Onko kuvaukset injektioita? Ovatko ne surjektioita? Bijektioita?

Transkriptio

1 Matematiikkaa kaikille, kesä 2017 Avoin yliopisto Luentojen 2,4 ja 6 tehtäviä Päivittyy kurssin aikana 1. Olkoon A = {0, 1, 2}, B = {1, 2, 3} ja C = {2, 3, 4}. Luettele joukkojen A B, A B, A B ja (A B) C alkiot. Onko A B? Onko A B B? Onko B = C? Onko B A = C {4}? Ratkaisu: A B = {0, 1, 2, 3}, A B = {1, 2}, A B = {0}, (A B) C = {0, 1, 2, 3} {2, 3, 4} = {2, 3} A B ei päde, sillä 0 A mutta 0 / B, A B B pätee, sillä A B = {1, 2} ja 1 B ja 2 B, B = C ei päde, sillä 1 B, mutta 1 / C. B A = {3} ja C {4} = {2, 3}, joten ne eivät ole sama joukko. 2. Olkoon f : R R, f(x) = 1, ja g : R R, g(x) = x, h : R R, h(x) = x 2 Onko kuvaukset injektioita? Ovatko ne surjektioita? Bijektioita? Ratkaisu: f ei ole injektio, sillä f(0) = f(1) = 1, eikä surjektio, sillä millään x ei toteudu f(x) = 0. Koska f ei ole sekä injektio ja surjektio, niin se ei ole bijektio. g on injektio, sillä jos x y, niin g(x) g(y), sillä g(x) = x ja g(y) = y. g on surjektio, sillä jos y R, niin g(y) = y. Näin ollen g on bijektio. h ei ole injektio, sillä h( 1) = h(1) = 1, eikä bijektio sillä millään x ei toteudu h(x) = 1. Koska h ei ole sekä injektio ja surjektio, niin se ei ole bijektio. 3. (Berryn paradoksi) Luonnollisten lukujen joukolle N pätee seuraava ominaisuus: Olkoon A N. Tällöin on olemassa pienin luonnollinen luku, joka kuuluu A:han. Esimerkiksi joukolla {2, 5, 10} on pienin luku, 2. Miksi seuraavan "N:n osajoukon"määritelmä on ongelmallinen? {n N lukua n ei voida kuvailla suomen kielellä käyttämällä vähemmän kuin 20 sanaa} 1

2 Ratkaisu: Jos osajoukko määritellään näin, niin on olemassa pienin luonnollinen luku jota ei voida kuvailla suomen kielellä käyttämällä vähemmän kuin 20 sanaa. Mutta yllä käytettiin alle 20 sanaa kyseisen luvun kuvaamiseen. 4. Olkoon A epätyhjä joukko ja f : A P(A), f(a) = {a}. Onko kuvaus f injektio? Ratkaisu: On. Jos x ja y ovat A:n eri alkiota, niin f(x) = {x} ja f(y) = {y} ovat eri joukkoja, koska x y. 5. Osoita, että ei ole olemassa surjektiota A P(A). Vihje: Käytä vasta-oletusta ja johda ristiriita (reductio ad absurdum): oleta, että on olemassa surjektio f : A P(A). Tutki P(A):n alkiota B = {x A x / f(x)}. Koska f on surjektio, niin B = f(y) jollakin y A. Mihin päädyt jos y B? Mihin, jos y / B? Ratkaisu: Oletetaan, että f : A P(A) on surjektio. Olkoon B = {x A x / f(x)}. Koska f on surjektio, niin B = f(y) jollakin y A. Jos y B, niin y / f(y), eli y / B. Jos y / B, niin y / f(y), eli y B. Kummassakin tilanteessa päädytään ristiriitaan, joten surjektiota ei voi olla olemassa. 6. Onko olemassa injektiota P(A) A? Vinkki: Cantor-Bernstein-Schröder ja edelliset tehtävät Ratkaisu: Ei, jos injektio olisi olemassa, niin Cantor-Bernstein-Schröderin lause yhdessä tehtävän 4 kanssa sanoisi, että A = P(A), mutta tehtävien 4 ja 5 nojalla A < P(A). 7. (a) Olkoon A B. Osoita, että on olemassa injektio A:sta B:hen. Vihje: 1 (b) Pohdi hyödyntäen edellistä tehtävää ja a-kohtaa voidaanko määritellä joukko J joka koostuu kaikista joukoista? Ratkaisu: a) Olkoon f : A B, f(x) = x (huomaa, että kuvaus voidaan määritellä näin sillä A B). Nyt, jos x y, niin f(x) f(y), joten f on injektio. b) Jos voitaisiin määritellä tällainen joukko J, niin P(J ) J. Näin ollen a-kohdan mukaan on olemassa injektio P(J ) J, mutta edellisen tehtävän nojalla tällaista taas ei ole olemassa. 8. Tämä tehtävä havainnollistaa sitä, että kyyhkyslakkaperiaate ei päde äärettömille joukoille. D. Hilbert esitti artikkelissa [1] seuraavan kuuluisan ajatusleikin äärettömyydestä: Kuvitellaan täynnä oleva hotelli jossa on äärettömän monta yhden hengen huonetta huone 1, huone 2, huone 3, jne. Kuvitellaan neljä tilannetta: 1. Hotellille saapuu yksi uusi vieras. Voidaanko hänet majoittaa hotelliin? 2. Hotellille saapuu M kappaletta uusia vieraita. Voidaanko he kaikki majoittaa hotelliin? 3. Hotellille saapuu (numeroituvasti) ääretön määrä uusia vieraita 1 f : A B, f(x) = x 2

