon mpäristössä! Derivoimissääntöjä Monisteessa on sivulla 73 listattu derivoimissääntöjä ) 7) Sivulla 74 on niistä todistettu kaksi Todistetaan tässä esimerkkeinä säännöt 5) ja 6) Summan derivoimissäännön todistus Oletetaan tunnetuksi summan raja-arvon laskusääntö lim (f () + f ()) f () + lim f (), a a a missä oletetaan, että oikean puolen raja-arvot ovat olemassa Tätä ei meillä ole todistettu mutta olisi helppo todistaa raja-arvon ϵ-määritelmästä Kun oletetaan, että f ( 0 ) ja g ( 0 ) ovat olemassa, niin D(f + g)( 0 ) 0 (f + g)() (f + g)( 0 ) 0 f() + g() f( 0 ) g( 0 ) 0 0 ( f() f(0 ) + g() g( ) 0) ( ) ( ) f() f(0 ) g() g(0 ) + lim f ( 0 ) + g ( 0 ) 4

5 Siis D(f + g) f + g Nimittäin ensi alkuun edeltä saadaan D(f + g)( 0 ) f ( 0 ) + g ( 0 ) (f + g )( 0 ), mutta tässähän 0 on mielivaltainen Tulon derivoimissäännön todistus Todistetaan kaava D(fg) f g + fg : D(fg)( 0 ) 0 (fg)() (fg)( 0 ) 0 0 f()g() f( 0 )g( 0 ) 0 ( ) f()g() f( 0 )g( 0 ) f( 0 )g() + f( 0 )g() 0 0 ( f() f(0 ) ) g() + f( 0 ) ( g() g( 0 ) ) 0 0 ( ) 0 0 ( f() f(0 ) g() + f( 0 ) g() g( ) 0) 0 0 ( ) f() f(0 ) lim g() 0 0 ( ) f ( 0 )g( 0 ) + f( 0 )g ( 0 ) ( ) g() g(0 ) + f( 0 ) lim 0 0 Kohdassa ( ) lisättiin ja vähennettiin sopiva termi Kohdassa ( ) kätettiin raja-arvon laskusääntöjä s 58 Kohdassa ( ) kätettiin, paitsi derivaatan määritelmää, mös tietoa, että koska g on derivoituva kohdassa 0, niin se on siinä mös jatkuva (moniste s 7 73), jolloin lim g() g( 0 ) 0 Trigonometristen funktioiden derivaatat Monisteessa todistetaan D sin cos Todistetaan tässä samalla tavalla kaava D cos sin 5

6 Saadaan ( D cos ) 0 0 cos cos 0 0 ( ) sin sin 0 Kohdassa ( ) kätettiin kaavaa lim 0 sin + 0 ( ) sin sin 0 cos α cos β sin α + β sin 0 0 sin α β joka on monisteessa s 40 ja on kaavakokoelmassakin Kohdassa ( ) kätettiin sinifunktion jatkuvuutta ja sitä että lim 0 sin Nt saadaan tangentin derivaatan kaavat D tan cos + tan suoraan laskemalla osamäärän derivointisäännöllä: D tan D sin cos (D sin ) cos sin (D cos ) cos cos + sin cos cos + sin cos + tan Samalla tavalla lasketaan D cot D cos sin, ja tulos on D cot sin cot Toinen tapa olisi kirjoittaa D cot D tan( π ) ja kättää hdistetn funktion derivointia Esimerkki, Nt saamme kärän sin tangentin kul- makertoimen origossa helpommin: Kun merkitään f() sin, niin sin f (0) ( D sin ) 0 cos 0 6

7 Lasketaanpa sama mös kärälle tan : ( ) D tan 0 (+tan ) +0 0 Siis suora on sekä sini- että tangenttifunktion kuvaajien hteinen tangentti Tämä merkitsee, että kärät sin ja tan sivuavat toisiaan origossa tan sin Yhdistetn funktion derivaatta eli ketjusääntö Monisteessa todistetaan ketjusääntö Esimerkki Derivoidaan funktio Osamäärän derivointisäännöllä D(g f)() g (f())f () f() ( ) f () D( + + 3)( ) ( + + 3)D(( ) ) ( ) 4 Tässä tarvitaan D(( ) ) Se voitaisiin laskea D(( ) ) D( + ) +, mutta mukavimmin tällainen otetaan kaavasta D n n n ja ketjusäännöstä: Nt Esimerkki D(( ) ) ( ) ( ) ( ) f () ( + )( ) + ( + + 3) ( ) ( ) 4 ( + )( ) + ( + + 3) ( ) ( ) 3 Lasketaan edellisen esimerkin derivaatta tulon derivointisäännöllä, f () D ( ( + + 3)( ) ) D( + + 3) ( ) + ( + + 3) D(( ) ) ( + ) ( ) + ( + + 3) ( ) 3, 7

8 missä tarvittiin D(( ) ) ( ) 3 ( ) ( ) 3, taas kaavasta D n n n ja ketjusäännöstä Sieventämällä saadaan sama tulos kuin edellä Esimerkki Jos oletetaan tunnetuksi kaava D sin cos, niin kosinin derivaatan kaavan voi johtaa näinkin helposti: ( π ) D cos D sin Tekijä ( ) tulee sisäfunktion π derivaatasta Käänteisfunktion derivaatta ( π ) cos ( ) sin Lause 4 Oletetaan, että funktiolla f() on käänteisfunktio f () Oletetaan mös, että f ( 0 ) on olemassa ja 0 Silloin (f ) ( 0 ) f ( 0 ) missä 0 f( 0 ) Todistus on monisteessa Lauseelle voi antaa seuraavanlaisen selitksen, joka oikeastaan olisi toinen todistus f() f () 0 0 Koska kseessä on käänteisfunktio, niin f() f () Tämä tarkoittaa, että f:n kuvaaja on samalla käänteisfunktion f kuvaaja, kunhan koordinaattiakselit tulkitaan niin, että funktion f argumentti (siis ) on pstakselilla ja funktion arvo (eli f ()) on vaaka-akselilla 8

