Algebra kl Tapani Kuusalo

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Algebra kl Tapani Kuusalo"

Transkriptio

1 Algebra kl Tapani Kuusalo

2

3 Sisältö Luku 1. Luonnolliset luvut 1 Luku 2. Laskutoimitukset 4 1. Laskutoimitusten yleiset ominaisuudet 4 2. Neutraali- ja käänteisalkiot 6 3. Indusoidut laskutoimitukset, laskutoimitusten tulolaskutoimitus 8 4. Ekvivalenssirelaatiot ja tekijälaskutoimitukset 9 Luku 3. Kokonaisluvut ja rationaaliluvut Kokonaislukujen rengas Rationaalilukujen kunta 14 Luku 4. Ryhmäteoriaa Ryhmät Aliryhmät Sivuluokat Normaalit aliryhmät Permutaatioryhmät 31 Luku 5. Renkaat Renkaat Renkaiden ja ideaalien luokittelua 41 Luku 6. Jäännösluokkarenkaat Z n Jaollisuus Jäännösluokkarenkaat Z n 48 Luku 7. Polynomirenkaat 50 Luku 8. Reaaliluvut 55 Luku 9. Kompleksiluvut 62 iii

4 LUKU 1 Luonnolliset luvut Oletamme positiiviset kokonaisluvut eli luonnolliset luvut N = {0, 1, 2, 3,... } peruslaskutoimituksineen tunnetuksi. Siten tiedämme, että luonnollisten lukujen yhteenja kertolasku toteuttavat seuraavat ehdot: vastaavasti a + (b + c) = (a + b) + c a + b = b + a a(bc) = (ab)c ab = ba kaikilla a, b, c N, tämän lisäksi myös a(b + c) = ab + ac (assosiatiivisuus) (assosiatiivisuus) (kommutatiivisuus) (kommutatiivisuus), (distributiivisuus) pätee kaikilla a, b, c N. Edelleen luvut 0 ja 1 toteuttavat kaikilla a N 0 + a = a, 1a = a, 0a = 0, minkä lisäksi tietyt supistussäännöt pätevät luonnollisten lukujen laskutoimituksille: Kaikilla a, b, c N a + b = a + c joss b = c, ja jos a 0, niin myös ab = ac joss b = c. Huomaamme distributiivisuuden nojalla, että kaikilla a N ja yleisemmin myös kaikilla n N. a + a = 1a + 1a = (1 + 1)a = 2a, n kpl n kpl {}}{{}}{ a + + a = ( )a = na Järjestys. Luonnolliset luvut ovat myös vertautuvia keskenään: Kun a, b N, niin aina a b tai b a (jolloin a = b jos sekä a b että b a ovat voimassa). Tällöin a b, joss on d N siten, että b = a + d, 1

5 1. LUONNOLLISET LUVUT 2 jolloin supistussäännön nojalla yksikäsitteinen luku d N on lukujen b ja a erotus, d := b a. Merkitsemme a < b, kun a b ja a b, eli kun lukujen b ja a erotus on nollasta poikkeava, d = b a 0. Koska kaikilla a N a = 0 + a, niin 0 N on pienin luonnollinen luku, 0 a, kaikilla a N, edelleen 1 N on toiseksi pienin luonnollinen luku, 1 a kaikilla 0 a N. Siten jokaisella 0 a N on joukossa N yksikäsitteisesti määrätty edeltäjä a = a 1 N niin, että a = a + 1. Olkoon nyt 0 < a N eli 1 a ja a = a 1 < a luvun a edeltäjä. Jos x < a eli a = x + d jollakin 0 d N, niin 1 d eli d = d + 1 jollakin d N, ja saamme a + 1 = a = x + (d + 1) = (x + d ) + 1, mistä edelleen a = x + d. Jos siis 0 < a N ja x < a jollakin x N, niin x a = a 1, eli luonnollisen luvun 0 < a N ja sen edeltäjän 0 a N välissä ei ole muita luonnollisia lukuja. Jos siis 0 < a N, niin kaikilla x N pätee joko x a tai a x. Induktio. Seuraaviin kahteen keskenään yhtäpitävään induktioperiaatteeseen perustuva ns. täydellinen induktio on matematiikassa usein käytetty todistusmenetelmä: Induktioperiaate I. Olkoon S N. Jos 0 S ja jokaisella n S myös n + 1 S, niin S = N. Induktioperiaate II. Jokaisessa epätyhjässä osajoukossa T N on pienin luku m T siten, että m x kaikilla x T. Näytämme aluksi, että periaate I implikoi periaatteen II : Jos joukossa T N ei ole pienintä lukua, niin ensinnäkään 0 / T. Määrittelemme nyt joukon S N asettamalla S = {n N: N x n x / T } N \ T, jolloin 0 S. Olkoon nyt n S mielivaltainen. Jos nyt m = n + 1 olisi joukon T alkio, niin n = m = m 1 on luvun m edeltäjä, ja siten edellisen nojalla kaikilla x < m pätee x n. Koska n S, niin siten x / T kaikilla x < m, joten m T olisi vastoin oletusta joukon T pienin luku. Koska siis kaikilla n S myöskään luku m = n + 1 ei voi kuulua joukkoon T, ja koska lukujen n ja n + 1 välissä ei ole muita luonnollisia lukuja, näemme siis, että kaikilla n S myös n + 1 S, ja siten induktioperiaatteen I nojalla S = N eli joukon T N \ S täytyy olla tyhjä.

6 Periaate II implikoi vuorostaan periaatteen I : 1. LUONNOLLISET LUVUT 3 Kun joukko 0 S N on annettu, niin merkitään T := N\S. Jos T olisi epätyhjä, niin periaatteen II nojalla olisi pienin luku m T. Koska 0 S, niin 0 < m ja luvulla m on siten edeltäjä n = m = m 1 < m, jolloin siis n S = N \ T. Mutta oletuksemme nojalla myös m = n + 1 S = N \ T, eikä luku m siis voisikaan kuulua joukkoon T. Siis oltava T = ja siten S = N. Lukumäärät. Luonnolliset luvut kuvaavat äärellisiä lukumääriä. Kun n N, niin merkitsemme n = {x N: x < n}, jolloin siis 0 =, joukossa 1 on yksi alkio, 1 = {0}, jne.. Sanomme, että joukko X on äärellinen, jos X = tai jos jollakin n N on bijektio f : n X. Huom. Kun m, n N ja m < n, niin surjektio g : m n, injektio h : n m. Siten joukon X ollessa äärellinen bijektio f : n X on olemassa täsmälleen yhdellä arvolla n = #(X) N. Luonnollinen luku n = #(X) on tällöin joukon X alkioiden lukumäärä. Joukko X on numeroituva, jos X = tai jos on olemassa surjektio g : N X. Siten N kuten myös kaikki äärelliset joukot ovat numeroituvia, ja luonnollisten lukujen joukko N on numeroituvasti ääretön. Jos surjektiota g : N X epätyhjälle joukolle X ei ole olemassa, niin sanomme joukon X olevan tällöin ylinumeroituvasti ääretön eli ylinumeroituva.

7 LUKU 2 Laskutoimitukset 1. Laskutoimitusten yleiset ominaisuudet Kuvaus ϕ : A B B määrää epätyhjän joukon A toiminnan joukossa B, ts. jokainen alkio a A määrää joukon B kuvauksen (2.1) ϕ a : B B, kun kaikilla x B asetetaan (2.2) ϕ a (x) := ϕ(a, x) B. Kun B = A, niin toiminta ϕ : A A A on joukon A laskutoimitus. Joukossa A määritelty laskutoimitus ϕ : A A A merkitään usein eräänlaisina tuloina asettamalla kaikilla a, b A (2.3) a b := ϕ(a, b) A, usein myös ilman mitään erillistä kertomerkkiä kirjoittamalla yksinkertaisesti (2.4) ab := ϕ(a, b) A kaikilla a, b A. Esimerkkejä 2.1. a) Luonnollisten lukujen yhteenlasku + : N N N ja kertolasku : N N N, jolloin siis a + b N ja ab = a b N kaikilla a, b N. b) Yhdiste ja leikkaus annetun joukon X potenssijoukossa P(X) = {A: A X}: A B, A B P(X) kaikilla A, B P(X). c) Saamme luonnollisten lukujen joukossa N edelleen laskutoimitukset : N N N ja : N N N asettamalla kaikilla m, n N m n = max(m, n) N, m n = min(m, n) N. d) Annetun epätyhjän joukon X kaikki itsekuvaukset f : X X muodostavat joukon F(X), jossa kuvausten yhdistäminen määrittelee laskutoimituksen : F(X) F(X) F(X), (f, g) f g. 4

8 1. LASKUTOIMITUSTEN YLEISET OMINAISUUDET 5 Määritelmä 2.2. Joukon A laskutoimitus on i) assosiatiivinen (liitännäinen), jos kaikilla a, b, c A, a (b c) = (a b) c ii) kommutatiivinen (vaihdannainen), jos kaikilla a, b A. a b = b a Esimerkkejä 2.3. a) Tunnetusti luonnollisten lukujen summa ja tulo ovat molemmat assosiatiivisia ja kommutatiivisia laskutoimituksia. b) Samoin ja joukon X potenssijoukossa P(X). (Harj.) c) Myös edellä esimerkissä 2.1 c määritellyt luonnollisten lukujen N laskutoimitukset ja ovat sekä assosiatiivisia että kommutatiivisia. (Harj.) d) Tehtävässä 2.1 d määritelty kuvausjoukon F(X) laskutoimitus on kylläkin aina assosiatiivinen, mutta jos joukossa X on vähintään kolme eri alkiota, niin joukon F(X) laskutoimitus ei ole kommutatiivinen: Jos a, b, c X ovat kolme eri alkiota, voimme määritellä kuvaukset f, g : X X asettamalla f(a) = b, f(b) = a ja f(x) = x, kun x X \ {a, b}, vastaavasti g(a) = c, g(c) = a sekä g(x) = x kaikilla x X \ {a, c}. Tällöin f g(a) = c, mutta g f(a) = b, joten f g g f, eikä joukon F(X) laskutoimitus todellakaan ole kommutoiva. e) Joukon X ollessa ääretön, esimerkiksi kun X = N, voidaan rakentaa toisenlainenkin esimerkki keskenään kommutoimattomista kuvauksista: Määritellään kuvaukset f, g F(N) asettamalla f(n) = n + 1 kaikilla n N sekä asettamalla edelleen g(0) = 0 ja g(n) = n 1 kun 0 < n N. Tällöin selvästikin g f(n) = n kaikilla n N, mutta koska f g(0) = 1, niin myös tässäkin tapauksessa f g g f. Huomautus 2.4. a) Kun laskutoimitus : A A A on assosiatiivinen, niin pitkistäkin tuloista voi jättää sulut pois: Koska kaikilla a, b, c A tällöin a (b c) = (a b) c A, voidaan kolmen alkion tulo merkitä yksinkertaisesti a b c := a (b c) = (a b) c A. Jatkamalla näin saadaan neljän alkion a, b, c, d A tulolle a (b c d) = a (b c) d = (a b c) d = (a b) (c d). Vastaavalla tavalla nähdään, että laskutoimituksen ollessa assosiatiivinen ei useammankaan alkion tulo riipu laskutoimitusten suorittamisjärjestyksestä, ja voimme siten voimme merkitä pitkätkin tulot ilman sulkumerkkejä, kaikilla a 1, a 2,..., a n A. Π n k=1a k = a 1 a 2 a n A

9 2. NEUTRAALI- JA KÄÄNTEISALKIOT 6 b) Joukon A laskutoimitus : A A A merkitään usein tulona asettamalla ab := a b A kaikilla a, b A. Kun laskutoimitus on kommutatiivinen, niin se voidaan merkitään myös summana asettamalla mutta tällöin siis aina kaikilla a, b A. a + b := a b A, a + b = b + a A Joukossa A voi olla samanaikaisesti määriteltyinä useampiakin laskutoimituksia, kuten esimerkiksi luonnollisten lukujen N yhteen- ja kertolasku. Määritelmä 2.5. Joukon A laskutoimitus on distributiivinen laskutoimituksen suhteen, jos kaikilla a, b, c A. a (b c) = (a b) (a c) (a b) c = (a c) (b c) Esimerkkejä 2.6. a) Luonnollisten lukujen N kertolasku on distributiivinen yhteenlaskun suhteen (ks. Luku 1). Sen sijaan on helppo nähdä, ettei N:n yhteenlasku ole distributiivinen kertolaskun suhteen. b) Potenssijoukon P(X) laskutoimitukset ja ovat kumpikin toistensa suhteen distributiivisia. (Harj.) 2. Neutraali- ja käänteisalkiot Määritelmä 2.7. Alkio e A on joukon A laskutoimituksen (kaksipuolinen) neutraalialkio, jos kaikilla a A. e a = a e = a Lause 2.8. Jos laskutoimituksella on joukossa A sekä vasen neutraalialkio e A että oikea neutraalialkio e A siten, että e a = a, a e = a kaikilla a A, niin e = e, erityisesti laskutoimituksen neutraalialkio e A on yksikäsitteisesti määrätty, mikäli olemassa. Todistus. Saamme suoraan oikean ja vasemman neutraalialkion määrittelyjen nojalla e = e e = e.

