PERUSKOULUSTA PITKÄLLE

Transkriptio

1 Raimo Seppänen Tytti Kiiski PERUSKOULUSTA PITKÄLLE KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ LUKION PITKÄLLE MATEMATIIKALLE JA MATEMATIIKKAA VAATIVAAN AMMATILLISEEN KOULUTUKSEEN MFKA-KUSTANNUS OY HELSINKI 2007

2 SISÄLLYS Saatteeksi Luku Murtoluku desimaaliluku Desimaaliluku murtoluku Laskutoimitukset Laskujärjestys Potenssi Potenssin määritelmä Potenssisäännöt Nollas potenssi Negatiivinen potenssi Murtoluvun potenssi Desimaaliluvun potenssi Kymmenpotenssiesitys Juuret Neliöjuuri Kuutiojuuri Polynomi Peruskäsitteitä Peruslaskutoimitukset Muistikaavat Summan ja erotuksen tulo Summan neliö Erotuksen neliö Tekijöihin jako Kokonaislukujen jaollisuusehtoja Kokonaisluvun jakaminen tekijöihin.. 25 Polynomin jako tekijöihin Rationaalilausekkeet Supistaminen Kertolasku Jakolasku Yhteen- ja vähennyslasku Yhtälö Peruskäsitteitä Ensimmäisen asteen yhtälö Toisen asteen yhtälö Vaillinaiset yhtälöt Täydellinen yhtälö Prosenttilasku Erityyppisiä prosenttilaskutehtäviä Prosenttiyksikkö Promille Sanalliset tehtävät Epäyhtälö Peruskäsitteitä asteen epäyhtälö Yhtälöpari Yhteenlaskukeino Sijoituskeino Sanallinen yhtälöpari Geometriaa Yksiköiden muunnoksia Pituusyksiköt Pinta-alayksiköt Tilavuusyksiköt Tasokuvioiden piirit ja pinta-alat Monikulmiot Ympyrä Suorakulmaisen kolmion geometriaa. 56 Avaruusgeometriaa Harjoitustehtävien ratkaisuja Liitteet Joukko-oppia Merkintöjä ja symboleja Aloitustesti

3 2. Potenssi Samojen lukujen summa voidaan esittää tulon muodossa, esimerkiksi voidaan kirjoittaa: = 3 5. Vastaavasti samojen lukujen tulo voidaan lyhentää: = 5 3. Tämä merkintätapa on nimeltään potenssi, jossa 5 on kantaluku ja 3 eksponentti. Yleistämällä saadaan Potenssin määritelmä 3. (a m ) n = a mn potenssin potenssi 4. (ab) n = a n b n tulon potenssi a ( b) n = an b n 5. osamäärän potenssi 6. a 0 = nollas potenssi (a 0, 0 0 ei tarkoita mitään) a n = a a a, jossa n Z + n kpl 7. a n = a n ( a b) n b = ( b a) n = n a n negatiivinen potenssi (n > 0) Potenssisäännöt Määritelmän perusteella saadaan seuraavat laskusäännöt (MAOL s. 8). Laskusääntöihin liittyvät esimerkkilaskut:. a 6 a 3 = a = a a m a n = a m + n a m a n = am n samankantaisten potenssien tulo samankantaisten potenssien osamäärä a 6 a 3 = a6 3 = a 3 ( a 6 ) 3 = a 6 3 = a 8 (ab) 6 = a 6 b 6