9 Tällä tavoin tulkittuna siis sama kärä on sekä f:n että f :n kuvaaja Kun johonkin pisteeseen piirretään kärän tangentti, niin sama suorahan toimii sekä f:n että f :n kuvaajan tangenttina Olkoot ja kuten kuviossa; siis on :n pieni lisäs, ja on :n vastaava lisäs liikuttaessa tangenttia pitkin Silloin f ( 0 ) on sama kuin tangentin kulmakerroin, f ( 0 ) Samasta tangentista saadaan tietenkin mös (f ) ( 0 ) tangentin kulmakertoimena Koska nt koordinaattiakselien merkits on päinvastoin kuin normaalisti, kulmakerroinkin lasketaan toisin päin, siis (f ) ( 0 ) Juurifunktion derivaatta Monisteessa s juurifunktion derivaatta f ( 0 ) D n n n eli D n n n johdetaan kättämällä sitä, että n on potenssifunktion n käänteisfunktio ja sitä että jälkimmäisen derivaatta tunnetaan, D n n n Arkusfunktioiden derivaatat Monisteessa s 79 johdetaan arkussinin derivaatta, ja muiden arkusfunktioiden derivaatat saadaan samoin Johto perustuu siihen, että arkusfunktiot ovat trigonometristen funktioiden käänteisfunktioita ja siihen että trigonometristen funktioiden derivaatat jo tunnetaan Kirjoitetaan monisteen johto arkussinin derivaatalle tässä vähän toisin kuin monisteessa, kättämällä samoja merkintöjä kuin eo leisessä tarkastelussa Olkoon 0 [ π, π ] Merkitään 0 sin( 0 ); silloin 0 [, ] (Muistetaan, että arkussinin määrittelssä otetaan sin : [ π, π ] [, ], jolloin käänteisfunktio on π 0 0 sin π arcsin : [, ] [ π, π ]) Merkitään selvden vuoksi f() sin ja f () arcsin Silloin f () cos Saadaan (f ) ( 0 ) 9 f ( 0 ) cos 0

10 Halutaan päästä takaisin lausekkeeseen, jossa ei esiinn 0 vaan 0 Tiedetään, että cos ± sin, ja koska nt π π, niin cos 0 0 Näin ollen (f ) ( 0 ) cos 0 sin 0 0 Kun vihdoin merkitään funktion argumenttia 0 :n sijasta :llä, niin tulos on (f ) (), eli D arcsin Samalla tavalla johdetaan D arccos Tämän voisi kllä johtaa ovelammallakin tavalla arkussinin derivaatasta: Voisi perustella ensin, että tutusta kaavasta sin cos( π ) seuraa arccos π arcsin, ja sitten voi derivoida tästä Johdetaan nt arkustangentin derivaatta kättämällä toisenlaisia merkintöjä kuin äsken; noudatetaan vaihteeksi sitä tapaa joka on monisteessa s 79 arkussinin kaavan johdossa Muistetaan, että arkustangentti tan arctan : R [ π, π ] määritellään tangenttifunktion osan π π tan : [ π, π ] R käänteisfunktiona Kun R ja arctan [ π, π ], eli tan (huomaa, että ja on nt merkitt toisin päin kuin aikaisemmin), niin d d arctan d d tan + tan + Arkustangentin kuvaaja on monisteessa s 5 Tosin monisteen kuvassa on ilmeisesti kätett -ja -akseleille eri mittakaavoja, sillä itse asiassa 0

11 kuvaajalla arctan on origossa tangentin kulmakerroin ja siis tangenttina on suora Nimittäin Huomautus ( d d arctan ) ( ) Siis arkusfunktioiden derivaatat ovat algebrallisia funktioita: d d arcsin, d d arctan + Kääntäen tämä tarkoittaa, että funktioiden ja + integraalifunktiot ovat d arcsin + C, d arctan + C + Tästäkin johtuen arkusfunktiot tulevat usein esiin sovelluksissa Integraaleista puhutaan peruskurssi B:ssä, ja siellä nämäkin kaavat tulevat kättöön Logaritmi-, eksponentti- ja hperbelifunktioiden derivaatat Logaritmi- ja eksponenttifunktioiden derivaatat Monisteessa johdetaan s ensin leisten logaritmi- ja eksponenttifunktioiden log a ja a derivaatat ja sitten otetaan niistä erikoistapauksina funktioiden ln ja e derivaatat Kannattaa kuitenkin tehdä toisessa järjestksessä: Johdetaan ensin derivaatat D ln ja De e, mikä kä helpommin ja kaavatkin ovat helpommat muistaa (ja kätännössä usein riittävätkin), ja nätetään sitten, miten näistä voidaan päätellä leisemmät kaavat D log a ln a ja Da ln a a Siis lasketaan ensin derivaatta D ln Seuraava lasku on muuten sama kuin monisteen sivulla 79 paitsi että a e Lasketaan derivaatta D ln

12 erotusosamäärän raja-arvona: Kun 0 > 0 niin ( d ) d ln ln ln ( ) h 0 ln( 0 + h) ln 0 h ln 0+h 0 h 0 h 0 ln h 0 h 0 ( 0 lim h 0 0 ln e h ( + h h 0 ) 0 0 h ln ( + h 0 ) ) ( ln ( + h ) ) 0 /h 0 0 ( ( ln + ) ) 0 /h 0 /h 0 Kohdassa ( ) merkittiin h 0, jolloin 0 + h, ja raja-arvo 0 korvattiin raja-arvolla h 0 Seuraavassa vaiheessa kätettiin logaritmin ominaisuutta ln ln ln Seuraavissa neljässä vaiheessa lauseketta ( käsiteltiin niin, että sinne snti osa + 0 /h 0 /h), jonka raja-arvoksi tiedetään e; nimittäin, kun h 0, niin 0 h ± Lopuksi kätettiin sitä että ln e Merkitsemällä vihdoin 0 :n paikalle saadaan D ln Seuraavaksi johdamme derivaatan De käänteisfunktion derivointisäännöstä Tämä kä aivan kuten monisteessa s paitsi että nt a e Olkoon e, eli ln Saadaan toisin sanoen d d e d d ln e, De e Johdamme näistä nt leisemmät kaavat Kun a > 0, a, niin D ( log a ) ( ln ) D ln a ln a D( ln ) ln a Tässä kätettiin logaritminkantaluvunvaihtokaavaa log a log b log b a

13 tapauksessa b e Loppujen lopuksi, kun a > 0, niin Da D ( e ln a ) D ( e ln a ) ln a e ln a ln a a Hperbelifunktioiden derivaatat Nämä on helppo laskea Suoraan kaavoista derivoimalla sinh (e e ), cosh (e + e ) D sinh (e + e ) cosh, D cosh (e e ) sinh Sen jälkeen hperbolisen tangentin tanh derivaatta saadaan aivan vastaavalla tavalla kuin trigonometristen funktioiden tapauksessa laskettiin D tan D sin cos ja niin edelleen: D tanh D sinh cosh (D sinh ) cosh sinh (D cosh ) cosh cosh sinh cosh cosh sinh cosh tanh Tässä tarvittiin trigonometristen funktioiden identiteetin cos + sin sijasta identiteettiä cosh sinh Lopuksi D coth lasketaan samaan tapaan Huomautus Hperbelifunktioiden sinh : R R ja cosh : (0, ) (, ) käänteisfunktiot ovat ns areafunktiot Niille voidaan suhteellisen helposti johtaa jopa eksplisiittiset lausekkeet arsinh ln( + + ) : R R, arcosh ln( + ) : (, ) (0, ), mitkä lötvät kaavakokoelmastakin Näiden derivaatat voidaan laskea joko näistä eksplisiittistä lausekkeista tai ne voidaan johtaa käänteisfunktion derivointisäännöllä Tällä kurssilla näitä funktioita ei käsitellä 3