10 2. NEUTRAALI- JA KÄÄNTEISALKIOT 7 Esimerkkejä 2.9. a) 0 N on luonnollisten lukujen yhteenlaskun ja 1 N vastaavasti kertolaskun neutraalialkio. b) Identtinen kuvaus id X F(X), id X (x) = x kaikilla x X, on neutraalialkio joukon X kuvausjoukossa F(X), kun laskutoimituksena on kuvausten yhdistäminen. Huomautus Kun joukon A laskutoimitus on merkitty tuloksi, niin sen neutraaliaalkiota e A kutsutaan usein ykkösalkioksi ja toisinaan tällöin myös merkitään e = 1 tai e = 1 A. Additiivisesti merkityn (ja siten kommutatiivisen) laskutoimituksen +: A A A neutraalialkiota taas kutsutaan aina nolla-alkioksi, jolloin sitä vastaavasti merkitään 0 = 0 A A. Määritelmä Kun e A on jouko A laskutoimituksen neutraalialkio, niin alkio a A on alkion a A vasen käänteisalkio, jos a a = e, ja vastaavasti alkio a A on alkion a A oikea käänteisalkio, jos a a = e. Alkio ã A on edelleen alkion a A (molemminpuolinen) käänteisalkio, jos ã a = a ã = e. Huomautus Alkion a A molemminpuolista käänteisalkiota merkitään a 1 A, jolloin siis a 1 a = a a 1 = e. Jos laskutoimitus on merkitty additiivisesti, niin käänteisalkion sijasta puhutaan alkion a A vasta-alkiosta a A, joten tällöin ( a) + a = a + ( a) = 0. Esimerkkejä a) Neutraalialkio on aina oma käänteisalkionsa (tai vastaalkionsa). Osoittautuu, että luonnollisten lukujen joukossa N itse asiassa vain ykkösalkiolla 1 N on käänteisalkio kertolaskun suhteen ja vastaavasti vain nolla-alkiolla 0 N on vasta-alkio yhteenlaskun suhteen. b) Koska esimerkin 2.3e funktioille f, g F(X) pätee g f = id X, niin g on alkion f F(X) vasen käänteisalkio ja vastaavasti f on alkion g F(X) oikea käänteisalkio. Lause Jos e A on assosiatiivisen laskutoimituksen neutraalialkio ja alkiolla a A on sekä vasen käänteisalkio a A että oikea käänteisalkio a A, a a = aa = e, niin a = a, erityisesti alkion a A käänteisalkio on yksikäsitteisesti määrätty, mikäli olemassa. Todistus. Laskutoimituksen ollessa assosiatiivinen saamme a = a e = a (aa ) = (a a)a = ea = a.

11 3. INDUSOIDUT LASKUTOIMITUKSET, LASKUTOIMITUSTEN TULOLASKUTOIMITUS 8 Esimerkki Kuten edellä esimerkeissä 2.3e ja 2.13b asetamme f(n) = n + 1 kaikilla n N, minkä lisäksi määrittelemme kaikilla k N funktion g k F(N) asettamalla { k, kun n = 0, g k (n) = n 1, kun 0 < n. Mutta nyt g k f = id N kaikilla k N. Koska alkiolla f F(N) on näin useita vasempia käänteisalkiota g k F(N), sillä ei edellisen lauseen nojalla voi olla käänteisalkiota joukossa F(N). Vastaavasti alkion g k F(N) mahdollisen käänteisalkion h k F(N) taas täytyisi yhtyä g k :n oikeaan käänteisalkioon f, jolloin g k olisi puolestaan alkion f = h käänteisalkio, mikä todettiin edellä mahdottomaksi. Siis myöskään millään alkioista g k F(N), k N, ei voi olla käänteisalkiota joukossa F(N). 3. Indusoidut laskutoimitukset, laskutoimitusten tulolaskutoimitus Kun : A A A on joukon A laskutoimitus, niin osajoukko B A on vakaa laskutoimituksen suhteen, jos x y B kaikilla x, y B. Koska tällöin voidaan asettaa x, y B kaikilla B (x, y) = (x, y) B, niin : A A A siis indusoi laskutoimituksen rajoittuman B : B B B vakaaseen epätyhjään osajoukkoon B A. Yleensä myös indusoitua eli rajoittumalaskutoimitusta B merkitään lyhyesti = B : B B B. Huomautus a) Jos joukon A laskutoimius on assosiatiivinen (vast. kommutatiivinen), niin myös sen vakaaseen osajoukkoon B A indusoima laskutoimitus B on assosiatiivinen (vast. kommutatiivinen), b) Jos e on joukon A laskutoimituksen neutraalialkio ja e B, niin e on myös indusoidun laskutoimituksen B neutraalialkio. Kun joukoissa A ja B on määritelty laskutoimitukset A : A A A ja B : B B B, niin voimme määritellä tulojoukossa A B laskutoimitusten A ja B tulolaskutoimituksen A B : (A B) (A B) A B asettamalla kaikilla (x, y), (x, y ) A B. Esimerkkejä (x, y) A B (x, y ) := (x A x, y B y ) A B a) Voimme määritellä lukuparien summan asettamalla kaikilla (m, n), (m, n ) N N. (m, n) + (m, n ) := (m + m, n + n ) N N b) Vastaavalla tavalla voidaan määritellä myös useammankin kuin kahden laskutoimituksen tulolaskutoimitus. Niinpä n-ulotteisen vektoriavaruuden R n vektorien yhteenlasku x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2,..., x n + y n ) R n kaikilla x = (x 1, x 2,..., x n ), y = (y 1, y 2,..., y n ) R n, on itse asiassa lukusuoran R yhteenlaskun +: R R R n-kertainen tulolaskutoimitus.

12 4. EKVIVALENSSIRELAATIOT JA TEKIJÄLASKUTOIMITUKSET 9 4. Ekvivalenssirelaatiot ja tekijälaskutoimitukset Relaatiot. Epätyhjän joukon A relaatio on tulojoukon A A osajoukko R A A. Merkitsemme tällöin lyhyesti arb, kun (a, b) R. Jos taas joukon A alkiopareille (a, b) A A on määritelty ehto R, niin tämä puolestaan määrittää samalla symbolilla R merkittävän relaation R A A, kun asetetaan R = {(x, y) A A: R(x, y)}. Esimerkkejä a) Sisältyminen määrää joukon X potenssijoukossa P(X) relaation = {(A, B) P(X): A B} P(X) P(X), jota myös merkitsemme samalla symbolilla. b) Epäyhtälö määrää luonnollisten lukujen joukossa N relaation P = {(m, n) N m n} = {(m, n) N d N: n = m + d} N N, jota merkitsemme kuitenkin kirjaimella P. c) Joukon A alkioiden yhtäsuuruutta vastaa relaationa joukon A lävistäjä: A := {(x, y) A A: x = y} A A. Määritelmä Joukon A relaatio R on i) refleksiivinen, jos ara kaikilla a A, ii) symmetrinen, jos kaikilla a, b A, arb bra iii)transitiivinen, jos kaikilla a, b, c A, ( arb ja brc ) arc iv) antisymmetrinen, jos kaikilla a, b A. ( arb ja bra ) a = b Relaatio R on Joukon A ekvivalenssirelaatio, jos se on refleksiivinen, symmetrinen ja transitiivinen. Vastaavasti relaatio R on joukon A (osittainen) järjestys, jos se on refleksiivinen, transitiivinen ja antisymmetrinen. Esimerkki Relaatio on järjestysrelaatio luonnollisten lukujen joukossa määräten N:ssä itse asiassa ns. lineaarisen järjestyksen: Kaikilla m, n N aina m n tai n m. Myös on kaikilla joukoilla X potenssijoukon P(X) järjestysrelaatio, mutta sen määräämä järjestys ei yleensä ole lineaarinen: Jos joukko X sisältää vähintään kaksi pistettä, niin on helppo löytää osajoukot A, B P(X) siten, että A B eikä B A.

13 4. EKVIVALENSSIRELAATIOT JA TEKIJÄLASKUTOIMITUKSET 10 Ekvivalenssiluokat ja tekijäjoukot. Joukon A ekvivalenssirelaatio R A A ilmaistaan usein symbolin avulla, toisin sanoen merkitään a b, kun (a, b) R, vastaavasti a b, kun (a, b) / R. Kun a on joukon A mielivltainen alkio, niin on alkion a A ekvivalenssiluokka. [a] = {x A : a x} A Lause Kun on joukon A ekvivalenssirelaatio, niin i) a [a] kaikilla a A, ii) Kaikilla a, b A [a] = [b], kun a b, [a] [b] =, kun a b. Todistus. i) Koska ekvivalenssirelaation refleksiivisyyden nojalla aina a a, niin a [a] kaikilla a A. ii) Jos a b ja x [b], niin b x ja siten ekvivalenssirelaation transitiivisuuden nojalla myös a x eli x [a]. Siis [b] [a] kun a b. Mutta ekvivalenssirelaation symmetrisyyden nojalla tällöin myös b a, mistä kääntäen [a] [b], ja siis [a] = [b] aina, kun a b. Jos taas c [a] [b], niin a c ja c b, mistä edelleen a b. Koska ehdot [a] [b], [a] = [b] ja a b ovat näinollen yhtäpitäviä, niin täytyy vastaavasti myös ehtojen [a] [b] = ja a b olla yhtäpitävät. Kaikki joukon A ekvivalenssiluokat muodostavat joukon A tekijäjoukon A/ ekvivalenssirelaation suhteen, A/ = {[a] P(A): a A} P(A). Lause Joukon A tekijäjoukko A/ ekvivalenssirelaation suhteen määrää joukon A osituksen, ts. A = a A [a] on joukon A esitys erillisten joukkojen yhdisteenä. Todistus. Koska edellisen lauseen nojalla a [a] kaikilla a A, niin a A [a] = A, ja samalla nähtiin, että [a] [b] =, kun [a] [b]. Homomorfismit ja tekijälaskutoimitukset. Merkitsemme (A, ) laskutoimituksella varustettua joukkoa A. Kun (A, ) on toinen laskutoimituksella varustettu joukko, on luonnollista tutkia laskutoimituksen säilyttäviä kuvauksia h: A A eli homomorfismeja.

14 4. EKVIVALENSSIRELAATIOT JA TEKIJÄLASKUTOIMITUKSET 11 Määritelmä Kuvaus h: (A, ) (A, ) on homomorfismi, jos kaikilla a, b A. h(a b) = h(a) h(b) A Kuvauksen h: A A ollessa bijektio homomorfismia h: (A, ) (A, ) kutsutaan isomorfismiksi, vastaavasti epimorfismiksi, kun kuvaus h on surjektio sekä monomorfismiksi, kun kuvaus h on injektio. Määritelmä Joukon A laskutoimitus on yhteensopiva joukon A ekvivalenssirelaation kanssa, jos kaikilla a, a, b, b A siitä, että a a ja b b aina seuraa, että myös a b a b. Kun joukon A laskutoimitus on yhteensopiva ekvivalenssirelaation kanssa, voimme määritellä tekijäjoukossa A/ yksikäsitteisellä tavalla laskutoimituksen tekijälaskutoimituksen / eli lyhyesti vain = / asettamalla kaikilla α, β A/ α β = [a b] A/ kun a α, b β. Tämä on mahdollista, sillä jos myös a α, b β, niin a a ja b b, joiten laskutoimituksen yhteensopivuuden nojalla myös a b a b eli [a b] = [a b ], eikä ekvivalenssiluokka α β := [a b] = [a b ] siis riipu ekvivalenssiluokkien α ja β edustajien valinnasta. On ilmeistä, että laskutoimituksen ollessa assosiatiivinen tai kommutatiivinen joukossa A sen tekijälaskutoimitus on vastaavasti assosiatiivinen tai kommutatiivinen tekijäjoukossa A/. Kun on joukon A ekvivalenssirelaation, niin saamme luonnollisella tavalla surjektion eli joukon A tekijäkuvauksen π : A A/ ekvivalenssiluokkien joukolle A/ asettamalla kaikilla x A. π(x) = [x] A/ Lause Jos laskutoimitus on yhteensopiva joukon A ekvivalenssirelaation kanssa, niin tekijäkuvaus π : (A, ) (A/, ) on epimorfismi. Todistus. Kuvaus π : A A/ on selvästikin surjektio, ja koska kaikilla a, b A π(a b) = [a b] = [a] [b] = π(a) π(b) A/, niin π on homomorfismina myös epimorfismi.

