Lisävaatimuksia aaltofunktiolle

Koko: px

Aloita esitys sivulta:

Download "Lisävaatimuksia aaltofunktiolle"

Ari-Pekka Uotila
6 vuotta sitten
Katselukertoja:

1 Lisävaatimuksia aaltofunktiolle (1) Koska Ψ*Ψ on äärellinen => Ψ on äärellinen. () Koska P = Ψ*Ψdτ => Ψ on yksiselitteinen. (3) Ψ on jatkuva. (4) dψ/dτ on jatkuva. Esimerkki Epäkelpoja aaltofunktioita Aaltofunktion antama informaatio Tarkastellaan yksidimensionaalista aaltofunktiota ψ(x): HΨ = EΨ H = m d dx +V x ( ) Ratkaisu vapaalle hiukkaselle [V(x) = 0], jonka massa on m: Ψ = Ae ikx + Be ikx ja E = k m

2 Osoitus, että kyseessä on aaltoyhtälön ratkaisu: m d Ψ dx = m d dx ( Ae ikx + Be ikx ) = m # A ik = k m ( ) e ikx + B( ik) e ikx ( Aeikx + Be ikx ) = EΨ $ % Ominaisyhtälö: Ωf = ω f (operaattori)(funktio) = (vakio) x (funktio) ominaisarvo ominaisfunktio Esimerkki Osoita, että e ax on operaattorin d/dx ominaisfunktio. Mikä on sen ominaisarvo? Onko e ax operaattorin d/dx ominaisfunktio? Jos tunnetaan systeemin aaltofunktio ja havaittavaa suuretta vastaava operaattori siten, että aaltofunktio on operaattorin ominaisfunktio, havaittavalle suureelle saadaan arvo yhtälön ominaisarvosta Schrödingerin aaltoyhtälö: (energiaoperaattori)(aaltofunktio) = (energia)x(aaltofunktio) havaittava suure

3 Liikemääräoperaattori Tarkastellaan yksiulotteista tapausta: ˆp = i d dx ˆpΨ = pψ Esimerkki Vapaa hiukkanen V(x) = 0 d Ψ m dx = EΨ Ψ = Aeikx + Be ikx ;E = k m (1) B = 0 Ψ = Ae ikx ˆpΨ = i p = k dψ dx = i A deikx dx = kaeikx Johtopäätökset: - Hiukkanen, jonka aaltofunktio on e ikx, liikkuu +x-suuntaan. - Hiukkanen, jonka aaltofunktio on e -ikx, liikkuu x-suuntaan. - Liikemäärä kummassakin tapauksessa on k. () A = 0 Ψ = Be ikx p = k (3) A = B Ψ = A( e ikx + e ikx ) = Acos x ˆpΨ = i d ( coskx) A dx = ka sinkx i Aaltofunktio ei ole ominaisfunktio

50 % tod. näk. 50 % Odotusarvo <Ω>: - suuren havaintojoukon keskiarvo Superpositio: => Ψ = Σc i Ψ i Ω = Ψ * ˆΩΨ dτ Odotusarvoja: (1) Olkoon Ψ Ω:n ominaisfunktio ja ω sen ominaisarvo.

4 Odotusarvo Liikemäärällä ei ole täsmällistä arvoa. Ψ = Ψ + Ψ (1) Jos p mitataan, havaitaan yksi arvo liikemäärälle, joka vastaa tilaa Ψ i. () Havainnon todennäköisyys = c i p = k p = k tod. näk. 50 % tod. näk. 50 % Odotusarvo <Ω>: - suuren havaintojoukon keskiarvo Superpositio: => Ψ = Σc i Ψ i Ω = Ψ * ˆΩΨ dτ Odotusarvoja: (1) Olkoon Ψ Ω:n ominaisfunktio ja ω sen ominaisarvo. => Ω = Ψ * ˆΩΨ dτ = Ψ *ωψ dτ = ω Ψ * Ψ dτ = ω () Olkoon φ = c 1 Ψ 1 + c Ψ (Ψ i on ominaisfunktio operaattorille Ω). Ω = ( c 1 Ψ 1 + c Ψ )* ˆΩ ( c 1 Ψ 1 + c Ψ )dτ = ( c 1 Ψ 1 + c Ψ )*( c 1 ˆΩΨ1 + c ˆΩΨ )dτ = ( c 1 Ψ 1 + c Ψ )*( c 1 ω 1 Ψ 1 + c ω Ψ )dτ = c 1 *c 1 ω 1 Ψ 1 * Ψ 1 dτ + c *c ω Ψ * Ψ dτ + c *c 1 ω 1 Ψ * Ψ 1 dτ + c 1 *c ω Ψ 1 * Ψ dτ Ω = c 1 ω 1 + c ω

5 Esimerkki Laske perustilassa olevan vety-atomin 1s-elektronin keskimääräinen etäisyys ytimestä. (3) Hiukkasen kineettinen energia yhdessä dimensiossa E k = Ψ * Êk Ψ dx = m Ψ * d Ψ dx dx Suuri kontribuutio kineettiseen energiaan, kun dψ /dx on suuri ja kun ψ on suuri.

