3 EKSPONENTTI- JA POTENSSIYHTÄLÖ

Transkriptio

1 3 EKSPONENTTI- JA POTENSSIYHTÄLÖ POHDITTAVAA 1. Säännön mukaan äänenvoimakkuus kaksinkertaistuu, kun äänilähteiden määrä 10-kertaistuu. Saksofonisteja tarvitaan 1 10 = 10. Vastaus: 10 saksofonistia 2. Nelinkertainen äänenvoimakkuus voidaan laskea 4 = 2 2, joten kaiutinten määrä tulee = 100-kertaistaa. Kaiuttimia tarvitaan = 100. Vastaus: 100 kaiutinta

2 3.1 Eksponenttiyhtälö ja logaritmi ALOITA PERUSTEISTA 301. A Potenssin potenssin laskusäännön mukaan 5 vastaa vaihtoehto II , eli sitä B Samankantaisten potenssien tulon laskusäännön mukaan = = 3 9, eli sitä vastaa vaihtoehto I. C Tulon potenssin laskusäännön mukaan (3 4) 5 = , eli sitä vastaa vaihtoehto IV. D Osamäärän potenssin laskusäännön mukaan vaihtoehto V , eli sitä vastaa E Samankantaisten potenssien osamäärän laskusäännön mukaan , eli sitä vastaa vaihtoehto III. 4 3 Vastaus: A: II, B: I, C: IV, D: V ja E: III 302. a) log 2 9 = 3, ,2 b) log 8 0,5 = 0, ,3 c) 20 lg 0, ,3 9 d) ln = 12, ,5

3 a) b) c) d) ( 3) a) Koska yhtälön molempien puolien kantaluvut ovat yhtä suuret, voidaan merkitä eksponentit yhtä suuriksi. 6 Vastaus: = 6 b) Koska yhtälön molempien puolien kantaluvut ovat yhtä suuret, voidaan merkitä eksponentit yhtä suuriksi :( 5) 3 Vastaus: = 3 c) 4 16 Kirjoitetaan yhtälön oikea puoli luvun 4 potenssina, jonka jälkeen voidaan merkitä eksponentit yhtä suuriksi Vastaus: = 2

4 d) 5 1 Kirjoitetaan yhtälön oikea puoli luvun 5 potenssina, jonka jälkeen voidaan merkitä eksponentit yhtä suuriksi Vastaus: = 0 e) Kirjoitetaan yhtälön oikea puoli luvun 2 potenssina, jonka jälkeen voidaan merkitä eksponentit yhtä suuriksi Vastaus: =3

5 305. a) Kirjoitetaan yhtälön oikea puoli luvun 6 potenssina, jonka jälkeen voidaan merkitä eksponentit yhtä suuriksi Vastaus: = 6 b) Kirjoitetaan yhtälön oikea puoli luvun 9 potenssina, jonka jälkeen voidaan merkitä eksponentit yhtä suuriksi Vastaus: = 5 c) Kirjoitetaan yhtälön oikea puoli luvun 11 potenssina, jonka jälkeen voidaan merkitä eksponentit yhtä suuriksi Vastaus: = 4

6 3 d) Kirjoitetaan yhtälön vasen puoli luvun 8 potenssina, jonka jälkeen voidaan merkitä eksponentit yhtä suuriksi Vastaus: = 12 e) Kirjoitetaan yhtälön oikeapuoli luvun 13 potenssina, jonka jälkeen voidaan merkitä eksponentit yhtä suuriksi Vastaus: = A Yhtälön 6 = 38 ratkaisu on = log 6 38 eli vaihtoehto II. B Yhtälön 38 = 6 ratkaisu on = log 38 6 eli vaihtoehto I. C Yhtälön e = 38 ratkaisu on = log e 38 = ln 38 eli vaihtoehto IV. D Yhtälön 10 = 38 ratkaisu on = log = lg 38 eli vaihtoehto III. Vastaus: A: II, B: I, C: IV ja D: III

7 307. a) 13 = 26 = log = 1, ,3 Vastaus: 1,3 b) 4 = = log = 10, ,6 Vastaus: 10,6 c) 10 = 154 = lg 154 = 2, ,2 Vastaus: 2,2 d) 9 = 81 Termi 9 ei annan negatiivista tulosta millään eksponentilla, joten yhtälöllä ei ole ratkaisua. Vastaus: ei ratkaisua

8 308. Farkut maksavat nyt 90. Hinta kasvaa vuosittain 1,4 %, joten hinta muuttuu vuosittain 100 % + 1,4 % = 101,4 % = 1,014-kertaiseksi. a) Aika (vuotta) Hinta ( ) ,014 = 91, , , , , , , ,014 b) Muodostetaan a-kohdan avulla yhtälö ja ratkaistaan siitä vuosien määrä. 90 1, : , log1, , kokonaista vuotta ei aivan riitä. Farkut maksavat 110 noin 15 vuoden kuluttua. Vastaus: 15 vuoden kuluttua

9 VAHVISTA OSAAMISTA 309. a) 7 4 = 1 7 = = 5 = log 7 5 = 0, ,83 Vastaus: = log 7 5 0,83 b) = 1 10 = = 3 = lg ( 3) Logaritmissa logaritmin sisällä olevan luvun on oltava positiivinen. Koska 3 < 0, yhtälöllä ei ole ratkaisua. Vastaus: ei ratkaisua c) e 4 = 1 :4 e = 0,25 = ln 0,25 = 1,386 1,39 Vastaus: = ln 0,25 1,39

10 310. a) Kirjoitetaan yhtälön molemmat puolet luvun 6 potensseina, jonka jälkeen voidaan merkitä eksponentit yhtä suuriksi Vastaus: = 2 b) Kirjoitetaan yhtälön molemmat puolet luvun 2 potensseina, jonka jälkeen voidaan merkitä eksponentit yhtä suuriksi :2 3 Vastaus: = 3

