luento6.ppt S-38.45 - Lkenneteoran perusteet - Kevät Ssältö Peruskästtetä Posson-prosess Markov-prosesst Syntymä-kuolema-prosesst
Stokastset prosesst () Tarkastellaan otakn (lkenneteoran kannalta ta stten muuten) knnostavaa ärestelmää kuvaavaa suuretta Tyypllsest se kehttyy aan myötä satunnasest Esm.. varattuen kanaven lkm puhelnverkon lnkssä hetkellä t ta n:nnen asakkaan saapuessa Esm.. paketten lkm tlastollsen kanavontlatteen puskurssa hetkellä t ta n:nnen asakkaan saapuessa Stokastnen prosess kuvaa tällasta aan myötä satunnasest tapahtuvaa kehtystä Mllä tahansa yksttäsellä hetkellä t (ta n) ärestelmää kuvaa yksttänen satunnasmuuttua Nän ollen stokastnen prosess vodaan määrtellä kokoelmaks satunnasmuuttua 3 Stokastset prosesst () Määr. Reaalarvonen stokastnen prosess X (X t t I) (stochastc process) on kokoelma satunnasmuuttua X t, otka saavat arvoa ossakn reaallukuen osaoukossa S, X t (ω) S, a ota ndekso reaalarvonen (akaa kuvaava) parametr t I. Stokastsa prosessea kutsutaan oskus myös satunnasprosesseks (random process) ta lyhyest prosesseks Indeksoukkoa I Rsanotaan prosessn parametravaruudeks (parameter space) Arvooukkoa S Rtaas sanotaan prosessn tla-avaruudeks (state space) Huom. Monast merknnällä X t tarkotetaan koko prosessa (ekä pelkästään yksttästä, ohonkn tettyyn aanhetkeen t lttyvää satunnasmuuttuaa) 4
Stokastset prosesst (3) Jokanen yksttänen satunnasmuuttua X t on kuvaus otosavaruudelta Ω reaallukuen oukkoon R: X : Ω R, ω X ( ω) t Stokastsen prosessn X vodaan nän ollen aatella olevan kuvauksen otosavaruudelta Ω reaalarvosten funktoden oukkoon R I (argumenttnaan parametr t I): I X : Ω R, ω X ( ω) Jokaseen alkestapaukseen ω Ω lttyy reaalarvonen funkto X(ω). Funktota X(ω) kutsutaan prosessn reaalsatoks (realzaton) [el poluks (path) el traektorks (traectory)]. t 5 Yhteenveto Annetulla alkestapauksella ω Ω X(ω) (X t (ω) t I) on reaalarvonen funkto (argumenttnaan t I) Annetulla aanhetkellä t I, X t (X t (ω) ω Ω) on satunnasmuuttua (kun ω Ω) Annetulla alkestapauksella ω Ω a aanhetkellä t I, X t (ω) on reaalluku 6
Esmerkk Tarkastellaan lkenneprosessa X (X t t [,T]) kahden puhelnkeskuksen välsellä lnkllä ollakn akavälllä [,T] X t kertoo varattuen kanaven lkm:n hetkellä t Alkestapaus ω Ω lmasee mkä on varattuen kanaven lkm X hetkellä, mtkä ovat näden X :n puhelun älelläolevat ptoaat, mllä aanhetkllä saapuu uusa kutsua, a mtkä ovat näden uusen kutsuen ptoaat. Näden tetoen perusteella on mahdollsta konstruoda lkenneprosessn X reaalsaato X(ω) Alkestapaus ω ss ssältää kaken prosessn kulkuun vakuttavan satunnasuuden Annetulla alkestapauksella ω prosessn reaalsaato X(ω) on van determnstnen reaalarvonen funkto 7 Lkenneprosess kanavat 6 5 4 3 kanavakohtanen mehtystla kutsun ptoaka kanaven lkm 6 5 4 3 kutsuen saapumshetket estynyt kutsu varattuen kanaven lkm aka aka 8