14 Implisiittinen derivointi Esimerkki Tarkastellaan kärää Se koostuu tason pisteistä (, ), jotka toteuttavat tämän htälön Kärä kulkee pisteen (, ) kautta, koska Mikä on pisteeseen (, ) piirretn tangentin htälö? tangentti (, ) Jos voisimme ratkaista htälöstä :n, ja saisimme siis f() missä f() olisi jokin funktio, niin derivoimalla f():n saisimme tangentin kulmakertoimen f (); silloin kstt tangentin htälö olisi f ()( ) Valitettavasti emme pst ratkaisemaan :tä htälöstä Tarkoittaako se, ettemme pst ratkaisemaan tehtävää? Ei suinkaan! Voimme suorittaa ns implisiittisen derivoinnin, siis voimme derivoida :n suoraan htälöstä, ratkaisematta htälöä Menetelmä on seuraava Kuvittelemme, että olemme ratkaisseet :n htälöstä, ts kuvittelemme, että meillä on lausuttuna funktiona () (Merkitsemme nt ko funktiota () eikä f()) Ajatellaan tämä () sijoitetuksi takaisin samaan htälöön, jolloin htälö on 3 + () + () 3 3 Derivoidaan htälö puolittain :n suhteen: 3 + () + () + 3() () 0 Sijoitetaan tähän tutkittava piste : 3 + () + () + 3() () 0 Koska (), niin () + 3 () 0 4

15 eli sievennettnä () 0 Tästä voidaan ratkaista () 5 4 Näin ollen tangentin htälö on 5 4 ( ), eli Huomautus Esimerkissä kaikki kirjoitettiin tädellisemmin kuin on tapana Kätännössä lasku leensä kirjoitetaan seuraavaan tliin On annettuna htälö Derivoidaan implisiittisesti (siis derivoidaan :n suhteen ajatellen ()), Sijoitetaan piste (, ) (, ), Ratkaistaan () () + 3 () 0 Toisinaan on mukavampi ettei ainakaan heti sijoita ko pistettä, vaan ratkaisee :n, jolloin sen saa :n ja :n lausekkeena, Huomautus ) Menetelmän selits on ksinkertainen Kun edellisessä esimerkissä ajatellaan ratkaistuksi htälöstä ja kun ratkaisu () ajatellaan sijoitetuksi takaisin samaan htälöön, niin sntvä htälö 3 + () + () 3 3 toteutuu identtisesti, eli se toteutuu kaikilla :n arvoilla Sen vuoksi mös siitä puolittain derivoimalla saatu htälö on voimassa ) Aivan toinen ksms olisi, millä oletuksilla tämä kaikki on luvallista; siis milloin voimme todella ajatella :n ratkaistuksi htälöstä ja milloin on derivoituva Tätä ksmstä käsittelee ns implisiittifunktiolause, jonka sivuutamme tässä kurssissa kokonaan Voidaan sanoa, että kätännön tilanteissa kaikki tämä on leensä luvallista, paitsi niissä kärän kohdissa, joissa on pstsuora tangentti Toisinaan on hödllistä kättää implisiittistä derivointia sellaisissakin tilanteissa, joissa :n voisi ratkaista htälöstä Nimittäin tämä keino saattaa johtaa helpompiin laskuihin Monisteen esimerkissä 46 on sellainen tilanne 5

16 Esimerkki Johdetaan ellipsin a + b pisteeseen ( 0, 0 ) piirretn tangentin htälö Helpoiten tämä kä implisiittisellä derivoinnilla Ei siis lähdetä ratkaisemaan htälöstä :tä vaan derivoidaan suoraan htälöstä: b ( 0, 0 ) a a + b a + b 0 b a ( 0 ) b a 0 0 Kstt tangentti on siis 0 b a 0 0 ( 0 ), joka sievenee muotoon 0 a + 0 b 0 a + 0 b Oletettiin, että ( 0, 0 ) on ellipsin piste, joten oikea puoli on Näin tangentiksi saadaan helposti muistettava 0 a + 0 b 6

Funktion raja-arvo 1/6 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot

Funktion raja-arvo 1/6 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot Funktion raja-arvo 1/6 Sisältö Esimerkki funktion raja-arvosta Lauseke f() = 1 cos määrittelee reaauuttujan reaaliarvoisen funktion f, jonka lähtöjoukko muodostuu nollasta eroavista reaaliluvuista. Periaatteessa

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 1 Derivaatta Tarkastellaan funktion f keskimääräistä muutosta tietyllä välillä ( 0, ). Funktio f muuttuu tällä välillä määrän. Kun tämä määrä jaetaan välin pituudella,

Lisätiedot

Derivaatan sovelluksia

Derivaatan sovelluksia Derivaatan sovelluksia Derivaatta muutosnopeuden mittarina Tehdään monisteen esimerkistä 5 hiukan mutkikkaampi versio Olete- taan, että meillä on mpräpohjaisen kartion muotoinen astia, johon virtaa vettä

Lisätiedot

Monisteessa määritellään integraalifunktio ja esitetään perusominaisuuksia. Tässä pari esimerkkiä. = x x3 + 2 x + C.

Monisteessa määritellään integraalifunktio ja esitetään perusominaisuuksia. Tässä pari esimerkkiä. = x x3 + 2 x + C. Integraalifunktio Integraalifunktion määritelmä Monisteessa määritellään integraalifunktio ja esitetään perusominaisuuksia Tässä pari esimerkkiä On integroitava funktio + 5 + / Saadaan ( + 5 + ) + 5 +

Lisätiedot

Funktion määrittely (1/2)

Funktion määrittely (1/2) Funktion määrittely (1/2) Funktio f : A B on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon a täsmälleen yhden B:n alkion b. Merkitään b = f (a). Tässä A = M f on f :n määrittelyjoukko, B on f :n maalijoukko.

Lisätiedot

Oletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on

Oletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on Derivaatta Erilaisia lähestymistapoja: geometrinen (käyrän tangentti sekanttien raja-asentona) fysikaalinen (ajasta riippuvan funktion hetkellinen muutosnopeus) 1 / 13 Derivaatan määritelmä Määritelmä

Lisätiedot

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 7. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + 5 + +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c) +

Lisätiedot

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2,

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2, MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 6. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + + + 4, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + +

Lisätiedot

l 1 2l + 1, c) 100 l=0

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 5. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) 5 + 5 +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c)

Lisätiedot

(x 0 ) = lim. Derivoimissääntöjä. Oletetaan, että funktiot f ja g ovat derivoituvia ja c R on vakio. 1. Dc = 0 (vakiofunktion derivaatta) 2.