11 c) Kirjoitetaan yhtälön oikea puoli luvun 10 potenssina, jonka jälkeen voidaan merkitä eksponentit yhtä suuriksi Vastaus: = 5 d) Kirjoitetaan yhtälön oikea puoli luvun 3 potenssina, jonka jälkeen voidaan merkitä eksponentit yhtä suuriksi Vastaus: = 6

12 311. a) 5 2 0, , , 01 Kirjoitetaan yhtälön oikea puoli luvun 10 potenssina, jonka jälkeen voidaan merkitä eksponentit yhtä suuriksi Vastaus: = 2 b) Kirjoitetaan yhtälön oikea puoli luvun 2 potenssina, jonka jälkeen voidaan merkitä eksponentit yhtä suuriksi Vastaus: = 4

13 c) Kirjoitetaan yhtälön molemmat puolet luvun 2 potensseina, jonka jälkeen voidaan merkitä eksponentit yhtä suuriksi Vastaus: = 4 d) Kirjoitetaan yhtälön molemmat puolet luvun 3 potensseina, jonka jälkeen voidaan merkitä eksponentit yhtä suuriksi :( 2) 2 Vastaus: = 2

14 312. a) log , ,6 Vastaus: 2,6 b) 2 3 0,17 2 log 0, , : 2 0, ,8 Vastaus: 0,8 c) log , , ,8 5 Vastaus: 3,8

15 d) e 5 6 8,2 5 6 ln8, , , :5 0, ,8 Vastaus: 0,8

16 313. a) Luku = log 8 64 on yhtälön 8 = 64 ratkaisu. Ratkaistaan yhtälö. 8 = 64 8 = 8 2 = 2 Vastaus: 8 = 64 ja log 8 64 = 2 b) Luku = lg 1000 on yhtälön 10 = 1000 ratkaisu. Ratkaistaan yhtälö. 10 = = 10 3 = 3 Vastaus: 10 = 1000 ja log = 3 c) Luku = log yhtälön 5 = 625 ratkaisu. Ratkaistaan yhtälö. 5 = = 5 4 = 4 Vastaus: 5 = 625 ja log = 4 d) Luku log 1 2 yhtälön = ratkaisu. Ratkaistaan yhtälö. 16 Vastaus: ja log

17 314. a) Kolmekantainen logaritmi luvusta 81 merkitään log Luku = log 3 81 on yhtälön 3 = 81 ratkaisu. Ratkaistaan yhtälö. 3 = 81 3 = 3 4 = 4 Vastaus: log 3 81 = 4 b) Kymmenkantainen logaritmi luvusta 0,001 merkitään log 10 0,001 = lg 0,001. Luku = log 10 0,001 on yhtälön 10 = 0,001 ratkaisu. Ratkaistaan yhtälö. 10 0, Vastaus: lg 0,001 = 3 c) Luonnollinen logaritmi luvusta e 1000 merkitään ln e Luku = ln e 1000 on yhtälön e = e 1000 ratkaisu. Ratkaistaan yhtälö. e = e 1000 = 1000 Vastaus: ln e 1000 = 1000

18 315. a) Yrityksen liikevaihto kasvaa joka vuosi 12 %, joten vuosittain liikevaihto 100 % + 12 % = 112 % = 1,12-kertaistuu. Vuoden kuluttua liikevaihto on kerran 1,12-kertaistunut, joten liikevaihto on 1,5 1,12 = 1,68 (miljoonaa). Kahden vuoden kuluttua liikevaihto on kahdesti 1,12-kertaistunut, joten liikevaihto on 1,5 1,12 2 = 1,8816 1,88 (miljoonaa). Vastaus: 1,68 miljoonaa, 1,88 miljoonaa b) Taulukoidaan liikevaihtoja vuosittain. Aika (vuotta) Liikevaihto 1,5 1,12 1,5 1,12 2 1,5 1,12 3 1,5 1,12 (milj. ) Liikevaihto vuoden päästä on 1,5 1,12. Muodostetaan lausekkeen avulla yhtälö kaksinkertaiselle liikevaihdolle. 1,5 1,12 = 3,0 : 1,5 1,12 = 2 = log 1,12 2 = 6,116 6 vuotta ei aivan riitä liikevaihdon kaksinkertaistamiseen, joten aikaa kuluu 7 vuotta liikevaihdon kaksinkertaistamiseen. Vastaus: 1,5 1,12 = 3, 7 vuoden kuluttua

19 316. a) Ojittamattomia soita vuonna 2016 oli noin ha. Ojittamattomien soiden pinta-ala pienenee vuodessa 2,3 %, joten seuraavana vuonna ojittamattomien soiden pinta-ala on 100 % 2,3 % = 97,7 % nykyisestä pinta-alasta. Ojittamattomien soiden pinta-ala siis 0,977-kertaistuu. Vuosia vuodesta 2000 Pinta-ala , ,977 0,977 = , , ,977 Sijoitetaan lausekkeeseen muuttujan paikalle = , = , Ojittamattomia soita oli vuonna 2000 noin ha. Vastaus: ha b) Käytetään a-kohdan lauseketta ja muodostetaan yhtälö , : ,977 0,5 log0,977 0,5 29, = 2046 Mallin mukaan ojittamattomien soiden pinta-ala on puolittunut vuonna Vastaus: vuonna 2046

