Johdatus matemaattiseen päättelyyn
|
|
|
- Aleksi Aarno Karjalainen
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015
2 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 2
3 3 Joukko-oppia Tässä luvussa tarkastellaan joukko-opin keskeisimpiä käsitteitä ja harjoitellaan matemaattista päättelyä niitä käyttäen. Joukko koostuu alkioista ja jokaisesta alkiosta on pystyttävä sanomaan, kuuluuko se tiettyyn joukkoon. Merkintä Mitä tarkoittaa? x A x on joukon A alkio, ts. x kuuluu joukkoon A y / A y ei ole joukon A alkio, ts. y ei kuulu joukkoon A {x P (x)} niiden alkioiden joukko, joilla on ominaisuus P (x) tyhjä joukko eli joukko, joka ei sisällä yhtään alkiota 3.1 Esimerkkejä (1) 1 {1, 2}, 2 {1, 2}, 0 / {1, 2} (2) {n N 0 < n < 5} = {1, 2, 3, 4} (3) {0, 1} = {0, 0, 1} = {1, 0} (4) {1}, sillä 1 {1}. (5) { }, sillä on joukon { } alkio. 3.2 Määritelmä Joukko A on joukon B osajoukko, jos jokainen joukon A alkio on myös joukon B alkio, ts. jos x A, niin x B. Tällöin merkitään A B. Joukot A ja B ovat samat, jos A B ja B A. Tällöin merkitään A = B. Joukko A ei ole joukon B osajoukko, jos joukossa A on sellainen alkio, joka ei kuulu joukkoon B, ts. jos on olemassa sellainen a A, että a / B. Tällöin merkitään A B. 3.3 Esimerkkejä (1) {1, 2}, {1} {1, 2}, {2} {1, 2} ja {1, 2} {1, 2} (2) {3, 7, 11, 15} {n N n pariton} N (3) {2, 3, 4} {2, 4, 6}, sillä 3 {2, 3, 4}, mutta 3 / {2, 4, 6}. (4) {n N n < 3} = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} 3
4 (5) Parittomien luonnollisten lukujen määritelmän perusteella ja huomautuksen??(3) perusteella (6) N Z Q R {n N n on pariton} = {2k + 1 k N}, {n N n on pariton} = {n N n 2 pariton}. (7) Koska N Z (esimerkiksi 1 Z, mutta 1 / N), niin N on joukon Z aito osajoukko. Vastaavasti Z on joukon Q aito osajoukko ( 1 2 Q, mutta 1 / Z) ja Q 2 on joukon R aito osajoukko ( 2 R, mutta 2 / Q). (8) Osoita, että {0, 1} = {x R x 2 = x}. Todistus. On osoitettava kaksi seikkaa: {0, 1} {x R x 2 = x} ja {x R x 2 = x} {0, 1}. Perustellaan 1. väite: koska 0 2 = 0 ja 1 2 = 1, niin {0, 1} {x R x 2 = x}, joten 1. väite on totta. Perustellaan vielä 2. väite: Jos x R on sellainen, että x 2 = x, niin 0 = x 2 x = x(x 1), mistä nähdään, että x = 0 tai x = 1. Siis 2. väite pätee. (9) Onko väite tosi? jos a A ja A B, niin a / B Ratkaisu. Väite ei ole totta, mikä nähdään, kun valitaan A = {0, 1}, B = {1, 2} ja a = 1. Tällöin a A ja A B, sillä 0 A, mutta 0 / B. Lisäksi a B. 3.4 Määritelmä Olkoot A, B X. (Tässä X on jokin perusjoukko, esimerkiksi R, Q, Z tai N.) Määritellään joukkojen A ja B yhdiste A B = {x X x A tai x B}, 4
5 leikkaus A B = {x X x A ja x B}, erotus A\B = {x X x A ja x / B} ja komplementti A C = X \ A = {x X x / A}. 3.5 Esimerkkejä (1) Olkoot A = {0, 2, 4, 6} ja B = {0, 1, 2, 3}. Tällöin A B = {0, 1, 2, 3, 4, 6}, A B = {0, 2}, A \ B = {4, 6} ja (A B) (A \ B) = {0, 2} {4, 6} = {0, 2, 4, 6} = A. (2) Olkoot A = {0, 1, a, b}, B = {1, 2, a} ja C = {2, 3, c}. Tällöin A B = {0, 1, 2, a, b}, A B = {1, a}, A\B = {0, b}, B\A = {2}, A C =, B C = {2} A (B C) = A {2} = ja (A B) (A C) = {0, 1, 2, a, b} {0, 1, 2, 3, a, b, c} = {0, 1, 2, a, b}. (3) Olkoot A = {n N n on jaollinen 6:lla}, B = {n N n on jaollinen 3:lla} ja C = {n N n on jaollinen 2:lla}. Tällöin ja esimerkin?? (2) perusteella B C = {n N n on jaollinen 2:lla tai 3:lla} B C = {n N n on jaollinen 2:lla ja 3:lla} = A. Määritellään seuraavaksi joukon R avoimet, suljetut ja puoliavoimet välit. 5
6 3.6 Määritelmä Olkoot a, b R sellaisia, että a < b. Määritellään ]a, b[ = {x R a < x < b} [a, b] = {x R a x b} ]a, b] = {x R a < x b} [a, b[ = {x R a x < b} (avoin väli) (suljettu väli) (puoliavoin väli) (puoliavoin väli). Lisäksi ]a, [ = {x R x > a} [a, [ = {x R x a} ], a[ = {x R x < a} ], a] = {x R x a}. Tässä on äärettömän symboli. 3.7 Esimerkkejä (1) Olkoot A = [0, 1], B = [1, 2] ja C = ] 1 2, 3 2[. Nyt A B = {x R 0 x 1 tai 1 x 2} = [0, 2], A B = {x R 0 x 1 ja 1 x 2} = {1}, A C = {x R 0 x 1 tai 1 2 < x < 3 2 } = [ 0, 3 2[, A C = {x R 0 x 1 ja 1 2 < x < 3 2 } = ] 1 2, 1], B C = {x R 1 x 2 tai 1 2 < x < 3 2 } = ] 1 2, 2] B C = {x R 1 x 2 ja 1 2 < x < 3 2 } = [ 1, 3 2[, A\B = {x R 0 x 1 ja (x < 1 tai x > 2)} = [0, 1[, A\C = {x R 0 x 1 ja (x 1 2 tai x 3 2 )} = [ 0, 1 2] ja B\C = {x R 1 x 2 ja (x 1 2 tai x 3 2 )} = [ 3 2, 2]. (2) Olkoot A = [ 2, 2[ ja B = [1, [. Tällöin A B = {x R 2 x < 2 tai x 1} = [ 2, [ A B = {x R 2 x < 2 ja x 1} = [1, 2[, R \ A = {x R x < 2 tai x 2} =], 2[ [2, [, R \ B = {x R x < 1} =], 1[, A \ B = { 2 x < 2 x < 1} = [ 2, 1[ ja B \ A = {x 1 x < 2 tai x 2} = [2, [. 6