(x 0 ) = lim. Derivoimissääntöjä. Oletetaan, että funktiot f ja g ovat derivoituvia ja c R on vakio. 1. Dc = 0 (vakiofunktion derivaatta) 2. Derivaatta kuvaa funktion hetkellistä kasvunopeutta. Geometrisesti tulkittuna funktion derivaatta kohdassa x 0 on funktion kuvaajalle kohtaan x 0 piirretyn tangentin kulmakerroin. Funktio f on derivoituva

Lisätiedot

Esimerkkejä derivoinnin ketjusäännöstä

Esimerkkejä derivoinnin ketjusäännöstä Esimerkkejä derivoinnin ketjusäännöstä (5.9.008 versio 1.0) Esimerkki 1 Määritä funktion f(x) = (x 5) derivaattafunktio. Funktio voidaan tulkita yhdistettynä funktiona, jonka ulko- ja sisäfunktiot ovat

Lisätiedot

Johdatus reaalifunktioihin P, 5op

Johdatus reaalifunktioihin P, 5op Johdatus reaalifunktioihin 802161P, 5op Osa 2 Pekka Salmi 1. lokakuuta 2015 Pekka Salmi FUNK 1. lokakuuta 2015 1 / 55 Jatkuvuus ja raja-arvo Tavoitteet: ymmärtää raja-arvon ja jatkuvuuden määritelmät intuitiivisesti

Lisätiedot

Integroimistekniikkaa Integraalifunktio

Integroimistekniikkaa Integraalifunktio . Integroimistekniikkaa.. Integraalifunktio 388. Vertaa funktioiden ln ja ln, b) arctan ja arctan + k k, c) ln( + 2 ja ln( 2, missä a >, derivaattoja toisiinsa. Tutki funktioiden erotusta muuttujan eri

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi 2

Matematiikan peruskurssi 2 Matematiikan peruskurssi Tentti, 9..06 Tentin kesto: h. Sallitut apuvälineet: kaavakokoelma ja laskin, joka ei kykene graaseen/symboliseen laskentaan Vastaa seuraavista viidestä tehtävästä neljään. Saat

Lisätiedot

Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua.

Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua. 6 Alkeisfunktiot Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua. 6. Funktion määrittely Funktio f : A B on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon

Lisätiedot

MAA10 HARJOITUSTEHTÄVIÄ

MAA10 HARJOITUSTEHTÄVIÄ MAA0 Määritä se funktion f: f() = + integraalifunktio, jolle F() = Määritä se funktion f : f() = integraalifunktio, jonka kuvaaja sivuaa suoraa y = d Integroi: a) d b) c) d d) Määritä ( + + 8 + a) d 5

Lisätiedot

2.7 Neliöjuuriyhtälö ja -epäyhtälö

2.7 Neliöjuuriyhtälö ja -epäyhtälö 2.7 Neliöjuuriyhtälö ja -epäyhtälö Neliöjuuren määritelmä palautettiin mieleen jo luvun 2.2 alussa. Neliöjuurella on mm. seuraavat ominaisuudet. ab = a b, a 0, b 0 a a b =, a 0, b > 0 b a2 = a a > b, a

Lisätiedot

monissa laskimissa luvun x käänteisluku saadaan näyttöön painamalla x - näppäintä.

monissa laskimissa luvun x käänteisluku saadaan näyttöön painamalla x - näppäintä. .. Käänteisunktio.. Käänteisunktio Mikäli unktio : A B on bijektio, niin joukkojen A ja B alkioiden välillä vallitsee kääntäen yksikäsitteinen vastaavuus eli A vastaa täsmälleen yksi y B, joten myös se

Lisätiedot

Derivaatta: Johdanto. Jatkuvan funktion arvojen muuttumisnopeutta voidaan mitata tangentin kulmakertoimella eli derivaatan arvolla (jos olemassa).

Derivaatta: Johdanto. Jatkuvan funktion arvojen muuttumisnopeutta voidaan mitata tangentin kulmakertoimella eli derivaatan arvolla (jos olemassa). Derivaatta: Johdanto Kuva: Tangentteja. Jatkuvan funktion arvojen muuttumisnopeutta voidaan mitata tangentin kulmakertoimella eli derivaatan arvolla (jos olemassa). Derivaatta: Määritelmä (1/2) Sekantin

Lisätiedot

6 Eksponentti- ja logaritmifunktio

6 Eksponentti- ja logaritmifunktio ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 019 6 Eksponentti- ja logaritmifunktio 6.1 Eksponenttifunktio 1. Määritä (a) e 3 e + 5, (b) e, (c) + 3e e cos.. Tutki, onko funktiolla f() = 1 e tan + 1 ( π + nπ, n

Lisätiedot

A = (a 2x) 2. f (x) = 12x 2 8ax + a 2 = 0 x = 8a ± 64a 2 48a x = a 6 tai x = a 2.

A = (a 2x) 2. f (x) = 12x 2 8ax + a 2 = 0 x = 8a ± 64a 2 48a x = a 6 tai x = a 2. MATP53 Approbatur B Harjoitus 7 Maanantai..5. (Teht. s. 9.) Neliön muotoisesta pahviarkista, jonka sivun pituus on a, taitellaan kanneton laatikko niin, että pahviarkin nurkista leikataan neliön muotoiset

Lisätiedot

Yhden muuttujan reaalifunktiot

Yhden muuttujan reaalifunktiot Yhden muuttujan reaalifunktiot Määritelmä Monisteessa määritellään, mitä tarkoittaa funktio eli kuvaus A B, missä A ja B ovat joitain reaalilukujoukkoja, siis joukon R osajoukkoja Itse asiassa aivan samalla

Lisätiedot

Yleisiä integroimissääntöjä

Yleisiä integroimissääntöjä INTEGRAALILASKENTA, MAA9 Yleisiä integroimissääntöjä Integroiminen eli annetun funktion f integraalifunktion F määrittäminen (löytäminen) on yleisesti haastavaa. Joskus joutuu jopa arvata tai kokeilla.

Lisätiedot

Derivaatta, interpolointi, L6

Derivaatta, interpolointi, L6 , interpolointi, L6 1 Wikipeia: (http://fi.wikipeia.org/wiki/ ) Etälukio: (http://193.166.43.18/etalukio/ pitka_matematiikka/kurssi7/maa7_teoria10.html ) Maths online: (http://www.univie.ac.at/future.meia/

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009 Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka..9 x x a) Ratkaise yhtälö =. 4 b) Ratkaise epäyhtälö x > x. c) Sievennä lauseke ( a b) (a b)(a+ b).. a) Osakkeen kurssi laski aamupäivällä,4 % ja keskipäivällä 5,6 %.