15 LUKU 3 Kokonaisluvut ja rationaaliluvut Laskutoimituksen suorittamisen sijasta saatamme olla kiinnostuneita ratkaisemaan yhden tai useamman tuntemattoman suureen, kun tiedämme laskutoimituksen lopputuloksen. Esimerkiksi luonnollisten lukujen yhteen- ja kertolaskun supistussäännöistä seuraa, että annetuilla a, b, c, d N yhtälöiden (i) (ii) a + x = b, cy = d mahdolliset ratkaisut x, y N ovat yksikäsitteisesti määrättyjä, joskin yhtälön (ii) tapauksessa on tällöin lisäksi oletettava, että c 0. Toisaalta on ilmeistä, ettei kaikilla a, b, c, d N yhtälöillä (i) (ii) ole lainkaan ratkaisuja x, y N. Niinpä esim. yhtälön (i) ratkeavuus N:ssä on luonnollisten lukujen järjestyksen määrittelyn nojalla yhtäpitävää sen kanssa, että a on korkeintaan yhtä suuri kuin b, ts. että a b. Yhtälön (ii) ratkeavuuden selvittäminen osoittautuu vielä hieman konstikkaammaksi, mutta pystymme välttämään nämä ongelmat laajentamalla luonnollisten lukujen joukon N aluksi kokonaislukujen renkaaksi Z ja tämän edelleen rationaalilukujen kunnaksi Q. 1. Kokonaislukujen rengas Määrittelemme lukuparien yhteenlaskun luonnollisten lukujen summan tulolaskutoimituksena asettamalla (m, n) + (p, q) = (m + p, n + q) N N kaikilla (m, n), (p, q) N N, minkä lisäksi määrittelemme lukupareille myös tulon asettamalla kaikilla (m, n), (p, q) N N edelleeen (m, n) (p, q) = (mp + nq, mq + np) N N. Lause 3.1. Joukon N N summa + ja tulo ovat assosiatiivisia ja kommutatiivisia laskutoimituksia parin (0, 0) N N ollessa summan sekä parin (1, 0) N N tulon neutraalialkio, minkä lisäksi tulo on distributiivinen summan suhteen. Todistus. Molemmat laskutoimitukset ovat selvästi kommutatiivisia summan assosiatiivisuuden seuratessa suoraan tehtävästä 2.6. Saamme suoraan määritelmien nojallla (0, 0) + (p, q) = (p, q), (1, 0) (p, q) = (p, q) kaikilla (p, q) N N, ja myös tulon assosiatiivisuus samoin kuin sen distributiivisuus yhteenlaskun suhteen ovat helposti laskemalla todennettavissa. 12

16 1. KOKONAISLUKUJEN RENGAS 13 Määrittelemme joukossa N N edelleen relaation asettamalla kaikilla lukupareilla (m, n), (m, n ) N N (m, n) (m, n ) kun m + n = m + n. On helppo todeta, että näin saatu relaatio on joukon N N ekvivalenssirelaatio (teht. 2.7) ja että lukuparien yhteenlasku on yhteensopiva ekvivalenssirelaation kanssa: Jos näet (m, n) (m, n ) ja (p, q) (p, q ) eli m + n = m + n ja p + q = p + q, niin laskemalla yhtälöt puolittain yhteen saamme (m + p) + (n + q ) = (m + p ) + (n + q), eli myöskin (m+p, n+q) (m +p, n +q ). Vastaavasti näemme, että myös lukuparien tulo on yhteensopiva ekvivalenssirelaation kanssa (teht. 3.3). Voimme siten määritellä tekijäjoukossa N N/ yhteen- ja kertolaskun joukon N N laskutomitusten + ja tekijälaskutoimituksina asettamalla kaikilla [(m, n)], [(p, q)] N N/ [(m, n)] + [(p, q)] = [(m, n) + (p, q)] = [(m + p, n + q)], [(m, n)][(p, q)] = [(m, n) (p, q)] = [(mp + nq, mq + np)]. Koska tulojoukon laskutoimitukset ovat assosiatiivisia ja kommutatiivisia tulon ollessa lisäksi distributiivinen yhteenlaskun suhteen, niin myös saaduilla tekijälaskutoimituksilla on vastaavat ominaisuudet (vrt. teht. 2.8). Siten tekijäjoukon eli kokonaislukujen joukon Z = N N/ laskutoimituksille pätee Lause 3.2. Kokonaislukujen Z yhteen- ja kertolasku ovat assosiatiivisia ja kommutatiivisia laskutoimituksia neutraalialkioinaan 0 = [(0, 0)] Z ja 1 = [(1, 0)] Z, edelleen tulo on distributiivinen yhteenlaskun suhteen, minkä lisäksi jokaisella alkiolla a Z on yksikäsitteisesti määrätty vasta-alkio a Z s.e. a + ( a) = 0. Todistus. Enää ei tarvitse todistaa kuin alkion a = [(m, n)] Z vasta-alkion olemassaolo yksikäsitteisyyden seuratessa tällöin lauseesta Koska (p, q) (0, 0) joss p + 0 = 0 + q eli joss p = q, näemme, että [(m, n)] + [(n, m)] = [(m + n, m + n)] = 0, joten alkion a := [(n, m)] Z täytyy olla alkion a = [(m, n)] vasta-alkio. Seuraus 3.3. Yhtälöllä a + x = b on kaikilla kokonaisluvuilla a, b Z yksikäsitteisesti määrätty ratkaisu x = ( a) + b Z. Merkitsemme kaikilla a, b Z lyhyesti lukujen b ja a erotusta b a := b + ( a) = ( a) + b Z.

17 2. RATIONAALILUKUJEN KUNTA 14 Yhteen- ja kertolaskulla varustettua joukkoa A, jonka laskutoimituksilla on samat lauseen 3.2 mukaiset ominaisuudet kuin kokonaislukujen laskutoimituksilla, kutsutaan renkaaksi. Niinpä myös Z on kokonaislukujen (kommutatiivinen) rengas. Osoittautuu, ettei muotoa cy = d olevalla yhtälöllä, missä c, d Z ja c 0, yleensä ole ratkaisua x myöskään kokonaislukujen joukossa Z. Sen sijaan tulon supistussääntö pätee myös kokonaisluvuille: Lause 3.4. Kaikilla a, b Z tulo ab = 0 vain, jos a = 0 tai b = 0. Todistus. Koska b + 0 = b kaikilla a Z, saamme kaikille a Z distributiivisuuden nojalla ab + a0 = a(b + 0) = ab, joten a0 = 0a = 0 kaikilla a Z. Jos taas oletamme, että ab = 0 joillakin a = [(m, n)], b = [(p, q)] Z ja 0 a, niin m n. Koska tällöin myös 0 a = [(n, m)] Z ja ( a)b = ab = 0, voimme olettaa, että n < m ja siis m = n + d jollakin 0 < d N. Mutta koska oletimme, että ab = [(mp + nq, mq + np)] = 0, täytyy olla mp+nq = mq+np. Sijoittamalla m = n+d saamme yhtälön (n+d)p+nq = (n + d)q + np, mistä edelleen dp = dq. Mutta koska d 0, niin luonnollisten lukujen supistusssäännön nojalla p = q eli b = [(p, p)] = 0. Tulo ab ei siis voi hävitä, ellei ainakin toinen tekijöistä a, b Z häviä. Jos siis 0 c Z ja ac = bc joillakin a, b Z, niin (a b)c = ac bc = 0, ja koska c 0, niin siis a b = 0 eli a = b. Kokonaislukujen kertolaskulle pätee siis aivan sama supistussääntö kuin luonnollisillakin luvuilla. Tehtävän 3.5 nojalla kuvaus i: N Z, i(n) = [(n, 0)] Z, on luonnollisten lukujen joukon N bijektio positiivisten kokonaislukujen joukolle Z +, joten samaistamme seuraavassa aina luonnollisen luvun n N ja sitä vastaavan positiivisen kokonaisluvun [(n, 0)] Z Rationaalilukujen kunta Vaikka luonnollisten lukujen joukko N = {0, 1, 2, 3,... } edellä laajennettiin kokonaislukujen renkaaksi Z, niin osoittautui, ettei jakolasku silti ollut rajoituksitta mahdollinen kokonaislukujen renkaassa. Jakolaskun mahdollistamiseksi laajennamme rengasta Z edelleen hieman samankaltaisella menettelyllä: Merkitään Z := Z \ {0}.

18 2. RATIONAALILUKUJEN KUNTA 15 Koska lauseen 3.4 nojalla kaikilla b, d Z myös tulo bd Z, niin voimme määritellä tulojoukossa Z Z yhteenlaskun + asettamalla kaikilla (a, b), (c, d) Z Z (a, b) + (c, d) := (ad + cb, bd) Z Z, sekä kertolaskun asettamalla vastaasti (a, b) (c, d) = (ac, bd) Z Z. Näin saadut joukon Z Z laskutoimitukset ovat kommutatiivisia ja assossiatiivisia, minkä todentamisen jätämme harjoitustehtäväksi. Lisäksi (0, 1) Z Z on summan + nolla-alkio, sillä (a, b) + (0, 1) = (a, b) kaikilla (a, b) Z Z, ja koska (a, b) (1, 1) = (a, b), niin (1, 1) Z Z on tulon ykkösalkio. On kuitenkin syytä huomata, ettei joukon Z Z kertolasku ole distributiivinen yhteenlaskun suhteen. Määritellään edelleen relaatio joukossa Z Z asettamalla (a, b) (a, b ) kun ab = a b kaikilla (a, b), (a, b ) Z Z. Näemme välittömästi, että joukon Z Z relaatio on refleksiivinen ja symmetrinen. Jos taas (a, b) (a, b ) ja (a, b ) (a, b ) pareille (a, b), (a, b ), (a, b ) Z Z, niin ab = a b ja a b = a b. Koska luvut b, b, b Z ovat nollasta eroavia, niin lauseen 3.4 nojalla joko a = a = a = 0 tai myös kaikki kolme lukua a, a, a Z ovat nollasta eroavia. Edellisessä tapauksessa ab = 0 = a b ja siis (a, b) (a, b ). Jälkimmäisessä tapauksessa saamme kertomalla yhtälöt ab = a b ja a b = a b puolittain ab a b = a ba b. Mutta koska a 0 ja b 0, niin supistussäännön nojalla ab = a b ja siten tässäkin tapauksessa (a, b) (a, b ). Relaatio on siten myös transitiivinen ja siis ekvivalenssirelaatio. Osoittautuu, että joukon Z Z molemmat laskutoimitukset ovat yhteensopivia ekvivalenssirelaation kanssa. Tulolle tämä nähdään välittömästi, sillä jos (a, b) (a, b ) ja (c, d) (c, d ) eli ab = a b ja cd = c d, niin kertomalla yhtälöt puolittain saadaan (ac)(b d ) = (a c )(bd), ja siis (ac, bd) (a c, b d ). Summan + yhteensopivuuden toteamisen jätämme harjoitustehtäväksi. Saamme siis tekijäjoukkoon eli rationaalilukujen joukkoon Q := Z Z / assosiatiiviset ja kommutatiiviset laskutoimitukset + ja tekijälaskutoimituksina asettamalla [(a, b)] + [(c, d)] = [(ad + cb, bd)] Z Z / [(a, b)][(c, d)] = [(ac, bd)] Z Z / kaikilla [(a, b)], [(c, d)] Z Z /, jolloin summan + nolla-alkiona on 0 = [(0, 1)] Z Z /,

19 ja vastaavasti tulon ykkösalkiona 1 = [(1, 1)] Z Z /. 2. RATIONAALILUKUJEN KUNTA 16 Lause 3.5. Rationaalilukujen kunnan Q := Z Z / yhteen- ja kertolasku ovat assosiatiivisia ja kommutatiivisia laskutoimituksia alkion 0 = [(0, 1)] Z Z ollessa yhteenlaskun nolla-alkio ja alkion 1 = [(1, 1)] Z Z kertolaskun ykkösalkio, minkä lisäksi Q:n kertolasku on distributiivinen yhteenlaskun suhteen. Edelleen jokaisella x Q on vastaluku x Q, x + ( x) = 0, ja kaikilla nollasta poikkeavilla alkioilla 0 y Q on käänteisalkio y 1 Q, yy 1 = 1. Todistus. Kertolaskun distributiivisuus jää harjoitustehtäväksi, joten selvitämme tässä vain vasta- ja käänteisalkioiden olemassaolon. Kun [(u, v)] Q, niin näemme välittömasti. että [(u, v)] = 0 = [(0, 1)] joss (u, v) (0, 1) eli joss u = 0, vastaavasti [(u, v)] = 1 = [(1, 1)] joss (u, v) (1, 1) eli joss u = v. Siten kaikilla x = [(a, b)] Q saamme alkiolle x := [( a, b)] Q x + ( x) = [(a, b)] + [( a, b)] = [(0, bb)] = 0, joten x := [( a, b)] Q on alkion x = [(a, b)] Q vasta-alkio. Jos taas 0 y = [(c, d)] Q, niin c 0 ja siis myös y 1 = [(d, c)] Q ja yy 1 = [(c, d)][(d, c)] = [(cd, cd)] = 1, joten y 1 on alkion y 0 käänteisalkio. Seuraus 3.6. Kun 0 c Q, niin yhtälöllä cy = d on kaikilla d Q yksikäsitteisesti määrätty ratkaisu y = c 1 d Q. Huomautus 3.7. Yleisemminkin lauseen 3.5 ehdot toteuttavilla kahdella laskutoimituksella + ja varustettu joukko K on kunta, kunhan 0 1.

20 2. RATIONAALILUKUJEN KUNTA 17 Merkinnöistä. Parin (a, b) Z Z määräämä ekvivalenssiluokka eli rationaaliluku x = [(a, b)] Q on tapana merkitä murtolukuna x = a b Q, jolloin siis kaikilla a, a Z, b, b Z a b = a Q b kun ab = a b. Jos rationaaliluku x = a/b 0 eli jos a 0, saamme edellisen nojalla luvun x Q käänteisluvuksi x 1 = 1 x = b a Q. Tehtävässä 3.5 samaistimme kuvauksen i: N Z avulla luonnolliset luvut N positiivisten kokonaislukujen muodostaman osajoukon Z + Z kanssa. Määrittelemme nyt vastaavanlaisen samaistuskuvauksen j : Z Q kokonaislukujen joukolta Z rationaalilukujen kuntaan Q asettamalla kaikilla a Z j(a) = a 1 = [(a, 1)] Q. Lause 3.8. Kuvaus j : Z Q, j(a) = [(a, 1)], on kokonaislukujen renkaan Z monomorfismi rationaalilukujen kuntaan Q. Todistus. Saamme rationaalilukujen yhteen- ja kertolaskun määritelmien nojalla kaikille a, b Z j(a + b) = [(a + b, 1)] = [(a, 1)] + [(b, 1)] = j(a) + j(b), j(ab) = [(ab, 1)] = [(a, 1)][(b, 1)] = j(a)j(b), joten kuvaus j : Z Q säilyttää molemmat laskutoimitukset ja on siten homomorfismi, edelleen j kuvaa Z:n ykkösalkion rationaalilukujen kunnan Q ykkösalkioksi, j(1) = [(1, 1)] = 1 Q. Koska j(a) = j(b) joss (a, 1) (b, 1) eli joss a = b, niin j on injektiivisenä homomorfismina monomorfismi. Samaistuksen Z = j(z) Q jälkeen voimme ajatella rationaalilukujen kunnan Q muodostuvan kaikista kokonaislukuosamääristä, { a } Q = b Q : a, b Z, b 0.

