Piiri K 1 K 2 K 3 K 4 R R

Transkriptio

1 Lineaarinen optimointi vastaus, harj 1, Syksy Teollisuuslaitos valmistaa piirejä R 1 ja R 2, joissa on neljää eri komponenttia seuraavat määrät: Piiri K 1 K 2 K 3 K 4 R R Päivittäistä tuotantoa varten on saataville seuraavat määrät komponentteja: Komponettia K 1 on 2400 kappaletta, komponettia K 2 on 900 kappaletta, komponettia K 3 on 1600 kappaletta ja komponenttia K 4 on 1200 kappaletta. Ratkaise graafisesti kuinka monta piiriä R 1 ja kuinka monta piiriä R 2 on tuotettava, jotta niistä saatava voitti maksimointuu, kun piiristär 1 saadaan voittoa 5 senttiä/piiri ja piiristä R 2 saadaan voittoa 9 senttiä/piiri Sel ite 3 +4 = = = y x Kuva 1: rajoitteet Ratkaisu a). Merkitään x- päivittäin tuotettujen R 1 -piirien määrä ja y- päivittäin tuotettujen R 2 -piirien määrä. Tällöin on oltava: 3x+4y 2400 x+2y 900 2x+3y x 1200

2 y x Kuva 2: käypä joukko Voittoa kuvaa kustannusfunktio: f(x, y) = 5x + 9y. Ratkaistaan tehtävä graafisesti: Kustannusfunktio maksimoituu ääripisteessä (500,200), missä max5x + 9y = x X Optimaalinen käypä ratkaisu on piste (500,200). Ratkaisu b). Nyt tehtävä on muotoa: Ratkaistaan (x, y) yhtälöryhmästä: Saadaan max5x+9y, s.e max5x+9y, s.e x+2y 900 2x+3y 1600 x+2y = 900+ε 1 2x+3y = 1600+ε 2 x = 500 3ε 1 +2ε 2 y = 200+2ε 1 ε 2 Nyt, optimiarvon funktio on: f(ε 1,ε 2 ) = ε 1 +ε 2

3 Sen gradientti (ts. marginaalihinta) on: f = ( ) 3 1 Ratkaisu c). Duaalitehtävä: min 900x y x+2y 5 2x+3y 9 Tehtävän ratkaisu on f = ( ) 3 1 Ratkaisu d). Vahva duaalilause sanoo, että tehtäväparin ratkaisulle pitää päteä optimiarvojen yhtäsuuruus, ts = 4300 = Tuotantolaitos tuottaa neljää eri tuotetta: A, B, C ja D. Näihin tuotteisiin tarvitaan kolmea eri resurssia, jotka ovat työ, materiaalit ja laitteet. Seuraavassa taulukossa on esitetty tarvittavat ja saatavilla olevat resurssit, sekä tuotteista saatava voitto. Resurssit A B C D Res. yläraja Työ Materiaalit Laitteet Voitto/yksikkö Esitä voiton maksimoinnin ongelma lineaarisen optimoinnin standardimuodossa. Ratkaisu. Merkitään x 1 - määrä, miten paljon tuotetta A tehdään x 2 - määrä, miten paljon tuotetta B tehdään x 3 - määrä, miten paljon tuotetta C tehdään x 4 - määrä, miten paljon tuotetta D tehdään Voittoa kuvaa kustannusfunktio: f(x 1,x 2,x 3,x 4 ) = 6x 1 +4x 2 +2x 3 +x 4. Lisäksi vaaditaan: 5x 1 +2x 2 +3x 3 +x x 1 +2x 2 +x 3 +2x x 1 +x x i 0, i = 1,2,3,4

