Algebra kl Tapani Kuusalo

Transkriptio

1 Algebra kl Tapani Kuusalo

2

3 Sisältö Luku 1. Luonnolliset luvut 1 Luku 2. Laskutoimitukset 4 1. Laskutoimitusten yleiset ominaisuudet 4 2. Neutraali- ja käänteisalkiot 6 3. Indusoidut laskutoimitukset, laskutoimitusten tulolaskutoimitus 8 4. Ekvivalenssirelaatiot ja tekijälaskutoimitukset 9 Luku 3. Kokonaisluvut ja rationaaliluvut Kokonaislukujen rengas Rationaalilukujen kunta 14 Luku 4. Ryhmäteoriaa Ryhmät Aliryhmät Sivuluokat Normaalit aliryhmät Permutaatioryhmät 31 Luku 5. Renkaat Renkaat Renkaiden ja ideaalien luokittelua 41 Luku 6. Jäännösluokkarenkaat Z n Jaollisuus Jäännösluokkarenkaat Z n 48 Luku 7. Polynomirenkaat 50 Luku 8. Reaaliluvut 55 Luku 9. Kompleksiluvut 62 iii

4 LUKU 1 Luonnolliset luvut Oletamme positiiviset kokonaisluvut eli luonnolliset luvut N = {0, 1, 2, 3,... } peruslaskutoimituksineen tunnetuksi. Siten tiedämme, että luonnollisten lukujen yhteenja kertolasku toteuttavat seuraavat ehdot: vastaavasti a + (b + c) = (a + b) + c a + b = b + a a(bc) = (ab)c ab = ba kaikilla a, b, c N, tämän lisäksi myös a(b + c) = ab + ac (assosiatiivisuus) (assosiatiivisuus) (kommutatiivisuus) (kommutatiivisuus), (distributiivisuus) pätee kaikilla a, b, c N. Edelleen luvut 0 ja 1 toteuttavat kaikilla a N 0 + a = a, 1a = a, 0a = 0, minkä lisäksi tietyt supistussäännöt pätevät luonnollisten lukujen laskutoimituksille: Kaikilla a, b, c N a + b = a + c joss b = c, ja jos a 0, niin myös ab = ac joss b = c. Huomaamme distributiivisuuden nojalla, että kaikilla a N ja yleisemmin myös kaikilla n N. a + a = 1a + 1a = (1 + 1)a = 2a, n kpl n kpl {}}{{}}{ a + + a = ( )a = na Järjestys. Luonnolliset luvut ovat myös vertautuvia keskenään: Kun a, b N, niin aina a b tai b a (jolloin a = b jos sekä a b että b a ovat voimassa). Tällöin a b, joss on d N siten, että b = a + d, 1

5 1. LUONNOLLISET LUVUT 2 jolloin supistussäännön nojalla yksikäsitteinen luku d N on lukujen b ja a erotus, d := b a. Merkitsemme a < b, kun a b ja a b, eli kun lukujen b ja a erotus on nollasta poikkeava, d = b a 0. Koska kaikilla a N a = 0 + a, niin 0 N on pienin luonnollinen luku, 0 a, kaikilla a N, edelleen 1 N on toiseksi pienin luonnollinen luku, 1 a kaikilla 0 a N. Siten jokaisella 0 a N on joukossa N yksikäsitteisesti määrätty edeltäjä a = a 1 N niin, että a = a + 1. Olkoon nyt 0 < a N eli 1 a ja a = a 1 < a luvun a edeltäjä. Jos x < a eli a = x + d jollakin 0 d N, niin 1 d eli d = d + 1 jollakin d N, ja saamme a + 1 = a = x + (d + 1) = (x + d ) + 1, mistä edelleen a = x + d. Jos siis 0 < a N ja x < a jollakin x N, niin x a = a 1, eli luonnollisen luvun 0 < a N ja sen edeltäjän 0 a N välissä ei ole muita luonnollisia lukuja. Jos siis 0 < a N, niin kaikilla x N pätee joko x a tai a x. Induktio. Seuraaviin kahteen keskenään yhtäpitävään induktioperiaatteeseen perustuva ns. täydellinen induktio on matematiikassa usein käytetty todistusmenetelmä: Induktioperiaate I. Olkoon S N. Jos 0 S ja jokaisella n S myös n + 1 S, niin S = N. Induktioperiaate II. Jokaisessa epätyhjässä osajoukossa T N on pienin luku m T siten, että m x kaikilla x T. Näytämme aluksi, että periaate I implikoi periaatteen II : Jos joukossa T N ei ole pienintä lukua, niin ensinnäkään 0 / T. Määrittelemme nyt joukon S N asettamalla S = {n N: N x n x / T } N \ T, jolloin 0 S. Olkoon nyt n S mielivaltainen. Jos nyt m = n + 1 olisi joukon T alkio, niin n = m = m 1 on luvun m edeltäjä, ja siten edellisen nojalla kaikilla x < m pätee x n. Koska n S, niin siten x / T kaikilla x < m, joten m T olisi vastoin oletusta joukon T pienin luku. Koska siis kaikilla n S myöskään luku m = n + 1 ei voi kuulua joukkoon T, ja koska lukujen n ja n + 1 välissä ei ole muita luonnollisia lukuja, näemme siis, että kaikilla n S myös n + 1 S, ja siten induktioperiaatteen I nojalla S = N eli joukon T N \ S täytyy olla tyhjä.

6 Periaate II implikoi vuorostaan periaatteen I : 1. LUONNOLLISET LUVUT 3 Kun joukko 0 S N on annettu, niin merkitään T := N\S. Jos T olisi epätyhjä, niin periaatteen II nojalla olisi pienin luku m T. Koska 0 S, niin 0 < m ja luvulla m on siten edeltäjä n = m = m 1 < m, jolloin siis n S = N \ T. Mutta oletuksemme nojalla myös m = n + 1 S = N \ T, eikä luku m siis voisikaan kuulua joukkoon T. Siis oltava T = ja siten S = N. Lukumäärät. Luonnolliset luvut kuvaavat äärellisiä lukumääriä. Kun n N, niin merkitsemme n = {x N: x < n}, jolloin siis 0 =, joukossa 1 on yksi alkio, 1 = {0}, jne.. Sanomme, että joukko X on äärellinen, jos X = tai jos jollakin n N on bijektio f : n X. Huom. Kun m, n N ja m < n, niin surjektio g : m n, injektio h : n m. Siten joukon X ollessa äärellinen bijektio f : n X on olemassa täsmälleen yhdellä arvolla n = #(X) N. Luonnollinen luku n = #(X) on tällöin joukon X alkioiden lukumäärä. Joukko X on numeroituva, jos X = tai jos on olemassa surjektio g : N X. Siten N kuten myös kaikki äärelliset joukot ovat numeroituvia, ja luonnollisten lukujen joukko N on numeroituvasti ääretön. Jos surjektiota g : N X epätyhjälle joukolle X ei ole olemassa, niin sanomme joukon X olevan tällöin ylinumeroituvasti ääretön eli ylinumeroituva.

7 LUKU 2 Laskutoimitukset 1. Laskutoimitusten yleiset ominaisuudet Kuvaus ϕ : A B B määrää epätyhjän joukon A toiminnan joukossa B, ts. jokainen alkio a A määrää joukon B kuvauksen (2.1) ϕ a : B B, kun kaikilla x B asetetaan (2.2) ϕ a (x) := ϕ(a, x) B. Kun B = A, niin toiminta ϕ : A A A on joukon A laskutoimitus. Joukossa A määritelty laskutoimitus ϕ : A A A merkitään usein eräänlaisina tuloina asettamalla kaikilla a, b A (2.3) a b := ϕ(a, b) A, usein myös ilman mitään erillistä kertomerkkiä kirjoittamalla yksinkertaisesti (2.4) ab := ϕ(a, b) A kaikilla a, b A. Esimerkkejä 2.1. a) Luonnollisten lukujen yhteenlasku + : N N N ja kertolasku : N N N, jolloin siis a + b N ja ab = a b N kaikilla a, b N. b) Yhdiste ja leikkaus annetun joukon X potenssijoukossa P(X) = {A: A X}: A B, A B P(X) kaikilla A, B P(X). c) Saamme luonnollisten lukujen joukossa N edelleen laskutoimitukset : N N N ja : N N N asettamalla kaikilla m, n N m n = max(m, n) N, m n = min(m, n) N. d) Annetun epätyhjän joukon X kaikki itsekuvaukset f : X X muodostavat joukon F(X), jossa kuvausten yhdistäminen määrittelee laskutoimituksen : F(X) F(X) F(X), (f, g) f g. 4

