Olkoon seuraavaksi G 2 sellainen tasan n solmua sisältävä suunnattu verkko,
|
|
- Juha-Pekka Virtanen
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Tehtävä 1 : 1 a) Olkoon G heikosti yhtenäinen suunnattu verkko, jossa on yhteensä n solmua. Määritelmän nojalla verkko G S on yhtenäinen, jolloin verkoksi T voidaan valita jokin verkon G S virittävä alipuu. Puussa T on täsmälleen n 1 nuolta ja lisäksi jokaista särmää {x, y} E(T ) kohti on vähintään toinen ehdoista (x, y) E(G) ja (y, x) E(G) voimassa. Siten myös väite E(G) n 1 pätee. Olkoon seuraavaksi G sellainen tasan n solmua sisältävä suunnattu verkko, jonka solmujoukko on {1,..., n} ja jonka särmärelaatio on { (k, k + 1 ) : k { 1,..., n 1 } }. Toisin sanoen verkko G on n eri solmua sisältävä suunnattu polku. Verkko G on toispuoleisesti yhtenäinen, sillä joukon V (G ) jokaisella ehdon i j toteuttavalla osajoukolla {i, j} solmuja i ja j yhdistää suunnattu polku, jonka solmujoukko {k N : i k j} virittää. Lisäksi verkko G sisältää vain n 1 nuolta. b) Alkuperäistä tehtävänantoa vahvemmin oletetaan ehdon n 1 toteutuvan. Yhdestä solmusta koostuva suunnattu verkko on vahvasti yhtenäinen, mutta sillä ei ole yhtään nuolta. Toisaalta tyhjä suunnattu verkko ei sisällä yhtään solmua ja nuolta, jolloin myös haluttu väite toteutuu. Oletetaan väitteen n pätevän. Olkoon G jokin vahvasti yhtenäinen suunnattu verkko, jossa on n eri solmua. Erityisesti verkko G on nyt myös heikosti yhtenäinen. Olkoon T jokin verkon G S virittävä alipuu ja olkoon H sellainen verkon G aliverkko, joka sisältää jokaista puun T särmää e kohti täsmälleen yhden verkon G nuolen (x, y) siten, että ehto {x, y} = e on voimassa. Tällöin ehto H S = T toteutuu. Oletuksen n nojalla on olemassa jokin kaksio {a, b} V(G) siten, että ehto (a, b) E(H) toteutuu. Verkko G on vahvasti yhtenäinen, joten solmusta b lähtee jokin verkon G polku P siten, että solmu a on sen toinen päätepiste. Väite (a, b) / E(P) on voimassa, sillä muussa tapauksessa verkko P ei olisi solmusta b solmuun a kulkeva suunnattu polku. Verkko T on puu, joten särmän {a, b} poistaminen tekee siitä epäyhtenäisen. Tällöin tiedon H S = T perusteella nuolen (a, b) poistamisella verkosta H saatu 1
2 verkko ei ole heikosti yhtenäinen. Tiedon (a, b) / E(P) nojalla polku P ei siis ole verkon H aliverkko. Siten jokin polun P nuolista ei ole verkon H nuoli. Näin ollen verkossa G on vähintään n nuolta, sillä ehto E(H) = n 1 pätee. Olkoon G 3 sellainen verkko, joka saadaan edellisessä kohdassa määritellystä verkosta G nuolen (n, 1) lisäämisellä. Nyt jokainen verkon G 3 solmu sijaitsee solmusta 1 solmuun n kulkevalla suunnatulla polulla G sekä toisaalta solmusta n on myös solmuun 1 vievä nuoli. Verkko G 3 on siis vahvasti yhtenäinen. Lisäksi se sisältää vain n nuolta. Tehtävä 1 : Oletetaan hieman tehtävänantoa yleisemmin vain ehdon n 3 olevan voimassa. Olkoon G 1 sellainen suunnattu verkko, jonka solmujoukko on {1,..., n} ja jonka särmärelaatio on { (, ) } { (k, ) { } } 1 k + 1 : k,..., n 1. Tällöin verkko G 1 on heikosti yhtenäinen. Solmusta 1 ei lähde nuolta mihinkään verkon G 1 solmuun ja toisaalta vain solmusta lähtee solmuun 1 päättyvä nuoli. Lisäksi solmuun ei saavu yhtään verkon G 3 nuolta. Siten erityisesti solmujen 1 ja 3 välillä ei ole suunnattu polkua. Yhteensä n 1 nuolta sisältävä verkko G 1 ei siis ole toispuoleisesti yhtenäinen. Tehtävä 1 : 3 a) Oletetaan ehdon E(G) (n 1)(n ) + 1 olevan voimassa. Osoitetaan, että jokaisella kaksiolla {x, y} V(G) on itse asiassa sellainen suunnattu polku solmujen x ja y välillä, että sen varrella on korkeintaan kaksi nuolta. Tehdään nyt vastaoletus, että jollakin kaksiolla {a, b} V(G) kyseinen tilanne ei toteudu. Erityisesti siis ehdot (a, b) / E(G) ja (b, a) / E(G) ovat voimassa. Lisäksi jokaisella solmulla r V(G) \ {a, b} pätee, että joukossa { } (a, r), (r, a), (b, r), (r, b) E(G)
3 on korkeintaan kaksi alkiota. Toisaalta joukossa V (G) \ {a, b} on n solmua, joten kyseisen joukon virittämässä aliverkossa on enintään (n )(n 3) nuolta. Jokaisesta joukon V(G)\{a, b} alkiosta voi nimittäin lähteä enintään n 3 nuolta, sillä verkko G on silmukaton. Verkossa G on siis korkeintaan (n ) + (n )(n 3) eri nuolta. Ottamalla lausekkeessa luku n yhteiseksi tekijäksi havaitaan ehdon E(G) (n 1)(n ) olevan voimassa, mikä on ristiriidassa oletuksen kanssa. Verkon G jokaista solmuparia yhdistää siis jokin enintään kaksi nuolta sisältävä suunnattu polku. Erityisesti verkko G on toispuoleisesti yhtenäinen. Tehtävänannossa annettua toispuoleiseen yhtenäisyyteen tarvittavaa nuolten lukumäärän alarajaa ei yleisessä tapauksessa voida parantaa. Esimerkkinä toimii sellainen n solmua sisältävä verkko, jossa johonkin tasan n 1 solmua sisältävään täydelliseen ja silmukattomaan suunnattuun verkkoon on lisätty erakkosolmu. b) Oletetaan verkossa G olevan vähintään (n 1) + 1 nuolta ja osoitetaan sen olevan vahvasti