7 Määritellään seuraavaksi joukkojen äärelliset ja numeroituvat yhdisteet ja leikkaukset. 3.8 Määritelmä Joukkojen A 1, A 2,..., A k äärellinen yhdiste on k A i = A 1 A 2... A k = {x x A 1 tai x A 2 tai... tai x A k } i=1 = {x x A i jollakin i = 1,..., k} ja äärellinen leikkaus on k A i = A 1 A 2... A k = {x x A 1 ja x A 2 ja... ja x A k } i=1 = {x x A i kaikilla i = 1,..., k}. Joukkojen A 1, A 2,... numeroituva yhdiste on A i = {x x A i jollakin i = 1, 2,...} i=1 ja numeroituva leikkaus on 3.9 Esimerkkejä A i = {x x A i kaikilla i = 1, 2,...}. i=1 (1) Tarkastellaan joukkoja A = ] 1, 0[, B = ]0, 1], C = [ 1 2, 2] ja D = {0, 3}. Mitä ovat A B, A B D, B C D, A B C D ja B C D? Ratkaisu: Määritelmien perusteella saadaan A B = {x R 1 < x < 0 tai 0 < x 1} = ] 1, 1] \{0}, A B D = {x R 1 < x < 0 tai 0 < x 1 tai x = 0 tai x = 3} = ] 1, 1] {3}, B C D = {x R 0 < x 1 tai 1 x 2 tai x = 0 tai x = 3} = [0, 2] {3}, 2 A B C D = ja B C D =. 7
8 (2) Kaikilla k N määritellään A k = [k, k + 1[. Mitä ovat 5 A k, 10 A k, 10 A k ja A k? k=5 Ratkaisu: Määritelmien perusteella 5 A k = A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 = [1, 2[ [2, 3[ [3, 4[ [4, 5[ [5, 6[= [1, 6[, k=5 A k = A 1 A 2... A 10 = [1, 2[ [2, 3[... [10, 11[= [1, 11[, A k = A 5 A 6... A 10 = [5, 6[ [6, 7[... [10, 11[= [5, 11[ A k = {x R x A k jollakin k = 1, 2,...} = [1, [. (3) Kaikilla k = 1, 2,... määritellään A k = [0, 1 [. Mitä ovat k ja 5 A k, 10 A k, 10 A k ja A k? k=5 Ratkaisu: Määritelmien perusteella 5 A k = A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 = [0, 1[ [0, 1[ [0, 1[ [0, 1[ [0, 1[= [0, 1[, k=5 A k = A 1 A 2... A 10 = [0, 1[ [0, [... [0, [= [0, [, A k = A 5 A 6... A 10 = [0, 1[ [0, [... [0, [= [0, [ ja A k = {x R x A k kaikilla k = 1, 2,...} = {0}. Perustellaan viimeinen yhtäsuuruus, ts. todistetaan, että A k = {0} (ks. 2.12). 8
9 On siis osoitettava, että {0} A k ja A k {0}. Koska 0 [0, 1 k [ kaikilla k = 1, 2,..., niin {0} A k. Osoitetaan vielä, että A k {0}. Oletus: x A k, ts. x A k kaikilla k = 1, 2,.... Väite: x = 0. Antiteesi: x 0. Koska x A 1 ja x 0, niin 0 < x < 1. Valitaan niin suuri i = 1, 2,..., että i > 1 x. Tällöin 1 < x, joten x / A i i. Tämä on ristiriita, sillä oletuksen mukaan x A i. Näin ollen antiteesi ei ole tosi, ja siten väite pätee Määritelmä Joukkojen A ja B tulojoukko eli karteesinen tulo on A B = {(a, b) a A, b B}. Huomaa, että (a, b) = (c, d) a = c ja b = d Esimerkkejä (1) Jos A = {a, b, c} ja B = {0, a}, niin A B = {(a, 0), (a, a), (b, 0), (b, a), (c, 0), (c, a)}. (2) Olkoot A = {1}, B = {2, 3}, C = {1, 2} ja D = {3}. Mitä ovat A (B C), (A B) (A C), A (B \ C), (A B) \ (A C), (A B) (C D) ja (A C) (B D)? Ratkaisu. Määritelmistä saadaan A (B C) = {1} {1, 2, 3} = {(1, 1), (1, 2), (1, 3)} (A B) (A C) = {(1, 2), (1, 3)} {(1, 1), (1, 2)} = {(1, 1), (1, 2), (1, 3)} A (B \ C) = {1} {3} = {(1, 3)} (A B) \ (A C) = {(1, 2), (1, 3)} \ {(1, 1), (1, 2)} = {(1, 3)} (A B) (C D) = {(1, 2), (1, 3)} {(1, 3), (2, 3)} = {(1, 2), (1, 3), (2, 3)} (A C) (B D) = {1, 2} {2, 3} = {(1, 2), (1, 3), (2, 2), (2, 3)}. 9