21 LUKU 4 Ryhmäteoriaa 1. Ryhmät Määritelmä 4.1. Assosiatiivisella laskutoimituksella varustettu joukko G on ryhmä, jos on olemassa neutraalialkio e G siten, että (R1) a e = e a = a kaikilla a G, ja jos kaikilla a G on käänteisalkio a 1 G siten, että (R2) a a 1 = a 1 a = e. Ryhmän G laskutoimitus merkitään usein tulona kirjoittamalla lyhyesti ab := a b G kaikilla a, b G. Jos ryhmän A laskutoimitus on kommutatiivinen, a b = b a A kaikilla a, b A, niin A on kommutatiivinen ryhmä eli Abelin ryhmä. Abelin ryhmän A laskutoimitus merkitään usein summana, a + b = b + a A kaikilla a, b A, jolloin neutraalialkiota 0 A, a + 0 = a kaikilla a A, kutsutaan ryhmän A nolla-alkioksi. Vastaavasti Abelin ryhmän A jokaisella alkiolla a A on käänteisalkion sijasta vasta-alkio a A, a + ( a) = 0. Esimerkkejä 4.2. a) (Z, +) ja (Q, +) ovat Abelin ryhmiä yhteenlasku laskutoimituksenaan. b) Kokonaislukujen joukko Z ei ole ryhmä kertolaskun suhteen, sen sijaan osajoukko {1, 1} Z on kahden alkion multiplikatiivinen ryhmä ({1, 1}, ). Toisaalta rationaalilukujen osajoukko Q = Q \ {0} on ryhmä (Q, ), rationaalilukujen multiplikatiivinen ryhmä. c) Esimerkissä 2.1 d todettiin, että kuvausten yhdistäminen määrää assosiatiivisen laskutoimituksen joukon X kaikkien itsekuvausten joukossa F(X). Koska 18

22 1. RYHMÄT 19 kaikilla kuvauksilla f : X X ei ole käänteiskuvausta, niin (F(X), ) ei laskutoimituksen assosiatiivisuudesta huolimatta kuitenkaan ole ryhmä. Mutta rajoittumalla bijektioiden muodostamaan osajoukkoon S(X) = {f F(X): f bijektio} F(X) saadaan ryhmä, joukon X symmetrinen ryhmä S(X) ykkösalkionaan joukon X identtinen kuvaus e = id X S(X). Joukon {1, 2, 3,..., n} symmetrinen ryhmä S(n) := S({1, 2, 3,..., n}) on n alkion permutaatioryhmä. d) Reaalikertoimiset n n-matriisit M n = M n (R) muodostavat matriisien yhteenlaskun suhteen Abelin ryhmän (M n, +) nolla-alkionaan nollamatriisi 0 n M n. Koska matriisilla A M n on käänteismatriisi A 1 M n joss det(a) 0, niin kääntyvät n n-matriisit muodostavat matriisitulo laskutoimituksenaan ryhmän GL n (R) = {A M n (R): det(a) 0}, avaruuden R n yleisen lineaarin ryhmän. Valitsemalla esim A = , B = , nähdään, että GL n = GL n (R) on epäkommutatiivinen multiplikatiivinen ryhmä kaikilla n 2. e) Ryhmä G on äärellinen, kun G:ssä on äärellisen monta alkiota eli kun ryhmän G kertaluku #(G) on äärellinen, 1 #(G) N. Äärellisen ryhmän G = {e, a, b,..., h} laskutoimtus voidaan esitää havainnollissti ryhmän kertotaulun avulla kirjoittamalla vaaka- ja pystyrivien risteyskohtaan vaaka- ja pystyrivit määräävien alkioiden tulo: e a b... h a aa ab... ah b ba bb... bh h ha hb... hh Niinpä yksi neljän alkion ryhmän G = {e, a, b, c} mahdollisista kertotauluista on esim. e a b c a e c b b c e a c b a e. Kertotaulu määrää aina annetun äärellisen joukon G laskutoimituksen. Koska ryhmälaskutoimituksen on assosiatiivisuuden lisäksi toteutettava myös ehdot (R1) ja (R2), niin on selvää, että kaikki mahdolliset laskutoimitukset eivät suinkaan tee

23 1. RYHMÄT 20 joukosta G ryhmää. Laskutoimituksen assosiatiivisuuden tarkistaminen osoittautuu yleensä työläimmäksi. Lause 4.3. Kun G on ryhmä, niin i) sen neutraalialkio e G on yksikäsitteisesti määrätty, ii) alkion a G käänteisalkio a 1 G on yksikäsitteisesti määrätty, iii) jos a a = e jollakin a G (vast. aa = e jollakin a G), niin a = a 1 (vast. a = a 1 ), iv) (a 1 ) 1 = a kaikilla a G, v) supistussäännöt pätevät kaikille a, b, c G, ab = ac b = c, ab = cb a = c, vi) (ab) 1 = b 1 a 1 kaikilla a, b G, vii) kaikilla a, b G yhtälöillä ax = b, ya = b on yksikäsitteisesti määrätyt ratkaisut x, y G. Todistus. Kohdat i iv seuraavat yleisiä assosiatiivisia laskutoimituksia koskevista lauseista 2.8 ja Jos taas ab = ac, niin kertomalla yhtälön molemmat puolet vasemmalta käänteisalkiolla a 1 G saadaan b = eb = a 1 (ab) = a 1 (ac) = ec = c, vastaavasti saadan kertomalla b 1 :llä oikealta a = c, kun ab = cb. Kohdassa vi varten saamme assosiatiivisuuden nojalla (b 1 a 1 )(ab) = b 1 (a 1 a)b = a 1 a = e, ja ratkaisuiksi x ja y saamme edelleen x = a 1 b, y = ba 1. Huomautus 4.4. a) Supistussääntö pätee assosiatiivisella tulolla varustetuissa joukoissa N ja Z, vaikkeivät N ja Z olekaan ryhmiä. b) Sen sijaan assosiatiivisella tulolla varustettu joukko G on ryhmä, jos yhtälöt vii ratkeavat kaikilla a, b G.

24 1. RYHMÄT 21 Merkintöjä. Multiplikatiivisen ryhmän G alkiolle a G määritellään kaikilla 1 n Z n. potenssi asettamalla a n = n kpl {}}{ aa... a G Kun e G on ryhmän G ykkösalkio, niin alkion a G q. potenssi a q G määritellään kaikille q Z asettamalla edelleen a q, q > 0, a q = e, q = 0, (a 1 ) q, q < 0, jolloin siis erityisesti a 0 = e kaikilla a G. Kun A on additiivinen Abelin ryhmä, niin alkion a A q. monikerrat qa A määritellään vastaavalla tavalla. Ryhmähomomorfismit Määritelmä 4.5. Ryhmän G kuvaus f : G G ryhmään G on (ryhmä)homomorfismi, jos f(ab) = f(a)f(b) G kaikilla a, b G. Homomorfismin määritelmä 2.23 laskutoimituksen säilyttävänä kuvauksena käy siis yhmille sellaisenaan. Kuvauksen f : G G ollessa injektio (vast. surjektio) kutsumme homomorfismi f edeleenkin monomorfismiksi (vast. epimorfismiksi). Jos f : G G on bijektio, niin f on isomorfismi, jolloin myös käänteiskuvaus f 1 : G G on isomorfismi. On kuitenkin syytä huomata, että kuten yleensäkin olemme määritelmässä 4.5 olettaneet laskutoimitusten olevan tuloja kummassakin ryhmässä G ja G. Muissa tapauksissa määritelmä pitää sovittaa kulloiseenkin tilanteeseen. Esimerkki 4.6. Tiedämme, että reaaliluvut R muodostavat additiivisen ryhmän (R, +) ja että vastaavasti kaikki aidosti positiiviset reaaliluvut R + = {x R : o < x} muodostavat multiplikatiivisen ryhmän (R +, ). Kuvaus exp : R R +, exp(x) = e x, ja sen käänteiskuvaus log : R + R ovat molemmat homomorfismeja, exp(x 1 + x 2 ) = exp(x 1 ) exp(x 2 ), log(y 1 y 2 ) = log(y 1 ) + log(y 2 ) kaikilla x 1, x 2 R, y 1, y 2 R +, ja siten toistensa käänteisisomorfismeja. Lause 4.7. Kun a G on ryhmän G alkio, niin kuvaus h a : Z G, h a (n) = a n G kaikilla n Z, on kokonaislukujen additiivisen ryhmän (Z, +) yksikäsitteisesti määrätty homomorfismi ryhmään G siten, että h a (1) = a. Todistus. Kaikilla m, n Z h a (m + n) = a m+n = a m a n = h a (m)h a (n),

25 1. RYHMÄT 22 joten h a on ryhmähomomorfismi. Jos taas h : Z G on hmomorfismi ja h(1) = a, niin n kpl n kpl {}}{{}}{ h(n) = h( ) = aa... a = a n kaikilla 0 < n Z, mistä h(n) = a n kaikile n Z. Ehto h a (1) = a siis määrää homomorfismin h a yksikäsitteisesti. Lause 4.8. Kun f : G G on ryhmähomomorfismi, niin lähtöryhmän G ykkösalkio e G kuvautuu maaliryhmän G ykkösalkioksi, f(e) = e G ja alkion a G käänteisalkion kuva on aina kuva-alkion käänteisalkio, f(a 1 ) = f(a) 1 G. Todistus. Koska f on homomorfismi, niin f(e)f(e) = f(ee) = f(e)e, joten supistussäännön 4.3v nojalla täytyy olla f(e) = e. Saamme kaikille a G f(a)f(a 1 ) = f(e) = e = f(a)f(a) 1, joten siis edelleen supistussäännön nojalla f(a 1 ) = f(a) 1. Alkion kertaluku. Määrittelimme edellä ryhmän G jokaiselle a G homomorfismin h a : Z G. Jos h a on monomorfismi, niin sen kuvajoukko h a (Z) = {a n : n Z} G on selvästi ääretön. Jos taas h a ei ole monomorfismi eli jos a k = a l joillakin k < l, niin koska a l = a l k a k täytyy tällöin siis olla a r = e jollakin 0 < r = l k N. Jos 1 d N on pienin positiivinen kokonaisluku siten, että a d = e, niin saamme homomorfismin h a kuvajoukoksi d alkion joukon h a (Z) = {e, a,..., a d 1 } G. Kuvajoukon h a (Z) alkioiden lukumäärää 1 o(a) := #(h a (Z)) + kutsutaan alkion a G kertaluvuksi. Kun alkion a G kertaluku on äärellinen, 1 o(a) = d N, niin supistussäännön nojalla myös mielivaltaisen alkion b G a-rata {b, ab,..., a d 1 b} G sisältää aina d alkiota. Jos {b, ab,..., a d 1 b} {c, ac,..., a d 1 c} eli a k b = a l c joillakin k, l N, niin c = a r b kun r = l k Z ja alkioiden b ja c a-ratojen täytyy tällöin yhtyä, {b, ab,..., a d 1 b} = {c, ac,..., a d 1 c}. Koska alkio x G aina sisältyy a-rataansa, x {x, ax,..., a d 1 x}, niin ryhmä G on siten yhdiste erillisistä d alkion joukoista, G = x G{x, ax,..., a d 1 x}, joten ryhmän G ollessa äärellinen #(G) = qd = q o(a) jollakin 1 q N, eli jokaisen alkion a G kertaluku o(a) jakaa aina äärellisen ryhmän G kertaluvun #(G).

26 2. ALIRYHMÄT 23 Tuloryhmät. Lause 4.9. Kaahden ryhmän G 1 ja G 2 tulojoukko G 1 G 2 on ryhmien G 1 ja G 2 laskutoimitusten tulolaskutoimtuksen suhteen ryhmä, ryhmien G 1 ja G 2 tuloryhmä. Todistus. Tehtävän 2.6 nojalla tiedämme, että myös tulojoukon G 1 G 2 laskutoimitus on ryhmien G 1 ja G 2 laskutoimitusten tulolaskutoimituksena assosiatiivinen. Jos e k G k, k = 1, 2, ovat ryhmien G 1 ja G 2 ykkösalkiot ja e := (e 1, e 2 ) G 1 G 2, niin kaikilla a = (a 1, a 2 ) G 1 G 2 ea = (e 1 a 1, e 2 a 2 ) = (a 1, a 2 ) = a, samoin myöskin ae = a, joten e on tulolaskutoimituksen yksikäsitteisesti määrätty ykkösalkio. Toisaalta saamme alkiolle a = (a 1 1, a 1 2 ) G 1 G 2 a a = (a 1 1 a 1, a 1 2 a 2 ) = (e 1, e 2 ) = e, samoin myös aa = e, joten a G 1 G 2 on mielivaltaisen alkion a käänteisalkio. Siten G 1 G 2 todella on ryhmä. Tekijäryhmät. Lause Jos ryhmän G laskutoimitus on yhteensopiva G:ssä määritellyn ekvivalenssirelaation kanssa, niin tekijäjoukko G/ on tekijälaskutoimituksella varustettuna ryhmä, ryhmän G tekijäryhmä. Todistus. Tiedämme, että kanssa yhteensopivan laskutoimituksen tekijälaskutoimituksena myös tekijäjoukon G/ laskutoimitus on assosiatiivinen. Kun merkitsemme ɛ = [e] G/, niin ɛα = [e][a] = [ea] = [a] = α kaikilla α = [a] G/, samoin αɛ = α, joten ɛ = [e] G/ on tekijälaskutoimituksen ykkösalkio, ja jos edelleen α = [a 1 ] G/, niin α α = [a 1 a] = [e] = ɛ, samoin αα = ɛ. Koska jokaisella alkiolla α G/ on siis aina käänteisalkio α 1 = α G/, niin myös tekijäjoukko G/ on ryhmä. Huomautus Lauseen 2.25 nojalla tekijäkuvaus π : G G/ on ryhmähomomorfismi. 2. Aliryhmät Kun H G on ryhmän G epätyhjä vakaa osajoukko, ts. kun ab H kaikilla a, b H, niin ryhmän G laskutoimituksen rajoittuma indusoi siinä assosiatiivisen laskutoimituksen H H H. Määritelmä Jos ryhmän G epätyhjä vakaa osajoukko H G on ryhmä indusoidun laskutoimituksen suhteen, niin H on G:n aliryhmä. Merkitsemme tällöin H G, edelleen H < G kun H G ja H G.

