TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Roosa Niemi. Riippuvuuslogiikkaa

Transkriptio

1 TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Roosa Niemi Riippuvuuslogiikkaa Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Syyskuu 2011

2 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden yksikkö ROOSA NIEMI: Riippuvuuslogiikkaa Pro gradu -tutkielma, 27 sivua Matematiikka Syyskuu 2011 Tiivistelmä Tutkielma käsittelee logiikkaa ja sen tutkimusalueista etenkin riippuvuuslogiikkaa. Aluksi tutustutaan ensimmäisen kertaluvun logiikkaan, sen keskeisimpiin käsitteisiin ja semantiikkaan. Tämän jälkeen keskitytään riippuvuuslogiikkaan. Riippuvuuslogiikan osalta tutkitaan käsitteiden ja semantiikan eroja ensimmäisen kertaluvun logiikkaan ja käydään läpi myös loogista ekvivalenssia. Lopuksi tutkitaan ensimmäisen kertaluvun logiikan ja riippuvuuslogiikan kaavojen yhteyttä. Riippuvuuslogiikan kaavat voivat olla ensimmäisen kertaluvun logiikan kaavoja tai loogisesti ekvivalentteja ensimmäisen kertaluvun logiikan kaavojen kanssa. Tärkeimpänä lähdeteoksena on käytetty Jouko Väänäsen teosta Dependence logic. 2

3 Sisältö 1 Johdanto 4 2 Ensimmäisen kertaluvun logiikka Termi ja kaava Malli ja tulkintafunktio Semantiikkaa Riippuvuuslogiikka Kaavat riippuvuuslogiikassa Semantiikkaa Looginen ekvivalenssi Ensimmäisen kertaluvun logiikan ja riippuvuuslogiikan yhteys 22 Viitteet 27 3

4 1 Johdanto Tämä työ käsittelee predikaattilogiikkaa kahdella eri lähestymistavalla. Ensin tutustutaan ensimmäisen kertaluvun logiikaan, minkä jälkeen on vuorossa riippuvuuslogiikka. Lopuksi tutkitaan yhteyttä näiden kahden välillä. Ensimmäisen kertaluvun logiikassa kaava x = y tarkoittaa sitä, että x:n ja y:n arvot ovat samat. Tämä on triviaalitapaus riippuvuudesta. Kaava fx = y puolestaan tarkoittaa sitä, että funktiosymboli f liittää x:n arvon arvoon y. Tämä on tärkeä riippuvuuden muoto, joka määräytyy funktion f mukaan. Riippuvuuslogiikassa riippuvuudelle on kaava (1.1) = (x, y), joka tarkoittaa, että x:n ja y:n arvot riippuvat toisistaan. Tässä tapauksessa erona edellisiin ei siis tarkalleen tiedetä, miten x ja y riippuvat toisistaan; tiedetään vain, että jollakin tavalla x ja y määräävät toistensa arvon. Riippuvuus on yleinen ilmiö päivittäisessä elämässä. Tiedetään esimerkiksi, että sää riippuu ilman paineesta ja lämpötilasta, tuulen suunnasta ja niin edelleen. Matemaattisista malleista huolimatta ei voida kuitenkaan ratkaista tarkkaa funktiota, jota säätila noudattaisi. Säätilassa on siis kyse kaavan (1.1) kaltaisesta riippuvuudesta. Tutkielman luku 2 käsittelee ensimmäisen kertaluvun logiikkaa. Luvussa käydään läpi logiikan oleellisimpia käsitteitä ja annetaan muun muassa määritelmä totuudelle ensimmäisen kertaluvun logiikassa. Luvussa 3 keskitytään riippuvuuslogiikkaan; tutkitaan, onko käsitteiden määrittelyssä eroja ensimmäisen kertaluvun logiikkaan. Annetaan myös määritelmä totuudelle riippuvuuslogiikassa ja tutustutaan loogiseen ekvivalenssiin. Viimeisessä luvussa 4 tutkitaan tarkemmin yhteyttä ensimmäisen kertaluvun logiikan ja riippuvuuslogiikan välillä. Riippuvuuslogiikan kaavat voivat olla suoraan ensimmäisen kertaluvun logiikan kaavoja tai loogisesti ekvivalentteja ensimmäisen kertaluvun kaavojen kanssa. Kappaleessa esitellään myös käyttökelpoinen testi, niin sanottu litteystesti, jolla voidaan tarkistaa, ovatko kaavat loogisesti ekvivalentteja keskenään. Tutkielman tärkeimpinä lähdeteoksina ovat Dependence logic (Väänänen) ja Mathematical logic (Ebbinghaus, Flum & Thomas). 4

5 2 Ensimmäisen kertaluvun logiikka Tässä kappaleessa keskitytään ensimmäisen kertaluvun logiikkaan lähteiden [1] ja [2] perusteella. Käydään läpi oleellisimpia käsitteitä, joita esiintyy myöhemmin myös riippuvuuslogiikan yhteydessä kappaleessa 3. Määritellään ensin käytössä oleva aakkosto [2, s. 13]. Määritelmä 2.1. Aakkosto koostuu seuraavista merkeistä: (a) muuttujat: v 0, v 1, v 2,... (b) konnektiivit:,,,, (c) kvanttorit:, (d) identiteettisymboli: = (e) sulkeet: ), ( (f) joukko n-paikkaisia relaatiosymboleita kaikilla n 1 joukko n-paikkaisia funktiosymboleita kaikilla n 1 joukko vakiosymboleita. Merkitään määritelmän kohdissa (a)-(e) lueteltujen merkkien joukkoa kirjaimella A ja kohdan (f) merkkejä kirjaimella L. Mainittakoon vielä, että joukko L saattaa olla tyhjä joukko. Käytössä oleva aakkosto on siis A L := A L. Sanat ovat äärellisiä merkkijonoja, joissa kaikki merkit kuuluvat joukkoon A L. Merkinnällä A L tarkoitetaan kaikkien sanojen joukkoa joukossa A L. Jokaisella merkillä s, joka kuuluu joukkoon L, on paikkaluku # L (s), joka on luonnollinen luku. Vakion paikkaluku on aina nolla. Merkitään tästä lähin vakioita kirjaimella c, funktioita kirjaimella f ja relaatioita kirjaimella R. Muuttujia merkitään x, y, z ja niin edelleen. 2.1 Termi ja kaava Ensimmäisen kertaluvun logiikassa kaavat edustavat väitelauseita ja termit yksilöitä. Atomikaavat kuvaavat yksilöiden välisiä suhteita. Annetaan määritelmä termille. Tämä kappale mukailee lähdettä [2, kappale 2.3]. Määritelmä 2.2. L-termien joukko T L on pienin joukko siten, että (T1) kaikki muuttujat ovat L-termejä, (T2) kaikki vakiot joukossa L ovat L-termejä ja (T3) jos sanat t 0,..., t n 1 ovat L-termejä ja f on n-paikkainen funktiosymboli joukossa L, niin ft 0... t n 1 on myös L-termi. 5