20 317. a) Luku = log 6 36 on yhtälön 6 = 36 ratkaisu. Ratkaistaan yhtälö. 6 = 36 6 = 6 2 = 2 Siis luku log 6 36 = 2. Luku = log 2 8 on yhtälön 2 = 8 ratkaisu. Ratkaistaan yhtälö. 2 = 8 2 = 2 3 = 3 Siis luku log 2 8 = 3. Koska 2 < 3, luku log 2 8 on suurempi. Vastaus: log 2 8 b) Luku log 2 42 > log 2 32 ja luku = log 2 32 on yhtälön 2 = 32 ratkaisu. Ratkaistaan yhtälö 2 = 32 2 = 2 5 = 5 Luku log 3 50 < log 3 81 ja luku = log 3 81 on yhtälön 3 = 81 ratkaisu. Ratkaistaan yhtälö. 3 = 81 3 = 3 4 = 4 Luku log 2 42 on suurempi kuin 5 ja luku log 3 50 on pienempi kuin 4, joten luku log 2 42 on suurempi. Vastaus: log 2 42

21 318. a) Sijoitetaan funktion lausekkeeseen = 0 ja = 1 ja lasketaan suhteellinen muutos funktion arvojen f(0) ja f(1) avulla. f(0) = 0,15 f(1) = 0,15e 0,18 Lasketaan suhteellinen muutos 0,18 0,15e 1, , 2 0,15 Bambun pituus siis kasvaa noin 1,2-kertaiseksi ensimmäisen vuorokauden aikana, joten kasvua on noin 20 %. Vastaus: 20 % b) Taimi oli istutettaessa 15 cm = 0,15 m pitkä. Muodostetaan yhtälö, jossa funktion arvo on 0,3. Ratkaistaan yhtälöstä. 0,18 0,15e 0,3 : 0,15 e 0,18 2 0,18 ln 2 0,18 0, : 0,18 3, Bambun pituus kaksinkertaistuu noin 4 vuorokauden välein. Vastaus: 4 vuorokautta

22 c) Muodostetaan funktion lausekkeen avulla yhtälö. 0,18 0,15e 5,5 : 0,15 e 0,18 36, ,18 ln36, ,18 3, : 0,18 20, Bambu kaadetaan noin 20 vuorokauden päästä istuttamisesta Vastaus: 20 vuorokauden kuluttua 319. Yhtälön a u = a v ratkaisu on u = v, jos kantaluku a > 0 ja a 1. a) Jos eksponenttiyhtälön molemmilla puolilla on sama kantaluku, niin yhtälön ratkaisu määräytyy eksponenttien perusteella. Tällöin eksponenttiyhtälön ratkaisu on = 5 esimerkiksi, kun yhtälö on 2 = 2 5. Vastaus: esim. 2 = 2 5 b) Eksponenttiyhtälöllä on ratkaisu, kun yhtälön molemmat puolet ovat samanmerkkiset. Täten esimerkiksi yhtälöllä 2 = 2 ei ole ratkaisua, koska termi 2 on positiivinen millä tahansa luvulla. Vastaus: esim. 2 = 2 c) Eksponenttiyhtälöllä on äärettömän monta ratkaisua, kun yhtälön molempien puolien kantaluvut ovat yhtä suuret ja eksponentit ovat samat. Esimerkiksi yhtälöllä 2 = 2 on äärettömän monta ratkaisua. Vastaus: 2 = 2

23 320. Muodostetaan lauseke, joka kuvaa marjasadon kokoa, kun lausekkeen muuttujana on aika vuosina. Merkitään sadon suuruutta kirjaimella a. Sato kasvaa jokaisen vuoden aikana 8,7 %, joten jokaisen vuoden jälkeen sato on 100 % + 8,7 % = 108,7 % = 1,087-kertainen. Vuoden päästä sadon koko on a 1,087. Vastaavasti kahden vuoden päästä sadon koko on a 1,087 2 ja vuoden päästä a 1,087 Kun sato on 2,5-kertaistunut, sen koko on 2,5a ja toisaalta a 1,087. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan ajan hetki, jona sato on 2,5a. a 1, 087 2,5a 1, 087 2,5 log1,087 2,5 10, Jos kasvu jatkuisi samanlaisena, sato olisi nykyiseen verrattuna 2,5- kertainen 11 vuoden kuluttua. Vastaus: 11 vuoden kuluttua 321. Muodostetaan lauseke, joka kuvaa aktiivisuuden heikkenemistä, kun lausekkeen muuttujana on aika vuorokausina. Merkitään alkuperäistä aktiivisuutta kirjaimella a. Aktiivisuus pienenee jokaisen vuorokauden aikana 2 %, joten jokaisen vuorokauden jälkeen aktiivisuudesta on jäljellä 100 % 2 % = 98 %. Vuorokauden päästä aktiivisuus on a 0,98. Lasketaan aktiivisuuksia taulukkoon. Päiviä Aktiivisuus 0 a 1 a 0,98 2 a 0,98 0,98 = a 0, a 0,98 3 a 0,98

24 Kun aktiivisuus on puolittunut, sen suuruus on 0,5a ja toisaalta a 0,98. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan siitä aktiivisuuden puoliintumisaika. a 0,98 0,5 a : a 0,98 0,5 log0,98 0,5 34, Yhdisteen aktiivisuus on puolet alkuperäisestä noin 34 vuorokauden kuluttua. Vastaus: 34 vuorokauden kuluttua 322. Kymmenen desibelin kasvu äänenvoimakkuudessa vastaa havaitsijan kuuleman äänenvoimakkuuden kaksinkertaistumista. Etsitään appletista kohta, jossa äänenvoimakkuus saavuttaa tason 90 db. Appletista nähdään, että 10 soittajaa soittaa voimakkuudella 90 db, jolloin tarvitaan 10 1 = 9 soittajaa lisää. Vastaus: 9 trumpetistia

