VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 23: Usean vapausasteen vaimenematon ominaisvärähtely osa 1

Transkriptio

1 / VÄRÄHTELYEANIIA SESSIO : Usean vapausasteen vaeneaton onasvärähtely osa JOHDANTO Usean vapausasteen systeen leyhtälöt ovat ylesessä tapausessa uotoa [ ]{ & } [ C]{ & } [ ] { } { F} & ( un vaennusta e oteta huooon, ysnertastuvat leyhtälöt ( uotoon [ ]{ & } [ ]{ } { F} & ( un vapausasteden luuäärä on n, ovat yhtälöden ( ja ( atrst n n-atrseja ja vetort n -vetoreta. assaatrs [ ] ja jäyyysatrs [ ] ovat yhteydessä tarasteltavan systeen le-energaan T ja oenergaan U seuraaven aavojen uasest T T T { & } [ ]{ & } U { } [ ]{ } ( äytännössä oordnaatt valtaan nn, että [ ] ja [ ] ovat syetrsä el [ ] [ ] T ja [ ] [ ] T. Usepen systeeen [ ] ja [ ] ovat postvsest defnttejä atrseja, joa ertsee stä, että elvaltasta tlaa { } ja { & } vastaavat energat T ja U ovat postvsa tapausta { } { & } { } luuun ottaatta. Jos systeellä on jäyän appaleen leahdollsuusa, on sen jäyyysatrs [ ] postvsest sedefntt, jollon U on nolla jäyän appaleen lettä edustavlla srtyllä ja postvnen uodonuutosn johtavlla on postvsest sedefntt, on det [ ]. Vastaavast as- srtyllä. un [ ] saatrs [ ] on postvsest sedefntt sllon, un systeellä on vapausasteta, john e lty htautta (assaa ta htausoentta. Tällön on vastaavast det [ ]. VAIENEATON OINAISVÄRÄHTELY Vaeneattoan onasvärähtelyn leyhtälössä ( on uortusvetorn { F } paalla nollavetor, joten se on uotoa [ ]{ & } [ ]{ } { } & ( Etstään yhtälön ( haronsta uotoa olevaa ratasua { } { } sn( t ϕ { & } { } sn( t ϕ & (6

2 apltud- on pystyvetor, utta rjotetaan tlan säästäses tässä ja jatossa usen jollon on onasulataajuus, ϕ vaheula ja { } { L n} vetor. { } / vaaasuuntasest. Sjottaalla yrte (6 yhtälöön ( saadaan ehto [ ]{ } sn( t ϕ [ ]{ } sn( t ϕ { } (7 Yhtälö (7 toteutuu van, jos ([ ] [ ] { } { } (8 joa on tunteattoen apltuden L hoogeennen yhtälöryhä. Ryhällä,,, n (8 on e-trvaaleja ratasuja van, jos sen erronatrsn deternantt on nolla el det ([ ] [ ] (9 jota sanotaan systeen araterstses yhtälös. ehttäällä deternantt (9 saadaan tunteattoan λ astetta n oleva yhtälö. Tällä yhtälöllä on n juurta, jota ertään λ, λ, L, λn sten, että λ λ L λn. Luvut λ,,, L, n ovat onasulataajuudet. Vodaan osottaa, että ne ovat e-negatvsa reaalluuja. Vastaavast luvut f / π,, L, n ovat onastaajuudet. Joasta onasulataajuutta vastaa vaoerronta valle ysästtenen onasuoto { }, joa rateaa aavasta (8, un shen on sjotettu. Ylesest on voassa, että systeellä on yhtä onta onasulataajuutta ja -uotoa un sllä on vapausasteta. Onasulataajuudet ja -uodot rppuvat van systeen assan ja jäyyyden jaaantusesta, utta evät esers uortussta ta oordnaatten valnnasta. osa onasuoto on vaoerronta valle ysästtenen, on se ysästtesest äärätty, un yhdelle oponentlle valtaan arvo. Onasuotoa sanotaan noreeratus, jos sen oponentt ovat ysästtesä. Srtyävetorn { } alot ovat joo translaatota ta rotaatota, jollon nllä on ysöt, esers ja rad. aavan (6 uaan yös onasuodon { } oponentella on vastaavat ysöt. Noreerattuja onasuotoja pdetään usen densottona, utta tosnaan ysöt joudutaan ottaaan huooon, uten esers havannollstettaessa onasuodon esttäää värähtelyä tlanteessa, jossa vapausastena on seä translaatota että rotaatota. Jos onasuotoja pdetään densottona, täytyy nueerset laselat tehdä uutenn lan ysötä, osa syntyvssä lauseessa evät densot täsää, jos systeellä on olean tyyppsä va-