Heisenbergin epätarkkuusperiaate Lähtökohta: Ψ = e ikx p = k Werner Heisenberg Ψ * Ψ = ( Ae ikx ) * ( Ae ikx ) = (Ae ikx )(Ae ikx ) = A => Hiukkasen liikemäärä tiedetään tarkasti, sijaintia ei

6 Heisenbergin epätarkkuusperiaate Lähtökohta: Ψ = e ikx p = k Werner Heisenberg Ψ * Ψ = ( Ae ikx ) * ( Ae ikx ) = (Ae ikx )(Ae ikx ) = A => Hiukkasen liikemäärä tiedetään tarkasti, sijaintia ei lainkaan. Epätarkkuusperiaate: Δx Δy Hiukkasen sijaintia ja liikemäärää ei koskaan voida määrittää tarkasti yhtäaikaa. Epätarkkuusperiatteen tulkinta: Epämääräinen sijainti: - Aaltofunktioiden superpositio. - Konstruktiivinen interferenssi. Tarkka sijainti tunnetaan: - Aaltofunktion arvo suuri yhdessä pisteessä, nolla muualla. - Aaltofunktio koostuu äärettömästä määrästä erilaisia aaltofunktioita, joiden liikemäärä on erisuuri.

7 Esimerkki (a) Luodin, jonka massa on 1,0 g, nopeuden epätarkkuus on 10-6 m s -1. Mikä on epätarkkuus luodin sijainnissa? (b) Jos elektronin nopeus tunnetaan samalla tarkkuudella, miikä on epätarkkuus elektronin sijainnissa? Esimerkki Hiukkasen aaltofunktio on Ψ(x) = a π 1/4 e ax missä a on vakio ja - < x <. Osoita, että tulo ΔpΔx on sopusoinnussa Heisenbergin epätarkkuusperiaatteen kanssa.

8 Komplementaariset havaittavat muuttujat: Muuttujat ovat komplementaarisia, jos seuraava ehto täyttyy: ˆΩ 1 ( ˆΩ Ψ) ˆΩ ˆΩ1 Ψ ( ) Esimerkki Sijainnin ja liikemäärän komplementaarisuus ˆx = x ˆp = i d dx Kommutaattori: ˆΩ 1, ˆΩ = ˆΩ 1 ˆΩ ˆΩ ˆΩ1 ˆxˆpΨ = x i ˆpˆxΨ = i dψ dx d ( xψ) = dx i $ # Ψ + x dψ dx % ' & ˆxˆpΨ ˆpˆxΨ = x i dψ dx i Ψ x dψ dx = i Ψ = i Ψ Relaksaatioaika ja spektriresoluutio Heisenbergin epätarkkuusperiaate: ΔE Δt! ΔνΔt 1 π missä ΔE = epätarkkuus virittyneen tilan energiassa Δν = spektriviivan leveys (resoluutio) Δt = virittyneen tilan elinikä (relaksaatioaika)

Esimerkki Elektronispektrit Δt 10-15 s (lyhyt elinikä) => ΔE 60 kj mol -1 Johtopäätös: - ΔE tilojen välinen energiaero - Vain muutama leveä absorptihuippu spektrissä; ei vähän hienorakennetta

9 Esimerkki Elektronispektrit Δt s (lyhyt elinikä) => ΔE 60 kj mol -1 Johtopäätös: - ΔE tilojen välinen energiaero - Vain muutama leveä absorptihuippu spektrissä; ei vähän hienorakennetta Esimerkki NMR - relaksaatioajat yleensä pitkiä - resoluutio yleensä hyvä 1,,3,4,5-Se 5 S :n 77 Se NMR spektri Esimerkki Mikroaaltospektroskopia Relaksaatio riippuu molekyylien keskinäisten törmäyksien välisestä ajasta (~ P) Johtopäätös: - Nesteissä ja liuoksissa ei MWspektriä voi havaita - Molekyylisäteessä parempi resoluutio