25 SYVENNÄ YMMÄRRYSTÄ 323. a) Kirjoitetaan yhtälön molemmat puolet saman kantaluvun potensseina, jonka jälkeen voidaan merkitä eksponentit yhtä suuriksi Vastaus: 2 b) Kirjoitetaan yhtälön molemmat puolet saman kantaluvun potensseina, jonka jälkeen voidaan merkitä eksponentit yhtä suuriksi Vastaus: = a) Koska log 10 0,1 = 1, luvun logaritmi voi olla negatiivinen. Vastaus: Tosi b) b-kantainen logaritmi luvusta a, log b a, on yhtälön b = a ratkaisu. Jotta negatiivisella luvulla voisi olla logaritmi, tulisi yhtälössä b = a olla a < 0. Mutta koska logaritmin määritelmän mukaan b > 0 ja kantaluvun kaikki potenssit ovat positiivisia, a = b > 0, ei voi myöskään luku a olla negatiivinen. Vastaus: Epätosi

26 325. Säännön 72 mukaan talletus kaksinkertaistuu 72 14,4 5 vuodessa. Lasketaan logaritmin avulla, kuinka monessa vuodessa talletus kaksinkertaistuu. Merkitään talletuksen määrää alussa kirjaimella a. Vuoden päästä talletuksen suuruus on a 1,05 ja vastaavasti kahden vuoden päästä a 1,05 2. Samoin vuoden kuluttua talletuksen suuruus on a 1,05. Muodostetaan yhtälö ajalle, jossa talletus a kaksinkertaistuu, ja ratkaistaan siitä vuosien määrä. a 1,05 = 2a :a 1,05 = 2 = log 1,05 2 = 14, Tulokset poikkeavat toisistaan noin 14,4 14,206 0,2 vuotta = 2,4 kuukautta. Vastaus: sääntö 72: 14,4 vuotta, logaritmi: 14,2 vuotta, 2,4 kuukaudella a) Sijoitetaan annettu konsentraatio yhtälöön konsentraation c paikalle ja lasketaan ph-arvo. ph lgc 10 ph lg(3,16 10 ) ph 9, ph 9,5 Vastaus: ph = 9,5

27 b) Ratkaistaan yhtälöstä konsentraatio c, kun tunnetaan ph-arvo 2,5. ph lgc 2,5 lgc lg c 2,5 c 10 2,5 c 0, c 0,0032 Vastaus: c = 0,0032 mol/l 327. a) Luku log 2 y on eksponentti, johon luku 2 on korotettava, jotta tulos olisi luku y. Koska log 2 y = 6, niin y = 2 6 = 64. Vastaus: y = 64 b) Luku log 3 (4y + 1) on eksponentti, johon luku 3 on korotettava, jotta tulos olisi luku 4y + 1. Koska log 3 (4y + 1) = 4, eksponentti on 4. Kirjoitetaan yhtälö luvulle 4y + 1, ja ratkaistaan siitä tuntematon y. 4y + 1 = 3 4 4y = 80 : 4 y = 20 Vastaus: y = 20

28 c) Luku lg ( ) on luku, johon luku 10 on korotettava, jotta tulos olisi luku Koska lg ( ) = 0, niin eksponentti on 0. Kirjoitetaan yhtälö luvulle ja ratkaistaan siitä = = = = 0 Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla (6) ( tai Vastaus: 6 tai = 1 5 ( d) Koska log 27 = 3, niin luku on korotettava potenssiin 3, jotta tulos olisi 27. Siis 3 = 27 Koska 3 3 = 27, niin = 3. Vastaus: = 3

29 328. a) Sijoitetaan kaavaan järistyksen voimakkuus M = 9,0 ja ratkaistaan yhtälöstä Sendainin järistyksessä vapautunut energia E. 1,44 9,0 = log 10 E 5,24 log 10 E = 1,44 9,0 + 5,24 log 10 E = 18,2 E = 10 18,2 E = 1, E 1, Vastaus: 1, b) Koben järistyksessä vapautunut energia saadaan ratkaisemalla E yhtälöstä 1,44 6,8 = log 10 E 5,24. log 10 E = 1,44 6,8 + 5,24 log 10 E = 15,032 E = 10 15,032 E = 1, Lasketaan Sendainin ja Koben järistyksissä vapautuneiden energioiden suhde. 1, , , Sendainin järistyksessä vapautunut energia oli noin 1500-kertainen Koben järistyksessä vapautuneeseen energiaan verrattuna. Vastaus: 1500-kertainen

30 329. a) Piirretään funktioden f() = 2 ja g() = 2 kuvaajat ja määritetään niiden leikkauspisteet. Yhtälön ratkaisu on 0,8, 2,0 tai 4,0. Vastaus: 0,8, 2,0 tai 4,0 b) Piirretään funktioden f() = n ja g() = n kuvaajat eri vakion n arvoilla. n = 1: Kun n = 1, yhtälöllä on yksi ratkaisu.

31 n = 2: a-kohdan perusteella yhtälöllä on kolme ratkaisua. n = 3: Kun n = 3, yhtälöllä kaksi ratkaisua. n = 4: Kun n = 4, yhtälöllä on kolme ratkaisua.

32 n = 5: Kun n = 5, yhtälöllä on kaksi ratkaisua. Kokeilujen perusteella, kun n = 1, yhtälöllä on yksi ratkaisu. Kun n > 1 ja parillinen, yhtälöllä on kolme ratkaisua. Kun n > 1 ja pariton, yhtälöllä on kaksi ratkaisua. Vastaus: Kun n = 1, yhtälöllä on yksi ratkaisu. Kun n > 1, parillisilla arvoilla kolme ratkaisua ja parittomilla arvoilla kaksi ratkaisua.