8 1. LASKUTOIMITUSTEN YLEISET OMINAISUUDET 5 Määritelmä 2.2. Joukon A laskutoimitus on i) assosiatiivinen (liitännäinen), jos kaikilla a, b, c A, a (b c) = (a b) c ii) kommutatiivinen (vaihdannainen), jos kaikilla a, b A. a b = b a Esimerkkejä 2.3. a) Tunnetusti luonnollisten lukujen summa ja tulo ovat molemmat assosiatiivisia ja kommutatiivisia laskutoimituksia. b) Samoin ja joukon X potenssijoukossa P(X). (Harj.) c) Myös edellä esimerkissä 2.1 c määritellyt luonnollisten lukujen N laskutoimitukset ja ovat sekä assosiatiivisia että kommutatiivisia. (Harj.) d) Tehtävässä 2.1 d määritelty kuvausjoukon F(X) laskutoimitus on kylläkin aina assosiatiivinen, mutta jos joukossa X on vähintään kolme eri alkiota, niin joukon F(X) laskutoimitus ei ole kommutatiivinen: Jos a, b, c X ovat kolme eri alkiota, voimme määritellä kuvaukset f, g : X X asettamalla f(a) = b, f(b) = a ja f(x) = x, kun x X \ {a, b}, vastaavasti g(a) = c, g(c) = a sekä g(x) = x kaikilla x X \ {a, c}. Tällöin f g(a) = c, mutta g f(a) = b, joten f g g f, eikä joukon F(X) laskutoimitus todellakaan ole kommutoiva. e) Joukon X ollessa ääretön, esimerkiksi kun X = N, voidaan rakentaa toisenlainenkin esimerkki keskenään kommutoimattomista kuvauksista: Määritellään kuvaukset f, g F(N) asettamalla f(n) = n + 1 kaikilla n N sekä asettamalla edelleen g(0) = 0 ja g(n) = n 1 kun 0 < n N. Tällöin selvästikin g f(n) = n kaikilla n N, mutta koska f g(0) = 1, niin myös tässäkin tapauksessa f g g f. Huomautus 2.4. a) Kun laskutoimitus : A A A on assosiatiivinen, niin pitkistäkin tuloista voi jättää sulut pois: Koska kaikilla a, b, c A tällöin a (b c) = (a b) c A, voidaan kolmen alkion tulo merkitä yksinkertaisesti a b c := a (b c) = (a b) c A. Jatkamalla näin saadaan neljän alkion a, b, c, d A tulolle a (b c d) = a (b c) d = (a b c) d = (a b) (c d). Vastaavalla tavalla nähdään, että laskutoimituksen ollessa assosiatiivinen ei useammankaan alkion tulo riipu laskutoimitusten suorittamisjärjestyksestä, ja voimme siten voimme merkitä pitkätkin tulot ilman sulkumerkkejä, kaikilla a 1, a 2,..., a n A. Π n k=1a k = a 1 a 2 a n A

9 2. NEUTRAALI- JA KÄÄNTEISALKIOT 6 b) Joukon A laskutoimitus : A A A merkitään usein tulona asettamalla ab := a b A kaikilla a, b A. Kun laskutoimitus on kommutatiivinen, niin se voidaan merkitään myös summana asettamalla mutta tällöin siis aina kaikilla a, b A. a + b := a b A, a + b = b + a A Joukossa A voi olla samanaikaisesti määriteltyinä useampiakin laskutoimituksia, kuten esimerkiksi luonnollisten lukujen N yhteen- ja kertolasku. Määritelmä 2.5. Joukon A laskutoimitus on distributiivinen laskutoimituksen suhteen, jos kaikilla a, b, c A. a (b c) = (a b) (a c) (a b) c = (a c) (b c) Esimerkkejä 2.6. a) Luonnollisten lukujen N kertolasku on distributiivinen yhteenlaskun suhteen (ks. Luku 1). Sen sijaan on helppo nähdä, ettei N:n yhteenlasku ole distributiivinen kertolaskun suhteen. b) Potenssijoukon P(X) laskutoimitukset ja ovat kumpikin toistensa suhteen distributiivisia. (Harj.) 2. Neutraali- ja käänteisalkiot Määritelmä 2.7. Alkio e A on joukon A laskutoimituksen (kaksipuolinen) neutraalialkio, jos kaikilla a A. e a = a e = a Lause 2.8. Jos laskutoimituksella on joukossa A sekä vasen neutraalialkio e A että oikea neutraalialkio e A siten, että e a = a, a e = a kaikilla a A, niin e = e, erityisesti laskutoimituksen neutraalialkio e A on yksikäsitteisesti määrätty, mikäli olemassa. Todistus. Saamme suoraan oikean ja vasemman neutraalialkion määrittelyjen nojalla e = e e = e.

10 2. NEUTRAALI- JA KÄÄNTEISALKIOT 7 Esimerkkejä 2.9. a) 0 N on luonnollisten lukujen yhteenlaskun ja 1 N vastaavasti kertolaskun neutraalialkio. b) Identtinen kuvaus id X F(X), id X (x) = x kaikilla x X, on neutraalialkio joukon X kuvausjoukossa F(X), kun laskutoimituksena on kuvausten yhdistäminen. Huomautus Kun joukon A laskutoimitus on merkitty tuloksi, niin sen neutraaliaalkiota e A kutsutaan usein ykkösalkioksi ja toisinaan tällöin myös merkitään e = 1 tai e = 1 A. Additiivisesti merkityn (ja siten kommutatiivisen) laskutoimituksen +: A A A neutraalialkiota taas kutsutaan aina nolla-alkioksi, jolloin sitä vastaavasti merkitään 0 = 0 A A. Määritelmä Kun e A on jouko A laskutoimituksen neutraalialkio, niin alkio a A on alkion a A vasen käänteisalkio, jos a a = e, ja vastaavasti alkio a A on alkion a A oikea käänteisalkio, jos a a = e. Alkio ã A on edelleen alkion a A (molemminpuolinen) käänteisalkio, jos ã a = a ã = e. Huomautus Alkion a A molemminpuolista käänteisalkiota merkitään a 1 A, jolloin siis a 1 a = a a 1 = e. Jos laskutoimitus on merkitty additiivisesti, niin käänteisalkion sijasta puhutaan alkion a A vasta-alkiosta a A, joten tällöin ( a) + a = a + ( a) = 0. Esimerkkejä a) Neutraalialkio on aina oma käänteisalkionsa (tai vastaalkionsa). Osoittautuu, että luonnollisten lukujen joukossa N itse asiassa vain ykkösalkiolla 1 N on käänteisalkio kertolaskun suhteen ja vastaavasti vain nolla-alkiolla 0 N on vasta-alkio yhteenlaskun suhteen. b) Koska esimerkin 2.3e funktioille f, g F(X) pätee g f = id X, niin g on alkion f F(X) vasen käänteisalkio ja vastaavasti f on alkion g F(X) oikea käänteisalkio. Lause Jos e A on assosiatiivisen laskutoimituksen neutraalialkio ja alkiolla a A on sekä vasen käänteisalkio a A että oikea käänteisalkio a A, a a = aa = e, niin a = a, erityisesti alkion a A käänteisalkio on yksikäsitteisesti määrätty, mikäli olemassa. Todistus. Laskutoimituksen ollessa assosiatiivinen saamme a = a e = a (aa ) = (a a)a = ea = a.