6 Esimerkki 2.1. Olkoon L = {f, g, c, R}, missä f ja g ovat funktiosymboleita siten, että # L (f) = 1 ja # L (g) = 2. Tällöin gv 0 fgv 4 c on L-termi. Ensinnäkin c on L-termi (T2):n perusteella. Muuttujat v 0 ja v 4 ovat L-termejä (T1):n perusteella. Koska c ja v 4 ovat L-termejä, niin kohdan (T3) perusteella myös gv 4 c on L-termi. Kun yhdistämme tähän funktiosymbolin f saamme edelleen (T3):n perusteella L-termin fgv 4 c. Kun nyt v 0 ja fgv 4 c ovat L-termejä, niin (T3):n perusteella myös gv 0 fgv 4 c on L-termi. L-termin käsitettä tarvitaan seuraavaksi, kun määritellään L-kaava. Määritelmä 2.3. L-kaavojen joukko K L on pienin joukko siten, että (K1) jos t 0 ja t 1 ovat L-termejä, niin t 0 = t 1 on L-kaava, (K2) jos t 0,... t n 1 ovat L-termejä ja R on n-paikkainen relaatiosymboli joukossa L, niin Rt 0... t n 1 on L-kaava, (K3) jos ϕ on L-kaava, niin myös ϕ on L-kaava, (K4) jos ϕ ja ψ ovat L-kaavoja, niin myös (ϕ ψ) on L-kaava ja (K5) jos ϕ on L-kaava ja x on muuttuja, niin xϕ on myös L-kaava. Kohtien (K1) ja (K2) kaavoja sanotaan atomikaavoiksi. Merkitään L- termejä kirjaimilla t, t 0, t 1... ja L-kaavoja ϕ, ψ, φ,... Huomattakoon, että jatkossa käytämme seuraavia merkintöjä [1, s. 6]: (φ ψ) tarkoittaa kaavaa ( φ ψ), (φ ψ) tarkoittaa kaavaa ( φ ψ), (φ ψ) tarkoittaa kaavaa ((φ ψ) (ψ φ)) ja x n φ tarkoittaa kaavaa x n φ. Esimerkki 2.2. Olkoon G kaksipaikkainen ja P kolmipaikkainen relaatiosymboli joukossa L ja x, y ja z muuttujia. Tällöin x(gxz P xyz) on L-kaava. Kaikki muuttujat ovat L-termejä (Määr 2.2), joten Gxz ja P xyz ovat (K2):n perusteella L-kaavoja. Näin ollen Gxz P xyz on L-kaava (K3) ja (K4):n perusteella. Edelleen ehtoja (K3) ja (K5) käyttämällä saadaan, että x(gxz P xyz) on L-kaava. L-termin t muuttujien joukkoa merkitään Var(t). Annetaan tälle joukolle nyt määritelmä. 6

7 Määritelmä 2.4. L-termin muuttujien joukko Var(t) määritellään rekursiivisesti siten, että Var(x) = {x}, Var(c) = Var(ft 0... t n 1 ) = Var(t 0 ) Var(t n 1 ). Seuraavaksi voidaan määritellä L-kaavan φ vapaiden muuttujien joukko Fr(φ). Määritelmä 2.5. [1, s. 7] L-kaavan φ vapaiden muuttujien joukko Fr(φ) määritellään rekursiivisesti siten, että ja Fr(t 1 = t 2 ) = Var(t 1 ) Var(t 2 ), Fr(Rt 1... t n ) = Var(t 1 ) Var(t n ), Fr(φ ψ) = Fr(φ) Fr(ψ), Fr( φ) = Fr(φ) ja Fr( xφ) = Fr(φ) \ {x}. Jos Fr(φ) =, niin sanotaan, että φ on L-lause. Seuraava esimerkki havainnollistaa L-kaavan vapaiden muuttujien joukon laskemista. Esimerkki 2.3. Olkoon R kaksipaikkainen relaatiosymboli joukossa L ja x, y ja z vakioita. Nyt Fr(Ryx y y = z) = Fr(Ryx) Fr( y y = z) = Var(y) Var(x) (Fr( y = z) \ {y}) = {y} {x} (Var(y) Var(z) \ {y}) = {x, y} ({y, z} \ {y}) = {x, y, z}. 2.2 Malli ja tulkintafunktio L-kaavojen totuutta tutkitaan L-mallissa. Oikeastaan kaikki matemaattiset struktuurit ovat L-malleja sopivalla joukolla L. Esimerkiksi reaalilukujen joukko on L-malli. Tämä ja seuraava kappale mukailee lähdettä [1, s. 5-9]. Annetaan L-mallille nyt määritelmä. Määritelmä 2.6. L-malli M on kokonaisuus, joka koostuu seuraavista osista: (a) epätyhjästä joukosta M, jota sanotaan mallin M määrittelyjoukoksi (b) joukosta vakioita c M kaikilla c L 7

8 (c) joukosta # L (R)-paikkaisia relaatioita R M M, kun R L ja (d) joukosta # L (f)-paikkaisia funktioita f M, kun f L. Toinen tärkeä käsite on tulkintafunktio, joka voidaan määritellä L-mallissa. Tulkintafunktioita tarvitaan, kun aletaan tutkia ensimmäisen kertaluvun logiikan semantiikkaa. Määritelmä 2.7. Tulkintafunktio s L-mallissa M on funktio s : V M, missä V on joukko muuttujia ja M mallin M määrittelyjoukko. Jos s on tulkintafunktio ja t L-termi, jolla Var(t) dom(s), niin tulkintafunktio liittää M:n arvon t M s L-termiin siten, että c M s = c M, x M n s = s(x n ) ja (ft 1... t n ) M s = f M (t M 1 s,..., t M n s ). Kuva 1: Tulkintafunktion havainnollistus (vrt. [4, s.22]) Määritellään myös muunneltu tulkintafunktio. Jos s on tulkintafunktio ja n N, niin s(a/x n ) on kuten tulkintafunktio s, mutta kuvaa alkion x n alkioksi a. Eli dom(s(a/x n )) = dom(s) {x n }, s(a/x n )(x i ) = s(x i ), kun x i dom(s)\ {x n } ja s(a/x n )(x n ) = a. 2.3 Semantiikkaa Semantiikka ensimmäisen kertaluvun logiikassa määritellään useimmiten L- kaavojen totuuden perusteella. Jos tulkintafunktio s toteuttaa L-kaavan φ L-mallissa M, merkitään M = s φ. Perinteisesti joukko T määritellään suoraan totuusrelaation = avulla. Määrittelemme nyt kuitenkin joukon T joukkona kolmikkoja (φ, s, d) T, sillä tämä määrittelytapa sopii hyvin myös riippuvuuslogiikan yhteyteen (kappale 3.2). 8

