(1) Sekoitusfunktiot ideaaliliuoksille on esitetty matemaattisessa muodossa yhtälössä (4) ja graafisesti kuvassa 1.

Transkriptio

1 4774S / Ilmömallus rosessmetallurgassa Ideaalluokset a de omasuudet Ee reaalluoks srtymstä o syytä kerrata ota deaalluokslle tyyllsä omasuuksa. Ideaalluoksssa er osaslae välset vuorovakutukset ovat keskeää samalasa, mkä seurauksea tety osasla reagot vakuttaa va se oma tosuus luoksessa. Koko luosta koskevat omasuudet saadaa deaalluoste taauksessa leaarkombaatoa osaslae omasuukssta. Ideaalluoksssa aktvsuutta vodaa kuvata suoraa moolosuudella : a d. ( ollo kemalle otetaal o muotoa: µ d. µ R T l y ( ossa y o ok tosuusmuuttua. Ylesmm käytetty tosuusmuuttua o moolosuus (, ollo yhtälö ( saadaa muotoo: µ d. µ R T l (3 oolosuude sasta vodaa käyttää myös muta tosuusmuuttua kute esmerkks kato- ta aoosuutta ta osuutta tetyssä hlaakassa olevsta atomesta/oesta. Sekotusuktot deaalluokslle o estetty matemaattsessa muodossa yhtälössä (4 a graasest kuvassa. G S H d. d. d. R T R ( ( l l (4 Ideaalluoste eksessuktode arvot ovat uolestaa olla o eksessuktode määrtelmäk vuoks. Kuva. Ideaalse -B-bäärseokse sekotusuktot koostumukse uktoa. Ta olla muulla tosuusmuuttualla. Kuvaavat eroa deaalluoksesta.

2 4774S / Ilmömallus rosessmetallurgassa Ideaalluokset ovat harvasa laaolla tosuusaluella, mutta tetyllä raotetulla kosetraatoaluella odek luossysteeme termodyamkkaa vodaa tarkastella rttävällä tarkkuudella käyttäe deaaloletusta. Jokseek deaalsest käyttäytyvstä luokssta vodaa mata esmerkkeä sulaa rautaa lueut magaa sekä kteää go: lueut oo. Eädeaalsuus a luosmallt Luosaase termodyaame mallus suortetaa vertalemalla tä deaalluoksee a malltamalla okkeamat deaalsuudesta. Ideaalluokslle termodyaamset omasuudet saadaa määrtettyä suoraa osaslae omasuukssta. Tos saoe deaalluos vodaa ymmärtää mekaaseks seokseks, ossa tety osasla käyttäytymsee vakuttavat aoastaa ko. osasla omat omasuudet sekä tosuus luoksessa. Reaalslla (l. eädeaalslla luokslla osaslat ovat vuorovakutuksessa tostesa kassa, ollo elkät uhdas ae -uktot evät rtä luokse omasuukse kuvaamsee; tarvtaa tetoa luokse omasuukssta. Luosmallt ovat matemaattsee muotoo uettua estyksä luoste todellse termodyaamse käyttäytymse erosta verrattua deaalluoksee. Käytäössä tämä tarkottaa Gbbs eerga ta kemallse otetaal eksessuktode olosuhderuvuukse kuvausta. Peraatteessa luosmall matemaatte muoto vo olla mtä tahasa, mutta uusa mallea käyttööotettaessa o syytä tää melessä, että tällö o myös määrtettävä alusta lähte kakk luosmallssa estyvät arametrt. Reaalluoste termodyaamsta tarkastelua raottava tekötä ovat mm. mallea koskeva teoreettse tetämykse uute (ts. mllae mall kuvaa arhate tetylasta luosaasa tetyssä olosuhtessa - melellää mahdollsmma laaalla olosuhdealueella sekä mallessa tarvttave termodyaamste taulukkoarvoe uute. emm myös malle matemaattsest momutkae luoe saatto aheuttaa ogelma, mutta ykys momutkasemak luosmallea ystytää kästtelemää suhteellse oeast tetokoeta a lasketaohelmstoa hyödytäe. Kaasue mallus Kute mudek seosaase taauksessa, myös kaasue tarkastelussa vodaa suorttaa aottelu deaals a eädeaals tlates. Ideaalkaasue termodyaamsessa tarkastelussa aktvsuukse akalla vodaa sottaa kaasu osaae (, oka vodaa lmottaa moolosuude ( /tot a kokoasaee (tot avulla yhtälössä (5 osotetulla tavalla: tot tot (5 tot Tosaalta kokoasae vodaa lmasta osaaede summaa: tot (6 Ideaalsest käyttäytyvä kaasukomoet kemallse otetaal lauseke (µ saadaa tarkastelemalla komoet Gbbs eergaa, ku se osaae o. Tos saoe tarkastellaa Gbbs eerga muutosta srryttäessä osaaeesta yks (uhdas ae tarkastelu kohteea olevaa osaaeesee : G ( G( VdP dp R T dp R T l R T (7 Ideaalkaasue kemalle otetaal o ss muotoa: µ d ( g µ R T l µ R T l R T l tot (8

