Markov-prosessit (Jatkuva-aikaiset Markov-ketjut)
|
|
- Ari-Pekka Parviainen
- 8 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 J. Virtamo Jonoteoria / Markov-prosessit 1 Markov-prosessit (Jatkuva-aikaiset Markov-ketut) Tarkastellaan (stationaarisia) Markov-prosessea, oiden parametriavaruus on atkuva (yleensä aika). Siirtymät tilasta toiseen voivat tapahtua mielivaltaisina aanhetkinä. Markov-ominaisuuden vuoksi aika, onka ärestelmä viettää annetussa tilassa, on muistiton: älelläolevan aan akauma riippuu vain ko. tilasta, muttei siitä, kauanko tilassa on o oltu aika on eksponentiaalisesti akautunut. Markov-prosessin X t määrittelee täydellisesti ns. generaattorimatriisi l. siirtymänopeusmatriisi P{X t+ t = X t = i} q i, = lim t 0 t i - todennäköisyys aikayksikköä kohden siirtyä tilasta i tilaan - siirtymänopeus l. siirtymäintensiteetti Kokonaissiirtymänopeus pois tilasta i on q i = i q i, tilan elinaika Exp(q i ) Tällä nopeudella tilan i todennäköisyys pienenee. Määritellään q i,i = q i
2 J. Virtamo Jonoteoria / Markov-prosessit 2 Siirtymänopeusmatriisi a aasta riippuva tilatodennäköisyysvektori Siirtymänopeusmatriisi kokonaisuudessaan on Q = q 0,0 q 0,1... q 1,0 q 1, = q 0 q 0,1... q 1,0 q rivisummat ovat nollia: tilasta i poistuva tn.massa siirtyy muualle Tilatodennäköisyysvektori π(t) on nyt aan funktio, oka kehittyy seuraavasti d π(t) = π(t) Q dt π(t + t) = π(t) + π(t) Q t + o( t) = π(t)(i + Q t) + o( t) Siirtymätodennäköisyysmatriisi aikavälin t yli on P( t) = I + Q t - lähenee identiteettimatriisia I, kun t 0 - Q = P (0) on siirtymätodennäköisyysmatriisin aikaderivaatta (siirtymänopeusmatriisi) Muodollinen ratkaisu aasta riippuvalle tilatodennäköisyysvektorille on π(t) = π(0) e Qt Matriisieksponentti e A voidaan määritellä sarakehitelmän avulla: e A = I + A + 1 2! A2 +
3 J. Virtamo Jonoteoria / Markov-prosessit 3 Globaalit tasapainoehdot Stationaarinen ratkaisu π = lim t π(t) on aasta riippumaton a siten toteuttaa yhtälön π Q = 0 Globaali tasapainoehto, oka ilmoittaa todennäköisyysvirtoen tasapainon. Yhtälön :s rivi on q }{{} i = i = q,i π = i = π q,i = i = π i q i, π i q i, π i q i, = todennäköisyysvirta tilasta i tilaan (siirtymäfrekvenssi tilasta i tilaan ) q, i i q i, i virrat ulos = virrat sisään
4 J. Virtamo Jonoteoria / Markov-prosessit 4 Globaalit tasapainoehdot (atkoa) Yhtälöt ovat riippuvia: mikä tahansa yhtälöistä on automaattisesti voimassa, os muut ovat voimassa ( todennäköisyyden häviämättömyys ). Ratkaisu on määrätty vakiotekiää vaille. Ratkaisu tulee yksikäsitteisesti määrätyksi normiehdon kautta. π e T = 1 eli π = 1 π on Q:n ominaisarvoon 0 liittyvä (vasemmanpuoleinen) ominaisvektori. Globaali tasapainoehto pätee yhtä hyvin myös tilaoukoille. Stationaarisessa tilassa todennäköisyysvirrat kahteen oukkoon aettuen tiloen välillä ovat tasapainossa: Olkoot Ω a Ω komplementaariset tilaoukot. Tällöin i Ω, Ω π q,i = i Ω, Ω π i q i, _
5 J. Virtamo Jonoteoria / Markov-prosessit 5 Tasapainoyhtälön ratkaisemisesta Samalla tavalla kuin Markovin ketun tapauksessa (homogeenisen) tasapainoyhtälön π Q = 0 ratkaisu, oka toteuttaa normiehdon π e T = 1, saadaan kätevästi kiroittamalla normiehdosta n kopiota π E = e missä E on n n-matriisi, onka kaikki alkiot ovat ykkösiä, E = laskemalla yhtälöt yhteen, π (Q + E) = e, a ratkaisemalla näin saatu epähomogeeninen yhtälö π = e (Q + E) 1
