Kokonaislukuoptimointi

Transkriptio

1 Kokonaislukuoptimointi Algebrallisen geometrian sovelluksia

2 Sisältö Taustaa algebrallisesta geometriasta Gröbnerin kanta Buchbergerin algoritmi Kokonaislukuoptimointi Käypyysongelma Algoritmi ratkaisun löytämiseen Kirjan luvussa on lisäksi binäärioptimointia, reaalilukuoptimointia (polynominen kohdefunktio sekä polynomiset rajoitusehdot) sekä kokonaislukupisteiden generoivia funktioita. Nämä sivuutetaan tässä esityksessä.

3 Merkintöjä Multi-indeksi α : α Monomi x : Polynomi f : f α α x (x) = ( α,..., α ) = = x α... α S f n n Z + α n x n x α α n kpl muuttujan polynomien joukkoa kertojakunnalla k (reaali- tai kompeksiluvut) merkitään k x,..., x ] [ n

4 Polynomien algebra Polynomien joukko muodostaa kommutatiivisen algebran, kun se varustetaan normaalilla yhteenja kertolaskulla. Polynomien algebralla ei ole käänteisalkiota.

5 Monomijärjestys n Relaatio joukolla on Monomijärjestys, jos > Z + a) > täydellinen järjestys n b) Jos α > β ja γ Z +, niin α + γ > β + γ n c) Jokaisella epätyhjällä joukolla A Z on pienin + alkio > :n suhteen

6 Leksikografinen järjestys Määritellään leksikografinen järjestys seuraavasti: α > β α β > lex lex jos vektorin vasemmanpuolimmaisin nollasta poikkeava alkio on positiivinen Esimerkiksi,,0) > (,,3), koska ( lex (,,0) (,,3) = (0,, 3)

7 Johtotermi Olkoon annettuna monomijärjestys > ja α polynomi f (x) = f. Merkitään multideg α S αx ( f ) = max α α S Johtava kerroin Johtava monomi Johtotermi ( f ) f multideg ( f ) ( f ) multideg ( f ) x ( f ) LC( f ) LM ( f ) L C = L M = LT =

8 Ideaali I k[ x,..., x n ] on ideaali, jos a) 0 I b) Jos f, g I, niin f + g I hf I h k x,..., x ] c) kaikilla ja [ n f I Ideaalin I nollakohtien joukkoa (affine variety) merkitään V (I ): V ( I ) = { n x k f ( x) = 0, kaikille f I}

9 Hilbertin kantalause Jokainen ideaali I on äärellisesti generoitu: On olemassa g g k[ x,..., x ] siten, että,..., t n t I = hi g i h,..., ht k[ x,..., x ] i= Merkitään I = g,..., g. t

10 Heikko nollakohtien lause Olkoon I C x,..., x ] ideaali, jolle pätee [ n V (I ) = I = C x,..., x ]. Tällöin [ n

11 Radikaali Ideaali on radikaali, jos jollain m Z + I seuraa, että f I. f m I Merkitään I (V ):llä joukkoa polynomeja, joilla on nollakohdat V :ssä I (V ) on ideaali. on radikaali. I (V )

12 Hilbertin nollakohtien lause Olkoon f f,..., f C[ x,..., x ]. Tällöin, s n f I ( V ( f,..., f s )) jos ja vain jos on m olemassa siten että f f,..., m < f s > Seurauslause: I I ( V ( I )) jos ja vain jos on olemassa ja siten, että m f I f m I

13 Ideaalin generoima radikaali Olkoon ideaali. :n radikaali on I I I I { m f f I jollain } = m

14 Farkasin lause Olkoon g g C[ x,..., x ]. Systeemillä,..., t n g i ( x) = 0, i =,..., t, ei ole ratkaisua jos ja vain jos on olemassa polynomit h h C[ x,..., x ] siten, että,..., t n t i= h i g i =.

15 Jakojäännös Esimerkki: Valitaan leksikografinen järjestys, ja olkoon g = xy +, g = y ja f = xy x Jaetaan ensin g :llä ja sitten :lla: g f = y( xy + ) + 0( y ) + ( x Jaetaan ensin g :lla ja sitten g:llä f = x( y ) + 0( xy + ) + 0 Huomataan, että jakojäännös riippuu järjestyksestä y)

16 Gröbnerin kanta { } Olkoon G = g,..., g t ja I = g,..., gt. G on Gröbnerin kanta ideaalille I jos seuraavat väittämät ovat yhtäpitäviä:. f I. f :n jakojäännös jaettuna kaikilla G:n alkioilla on nolla riippumatta siitä, missä järjestyksessä jakolaskut suoritetaan.

17 Buchbergerin algoritmista I { } Olkoon F = f,..., f s joukko polynomeja, ja olkoon < monomijärjestys Buchbergerin algoritmi tuottaa Gröbnerin kannan ideaalille I =< f,..., fs >

18 Buchbergerin algoritmi. Alustus: G : = f,..., f s. Jokaiselle p, q G = multideg( p) β = multideg γ i = max( αi, βi ) ja γ = ( γ,...,γ n ). a) Olkoon ja, b) Laske ( ) α ( q) x S( p, q) = LT γ p ( p) LT( q) q c) Laske S( p, q) :n jakojäännös r järjestetyllä joukolla G. d) Jos r 0, määritä G = ( G, r); ja palaa kohtaan. e) Jos r = 0 kaikille p, q G, niin G on Gröbnerin kanta. x γ

