Kertaus: Sinin ja Kosinin määrittely kaikille kulmille välillä -

Transkriptio

1 Lineaarialgebra

2 Kertaus: Sinin ja Kosinin määrittely kaikille kulmille välillä - sin(α ) on kulmaa α vastaavan kehäpisteen y-koordinaatti cos(α ) on x- koordinaatti Arvioi yksikköympyrän avulla: a) sin(30 o ) b) Cos(30 o ) Ratkaise ilman laskinta a) sin(x) = 0.5 (terävä ja tylppä kulma) b) cos(x) = 0 c) cos(x) = -0.5 Yhtälölle sin(x) = 0.5 Kone antaa x 1 = sin -1 (0.5) = 30 o Toinen ratkaisu on aina x 2 = 180 o x 1 (tässä siis 150 o )

3 Vektorilaskentaa osa1 2D - vektorit Peruslaskutoimitukset Komponenttiesitys Vektorin pituus Jana vektorimuodossa Koordinaatistopisteen paikkavektori

4 Vektorit Vektoreita tarvitaan mekaniikassa ja fysiikassa esittämään suureita, joihin liittyy suuruuden lisäksi myös suunta: esim. voima F ja nopeus v. Kuvioissa vektoreita esitetään nuolilla. Vektori voidaan esittää antamalla sen komponentit koordinaattiakselien suunnassa, tai vaihtoehtoisesti antamalla pituus ja suuntakulma esim. Lentokoneen nopeus v = (200m/s, 100 m/s) tai ts. v = m/s suuntaan 26.6 o eli lyh <26.6 o Miten vektorin merkintä poikkeaa tavallisista luvuista eli skalaareista? Suositeltava tapa: Jos alkupiste on A ja loppupiste B, käytetään Huom: Koneella kirjoitetussa tekstissä (esim. Office) yläviivojen käyttäminen on hidasta. Tällöin vektori erotetaan skalaarista pelkästä lihavoinnilla. Esim. symbolijonossa (t, k, a, b, v, F, c) on 4 skalaaria ja kolme vektoria (a, v, F)

5 Peruslaskutoimitukset b a Summa a a + b a + b b a + b suunnikassääntö vastavektori -b erotus a b = a + (-b) -b a a b a - b suunnikassääntö vakio*vektori, esim. 3b 3b

6 Esim1) Kuvan suunnikkaan kärjestä A lähtevät vektorit a ja b. Pisteet K ja L ovat suunnikkaan sivujen AD ja CD keskipisteessä. Piste M sijaitsee ¼ matkaa C:stä kohti B:tä. a) a + b b) b a (myös a + b) c) ½ b + a d) b + ½ a e) -½ a ½ b f) ½ b + a ¼ b = ¼ b + a

7 Vektorit koordinaatistossa Kun vektorin alkupiste asetetaan origoon, vektori voidaan yksikäsitteisesti esittää sen loppupisteen koordinaattien avulla. (Tällä kurssilla käytetään pääasiassa tätä esitysmuotoa) (lue komponentit kuvasta) a = (2,4) b = (-3,2) c = (-1,-4)

8 Algebrallisesti: Vektorien peruslaskutoimitukset komponenttimuodossa (a 1,a 2 ) + (b 1,b 2 ) = (a 1 + b 1, a 2 + b 2,) (a 1,a 2 ) - (b 1,b 2 ) = (a 1 - b 1, a 2 - b 2 ) t (a 1, a 2 ) = (t a 1, t a 2 ) Esim. Vektori a = (1,2) ja b = (3,-2). Laske a) a + b = (1+3, 2-2) = (4, 0) b) a b = (1-3, 2 (-2)) = (-2, 4) c) -2 b = (-2*3, -2*(-2)) = (-6, 4) d) 3 a 4 b = (3,6) (12, -8) = (3-12, 6 + 8) =(-9, 14) Monet laskimet osaavat laskea vektoreilla: esim. WolframAlphassa kohdat a) d) syötetään (1,2) + (3, -2) (1,2) - (3, -2) -2*(3, -2) 3*(1,2) - 4*(3, -2) Huom! Joissain laskimissa kaarisulkujen tilalla pitää käyttää hakasulkuja tai aaltosulkuja

9 a a a

10 Esim. (-3,2) (2,4) a) ( ) = 20 = 4.5 ( ) = 13 = 3.6 ( ) = 17 = 4.1 (-1,-4) norm (2,4) antaa 4.5 norm (-3,2) antaa 3.6 b) norm (-1,-4) antaa 4.1 Summavektori ja sen pituus s = (2-3-1,4+2-4) =(-2, 2) s = ( ) = 8 = 2.8

11 Vektorin pituus laskimissa Vektorin pituus lasketaan funktiolla norm() Esim. laske vektorin (2,-5) pituus TI- cas norm((2,-5)) WolframAlpha norm (2,-5) funktiolaskin ( )

12 Miten lasketaan sen vektorin komponentit, jonka lähtö-piste on koordinaattipiste A(a 1,a 2 ) ja päätepiste on B(b 1,b 2 )? Kuvion perusteella OB saadaan lisäämällä OA:han vektori AB, ts. OB = OA + AB, josta ratkaistuna Kaavan mukaan vektori A:sta B:hen saadaan vähentämällä loppupisteen B paikkavektorista lähtöpisteen paikkavektori Pisteiden koordinaatteja käyttäen vektori AB on siten AB =(b 1,b 2 )- (a 1,a 2 ) = (b 1 a 1, b 2 - a 2 )

13 Jana pisteestä A pisteeseen B vektorimuodossa AB HUOMAA! Pisteen ja pisteeseen liittyvän paikkavektorin ero Piste, esim. A(2,5) ei ole vektori, sillä ei ole suuntaa eikä pituutta. Pisteeseen A liittyy origosta O pisteeseen A piirretty paikkavektori OA = (2,5) Miten lasketaan sen vektorin komponentit, joka lähtee koordinaattipisteestä A ja päättyy koordinaattipisteeseen B? Kuvion perusteella OB saadaan lisäämällä OA:han vektori AB, ts. OB = OA + AB, josta ratkaistuna => siirtymävektori A:sta B:hen saadaan vähentämällä loppupisteen B paikkavektorista lähtöpisteen paikkavektori

14 Esimerkkejä vektoritehtäviin

15 Esim. 1 Kuinka pitkä matka on Rovaniemen linja-autoasemalta linnuntietä hotelli Pohjanhoviin - määritä matkaa kuvaavan vektorin AB komponentit - laske vektorin pituus Jana vektorina : AB = (1030,550) (150, 140) = (880,410) Kysytty välimatka on janan pituus AB = 971 m ( ( ) = 971)

16 Esim. 2: Turisti lähtee Pohjanhovista B ja tulee paikkaan C, joka sijaitsee 400 m länteen ja 50 m etelään lähtöpaikasta - määritä matkaa kuvaavan vektorin BC komponentit : (-400,-50) - laske loppupisteen C koordinaatit vast: C(630,500) OC = OB + BC = (1030,550) +(-400,-50) = ( , ) = (630, 500)

17 Janan päätepisteen B laskeminen, kun alkupiste A ja siirtymävektori AB tunnetaan B Sähkölinjan lähtöpiste on A(100, 150). Linjan pituus on 700m suuntaan 60 o. Laske linjan toisen päätepisteen B koordinaatit. 60 o A(100,150) 1. Lasketaan siirtymävektorin AB komponentit: Vaakasuunnassa : 700*cos(60 o ) = 350 m Pystysuunnassa : 700*sin(60 o ) = 606 m 2. Lasketaan vektorin pisteen B koordinaatit: OB = OA +AB = (100,150) + (350, 606) = (450, 756) Huom: Piste ja sen paikkavektori merkitään eri tavalla: A(100,150) on piste, jolla ei voi laskea. Pisteen koordinaatteja voi käyttää paikkavektorina, jolloin merkintätapa on OA = (100,150) tai tällä kurssilla A ҧ = (100,150). Paikkavektoriin voi lisätä toisen vektorin, jolloin saadaan uusi koordinaatistopiste.