33 3.2 Potenssiyhtälö ja yleinen juuri ALOITA PERUSTEISTA 330. a) , ,62 b) , ,74 c) , , a) Luvun 36 neliöjuuri on 36 6, sillä 6 2 = 36 ja 6 0. Vastaus: 36 6 b) Luvun 8 kuutiojuuri on 3 8 2, sillä 2 3 = 8. Vastaus: c) Luvun 81 neljäs juuri on , sillä 3 4 = 81 ja 3 > 0. Vastaus:

34 332. Ratkaistaan yhtälöt ja yhdistetään parit. A: 2 = 4 = 4 = ±2 B: 3 = 4 = 3 4 C: 8 = 1 = 8 1 = ±1 D: 5 = 1 = 5 1 = 1 E: 6 = 2 Yhtälöllä ei ole ratkaisuja, koska minkään luvun parillinen potenssi ei ole negatiivinen luku. F: 5 = 32 = 5 32 = 2 Vastaus: A: III, B: V, C: IV, D: II, E: VI ja F: I

35 333. a) 2 = 49 = 49 = ±7 Vastaus: = ±7 b) 3 = 27 = 3 27 = 3 Vastaus: = 3 c) 4 = = = ± 10 Vastaus: = ± 10 d) 7 6 = 0 : 7 6 = 0 = 6 0 = 0 Vastaus: = 0

36 334. a) Luku 5 on juurrettava ja luvun 5 neljäs juuri merkitään 4 5. Väite on väärin. Vastaus: väärin, 4 5 b) Luvun 25 neliöjuuri on positiivinen luku 5. Väite on väärin. Vastaus: väärin, 5 c) Ratkaistaan yhtälö 4 = 7. 4 = 7 = 4 7 Väite on väärin. Vastaus: väärin, = 4 7 d) Yhtälöllä 10 = 1 ei ole ratkaisua, koska minkään luvun parillinen potenssi ei ole negatiivinen luku. Vastaus: oikein

37 335. a) Vastaus: = 5 b) : ( 2) Vastaus: = ±3 c) Yhtälöllä ei ole ratkaisua, koska minkään luvun parillinen potenssi ei ole negatiivinen luku. Vastaus: ei ratkaisua

38 336. Merkitään kuution särmän pituutta kirjaimella. Kuution tilavuus on pituus leveys korkeus, eli = 3. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan siitä särmän pituus. 3 5,0 3 5,0 1, ,709 dm =17,09 cm 17 cm Ruukun särmän pituus on noin 17 cm. Vastaus: 17 cm

39 337. a) Jokaisen vuoden kuluttua sijoitus on kasvanut q-kertaiseksi, joten kerrotaan aina edellistä arvoa q:lla. Vuosi Sijoituksen q 750 q q 750 q 2 q 750 q arvo ( ) = 750 q 2 = 750 q 3 b) Koska aikaa on kulunut 7 vuotta, on = 7. Muodostetaan funktion avulla yhtälö ja ratkaistaan siitä muutoskerroin q q 842, ,37 q q 1, q 7 1, q 1, :750 Vastaus: 750 q 7 = 842,37, q 1,0167 c) Rahastoon talletettu rahasumma 1,0167 -kertaistuu joka vuosi, joten rahasumma on 101,67 % edellisen vuoden arvosta, joten vuoden aikana kasvua on noin 101,67... % 100 % = 1,67 % 1,7 %. Rahaston keskimääräinen vuosituotto on noin 1,7 %. Vastaus: 1,7 %

40 VAHVISTA OSAAMISTA 338. a) Muokataan yhtälöä = = 343 Yhtälöllä on yksi ratkaisu, sillä tuntemattoman luvun potenssi on pariton. Vastaus: yksi ratkaisu b) Muokataan yhtälöä. 2 6 = 1458 : 2 6 = 729 Yhtälöllä ei ole ratkaisua, koska minkään luvun parillinen potenssi ei ole negatiivinen luku. Vastaus: ei ratkaisua c) Sievennetään yhtälöä. 6 5 = 69 6 = 64 6 = 64 : ( 1) Yhtälöllä on kaksi ratkaisua, sillä tuntemattoman luvun potenssi on parillinen ja yhtälön oikealla puolella on positiivinen luku. Vastaus: kaksi ratkaisua

41 339. a) Luku 5 32 on potenssiyhtälön 5 = 32 ratkaisu. Juuren 5 32 arvo on 2, sillä 2 5 = 16. Vastaus: 5 = 32, b) Luku 3 64 on potenssiyhtälön 3 = 64 ratkaisu. Juuren 3 64 arvo on 4, sillä ( 4) 3 = 64. Vastaus: 3 = 64, c) Luku on potenssiyhtälön 7 = ratkaisu. Juuren arvo on 10, sillä 10 7 = Vastaus: 7 = , d) Luku on potenssiyhtälön 3 = ratkaisu. Juuren arvo on 100, sillä 1003 = Vastaus: 3 = ,

42 340. a) = = 256 = = ±4 Vastaus: = ±4 b) 2(3 2 ) = = = 54 : ( 2) 3 = 27 = 3 27 = 3 Vastaus: = 3 c) ( 2 ) = = = 729 = = ±3 Vastaus: = ±3

43 Pallon tilavuus lasketaan V π r, josta puolipallon tilavuus on puolet eli V π r. Konserttiteltan pohja on ympyrä, jonka säde on puolipallon 3 säde. Ratkaistaan yhtälöstä säde r, kun tilavuus V = V r r : 3 3 r , r , r 30, Lasketaan pohjaympyrän pinta-ala kun säde on 30,000 metriä. A πr 2 A 2 π 30, , Lattia pinta-ala on noin 2827 m 2. Vastaus: 2827 m 2