9 Määritelmä 2.8. Olkoon M L-malli. Määritellään joukko T pienimpänä joukkona siten, että: (P1) jos t M 1 s = t M 2 s, niin (t 1 = t 2, s, 1) T (P2) jos t M 1 s t M 2 s, niin (t 1 = t 2, s, 0) T (P3) jos (t M 1 s,..., t M n s ) R M, niin (Rt 1... t n, s, 1) T (P4) jos (t M 1 s,..., t M n s ) / R M, niin (Rt 1... t n, s, 0) T (P5) jos (φ, s, 1) T tai (ψ, s, 1) T, niin ((φ ψ), s, 1) T (P6) jos (φ, s, 0) T ja (ψ, s, 0) T, niin ((φ ψ), s, 0) T (P7) jos (φ, s, 1) T niin ( φ, s, 0) T (P8) jos (φ, s, 0) T niin ( φ, s, 1) T (P9) jos (φ, s(a/x n ), 1) T jollakin a M, niin ( x n φ, s, 1) T ) (P10) jos (φ, s(a/x n ), 0) T kaikilla a M, niin ( x n φ, s, 0) T ). Lopuksi määritellään, että M = s φ jos (φ, s, 1) T. Kaavan φ sanotaan olevan looginen seuraus kaavasta ψ (ψ φ), jos kaikilla malleilla M ja kaikilla tulkintafunktioilla s M, joilla M = s ψ, pätee myös M = s φ. Lause 2.1. [1, teht. 2.1] Kaikilla φ K L joko (φ, s, 1) T tai (φ, s, 0) T. Todistus. Jaetaan todistus viiteen kohtaan. (i) Olkoon φ muotoa t 1 = t 2, jolloin joko t M 1 s = t M 2 s tai t M 1 s t M 2 s ja edelleen kohtien P1 ja P2 perusteella joko (t 1 = t 2, s, 1) T tai (t 1 = t 2, s, 0) T. (ii) Olkoon φ muotoa Rt 1... t n, jolloin joko (t M 1 s,..., t M n s ) R M tai (t M 1 s,..., t M n s ) / R M. Tällöin ehtojen P3 ja P4 ehtojen perusteella joko (Rt 1... t n, s, 1) T tai (Rt 1... t n, s, 0) T. (iii) Oletetaan, että väite pätee kaavalle ψ K L. Olkoon nyt φ muotoa ψ. Koska joko (ψ, s, 1) T tai (ψ, s, 0) T, niin ehtojen P7 ja P8 perusteella myös ( ψ, s, 1) T tai ( ψ, s, 0) T. (iv) Oletetaan, että väite pätee kaavoille ψ, θ K L. Olkoon φ = ψ θ. Jos (ψ, s, 0) T ja (θ, s, 0) T, niin kohdan P6 perusteella (ψ θ, s, 0) T. Jos taas (ψ, s, 0) / T tai (θ, s, 0) / T, niin oletuksen perusteella (ψ, s, 1) T tai (θ, s, 1) T, jolloin kohdan P5 perusteella (ψ θ, s, 1) T. 9

10 (v) Olkoon sitten φ muotoa x n ψ jollakin n N. Jos (ψ, s(a/x n ), 1) T jollakin a M, niin kohdan P9 perusteella ( x n ψ, s, 1) T ). Mutta jos (ψ, s(a/x n ), 1) / T millään a M, niin on oltava (ψ, s(a/x n ), 0) T kaikilla a M, jolloin kohdan P10 perusteella ( x n ψ, s, 0) T. Kohtien (i)-(v) perusteella väite pätee. Määritellään nyt kaksi käyttökelpoista operaatiota φ φ d ja φ φ p käyttämällä hyväksi konjunktiota ja universaali-kvanttoria ([1, s. 9]). Operaatiota φ d sanotaan kaavan φ duaaliksi ja operaatiota φ p kaavan φ negaationormaalimuodoksi. Kaava on negaationormaalimuodossa, jos negaatiota on ainoastaan atomikaavojen edessä. Määritelmä 2.9. L-kaavan φ duaali ja negaationormaalimuoto määritellään siten, että φ d = φ, jos φ on atomikaava φ p = φ, jos φ on atomikaava ( φ) d = φ p ( φ) p = φ d (φ ψ) d = φ d ψ d (φ ψ) p = φ p ψ p ( x n φ) d = x n φ d ( x n φ) p = x n φ p. Mainittakoon, että kaavan duaalille ja negaationormaalimuodolle on voimassa ehdot: (φ d ) d = φ p ja (φ p ) p = φ p. 10

11 3 Riippuvuuslogiikka Tässä kappaleessa määritellään logiikka, jossa kuvataan riippuvuutta atomikaavoilla. Kutsutaan tätä logiikka riippuvuuslogiikaksi ja merkitään sitä kirjaimella D. Kappale mukailee lähdettä [1, kappale 3]. Riippuvuuslogiikan erona ensimmäisen kertaluvun logiikkaan ovat uudet atomikaavat. Ensimmäisen kertaluvun logiikassa tutkimme tulkintafunktioita, mutta nyt tutkimmekin tulkintafunktiojoukkoja. Tämä johtuu oikeastaan siitä, että riippuvuudesta ei voida sanoa mitään yhden tapauksen perusteella. Riippuvuutta voidaan tutkia vasta, kun nähdään joukko tulkintafunktioita. Määritelmä 3.1. Joukkue on joukko X tulkintafunktioita, joilla on sama määrittelyjoukko dom(x) ja sama maalijoukko M. Joukkuetta, jolla on maalijoukko M sanotaan M:n joukkueeksi. Jos V on äärellinen joukko muuttujia, niin merkintä Team(M, V ) tarkoittaa kaikkia M:n joukkueita, joilla on määrittelyjoukko V. Joukkue on siis joukko tulkintafunktioita. Intuitiivisesti ajatellen joukkue voisi olla shakkipeli kahden pelaajan välillä: lista kaikista tehdyistä siirroista muodostaa joukkueen [4, s. 15]. Tällöin siirtojonot ovat tulkintafunktioita. Tulkintafunktion s määrittelyjoukkoa dom(s) voidaan kutsua muuttujiksi. Jos muuttujia on määrä n ja mahdollisia arvoja jokaiselle muuttujalle määrä m, niin tulkintafunktioita on yhteensä m n. Joukkue on yksinkertaisesti osajoukko tästä kaikkien mahdollisten tulkintafunktioiden joukosta. Tarkemmin ottaen muuttujia merkitään x 0, x 1, x 2... Tulkintafunktioita on tapana merkitä kirjaimella s, joten jatkossa merkintä s(x n ) tarkoittaa tulkintafunktion s muuttujan x n arvoa. Esimerkki 3.1. Joukkue, tulkintafunktiot ja muuttujat voidaan esittää taulukon muodossa. Otetaan esimerkiksi viisi tulkintafunktiota, joilla on muuttujat {x 0, x 1, x 2 }. Muuttujien mahdolliset arvot kuuluvat rationaalilukuihin. Taulukosta 1 voidaan lukea, että esimerkiksi s 2 (x 0 ) = 11, 1. Huomataan myös, että muuttujan x 2 arvo on kaikilla tulkintafunktioilla sama. Taulukko 1: x 0 x 1 x 2 s 0 10,1 0,71 3 s 1 15,3 0,70 3 s 2 11,1 0,68 3 s 3 21,7 0,66 3 s 4 19,5 0,73 3 Tyhjä joukkue tarkoittaa sitä, että taulukossa ei ole yhtään riviä tai että esimerkiksi shakkipelissä ei ole pelattu yhtään peliä. Joukkue { } taas 11

12 tarkoittaa sitä, että taulukossa ei ole sarakkeita ja vain yksi rivi. Peliesimerkissä tämä tarkoittaisi, että pelissä ei ole tehty vielä yhtään siirtoa. [4, s. 25] Esimerkki 3.2. Jalkapallojoukkuetta voidaan hyvin ajatella joukkueena. Pelaajat ovat tulkintafunktioita, jotka muodostavat joukkueen. Pelaajille voidaan määrittää eri muuttujia, kuten pelinumero tai paidan ja shortsien väri (Taulukko 2). Merkitään muuttujia eksaktisti x 0, x 1 ja x 2. Jos halutaankin ottaa muuttujiin vain paidan ja shortsien värit, tulkintafunktioista jätetään turhat toistot pois (Taulukko 3). Tällöin tosin tieto pelaajien lukumäärästä katoaa. Taulukko 2: Jalkapallojoukkue I pelinumero shortsit paita x 0 x 1 x 2 s 0 1 sininen keltainen s 1 5 sininen keltainen s 2 6 punainen keltainen s 3 11 punainen valkoinen s 4 24 punainen valkoinen s 5 30 punainen valkoinen Taulukko 3: Jalkapallojoukkue II shortsit paita x 1 x 2 s 0 sininen keltainen s 1 punainen keltainen s 2 punainen valkoinen 3.1 Kaavat riippuvuuslogiikassa Ensimmäisen kertaluvun logiikassa kaavojen semantiikka määriteltiin tulkintafunktioiden avulla: toteuttaako tulkintafunktio kaavan. Riippuvuuslogiikassa kaavojen merkitys perustuu siihen, että kaava kuvailee joukkueen tyypin. Riippuvuusatomikaavat ovat muotoa: = (t 1,..., t n ). Yksinkertaisuudessaan tämä tarkoittaa, että termin t n arvo riippuu vain termien t 1,..., t n 1 arvoista. Erityistapauksina ovat = (), 12