19 Bucbergerin algoritmista II Algoritmi toimii kaikille monomijärjestyksille ja kaikille ideaaleille I. Algoritmin tuottamassa Gröbnerin kannassa on yleensä tarpeettomia alkioita Algoritmia voidaan jatkaa havaitsemalla, että jos p G on sellainen, että LT( p ) LT( G \ p), niin myös G \ p on alkuperäisen ideaalin Gröbnerin kanta (ks. Kirjasta eliminointi ja jatkaminen)

20 Minimaalinen ja redusoitu Gröbnerin kanta G on ideaalin I minimaalinen Gröbnerin kanta, jos se on I:n Gröbnerin kanta ja pätee:. LC(p) = kaikille p G. Kaikille G pätee p LT( p ) LT( G \ p) G on ideaalin I redusoitu Gröbnerin kanta, jos se on I:n Gröbnerin kanta ja pätee:. LC(p) = kaikille p G. Kaikille p G pätee, että yksikään p :n monomi ei kuulu LT G \ p : ( ) hen

21 Redusoidusta Gröbnerin kannasta Jokaisella polynomi-ideaalilla on yksikäsitteinen redusoitu Gröbnerin kanta Buchbergerin algoritmia voidaan käyttää kannan etsimiseen. Tällöin tarvitaan lisäksi systemaattinen tapa eliminoida ylimääräisiä kannan alkioita.

22 Kokonaislukuoptimointi minimoi ehdolla c'x Ax = b () x Z missä c, A, ja b ovat kokonaislukuarvoisia. Tavoitteena ratkaista tehtävä algebrallisen geometrian työkaluilla Tässä esitelmässä rajoitutaan tapaukseen, jossa kaikki matriisit, vakiot ja muuttujat ovat positiiviarvoisia. Kurssikirjassa on esitetty tapa yleistää tämä tulos. n +,

23 Kokonaislukuoptimointi Määritellään uudet muuttujat, yksi jokaista rajoitusehtoa kohden, kaavalla Määritellään toiset muuttujat ja kuvaus missä ai x ainxn bi zi = zi i =,..., m φ : C[ w,..., wn ] C[ z,..., z m ] z i w j siten, että φ ( g( w,..., wn )) = g( φ( w ),..., φ( w n φ( w j ) = m i= z a i ij )),

24 Käypyysongelma n Propositio: x Z + on käypä ongelmalle () jos ja x b vain jos φ( w ) = z Esimerkki: Nyt 4x x + 5x + 3x = 37 = 0 ja,..., x on käypä jos ja vain jos 4 x x x3 x4 37 φ( w w w w = z + x x x 4 i Z + kaikilla i =,,3, φ( w ) = z z, φ( w ) = z z, φ( w3 ) = z, φ( w4 ) = z, ( ) x ) z

25 Käypyysongelma II aij Propositio: Merkitään f j = φ( w j ) = zi, olkoon I = f w,..., fn wn C[ z,..., zm, w,..., wn ], ja olkoon G Gröbnerin kanta I:lle monomijärjestyksellä z >... > z > w. Tällöin m n > w. Kaikki G:n alkiot ovat erotuksia kahdesta monomista. Jos monomi f riippuu ainoastaan muuttujista, niin f:n jakojäännös G:n suhteen on monomi. m i= z i

26 Käypyysongelma III b Kirja antaa ymmärtää, että polynomin z jakojäännöksen asteluvuista G:n suhteen voidaan lukea alkuperäisen ongelman () käypä ratkaisu. Tätä ei ole kuitenkaan muotoiltu kirjassa lauseeksi. Tämä seuraa kuitenkin kirjan lauseen 7. todistuksesta.

27 Käypyysongelma IV Esimerkki (jatkuu): Edellisen esimerkin ideaali on ja tämän Gröbnerin kanta edellä mainitun järjestyksen suhteen on G = { z :n jakojäännös G:n suhteen on w w w, joten alkuperäisen ongelman yksi käypä ratkaisu on (4,4,,0) I =< z z w, z z w, z w3, z w4 >, w, z w w w w w, w 3 4 4, w w 4 w 4 3 w, w w 3 3 w w 4 3, w 3 3 w w w w 3 }. z z 3,

28 Kokonaislukuoptimointiongelma Idea: Palautetaan ongelma käypyysongelmaksi, ratkaistaan se algebrallisen geometrian työkaluilla valiten monomijärjestys siten, että se ottaa huomioon kustannnusvektorin c.

29 Vektorin indusoima monomijärjestys n Olkoon c Z + ja α, β multi-indeksejä. Sanotaan α β jos > c c ' α > c' β, tai c' α = c' β ja α > lex β Ei ole vaikea tarkistaa, että tämä todellakin on monomijärjestys Kokonaislukuoptimointisovelluksen kannalta ei ole oleellista, miten monomit järjestetään, mikäli sisätulo c :n kanssa on yhtä suuri..

30 Kokonaislukuoptimointiongelma Vaaditaan monomijärjestykseltä z >... > z m > wi kaikilla i =,..., n, x sekä järjestetään monomit w kustannusvektorin c indusoimalla monomijärjestyksellä

31 Kokonaislukuoptimointialgoritmi f = ij. Olkoon ja j m i= z. Laske Gröbnerin kanta G ideaalille I käyttäen edellä mainittua järjestystä. 3. Laske jakojäännös r :stä G:n suhteen. a i z b x r = w... w * I = f w,..., 4. Jos jakojäännös n, niin optimiratkaisu * * ():lle on ( x,..., ). Muulloin ongelmalla ei ole käypää xn ratkaisua. * x n f n w n