18 Esim. 3 Henkilö siirtyy Pohjanhovista 600 m suuntaan, joka on 20 astetta länsisuunnasta Etelään. Mihin pisteeseen C hän tulee? Lasketaan siirtymävektori BC komponentit: BC = ( 600*cos200 o, 600*sin200 o ) = (-564, -205) Vektorin komponentit laskettuna napakoordinaateista r, φ x= r cos φ, y = r sin φ Suuntakulma φ luetaan positiivisesta x- akselista r = vektorin pituus Loppupiste : OC = (1030,550) + (-564,-205) = (466,345)

19 Esim 3. Suorakulmaisen tontin kolme kärkipistettä sijaitsevat kohdissa A(0,0), B(60,20) ja C(-10, 30). Mitkä ovat pisteen D koordinaatit? D (?,?) C(-10,30) Siirtymävektori B:stä D:hen: BD = AB = (-10,30)-(0,0) =(-10,30) B(60,20) Joten D:n paikka saadaan lisäämällä B:n paikkavektoriin siirtymä (60,20) + (-10,30) =(60-10, 20+30) = (50, 50) A(0,0)

20 Janan AB vektorimuoto AB a) Esitä jana AB vektorina, kun päätepisteiden koordinaatit ovat A(-2,3) ja B(3,7) (3,7) (-2,3) = (5,4) b) Laske myös janan pituus = 41 = 6.4 Vektori AB saadaan vähentämällä janan loppupisteen koordinaateista janan alkupisteen koordinaatit WolframAlpha norm (5,4) 6.4

21 Esimerkki: LapinAMK:n rakennus sijaitsee pisteessä A(475, 265) LUC:n kirjasto sijaitsee pisteessä B(90, 790) Laske välimatka LapinAMK:n ja LUC- kirjaston välillä seuraavasti: a) Määritä vektorin AB komponentit b) Määritä vektorin AB pituus AB (kokeile laskimen tai WA:n norm() funktiota) Ratkaisu: Lasketaan vektori kampus => kirjasto AB = (90, 790) (475, 265)= (-385, 525) Etäisyys on tämän vektorin pituus AB = ( ) = 651 m

22 r φ Napakoordinaatit r ja φ Muunnokset (r,φ) =>(x,y) (x,y) => (r,φ)

23 Napakoordinaatit r,φ Vektoreita esitetään komponenttimuodossa (x,y) tai vaihtoehtoisesti napakoordinaattien avulla (merk. r < φ), missä r = vektorin pituus ja φ on vektorin suuntakulma (vektorin kulma positiivisen x akselin kanssa) Vektorin komponentit (x,y) saadaan napakoordinaateista muunnoskaavoilla x r cos y r sin Tehtävä: Laske kuvan vektoreiden summavektori ja sen pituus. Eräillä laskinmalleilla (mm. Ti-89) tämän tehtävän voisi ratkaista erittäin helposti: [12<60] + [7<155] + [9<270] Enter antaa suoraan summavektorin pituuden ja suunnan [4.53 < 104.4] (ei toimi enää Ti CAS:ssa)

24 Muunnoskaavat molempiin suuntiin Komponenttimuoto ja napakoordinaattiesitys r = (x 2 +y 2 ) φ = tan -1 (y/x) (+ 180 o, jos x<0) r (x,y) (x,y) = (r cosφ, r sinφ) φ Esim. laske ao. kuvan vektorien summavektori ja sen pituus 12 cos60 o 12 sin60 o + 7 cos155 o 7 sin 155 o + 9 cos265 o 9 sin265 o = = 4,385 Summavektori s = (-1.13, 4.39) pituus s = ( ) = 4.53 suunta tan -1 (4.39/-1.13) o = o

25 Esim. Suunnistaja juoksee ensin itään 500 m, ja sitten koilliseen 300 m. Kuinka kaukana hän on lopussa lähtöpisteestään? Lasketaan väli AB vektorimuodossa kahden vektorin summana: AB = (500, 0 ) + (300 cos45 o, 300 sin45 o ) = (712.1, 212.1) Välimatka = vektorin pituus AB = ( ) m= 743 m

26 Esim. Maanmittari määrittää pisteiden A ja B välimatkan. Välissä on este, joka täytyy kiertää, joten mittaus tehdään kuvan mukaisesti pätkissä. Laske vektoreita käyttäen väli AB. (Tehtävä tehtiin syksyllä vaikealla tavalla kosinilauseella) Napakoordinaattilaskimella (mm. vanha HP) tehtävä olisi helppo: [150<0] + [130<45] + [ 180<85] [Enter] antaa [373.5 < 44.7] Ratkaisu: jaetaan vektorit komponentteihin ja lasketaan yhteen. AB = (150, 0 ) + (130 cos40 o, 130 sin40 o )+(180 cos85 o, 180 sin85 o ) = (265.3, 262.9) Vektorin pituus AB = ( ) m= m

27 Laske komponentit kuvan vektoreille: x = r cos φ y = r sin φ a b 10 o 30 8 o c 60 o a = (25 cos60, 25 sin60) = (12.5, 21.7) b = (30 cos170, 30 sin170) = (-29.5, 5.2) c = (16 cos278, 16 sin278) = (2.2, -15.8)

28

29 Vektorien skalaaritulo eli pistetulo Vektoreille on määritelty ns. skalaaritulo eli pistetulo a.b b φ a Määr. 2D -vektorien a = (a 1,a 2 ) ja b = (b 1,b 2 ) pistetulo laskettuna komponenteista 3D vektoreille

30 Esim2. Laske vektorien a ja b pistetulo a. b, kun a) a = (2,4) ja b = (3,1) b) a = (1,4,2) ja b = (3,1, -1) a) a.b = a 1 b 1 +a 2 b 2 = 2*3 + 4*1 = 10 b) a.b = a 1 b 1 +a 2 b 2 +a 3 b 3 = 1*3 + 4*1 + 2*(-1) = 5

31 Pistetulon määritelmästä nähdään, että a.b on luku, joka on suurimmillaan a b ja pienimmillään - a b Perustelu: cosφ on yksikköympyrän kehäpisteen x- koordinaatti jonka suurin arvo on 1 ja pienin - 1 Esim1. Laske vektorien a ja b pistetulo a. b, kun a) a = 5, b = 2 ja vektorit ovat samansuuntaiset b) a = 5, b = 2 ja vektorit ovat vastakkaissuuntaiset c) a = 5, b = 2 ja vektoreiden välinen kulma = 90 o a) 2*5*cos0 o = 10 b) 2*5*cos180 o = -10 c) 2*5*cos90 o = 0

32 Pistetulon sovelluksia: 1. Vektorien välinen kulma a. b = a b cosγ => cosγ = ഥa. ഥb ഥa ഥb Esim. Laske vektorien ( 3, 1) ja ( 1, 2) välinen kulma. => γ = 45 o 2. Vektorien kohtisuoruus a. b = a b cos90 o =0 Vektorit a ja b ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan a. b = 0 Esim. Määrää jokin vektoria ( 2, 3) vastaan kohtisuora vektori. Ratkaisu: esim. (3, - 2) käy, koska (2,3).(3,-2) = 2*3 + 3* -2 = 0

33 Harj. Kartassa näkyvä kolmiopuisto sijaitsee Helsingissä. Kolmion kärkipisteiden koordinaatit ovat A(200,100), B(190, 230), C(140,180). a) Laske kolmion sivujen pituudet b) Laske puiston pinta-ala. Ala lasketaan ns. alalauseella A = ½ AB AC sinα Tähän tarvitaan vielä kulma α: cosα = a.b = ( 10,130).( 60,80) a b = =0.844 => α = 32.5o Ala A = ½ 130.4*100* sin(32.5 o ) = 3503 m 2

34 3. Kolmion ratkaiseminen C Kolmion kärkipisteet ovat A(3,4), B(1,1) ja C(5,2). Määritä kolmion ABC a) sivujen pituudet b) kulmat c) ala a) Sivut esitetään vektoreina. Lasketaan pituudet A α B AB = (1,1) (3,4) = (-2,-3) AB = 13 AC = (5,2) (3,4) = (2,-2) AC = 8 BC = (5,2) (1,1) = (4,1) BC = 17 AB AC ( 2, 3).(2, 2) cos ( ) cos ( ) 78.7 AB AC BA BC 1 (2,3).(4,1) o cos ( ) cos ( ) 42.3 BA BC b) kulmat 1 1 o α = 180 o 78.7 o 42.3 o = 59.0 o Huom! Kulmaa β laskettaessa pitää kääntää vektori AB BA:ksi BA=-(-2,-3) =(2,3) c) Alalause: A = ½ a b sin γ = ½ 13 8 sin78.7 o = 5.0 ( ala = ½*kahden sivun tulo*niiden välisen kulman sini )

35 Vektorien pistetulon ഥa. ഥb sovelluksia PROJEKTIOLASKUT - Skalaariprojektio - Vektoriprojektio Aiheeseen liittyvät tehtävät : 19, 20, 21

36 Projektiotehtävät Pisteet A, B ja C on annettu. Pisteestä C piirretään suora, joka tulee suorassa kulmassa janalle AB pisteeseen P (jota voidaan kutsua C:n projektiopisteeksi janalla AB Tehtäviä: 1. Ratkaise janan AP pituus 2. Ratkaise vektorin AP komponentit 3. Ratkaise pisteen P koordinaatit 4. Ratkaise janan PC pituus

37 ESIMERKKI: kaapelin veto kohtisuoraan tielinjalle. Muuntajalta M(800,500) vedetään kohtisuora kaapeli tielinjalle A(100,100) B(1100,150). Määritä a) välin AC pituus (kuvan x) b) kaapelin CM pituus (kuvan y) c) pisteen C koordinaatit 26.9 o α Tapa1: AM=(800,500) (100,100) = (700,400), pituus AM = ( )= (=a) AB=(1100,150) (100,100) = (1000,50), pituus AB = ( )= (=AB) Pistetulo AM.AB = (700,400).(1000,50) = = cosα = AM.AB AM AB = = => α= cos-1 (0.892) = 26.9 o a) Välin AC pituus (kuvan x) = AM cosα=> x= 806.2*cos26.9 o = metriä b) Kaapelin pituus (kuvan y) = AM sinα => y= 806.2*sin26.9 o = metriä c) Tien AB suuntakulma φ = tan -1 (50/1000)= 2.86 o Vektori AC = (r cos φ, r sin φ) = (719 cos2.86 o, 719 sin2.86 o ) =(718.1, 35.9) Pisteen C koordinaatit saadaan lisäämällä A:n paikkavektoriin AC OC = ÒA + AC = (100,100) + (718.1, 35.9) = (818.1, 135.9)