11 3. INDUSOIDUT LASKUTOIMITUKSET, LASKUTOIMITUSTEN TULOLASKUTOIMITUS 8 Esimerkki Kuten edellä esimerkeissä 2.3e ja 2.13b asetamme f(n) = n + 1 kaikilla n N, minkä lisäksi määrittelemme kaikilla k N funktion g k F(N) asettamalla { k, kun n = 0, g k (n) = n 1, kun 0 < n. Mutta nyt g k f = id N kaikilla k N. Koska alkiolla f F(N) on näin useita vasempia käänteisalkiota g k F(N), sillä ei edellisen lauseen nojalla voi olla käänteisalkiota joukossa F(N). Vastaavasti alkion g k F(N) mahdollisen käänteisalkion h k F(N) taas täytyisi yhtyä g k :n oikeaan käänteisalkioon f, jolloin g k olisi puolestaan alkion f = h käänteisalkio, mikä todettiin edellä mahdottomaksi. Siis myöskään millään alkioista g k F(N), k N, ei voi olla käänteisalkiota joukossa F(N). 3. Indusoidut laskutoimitukset, laskutoimitusten tulolaskutoimitus Kun : A A A on joukon A laskutoimitus, niin osajoukko B A on vakaa laskutoimituksen suhteen, jos x y B kaikilla x, y B. Koska tällöin voidaan asettaa x, y B kaikilla B (x, y) = (x, y) B, niin : A A A siis indusoi laskutoimituksen rajoittuman B : B B B vakaaseen epätyhjään osajoukkoon B A. Yleensä myös indusoitua eli rajoittumalaskutoimitusta B merkitään lyhyesti = B : B B B. Huomautus a) Jos joukon A laskutoimius on assosiatiivinen (vast. kommutatiivinen), niin myös sen vakaaseen osajoukkoon B A indusoima laskutoimitus B on assosiatiivinen (vast. kommutatiivinen), b) Jos e on joukon A laskutoimituksen neutraalialkio ja e B, niin e on myös indusoidun laskutoimituksen B neutraalialkio. Kun joukoissa A ja B on määritelty laskutoimitukset A : A A A ja B : B B B, niin voimme määritellä tulojoukossa A B laskutoimitusten A ja B tulolaskutoimituksen A B : (A B) (A B) A B asettamalla kaikilla (x, y), (x, y ) A B. Esimerkkejä (x, y) A B (x, y ) := (x A x, y B y ) A B a) Voimme määritellä lukuparien summan asettamalla kaikilla (m, n), (m, n ) N N. (m, n) + (m, n ) := (m + m, n + n ) N N b) Vastaavalla tavalla voidaan määritellä myös useammankin kuin kahden laskutoimituksen tulolaskutoimitus. Niinpä n-ulotteisen vektoriavaruuden R n vektorien yhteenlasku x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2,..., x n + y n ) R n kaikilla x = (x 1, x 2,..., x n ), y = (y 1, y 2,..., y n ) R n, on itse asiassa lukusuoran R yhteenlaskun +: R R R n-kertainen tulolaskutoimitus.

12 4. EKVIVALENSSIRELAATIOT JA TEKIJÄLASKUTOIMITUKSET 9 4. Ekvivalenssirelaatiot ja tekijälaskutoimitukset Relaatiot. Epätyhjän joukon A relaatio on tulojoukon A A osajoukko R A A. Merkitsemme tällöin lyhyesti arb, kun (a, b) R. Jos taas joukon A alkiopareille (a, b) A A on määritelty ehto R, niin tämä puolestaan määrittää samalla symbolilla R merkittävän relaation R A A, kun asetetaan R = {(x, y) A A: R(x, y)}. Esimerkkejä a) Sisältyminen määrää joukon X potenssijoukossa P(X) relaation = {(A, B) P(X): A B} P(X) P(X), jota myös merkitsemme samalla symbolilla. b) Epäyhtälö määrää luonnollisten lukujen joukossa N relaation P = {(m, n) N m n} = {(m, n) N d N: n = m + d} N N, jota merkitsemme kuitenkin kirjaimella P. c) Joukon A alkioiden yhtäsuuruutta vastaa relaationa joukon A lävistäjä: A := {(x, y) A A: x = y} A A. Määritelmä Joukon A relaatio R on i) refleksiivinen, jos ara kaikilla a A, ii) symmetrinen, jos kaikilla a, b A, arb bra iii)transitiivinen, jos kaikilla a, b, c A, ( arb ja brc ) arc iv) antisymmetrinen, jos kaikilla a, b A. ( arb ja bra ) a = b Relaatio R on Joukon A ekvivalenssirelaatio, jos se on refleksiivinen, symmetrinen ja transitiivinen. Vastaavasti relaatio R on joukon A (osittainen) järjestys, jos se on refleksiivinen, transitiivinen ja antisymmetrinen. Esimerkki Relaatio on järjestysrelaatio luonnollisten lukujen joukossa määräten N:ssä itse asiassa ns. lineaarisen järjestyksen: Kaikilla m, n N aina m n tai n m. Myös on kaikilla joukoilla X potenssijoukon P(X) järjestysrelaatio, mutta sen määräämä järjestys ei yleensä ole lineaarinen: Jos joukko X sisältää vähintään kaksi pistettä, niin on helppo löytää osajoukot A, B P(X) siten, että A B eikä B A.

13 4. EKVIVALENSSIRELAATIOT JA TEKIJÄLASKUTOIMITUKSET 10 Ekvivalenssiluokat ja tekijäjoukot. Joukon A ekvivalenssirelaatio R A A ilmaistaan usein symbolin avulla, toisin sanoen merkitään a b, kun (a, b) R, vastaavasti a b, kun (a, b) / R. Kun a on joukon A mielivltainen alkio, niin on alkion a A ekvivalenssiluokka. [a] = {x A : a x} A Lause Kun on joukon A ekvivalenssirelaatio, niin i) a [a] kaikilla a A, ii) Kaikilla a, b A [a] = [b], kun a b, [a] [b] =, kun a b. Todistus. i) Koska ekvivalenssirelaation refleksiivisyyden nojalla aina a a, niin a [a] kaikilla a A. ii) Jos a b ja x [b], niin b x ja siten ekvivalenssirelaation transitiivisuuden nojalla myös a x eli x [a]. Siis [b] [a] kun a b. Mutta ekvivalenssirelaation symmetrisyyden nojalla tällöin myös b a, mistä kääntäen [a] [b], ja siis [a] = [b] aina, kun a b. Jos taas c [a] [b], niin a c ja c b, mistä edelleen a b. Koska ehdot [a] [b], [a] = [b] ja a b ovat näinollen yhtäpitäviä, niin täytyy vastaavasti myös ehtojen [a] [b] = ja a b olla yhtäpitävät. Kaikki joukon A ekvivalenssiluokat muodostavat joukon A tekijäjoukon A/ ekvivalenssirelaation suhteen, A/ = {[a] P(A): a A} P(A). Lause Joukon A tekijäjoukko A/ ekvivalenssirelaation suhteen määrää joukon A osituksen, ts. A = a A [a] on joukon A esitys erillisten joukkojen yhdisteenä. Todistus. Koska edellisen lauseen nojalla a [a] kaikilla a A, niin a A [a] = A, ja samalla nähtiin, että [a] [b] =, kun [a] [b]. Homomorfismit ja tekijälaskutoimitukset. Merkitsemme (A, ) laskutoimituksella varustettua joukkoa A. Kun (A, ) on toinen laskutoimituksella varustettu joukko, on luonnollista tutkia laskutoimituksen säilyttäviä kuvauksia h: A A eli homomorfismeja.

14 4. EKVIVALENSSIRELAATIOT JA TEKIJÄLASKUTOIMITUKSET 11 Määritelmä Kuvaus h: (A, ) (A, ) on homomorfismi, jos kaikilla a, b A. h(a b) = h(a) h(b) A Kuvauksen h: A A ollessa bijektio homomorfismia h: (A, ) (A, ) kutsutaan isomorfismiksi, vastaavasti epimorfismiksi, kun kuvaus h on surjektio sekä monomorfismiksi, kun kuvaus h on injektio. Määritelmä Joukon A laskutoimitus on yhteensopiva joukon A ekvivalenssirelaation kanssa, jos kaikilla a, a, b, b A siitä, että a a ja b b aina seuraa, että myös a b a b. Kun joukon A laskutoimitus on yhteensopiva ekvivalenssirelaation kanssa, voimme määritellä tekijäjoukossa A/ yksikäsitteisellä tavalla laskutoimituksen tekijälaskutoimituksen / eli lyhyesti vain = / asettamalla kaikilla α, β A/ α β = [a b] A/ kun a α, b β. Tämä on mahdollista, sillä jos myös a α, b β, niin a a ja b b, joiten laskutoimituksen yhteensopivuuden nojalla myös a b a b eli [a b] = [a b ], eikä ekvivalenssiluokka α β := [a b] = [a b ] siis riipu ekvivalenssiluokkien α ja β edustajien valinnasta. On ilmeistä, että laskutoimituksen ollessa assosiatiivinen tai kommutatiivinen joukossa A sen tekijälaskutoimitus on vastaavasti assosiatiivinen tai kommutatiivinen tekijäjoukossa A/. Kun on joukon A ekvivalenssirelaation, niin saamme luonnollisella tavalla surjektion eli joukon A tekijäkuvauksen π : A A/ ekvivalenssiluokkien joukolle A/ asettamalla kaikilla x A. π(x) = [x] A/ Lause Jos laskutoimitus on yhteensopiva joukon A ekvivalenssirelaation kanssa, niin tekijäkuvaus π : (A, ) (A/, ) on epimorfismi. Todistus. Kuvaus π : A A/ on selvästikin surjektio, ja koska kaikilla a, b A π(a b) = [a b] = [a] [b] = π(a) π(b) A/, niin π on homomorfismina myös epimorfismi.

