Derivointikaavoja, interpolointi, jousto, rajatuotto, L4b

Transkriptio

1 , interpolointi, jousto, rajatuotto, L4b

2 Funktioita Potenssifunktio: x (axn ) = nax n 1 Eksponentin n ei tarvitse olla kokonaisluku, vaan se voi olla murtoluku tai esimaaliluku! Neliöjuuri: ax = x x ( a x) = x ( ax 1/2 ) =... Palutui eeltävään kaavaan (EI OMAA KAAVAA)

3 Funktioita Eksponenttifunktio: Logaritmifunktio: x ex = e x, x eax = a e ax ( x ax = ln(a) e x ) x ln(x) = 1 x, x ln(ax) = 1 x ( x log a(x) = 1 ) x lna

4 Yleisiä Tulon erivaatta: Eli lyhyesti x (f (c) g(x)) = f (x) g(x) + f (x) g (x) (f g) = f g + f g Osamäärän erivaatta: ( ) f (x) = f (x) g(x) f (x) g (x) x g(x) (g(x)) 2 Eli lyhyesti ( ) f = f g f g g g 2

5 Yleisiä Yhistetyn funktion erivaatta: x (g(f (x))) = g (f (x)) f (x) Esimerkki 1: Olkoon e 5x = g(f (x)), missä Silloin f (x) = 5x f (x) = 5 g(z) = e z g (z) = e z x (e5x ) = g (f (x)) f (x) = e f (x) f (x) = e 5x 5

6 Yleisiä x (g(f (x))) = g (f (x)) f (x) Esimerkki 2: Olkoon (5 + x 2 ) 3 = g(f (x)), missä Silloin f (x) = 5 + x 2 f (x) = 2x g(z) = z 3 g (z) = 3z 2 x ((5 + x2 ) 3 ) = g (f (x)) f (x) = 3(f (x)) 2 f (x) = 3(5 + x 2 ) 2 2x = 6x(5 + x 2 ) 2

7 Ketjusääntö y = g(z) = g(f (x)) x f z g y y (g(f (x))) = x x = y z z x = g (z) f (x) = g (f (x))f (x)

8 Olkoon y = f (x) funktio, jonka kuvaaja on melkein suora. Tieämme funktion f arvot kahessa kohassa: y 1 = f (x 1 ) ja y 2 = f (x 2 ). Haluamme arvioia (estimoia) funktion arvoa kohassa x 0, joka on kohtien x 1 ja x 2 välissä. y y 2 y 1 x 1 x 0 x 2 x

9 Piirretään suora pisteien (x 1,y 1 ) ja (x 2,y 2 ) kautta ja luetaan arvio suoralta y y 2 ŷ 0 y 1 x 1 x 0 x 2 x ŷ 0 y 1 x 0 x 1 = y 2 y 1 x 2 x 1 f (x 0 ) ŷ 0 = y 1 + y 2 y 1 x 2 x 1 (x 0 x 1 )

10 f (x 0 ) ŷ 0 = y 1 + y 2 y 1 x 2 x 1 (x 0 x 1 ) Jos x 1 < x 0 < x 2, niin kaavan soveltamista sanotaan interpoloinniksi. Jos x 0 ei ole kohtien x 1 ja x 2 välissä (eli x 0 < x 1 < x 2 tai x 1 < x 2 < x 0 ), niin kaavan soveltamista sanotaan ekstrapoloinniksi. Kaava on sama. Ekstrapoloinnissa syntyvä virhe saattaa olla suuri!

11 Linearinen kysyntäfunktio Se hinta p, jolla tuotteen koko tuotanto saaaan myytyä, riippuu tuotteen tarjotusta määrästä q. Kysyntäfunktion p = f (q) lauseketta ei tunneta, eikä se ole pysyvänä ees olemassa. Jos tieämme vastaavat arvot kahessa nykyhetkeen verrattavassa tilanteessa (q 1,p 1 ) ja (q 2,p 2 ), niin voimme estimoia kysyntäfunktiota seuraavasti. Olkoon tunnetut arvot (q 1,p 1 ) = (200kpl/kk,12.50e) ja (q 2,p 2 ) = (250kpl/kk,10.00e). Jos q 1 < q < q 2, niin p = f (q) p 1 + p 2 p 1 (q q 1 ) q 2 q = (q 200) = q

12 Jos jonkin suureen (esim hinta p) arvon muuttuminen saa aikaan sen, että myös toisen suureen (esim kysyntä q) arvo muuttuu, niin kuvaamme tämän vaikutuksen voimakkuutta joustolla seuraavsti. y:n jousto x:n suhteen on y:n prosenttimuutos jaettuna x:n prosenttimuutoksella. jousto = ( y/y) 100% ( x/x) 100% = y x x y Kysynnän hintajousto (price elasticity of eman) on siis jousto = q: n % muutos p: n % muutos = q p p q

13 Esimerkki. Tuotteen kysynnän hintajousto on 1.5. Hinta on nyt p = 25.00e/kpl ja kysyntä on nyt q = 2200kpl/kk. Miten paljon kysyntä muuttuu, jos hinta nostetaan euroon kappaleelta. p = 25.00e/kpl p = 28.00e 25.00e = +3.00euro q = 2200kpl/kk q = x jousto = 1.5 q p p q x 3e 25.00e 2200kpl/kk x = = jousto = e 2200kpl/kk = 396kpl/kk 25.00e

14 Esimerkki 2. Jos y = f (x) = x = x 1/2, niin mikä on y:n jousto x:n suhteen, kun muutokset ovat pieniä. jousto = y x x y = y x x y = f (x) x y = 1 2 x1 1/2 = x x 1/2 x 2 x 1/2 x 1/2 = 1 2

15 Kun yritys valmistaa tuotetta jaksossa määrän q (kpl/jakso), niin kassaan kertyvä tuotto on R(q) = p q = p(q) q. Esimerkki. Jos kysyntäfunktio on p = q, niin tuotto funktio on R(q) = p q = (20 0.1q) q = 20q 0.1q 2 MR(q) kertoo miten paljon tuotto kasvaa, kun q:ta kasvatetaan yhellä ( q = 1) MR(q) = R(q + 1) R(q) = R(q + 1) R(q) 1 q R(q) = R (q)

16 Esimerkki 2. Jos kysyntäfunktio on p = q, niin tuotto funktio on R(q) = p q = (20 0.1q) q = 20q 0.1q 2 Ja rajatuotto MR(q) on HUOMAA: MR(q) = q (20q 0.1q2 ) = q p = q MR = q MR < p

17 a voiaan arvioia hinnan ja kysynnän hintajousto perusteella seuraavasti MR = (q p(q)) q = ( q q) p(q) + q ( q p(q)) = p + q p ( q = p 1 + p q q ) p ( ) 1 = p 1 + kh-jousto Normaali tuotteella kysynnän hintajousto on negatiivinen ja MR > 0 kh-jousto < 1