38 Vektorin തa suuntainen yksikkövektori ഥa 0 Määritelmä: Kun vektori ഥa jaetaan omalla pituudellaan, saadaan vektori, jonka suunta on sama kuin തa:lla ja pituus = 1 Tätä vektoria sanotaan തa:n suuntaiseksi yksikkövektoriksi yksikkövektori ഥa 0 = തa a = (rcosφ, rsinφ) r = (cosφ, sinφ) Esim. Laske vektorin a = ( 1, 3) suuntainen yksikkövektori Tapa1: Vektorin a pituus a = ( ) = 10 = 3.16 ഥa 0 = തa = ( 1, 3 )= (0.316,0.949) a Tapa2: Vektorin a suuntakulma φ = tan -1 (y/x)=tan -1 (3/1) =71.57 o ഥa 0 = (cosφ, sinφ)=((cos o, sin71.57 o ) =(0.316,0.949) x = r cosφ y = r sinφ yks.vektorille r = 1

39 Suorat kaavat projektioille (Maol) Vektorin ഥa skalaariprojektio vektorin ഥb suuntaan: a b = തa. തb b Vektorin ഥa vektoriprojektio vektorin ഥb suuntaan: Skalaariprojektio a b = kuvassa punaisen janan pituus Vektoriprojektio = kyseinen jana vektorimuodossa തa b =a b ഥb o = തa. തb b 2 ത b Tehdään edellä esitetty kaapeliesimerkki käyttäen näitä kaavoja =>

40 ESIMERKKI: kaapelin veto kohtisuoraan tielinjalle. Muuntajalta M(800,500) vedetään kohtisuora kaapeli tielinjalle A(100,100) B(1100,150). Määritä a) välin AC pituus (kuvan x) b) kaapelin CM pituus (kuvan y) c) pisteen C koordinaatit Tapa2: AM=(800,500) (100,100) = (700,400), pituus AM = ( )= AB=(1100,150) (100,100) = (1000,50), pituus AB = ( )= Pistetulo AM.AB = (700,400).(1000,50) = = a) x = AM.AB AB = = m b) Kaapelin pituus y = ( ) = metriä c) Tien suuntakulma: φ = tan -1 (50/1000)=2.86 o Vektori AC = (719.1cos2.86 o,719.1sin2.86 o ) = (718.2, 35.9) Pisteen C koordinaatit saadaan lisäämällä A:n paikkavektoriin AC OC = ÒA + AC = (100,100) + (718.2, 35.9) = (818.2, 135.9) a b = തa. തb b തa b =a b ഥb o

41 Esim. Määritä vektorin ( 1,5) a) skalaariprojektio b) vektoriprojektio vektorin (6,4) suuntaan. skalaariprojektio 1*6+5*4 = 26 a b = തa. തb 1,5.(6,4) = = 26 =3.6 b Skaalaariproj. a b = തa. തb b 3.6 vektoriprojektio തa b = തa. തb b 2 ത b= 1,5. 6, (6,4) = (6,4)= (26 6, 4)=(3,2) Vektoriproj. laskukaavat തa b =a ഥb o b = തa. തb ത b 2 b Vektoriprojektion voi laskea myös kertomalla skalaariprojektiolla yksikkövektori b 0 =(cosφ, sin φ) b:n suuntakulma φ = tan -1 (y/x) = tan -1 (4/6) =33.69 o തa b = 3.6(cos33.69 o, sin33.69 o )=(3,2) Helpompi tapa

42 Vektoriyhtälön ratkaiseminen mekaniikan tasapainotehtävissä * Meillä on n kpl voimia, joiden suunnat tunnetaan ja joiden summa = 0 * Kaksi voimista on tuntemattomia, muiden suuruudet tunnetaan

43 Voimakolmiomenetelmä Em. Tehtävä voidaan tehdä ilman vektorilaskennan menetelmiä: Kolmen vektorin summa = 0, kun vektorit muodostavat peräkkäin asetettuna kolmion. Kolmion kulmien päätteleminen on vaikein kohta tässä menetelmässä. Jos kulmat ovat oikein, kolmion kaksi sivua voidaan ratkaista helposti sinilauseella. 25 o o F1 F1 sin90 = 65 o F2 F2 sin25 = 60 sin65 Aiheeseen liittyy tehtävämonisteen teht. 25 Huom! Jos vektoreita on enemmän kuin kolme, tämä geometrinen menetelmä menee hankalaksi. Vektorimenetelmä sen sijaan on yleispätevä, eikä työmäärä juuri lisäänny vektorien määrän kasvaessa.

44 Ratkaise voimien F1 ja F2 suuruudet, kun ao. kuvan kolmen vektorin summa = 0 Vektorin komponentit x ja y saadaan ao. kaavoilla x = r cosϕ y = r sinϕ r = vektorin pituus ϕ = vektorin ja positiivisen x- akselin välinen kulma (ns. suuntakulma) Kompassi suuntakulmien Lukemista varten pituudet ja suunnat [r< ϕ] : [F 1 <135 o ], [F 2 <250 o ], [60 <340 o ] Tasapainoehdot vaaka- ja pystykomponenteille F1 cos(135 o ) + F2 cos(250 o ) + 60 cos(340 o ) = 0 F1 sin(135 o ) + F2 sin(250 o ) + 60 sin(340 o ) = 0 Ratkaisu WolframAlpha.com online laskimella: solve F1 cos(135 deg)+f2 cos(250 deg)+60 cos(340 deg)=0, F1 sin(135 deg)+f2 sin(250 deg)+60 sin(340 deg)=0 [enter] Aiheeseen liittyy tehtävämonisteen teht. 25

45 - Poiketaan hieman laskumonisteen esitysjärjestyksestä, koska mekaniikassa tarvitaan nyt yhtälöryhmäaihetta Lineaarisen yhtälöryhmän ratkaisumenetelmiä Aiheeseen liittyvät tehtävät: 42 a) ja 42 b) 44) 45 a) 45 b)

46 Lineaarinen yhtälöryhmä: 2 yht., 2 tuntematonta WolframAlpha: a1 x + b1y = c1 a2 x + b2 y = c2 Tuloksena on ratkaisukaavat x:lle ja y:lle Tässä muodossa kaavat eivät esiinny taulukkokirjassa

47 Maol:n taulukoiden vastaavat kaavat on esitetty eri muodossa, käyttäen determinantin käsitettä a1 x + b1y = c1 a2 x + b2 y = c2 Taulukkokirja esittää kaavat determinanttien avulla

48 Matriisi ja determinantti Matriisit ovat lukutaulukkoja B= on 2x3 matriisi 2x2 neliömatriisi A= x2 neliömatriisiin liittyy luku, jota sanotaan determinantiksi D = a c b d = ad bc Esim. Det(A)= = = 11 Laskimiin matriisin voi syöttää JOKO matriisieditorilla taulukkomuodossa, tai vaihtoehtoisesti yhdelle riville kahden vektorin parina. Esimerkin determinantin voi laskea komennolla det ((3,1), (4,5))

49 Yhtälöryhmän ratkaisu determinanttimuodossa a1 x + b1y = c1 a2 x + b2 y = c2 Tarvitaan yhtälöryhmän vasemman puolen kertoimista laskettava kerroindeterminantti D ja kaksi sen variaatiota x = Dx D y = Dy D D = a1 b1 = x:n ja y:n kerroindeterminantti a2 b2 Dx = c1 b1 = saadaan kerroindeterminantista c2 b2 korvaamalla y:n kertoimet vakioilla c1 ja c2 Dy = a1 c1 saadaan kerroindeterminantista a2 c2 korvaamalla y:n kertoimet vakioilla c1 ja c2

50 Yhtälöryhmä on vietävä ns. normaalimuotoon ennen determinanttien laskemista 3 x = 7 5y y = 2x x + 5y = 7 2x + y = 1 a1 x + b1y = c1 a2 x + b2 y = c2 Normaalimuoto: x:t, y:t omissa sarakkeissaan vasemmalla, vakiot oikealla puolen yhtälöä 3 5 D = = = Dx = = 7-5 = 2 X = Dx/D = 2/13 Dy = = = 17 y = Dy/D = 17/13

51 Esim. Aiemmin esitetty tasapainotehtävä, jossa voimien summa = 0 antoi viereisen yhtälöryhmän, joka ratkaistiin solvella. Ratkaistaan se nyt determinanteilla. F1 cos(135 o ) + F2 cos(250 o ) + 60 cos(340 o ) = 0 F1 sin(135 o ) + F2 sin(250 o ) + 60 sin(340 o ) = 0 Aloitetaan muuttamalla yhtälöryhmä normaalimuotoon F1cos135 + F2cos250 = 60 cos340 F1sin135 + F2sin250 = 60 sin340 Kertoimet kannattaa ehkä muuttaa desimaaliluvuiksi 0.707F F2 = F F2 = D = = Dx = = 60.0 Dy = = x = Dx D = = 66.2 y = Dy D = = 28.0

52 Graafinen ratkaisu 5 x + 2y = 11 2 x + 3 y = 3 WolframAlpha: Molemmat yhtälöt edustavat suoria. Yhtälöt ovat yhtaikaa voimassa suorien Leikkauspisteessä Yhtälöryhmän ratkaisu on suorien leikkauspiste Kuvan perusteella x = 1.4, y = 2.0

53 Yhtälöryhmän ratkaisumenetelmien vertailua Seuraavassa esitetään 4 menetelmää, joista 3 ensimmäistä voi käyttää, jos laskimessa ei ole yhtälön ratkaisuun soveltuvaa solve - käskyä tai jos tehtävä on määrätty ratkaisemaan manuaalisesti.