10 (3) Euklidinen avaruus R n : R 2 = R R = {(x, y) x R ja y R} (xy-taso) R 3 = R R R = {(x, y, z) x R, y R ja z R} R n = R R... R }{{} n-kpl (n-ulotteinen euklidinen avaruus). (xyz-avaruus) (4) Jos A = [ 1, 1[, B = ]0, 1[ ja C = [1, [, niin A B = [ 1, 1[ ]0, 1[ = {(x, y) R 2 1 x < 1 ja 0 < y < 1} A C = [ 1, 1[ [1, [ = {(x, y) R 2 1 x < 1 ja y 1} C A = [1, [ [ 1, 1[ = {(x, y) R 2 x 1 ja 1 y < 1} Miten joukot osoitetaan samoiksi? Kun todistetaan, että A = B, on päättelyssä kaksi vaihetta: (i) osoitetaan, että A B, ts. jos x A, niin x B, (ii) osoitetaan, että B A, ts. jos x B, niin x A Esimerkkejä (1) Olkoot A = {x R x 2 5x + 6 = 0} ja B = {n N 3 < n 2 < 10}. Osoita, että A = B. Todistus. On osoitettava, että A B ja B A. (i) Väite 1: A B, ts. jos x A, niin x B. Todistus. Olkoon x A. Tällöin x R ja x 2 5x + 6 = 0. Ratkaistaan toisen asteen yhtälö jakamalla polynomi x 2 5x + 6 tekijöihin: 0 = x 2 5x + 6 = (x 2)(x 3). Tästä nähdään, että x = 2 tai x = 3. Koska 2 N ja 3 < 2 2 < 10, niin 2 B. Koska 3 N ja 3 < 3 2 < 10, niin 3 B. Siis A B. (ii) Väite 2: B A, ts. jos x B, niin x A. Todistus. Olkoon n B, ts. n N ja 3 < n 2 < 10. Tällöin n = 2 tai n = 3. Sijoittamalla 2 x:n paikalle lausekkeeseen x 2 5x + 6 saadaan = = 0. 10
11 Siis 2 A. Sijoittamalla 3 muuttujan x paikalle lausekkeeseen x 2 5x+6 saadaan Siis 3 A. Näin ollen B A. Kohdista (i) ja (ii) seuraa, että A = B = = 0. (2) Osoita, että A (B C) = (A B) (A C). Todistus. (i) Väite 1: A (B C) (A B) (A C), ts. jos x A (B C), niin x (A B) (A C). Todistus. Oletetaan, että x A (B C). Tällöin x A tai x B C. Käsitellään nämä tapaukset erikseen. Jos x A, niin x A B ja x A C yhdisteen määritelmän nojalla. Siis x (A B) (A C). Jos x B C, niin x B ja x C leikkauksen määritelmän perusteella. Edelleen yhdisteen määritelmän nojalla x A B ja x A C. Siis x (A B) (A C). Koska molemmissa tapauksissa x (A B) (A C), niin väite 1 on totta. (ii) Väite 2: (A B) (A C) A (B C), ts. jos x (A B) (A C), niin x A (B C). Todistus. Oletetaan, että x (A B) (A C). Tällöin x A B ja x A C. Jos x A, niin yhdisteen määritelmän nojalla x A (B C). Jos taas x / A, niin koska x A B ja x A C, on x molempien joukkojen B ja C alkio. Näin ollen x B C, mistä seuraa, että x A (B C). Siis väite 2 on totta. Kohdista (i) ja (ii) seuraa, että A (B C) = (A B) (A C). (3) Osoita, että (A B) C = A C B C. Todistus. (i) Väite 1: (A B) C A C B C, ts. jos x (A B) C, niin x A C B C. Todistus. Oletetaan, että x (A B) C, ts. x / A B. Perustellaan, että tästä seuraa, että x / A ja x / B. Antiteesi: x A tai x B. Tällöin x A B, mikä on ristiriita, sillä oletuksen perusteella x / A B. Siis antiteesi on väärä. Näin ollen x / A ja x / B, ts. x A C ja x B C. Siis x A C B C. Väite 1 on siis totta. 11
12 (ii) Väite 2: A C B C (A B) C, ts. jos x A C B C, niin x (A B) C. Todistus. Oletetaan, että x A C B C, ts. x / A ja x / B. Perustellaan, että tästä seuraa, että x / A B. Antiteesi: x A B. Tällöin x A tai x B, mikä on ristiriita, sillä oletuksen mukaan x / A ja x / B. Siis antiteesi on väärä. Näin ollen x / A B, ts. x (A B) C, ja väite 2 on osoitettu todeksi. Kohdista (i) ja (ii) seuraa, että (A B) C = A C B C. (4) Osoita, että A (B C) = (A B) (A C). Todistus. (i) Väite 1: A (B C) (A B) (A C), ts. jos (x, y) A (B C), niin (x, y) (A B) (A C). Todistus. Oletetaan, että (x, y) A (B C), ts. x A ja y B C. Jos y B, niin (x, y) A B. Jos taas y C, niin (x, y) A C. Näin ollen (x, y) (A B) (A C), joten väite 1 on totta. Väite 2: (A B) (A C) A (B C), ts. jos (x, y) (A B) (A C), niin (x, y) A (B C). Todistus. Oletetaan, että (x, y) (A B) (A C), ts. (x, y) A B tai (x, y) A C. Jos (x, y) A B, niin x A ja y B, joten (x, y) A (B C). Jos taas (x, y) A C, niin x A ja y C, joten (x, y) A (B C). Näin ollen väite 2 on totta. Kohdista (i) ja (ii) seuraa, että A (B C) = (A B) (A C).. Harjoitellaan vielä todistamista joukko-opin käsitteitä käyttäen Esimerkki Osoita, että A B A, jos ja vain jos B A. Todistus. Väite koostuu kahdesta väitelauseesta. Todistetaan ne erikseen. Oletus 1: A B A. Väite 1: B A, ts. jos x B, niin x A. 12
13 Todistus. Olkoon x B. Tällöin x A B, joten oletuksen 1 perusteella x A. Siis väite 1 on totta. Oletus 2: B A. Väite 2: A B A, ts. jos x A B, niin x A. Todistus. Olkoon x A B, ts. x A tai x B. Jos x A, niin väite 2 on totta. Jos taas x B, niin oletuksen 2 perusteella x A. Siis väite 2 on totta. Kohdista ja seuraa, että A B A, jos ja vain jos B A. 13
(2n 1) = n 2
3.5 Induktiotodistus Induktiota käyttäen voidaan todistaa luonnollisia lukuja koskevia väitteitä, jotka ovat muotoa väite P (n) on totta kaikille n =0, 1, 2,... Tässä väite P (n) riippuu n:n arvosta. Todistuksessa
Miten osoitetaan joukot samoiksi?