13 joka on kaikkialla tosi, ja = (t), joka tarkoittaa, että termin t arvo ei riipu mistään muista termeistä, eli t on vakio. Totuussymboli voidaan määritellä siis = (). Huomattakoon, että merkintä = (x 1 ) on epätriviaali ja välttämätön, jos halutaan sanoa, että kaikilla tulkintafunktioilla muuttujan x 1 arvot ovat samat. Näinhän oli edellä olevassa esimerkissä 3.1. Muuttujan x 2 arvo oli kaikilla tulkintafunktioilla sama, eli = (x 2 ). Määritellään sitten L-kaava riippuvuuslogiikassa. Mainittakoon, että L- termi määritellään riippuvuuslogiikassa samoin kuin ensimmäisen kertaluvun logiikassa (Määritelmä 2.2). Määritelmä 3.2. Olkoon L aakkosto. Jos t 1,..., t n ovat L-termejä ja R on n-paikkainen relaatiosymboli joukossa L, niin sanat t i = t j, = (t 1,..., t n ) Rt 1... t n ovat L-kaavoja riippuvuuslogiikassa D. Näitä sanotaan atomikaavoiksi. Jos φ ja ψ ovat L-kaavoja, niin myös (φ ψ) ja φ ovat L-kaavoja. Jos φ on L-kaava ja n N, niin on L-kaava. x n φ Kuten määritelmästä 3.2 huomataan, riippuvuuslogiikan syntaksi on hyvin paljon samanlainen kuin ensimmäisen kertaluvun logiikassa. Erona ovat vain uudet atomikaavat. Merkitään riippuvuulogiikan L-kaavojen joukkoa K L D. Vapaiden muuttujien joukko Fr(φ) määritellään samoin kuin ensimmäisen kertaluvun logiikassa (Määritelmä 2.5), lisätään vain uusi tapaus: Fr(= (t 1,..., t n )) = Var(t 1 ) Var(t n ). Jos Fr(φ) =, niin kaavan φ sanotaan olevan riippuvuuslogiikan L-lause. Määritellään sitten kaksi tärkeää operaatiota: suplementointi ja duplikointi. Suplementointi yhdistää joukkueen tulkintafunktioon uuden muuttujan arvon tai vaihtoehtoisesti vaihtaa jonkin olemassaolevan muuttujan arvoa. Määritelmä 3.3. Olkoon M joukko, X joukkue, jonka maalijoukko on M ja F : X M. Tällöin X(F/x n ) tarkoittaa suplementtijoukkuetta {s(f (s)/x n ) : s X}. Duplikaatti saadaan liittämällä kunkin tulkintafunktion muuttujaan x n kaikki mahdolliset arvot. Määritelmä 3.4. Olkoon M joukko ja X M:n joukkue. Tällöin X(M/x n ) on duplikaatti {s(a/x n ) : a M, s X}. 13

14 3.2 Semantiikkaa Edellä on käsitelty riippuvuuslogiikan syntaksia ja tässä kappaleessa keskitytään riippuvuuslogiikan semantiikkaan. Annetaan määritelmä totuudelle riippuvuuslogiikassa. Määritelmä 3.5. Olkoon L aakkosto ja M L-malli. Määritellään joukko T pienimpänä joukkona kolmikkoja (φ, X, d), missä φ on riippuvuuslogiikan L-kaava, Fr(φ) dom(x) ja d {0, 1} siten, että (D1) jos t M 1 s = t M 2 s kaikilla s X, niin (t 1 = t 2, X, 1) T (D2) jos t M 1 s t M 2 s kaikilla s X, niin (t 1 = t 2, X, 0) T (D3) jos t M n s = t M n s kaikilla s, s X siten, että niin (= (t 1,..., t n ), X, 1) T (D4) (= (t 1,..., t n ),, 0) T t M 1 s = t M 1 s,..., t M n 1 s = t M n 1 s, (D5) jos (t M 1 s,..., t M n s ) R M kaikilla s X, niin (Rt 1... t n, X, 1) T (D6) jos (t M 1 s,..., t M n s ) / R M kaikilla s X, niin (Rt 1... t n, X, 0) T (D7) jos (φ, X, 1) T, (ψ, Y, 1) T ja dom(x) = dom(y ), niin (φ ψ, X Y, 1) T (D8) jos (φ, X, 0) T, (ψ, X, 0) T, niin (φ ψ, X, 0) T (D9) jos (φ, X, 1) T, niin ( φ, X, 0) T (D10) jos (φ, X, 0) T, niin ( φ, X, 1) T (D11) jos (φ, X(F/x n ), 1) T jollakin F : X M, niin ( x n φ, X, 1) T (D12) jos (φ, X(M/x n ), 0), niin ( x n φ, X, 0) T. Lopuksi määritellään vielä, että - X on tyyppiä φ mallissa M, merkitään M = X φ, jos (φ, X, 1) T, - lause φ on totta mallissa M, merkitään M = φ, jos M = { } φ ja - lause φ on validi, merkitään = φ, jos M = φ kaikilla M. Huomattakoon, että 14

15 M = X φ jos (φ, X, 0) T ja M = φ jos (φ, { }, 0) T. Jälkimmäisessä tapauksessa sanotaan, että φ on epätosi mallissa M. Yleisesti ottaen jokin lause φ saattaa olla mallissa M sekä tosi että epätosi, ja toisaalta jokin lause ei välttämättä ole kumpaakaan. Ei voida siis sanoa yleisesti, että joko (φ, X, 1) T tai (φ, X, 0) T. Toisaalta ei ole yleisesti voimassa, että joko M = φ, M = φ tai M = φ φ pätisi. Esimerkki 3.3. Olkoon M malli ja M = {0, 1}. Olkoon joukkue kuten taulukossa 4 on esitetty. Nyt joukkue on tyyppiä = (x 3 ), sillä s i (x 3 ) = 1 kaikilla i {0, 1, 2}. Toisaalta joukkue on myös tyyppiä x 1 = x 2, sillä s i (x 1 ) = s i (x 2 ) kaikilla i {0, 1, 2}. Joukkueelle pätee myös x 0 = x 1, sillä s i (x 0 ) s i (x 1 ) kaikilla i {0, 1, 2}. Joukkue on tyyppiä = (x 0, x 1 ), koska s i (x 0 ) = s j (x 0 ) implikoi sen, että s i (x 1 ) = s j (x 1 ). Yhtä hyvin voisimme sanoa, että joukkue on tyyppiä = (x 0, x 2 ). Toisaalta joukkue ei ole tyyppiä = (x 3, x 2 ), sillä vaikka s 0 (x 3 ) = s 1 (x 3 ), niin s 0 (x 2 ) s 1 (x 2 ). Taulukko 4: Esim 3.3 x 0 x 1 x 2 x 3 s s s Esimerkki 3.4. Osoitetaan, että = x 0 x 1 (= (x 0, x 1 )) eli M = { } φ kaikilla M. Olkoon X niiden tulkintafunktioiden joukko, joilla s : {x 0, x 1 } M siten, että s(x 1 ) = s(x 0 ). Määritelmän 3.5 kohdan (D3) perusteella saadaan, että (= (x 0, x 1 ), X, 1) T. Tällöin jos s, s X ja s(x 0 ) = s (x 0 ), niin s(x 1 ) = s (x 1 ). Olkoon Y niiden tulkintafunktioiden joukko, joilla s : {x 0 } M ja olkoon F (s) = s(x 0 ). Tällöin kohdan (D11) perusteella saadaan, että ( x 1 (= (x 0, x 1 )), Y, 1) T. Näin ollen ( x 0 x 1 (= (x 0, x 1 )), { }, 1) T. Seuraava lause osoittaa, että määritelmän 3.5 impikaatiot voidaan kääntää myös toiseen suuntaan, jolloin joka kohtaan saadaankin ekvivalenssi. Lause 3.1. Joukolle T pätee: (E1) (t 1 = t 2, X, 1) T jos ja vain jos t M 1 s = t M 2 s kaikilla s X (E2) (t 1 = t 2, X, 0) T jos ja vain jos t M 1 s t M 2 s kaikilla s X (E3) (= (t 1,..., t n ), X, 1) T jos ja vain jos t M 1 s = t M 1 s,..., t M n 1 s = t M n 1 s t M n s = t M n s kaikilla s, s X (E4) (= (t 1,..., t n ), X, 0) T jos ja vain jos X = 15