15 LUKU 3 Kokonaisluvut ja rationaaliluvut Laskutoimituksen suorittamisen sijasta saatamme olla kiinnostuneita ratkaisemaan yhden tai useamman tuntemattoman suureen, kun tiedämme laskutoimituksen lopputuloksen. Esimerkiksi luonnollisten lukujen yhteen- ja kertolaskun supistussäännöistä seuraa, että annetuilla a, b, c, d N yhtälöiden (i) (ii) a + x = b, cy = d mahdolliset ratkaisut x, y N ovat yksikäsitteisesti määrättyjä, joskin yhtälön (ii) tapauksessa on tällöin lisäksi oletettava, että c 0. Toisaalta on ilmeistä, ettei kaikilla a, b, c, d N yhtälöillä (i) (ii) ole lainkaan ratkaisuja x, y N. Niinpä esim. yhtälön (i) ratkeavuus N:ssä on luonnollisten lukujen järjestyksen määrittelyn nojalla yhtäpitävää sen kanssa, että a on korkeintaan yhtä suuri kuin b, ts. että a b. Yhtälön (ii) ratkeavuuden selvittäminen osoittautuu vielä hieman konstikkaammaksi, mutta pystymme välttämään nämä ongelmat laajentamalla luonnollisten lukujen joukon N aluksi kokonaislukujen renkaaksi Z ja tämän edelleen rationaalilukujen kunnaksi Q. 1. Kokonaislukujen rengas Määrittelemme lukuparien yhteenlaskun luonnollisten lukujen summan tulolaskutoimituksena asettamalla (m, n) + (p, q) = (m + p, n + q) N N kaikilla (m, n), (p, q) N N, minkä lisäksi määrittelemme lukupareille myös tulon asettamalla kaikilla (m, n), (p, q) N N edelleeen (m, n) (p, q) = (mp + nq, mq + np) N N. Lause 3.1. Joukon N N summa + ja tulo ovat assosiatiivisia ja kommutatiivisia laskutoimituksia parin (0, 0) N N ollessa summan sekä parin (1, 0) N N tulon neutraalialkio, minkä lisäksi tulo on distributiivinen summan suhteen. Todistus. Molemmat laskutoimitukset ovat selvästi kommutatiivisia summan assosiatiivisuuden seuratessa suoraan tehtävästä 2.6. Saamme suoraan määritelmien nojallla (0, 0) + (p, q) = (p, q), (1, 0) (p, q) = (p, q) kaikilla (p, q) N N, ja myös tulon assosiatiivisuus samoin kuin sen distributiivisuus yhteenlaskun suhteen ovat helposti laskemalla todennettavissa. 12

16 1. KOKONAISLUKUJEN RENGAS 13 Määrittelemme joukossa N N edelleen relaation asettamalla kaikilla lukupareilla (m, n), (m, n ) N N (m, n) (m, n ) kun m + n = m + n. On helppo todeta, että näin saatu relaatio on joukon N N ekvivalenssirelaatio (teht. 2.7) ja että lukuparien yhteenlasku on yhteensopiva ekvivalenssirelaation kanssa: Jos näet (m, n) (m, n ) ja (p, q) (p, q ) eli m + n = m + n ja p + q = p + q, niin laskemalla yhtälöt puolittain yhteen saamme (m + p) + (n + q ) = (m + p ) + (n + q), eli myöskin (m+p, n+q) (m +p, n +q ). Vastaavasti näemme, että myös lukuparien tulo on yhteensopiva ekvivalenssirelaation kanssa (teht. 3.3). Voimme siten määritellä tekijäjoukossa N N/ yhteen- ja kertolaskun joukon N N laskutomitusten + ja tekijälaskutoimituksina asettamalla kaikilla [(m, n)], [(p, q)] N N/ [(m, n)] + [(p, q)] = [(m, n) + (p, q)] = [(m + p, n + q)], [(m, n)][(p, q)] = [(m, n) (p, q)] = [(mp + nq, mq + np)]. Koska tulojoukon laskutoimitukset ovat assosiatiivisia ja kommutatiivisia tulon ollessa lisäksi distributiivinen yhteenlaskun suhteen, niin myös saaduilla tekijälaskutoimituksilla on vastaavat ominaisuudet (vrt. teht. 2.8). Siten tekijäjoukon eli kokonaislukujen joukon Z = N N/ laskutoimituksille pätee Lause 3.2. Kokonaislukujen Z yhteen- ja kertolasku ovat assosiatiivisia ja kommutatiivisia laskutoimituksia neutraalialkioinaan 0 = [(0, 0)] Z ja 1 = [(1, 0)] Z, edelleen tulo on distributiivinen yhteenlaskun suhteen, minkä lisäksi jokaisella alkiolla a Z on yksikäsitteisesti määrätty vasta-alkio a Z s.e. a + ( a) = 0. Todistus. Enää ei tarvitse todistaa kuin alkion a = [(m, n)] Z vasta-alkion olemassaolo yksikäsitteisyyden seuratessa tällöin lauseesta Koska (p, q) (0, 0) joss p + 0 = 0 + q eli joss p = q, näemme, että [(m, n)] + [(n, m)] = [(m + n, m + n)] = 0, joten alkion a := [(n, m)] Z täytyy olla alkion a = [(m, n)] vasta-alkio. Seuraus 3.3. Yhtälöllä a + x = b on kaikilla kokonaisluvuilla a, b Z yksikäsitteisesti määrätty ratkaisu x = ( a) + b Z. Merkitsemme kaikilla a, b Z lyhyesti lukujen b ja a erotusta b a := b + ( a) = ( a) + b Z.

17 2. RATIONAALILUKUJEN KUNTA 14 Yhteen- ja kertolaskulla varustettua joukkoa A, jonka laskutoimituksilla on samat lauseen 3.2 mukaiset ominaisuudet kuin kokonaislukujen laskutoimituksilla, kutsutaan renkaaksi. Niinpä myös Z on kokonaislukujen (kommutatiivinen) rengas. Osoittautuu, ettei muotoa cy = d olevalla yhtälöllä, missä c, d Z ja c 0, yleensä ole ratkaisua x myöskään kokonaislukujen joukossa Z. Sen sijaan tulon supistussääntö pätee myös kokonaisluvuille: Lause 3.4. Kaikilla a, b Z tulo ab = 0 vain, jos a = 0 tai b = 0. Todistus. Koska b + 0 = b kaikilla a Z, saamme kaikille a Z distributiivisuuden nojalla ab + a0 = a(b + 0) = ab, joten a0 = 0a = 0 kaikilla a Z. Jos taas oletamme, että ab = 0 joillakin a = [(m, n)], b = [(p, q)] Z ja 0 a, niin m n. Koska tällöin myös 0 a = [(n, m)] Z ja ( a)b = ab = 0, voimme olettaa, että n < m ja siis m = n + d jollakin 0 < d N. Mutta koska oletimme, että ab = [(mp + nq, mq + np)] = 0, täytyy olla mp+nq = mq+np. Sijoittamalla m = n+d saamme yhtälön (n+d)p+nq = (n + d)q + np, mistä edelleen dp = dq. Mutta koska d 0, niin luonnollisten lukujen supistusssäännön nojalla p = q eli b = [(p, p)] = 0. Tulo ab ei siis voi hävitä, ellei ainakin toinen tekijöistä a, b Z häviä. Jos siis 0 c Z ja ac = bc joillakin a, b Z, niin (a b)c = ac bc = 0, ja koska c 0, niin siis a b = 0 eli a = b. Kokonaislukujen kertolaskulle pätee siis aivan sama supistussääntö kuin luonnollisillakin luvuilla. Tehtävän 3.5 nojalla kuvaus i: N Z, i(n) = [(n, 0)] Z, on luonnollisten lukujen joukon N bijektio positiivisten kokonaislukujen joukolle Z +, joten samaistamme seuraavassa aina luonnollisen luvun n N ja sitä vastaavan positiivisen kokonaisluvun [(n, 0)] Z Rationaalilukujen kunta Vaikka luonnollisten lukujen joukko N = {0, 1, 2, 3,... } edellä laajennettiin kokonaislukujen renkaaksi Z, niin osoittautui, ettei jakolasku silti ollut rajoituksitta mahdollinen kokonaislukujen renkaassa. Jakolaskun mahdollistamiseksi laajennamme rengasta Z edelleen hieman samankaltaisella menettelyllä: Merkitään Z := Z \ {0}.

