Oulun ylopsto Fyskan opetuslaboratoro Fyskan laboratorotyöt 1 1 LIITE SUORA SOVITTAMIE HAVAITOPISTEISII Tarkastelee fyskan tössä usen eteen tulevaa tlannetta, jossa olee tanneet kpl pstepareja X, Y. Arvot X vodaan olettaa tarkoks, utta arvohn Y vakuttaa satunnasa, noraaljakauan ukasa vrhetä ja jokasen arvon Y epätarkkuus on saa. Lsäks tedäe, että tutkaae lötä kuvaavan alln ukaan uuttujen X ja Y välllä tuls olla lneaarnen rppuvuus, ts. Y a bx, (L.1) ssä a ja b ovat tunteattoan suoran vakoter ja kulakerron. Tlanne on tällanen eserkks tään kurssn työn kohdalla, kun äärtäe jousen jousvakota ttaaalla valtun jousen osan pakkaa astekolla sekä värähtelevän jouspunnussysteen helahdusakaa assan funktona. Molessa ttauksssa punnuksen assa vodaan olettaa tarkaks, utta sekä pakkaan että helahdusakaan vakuttaa satunnasa vrhetä. Seuraavassa tarkastelee kahta erlasta enetelää, joden avulla voe sovttaa yhtälön (L.1) ukasen suoran havantopstese: Graafseen sovtukseen, jossa prräe havantopsteet ensn lletrpaperlle, prräe stten ns. graafsta tasotusta käyttäen ahdollsan hyvn havantopstetä noudattavan suoran ja äärtäe prretyn suoran avulla kulakertoen b ja ahdollsest yös vakotern a. Toseks tutustue yös penän nelösuan enetelään, jossa ajatellaan, että parhaat arvot kulakertoelle ja vakoterlle saadaan, kun havattujen ja teoreettsten Y-arvojen pokkeaen nelöden sua saa penän ahdollsan arvon. 1. Kuvaajsta Kuvaajen prtästä koskevat. seuraavat ohjeet: 1. Papern valnta: Jos prrät kuvaajan käsn, käytä lletrpapera. Jos teet kuvaajan tetokoneella, tulosta se rttävän suuressa koossa. Usen erllnen lte, jossa kuvaaja täyttää koko svun, on paras ratkasu.. Astekon valnta ja psteden erktsenen: Valtse astekko ja ttakaava sten, että psteet on helppo erktä koordnaatstoon ja psteden kautta kulkevan kuvaajan ykstyskohdat erottuvat. Merktse psteet selväst näkyvn käyttäen sybolna eserkks kolota, nelötä ta rasta.
LIITE SUORA SOVITTAMIE HAVAITOPISTEISII 3. Akselen jaotus ja katkasu: Merktse akselen jaotus ja nuerot selväst näkyvn. Jos prrettävät arvot sjatsevat kaukana orgosta, akseln vo katkasta ja prtää näkyvn van alueen, jossa sjatsee ttauspstetä. Katkasu erktään aksellle eserkks kahdella pokkvvalla ohesen alln tapaan. 4. Akselen neänen: eä akselt nn, että nestä käyvät l sekä suure että ttaykskkö. Käytä kuvaajassa saoja erkntöjä ja syboleta kun uuallakn selostuksessas. 5. uero ja otsko kuvaaja seuraavast: Kuva 1. Jousen venyä punnuksen assan funktona. Kuvaajan otskon vo sjottaa kuvan ylä- ta alapuolelle. Yleensä kuvaajat nuerodaan, jollon otskkoon tulee pste nueron jälkeen. Jos otskko on kokonanen lause, pste tarvtaan yös otskon loppuun. Otskon lopussa olevaa pstettä on usen tapana käyttää ana, jos kuvaajat on nuerotu. Alla olevaan allkuvaan on velä koottu tärkepä kuvaajan prtästä koskeva sääntöjä. uero ja otsko kuvaaja x 1 () 1,50 1,40 1,30 1,0 Kuva 1 a) Jousen pakka punnuksen assan funktona. eä aksel uodossa suure (ykskkö). Merktse akselelle jaotus ja nuerot selväst näkyvn. Merktse havantopsteet selväst näkyvlle. Käytä eserkks kolota, nelötä ta rasta sybolna. Valtse ttakaava Prrä sten, suora käyttäen vvotnta. Jos että havantopsteet ja suora täyttävät suora e kulje orgon kautta, jatka relust koko prtoalueen. suoraa tarvttaessa, nn että vot Prrä suora äärttää käyttäen sen vvotnta. lekkauspsteet Jos vaakaja/ta pystyakseln kanssa. 1,10 suora e kulje orgon kautta, jatka 1,00 suoraa tarvttaessa, nn että vot äärttää sen lekkauspsteet vaakaja/ta 0,90 pystyakseln kanssa. 0,00 0,10 0,0 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00 1,10 (kg)