Prosessen luokttelusta Palautetaan meln: Parametravaruus ndeksoukko I (t I) Tla-avaruus arvooukko S (X t (ω) S) Luokttelua: Parametravaruuden tyyppn perustuva: Dskreettakaset prosesst: parametravaruus dskreett Jatkuva-akaset processes: parametravaruus atkuva Tla-avaruuden tyyppn perustuva: Dskreetttlaset prosesst: tla-avaruus dskreett Jatkuvatlaset prosesst: tla-avaruus atkuva Tällä kursslla kesktymme dskreetttlasn prosessehn (otka ss vovat olla dskreett- ta atkuva-akasa) Tyypllnen prosess kuvaa asakkaden lkm:ää ossakn onosysteemssä (ollon tla-avaruudeks tulee S {,,,...}) 9 Esmerkkeä Dskreettakasa a dskreetttlasa prosessea Esm.. varattuen kanaven lkm puhelnverkon lnkssä n:nnen kutsun saapuessa, n,,... Esm.. paketten lkm tlastollsen kanavontlatteen puskurssa n:nnen paketn saapuessa, n,,... Jatkuva-akasa a dskreetttlasa prosessea Esm. 3. varattuen kanaven lkm puhelnverkon lnkssä hetkellä t > Esm. 4. paketten lkm tlastollsen kanavontlatteen puskurssa hetkellä t >
Merkntöä Dskreettakaselle prosesslle parametravaruus on tyypllsest kakken postvsten kokonaslukuen oukko, I {,, } ndeks t korvataan tällön (usen) ndeksllä n: X n, X n (ω) Jatkuva-akaselle prosesslle parametravaruus on tyypllsest oko okn äärellnen väl, I [, T], ta stten kakken e-negatvsten reaallukuen oukko, I [, ) ndeks t krotetaan tällön (usen) prosessa kuvaavan symboln älkeen sulkuhn (ekä alandeksks): X(t), X (t;ω) Jakauma Stokastsen prosessn akauman (dstrbuton) määräävät sen äärellsulotteset akaumat (fnte-dmensonal dstrbutons) P{ X x,, X t t x n n mssä t,, t n I, x,, x n S a n,,... Yleensä näden äärellsulottestenkaan akaumen määräämnen e ole helppoa satunnasmuuttuen X t välsten rppuvuuksen vuoks }
Rppuvuus Kakken yksnkertasn (mutta e kovnkaan knnostava) esmerkk stokastsesta prosesssta saadaan ottamalla oukko täydellsest rppumattoma satunnasmuuttua X t. Tällön P{ Xt x,..., Xt xn} P{ Xt x} P{ X n tn n Yksnkertasn e-trvaal esmerkk on Markov-prosess. Tällön P{ X x,..., X x } P t tn n { Xt x} P{ X } { t x X t x P X t xn Xt x n n n Tämä lttyy ns. Markov-omnasuuteen: Jos Markov-prosessn nykytla tunnetaan, prosessn tulevasuus e mtenkään rpu prosessn aemmasta mennesyydestä (el stä, mten nykytlaan on tultu). x } 3 } Statonaarsuus Määr. Stokastnen prosess X on statonaarnen (statonary), os kakk äärellsulotteset akaumat ovat aan srron suhteen nvaranttea, ts. P { Xt,, } {,, + x Xt xn P Xt x X t x n + n n kaklla, n, t,, t n a x,, x n Seuraus: Valnnalla n nähdään, että statonaarsen prosessn kakk yksttäset satunnasmuuttuat X t ovat samon akautuneta, ts. P{ X t x} F( x) kaklla t I. Ko. akaumaa sanotaan prosessn statonaarseks akaumaks (statonary dstrbuton). } 4
Stokastset prosesst lkenneteorassa Tällä kursslla (a lkenneteorassa ylesemmnkn) stokastslla prosesslla kuvataan saapumsprosessa (arrval process), so. asakkaden saapumsta ohonkn ärestelmään tlaprosessa (state process), so. ko. ärestelmän tlaa Huom. Jälkmmäsestä käytetään myös nmtystä lkenneprosess (traffc process) 5 Saapumsprosess Saapumsprosess vodaan kuvata oko psteprosessna (τ n n,,...), mssä τ n kertoo n:nnen asakkaan saapumshetken (dskreettakanen, atkuvatlanen) kasvava: τ n+ τ n kaklla n nän ollen epästatonaarnen! yleensä oletetaan, että saapumsten välset välaat τ n - τ n- ovat rppumattoma a samon akautuneta (IID) uusutumsprosess tällön rttää määrtellä välakoen akauma eksponentaalsest akautuneet välaat Posson-prosess talaskurprosessna (A(t) t ), mssä A(t) kertoo hetkeen t mennessä saapuneden asakkaden lkm:n (atkuva-akanen, dskreetttlanen) kasvava: A(t+ ) A(t) kaklla t, nän ollen epästatonaarnen! rppumattomat lsäykset, mssä A(t+ ) A(t) noudattaa Posson( )- akaumaa Posson-prosess 6
Tlaprosess Yksnkertasessa tapauksessa systeemn tlaa kuvaa pelkkä kokonasluku esm. asakkaden lkm X(t) hetkellä t Monmutkasemmassa tapauksessa systeemn tlana on kokonaslukuarvonen vektor esm. esto- a onoverkkomallt Tyypllsest ollaan knnostuneta, onko tlaprosesslla statonaarsta akaumaa a os on, mkä se on Huom. Vakka systeemn tla e noudattaskaan alkuhetkellä statonaarsta akaumaa, monessa tapauksessa tlaakauma lähestyy stä, kun t 7 Ssältö Peruskästtetä Posson-prosess Markov-prosesst Syntymä-kuolema-prosesst 8
Bernoull-prosess Määr. Bernoull-prosess (X n n,,...) onnstumstodennäkösyytenään p on sara rppumattoma Bernoull-tostokoketa (ossa kakssa onnstumstodennäkösyys on vako p) Kyseessä on selvästkn dskreettakanen a dskreetttlanen prosess Parametravaruus: I {,, } Tla-avaruus: S {,} Äärellsulotteset akaumat (huom. X n :t ovat IID): P{ X x,..., X n xn} P{ X x} P{ X n p x ( p) x p Bernoull-prosess on statonaarnen (stat. ak.: Bernoull(p)-akauma) x ( p) n x n x n } 9 Posson-prosess () Bernoull-prosessn atkuva-akanen vastne on Posson-prosess kyseessä on psteprosess (τ n n,,...), mssä τ n kertoo n:nnen tapahtuman (esm. asakkaan saapumnen) tapahtumahetken Bernoull-prosessn epäonnstumsta vastaa ss asakkaan saapumnen Määr.. Psteprosessa (τ n n,,...) sanotaan Possonprosessks ntensteettnään, os lyhyellä akavälllä (t, t+h] saapuu uus asakas tn:llä h + o(h) (musta akavälestä rppumatta) o(h) vttaa sellaseen funktoon, olle o(h)/h, kunh uusa asakkata saapuu vakontensteetllä : (h + o(h))/h tn, että vällle (t, t+h] e satu saapumsta on h + o(h) Nän määrteltynä Posson-prosess on dskreettakanen a atkuvatlanen parametravaruus: I {,, } tla-avaruus: S (, )
Posson-prosess () Tarkastellaan kahden saapumsen välakaa τ n τ n- (merk. τ ) Koska saapumsntensteett pysyy vakona, välaan päättymnen lyhyellä akavälllä (t, t+h], kun se on o kestänyt aan t, e rput:stä (ekä musta aemmsta saapumssta) Nän ollen saapumsten välaat ovat rppumattoma a lsäks nllä on ns. unohtavasuusomnasuus, mkä omnasuus atkuvsta akaumsta on van eksponenttakaumalla Määr.. Psteprosessa (τ n n,,...) sanotaan Possonprosessks ntensteettnään, os saapumsten välaat τ n τ n- ovat rppumattoma a samon akautuneta (IID) yhtesenä akaumanaan Exp() Posson-prosess (3) Tarkastellaan lopuks välllä [,t] saapuneden asakkaden lkm:ää A(t) Bernoull-prosessssa knteällä akavälllä sattuneden epäonnstumsten lkm noudattaa bnomakaumaa. Kun akavälä lyhennetään, saadaan raatapauksena Posson-akauma. Huom. A() Määr. 3. Laskurprosessa (A(t) t ) sanotaan Posson-prosessks ntensteettnään, os ko. prosessn lsäykset yhtespsteettömllä välellä ovat rppumattoma a noudattavat Posson-akaumaa seuraavast: A( t + ) A( t) Posson( ) Nän määrteltynä Posson-prosess on atkuva-akanen a dskreetttlanen parametravaruus: I [, ) tla-avaruus: S {,,, }