Lisätiedot

TRIGONOMETRISET JA HYPERBOLISET FUNKTIOT

TRIGONOMETRISET JA HYPERBOLISET FUNKTIOT TRIGONOMETRISET JA HYPERBOLISET FUNKTIOT ARI LEHTONEN. Trigonometriset funktiot.. Peruskaavat. tan x := sin x cos x, cos x cot x := sin x Anglosaksisissa maissa käytössä ovat myös funktiot sekantti sec

Lisätiedot

Trigonometrian kaavat 1/6 Sisältö ESITIEDOT: trigonometriset funktiot

Trigonometrian kaavat 1/6 Sisältö ESITIEDOT: trigonometriset funktiot Trigonometrian kaavat 1/6 Sisältö Ulkoa muistettavat peruskaavat Trigonometrisia funktioita koskevia kaavoja on paljon. Seuraavassa esitetään tärkeimmät ja lyhyet ohjeet niiden muistamiseen. Varsinaisesti

Lisätiedot

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 5 Maanantai

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 5 Maanantai MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 5 Maanantai 30.11.015 1. (Opiskelutet. 0 s. 81.) Selvitä, miten lauseke sin(4x 3 + cos x ) muodostuu perusfunktioista (polynomeista, trigonometrisistä funktioista jne).

Lisätiedot

Matemaattisen analyysin tukikurssi

Matemaattisen analyysin tukikurssi Matemaattisen analyysin tukikurssi 12. Kurssikerta Petrus Mikkola 5.12.2016 Tämän kerran asiat Sini-ja kosifunktio Yksikköympyrä Tangentti- ja kotangenttifunktio Trigonometristen funktioiden ominaisuuksia

Lisätiedot

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin

Lisätiedot

Reaaliarvoisen yhden muuttujan funktion derivaatta LaMa 1U syksyllä 2011

Reaaliarvoisen yhden muuttujan funktion derivaatta LaMa 1U syksyllä 2011 Kuudennen eli viimeisen viikon luennot Reaaliarvoisen yhden muuttujan funktion derivaatta LaMa 1U syksyllä 2011 Perustuu Trench in verkkokirjan lukuihin 2.3. ja 2.4. Esko Turunen esko.turunen@tut.fi Jatkuvuuden

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi 2

Matematiikan peruskurssi 2 Matematiikan peruskurssi Demonstraatiot III, 4.5..06. Mikä on funktion f suurin mahdollinen määrittelyjoukko, kun f(x) x? Mikä on silloin f:n arvojoukko? Etsi f:n käänteisfunktio f ja tarkista, että löytämäsi

Lisätiedot

Funktion raja-arvo ja jatkuvuus

Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Funktion raja-arvo Monisteen määritelmässä 32 s 55 määritellään funktion f) raja-arvo f) ja sitä selitetään huomautuksen 33 kohdassa a) Seuraavassa on a hiukan tarkempi

Lisätiedot

d Todista: dx xn = nx n 1 kaikilla x R, n N Derivaatta Derivaatta ja differentiaali

d Todista: dx xn = nx n 1 kaikilla x R, n N Derivaatta Derivaatta ja differentiaali 6. Derivaatta 6.. Derivaatta ja differentiaali 72. Olkoon f () = 4. Etsi derivaatan määritelmän avulla f ( 3). f ( 3) = 08. 73. Muodosta funktion f () = derivaatta suoraan määritelmän mukaan, so. tarkastelemalla

Lisätiedot

VEKTORIANALYYSIN HARJOITUKSET: VIIKKO 4

VEKTORIANALYYSIN HARJOITUKSET: VIIKKO 4 VEKTORIANALYYSIN HARJOITUKSET: VIIKKO 4 Jokaisen tehtävän jälkeen on pieni kommentti tehtävään liittyen Nämä eivät sisällä mitään kovin kriittistä tietoa tehtävään liittyen, joten niistä ei tarvitse välittää

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 4.9.09 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alustavat hyvän vastauksen piirteet on suuntaa-antava kuvaus kokeen tehtäviin odotetuista vastauksista ja tarkoitettu ensisijaisesti

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 10 1 Sarjakehitelmiä Palautetaan mieliin, että potenssisarja on sarja joka on muotoa a n (x x 0 ) n = a 0 + a 1 (x x 0 ) + a 2 (x x 0 ) 2 + a 3 (x x 0 ) 3 +. n=0 Kyseinen

Lisätiedot

sin x cos x cos x = sin x arvoilla x ] π

sin x cos x cos x = sin x arvoilla x ] π Matematiikan johdantokurssi, syksy 08 Harjoitus 0, ratkaisuista. Todenna, että = + tan x. Mutta selvitäppä millä reaaliarvoilla se oikeasti pitää paikkansa! Ratkaisu. Yhtälön molemmat puolet ovat määriteltyjä

Lisätiedot

Mat. tukikurssi 27.3.

Mat. tukikurssi 27.3. Mat. tukikurssi 7.. Tänään oli paljon vaikeita aiheita: - suunnattu derivaatta - kokonaisdierentiaali - dierentiaalikehitelmä - implisiittinen derivointi Nämä kaikki liittvät aika läheisesti toisiinsa.

Lisätiedot

( ) ( ) ( ) ( ( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 271 Päivitetty 19.2.2006. 701 a) = keskipistemuoto.

( ) ( ) ( ) ( ( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 271 Päivitetty 19.2.2006. 701 a) = keskipistemuoto. Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 7 Päivitetty 9..6 7 a) + y = 7 + y = 7 keskipistemuoto + y 7 = normaalimuoto Vastaus a) + y = ( 7 ) + y 7= b) + y+ 5 = 6 y y + + = b) c) ( ) + y

Lisätiedot

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Riikka Korte (Pekka Alestalon kalvojen pohjalta) Aalto-yliopisto 15.11.2016 Sisältö Alkeisfunktiot 1.1 Funktio I Funktio f : A! B on sääntö, joka liittää

Lisätiedot

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee

Lisätiedot

2 Funktion derivaatta

2 Funktion derivaatta ANALYYSI B, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 2019 2 Funktion derivaatta 2.1 Määritelmiä ja perusominaisuuksia 1. Määritä suoraan derivaatan määritelmää käyttäen f (0), kun (a) + 1, (b) (2 + ) sin(3). 2. Olkoon

Lisätiedot

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2.

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2. MAA4 Koe 5.5.01 Jussi Tyni Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Ota kokeesta poistuessasi tämä paperi mukaasi! Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse

Lisätiedot

13. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: = 1 + y x + ( y ) 2 (y )

13. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: = 1 + y x + ( y ) 2 (y ) MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Differentiaaliyhtälöt, kesä 00 Tehtävät 3-8 / Ratkaisuehdotuksia (RT).6.00 3. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: y = + y + y = + y + ( y ) (y

Lisätiedot

MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio

MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio Olkoon a 1 = a 2 = 5 ja a n+1 = a n + 6a n 1 kun n 2. Todista induktiolla, että a n = 3 n ( 2) n, kun n on positiivinen

Lisätiedot

MS-A0104 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ELEC2) MS-A0106 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ENG2)

MS-A0104 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ELEC2) MS-A0106 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ENG2) MS-A4 Differentiaali- ja integraalilaskenta (ELEC2) MS-A6 Differentiaali- ja integraalilaskenta (ENG2) Harjoitukset 3L, syksy 27 Tehtävä. a) Määritä luvun π likiarvo käyttämällä Newtonin menetelmää yhtälölle

Lisätiedot

MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Analyysi I Harjoitus alkavalle viikolle Ratkaisuehdotuksia (7 sivua) (S.M)

MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Analyysi I Harjoitus alkavalle viikolle Ratkaisuehdotuksia (7 sivua) (S.M) MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Analyysi I Harjoitus 7. 2. 2009 alkavalle viikolle Ratkaisuehdotuksia (7 sivua) (S.M) Luennoilla on nyt menossa vaihe, missä Hurri-Syrjäsen monistetta käyttäen tutustutaan

Lisätiedot

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2.