Miten osoitetaan joukot samoiksi? Määritelmä 1 Joukot A ja B ovat samat, jos A B ja B A. Tällöin merkitään A = B. Kun todistetaan, että A = B, on päättelyssä kaksi vaihetta: (i) osoitetaan, että A B, ts.
Johdatus matemaattiseen päättelyyn (5 op)
Johdatus matemaattiseen päättelyyn (5 op) Tero Vedenjuoksu Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2014 Johdatus matemaattiseen päättelyyn 2014 Yhteystiedot: Tero Vedenjuoksu tero.vedenjuoksu@oulu.fi
Johdatus matemaattiseen päättelyyn
Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä Luonnollisten lukujen joukko N on joukko N = {1, 2, 3,...} ja kokonaislukujen
Johdatus matemaattiseen päättelyyn
Johdatus matemaattiseen päättelyyn Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2011 Maarit Järvenpää 1 Todistamisesta Matematiikassa väitelauseet ovat usein muotoa: jos P on totta, niin Q on totta.
Johdatus matemaattiseen päättelyyn
Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 3 Joukko-oppia 4 Funktioista Funktio eli kuvaus on matematiikan
Johdatus matemaattiseen päättelyyn
Johdatus matemaattiseen päättelyyn Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 01 Tero Vedenjuoksu Sisältö 1 Johdanto 3 Esitietoja ja merkintöjä 4 3 Todistamisesta 5 3.1 Suora todistus.............................
Johdatus matemaattiseen päättelyyn
Johdatus matemaattiseen päättelyyn Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2014 Tero Vedenjuoksu Sisältö 1 Johdanto 3 2 Esitietoja ja merkintöjä 4 3 Todistamisesta 5 3.1 Suora todistus.............................
Yhtäpitävyys. Aikaisemmin osoitettiin, että n on parillinen (oletus) n 2 on parillinen (väite).
Yhtäpitävyys Aikaisemmin osoitettiin, että n on parillinen (oletus) n 2 on parillinen (väite). Toisaalta ollaan osoitettu, että n 2 on parillinen (oletus) n on parillinen (väite). Nämä kaksi väitelausetta
Ratkaisu: a) Kahden joukon yhdisteseen poimitaan kaikki alkiot jotka ovat jommassakummassa joukossa (eikä mitään muuta).
Matematiikan laitos Johdatus Diskreettiin Matematiikaan Harjoitus 1 03.11.2010 Ratkaisuehdotuksia Aleksandr Nuija 1. Tarkastellaan joukkoja A = {1,3,4}, B = {2,3,7,9} ja C = {2, 5, 7}. Määritä joukot (a)
Esitetään tehtävälle kaksi hieman erilaista ratkaisua. Ratkaisutapa 1. Lähdetään sieventämään epäyhtälön vasenta puolta:
MATP00 Johdatus matematiikkaan Ylimääräisten tehtävien ratkaisuehdotuksia. Osoita, että 00 002 < 000 000. Esitetään tehtävälle kaksi hieman erilaista ratkaisua. Ratkaisutapa. Lähdetään sieventämään epäyhtälön
Vastaoletuksen muodostaminen
Vastaoletuksen muodostaminen Vastaoletus (Antiteesi) on väitteen negaatio. Sitä muodostettaessa on mietittävä, mitä tarkoittaa, että väite ei ole totta. Väite ja vastaoletus yhdessä sisältävät kaikki mahdolliset
Matematiikassa väitelauseet ovat usein muotoa: jos P on totta, niin Q on totta.
Väitelause Matematiikassa väitelauseet ovat usein muotoa: jos P on totta, niin Q on totta. Tässä P:tä kutsutaan oletukseksi ja Q:ta väitteeksi. Jos yllä oleva väitelause on totta, sanotaan, että P:stä
Todistusmenetelmiä Miksi pitää todistaa?
Todistusmenetelmiä Miksi pitää todistaa? LUKUTEORIA JA TO- DISTAMINEN, MAA11 Todistus on looginen päättelyketju, jossa oletuksista, määritelmistä, aksioomeista sekä aiemmin todistetuista tuloksista lähtien
Johdatus matemaattiseen päättelyyn
Johdatus matemaattiseen päättelyyn Marko Leinonen Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2018 1 Merkintöjä ja määritelmiä Luonnollisten lukujen joukko N on joukko ja kokonaislukujen
a k+1 = 2a k + 1 = 2(2 k 1) + 1 = 2 k+1 1. xxxxxx xxxxxx xxxxxx xxxxxx
x x x x x x x x Matematiikan johdantokurssi, syksy 08 Harjoitus, ratkaisuista Hanoin tornit -ongelma: Tarkastellaan kolmea pylvästä A, B ja C, joihin voidaan pinota erikokoisia renkaita Lähtötilanteessa
Induktiota käyttäen voidaan todistaa luonnollisia lukuja koskevia väitteitä, jotka ovat muotoa. väite P(n) on totta kaikille n = 0,1,2,...