6 J. Virtamo Jonoteoria / Markov-prosessit 6 Upotettu Markovin ketu (embedded Markov chain) Jokaiseen atkuva-aikaiseen Markovin prosessiin X t voidaan liitää diskreettiaikainen Markovin ketu, ns. upotettu Markovin ketu X n. Huomio kiinnitetään X t :n tilasiirtymiin (silloin kun ne tapahtuvat) eli X t :n läpikäymien tiloen onoon. Tapahtukoot X t :n tilasiirtymät hetkillä t 0, t 1,... Määritellään X n :n arvoksi X t:n arvo heti hetkellä t n tapahtuneen tilasiirtymän älkeen (hetki t + n ), eli X t :n arvo välillä (t n, t n+1 ). X Koska X t on Markov-prosessi, niin näin määritelty n = X t + n ono X muodostaa Markovin ketun. n X 2 X 1 X 5 X 3 X 6 X 7 X t X 4 t 1 t 2 t 3 t 4 t 5 t 6 t 7
7 J. Virtamo Jonoteoria / Markov-prosessit 7 Upotettu Markovin ketu (atkoa) Markov-prosessin tilat luokitellaan vastaavasti kuin näin määritellyn Markovin ketun tilat (transientti, absorboiva, palautuva,... ). Upotetun Markovin ketun tilasiirtymätodennäköisyydet p i, = lim t 0 P{X t+ t = X t+ t i, X t = i} P{X t+ t =, X t+ t i X t = i} = lim t 0 P{X t+ t i X t = i} = q i, q i, i vrt. P{min(X 1,..., X n ) = X i } = 0 i = λ i λ 1 + +λ n, kun X i Exp(λ i ) Markov-prosessi, siirtymänopeudet q i, tasapainotodennäköisyydet π i Upotettu Markovin ketu, siirtymätodennäköisyydet p i, tasapainotodennäköisyydet π i
8 J. Virtamo Jonoteoria / Markov-prosessit 8 Upotetun Markovin ketun tasapainotodennäköisyydet π i = π i E[T i ] π E[T ] π i = π iq i π q E[T i ] = 1/q i, q i = q i, i π i = aikaosuus, onka X t viettää tilassa i (paino E[T i ]) π i = suhtellinen frekvenssi, olla tila i esiintyy X n :n läpikäymien tiloen onossa (paino 1) Huom. π i q i on frekvenssi, olla Markovin ketu X t suorittaa hyppyä pois tilasta i. Systeemin ollessa tasapainossa tämä on sama kuin frekvenssi, olla systeemi suorittaa hyppyä tilaan i. Nyt on tarkasteltu kaikkien X t :n läpikäymien tiloen onoa X n Joskus tästä onosta voidaan sopivalla tavalla poimia osaono, oka edelleen muodostaa erään upotetun Markovin ketun. myöhemmin tullaan ns. M/G/1-onosysteemin analyysi perustamaan sopivasti valitun upotetun Markovin ketun tarkasteluun
9 J. Virtamo Jonoteoria / Markov-prosessit 9 Semi-Markov-prosessit Kääntäen okaiseen Markovin ketuun Z n, n = 1, 2,... voidaan liittää atkuva-aikainen satunnaisprosessi X t valitsemalla aika T i, onka X t viettää tilassa i ostakin akaumasta - oka kerta muista riippumatta - eri tiloilla akaumat voivat olla erilaiset a arpomalla uusi tila Z n :n tilasiirtymätodennäköisyyksien mukaisesti. Näin saatua prosessia X t kutsutaan semi-markov-prosessiksi - ei yleensä ole Markov-prosessi - on Markov-prosessi silloin a vain silloin, kun T i Exp(λ i ) - sillä on sama stationaarinen akauma kuin vastaavalla Markovin prosessilla
Markov-prosessit (Jatkuva-aikaiset Markov-ketjut)
J. Vrtamo Lkenneteora a lkenteenhallnta / Markov-prosesst 1 Markov-prosesst (Jatkuva-akaset Markov-ketut) Tarkastellaan (statonaarsa) Markov-prosessea, oden parametravaruus on atkuva (yleensä aka). Srtymät
LisätiedotSTOKASTISET PROSESSIT Peruskäsitteitä
J. Virtamo 38.3143 Jonoteoria / Stokastiset prosessit 1 STOKASTISET PROSESSIT Peruskäsitteitä Usein tarkasteltava järjestelmä kehittyy ajan mukana ja meitä kiinnostaa sen dynaaminen, yleensä satunnaisuutta
LisätiedotSyntymä-kuolema-prosessit
J. Virtamo 38.343 Jonoteoria / SK-prosessit Syntymä-kuolema-prosessit Yleistä Syntymä-kuolema-prosessiksi (SK-prosessi) kutsutaan Markov-prosessia, jonka - tila-avaruus on iskreetti - tilat voiaan järjestää
LisätiedotSyntymä-kuolema-prosessit
J. Virtamo Liikenneteoria ja liikenteenhallinta / SK-prosessit Syntymä-kuolema-prosessit Yleistä Syntymä-kuolema-prosessiksi (SK-prosessi) kutsutaan Markov-prosessia, jonka - tila-avaruus on iskreetti
Lisätiedotkäännetty prosessi. Tarkastellaan pelkistymätöntä stationaarista stokastista prosessia X t.