44 342. Muodostetaan lauseke, jossa alkuperäinen sijoitus muuttuu kertoimelle q vuosittain kuuden vuoden ajan, joten kuuden vuoden päästä sijoitus on q q q q q q = q 6. Asunnon arvon odotetaan nousevan , jolloin kuuden vuoden päästä arvon tulee olla = Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan q q q 6 q q q ( ) 14 1, ,033 Hylätään negatiivinen korkokerroin q. Sijoituksen arvo kasvaa vuosittaa 1,033- kertaiseksi, joten asnnon arvo on 103,3 % edellisvuoden arvosta. Arvo kasvaa silloin noin 103,3 % 100 % = 3,3 % vuosittain. Sijoittaja odottaa sijoitukselleen noin 3,3 % vuosituottoa. Vastaus: 3,3 %

45 343. Muodostetaan lauseke, jossa alkuperäinen valokopioiden määrä muuttuu q-kertaiseksi vuositain viiden vuoden ajan q q q q q = q 5. Viiden vuoden vähennysten jälkeen valokopiota on tarkoitus ottaa 0, = Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan siitä vuosittainen muutoskerroin q q : q 0,6 q 5 0, 6 q 0, Valokopioiden määrän on tultava joka vuosi 0, kertaiseksi, joten niiden määrän täytyy vähentyä 100 % 90,288 % = 9,711 % 10 %. Vuotuiseksi vähentämistavoitteeksi tulee asettaa noin 10 % Vastaus: 10 %

46 344. Vuodesta 2004 vuoteen 2016 on kulunut 12 vuotta. a) Muodostetaan lauseke, jossa alkuperäinen hinta 0,90 muuttuu joka vuosi q-kertaiseksi 12 vuoden ajan. 12 0,9 q q q 0,9 q 12kpl Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan siitä vuosittainen muutos q ,90 q 1,32 : 0,90 q q 1, ( ) 1, q 1, Mehun hinta muuttui 1, kertaiseksi vuodessa, joten hinta oli noussut noin 103,243 % 100 % = 3,243 % 3,2 %. Mehun hinta kasvoi noin 3,2 % vuodessa. Vastaus: 3,2 % b) Merkitään vuodesta 2004 alkaen kuluneiden vuosien määrää kirjaimella. Tällöin mehun hinta vuoden kuluttua on 0,90 1, Lasketaan lausekkeen arvo, kun aikaa on kulunut = 21 vuotta. 0,90 1, = 1,759 1,76 Mehu maksaa noin 1,76 euroa vuonna Vastaus: 1,76

47 c) Muodostetaan b-kohdan lausekkeen avulla yhtälö ja ratkaistaan siitä vuosien lukumäärä. 0,90 1, ,00 :0,90 1, , log1, , , Aikaa vuodesta 2004 on kulunut kolme vuotta, joten mehu maksoi tasan euron vuonna Vastaus: a) Tanskandoggin paino on alussa 500 g ja viikon päästä paino on kasvanut q-kertaiseksi arvoon 500 q. Kahden viikon päästä paino on kasvanut q-kertaiseksi 500 q q = 500 q viikon päästä paino on vastaavasti 500 q 14, jolloin paino saavuttaa arvon 20 kg eli g. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan q : 500 q q q 14 ( ) 40 q 1, Hylätään negatiivinen kerroin q. Paino kasvaa joka viikko noin 1,301 -kertaiseksi, joten paino kasvaa 130,1 % 100 % 30 %. Tanskandoggin paino kasvaa noin 30 % viikossa. Vastaus: 30 %

48 b) Merkitään viikkojen määrää syntyhetkestä alkaen kirjaimella. Tällöin tanskandoggin massa viikon ikäisenä on 50 1, Muodostetaan yhtälö tanskandoggin massalle ja ratkaistaan siitä viikkojen määrä , :500 1, log 100 1, , Paino saavuttaa 50 kilogrammaa 17 täyden viikon jälkeen, jolloin tarvitaan 18 viikkoa, jotta 50 kilogramman paino on saavutettu. Vastaus: 18 viikon kuluttua

49 346. a) Muodostetaan lauseke, joka kuvaa alkuperäisen valon voimakkuuden, 100 luksia, heikkenemistä. Merkitään muutosta kuvaava kerrointa kirjaimella q. Yhden metrin matkalla voimakkuus heikkenee q-kertaiseksi arvoon 100q. Kahden metrin matkalla 100q q = 100q 2. Vastaavasti 12 metrin matkalla valo heikkenee arvoon q q... q 100 q 12kpl Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan muutoskerroin q q 9 :100 q 12 0,09 q 12 ( ) 0,09 q 0, Valon voimakkuus tulee jokaisella metrin matkalla 0, kertaiseksi, joten voimakkuus pienenee noin 100 % 81,818 % = 18,181 % 18 %. Valon voimakkuus pienenee noin 18 % metriä kohden. Vastaus: 18 %

50 b) Merkitään matkaa syvyyssuunnassa kirjaimella. Tällöin valon voimakkuus metrin etäisyydellä veden pinnasta on 100 0, luksia = 0,050 kiloluksia 100 0, ,050 :100 0, ,0005 log 0,0005 0, , Valon voimakkuus on 50 luksia noin 38 metrin syvyydellä. Vastaus: 38 m