Induktiotodistus Induktiota käyttäen voidaan todistaa luonnollisia lukuja koskevia väitteitä, jotka ovat muotoa väite P(n) on totta kaikille n = 0,1,2,.... Tässä väite P(n) riippuu n:n arvosta. Todistuksessa
Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista
Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Valitse seuraaville säännöille mahdollisimman laajat lähtöjoukot ja sopivat maalijoukot niin, että syntyy kahden muuttujan funktiot (ks. monisteen
3. Kirjoita seuraavat joukot luettelemalla niiden alkiot, jos mahdollista. Onko jokin joukoista tyhjä joukko?
HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät luentokalvoihin 1 14. Erityisesti esimerkistä 4 ja esimerkin
Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8
Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8 Tuntitehtävät 1-2 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 5- loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 3-4 tarkastetaan loppuviikon
-Matematiikka on aksiomaattinen järjestelmä. -uusi tieto voidaan perustella edellisten tietojen avulla, tätä kutsutaan todistamiseksi
-Matematiikka on aksiomaattinen järjestelmä -uusi tieto voidaan perustella edellisten tietojen avulla, tätä kutsutaan todistamiseksi -mustavalkoinen: asia joko on tai ei (vrt. humanistiset tieteet, ei
811120P Diskreetit rakenteet
811120P Diskreetit rakenteet 2016-2017 4. Joukot, relaatiot ja funktiot Osa 1: Joukot 4.1 Joukot Matemaattisesti joukko on mikä tahansa hyvin määritelty kokoelma objekteja, joita kutsutaan joukon alkioiksi
Diskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuhahmotelmia viikko 1. ( ) Jeremias Berg
Diskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuhahmotelmia viikko 1. (14.3-18.3) Jeremias Berg 1. Luettele kaikki seuraavien joukkojen alkiot: (a) {x Z : x 3} (b) {x N : x > 12 x < 7} (c) {x N : 1 x 7} Ratkaisu:
Jokaisen parittoman kokonaisluvun toinen potenssi on pariton.
3 Todistustekniikkaa 3.1 Väitteen kumoaminen vastaesimerkillä Monissa tilanteissa kohdataan väitteitä, jotka koskevat esimerkiksi kaikkia kokonaislukuja, kaikkia reaalilukuja tai kaikkia joukkoja. Esimerkkejä
Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan erilaisia todistustekniikoita. Luentokalvoista 11, sekä voi olla apua.
HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 2 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan erilaisia todistustekniikoita. Luentokalvoista 11, 15-17
1 Perusasioita joukoista
1 Perusasioita joukoista 1.1 Merkintöjä Joukko voidaan määritellä luettelemalla siihen kuuluvat alkiot. Esimerkiksi voidaan merkitä = { 2, 1, 0, 1, 2}. Tästä merkinnästä nähdään, mitkä luvut ovat joukon
a) Mitkä seuraavista ovat samassa ekvivalenssiluokassa kuin (3, 8), eli kuuluvat joukkoon
Matematiikan johdantokurssi, syksy 08 Harjoitus 3, ratkaisuista. Kokonaisluvut määriteltiin luonnollisten lukujen avulla ekvivalenssiluokkina [a, b], jotka määrää (jo demoissa ekvivalenssirelaatioksi osoitettu)
MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet
MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Osa 1: Joukko-oppi ja logiikka Riikka Kangaslampi 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kiitokset Nämä luentokalvot perustuvat Gustaf
1 sup- ja inf-esimerkkejä
Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Kaarenpituus. Olkoon r: [a, b] R
missä on myös käytetty monisteen kaavaa 12. Pistä perustelut kohdilleen!
Matematiikan johdantokurssi Kertausharjoitustehtävien ratkaisuja/vastauksia/vihjeitä. Osoita todeksi logiikan lauseille seuraava: P Q (P Q). Ratkaisuohje. Väite tarkoittaa, että johdetut lauseet P Q ja
Vieruskaverisi on tämän päivän luennolla työtoverisi. Jos sinulla ei ole vieruskaveria, siirry jonkun viereen. Esittäytykää toisillenne.
Aloitus Vieruskaverisi on tämän päivän luennolla työtoverisi. Jos sinulla ei ole vieruskaveria, siirry jonkun viereen. Esittäytykää toisillenne. Mitkä seuraavista väitteistä ovat tosia? A. 6 3 N B. 5 Z
1. Osoita, että joukon X osajoukoille A ja B on voimassa toinen ns. de Morganin laki (A B) = A B.
HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan muun muassa kahden joukon osoittamista samaksi sekä joukon
Johdatus matematiikkaan
Johdatus matematiikkaan Luento 7 Mikko Salo 11.9.2017 Sisältö 1. Funktioista 2. Joukkojen mahtavuus Funktioista Lukiomatematiikassa on käsitelty reaalimuuttujan funktioita (polynomi / trigonometriset /
1. Otetaan perusjoukoksi X := {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Piirrä seuraaville kolmelle joukolle Venn-diagrammi ja asettele alkiot siihen.
Joukko-oppia Matematiikan mestariluokka, syksy 2010 Harjoitus 1, vastaukset 20.2.2010 1. Otetaan perusjoukoksi X := {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Piirrä seuraaville kolmelle joukolle Venn-diagrammi asettele
Vastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa.
Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Vastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa. Vastaus 2. Vertaillaan
Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }?
Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Vastaus
Johdatus yliopistomatematiikkaan. JYM, Syksy /197
Johdatus yliopistomatematiikkaan JYM, Syksy 2014 1/197 Joukko ja alkio Määritelmä Joukko tarkoittaa kokoelmaa olioita, joita sanotaan joukon alkioiksi. Lisäksi vaaditaan, että jokaisesta oliosta on voitava
Algebra I, harjoitus 5,
Algebra I, harjoitus 5, 7.-8.10.2014. 1. 2 Osoita väitteet oikeiksi tai vääriksi. a) (R, ) on ryhmä, kun asetetaan a b = 2(a + b) aina, kun a, b R. (Tässä + on reaalilukujen tavallinen yhteenlasku.) b)
4 Matemaattinen induktio
4 Matemaattinen induktio Joidenkin väitteiden todistamiseksi pitää näyttää, että kaikilla luonnollisilla luvuilla on jokin ominaisuus P. Esimerkkejä tällaisista väitteistä ovat vaikkapa seuraavat: kaikilla
d ) m d (I n ) = 2 d n d. Koska tämä pätee kaikilla
MAT21007 Mitta ja integraali Harjoitus 2 viikko 25.3-29.3 2019) Palauta mieleen: monisteen luku 0; Topologia I) avaruuden d euklidinen etäisyys, avoimet kuulat ja joukot. Ohjausta laskuharjoitusten tekoon:
TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy Antti-Juhani Kaijanaho. 8. syyskuuta 2016
TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy 2016 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 8. syyskuuta 2016 Sisällys a https://tim.jyu.fi/view/kurssit/tie/ tiea241/2016/videoiden%20hakemisto Matemaattisen
JOHDATUS MATEMATIIKKAAN. Petri Juutinen
JOHDATUS MATEMATIIKKAAN Petri Juutinen 15. syyskuuta 2015 Alkulause Much more important than specific mathematical results are the habits of mind used by the people who create those results. Cuoco, Goldenberg
Johdatus yliopistomatematiikkaan. JYM, Syksy2015 1/195
Johdatus yliopistomatematiikkaan JYM, Syksy2015 1/195 Joukko ja alkio Määritelmä Joukko tarkoittaa kokoelmaa olioita, joita sanotaan joukon alkioiksi. Lisäksi vaaditaan, että jokaisesta oliosta on voitava
Ensimmäinen induktioperiaate
Ensimmäinen induktioperiaate Olkoon P(n) luonnollisilla luvuilla määritelty predikaatti. (P(n) voidaan lukea luvulla n on ominaisuus P.) Todistettava, että P(n) on tosi jokaisella n N. ( Kaikilla luonnollisilla
1 sup- ja inf-esimerkkejä
Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Nollakohdan olemassaolo. Kaikki tuntevat
Ensimmäinen induktioperiaate
1 Ensimmäinen induktioperiaate Olkoon P(n) luonnollisilla luvuilla määritelty predikaatti. (P(n) voidaan lukea luvulla n on ominaisuus P.) Todistettava, että P(n) on tosi jokaisella n N. ( Kaikilla luonnollisilla
Johdatus diskreettiin matematiikkaan (syksy 2009) Harjoitus 3, ratkaisuja Janne Korhonen
Johdatus diskreettiin matematiikkaan (syksy 009) Harjoitus 3, ratkaisuja Janne Korhonen 1. Väite: Funktio f : [, ) [1, ), missä on bijektio. f(x) = x + 4x + 5, Todistus: Luentomateriaalissa todistettujen
2.1. Tehtävänä on osoittaa induktiolla, että kaikille n N pätee n = 1 n(n + 1). (1)
Approbatur 3, demo, ratkaisut Sovitaan, että 0 ei ole luonnollinen luku. Tällöin oletusta n 0 ei tarvitse toistaa alla olevissa ratkaisuissa. Se, pidetäänkö nollaa luonnollisena lukuna vai ei, vaihtelee
Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) OT
Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) 31.1.-4.2.2011 OT 1. Määritellään kokonaisluvuille laskutoimitus n m = n + m + 5. Osoita, että (Z, ) on ryhmä.
LUKUTEORIA johdantoa
LUKUTEORIA johdantoa LUKUTEORIA JA TODISTAMINEN, MAA11 Lukuteorian tehtävä: Lukuteoria tutkii kokonaislukuja, niiden ominaisuuksia ja niiden välisiä suhteita. Kokonaislukujen maailma näyttää yksinkertaiselta,
Valitsemalla sopivat alkiot joudutaan tämän määritelmän kanssa vaikeuksiin, jotka voidaan välttää rakentamalla joukko oppi aksiomaattisesti.
Joukon määritelmä Joukko on alkioidensa kokoelma. Valitsemalla sopivat alkiot joudutaan tämän määritelmän kanssa vaikeuksiin, jotka voidaan välttää rakentamalla joukko oppi aksiomaattisesti. Näin ei tässä
Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 9 (6 sivua) OT
Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 9 (6 sivua) 28.3.-1.4.2011 OT 1. a) Osoita, että rengas R = {[0] 10, [2] 10, [4] 10, [6] 10, [8] 10 } on kokonaisalue. Mikä
Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen
Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen LuK-tutkielma Jussi Piippo Matemaattisten tieteiden yksikkö Oulun yliopisto Kevät 2017 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Esitietoja 3 2.1 Joukko-opin perusaksioomat...................
(1) refleksiivinen, (2) symmetrinen ja (3) transitiivinen.
Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Tietyn ominaisuuden samuus -relaatio on ekvivalenssi; se on (1) refleksiivinen,
Approbatur 3, demo 1, ratkaisut A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat.
Approbatur 3, demo 1, ratkaisut 1.1. A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat. Käydään kaikki vaihtoehdot läpi. Jos A on rehti, niin B on retku, koska muuten
Topologia Syksy 2010 Harjoitus 9
Topologia Syksy 2010 Harjoitus 9 (1) Avaruuden X osajoukko A on G δ -joukko, jos se on numeroituva leikkaus avoimista joukoista ja F σ -joukko, jos se on numeroituva yhdiste suljetuista joukoista. Osoita,
Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus.
Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden
Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 2
Matematiikan tukikurssi kurssikerta 1 Relaatioista Oletetaan kaksi alkiota a ja b. Näistä kumpikin kuuluu johonkin tiettyyn joukkoon mahdollisesti ne kuuluvat eri joukkoihin; merkitään a A ja b B. Voidaan
Matematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 Määrittelyjoukoista Tarkastellaan funktiota, jonka määrittelevä yhtälö on f(x) = x. Jos funktion lähtöjoukoksi määrittelee vaikkapa suljetun välin [0, 1], on funktio
Funktioista. Esimerkki 1
Funktio eli kuvaus on matematiikan keskeisimpiä käsitteitä. Seuraavaksi tarkastellaan funktioita ja todistetaan niiden ominaisuuksia. Määritelmä 1 Olkoot A ja B. Kuvaus eli funktio f : A B on sääntö, joka
2017 = = = = = = 26 1
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 2, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. Sovella Eukleiden algoritmia ja (i) etsi s.y.t(2017, 753) (ii) etsi kaikki kokonaislukuratkaisut yhtälölle 405x + 141y = 12. Ratkaisu
missä on myös käytetty monisteen kaavaa 12. Pistä perustelut kohdilleen!