J. Virtamo 38.3143 Jonoteoria / Ajan kääntö 1 AJAN KÄÄNTÖ JA KÄÄNTYVÄT PROSESSIT Käännetty prosessi Tarkastellaan pelkistymätöntä stationaarista stokastista prosessia X t. Tähän prosessiin voidaan liittää
LisätiedotT Rinnakkaiset ja hajautetut digitaaliset järjestelmät Stokastinen analyysi
T-79.179 Rinnakkaiset ja hajautetut digitaaliset järjestelmät Stokastinen analyysi 15. maaliskuuta 2004 T-79.179: Stokastinen analyysi 8-1 Mihin tarvitaan stokastista analyysiä? Saavutettavuusanalyysissä
LisätiedotProbabilistiset mallit (osa 1) Matemaattisen mallinnuksen kurssi Kevät 2002, luento 10, osa 1 Jorma Merikoski Tampereen yliopisto
Probabilistiset mallit (osa 1) Matemaattisen mallinnuksen kurssi Kevät 2002, luento 10, osa 1 Jorma Merikoski Tampereen yliopisto Mikä on probabilistinen malli? Kutsumme probabilistisiksi malleiksi kaikkia
Lisätiedot(a) Järjestellään yhtälöitä siten, että vasemmalle puolelle jää vain y i ja oikealle puolelle muut
BM0A5830 Differentiaalihtälöiden peruskurssi Harjoitus 7, Kevät 07 Päivitksiä: Tehtävän b tehtävänantoa korjattu, tehtävän 5 vastaus korjattu. b tehtävänantoa sujuvoitettu. Vastauksia lisätt.. Monasti
Lisätiedot4. Stokastiset prosessit. lect4.tex 1. Sisältö. Peruskäsitteitä. Poisson-prosessi. Markov-prosessit. Syntymä-kuolema-prosessit
4. Stokastiset prosessit lect4.tex 1 Sisältö Peruskäsitteitä Poisson-prosessi Markov-prosessit Syntymä-kuolema-prosessit 2 Stokastinen prosessi Tarkasteltavana oleva järjestelmä kehittyy ajan mukana ja
LisätiedotSäätötekniikkaa. Säätöongelma: Hae (mahdollisesti ulostulon avulla) ohjaus, joka saa systeemin toimimaan halutulla tavalla
Säätötekniikkaa Säätöongelma: Hae (mahdollisesti ulostulon avulla) ohjaus, joka saa systeemin toimimaan halutulla tavalla servo-ongelma: ulostulon seurattava referenssisignaalia mahdollisimman tarkasti,
Lisätiedot2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä
2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2.1 Ensimmäisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Muuttujan x ensimmäisen asteen yhtälöksi sanotaan yhtälöä, joka voidaan kirjoittaa muotoon ax + b = 0, missä vakiot a ja b ovat reaalilukuja
Lisätiedot1 + b t (i, j). Olkoon b t (i, j) todennäköisyys, että B t (i, j) = 1. Siis operaation access(j) odotusarvoinen kustannus ajanhetkellä t olisi.
Algoritmien DP ja MF vertaileminen tapahtuu suoraviivaisesti kirjoittamalla kummankin leskimääräinen kustannus eksplisiittisesti todennäköisyyksien avulla. Lause T MF ave = 1 + 2 1 i
LisätiedotOrtogonaaliset matriisit, määritelmä 1
, määritelmä 1 Määritelmä (a). Neliömatriisi Q on ortogonaalinen, jos Q T Q = I. Määritelmästä voidaan antaa samaa tarkoittavat, mutta erilaiselta näyttävät muodot: Määritelmä (b). n n neliömatriisi Q,
Lisätiedot5 Differentiaaliyhtälöryhmät
5 Differentiaaliyhtälöryhmät 5.1 Taustaa ja teoriaa Differentiaaliyhtälöryhmiä tarvitaan useissa sovelluksissa. Toinen motivaatio yhtälöryhmien käytölle: Korkeamman asteen differentiaaliyhtälöt y (n) =
LisätiedotDynaamiset regressiomallit
MS-C2128 Ennustaminen ja Aikasarja-analyysi, Lauri Viitasaari Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016 Tilastolliset aikasarjat voidaan jakaa kahteen
Lisätiedot110. 111. 112. 113. 114. 4. Matriisit ja vektorit. 4.1. Matriisin käsite. 4.2. Matriisialgebra. Olkoon A = , B = Laske A + B, 5 14 9, 1 3 3
4 Matriisit ja vektorit 4 Matriisin käsite 42 Matriisialgebra 0 2 2 0, B = 2 2 4 6 2 Laske A + B, 2 A + B, AB ja BA A + B = 2 4 6 5, 2 A + B = 5 9 6 5 4 9, 4 7 6 AB = 0 0 0 6 0 0 0, B 22 2 2 0 0 0 6 5
LisätiedotJatkuva-aikaisia Markov-prosesseja
5B Jatkuva-aikaisia Markov-prosesseja Tämän harjoituksen tavoitteena on harjoitella jatkuva-aikaisiin Markov-prosesseihin liittyviä hetkittäisiä jakaumia ja tasapainojakaumia. Laskuharjoitukseen kannattaa
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Matriisihajotelmat: Schur ja Jordan Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 18 R. Kangaslampi Matriisihajotelmat:
LisätiedotMS-C1350 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Harjoitukset 5, syksy Mallivastaukset
MS-C350 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Haroitukset 5, syksy 207. Oletetaan, että a > 0 a funktio u on yhtälön u a u = 0 ratkaisu. a Osoita, että funktio vx, t = u x, t toteuttaa yhtälön a v = 0. b Osoita,
LisätiedotFUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto
FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. Johdanto Funktionaalianalyysissa tutkitaan muun muassa ääretönulotteisten vektoriavaruuksien, ja erityisesti täydellisten normiavaruuksien eli Banach avaruuksien ominaisuuksia.
