VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE Ratkaisut ja arvostelu < X 170

Transkriptio

1 VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE Ratkaisut ja arvostelu 1.1 Satunnaismuuttuja X noudattaa normaalijakaumaa a) b) c) d) N(170, 10 2 ). Tällöin P (165 < X < 175) on likimain a) 0.38 b) 0.21 c) 0.29 d) 0.43 ( P (165 < X < 175) = P < X 170 ) < = P ( 0.5 < Z < 0.5) = Φ(0.5) Φ( 0.5) = Φ(0.5) (1 Φ(0.5)) = 2Φ(0.5) 1, jossa Z = (X 170)/10 noudattaa standardoitua normaalijakaumaa N(0, 1) ja Φ(x) on standardoidun normaalijakauman kertymäfunktio. Liitteen perusteella Φ(0.5) = , joten P (165 < X < 175) = 2Φ(0.5) 1 = = = Pearsonin korrelaatiokerroin a) mittaa sekä lineaarista että epälineaarista riippuvuutta b) voidaan laskea vähintään nominaaliasteikollisille muuttujille c) mittaa ainoastaan lineaarista riippuvuutta d) on keskiluku 1.3 Lukujen 1, 4, 7, 5, 3 varianssi on a) 2.4 b) 5.0 c) 3.8 d) 4.4 ȳ = 1 n s 2 = = 1 n 1 y i = 1 ( ) = 20/5 = 4. 5 (y i ȳ) ((1 4)2 + (4 4) 2 + (7 4) 2 + (5 4) 2 + (3 4) 2 ) = 1 4 ( ) = 20 4 = 5. 1

2 1.4 Henkilöt A, B ja C hakevat samaa työpaikkaa. Henkilöillä A ja B on samat todennäköisyydet saada paikka. Henkilö C saa paikan 3 kertaa todennäköisemmin kuin henkilö A. Paikkaan valitaan henkilö A, B tai C. Millä todennäköisyydellä henkilö B ei saa paikkaa? a) 4/5 b) 1/5 c) 5/7 d) 6/7 Olkoon P (A) = P ( Henkilö A saa paikan ) P (B) = P ( Henkilö B saa paikan ) P (C) = P ( Henkilö C saa paikan ) Tehtävänannon perusteella ja P (A) = P (B), P (C) = 3P (A) = 3P (B) P (A) + P (B) + P (C) = 1. Kun sijoitetaan P (A) = P (B) ja P (C) = 3P (B) kolmanteen yhtälöön, niin saadaan P (B) + P (B) + 3P (B) = 1 5P (B) = 1 P (B) = 1/5. Henkilö B ei saa paikkaa todennäköisyydellä P (B C ) = 1 P (B) = 1 1/5 = 4/ Tarkastellaan erästä painotettua noppaa ja siihen liittyvää satunnaismuuttujaa X = "Nopan silmäluku yhdellä heitolla". Oletetaan, että P (X = 6) = 0.25 ja P (X = i) = 0.15, i = 1,..., 5. Satunnaismuuttujan X odotusarvo on a) 3.85 b) 3.5 c) 3.75 d) 4 E(X) = 6 i P (X = i) = ( ) = = =

3 1.6 Laatikossa on 3 valkoista ja 5 sinistä palloa. Siitä nostetaan peräkkäin 3 palloa palauttamatta. Mikä on todennäköisyys, että kaikki nostetut pallot ovat samanvärisiä? a) 1/56 b) 13/112 c) 1/7 d) 11/56 ( 3 P ( Nostetut pallot ovat valkoisia ) = ( 3) 8 ) = = ( 5 P ( Nostetut pallot ovat sinisiä ) = ( 3) 8 ) = = P ( Nostetut pallot ovat samanvärisiä ) = = PISTEYTYS: 0.5 pistettä/kysymys 3

4 2. Tehdas valmistaa pultteja, joiden pituus vaihtelee hieman satunnaisien tekijöiden takia. Tasalaatuisuuden tutkimiseksi tehtaan valmistamista pulteista otettiin 100 kappaleen satunnaisotos. Otoksesta saatiin seuraavat mittaustulokset: keskiarvo x = mm ja keskihajonta s = 20 mm. Laske pulttien pituuden odotusarvolle 95 %:n luottamusväli, kun oletetaan, että pulttien pituudet noudattavat likimain normaalijakaumaa. Kun havainnot x 1,..., x n tulevat normaalijakaumasta N(µ, σ 2 ), niin odotusarvon µ 95% luottamusväli on ( x t n 1 (0.025) s, x + t n 1 (0.025) s ), n n jossa x = 1 n x i, s 2 = 1 n 1 (x i x) 2 ja t n 1 (0.025) on se piste, jonka oikealla puolella on 2.5% jakauman t n 1 (eli t- jakauma vapausasteilla n 1) todennäköisyysmassasta. Huom! Jakauman odotusarvo µ ja varianssi σ 2 ovat siis tuntemattomia. Havaintoaineiston koko on n = 100, joten t-jakaumalla on vapausasteita df = n 1 = 99. Taulukon perusteella t 99 (0.025) Pulttien pituuden odotusarvon 95 %:n luottamusväliksi saadaan ( , ) = ( , ) = ( , ) = ( , ) = ( , ) (101.5, 109.5). Huom! Saadulla luottamusvälillä ei ole mitään todennäköisyystulkintaa! Ei voi sanoa, että odotusarvo kuuluu saadulle luottamusvälille (101.5, 109.5) 95% todennäköisyydellä. PISTEYTYS: max 4 pistettä. Vastauksesta vähennetty 0.5 pistettä, jos t-jakauman sijasta on käytetty normaaliapproksimaatiota. Normaaliapproksimaation käyttö voisi olla perusteltua silloin kun t-jakaumataulukkoa ei ole käytettävissä. 4