yhtenäinen. Tehdään nyt vastaoletus, että verkko G ei ole vahvasti yhtenäinen. Vahvasti yhtenäiset komponentit muodostavat verkon solmujoukon osituksen, joten on olemassa verkon G vahvasti yhtenäinen komponentti C siten, että ehto V(C) V(G) toteutuu. Olkoon m verkon C solmujen lukumäärä. Silmukattomassa suunnatussa verkossa C on korkeintaan m(m 1) eri nuolta. Vastaavasti n m solmua sisältävässä suunnatussa verkossa G V(C) on enintään (n m)(n m 1) nuolta. Toisaalta jokaisella solmulla x V(C) ja jokaisella solmulla y V (G) \V(C) on solmujen x ja y välillä enintään yksi verkon G nuoli, sillä muussa tapauksessa solmut x ja y kuuluisivat samaan vahvasti yhtenäiseen komponenttiin. Näin ollen verkossa G on korkeintaan m(m 1) + (n m)(n m 1) + m(n m) eri nuolta. Laskemalla havaitaan tällöin ehdon E(G) n n + m nm olevan voimassa. Kyseessä on siis luvun m suhteen ylöspäin aukeava toisen asteen käyrä. Nyt tiedon m {1,..., n 1} nojalla kyseisen lausekkeen arvo on suurimmillaan 3
4 ehdon m {1, n 1} toteutuessa. Siten havainnon m nm = m(m n) mukaan väittämä E(G) (n 1) on voimassa vastoin alkuperäistä oletusta. Näin ollen verkko G on vahvasti yhtenäinen. Annettua vahvaan yhtenäisyyteen tarvittavaa nuolten lukumäärän alarajaa ei voida parantaa ilman muita oletuksia. Tarvittavana esimerkkinä voidaan käyttää sellaista verkkoa, jossa n 1 solmua sisältävään täydelliseen ja silmukattomaan suunnattuun verkkoon on lisätty jokin uusi solmu ja yhdistetty se nuolella verkon jokaiseen muuhun solmuun. Tehtävä 1 : 4 Turnauksen T jokaisen solmuparin välillä on määritelmän perusteella täsmälleen yksi nuoli. Verkon T särmärelaatiossa on näin ollen yhteensä ( n ) alkiota. Toisaalta jokainen nuoli lasketaan mukaan täsmälleen yhden solmun lähtöasteeseen, joten luku E(T ) on verkon T kaikkien solmujen lähtöasteiden summa. Tulosjonolta haluttu ehto s s n 1 = ( n ) on siis voimassa. Olkoon toisaalta k joukon {1,..., n 1} alkio. Tällöin joukko {x 0,..., x k 1 } virittää turnauksen T aliverkon T k siten, että myös suunnattu verkko T k on turnaus. Joukon {x 0,..., x k 1 } jokaisesta solmusta lähtee verkossa T k ainakin yhtä monta nuolta kuin verkon T tapauksessa. Lisäksi verkossa T k on tasan ( k ) nuolta, jolloin vaatimus s s k 1 ( k ) on voimassa. Tehtävä 1 : 5 Osoitetaan induktiolla luvun n Z + suhteen, että jokainen tehtävän 4 yhteydessä esitetyt ehdot toteuttava n alkiota sisältävä kasvava jono on jonkin n eri solmua sisältävän turnauksen tulosjono. Induktion alkuaskel toteutuu, sillä ehto ( 1 ) = 0 on voimassa. Tällöin ainoa tehtävän 4 ehdot toteuttava yhden alkion muodostama jono on yhden solmun muodostaman turnauksen tulosjono. Oletetaan induktio-oletuksena luvun n Z + olevan sellainen, että jokainen tehtävän 4 ehdot toteuttava n alkiota sisältävä kasvava jono on n solmua sisältävän 4
5 turnauksen tulosjono. Olkoon nyt (s 0,..., s n ) N n+1 sellainen kasvava jono, että se toteuttaa tehtävän 4 yhteydessä mainitut ehdot. Havaitaan väitteen ( n+1) ( = n ) ( + n ( 1) olevan voimassa. Luku n+1 ) nimittäin tarkoittaa niiden tapojen määrää, joilla n + 1 alkiota sisältävästä joukosta voidaan valita kaksi alkiota. Vaihtoehtoisten tapojen määrä on sama, jos kiinnitetään ensin tarkastellun joukon jokin alkio ja valitaan joko kaksi muuta alkiota tai kiinnitetty alkio sekä sen lisäksi jokin toinen alkio. Näin ollen oletuksen s 0 + +s n = ( n+1) perusteella saadaan tulos ( ) ( ) n + 1 n s s n 1 = s n = + (n s n ). Toisaalta jono (s 0,..., s n ) on kasvava ja ehdot n sekä ( n+1) 1 toteutuvat, joten väite s n 1 pätee. Siten myös ehto n 1 n s n on voimassa. Edellisen päättelyn perusteella voidaan nyt valita luvuksi p pienin sellainen joukon {0,..., n s n } alkio, jolla jollakin luvulla m {p,..., n 1} on ehto ( ) m + 1 s s m = + p voimassa. Jokin kyseisen ehdon toteuttava luku m pidetään jatkossa kiinnitettynä. Määritellään lukujono (r 0,..., r m ) Z m+1 siten, että jokaisella ehdon k p 1 toteuttavalla luvulla k N pätee r k = s k 1 ja että jokaisella k {p,..., m} ehto r k = s k on voimassa. Olkoon vastaavasti jono (r m+1,..., r n ) Z n m sellainen, että väite r n = s n + p m 1 pätee ja että jokaisella ehdot m + 1 k ja k n 1 toteuttavalla alkiolla k N on ehto r k = s k m 1 voimassa. Osoitetaan seuraavaksi, että jonot (r 0,..., r m ) ja (r m+1,..., r n ) ovat kasvavia jonoja, jotka toteuttavat tehtävässä 4 esitetyt ehdot. Jokaisella ehdon k p 1 toteuttavalla luvulla k N havaitaan väittämän ( ) k + 1 s s k + k + 1 ) toteuttaisi toteutuvan, sillä muutoin lukua p pienempi luku (s s k ) ( k+1 sellaiset ehdot, jotka minimaaliselta luvulta p oletettiin. Tällöin jokaisella ehdon k p 1 toteuttavalla luvulla k N saadaan tulos ( ) k + 1 r r k = (s 0 1) + + (s k 1) 5