Schrödingerin aaltoyhtälön ratkaisuja yksinkertaisissa systeemeissä (1) Vapaa elektroni V(x) = 0 d Ψ m dx = EΨ Ψ = Aeikx + Be ikx ;E = k m Ψ*Ψ itsenäinen x- koordinaatista

:V(x) = 0; x 0, x L :V(x) = d Ψ m dx = EΨ Ψ = Aeikx + Be ikx ;E = k m => Kaikki ratkaisut eivät ole mahdollisia Reunaehdot: x = 0, Ψ = 0 ja x = L, Ψ = 0 => Ψ = Csinkx +

10 Schrödingerin aaltoyhtälön ratkaisuja yksinkertaisissa systeemeissä (1) Vapaa elektroni V(x) = 0 d Ψ m dx = EΨ Ψ = Aeikx + Be ikx ;E = k m Ψ*Ψ itsenäinen x- koordinaatista k voi saada minkä tahansa arvon Elektronin sijainti ei ole ennustettavissa Elektronin energia ei ole kvantittunut () Elektroni yksidimensionaalisessa laatikossa 0 < x < L :V(x) = 0; x 0, x L :V(x) = d Ψ m dx = EΨ Ψ = Aeikx + Be ikx ;E = k m => Kaikki ratkaisut eivät ole mahdollisia Reunaehdot: x = 0, Ψ = 0 ja x = L, Ψ = 0 => Ψ = Csinkx + Dcoskx Ψ = Csin nπ x L (n =1,,3,...) Pisteessä x = 0 ja Ψ = 0 => Ψ = C sin kx (C 0, D = 0) Pisteessä x = L ja Ψ = 0 => sin kl = 0 => kl = nπ E n = n π = n h (n =1,,3,...) ml 8mL

11 Normalisointi: Ψ = Csin nπ x L L # C sin nπ x & % (dx = C L $ L ' =1 C = L 0 Aaltofunktion kaarevuus kasvaa ja aallonpituus lyhenee, kun n kasvaa. Samalla energia kasvaa Ψ = # nπ x & sin% ( Energia kvantittunut L $ L ' (n = kvanttiluku) Huom! n > 0 => E 1 = h (nollapistenergia) 8mL - epätarkkuusperiaate - aaltofunktion kaarevuus Peräkkäisten energiatasojen välinen energiaero: ( E n+1 E n = n +1 ) h n h = 8mL ( n +1) 8mL Huom! ΔE pienenee, kun L kasvaa h 8mL Esimerkki Elektroni on lineaarisessa molekyylissä, jonka pituus on 1,0 nm. (a) Mikä on elektronin minimienergia? (b) Mikä on viritysenergia perustilalta 1. viritetylle tilalle?

Todennäköisyystiheys: Ψ * Ψ = Ψ = % $ 'sin nπ x % $ ' # L & # L & ψ Kun n kasvaa,

Vastaavuusperiaate: ψ Kvanttimekaniikka yhdistyy klassiseen mekaniikkaan korkeilla

0 nm pitkässä laatikossa perustilassa oleva hiukkanen sijaitsee (a) välillä 4,95 nm

12 Todennäköisyystiheys: Ψ * Ψ = Ψ = % $ 'sin nπ x % $ ' # L & # L & ψ Kun n kasvaa, todennäköisyys elektronin sijainnille laatikossa 0 < x < L tasoittuu. Vastaavuusperiaate: ψ Kvanttimekaniikka yhdistyy klassiseen mekaniikkaan korkeilla kvanttiluvuilla. Esimerkki Laske todennäköisyys, millä 10.0 nm pitkässä laatikossa perustilassa oleva hiukkanen sijaitsee (a) välillä 4,95 nm < x < 5,05 nm, (b) välillä 1,95 nm < x <,05 nm, (c) välillä 9,90 < x < 10,00 nm, (d) laatikon keskimmäisessä kolmanneksessa.

# L & # L & (3) Elektroni kaksidimensionaalisessa laatikossa V(x, y) = 0 $ Ψ & m % x + Ψ y

13 Ortogonaalisuus: Ψ n' * Ψ n dτ = 0 Esimerkki n = 1 Ψ 1 = L sin π x % $ ' # L & n = 3 Ψ 3 = 3π x % sin$ ' L # L & L 0 Ψ 1 * Ψ 3 dτ = % $ ' # L & L 0 sin π x % $ 'sin 3π x % $ 'dx = 0 # L & # L & (3) Elektroni kaksidimensionaalisessa laatikossa V(x, y) = 0 $ Ψ & m % x + Ψ y ' ) = EΨ ( Muuttujien erottaminen: Ψ = X(x)Y (y) d X m dx = E xx d Y m dy = E yy E = E x + E y

! X n1 = sin n 1π x $ # & L 1 L 1 %! Y n = sin n π y $ # & L % Ψ n1.