51 347. a) Merkitään osakkeiden alkuperäistä hintaa kirjaimella a. Hinta 1. korotuksen jälkeen: 1,046a Hinta 2. korotuksen jälkeen: 1,024 1,046a Hinta 3. korotuksen jälkeen: 1,031 1,024 1,046a Hinta 4. korotuksen jälkeen: 1,017 1,031 1,024 1,046a Korotuksien jälkeen osakkeiden hinnat olivat 1,017 1,031 1,024 1,046a = 1,12308 a. Hinnat kasvoivat 1, kertaiseksi, joten ne kasvoivat n. 112,308 % 100 % = 12,308 % 12,3 %. Hinnat kasvoivat noin 12,3 % vuosittain. Vastaus: 12,3 %. b) Alussa hinnat olivat a ja neljän vuoden kuluttua 1,12308 a. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan siitä muutoskerroin q. a q q 4 4 1, a : a 1, q 4 ( ) q 1, , q on positiivinen Hinnat nousivat joka vuosi 1, kertaisiksi, joten hinnat nousivat noin 102,944 % 100 % = 2,944 % 2,9 %. Hinnat nousivat noin 2,9 % vuosittain. Vastaus: 2,9 %

52 348. Merkitään viraston oikeaa budjettia kirjaimella a. Tällöin 50 prosentilla ylitetty budjetti on 1,5a. Muodostetaan lauseke, jossa budjetti pienenee viisi vuotta peräkkäin vuosittain q-kertaiseksi. Vuoden päästä 1,5a q Kahden vuoden päästä 1,5a q q Viiden vuoden päästä 1,5a q q q q q = 1,5a q ,5 a q a : a 5 2 q 3 2 q 5 3 q 0, Budjetin tulee pienentyä joka vuosi 0,9221 -kertaiseksi, joten budjetin on pienennytävä noin 100 % 92,210 % = 7,789 % 7,8 %. Budjettia on leikattava noin 7,8 % vuosittain. Vastaus: 7,8 %

53 349. Merkitään kysyttyä letkun halkaisijaa kirjaimella ja taulukoidaan tehtävänannon tietoja taulukkoon. halkaisija 4 (cm) aika (min) 1, Letkun halkaisijan neljäs potenssi ja aika ovat kääntäen verrannollisia. Muodostetaan verranto ja ratkaistaan siitä halkaisija. 4 1, ,5 45 : , , ( ) 2, ,2 22,78125 Hylätään negatiivinen halkaisija. Letkun halkaisijan tulisi olla noin 2,2 cm. Vastaus: 2,2 cm

54 350. Merkitään hiukkasten alkuperäistä määrää kirjaimella a. a) Paksuudeltaan 3 mm hengityssuojaimen läpi päässeiden hiukkasten määrä on 0,25a. Muodostetaan lauseke, jossa pölyinen ilma kulkee yhden millimetrin paksuisen suodattimen läpi kolme kertaa. Suodattimia Hiukkasten määrä a q a q q = a q 2 a q 2 q = a q 3 Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan muutoskerroin q. a q q 3 3 0,25a 0,25 q 3 0,25 q 0, : a Pölyhiukkasten määrä tulee 0,629 -kertaiseksi kulkiessaan 1 mm paksuisen suodattimen läpi. Suodattimen läpäisee noin 63 % pölyhiukkasista. Vastaus: 63 % b) Merkitään suodattimen paksuutta millimetreinä kirjaimella. Läpi päässeiden pölyhiukkasten lukumäärä on 0,05a. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan siitä paksuus. a 0, ,05a : a 0, ,05 log 0, 05 0, , , 5 Suodattimen paksuuden tulee olla noin 6,5 mm. Vastaus: 6,5 mm

55 351. Merkitään Laatokan veden määrää kirjaimella a. Vedeestä vaihtuu joka vuosi yhtä monta prosenttia, joten veden määrä tulee vuosittain q- kertaiseksi. Vuoden kuluttua vesimäärä on a q. Kahden vuoden päästä vesimäärä on a q 2. Yhdentoista vuoden päästä vesimäärä on vastaavasti a q vuodessa vedestä on vaihtunut 99 %, eli 1 % on vielä vaihtumatonta vettä. Muodostetaan yhtälö, josta ratkaistaan q. a q q , a 0,01 q 11 0,01 q 0, : a Puolet veden määrästä on 0,5a. Merkitään kysyttyä aikaa kirjaimella. Muodostetaan yhtälö, josta voidaan ratkaista aika. a 0, , ,5 0,5a : a log 0,5 0, , , 7 Vedestä on vaihtunut puolet noin 1,7 vuodessa. Vastaus: 1,7 vuodessa

56 352. Merkitään hiili-14-isotoopin alkuperäistä määrää kirjaimella a. Radioaktiivisuus vähenee joka vuosi yhtä monta prosentti, joten määrä tulee vuosittain q-kertaiseksi. Koska aineen määrä om puolittunut 5730 vuoden kulutua, hiilestä on jäljellä määrä 0,5a. Vuoden päästä isotoopin määrä on a q. Kahden vuoden päästä isotoopin määrä on a q q = a q vuoden päästä isotoopin määrä on a q Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan siitä muutoskerroin q. a q q ,5a 0,5 q ,5 q 0, : a Hiili-14-isotoopin määrä tulee joka vuosi 0, kertaiseksi, joten aineesta hajoaa noin 100 % 0,99987 % = 0,01209 % 0,0121 %. Hiili-14-isotoopin määrä vähenee vuosittain n. 0,0121 %. Vastaus: 0,0121 %

57 SYVENNÄ YMMÄRRYSTÄ 353. a) :( 3) 1 Vastaus: = 1 b) 4 3 (2 5) (2 5) 48 :3 4 (2 5) tai :2 2 7 : Vastaus: tai c) Yhtälöllä ei ole ratkaisua, koska 10 ja 12 ovat parillisia potensseja ja parillinen potenssi on aina positiivinen luku tai 0 ja kahden positiivisen luvun tai nollan summa ei voi olla negatiivinen. Vastaus: ei ratkaisua