16 (E5) (Rt 1... t n, X, 1) T jos ja vain jos (t M 1 s,..., t M n s ) R M kaikilla s X (E6) (Rt 1... t n, X, 0) T jos ja vain jos (t M 1 s,..., t M n s ) / R M kaikilla s X (E7) (φ ψ, X, 1) T jos ja vain jos on olemassa Y ja Z siten, että X = Y Z ja dom(y ) = dom(z), (φ, Y, 1) T ja (ψ, Z, 1) T (E8) (φ ψ, X, 0) T jos ja vain jos (φ, X, 0) T ja (ψ, X, 0) T (E9) ( φ, X, 0) T jos ja vain jos (φ, X, 1) T (E10) ( φ, X, 1) T jos ja vain jos (φ, X, 0) T (E11) ( x n φ, X, 1) T jos ja vain jos (φ, X(F/x n ), 1) T jollakin F : X M (E12) ( x n φ, X, 0) T jos ja vain jos (φ, X(M/x n ), 0) T. Todistus. Tehdään vastaoletus, että jokin väitteistä (E1) - (E12) ei toteudu. Olkoon (θ, X, d) sellainen kolmikko, että esimerkiksi kohdan (E7) ekvivalenssin oikea puoli pätee, mutta vasen ei. Olkoon T = T \ {(θ, X, d)}. Näytetään, että joukko T toteuttaa ehdon (D7) (Määr. 3.5), mikä on ristiriidassa joukon T minimaalisuuden kanssa. Jos (φ, X, 1) T ja (ψ, Y, 1) T, niin (φ ψ, X Y, 1) T, ellei (φ ψ, X, 1) = (θ, X, 1). Tällöinhän θ on disjunktio, jolloin ehto (E7) ei päde. Näin ollen (φ, X, 1) / T tai (ψ, Y, 1) / T. Tämä on ristiriidassa sen oletuksen kanssa, että (φ, X, 1) T ja (ψ, Y, 1) T. Muut kohdat sivuutetaan. Huomattakoon vielä, että - (φ ψ, X, 1) T jos ja vain jos (φ, X, 1) T ja (ψ, X, 1) T - (φ ψ, X, 0) T jos ja vain jos X = Y Z siten, että dom(y ) = dom(z), (φ, Y, 0) T ja (ψ, Z, 0) T - ( x n φ, X, 1) T jos ja vain jos (φ, X(M/x n ), 1) T - ( x n φ, X, 0) T jos ja vain jos (φ, X(F/x n ), 0) T jollakin F : X M. Määritelmästä 3.5 huomataan, että tyhjä joukkue on itse asiassa minkä tahansa kaavan tyyppinen, eli (φ,, 1) T pätee kaikille kaavoille φ. Voidaan muotoilla seuraavanlainen lause. Lause 3.2. Kaikilla φ ja M pätee (φ,, 1) T ja (φ,, 0) T. Todistus. Määritelmää 3.5 tarkastellessa osoittautuu, että kaikki vaadittavat implikaatiot pätevät aina, kun X =. 16

17 Tämä tarkoittaa siis sitä, että tyhjä joukkue on aina sekä tyyppiä φ että φ kaikilla kaavoilla φ. Riippuvuuslogiikassa ei ole kaavoja φ ja ψ siten, että M = X φ implikoisi M = X ψ kaikilla M ja kaikilla X. Tästä nimittäin seuraisi ristiriita, kun asettaisimme X =. Esimerkki 3.5. [1, teht. 3.1] Olkoon L = {R} ja # L (R) = 2. Osoitetaan, että jokainen joukkue X, jolla x i, x j dom(r), on muotoa Rx i x j Rx i x j. Joukkue X voidaan esittää muodossa X = Y Z siten, että Y = {s X (x i s, x j s ) R} ja Z = {s X (x i s, x j s ) / R}. Näin ollen määritelmän 3.5 perusteella (Rx i x j, Y, 1) T ja (Rx i x j, Z, 0) T. Edelleen ( Rx i x j, Z, 1) T, joten (Rx i x j Rx i x j, Y Z, 1) T. Seuraavaksi esitellään sulkeumatesti, joka on paljon käytetty tulos riippuvuuslogiikassa. Lause 3.3 (Sulkeumatesti). Olkoon Y X ja φ L-kaava. Tällöin M = X φ M = Y φ. Todistus. Joka kohta lauseesta 3.1 pätee myös, kun otamme osajoukon joukosta X. Olkoon φ esimerkiksi muotoa t 1 = t 2 ja oletetaan, että M = X φ eli (t 1 = t 2, X, 1) T. Tällöin kohdan (E1) perusteella t M 1 s = t M 2 s kaikilla s X. Nyt Y X, joten t M 1 s = t M 2 s myös kaikilla s Y. Näin ollen (t 1 = t 2, Y, 1) T eli M = Y φ. Toisaalta jos φ on muotoa Rt 1... t n ja M = X φ eli (Rt 1... t n, X, 1) T, niin kohdan (E5) perusteella saadaan, että (t M 1 s,..., t M n s ) R M kaikilla s X. Koska Y X, niin (t M 1 s,..., t M n s ) R M myös kaikilla s Y, joten (Rt 1... t n, Y, 1) T. Näin ollen M = Y φ. Jos siis (φ, X, 1) T ja Y X, niin (φ, Y, 1) T. Muut kohdat sivuutetaan tässä kohtaa. Sulkeumatestin sisältämää intuitiota voidaan hiukan selittää. Jotta voidaan todistaa riippuvuuden puuttuminen, tarvitaan vastaesimerkki. Vastaesimerkkiin tarvitaan vähintään kaksi tulkintafunktiota, jotka osoittavat riippuvuuden puuttumisen. Mitä pienempi joukkue, sitä vähemmän vastaesimerkkejä. Jos joukkueessa on vain yksi tulkintafunktio, vastaesimerkki riippuvuuteen on mahdoton. Toisaalta mitä isompi joukkue on, sitä epätodennäköisempää on löytää jokin riippuvuus. Maksimaalisessa kaikkien mahdollisten tulkintafunktioiden joukkueessa riippuvuus ei ole mahdollista, ellei universumissa ole vain yksi alkio. Sulkeumatestistä saadaan seuraavanlainen seuraus. Seuraus 3.1. Riippuuvuuslogiikassa ei ole kaava φ siten, että kaikilla X ja kaikilla M olisi M = X φ M = X = (x 0, x 1 ). Todistus. Tehdään vastaoletus, että tällainen kaava φ olisi olemassa. Olkoon mallin M universumissa vähintään kaksi alkiota a ja b, ja olkoon X sellainen, 17