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2. MAA4. Koe 8.5.0 Jussi Tyni Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Ota kokeesta poistuessasi tämä paperi mukaasi! Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse

Lisätiedot

5 Differentiaalilaskentaa

5 Differentiaalilaskentaa 5 Differentiaalilaskentaa 5.1 Raja-arvo Esimerkki 5.1. Rationaalifunktiota g(x) = x2 + x 2 x 1 ei ole määritelty nimittäjän nollakohdassa eli, kun x = 1. Funktio on kuitenkin määritelty kohdan x = 1 läheisyydessä.

Lisätiedot

Derivaatta. Joukko A C on avoin, jos jokaista z 0 A kohti on olemassa ǫ > 0: jos z z 0 < ǫ, niin z A. f : A C on yksiarvoinen.

Derivaatta. Joukko A C on avoin, jos jokaista z 0 A kohti on olemassa ǫ > 0: jos z z 0 < ǫ, niin z A. f : A C on yksiarvoinen. Derivaatta Joukko A C on avoin, jos jokaista z 0 A kohti on olemassa ǫ > 0: jos z z 0 < ǫ, niin z A. f : A C on yksiarvoinen. Määritelmä Funktio f : A C on derivoituva pisteessä z 0 A jos raja-arvo (riippumatta

Lisätiedot

Aluksi. 2.1. Kahden muuttujan lineaarinen epäyhtälö

Aluksi. 2.1. Kahden muuttujan lineaarinen epäyhtälö Aluksi Matemaattisena käsitteenä lineaarinen optimointi sisältää juuri sen saman asian kuin mikä sen nimestä tulee mieleen. Lineaarisen optimoinnin avulla haetaan ihannearvoa eli optimia, joka on määritelty

Lisätiedot

Todista, että jokaisella parittoman asteen reaalikertoimisella polynomilla on ainakin yksi reaalinen nollakohta. VASTAUS: ...

Todista, että jokaisella parittoman asteen reaalikertoimisella polynomilla on ainakin yksi reaalinen nollakohta. VASTAUS: ... 4 Alkeisfunktiot 41 Potenssifunktio 42 Polynomit ja rationaalifunktiot 102 Todista, että jokaisella parittoman asteen reaalikertoimisella polynomilla on ainakin yksi reaalinen nollakohta 103 Olkoon p()

Lisätiedot

1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot

1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot Helsingin yliopisto, Itä-Suomen yliopisto, Jyväskylän yliopisto, Oulun yliopisto, Tampereen yliopisto ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe (Ratkaisut ja pisteytys) 500 Kustakin tehtävästä saa maksimissaan

Lisätiedot

Sini- ja kosinifunktio

Sini- ja kosinifunktio Sini- ja kosinifunktio Trigonometriset funktio voidaan määritellä muun muassa potenssisarjana tai yksikköympyrän avulla. Yksikköympyrään pohjautuvassa määritelmässä sini- ja kosinifunktion muuttujana pidetään

Lisätiedot

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2017 Harjoitus 8, ratkaisuista

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2017 Harjoitus 8, ratkaisuista Matematiikan johdantokurssi, sks 07 Harjoitus 8, ratkaisuista. Olkoot f ja g reaalifunktioita. Mitä voidaan sanoa hdistetstä funktiosta g f, jos a) f tai g on rajoitettu? b) f tai g on jaksollinen? Ratkaisu.

Lisätiedot

Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x 1 ja x 2 on voimassa ehto:

Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x 1 ja x 2 on voimassa ehto: 4 Reaalifunktiot 4. Funktion monotonisuus Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x ja x on voimassa ehto: "jos x < x, niin f (x

Lisätiedot

1.1. YHDISTETTY FUNKTIO

1.1. YHDISTETTY FUNKTIO 1.1. YHDISTETTY FUNKTIO (g o f) () = g(f()) Funktio g = yhdistetyn funktion g o f ulkofunktio Funktio f = yhdistetyn funktion g o f sisäfunktio E.2. Olkoon f() = 2 + 3 ja g() = 4-5. Muodosta funktio a)

Lisätiedot

Derivaatta Maarit Järvenpää Puhtaaksikirjoitus Markus Harju

Derivaatta Maarit Järvenpää Puhtaaksikirjoitus Markus Harju Derivaatta Maarit Järvenpää Putaaksikirjoitus Markus Harju Sisältö Derivaatan määritelmä 2 Derivoimissääntöjä 7 3 Dierentiaalilaskennan peruslauseita 3 4 Funktion ääriarvot 20 Derivaatan määritelmä Olkoon

Lisätiedot

Oletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on

Oletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on Derivaatta Erilaisia lähestymistapoja: geometrinen (käyrän tangentti sekanttien raja-asentona) fysikaalinen (ajasta riippuvan funktion hetkellinen muutosnopeus) 1 / 19 Derivaatan määritelmä Määritelmä

Lisätiedot

Käy vastaamassa kyselyyn kurssin pedanet-sivulla (TÄRKEÄ ensi vuotta ajatellen) Kurssin suorittaminen ja arviointi: vähintään 50 tehtävää tehtynä

Käy vastaamassa kyselyyn kurssin pedanet-sivulla (TÄRKEÄ ensi vuotta ajatellen) Kurssin suorittaminen ja arviointi: vähintään 50 tehtävää tehtynä Käy vastaamassa kyselyyn kurssin pedanet-sivulla (TÄRKEÄ ensi vuotta ajatellen) Kurssin suorittaminen ja arviointi: vähintään 50 tehtävää tehtynä (vihkon palautus kokeeseen tullessa) Koe Mahdolliset testit

Lisätiedot

Johdatus yliopistomatematiikkaan, 2. viikko (2 op)

Johdatus yliopistomatematiikkaan, 2. viikko (2 op) Johdatus yliopistomatematiikkaan, 2. viikko (2 op) Jukka Kemppainen Mathematics Division Yhtälöt ja epäyhtälöt Jokainen osaa ratkaista ensimmäisen asteen yhtälön ax + by + c = 0. Millä parametrien a, b

Lisätiedot

1.7 Gradientti ja suunnatut derivaatat

1.7 Gradientti ja suunnatut derivaatat 1.7 Gradientti ja suunnatut derivaatat Funktion ensimmäiset osittaisderivaatat voidaan yhdistää yhdeksi vektorifunktioksi seuraavasti: Missä tahansa pisteessä (x, y), jossa funktiolla f(x, y) on ensimmäiset

