Analyysi 1. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Syksy Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko A = x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu.

Transkriptio

1 Analyysi Harjoituksia lukuihin 3 / Syksy 204. Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko { 2x A = x ]4, [. x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu. 2. Anna jokin ylä- ja alaraja joukoille { x( x) A = x ], [, x 0 x { ( ) mn ja B = m, n Z+. m 2 + n 2 3. Osoita, että n k= k(k + ) = n n + (n Z + ) esittämällä summattava lauseke kahden rationaalilausekkeen erotuksena ja hyödyntämällä sitten summauksessa tapahtuvaa kumoutumista. 4. Merkitse itseisarvoepäyhtälöillä, että (a) luvun x etäisyys luvusta 5 on vähemmän kuin 3 ja luku x on erisuuri kuin 5, (b) luvun x etäisyys luvusta 4 on korkeintaan 2, (c) 2x eroaa luvusta 2 vähemmän kuin Osoita, että jos x 2 < 9, niin 2x 2 8 < Etsi sellainen luku K > 0, että x + x K x 5 3 kaikilla x ]4, 6[. 7. Määritä suurin sellainen ε > 0, että U ε (a) I, kun (a) a = 2, I = ]0, 3[, (b) a = 2, I = [, 3 2 (c) a = 0, I = [, [, (d) a =, I = ], 4[. Tässä tehtävässä vastauksia ei tarvitse perustella täsmällisesti. Esimerkiksi joukkojen sijaintiin lukusuoralla tukeutuva perustelu on riittävä.

2 8. Anna jokin sellainen luku δ > 0, että jos x U δ (4), niin x 3 < 2h aina, kun x 4 < h (missä 0 < h < ). 9. Oletetaan, että x a < 2 5 ja y a < 2 5 (x, y, a R). Mitä voit kolmioepäyhtälön avulla päätellä etäisyydestä x y? 0. Osoita täsmällisesti perustellen, että jos a < x < b ja a < y < b, niin x y < b a (x, y, a, b R). Mikä on väitteen geometrinen tulkinta?. Olkoon f(x) = Anna laajin sellainen väli I R, että { x + 3, kun x <, 3 2x 3, kun x. (a) inf A = 2 ja sup A = 4, (b) inf A = 2 ja sup A = 5, (c) inf A = ja sup A = 4, (d) inf A = ja sup A = 5, kun A = {f(x) x I. Tässä tehtävässä ei tarvitse antaa täsmällistä perustelua, että infimum ja supremum toteuttavat vaaditut ehdot. Esimerkiksi funktion kuvaajaan tukeutuva perustelu on riittävä. 2. Olkoon A R, A. Onko mahdollista, että kaikilla ε > 0? sup A inf A < ε 3. Olkoot A, B R, A, B ylhäältä rajoitettuja joukkoja. Aseta suuruusjärjestykseen sup A, sup A B ja sup A B. Vastaus on perusteltava. 4. Olkoon Määritä min A, inf A, max A ja sup A. { n + ( ) n A = n Z+. n ( ) n 5. Voidaan helposti osoittaa, että 2 on joukon { 4n 2 A = n Z + 2n + yläraja. Osoita vastaoletusta käyttämällä, että mikään luku 2 t (t > 0) ei voi olla joukon A yläraja.

3 6. Olkoon A tehtävän 5 joukko. Osoita, että mikään luku 2 t (t > 0) ei voi olla joukon A yläraja antamalla jokin sellainen joukon A alkio a, että a > 2 t. 7. Olkoon A = Määritä täsmällisesti perustellen sup A. { y R y = x + 2 x +, x Olkoon A tehtävän 7 joukko. Määritä täsmällisesti perustellen inf A. 9. Määritä täsmällisesti perustellen joukon { n (a) n Z n 2 +, (b) + 3 supremum ja infimum. { 3 m 2 n m, n Z Olkoon x n = 6n 5 (n Z + ). 2n + 5 Määritä jokin sellainen n 0 Z +, että x n 3 < 0,0 aina, kun n n Osoita lukujonon raja-arvon määritelmän perusteella, että 2k + k 2k =. 22. Osoita lukujonon raja-arvon määritelmän perusteella, että ( n2 + 3 n ) = Osoita lukujonon raja-arvon määritelmän perusteella, että n 3 + n + 2n 3 n = 2. nπ sin 24. Suppeneeko lukujono (x n ), kun x n = n 2? 25. Lukujonosta (x n ) oletetaan, että x = 3 ja x n =. Osoita täsmällisesti perustellen, että lukujonon (x n ) termien joukossa on suurin luku.