5 3. Eräs yritys väittää, että heidän myymissään lisäainepillereissä on C-vitamiinia 500 mg. Väitteen testaamiseksi otettiin 100 pillerin satunnaisotos. Pillereistä mitatuista C-vitamiinimääristä saatiin seuraavat tulokset: keskiarvo x = 450 mg ja keskihajonta s = 200 mg. Testaa yksisuuntaisen t-testin avulla yrityksen väitteen paikkaansapitävyyttä, kun vastahypoteesina on H 1 : "C-vitamiinipitoisuus < 500 mg". Käytä 1% merkitsevyystasoa. Oletetaan, että lisäainepillerien C-vitamiinimäärä noudattaa normaalijakaumaa N(µ, σ 2 ) ja tarkastellaan yksisuuntaista testausasetelmaa eli H 0 : µ = 500 mg vastaan H 1 : µ < 500 mg H 0 : C-vitamiinipitoisuus = 500 mg vastaan H 1 : C-vitamiinipitoisuus < 500 mg Testisuureena käytetään t-testisuuretta T = x 500 s/ n, joka noudattaa t n 1 -jakaumaa eli t-jakaumaa vapausastein n 1 = 99, kun nollahypoteesi on tosi. Testisuureen pienet havaitut arvot puoltavat vastahypoteesia H 1. Testisuureen T havaituksi arvoksi saadaan t = 200/ 100 = = 2.5. Jakaumataulukosta nähdään, että P (T ) 0.01, joten havaittu arvo t = 2.5 kuuluu kriittiselle alueella ja näin ollen nollahypoteesi H 0 voidaan hylätä merkitsevyystasolla 0.01=1%. Vaikuttaa siltä, että pillereiden keskimääräinen C-vitamiinipitoisuus on pienempi kuin yrityksen antama arvo. PISTEYTYS: max 5 pistettä. Vastauksesta vähennetty 0.5 pistettä, jos t-jakauman sijasta on käytetty normaaliapproksimaatiota. Normaaliapproksimaation käyttö voisi olla perusteltua silloin kun t-jakaumataulukkoa ei ole käytettävissä. 5

6 4. Eräässä kokeessa kolme arvostelijaa A, B ja C hyväksyi ja hylkäsi suorituksia seuraavasti: A B C hyväksytty hylätty a) Testaa χ 2 -riippumattomuustestin avulla riippuuko suorituksen tulos arvostelijasta. Käytä 5 % merkitsevyystasoa b) Muotoile nollahypoteesi H 0 ja vastahypoteesi H 1. c) Anna myös sanallinen tulkinta saamallesi tulokselle. a) Lasketaan havaittujen frekvenssien taulukosta rivisummat r i, sarakesummat c i ja kokonaislukumäärä n: A B C Σ hyväksytty o 11 =50 o 12 =60 o 13 =40 r 1 =150 hylätty o 21 =50 o 22 =40 o 23 =60 r 2 =150 Σ c 1 =100 c 2 =100 c 3 =100 n = 300 Odotetut frekvenssit saadaan laskettua rivi- ja sarakesummien avulla: e ij = r ic j n Tarkastellaan testausasetelmaa = = 50, i = 1, 2, j = 1, 2, 3. H 0 : Suorituksen tulos ei riipu arvostelijasta vastaan H 1 : Suorituksen tulos riippuu arvostelijasta Testisuureena käytetään χ 2 -testisuuretta n r n c χ 2 = j=1 (o ij e ij ) 2 e ij, joka noudattaa χ 2 -jakaumaa vapausastein df = (n r 1)(n c 1), kun nollahypoteesi on tosi. Testisuureen suuret arvot puoltavat vastahypoteesia. Nyt taulukossa on rivejä n r = 2 ja sarakkeita n c = 3, joten testisuure on χ 2 - jakautunut vapausastein df = (2 1)(3 1) = 2. Testisuureen havaituksi arvoksi saadaan (50 50) 2 (60 50)2 (40 50) = = 8. (50 50) (40 50) (60 50)2 50 6

7 Jakaumataulukosta nähdään, että P (χ ) = 0.05, joten testisuureen havaittu arvo 8 kuuluu kriittiselle alueelle ja nollahypoteesi voidaan hylätä merkitsevyystasolla 5% = b) Sama kuin a)-kohdassa: H 0 : Suorituksen tulos ei riipu arvostelijasta vastaan H 1 : Suorituksen tulos riippuu arvostelijasta c) χ 2 -testin perusteella on melko epätodennäköistä, että kyseinen aineisto saataisiin nollahypoteesin pätiessä. Vaikuttaa siltä, että suorituksen tulos riippuu arvostelijasta. PISTEYTYS: a) max 4 pistettä, b) max 1 piste. Vastauksesta vähennetty vähintään 0.5 pistettä, jos hypoteesissa käytetty havaittuja frekvenssejä, b) max 1 piste. 7