LisätiedotEsimerkki: Tietoliikennekytkin
Esimerkki: Tietoliikennekytkin Tämä Mathematica - notebook sisältää luennolla 2A (2..26) käsitellyn esimerkin laskut. Esimerkin kuvailu Tarkastellaan yksinkertaista mallia tietoliikennekytkimelle. Kytkimeen
LisätiedotThe Metropolis-Hastings Algorithm
The Metropolis-Hastings Algorithm Chapters 6.1 6.3 from Monte Carlo Statistical Methods by Christian P. Robert and George Casella 08.03.2004 Harri Lähdesmäki The Metropolis-Hastings Algorithm p. 1/21 Taustaa
Lisätiedot6. Stokastiset prosessit (2)
Ssältö Markov-prosesst Syntymä-kuolema-prosesst luento6.ppt S-38.45 - Lkenneteoran perusteet - Kevät 6 Markov-prosess Esmerkk Tark. atkuva-akasta a dskreetttlasta stokaststa prosessa X(t) oko tla-avaruudella
LisätiedotABTEKNILLINEN KORKEAKOULU
ABTEKNILLINEN KORKEAKOULU Tetoverkkolaboratoro 6. Stokastset prosesst () Luento6.ppt S-38.45 - Lkenneteoran perusteet - Kevät 5 6. Stokastset prosesst () Ssältö Markov-prosesst Syntymä-kuolema-prosesst
Lisätiedot1 Di erentiaaliyhtälöt
Taloustieteen mat.menetelmät syksy 2017 materiaali II-5 1 Di erentiaaliyhtälöt 1.1 Skalaariyhtälöt Määritelmä: ensimmäisen kertaluvun di erentiaaliyhtälö on muotoa _y = F (y; t) oleva yhtälö, missä _y
Lisätiedot1 p p P (X 0 = 0) P (X 0 = 1) =
Mat-2.3 Stokastiset rosessit Syksy 2007 Laskuharjoitustehtävät 3 Poroudas/Kokkala. Tarkastellaan Markov-ketjua, jonka tilajoukko on {0, } ja tilansiirtotodennäköisyysmatriisi P Olkoon alkujakauma α 0 a
LisätiedotMatematiikka B2 - Avoin yliopisto
6. elokuuta 2012 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Kurssin sisältö (1/2) Matriisit Laskutoimitukset Lineaariset yhtälöryhmät Gaussin eliminointi Lineaarinen riippumattomuus
LisätiedotJ. Virtamo 38.3143 Jonoteoria / Poisson-prosessi 1
J. Virtamo 38.3143 Jonoteoria / Poisson-prosessi 1 Poisson-prosessi Yleistä Poisson-prosessi on eräs keskeisimmistä jonoteoriassa käytetyistä malleista. Hyvin usein asiakkaiden saapumisprosessia jonoon
LisätiedotMS-A0004/A0006 Matriisilaskenta
4. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 4. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto..25 Tarkastellaan neliömatriiseja. Kun matriisilla kerrotaan vektoria, vektorin
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 16.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Translaatioliikkeen kinetiikka (Kirjan luvut 12.6, 13.1-13.3 ja 17.3) Oppimistavoitteet Ymmärtää, miten Newtonin toisen lain
LisätiedotSäätötekniikkaa. Säätöongelma: Hae (mahdollisesti ulostulon avulla) ohjaus, joka saa systeemin toimimaan halutulla tavalla
Säätötekniikkaa Säätöongelma: Hae (mahdollisesti ulostulon avulla) ohjaus, joka saa systeemin toimimaan halutulla tavalla servo-ongelma: ulostulon seurattava referenssisignaalia mahdollisimman tarkasti,
LisätiedotJatkuva-aikaisten Markov-prosessien aikakehitys
5A Jatkuva-aikaisten Markov-prosessien aikakehitys Tämän harjoituksen tavoitteena on harjoitella jatkuva-aikaisiin Markov-prosesseihin liittyviä hetkittäisiä jakaumia ja tutkia niien muutoksia ajassa.
LisätiedotU missä U A := {U R n : U avoin ja U A}; intuitiivisesti suurin avoin joukko, joka sisältyy A:han. Määritellään A:n sulkeuma A := F F A
Mitta a integraali Kesä 2 4. tehtävät Malliratkaisut (LS). Olkoon a i R i =, 2,... ono. Sanotaan, että i a i = os kaikille M R on olemassa i, olle kaikille i i pätee a i M. Sanotaan, että i a i = os i
LisätiedotMarkov-ketjut pitkällä aikavälillä
2A Markov-ketjut pitkällä aikavälillä Tämän harjoituksen tavoitteena on oppia lukemaan siirtymämatriisista tai siirtymäkaaviosta, milloin Markov-ketju on yhtenäinen ja jaksoton; oppia tunnistamaan, milloin
Lisätiedot= true C = true) θ i2. = true C = false) Näiden arvot löydetään kuten edellä Kun verkko on opetettu, niin havainto [x 1
35 Naiivi Bayes Luokkamuuttua C o Bayes-verko uuri a attribuutit X i ovat se lehtiä Naiivi oletus o, että attribuutit ovat ehdollisesti riippumattomia toisistaa aettua luokka Ku käytössä o Boole muuttuat,
LisätiedotMat Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 1
Mat-214 Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 1 1 a) Sekoitussäiliöön A virtaa puhdasta vettä virtauksella v A, säiliöstä A säiliöön B täysin sekoittunutta liuosta virtauksella v AB ja säiliöstä
LisätiedotKuluttajahintaindeksi (KHI) Kuluttajahintaindeksi (KHI) Kysymys Miten mitata rahan arvon muutoksia?