18 että s = {(x 0, a), (x 1, a)} ja s = {(x 0, a), (x 1, b)}. Nyt M = X = (x 0, x 1 ), joten M = X φ. Sulkeumatestin perusteella M = {s} φ, joten M = {s} = (x 0, x 1 ). Tämä ei pidä paikkaansa, joten seuraa ristiriita; kyseistä kaavaa ei ole olemassa. Seurauksessa 3.1 voitaisiin korvata sanonta kaikilla M sanonnalla kaikilla M, joiden universumissa on enemmän kuin yksi alkio. Huomattakoon, että etenkin seuraava ei päde millään epätyhjillä joukoilla X: M = X = (x 0, x 1 ) M = X = (x 0, x 1 ). 3.3 Looginen ekvivalenssi Tässä kappaleessa määritellään looginen seuraus ja looginen ekvivalenssi riippuvuuslogiikassa. Katsotaan myös muutamia tärkeitä ominaisuuksia, jotka liittyvät loogiseen ekvivalenssiin. Määritelmä 3.6. Kaava ψ on kaavan φ looginen seuraus φ ψ, jos kaikilla M ja kaikilla X Team(M, V ), joilla dom(x) Fr(φ) Fr(ψ) ja M = X φ, pätee M = X ψ. Lisäksi ψ on kaavan φ vahva looginen seuraus φ ψ, jos kaikilla M ja kaikilla X Team(M, V ), joilla dom(x) Fr(φ) Fr(ψ) ja M = X φ, pätee M = X ψ, ja kaikilla X, joilla dom(x) Fr(φ) Fr(ψ) ja M = X ψ, pätee M = X φ. Kaava ψ on loogisesti ekvivalentti kaavan ψ kanssa ψ φ, jos φ ψ ja ψ φ. Ja lisäksi kaava ψ on vahvasti loogisesti ekvivalentti kaavan ψ kanssa ψ φ, jos φ ψ ja ψ φ. Huomattakoon, että φ ψ jos ja vain jos φ ψ ja ψ φ. Ja toisaalta ψ ja φ ovat loogisesti ekvivalentit jos ja vain jos kaikilla X, joilla dom(x) Fr(φ) Fr(ψ) (φ, X, 1) T joss (ψ, X, 1) T. Lisäksi kaavat ψ ja φ ovat vahvasti loogisesti ekvivalentit jos ja vain jos kaikilla X, joilla dom(x) Fr(φ) Fr(ψ) ja kaikilla d (φ, X, d) T joss (ψ, X, d) T. 18

19 Myöhemmin todistetaan lauseessa 3.4, että kaava on vahvasti loogisesti ekvivalentti kaavan negaationormaalimuodon kanssa ja että kaavan negaatio on vahvasti loogisesti ekvivalentti kaavan duaalin kanssa. Ennen tätä käsitellään kuitenkin muutama aiheeseen liittyvä apulause. Apulause 3.1. Seuraavat vahvat loogiset ekvivalenssit pätevät riippuvuuslogiikassa: (3.1) (3.2) (3.3) (3.4) (3.5) (3.6) (3.7) (3.8) (3.9) φ φ (φ ) φ (φ ) (φ ψ) (ψ φ) (φ ψ) (ψ φ) (φ ψ) θ φ (ψ θ) (φ ψ) θ φ (ψ θ) (φ ψ) ( φ ψ) (φ ψ) ( φ ψ) Todistus. Todistetaan nyt kohdat (3.4), (3.7) ja (3.8), muut kohdat sivuutetaan. Lähteessä [1] on todistettu kohta (3.5). (3.4) Olkoon M malli, φ ja ψ riippuvuuslogiikan kaavoja ja joukko X siten, että dom(x) Fr(φ) Fr(ψ). Nyt käyttäen sivun 16 ehtoja saadaan, että (φ ψ, X, 0) T (φ, Y, 0) T ja (ψ, Z, 0) T, jollain X = Y Z ja dom(y ) = dom(z). Edelleen X = Z Y, joten saadaan (ψ φ, X, 1) T. Toisaalta (φ ψ, X, 1) T (φ, X, 1) T ja (ψ, X, 1) T (ψ φ, X, 0) T. (3.7) Olkoon nyt φ, ψ ja θ riippuvuuslogiikan kaavoja ja joukko X siten, että dom(x) Fr(φ) Fr(ψ) Fr(θ). Nyt käyttämällä ehtoa (E8) hyödyksi useampaan kertaan, saadaan ((φ ψ) θ, X, 0) T ((φ ψ), X, 0) T ja (θ, X, 0) T (φ, X, 0) T, (ψ, X, 0) T ja (θ, X, 0) T (φ, X, 0) T ja (ψ θ, X, 0) T (φ (ψ θ), X, 0) T. 19

20 Toisaalta ehdosta (E7) saadaan, että ((φ ψ) θ, X, 1) T ((φ ψ), Y, 1) T ja (θ, Z, 1) T, jollain X = Y Z ja dom(y ) = dom(z) (φ, V, 1) T, (ψ, W, 1) T ja (θ, Z, 1) T, jollain Y = V W ja dom(v ) = dom(w ) (φ, V, 1) T ja (ψ θ, W Z, 1) T, jollain dom(w ) = dom(z) (φ (ψ θ), V W Z, 1) T, jollain dom(v ) = dom(w ) = dom(z) (φ (ψ θ), X, 1) T, sillä X = V W Z. (3.8) Olkoon edelleen φ ja ψ riippuvuuslogiikan kaavoja ja joukko X siten, että dom(x) Fr(φ) Fr(ψ). Ja toisaalta ( (φ ψ), X, 0) T E9 (φ ψ, X, 1) T E7 (φ, Y, 1) T ja (ψ, Z, 1) T, jollain X = Y Z ja dom(y ) = dom(z) D7 ( φ, Y, 0) T ja ( ψ, Z, 0) T s.16 ( φ ψ, X, 0) T. ( (φ ψ), X, 1) T E10 (φ ψ, X, 0) T E8 (φ, X, 0) T ja (ψ, X, 0) T D10 ( φ, X, 1) T ja ( ψ, X, 1) T s.16 ( φ ψ, X, 1) T. Siis kaikissa tapauksissa (3.4), (3.7) ja (3.8) pätee (ϕ, X, d) T (θ, X, d) T kaikilla d, joten vahvat loogiset ekvivalenssit pätevät. Esimerkki 3.6. [1, teht. 3.21] Osoitetaan, että φ φ φ, mutta φ φ φ. Todistetaan ensin looginen ekvivalenttisuus. Olkoon joukko X sellainen, että dom(x) Fr(φ). Nyt lauseen 3.1 perusteella saadaan, että (φ φ, X, 1) T s.16 ( ( φ φ), X, 1) T ( ( φ), X, 1) T (φ, X, 1) T. 20