27 2. ALIRYHMÄT 24 Lause Epätyhjä osajoukko H G on aliryhmä, joss ab 1 H kaikilla a, b H. Todistus. Ehto on selvästikin välttämätön. Olettakaamme kääntäen, että H ja että ab 1 H kaikilla a, b H. Asettamalla tällöin b = a jollakin a H saamme e = aa 1 H. Asettamala nyt edelleen a = e H saamme b 1 = eb 1 H kaikilla a, b H ja siten myös ab = a(b 1 ) 1 H kaikilla a, b H, joten H G on aliryhmä. Esimerkkejä a) Ykkösalkion yksinään muodostama ryhmä {e} G sekä itse ryhmä G ovat ryhmän G triviaalit aliryhmät. b) On helppo todeta suoraan kertotaulun avulla, että tehtävän 5.6 kuuden alkion ryhmän G = {e, a, b, c, d, f} kaikki epätriviaalit aliryhmät ovat {e, c}, {e, d}, {e, f} ja {e, a, b}. c) Määräämme tässä kokonaislukujen additiivisen ryhmän (Z, +) kaikki aliryhmät. On selvää, että Zd = {kd : k Z} Z. on aliryhmä jokaisella d N, jolloin Zd on triviaali aliryhmä Zd = {0} kun d = 0. Olkoon nyt {0} H Z mielivaltainen aliryhmä. Olkoon N = N \ {0} = {1, 2,... }. Koska H aliryhmänä sisältää myös jokaisen alkionsa a H vasta-alkion, niin leikkaus H N on epätyhjä, kun H {0}. Jos asetamme 1 d = min(h N ), niin aliryhmänä H sisältää kaikki luvun 1 d H N monikerrat, eli Zd H. Koska toisaalta d 1, niin jokaisella a H on yksikäsitteisesti määrätyt q, r Z siten, että a = qd + r, missä 0 r < d. Mutta koska myös qd H, niin siis myös r = a qd H N. Koska r < d ja d oli leikkauksen H N pienin luku, niin r = 0 eli a = qd Zd. Siten saamme kaikki aliryhmät H Z muodossa H = Zd, d Z. Aliryhmä Zd Z on epätriviaali, joss 1 < d N. Lause Jos H α G ovat ryhmän G aliryhmiä kaikilla α I, niin myös niiden leikkaus H = α H α on ryhmän G aliryhmä. Todistus. Koska H α G, α I, ovat aliryhmiä, niin e H α kaikilla α I ja siten e H. Jos nyt a, b H, niin a, b H α kaikilla α I, joten lauseen 4.13 nojalla ab 1 H α kaikilla α I ja siten aina myös ab 1 H. Näinollen myös leikkaus H on aliryhmä, H G. Määritelmä Ryhmän G osajoukon B G virittämä aliryhmä B G on pienin joukon B sisältävä aliryhmä, B = {H G: B H} = H. B H G

28 2. ALIRYHMÄT 25 Sisältäen aina koko ryhmän G aliryhmäperhe H = {H G: B H} ei ole tyhjä, ja edellisen lauseen nojalla B = H G siis todellakin on pienin joukon B sisältävä aliryhmä. Lause Kun B G on ryhmän G epätyhjä osajoukko, niin sen virittämä aliryhmä B G koostuu kaikista tuloista a ε 1 1 a ε a ε k k G, 1 k N, missä a 1, a 2,..., a k B ja ε 1, ε 2,..., ε k {1, 1}. Todistus. On selvää, että joukon B virittämä aliryhmä B sisältää kaikki muotoa a ε 1 1 a ε a ε k k olevat tulot, missä a 1, a 2,..., a k B ja ε 1, ε 2,..., ε k {1, 1}. Kaikkien tällaisten tulojen joukko sisältää varmasti osajoukon B, sillä saamme kaikilla a B alkion a yhden alkion tulona a = a 1 1 kun a 1 = a. Toisaalta saamme ykkösalkion e G tulona e = a 1 1a 1 2 valitsemalla a 1 = a 2 = a jollakin a B, ja jos x = a ε 1 1 a ε a ε k k, y = b η 1 1 b η b η l l joillakin a i, b j B, ε i, η j {1, 1}, niin myös tulo xy 1 = a ε 1 1 a ε a ε k k b η l l... b η 2 2 b η 1 1 on täsmälleen samaa muotoa. Näinollen tulot a ε 1 1 a ε a ε k k G, missä a i B ja ε i {1, 1} kaikilla i = 1,..., k muodostavat lauseen 4.13 nojalla osajoukon B sisältävän aliryhmän, joten joukon B G virittämä aliryhmä todellakin koostuu juuri nöistä tuloista. Aliryhmien kuvautuminen homomorfismeissa. Lause Kun f : G G on ryhmähomomorfismi, niin jokaisen aliryhmän H G kuva f(h) on maaliryhmän G aliryhmä, vastaavasti jokaisen aliryhmän H G alkukuva f 1 (H ) on lähtöryhmän G aliryhmä. Todistus. Aliryhmä H G sisältää lähtöryhmän G ykkösalkion e G, joten lauseen 4.8 nojalla kuvajoukko sisältää maaliryhmän ykkösalkion, e = f(e) f(h) G. Jos u, v f(h), niin u = f(a), v = f(b) joillakin a, b H, jolloin myös ab H G ja kuvauksen f homomorfisuuden nojalla myös uv = f(a)f(b) = f(ab) f(h). Toisaalta e = f(e) = f(aa 1 ) = f(a)f(a 1 ), joten kaikilla u = f(a) f(h) myös u 1 = f(a 1 ) f(h), ja siten aliryhmän H G kuva f(h) G on aina aliryhmä. Jos taas H G on maaliryhmän G aliryhmä, niin e f 1 (e ) f 1 (H ), ja koska kaikilla a, b f 1 (H ) f(ab 1 ) = f(a)f(b 1 ) = f(a)f(b) 1 H, niin myös aliryhmän H G alkukuva f 1 (H ) on aliryhmä, f 1 (H ) G.

29 3. SIVULUOKAT 26 Kuva ja ydin. Tärkeimmät homomorfismiin f : G G liittyvät aliryhmät ovat homomorfismin kuva Im(f) = f(g) G ja homomorfismin ydin eli neutraalialkion e G alkukuva Ker(f) = f 1 (e ) G. Lause Homomorfismi f : G G on monomorfismi eli injektio, joss sen ydin Ker(f) sisältää vain lähtöryhmän G neutraalialkion, eli joss f 1 (e ) = {e}. Todistus. Koska f(e) = e, niin kuvauksen f : G G ollessa injektio Ker(f) = f 1 (e ) = {e}. Olettakaamme kääntäen, että f 1 (e ) = {e}. Jos nyt f(a) = f(b) joillakin a, b G, niin koska kuvauksen f ollessa homomorfismi saamme f(ab 1 ) = f(a)f(b) 1 = e, ja koska f 1 (e ) = {e}, niin ab 1 = e ja siis a = b. Siten homomorfismin f : G G täytyy olla injektio kun f 1 (e ) = {e}. Sykliset ryhmät. Ryhmä H on syklinen ryhmä, jos se on yhden alkion virittämä ryhmä, ts. jos on olemassa a H siten, että H = a = {a n H : n Z}. Koska a m+n = a m a n kaikilla m.n Z, niin saamme siis epimorfismin h a : Z H asettamalla h a (n) := a n H kaikilla n Z. Epimorfismin h a ydin on kokonaislukujen additiivisen ryhmän aliryhmä, ja siten esimerkin 4.14c nojalla Ker(h a ) = {n Z : a n = e} = Zd jollakin d N. Jos d = 0, eli jos Ker(h a ) = {0}, niin kuvaus h a : Z H on bijektio ja syklinen ryhmä H siten ääretön. Jos taas 0 < d N, niin jokainen n Z voidaan tällöin lausua muodossa n = qd + r, missä q, r Z ja 0 r < d, jolloin h a (n) = h a (qd)h a (r) = eh a (r) = h a (r) = a r, niin tällöin H = {e, a, a 2,..., a d 1 } on siis d :n alkion äärellinen syklinen ryhmä. Toisaalta annetun ryhmän G jokainen alkio a G määrää homomorfismin h a : Z G, h a (n) = a n (ks. s.22), joloin H = Im(h a ) = {a n G : n Z} on alkion a G virittämä syklinen aliryhmä H = a G, ja alkion a G kertaluku 1 o(a) + on siis sama kuin sen virittämän aliryhmän kertaluku, o(a) = #( a ). 3. Sivuluokat Kun H G on ryhmän G mielivaltainen aliryhmä, määrittelemme ryhmässä G vasemman relaation v ja oikean relaation o asettamalla kaikila x, y G x v y kun x 1 y H, x o y kun yx 1 H.

30 3. SIVULUOKAT 27 Lause Aliryhmän H G määräämät vasen ja oikea relaatio v ja o ovat molemmat ryhmän G ekvivalenssirelaatiota. Todistus. Kun H G on aliryhmä, niin ryhmän G jokaisella alkiolla x G pätee x 1 x = e H, joten aina x v x ja relaatio v on siten refleksiivinen. Jos nyt x, y G ja x y eli x 1 y H, niin myös alkion x 1 y käänteisalkio v y 1 x = y 1 (x 1 ) 1 = (x 1 y) 1 kuuluu aliryhmään H, ja koska siis aina pätee myös y x, on relaatio myös symmetrinen. v v Jos taas x v y ja y v z eli x 1 y, y 1 z H, niin myös niiden tulo (x 1 y)(y 1 z) = x 1 (yy 1 )z = x 1 z kuuluu aliryhmään H, joten x v z ja relaatio v on siis myös transitiivinen. on siten ekvivalenssirelaatio. Samalla tavalla nähdään, että myös v on ekvivalenssirelaatio o Huomautus On ilmeistä, että v ja o ovat yleensä kaksi eri relatiota ryhmän G ollessa epäkommutatiivinen. Kun H G on aliryhmä, niin ryhmän G tekijäjoukkoa G/ suhteen kutsutaan v ryhmän G vasemmaksi sivuluokkajoukoksi aliryhmän H suhteen ja alkion a G ekvivalenssiluokkaa [a] v alkion a vasemmaksi sivuluokaksi, [a] v = {x G : a 1 x H} G/ v, tekijäjoukon G/ o ollessa vastaavasti ryhmän G oikea sivuluokkajoukko aliryhmän H suhteen ja sen alkiot [a] o G/ o, a G, [a] o = {x G : xa 1 H} G/ o. ryhmän G oikeita sivuluokka aliryhmän H suhteen. Lause Alkion a G vasen sivuluokka aliryhmän H G suhteen on [a] v = ah := {au G : u H}, vastaavasti oikea sivuluokka aliryhmän H G suhteen [a] o = Ha := {ua G : u H}. Todistus. Määritelmän mukaan x [a] v joss a v x eli joss u := a 1 x H. Mutta tämä on yhtäpitävää sen kanssa, että x = au jollakin u H, joten [a] v = ah := {au G : u H} G kaikilla a G. Samalla tavoin nähdään, että [a] o = Ha := {ua G : u H}. Huomautus On syytä huomata, että ykkösalkion sivuluokka aliryhmän H suhteen on aina itse aliryhmä, ts. eh = H ja He = H kaikilla aliryhmillä H G.

31 4. NORMAALIT ALIRYHMÄT 28 Vaikka seuraavassa rajoitummekin vasempiin sivuluokkiin, niin kaikki tarkastelut pätevät sopivin muutoksin myös oikeille sivuluokille. Koska (vasemmat) sivuluokat ah G ovat relaation v muodostavat lauseen 2.22 nojalla ryhmän G osituksen: G = a G ah ekvivalenssiluokkia, ne on ryhmän G esitys sivuluokkien ah, a G, erillisenä yhdisteenä, ts. ah bh =, ellei ah = bh. Koska kuvaus H ah, u au, on supistussäännön nojalla lisäksi bijektio, niin kaikissa sivuluokissa ah on yhtä monta alkiota kuin aliryhmässä H eli #(ah) = #(H) kaikilla a G. Jos ryhmä G on äärellinen eli #(G) < +, niin täytyy siis olla #(G) = q #(H) jollakin 1 q N. Saamme näin tärkeän Lause ( Lagrange) Äärellisen ryhmän kertaluku #(G) on jaollinen jokasen aliryhmän H G kertaluvulla #(H). Seuraus Kun G on äärellinen ryhmä, niin alkion a G kertaluku o(a) jakaa aina ryhmän G kertaluvun #(G), erityisesti kaikilla a G. a #(G) = e Todistus. Näimme, että alkion a G virittämän syklisen aliryhmän a G kertaluku on sama kuin alkion kertaluku, #( a ) = o(a), siis a #( a ) = e. Mutta lauseen nojalla ryhmän G kertaluku #(G) on jaollinen aliryhmän a kertaluvulla ja siten myös a #(G) = e. 4. Normaalit aliryhmät Määritelmä Ryhmän G aliryhmä H G on normaali aliryhmä, jos ryhmän G alkioiden vasemmat ja oikeat sivuluokat aina yhtyvät, kaikilla a G. ah = Ha Siten ryhmän G triviaalit aliryhmät E := {e} ja G ovat aina normaaleja. Lause Aliryhmä H G on normaali, joss kaikilla x H myös axa 1 H kaikilla a G.