Kuluttajahitaideksi (KHI) Kysymys Mite mitata raha arvo muutoksia? Kuluttajahitaideksi (KHI) o sovittu kulutustavaroide ja palveluide hitakehitykse mittari. KHI muodostetaa paiotettua keskiarvoa eri pääryhmie
LisätiedotMatematiikka B2 - TUDI
Matematiikka B2 - TUDI Miika Tolonen 3. syyskuuta 2012 Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 1 Kurssin sisältö (1/2) Matriisit Laskutoimitukset Lineaariset yhtälöryhmät Gaussin eliminointi Lineaarinen riippumattomuus
LisätiedotDiskreettiaikainen dynaaminen optimointi
Diskreettiaikainen dynaaminen optimointi Usean kauden tapaus 2 kauden yleistys Ääretön loppuaika Optimaalinen pysäytys Optimointiopin seminaari - Syksy 2000 / Ongelma t 0 x 0 t- t T x t- + x t + x T u
LisätiedotTyyppi metalli puu lasi työ I 2 8 6 6 II 3 7 4 7 III 3 10 3 5
MATRIISIALGEBRA Harjoitustehtäviä syksy 2014 Tehtävissä 1-3 käytetään seuraavia matriiseja: ( ) 6 2 3, B = 7 1 2 2 3, C = 4 4 2 5 3, E = ( 1 2 4 3 ) 1 1 2 3 ja F = 1 2 3 0 3 0 1 1. 6 2 1 4 2 3 2 1. Määrää
LisätiedotATM-VERKON KUTSUTASON ESTO
J. Virtamo 38.3141 Teleliikenneteoria / Kutsutason esto 1 ATM-VERKON KUTSUTASON ESTO Kutsutasolla tehtävän resurssivarauksen kannalta vaihtuvanopeuksinenkin lähde näyttää vakionopeuslähteeltä. Sen nopeus
LisätiedotMatriisialgebra harjoitukset, syksy 2016
Matriisialgebra harjoitukset, syksy 6 MATRIISIALGEBRA, s. 6, Ratkaisuja/ M.Hamina & M. Peltola 8. Olkoon 4 A 6. 4 Tutki, onko A diagonalisoituva. Jos on, niin määrää matriisi D T AT ja siihen liittyvä
LisätiedotKurssilla esitetään lyhyt katsaus niihin todennäköisyyden ja satunnaisprosessien peruskäsitteisiin ja -ominaisuuksiin, joita tarvitaan digitaalisten
Todennäköisyys Kurssilla esitetään lyhyt katsaus niihin todennäköisyyden ja satunnaisprosessien peruskäsitteisiin ja -ominaisuuksiin, joita tarvitaan digitaalisten tietoliikennejärjestelmien ymmärtämisessä
LisätiedotMS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi
MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0202 Syksy 2015 1
LisätiedotLuento 8 6.3.2015. Entrooppiset voimat Vapaan energian muunoksen hyötysuhde Kahden tilan systeemit
Luento 8 6.3.2015 1 Entrooppiset voimat Vapaan energian muunoksen hyötysuhde Kahden tilan systeemit Entrooppiset voimat 3 2 0 0 S k N ln VE S, S f ( N, m) 2 Makroskooppisia voimia, jotka syntyvät pyrkimyksestä
Lisätiedoty = 3x2 y 2 + sin(2x). x = ex y + e y2 y = ex y + 2xye y2
Matematiikan ja tilastotieteen osasto/hy Differentiaaliyhtälöt I Laskuharjoitus 2 mallit Kevät 219 Tehtävä 1. Laske osittaisderivaatat f x = f/x ja f y = f/, kun f = f(x, y) on funktio a) x 2 y 3 + y sin(2x),
LisätiedotEstynyt puheluyritys menetetään ei johda uusintayritykseen alkaa uusi miettimisaika: aika seuraavaan yritykseen Exp(γ) pitoaika X Exp(µ)
J Virtamo 383143 Jonoteoria / Engsetin järjestelmä 1 Äärellinen lähdepopulaatio: M/M/s/s/n-järjestelmä Tarkastellaan estojärjestelmää (ei odotuspaikkoja) tapauksessa, jossa saapumiset tulevat äärellisestä
LisätiedotDemonstraatiot Luento 7 D7/1 D7/2 D7/3
TEKNILLINEN KORKEAKOULU Tietoliikenne- ja tietoverkkotekniikan laitos S-8.45 Liikenneteorian perusteet, Kevät 2008 Demonstraatiot Luento 7 7.2.2008 D7/ Tarkastellaan piirikytkentäisen järjestelmän n-kanavaista
Lisätiedot1.1 Vektorit. MS-A0007 Matriisilaskenta. 1.1 Vektorit. 1.1 Vektorit. Reaalinen n-ulotteinen avaruus on joukko. x 1. R n. 1. Vektorit ja kompleksiluvut
ja kompleksiluvut ja kompleksiluvut 1.1 MS-A0007 Matriisilaskenta 1. ja kompleksiluvut Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 26.10.2015 Reaalinen
LisätiedotKanta ja Kannan-vaihto
ja Kannan-vaihto 1 Olkoon L vektoriavaruus. Äärellinen joukko L:n vektoreita V = { v 1, v 2,..., v n } on kanta, jos (1) Jokainen L:n vektori voidaan lausua v-vektoreiden lineaarikombinaationa. (Ts. Span(V
LisätiedotNumeeriset menetelmät
Numeeriset menetelmät Luento 6 To 22.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 6 To 22.9.2011 p. 1/38 p. 1/38 Ominaisarvotehtävät Monet sovellukset johtavat ominaisarvotehtäviin Yksi
LisätiedotOminaisarvo ja ominaisvektori
Määritelmä Ominaisarvo ja ominaisvektori Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Reaaliluku λ on matriisin ominaisarvo, jos on olemassa sellainen vektori v R n, että v 0 ja A v = λ v. Vektoria v, joka
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 14. Rajoittamaton optimointi Hessen matriisi Ominaisarvot Ääriarvon laadun tarkastelu
Talousmatematiikan perusteet: Luento 14 Rajoittamaton optimointi Hessen matriisi Ominaisarvot Ääriarvon laadun tarkastelu Luennolla 6 Tarkastelimme yhden muuttujan funktion f(x) rajoittamatonta optimointia
Lisätiedot10. Globaali valaistus
10. Globaali valaistus Globaalilla eli kokonaisvalaistuksella tarkoitetaan tietokonegrafiikassa malleja, jotka renderöivät kuvaa laskien pisteestä x heijastuneen valon ottamalla huomioon kaiken tähän pisteeseen
LisätiedotLuento 5: Peliteoriaa
Luento 5: Peliteoriaa Tässä kappaleessa tutustutaan hieman peliteoriaan. Keskeisiä asioita ovat Nash-tasapaino ja sekastrategia. Cournot n duopolimalli vuodelta 1838 toimii oivallisena havainnollistuksena
LisätiedotELEC-A3110 Mekaniikka (5 op)
ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) Yliopistonlehtori, tkt Sami Kujala Mikro- ja nanotekniikan laitos Syksy 2016 1 / 21 Luento 2: Kertausta ja johdantoa Suoraviivainen liike Jumppaa Harjoituksia ja oivalluksia
LisätiedotANALYYSI 3 HELI TUOMINEN
ANALYYSI 3 HELI TUOMINEN Alkusanat Tässä on muistiinpanot syksyllä 202 luennoimastani kurssista Analyysi 3. Kurssin pohana on Tero Kilpeläisen luentomoniste samannimiselle kurssille. Tässä monisteessa
LisätiedotMartingaalit ja informaatioprosessit
6A Martingaalit ja informaatioprosessit Tämän harjoituksen tavoitteena on oppia tunnistamaan, milloin satunnaisprosessi on martingaali annetun informaatioprosessin suhteen ja milloin satunnaishetki on
LisätiedotOsoita, että täsmälleen yksi vektoriavaruuden ehto ei ole voimassa.