Matematiikan johdantokurssi Kertausharjoitustehtävien ratkaisuja/vastauksia/vihjeitä. Osoita todeksi logiikan lauseille seuraava: P Q (P Q). Ratkaisuohje. Väite tarkoittaa, että johdetut lauseet P Q ja
a b c d + + + + + + + + +
28. 10. 2010!"$#&%(')'+*(#-,.*/1032/465$*784 /(9:*;9."$ *;5> *@9 a b c d 1. + + + 2. 3. 4. 5. 6. + + + + + + + + + + P1. Valitaan kannaksi sivu, jonka pituus on 4. Koska toinen jäljelle jäävistä sivuista
Johdatus matematiikkaan
Johdatus matematiikkaan Luento 8 Mikko Salo 13.9.2017 Sisältö 1. Kertausta Kurssin suorittaminen Kurssi suoritetaan lopputentillä (20.9. tai 4.10.). Arvostelu hyväksytty/hylätty. Tentissä on aikaa 4 h,
1 Lukujen jaollisuudesta
Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 1 1 Lukujen jaollisuudesta Lukujoukoille käytetään seuraavia merkintöjä: N = {1, 2, 3, 4,... } Luonnolliset luvut Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... } Kokonaisluvut Kun
b) Määritä myös seuraavat joukot ja anna kussakin tapauksessa lyhyt sanallinen perustelu.
Johdatus yliopistomatematiikkaan Helsingin yliopisto, matematiikan ja tilastotieteen laitos Kurssikoe 23.10.2017 Ohjeita: Vastaa kaikkiin tehtäviin. Ratkaisut voi kirjoittaa samalle konseptiarkille, jos
= 3 = 1. Induktioaskel. Induktio-oletus: Tehtävän summakaava pätee jollakin luonnollisella luvulla n 1. Induktioväite: n+1
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka tutuksi Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia 4-810 1 Osoita induktiolla, että luku 15 jakaa luvun 4 n 1 aina, kun n Z + Todistus Tarkastellaan ensin väitettä
67-x x 42-x. Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 3, ratkaisuista
Matematiikan johdantokurssi, syksy 0 Harjoitus, ratkaisuista. Esitä seuraavat joukot luettelemalla niiden alkiot: a) := { y y = ( ) n n+ n+, n N } b) := { n Z n = k, k Z } c) := { sin( nπ ) n N } Ratkaisut.
a ord 13 (a)
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 4, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. Etsi asteet ord p (a) luvuille a 1, 2,..., p 1 kun p = 13 ja kun p = 17. (ii) Mitkä jäännösluokat ovat primitiivisiä juuria (mod
4.3. Matemaattinen induktio
4.3. Matemaattinen induktio Matemaattinen induktio: Deduktion laji Soveltuu, kun ominaisuus on osoitettava olevan voimassa luonnollisilla luvuilla. Suppea muoto P(n) : Ominaisuus, joka joka riippuu luvusta
Johdatus matematiikkaan
Johdatus matematiikkaan Luento 6 Mikko Salo 6.9.2017 Sisältö 1. Kompleksitaso 2. Joukko-oppia Kompleksiluvut Edellisellä luennolla huomattiin, että toisen asteen yhtälö ratkeaa aina, jos ratkaisujen annetaan
Ekvivalenssirelaatio. Määritelmä 2 Joukon A binäärinen relaatio R on ekvivalenssirelaatio, mikäli. Jos R on ekvivalenssirelaatio ja a A, niin joukkoa
Määritelmä 1 Olkoot x ja y joukon A alkioita. Jos R on jokin ominaisuus/ehto, joka määritellään yksikäsitteisesti joukon A kaikkien alkioiden välille siten, että se joko toteutuu tai ei toteudu alkioiden
Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1
Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1 1 Joukko-oppia Matematiikassa joukko on mikä tahansa kokoelma objekteja. Esimerkiksi joukkoa A, jonka jäseniä ovat numerot 1, 2 ja 5 merkitään A = {1, 2, 5}. Joukon
Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina.
Funktiot Tässä luvussa käsitellään reaaliakselin osajoukoissa määriteltyjä funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Avoin väli: ]a, b[ tai ]a, [ tai ],
Topologia Syksy 2010 Harjoitus 4. (1) Keksi funktio f ja suljetut välit A i R 1, i = 1, 2,... siten, että f : R 1 R 1, f Ai on jatkuva jokaisella i N,
Topologia Syksy 2010 Harjoitus 4 (1) Keksi funktio f ja suljetut välit A i R 1, i = 1, 2,... siten, että f : R 1 R 1, f Ai on jatkuva jokaisella i N, i=1 A i = R 1, ja f : R 1 R 1 ei ole jatkuva. Lause
Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus
Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus 1 / 51 Lineaarikombinaatio Johdattelua seuraavaan asiaan (ei tarkkoja määritelmiä): Millaisen kuvan muodostaa joukko {λv λ R, v R 3 }? Millaisen
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg)
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus 4 9.4.-23.4.200 Malliratkaisut (Sauli Lindberg). Näytä, että Lusinin lauseessa voidaan luopua oletuksesta m(a)
Tarkastelemme ensin konkreettista esimerkkiä ja johdamme sitten yleisen säännön, joilla voidaan tietyissä tapauksissa todeta kielen ei-säännöllisyys.