Oulun ylopsto Fyskan opetuslaboratoro Fyskan laboratorotyöt 1 3. Suoran graafnen tasotus ja sovtus Kun havantopsteet on prretty kuvaajaan, nhn vodaan sovttaa suora prtäällä psteden kautta kulkeva suora ns. graafsta tasotusta käyttäen. Tällön havantopstetä ukaleva noudattaa ahdollsan tarkkaan havantopstetä, vakka se e kuljekaan kakken psteden kautta. yrkksääntönä graafsessa tasotuksessa vot ptää stä, että suoran ylä- ja alapuolelle jää yhtä onta pstettä. Jos tässä vaheessa löytyy selväst vrheellsä havantoja, ne vo jättää huootta suoraa prrettäessä, vakka psteet erktäänkn graafseen estykseen. Tarkastellaan velä lyhyest eserkkkuvaajan avulla stä, ten kulakertoen vo äärttää graafsest. Valtse kaks suoran pstettä ttausalueen alku- ja loppupäästä nn, että käytät kulakertoen äärtyksessä ttausaluetta ahdollsan laajast. (Huo.! Valtut psteet ovat ss prretyn suoran pstetä, evät tattuja pstetä.) Lue valtsees psteden x-arvot (el eserkkkuvaajassa -arvot) ja nätä vastaavat y:n arvot (eserkssä x1:n arvot). Määrtä x-arvojen erotus x ja y-arvojen erotus y. Suoran kulakerron on nyt y/x el eserkssä x1/. Kuvaajasta vo tarvttaessa lukea yös lekkauspsteet pysty- ja vaaka-akseln kanssa. Eserkkkuvaajassae lekkauspste a1 pystyakseln kanssa vastaa valtun jousen kohdan pakkaa x0 ttaastekolla lan punnusta. x 1 () 1,50 1,40 Kuva 1b) Jousen osan pakka punnuksen assan funktona. = (0,975-0,075) kg 1,30 1,0 1,10 a 1 = x0 = 1,010 x1= (1,370 1,035) 1,00 b 1 =x1/ = 0,335 / 0,900 kg = 0,37 /kg 0,90 0,00 0,10 0,0 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00 1,10 (kg)
4 LIITE SUORA SOVITTAMIE HAVAITOPISTEISII 3. Penän nelösuan enetelä 3.1 Penän nelösuan sovtus taulukkoenetelällä Kun tataan värähtelevän jous-punnussysteen helahdusakaa assan funktona, helahdusajan nelön ukaan rppuvuus T ja punnuksen assan välllä on työohjeen yhtälön (.8) T 4 3k j 4 k el T a b, ssä k on jousen jousvako ja j on jousen assa. Jos pystye äärttäään ttaustulostee avulla vakoden a ja b arvot, saae nden avulla lasketuks jousen jousvakon ja assan arvot, josta olee knnostuneta. Kutakn ttauksssa käyttäääe arvoa ja yhtälöstä (L.1) saatava teoreettnen arvo X vastaa nyt kaks arvoa: Havattu arvo Y teor y y teor a bx. (L.) teor Muodostetaan nyt teoreettsten arvojen y ja havattujen arvojen Y erotusten nelöden sua Q. Yhtälön (L.) perusteella saae Q teor ( y Y ) ( a bx Y 1 1 ). (L.3) Penän nelösuan enetelässä ajatellaan, että vakoden a ja b todennäkösät arvot, joden epätarkkuus on penn ahdollnen, löytyvät tlanteessa, jossa yhtälössä (L.3) esntyvä nelöden sua Q saa penän ahdollsen arvon. Tästä johtuu n penän nelösuan enetelä. Haetaan suan Q penn ahdollnen arvo laskealla sen osttasdervaatat vakoden a ja b suhteen ja asettaalla ne nollks. Tällön saae seuraavat yhtälöpart Q ( a bx Y ) 0 a b X Y 0 a 1 1 1. (L.4) Q ( a bx Y ) X 0 a X b X X Y 0 b 1 1 1 1
