MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen

Transkriptio

1 MAT-5 Todennäköisyyslaskenta Tentti.. / Kimmo Vattulainen Vastaa jokainen tehtävä eri paperille. Funktiolaskin sallittu.. a) P A). ja P A B).6. Mitä on P A B), kun A ja B ovat riippumattomia b) Satunnaismuuttujan odotusarvo EX) ja mediaani M dx) ovat jakauman keskikohtaa kuvaavia tunnuslukuja. Jatkuvan satunnaismuuttujan X mediaani on luku, joka toteuttaa ehdon P X MdX)) eli mediaani jakaa otosavaruuden kahteen, todennäköisyydeltään yhtäsuureen osaan. Laske jatkuvan satunnaismuuttujan X odotusarvo ja mediaani, kun tiheysfunktio ja otosavaruus ovat fx) x, x Ω [, ] 9. On kolme kirjekuorta, joissa yhdessä on euroa ja kaksi muuta ovat tyhjiä. Henkilöt A ja B yrittävät arvata rahakuoren ja molemmilla on kolme arvausta. A pelaa varman päälle ja valitsee jokaisen kuoren yhden kerran. B puolestaan tekee arvaukset toisistaan riippumattomasti, jolloin hän valitsee yhden kuoren kertaa. Laske molempien henkilöiden saaman rahasumman odotusarvo, kun raha euroa jaetaan oikeiden arvausten lukumäärien suhteessa.. Talossa on järjestelmä, joka asukkaiden poissa ollessa sytyttää ja sammuttaa valot satunnaisesti kerran tunnissa. Olkoon X aika, jolloin valot sytytetään ja Y aika, jolloin ne sammutetaan yksikkönä tunti). Ajat lasketaan joka tunnin alusta. Systeemi on suunniteltu niin, että X, Y ) noudattaa jakaumaa, jonka tiheysfunktio on fx, y) 8xy, < x < y < Laske ehdollinen todennäköisyys, että valot sammuvat vasta viimeisen 5 minuutin aikana, jos ne palavat vähintään puoli tuntia?. Noppaa on heitetty kertaa ja tulosten summaksi on saatu 8. Onko noppa kunnollinen siinä mielessä, että se antaa keskimäärin oikeita tuloksia? Tutki asiaa keskeisen raja-arvolauseen avulla, kuinka harvinainen tulos 8 tai sitä suurempi arvo on? Käytä 5%:n merkitsevyystasoa.

2 MAT-5 Todennäköisyyslaskenta.. Tehtävien ratkaisut.a) Kun A ja B ovat riippumattomia, niin P A B) P A)P B). Yhteenlaskusäännöstä saadaan P A B) P A) + P B) P A B) P A) + P B) P A)P B) josta voidaan ratkaista P B) P A B) P A) P A).6... Kun A ja B ovat riippumattomia, niin myös A ja B ovat riippumattomia esim.6. s. 5) ja P A B) P A)P B)..).7 b) EX) ja P X MdX)) eli x x 9 dx / x Md x 9 dx / Md x 7 Md 7 MdX) 7.8

3 . Henkilö A arvaa siis oikean kuoren täsmälleen yhden kerran. Henkilöllä B voi olla oikeita arvauksia,, tai kertaa ja tällöin hänen voitto-osuutensa on vastaavasti, /, / ja /, koska henkilöllä A on aina oikea arvaus. Kun X "henkilön B oikeiden arvausten lukumäärä ", niin X Bin, /). Seuraavassa taulukoidaan henkilön B oikeiden vastausten todennäköisyydet ja saatu rahamäärä tällöin X Todennäköisyys Rahamäärä ) ) ) 8 7 ) ) ) 9 6 ) ) ) 9 8 ) ) ) 7 9 Henkilön B rahamäärän odotusarvo on siis ja koska henkilö A varmasti arvaa oikein ja rahamäärä siis aina jaetaan, niin henkilön A rahamäärän odotusarvo on siis e.

4 . Merkitään tapahtumaa A valot sammuvat vasta viimeisen 5 minuutin aikana Y > ja B valot palavat vähintään puoli tuntia Y X >. Nyt kysytty todennäköisyys saadaan ehdollisen todennäköisyyden määritelmän mukaan P A B) P Y > Y X > ) P ) Y > ja Y X > P ) Y X > Lasketaan erikseen osoittaja ja nimittäjä. Osoittajan todennäköisyys on P Y > ja Y X > ) ja nimittäjän todennäköisyys on P Y X > ) x+ ja kysytty todennäköisyys on siis y 8xy dxdy y y + y dy / y / x y dy y y + y xy dydx x x + x dx / x+ / xy dx x x + x dx x x x + dx ) P A B)

5 . Kun X i Nopanheiton i tulos, niin X i Tasd, 6) ja fx i ) 6, x i Ω {,,,, 5, 6}. Nyt EX i ) ) 7 ja ja edelleen EX i ) ) 9 6 VarX i ) 9 6 ) 7 5 Silmälukujen summa heitossa S on keskeisen raja-arvolauseen perusteella normaalisti jakautunut S i X i. N 7 5, ) N5, 7.78 ) Tutkitaan nolla-hypoteesia H : µ 5 ja valitaan vaihtoehtoiseksi hypoteesiksi H : µ > 5. Koska nyt diskreetti satunnaismuuttuja S korvataan jatkuvalla satunnaismuuttujalla, tehdään jatkuvuuskorjaus eli lasketaan todennäköisyys P S 79.5) P S } {{ } N,) P Z.77) Φ.7)) Tämä saatu todennäköisyys. <.5, joka oli testin merkitsevyystaso. Näin nollahypoteesi hylätään ja noppa ei ole kunnollinen, vaan se antaa keskimääräistä suurempia silmälukuja.