54 A. Eliminoimismenetelmä: Kerrotaan yhtälöt selliaislla luvuilla, että jommankumman muuttujan kertoimiksi tulee vastaluvut. Tämän jälkeen yhtälöt lasketaan puolittain yhteen, jolloin saadaan yhtälö jossa on vain yksi muuttuja 5 x + 2y = 11 2 x + 3 y = 3 Kerrotaan yhtälö1 luvulla 3 Kerrotaan yhtälö2 luvulla x + 6y = 33 4 x 6 y = 6 Lasketaan yhtälöt yhteen 19 x = 27 Ratkaistaan x x = 27/ *27/19 + 2y = 11 2y = /19 = 74/19 = y = 37/19 Ratkaistaan y sijoittamalla saatu x esim. yhtälöön 1 Käytännön sovelluksissa x ja y ovat useimmiten desimaalilukuja, joten viimeinen vaihe yksinkertaistuu muotoon y = 11 => y = 1.95

55 B. Sijoitusmenetelmä: 5 x + 2y = 11 2 x + 3 y = 3 <= Ratkaistaan y yhtälöstä 1 Ratkaistaan esim. y yhtälöstä 1. Sijoitetaan saatu lauseke yhtälöön 2 y:n tilalle. Saadusta ens. asteen yhtälöstä ratkaistaan x Lopuksi ratkaistaan y sijoittamalla saatu x:n arvo vaiheen 1 tuloksena saatuun yhtälöön 2y = 11 5 x => y = 11/2 5/2 x = x Sijoitetaan saatu lauseke y:n tilalle yhtälössä 2 2 x x = 3 => 2 x x = 3 => -9.5x = 13.5 => x = -13.5/(-9.5) -=> x = 1.42 y = x = *1.42 = 1.95

56 C. Determinanttikaavat x = Dx/D, y= Dy/D 5 x + 2y = 11 2 x + 3 y = D = 2 3 Dx = = = 19 = 33-6 = 27 X = 27/ Y = 37/ Dy = = = 37

57 D. Solven käyttö 5 x + 2y = 11 2 x + 3 y = 3 Esim. mekaniikan tasapainotehtävissä kaikkein tehokkain tapa, mikäli laskimessa on tämä toiminto.

58 Mitä menetelmiä voi käyttää, kun tuntemattomia ja yhtälöitä on paljon? Esim. Ratkaise x, y, z, u ja v yhtälöryhmästä 2 x + 5 y 3 z -7 u + v = 11 - x + 3 y + 2 z + u 11 v = 2 7 x - y + 8 x + 5 v = 19-5 x + 13 y 4 z + 6 u v = 14 3 x 2 y + 5 z - 6 u + 4 v = 21

59 Solve toimii myös suurille yhtälöryhmille solve 2 x + 5 y 3 z -7 u + v = 11, - x + 3 y + 2 z + u 11 v = 2, 7 x - y + 8 z + 5 v = 19, -5 x + 13 y 4 z + 6 u v = 14, 3 x 2 y + 5 z - 6 u + 4 v = 21

60 Determinanttikaavat toimivat suurille yhtälöryhmille hyvin (Excel funktio MDETERM laskee det.)

61 Ratkaise determinanttikaavoilla x = Dx/D ja y = Dy/D Seuraavassa tehtävässä ei saa käyttää determinantteja eikä solvea

62 Huom! Ristitulo on määritelty vain 3D vektoreille Vektorien ristitulo engl. cross product a b

63 Ristitulon ഥaxഥb määritelmä Pituus : Ristitulovektorin pituus ഥaxഥb = ഥa ഥb sinγ => Ristitulovektorin pituus antaa vektoreiden a ja b määräämään suunnikkaan alan. Suunta: ഥaxഥb on kohtisuorassa vektoreita a ja b vastaan siten. Oikean käden sääntö: a = etusormi, b = keskisormi => axb = peukalon suuntainen Ominaisuuksia: ഥbxഥa = - ഥaxഥb kun järjestys tulossa vaihdetaan, suunta vaihtuu päinvastaiseksi Osittelulait pitävät paikkansa ഥax(ഥb+തc) =ഥaxഥb + തaxതc j.n.e Ristitulo = (0,0,0), kun vektorit a ja b ovat saman- tai vastakkaissuuntaiset. (koska suunnikkaan ala = 0)

64 ҧ ҧ ҧ ҧ Ristitulon laskeminen manuaalisesti (ver 1) Tapa1: Merkitään koordinaattiakselien suuntaisia yksikkövektoreja i =(1,0,0), j =(0,1,0) ja k=(0,0,1) Ristitulo lasketaan tavallisimmin determinanttina തaxതb = i j തk a1 a2 a3 b1 b2 b3 Kun determinantti on laskettu, yksikkövektorien i, j ja k kertoimet ovat ristitulovektorin x,y ja z komponentit. Esimerkki: Laske തaxതb kun തa= (1,2, 3) ja തb = (4, 1, 1) തaxതb = i j തk = iҧ jҧ ഥk = - i ҧ + 11 j ҧ - 7 ഥk = ( - 1, 11, -7) Harj. Laske yo.tavalla (5, 2, 3) x ( 1, 3, 2)

65 Kertaus: 3x3 neliömatriisin determinantin laskeminen Esim. B = Laske det(b) Ylärivin alkiot kerrotaan niitä vastaavilla 2x2 alideterminanteilla, jotka saadaan peittämällä alkion rivi ja sarake. Tulot lasketaan yhteen siten, että keskimmäisen tulon etumerkki vaihdetaan negatiiviseksi Det(B) =2* * * 4 1 = 2*(-5) 5*(-22) + 1*(-1) = 99

66 Ristitulon laskeminen manuaalisesti (ver 2) Tapa2: Kirjoitetaan a:n ja b:n komponentit alekkain taulukoksi ja laajennetaan taulukkoa oikealle kopioimalla sinne 2 ensimmäistä saraketta. Ristitulovektorin komponentit saadaan kolmesta perättäisestä 2x2 determinantista sarakkeesta 2 alkaen. Esimerkki: Laske തaxതb kun തa= (1,2, 3) ja തb = (4, 1, 1) Alla on laskettu ristitulovektorin komponentit determinantteina X = det = 2*1-1*3 = -1 Y = det = 3*4-1*1 = 11 Harj. Laske yo.tavalla (5, 2, 3) x ( 1, 3, 2) Z = det = 1*1-4*2 = -7 Tulos: a x b = (-1, 11, -7)

67 Vektorin esitysmuoto (x i + y j ҧ + z തk) 3D vektorin esitys koordinaattiakselien suuntaisten yksikkövektorien avulla Merkitään x, y ja z akselien suuntaisia yksikkövektoreja symboleilla i = (1,0,0), j = (0, 1, 0), k = ( 0,0,1) Tällöin jokainen 3D vektori voidaan esittää niiden avulla, esim Vektori ( 2, 4, 1) = 2 i + 4 j + k Tätä merkintätapaa käyttäen voi myös laskea vektoreja yhteen: Esim ( 2, 1, - 5) + ( 4, 2, 7 ) = ( 2 + 4, 1 + 2, ) = (6, 3, 2) voidaan laskea myös seuraavasti: 2 i + j -5 k + 4 i + 2j + 7 k = (2 +4) i + (1+2) j + (-5+7) k = 6 i +3 j + 2k mikä muistuttaa paljon polynomilausekkeiden sieventämistä Laskimet eivät tunne yksikkövektoriesitystä

68 Ristitulovektorin laskeminen W.A:lla Esimerkki: Laske തaxതb kun തa= (1,2, 3) ja തb = (4, 1, 1) Ristitulon komento on cross, jota seuraa vektorit pilkulla erotettuna Ristitulon voi laskea myös käyttämällä tähteä (*) kertomerkkinä

69 Ristitulovektorin laskeminen TI- laskimella Esimerkki: Laske തaxതb kun തa= (1,2, 3) ja തb = (4, 1, 1) crossp([1,2,3],[4,1,1]) Funktion nimi on lyhenne Ristitulon englanninkielisestä muodosta cross product

70 Sovellus: Kolmion alan laskeminen Kaava: Ristitulovektorin pituus ഥaxഥb = ഥa ഥb sinγ Laske kolmion A(1,2,1) B(7,3,1) C(2,9,3) ala. Ratkaisu: Lasketaan kärjestä A lähtevät vektorit: a =AB= (6,1,0) ja b = AC = (1,7,2) Lasketaan ala kaavalla A = ½ * axb * suunnikkaan ala A = a x b TI ja Casio : ½* norm(crossp( [6,1,0],[1,7,2] ))

71 Kolmion muotoisen maa (vesialueen) ala huom! ei korkeuseroja b = (200,450) A=? a = (500,100) Koska ristitulo on vain 3D vektoreille, lisätään 3. komponentti 0. = n. 10 ha Suora kaava jota maanmittarit käyttävät, kun ei ole korkeuseroja Kolmiotontin ala : A = 1 2 a1 b1 a2 b2 Missä a ja b ovat kolmion samasta kärjestä lähtevät vektorit

