5. KVANTTIMEKANIIKKAA Bohrn atommallsta samme jonknlasen kuvan atomn rakenteesta. Kutenkaan Bohrn atommall e pysty selttämään kakka kokeellsa havantoja spektrestä: Mks osa spektren vvosta on tosa vomakkaampa mks toset srtymät ovat todennäkösempä kun toset? Mks monelektronsella atomlla on spektrvvoja, jotka pokkeavat energassa van vähän tosstaan? Mks atomt vovat muodostaa sdoksa tosten atomen kanssa? Tarve kehttää atommalla synnytt kokonaan uuden tavan kuvata fyskkaa: Synty kvanttmekankka Erwn Schrödnger, Werner Hesenberg, Ma Born, Paul Drac, Eugene Wgner 1
W. Hesenberg 197 Solvay Conference on Quantum Mechancs 17/9 osallstujsta ol saanut ta sa myöhemmn Nobeln palknnon Mare Cure kertaa E. Schrödnger W. Paul Nels Bohr Paul Drac L.V. de Brogle Ma Planck Mare Cure A.H. Compton Ma Born Albert Ensten W.L. Bragg H.A. Lorentz
Mkä seuraavsta kuvaa parhaten nykystä kästystäs kvanttmekankasta? a Mkä hmeen kvanttmekankka? b Osa moderna fyskkaa c Vakeaa ta anakn kuulostaa vakealta, e stä kukaan vo tajuta mtään d E sähköteekkar tarvtse kvanttmekankkaa e EOS 3
5.1. KVANTTIMEKANIIKKA Klasssen fyskan mukaan kappaleen pakka tulevasuudessa saadaan laskettua, kun tedetään sen alkuperänen pakka, lkemäärä ja shen vakuttavat vomat. Nämä kakk vodaan määrttää. Hesenbergn epätarkkuusperaatteesta johtuen kvanttmekankassa e ole varmuutta tulevasuudesta, koska alkutlaakaan e voda määrttää tarkast. Kvanttmekankka ennustaakn todennäkösyyksä: Esmerkks Bohrn atommalln mukasta elektronn radan tarkkaa sädettä e voda määrttää kvanttmekankan avulla. Sen sjaan saadaan määrtettyä pakka, josta elektron todennäkösmmn löytyy. Klassnen mekankka on kvanttmekankan lkarvo. Albert Ensten: "God does not play dce Nels Bohr: "Ensten, stop tellng God what to do" 4
5.. AALTOFUNKTIO de Brogle aallon yhteydessä tutustumme jo kästteeseen aaltofunkto. Palataanpa shen velä. Kvanttmekankkaan lttyy aaltofunkton Ψ käste. Aaltofunkto on abstrakt sllä e ole fyskaalsta vastnetta. Aaltofunkton nelö Ψ kertoo todennäkösyyden hukkasen pakalle tettynä ajanhetkenä. Aaltofunktosta vodaan määrttää myös hukkasen lkemäärä, kulmalkemäärä ja energa. Ongelmana on van ratkasta hukkasen aaltofunkto yhtälöstä, joka ssältää tedot hukkaseen vakuttavsta vomsta. 5
Aaltofunktot ovat yleensä komplekssa, ne ssältävät ss reaal- ja magnäärosat Ψ=A + B 1 Hukkasen todennäkösyystheys on verrannollnen aaltofunkton nelöön Ψ*Ψ, jossa Ψ* on Ψ:n komplekskonjugaatt: Ψ*=A - B ja Ψ* Ψ =A +B El todennäkösyystheys on ana reaalnen ja postvnen. Sen lsäks se on äärellnen el hukkasen täytyy olla jossan. Jos dv 0 hukkasta e ole olemassa. Jos hukkanen on olemassa, todennäkösyys sen löytymselle jostan = 1 dv 1 6
Yleensä on järkevää merktä todennäkösyystheys P=Ψ*Ψ, josta seuraa, että funkton Ψ on oltava normttuva el täyttää normtusehto: PdV 1 Fyskaalsest hyvätapasest käyttäytyvä aaltofunkto el joka antaa fyskaalsest melekkätä ratkasuja on oltava: Ykskästtenen Jatkuva Äärellnen Dervotuva Myös funkton dervaatan tulee olla ykskästtenen, jatkuva ja äärellnen Normtetun todennäkösyystheysfunkton avulla vodaan laskea todennäkösyys hukkasen löytymselle välltä [ 1, ] : P d 1 1 7