6 sekä huomataan samalla, että lukujono (r 0,..., r m ) on ei-negatiivisten alkioiden muodostama kasvava jono. Luvusta p tehdyn oletuksen mukaan luku ( m+1) on lisäksi kyseisen jonon jäsenten summana, joten jono toteuttaa tehtävän 4 ehdot. Edelleen luvusta p tehtyä oletusta käyttämällä havaitaan myös, että jokaisella ehdot m + 1 k ja k n 1 toteuttavalla alkiolla k N on väite ( ) k + 1 r m r k + p (s s m ) (k m)(m + 1) ( ) ( ) ( ) k + 1 m + 1 k m = (k m)(m + 1) = voimassa, sillä soveltamalla kombinatorista päättelyä jonkin kiinnitetyn k + 1 eri alkiota sisältävän joukon kaksialkioisten osajoukkojen lukumäärän laskemiseen voidaan huomata ehdon ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) k + 1 m + 1 k m m + 1 k m = toteutuvan. Erityisesti jonon (r m+1,..., r n ) kaikki jäsenet ovat ei-negatiivisia, sillä myös ehto p 0 pätee. Toisaalta kyseessä on kasvava jono. Lisäksi vaatimus r m r n = s m s n (n m)(m + 1) + p ( ) n + 1 = (s s m ) (n m)(m + 1) + p ( ) ( ) ( ) n + 1 m + 1 n m = (n m)(m + 1) = on voimassa. Näin ollen jono (r m+1,..., r n ) toteuttaa kaikki tehtävän 4 yhteydessä esitetyt tulosjonon vaatimukset. Induktio-oletuksen perusteella on olemassa solmujoukkojensa osalta erilliset turnaukset T 1 ja T siten, että jono (r 1,..., r m ) on turnauksen T 1 tulosjono ja että jono (r m+1,..., r n ) on turnauksen T tulosjono. Olkoon nyt joukon V (T 1 ) V(T ) numerointi {x 0,..., x n } sellainen, että jokaisella luvulla k {0,..., n} solmu x k on tulosjonojen alkiota r k vastaava solmu. Määritellään lopuksi suunnattu verkko T turnausten T 1 ja T yhdisteenä siten, että jokaisella parilla (i, j) {0,..., m} {m + 1,..., n} pätee, että pari (x i, x j ) on mukana verkon T särmärelaatiossa, jos ehdoista i p 1 ja j = n molemmat 6
7 ovat voimassa, ja että muutoin pari (x j, x i ) on mukana verkon T särmärelaatiossa. Tällöin n + 1 solmua sisältävä suunnattu verkko T on turnaus. Edelleen jonojen (r 0,..., r m ) sekä (r m+1,..., r n ) alkuperäisiä määritelmiä tarkastelemalla voidaan havaita, että itse asiassa jono (s 0,..., s n ) on turnauksen T tulosjono. Induktioaskel on näin ollen käsitelty. Haluttu lopputulos pätee induktioperiaatteen nojalla. Tehtävä 1 : 6 Olkoon {x 0,..., x n 1 } turnauksen T solmujoukon numerointi tehtävän 4 tavoin siten, että jokaisella indeksillä l {0,..., n 1} luku s l on solmun x l lähtöaste. Oletetaan ensin, että turnaus T on vahvasti yhtenäinen. Olkoon tällöin luku k jokin mielivaltainen joukon {1,..., n 1} alkio. Solmujoukon {x 0,..., x k 1 } virittämä verkon T aliverkko T k on turnaus, jossa on yhteensä ( k ) nuolta. Verkko T on vahvasti yhtenäinen, jolloin solmusta x0 on solmuun x n 1 jokin verkon T suunnattu polku. Olkoon P tällainen polku. Nyt ehto x n 1 / V(T k ) toteutuu, joten polku P ei ole verkon T k polku. Tällöin jokin polun P nuolista kulkee jostakin joukon V(T k ) solmusta a johonkin joukon V(T ) \V(T k ) solmuun. Siten saadaan tulos s s k 1 ( ) k + 1, sillä solmusta a joukon V(T k ) ulkopuolelle verkossa T lähtevä nuoli ei ole joukon E(T k ) alkio. Tehtävässä kysytyn väitteen ensimmäinen suunta on todistettu. Oletetaan seuraavaksi kääntäen, että jokaisella alkiolla k {1,..., n 1} on ehto s s k 1 > ( k ) voimassa. Osoitetaan verkon T olevan tällöin vahvasti yhtenäinen olettamalla vastaoletuksena, että verkko T ei ole vahvasti yhtenäinen. Erityisesti verkolla T on ainakin kaksi vahvasti yhtenäistä komponenttia. Olkoon joukko C turnauksen T vahvasti yhtenäisten komponenttien kokoelma. Kurssin luennoilla on osoitettu, että on olemassa joukon C relaatio C siten, että relaatio C on joukon C lineaarijärjestys, jolla joukon C jokaisella kaksiolla {C, C } ja jokaisella parilla (r, s) V(C) V(C ) ehdot (r, s) E(T) ja C C C ovat keskenään yhtäpitävät. Olkoon C 0 joukon C pienin alkio lineaarijärjestyksen 7
8 C suhteen ja olkoon m verkon C 0 solmujen lukumäärä. Tiedon C 1 mukaan erityisesti ehdot m 1 ja m n 1 toteutuvat. Komponentista C 0 tehdyn oletuksen nojalla joukon V(C 0 ) ( V (T ) \V(C 0 ) ) jokaisella solmuparilla (r, s) on väite (r, s) E(T ) voimassa. Jokaisesta joukon V (C 0 ) solmusta lähtee siis vähintään n m nuolta. Joukon V(T )\V (C 0 ) jokaisesta solmusta lähtee vuorostaan enintään n m 1 nuolta, sillä määritelmän mukaan turnaukset ovat silmukattomia. Tulosjono (s 0,..., s n 1 ) on kasvava, joten väite V (T) \V(C 0 ) = { x 0,..., x n m 1 } on voimassa. Verkossa T joukon V(T ) \V (C 0 ) solmuista ei lähde yhtään nuolta joukon V (C 0 ) solmuihin, joten väite ( ) n m s s n m 1 = on ristiriitaisesti voimassa. Näin ollen verkko T on vahvasti yhtenäinen ja haluttu yhtäpitävyys on osoitettu todeksi. 8
verkkojen G ja H välinen isomorfismi. Nyt kuvaus f on bijektio, joka säilyttää kyseisissä verkoissa esiintyvät särmät, joten pari
Tehtävä 9 : 1 Merkitään kirjaimella G tehtäväpaperin kuvan vasemmanpuoleista verkkoa sekä kirjaimella H tehtäväpaperin kuvan oikeanpuoleista verkkoa. Kuvan perusteella voidaan havaita, että verkko G on
LisätiedotNäytetään nyt relaatioon liittyvien ekvivalenssiluokkien olevan verkon G lohkojen särmäjoukkoja. Olkoon siis f verkon G jokin särmä.