58 354. Keplerin kolmannen lain mukaan T T r r2 Avaruusasema ja Kuu noudattavat Keplerin kolmatta lakia Maan suhteen. Avaruusaseman kiertoaika saadaan selville Keplerin lain avulla sijoittamalla siihen Kuun ja Avaruusaseman tiedot. Olkoon T 1 ja r 1 avaruusaseman kiertoaika ja kiertosäde Maan ympäri ja T 2 ja r 2 kuun kiertoaika ja kiertosäde Maan ympäri. T 1 = r 1 = 6370 km km = 6770 km T 2 = 27,32 vrk r 2 = 6370 km km = km , , ( ) , , ,32 2 Aikaa kuluu yhteen kierrokseen n. 0,057 vuorokautta. Muutetaan aika tunneiksi ja minuuteiksi. 0, min = 82,755 min 83 min = 1h 23 min Kierrokseen kuluu aikaa noin 1h 23 min. Vastaus: 1h 23 min

59 355. Juoksulajit: P = A (B T) C, jossa tulos T on sekunteina Kenttälajit: P = A (T B) C, jossa tulos T on metreinä a) Korkeushyppy on kenttälaji. Sijoitetaan T = 177 cm = 1,77 m, A = 916,3250, B = 0,75 ja C = 1,348 kenttälajien pistelaskun kaavaan ja lasketaan pistemäärä. P = A (B T) C = 916,3250 (1,77 0,75) 1,348 = 941, Vastaus: 941 pistettä b) 400 metrin juoksu on juoksulaji. Sijoitetaan P = 859, A = 1,53775, B = 82 ja C = 1,81 juoksulajien pistelaskun kaavaan ja ratkaistaan saadusta yhtälöstä juoksun tulos T. (82 T ) P A ( B- T) 1,81 1,81 1,81 1, ,53775 (82 T ) :1, ,53775 (82 T ) 558, T 558, T 32, T 49, : ( 1) T 49, T 49, 06 Vastaus: 49,06 s C

60 c) Keihäänheitto on kenttälaji. Sijoitetaan T = 36,94 m, P = 609 A = 15,9803 ja B = 3,8 kenttälajien pistelaskun kaavaan ja ratkaistaan siitä vakio C. P A ( T B) ,9803 (36,94 3,8) :15,9803 (36,94 3,8) C 33,14 38, ,14 C ,9803 C log 38, C 1, C 1, 04 Vastaus: 1,04 C C

61 356. Skeittiramppi laskee yhtä monta prosenttia jokaista metriä kohden alkukorkeudesta loppukorkeuteen. Rampin alkukorkeus maan pinnalta mitattuna on 3,0 m ja loppukorkeus 3,0 m 2,6 m = 0,4 m. Skeittirampin korkeus q-kertaistuu jokaisella vaakasuuntaisella metrillä. Muodostetaan yhtälö rampin loppukorkeudelle 2,7 metrin päästä. Skeittirampin korkeus metrin päästä on 3,0 q Kahden metrin päästä 3,0 q q = 3,0 q 2 2,7 metrin päästä 3,0 q 2,7 Muodostetaan yhtälö ja atkaistaan siitä q. 2,7 3,0 q 0,4 : 3,0 2,7 q 0, , 7 q 0, q 0, Korkeus tulee joka metrillä 0, kertaiseksi, jolloin se pienenee noin 100 % 47,413 % = 52,586 % 53 %. Korkeus pienenee noin 53 % metriä kohden. Vastaus: 53 %

62 a) Lasketaan lausekkeet sopivalla ohjelmalla: 16 4 ja Huomataan, että arvot ovat yhtä suuret. Vastaus: 16 4 ja , yhtä suuret b) (16 ) Tuloksen mukaan luvun toinen potenssi on luku 16. Tämä toteuttaa neliöjuuren määritelmän. Täten neliöjuuri ja potenssi 1 2 voidaan samaistaa, kun kantaluku on positiivinen. Vastaus: 16 c) Oletetaan b-kohdan perusteella, että potenssi 1 3 tarkoittaa samaa kuin kuutiojuuri , sillä 10 3 = Tarkistus sopivalla ohjelmalla antaa saman tuloksen. Vastaus: 10

63 ALOITUSAUKEAMAAN LIITTYVIÄ TEHTÄVIÄ 1. Merkitään kymmenkertaistumisten lukumäärää kirjaimella. Muodostetaan yhtälö kuoron henkilöiden määrälle ja ratkaistaan siitä määrä lg 200 2, Äänen voimakkuus kaksinkertaistuu jokaista äänilähteiden kymmenkertaistumista kohti. Merkitään yhden hengen äänen voimakkuutta kirjaimella a. Tällöin 200 hengen kuoron äänen voimakkuus on a 2 2, = a 4, ,9a. 200 hengen kuoron äänen voimakkuus on noin 4,9-kertainen verrattuna yhden ihmisen äänen voimakkuuteen. Vastaus: 4,9-kertainen 2. Sijoitetaan annettuun lausekkeeseen linnun ja moottorisahan muodostamat äänenpaineet. db Lintu: P 10lg , lg 49, , Linnun äänen voimakkuus on noin 50,0 db.

64 Moottorisaha: 2 0,355 10lg 84, , Moottorisahan äänenvoimakkuus on noin 85,0 db. Kun äänilähteiden määrä kaksinkertaistuu, äänenpainekin kaksinkertaistuu. Kaksi lintua: 2 2 0, lg 55, , Lasketaan kahden ja yhden linnun äänen voimakkuuksien erotus. 55, db 49, db = 6, db 6,0 db Äänen voimakkuus kasvaa noin 6,0 db. Moottorisaha: 2 20,355 10lg 91, , Lasketaan kahden ja yhden moottorisahan äänen voimakkuuksien erotus. 91, db 85, db = 6, db 6,0 db Äänen voimakkuus kasvaa noin 6,0 db. Vastaus: 50,0 db ja 85,0 db, kasvaa 6,0 db