HTKK, TTKK, OY/Arkkitehtiosastot Valintakuulustelujen matematiikan koe arvoilla leikkauspisteen molemmat koordinaatit ovat positiiviset?

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "HTKK, TTKK, OY/Arkkitehtiosastot Valintakuulustelujen matematiikan koe 17.5.2002. arvoilla leikkauspisteen molemmat koordinaatit ovat positiiviset?"

Transkriptio

1 HTKK, TTKK, OY/Arkkitehtiosastot Valintakuulustelujen matematiikan koe Sarja A A1. Määritä suorien ax + y ja x y 3 leikkauspiste. Millä vakion a arvoilla leikkauspisteen molemmat koordinaatit ovat positiiviset? A. Henkilön palkasta on aiemmin pidätetty ennakkoveroa 31%. Kun henkilö saa 60 euron korotuksen bruttopalkkaansa, hänen nettopalkkansa (eli käteen jäävä palkan osa) kasvaa vain 1 euroa, koska samalla ennakkovero on kasvanut prosenttiyksikköä. Kuinka paljon henkilön brutto- ja nettopalkka olivat palkankorotuksen jälkeen? A3. Nelikulmion sivut ovat a,, 7 ja b. Ensimmäisen ja toisen sivun välinen kulma on 60 sekä toisen ja kolmannen välinen kulma 16. Mikä on lyhin mahdollinen sivun b pituus? Määritä tässä tapauksessa myös sivun a pituus. (Anna tarkat vastaukset ja likiarvot desimaalin tarkuudella.) A4. Partikkeli, joka liikkuu xy-tasossa, lähtee liikkeelle origosta. Ensimmäisessä vaiheessa se kulkee pitkin x-akselia pisteeseen (1, 0). Sen jälkeen partikkelin reitti saadaan toistamalla seuraavaa: partikkeli kääntyy 0 vasempaan ja etenee suoraviivaisesti matkan, joka on /3 edellisessä vaiheessa kuljetusta matkasta. Piirrä kuva partikkelin reitistä, kun ainakin toistoa on tapahtunut. Mitä xy-tason pistettä partikkeli lähestyy, kun toistojen määrä kasvaa rajatta? A. Pöydälle asetetuista kolmesta r-säteisestä biljardipallosta jokainen pallo koskettaa kahta muuta palloa. a) Kuinka suuri voi enintään olla sellaisen pallon säde, joka mahtuu putoamaan pöydälle biljardipallojen välistä? b) Kuinka suuri voi enintään olla sellaisen pallon säde, joka mahtuu olemaan pöydällä biljardipallojen välissä? (Anna säteiden tarkat arvot) A6. 00 litran sadevesitynnyrissä, joka on suoran ympyrälieriön muotoinen, korkeuden ja pohjaympyrän halkaisijan suhde on 3:. Kun tynnyriä kallistettiin 30, tynnyrissä ollut vesi alkoi virrata reunan yli. Kuinka paljon tynnyrissä oli vettä? (Anna vastaus litroissa yhden desimaalin tarkkuudella.) Copyright HTKK 00

2 HTH, TTH, UU/Arkitektavdelningarna Serie A Inträdesförhör i matematik A1. Bestäm skärningspunkten mellan de räta linjerna ax + y och x y 3. För vilka värden på kostanten a är skärningspunktens vardera koordinater positiva? A. Av en persons lön har tidigare innehållits en förskottsskatt på 31%. Då personen får en löneförhöjning på 60 euro, växer hans nettolön (den summa han får i handen) med endast 1 euro, på grund av att förskottsskatten samtidigt har stigit med procentenheter. Bestäm storleken av personens brutto- och nettolön efter löneför-höjningen. A3. En fyrhörning har sidorna a,, 7 och b. Vinkeln mellan den första och den andra sidan är 60, och vinkeln mellan den andra och den tredje sidan 16. Vilket är det minsta möjliga värdet på (längden av) sidan b? Hur lång är sidan a i detta fall? (Exakta värden samt närmevärden med decimaler) A4. En partikel rör sig i xy-planet, utgående från origo. Den rör sig först längs x-axeln till punkten (1, 0). Därefter bildas partikelns bana genom en upprepning av följande procedur: partikeln vänder 0 till vänster och avancerar rätlinjigt en sträcka, som är /3 av den i det föregående skedet tillryggalagda sträckan. Rita en figur av den tillryggalagda vägen efter åtminstone upprepningar. Vilken punkt i xy-planet närmar sig partikeln, då antalet upprepningar växer obegränsat? A. Tre biljardbollar med radien r har placerats på ett bord. Var och en av bollarna berör de två anra bollarna. a) Hur stor kan radien på sin höjd vara hos en boll, som kan fällas ned mellan biljardbollarna på bordet? b) Hur stor kan radien på sin höjd vara hos en boll, som ligger på bordet mellan biljarbollarna? (Svar med exakta värden på radierna.) A6. En 00 liters regnvattenstunna har formen av en rät cirkelcylinder. Förhållandet me llan tunnans höjd och dess bottencirkelns diameter ät 3:. Då tunnan lutades 30, började tunnans vatten rinna över kanten. Hur mycket vatten innehöll tunnan? (Svar i liter med en decimals noggranhet.) Copyright HTH 00