Tehtävä 6 : 1 Oletetaan ensin joukon X olevan sisältymisen suhteen minimaalinen solmut a ja b toisistaan erotteleva joukon V(G)\{a, b} osajoukko. Olkoon x joukon X alkio. Oletuksen nojalla joukko X\{x}
Lisätiedotisomeerejä yhteensä yhdeksän kappaletta.
Tehtävä 2 : 1 Esitetään aluksi eräitä havaintoja. Jokaisella n Z + symbolilla H (n) merkitään kaikkien niiden verkkojen joukkoa, jotka vastaavat jotakin tehtävänannon ehtojen mukaista alkaanin hiiliketjua
LisätiedotTehtävä 8 : 1. Tehtävä 8 : 2
Tehtävä 8 : 1 Merkitään kirjaimella G tarkasteltavaa Petersenin verkkoa. Olkoon A joukon V(G) niiden solmujen joukko, joita vastaavat solmut sijaitsevat tehtäväpaperin kuvassa ulkokehällä. Joukon A jokaisella
Lisätiedotb) Olkoon G vähintään kaksi solmua sisältävä puu. Sallitaan verkon G olevan
Tehtävä 7 : 1 a) Olkoon G jokin epäyhtenäinen verkko. Tällöin väittämä V (G) 2 pätee jo epäyhtenäisyyden nojalla. Jokaisella joukolla X on ehto X 0 voimassa, joten ehdot A < 0 ja F < 0 toteuttavilla joukoilla
LisätiedotTehtävä 4 : 2. b a+1 (mod 3)
Tehtävä 4 : 1 Olkoon G sellainen verkko, jonka solmujoukkona on {1,..., 9} ja jonka särmät määräytyvät oheisen kuvan mukaisesti. Merkitään lisäksi kirjaimella A verkon G kaikkien automorfismien joukkoa,
LisätiedotTehtävä 10 : 1. Tehtävä 10 : 2
Tehtävä 0 : Kuvassa Etelä-Amerikan valtioita vastaavat solmut on sijoitettu toisiinsa nähden niiden pääkaupunkien keskinäistä sijaintia vastaavalla tavalla. Kuvioon on joukon {0,, 2, 3 alkioilla merkitty
LisätiedotNäin ollen saadaan tulos rad(g) diam(g). Toisaalta huomataan, että verkon G kaikilla solmuilla x ja y pätee kolmioepäyhtälön nojalla havainto
Tehtävä 3 : 1 Olkoon G mielivaltainen epätyhjä verkko. Erityisesti siltä ei vaadita äärellisyyttä. Polut ovat verkon G koosta riippumatta määritelmän mukaan aina äärellisiä, joten kahden solmun välisen
Lisätiedot= 5! 2 2!3! = = 10. Edelleen tästä joukosta voidaan valita kolme särmää yhteensä = 10! 3 3!7! = = 120
Tehtävä 1 : 1 Merkitään jatkossa kirjaimella H kaikkien solmujoukon V sellaisten verkkojen kokoelmaa, joissa on tasan kolme särmää. a) Jokainen verkko G H toteuttaa väitteen E(G) [V]. Toisaalta jokainen
LisätiedotTehtävä 5 : 1. Tehtävä 5 : 2
Tehtävä 5 : 1 Merkitään kirjaimella H kuvan punaisten solmujen virittämää verkon G yhtenäistä aliverkkoa, jossa on yhteensä kolme särmää. Aliverkosta H voidaan kahdella tavalla valita kahden solmun joukko
LisätiedotKaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle.
Kombinatoriikka, kesä 2010 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia (RT (5 sivua Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle. 1. Osoita, että vuoden
LisätiedotAlgoritmi on periaatteellisella tasolla seuraava:
Algoritmi on periaatteellisella tasolla seuraava: Dijkstra(V, E, l, v 0 ): S := { v 0 } D[v 0 ] := 0 for v V S do D[v] := l(v 0, v) end for while S V do valitse v V S jolle D[v] on minimaalinen S := S
LisätiedotDiskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8
Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8 Tuntitehtävät 1-2 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 5- loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 3-4 tarkastetaan loppuviikon
LisätiedotJohdatus graafiteoriaan
Johdatus graafiteoriaan Syksy 2017 Lauri Hella Tampereen yliopisto Luonnontieteiden tiedekunta 62 Luku 2 Yhtenäisyys 2.1 Polku 2.2 Lyhin painotettu polku 2.3 Yhtenäinen graafi 2.4 Komponentti 2.5 Aste
LisätiedotJohdatus graafiteoriaan
Johdatus graafiteoriaan Syksy 2017 Lauri Hella Tampereen yliopisto Luonnontieteiden tiedekunta 126 Luku 3 Puut 3.1 Puu 3.2 Virittävä puu 3.3 Virittävän puun konstruointi 3.4 Minimaalinen virittävä puu
Lisätiedot2.1. Tehtävänä on osoittaa induktiolla, että kaikille n N pätee n = 1 n(n + 1). (1)
Approbatur 3, demo, ratkaisut Sovitaan, että 0 ei ole luonnollinen luku. Tällöin oletusta n 0 ei tarvitse toistaa alla olevissa ratkaisuissa. Se, pidetäänkö nollaa luonnollisena lukuna vai ei, vaihtelee
LisätiedotTehtävä 1. Päättele resoluutiolla seuraavista klausuulijoukoista. a. 1 {p 3 } oletus. 4 {p 1, p 2, p 3 } oletus. 5 { p 1 } (1, 2) 7 (4, 6)
Tehtävä 1 Päättele resoluutiolla seuraavista klausuulijoukoista. a. {{p 0 }, {p 1 }, { p 0, p 2 }, {p 1, p 2, p 3 }, { p 2, p 3 }, {p 3 }}, b. {{ p 0, p 2 }, {p 0, p 1 }, {{ p 1, p 2 }, { p 2 }}, c. {{p
Lisätiedota k+1 = 2a k + 1 = 2(2 k 1) + 1 = 2 k+1 1. xxxxxx xxxxxx xxxxxx xxxxxx
x x x x x x x x Matematiikan johdantokurssi, syksy 08 Harjoitus, ratkaisuista Hanoin tornit -ongelma: Tarkastellaan kolmea pylvästä A, B ja C, joihin voidaan pinota erikokoisia renkaita Lähtötilanteessa
LisätiedotHY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Johdatus logiikkaan I, syksy 2018 Harjoitus 5 Ratkaisuehdotukset
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Johdatus logiikkaan I, syksy 2018 Harjoitus 5 Ratkaisuehdotukset 1. Päättele resoluutiolla seuraavista klausuulijoukoista: (a) {{p 0 }, {p 1 }, { p 0, p 2 },