Oulun ylopsto Fyskan opetuslaboratoro Fyskan laboratorotyöt 1 5 Eserkks ratkasealla b yleästä yhtälöstä ja sjottaalla saatu lauseke alepaan yhtälöön saadaan selvlle vakon a arvo. Sjottaalla tää tulos yleästä yhtälöstä saatuun b : n lausekkeeseen saadaan yös vakon b arvo. än saadaan vakoterlle a ja kulakertoelle b lausekkeet a X Y X X Y 1 1 1 1 X ( X ) 1 1 X Y X Y 1 1 1 b X ( X ) 1 1. (L.5) Eserkk.1 Eräässä työssä haluttn äärttää kerrejousen jousvako ja assa. Tätä varten jouseen rpustettn ykstellen lsääällä 10 kpl punnuksa, joden jokasen assa ol 100 g, jous punnuksneen pantn helahteleaan ja tattn kyeneen peräkkäseen helahdukseen kuluva aka kole kertaa. Tällön saatn alla olevan Taulukon 1 ukaset tulokset. Sovta tuloksn työohjeen yhtälön (.7) ukanen penän nelösuan suora ja äärtä sen avulla jousen jousvako ja assa. Ratkasu: Lasketaan ensn kutakn assaa vastaavat kyeneen helahdukseen kuluvat ajat kolen havannon keskarvona ja krjataan nää taulukkoon. Jakaalla nää ajat kyenellä saadaan selvlle tutktun haronsen värähteljän jaksonaka. Penän nelösuan enetelää varten tarvtsee kutenkn jaksonakojen nelöt. ää on laskettu ja lstattu Taulukkoon. Taulukko 1. Mtatut kyenen helahduksen ajat sekä nden keskarvot. (kg) 10T1 (s) 10T (s) 10T3 (s) 10Tka (s) 0,1 7,5 7,44 7,5 7,493333 0, 8,65 8,65 8,65 8,650000 0,3 9,77 9,73 9,74 9,746667 0,4 10,75 10,78 10,67 10,73333 0,5 11,64 11,54 11,6 11,60000 0,6 1,44 1,4 1,49 1,45000 0,7 13,3 13,1 13,30 13,4667 0,8 14,03 13,97 13,91 13,97000 0,9 14,63 14,7 14,73 14,69333 1,0 15,34 15,30 15,38 15,34000
6 LIITE SUORA SOVITTAMIE HAVAITOPISTEISII Jotta vose laskea vakotern a ja kulakertoen b yhtälöstä (L.5), edän on laskettava seuraavat suat,, T, T, jossa kakssa suaus kulkee : n arvosta 1 arvoon 10. Tässä tapauksessa vastaa yhtälön (L.5) erkntää ja T vastaa erkntää Y. Kootaan näden laskesta varten Taulukko, jonka tonen sarake vasealla ssältää ttauksssa käytetyt assan arvot. Seuraavaan sarakkeeseen on laskettu assojen nelöt. eljäs sarake vasealta luken ssältää helahdusakojen nelöt ja sarake ääräsenä okealla assan ja helahdusajan nelön tulon kullakn käytetyllä assan arvolla. Taulukon alalla rvllä näkyvät tarvttavat suat. Taulukko. Penän nelösuan suoran paraetren laskesessa tarvttavat arvot. (kg) (kg ) Tka (s ) Tka (kgs ) 1 0,1 0,01 0,561500 0,056150 0, 0,04 0,7485 0,149645 3 0,3 0,09 0,949975 0,84993 4 0,4 0,16 1,15044 0,460818 5 0,5 0,5 1,345600 0,67800 6 0,6 0,36 1,55005 0,930015 7 0,7 0,49 1,75474 1,8319 8 0,8 0,64 1,951609 1,56187 9 0,9 0,81,158940 1,943046 10 1,0 1,00,353156,353156 Suat 5,5 3,85 14,55817 9,6409 X Sjotetaan nyt tarvttavat suat vakotern a ja kulakertoen b lausekkesn, jollon saae a ja T ( ) 55,94395 kg s 38,5 kg T 53,0160 kg 30,5 kg 3,85 kg s 14,55817 s 10 3,85 kg,903136 kg 8,5 kg 5,5 kg 9,6409 kgs (5,5 kg) s 0,351895 s 0,3519 s T T 10 9,6409 kgs 5,5 kg 14,55817 s b ( ) 10 3,85 kg - (5,5 kg). 96,4090 kgs - 78,891994 kgs 16,51097 kgs s s,00148,00 38,5 kg 30,5 kg 8,5 kg kg kg