18 2. RATIONAALILUKUJEN KUNTA 15 Koska lauseen 3.4 nojalla kaikilla b, d Z myös tulo bd Z, niin voimme määritellä tulojoukossa Z Z yhteenlaskun + asettamalla kaikilla (a, b), (c, d) Z Z (a, b) + (c, d) := (ad + cb, bd) Z Z, sekä kertolaskun asettamalla vastaasti (a, b) (c, d) = (ac, bd) Z Z. Näin saadut joukon Z Z laskutoimitukset ovat kommutatiivisia ja assossiatiivisia, minkä todentamisen jätämme harjoitustehtäväksi. Lisäksi (0, 1) Z Z on summan + nolla-alkio, sillä (a, b) + (0, 1) = (a, b) kaikilla (a, b) Z Z, ja koska (a, b) (1, 1) = (a, b), niin (1, 1) Z Z on tulon ykkösalkio. On kuitenkin syytä huomata, ettei joukon Z Z kertolasku ole distributiivinen yhteenlaskun suhteen. Määritellään edelleen relaatio joukossa Z Z asettamalla (a, b) (a, b ) kun ab = a b kaikilla (a, b), (a, b ) Z Z. Näemme välittömästi, että joukon Z Z relaatio on refleksiivinen ja symmetrinen. Jos taas (a, b) (a, b ) ja (a, b ) (a, b ) pareille (a, b), (a, b ), (a, b ) Z Z, niin ab = a b ja a b = a b. Koska luvut b, b, b Z ovat nollasta eroavia, niin lauseen 3.4 nojalla joko a = a = a = 0 tai myös kaikki kolme lukua a, a, a Z ovat nollasta eroavia. Edellisessä tapauksessa ab = 0 = a b ja siis (a, b) (a, b ). Jälkimmäisessä tapauksessa saamme kertomalla yhtälöt ab = a b ja a b = a b puolittain ab a b = a ba b. Mutta koska a 0 ja b 0, niin supistussäännön nojalla ab = a b ja siten tässäkin tapauksessa (a, b) (a, b ). Relaatio on siten myös transitiivinen ja siis ekvivalenssirelaatio. Osoittautuu, että joukon Z Z molemmat laskutoimitukset ovat yhteensopivia ekvivalenssirelaation kanssa. Tulolle tämä nähdään välittömästi, sillä jos (a, b) (a, b ) ja (c, d) (c, d ) eli ab = a b ja cd = c d, niin kertomalla yhtälöt puolittain saadaan (ac)(b d ) = (a c )(bd), ja siis (ac, bd) (a c, b d ). Summan + yhteensopivuuden toteamisen jätämme harjoitustehtäväksi. Saamme siis tekijäjoukkoon eli rationaalilukujen joukkoon Q := Z Z / assosiatiiviset ja kommutatiiviset laskutoimitukset + ja tekijälaskutoimituksina asettamalla [(a, b)] + [(c, d)] = [(ad + cb, bd)] Z Z / [(a, b)][(c, d)] = [(ac, bd)] Z Z / kaikilla [(a, b)], [(c, d)] Z Z /, jolloin summan + nolla-alkiona on 0 = [(0, 1)] Z Z /,

19 ja vastaavasti tulon ykkösalkiona 1 = [(1, 1)] Z Z /. 2. RATIONAALILUKUJEN KUNTA 16 Lause 3.5. Rationaalilukujen kunnan Q := Z Z / yhteen- ja kertolasku ovat assosiatiivisia ja kommutatiivisia laskutoimituksia alkion 0 = [(0, 1)] Z Z ollessa yhteenlaskun nolla-alkio ja alkion 1 = [(1, 1)] Z Z kertolaskun ykkösalkio, minkä lisäksi Q:n kertolasku on distributiivinen yhteenlaskun suhteen. Edelleen jokaisella x Q on vastaluku x Q, x + ( x) = 0, ja kaikilla nollasta poikkeavilla alkioilla 0 y Q on käänteisalkio y 1 Q, yy 1 = 1. Todistus. Kertolaskun distributiivisuus jää harjoitustehtäväksi, joten selvitämme tässä vain vasta- ja käänteisalkioiden olemassaolon. Kun [(u, v)] Q, niin näemme välittömasti. että [(u, v)] = 0 = [(0, 1)] joss (u, v) (0, 1) eli joss u = 0, vastaavasti [(u, v)] = 1 = [(1, 1)] joss (u, v) (1, 1) eli joss u = v. Siten kaikilla x = [(a, b)] Q saamme alkiolle x := [( a, b)] Q x + ( x) = [(a, b)] + [( a, b)] = [(0, bb)] = 0, joten x := [( a, b)] Q on alkion x = [(a, b)] Q vasta-alkio. Jos taas 0 y = [(c, d)] Q, niin c 0 ja siis myös y 1 = [(d, c)] Q ja yy 1 = [(c, d)][(d, c)] = [(cd, cd)] = 1, joten y 1 on alkion y 0 käänteisalkio. Seuraus 3.6. Kun 0 c Q, niin yhtälöllä cy = d on kaikilla d Q yksikäsitteisesti määrätty ratkaisu y = c 1 d Q. Huomautus 3.7. Yleisemminkin lauseen 3.5 ehdot toteuttavilla kahdella laskutoimituksella + ja varustettu joukko K on kunta, kunhan 0 1.

20 2. RATIONAALILUKUJEN KUNTA 17 Merkinnöistä. Parin (a, b) Z Z määräämä ekvivalenssiluokka eli rationaaliluku x = [(a, b)] Q on tapana merkitä murtolukuna x = a b Q, jolloin siis kaikilla a, a Z, b, b Z a b = a Q b kun ab = a b. Jos rationaaliluku x = a/b 0 eli jos a 0, saamme edellisen nojalla luvun x Q käänteisluvuksi x 1 = 1 x = b a Q. Tehtävässä 3.5 samaistimme kuvauksen i: N Z avulla luonnolliset luvut N positiivisten kokonaislukujen muodostaman osajoukon Z + Z kanssa. Määrittelemme nyt vastaavanlaisen samaistuskuvauksen j : Z Q kokonaislukujen joukolta Z rationaalilukujen kuntaan Q asettamalla kaikilla a Z j(a) = a 1 = [(a, 1)] Q. Lause 3.8. Kuvaus j : Z Q, j(a) = [(a, 1)], on kokonaislukujen renkaan Z monomorfismi rationaalilukujen kuntaan Q. Todistus. Saamme rationaalilukujen yhteen- ja kertolaskun määritelmien nojalla kaikille a, b Z j(a + b) = [(a + b, 1)] = [(a, 1)] + [(b, 1)] = j(a) + j(b), j(ab) = [(ab, 1)] = [(a, 1)][(b, 1)] = j(a)j(b), joten kuvaus j : Z Q säilyttää molemmat laskutoimitukset ja on siten homomorfismi, edelleen j kuvaa Z:n ykkösalkion rationaalilukujen kunnan Q ykkösalkioksi, j(1) = [(1, 1)] = 1 Q. Koska j(a) = j(b) joss (a, 1) (b, 1) eli joss a = b, niin j on injektiivisenä homomorfismina monomorfismi. Samaistuksen Z = j(z) Q jälkeen voimme ajatella rationaalilukujen kunnan Q muodostuvan kaikista kokonaislukuosamääristä, { a } Q = b Q : a, b Z, b 0.

21 LUKU 4 Ryhmäteoriaa 1. Ryhmät Määritelmä 4.1. Assosiatiivisella laskutoimituksella varustettu joukko G on ryhmä, jos on olemassa neutraalialkio e G siten, että (R1) a e = e a = a kaikilla a G, ja jos kaikilla a G on käänteisalkio a 1 G siten, että (R2) a a 1 = a 1 a = e. Ryhmän G laskutoimitus merkitään usein tulona kirjoittamalla lyhyesti ab := a b G kaikilla a, b G. Jos ryhmän A laskutoimitus on kommutatiivinen, a b = b a A kaikilla a, b A, niin A on kommutatiivinen ryhmä eli Abelin ryhmä. Abelin ryhmän A laskutoimitus merkitään usein summana, a + b = b + a A kaikilla a, b A, jolloin neutraalialkiota 0 A, a + 0 = a kaikilla a A, kutsutaan ryhmän A nolla-alkioksi. Vastaavasti Abelin ryhmän A jokaisella alkiolla a A on käänteisalkion sijasta vasta-alkio a A, a + ( a) = 0. Esimerkkejä 4.2. a) (Z, +) ja (Q, +) ovat Abelin ryhmiä yhteenlasku laskutoimituksenaan. b) Kokonaislukujen joukko Z ei ole ryhmä kertolaskun suhteen, sen sijaan osajoukko {1, 1} Z on kahden alkion multiplikatiivinen ryhmä ({1, 1}, ). Toisaalta rationaalilukujen osajoukko Q = Q \ {0} on ryhmä (Q, ), rationaalilukujen multiplikatiivinen ryhmä. c) Esimerkissä 2.1 d todettiin, että kuvausten yhdistäminen määrää assosiatiivisen laskutoimituksen joukon X kaikkien itsekuvausten joukossa F(X). Koska 18