3 4774S / Ilmömallus rosessmetallurgassa Kokoasaee ollessa yhtälö (8 sustuu muotoo: µ d ( g µ R T l (9 llo kaasue stte vodaa olettaa käyttäytyvä deaalsest? Ylestetyst vodaa todeta, että metallurg äkökulmasta lähes kakssa käytäö sovelluksssa kaasut käyttäytyvät lähes deaalsest. Tämä ohtuu stä, että kaasue käyttäytyme o stä deaalsemaa mtä matalammssa aessa ollaa (suuruusluokkaa alle kbar, mtä korkeammssa lämötlossa ollaa (selväst yl kehumsstee a krttse lämötla a mtä ykskertasemmsta kaasumolekyylestä o kyse. etallurgsssa rosessessa estyvät kaasut ovat yleesä eä eäorgaasa molekyyleä (O,, O, O, H, HO, SO, SO3, e., mkä lsäks lämötlat ovat korketa a aeet lähellä ormaala lmaaetta. Tämä vuoks kaasue eädeaalsuude huomome e metallurgaa lttyvssä tarkastelussa yleesä olekaa tareellsta. Tos o kutek molla kematekka alueella, ossa mm. suuremmat orgaaset molekyylt saattavat käyttäytyä hyvk eädeaalsest. Reaalkaasulle aktvsuude akalle sotetaa ugasteett (, ollo kemalle otetaal o muotoa: µ real ( g µ R T l µ R T l R T lφ R T l tot ( Fugasteettlle vodaa ss krottaa yhtälö: φ φ ( tot ossa φ o ugasteettkerro, oka o aee, lämötla a koostumukse ukto. Kakke kaasue käyttäytyme lähestyy deaalsta, ku ae lähestyy ollaa, ote ugasteet a ugasteettkertome raa-arvoks saadaa: lm lm φ tot tot ( Kuvassa o estetty esmerkkä uhtaa tye ugasteettkerro aee uktoa. Kuvasta ähdää hyv, kuka etä tye kaltaste ete kaasumolekyyle eädeaalsuus o, vakka aetta ostettas oa sada lmakehä aeesee. Kuva. Puhtaa tye ugasteettkerro valltseva aee uktoa 73,5 K: lämötlassa. Kodesotueet seosaast a de malluksessa käytettäve luosmalle aottelu Kodesotuella aasella tarkotetaa muta ku kaasumasa aasea (l. ktetä ta sula aeta. Kodesotuessa seosaasessa osaslae välllä valltsevat merkttävämmät a momutkasemmat vuorovakutukset ku kaasuseoksssa. e ruvat aas yskaalsesta raketeesta a vakuttavat osaslae kykyy