3 HTKK, TTKK, OY/Arkkitehtiosastot Valintakuulustelujen matematiikan koe Sarja B B1. Määritä suorien ax + y 4 ja x y leikkauspiste. Millä vakion a arvoilla leik-kauspisteen molemmat koordinaatit ovat positiiviset? B. Henkilön palkasta on aiemmin pidätetty ennakkoveroa 7%. Kun henkilö saa 60 euron korotuksen bruttopalkkaansa, hänen nettopalkkansa (eli käteen jäävä palkan osa) kasvaa vain 3 euroa, koska samalla ennakkovero on kasvanut prosenttiyksikköä. Kuinka paljon henkilön brutto- ja nettopalkka olivat palkankorotuksen jälkeen? B3. Nelikulmion sivut ovat a, 7, ja b. Ensimmäisen ja toisen sivun välinen kulma on 60 sekä toisen ja kolmannen välinen kulma 16. Mikä on lyhin mahdollinen sivun b pituus? Määritä tässä tapauksessa myös sivun a pituus. (Anna tarkat vastaukset ja likiarvot desimaalin tarkuudella.) B4. Partikkeli, joka liikkuu xy-tasossa, lähtee liikkeelle origosta. Ensimmäisessä vaiheessa se kulkee pitkin y-akselia pisteeseen (0, 1). Sen jälkeen partikkelin reitti saadaan toistamalla seuraavaa: partikkeli kääntyy 0 oikeaan ja etenee suoraviivaisesti matkan, joka on /3 edellisessä vaiheessa kuljetusta matkasta. Piirrä kuva partikkelin reitistä, kun ainakin toistoa on tapahtunut. Mitä xy-tason pistettä partikkeli lähestyy, kun toistojen määrä kasvaa rajatta? B. Pöydälle asetetuista kolmesta r-säteisestä biljardipallosta jokainen pallo koskettaa kahta muuta palloa. a) Kuinka suuri voi enintään olla sellaisen pallon säde, joka mahtuu putoamaan pöydälle biljardipallojen välistä? b) Kuinka suuri voi enintään olla sellaisen pallon säde, joka mahtuu olemaan pöydällä biljardipallojen välissä? (Anna säteiden tarkat arvot) B6. 00 litran sadevesitynnyrissä, joka on suoran ympyrälieriön muotoinen, korkeuden ja pohjaympyrän halkaisijan suhde on 3:. Kun tynnyriä kallistettiin 30, tynnyrissä ollut vesi alkoi virrata reunan yli. Kuinka paljon tynnyrissä oli vettä? (Anna vastaus litroissa yhden desimaalin tarkkuudella.) Copyright HTKK 00

4 HTH, TTH, UU/Arkitektavdelningarna Inträdesförhör i matematik Serie B B1. Bestäm skärningspunkten mellan de räta linjerna ax + y 4 och x y. För vilka värden på kostanten a är skärningspunktens vardera koordinater positiva? B. Av en persons lön har tidigare innehållits en förskottsskatt på 7%. Då personen får en löneförhöjning på 60 euro, växer hans nettolön (den summa han får i handen) med endast 3 euro, på grund av att förskottsskatten samtidigt har stigit med procentenheter. Bestäm storleken av personens brutto- och nettolön efter löneför-höjningen. B3. En fyrhörning har sidorna a, 7, och b. Vinkeln mellan den första och den andra sidan är 60, och vinkeln mellan den andra och den tredje sidan 16. Vilket är det minsta möjliga värdet på (längden av) sidan b? Hur lång är sidan a i detta fall? (Exakta värden samt närmevärden med decimaler) B4. En partikel rör sig i xy-planet, utgående från origo. Den rör sig först längs y-axeln till punkten (0, 1). Därefter bildas partikelns bana genom en upprepning av följande procedur: partikeln vänder 0 till höger och avancerar rätlinjigt en sträcka, som är /3 av den i det föregående skedet tillryggalagda sträckan. Rita en figur av den tillryggalagda vägen efter åtminstone upprepningar. Vilken punkt i xy-planet närmar sig partikeln, då antalet upprepningar växer obegränsat? B. Tre biljardbollar med radien r har placerats på ett bord. Var och en av bollarna berör de två anra bollarna. a) Hur stor kan radien på sin höjd vara hos en boll, som kan fällas ned mellan biljardbollarna på bordet? b) Hur stor kan radien på sin höjd vara hos en boll, som ligger på bordet mellan biljarbollarna? (Svar med exakta värden på radierna.) B6. En 00 liters regnvattenstunna har formen av en rät cirkelcylinder. Förhållandet mellan tunnans höjd och dess bottencirkelns diameter ät 3:. Då tunnan lutades 30, började tunnans vatten rinna över kanten. Hur mycket vatten innehöll tunnan? (Svar i liter med en decimals noggranhet.) Copyright HTH 00

5 HTKK, TTKK, OY/Arkkitehtiosastot Valintakuulustelujen matematiikan koe Ratkaisut ja pisteytys 1. Sarja A ax + y x y 3 Helposti eliminoimalla, kun a 1, saadaan x ja a + 1 3a y. a + 1 Vaaditaan, että molemmat koordinaatit x ja y positiiviset. Tällöin x > 0 a + 1 > 0 a > 1, ja y > 0 3a >0 a < /3. Siis on oltava 1 < a < /3 Sarja B ax + y 4 x y Vastaavasti, kun a 1, on x ja a a y. Positiivisuusehto on 1 < a < 4/. a + 1. Merkitään b bruttopalkka (ennen), p ennakonpidätysprosentti (ennen)/100 ja K nettopalkan eli käteenjäävän palkan korotus. Tällöin ennen jälkeen brutto b b + 60 netto (1 p)b (1 p)b + K Taulukon tiedoilla voidaan kirjoittaa ehto (1 p)b + K [1 ( p + 0.0)](b + 60). Tästä 60(1 p 0.0) K b 0.0 Sarja A: p 0.31 ja K 1 b 60. Tällöin bruttopalkka korotuksen jälkeen on euroa nettopalkka korotuksen jälkeen on (1 0.33) euroa Sarja A: p 0.7 ja K 3 b 80. Tällöin bruttopalkka korotuksen jälkeen on euroa nettopalkka korotuksen jälkeen on (1 0.) euroa 3. Ilmeisesti lyhin b saadaan kohtisuoruustilanteessa kahdesta peruskolmiosta lukemalla b 0 o 4 o 7 Sarja A b ( ). 8 4 o 7 7 a + 1 ( + 7 ) 7. 4 a 30 o Sarja B, jossa luvut ja 7 vaihtaneet paikkaa 60 o b a (7 1 ( ) 7.04 ).60

6 4. Kuva Sarjaan A. Kuva sarjassa B pist. on peilikuva suoran y x suhteen. Havaitaan, että Sarjan A tapauksessa prosessissa lähestytään pistettä (a, b), jossa ( ) ( 4 6 ) + 0 ( ) + L n ( ) ( 4 n ) 1 a n 0 n 0 1 ( 4 / ) b 0 + ( 1 ) + 0 ( 3 ) ( ) + 0 L ( ) n ( 4 / ) 3 0 n 6 Siis (a, b) (, ). Sarjassa B piste (peilauksen perusteella) on (a, b) ( ) 6, + pist.. Olkoon r biljardipallon säde a) Jos x pudotettavan pallon säteen enimmäiskoko, niin kuvasta r 3 3 x + r x 1 r r b) Kun piirretään tilanteesta sivukuva pystytasolle pitkin korkeusjanaa ( y r) ( x + r) + ( r y ) +, 3 3 missä y on kysytyn pallon säteen enimmäiskoko. Sijoitetaan x r. Tällöin 3 ( y r) r + ( r y) + 4 yr 4 r y 1 r y x 30 o Olkoon a säiliön korkeus, b säiliön leveys Koska kallistuskulma on 30 o, on y b / 3. Kallistuksessa vesimäärä ei muutu. Siten a x y / b 3 / 6. b 30 o Koska a/b 3/, niin b a/3. Tällöin x 1 a 3. 4 pist. Sadevesitynnyrin vesimääräksi voidaan nyt laskea V ( x ) 001 ( 1 3 ) 161. l 00 a x 001 a a pist.

