Ensimmäinen induktioperiaate

Transkriptio

1 Ensimmäinen induktioperiaate Olkoon P(n) luonnollisilla luvuilla määritelty predikaatti. (P(n) voidaan lukea luvulla n on ominaisuus P.) Todistettava, että P(n) on tosi jokaisella n N. ( Kaikilla luonnollisilla luvuilla on ominaisuus P.) 1 (Perusaskel). Osoitetaan, että P(0) on tosi. 2 (Induktioaskel). Tehdään induktio-oletus, että P(n) on tosi. Todistetaan induktioväite, että P(n + 1) on tällöin tosi. 3 (Johtopäätös). Todetaan, että väite n N : P(n) on tosi induktioperiaatteen nojalla.

2 Esimerkki Todistettava, että n! 2 n2 kaikilla n N. Perusaskel. Kun n = 0, niin epäyhtälön vasen puoli on 0! = 1. Oikea puoli on 2 02 = 2 0 = 1. Siis epäyhtälö on voimassa, kun n = 0. Induktioaskel. Induktio-oletus (IO): n! 2 n2. (IO) Induktioväite (IV): (n + 1)! 2 (n+1)2. (IV)

3 Esimerkki jatkuu Induktioväitteen todistus: (n + 1)! = (n + 1) n! IO (n + 1) 2 n2 ( ) 2 2n+1 2 n2 = 2 n2 +2n+1 = 2 (n+1)2 ( ) Induktiolla voidaan helposti todistaa, että n 2 n, joten myös n n+1. Johtopäätös. Induktioperiaatteen nojalla epäyhtälö n! 2 n2 pätee kaikilla n N.

4 4 Ensimmäinen induktioperiaate Induktioperiaate voidaan esittää formaalissa muodossa päättelysääntönä seuraavasti: P(0) n N : P(n) P(n + 1) n N : P(n) Entä miksi tämä päättelysääntö on pätevä?

5 Ensimmäinen induktioperiaate Vastaus piilee luonnollisten lukujen joukon perusolemuksessa: N on pienin sellainen joukko A, jolla pätee ehdot (i) 0 A (ii) jos n A, niin n + 1 A Oletetaan, että predikaatti P(n) toteuttaa induktioperiaatteen oletukset P(0) ja n N : P(n) P(n + 1). Tällöin joukko B = {n N P(n) on tosi} toteuttaa ehdot (i) ja (ii), joten N B. Siispä P(n) on tosi jokaisella n N.

6 Toinen induktioperiaate Olkoon P(n) taas luonnollisilla luvuilla määritelty predikaatti. Toinen induktioperiaate antaa vaihtoehtoisen tavan todistaa, että P(n) on tosi jokaisella n N. 1 (Perusaskel). Osoitetaan, että P(0) on tosi. 2 (Induktioaskel). Tehdään induktio-oletus: P(k) on tosi jokaisella k < n. Todistetaan induktioväite: P(n) on tällöin tosi. 3 (Johtopäätös). Todetaan, että väite n N : P(n) on tosi toisen induktioperiaatteen nojalla.

7 Toinen induktioperiaate Induktio-oletus on siis vahvempi toisessa induktioperiaatteessa (IP-2) kuin ensimmäisessä induktioperiaatteessa (IP-1). Induktioperiaatteet IP-1 ja IP-2 ovat kuitenkin yhtäpitävät: Lause 1: (a) IP-2 seuraa periaatteesta IP-1. (b) IP-1 seuraa periaatteesta IP-2. Miksi IP-2 sitten ylimalkaan muotoillaan? Vastaus: Koska vahvemman induktio-oletuksen avulla on joskus huomattavsti helpompi todistaa induktioväite.

8 Esimerkki Todistetaan, että jokainen luonnollinen luku n 2 on alkulukujen tulo. Olkoon siis P(n) predikaatti n < 2 tai on olemassa alkuluvut p 1,..., p m s.e. n = p 1... p m. Normaali perusaskel olisi tapaus n = 0 (OK, koska 0 < 2), mutta on helpompi aloittaa suoraan tapauksesta n = 2. Perusaskel. Kun n = 2, niin P(n) on tosi, koska 2 on alkuluku. Induktioaskel. IO: P(k) on tosi jokaisella k < n. IV: P(n) on tosi.

9 Esimerkki jatkuu Induktioväitteen todistus: Jos n on alkuluku, on P(n) triviaalisti tosi. Oletetaan siis, että n ei ole alkuluku. Tällöin on olemassa luvut k ja l s.e. 2 k, l < n ja n = k l. IO:n perusteella on olemassa alkuluvut p 1,..., p r, p r+1,..., p m s.e. k = p 1... p r ja l = p r+1... p m. Siispä n = k l = p 1... p r p r+1... p m, joten P(n) on tosi. Johtopäätös. IP-2 nojalla P(n) on tosi jokaisella n N.

10 10 Toinen induktioperiaate Toinen induktioperiaate voidaan esittää formaalissa muodossa päättelysääntönä seuraavasti: P(0) n N : ( k < n : P(k)) P(n) n N : P(n) Tämä päättelysääntö on pätevä, koska IP-2 on IP-1:n seuraus.

11 Hyvinjärjestysominaisuus Luonnollisten lukujen järjestys on hyvinjärjestys: Jos A N ja A, niin on olemassa m A s.e. m x jokaisella x A. Tässä m on joukon A pienin alkio, m = min A. Luonnollisten lukujen joukolla on siis hyvinjärjestysominaisuus (HJ): jokaisessa epätyhjässä osajoukossa on pienin alkio. Lause 2: IP-1, IP-2 ja HJ ovat keskenään ekvivalentit. Todistus: Luennolla todistetaan IP-2 HJ ja HJ IP-1. Lauseen 1 yhteydessä hahmotellaan IP-1 IP-2.

12 Esimerkki Induktio voidaan usein korvata HJ:n käytöllä. Todistetaan, että luku f (n) = n 3 n on kolmella jaollinen jokaisella n N. Tehdään vastaoletus: on olemassa n N s.e. 3 f (n). Siis joukko A = {n N 3 f (n)} on epätyhjä, joten HJ:n nojalla siinä on pienin alkio m. Nyt m 0, sillä 3 0 = f (0). Edelleen f (m 1) = (m 1) 3 (m 1) = (m 3 m) 3m 2 + 3m = f (m) + 3(m m 2 ). Koska 3 f (m), nähdään, että 3 f (m 1), joten m 1 A. Tämä on ristiriidassa oletuksen m = min A kanssa.