3 / pausasteta. Noreeraus vodaan suorttaa onella tavalla, onasuotojen ollessa densottoa tavallsa enettelyjä ovat a Valtaan onasuodossa paassa olevan oponentn arvos ys. b Valtaan onasuodossa tsesarvoltaan suuran oponentn arvos ys. c Noreerataan onasuodot assaatrsn suhteen sten, että T,,, L,. Usen äytetään arvoja,,, L, n. { } [ ]{ } n Edellä noreerausessa äytettyä suuretta T { } [ ] { } ( } sanotaan onasuotoon { lttyväs odaalassas. Vastaavast suuretta T { } [ ]{ } ( sanotaan odaaljäyyydes. Densottoa onasuotoja äytettäessä on aavossa ( ja ( yös assaatrsn [ ] ja jäyyysatrsn [ ] ysöt jätettävä pos, jollon ss ja ovat paljata luuja. Jos ysöt otetaan äyttöön, on odaalassan perusysö g ja odaaljäyyyden perusysö N. saa- ertoalla onaspara daan yhtälö ja { } vastaava yhtälö (8 vasealta vetorlla { } T T T { } [ ]{ } { } [ ]{ } ( josta seuraa aavojen ( ja ( perusteella tulos / ( Onasulataajuudet vodaan peraatteessa ana äärttää deternanttyhtälöstä (9, utta deternantn ehttänen tulee työlääs, jos vapausasteta on paljon. Vastaavast noreeratut onasuodot vodaan lasea yhtälöryhästä (8, joa suurlla vapausasteäärllä on yös vaatva toenpde. Nätä tapausa ajatellen on ehtetty ona huoattavan tehoata, lähnnä teratvsa onasarvojen ja onasuotojen äärtysenetelä, john e tässä yhteydessä utenaan puututa. Seuraavassa estetään van eräs densottoen onasuotojen äärtystapa, joa on äyttöelponen van, jos vapausasteden äärä on pen. Oletetaan alus, että on araterstsen yhtälön (9 ysnertanen juur el ysnertanen onasulataajuus. ertään [ D( ] [ ] [ ] (

4 / } osa onasuodon a oponentt evät ole nolla, vodaan olettaa, että onasuodon { ensänen oponentt e ole nolla (oordnaatt e lty värähtelyn solupsteeseen. Sllon vodaan ottaa sen ensänen oponentt yöses { } { } { } { V} L ( jossa ss { V} { L n } [ D( ]{ } { } n. Yhtälöryhä (8 on tapausessa (6 Ostetaan yhtälöryhä (6 seuraavast D( [ D( ] { D ( } [ D ( ] { V} { } (7 osa on ysnertanen ulataajuus, atrs [ D ( ] e ole sngulaarnen. Yhtälöstä (7 seuraa onasuodon loppupään alolle lasuaava { V} [ D ( ] { D ( } (8 ESIERI VSE uva. Eser. uvan uasessa olen vapausasteen jous-assa systeessä on g ja N/. Ratase systeen onasulataajuudet ja yhtälöden ( ja (8 uasest noreeratut onasuodot. Lase velä odaalassat ja -jäyyydet. Ratasu: Onasvärähtelyn leyhtälöryhäs tulee esers Newtonn laa äyttäen && && && Leyhtälöryhää vastaava araterstnen yhtälö on det [ D( ]