Diplomi-insinöörien ja arkkitehtien yhteisvalinta dia-valinta 2007 Insinöörivalinnan matematiikankoe, 29.5.2007 klo 14-17

Diplomi-insinöörien ja arkkitehtien yhteisvalinta dia-valinta 2007 Insinöörivalinnan matematiikankoe, 29.5.2007 klo 14-17 Diplomi-insinöörien ja arkkitehtien yhteisvalinta dia-valinta 007 Insinöörivalinnan matematiikankoe, 9.5.007 klo 14-17 Sarja A Ohjeita. Sijoita jokainen tehtävä omalle sivulleen. Merkitse jos tehtävä jatkuu

Lisätiedot

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2.

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2. MAA4 Koe 5.5.01 Jussi Tyni Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Ota kokeesta poistuessasi tämä paperi mukaasi! Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse

Lisätiedot

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p MAA..0 Muista kirjoittaa jokaiseen paperiin nimesi! Tee vastauspaperin yläreunaan pisteytysruudukko! Valitse kuusi tehtävää! Perustele vastauksesi välivaiheilla! Jussi Tyni Ratkaise: a) x x b) xy x 6y

Lisätiedot

Eduskunnan puhemiehelle

Eduskunnan puhemiehelle KIRJALLINEN KYSYMYS 1231/2010 vp Vuosilomapalkkasäännösten saattaminen vastaamaan Euroopan unionin tuomioistuimen tuomiota C-486/08 Eduskunnan puhemiehelle Euroopan unionin tuomioistuin (EUT) on jo 22.4.2010

Lisätiedot

3 x ja 4. A2. Mikä on sen ympyräsektorin säde, jonka ympärysmitta on 12 ja pinta-ala mahdollisimman

3 x ja 4. A2. Mikä on sen ympyräsektorin säde, jonka ympärysmitta on 12 ja pinta-ala mahdollisimman HTKK, TTKK, LTKK, OY, ÅA/Insinööriosastot alintauulustelujen matematiian oe 900 Sarja A A Lase äyrien y, (Tara vastaus) y, ja rajaaman äärellisen alueen inta-ala A Miä on sen ymyräsetorin säde, jona ymärysmitta

Lisätiedot

3 Eksponentiaalinen malli

3 Eksponentiaalinen malli Eksponentiaalinen malli Eksponentiaalinen kasvaminen ja väheneminen 6. Kulunut aika (h) Bakteerien määrä 0 80 0 60 0 0 7 7 0 0 0 6. 90 % 0,90 Pienennöksiä (kpl) Piirroksen korkeus (cm) 0,90 6,0, 0,90 6,0,06,

Lisätiedot

Eduskunnan puhemiehelle

Eduskunnan puhemiehelle KIRJALLINEN KYSYMYS 1278/2010 vp Osa-aikaeläkkeellä olevien sairauspäivärahaan liittyvien ongelmien korjaaminen Eduskunnan puhemiehelle Jos henkilö sairastuu osa-aikaeläkkeelle jäätyään, putoavat hänen

Lisätiedot

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2.

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2. MAA4. Koe 8.5.0 Jussi Tyni Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Ota kokeesta poistuessasi tämä paperi mukaasi! Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse

Lisätiedot

Ota tämä paperi mukaan, merkkaa siihen omat vastauksesi ja tarkista oikeat vastaukset klo 11:30 jälkeen osoitteesta

Ota tämä paperi mukaan, merkkaa siihen omat vastauksesi ja tarkista oikeat vastaukset klo 11:30 jälkeen osoitteesta MAA5.2 Loppukoe 26.9.2012 Jussi Tyni Valitse 6 tehtävää Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin! 1. Olkoon vektorit

Lisätiedot

MAA4 Abittikokeen vastaukset ja perusteluja 1. Määritä kuvassa olevien suorien s ja t yhtälöt. Suoran s yhtälö on = ja suoran t yhtälö on = + 2. Onko väittämä oikein vai väärin? 2.1 Suorat =5 +2 ja =5

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

Varhennetulle vanhuuseläkkeelle jäävä henkilö ei ehkä aina saa riittävästi tietoa siitä, minkä suuruiseksi hänen eläkkeensä muodostuu loppuelämäksi.

Varhennetulle vanhuuseläkkeelle jäävä henkilö ei ehkä aina saa riittävästi tietoa siitä, minkä suuruiseksi hänen eläkkeensä muodostuu loppuelämäksi. KK 1370/1998 vp Kirjallinen kysymys 1370 Mikko Kuoppa Iva-r: Varhennetun vanhuuseläkkeen riittävyydestä Eduskunnan Puhemiehelle Varhennettua vanhuuseläkettä on markkinoitu ikääntyneille työntekijöille

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3

Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3 Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (* merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä

Lisätiedot

Maantieteen valintakoe, Helsingin yliopisto Urvalsprov till geografi, Helsingfors universitet 24.5.2010

Maantieteen valintakoe, Helsingin yliopisto Urvalsprov till geografi, Helsingfors universitet 24.5.2010 Maantieteen valintakoe, Helsingin yliopisto Urvalsprov till geografi, Helsingfors universitet 24.5.2010 Nimi / Namn: Henkilötunnus / Personbeteckning: Tehtävä 1/Uppgift 1 (9 pistettä/9 poäng) Käytä tehtävässä

Lisätiedot

Eduskunnan puhemiehelle

Eduskunnan puhemiehelle KIRJALLINEN KYSYMYS 1104/2013 vp Rajatyöntekijöiden oikeus aikuiskoulutustukeen Eduskunnan puhemiehelle Osaamisen kehittäminen ja aikuisopiskelu ovat nykyään arkipäivää. Omaehtoisesti opiskelevat rajatyöntekijät

Lisätiedot

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei. PITKÄ MATEMATIIKKA PRELIMINÄÄRIKOE 7..07 NIMI: A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.. Valitse oikea vaihtoehto ja

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009 Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka..9 x x a) Ratkaise yhtälö =. 4 b) Ratkaise epäyhtälö x > x. c) Sievennä lauseke ( a b) (a b)(a+ b).. a) Osakkeen kurssi laski aamupäivällä,4 % ja keskipäivällä 5,6 %.