LINEAARIALGEBRA Harjoituksia 2016 1. Olkoon V = R 2 varustettuna tavallisella yhteenlaskulla. Määritellään reaaliluvulla kertominen seuraavasti: λ (x 1, x 2 ) = (λx 1, 0) (x 1, x 2 ) R 2 ja λ R. Osoita,
Lisätiedotv AB q(t) = q(t) v AB p(t) v B V B ṗ(t) = q(t) v AB Φ(t, τ) = e A(t τ). e A = I + A + A2 2! + A3 = exp(a D (t τ)) (I + A N (t τ)), A N = =
Mat-214 Dynaaminen optimointi Mitri Kitti Mallivastaukset kierros 1 1 a) Sekoitussäiliöön A virtaa puhdasta vettä virtauksella v A säiliöstä A säiliöön B täysin sekoittunutta liuosta virtauksella v AB
LisätiedotFunktion raja-arvo. lukumäärien tutkiminen. tutkiminen
Matematiikka algebra geometria Funktion raja-arvo analyysi tarve lukumäärien tutkiminen kuvioiden ja kappaleiden tutkiminen muutosten tutkiminen DERIVAATTA, MAA6 Yhtä vanhoja kuin ihmiskuntakin ~6 000
LisätiedotABTEKNILLINEN KORKEAKOULU
ABTEKNILLINEN KORKEAKOULU Tietoverkkolaboratorio Sisältö Peruskäsitteitä Poisson-prosessi Luento05.ppt S-38.45 - Liikenneteorian perusteet - Kevät 2005 2 Stokastiset prosessit () Stokastiset prosessit
Lisätiedot5. Stokastiset prosessit (1)
luento05.ppt S-38.45 - Liikenneteorian perusteet - Kevät 2006 Sisältö Peruskäsitteitä Poisson-prosessi 2 Stokastiset prosessit () Tarkastellaan jotakin (liikenneteorian kannalta tai sitten muuten) kiinnostavaa
LisätiedotEsteet, hyppyprosessit ja dynaaminen ohjelmointi
Esteet, hyppyprosessit ja dynaaminen ohjelmointi Juha Martikainen 4.10.2000 Oppikirjan sivut 83-87 ja 93-98 Optimointiopin seminaari - Syksy 2000 / 1 Esteet (määritelmät) Muistellaan menneitä: Ajelehtiva
LisätiedotTODENNÄKÖISYYSLASKUN KERTAUS Peruskäsitteitä
J. Virtamo 38.3143 Jonoteoria / Todennäköisyyslaskenta 1 TODENNÄKÖISYYSLASKUN KERTAUS Peruskäsitteitä Otosavaruus S S on satunnaiskokeen E kaikkien mahdollisten alkeistapahtumien e joukko. Esim. 1. Noppaa
Lisätiedoty (0) = 0 y h (x) = C 1 e 2x +C 2 e x e10x e 3 e8x dx + e x 1 3 e9x dx = e 2x 1 3 e8x 1 8 = 1 24 e10x 1 27 e10x = e 10x e10x
BM0A5830 Differentiaaliyhtälöiden peruskurssi Harjoitus 4, Kevät 017 Päivityksiä: 1. Ratkaise differentiaaliyhtälöt 3y + 4y = 0 ja 3y + 4y = e x.. Ratkaise DY (a) 3y 9y + 6y = e 10x (b) Mikä on edellisen
Lisätiedot. Kun p = 1, jono suppenee raja-arvoon 1. Jos p = 2, jono hajaantuu. Jono suppenee siis lineaarisesti. Vastaavasti jonolle r k+1 = r k, suhde on r k+1
TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio Mat-.39 Optimointioppi Kimmo Berg 8. harjoitus - ratkaisut. a)huomataan ensinnäkin että kummankin jonon raja-arvo r on nolla. Oletetaan lisäksi että
LisätiedotJATKUVAT JAKAUMAT Laplace-muunnos (Laplace-Stieltjes-muunnos)
J. Virtamo 38.3143 Jonoteoria / Jatkuvat jakaumat 1 JATKUVAT JAKAUMAT Laplace-muunnos (Laplace-Stieltjes-muunnos) Määritelmä Ei-negatiivisen satunnaismuuttujan X 0, jonka tiheysfunktio on f(x), Laplace-muunnos
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Matriisinormi, häiriöalttius Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Matriisinormi Matriisinormi Matriiseille
LisätiedotErilaisia Markov-ketjuja
MS-C2 Stokastiset prosessit Syksy 207 3A Erilaisia Markov-ketjuja Tuntitehtävät 3A Lepakoiden rengastaja (tai kuponkien keräilijä) Lepakkoluolassa on lepakkoa, joista jokainen lentää luolasta ulos joka
LisätiedotSalausmenetelmät. Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006)
Salausmenetelmät Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) LUKUTEORIAA JA ALGORITMEJA 4. Eulerin a Fermat'n lauseet à 4.1 Alkuluokka a Eulerin -funktio Yleensä olemme kiinnostuneita vain niistä äännösluokista
Lisätiedotl s, c p T = l v = l l s c p. Z L + Z 0
1.1 i k l s, c p Tasajännite kytketään hetkellä t 0 johtoon, jonka pituus on l ja jonka kapasitanssi ja induktanssi pituusyksikköä kohti ovat c p ja l s. Mieti, kuinka virta i käyttäytyy ajan t funktiona
LisätiedotFYSA220/K2 (FYS222/K2) Vaimeneva värähtely
FYSA/K (FYS/K) Vaimeneva värähtely Työssä tutkitaan vaimenevaa sähköistä värähysliikettä. Erityisesti pyritään havainnollistamaan kelan inuktanssin, konensaattorin kapasitanssin ja ohmisen vastuksen suuruuksien
LisätiedotRatkaisu: a) Kahden joukon yhdisteseen poimitaan kaikki alkiot jotka ovat jommassakummassa joukossa (eikä mitään muuta).