4 26. Anna esimerkki sellaisesta lukujonosta (x n ), että x = ja x n =, mutta lukujonon (x n ) termien joukossa ei ole suurinta lukua. Tässä tehtävässä tuloksia ei tarvitse perustella täsmällisesti (eli riittää antaa vaadittu esimerkki). 27. Oletetaan, että lukujono (x n ) suppenee ja < x n < 2. Osoita, että on olemassa sellainen n 0 Z +, että < x n < 2 kaikilla n > n Osoita suoraan lukujonon raja-arvon määritelmän perusteella, että jos x n = x, niin x 3 n = x Anna esimerkki sellaisista lukujonoista (x n ) ja (y n ), että x n < y n kaikilla n Z + ja x n = y n = Määritä π n + 2 2n. 3. Määritä sellainen vakio b R, että ( n2 + bn n 2 + n ) = cos(π + sin(n + π)) 32. Määritä. n 33. Olkoon lukujono (x n ) kasvava. Osoita todeksi tai (vastaesimerkillä) epätodeksi, että jos y n = x n + x n+ (n Z + ), niin myös lukujono (y n ) on kasvava. 34. Olkoon A R + jokin epätyhjä ylhäältä rajoitettu joukko ja m n = min { m Z + m 0 n on joukon A yläraja (n Z + ). Osoita, että lukujono (x n ) suppenee, kun x n = m n 0 n. 35. Olkoon (x n ) tehtävän 34 lukujono. Osoita, että x n = sup A.

5 36. Määritä raja-arvo ( (a) + 7n+3 ( ) 2n 2n, (b). n) 2n ( 37. Määritä raja-arvo ) n. n Osoita, että kaikilla n Z +. (n + )! < e n i=0 i! < 2 (n + )! 39. Osoita, että lukujono (x n ) on rajoitettu, ja muodosta jokin lukujonon (x n ) suppeneva osajono (jollainen on nyt olemassa Bolzano-Weierstrassin lauseen nojalla), kun x n = n + n n ( )n 2n Osoita Cauchyn suppenemiskriteeriä käyttäen, että raja-arvo on olemassa. n k=0 k! 4. Oletetaan, että (x n ) ja (y n ) ovat Cauchyn jonoja ja c R. Todista suoraan Cauchyn jonon määritelmään nojautuen, että myös jono (cx n + y n ) on Cauchyn jono. 42. Anna esimerkki sellaisista lukujonoista (x n ) ja (y n ), että x n, y n 0 ja (a) x n y n, (b) x n y n 4, (c) x n y n 0. Huom. Riittää määrittää vadittavat raja-arvot. Suppenemistuloksia ei tarvitse perustella nojautumalla suoraan määritelmään. 43. Osoita suoraan määritelmän perusteella, että 44. Osoita suoraan määritelmän perusteella, että (a) n 2 + 2n n 2 2n =. =, (b) 2n 3 5n 2 3 =.

6 45. Funktion raja-arvon määritelmän ehdosta ε > 0: δ > 0: f(x) A < ε aina, kun 0 < x a < δ, saadaan kvanttorien järjestystä vaihtamalla ehto δ > 0: ε > 0: f(x) A < ε aina, kun 0 < x a < δ. Tarkoittaako tämä ehto mitään järkevää ja jos, niin mitä? 46. Osoita funktion raja-arvon määritelmän perusteella, että 47. Määritä jokin sellainen luku M > 0, että (5x + 3) = 23. x 4 2x 2 8 M x 3 x ]2, 4[, ja osoita funktion raja-arvon määritelmän perusteella (yllä olevaa tulosta hyödyntäen), että x 3 (2x2 8) = Osoita funktion raja-arvon määritelmän perusteella, että x 3 (2x2 4x 5) =. 49. Osoita funktion raja-arvon määritelmän perusteella, että x 2 x + 3 3x 5 = Olkoon a R ja f : R R sellainen funktio, että x a f(x) = 5. Osoita, että kaikilla ε > 0 on olemassa sellainen δ > 0, että f(x) f(y) < ε aina, kun 0 < x a < δ ja 0 < y a < δ. 5. Määritä x 0 (4x 6 + πx 2 ) cos x + π x. 52. Määritä x 0 + ax sin(bx) (b 0).

7 53. Onko funktiolla sin(x ) f(x) = (x ) x raja-arvo pisteessä x =? Entä onko funktiolla f vasemman- tai oikeanpuoleista raja-arvoa pisteessä x =? Myönteisessä tapauksessa määritä raja-arvot. 54. Olkoon f välillä ]a, b[ aidosti kasvava funktio. Osoita, että jos c ]a, b[, niin rajaarvot f(x) ja f(x) x c x c+ ovat olemassa. 55. Osoita suoraan raja-arvon määritelmään perustuen, että x 3x + x 5 = Kirjoita täsmällinen määritelmä sille, että f(x) =, ja osoita tätä määritelmää käyttäen, x a että x Osoita suoraan määritelmään perustuen, että x x 3 x 2 =. x 4 4x 3 =. 58. Määritä x x sin x 2. x 59. Määritä x x x x. 60. Osoita todeksi tai (vastaesimerkillä) epätodeksi, että jos f(x) = ja g(x) = A x a x (A R), niin (g f)(x) = A. x a