LisätiedotEnsimmäinen induktioperiaate
Ensimmäinen induktioperiaate Olkoon P(n) luonnollisilla luvuilla määritelty predikaatti. (P(n) voidaan lukea luvulla n on ominaisuus P.) Todistettava, että P(n) on tosi jokaisella n N. ( Kaikilla luonnollisilla
LisätiedotEnsimmäinen induktioperiaate
1 Ensimmäinen induktioperiaate Olkoon P(n) luonnollisilla luvuilla määritelty predikaatti. (P(n) voidaan lukea luvulla n on ominaisuus P.) Todistettava, että P(n) on tosi jokaisella n N. ( Kaikilla luonnollisilla
Lisätiedotj(j 1) = n(n2 1) 3 + (k + 1)k = (k + 1)(k2 k + 3k) 3 = (k + 1)(k2 + 2k + 1 1)
MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Tentti ja välikokeiden uusinta 10.11.015 Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi ym. tiedot! Laskimia tai taulukoita ei saa käyttää tässä kokeessa!
LisätiedotLuonnollisen päättelyn luotettavuus
Luonnollisen päättelyn luotettavuus Luotettavuuden todistamiseksi määrittelemme täsmällisesti, milloin merkkijono on deduktio. Tässä ei ole sisällytetty päättelysääntöihin iteraatiosääntöä, koska sitä
LisätiedotÄärellisten mallien teoria
Äärellisten mallien teoria Harjoituksen 5 ratkaisut (Hannu Niemistö) Tehtävä 1 OlkootGjaG neljän solmun verkkoja Määritä, milloing = 2 G eli verkot ovat osittaisesti isomorfisia kahden muuttujan suhteen
Lisätiedot1. Osoita, että joukon X osajoukoille A ja B on voimassa toinen ns. de Morganin laki (A B) = A B.
HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan muun muassa kahden joukon osoittamista samaksi sekä joukon
LisätiedotSekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä
Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja
LisätiedotMiten osoitetaan joukot samoiksi?
Miten osoitetaan joukot samoiksi? Määritelmä 1 Joukot A ja B ovat samat, jos A B ja B A. Tällöin merkitään A = B. Kun todistetaan, että A = B, on päättelyssä kaksi vaihetta: (i) osoitetaan, että A B, ts.
LisätiedotLiite: Verkot. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Liite: Verkot TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 : Mitä opimme? Verkkoteoria on hyödyllinen sovelletun matematiikan osa-alue, jolla on sovelluksia esimerkiksi logiikassa, operaatiotutkimuksessa, peli-ja päätösteoriassa
LisätiedotVapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0.
Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +
LisätiedotV. V. Vazirani: Approximation Algorithms, luvut 3-4 Matti Kääriäinen
V. V. Vazirani: Approximation Algorithms, luvut 3-4 Matti Kääriäinen Luento omatoimisen luennan tueksi algoritmiikan tutkimusseminaarissa 23.9.2002. 1 Sisältö Esitellään ongelmat Steiner-puu Kauppamatkustajan
LisätiedotYhtenäisyydestä. Johdanto. Lähipisteavaruus. Tuomas Korppi
Solmu 2/2012 1 Yhtenäisyydestä Tuomas Korppi Johdanto Tarkastellaan kuvassa 1 näkyviä verkkoa 1 ja R 2 :n (eli tason) osajoukkoa. Kuvan 2 verkko voidaan jakaa kolmeen osaan niin, että osien välillä ei
LisätiedotKannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos:
8 Kanta Tässä luvussa tarkastellaan aliavaruuden virittäjävektoreita, jotka muodostavat lineaarisesti riippumattoman jonon. Merkintöjen helpottamiseksi oletetaan luvussa koko ajan, että W on vektoreiden
LisätiedotÄärellisten mallien teoria
Äärellisten mallien teoria Harjoituksen 4 ratkaisut Tehtävä 1. Määritä suurin aste k, johon saakka kuvan verkot G ja G ovat osittaisesti isomorfisia: Ratkaisu 1. Huomataan aluksi, että G =4 G : Ehrenfeucht-Fraïssé
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I
MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 3. huhtikuuta 2014 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteetesimerkkejä,
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I
MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 3. huhtikuuta 014 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteetesimerkkejä,
LisätiedotLuonnollisten lukujen induktio-ominaisuudesta
Solmu 1/2019 19 Luonnollisten lukujen induktio-ominaisuudesta Tuomas Korppi Johdanto Kuten lukija varmaan tietääkin, luonnollisille luvuille voidaan tehdä induktiotodistuksia. Tämä mahdollisuus on ominainen
LisätiedotTodistusmenetelmiä Miksi pitää todistaa?
Todistusmenetelmiä Miksi pitää todistaa? LUKUTEORIA JA TO- DISTAMINEN, MAA11 Todistus on looginen päättelyketju, jossa oletuksista, määritelmistä, aksioomeista sekä aiemmin todistetuista tuloksista lähtien
LisätiedotEsitetään tehtävälle kaksi hieman erilaista ratkaisua. Ratkaisutapa 1. Lähdetään sieventämään epäyhtälön vasenta puolta:
MATP00 Johdatus matematiikkaan Ylimääräisten tehtävien ratkaisuehdotuksia. Osoita, että 00 002 < 000 000. Esitetään tehtävälle kaksi hieman erilaista ratkaisua. Ratkaisutapa. Lähdetään sieventämään epäyhtälön
LisätiedotYhtäpitävyys. Aikaisemmin osoitettiin, että n on parillinen (oletus) n 2 on parillinen (väite).