3 vieras 1, vieras 2, vieras 3,.... Voidaanko he kaikki majoittaa hotelliin? 4. Hotellille saapuu (numeroituvasti) ääretön määrä busseja bussi 1, bussi 2, bussi 3, jne. ja jokaisessa bussissa on (numeroituvasti) ääretön määrä uusia vieraita. Voidaanko he kaikki majoittaa hotelliin? Jokaisessa tilanteessa kysytään siis, voiko hotellin asiakkaat siirtää eri huoneisiin niin, että huoneita vapautuu tarvittava määrä. Ratkaisu: Kaikissa tilanteissa uudet vieraat voidaan majoittaa. Tilanne 1: siirretään huoneen 1 vieras huoneeseen 2, huoneen 2 vieras huoneeseen 3, jne. Näin ollen huone 1 vapautui uudelle asiakkaalle. Tilanne 2: siirretään huoneen 1 vieras huoneeseen M + 1, huoneen 2 vieras huoneeseen M + 2, jne. Näin ollen huoneet 1 M vapautui uusille asiakkaille. Tilanne 3: jokaisella luonnollisella luvulla n siirretään huoneen n vieras huoneeseen n 2. Eli huoneen 1 vieras pysyy huoneessaan, huoneen 2 vieras siirretään huoneeseen 4, huoneen 3 vieras siirretään huoneeseen 9, huoneen 4 vieras huoneeseen 16, jne. Tällä tavalla vapautuu tarvittava ääretön määrä huoneita (huoneet 2,3,5,6,7,8,10,11,12,13,14,15,17...). Tilanne 4: Merkitään bussin 1 vieraita b 1 (1), b 1 (2), b 1 (3),..., bussin 2 vieraita b 2 (1), b 2 (2), b 2 (3),... jne. Voidaan kirjata kaikki uudet vieraat äärettömään matriisiin b 1 (1) b 1 (2) b 1 (3)... b 2 (1) b 2 (2) b 2 (3)... b 3 (1) b 3 (2) b 3 (3) Nyt tehdään ensin tilaa hotelliin kuten edellisessä tilanteessa ja sijoitetaan uudet vieraat vapautuneisiin huoneisiin oikeaan yläviistoon menevien nuolien antavan järjestyksen mukaan (sama idea kuin luennolla kun osoitettiin että N = Q ). 9. Oletetaan, että f : A B ja g : B C ovat injektioita. Osoita, että h : A C, h(x) = g(f(x)) on injektio. Tämä osoittaa siis sen, että jos A B ja B C, niin A C. Ratkaisu: Olkoon x y. Koska f on injektio, niin f(x) f(y). Koska g on injektio, niin g(f(x)) g(f(y)). Näin ollen h on injektio. 10. Olkoon A, B ja C joukkoja. Osoita, että on olemassa bijektio f : A A. jos on olemassa bijektio f : A B, niin on olemassa bijektio g : B A 3