ESIMERKKI 5.1 Mtkä seuraavsta aaltofunktosta ovat fyskaalsest järkevä? 8
ESIMERKKI 5. Normta aaltofunkto : Ae 1 9
ESIMERKKI 5.3 Aaltofunkto Ψ saa -aksellla seuraavat arvot: Ψ=Ae -a >0 Ψ=Ae +a 0 a Normta aaltofunkto. b Laske todennäkösyys slle, että hukkanen on välllä 1/a, /a 10
5.3. AALTOYHTÄLÖ Schrödngern yhtälö on aaltoyhtälö, jonka ratkasu antaa aaltofunkton Ψ. Tarkastellaan ensn ylestä aaltoyhtälöä, joka kuvaa y:n muuttumsta aallossa, joka etenee -akseln suuntaan nopeudella v : y 1 v y t Värähtelevässä köydessä y on pokkeama -akselsta, äänaallossa y on pane-ero, valoaallossa y on sähkö- ta magneettkentän funkto. Aaltoyhtälöllä on erlasa ratkasuja, mutta kakk ratkasut ovat muotoa y F t v josta y=ft-/v kuvaa +-akseln suuntaan etenevää aaltoa ja y=ft+/v kuvaa -akseln suuntaan etenevää aaltoa. 11
Vapaalla hukkasella tarkotetaan hukkasta, johon e vakuta mtään voma. Kun vapaa hukkanen etenee vakonopeudella -akseln suuntaan, stä vodaan kuvata aaltoyhtälön ylesellä ratkasulla: y Ae Acos t Asn t t/ v v v e cos sn 1
Osota, että edellä oleva aaltofunkto on aaltoyhtälön ratkasu. Asn Acos A v v v / t t t e y v 1 t y y 13 ESIMERKKI 5.4
5.4. AJASTA RIIPPUVA SCHRÖDINGERIN YHTÄLÖ Kvanttmekaannen aaltofunkto Ψ vastaa aaltoyhtälössä muuttujaa y. Kuten jo aemmn kerrottn, aaltofunkto e ole tsessään mtattavssa oleva suure ja vo sten olla myös kompleksnen. Palataan velä vapaan hukkasen aaltofunktoon. Aaltofunkto vodaan krjottaa muodossa: y Ae t / v / Et p Ae, kun hukkanen etenee +-akseln suuntaan nopeudella v ja sllä on lkemäärä p ja energa E. h Koska f ja v f sekä E hf f ja p p Yleensä hukkaseen kutenkn vakuttaa ulkopuolsa voma ts. sen lke on rajattu johonkn tlaan. Esmerkks atomn ydn stoo elektronn atomn. 14
On löydettävä dfferentaalyhtälö aaltofunktolle Ψ, joka ssältää hukkasen lkettä rajottavat ehdot. Tämä yhtälö on Schrödngern yhtälö jonka ratkasuna ss aaltofunkto Ψ saadaan. Schrödngern yhtälöä e voda johtaa klasssen mekankan tulokssta, mutta se vodaan johdatella vapaan hukkasen aaltofunktosta. Johdatellaan ja tarkastellaan stten tulosta. Muodostetaan vapaan hukkasen aaltofunktosta osttasdervaatat. Ensn tonen osttasdervaatta pakan :n suhteen: p / Et p / Et p Ae Ae p Stten ensmmänen dervaatta ajan suhteen: t E Ae / Et p E p / Et p Ae t 15
Jos hukkasen nopeus on pen suhteessa valon nopeuteen, sen kokonasenerga vodaan krjottaa muotoon: Jossa ensmmänen term on hukkasen lke-energa ja tonen term kuvaa, mllasessa potentaalssa hukkanen lkkuu. Kerrotaan kokonasenerga lauseke puolttan aaltofunktolla Ψ ja sjotetaan lasketut osttasdervaatat em. yhtälöön ja saadaan ajasta rppuva Schrödngern yhtälö:, t U m p E, t U m p E 16, t U m t,,, t z y U z y m t 1-dm. 3-dm