72 ҧ ҧ Maanmittareiden kaava kolmion alalle Yleisesti : Kolmion samasta kärjestä lähtevät sivuvektorit ovat (x 1,y 2 ) ja (x 2, y 2 ). Laske kolmion ala. Kun lisätään vektoreihin z- komponentti 0, ja lasketaan vektorien ristitulo, saadaan (x 1,y 2,0) x (x 2, y 2,,0) = i j തk x1 y1 0 x2 y2 0 = k x1 y1 x2 y2 = ( 0, 0, x1 y1 x2 y2 ) Kolmion ala A = ½ x1 y1 x2 y2 Esim. Kolmion samasta kärjestä lähtevät vektori ovat (2,4) ja (5,1) Kolmion ala A = ½ = ½* -18 = 9

73 Esimerkki laskutehtäviin Kolmion samasta kärjestä lähtevät vektorit a = (1,4,3) ja b=(3,1,1) Laske kolmion ala: A = ½ a x b x= 4*1-1*5 = -1 y = 5*3-1*1 = 14 z = 1*1-3*4 = -11 a x b = (-1,14,-11) Sen pituus a x b = = 17.8 (suunn. Ala) Kolmion ala = ½*17.8 = 8.9

74 Vektorilaskennan koe hiihtoloman jälkeen ke 14.3 Vektorien ristitulo engl. cross product a b Huom! Ristitulo on määritelty vain 3D vektoreille

75 Ristitulon ഥaxഥb määritelmä Pituus : Ristitulovektorin pituus ഥaxഥb = ഥa ഥb sinγ => Ristitulovektorin pituus antaa vektoreiden a ja b määräämään suunnikkaan alan. Suunta: ഥaxഥb on kohtisuorassa vektoreita a ja b vastaan siten. Oikean käden sääntö: a = etusormi, b = keskisormi => axb = peukalon suuntainen

76 Vektorien ristitulon ഥa ഥb laskeminen käsin Ristitulovektorin komponentit voidaan laskea helpoimmin seuraavan esimerkin mukaisesti: Lasketaan vektorin a = (1,5,2) ja b = (2,3,1) ristitulovektori Tehdään taulukko, jossa a ja b ovat alekkain 2. Laajennetaan taukukkoa kopiomalla sarakkeet 1 ja 2 oikealle 3. Ristitulovektorin komponentit ovat 3 oikeanpuolimmaista taulukosta saatavaa determinanttia. a x b = ( , , ) = (-1, 3, -7)

77 Vektorien ristitulon ഥa ഥb laskeminen koneella Esim. vektorin a = (1,5,2) ja b = (2,3,1) ristitulovektori WA: TI: crossp( [1,2,5], [2,3,1] )

78 Ristitulon axb = a b sinγ sovelluksia Pinta-alalaskut Kolmion ala A 1 2 a b

79 Esim1. Kolmion yhdestä kärjestä lähtevät vektorit ovat a = (4,2,1) ja b = (1,2,7). Laske kolmion ala A 1 2 a b Kolmion ala on WA: = 15.1

80 ESIM2: Laske kuvan kolmion ala: Lasketaan kärjestä A lähtevät vektorit: AB = (5,2,1) (1,1,1) = (4,1,0) AC = (2,7,3) - (1,1,1) = (1,6,2) Kolmion ala on = A 1 2 a b

81 2D kolmion ala ( maanmittareiden kaava ) a = (a 1, a 2 ) b = (b 1, b 2 ) Ristituloa varten lisätään molempiin z-koordinaatti 0 Ala A = ½ (a 1,a 2,0) x (b 1,b 2,0) Lasketaan ristitulovektori a1 a2 0 a1 a2 b1 b2 0 b1 b2 Ristitulovektori = ( 0, 0, a1 a2 b1 b2 ) Koska vain z- komponentti 0, se on samalla vektorin pituus Kolmion ala A = ½ a1 a2 b1 b2 Huom! Vektorien järjestyksen determinantissa pitää olla sellainen, että oikeanpuolimmainen vektoreista on ylärivillä, muuten alasta tulee negatiivinen

82 Esim. Kolmion muotoisen tontin samasta kärjestä lähtevät vektorit ovat a = (700, 100) ja b=(200, 400). Laske tontin ala. A = ½ = m2 = 13 ha Tehtävän voi laskea myös ristitulon avulla, kunhan pisteisiin lisätään z koordinaateiksi 0.

83 Esim. Lammen pinta-alan laskeminen Kierretään lampi ja mitataan pisteiden A- F koordinaatit GPS:llä: A = (810, 80) B = (500, 60) C = (550, 350) D =(820, 550) E =(1070, 530) F = (1090, 70) Ala voidaan laskea neljän kolmion alan summana. Ensin pitää laskea vektorit jotka lähtevät pisteestä A: AF = (280, -10) AE = (260,450) AD = (10, 470) AC=(-260, 270) AB=(-310, -20) Lasketaan ala neljän kolmion alan summana käyttäen kaavaa A = ½ a1 b1 a2 b2 A 1 2 ( ) m 2

84 Skalaarikolmitulo ഥaxഥb. തc On tulo, jossa on kolme vektoria, joiden välillä on sekä ristitulo, että pistetulo.

85 Kolmitulon ഥaxഥb. തc laskeminen tapa1: Kolmitulon laskeminen koneella: Esim. Laske (3,2,1) x (1,2,3).(5,4,2) Jos laskin osaa laskea molemmat tulot suht. helposti, voidaan kolmitulo laskea helposti niitä käyttäen WA: = - 4 TI-laskin ja Casio: dotp( crossp([3,2,1],[1,2,3]),[5,4,2]) Lauseke laskimella on sen verran monimutkainen, että näin ei kolmituloa kannata laskea laskimella. Seuraavalla kalvolla on helpompi tapa

86 Kolmitulon ഥaxഥb. തc laskeminen tapa2: Kolmitulo voidaan laskea 3x3 - determinanttina, jonka rivit muodostavat vektorit a, b ja c : Esim. Laske (3,2,1) x (1,2,3).(5,4,2) 4 6) ( 13) ( 2 8) ( WA, TI- laskin ja Casio: det( (3,2,1), (1,2,3), (5,4,2)) antaa -4

87 1. Suuntaissärmiön tilavuuden laskeminen axb ϕ Olkoot suuntaissärmiön samasta kärjestä lähtevät kolme vektoria a = (a 1,a 2,a 3 ), b = (b 1,b 2,b 3 ) ja c = (c 1,c 2,c 3 ) Särmiön tilavuus V = skalaarikolmitulon axb.c itseisarvo V a b c Huom. Skalaarikolmitulon arvo on reaaliluku, joka voi olla myös negatiivinen. Luvun itseisarvo on kuitenkin aina vektoreiden a, b ja c virittämän suuntaissärmiön tilavuus Perustelu: a b c a b c cos A suunn h

88 Esim. Suuntaissärmiön kärkipisteen A(1,1,1) viereiset kärkipisteet ovat B(5,1,2), C(3,7,4) ja D(2,2,9). Laske suuntaissärmiön tilavuus Lasketaan pisteestä A lähtevät vektorit jotka määräävät kuvan suuntaissärmiön AB = (4,0,1) AC = (2, 6, 3) AD = (1, 1, 8) Tilavuus saadaan determinantin avulla det( (4,0,1), (1,6,3), (1,1,8)) = 176 V = 176

89 2. Pisteen D kohtisuora etäisyys kolmion ABC tasosta Kysytty etäisyys h = sellaisen suuntaissärmiön korkeus, jonka AB,AC ja AD määräävät ഥa, ഥb ja തc ovat pisteestä A lähtevät vektorit AB, AC ja AD Suuntaissärmiön korkeus on sen tilavuus V jaettuna pohjauunnikkaan alalla A h V A a b c a b

90 Esim. Laske pisteen D(3,7,2) etäisyys kolmion A(1,2,1)B(7,2,1)C(1,4,3) tasosta Lasketaan pisteestä A lähtevät vektorit jotka määräävät kuvan suuntaissärmiön AB = (6,0,0) AC = (0, 2, 2) AD = (2, 5, 1) Kysytty etäisyys (kuvan h) = suuntaissärmiön tilavuus V jaettuna sen pohjasuunnikkaan alalla A h V A a b c a b det( (6,0,0), (0,2,2), (2,5,1)) = -48 => V = 48 norm( (6,0,0)*(0,2,2) ) = => A = 17.0 norm() vektorin pituus h V A a b c a b

91 3. Tutki, ovatko pisteet A(1,1,1) B(2,3,4) C(7,2,1) ja D(5,2,1) samassa tasossa. Pisteet ovat samassa tasossa jos vektorien AB, AC ja AD virittämän suuntaissärmiön tilavuus V = 0 Lasketaan A:sta lähtevät vektorit: AB = (1,2,3) AC = (6,1,0) AD=(4,1,0) Suuntaissärmiön tilavuus (laskimella) = det( (1,2,3), (6,1,0), (4,1,0) ) = Vastaus: Pisteet eivät ole samassa tasossa, koska determinantti 0

92 Lin. Algebra osa 2 1. Matriisilaskentaa ja sovelluksia 2. Eksponenttifunktio, eksponenttiyhtälö 3. Logaritmit, logaritmiset asteikot Jäljellä olevat tunnit: 20.3 ja 21.3 matriisilaskentaa 26.3 laskutunti, 29.3 vektorikokeen uusinta 4.4 ja 5.4 eksponenttifunktio, eksponenttimalli 9.4 ja 10.4 logaritmifunktio, logaritmiasteikot 16.4 ja 18.4 laskutunteja, kertausta 23.4 koe osasta 2, 24.4 kokeen palautus 3.5 uusintakoe