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta Eksponenttifuntio Palautetaan mieliin, että Neperin luvulle e pätee: e ) n n n ) n n n n n ) n. Tästä määritelmästä seuraa, että eksponenttifunktio e x voidaan määrittää

Lisätiedot

sin(x2 + y 2 ) x 2 + y 2

sin(x2 + y 2 ) x 2 + y 2 HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi I, syksy 2017 Harjoitus 2 Ratkaisuedotukset 2.1. Tutki funktion g : R 2 R, g(0, 0) = 0, jatkuvuutta. g(x, y) = sin(x2 + y 2 ) x 2 + y 2, kun (x,

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 6: Alkeisfunktioista

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 6: Alkeisfunktioista MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 6: Alkeisfunktioista Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 28.9.2016 Pekka Alestalo,

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kertausluento 2. välikokeeseen Toisessa välikokeessa on syytä osata ainakin seuraavat asiat:. Potenssisarjojen suppenemissäde, suppenemisväli ja suppenemisjoukko. 2. Derivaatan

Lisätiedot

Eksponenttifunktio ja Logaritmit, L3b

Eksponenttifunktio ja Logaritmit, L3b ja Logaritmit, L3b eksponentti-funktio Eksponentti-funktio Linkkejä kurssi8, / Etälukio (edu.) kurssi8, logaritmifunktio / Etälukio (edu.) Potenssifunktio y = f (x) = 2 Vakiofunktion y = a kuvaaja on vaakasuora

Lisätiedot

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2.1 Ensimmäisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Muuttujan x ensimmäisen asteen yhtälöksi sanotaan yhtälöä, joka voidaan kirjoittaa muotoon ax + b = 0, missä vakiot a ja b ovat reaalilukuja

Lisätiedot

Differentiaalilaskenta 1.

Differentiaalilaskenta 1. Differentiaalilaskenta. a) Mikä on tangentti? Mikä on sekantti? b) Määrittele funktion monotonisuuteen liittyvät käsitteet: kasvava, aidosti kasvava, vähenevä ja aidosti vähenevä. Anna esimerkit. c) Selitä,

Lisätiedot

Usean muuttujan funktiot

Usean muuttujan funktiot Usean muuttujan funktiot Johdantoa Kertauksen vuoksi seuraavassa kuviossa on joitakin asioita, joita olemme laskeneet hden muuttujan funktioista f() : [a, b] R Kuvion kärä on funktion f() kuvaaja = f()

Lisätiedot

Äärettömät raja-arvot

Äärettömät raja-arvot Äärettömät raja-arvot Määritelmä Funktion f oikeanpuoleinen raja-arvo pisteessä x 0 on + mikäli kaikilla R > 0 löytyy sellainen δ > 0 että f (x) > R aina kun x 0 < x < x 0 + δ. Funktion f oikeanpuoleinen

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 1 Funktion kuperuussuunnat Derivoituva funktio f (x) on pisteessä x aidosti konveksi, jos sen toinen derivaatta on positiivinen f (x) > 0. Vastaavasti f (x) on aidosti

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015 PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä Matematiikka..5 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä merkittyjen (*) tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6.. a) Ratkaise epäyhtälö >.

Lisätiedot

6.8 Erityisfunktioiden sovelluksia

6.8 Erityisfunktioiden sovelluksia 6.8 Erityisfunktioiden sovelluksia Tässä luvussa esitellään muutama esimerkki, joissa käytetään hyväksi eksponentti-, logaritmi- sekä trigonometrisia funktioita. Ensimmäinen esimerkki juontaa juurensa

Lisätiedot

Muista tutkia ihan aluksi määrittelyjoukot, kun törmäät seuraaviin funktioihin:

Muista tutkia ihan aluksi määrittelyjoukot, kun törmäät seuraaviin funktioihin: Määrittelyjoukot Muista tutkia ihan aluksi määrittelyjoukot, kun törmäät seuraaviin funktioihin:, 0 ; log, > 0 ;, 0 (parilliset juuret) ; tan, π + nπ Potenssisäännöt Ole tarkkana kantaluvun kanssa 3 3

Lisätiedot

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3.

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3. Integraalilaskenta. a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. b) Mitä määrätty integraali tietyllä välillä x tarkoittaa? Vihje: * Integraali * Määrätyn integraalin

Lisätiedot

30 + x. 15 + 0,5x = 2,5 + x 0,5x = 12,5 x = 25. 27,5a + 27,5b = 1,00 55 = 55. 2,5a + (30 2,5)b (27,5a + 27,5b) = 45 55.

30 + x. 15 + 0,5x = 2,5 + x 0,5x = 12,5 x = 25. 27,5a + 27,5b = 1,00 55 = 55. 2,5a + (30 2,5)b (27,5a + 27,5b) = 45 55. RATKAISUT, Insinöörimatematiikan koe 1.5.201 1. Kahdessa astiassa on bensiinin ja etanolin seosta. Ensimmäisessä astiassa on 10 litraa seosta, jonka tilavuudesta 5 % on etanolia. Toisessa astiassa on 20

Lisätiedot

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6 MAA Koe, Arto Hekkanen ja Jussi Tyni 5.5.015 Loppukoe LASKE ILMAN LASKINTA. 1. Yhdistä kuvaaja ja sen yhtälö a) 3 b) 1 c) 5 d) Suoran yhtälö 1) y=3x ) 3x+y =0 3) x y 3=0 ) y= 3x 3 5) y= 3x 6) 3x y+=0 y=-3x+

Lisätiedot

Diskreetti derivaatta

Diskreetti derivaatta Diskreetti derivaatta LuK-tutkielma Saara Sadinmaa 43571 Matemaattisten tieteiden koulutusohjelma Oulun yliopisto Syksy 017 Sisältö Johdanto 1 Peruskäsitteitä 3 Ominaisuuksia 4 3 Esimerkkejä 8 4 Potenssifunktioita

Lisätiedot

MIKROTEORIA 1, HARJOITUS 1 BUDJETTISUORA, PREFERENSSIT, HYÖTYFUNKTIO JA VALINTA

MIKROTEORIA 1, HARJOITUS 1 BUDJETTISUORA, PREFERENSSIT, HYÖTYFUNKTIO JA VALINTA MIKROTEORIA, HARJOITUS BUDJETTISUORA, PREFERENSSIT, HYÖTYFUNKTIO JA VALINTA tilasto (600 00) 00 a. Kulmakerroin: = = =, koska 00 sivua lisää ta aiheuttaa (00 400) 00 luopumisen 00 sivusta tilastoa. Toisin

Lisätiedot

Derivaatta. Markus Hähkiöniemi Satu Juhala Petri Juutinen Sari Louhikallio-Fomin Erkki Luoma-aho Terhi Raittila Tommi Tikka