Yhtäpitävyys Aikaisemmin osoitettiin, että n on parillinen (oletus) n 2 on parillinen (väite). Toisaalta ollaan osoitettu, että n 2 on parillinen (oletus) n on parillinen (väite). Nämä kaksi väitelausetta
LisätiedotLuonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen
Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen LuK-tutkielma Jussi Piippo Matemaattisten tieteiden yksikkö Oulun yliopisto Kevät 2017 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Esitietoja 3 2.1 Joukko-opin perusaksioomat...................
LisätiedotMatematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista
Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Valitse seuraaville säännöille mahdollisimman laajat lähtöjoukot ja sopivat maalijoukot niin, että syntyy kahden muuttujan funktiot (ks. monisteen
LisätiedotFunktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina.
Funktiot Tässä luvussa käsitellään reaaliakselin osajoukoissa määriteltyjä funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Avoin väli: ]a, b[ tai ]a, [ tai ],
LisätiedotApprobatur 3, demo 1, ratkaisut A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat.
Approbatur 3, demo 1, ratkaisut 1.1. A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat. Käydään kaikki vaihtoehdot läpi. Jos A on rehti, niin B on retku, koska muuten
LisätiedotInduktiotodistus: Tapaus n = 0 selvä; ol. väite pätee kun n < m.
Väite: T (n) (a + b)n 2 + a. Induktiotodistus: Tapaus n = 0 selvä; ol. väite pätee kun n < m. Huomaa että funktion x x 2 + (m 1 x) 2 kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli, joten funktio saavuttaa suurimman
LisätiedotKurssikoe on maanantaina 29.6. Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla.
HY / Avoin ylioisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 201 Harjoitus 7 Ratkaisut palautettava viimeistään perjantaina 26.6.201 klo 16.00. Huom! Luennot ovat salissa CK112 maanantaista 1.6. lähtien.
LisätiedotEulerin verkkojen karakterisointi
Eulerin verkkojen karakterisointi Pro Gradu -tutkielma Jenni Heikkilä 373175 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 018 Sisältö Johdanto 1 Verkkojen peruskäsitteet 3 1.1 Verkon määrittely.........................
LisätiedotVapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0.
Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +
Lisätiedotv 8 v 9 v 5 C v 3 v 4
Verkot Verkko on (äärellinen) matemaattinen malli, joka koostuu pisteistä ja pisteitä toisiinsa yhdistävistä viivoista. Jokainen viiva yhdistää kaksi pistettä, jotka ovat viivan päätepisteitä. Esimerkiksi
LisätiedotDiskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9
Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9 Tuntitehtävät 9-10 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 13-14 loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 11-12 tarkastetaan loppuviikon
LisätiedotRatkaisu: Käytetään induktiota propositiolauseen A rakenteen suhteen. Alkuaskel. A = p i jollain i N. Koska v(p i ) = 1 kaikilla i N, saadaan
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Johdatus logiikkaan I, syksy 2018 Harjoitus 2 Ratkaisuehdotukset 1. Olkoon totuusjakauma v sellainen että v(p i ) = 1 kaikilla i N ja A propositiolause, jossa
LisätiedotVieruskaverisi on tämän päivän luennolla työtoverisi. Jos sinulla ei ole vieruskaveria, siirry jonkun viereen. Esittäytykää toisillenne.
Aloitus Vieruskaverisi on tämän päivän luennolla työtoverisi. Jos sinulla ei ole vieruskaveria, siirry jonkun viereen. Esittäytykää toisillenne. Mitkä seuraavista väitteistä ovat tosia? A. 6 3 N B. 5 Z
LisätiedotVastaoletuksen muodostaminen
Vastaoletuksen muodostaminen Vastaoletus (Antiteesi) on väitteen negaatio. Sitä muodostettaessa on mietittävä, mitä tarkoittaa, että väite ei ole totta. Väite ja vastaoletus yhdessä sisältävät kaikki mahdolliset
Lisätiedoton Abelin ryhmä kertolaskun suhteen. Tämän joukon alkioiden lukumäärää merkitään
5. Primitiivinen alkio 5.1. Täydennystä lukuteoriaan. Olkoon n Z, n 2. Palautettakoon mieleen, että kokonaislukujen jäännösluokkarenkaan kääntyvien alkioiden muodostama osajoukko Z n := {x Z n x on kääntyvä}
Lisätiedot58131 Tietorakenteet ja algoritmit (kevät 2014) Uusinta- ja erilliskoe, , vastauksia
58131 Tietorakenteet ja algoritmit (kevät 2014) Uusinta- ja erilliskoe, 10..2014, vastauksia 1. [9 pistettä] (a) Todistetaan 2n 2 + n + 5 = O(n 2 ): Kun n 1 on 2n 2 + n + 5 2n 2 + n 2 +5n 2 = 8n 2. Eli
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I
MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto. maaliskuuta 05 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä. ym.,
LisätiedotKurssikoe on maanantaina Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla.
HY / Avoin ylioisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 05 Harjoitus 6 Ratkaisut palautettava viimeistään tiistaina.6.05 klo 6.5. Huom! Luennot ovat salissa CK maanantaista 5.6. lähtien. Kurssikoe on
Lisätiedotkeskenään isomorfiset? (Perustele!) Ratkaisu. Ovat. Tämän näkee indeksoimalla kärjet kuvan osoittamalla tavalla: a 1 b 3 a 5
Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 6, 21.10.2015 1. Ovatko verkot keskenään isomorfiset? (Perustele!) Ratkaisu. Ovat. Tämän näkee indeksoimalla kärjet kuvan osoittamalla tavalla: a 2 b 4 a
LisätiedotJOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 3, MALLIRATKAISUT
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 3, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. (i) Olkoot n, d 1 ja d n. Osoita, että (k, n) d jos ja vain jos k ad, missä (a, n/d) 1. (ii) Osoita, että jos (m j, m k ) 1 kun
Lisätiedot1. Esitä rekursiivinen määritelmä lukujonolle
Matematiikan laitos Johdatus Diskrettiin Matematiikkaan Harjoitus 4 24.11.2011 Ratkaisuehdotuksia Aleksandr Pasharin 1. Esitä rekursiivinen määritelmä lukujonolle (a) f(n) = (2 0, 2 1, 2 2, 2 3, 2 4,...)