93 Poimintoja kokeesta Tehtävä 1d) Laske ristitulo (3,1,2) x (5,2,3)

94 kokeesta 3) Laskettava kuvan vektoreiden summavektori 120 o x = r cosφ y = r sinφ 235 o

95 kokeesta 3) Laskettava kuvan vektoreiden summavektori 120 o x = r cosφ y = r sinφ 235 o

96 kokeesta 2) Kolmion ratkaiseminen AB=(6,2,0) AC=(2,7,0) BC=(-4,5,0)

97 Matriisit Peruslaskutoimitukset: Yhteenlasku Vähennyslasku Vakiolla kertominen Kertolasku Determinantti Käänteismatriisi Käänteismatriisin käyttö yhtälöryhmien ratkaisussa

98 Mitä matriisit ovat? 2 -ulotteisia lukutaulukoita sanotaan matriiseiksi. (matrix). Matriiseja merkitään isoilla kirjaimilla. Matriisin ympärillä käytetään hakasulkuja Esim. B on 2x3 matriisi (2 riviä, 3 saraketta) A on 2x2 -neliömatriisi Sovelluksissa käytetään useimmin neliömatriiseja. C on 3x1 matriisi, joita kutsutaan myös pystyvektoreiksi

99 Mihin matriiseja käytetään? Lineaaristen yhtälöryhmien ratkaisuun Kiertomatriisit ovat tärkeitä 3D grafiikassa (CAD) Niillä voidaan pyörittää objekteja näytöllä tai muuttaa katsojan paikkaa Determinantit liittyvät myös matriisilaskentaan

100 Matriisien peruslaskutoimitukset Samankokoisia matriiseja voidaan laskea yhteen ja vähentää toisistaan ja kertoa vakiolla. Summa saadaan laskemalla vastinalkiot yhteen, erotus vähentämällä vastinalkiot toisistaan. Matriisi kerrotaan vakiolla kertomalla kaikki alkiot ko. vakiolla Summa Erotus Vakio x matriisi

101 Matriisien tulo Matriisien A ja B tulo A.B voidaan määritellä, jos matriisilla A on sama määrä sarakkeita kuin matriisilla B on rivejä. Tulomatriisin alkiot ovat matriisin A rivien ja matriisin B sarakkeiden pistetuloja. Käsin tulo lasketaan seuraavasti: Kertolaskutaulukko: Tulo A.B = Huom! Esimerkin matriiseille tuloa B.A ei ole edes määritelty, koska koot eivät täsmää. Silloinkin kun tulot A.B ja B.A ovat olemassa, ne ovat pääsääntöisesti erisuuret: Matriisien kertolasku ei ole vaihdannainen.

102 Matriisien tulo TI-Cas laskimella Seuravaksi syötetään matriisi koko. Matriisien kertolaskussa käytetään tavallista kertomerkkiä *.

103 Matriisien tulo wolframalphalla WolframAlphassa kertomerkkinä käytetään pistettä. ((2,3,1),(4,1,0),(-1,2,5)). ((5,1),(-2,3),(4,-1))

104 Matriisien tulo Excelissä Osaako laskimesi matriisien kertolaskun? Online kalkulaattoreita matriisien kertolaskuun löytyy runsaasti, mm.:

105 Neliömatriisien ominaisuuksia Matriisilaskennassa käytetään useimmin 2x2 tai 3x3 neliömatriiseja. Niillä on peruslaskutoimitusten +,-,. lisäksi muita ominaisuuksia, jotka muistuttavat reaalilukujen vastaavia ominaisuuksia Reaalilukujen joukossa erityisiä lukuja ovat 0 ja 1 0 on luku, jonka lisääminen ei muuta lukua; ts. a + 0 = 0 + a = a 1 on luku, jolla kertominen ei muuta lukua; ts. a*1 = 1*a = a 3x3 neliömatriiseilla näitä vastaavat nollamatriisi ja yksikkömatriisi I.

106 Neliömatriisin A determinantti A Reaaliluvuilla on itseisarvo, vektoreilla on pituus. Neliömatriiseihinkin liitetään reaaliluku, jota sanotaan matriisin determinantiksi ja merkitään A tai joskus Det(A) tai pelkällä D-kirjaimella. Determinantti 2x2 matriisille on siis lävistäjien tulojen erotus Esim. Laske matriisin determinantti Ratk. D = 4*2-3*1 = 5

107 3x3 neliömatriisin determinantti 3x3- determinantti lasketaan menetelmällä, jota sanotaan determinantin kehittämiseksi jonkin rivin tai sarakkeen suhteen. Menetelmässä muodostetaan summa, jossa esim. kukin ylimmän rivin alkio vuoronperään kerrotaan sitä vastaavalla alideterminantilla, joka saadaan luvuista jotka näkyvät kun alkiota vastaava sarake ja rivi peitetään matriisista. Saadut tulot lasketaan yhteen etumerkkiä vuorotellen : +, -, + = 1*(5*2-6*6) 2*(4*2-7*6) + 3*(4*6-7*5) = 9 Determinantti voidaan yhtä hyvin kehittää jonkin muun rivin tai sarakkeen suhteen vastaavalla tavalla. Jos jollain rivillä tai sarakkeessa on useita nollia, kannattaa kehittää sen suhteen, jotta termejä olisi vähemmän. Termien etumerkit saadaan oheisesta kaaviosta.

108 Determinantit Excelillä Käytännössä, kun determinantteja lasketaan, se tehdään esim. Excelin funktiolla MDETERM, tai laskimella Valitse MDETERM funktio, ja maalaa argumentiksi matriisin solut. Determinantit Wolfram A:lla det ((1,2,3), (4,5,6), (7,6,2)) Determinantit Ti CAS :lla

109 Vinkki: Käytä nollarivejä/-sarakkeita Laske oheisen matriisin determinantti. Koska 2. sarakkeessa on kaksi nollaa, kannattaa determinantti kehittään nimenomaan sen sarakkeen suhteen: merkit A = - 4*(4*7-3*(-1)) = -4*31 = Saman sarakkeen muut alkiot ovat nollia, joten niistä ei tule mitään lisää determinanttiin

110 Determinantin ominaisuuksia Vektoreista muistamme, että determinantin itseisarvo = sen rivejä edustavien vektorien virittämän suuntaissärmiön tilavuus. Tästä seuraa, että determinantti = 0, jos a) Determinantissa on sama rivi kahdesti b) Determinantissa jokin rivi on toisen rivin monikerta c) Determinantissa jokin riveistä on kahden muun rivin lineaarikombinaatio, esim. c = t a + u b Säännöt a) b) ja c) pätevät myös sarakkeille a) ja b) Kaksi särmiön virittäjävektoreista samoja tai samansuuntaisia => litistynyt särmiö. c) särmiön kolmas virittäjävektori on kahden muun tasossa => särmiöllä ei ole korkeutta Determinantin arvo ei muutu, jos jokin rivi/sarake lisätään toiseen riviin jollakin vakiolla kerrottuna Tämä ominaisuus ei ole niin ilmeinen kuin kohdat a),b) ja c). Sitä voisi kuitenkin perustella seuraavasti. Jos esim. vektoriin c lisättäisiin a kerrottuna jollakin vakiolla, tämä siirtäisi vain vektorin c kärkipistettä sivun a suunnassa, jolloin särmiöstä tulisi vinompi, mutta sen pohjan ala ja korkeus säilyisivät muuttumattomina. Tällöin särmiön tilavuus jota determinantti edustaa ei muuttuisi.

111 Lineaarinen yhtälöryhmä ja matriisimenetelmät A) Käänteismatriisimenetelmä B) Determinanttien käyttö (ns. Cramerin kaavat) Matriisilaskennan menetelmistä saadaan hyötyä (ajansäästöä), mutta tämä edellyttää hyvää laskinta tai Wolfram Alphaa

112 Lineaarisen yhtälöryhmän ratkaisukaava A 11 x + A 12 y + A 13 z = B 1 A 21 x + A 22 y + A 23 z = B 2 A 31 x + A 32 y + A 33 z = B 3 Ratkaisu saadaan laskemalla -1koneella kerroinmatriisin käänteismatriisin ja oikean puolen tulo X Y Z = A 11, A 12,A 13 A 21, A 22, A 23 A 31, A 32, A 33 * B 1 B 2 B 3 Kaavan tarkempi perustelu ja käyttöohjeet ovat seuraavilla kalvoilla.