4 jos on olemassa bijektiot f : A B ja g : B C, niin on olemassa bijektio h : A C. Miten voisit yllä olevat kohdat ilmaista käyttämällä symboleja A, B, C ja =? Lisätieto: Tämä osoittaa sen, että joukkojen relaatio A B A = B on ekvivalenssirelaatio. Ratkaisu: f : A A, f(x) = x on bijektio, eli A = A. Oletetaan, että f : A B on bijektio. Koska f on surjektio, niin jokaisella y B on olemassa x A, jolle f(x) = y. Koska f on injektio, niin on olemassa ainoastaan yksi tällainen x. Määritellään g : B A säännöllä g(y) = x, missä x on ainut alkio A:ssa jolle f(x) = y. Eli jos A = B, niin B = A. Oletetaan, että f : AB ja g : B C ovat bijektioita. Määritellän kuvaus h : A C säännöllä h(a) = g(f(a)). h on injektio: osoitettiin edellisessä tehtävässä h on surjektio: olkoon z C. Koska g on surjektio, niin z = g(y) jollakin y B. Koska f on surjektio, niin y = f(x) jollakin x A. Näin ollen h(x) = g(f(x)) = g(y) = z. Näin ollen h on bijektio. Osoitettiin siis, että jos A = B ja B = C, niin A = C. 11. Olkoon B kaikkien äärettömien bittijonojen joukko. Osoita, että P(N) = B, ts. että on olemassa bijektio f : P(N) B. Äärettömät bittijonot ovat ykkösistä ja nollista koostuvia äärettömiä jonoja: Esim: , Ratkaisu: Määritellään bijektio f : P(N) B seuraavalla tavalla: jos A P(N), niin olkoon f(a) se bittijono a 0 a 1 a 2..., jossa a n = 1, jos n A ja a n = 0, jos n / A. Esim. f({0}) = , f({0, 2}) = Hotellitehtävään liittyvä lisäkysymys: Oletetaan, että jokainen ääretön bittijono vastaa yhtä ihmistä joka haluaa hotelille vieraaksi. Voidaanko he kaikki majoittaa hotelliin? Vihje: 2 Ratkaisu: Ei. Tehtävien 5, 10 ja 11 nojalla ei ole olemassa bijektiota N B. Näin ollen vaikka hotelli olisi tyhjä, niin uusia asiakkaita on liikaa. 13. Olkoon a 1, a 2,... ja b 1, b 2,... kaksi lukujonoa, joille pätee [a n+1, b n+1 ] [a n, b n ] kaikilla indekseillä n. Voidaan osoittaa, että tällöin on olemassa luku x joka kuuluu jokaiseen väliin [a n, b n ]. 2 Edellinen tehtävä ja tehtävä 5 4

5 Tätä tietoa voi käyttää osoittaakseen, että ei ole olemassa bijektiota N R. Pohditaan yhdessä miten se osoitetaan. Toisiakin tapoja on. Ratkaisu: Oletetaan, että f : N R on bijektio. Näin ollen R = {x 1, x 2, x 3,...}, missä x 1 = f(0), x 2 = f(1), jne. Poimitaan ensimmäiset luvut a 1 ja b 1 missä a 1 < b 1 jotka tulevat luettelossa vastaan jotka kuuluvat väliin [0, 1]. Tämän jälkeen poimitaan ensimmäiset luvut a 2 ja b 2 missä a 2 < b 2 jotka tulevat luettelossa vastaan jotka kuuluvat väliin [a 1, b 1 ]. Tämän jälkeen poimitaan ensimmäiset luvut a 3 ja b 3 missä a 3 < b 3 jotka tulevat luettelossa vastaan jotka kuuluvat väliin [a 2, b 2 ]. Jatkamalla näin saadaan kaksi lukujonoa a 1, a 2,... ja b 1, b 2,... joille pätee [a n+1, b n+1 ] [a n, b n ] kaikilla n. Tehtäväannon mukaan on olemassa luku x joka kuuluu jokaiseen näistä väleistä. Nyt x:ää ennen on äärellinen määrä lukuja lueteltuna. Toisaalta x kuuluu jokaiseen väliin [a n, b n, ], joten jollakin k N x on ensimmäinen luku joka tulee luettelossa vastaan, jolle x [a k, b k ]. Näin ollen x = a k+1 tai x = b k+1. Tästä seuraa, että x / [a k+2, b k+2 ] joka on ristiriidassa sen kanssa että x kuuluu kaikkiin näihin väleihin. 14. Olkoon f : X Y kuvaus. Jos on olemassa kuvaus g : Y X siten että f(g(x)) = x kaikilla x Y, niin g on f:n ns. oikea käänteiskuvaus. Oletetaan, että f on surjektio. Osoita tällöin että f:llä on olemassa oikea käänteiskuvaus. Pohdi tarvitsetko todistuksessa valinta-aksioomaa. Ratkaisu: Koska f on surjektio, niin jokaiselle x Y on olemassa (mahdollisesti useampi) a X, siten että f(a) = x. Käytetään valinta-aksioomaa ja "poimitaan"jokaiselle x yksi a siten että f(a) = x. Määritellään kuvaus g : Y X säännöllä g(x) = a, missä a tuo poimittu alkio. Nyt f(g(x)) = f(a) = x kaikilla x Y, joten g on f:n oikea käänteiskuvaus. Vektoriavaruudet 15. Tarkastellaan vektoriavaruutta R 2. (a) Kirjoita vektorit (2, 3) ja ( 1, 0) muodossa ae 1 + be 2 missä a, b R ja e 1 = (1, 0) sekä e 2 = (0, 1). (b) Kirjoita yllä olevat vektorit muodossa af 1 + bf 2, missä f 1 = ( 1, 0) ja f 2 = (1, 1). (c) Mikä vektori (a, b) on R 2 :n nollavektori? Ratkaisu: a) 2e 1 + 3e 2, e 1, b) f 1 + 3f 2 ja f 1, c) (0, 0) 16. Tarkastellaan vektoriavaruutta R 3. (a) Kirjoita vektorit (2, 3, 0) ja ( 1, 0, 1) muodossa ae 1 + be 2 + ce 3, missä a, b, c R ja e 1 = (1, 0, 0), e 2 = (0, 1, 0), e 3 = (0, 0, 1). (b) Kirjoita yllä olevat vektorit muodossa af 1 + bf 2 + cf 3, missä f 1 = ( 1, 0, 1), f 2 = e 2 ja f 3 = e 3. (c) Mikä vektori (a, b, c) on R 3 :n nollavektori? Ratkaisu: a) 2e 1 + 3e 2 ja e 1 + e 3 b) 2f 1 + 3f 2 + 2f 3 ja f 1 c) (0, 0, 0) 5