Lisätiedot

1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot

1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot Helsingin yliopisto, Itä-Suomen yliopisto, Jyväskylän yliopisto, Oulun yliopisto, Tampereen yliopisto ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe (Ratkaisut ja pisteytys) 500 Kustakin tehtävästä saa maksimissaan

Lisätiedot

TKK, TTY, LTY, OY, ÅA, VY, TY / Insinööriosastot Valintakuulustelujen matematiikan koe 31.5.2005

TKK, TTY, LTY, OY, ÅA, VY, TY / Insinööriosastot Valintakuulustelujen matematiikan koe 31.5.2005 TKK, TTY, LTY, OY, ÅA, VY, TY / Isiööriosastot Valitakuulusteluje matematiika koe.5.005 sarja A Ohjeita. Sijoita jokaie tehtävä omalle sivullee. Laadi ratkaisut selkeästi välivaiheiee, tarvittaessa kirjoita

Lisätiedot

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b)

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b) MAA4 ratkaisut. 5 a) Itseisarvon vastauksen pitää olla aina positiivinen, joten määritelty kun 5 0 5 5 tai ( ) 5 5 5 5 0 5 5 5 5 0 5 5 0 0 9 5 9 40 5 5 5 5 0 40 5 Jälkimmäinen vastaus ei toimi määrittelyjoukon

Lisätiedot

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. 4 Suora ja taso Ennakkotehtävät 1. a) Kappale kulkee yhdessä sekunnissa vektorin s, joten kahdessa sekunnissa kappale kulkee vektorin 2 s. Pisteestä A = ( 3, 5) päästään pisteeseen P, jossa kappale sijaitsee,

Lisätiedot

Miljö,, samarbete, teknologi

Miljö,, samarbete, teknologi Ympärist ristö,, yhteistyö,, teknologia Miljö,, samarbete, teknologi Ympärist ristö,, yhteistyö,, teknologia Miljö,, samarbete, teknologi Kulttuuri, yhteydet, luovuus Kultur, samband, kreativitet Motto:

Lisätiedot

Eduskunnan puhemiehelle

Eduskunnan puhemiehelle KIRJALLINEN KYSYMYS 76/2006 vp Kelan järjestämän vaikeavammaisten lääkinnällisen kuntoutuksen suunnitelman laatiminen Eduskunnan puhemiehelle Kelalla on lakisääteinen velvollisuus järjestää vajaakuntoisten

Lisätiedot

Eduskunnan puhemiehelle

Eduskunnan puhemiehelle KIRJALLINEN KYSYMYS 1254/2001 vp Osa-aikalisän myöntämisen perusteet Eduskunnan puhemiehelle Kun osa-aikalisäjärjestelmä aikoinaan otettiin käyttöön, sen yhtenä perusteena oli lisätä työssä jaksamista

Lisätiedot

Eduskunnan puhemiehelle

Eduskunnan puhemiehelle KIRJALLINEN KYSYMYS 876/2010 vp Työnantajien Kela-maksun poiston vaikutus työpaikkojen määrään Eduskunnan puhemiehelle Työnantajien Kela-maksu on hallituksen esityksestä poistettu. Hallitus perusteli esityksessään

Lisätiedot

Kehoa kutkuttava seurapeli

Kehoa kutkuttava seurapeli Kehoa kutkuttava seurapeli Pelaajia: 2-5 henkilöä tai joukkuetta Peliaika: 30 45 min Välineet: pelilauta, 112 korttia, kaksi tavallista noppaa, yksi erikoisnoppa ja viisi pelinappulaa. Kisa Pelin tarkoituksena

Lisätiedot

Eduskunnan puhemiehelle

Eduskunnan puhemiehelle KIRJALLINEN KYSYMYS 1012/2010 vp Eläkkeiden maksun myöhästymiset Eduskunnan puhemiehelle Eläkkeiden maksuissa on ollut paljon ongelmia tänä vuonna. Osa eläkeläisistä on saanut eläkkeensä tililleen myöhässä

Lisätiedot

Torgparkeringen är för framtiden men också sammankopplad till HAB. Båda bör byggas samtidigt då man gräver.

Torgparkeringen är för framtiden men också sammankopplad till HAB. Båda bör byggas samtidigt då man gräver. Torgmöte 3½ 3.3 kl. 12:30-14 i Saima, stadshuset Kim Mäenpää presenterade projektet Skede 1 av HAB och torgparkeringen Torgparkeringen är för framtiden men också sammankopplad till HAB. Båda bör byggas

Lisätiedot

104 21.09.2011. Aloite merkittiin tiedoksi. Motionen antecknades för kännedom.