Esko Turunen Luku 3. Ryhmät

Esko Turunen Luku 3. Ryhmät 3. Ryhmät Monoidia rikkaampi algebrallinen struktuuri on ryhmä: Määritelmä (3.1) Olkoon joukon G laskutoimitus. Joukko G varustettuna tällä laskutoimituksella on ryhmä, jos laskutoimitus on assosiatiivinen,

Lisätiedot

MAT Algebra 1(s)

MAT Algebra 1(s) 8. maaliskuuta 2012 Esipuhe Tämä luentokalvot sisältävät kurssin keskeiset asiat. Kalvoja täydennetään luennolla esimerkein ja todistuksin. Materiaali perustuu Jyväskylän, Helsingin ja Turun yliopistojen

Lisätiedot

jonka laskutoimitus on matriisien kertolasku. Vastaavasti saadaan K-kertoiminen erityinen lineaarinen ryhmä

jonka laskutoimitus on matriisien kertolasku. Vastaavasti saadaan K-kertoiminen erityinen lineaarinen ryhmä 4. Ryhmät Tässä luvussa tarkastelemme laskutoimituksella varustettuja joukkoja, joiden laskutoimitukselta oletamme muutamia yksinkertaisia ominaisuuksia: Määritelmä 4.1. Laskutoimituksella varustettu joukko

Lisätiedot

[a] ={b 2 A : a b}. Ekvivalenssiluokkien joukko

[a] ={b 2 A : a b}. Ekvivalenssiluokkien joukko 3. Tekijälaskutoimitus, kokonaisluvut ja rationaaliluvut Tässä luvussa tutustumme kolmanteen tapaan muodostaa laskutoimitus joukkoon tunnettujen laskutoimitusten avulla. Tätä varten määrittelemme ensin

Lisätiedot

renkaissa. 0 R x + x =(0 R +1 R )x =1 R x = x

renkaissa. 0 R x + x =(0 R +1 R )x =1 R x = x 8. Renkaat Tarkastelemme seuraavaksi rakenteita, joissa on määritelty kaksi assosiatiivista laskutoimitusta, joista toinen on kommutatiivinen. Vaadimme näiltä kahdella laskutoimituksella varustetuilta

Lisätiedot

MAT-41150 Algebra I (s) periodilla IV 2012 Esko Turunen

MAT-41150 Algebra I (s) periodilla IV 2012 Esko Turunen MAT-41150 Algebra I (s) periodilla IV 2012 Esko Turunen Tehtävä 1. Onko joukon X potenssijoukon P(X) laskutoimitus distributiivinen laskutoimituksen suhteen? Onko laskutoimitus distributiivinen laskutoimituksen

Lisätiedot

MAT Algebra I (s) periodeilla IV ja V/2009. Esko Turunen

MAT Algebra I (s) periodeilla IV ja V/2009. Esko Turunen MAT-41150 Algebra I (s) periodeilla IV ja V/2009. Esko Turunen Tämä tiedosto sisältää kurssin kaikki laskuharjoitukset. viikottain uusia tehtäviä. Tiedostoon lisätään To 05.02.09 pidetyt harjoitukset.

Lisätiedot

Esko Turunen MAT Algebra1(s)

Esko Turunen MAT Algebra1(s) Määritelmä (4.1) Olkoon G ryhmä. Olkoon H G, H. Jos joukko H varustettuna indusoidulla laskutoimituksella on ryhmä, se on ryhmän G aliryhmä. Jos H G on ryhmän G aliryhmä, merkitään usein H G, ja jos H

Lisätiedot

kaikille a R. 1 (R, +) on kommutatiivinen ryhmä, 2 a(b + c) = ab + ac ja (b + c)a = ba + ca kaikilla a, b, c R, ja

kaikille a R. 1 (R, +) on kommutatiivinen ryhmä, 2 a(b + c) = ab + ac ja (b + c)a = ba + ca kaikilla a, b, c R, ja Renkaat Tarkastelemme seuraavaksi rakenteita, joissa on määritelty kaksi binääristä assosiatiivista laskutoimitusta, joista toinen on kommutatiivinen. Vaadimme muuten samat ominaisuudet kuin kokonaisluvuilta,

Lisätiedot

HN = {hn h H, n N} on G:n aliryhmä.

HN = {hn h H, n N} on G:n aliryhmä. Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8, 23.27.3.2009 5 sivua Rami Luisto 1. Osoita, että kullakin n N + lukujen n 5 ja n viimeiset numerot kymmenkantaisessa

Lisätiedot

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) OT

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) OT Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) 31.1.-4.2.2011 OT 1. Määritellään kokonaisluvuille laskutoimitus n m = n + m + 5. Osoita, että (Z, ) on ryhmä.

Lisätiedot

a b 1 c b n c n

a b 1 c b n c n Algebra Syksy 2007 Harjoitukset 1. Olkoon a Z. Totea, että aina a 0, 1 a, a a ja a a. 2. Olkoot a, b, c, d Z. Todista implikaatiot: a) a b ja c d ac bd, b) a b ja b c a c. 3. Olkoon a b i kaikilla i =

Lisätiedot

Liite 2. Ryhmien ja kuntien perusteet

Liite 2. Ryhmien ja kuntien perusteet Liite 2. Ryhmien ja kuntien perusteet 1. Ryhmät 1.1 Johdanto Erilaisissa matematiikan probleemoissa törmätään usein muotoa a + x = b tai a x = b oleviin yhtälöihin, joissa tuntematon muuttuja on x. Lukujoukkoja

Lisätiedot

g : R R, g(a) = g i a i. Alkio g(a) R on polynomin arvo pisteessä a. Jos g(a) = 0, niin a on polynomin g(x) nollakohta.

g : R R, g(a) = g i a i. Alkio g(a) R on polynomin arvo pisteessä a. Jos g(a) = 0, niin a on polynomin g(x) nollakohta. ALGEBRA II 27 on homomorfismi. Ensinnäkin G(a + b) a + b G(a)+G(b) (f), G(ab) ab G(a)G(b) G(a) G(b) (f), ja koska kongruenssien vasempien ja oikeiden puolten asteet ovat pienempiä kuin f:n aste, niin homomorfiaehdot

Lisätiedot

802355A Algebralliset rakenteet Luentorunko Syksy Markku Niemenmaa Kari Myllylä Topi Törmä Marko Leinonen

802355A Algebralliset rakenteet Luentorunko Syksy Markku Niemenmaa Kari Myllylä Topi Törmä Marko Leinonen 802355A Algebralliset rakenteet Luentorunko Syksy 2016 Markku Niemenmaa Kari Myllylä Topi Törmä Marko Leinonen Sisältö 1 Kertausta kurssilta Algebran perusteet 3 2 Renkaat 8 2.1 Renkaiden teoriaa.........................

Lisätiedot

{I n } < { I n,i n } < GL n (Q) < GL n (R) < GL n (C) kaikilla n 2 ja

{I n } < { I n,i n } < GL n (Q) < GL n (R) < GL n (C) kaikilla n 2 ja 5. Aliryhmät Luvun 4 esimerkeissä esiintyy usein ryhmä (G, ) ja jokin vakaa osajoukko B G siten, että (B, B ) on ryhmä. Määrittelemme seuraavassa käsitteitä, jotka auttavat tällaisten tilanteiden käsittelyssä.

Lisätiedot

on Abelin ryhmä kertolaskun suhteen. Tämän joukon alkioiden lukumäärää merkitään

on Abelin ryhmä kertolaskun suhteen. Tämän joukon alkioiden lukumäärää merkitään 5. Primitiivinen alkio 5.1. Täydennystä lukuteoriaan. Olkoon n Z, n 2. Palautettakoon mieleen, että kokonaislukujen jäännösluokkarenkaan kääntyvien alkioiden muodostama osajoukko Z n := {x Z n x on kääntyvä}

Lisätiedot

Kuvauksista ja relaatioista. Jonna Makkonen Ilari Vallivaara

Kuvauksista ja relaatioista. Jonna Makkonen Ilari Vallivaara Kuvauksista ja relaatioista Jonna Makkonen Ilari Vallivaara 20. lokakuuta 2004 Sisältö 1 Esipuhe 2 2 Kuvauksista 3 3 Relaatioista 8 Lähdeluettelo 12 1 1 Esipuhe Joukot ja relaatiot ovat periaatteessa äärimmäisen

Lisätiedot

Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen

Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen LuK-tutkielma Jussi Piippo Matemaattisten tieteiden yksikkö Oulun yliopisto Kevät 2017 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Esitietoja 3 2.1 Joukko-opin perusaksioomat...................

Lisätiedot

Algebra I, Harjoitus 6, , Ratkaisut

Algebra I, Harjoitus 6, , Ratkaisut Algebra I Harjoitus 6 9. 13.3.2009 Ratkaisut Algebra I Harjoitus 6 9. 13.3.2009 Ratkaisut (MV 6 sivua 1. Olkoot M ja M multiplikatiivisia monoideja. Kuvaus f : M M on monoidihomomorfismi jos 1 f(ab = f(af(b

Lisätiedot

Lineaariset ryhmät Pro gradu -tutkielma Miia Lillstrang Matematiikan yksikkö Oulun yliopisto 2016

Lineaariset ryhmät Pro gradu -tutkielma Miia Lillstrang Matematiikan yksikkö Oulun yliopisto 2016 Lineaariset ryhmät Pro gradu -tutkielma Miia Lillstrang 2187044 Matematiikan yksikkö Oulun yliopisto 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Esitietoja 3 1.1 Ryhmät.............................. 3 1.1.1 Ryhmä ja aliryhmä....................

Lisätiedot

Dihedraalinen ryhmä Pro gradu Elisa Sonntag Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2013

Dihedraalinen ryhmä Pro gradu Elisa Sonntag Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2013 Dihedraalinen ryhmä Pro gradu Elisa Sonntag Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2013 Sisältö Johdanto 2 1 Ryhmä 3 2 Symmetrinen ryhmä 6 3 Symmetriaryhmä 10 4 Dihedraalinen ryhmä 19 Lähdeluettelo

Lisätiedot

(xa) = (x) (a) = (x)0 = 0

(xa) = (x) (a) = (x)0 = 0 11. Ideaalit ja tekijärenkaat Rengashomomorfismi : R! R 0 on erityisesti ryhmähomomorfismi :(R, +)! (R 0, +) additiivisten ryhmien välillä. Rengashomomorfismin ydin määritellään tämän ryhmähomomorfismin

Lisätiedot

a 2 ba = a a + ( b) a = (a + ( b))a = (a b)a, joten yhtälö pätee mielivaltaiselle renkaalle.

a 2 ba = a a + ( b) a = (a + ( b))a = (a b)a, joten yhtälö pätee mielivaltaiselle renkaalle. Harjoitus 10 (7 sivua) Ratkaisuehdotuksia/Martina Aaltonen Tehtävä 1. Mitkä seuraavista yhtälöistä pätevät mielivaltaisen renkaan alkioille a ja b? a) a 2 ba = (a b)a b) (a + b + 1)(a b) = a 2 b 2 + a

Lisätiedot

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 9 (6 sivua) OT

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 9 (6 sivua) OT Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 9 (6 sivua) 28.3.-1.4.2011 OT 1. a) Osoita, että rengas R = {[0] 10, [2] 10, [4] 10, [6] 10, [8] 10 } on kokonaisalue. Mikä

Lisätiedot

4. Ryhmien sisäinen rakenne

4. Ryhmien sisäinen rakenne 4. Ryhmien sisäinen rakenne Tässä luvussa tarkastellaan joitakin tapoja päästä käsiksi ryhmien sisäiseen rakenteeseen. Useimmat tuloksista ovat erityisen käyttökelpoisia äärellisten ryhmien tapauksessa.

Lisätiedot

Algebra II. Syksy 2004 Pentti Haukkanen

Algebra II. Syksy 2004 Pentti Haukkanen Algebra II Syksy 2004 Pentti Haukkanen 1 Sisällys 1 Ryhmäteoriaa 3 1.1 Ryhmän määritelmä.... 3 1.2 Aliryhmä... 3 1.3 Sivuluokat...... 4 1.4 Sykliset ryhmät... 7 1.5 Ryhmäisomorfismi..... 11 2 Polynomeista

Lisätiedot

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Osa : Relaatiot ja funktiot Riikka Kangaslampi 017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Relaatiot Relaatio Määritelmä 1 Relaatio joukosta A

Lisätiedot

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 (7 sivua)

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 (7 sivua) Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin ( sivua).... Nämä ovat kurssin Algebra I harjoitustehtävien ratkaisuehdoituksia. Ratkaisut koostuvat kahdesta osiosta,

Lisätiedot

Teema 4. Homomorfismeista Ihanne ja tekijärengas. Teema 4 1 / 32

Teema 4. Homomorfismeista Ihanne ja tekijärengas. Teema 4 1 / 32 1 / 32 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.2 Esimerkki 4B.1 Esimerkki 4B.2 Esimerkki 4B.3 Esimerkki 4C.1 Esimerkki 4C.2 Esimerkki 4C.3 2 / 32 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.2 Esimerkki 4B.1 Esimerkki

Lisätiedot

Ideaalit ja tekijärenkaat Ryhmähomomorfismin φ : G G ydin on ryhmän G normaali aliryhmä. Esko Turunen Luku 7. Ideaalit ja tekijärenkaat

Ideaalit ja tekijärenkaat Ryhmähomomorfismin φ : G G ydin on ryhmän G normaali aliryhmä. Esko Turunen Luku 7. Ideaalit ja tekijärenkaat Ideaalit ja tekijärenkaat Ryhmähomomorfismin φ : G G ydin on ryhmän G normaali aliryhmä. Ideaalit ja tekijärenkaat Ryhmähomomorfismin φ : G G ydin on ryhmän G normaali aliryhmä. Rengashomomorfismi ψ :

Lisätiedot

802354A Algebran perusteet Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Topi Törmä

802354A Algebran perusteet Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Topi Törmä 802354A Algebran perusteet Luentorunko Kevät 2017 Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Topi Törmä Sisältö 1 Lukuteoriaa 3 1.1 Jakoalgoritmi ja alkuluvut.................... 3 1.2 Suurin yhteinen tekijä......................