Matematiikan laitos Johdatus Diskreettiin Matematiikaan Harjoitus 1 03.11.2010 Ratkaisuehdotuksia Aleksandr Nuija 1. Tarkastellaan joukkoja A = {1,3,4}, B = {2,3,7,9} ja C = {2, 5, 7}. Määritä joukot (a)
LisätiedotEstojärjestelmä (loss system, menetysjärjestelmä)
J. Virtamo 38.3143 Jonoteoria / Estojärjestelmä 1 Estojärjestelmä (loss system, menetysjärjestelmä) Tarkastellaan perinteistä puhdasta estojärjestelmää, jossa on annettu n = johtojen (varattavien elementtien)
LisätiedotMuodonmuutostila hum 30.8.13
Muodonmuutostila Tarkastellaan kuvan 1 kappaletta Ω, jonka pisteet siirtvät ulkoisen kuormituksen johdosta siten, että siirtmien tapahduttua ne muodostavat kappaleen Ω'. Esimerkiksi piste A siirt asemaan
Lisätiedot1 Clausiuksen epäyhtälö
1 PHYS-C0220 ermodynamiikka ja statistinen fysiikka, kevät 2017 Emppu Salonen 1 Clausiuksen epäyhtälö Carnot n koneen syklissä lämpötilassa H ja L vastaanotetuille lämmöille Q H ja Q L pätee oisin ilmaistuna,
LisätiedotFunktion suurin ja pienin arvo DERIVAATTA,
Funktion suurin ja pienin arvo DERIVAATTA, MAA6 1. Suurin ja pienin arvo suljetulla välillä Lause, jatkuvan funktion ääriarvolause: Suljetulla välillä a, b jatkuva funktio f saa aina pienimmän ja suurimman
LisätiedotProbabilistiset mallit (osa 2) Matemaattisen mallinnuksen kurssi Kevät 2002, luento 10, osa 2 Jorma Merikoski Tampereen yliopisto
Probabilistiset mallit (osa 2) Matemaattisen mallinnuksen kurssi Kevät 2002, luento 10, osa 2 Jorma Merikoski Tampereen yliopisto Esimerkki Tarkastelemme ilmiötä I, joka on a) tiettyyn kauppaan tulee asiakkaita
LisätiedotTehtäväsarja I Tehtävät 1-5 perustuvat monisteen kappaleisiin ja tehtävä 6 kappaleeseen 2.8.
HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 8 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Tehtävät -5 perustuvat monisteen kappaleisiin..7 ja tehtävä 6 kappaleeseen.8..
LisätiedotNumeeriset menetelmät
Numeeriset menetelmät Luento 3 Ti 13.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 3 Ti 13.9.2011 p. 1/37 p. 1/37 Epälineaariset yhtälöt Newtonin menetelmä: x n+1 = x n f(x n) f (x n ) Sekanttimenetelmä:
LisätiedotSMG-4200 Sähkömagneettisten järjestelmien lämmönsiirto Ehdotukset harjoituksen 3 ratkaisuiksi
SMG-4 Sähkömagneettisten jäjestelmien lämmönsiito Ehdotukset hajoituksen 3 atkaisuiksi 1. Voidaan kohtuullisella takkuudella olettaa, että pallonmuotoisessa säiliössä lämpötila muuttuu vain pallon säteen
LisätiedotAikariippuva Schrödingerin yhtälö
Aineaaltodynamiikka Aineaaltokenttien riippuvuus ajasta aikariippuva Schrödingerin yhtälö Stationääriset ja ei-stationääriset tilat Aaltopaketit Kvanttimekaniikan postulaatit Aikariippuva Schrödingerin
LisätiedotTässä dokumentissa on ensimmäisten harjoitusten malliratkaisut MATLABskripteinä. Voit kokeilla itse niiden ajamista ja toimintaa MATLABissa.