113 Yksikkömatriisi I on neliömatriisien luku 1 Reaalilukujen joukossa on luku 1, jolla kertominen säilyttää luvun sellaisenaan: ts. 1*a = a*1 = a Neliömatriisien joukossa on vastaavasti yksikkömatriisi, jolla kertominen ei muuta tulon toista matriisia. 2x2 yksikkömatriisi on 3x3 yksikkömatriisi on

114 Matriisin A käänteismatriisi A -1 Reaaliluvuilla a, (paitsi luvulla 0 ) on käänteisluku 1/a, jolle a*(1/a) = 1 Neliömatriiseilla A, joiden determinantti A 0, on käänteismatriisi A -1, jolle A 1 1 A AA I Esimerkki: A ja A ovat toistensa käänteismatriiseja, koska niiden tulo on yksikkömatriisi I. => Huom! Käänteismatriisin laskeminen käsin on työlästä, eikä kuulu tähän kurssiin. Koneella käänteismatriisi on helppo laskea (potenssi -1)

115 Yhtälöryhmän voi kirjoittaa matriisimuodossa A.X=B Perustelu esimerkkinä seuraava yhtälöryhmä: Yhtälöryhmän vasen puoli ja oikea puoli voidaan ajatella 3x1 matriiseina eli pystyvektoreina Vasen puoli voidaan esittää kertoimista muodostuvan matriisin A ja muuttujista x,y,z muodostuvan pystyvektorin X tulona. ( Tämän voi helposti tarkistaa suorittamalla kertolasku A.X ) Tämä matriisiyhtälö on muotoa A X = B Missä A on kerroinmatriisi, X = pystyvektori, jonka alkioina ovat muuttujat x,y, z B = oikean puolen vakioista muodostuva pystyvektori.

116 Ratkaisu käänteismatriisilla A -1 Reaalilukumatematiikassa yhtälön a x = b molemmat puolet jaetaan a:lla ja ratkaisu x = b/a. myös ilmaista niin, että molemmat puolet kerrotaan a:n käänteisluvulla 1/a Tämän voi 1 1 a x b a x b x a a b a Sama menetelmä toimii myös matriisiyhtälöön A X = B. Yhtälön molemmat puolet kerrotaan käänteismatriisilla A -1, jolloin saadaan A X B A A x A B X A B Lineaarisen yhtälöryhmän ratkaisu saadaan siten kaavalla: X A 1 B Käänteismatriisi A -1 on käsin monimutkainen laskea, joten kaavasta ei ole hyötyä, jos ratkaisee yhtälöryhmiä käsin. Algebralaskimella taas tämä on nopea tapa ratkaista lineaarisia yhtälöryhmiä.

117 Wolfram Alpha Käänteismatriisimenetelmän käyttö onnistuu vain 2x2 ja 3x3 tapauksissa, ei suuremmissa yhtälöryhmissä. Alla esimerkki: Ratkaisukaavan A -1.B kirjoitetaan Wolfram Alphalla seuraavasti:

118 TI Inspire CAS toimii hyvin kaikissa kokoluokissa ja laskutoimitus on helppo syöttää * antaa ratkaisuksi

119 Excelistä löytyy käänteismatriisin laskeva funktio MINVERSE ja matriisien kertolasku MMULT Laskeminen Excelillä vaatii kuitenkin Excelin käytön hyvää tuntemusta 1) Kerroinmatriin käänteismatriisi lasketaan MINVERSE:llä 2) Käänteismatriisi ja oikean puolen vakiot kerrotaan MMULT:lla

120 Matriisilaskentaa tarvitaan CAD ohjelmistoissa ja esim. tietokonepeleissä. Kiertomatriisit (2D-tapaus) Kun pistettä (x, y) halutaan kiertää vastapäivään origon ympäri α astetta, saadaan pisteen uudet koordinaatit kertomalla vanhat koordinaatit kiertomatriisilla : T cos sin sin cos Esim. Vektoria (2, 1) kierretään vastapäivään 45 astetta. Mitkä ovat vektorin uudet koordinaatit? cos 45 sin 45 sin cos Jos kierto tehtäisiin myötäpäivään, kulmana käytettäisiin -45 o

121 B. Determinanttikaavat yhtälöryhmän ratkaisemiseksi Lineaarinen yhtälöryhmä normaalimuodossa a1 x + b1y = c1 a2 x + b2 y = c2 Tarvitaan yhtälöryhmän vasemman puolen kertoimista laskettava kerroindeterminantti D ja kaksi sen variaatiota x = Dx D y = Dy D D = a1 b1 = x:n ja y:n kerroindeterminantti a2 b2 Dx = c1 b1 = saadaan kerroindeterminantista c2 b2 korvaamalla y:n kertoimet vakioilla c1 ja c2 Dy = a1 c1 saadaan kerroindeterminantista a2 c2 korvaamalla y:n kertoimet vakioilla c1 ja c2

122 Yhtälöryhmä on vietävä ns. normaalimuotoon ennen determinanttien laskemista a1 x + b1y = c1 a2 x + b2 y = c2 3 x = 7 5y y = 2x x + 5y = 7 2x + y = 1 Normaalimuoto: x:t, y:t omissa sarakkeissaan vasemmalla, vakiot oikealla puolen yhtälöä 3 5 D = = = Dx = = 7-5 = Dy = = = ns. Cramerin kaavat x = Dx/D = 2/13 y = Dy/D = 17/13

123 Determinanttimenetelmää voi helposti soveltaa Excelissä (funktio MDETERM)

124 Eksponenttifunktio eksponenttimalli ja eksponenttiyhtälö *logaritmin määritelmä Tehtävät eksponenttiyhtälöstä: 47-50

125 Esim. Kiinteistön arvo v.2010 alussa oli Euroa. Oletetaan, että kiinteistöjen arvot nousevat tasaisesti 2.5 % vuodessa. Laske a) esimerkin kiinteistön arvo 2016 alussa b) arvo v.1990, jolloin kiinteistö rakennettiin c) milloin arvo ylittää Euron rajan? Periaate: Seuraavan vuoden arvo saadaan aina kertomalla edellisen vuoden arvo 1.025:llä, joka saadaan yhteenlaskulla /100 = Vastaavasti laskettaessa arvoa ajassa taaksepäin jaetaan nykyarvo vuosittain 1.025:lla. a) * = Euroa b) * = Euroa tai näin / = Euroa Eksponenttimalli y = y 0 a t Yhtälöä a x = b sanotaan eksponenttiyhtälöksi Sen ratkaisu x saadaan logaritmifunktiolla: x = log a (b) a-kantainen logaritmi b x = log(b)/log(a) muunnoskaava, jos laskimessa ei ole kuin 1 tai 2 logaritmifunktiota c) *1.025 t = jaetaan :lla t = 1.28 ( / = 1.28 ) t = log(1.28)/log(1.025) = 10.0 (W.A tai TI) log (1.28) = 10.0 Vastaus alussa

126 Eksponenttiyhtälö a x =b Esim. Ratkaise x yhtälöstä 2 x = 10 Haarukoidaan ratkaisua: 2 3 = 8 ja 2 4 = 16 => x on välillä 3 4 Haarukoidaan ratkaisua edelleen laskimella: = = = =10.13 => 3.4 < x < 3.4 Solve ratkaisee myös eksponenttiyhtälön Eksponenttiyhtälön ratkaisuun on täsmäfunktio: logaritmi Yhtälön a x = b ratkaisu on x=log a (b) Esim. Ratkaise 2 x = 10 => W.A Huom! Funktiolaskimissa on logaritmifunktiot vain kun kantaluku on 10 [log] tai Neperin luku e = [ln] Näillä laskimilla voidaan log a (b) laskea muunnoskaavalla log a (b) = log(b) log(a) funktiolaskimella 2 x = 10 => x = log(10) log(2) =3.32

127 Nouseva ja laskeva exponenttifunktio y = a x aidosti kasvava funktio a > 1 vähenevä funktio 0<a <1 Määritysjoukko: Mj = R Arvojoukko : Aj = R + (kaikki reaaliluvut) (funktio saa vain positiivisia arvoja)

128 Esim vm Fiat Punto maksoi v alussa 4900 Euroa. Oletetaan arvo alenee 15 % vuodessa. a) Paljonko Punto maksoi uutena (2007 alussa) b) Paljonko siitä saa 2015 puolivälissä? c) Milloin arvo on enää 1000 Euroa? Seuraavan vuoden arvo saadaan edellisestä kertomalla luvulla 0.85 ( koska 1 15/100 = 0.85) a) 4900 * = 9387 Euroa b) 4900 * = 2368 Euroa c) 4900 * 0.85 t = 1000 jaetaan 4900 :lla 0.85 t = 1000/4900 = t = log(0.204) / log(0.85) = 9. 8 Eksponenttiyhtälö: a x = b Ratkaisu: x = log(b)/log(a) tai jos laskin tukee kaikkia kantalukuja: x = log a (b) (vuosiluku 2020 loppupuolella)

129 Esim. Ydinonnettomuudessa syntyy radioaktiivista jodia, jonka määrä puoliintuu 8 päivässä. a) Kuinka paljon atomista jodia on jäljellä 30 vrk kuluttua. b) Minkä ajan kuluttua jodia on vain 1 atomi jäljellä? Kaava N = N t / 8 N 0 = alkuperäinen atomimäärä N = määrä ajan t kuluttua Jodiatomien määrä alussa N 0 = Kantaluku = ½ = 0.5 a) Jodin määrä 30 vrk kuluttua N = *0.5 30/8 = atomia atomia t /8 Eksponenttiyhtälö: a x = b Ratkaisu: x = log(b)/log(a) tai suoremmin x = log a (b)

130 Luku e ja eksponenttifunktio e x Luku e on ns. Neperin luku, Sen likiarvon voi laskea esim kaavalla ( 1 + 1/ n) n antamalla n:lle suuria arvoja, esim. n = antaa e = Euler on myös osoittanut, että Neperin luku saadaan äärettömänä summana e = / 2! + 1/ 3! + 1/ 4! + Ottamalla 10 ensimmäistä termiä saadaan e = Fysiikassa ja tekniikassa tärkeä eksponenttifunktio on y = e x 20 Ohjelmointikielissä tämä funktio kirjoitetaan exp(x) 5 laskimissa näppäin e x