Ei-säännöllisiä kieliä [Sipser luku 1.4] Osoitamme, että joitain kieliä ei voi tunnistaa äärellisellä automaatilla. Tulos ei sinänsä ole erityisen yllättävä, koska äärellinen automaatti on äärimmäisen
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Liite 1: Joukko-oppi
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Liite 1: Joukko-oppi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Joukko-oppi >> Joukko-opin peruskäsitteet Joukko-opin perusoperaatiot Joukko-opin laskusäännöt Funktiot Tulojoukot
Diofantoksen yhtälön ratkaisut
Diofantoksen yhtälön ratkaisut Matias Mäkelä Matemaattisten tieteiden tutkinto-ohjelma Oulun yliopisto Kevät 2017 Sisältö Johdanto 2 1 Suurin yhteinen tekijä 2 2 Eukleideen algoritmi 4 3 Diofantoksen yhtälön
Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä
Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja
Reaalilukuvälit, leikkaus ja unioni (1/2)
Luvut Luonnolliset luvut N = {0, 1, 2, 3,... } Kokonaisluvut Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... } Rationaaliluvut (jaksolliset desimaaliluvut) Q = {m/n m, n Z, n 0} Irrationaaliluvut eli jaksottomat desimaaliluvut
Esko Turunen MAT Algebra1(s)
Määritelmä (4.1) Olkoon G ryhmä. Olkoon H G, H. Jos joukko H varustettuna indusoidulla laskutoimituksella on ryhmä, se on ryhmän G aliryhmä. Jos H G on ryhmän G aliryhmä, merkitään usein H G, ja jos H
Joukot metrisissä avaruuksissa
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Saara Lahtinen Joukot metrisissä avaruuksissa Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Elokuu 2013 Sisältö 1 Johdanto 1 2 Metriset avaruudet 1 2.1 Tarvittavia
Vaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on
Rekursio Funktio f : N R määritellään yleensä antamalla lauseke funktion arvolle f (n). Vaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on käyttää rekursiota: 1 (Alkuarvot) Ilmoitetaan funktion arvot
1 Supremum ja infimum
Pekka Alestalo, 2018 Tämä moniste täydentää reaalilukuja ja jatkuvia reaalifunktioita koskevaa kalvosarjaa lähinnä perustelujen ja todistusten osalta. Suurin osa määritelmistä jms. on esitetty jo kalvoissa,
Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3
Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus
Insinöörimatematiikka A
Insinöörimatematiikka A Demonstraatio 3, 3.9.04 Tehtävissä 4 tulee käyttää Gentzenin järjestelmää kaavojen johtamiseen. Johda kaava φ (φ ) tyhjästä oletusjoukosta. ) φ ) φ φ 3) φ 4) φ (E ) (E ) (I, ) (I,
TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2011 (IV) Antti-Juhani Kaijanaho. 16. maaliskuuta 2011
TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2011 (IV) Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 16. maaliskuuta 2011 Sisällys Sisällys Väitelauseet lause (tai virke), joka sanoo jonkin asian pitävän paikkaansa
Rekursio. Funktio f : N R määritellään yleensä antamalla lauseke funktion arvolle f (n). Vaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on
Rekursio Funktio f : N R määritellään yleensä antamalla lauseke funktion arvolle f (n). Vaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on käyttää rekursiota: Rekursio Funktio f : N R määritellään yleensä
Vastauksia. Topologia Syksy 2010 Harjoitus 1
Topologia Syksy 2010 Harjoitus 1 (1) Olkoon X joukko ja (T j ) j J perhe X:n topologioita. Osoita, että T = {T j : j J} on X:n topologia. (2) Todista: Välit [a, b) muodostavat R 1 :n erään topologian kannan.
Lukuteoria. Eukleides Aleksandrialainen (n. 300 eaa)
Lukuteoria Lukuteoria on eräs vanhimmista matematiikan aloista. On sanottu, että siinä missä matematiikka on tieteiden kuningatar, on lukuteoria matematiikan kuningatar. Perehdymme seuraavassa luonnollisten
on Abelin ryhmä kertolaskun suhteen. Tämän joukon alkioiden lukumäärää merkitään
5. Primitiivinen alkio 5.1. Täydennystä lukuteoriaan. Olkoon n Z, n 2. Palautettakoon mieleen, että kokonaislukujen jäännösluokkarenkaan kääntyvien alkioiden muodostama osajoukko Z n := {x Z n x on kääntyvä}
Koodausteoria, Kesä 2014
Koodausteoria, Kesä 2014 Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 3.5 Reedin-Mullerin koodit Olkoon tässä kappaleessa F = F2 = Z2 ja n = 2 m. Määritellään avaruuteen F n kertolasku koordinaateittain:
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 19.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo
JOHDATUS MATEMATIIKKAAN. Petri Juutinen
JOHDATUS MATEMATIIKKAAN Petri Juutinen 7. toukokuuta 04 Sisältö Joukko-oppia 4. Joukko-opin peruskäsitteitä ja merkintöjä........... 4 Todistamisen ja matemaattisen päättelyn alkeita 3. Alkupala..............................
Topologia I Harjoitus 6, kevät 2010 Ratkaisuehdotus
Topologia I Harjoitus 6, kevät 2010 Ratkaisuehdotus 1. (5:7) Olkoon E normiavaruus, I = [0, 1] ja f, g : I E jatkuvia. Osoita, että yhtälön h(s, t) = (1 t)f(s) + tg(s) määrittelemä kuvaus h : I 2 E on
Diskreetin matematiikan perusteet Malliratkaisut 2 / vko 38
Diskreetin matematiikan perusteet Malliratkaisut 2 / vko 38 Tuntitehtävät 11-12 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 15-16 loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 13-14 tarkastetaan loppuviikon
Johdatus matematiikkaan
Johdatus matematiikkaan Luento 3 Mikko Salo 1.9.2017 Sisältö 1. Logiikasta 2. Suora ja epäsuora todistus 3. Jaollisuus ja alkuluvut Todistus Tähän asti esitetyt todistukset ovat olleet esimerkinomaisia.
Predikaattilogiikan malli-teoreettinen semantiikka
Predikaattilogiikan malli-teoreettinen semantiikka February 4, 2013 Muistamme, että predikaattilogiikassa aakkosto L koostuu yksilövakioista c 0, c 1, c 2,... ja predikaattisymboleista P, R,... jne. Ekstensionaalisia