4 9. Toisen asteen yhtälö Toisen asteen yhtälöksi sanotaan yhtälöä, jossa muuttujan suurin eksponentti on kaksi. Täydellinen toisen asteen yhtälö on muotoa ax 2 + bx + c = 0, jossa a, b ja c ovat vakioita ja lisäksi a 0. Jos ensimmäisen asteen termi bx tai vakiotermi c puuttuu, yhtälöä kutsutaan vaillinaiseksi toisen asteen yhtälöksi. Esimerkiksi 4x 2 2x + 5 = 0 on täydellinen, mutta 4x = 0 ja 4x 2 2x = 0 ovat vaillinaisia toisen asteen yhtälöitä. Vaillinaiset yhtälöt. Muotoa ax 2 = c oleva yhtälö Jakamalla edellisen yhtälön molemmat puolet a:lla, saadaan x 2 = c, josta ratkaisut c a x = ± a. Esimerkkejä. Ratkaise yhtälö x 2 = 6. Ratkaisuja on kaksi, eli x = 4, koska 4 2 = 6 ja x = 4, koska myös ( 4) 2 = 6. Tämä voidaan merkitä lyhyemmin muodossa x = ± Ratkaise yhtälö 4x 2 2 = 0. Ratkaistaan ensin x 2 kuten ensimmäisen asteen yhtälöstä. 4x 2 2 = 0 4x 2 = 2 : 4 x 2 = 2 = 3 4 x = ± 3 Vastaus jätetään neliöjuurimuotoon, jo ka on tarkka arvo. Laskimesta on saatavissa vain likiarvo, esim. viiden desimaalin tarkkuudella x ±, Ratkaise yhtälö 3x = 0. 3x = 0 3x 2 = 2 : 3 x 2 = 7 Koska toinen potenssi ei koskaan ole negatiivinen, niin yhtälöllä ei ole ratkaisua. 2. Muotoa ax 2 + bx = 0 oleva yhtälö Ratkaisu saadaan jakamalla vasen puoli tekijöihin (yhteinen tekijä, ks. luku 6) ja käyttämällä tulon nollasääntöä. Tulon arvo on 0 silloin ja vain silloin, kun jokin tekijöistä on 0. 34

5 PROSENTTILASKU 4. Parturi- ja kampaamomaksut muodostuvat verottomasta hinnasta ja arvonlisäverosta, joka on 22 % palvelun verottomasta hinnasta. Hiusten leikkaus maksoi 20. Kuinka suuri tämä maksu olisi ollut, jos arvonlisävero olisi ollut 0 prosenttiyksikköä pienempi? Jos veroton hinta on x, niin verollinen hinta on,22x. Saadaan yhtälö,22x = 20, josta x = 20 ( 6,40). Koska uusi arvonlisävero on 2 %, on uusi verollinen hinta,22,2x =,2 20 8,36. Tämä pyöristetään käytännössä ylöspäin 0, :n tark-,22 kuuteen. Vastaus: Maksu olisi ollut 8, Erään tuotteen hinta nousi tammikuussa 0 % ja joulukuussa 2 %. Kuinka monta prosenttia sen hinta nousi kaikkiaan? [S-77-L-] Alkuperäinen hinta = 00a. Hinta on tammikuun korotuksen jälkeen, 00a = 0a ja joulukuun korotuksen jälkeen,2 0a = 23,2a, joka on 23,2 % korkeampi kuin alkuperäinen hinta 00a. Vastaus: Hinta nousi kaikkiaan 23,2 %. Harjoitustehtäviä Kuinka paljon on. 5 % 2000:sta? % :sta? ,3 %,9:sta? 4. 2 % 80:stä? % min 40 s:sta? 6. 2,0 8,5 l:sta? Kuinka monta % on 900:sta? 8. on 3 :sta? m on 2,5 km:stä? 0. 8 on pienempi kuin 2?. 40 min on lyhyempi aika kuin h 5 min? 2. 0 m/s on nopeampi vauhti kuin 30 km/h? 3. kg 250 g on painavampi kuin 0,5 kg? Mikä luku on 4. 0 % suurempi kuin 995? % suurempi kuin 00? % pienempi kuin 7? % pienempi kuin 50? Mistä luvusta % on 40? % on 8? 20. Lukua suurennetaan 0 %. Kuinka mon ta % alkuperäinen luku on saatua lukua pienempi? 43