21 Osoitetaan sitten, että vahva looginen ekvivalenssi ei päde. On löydettävä malli M, joukkue X ja kaava φ, joilla (φ φ, X, 0) T, mutta (φ, X, 0) / T. Olkoon M = {a, b} ja joukkue X Team(M, {x 0 }) siten, että X = {s, s }, missä s = {(0, a)} ja s = {(0, b)}. Olkoon φ kaava muotoa = (x 0 ). Koska nyt s(x 0 ) s (x 0 ), niin lauseen 3.1 perusteella (= (x 0 ), X, 1) / T, joten (φ, X, 0) / T. Toisaalta mikä tahansa joukkue, jossa on korkeintaan yksi tulkintafunktio, on tyyppiä = (t 1,..., t n ). Lauseen 3.1 kohdan (E3) perusteella saadaan, että (= (x 0 ), {s}, 1) T, joten (φ, {s}, 0) T ja samoin (φ, {s }, 0) T. Näin ollen (φ φ, {s} {s }, 0) T, joten (φ φ, X, 0) T. Siis vahva looginen ekvivalenssi ei päde. Seuraavassa lauseessa annetaan riippuvuuslogiikan vahvat loogiset ekvivalenssit ja vahvat loogiset seuraukset kvanttoreille. Apulause 3.2. Seuraavat vahvat loogiset ekvivalenssit ja seuraukset pätevät riippuvuuslogiikassa: (3.10) (3.11) (3.12) (3.13) (3.14) (3.15) (3.16) (3.17) x m x n φ x n x m φ x m x n φ x n x m φ x n (φ ψ) ( x n φ x n ψ) x n (φ ψ) ( x n φ x n ψ x n φ x n φ x n φ x n φ φ x n φ x n φ φ Todistus. Todistus sivuutetaan. Duaali ja negaationormaalimuoto määriteltiin jo kappaleessa 2.3. Riippuvuuslogiikassa nämä kaksi operaatiota määritellään samoin kuin ensimmäisen kertaluvun logiikassa (Määr 2.9). Duaalisuuteen liittyy yksi perinteinen tulos, joka esitellään seuraavassa lauseessa. Lause 3.4. φ φ p ja φ φ d. Todistus. Todistus perustuu duaalin määritelmään 2.9. (i) φ φ p. Olkoon M malli ja joukko X M:n joukkue siten, että dom(x) Fr(φ) Fr(φ p ). Jos φ on atomikaava, niin väite on selvästi tosi, sillä φ p = φ. (a) Oletetaan, että väite pätee kaavalle ψ ja φ = ψ. Tällöin (( ψ) p, X, d) T (ψ d, X, d) T ( ψ, X, d) T kaikilla d {0, 1}. 21

22 (b) Oletetaan, että väite pätee kaavoille ψ ja δ, ja φ = ψ δ. Tällöin ((ψ δ) p, X, d) T ((ψ p δ p ), X, d) T ((ψ δ), X, d) T kaikilla d {0, 1}. (c) Oletetaan sitten, että väite pätee kaavalle ψ ja φ = x n ψ, missä n N. Nyt (( x n ψ) p, X, d) T ( x n ψ p, X, d) T ( x n ψ, X, d) T kaikilla d {0, 1}. (ii) φ φ d. Olkoon M malli ja joukko X M:n joukkue siten, että dom(x) Fr( φ) Fr(φ d ). Jos φ on atomikaava, niin väite on selvästi tosi, sillä φ = φ d. (a) Oletetaan, että väite pätee kaavalle ψ ja φ = ψ. Nyt (( ψ) d, X, d) T (ψ p, X, d) T (ψ, X, d) T ( ( ψ), X, d) T kaikilla d {0, 1}. (b) Oletetaan, että väite pätee kaavoille ψ ja δ, ja φ = ψ δ. Tällöin ((ψ δ) d, X, d) T ((ψ d δ d ), X, d) T (( ψ δ), X, d) T ( (ψ δ), X, d) T kaikilla d {0, 1}. (c) Oletetaan sitten, että väite pätee kaavalle ψ ja φ = x n ψ, missä n N. Nyt (( x n ψ) d, X, d) T ( x n ψ d, X, d) T ( x n ψ, X, d) T ( ( x n ψ), X, d) T kaikilla d {0, 1}. Kohtien (i) ja (ii) perusteella väite pätee. 4 Ensimmäisen kertaluvun logiikan ja riippuvuuslogiikan yhteys Kaikissa riippuvuuslogiikan kaavoissa ei esiinny kaavaa = (t 1,..., t n ). Tällöin ne voidaan heti tunnistaa ensimmäisen kertaluvun logiikan kaavoiksi jo ulkoasun perusteella. Muut kaavat eivät ole ensimmäisen kertaluvun logiikan kaavoja, mutta käy ilmi, että riippuvuuslogiikan kaavat voivat olla loogisesti ekvivalentteja ensimmäisen kertaluvun kaavojen kanssa. Tässä kappaleessa osoitetaan, että ensimmäisen kertaluvun logiikan kaavat riippuvuuslogiikan totuusmääritelmässä (Määr 3.5, kun X ) vastaavat itse asiassa tavallista ensimmäisen kertaluvun logiikan totuusmääritelmää (Määr 2.8). Esitellään myös testi, jolla voidaan tarkistaa, onko jokin riippuvuuslogiikan kaava loogisesti ekvivalentti ensimmäisen kertaluvun logiikan kaavan kanssa. Ensimmäisenä todistetaan, että joukkue X on ensimmäisen kertaluvun logiikan kaavan φ tyyppiä, jos kaikki tulkintafunktiot s X toteuttavat kaavan φ. Osoitetaan siis, että jos tulkintafunktio s X toteuttaa kaavan φ, niin joukkue {s} on tyyppiä φ. Lause 4.1. Jos φ K L, niin: (i) jos M = s φ kaikilla s X, niin M = X φ 22

23 (ii) jos M = s φ kaikilla s X, niin M = X φ. Todistus. Käytetään todistuksessa induktiota. 1. Jos t M 1 s = t M 2 s kaikilla s X, niin kohdan (D1) (Määr 3.5) perusteella (t 1 = t 2, X, 1) T. 2. Jos t M 1 s t M 2 s kaikilla s X, niin kohdan (D2) perusteella (t 1 = t 2, X, 0) T. 3. Jos (t M 1 s,..., t M n s ) R M kaikilla s X, niin (Rt 1... t n, X, 1) T kohdan (D5) perusteella. 4. Jos (t M 1 s,..., t M n s ) / R M kaikilla s X, niin (Rt 1... t n, X, 0) T kohdan (D6) perusteella. 5. Jos M = s φ ψ kaikilla s X, niin X = Y Z siten, että M = φ kaikilla s Y ja M = ψ kaikilla s Z. Näin ollen (φ, Y, 1) T ja (ψ, Z, 1) T, joten kohdan (D8) perusteella saadaan (φ ψ, Y Z, 1) T. 6. Jos M = s (φ ψ) kaikilla s X, niin M = s φ kaikilla s X ja M = s ψ kaikilla s X, jolloin (φ, X, 0) T ja (ψ, X, 0) T. Näin ollen kohdan (D7) perusteella saadaan (φ ψ, X, 0) T. 7. Jos M = s φ kaikilla s X, niin (φ, X, 0) T, jolloin kohdan (D9) perusteella saadaan ( φ, X, 1) T. 8. Jos M = s φ kaikilla s X, niin (φ, X, 1) T, jolloin ( φ, X, 0) T kohdan (D10) perusteella. 9. Jos M = s x n φ kaikilla s X, niin silloin kaikilla s X on olemassa a s M siten, että M = s(as/x n) φ. Nyt (φ, {s} (F/x n ), 1) T, missä F : X M siten, että F (s) = a s. Näin ollen ( x n φ, X, 1) T. 10. Jos M = s x n φ kaikilla s X, niin silloin kaikilla a M pätee, että kaikilla s X M = s(a/xn) φ. Nyt (φ, X(M/x n ), 0) T, joten ( x n φ, X, 0) T. Edellinen lause on tarpeen todistaa myös toiseen suuntaan. Lause 4.2. Jos φ K L, niin: (i) jos M = X φ, niin M = s φ kaikilla s X ja (ii) jos M = X φ, niin M = s φ kaikilla s X. Todistus. Käytetään todistuksessa induktiota seuraavasti. 23