104 21.09.2011. Aloite merkittiin tiedoksi. Motionen antecknades för kännedom. Kaavoitusjaosto/Planläggningssekti onen 104 21.09.2011 Aloite pysyvien päätepysäkkien rakentamisesta Eriksnäsin alueelle/linda Karhinen ym. / Motion om att bygga permanenta ändhållplatser på Eriksnäsområdet/Linda

Lisätiedot

3636401101 kovalla, valkoisella istuinkannella nro 9157001001, min.100

3636401101 kovalla, valkoisella istuinkannella nro 9157001001, min.100 IDO Glow Rimfree WC 36364 IDO/nro nr LVInro/VVSnr 3636401101 56129 40,0 3636401101 kovalla, valkoisella istuinkannella nro 9157001001, jossa hydraulinen Slow Close toiminto ja Quick Release saranat Ilman

Lisätiedot

Eduskunnan puhemiehelle

Eduskunnan puhemiehelle KIRJALLINEN KYSYMYS 431/2001 vp Yrittäjien asema uudessa aikuiskoulutustuessa Eduskunnan puhemiehelle Työllisyyden hoito on merkittävä osa köyhyyden torjuntaa. Pienyritteliäisyyttä on siten tuettava, jotta

Lisätiedot

Eduskunnan puhemiehelle

Eduskunnan puhemiehelle KIRJALLINEN KYSYMYS 1104/2001 vp Kunnan oikeus ilman perillisiä kuolleen henkilön kiinteistöön Eduskunnan puhemiehelle Perintökaaren mukaan ilman perillisiä kuolleen henkilön omaisuuden perii valtio. Omaisuus

Lisätiedot

Eduskunnan puhemiehelle

Eduskunnan puhemiehelle KIRJALLINEN KYSYMYS 759/2004 vp Liikunnanopettajien pätevöityminen terveystiedon opettajiksi Eduskunnan puhemiehelle Uuden lain myötä aikaisemmin valmistuneet liikunnanopettajat eivät ole päteviä opettamaan

Lisätiedot

2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot

2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot 2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot 2.2 Kulman tangentti 2.3 Sivun pituus tangentin avulla 2.4 Kulman sini ja kosini 2.5 Trigonometristen funktioiden käyttöä 2.7 Avaruuskappaleita 2.8 Lieriö 2.9

Lisätiedot

Funktion derivoituvuus pisteessä

Funktion derivoituvuus pisteessä Esimerkki A Esimerkki A Esimerkki B Esimerkki B Esimerkki C Esimerkki C Esimerkki 4.0 Ratkaisu (/) Ratkaisu (/) Mielikuva: Funktio f on derivoituva x = a, jos sen kuvaaja (xy-tasossa) pisteen (a, f(a))

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 18.3.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 18.3.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 8..05 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa

Lisätiedot

Eduskunnan puhemiehelle

Eduskunnan puhemiehelle KIRJALLINEN KYSYMYS 345/2013 vp Osasairauspäivärahan maksaminen vuosiloman ajalta Eduskunnan puhemiehelle Sairausvakuutuslain mukaan osasairauspäivärahaa maksetaan vähintään 12 arkipäivän yhtäjaksoiselta

Lisätiedot

Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016

Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016 Vanhoja koetehtäviä Analyyttinen geometria 016 1. Määritä luvun a arvo, kun piste (,3) on käyrällä a(3x + a) = (y - 1). Suora L kulkee pisteen (5,1) kautta ja on kohtisuorassa suoraa 6x + 7y - 19 = 0 vastaan.

Lisätiedot

Eduskunnan puhemiehelle

Eduskunnan puhemiehelle KIRJALLINEN KYSYMYS 857/2005 vp Vakuutusmeklaritutkinto Eduskunnan puhemiehelle 1.9.2005 tuli voimaan laki vakuutusedustuksesta (570/2005). Lain 49 :n mukaan siirtymäsäännöksistä säädetään seuraavasti:

Lisätiedot

Eduskunnan puhemiehelle

Eduskunnan puhemiehelle KIRJALLINEN KYSYMYS 1094/2013 vp Eläkeläisten kireä verotus Eduskunnan puhemiehelle Kun henkilö jää eläkkeelle, hänen tulotasonsa puolittuu, kun sitä verrataan henkilön työelämästä saamaan palkkaan. Eläkeläisten

Lisätiedot

Eduskunnan puhemiehelle

Eduskunnan puhemiehelle KIRJALLINEN KYSYMYS 845/2006 vp Internetin hankkiminen yhteydenpitoon työvoimaviranomaisten kanssa Eduskunnan puhemiehelle Työttömän työnhakijan piti lähettää työvoimaviranomaiselle kuittaus sähköisen

Lisätiedot

ASUNTOKUNNAT JA PERHEET 2013

ASUNTOKUNNAT JA PERHEET 2013 ASUNTOKUNNAT JA PERHEET 2013 Tietoisku 8/2013 Sisällys 1. Asuntokuntien keskikoko pieneni hieman 2. Perheiden keskikoko pysynyt ennallaan 3. Monilapsisuus yleisintä Pohjois-Espoossa 4. Perheiden kaksikielisyys

Lisätiedot

Eduskunnan puhemiehelle

Eduskunnan puhemiehelle KIRJALLINEN KYSYMYS 85/2011 vp Varhennetun eläkkeen vaikutukset takuueläkkeeseen Eduskunnan puhemiehelle Laki takuueläkkeestä tuli voimaan 1.3.2011, ja sen tarkoituksena on ollut turvata Suomessa asuvan

Lisätiedot

30 + x. 15 + 0,5x = 2,5 + x 0,5x = 12,5 x = 25. 27,5a + 27,5b = 1,00 55 = 55. 2,5a + (30 2,5)b (27,5a + 27,5b) = 45 55.

30 + x. 15 + 0,5x = 2,5 + x 0,5x = 12,5 x = 25. 27,5a + 27,5b = 1,00 55 = 55. 2,5a + (30 2,5)b (27,5a + 27,5b) = 45 55. RATKAISUT, Insinöörimatematiikan koe 1.5.201 1. Kahdessa astiassa on bensiinin ja etanolin seosta. Ensimmäisessä astiassa on 10 litraa seosta, jonka tilavuudesta 5 % on etanolia. Toisessa astiassa on 20

Lisätiedot

Eduskunnan puhemiehelle

Eduskunnan puhemiehelle KIRJALLINEN KYSYMYS 767/2001 vp Postinjakelu Kangasalan Kuohenmaalla Eduskunnan puhemiehelle Postin toiminta haja-asutusalueilla on heikentynyt. Postin jakaminen myöhään iltapäivällä ei ole kohtuullista.