Lisätiedot

802320A LINEAARIALGEBRA OSA I

802320A LINEAARIALGEBRA OSA I 802320A LINEAARIALGEBRA OSA I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 72 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä

Lisätiedot

Mikäli huomaat virheen tai on kysyttävää liittyen malleihin, lähetä viesti osoitteeseen

Mikäli huomaat virheen tai on kysyttävää liittyen malleihin, lähetä viesti osoitteeseen Mikäli huomaat virheen tai on kysyttävää liittyen malleihin, lähetä viesti osoitteeseen anton.mallasto@aalto.fi. 1. 2. Muista. Ryhmän G aliryhmä H on normaali aliryhmä, jos ah = Ha kaikilla a G. Toisin

Lisätiedot

Algebra 1, harjoitus 9, h = xkx 1 xhx 1. a) Käytetään molemmissa tapauksissa isomorfialausetta. Tarkastellaan kuvauksia

Algebra 1, harjoitus 9, h = xkx 1 xhx 1. a) Käytetään molemmissa tapauksissa isomorfialausetta. Tarkastellaan kuvauksia Algebra 1, harjoitus 9, 11.-12.11.2014. 1. Olkoon G ryhmä ja H G normaali aliryhmä. Tiedetään, että tällöin xhx 1 H kaikilla x G. Osoita, että itse asiassa xhx 1 = H kaikilla x G. Ratkaisu: Yritetään osoittaa,

Lisätiedot

802355A Renkaat, kunnat ja polynomit Luentorunko Syksy 2013

802355A Renkaat, kunnat ja polynomit Luentorunko Syksy 2013 802355A Renkaat, kunnat ja polynomit Luentorunko Syksy 2013 Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä, Antti Torvikoski, Topi Törmä Sisältö 1 Kertausta kurssilta Lukuteoria ja ryhmät

Lisätiedot

Relaatioista. 1. Relaatiot. Alustava määritelmä: Relaatio on kahden (tai useamman, saman tai eri) joukon alkioiden välinen ominaisuus tai suhde.

Relaatioista. 1. Relaatiot. Alustava määritelmä: Relaatio on kahden (tai useamman, saman tai eri) joukon alkioiden välinen ominaisuus tai suhde. Relaatioista 1. Relaatiot. Alustava määritelmä: Relaatio on kahden (tai useamman, saman tai eri) joukon alkioiden välinen ominaisuus tai suhde. Esimerkkejä Kokonaisluvut x ja y voivat olla keskenään mm.

Lisätiedot

Eräitä ratkeavuustarkasteluja

Eräitä ratkeavuustarkasteluja Eräitä ratkeavuustarkasteluja Pro gradu-tutkielma Milla Jantunen 2124227 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Kevät 2014 Sisältö 1 Ryhmät ja aliryhmät 3 1.1 Ryhmä...............................

Lisätiedot

Laitos/Institution Department Matematiikan ja tilastotieteen laitos. Aika/Datum Month and year Huhtikuu 2014

Laitos/Institution Department Matematiikan ja tilastotieteen laitos. Aika/Datum Month and year Huhtikuu 2014 Tiedekunta/Osasto Fakultet/Sektion Faculty Matemaattis-luonnontieteellinen tiedekunta Laitos/Institution Department Matematiikan ja tilastotieteen laitos Tekijä/Författare Author Anna-Mari Pulkkinen Työn

Lisätiedot

Syklinen ryhmä Pro Gradu -tutkielma Taava Kuha Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2016

Syklinen ryhmä Pro Gradu -tutkielma Taava Kuha Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2016 Syklinen ryhmä Pro Gradu -tutkielma Taava Kuha Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Ryhmäteoriaa 4 1.1 Ryhmän määritelmä....................... 4 1.2 Kertaluku.............................

Lisätiedot

(x + I) + (y + I) = (x + y)+i. (x + I)(y + I) =xy + I. kaikille x, y R.

(x + I) + (y + I) = (x + y)+i. (x + I)(y + I) =xy + I. kaikille x, y R. 11. Ideaalit ja tekijärenkaat Rengashomomorfismi φ: R R on erityisesti ryhmähomomorfismi φ: (R, +) (R, +) additiivisten ryhmien välillä. Rengashomomorfismin ydin määritellään tämän ryhmähomomorfismin φ

Lisätiedot

Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 1,

Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 1, Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 1, 15.9.2014 1. Hahmottele tasossa seuraavat relaatiot: a) R 1 = {(x, y) R 2 : x y 2 } b) R 2 = {(x, y) R 2 : y x Z} c) R 3 = {(x, y) R 2 : y > 0 and x 2

Lisätiedot

R : renkaan R kääntyvien alkioiden joukko; R kertolaskulla varustettuna on

R : renkaan R kääntyvien alkioiden joukko; R kertolaskulla varustettuna on 0. Kertausta ja täydennystä Kurssille Äärelliset kunnat tarvittavat esitiedot löytyvät Algebran kurssista [Alg]. Hyödyksi voivat myös olla (vaikka eivät välttämättömiä) Lukuteorian alkeet [LTA] ja Salakirjoitukset

Lisätiedot

802354A Algebran perusteet Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Topi Törmä

802354A Algebran perusteet Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Topi Törmä 802354A Algebran perusteet Luentorunko Kevät 2018 Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Topi Törmä Sisältö 1 Lukuteoriaa 3 1.1 Jakoalgoritmi ja alkuluvut.................... 3 1.2 Suurin yhteinen tekijä......................

Lisätiedot

koska 2 toteuttaa rationaalikertoimisen yhtälön x 2 2 = 0. Laajennuskunnan

koska 2 toteuttaa rationaalikertoimisen yhtälön x 2 2 = 0. Laajennuskunnan 4. Äärellisten kuntien yleisiä ominaisuuksia 4.1. Laajenuskunnat. Tarkastellaan aluksi yleistä kuntaparia F ja K, missä F on kunnan K alikunta. Tällöin sanotaan, että kunta K on kunnan F laajennuskunta

Lisätiedot

6. Tekijäryhmät ja aliryhmät

6. Tekijäryhmät ja aliryhmät 6. Tekijäryhmät ja aliryhmät Tämän luvun tavoitteena on esitellä konstruktio, jota kutsutaan tekijäryhmän muodostamiseksi. Konstruktiossa lähdetään liikkeelle jostakin isosta ryhmästä, samastetaan alkioita,

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Liite 1: Joukko-oppi

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Liite 1: Joukko-oppi Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Liite 1: Joukko-oppi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Joukko-oppi >> Joukko-opin peruskäsitteet Joukko-opin perusoperaatiot Joukko-opin laskusäännöt Funktiot Tulojoukot

Lisätiedot

H = H(12) = {id, (12)},

H = H(12) = {id, (12)}, 7. Normaali aliryhmä ja tekijäryhmä Tarkastelemme luvun aluksi ryhmän ja sen aliryhmien suhdetta. Olkoon G ryhmä ja olkoon H G. Alkiong G vasen sivuluokka (aliryhmän H suhteen) on gh = {gh : h H} ja sen

Lisätiedot

Diskreetti matematiikka, syksy 2010 Harjoitus 7, ratkaisuista

Diskreetti matematiikka, syksy 2010 Harjoitus 7, ratkaisuista Diskreetti matematiikka, syksy 2010 Harjoitus 7, ratkaisuista 1. Olkoot (E, ) ja (F, ) epätyhjiä järjestettyjä joukkoja. Määritellään joukossa E F relaatio L seuraavasti: [ (x, y)l(x, y ) ] [ (x < x )

Lisätiedot

ja jäännösluokkien joukkoa

ja jäännösluokkien joukkoa 3. Polynomien jäännösluokkarenkaat Olkoon F kunta, ja olkoon m F[x]. Polynomeille f, g F [x] määritellään kongruenssi(-relaatio) asettamalla g f mod m : m g f g = f + m h jollekin h F [x]. Kongruenssi

Lisätiedot

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto 3. Oletetaan, että kunnan K karakteristika on 3. Tutki,

Lisätiedot

Luuppien ryhmistä Seminaariesitelmä Miikka Rytty Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2006

Luuppien ryhmistä Seminaariesitelmä Miikka Rytty Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2006 Luuppien ryhmistä Seminaariesitelmä Miikka Rytty Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2006 Sisältö 1 Luupeista 2 1.1 Luupit ja niiden kertolaskuryhmät................. 2 2 Transversaalit 5 3

Lisätiedot

Jarkko Peltomäki. Aliryhmän sentralisaattori ja normalisaattori

Jarkko Peltomäki. Aliryhmän sentralisaattori ja normalisaattori Jarkko Peltomäki Aliryhmän sentralisaattori ja normalisaattori Matematiikan aine Turun yliopisto Syyskuu 2009 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Määritelmiä ja perusominaisuuksia 3 2.1 Aliryhmän sentralisaattori ja

Lisätiedot

(1) refleksiivinen, (2) symmetrinen ja (3) transitiivinen.

(1) refleksiivinen, (2) symmetrinen ja (3) transitiivinen. Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Tietyn ominaisuuden samuus -relaatio on ekvivalenssi; se on (1) refleksiivinen,

Lisätiedot

Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus.

Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden

Lisätiedot

Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 2, Osoita että A on hyvin määritelty. Tee tämä osoittamalla

Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 2, Osoita että A on hyvin määritelty. Tee tämä osoittamalla Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 2, 23.9.2015 1. Osoita että A on hyvin määritelty. Tee tämä osoittamalla a) että ei ole olemassa surjektiota f : {1,, n} {1,, m}, kun n < m. b) että a) kohdasta

Lisätiedot

H = : a, b C M. joten jokainen A H {0} on kääntyvä matriisi. Itse asiassa kaikki nollasta poikkeavat alkiot ovat yksiköitä, koska. a b.

H = : a, b C M. joten jokainen A H {0} on kääntyvä matriisi. Itse asiassa kaikki nollasta poikkeavat alkiot ovat yksiköitä, koska. a b. 10. Kunnat ja kokonaisalueet Määritelmä 10.1. Olkoon K rengas, jossa on ainakin kaksi alkiota. Jos kaikki renkaan K nollasta poikkeavat alkiot ovat yksiköitä, niin K on jakorengas. Kommutatiivinen jakorengas

Lisätiedot

Salausmenetelmät. Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006)

Salausmenetelmät. Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) Salausmenetelmät Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) LUKUTEORIAA JA ALGORITMEJA 3. Kongruenssit à 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi Määritelmä 3.1 Kaksi lukua a ja b ovat keskenään kongruentteja (tai

Lisätiedot

Valitsemalla sopivat alkiot joudutaan tämän määritelmän kanssa vaikeuksiin, jotka voidaan välttää rakentamalla joukko oppi aksiomaattisesti.

Valitsemalla sopivat alkiot joudutaan tämän määritelmän kanssa vaikeuksiin, jotka voidaan välttää rakentamalla joukko oppi aksiomaattisesti. Joukon määritelmä Joukko on alkioidensa kokoelma. Valitsemalla sopivat alkiot joudutaan tämän määritelmän kanssa vaikeuksiin, jotka voidaan välttää rakentamalla joukko oppi aksiomaattisesti. Näin ei tässä

Lisätiedot

Ratkeavista ryhmistä: teoriaa ja esimerkkejä

Ratkeavista ryhmistä: teoriaa ja esimerkkejä Ratkeavista ryhmistä: teoriaa ja esimerkkejä Pro Gradu-tutkielma Lauri Kangas 2192712 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Kevät 2015 Sisältö 1 Perusteita 3 1.1 Ryhmät ja aliryhmät.......................

Lisätiedot

Esimerkki A1. Jaetaan ryhmä G = Z 17 H = 4 = {1, 4, 4 2 = 16 = 1, 4 3 = 4 = 13, 4 4 = 16 = 1}.

Esimerkki A1. Jaetaan ryhmä G = Z 17 H = 4 = {1, 4, 4 2 = 16 = 1, 4 3 = 4 = 13, 4 4 = 16 = 1}. Jaetaan ryhmä G = Z 17 n H = 4 sivuluokkiin. Ratkaisu: Koska 17 on alkuluku, #G = 16, alkiona jäännösluokat a, a = 1, 2,..., 16. Määrätään ensin n H alkiot: H = 4 = {1, 4, 4 2 = 16 = 1, 4 3 = 4 = 13, 4

Lisätiedot

Kuvaus. Määritelmä. LM2, Kesä /160

Kuvaus. Määritelmä. LM2, Kesä /160 Kuvaus Määritelmä Oletetaan, että X ja Y ovat joukkoja. Kuvaus eli funktio joukosta X joukkoon Y on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon X alkioon täsmälleen yhden alkion, joka kuuluu joukkoon Y. Merkintä

Lisätiedot

Kurssikoe on maanantaina Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla.

Kurssikoe on maanantaina Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla. HY / Avoin ylioisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 05 Harjoitus 6 Ratkaisut palautettava viimeistään tiistaina.6.05 klo 6.5. Huom! Luennot ovat salissa CK maanantaista 5.6. lähtien. Kurssikoe on

Lisätiedot

7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi

7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi 7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi Z p [x]/(m), missä m on polynomirenkaan Z p [x] jaoton polynomi (ks. määritelmä 3.19).