Posson-prosess (4) Yksulottenen akauma: A(t) Posson(t) E[A(t)] t, D [A(t)] t Äärellsulotteset akaumat (er välen rppumattomuuden noalla): P{ A( t) x,..., A( tn) xn} P{ A( t) x} P{ A( t) A( t) x P{ A( t ) A( t ) x x } n n n } Huom. Laskurprosessna määrtelty Posson-prosess e ole statonaarnen, mutta sllä on statonaarset lsäykset e ss statonaarsta akaumaakaan vaan samon akautuneet lsäykset n x 3 Kolme er tapaa luonnehta Posson-prosessa Vodaan osottaa, että kakk kolme Posson-prosessn määrtelmää ovat yhtäptävä A(t) τ 4 τ 3 τ τ τ 3 τ 4 e saapumsta tn:llä h+o(h) saapumnen tn:llä h+o(h) 4
Posson-prosessn omnasuuksa () Omnasuus (Summa): Olkoot A (t) a A (t) rppumattoma Possonprosessea ntensteeten a. Tällön nden summaprosess (el ns. superposto) A (t) + A (t) on Posson-prosess ntensteetllä +. Tod. Tarkastellaan lyhyttä akavälä (t, t+h]: tn, ette ko. vällle satu saapumsa kummassakaan prosessssa, on ( h + o( h))( h + o( h)) ( + ) h + o( h) tosaalta, täsmälleen yhden saapumsen tn on ( h + o( h))( h + o( h)) + ( h + o( h))( h + o( h)) ( + ) h + o( ) h + 5 Posson-prosessn omnasuuksa () Omnasuus (Satunnaspomnta): Olkoon τ n Posson-prosess ntensteettnään. Merk. σ n :llä osaprosessa, ohon on valttu psteet alkuperäsestä prosesssta τ n satunnasest a rppumattomast pommalla (tn:llä p). Tällön σ n on Posson-prosess ntensteetllä p. Tod. Tarkastellaan lyhyttä akavälä (t, t+h]: tn, ette ko. välllä ole saapumsa satunnaspomnnan älkeen, on ( h + o( h)) + ( p)( h + o( h)) ph + o( h) tosaalta, täsmälleen yhden saapumsen tn on p p ( h + o( h)) ph + o( h) 6
Posson-prosessn omnasuuksa (3) Omnasuus 3 (Satunnaslattelu): Olkoon τ n Posson-prosess ntensteettnään. Merk. σ n () :llä osaprosessa, ohon on valttu psteet alkuperäsestä prosesssta τ n satunnasest a rppumattomast pommalla (tn:llä p), a σ n () :llä älelle äävstä pstestä muodostettua osaprosessa. Tällön σ n () a σn () ovat rppumattoma Possonprosessea ntensteetellä p a ( p). Tod. Omnasuuden noalla rttäs osottaa, että prosesst ovat rppumattoma. Todstus kutenkn svuutetaan tällä kursslla. p (-p) 7 Posson-prosessn omnasuuksa (4) Omnasuus 4 (PASTA): Tarkastellaan (stabla) ärestelmää, ohon saapuu uusa asakkata Posson-prosessn mukasest. Merktään X(t):llä systeemn tlaa hetkellä t (atkuva-akanen prosess) a Y n :llä systeemn tlaa n:nnen asakkaan saapumshetkellä (dskreettakanen prosess). Nällä kahdella prosesslla on täsmälleen sama statonaarnen akauma. Vodaan ss sanoa, että saapuva asakas näkee systeemn tasapanotlassa PASTA Posson Arrvals See Tme Average Huom. PASTA-omnasuus on Posson-prosessn ertysomnasuus ekä se ss ole vomassa mulle saapumsprosesselle Tarkastellaan esm. systeemä, ossa on van yks on-off-tyyppnen asakas ( oma PC ). Postuttuaan systeemstä, sama asakas palaa snne satunnasen aan kuluttua. Tällanen asakas näkee systeemn ana tyhänä snne saapuessaan. Sen saan atkuvassa aassa tarkasteltuna ko. systeem on van aottan tyhänä. 8