Lisätiedot

Eduskunnan puhemiehelle

Eduskunnan puhemiehelle KIRJALLINEN KYSYMYS 1355/2001 vp Ulkomaaneläkkeiden sairausvakuutusmaksut Eduskunnan puhemiehelle EU:n tuomioistuimen päätös pakottaa Suomen muuttamaan niiden eläkeläisten verotusta, jotka saavat eläkettä

Lisätiedot

Eduskunnan puhemiehelle

Eduskunnan puhemiehelle KIRJALLINEN KYSYMYS 1258/2001 vp Kelan asumistuki Eduskunnan puhemiehelle Yleinen vuokrataso on noussut viime vuosien aikana huomattavan korkeaksi. Varsinkin pienten asuntojen neliövuokrat ovat kaupungeissa

Lisätiedot

Eduskunnan puhemiehelle

Eduskunnan puhemiehelle KIRJALLINEN KYSYMYS 712/2013 vp Vammaisten henkilöiden avustajien palkkausjärjestelyn yhdenmukaistaminen Eduskunnan puhemiehelle Vammaisen henkilön avustajan työ on raskasta ja vaativaa, mutta matalasti

Lisätiedot

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän

Lisätiedot

VARHAISKASVATUSSUUNNITELMA PLANEN FÖR SMÅBARNSFOSTRAN

VARHAISKASVATUSSUUNNITELMA PLANEN FÖR SMÅBARNSFOSTRAN VARHAISKASVATUSSUUNNITELMA PLANEN FÖR SMÅBARNSFOSTRAN Hyvä kotiväki Koti ja perhe ovat lapsen tärkein kasvuympäristö ja yhteisö. Kodin ohella päivähoidon on oltava turvallinen paikka, jossa lapsesta sekä

Lisätiedot

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa

Lisätiedot

Eduskunnan puhemiehelle

Eduskunnan puhemiehelle KIRJALLINEN KYSYMYS 329/2009 vp Kasvirohdosvalmisteiden myyntikanavan määrittely lääkelaissa Eduskunnan puhemiehelle Luontaistuotealan keskusliitto ry ja Fytonomit ry ovat luovuttaneet 16.4.2009 ministeri

Lisätiedot

Tehtävien ratkaisut

Tehtävien ratkaisut Tehtävien 1948 1957 ratkaisut 1948 Kun juna matkaa AB kulkiessaan pysähtyy väliasemilla, kuluu matkaan 10 % enemmän aikaa kuin jos se kulkisi pysähtymättä. Kuinka monta % olisi nopeutta lisättävä, jotta

Lisätiedot

Eduskunnan puhemiehelle

Eduskunnan puhemiehelle KIRJALLINEN KYSYMYS 435/2003 vp Kehitysvammaisten koululaisten iltapäivähoito Eduskunnan puhemiehelle Kehitysvammaisten koululaisten iltapäivähoidon osalta on ilmennyt ongelmia ympäri Suomea. Monet kunnat

Lisätiedot

Eduskunnan puhemiehelle

Eduskunnan puhemiehelle KIRJALLINEN KYSYMYS 964/2010 vp Oppilaitosten työharjoittelujaksot Eduskunnan puhemiehelle Ammattikorkeakoulut järjestävät monimuotoopetusta, jossa yhdistellään eri opetuskeinoja joustavasti keskenään.

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4).

Tekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.12.2016 212 Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Vastaus esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4) 213 Merkitään pistettä

Lisätiedot

Eduskunnan puhemiehelle

Eduskunnan puhemiehelle KIRJALLINEN KYSYMYS 874/2010 vp Poliisikoiratoiminnan keskittäminen Itä-Uudenmaan poliisilaitoksella Eduskunnan puhemiehelle Itä-Uudenmaan poliisilaitoksella on valmisteilla muutos, jossa poliisikoiratoiminta

Lisätiedot

Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s001.doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia.

Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s001.doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia. Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s00doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia Yleistä Ratkaise yhtälöt n n n n n 5 a) 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 5 b) ( ) ( ) > 0 + = + c) ( ) Suureet ja

Lisätiedot

Eduskunnan puhemiehelle

Eduskunnan puhemiehelle KIRJALLINEN KYSYMYS 77/2011 vp Euroopan vakautusmekanismin sopimusluonnos Eduskunnan puhemiehelle Hallitus on alkukesästä 2011 esittänyt Suomen liittymistä Euroopan vakautusmekanismiin (EVM), ja euroalueeseen

Lisätiedot

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät:

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: MAA3 Geometria Koe 5.2.2016 Jussi Tyni Lue ohjeet ja tee tehtävät huolellisesti! Tee tarvittavat välivaiheet, vaikka laskimesta voikin ottaa tuloksia. Välivaiheet perustelevat vastauksesi. Tee pisteytysruudukko

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015 PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä Matematiikka..5 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä merkittyjen (*) tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6.. a) Ratkaise epäyhtälö >.

Lisätiedot

Eduskunnan puhemiehelle

Eduskunnan puhemiehelle KIRJALLINEN KYSYMYS 946/2010 vp Adr-ajolupavaatimukset Helsinki-Vantaan lentokentällä Eduskunnan puhemiehelle Autonkuljettajilta vaaditaan adr-ajolupa, mikäli he kuljettavat vaarallisia aineita yli sallittujen

Lisätiedot

Eduskunnan puhemiehelle

Eduskunnan puhemiehelle KIRJALLINEN KYSYMYS 130/2008 vp Työ- ja työkyvyttömyyseläkkeiden maksupäivä Eduskunnan puhemiehelle Työeläkkeen ja työkyvyttömyyseläkkeen maksupäivä on kuukauden ensimmäinen päivä. Tapauksissa, joissa

Lisätiedot

Eduskunnan puhemiehelle

Eduskunnan puhemiehelle KIRJALLINEN KYSYMYS 62/2003 vp Pehmytkudosreuman lääkitys Kela-korvauksen piiriin Eduskunnan puhemiehelle Pehmytkudosreuman (fibromyalgian) hoitoon käytettävät lääkkeet eivät kuulu Kelan erityiskorvattavien

Lisätiedot

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA EB-TUTKINTO 2010 MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA PÄIVÄMÄÄRÄ: 4. kesäkuuta 2010 KOKEEN KESTO: 4 tuntia (240 minuuttia) SALLITUT APUVÄLINEET: Eurooppa-koulun antama taulukkovihkonen Funktiolaskin, joka ei saa

Lisätiedot

TRIMFENA Ultra Fin FX

TRIMFENA Ultra Fin FX BRUKSANVISNING KÄYTTÖOHJE TRIMFENA Ultra Fin FX TASAUSSIIVEKE Ultra Fin FX Artikelnr./nro 31-1766 vers. 001-2003-03 Trimfena/Tasaussiiveke Ultra Fin FX B. Ca 6 mm avstånd till växelhuset. B. Vaihe 2, noin

Lisätiedot

Eduskunnan puhemiehelle

Eduskunnan puhemiehelle KIRJALLINEN KYSYMYS 416/2013 vp Kehitysvamma-alan ammattitutkinnon kelpoisuus sosiaali- ja terveysalalla Eduskunnan puhemiehelle Kehitysvamma-alan ammattitutkintoon valmistavaa koulutusta tarjotaan useissa

Lisätiedot

Lineaarialgebra MATH.1040 / voima

Lineaarialgebra MATH.1040 / voima Lineaarialgebra MATH.1040 / voima 1 Seuraavaksi määrittelemme kaksi vektoreille määriteltyä tuloa; pistetulo ja. Määritelmät ja erilaiset tulojen ominaisuudet saattavat tuntua, sekavalta kokonaisuudelta.