Oulun ylopsto Fyskan opetuslaboratoro Fyskan laboratorotyöt 1 7 Yllä olevan kulakertoen b arvon perusteella jousen jousvakoks saadaan b s 4 4 4,00148 k kg k b,00148 s kg 19,73 kg s 19,73. Vastaavast käyttäällä kulakertoen b ja vakotern a arvoja yhdessä saae jousen assaks 4 a 3k j 4 j b 4 3 3 b j j 3a 3 0,351895 s 0,575 kg 57,5 g. b,00148 s kg 3. Penän nelösuan sovtus Excel-taulukkolaskentaohjelalla Kuten edellä estetystä eserkstä lenee, penän nelösuan suoran kulakertoen ja vakotern laskenen taulukkoenetelää käyttäen on elko työlästä. ykysn kuvaajat prretään ja penän nelösuan sovtus tehdäänkn yleensä sopvaa tetokoneohjelaa käyttäen. Seuraavassa on koottu lyhyest ohjeet shen, ten tään työn helahdusakattausten tuloksa vodaan kästellä Excel-taulukkolaskentaohjelalla: 1) Krjaa ttaustulokses Excel-taulukkoon. Tee tarvttavat laskutotukset Excelllä, nn että snulla on taulukossas sarakkeet, josta löytyvät tarkoks oletetut assat ja ntä vastaavat satunnasa vrhetä ssältävät helahdusakojen nelöt, T T. ) Prrä pstepart Excelllä kuvaajaan ja uokkaa kuvaajaa nn, että se on sopvan kokonen ja seltä löytyvät edellä Kuvassa 1 vaadtut asat el eserkks kuvaajan ja akseleden otskot. Merktse havantopsteet Exceln avulla rttävän selvää sybola käyttäen, nn että ne erottuvat kuvaajasta hyvn. 3) Lsää kuvaajaan penän nelösuan suora eserkks osottaalla okealla hrnäppäellä jotakn suoran pstettä ja valtsealla kohta nsert trendlne (suoenkelsessä versossa lsää suuntavva ). Yleensä ohjela ehdottaakn jo avautuvassa kkunassa vahtoehtoa lnear. Jos velä erktset kkunaan rastn ruutuun Dsplay equaton on chart, nn saat kuvaajaan halutessas näkyvn suoran yhtälön. (Huo.! Jos käytät joskus van kuvaajassa näkyvää yhtälöä, huolehd stä, että kulakerron ja vakoter näkyvät rttävällä nueersella tarkkuudella.) 4) Tee stten varsnanen penän nelösuan sovtus velä erkseen seuraavast: - Maalaa eserkks ttaustulostaulukkos alapuolelle taulukko ja krjota taulukon vasepaan yläkulaan =LIEST( ta suoenkelnen käsky =LIREGR(. Excel arvaa kyllä koennon jo uutaasta krjaesta, joten vot yös valta okean vahtoehdon lstasta tuplaklkkauksella. - Kun pääset kohtaan, jossa sulku on auk, Excel alkaa kysellä snulta tetoja. Koko koento on uotoa =LIEST(y:n arvot; x:n arvot; tos; tos) el sulkujen ssällä on neljä paraetra, jotka erotetaan tosstaan puolpsten. - Muuttujen y ja x arvot vot aalata hrellä tekeästäs taulukosta.
8 LIITE SUORA SOVITTAMIE HAVAITOPISTEISII - Ensänen paraetresta, joden arvo yllä on tos, vo yös puuttua, jollon kohtaan tulee van kaks puolpstettä peräkkän. Tos vodaan lottaa yös käyttäen nueroa 1. Jos paraetr saa arvon tos, Excel laskee yös suoran vakotern. Sen sjaan antaalla tässä paraetrlle arvo epätos, Excel pakottaa suoran kulkeaan orgon kautta, jollon pns-suoran vakoter on nolla. - Kun venen sulkujen ssällä oleva paraetr saa arvon tos (ta 1), Excel laskee yös vrherajat kulakertoelle ja vakoterlle. - Pana lopuks CTRL-SHIFT-ETER. Tällön aalaaaas taulukkoon tulostuvat ensäselle rvlle penän nelösuan suoran kulakerron ja vakoter ja toselle rvlle nden vrheet. Alla olevassa kuvassa on eserkk Excelllä prretystä kuvaajasta, jossa näkyvät sekä, T psteet että nhn sovtettu penän nelösuan suora. Kuva. Helahdusajan nelö assan funktona.,40,0,00 1,80 1,60 1,40 T (s ) 1,0 1,00 y =,001x + 0,3519 0,80 0,60 0,40 0,0 Jatka suoraa nn, että vot lukea lekkauspsteen vaakaakseln kanssa. 0,00-0,3-0, -0,1 0,0 0,1 0, 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1-0,0 (kg)