Kun tunnetaan hukkasen lkettä rajottava ulkonen voma U, vodaan Schrödngern yhtälön ratkasuna saada hukkasta kuvaava aaltofunkto Ψ. Kun tunnetaan hukkasen aaltofunkto Ψ, vodaan myös hukkasen pakan todennäkösyyttä kuvaava Ψ määrttää. Edellä oleva sjottamnen e ole perusteltua, se on van tehty. Schrödngern yhtälö e ole johdettavssa vaan se postulodaan. Ehtona on, että teoran ennustamat tulokset ovat yhtäptävä kokeellsten tulosten kanssa. On huomattu, että Schrödngern yhtälö kuvaa hyvn tarkast fyskaalsssa kokessa saatuja tuloksa. Edellä oleva yhtälö on käyttökelponen van kun hukkasen nopeus on pen ts. epärelatvstseen tlanteeseen. 17
5.5. LINEAARISUUS JA SUPERPOSITIO Schrödngern yhtälö on lneaarnen Ψ:n suhteen: Jos Ψ 1 ja Ψ ovat yhtälön ratkasuja, myös nden lneaarkombnaato Ψ= a Ψ 1 +b Ψ on ratkasu, kun a ja b ovat vakota. El myös aaltofunktot vovat nterferoda kuten äänaallot, valo, sähkömagneettset aallot. 18
ESIMERKKI 5.5 Osota, että Ψ=a 1 Ψ 1,t +a Ψ,t on Schrödngern yhtälön ratkasu, jos Ψ 1,t ja Ψ,t ovat sen ratkasuja. 19
5.6. ODOTUSARVOT Kun hukkaseen lttyvä aaltofunkto tunnetaan, hukkaseen lttyvät suureet vodaan laskea odotusarvona. Tarkastellaan hukkasen pakan odotusarvoa. Odotusarvo saadaan laskemalla keskarvo hukkasten, jolla on sama aaltofunkto, pakasta. Hukkassta N 1 kappaletta on psteessä 1, N kappaletta on psteessä, N 3 kappaletta on psteessä 3, jne Hukkasen keskmääränen pakka on jakauman massakeskpste N11 N N33... N N N... 1 3 N N Yhden hukkasen tapauksessa N korvataan todennäkösyystheydellä P että hukkanen löytyy välltä d. P d Sjotetaan tämä edellä olevaan yhtälöön ja muutetaan summaukset ntegraalks saadaan hukkasen pakan odotusarvoks 0
saadaan hukkasen pakan odotusarvoks d d d Yhtälö kertoo, että pakan odotusarvo <> löytyy Ψ :n massakeskpsteestä. 1
ESIMERKKI 5.6 Hukkasta kuvaa aaltofunkto Ψ=a välllä 0 1. Aaltofunkto Ψ=0 alueen ulkopuolella. a Mkä on todennäkösyys, että hukkanen löytyy välltä 0.45 0.55? b Mkä on hukkasen pakan odotusarvo?
Ylesest pakasta rppuvan funkton G odotusarvo vodaan laskea yhtälöstä G G d Lkemäärän p odotusarvoa e voda laskea tällä tavalla johtuen epätarkkuusperaatteesta. Sama ongelma on energan odotusarvon kanssa. 3
5.7. OPERAATTORIT JA ODOTUSARVOT Lkemäärän ja energan operaattort Aemmn estettn mten odotusarvot saadaan :lle ja stä rppuvalle funktolle. d Lkemäärän ja energan odotusarvoja e vo laskea samalla tavalla, koska ntegronnn suorttamseks p ja E ptäs lmottaa :n ja t:n funktona. Epätarkkuusperaatteesta johtuen p Koska lkemäärää ja energaa e voda määrttää tarkast, nden lmottamnen :n ja t:n avulla e ole mahdollsta. Täytyy löytää jokn muu keno. Et G G d 4
Kun vapaan hukkasen aaltofunkto dervotn pakan ja ajan suhteen, saatn kts. Esmerkk 5.4 t p E p E. t El tetyllä tapaa lkemäärää p vastaa dfferentaalnen operaattor pˆ ja energaa Eˆ t Operaattort kertovat, mtä tulee tehdä funktolle, joka seuraa operaattora. Dynaamsa muuttuja p ja E vastaavat operaattort pätevät ylesest. Tarkastellaan kokonasenergan lauseketta E=E Kn +U. Korvataan lauseke operaattorestyksellä: Eˆ Eˆ Kn Uˆ 5