Ssältö Peruskästtetä Posson-prosess Markov-prosesst Syntymä-kuolema-prosesst 9 Markov-prosess Tark. atkuva-akasta a dskreetttlasta stokaststa prosessa X(t) oko tla-avaruudella S {,,,N} ta S {,,...} Määr. Prosess X(t) on Markov-prosess, os P{ X ( tn+ ) xn+ X ( t) x,, X ( tn) xn} P X ( t ) x X ( t ) x } { n+ n+ n n kaklla n, t < <t n+ a x,, x n + Tätä ehtoa sanotaan Markov-omnasuudeks Jos Markov-prosessn nykytla tunnetaan, prosessn tulevasuus e mtenkään rpu prosessn aemmasta mennesyydestä (el stä, mten nykytlaan on tultu) Nykytla ss ssältää kaken atkon kannalta tarpeellsen nformaaton 3
Esmerkk Rppumattomen lsäysten prosess X(t) on ana Markov-prosess: X ( tn) X ( tn) + ( X ( tn) X ( tn)) Seuraus: Posson-prosess on Markov-prosess Määrtelmän 3 mukaan Posson-prosessn lsäykset ovat rppumattoma 3 Akahomogeensuus Määr. Markov-prosess X(t) on akahomogeennen, os P { X ( t + ) y X ( t) x} P{ X ( ) y X () x} kaklla t, a x, y S Tn:t P{X(t + )y X(t) x} evät ss rpu t:stä 3
Tlasrtymäntensteett Tarkastellaan akahomogeensta Markov-prosessa X(t) Tlasrtymäntensteett q (state transton rate), mssä, S, määrtellään seuraavast: q lm P{ X ( h) X () : h h Tlatn:t P{X(t)}, S, määräytyvät ykskästtesest srtymäntensteetestä q, kunhan ns. alkuakauma (ntal dstrbuton) el tn:t P{X() }, S, on annettu } Huom. Jatkossa raotamme tarkastelumme pelkästään akahomogeensn Markov-prosessehn 33 Eksponentaalsest akautuneet tlassaoloaat Oletetaan, että Markov-prosess on tlassa hetkellä t. Lyhyellä akavälllä (t, t+h] prosess srtyy uuteen tlaan tn:llä q h + o(h) (rppumatta stä, mtä tapahtu ennen hetkeä t) Merktään q :llä kokonasntensteettä srtyä pos tlasta, ts. q : Lyhyellä akavälllä (t, t+h] prosess srtyy pos tlasta tn:llä q h + o(h) (rppumatta stä, mtä tapahtu ennen hetkeä t) Kyseessä on selvästkn ns. unohtavasuusomnasuus Tlassa vetetty aka noudattaa ss eksponenttakaumaa ntensteettnään q q 34
Tlasrtymätodennäkösyydet Merktään T :llä oloakaa tlassa a T :llä sellasta (potentaalsta) oloakaa tlassa, oka päättyy srtymään tlaan : T Exp( q Exp( q Sm T vodaan aatella rppumattomen a eksponentaalsest akautuneden sm:en T mnmks (ks. luennon 5 kalvo 44): ), T ) T mnt Merk. p :llä tn:ttä, että toteutunut srtymä on tlasta tlaan. Ko. tlasrtymätodennäkösyydet (state transton probabltes) saadaan kaavalla q p P{ T T} q 35 Tlasrtymäkaavo Akahomogeennen Markov-prosess estetään usen ns. tlasrtymäkaavon (state transton dagram) avulla. Kyseessä on suunnattu verkko, onka solmut vastaavat prosessn tloa a ykssuuntaset lnkt vastaavat mahdollsa tlasrtymä lnkk tlasta tlaan q > Esm. Kolmtlanen Markov-prosess (S {,,}): Q + + + + q q q q 36