4 Standardimuoto saadaan lisäämällä rajoitteisiin puutemuuttujat x 5, x 6 x 7. Tällöin saadaan tehtävä (6x 1 +4x 2 +2x 3 +x 4 ) = min! ehdoilla 5x 1 +2x 2 +3x 3 +x 4 +x 5 = 300 x 1 +2x 2 +x 3 +2x 4 +x 6 = 200 x 1 +x 3 +x 7 = 100 x i 0, i = 1,...,7. c T x = min! Ax = b x 0 missä c T = ( 6, 4, 2, 1,0,0,0), b T = (300,200,100) ja Tarkastellaan tehtävää (T) c T x = min!, Ax b, x 0, A R m n, b R m, c R n ja siihen liittyvää standardimuotoista tehtävää ( T) c T x = min!, à x = b, x 0, à R m (n+m), x, c R n+m. (a) Anna lausekkeet Ã, c ja x. (b) Osoita, että tehtävät (T) ja ( T) ovat yhtäpitäviä siinä mielessä, että tehtävällä (T) on ratkaisu täsmälleen silloin, kun tehtävällä ( T) on ratkaisu (ts. kyseinen minimi on olemassa) ja jos minimit ovat olemassa niin ne ovat samat. Ratkaisu. (a) Tehtävä (T) on saatettu standardimuotoon ( T) lisämuuttujien y 1,...,y m avulla: Epäyhtälöt a j1 x 1 + +a jn x n +y j = b j a j1 x 1 + +a jn x n b j y j 0 Standardimuodossa x = [x 1,...,x n,y 1,...,y m ] T R n+m c = [c 1,...,c n,0,...,0] T R n+m à R m (n+m) (= [A m n I m m ])

5 (b) Kustannusfunktio. z := c T x x = [c 1,...,c n,0,...,0] n = c T x y 1. y m Edelleen, jos x 0 on tehtävän (T) käypä ratkaisu, niin slack-muuttujien lisääminen johtaa tilanteeseen, missä x 0 on yhtälön à x 0 = b ratkaisu ja x 0 0. Toisaalta, jos x 0 on yhtälön ( T) käypä ratkaisu, niin vektorin x 0 n ensimmäistä komponenttia ovat tehtävän (T) käypä ratkaisu. Siis Ax b à x = b. x 0 x 0 Edelleen, jos x on tehtävän ( T) optimaalinen käypä ratkaisu, niin x:n n ensimmäistä komponenttia antavat tehtävän (T) optimaalisen käyvän ratkaisun, merk. z := c x = c T x. Näin on, sillä jos tehtävällä (T) olisi eri optimaalinen käypä ratkaisux 1 (= x 1 1,...x 1 n), niin slac-muuttujien y = [y 1,...,y m ] avulla saataisiin optimi z 1 joka olisi eri kuin z ( z on jo ( T):n optimi käypä ratkaisu). Vastaavasti tehtävän (T) optimi käypä ratkaisu antaa, slack muuttujien lisäyksen jälkeen, tehtävän ( T) optimaalisen käyvän ratkaisun. Siis c T x = min!, Ax b, x 0 x 1 c T x = min!, à x = b, x 0 4. Muunna LP tehtävä standardimuotoon. min 3x 1 x 2 s.e. x 1 +6x 2 x 3 +x 4 3 7x 2 +x 4 = 5 x 3 +x x 2, x 3 5, 2 x 4 2 Ratkaisu. Kaikki muuttujat tulee korvata ei-negatiivisilla muuttujilla. Tehtävä on minimointitehtävä, joten sitä ei tarvitse muuttaa. Muutetaan ensimmäinen rajoite muotoon: x 1 6x 2 +x 3 x 4 3

6 Yhtälörajoitteesta saadaan kaksi rajoitetta: 7x 2 +x 4 5 7x 2 x 4 5 Tuplarajasta, yläraja voidaan viedä ey-rajoitteksi, saadaan min 3x 1 x 2 s.e. x 1 6x 2 +x 3 x 4 3 7x 2 +x 4 5 7x 2 x 4 5 x 3 +x x 2, x 3 5, 2 x 4 x 4 2 Sitten muutetaan muuttujia positiivisiksi. Muuttuja x 1 on vapaa, korvataan se x 1 = z + 1 z 1, missä z + 1,z 1 0. Muuttujalla x 2 on ei-positiivinen alaraja, korvataan se: x 2 = z 2 1, missä z 2 0. Muuttuja x 3 on ylkäältä rajoitettu, korvataan se x 3 = 5 z 3, missä z 3 0. Muuttuja x 4 on alhaalta rajoitettu, korvataan se Nyt LP tehtävä saadaan muotoon: x 4 = z 4 2, missä z 4 0. min 3z + 1 3z 1 z 2 s.e. z + 1 z 1 6z 2 z 3 z z 2 +z z 2 z + 1, z 1, z 2, z 3, z 4 0 Lisäksi täytyy lisätä puutemuuttujat. z 4 14 z 3 +z 4 1 z 4 4