Lisätiedot

Harjoituksia MAA4 - HARJOITUKSIA. 6. Merkitse lukusuoralle ne luvut, jotka toteuttavat epäyhtälön x 2 < ½.

Harjoituksia MAA4 - HARJOITUKSIA. 6. Merkitse lukusuoralle ne luvut, jotka toteuttavat epäyhtälön x 2 < ½. MAA4 - HARJOITUKSIA 1 Esitä lauseke 3 x + x 4 ilman itseisarvomerkkejä Ratkaise yhtälö a ) 5x 9 = 6 b) 6x 9 = 0 c) 7x 9 + 6 = 0 3 Ratkaise yhtälö x 7 3 + 4x = 4 Ratkaise yhtälö 5x + = 3x 4 5 Ratkaise yhtälö

Lisätiedot

1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a)

1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a) Pitkä matematiikka YO-koe 9..04. a) b) 7( x ) + = x ( x ) x(5 8 x) > 0 7x + = x x + 8x + 5x > 0 7x = 0 Nollakohdat: 0 8x + 5x = 0 x = 7 x(8x 5) = 0 5 5 x = 0 tai x = Vastaus: 0 < x < 8 8 c) a+ b) a b)

Lisätiedot

Mot starkare tvåspråkighet i stadens service Kohti vahvempaa kaksikielisyyttä kaupungin palveluissa

Mot starkare tvåspråkighet i stadens service Kohti vahvempaa kaksikielisyyttä kaupungin palveluissa Mot starkare tvåspråkighet i stadens service Kohti vahvempaa kaksikielisyyttä kaupungin palveluissa SKILLNADEN II Samverkan som strategi MUUTOS II Strategiana yhteistyö 24.11.2015 Tua Heimonen Specialplanerare,

Lisätiedot

1. 3 4 p.: Kansalaisjärjestöjen ja puolueiden ero: edelliset usein kapeammin tiettyyn kysymykseen suuntautuneita, puolueilla laajat tavoiteohjelmat. Puolueilla keskeinen tehtävä edustuksellisessa demokratiassa

Lisätiedot

Eduskunnan puhemiehelle

Eduskunnan puhemiehelle KIRJALLINEN KYSYMYS 281/2011 vp Lapsettomien leskien leskeneläkkeen ikärajojen laajentaminen Eduskunnan puhemiehelle Lapsettomien leskien leskeneläkettä saavat tämänhetkisen lainsäädännön mukaan 50 65-

Lisätiedot

Eduskunnan puhemiehelle

Eduskunnan puhemiehelle KIRJALLINEN KYSYMYS 505/2006 vp Linja-autoliikenteen polttoainevero Eduskunnan puhemiehelle Hallitus on vähentänyt joukkoliikenteen tukia, mistä on erityisesti kärsinyt harvaan asuttujen seutujen joukkoliikenne.

Lisätiedot

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A) Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut

Lisätiedot

Eduskunnan puhemiehelle

Eduskunnan puhemiehelle KIRJALLINEN KYSYMYS 528/2006 vp Talous- ja velkaneuvonnan valtionosuuden kohdentaminen Enon kunnalle Eduskunnan puhemiehelle Valtion talousarviossa on määräraha talous- ja velkaneuvontaan. Lääninhallitusten

Lisätiedot

Kun pallojen keskipisteet yhdistetään, muodostuu neliöpohjainen, suora pyramidi (kuva 3), jonka sivusärmien pituudet ovat 2 pallon säde eli 2 1 = 2.

Kun pallojen keskipisteet yhdistetään, muodostuu neliöpohjainen, suora pyramidi (kuva 3), jonka sivusärmien pituudet ovat 2 pallon säde eli 2 1 = 2. Hyvän ratkaisun piirteitä: a) Neliöpohjainen rakennelma Kun pallojen keskipisteet yhdistetään, muodostuu neliöpohjainen, suora pyramidi (kuva ), jonka sivusärmien pituudet ovat 2 pallon säde eli 2 1 =

Lisätiedot

Eduskunnan puhemiehelle

Eduskunnan puhemiehelle KIRJALLINEN KYSYMYS 350/2007 vp Oikeus sairauspäivärahaan tai eläkkeeseen Eduskunnan puhemiehelle Kontiolahtelainen Kauko Riikonen koki melkoisen yllätyksen, kun hän 1.6.2004 nilkkavammasta alkaneen sairausloman

Lisätiedot

Kenguru 2016 Student lukiosarja

Kenguru 2016 Student lukiosarja sivu 1 / 9 NIMI LUOKKA Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta saat miinuspisteitä

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 23.9.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 23.9.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 3.9.05 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa

Lisätiedot

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. A III, B II, C ei mikään, D I. a) Kolmion kulmien summa on 80. Kolmannen kulman suuruus on 80 85 0 85. Kolmiossa on kaksi 85 :n kulmaa, joten se on tasakylkinen.