6 Koska Saadaan kokonasenergan lauseke muotoon: Aemmn tässä kappaleessa määrtettn joten yhdstämällä energaoperaattorn lausekkeet saadaan: Kertomalla puolttan aaltofunktolla Ψ ta paremmnkn operomalla puolttan aaltofunktoon Ψ saadaan Schrödngern yhtälö: 1 ˆ ˆ m m m p E Kn U m E ˆ, ˆ t E U m t t U m
Tosn sanoen postulomalla lkemäärän ja energan operaattort, tullaan samalla postuloneeks Schrödngern yhtälö. Operaattort ja odotusarvot Koska p ja E vodaan korvata vastaavlla operaattorella, nden odotusarvot vodaan laskea käyttäen operaattorestyksä: p E * * pˆ d Eˆ d * * d d t * * t d d Huom! Laskujärjestys tärkeä! Jokanen fyskaalsest havattavssa oleva suure vodaan korvata vastaavalla kvanttmekaansella operaattorlla. Suureen odotusarvo saadaan laskemalla: G p, * Gˆ d El kun tunnetaan hukkasen aaltofunkto, kakk hukkaseen lttyvät suureet vodaan laskea. 7
ESIMERKKI 5.7 Laske hukkasen kneettsen energan odotusarvo tlassa, jota esttää aaltofunkto: / Ce 8
ESIMERKKI 5.8 Ptkn -aksela lkkuvan partkkeln aaltofunkto on C Ψ = + a Normta aaltofunkto. Mllä 0 arvolla todennäkösyys slle, että partkkel on välllä 0 on 1/. Laske partkkeln lkemäärän odotusarvo <p> 9
5.8. OPERAATTORIN OMINAISFUNKTIO JA OMINAISARVO Muuttujan G kvantttuneet arvot saadaan ratkasemalla nn sanottu omnasarvoyhtälö Gˆ n G n n Ss jos muuttuja G korvataan stä vastaavalla operaattorlla, nn mttausten slle antamat arvot ovat omnasarvoyhtälön ratkasut G n. 30
ESIMERKKI 5.9 Operaattorn d /d omnasfunkto on Mkä on vastaava omnasarvo? e 31
Mkäl potentaalenerga e rpu ajasta el se on van pakasta rppuva, aaltofunkto vodaan krjottaa tulona Sjotetaan tulofunkto ajasta rppuvaan Schrödngern yhtälöön ja saadaan jaetaan eksponenttfunktot pos ja saadaan ajasta rppumaton Schrödngern yhtälö t E p t E p Et e e e e / / / / A A Ajasta rppuva osa Pakasta rppuva osa 0 U E m t E t E t E e U e m e E / / / 0 U E m z z y y 1-dm. 3-dm. 3 5.9. SCHRÖDINGERIN YHTÄLÖN AIKARIIPPUVUUDEN EROTTAMINEN
Hukkasen kokonasenergaa vastaavaa operaattora Hˆ m U sanotaan Hamltonn operaattorks. Hamltonn operaattor vastaa klasssen mekankan Hamltonn funktota, joka on kokonasenergan lauseke pakkakoordnaatten ja lkemäärän avulla. Operomalla Hamltonn operaattorlla Ψ:hn, saadaan Schrödngern yhtälö Hˆ n E n n Hukkasen salltut energa-arvot ovat Hamltonn operaattorn omnasyhtälön omnasarvoja. 33
El jokasta hukkaselle mahdollsta energaa vastaa oma aaltofunkto, joka on Schrödngern yhtälön ratkasu. Jos hukkasen lkettä rajotetaan rajaamalla se tettyyn tlaan, hukkasen energa on kvantttunut. Schrödngern yhtälön ratkasufunktot ovat Hamltonn operaattorn omnasfunktota ja energa-arvot ovat näden funktoden omnasarvot. Hukkaseen lttyvä muuttuja vo olla myös kvantttumaton. Mttaus antaa tällön jakauman arvoja, joden keskarvo on odotusarvo: G G d Esmerkks vedyllä energa sekä kokonaskulmalkemäärä ovat kvantttuneta suureta, mutta elektronn pakka e. 34