Derivaatta. Markus Hähkiöniemi Satu Juhala Petri Juutinen Sari Louhikallio-Fomin Erkki Luoma-aho Terhi Raittila Tommi Tikka Derivaatta 6 Markus Hähkiöniemi Satu Juhala Petri Juutinen Sari Louhikallio-Fomin Erkki Luoma-aho Terhi Raittila Tommi Tikka Helsingissä Kustannusosakehtiö Otava Kirjan rakenne Aiemmin opiskeltua -tehtävät

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 5: Taylor-polynomi ja sarja

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 5: Taylor-polynomi ja sarja MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 5: Taylor-polynomi ja sarja Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 26.9.2016 Pekka Alestalo,

Lisätiedot

Luonnollisten lukujen laskutoimitusten määrittely Peanon aksioomien pohjalta

Luonnollisten lukujen laskutoimitusten määrittely Peanon aksioomien pohjalta Simo K. Kivelä, 15.4.2003 Luonnollisten lukujen laskutoimitusten määrittely Peanon aksioomien pohjalta Aksioomat Luonnolliset luvut voidaan määritellä Peanon aksioomien avulla. Tarkastelun kohteena on

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla

Lisätiedot

MAA10 HARJOITUSTEN RATKAISUJA

MAA10 HARJOITUSTEN RATKAISUJA MAA MAA HARJOITUSTEN RATKAISUJA. f(), jolloin kaikki integraalifunktiot saadaan parvesta F() C, ja kun F(), niin integroimisvakion määräämiseksi saadaan yhtälö C C 9 9 C. Kysytty integraalifunktio on siten

Lisätiedot

x + 1 πx + 2y = 6 2y = 6 x 1 2 πx y = x 1 4 πx Ikkunan pinta-ala on suorakulmion ja puoliympyrän pinta-alojen summa, eli

x + 1 πx + 2y = 6 2y = 6 x 1 2 πx y = x 1 4 πx Ikkunan pinta-ala on suorakulmion ja puoliympyrän pinta-alojen summa, eli BM0A5810 - Differentiaalilaskenta ja sovellukset Harjoitus, Syksy 015 1. a) Funktio f ) = 1) vaihtaa merkkinsä pisteissä = 1, = 0 ja = 1. Lisäksi se on pariton funktio joten voimme laskea vain pinta-alan

Lisätiedot

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa

Lisätiedot

Testaa taitosi 1. 2. Piirrä yksikköympyrään kaksi erisuurta kulmaa, joiden a) sini on 0,75 b) kosini on

Testaa taitosi 1. 2. Piirrä yksikköympyrään kaksi erisuurta kulmaa, joiden a) sini on 0,75 b) kosini on Testaa taitosi. Laske lausekkeen 60 cos80 sin arvo. Päättele sinin ja kosinin arvot yksikköympyrästä. y x. Piirrä yksikköympyrään kaksi erisuurta kulmaa, joiden a) sini on 0,75 b) kosini on y y. x x. Määritä

Lisätiedot

Johdantoa INTEGRAALILASKENTA, MAA9

Johdantoa INTEGRAALILASKENTA, MAA9 Lyhyehkö johdanto integraalilaskentaan. Johdantoa INTEGRAALILASKENTA, MAA9 Integraalilaskennan lähtökohta 1: Laskutoimitukset + ja ovat keskenään käänteisiä, samoin ja ovat käänteisiä, kunhan ei jaeta

Lisätiedot

Matematiikan perusteet taloustieteilij oille I

Matematiikan perusteet taloustieteilij oille I Matematiikan perusteet taloustieteilijöille I Harjoitukset syksy 2006 1. Laskeskele ja sieventele a) 3 27 b) 27 2 3 c) 27 1 3 d) x 2 4 (x 8 3 ) 3 y 8 e) (x 3) 2 f) (x 3)(x +3) g) 3 3 (2x i + 1) kun, x

Lisätiedot

1. Viikko. K. Tuominen MApu II 1/17 17

1. Viikko. K. Tuominen MApu II 1/17 17 1. Viikko Keskeiset asiat ja tavoitteet: 1. Kompleksiluvut, kompleksitaso, polaariesitys, 2. Kompleksilukujen peruslaskutoimitukset, 3. Eulerin ja De Moivren kaavat, 4. Potenssi ja juuret, kompleksinen

Lisätiedot

Solmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä:

Solmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Frégier n lause Simo K. Kivelä Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Suorakulmaisen kolmion kaikki kärjet sijaitsevat paraabelilla y = x 2 ; suoran kulman

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: 1 Funktio 1.1 Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet: 1 1. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä.

Lisätiedot

plot(f(x), x=-5..5, y=-10..10)

plot(f(x), x=-5..5, y=-10..10) [] Jokaisen suoritettavan rivin loppuun ; [] Desimaalierotin Maplessa on piste. [] Kommentteja koodin sekaan voi laittaa # -merkin avulla. Esim. #kommentti tähän [] Edelliseen tulokseen voi viitata merkillä

Lisätiedot

Funktion derivoituvuus pisteessä

Funktion derivoituvuus pisteessä Esimerkki A Esimerkki A Esimerkki B Esimerkki B Esimerkki C Esimerkki C Esimerkki 4.0 Ratkaisu (/) Ratkaisu (/) Mielikuva: Funktio f on derivoituva x = a, jos sen kuvaaja (xy-tasossa) pisteen (a, f(a))

Lisätiedot

1.7. Trigonometristen funktioiden derivaatat

1.7. Trigonometristen funktioiden derivaatat Yleensä jodetaan aina ensin funktion y sin derivaatta. Erotusosamäärän sin( + ) sin käsittely vaatii ainakin sinin yteenlaskukaavan allintaa: sin( + ) sin sin + sin sin sin 1 sin, missä viimeksi saadussa

Lisätiedot

2.2 Jatkuva funktio Funktio f(x) jatkuva pisteessä x 0, jos f on määritelty. Esim. sin x. = lim. lim. (1 x 2 /6 + O(x 4 )) = 1.

2.2 Jatkuva funktio Funktio f(x) jatkuva pisteessä x 0, jos f on määritelty. Esim. sin x. = lim. lim. (1 x 2 /6 + O(x 4 )) = 1. 2 Raja-arvo ja erivaatta 2 Raja-arvon määritelmä Funktiolla f() on raja-arvo f 0 pisteessä 0 jos f() lähestyy arvoa f 0 kun lähestyy arvoa 0 Merkitään f() f 0 kun 0 (2) tai Raja-arvo matemaattisemmin:

Lisätiedot

MATEMATIIKAN JAOS Kompleksianalyysi

MATEMATIIKAN JAOS Kompleksianalyysi MATEMATIIKAN JAOS Kompleksianalyysi Harjoitustehtäviä, syksy 00. Määrää kompleksiluvun a) = 3 j + 3j, b) = j, + j c) = ( 3 3 3 j)( j) itseisarvo ja argumentti.. Määrää sellaiset reaaliluvut x ja y, että

Lisätiedot