Lisätiedot

Algebran ja lukuteorian harjoitustehtäviä. 1. Tutki, ovatko seuraavat relaatiot ekvivalenssirelaatioita joukon N kaikkien osajoukkojen

Algebran ja lukuteorian harjoitustehtäviä. 1. Tutki, ovatko seuraavat relaatiot ekvivalenssirelaatioita joukon N kaikkien osajoukkojen Algebran ja lukuteorian harjoitustehtäviä Versio 1.0 (27.1.2006) Turun yliopisto Lukuteoria 1. Tutki, ovatko seuraavat relaatiot ekvivalenssirelaatioita joukon N kaikkien osajoukkojen joukolla: a) C D

Lisätiedot

ALGEBRA KEVÄT 2011 JOUNI PARKKONEN

ALGEBRA KEVÄT 2011 JOUNI PARKKONEN ALGEBRA KEVÄT 2011 JOUNI PARKKONEN Sisältö 1. Laskutoimitukset 1 2. Kompleksiluvut 8 3. Tekijälaskutoimitus, kokonaisluvut ja rationaaliluvut 15 4. Ryhmät 20 5. Aliryhmät 26 6. Aärelliset permutaatioryhmät

Lisätiedot

Kuvausten hajottaminen

Kuvausten hajottaminen LUKU 0 Kuvausten hajottaminen Tässä luvussa tarkastellaan eräitä kuvausten yhdistämiseen liittyviä kysymyksiä, joita kohdataan toistuvasti lähes kaikissa ns. abstraktin algebran konstruktioissa. Olkoot

Lisätiedot

802354A Lukuteoria ja ryhmät Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä, Antti Torvikoski, Topi Törmä

802354A Lukuteoria ja ryhmät Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä, Antti Torvikoski, Topi Törmä 802354A Lukuteoria ja ryhmät Luentorunko Kevät 2014 Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä, Antti Torvikoski, Topi Törmä Sisältö 1 Ekvivalenssirelaatio 3 2 Lukuteoriaa 4 2.1 Lukuteorian

Lisätiedot

Tekijäryhmiä varten määritellään aluksi sivuluokat ja normaalit aliryhmät.

Tekijäryhmiä varten määritellään aluksi sivuluokat ja normaalit aliryhmät. 3 Tekijäryhmät Tekijäryhmän käsitteen avulla voidaan monimutkainen ryhmä jakaa osiin. Ideana on, että voidaan erikseen tarkastella, miten laskutoimitus vaikuttaa näihin osiin kokonaisuuksina, ja jättää

Lisätiedot

Lukualueet Matemaattiset tieteet Oulun yliopisto 2017

Lukualueet Matemaattiset tieteet Oulun yliopisto 2017 Lukualueet Matemaattiset tieteet Oulun yliopisto 2017 Sisältö 1 Johdanto 5 1.1 Joukko-opin kertausta...................... 6 1.2 Funktioiden kertausta....................... 7 1.3 Relaatioista............................

Lisätiedot

Peruskäsitteet. 0. Kertausta

Peruskäsitteet. 0. Kertausta Peruskäsitteet 0. Kertausta Tässä luvussa käydään läpi sellaiset peruskäsitteet ja merkinnät, joiden oletetaan olevan tuttuja aiemmalta algebran kurssilta. 0.1. Laskutoimitukset. Olkoon X joukko. Joukon

Lisätiedot

KOMBINATORIIKKA JOUKOT JA RELAATIOT

KOMBINATORIIKKA JOUKOT JA RELAATIOT Heikki Junnila KOMBINATORIIKKA LUKU I JOUKOT JA RELAATIOT 0. Merkinnöistä.... 1 1. Relaatiot ja kuvaukset....3 2. Luonnolliset luvut. Äärelliset joukot...9 3. Joukon ositukset. Ekvivalenssirelaatiot......

Lisätiedot

Algebra I. Jokke Häsä ja Johanna Rämö. Matematiikan ja tilastotieteen laitos Helsingin yliopisto

Algebra I. Jokke Häsä ja Johanna Rämö. Matematiikan ja tilastotieteen laitos Helsingin yliopisto Algebra I Jokke Häsä ja Johanna Rämö Matematiikan ja tilastotieteen laitos Helsingin yliopisto Kevät 2011 Sisältö 1 Laskutoimitukset 6 1.1 Työkalu: Joukot ja kuvaukset..................... 6 1.1.1 Joukko..............................

Lisätiedot

x > y : y < x x y : x < y tai x = y x y : x > y tai x = y.

x > y : y < x x y : x < y tai x = y x y : x > y tai x = y. ANALYYSIN TEORIA A Kaikki lauseet eivät ole muotoiltu samalla tavalla kuin luennolla. Ilmoita virheistä yms osoitteeseen mikko.kangasmaki@uta. (jos et ole varma, onko kyseessä virhe, niin ilmoita mieluummin).

Lisätiedot

Renkaat ja modulit. Tässä osassa käsiteltävät renkaat ovat vaihdannaisia, ellei toisin mainita. 6. Ideaalit

Renkaat ja modulit. Tässä osassa käsiteltävät renkaat ovat vaihdannaisia, ellei toisin mainita. 6. Ideaalit Renkaat ja modulit Tässä osassa käsiteltävät renkaat ovat vaihdannaisia, ellei toisin mainita. 6. Ideaalit Tekijärenkaassa nollan ekvivalenssiluokka on alkuperäisen renkaan ideaali. Ideaalin käsitteen

Lisätiedot

3 Ryhmäteorian peruskäsitteet ja pienet ryhmät, C 2

3 Ryhmäteorian peruskäsitteet ja pienet ryhmät, C 2 3 Ryhmäteorian peruskäsitteet ja pienet ryhmät, C 2 Olen valinnut kunkin luvun teemaksi yhden ryhmän. Ensimmäisen luvun teema on pienin epätriviaali ryhmä, eli ryhmä, jossa on kaksi alkiota. Merkitsen

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Osa 4: Modulaariaritmetiikka Riikka Kangaslampi 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Modulaariaritmetiikka Jakoyhtälö Määritelmä 1 Luku

Lisätiedot

Algebran perusteet. 44 ϕ(105) = (105). Näin ollen

Algebran perusteet. 44 ϕ(105) = (105). Näin ollen Algebran perusteet Harjoitus 4, ratkaisut kevät 2016 1 a) Koska 105 = 5 21 = 3 5 7 ja 44 = 2 2 11, niin syt(44, 105) = 1 Lisäksi ϕ(105) = ϕ(3 5 7) = (3 1)(5 1)(7 1) = 2 4 6 = 48, joten Eulerin teoreeman

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141 Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/141 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.

Lisätiedot

1 Algebralliset perusteet

1 Algebralliset perusteet 1 Algebralliset perusteet 1.1 Renkaat Tämän luvun jälkeen opiskelijoiden odotetaan muistavan, mitä ovat renkaat, vaihdannaiset renkaat, alirenkaat, homomorfismit, ideaalit, tekijärenkaat, maksimaaliset

Lisätiedot

TIIVISTELMÄ OPINNÄYTETYÖSTÄ (liite FM-tutkielmaan) Luonnontieteellinen tiedekunta

TIIVISTELMÄ OPINNÄYTETYÖSTÄ (liite FM-tutkielmaan) Luonnontieteellinen tiedekunta Oulun yliopisto TIIVISTELMÄ OPINNÄYTETYÖSTÄ (liite FM-tutkielmaan) Luonnontieteellinen tiedekunta Maisterintutkinnon kypsyysnäyte Laitos: Matemaattisten tieteiden laitos Tekijä (Sukunimi ja etunimet) Isopahkala

Lisätiedot

Johdatus yliopistomatematiikkaan. JYM, Syksy2015 1/195

Johdatus yliopistomatematiikkaan. JYM, Syksy2015 1/195 Johdatus yliopistomatematiikkaan JYM, Syksy2015 1/195 Joukko ja alkio Määritelmä Joukko tarkoittaa kokoelmaa olioita, joita sanotaan joukon alkioiksi. Lisäksi vaaditaan, että jokaisesta oliosta on voitava

Lisätiedot

Cauchyn ja Sylowin lauseista

Cauchyn ja Sylowin lauseista Cauchyn ja Sylowin lauseista Pro gradu-tutkielma Jukka Kuru Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2014 Sisältö Johdanto 2 1 Peruskäsitteet 4 1.1 Funktion käsitteitä........................ 4

Lisätiedot

9 Matriisit. 9.1 Matriisien laskutoimituksia

9 Matriisit. 9.1 Matriisien laskutoimituksia 9 Matriisit Aiemmissa luvuissa matriiseja on käsitelty siinä määrin kuin on ollut tarpeellista yhtälönratkaisun kannalta. Matriiseja käytetään kuitenkin myös muihin tarkoituksiin, ja siksi on hyödyllistä

Lisätiedot

800333A Algebra I Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä

800333A Algebra I Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä 800333A Algebra I Luentorunko Kevät 2010 Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä Sisältö 1 Lukuteorian alkeita 3 1.1 Kongruenssiin liittyviä perustuloksia.............. 7 2 Ekvivalenssirelaatio

Lisätiedot

Johdanto 2. 2 Osamääräkunnan muodostaminen 7. 3 Osamääräkunnan isomorfismit 16. Lähdeluettelo 20

Johdanto 2. 2 Osamääräkunnan muodostaminen 7. 3 Osamääräkunnan isomorfismit 16. Lähdeluettelo 20 Osamääräkunta LuK-tutkielma Lauri Aalto Opiskelijanumero: 2379263 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Kevät 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Käsitteitä ja merkintöjä 3 2 Osamääräkunnan muodostaminen

Lisätiedot

6 Relaatiot. 6.1 Relaation määritelmä

6 Relaatiot. 6.1 Relaation määritelmä 6 Relaatiot 6. Relaation määritelmä Määritelmä 6... Oletetaan, että X ja Y ovat joukkoja. Jos R µ X Y, sanotaan, että R on joukkojen X ja Y välinen relaatio. Jos R µ X X, sanotaan, että R on joukon X relaatio.

Lisätiedot

Johdatus matematiikkaan

Johdatus matematiikkaan Johdatus matematiikkaan Luento 7 Mikko Salo 11.9.2017 Sisältö 1. Funktioista 2. Joukkojen mahtavuus Funktioista Lukiomatematiikassa on käsitelty reaalimuuttujan funktioita (polynomi / trigonometriset /

Lisätiedot

Abstraktin algebran rakenteista sekä näiden välisistä morfismeista

Abstraktin algebran rakenteista sekä näiden välisistä morfismeista Abstraktin algebran rakenteista sekä näiden välisistä morfismeista Pro gradu -tutkielma Kari Kostama Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Kevät 2014 Sisältö Johdanto 2 1 Kahden alkion laskutoimitus

Lisätiedot

3. Kongruenssit. 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi

3. Kongruenssit. 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi 3. Kongruenssit 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi Tässä kappaleessa esitellään kokonaislukujen modulaarinen aritmetiikka (ns. kellotauluaritmetiikka), jossa luvut tyypillisesti korvataan niillä jakojäännöksillä,

Lisätiedot

Ensi viikon luennot salissa X. Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/66

Ensi viikon luennot salissa X. Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/66 Ensi viikon luennot salissa X Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/66 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/66 Redusoitu porrasmuoto 1 1 2 4 1 1 4 6 2 2 5 9 1 1 0 2 0 0 1 1 0 0 0 0 Eli aste r(a) = 2 ja vaakariviavaruuden

Lisätiedot

Joukko-oppi. Joukko-oppi. Joukko-oppi. Joukko-oppi: Mitä opimme? Joukko-opin peruskäsitteet

Joukko-oppi. Joukko-oppi. Joukko-oppi. Joukko-oppi: Mitä opimme? Joukko-opin peruskäsitteet TKK () Ilkka Mellin (2004) 1 Joukko-oppi Liite: Joukko-oppi TKK () Ilkka Mellin (2004) 2 Joukko-oppi: Mitä opimme? Tämän liitteen tavoitteena on esitellä joukko-opin peruskäsitteet ja - operaatiot laajuudessa,

Lisätiedot

Vastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa.

Vastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa. Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Vastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa. Vastaus 2. Vertaillaan

Lisätiedot

1 Joukkojen mahtavuuksista

1 Joukkojen mahtavuuksista 1 Joukkojen mahtavuuksista Joukon alkiomäärän eli kardinaliteetin käsite voi tuntua itsestään selvältä asialta. Näinhän aika pitkälle onkin, mikäli pitäydytään naiivissa äärettömyyden tulkinnassa; joukko

Lisätiedot

Lukujoukot luonnollisista luvuista reaalilukuihin

Lukujoukot luonnollisista luvuista reaalilukuihin Lukujoukot luonnollisista luvuista reaalilukuihin Pro gradu -tutkielma Esa Pulkka 517378 Itä-Suomen Yliopisto Fysiikan ja matematiikan laitos 26. maaliskuuta 2012 Sisältö 1 Johdanto 1 2 Luonnolliset luvut

Lisätiedot

Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }?

Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Vastaus

Lisätiedot

Algebra I, harjoitus 5,

Algebra I, harjoitus 5, Algebra I, harjoitus 5, 7.-8.10.2014. 1. 2 Osoita väitteet oikeiksi tai vääriksi. a) (R, ) on ryhmä, kun asetetaan a b = 2(a + b) aina, kun a, b R. (Tässä + on reaalilukujen tavallinen yhteenlasku.) b)

Lisätiedot

1. Tarkastellaan esimerkissä 4.9 esiintynyttä neliön symmetriaryhmää

1. Tarkastellaan esimerkissä 4.9 esiintynyttä neliön symmetriaryhmää Ryhmäteoreettinen näkökulma Rubikin kuutioon Matematiikan ja tilastotieteen laitos Syksy 2010 Harjoitus 2 Ratkaisuehdotus 1. Tarkastellaan esimerkissä 4.9 esiintynyttä neliön symmetriaryhmää D 8 = { id,

Lisätiedot

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9 Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9 Tuntitehtävät 9-10 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 13-14 loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 11-12 tarkastetaan loppuviikon

Lisätiedot