Laskuharjoitus 1A Mallit Tässä dokumentissa on ensimmäisten harjoitusten malliratkaisut MATLABskripteinä. Voit kokeilla itse niiden ajamista ja toimintaa MATLABissa. 1. tehtävä %% 1. % (i) % Vektorit luodaan
LisätiedotTehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät kurssimateriaalin lukuun 7 eli vapauden käsitteeseen ja homogeenisiin
HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I, kesä 2014 Harjoitus 4 Ratkaisujen viimeinen palautuspäivä: pe 662014 klo 1930 Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät kurssimateriaalin lukuun
LisätiedotHarjoitus 3 (31.3.2015)
Harjoitus (..05) Tehtävä Olkoon kaaren paino c ij suurin sallittu korkeus tieosuudella (i,j). Etsitään reitti solmusta s solmuun t siten, että reitin suurin sallittu korkeus pienimmillään olisi mahdollisimman
LisätiedotLineaarialgebra II, MATH.1240 Matti laaksonen, Lassi Lilleberg
Vaasan yliopisto, syksy 218 Lineaarialgebra II, MATH124 Matti laaksonen, Lassi Lilleberg Tentti T1, 284218 Ratkaise 4 tehtävää Kokeessa saa käyttää laskinta (myös graafista ja CAS-laskinta), mutta ei taulukkokirjaa
LisätiedotHarjoitus Tarkastellaan luentojen Esimerkin mukaista työttömyysmallinnusta. Merkitään. p(t) = hintaindeksi, π(t) = odotettu inflaatio,
Differentiaaliyhtälöt, Kesä 06 Harjoitus 3 Kaikissa tehtävissä, joissa pitää tarkastella kriittisten pisteiden stabiliteettia, jos kyseessä on satulapiste, ilmoita myös satulauraratkaisun (tai kriittisessä
LisätiedotJärjestelmässä olevien asiakkaiden lukumäärä N(t) ei muodosta enää Markov-prosessia.
J. Virtamo 38.143 Jonoteoria / M/G/1/-jono 1 M/G/1-jono M (memoryless): Poisson-saapumisprosessi, intensiteetti λ G (general): yleinen palveluaikajakautuma, keskiarvo S =1/µ 1 : yksi palvelin, kuorma ρ
LisätiedotPäättelyn voisi aloittaa myös edellisen loppupuolelta ja näyttää kuten alkupuolella, että välttämättä dim W < R 1 R 1
Lineaarialgebran kertaustehtävien b ratkaisuista. Määritä jokin kanta sille reaalikertoimisten polynomien lineaariavaruuden P aliavaruudelle, jonka virittää polynomijoukko {x, x+, x x }. Ratkaisu. Olkoon
LisätiedotLineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Harjoitus 4 / Ratkaisut
MS-C34 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt, IV/26 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Harjoitus 4 / t Alkuviikon tuntitehtävä Hahmottele matriisia A ( 2 6 3 vastaava vektorikenttä Matriisia A
LisätiedotLumen teknisiä ominaisuuksia
Lumen teknisiä ominaisuuksia Lumi syntyy ilmakehässä kun vesihöyrystä tiivistyneessä lämpötila laskee alle 0 C:n ja pilven sisällä on alijäähtynyttä vettä. Kun lämpötila on noin -5 C, vesihöyrystä, jäähiukkasista
LisätiedotMat Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros Vaimennetun heilurin tilanyhtälöt on esitetty luennolla: θ = g sin θ r θ
Mat-48 Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros Vaimennetun heilurin tilanyhtälöt on esitetty luennolla: θ = g sin θ r θ L ẋ = x ẋ = g L sin x rx Epälineaarisen systeemin tasapainotiloja voidaan
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 TFM Laskuharjoitus 2L
Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 TFM Laskuharjoitus 2L Tehtävät 1-3 ovat kotitehtäviä, jotka on tarkoitus laskea ennen loppuviikon harjoitusta. Tehtävät 4-6 palautetaan kirjallisena A4-paperilla
Lisätiedot= 2±i2 7. x 2 = 0, 1 x 2 = 0, 1+x 2 = 0.
HARJOITUS 1, RATKAISUEHDOTUKSET, YLE11 2017. 1. Ratkaise (a.) 2x 2 16x 40 = 0 (b.) 4x 2 2x+2 = 0 (c.) x 2 (1 x 2 )(1+x 2 ) = 0 (d.) lnx a = b. (a.) Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: x = ( 16)± (
LisätiedotMS-A0202 Di erentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 8: Taso- ja avaruusintegraalit
MS-A22 i erentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 8: Taso- ja avaruusintegraalit Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 25 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A22 Syksy 25 / 8 Tasointegraali Olkoon R
LisätiedotLuento 10: Työ, energia ja teho. Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho
Luento 10: Työ, energia ja teho Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 1 / 23 Luennon sisältö Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 2 / 23 Johdanto Energia suure, joka voidaan muuttaa muodosta toiseen,
Lisätiedot1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät
1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät 11 Yhtälöryhmä matriisimuodossa m n-matriisi sisältää mn kpl reaali- tai kompleksilukuja, jotka on asetetettu suorakaiteen muotoiseksi kaavioksi: a 11 a 12 a 1n
LisätiedotMarkov-kustannusmallit ja kulkuajat
2B Markov-kustannusmallit ja kulkuajat Tämän harjoituksen tavoitteena on oppia laskemaan Markov-kustannusmallien kustannuskertymiä ja -vauhteja, ketjujen odotettuja kulkuaikoja sekä todennäköisyyksiä osua
LisätiedotOminaisarvo ja ominaisvektori
Ominaisarvo ja ominaisvektori Määritelmä Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Reaaliluku λ on matriisin ominaisarvo, jos on olemassa sellainen vektori v R n, että v 0 ja A v = λ v. Vektoria v, joka
Lisätiedot