22 1. RYHMÄT 19 kaikilla kuvauksilla f : X X ei ole käänteiskuvausta, niin (F(X), ) ei laskutoimituksen assosiatiivisuudesta huolimatta kuitenkaan ole ryhmä. Mutta rajoittumalla bijektioiden muodostamaan osajoukkoon S(X) = {f F(X): f bijektio} F(X) saadaan ryhmä, joukon X symmetrinen ryhmä S(X) ykkösalkionaan joukon X identtinen kuvaus e = id X S(X). Joukon {1, 2, 3,..., n} symmetrinen ryhmä S(n) := S({1, 2, 3,..., n}) on n alkion permutaatioryhmä. d) Reaalikertoimiset n n-matriisit M n = M n (R) muodostavat matriisien yhteenlaskun suhteen Abelin ryhmän (M n, +) nolla-alkionaan nollamatriisi 0 n M n. Koska matriisilla A M n on käänteismatriisi A 1 M n joss det(a) 0, niin kääntyvät n n-matriisit muodostavat matriisitulo laskutoimituksenaan ryhmän GL n (R) = {A M n (R): det(a) 0}, avaruuden R n yleisen lineaarin ryhmän. Valitsemalla esim A = , B = , nähdään, että GL n = GL n (R) on epäkommutatiivinen multiplikatiivinen ryhmä kaikilla n 2. e) Ryhmä G on äärellinen, kun G:ssä on äärellisen monta alkiota eli kun ryhmän G kertaluku #(G) on äärellinen, 1 #(G) N. Äärellisen ryhmän G = {e, a, b,..., h} laskutoimtus voidaan esitää havainnollissti ryhmän kertotaulun avulla kirjoittamalla vaaka- ja pystyrivien risteyskohtaan vaaka- ja pystyrivit määräävien alkioiden tulo: e a b... h a aa ab... ah b ba bb... bh h ha hb... hh Niinpä yksi neljän alkion ryhmän G = {e, a, b, c} mahdollisista kertotauluista on esim. e a b c a e c b b c e a c b a e. Kertotaulu määrää aina annetun äärellisen joukon G laskutoimituksen. Koska ryhmälaskutoimituksen on assosiatiivisuuden lisäksi toteutettava myös ehdot (R1) ja (R2), niin on selvää, että kaikki mahdolliset laskutoimitukset eivät suinkaan tee

23 1. RYHMÄT 20 joukosta G ryhmää. Laskutoimituksen assosiatiivisuuden tarkistaminen osoittautuu yleensä työläimmäksi. Lause 4.3. Kun G on ryhmä, niin i) sen neutraalialkio e G on yksikäsitteisesti määrätty, ii) alkion a G käänteisalkio a 1 G on yksikäsitteisesti määrätty, iii) jos a a = e jollakin a G (vast. aa = e jollakin a G), niin a = a 1 (vast. a = a 1 ), iv) (a 1 ) 1 = a kaikilla a G, v) supistussäännöt pätevät kaikille a, b, c G, ab = ac b = c, ab = cb a = c, vi) (ab) 1 = b 1 a 1 kaikilla a, b G, vii) kaikilla a, b G yhtälöillä ax = b, ya = b on yksikäsitteisesti määrätyt ratkaisut x, y G. Todistus. Kohdat i iv seuraavat yleisiä assosiatiivisia laskutoimituksia koskevista lauseista 2.8 ja Jos taas ab = ac, niin kertomalla yhtälön molemmat puolet vasemmalta käänteisalkiolla a 1 G saadaan b = eb = a 1 (ab) = a 1 (ac) = ec = c, vastaavasti saadan kertomalla b 1 :llä oikealta a = c, kun ab = cb. Kohdassa vi varten saamme assosiatiivisuuden nojalla (b 1 a 1 )(ab) = b 1 (a 1 a)b = a 1 a = e, ja ratkaisuiksi x ja y saamme edelleen x = a 1 b, y = ba 1. Huomautus 4.4. a) Supistussääntö pätee assosiatiivisella tulolla varustetuissa joukoissa N ja Z, vaikkeivät N ja Z olekaan ryhmiä. b) Sen sijaan assosiatiivisella tulolla varustettu joukko G on ryhmä, jos yhtälöt vii ratkeavat kaikilla a, b G.

24 1. RYHMÄT 21 Merkintöjä. Multiplikatiivisen ryhmän G alkiolle a G määritellään kaikilla 1 n Z n. potenssi asettamalla a n = n kpl {}}{ aa... a G Kun e G on ryhmän G ykkösalkio, niin alkion a G q. potenssi a q G määritellään kaikille q Z asettamalla edelleen a q, q > 0, a q = e, q = 0, (a 1 ) q, q < 0, jolloin siis erityisesti a 0 = e kaikilla a G. Kun A on additiivinen Abelin ryhmä, niin alkion a A q. monikerrat qa A määritellään vastaavalla tavalla. Ryhmähomomorfismit Määritelmä 4.5. Ryhmän G kuvaus f : G G ryhmään G on (ryhmä)homomorfismi, jos f(ab) = f(a)f(b) G kaikilla a, b G. Homomorfismin määritelmä 2.23 laskutoimituksen säilyttävänä kuvauksena käy siis yhmille sellaisenaan. Kuvauksen f : G G ollessa injektio (vast. surjektio) kutsumme homomorfismi f edeleenkin monomorfismiksi (vast. epimorfismiksi). Jos f : G G on bijektio, niin f on isomorfismi, jolloin myös käänteiskuvaus f 1 : G G on isomorfismi. On kuitenkin syytä huomata, että kuten yleensäkin olemme määritelmässä 4.5 olettaneet laskutoimitusten olevan tuloja kummassakin ryhmässä G ja G. Muissa tapauksissa määritelmä pitää sovittaa kulloiseenkin tilanteeseen. Esimerkki 4.6. Tiedämme, että reaaliluvut R muodostavat additiivisen ryhmän (R, +) ja että vastaavasti kaikki aidosti positiiviset reaaliluvut R + = {x R : o < x} muodostavat multiplikatiivisen ryhmän (R +, ). Kuvaus exp : R R +, exp(x) = e x, ja sen käänteiskuvaus log : R + R ovat molemmat homomorfismeja, exp(x 1 + x 2 ) = exp(x 1 ) exp(x 2 ), log(y 1 y 2 ) = log(y 1 ) + log(y 2 ) kaikilla x 1, x 2 R, y 1, y 2 R +, ja siten toistensa käänteisisomorfismeja. Lause 4.7. Kun a G on ryhmän G alkio, niin kuvaus h a : Z G, h a (n) = a n G kaikilla n Z, on kokonaislukujen additiivisen ryhmän (Z, +) yksikäsitteisesti määrätty homomorfismi ryhmään G siten, että h a (1) = a. Todistus. Kaikilla m, n Z h a (m + n) = a m+n = a m a n = h a (m)h a (n),

25 1. RYHMÄT 22 joten h a on ryhmähomomorfismi. Jos taas h : Z G on hmomorfismi ja h(1) = a, niin n kpl n kpl {}}{{}}{ h(n) = h( ) = aa... a = a n kaikilla 0 < n Z, mistä h(n) = a n kaikile n Z. Ehto h a (1) = a siis määrää homomorfismin h a yksikäsitteisesti. Lause 4.8. Kun f : G G on ryhmähomomorfismi, niin lähtöryhmän G ykkösalkio e G kuvautuu maaliryhmän G ykkösalkioksi, f(e) = e G ja alkion a G käänteisalkion kuva on aina kuva-alkion käänteisalkio, f(a 1 ) = f(a) 1 G. Todistus. Koska f on homomorfismi, niin f(e)f(e) = f(ee) = f(e)e, joten supistussäännön 4.3v nojalla täytyy olla f(e) = e. Saamme kaikille a G f(a)f(a 1 ) = f(e) = e = f(a)f(a) 1, joten siis edelleen supistussäännön nojalla f(a 1 ) = f(a) 1. Alkion kertaluku. Määrittelimme edellä ryhmän G jokaiselle a G homomorfismin h a : Z G. Jos h a on monomorfismi, niin sen kuvajoukko h a (Z) = {a n : n Z} G on selvästi ääretön. Jos taas h a ei ole monomorfismi eli jos a k = a l joillakin k < l, niin koska a l = a l k a k täytyy tällöin siis olla a r = e jollakin 0 < r = l k N. Jos 1 d N on pienin positiivinen kokonaisluku siten, että a d = e, niin saamme homomorfismin h a kuvajoukoksi d alkion joukon h a (Z) = {e, a,..., a d 1 } G. Kuvajoukon h a (Z) alkioiden lukumäärää 1 o(a) := #(h a (Z)) + kutsutaan alkion a G kertaluvuksi. Kun alkion a G kertaluku on äärellinen, 1 o(a) = d N, niin supistussäännön nojalla myös mielivaltaisen alkion b G a-rata {b, ab,..., a d 1 b} G sisältää aina d alkiota. Jos {b, ab,..., a d 1 b} {c, ac,..., a d 1 c} eli a k b = a l c joillakin k, l N, niin c = a r b kun r = l k Z ja alkioiden b ja c a-ratojen täytyy tällöin yhtyä, {b, ab,..., a d 1 b} = {c, ac,..., a d 1 c}. Koska alkio x G aina sisältyy a-rataansa, x {x, ax,..., a d 1 x}, niin ryhmä G on siten yhdiste erillisistä d alkion joukoista, G = x G{x, ax,..., a d 1 x}, joten ryhmän G ollessa äärellinen #(G) = qd = q o(a) jollakin 1 q N, eli jokaisen alkion a G kertaluku o(a) jakaa aina äärellisen ryhmän G kertaluvun #(G).