Pelkstymättömyys Määr. Tlasta pääsee tlaan ( ), os tlasrtymäkaavosta löytyy suunnattu polku :stä :hn Jos nän on, nn lähdettäessä tlasta tlassa käydään (oskus tulevasuudessa) postvsella tn:llä Määr. Tlat a kommunkovat ( ), os a Määr. Markov-prosess on pelkstymätön (rreducble), os kakk tlat kommunkovat keskenään Esmerkks edellsellä kalvolla estetty Markov-prosess on pelkstymätön 37 Tasapanoakauma a globaalt tasapanoyhtälöt Tark. pelkstymätöntä Markov-prosessa X(t) srtymäntensteeten q Määr. Olkoon (, S) tla-avaruudessa S määrtelty akauma, ts. se toteuttaa ns. normeerausehdon S (N) Jakauma on prosessn X(t) tasapanoakauma (equlbrum dstrbuton), os seuraavat globaalt tasapanoehdot (global balance equatons) ovat vomassa kaklla S: q q (GBE) On mahdollsta, ette prosesslla ole tasapanoakaumaa. Kutenkn, os esm. tla-avaruus on äärellnen, tasapanoakauma on ana olemassa. Valtsemalla tasapanoakauma alkuakaumaks (ts. P{X() } ), ko. Markov-prosesssta tulee statonaarnen (statonaarsena akaumanaan ) 38
Esmerkk Q + + (N) + ( + ) +, 3+, 3+ 3+ (GBE) 39 Lokaalt tasapanoyhtälöt a kääntyvyys Tarkastellaan edelleen pelkstymätöntä Markov-prosessa X(t) srtymäntensteeten q Väte. Olkoon (, S) tla-avaruudessa S määrtelty akauma, ts. S (N) Jos seuraavat lokaalt tasapanoehdot (local balance equatons) ovat vomassa kaklla, S: q q nn on prosessn tasapanoakauma. Tod. (GBE):t seuravat (LBE):stä summaamalla Tässä tapauksessa ko. Markov-prosessa sanotaan kääntyväks (reversble) (LBE) 4
Ssältö Peruskästtetä Posson-prosess Markov-prosesst Syntymä-kuolema-prosesst 4 Syntymä-kuolema-prosess Tark. atkuva-akasta a dskreetttlasta Markov-prosessa X(t) oko tla-avaruudella S {,,,N} ta S {,,...} Määr. Markov-prosess X(t) on syntymä-kuolema-prosess (brthdeath process), os tlasrtymät ovat mahdollsa van verekkästen tloen välllä, ts. Tässä tapauksessa merktään > q q :, q :, + Huom. a N (kun N < ) 4
Pelkstymättömyys Väte: Syntymä-kuolema-prosess on pelkstymätön, os a van os >kaklla S\{N} a >kaklla S\{} Ääretöntlasen pelkstymättömän sk-prosessn tlasrtymäkaavo: 3 Äärellstlasen pelkstymättömän sk-prosessn tlasrtymäkaavo: N- N N- N- N- N 43 Tasapanoakauma () Tarkastellaan pelkstymätöntä syntymä-kuolema-prosessa X(t) Tarkotus on ohtaa tasapanoakauma ( S), mkäl sellanen on olemassa Lokaalt tasapanoyhtälöt: Nän ollen + + + + Jakaumaehto el normeerausehto: S S (LBE) (N) 44
45, + Tasapanoakauma () Tasapanoakauma on ss olemassa täsmälleen sllon, kun Äärellnen tla-avaruus: Ko. summa on ana äärellnen. Tasapanoakaumaks tulee Ääretön tla-avaruus: Jos ko. summa on äärellnen, nn tasapanoakaumaks tulee < S, + N 45 46 Esmerkk Q (N) ) ( + + + + ρ ρ ρ ρ ρ (LBE) ) / : ( + + ρ ρ ρ + + 46
Puhdas syntymäprosess Määr. Syntymä-kuolema-prosess on puhdas syntymäprosess, os kaklla S Ääretöntlasen syntymäprosessn tlasrtymäkaavo: Äärellstlasen syntymäprosessn tlasrtymäkaavo: N- N- N- N Esmerkks Posson-prosess on ääretöntlanen puhdas syntymäprosess (ntensteeten kaklla S {,, }) Huom. Puhdas syntymäprosess e ole koskaan pelkstymätön (saat stten statonaarnen). 47 THE END 48