Lisätiedot

Eduskunnan puhemiehelle

Eduskunnan puhemiehelle KIRJALLINEN KYSYMYS 648/2002 vp Tupakkalain tulkinta Eduskunnan puhemiehelle Ympäristön tupakansavu luokitellaan syöpävaaralliseksi aineeksi. Tämä merkitsee sitä, että erityisen riskialttiita työntekijöitä,

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 110 Valitaan suoralta kaksi pistettä ja piirretään apukolmio, josta koordinaattien muutokset voidaan lukea. Vaakasuoran suoran kulmakerroin on nolla. y Suoran a kulmakerroin

Lisätiedot

Koontitehtäviä luvuista 1 9

Koontitehtäviä luvuista 1 9 11 Koontitehtäviä luvuista 1 9 1. a) 3 + ( 8) + = 3 8 + = 3 b) x x 10 = 0 a =, b = 1, c = 10 ( 1) ( 1) 4 ( 10) 1 81 1 9 x 4 4 1 9 1 9 x,5 tai x 4 4 c) (5a) (a + 1) = 5a a 1 = 4a 1. a) Pythagoraan lause:

Lisätiedot

Eduskunnan puhemiehelle

Eduskunnan puhemiehelle KIRJALLINEN KYSYMYS 440/2012 vp Taksiautoilijoiden ajoluvan ikäraja Eduskunnan puhemiehelle Taksiautoilijat sekä linja- ja kuorma-auton kuljettajat ovat olennainen osa tieliikennettämme, ja heidän kykynsä

Lisätiedot

Solmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä:

Solmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Frégier n lause Simo K. Kivelä Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Suorakulmaisen kolmion kaikki kärjet sijaitsevat paraabelilla y = x 2 ; suoran kulman

Lisätiedot

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 17.10.016 Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ 1. A III, B II, C ei mikään, D I. a) Kolmion kulmien summa on 180. Kolmannen kulman

Lisätiedot

XXIII Keski-Suomen lukiolaisten matematiikkakilpailu 23.1.2014, tehtävien ratkaisut

XXIII Keski-Suomen lukiolaisten matematiikkakilpailu 23.1.2014, tehtävien ratkaisut XXIII Keski-Suomen lukiolaisten matematiikkakilpailu 23.1.2014, tehtävien ratkaisut 1. Avaruusalus sijaitsee tason origossa (0, 0) ja liikkuu siitä vakionopeudella johonkin suuntaan, joka ei muutu. Tykki

Lisätiedot

Eduskunnan puhemiehelle

Eduskunnan puhemiehelle KIRJALLINEN KYSYMYS 986/2009 vp Auton katsastamisen mahdollistaminen Espanjassa Eduskunnan puhemiehelle Huomattava määrä suomalaisia asuu osan vuotta Espanjassa. Monilla on siellä oma Suomessa rekisteröity

Lisätiedot

A Lausekkeen 1,1 3 arvo on 1,13 3,3 1,331 B Tilavuus 0,5 m 3 on sama kuin 50 l 500 l l C Luvuista 2 3, 6 7

A Lausekkeen 1,1 3 arvo on 1,13 3,3 1,331 B Tilavuus 0,5 m 3 on sama kuin 50 l 500 l l C Luvuista 2 3, 6 7 1 Tuotteen hinta nousee ensin 10 % ja laskee sitten 10 %, joten lopullinen hinta on... alkuperäisestä hinnasta. alkuperäisestä hinnasta. YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 23.3.2016 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ

Lisätiedot

Eduskunnan puhemiehelle

Eduskunnan puhemiehelle KIRJALLINEN KYSYMYS 95/2006 vp Saamenkieliset ylioppilaskirjoitukset Eduskunnan puhemiehelle Saamen kielen aseman parantamiseksi Suomessa tuli vuonna 1992 voimaan kielilaki. Vuonna 2004 tuli voimaan saamen

Lisätiedot

Integrointi ja sovellukset

Integrointi ja sovellukset Integrointi ja sovellukset Tehtävät:. Muodosta ja laske yläsumma funktiolle fx) x 5 välillä [, 4], kun väli on jaettu neljään yhtä suureen osaan.. Määritä integraalin x + ) dx likiarvo laskemalla alasumma,

Lisätiedot

Dermovat scalp 0,5 mg/ml liuos iholle Klobetasolipropionaatti

Dermovat scalp 0,5 mg/ml liuos iholle Klobetasolipropionaatti PAKKAUSSELOSTE Lue tämä seloste huolellisesti, ennen kuin aloitat lääkkeen käyttämisen - Säilytä tämä seloste. Voit tarvita sitä myöhemmin. - Jos sinulla on lisäkysymyksiä, käänny lääkärisi tai apteekin

Lisätiedot

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 180 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 180 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 8 Päivitetty 7.5.6 Pyramidi 4 Luku 5..6 Ensimmäinen julkaistu versio 7.5.6 Korjattu tehtävän 56 vastaus Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien

Lisätiedot

Eduskunnan puhemiehelle

Eduskunnan puhemiehelle KIRJALLINEN KYSYMYS 777/2008 vp Kelan maksamat matkakorvaukset oman auton käytöstä Eduskunnan puhemiehelle Kela korvaa sairauden ja kuntoutuksen vuoksi tehtyjen matkojen kuluja. Kelan toimistosta voi hakea

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE. Lyhyt Matematiikka 3.2.2015

PRELIMINÄÄRIKOE. Lyhyt Matematiikka 3.2.2015 PRELIMINÄÄRIKOE Lyhyt Matematiikka..015 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. 1. a) Sievennä x( x ) ( x x). b) Ratkaise yhtälö 5( x 4) 5 ( x 4). 1 c)

Lisätiedot

Eduskunnan puhemiehelle

Eduskunnan puhemiehelle KIRJALLINEN KYSYMYS 1091/2005 vp Opintotuen asumislisä Eduskunnan puhemiehelle Opintotuki koostuu opintorahasta, asumislisästä ja valtion takaamasta opintolainasta. Opintorahaa ja opintolainaa saa kuka

Lisätiedot

Eduskunnan puhemiehelle

Eduskunnan puhemiehelle KIRJALLINEN KYSYMYS 910/2012 vp Tarkkaavaisuushäiriöstä kärsivän lääkehoito Eduskunnan puhemiehelle Psykostimulanttien käyttö tarkkaavaisuushäiriön hoidossa on viime vuosina yleistynyt. Esimerkiksi YK:n

Lisätiedot

Eduskunnan puhemiehelle

Eduskunnan puhemiehelle KIRJALLINEN KYSYMYS 590/2013 vp Poliisimiesten sivutyöluvat ja poliisijohdon palkkataso Eduskunnan puhemiehelle Lähes peräkkäisinä päivinä uutisoitiin ensin poliisimiesten sivutöistä ja niiden laillisuudesta

Lisätiedot