Hiukkanen kaksi-dimensionaalisella pinnalla n 1 = n = n 1 = n = 1 n 1 = 1 n = (3) Elektroni kolmidimensionaalisessa laatikossa 8 % Ψ n1,n,n (x,

8m (0 x L ;0 y L ;0 z L ) 1 3 L 1 n 1 = 1 n = 1 (3) Degeneraatio Kaksiulotteinen tapaus, jossa L 1 = L = L Ψ n1,n = sin n 1π x sin n π y L L L

14 ! X n1 = sin n 1π x $ # & L 1 L 1 %! Y n = sin n π y $ # & L % Ψ n1.n = X n1 Y n L Ψ n1,n = sin n 1π x % $ 'sin n π y % $ ' 0 x L 1 ;0 y L L 1 L # & # & L 1 E n1,n = n 1 L + n % $ ' h # 1 L & 8m L ( ) Esimerkki Hiukkanen kaksi-dimensionaalisella pinnalla n 1 = n = n 1 = n = 1 n 1 = 1 n = (3) Elektroni kolmidimensionaalisessa laatikossa 8 % Ψ n1,n,n (x, y, z) = $ ' # L 1 L L 3 & 1/ sin n 1π x % $ 'sin n π y % $ 'sin n3π z % $ ' # & # L & # L3 & E n1,n,n 3 = n 1 L + n 1 L + n % 3 $ ' h # L 3 & 8m (0 x L ;0 y L ;0 z L ) 1 3 L 1 n 1 = 1 n = 1 (3) Degeneraatio Kaksiulotteinen tapaus, jossa L 1 = L = L Ψ n1,n = sin n 1π x sin n π y L L L ( ) E n1,n = n 1 + n h 8mL Esimerkki Tapaus 1: n 1 = 1, n = Ψ 1, = % $ 'sin π x % $ 'sin π y % $ ' # L & # L & # L & E 1, = 5h 8mL Tapaus : n 1 =, n = 1 Ψ 1, = % $ 'sin π x % $ 'sin π y % $ ' # L & # L & # L & E 1, = 5h 8mL

Tunneli-ilmiö Tunneli-ilmiöllä ymmärretään

mukaista kiellettyä aluetta joko kokonaan tai

Läpäisyn todennäköisyys: x < 0 : Ψ = Ae ikx +

= d Ψ +VΨ = EΨ (E < V ) dx m( V E) 0 L L > x :

1+ eκl e κl & 16ε ( 1 ε (' ) ) ' * +' 1 0 L

15 Tunneli-ilmiö Tunneli-ilmiöllä ymmärretään hiukkasen läpäisyä klassisen mekaniikan mukaista kiellettyä aluetta joko kokonaan tai osittain. Läpäisyn todennäköisyys: x < 0 : Ψ = Ae ikx + Be ikx k = me k 0 x L : m Ψ = Ce κ x + De κ x κ = d Ψ +VΨ = EΨ (E < V ) dx m( V E) 0 L L > x : Ψ=A'e ikx + B'e ikx (Olkoon B' = 0) ( ) % ' T= 1+ eκl e κl & 16ε ( 1 ε (' ) ) ' * +' 1 0 L Scanning tunneling microscope: Pt, Rh, W e - Sähkövirta riippuu neulan kärjen ja tarkasteltavan pinnan välisestä etäisyydestä: - Sähkövirta-moodi - Vakioetäisyys-moodi Cs-atomeja seostettu GaAs:n pinnalle

16 Esimerkki Vetysidokset 8-hydroxyquiliinissa (8-hq) Science 013 DOI:10.116/science.14603

Samankaltaiset tiedostot

Potentiaalikuopalla tarkoitetaan tilannetta, jossa potentiaalienergia U(x) on muotoa

Potentiaalikuoppa Luento 9 Potentiaalikuopalla tarkoitetaan tilannetta, jossa potentiaalienergia U(x) on muotoa U( x ) = U U( x ) = 0 0 kun x < 0 tai x > L, kun 0 x L. Kuopan kohdalla hiukkanen on vapaa,