24 1. Jos (t 1 = t 2, X, 1) T, niin kohdan (E1) (Lause 3.1) perusteella t M 1 s = t M 2 s kaikilla s X. 2. Jos (t 1 = t 2, X, 0) T, niin t M 1 s t M 2 s kaikilla s X kohdan (E2) perusteella. 3. Jos (Rt 1... t n, X, 1) T, niin kohdan (E5) perusteella (t M 1 s,..., t M n s ) R M kaikilla s X. 4. Jos (Rt 1... t n, X, 0) T, niin kohdan (E6) perusteella (t M 1 s,..., t M n s ) / R M kaikilla s X. 5. Jos (φ ψ, X, 1) T, niin X = Y Z siten, että (φ, Y, 1) T ja (ψ, Z, 1) T kohdan (E8) perusteella. Näin ollen M = φ kaikilla s Y ja M = ψ kaikilla s Z, joten M = s φ ψ kaikilla s X. 6. Jos (φ ψ, X, 0) T, niin (φ, X, 0) T ja (ψ, X, 0) T kohdan (E7) perusteella. Tällöin M = s φ kaikilla s X ja M = s ψ kaikilla s X, joten M = s (φ ψ) kaikilla s X. 7. Jos ( φ, X, 1) T, niin (φ, X, 0) T kohdan (E9) perusteella, joten M = s φ kaikilla s X. 8. Jos ( φ, X, 0) T, niin kohdan (E10) perusteella myös (φ, X, 1) T. Tällöin M = s φ kaikilla s X, mikä on yhtä kuin M = s φ kaikilla s X. 9. Jos ( x n φ, X, 1) T, niin kohdan (E11) perusteella (φ, X(F/x n ), 1) T jollakin F : X M. Nyt alkiot joukossa X(F/x n ) ovat muotoa s(f (s)/x n ), kun s X, joten M = s(f (s)/xn) φ kaikilla s X. Näin ollen M = s x n φ. 10. Jos ( x n φ, X, 0) T, niin (φ, X(M/x n ), 0) T kohdan (E12) perusteella. Nyt alkiot joukossa X(M/x n ) ovat muotoa s(a/x n ), kun s X ja a M. Näin ollen kaikilla s X ja kaikilla a M pätee, että M = s(a/xn) φ. Edelleen M = s x n φ, mikä on yhtä kuin M = s x n φ, sillä x n φ x n φ x n φ Nyt on aika yhdistää edellä todistetut lauseet ja samalla määritelmät 2.8 ja 3.5. Seuraus 4.1. Jos φ K L, niin (i) M = {s} φ jos ja vain jos M = s φ ja (ii) M = X φ jos ja vain jos M = s φ kaikilla s X. 24

25 Todistus. Jos M = {s} φ, niin lauseen 4.2 perusteella M = s φ. Jos taas M = s φ, niin lauseen 4.1 perusteella M = {s} φ. Seuraavaksi esitellään uusi testi, joka on verrattavissa edellä olleeseen Sulkeumatestiin (Lause 3.3). Sulkeumatestillä voidaan testata minkä tyyppiset joukkuekokoelmat voidaan määritellä riippuvuuslogiikassa. Seuraavalla testillä voidaan tarkistaa, onko kaava ensimmäisen kertaluvun kaava tai loogisesti ekvivalentti ensimmäisen kertaluvun kaavan kanssa. Määritelmä 4.1 (Litteystesti). Sanotaan, että kaava φ läpäisee Litteystestin, jos kaikilla M, X Team(M, V ) ja Fr(φ) V M = X φ M = {s} φ kaikilla s X. Lause 4.3. Litteystestin läpäiseminen säilyttää loogisen ekvivalenssin. Todistus. Oletetaan, että φ ψ ja φ läpäisee Litteystestin. Oletetaan, että M = {s} ψ kaikilla s X. Loogisen ekvivalenssin perusteella myös M = {s} ψ kaikilla s X. Mutta φ läpäisi Litteystestin, joten M = X φ. Näin ollen oletuksen perusteella M = X ψ. Lause 4.4. Riippuvuuslogiikan L-kaava φ, joka on loogisesti ekvivalentti ensimmäisen kertaluvun kaavan kanssa, läpäisee Litteystestin. Todistus. Oletetaan, että φ ψ, missä ψ K L. Koska ψ läpäisee Litteystestin, niin lauseen 4.3 perusteella myös φ läpäisee testin. Esimerkki 4.1. [1, teht. 3.29b] Osoitetaan, että riippuvuuslogiikan kaava x 0 (= (x 1, x 0 ) P x 1 ) on loogisesti ekvivalentti ensimmäisen kertaluvun kaavan x 0 P x 1 kanssa: Nyt x 0 (= (x 1, x 0 ) P x 1 ) x 0 P x 1. ( x 0 (= (x 1, x 0 ) P x 1 ), X, 1) T (= (x 1, x 0 ), X(F/x 0 ), 1) T ja (P x 1, X(F/x 0 ), 1) T jollakin F : X M ( ) (P x 1, X(G/x 0 ), 1) T jollakin G : X M ( x 0 P x 1 ), X, 1) T. Kohta ( ) vaatinee hiukan selvennystä. Implikaatio oikealle on selkeä, sillä voidaan valita, että G on F. Implikaatio vasemmalle: oletetaan, että (P x 1, X(G/x 0 ), 1) T jollakin G : X M. Olkoon a M ja F : X M siten, että F (s) = a kaikilla s X. Tällöin (P x 1, X(F/x 0 ), 1) T, sillä muuttaessa arvoja s(x 0 ) ei muuteta arvoja s(x 1 ). Myös (= (x 1, x 0 ), X(F/x 0 ), 1) T, koska kun s, s X(F/x 0 ), niin s(x 0 ) = a = s (x 0 ). 25

26 Esimerkki 4.2. [1, teht. 3.31] Ovatko seuraavat kaavat loogisesti ekvivalentteja ensimmäisen kertaluvun kaavan kanssa? (a) = () = (). Esimerkiksi ensimmäisen kertaluvun logiikan kaava x = x on ekvivalentti kaavan = () kanssa jokaisella x. Selvästi myös x = x x = x on ensimmäisen kertaluvun kaava ja ekvivalentti kaavan = () = () kanssa. (b) = (x 0 ). Tämä ei ole loogisesti ekvivalentti ensimmäisen kertaluvun kaavan kanssa, sillä se ei läpäise Litteystestiä. Olkoon M = {a, b}, a b, s = {(0, a)} ja s = {(0, b)}. Nyt M = {s} = (x 0 ) ja M = {s }= (x 0 ), mutta M = {s,s }= (x 0 ). (c) = (x 0, x 0 ). Osoitetaan, että = (x 0, x 0 ). Huomataan, että M = X = (x 0, x 0 ) kaikilla s, s X pätee että, jos s(x 0 ) = s (x 0 ), niin s(x 0 ) = s (x 0 ). Tämä on tietysti aina totta, kuten M = X. 26

27 Viitteet [1] J. Väänänen, Dependence Logic, 1th ed., Cambridge, 2007 [2] H.D. Ebbinghaus, J.Flum, W. Thomas, Mathematical Logic, 2nd ed., 1989 [3] H. Salminen, J. Väänänen, Johdatus logiikkaan, Jyväskylä, 1992 [4] J. Väänänen, Dependence logic,