LisätiedotRatkaisu: a) Kahden joukon yhdisteseen poimitaan kaikki alkiot jotka ovat jommassakummassa joukossa (eikä mitään muuta).
Matematiikan laitos Johdatus Diskreettiin Matematiikaan Harjoitus 1 03.11.2010 Ratkaisuehdotuksia Aleksandr Nuija 1. Tarkastellaan joukkoja A = {1,3,4}, B = {2,3,7,9} ja C = {2, 5, 7}. Määritä joukot (a)
LisätiedotKonvergenssilauseita
LUKU 4 Konvergenssilauseita Lause 4.1 (Monotonisen konvergenssin lause). Olkoon (f n ) kasvava jono Lebesgueintegroituvia funktioita. Asetetaan f(x) := f n (x). Jos f n
LisätiedotPuiden karakterisointi
Puiden karakterisointi LuK-tutkielma Airta Ella 2502661 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2018 Sisältö Johdanto 2 1 Johdatus verkkoteoriaan 3 1.1 Verkko käsitteenä.........................
LisätiedotVapaus. Määritelmä. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee:
Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +
Lisätiedot4 Matemaattinen induktio
4 Matemaattinen induktio Joidenkin väitteiden todistamiseksi pitää näyttää, että kaikilla luonnollisilla luvuilla on jokin ominaisuus P. Esimerkkejä tällaisista väitteistä ovat vaikkapa seuraavat: kaikilla
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/141 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.
LisätiedotTekijä Pitkä Matematiikka 11 ratkaisut luku 2
Tekijä Pitkä matematiikka 11 0..017 170 a) Koska 8 = 4 7, luku 8 on jaollinen luvulla 4. b) Koska 104 = 4 6, luku 104 on jaollinen luvulla 4. c) Koska 4 0 = 80 < 8 ja 4 1 = 84 > 8, luku 8 ei ole jaollinen
LisätiedotJohdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 2, Osoita että A on hyvin määritelty. Tee tämä osoittamalla
Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 2, 23.9.2015 1. Osoita että A on hyvin määritelty. Tee tämä osoittamalla a) että ei ole olemassa surjektiota f : {1,, n} {1,, m}, kun n < m. b) että a) kohdasta
LisätiedotYhtälönratkaisusta. Johanna Rämö, Helsingin yliopisto. 22. syyskuuta 2014
Yhtälönratkaisusta Johanna Rämö, Helsingin yliopisto 22. syyskuuta 2014 Yhtälönratkaisu on koulusta tuttua, mutta usein sitä tehdään mekaanisesti sen kummempia ajattelematta. Jotta pystytään ratkaisemaan
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I
MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto. maaliskuuta 05 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä. ym.,
Lisätiedot7 Vapaus. 7.1 Vapauden määritelmä
7 Vapaus Kuten edellisen luvun lopussa mainittiin, seuraavaksi pyritään ratkaisemaan, onko annetussa aliavaruuden virittäjäjoukossa tarpeettomia vektoreita Jos tällaisia ei ole, virittäjäjoukkoa kutsutaan
Lisätiedot58131 Tietorakenteet ja algoritmit Uusinta- ja erilliskoe ratkaisuja (Jyrki Kivinen)
58131 Tietorakenteet ja algoritmit Uusinta- ja erilliskoe 12.9.2018 ratkaisuja (Jyrki Kivinen) 1. [10 pistettä] Iso-O-merkintä. (a) Pitääkö paikkansa, että n 3 + 5 = O(n 3 )? Ratkaisu: Pitää paikkansa.
Lisätiedot33. pohjoismainen matematiikkakilpailu 2019 Ratkaisut
33. pohjoismainen matematiikkakilpailu 2019 Ratkaisut 1. Kutsutaan (eri) positiivisten kokonaislukujen joukkoa merkitykselliseksi, jos sen jokaisen äärellisen epätyhjän osajoukon aritmeettinen ja geometrinen
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 14. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 14. syyskuuta 2007 1 / 21 1 Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava Otosavaruuden ositus Kokonaistodennäköisyyden
LisätiedotJohdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma
Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten Ratkaisuehdotelma Tehtävä 1 1. Etsi lukujen 4655 ja 12075 suurin yhteinen tekijä ja lausu se kyseisten lukujen lineaarikombinaationa ilman laskimen
Lisätiedot2017 = = = = = = 26 1
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 2, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. Sovella Eukleiden algoritmia ja (i) etsi s.y.t(2017, 753) (ii) etsi kaikki kokonaislukuratkaisut yhtälölle 405x + 141y = 12. Ratkaisu
LisätiedotOrtogonaalisen kannan etsiminen
Ortogonaalisen kannan etsiminen Lause 94 (Gramin-Schmidtin menetelmä) Oletetaan, että B = ( v 1,..., v n ) on sisätuloavaruuden V kanta. Merkitään V k = span( v 1,..., v k ) ja w 1 = v 1 w 2 = v 2 v 2,
Lisätiedot2. Minkä joukon määrittelee kaava P 0 (x 0 ) P 1 (x 0 ) mallissa M = ({0, 1, 2, 3}, P M 0, P M 1 ), kun P M 0 = {0, 1} ja P M 1 = {1, 2}?
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Johdatus logiikkaan II, syksy 2018 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotukset 1. Mitkä muuttujat esiintyvät vapaina kaavassa x 2 ( x 0 R 0 (x 1, x 2 ) ( x 3 R 0 (x 3, x 0
LisätiedotInduktiota käyttäen voidaan todistaa luonnollisia lukuja koskevia väitteitä, jotka ovat muotoa. väite P(n) on totta kaikille n = 0,1,2,...
Induktiotodistus Induktiota käyttäen voidaan todistaa luonnollisia lukuja koskevia väitteitä, jotka ovat muotoa väite P(n) on totta kaikille n = 0,1,2,.... Tässä väite P(n) riippuu n:n arvosta. Todistuksessa
LisätiedotVastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa.
Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Vastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa. Vastaus 2. Vertaillaan
Lisätiedot1. Tarkastellaan esimerkissä 4.9 esiintynyttä neliön symmetriaryhmää
Ryhmäteoreettinen näkökulma Rubikin kuutioon Matematiikan ja tilastotieteen laitos Syksy 2010 Harjoitus 2 Ratkaisuehdotus 1. Tarkastellaan esimerkissä 4.9 esiintynyttä neliön symmetriaryhmää D 8 = { id,
LisätiedotMiten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }?
Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Vastaus
LisätiedotAlgoritmit 1. Luento 13 Ma Timo Männikkö
Algoritmit 1 Luento 13 Ma 26.2.2018 Timo Männikkö Luento 13 Suunnittelumenetelmät Taulukointi Kapsäkkiongelma Ahne menetelmä Verkon lyhimmät polut Dijkstran menetelmä Verkon lyhin virittävä puu Kruskalin
Lisätiedot(iv) Ratkaisu 1. Sovelletaan Eukleideen algoritmia osoittajaan ja nimittäjään. (i) 7 = , 7 6 = = =
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 07) HARJOITUS 7, MALLIRATKAISUT Tehtävä Etsi seuraavien rationaalilukujen ketjumurtokehitelmät: (i) 7 6 (ii) 4 7 (iii) 65 74 (iv) 63 74 Ratkaisu Sovelletaan Eukleideen algoritmia
LisätiedotInsinöörimatematiikka A
Insinöörimatematiikka A Demonstraatio 3, 3.9.04 Tehtävissä 4 tulee käyttää Gentzenin järjestelmää kaavojen johtamiseen. Johda kaava φ (φ ) tyhjästä oletusjoukosta. ) φ ) φ φ 3) φ 4) φ (E ) (E ) (I, ) (I,
Lisätiedot1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus
1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus
LisätiedotEräs keskeinen algoritmien suunnittelutekniikka on. Palauta ongelma johonkin tunnettuun verkko-ongelmaan.
5. Verkkoalgoritmeja Eräs keskeinen algoritmien suunnittelutekniikka on Palauta ongelma johonkin tunnettuun verkko-ongelmaan. Palauttaminen edellyttää usein ongelman ja algoritmin pientä modifioimista,
LisätiedotAvaruuden R n aliavaruus
Avaruuden R n aliavaruus 1 / 41 Aliavaruus Esimerkki 1 Kuva: Suora on suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen suhteen. 2 / 41 Esimerkki 2 Kuva: Suora ei ole suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla
LisätiedotTietojenkäsittelytieteen ja tilastotieteen matematiikkaa 1/137
Tietojenkäsittelytieteen ja tilastotieteen matematiikkaa 1/137 Loogiset konnektiivit Tavallisimmat loogiset konnektiivit ovat negaatio ei konjunktio ja disjunktio tai implikaatio jos..., niin... ekvivalenssi...
LisätiedotKoodausteoria, Kesä 2014
Koodausteoria, Kesä 2014 Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 3.5 Reedin-Mullerin koodit Olkoon tässä kappaleessa F = F2 = Z2 ja n = 2 m. Määritellään avaruuteen F n kertolasku koordinaateittain:
LisätiedotKönigsbergin sillat. Königsberg 1700-luvulla. Leonhard Euler ( )
Königsbergin sillat 1700-luvun Königsbergin (nykyisen Kaliningradin) läpi virtasi joki, jonka ylitti seitsemän siltaa. Sanotaan, että kaupungin asukkaat yrittivät löytää reittiä, joka lähtisi heidän kotoaan,
LisätiedotNimitys Symboli Merkitys Negaatio ei Konjuktio ja Disjunktio tai Implikaatio jos..., niin... Ekvivalenssi... jos ja vain jos...
2 Logiikkaa Tässä luvussa tutustutaan joihinkin logiikan käsitteisiin ja merkintöihin. Lisätietoja ja tarkennuksia löytyy esimerkiksi Jouko Väänäsen kirjasta Logiikka I 2.1 Loogiset konnektiivit Väitelauseen
LisätiedotValitaan alkio x 1 A B ja merkitään A 1 = A { x 1 }. Perinnöllisyyden nojalla A 1 I.
Vaihto-ominaisuudella on seuraava intuition kannalta keskeinen seuraus: Olkoot A I ja B I samankokoisia riippumattomia joukkoja: A = B = m jollain m > 0. Olkoon vielä n = m A B, jolloin A B = B A = n.
LisätiedotMatematiikassa väitelauseet ovat usein muotoa: jos P on totta, niin Q on totta.
Väitelause Matematiikassa väitelauseet ovat usein muotoa: jos P on totta, niin Q on totta. Tässä P:tä kutsutaan oletukseksi ja Q:ta väitteeksi. Jos yllä oleva väitelause on totta, sanotaan, että P:stä
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA I
802320A LINEAARIALGEBRA OSA I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 72 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä
LisätiedotAVL-puut. eräs tapa tasapainottaa binäärihakupuu siten, että korkeus on O(log n) kun puussa on n avainta
AVL-puut eräs tapa tasapainottaa binäärihakupuu siten, että korkeus on O(log n) kun puussa on n avainta pohjana jo esitetyt binäärihakupuiden operaatiot tasapainotus vie pahimmillaan lisäajan lisäys- ja
LisätiedotVaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on
Rekursio Funktio f : N R määritellään yleensä antamalla lauseke funktion arvolle f (n). Vaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on käyttää rekursiota: 1 (Alkuarvot) Ilmoitetaan funktion arvot
LisätiedotVektorien virittämä aliavaruus
Vektorien virittämä aliavaruus Esimerkki 13 Mikä ehto vektorin w = (w 1, w 2, w 3 ) komponenttien on toteutettava, jotta w kuuluu vektoreiden v 1 = (3, 2, 1), v 2 = (2, 2, 6) ja v 3 = (3, 4, 5) virittämään
LisätiedotVastauksia. Topologia Syksy 2010 Harjoitus 1
Topologia Syksy 2010 Harjoitus 1 (1) Olkoon X joukko ja (T j ) j J perhe X:n topologioita. Osoita, että T = {T j : j J} on X:n topologia. (2) Todista: Välit [a, b) muodostavat R 1 :n erään topologian kannan.
Lisätiedot1 sup- ja inf-esimerkkejä
Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Kaarenpituus. Olkoon r: [a, b] R
Lisätiedot6 Relaatiot. 6.1 Relaation määritelmä
6 Relaatiot 6. Relaation määritelmä Määritelmä 6... Oletetaan, että X ja Y ovat joukkoja. Jos R µ X Y, sanotaan, että R on joukkojen X ja Y välinen relaatio. Jos R µ X X, sanotaan, että R on joukon X relaatio.
Lisätiedot