26 2. ALIRYHMÄT 23 Tuloryhmät. Lause 4.9. Kaahden ryhmän G 1 ja G 2 tulojoukko G 1 G 2 on ryhmien G 1 ja G 2 laskutoimitusten tulolaskutoimtuksen suhteen ryhmä, ryhmien G 1 ja G 2 tuloryhmä. Todistus. Tehtävän 2.6 nojalla tiedämme, että myös tulojoukon G 1 G 2 laskutoimitus on ryhmien G 1 ja G 2 laskutoimitusten tulolaskutoimituksena assosiatiivinen. Jos e k G k, k = 1, 2, ovat ryhmien G 1 ja G 2 ykkösalkiot ja e := (e 1, e 2 ) G 1 G 2, niin kaikilla a = (a 1, a 2 ) G 1 G 2 ea = (e 1 a 1, e 2 a 2 ) = (a 1, a 2 ) = a, samoin myöskin ae = a, joten e on tulolaskutoimituksen yksikäsitteisesti määrätty ykkösalkio. Toisaalta saamme alkiolle a = (a 1 1, a 1 2 ) G 1 G 2 a a = (a 1 1 a 1, a 1 2 a 2 ) = (e 1, e 2 ) = e, samoin myös aa = e, joten a G 1 G 2 on mielivaltaisen alkion a käänteisalkio. Siten G 1 G 2 todella on ryhmä. Tekijäryhmät. Lause Jos ryhmän G laskutoimitus on yhteensopiva G:ssä määritellyn ekvivalenssirelaation kanssa, niin tekijäjoukko G/ on tekijälaskutoimituksella varustettuna ryhmä, ryhmän G tekijäryhmä. Todistus. Tiedämme, että kanssa yhteensopivan laskutoimituksen tekijälaskutoimituksena myös tekijäjoukon G/ laskutoimitus on assosiatiivinen. Kun merkitsemme ɛ = [e] G/, niin ɛα = [e][a] = [ea] = [a] = α kaikilla α = [a] G/, samoin αɛ = α, joten ɛ = [e] G/ on tekijälaskutoimituksen ykkösalkio, ja jos edelleen α = [a 1 ] G/, niin α α = [a 1 a] = [e] = ɛ, samoin αα = ɛ. Koska jokaisella alkiolla α G/ on siis aina käänteisalkio α 1 = α G/, niin myös tekijäjoukko G/ on ryhmä. Huomautus Lauseen 2.25 nojalla tekijäkuvaus π : G G/ on ryhmähomomorfismi. 2. Aliryhmät Kun H G on ryhmän G epätyhjä vakaa osajoukko, ts. kun ab H kaikilla a, b H, niin ryhmän G laskutoimituksen rajoittuma indusoi siinä assosiatiivisen laskutoimituksen H H H. Määritelmä Jos ryhmän G epätyhjä vakaa osajoukko H G on ryhmä indusoidun laskutoimituksen suhteen, niin H on G:n aliryhmä. Merkitsemme tällöin H G, edelleen H < G kun H G ja H G.

27 2. ALIRYHMÄT 24 Lause Epätyhjä osajoukko H G on aliryhmä, joss ab 1 H kaikilla a, b H. Todistus. Ehto on selvästikin välttämätön. Olettakaamme kääntäen, että H ja että ab 1 H kaikilla a, b H. Asettamalla tällöin b = a jollakin a H saamme e = aa 1 H. Asettamala nyt edelleen a = e H saamme b 1 = eb 1 H kaikilla a, b H ja siten myös ab = a(b 1 ) 1 H kaikilla a, b H, joten H G on aliryhmä. Esimerkkejä a) Ykkösalkion yksinään muodostama ryhmä {e} G sekä itse ryhmä G ovat ryhmän G triviaalit aliryhmät. b) On helppo todeta suoraan kertotaulun avulla, että tehtävän 5.6 kuuden alkion ryhmän G = {e, a, b, c, d, f} kaikki epätriviaalit aliryhmät ovat {e, c}, {e, d}, {e, f} ja {e, a, b}. c) Määräämme tässä kokonaislukujen additiivisen ryhmän (Z, +) kaikki aliryhmät. On selvää, että Zd = {kd : k Z} Z. on aliryhmä jokaisella d N, jolloin Zd on triviaali aliryhmä Zd = {0} kun d = 0. Olkoon nyt {0} H Z mielivaltainen aliryhmä. Olkoon N = N \ {0} = {1, 2,... }. Koska H aliryhmänä sisältää myös jokaisen alkionsa a H vasta-alkion, niin leikkaus H N on epätyhjä, kun H {0}. Jos asetamme 1 d = min(h N ), niin aliryhmänä H sisältää kaikki luvun 1 d H N monikerrat, eli Zd H. Koska toisaalta d 1, niin jokaisella a H on yksikäsitteisesti määrätyt q, r Z siten, että a = qd + r, missä 0 r < d. Mutta koska myös qd H, niin siis myös r = a qd H N. Koska r < d ja d oli leikkauksen H N pienin luku, niin r = 0 eli a = qd Zd. Siten saamme kaikki aliryhmät H Z muodossa H = Zd, d Z. Aliryhmä Zd Z on epätriviaali, joss 1 < d N. Lause Jos H α G ovat ryhmän G aliryhmiä kaikilla α I, niin myös niiden leikkaus H = α H α on ryhmän G aliryhmä. Todistus. Koska H α G, α I, ovat aliryhmiä, niin e H α kaikilla α I ja siten e H. Jos nyt a, b H, niin a, b H α kaikilla α I, joten lauseen 4.13 nojalla ab 1 H α kaikilla α I ja siten aina myös ab 1 H. Näinollen myös leikkaus H on aliryhmä, H G. Määritelmä Ryhmän G osajoukon B G virittämä aliryhmä B G on pienin joukon B sisältävä aliryhmä, B = {H G: B H} = H. B H G

28 2. ALIRYHMÄT 25 Sisältäen aina koko ryhmän G aliryhmäperhe H = {H G: B H} ei ole tyhjä, ja edellisen lauseen nojalla B = H G siis todellakin on pienin joukon B sisältävä aliryhmä. Lause Kun B G on ryhmän G epätyhjä osajoukko, niin sen virittämä aliryhmä B G koostuu kaikista tuloista a ε 1 1 a ε a ε k k G, 1 k N, missä a 1, a 2,..., a k B ja ε 1, ε 2,..., ε k {1, 1}. Todistus. On selvää, että joukon B virittämä aliryhmä B sisältää kaikki muotoa a ε 1 1 a ε a ε k k olevat tulot, missä a 1, a 2,..., a k B ja ε 1, ε 2,..., ε k {1, 1}. Kaikkien tällaisten tulojen joukko sisältää varmasti osajoukon B, sillä saamme kaikilla a B alkion a yhden alkion tulona a = a 1 1 kun a 1 = a. Toisaalta saamme ykkösalkion e G tulona e = a 1 1a 1 2 valitsemalla a 1 = a 2 = a jollakin a B, ja jos x = a ε 1 1 a ε a ε k k, y = b η 1 1 b η b η l l joillakin a i, b j B, ε i, η j {1, 1}, niin myös tulo xy 1 = a ε 1 1 a ε a ε k k b η l l... b η 2 2 b η 1 1 on täsmälleen samaa muotoa. Näinollen tulot a ε 1 1 a ε a ε k k G, missä a i B ja ε i {1, 1} kaikilla i = 1,..., k muodostavat lauseen 4.13 nojalla osajoukon B sisältävän aliryhmän, joten joukon B G virittämä aliryhmä todellakin koostuu juuri nöistä tuloista. Aliryhmien kuvautuminen homomorfismeissa. Lause Kun f : G G on ryhmähomomorfismi, niin jokaisen aliryhmän H G kuva f(h) on maaliryhmän G aliryhmä, vastaavasti jokaisen aliryhmän H G alkukuva f 1 (H ) on lähtöryhmän G aliryhmä. Todistus. Aliryhmä H G sisältää lähtöryhmän G ykkösalkion e G, joten lauseen 4.8 nojalla kuvajoukko sisältää maaliryhmän ykkösalkion, e = f(e) f(h) G. Jos u, v f(h), niin u = f(a), v = f(b) joillakin a, b H, jolloin myös ab H G ja kuvauksen f homomorfisuuden nojalla myös uv = f(a)f(b) = f(ab) f(h). Toisaalta e = f(e) = f(aa 1 ) = f(a)f(a 1 ), joten kaikilla u = f(a) f(h) myös u 1 = f(a 1 ) f(h), ja siten aliryhmän H G kuva f(h) G on aina aliryhmä. Jos taas H G on maaliryhmän G aliryhmä, niin e f 1 (e ) f 1 (H ), ja koska kaikilla a, b f 1 (H ) f(ab 1 ) = f(a)f(b 1 ) = f(a)f(b) 1 H, niin myös aliryhmän H G alkukuva f 1 (H ) on aliryhmä, f 1 (H ) G.