5 / ( [( ] ( ( ( ( araterstsen yhtälön juuret ovat ( ( osa / (/ s, onasulataajuudet ja onastaajuudet ovat,6rad/ s,rad/ s 8,78rad/ s 7 f,8 Hz f, Hz f,9 Hz Edellä saatu araterstnen yhtälö on uotoa f( ( (. uvassa on polynon f ( uvaaja. Onasulataajuudet ovat sen nollaohdat. 6 araterstnen polyno. f( O( f( f( f( 6 8 6,,,, uva. Onasulataajuudet. aavan (8 uaan onasulataajuutta vastaava onasuoto { } saadaan vaoerronta valle ysästtesenä yhtälöryhästä Noreerataan onasuodot aavan ( uasest ja lasetaan onasuotojen loppupään alot aavasta (8. un, aavasta (8 seuraa { V } { } ( (

6 /6 Ensäses onasuodos tulee nän ollen { } { }. un, saadaan vastaavast { } { } V josta seuraa toses onasuodos { } { }. un, tulee { } { } ( ( V joten olas onasuoto on { } { }. uvassa on havannollstettu lasettuja onasuotoja. Lasetaan stten odaalassat ja -jäyyydet [ ] [ ] [ ] { } { } { } uva. Onasuodot.

7 /7 [ ] 7 7, (8 [ ] [ ] 7 688, (8 ESIERI VSE uvassa on olen vapausasteen lasentaall, jolla vodaan tuta sauvan asaalsa onasvärähtelytä, jollon jousvao on L EA / ja assa ρal /. Ratase systeen onasulataajuudet ja onasuodot. Ratasu: Systeellä on jäyän appaleen leahdollsuus, joa toteutuu, un oordnaatella on saa arvo. Jäyän appaleen lettä vastaa onasulataajuuden arvo nolla. aavojen ( ja (8 onasuotojen ratasuenetelä sop yös tapausn, jossa systeellä on jäyän appaleen leahdollsuusa. Leyhtälös saadaan esers Newtonn laa äyttäen && && && Helpost vodaan todeta, että systeen jäyyysatrs on sngulaarnen el [ ] det. araterstnen yhtälö on tässä tapausessa [ ] D( det ( ( ] [ ( ( ( ( (a L L E,A,ρ (b uva. Eser.

8 /8 / / / / Onasuodot saadaan ryhästä sjottaalla shen vuorotellen lasetut onasulataajuudet. Noreerataan onasuodot aavan ( uasest, jollon onasuotojen loppupään alot saadaan aavasta (8. Onasulataajuus vastaa jäyän appaleen lettä. Lasetaan ensn stä vastaava onasuoto { }. { } { } { } V { } on selväst jäyän appaleen lettä, osa alla oponentella on saa arvo, jollon jouset evät veny onasuodon { } uasessa leessä. un ja, saadaan vastaavast { } V { } V { } { } { } { } Onasvetoreta on havannollstettu uvassa. Ltetedosto: Douentt lasee usean vapausasteen systeen onasulataajuudet, onastaajuudet ja onasuodot seä vastaavat odaalassat ja odaaljäyyydet, un vapausasteden luuäärä n. { } { } { } uva. Onasuodot.

9 /9 HARJOITUS VSH Tarastellaan sesson VS9 harjotusen systeeä, jossa N/, g ja g. äärtä systeen onasulataajuudet ja onasuodot noreerattuna aavojen ( ja (8 uasest. Prrä onasuotoja havannollstavat uvat. Lase velä onasuotoja vastaavat odaalassat ja -jäyyydet. Vast. Vhjeet: { } { } { } ( rad/ s ( rad/ s 6 rad/ s HARJOITUS VSH O L / L / p θ p, I Tarastellaan sesson VS harjotusen systeeä, jossa p ja p seä L, N/ ja g. äärtä systeen onasulataajuudet ja onasuodot noreerattuna aavojen ( ja (8 uasest. Prrä onasuotoja havannollstavat uvat. Lase velä onasuotoja vastaavat odaalassat ja odaaljäyyydet. Vast. Vhjeet: { },6 { },89 { },rad/ s,,9 78,6 766,66,7rad/ s,,6 76,7 7,7 8,rad/ s,,9,,8 78,88