131 Logaritmin määritelmä Kun x ratkaistaan yhtälöstä y = a x, saadaan x = log a (y) a x y x log a y Lue: a-kantainen logaritmi y => Funktio y = log a (x) on exponenttifunktion y = a x käänteisfunktio. FUNKTIOLASKIMIEN LOGARITMIFUNKTIOT ln(x) Kantalukuna Neperin luku e = log(x) tai lg(x) Kantalukuna 10 Yksikin logaritmifunktio laskimessa riittää, sillä muut voidaan laskea muunnoskaavalla: log a ( x) log( x) log( a)

132 Algebralaskimet ja WolframAlpha Laskettava arvo Wolfram A TI-CAS funktiolaskin log(27.0) 10-kant. log10(27.0) log(27.0) log(27.0) ln(12.5) log(12.5) ln(12.5) ln(12.5) log 3 (5.5) log3(5.5) log 3 (5.5) log(5.5)/log(3) log a log( x) ( x) log( a)

133 Laske seuraavat logaritmit Osan logaritmeista voi laskea päässälaskuna perustuen logaritmin määritelmään: Laske a x y x log a y a) log 2 8 b) log100 c) log x = 8, x=? Vast: 3 koska 2 3 = 8 10 x =100 x=? Vast: 2 koska 10 2 = x =0.001 x=? Vast: -3 koska 10-3 = x =1/9 x=? Vast: -2 koska 3-2 = 1/9 e x =e 5 x=? Vast: 5 koska e 5 = e 5 Muutoin logaritmeja lasketaan laskimella: Funktiolaskimella käytä muunnoskaavaa: a) log b) log Vast: 2.87 Vast: 9.63 log a ( x) log( x) log( a) tai ln(x)/ln(a)

134 Yhteenveto eksponenttiyhtälöiden perustyypeistä

135 Tavallisimmat eksponenttimallit arvo kasvaa 5% vuodessa arvo laskee 12% vuodessa y = y t y = y t arvo kasvaa 30% 7 vuodessa y = y t / 7 arvo kaksinkertaistuu 25 vuodessa y = y t / 25 arvo puoliintuu 3.5 vrk:ssa y = y 0 (½) t / 3.5

136 Exponenttiyhtälöt a x = b x = log a (b) = log(b) log(a) Kiinteistön arvo 2012 on Euroa, Arvo kasvaa 2.0 % vuodessa. a) Esitä arvo ajan funktiona ( ajan yksikkönä on vuosi ja origo v.2012 b) Minkä ajan kuluttua arvo ylittää rajan? a) y t b) t = t = = t = log 1.02 (1.167) = log(1.167) =7.8 vuotta log(1.02)

137 Käytetyn Renault Clion arvo laskee 13 % vuodessa. Auto ostettiin 2010 alussa käytettynä hinnalla 6500 Euroa Milloin autosta saa enää 1500 Euroa? a) t y %-13%=87% b) t = t = = t = log 0.87 (0.231) = log(0.231) log(0.87) =10.5 v Vuosi on 2021

138 Logaritmien ominaisuuksia Logaritmiset asteikot

139 Logaritmin ominaisuudet 1) log(x y) = log(x) + log(y) 2) log(x/y) = log(x) - log(y) 3) log(x r ) = r log(x) Tulon logaritmi on sen tekijöiden logaritmien summa. Osamäärän logaritmi on osoittaja ja nimittäjän logaritmien erotus Potenssin logaritmia laskettaessa eksponentti voidaan siirtää kertoimeksi Muita ominaisuuksia log a a = 1 log a 1 = 0 kaikilla kantaluvuilla a a x = a x=1 a x = 1 x=0 Esim. Oletetaan, että Log(2) = 0.69 Log(3) = 1.10 Laske päässä: a) Log(6) = Log(2*3)= =1.79 b) Log(27)=log(3 3 ) =3*log(3)=3*1.1=3.3

140 Lineaarinen asteikko Logaritminen asteikko Luvun 64 logaritmi on 6 kertaa luvun 2 logaritmi, koska log64 = log 2 6 = 6 log 2 Logaritmisia asteikkoja käytetään tilanteissa, jossa suureen absoluuttisten arvojen erot ovat erittäin suuria: esim. melu, maanjäristykset

141 Laskutikku Ennen funktiolaskimia (1970 -luvun alkuun asti) insinöörit laskivat numerolaskut laskutikulla, jossa logaritmisella asteikolla varustettuja viivottimia liikuteltiin toisiinsa nähden. Kertolaskut tyyppiä 1,62 * 7,23 onnistuivat nopeasti ja tehokkaasti kahden merkitsevän numeron tarkkuudella.

142 Log(x y) = Log (x) + Log(y) Kertolasku muuttuu janojen yhteenlaskuksi logaritmiasteikolla Kuvassa laskettu laskutikulla kertolasku 2 x 4 = 8

143 Log(x/y) = Log (x) - Log(y) Jakolasku muuttuu janojen vähennyslaskuksi logaritmiasteikolla Kuvassa laskettu laskutikulla jakolasku 10 : 5 = 2

144 Logaritmiset asteikot fysiikassa ja tekniikassa Magnitudi- eli Richterin asteikko Desibeliasteikko Käytetään ilmiöissä, joissa absoluuttisten arvojen vaihtelu on erittäin suurta. Logaritminen asteikko tasaa äärimmäisiä vaihteluita

145 Exponenttifunktio ja logaritmifunktio ovat käänteisfunktioita Yhtälön a x = b ratkaisu on x = log a b (=logb/loga) Yhtälön log a (x) = b ratkaisu on x =a b Logartmisissa asteikoissa (melu, maanjäristys, ph) käytetään logartmia, jonka kantaluku on 10 : laskimen log(x) Yhtälön log(x) = b ratkaisu on x =10 b 10 Esim. Log(x) = 4.5 => x = = 31623

146 Magnitudiasteikko M = log(a/a 0 ) A = maan värähtelyn laajuus: A 0 = nollaa Magnitudia vastaava perustaso Esim. Mikä on 7.3 magnitudin ja 5.8 magnitudin maanjäristysten voimakkuuden suhde absoluuttisella asteikolla, jossa mittana on amplitudit? magnitudi Absoluuttinen (* A 0 ) kohtalainen järistys Voimakas järistys = 0.63* = 20*10 6 Maanjäristyksien amplitudien suhde on 20/0.63 = 32

147 Esim. Kun Magnitudi nousee 1:llä, kuinka monikertaiseksi nousee absoluuttinen arvo? Ratk. Olkoon ensimmäinen järistys voimakkuudeltaan M ja toinen M +1. Muutetaan arvot absoluuttisiksi Yhtälön log(x) = b ratkaisu on x =10 b magnitudi Absoluuttinen (* A 0 ) M 10 M M+1 10 M+1 = 10 M *10 1 =10*10 M x n x m =x m+n Kaavaa: => Yksi magnitudi lisää tarkoittaa maanjäristyksen voimakkuuden 10 kertaistumista. Magnitudi voi olla < 0 (A<A 0 ), esim. kaivoksissa maan värähtelyä mitataan jatkuvasti ja siellä usein taso voi olla esim M

148 db - asteikko db = 10*log(p/p 0 ) p = melun aiheuttama paine Pascaleina, p 0 = paine, jonka määritellään vastaavan 0 db Esim. Mikä on metroaseman 107 db:n ja luokkamelun 83 db suhde, kun käytetään absoluuttista asteikkoa (ilmanpainearvoja) db Absoluuttinen (*p 0 ) melu luokassa = 200*10 6 melu metroasemalla = 50120*10 6 Ilmanpainearvojen suhde on / 200 = 250 Kun absoluuttinen painetaso 10- kertaistuu, db kasvaa 10:llä

149 Esim. : Jos yksi katsomossa huutava katsoja aiheuttaa urheiluhallissa 85 db melun, mikä on melutaso kun katsojia on kaksi? Kuinka monta katsojaa saa aikaan 100 db? db/10 = log(p/p 0 ) desibelit Abs. Painetaso (p/p 0 ) 1 katsoja 85 db => = 316* katsojaa db=10*log( ) =88dB<= 2*316*10 6 = 632* db = 10000*10 6 = x*316*10 6 ratkaise x x= / = 32 katsojaa

150 Esim.: Kuinka monikertainen on 5 koneen aiheuttama melu db asteikolla verrattuna 1. koneen aiheuttamaan meluun db = 10*log(p/p 0 ) desibelit Abs. Painetaso (p/p 0 ) 1 kone x db vastaa absol.arvona p/p 0 5 konetta y =? db=10*log(5 * p/p 0 ) =10*(log5 + log(p/p 0 )) = 10*log5 + db alkup Lisää tulee 10*log5 = 6.99 db =7.0 db 5* p/p 0 Log(x y) = Log (x) + Log(y) W.A Jatkokysymys: montako konetta salissa aiheuttaisi 15 db lisämelua yhteen koneeseen verrattuna? N konetta aiheuttaa lisämelun 10*log(N). Mikä on N? 10*log(N) = 15 => log(n) = 1.5 => N = = 32 konetta Symbolimuodossa: 10*log(N* p/p 0 ) = 10*log(N) + 10*log( p/p 0 ) = >lisäys = 10 log(n)