6 17. Avaruuden P 2 luonnollinen kanta on {f 1, f 2, f 3 } missä f 1 (x) = 1, f 2 (x) = x, f 3 (x) = x 2. (a) Mikä on P 2 :n dimensio? (b) Kirjoita polynomit g(x) = x + 2 ja h(x) = 2x 2 3x + 1 muodossa af 1 + bf 2 + cf 3, missä a, b, c R. (c) Päteekö P 2 P 3? (d) Määritellään kuvaus T : P 2 R 3, T (af 1 + bf 2 + cf 3 ) = ae 1 + be 2 + ce 3. Määritä T (g) ja T (h), missä g ja h ovat kuten b-kohdassa. Onko T bijektio? (e) Mikä polynomi on P 2 :n nollavektori? Ratkaisu: a) 3 b) g = 2f 1 + f 2 ja h = f 1 3f 2 + 2f 3 c) Pätee, sillä P 3 :ssa on kaikki polynomit joiden aste on korkeintaan 3, erityisesti se sisältää kaikki polynomit joiden aste on korkeintaan 2, eli koko avaruuden P 2 d) T (g) = 2e 1 +e 2, T (h) = e 1 3e 2 +2e 3. T on bijektio. e) N(x) = Osoita, että jono x = (a 1, a 2, a 3,...) missä a n = 1/n suppenee kohti lukua 0. Päteekö x c 0? Ratkaisu: Olkoon r > 0. Olkoon n r indeksi jolle n r > 1/r. Tällöin kaikilla n n r pätee a n 0 = 1/n < 1/n r < r Näin ollen a n 0 kun n. c 0 :aan kuuluu kaikki jonot jotka suppenevat kohti nollaa, joten x c Osoita, että jono x = (a 1, a 2,...), missä a n = 2 (1/2) n. Osoita, että x l 1. Vihje: geometrinen sarja. Ratkaisu: a n = 2 (1/2) k = (1/2) k 1 1 = 1 1/2 = 2 k=1 k=1 k=1 sillä sarja on geometrinen (jossa a = 1 ja suhdeluku q = 1/ Tarkastellaan kuvausta T : l l, T ((a 1, a 2, a 3,...)) = (0, a 1, a 2, a 3,...). Onko kuvaus injektio? Surjektio? Miten tämä kuvaus liittyy hotellitehtävän 8 1. tilanteeseen? Keksitkö kuvauksen S : l l jolle pätee S(T (a 1, a 2, a 3,...)) = (a 1, a 2, a 3,...)? Onko kuvaus S injektio? Surjektio? Ratkaisu: T on injektio: olkoon x = (a 1, a 2,...) ja y = (b 1, b 2,...) missä x y. Tällöin jollakin indeksillä n pätee a n b n. Näin ollen (0, a 1, a 2,...) (0, b 1, b 2,...), toisin sanoen T x T y. T ei ole surjektio: y = (1, 0, 0,...) l, mutta millään x l ei päde T x = y, sillä jonon T x ensimmäinen luku on 0. Olkoon S : l l, S(a 1, a 2,...) = (a 2, a 3,...). Tällöin S(T (a 1, a 2, a 3,...)) = S(0, a 1, a 2, a 3,...) = (a 1, a 2,...). 6

7 S ei ole injektio, sillä (0, 0, 0,...) (1, 0, 0,...), mutta S(0, 0, 0,...) = S(1, 0, 0,...) = (0, 0, 0,...) S on surjektio: olkoon (a 1, a 2,...) l. Tällöin (0, a 1, a 2,...) l ja S(0, a 1, a 2,...) = (a 1, a 2,...). [1] Hilbert, D. Über das Unendliche, Mathematische Annalen 95 (1926):