29 3. SIVULUOKAT 26 Kuva ja ydin. Tärkeimmät homomorfismiin f : G G liittyvät aliryhmät ovat homomorfismin kuva Im(f) = f(g) G ja homomorfismin ydin eli neutraalialkion e G alkukuva Ker(f) = f 1 (e ) G. Lause Homomorfismi f : G G on monomorfismi eli injektio, joss sen ydin Ker(f) sisältää vain lähtöryhmän G neutraalialkion, eli joss f 1 (e ) = {e}. Todistus. Koska f(e) = e, niin kuvauksen f : G G ollessa injektio Ker(f) = f 1 (e ) = {e}. Olettakaamme kääntäen, että f 1 (e ) = {e}. Jos nyt f(a) = f(b) joillakin a, b G, niin koska kuvauksen f ollessa homomorfismi saamme f(ab 1 ) = f(a)f(b) 1 = e, ja koska f 1 (e ) = {e}, niin ab 1 = e ja siis a = b. Siten homomorfismin f : G G täytyy olla injektio kun f 1 (e ) = {e}. Sykliset ryhmät. Ryhmä H on syklinen ryhmä, jos se on yhden alkion virittämä ryhmä, ts. jos on olemassa a H siten, että H = a = {a n H : n Z}. Koska a m+n = a m a n kaikilla m.n Z, niin saamme siis epimorfismin h a : Z H asettamalla h a (n) := a n H kaikilla n Z. Epimorfismin h a ydin on kokonaislukujen additiivisen ryhmän aliryhmä, ja siten esimerkin 4.14c nojalla Ker(h a ) = {n Z : a n = e} = Zd jollakin d N. Jos d = 0, eli jos Ker(h a ) = {0}, niin kuvaus h a : Z H on bijektio ja syklinen ryhmä H siten ääretön. Jos taas 0 < d N, niin jokainen n Z voidaan tällöin lausua muodossa n = qd + r, missä q, r Z ja 0 r < d, jolloin h a (n) = h a (qd)h a (r) = eh a (r) = h a (r) = a r, niin tällöin H = {e, a, a 2,..., a d 1 } on siis d :n alkion äärellinen syklinen ryhmä. Toisaalta annetun ryhmän G jokainen alkio a G määrää homomorfismin h a : Z G, h a (n) = a n (ks. s.22), joloin H = Im(h a ) = {a n G : n Z} on alkion a G virittämä syklinen aliryhmä H = a G, ja alkion a G kertaluku 1 o(a) + on siis sama kuin sen virittämän aliryhmän kertaluku, o(a) = #( a ). 3. Sivuluokat Kun H G on ryhmän G mielivaltainen aliryhmä, määrittelemme ryhmässä G vasemman relaation v ja oikean relaation o asettamalla kaikila x, y G x v y kun x 1 y H, x o y kun yx 1 H.

30 3. SIVULUOKAT 27 Lause Aliryhmän H G määräämät vasen ja oikea relaatio v ja o ovat molemmat ryhmän G ekvivalenssirelaatiota. Todistus. Kun H G on aliryhmä, niin ryhmän G jokaisella alkiolla x G pätee x 1 x = e H, joten aina x v x ja relaatio v on siten refleksiivinen. Jos nyt x, y G ja x y eli x 1 y H, niin myös alkion x 1 y käänteisalkio v y 1 x = y 1 (x 1 ) 1 = (x 1 y) 1 kuuluu aliryhmään H, ja koska siis aina pätee myös y x, on relaatio myös symmetrinen. v v Jos taas x v y ja y v z eli x 1 y, y 1 z H, niin myös niiden tulo (x 1 y)(y 1 z) = x 1 (yy 1 )z = x 1 z kuuluu aliryhmään H, joten x v z ja relaatio v on siis myös transitiivinen. on siten ekvivalenssirelaatio. Samalla tavalla nähdään, että myös v on ekvivalenssirelaatio o Huomautus On ilmeistä, että v ja o ovat yleensä kaksi eri relatiota ryhmän G ollessa epäkommutatiivinen. Kun H G on aliryhmä, niin ryhmän G tekijäjoukkoa G/ suhteen kutsutaan v ryhmän G vasemmaksi sivuluokkajoukoksi aliryhmän H suhteen ja alkion a G ekvivalenssiluokkaa [a] v alkion a vasemmaksi sivuluokaksi, [a] v = {x G : a 1 x H} G/ v, tekijäjoukon G/ o ollessa vastaavasti ryhmän G oikea sivuluokkajoukko aliryhmän H suhteen ja sen alkiot [a] o G/ o, a G, [a] o = {x G : xa 1 H} G/ o. ryhmän G oikeita sivuluokka aliryhmän H suhteen. Lause Alkion a G vasen sivuluokka aliryhmän H G suhteen on [a] v = ah := {au G : u H}, vastaavasti oikea sivuluokka aliryhmän H G suhteen [a] o = Ha := {ua G : u H}. Todistus. Määritelmän mukaan x [a] v joss a v x eli joss u := a 1 x H. Mutta tämä on yhtäpitävää sen kanssa, että x = au jollakin u H, joten [a] v = ah := {au G : u H} G kaikilla a G. Samalla tavoin nähdään, että [a] o = Ha := {ua G : u H}. Huomautus On syytä huomata, että ykkösalkion sivuluokka aliryhmän H suhteen on aina itse aliryhmä, ts. eh = H ja He = H kaikilla aliryhmillä H G.

31 4. NORMAALIT ALIRYHMÄT 28 Vaikka seuraavassa rajoitummekin vasempiin sivuluokkiin, niin kaikki tarkastelut pätevät sopivin muutoksin myös oikeille sivuluokille. Koska (vasemmat) sivuluokat ah G ovat relaation v muodostavat lauseen 2.22 nojalla ryhmän G osituksen: G = a G ah ekvivalenssiluokkia, ne on ryhmän G esitys sivuluokkien ah, a G, erillisenä yhdisteenä, ts. ah bh =, ellei ah = bh. Koska kuvaus H ah, u au, on supistussäännön nojalla lisäksi bijektio, niin kaikissa sivuluokissa ah on yhtä monta alkiota kuin aliryhmässä H eli #(ah) = #(H) kaikilla a G. Jos ryhmä G on äärellinen eli #(G) < +, niin täytyy siis olla #(G) = q #(H) jollakin 1 q N. Saamme näin tärkeän Lause ( Lagrange) Äärellisen ryhmän kertaluku #(G) on jaollinen jokasen aliryhmän H G kertaluvulla #(H). Seuraus Kun G on äärellinen ryhmä, niin alkion a G kertaluku o(a) jakaa aina ryhmän G kertaluvun #(G), erityisesti kaikilla a G. a #(G) = e Todistus. Näimme, että alkion a G virittämän syklisen aliryhmän a G kertaluku on sama kuin alkion kertaluku, #( a ) = o(a), siis a #( a ) = e. Mutta lauseen nojalla ryhmän G kertaluku #(G) on jaollinen aliryhmän a kertaluvulla ja siten myös a #(G) = e. 4. Normaalit aliryhmät Määritelmä Ryhmän G aliryhmä H G on normaali aliryhmä, jos ryhmän G alkioiden vasemmat ja oikeat sivuluokat aina yhtyvät, kaikilla a G. ah = Ha Siten ryhmän G triviaalit aliryhmät E := {e} ja G ovat aina normaaleja. Lause Aliryhmä H G on normaali, joss kaikilla x H myös axa 1 H kaikilla a G.