4 4774S / Ilmömallus rosessmetallurgassa ottaa osaa kemalls reaktoh (ts. de aktvsuuks. Tästä ohtue myös de termodyaame mallus, oka ss yrk kuvaamaa aas er osaslae välsä vuorovakutuksa, o momutkasemaa. Eädeaalste kodesotuede seosaase malluksessa käytettävät luosmallt aotellaa ertesest matemaatts a yskaals luosmalleh se mukaa, ohautuuko mall muoto mallettava aas raketeesee va e. atemaattset luosmallt ovat mesä mukasest uhtaa matemaattsa kuvauksa eksessuktode ae-, lämötla- a koostumusruvuukslle. ssä estyvät mallarametrt evät kuvaa mtää yskaalsta omasuutta, evätkä aas yskaale rakee a olomuoto raota mall muotoa. Fyskaalste luosmalle matemaatte muoto - samo ku ssä estyve mallarametre merktys - o uolestaa sdottu seosaas raketeesee. Tällö mall arametrella o ok yskaalsest melekäs merktys: esmerkks kteessä verekkäsllä akolla oleve atome väle vuorovakutuseerga. Fyskaalset luosmallt ovat yleesä matemaattsa mallea arema, ku oudutaa ekstraolomaa termodyaamsa arvoa aluelle, olta e ole mttaustuloksa. de ogelma o kutek soveltuvuus va tety tyyste luoste kästtelyy tetyssä olosuhtessa. Koska o olemassa lukusa erlase raketee omaava aasea, myös erlasa yskaalsa luosmallea o useta. rvotaessa luosmalle hyvyyttä tulee huomoda, että malle teoreette tausta o kuossa a että mall o melekkääst sovellettavssa myös käytätöö. atemaattset luosmallt atemaattset luosmallt ovat muodoltaa tosuusmuuttue otesssaroa, ossa termodyaamste suurede eksessuktode ta aktvsuuskertome tosuusruvuus o estetty saraa, ollo eädeaalsuudet vodaa esttää stä tarkemm mtä useama termeä huomodaa. atemaattste luosmalle taustalla o a argules 8-luvu loulla esttämä kokeells mttaustuloks ohautuva aatus, oka mukaa bäärse luokse komoette aktvsuuskertome logartmt vodaa esttää tosuude otesssaroa yhtälössä (3 estetyllä tavalla: l l ( α α α α α K 3 ( β β β β β 3 K 3 3 (3 Sarossa estyvät termt α a β ovat lämötlasta a aeesta ruva kokeellsest määrtettävä mallarametrea. Gbbs-Duhem-yhtälöä hyväkskäyttäe vodaa osottaa 3, että saroe kaks esmmästä termä (α, α, β a β saavat arvo olla, ollo yhtälö (3 saadaa muotoo: ( l α (4 Sottamalla aktvsuuskertome lausekkeet eksessuktode lausekkes, äästää s. argulesyhtälöh, otka ss kuvaavat termodyaamse suuree eksessukto (ZE tosuusruvuutta: Z E ( a (5 Termt a ovat α: a β: taaa lämötlasta a aeesta ruva kokeellsest määrtettävä arametrea. Gbbs eerga taauksessa bäärsysteem eksessukto tosuusruvuutta kuvaavaks argulesyhtälöks saadaa: G E R T ( q (6 3 Osotus ätetää tässä yhteydessä luka oma aktvsuude varaa.

5 4774S / Ilmömallus rosessmetallurgassa Termt q ovat kokeellsest määrtettävä arametrea, olle löytyy yhteys yhtälössä (3 estyes arametreh α a β: q q β α q (7 argules-yhtälöde hekkous o se, että de okae term o samakaltae - ollasta lähtevä a atkuvast välllä ollasta yhtee kasvava - ukto, ollo yrkke muutoste a momutkaseme systeeme Gbbs eergode tarkka kuvaus o vakeaa lma hyvk korkede astelukue käyttöä. ä argules-yhtälöde ohalta ok kehtetty laaeettua matemaattsa mallea, ode avulla luoste termodyaamse käyttäytymse tarkem kuvaame o mahdollsta eemmällä määrällä mallarametrea. Tällasa kehttyeemä matemaattsa mallea ovat mm. Redlch-Kster-yhtälöt sekä Legedre uktot, osta tässä yhteydessä tarkastellaa velä Redlch-Kster-yhtälötä. Redlch-Kster-yhtälössä o terme samakaltasuudesta äästy eroo korvaamalla sara kakssa termessä estyvä tosuus komoette tosuukse erotuksella: Z E [ b ( ] (8 Yhtälössä (8 estyvät termt b ovat yhtälö (5 a-termeh rastettava kokeellsest määrtettävä arametrea. Toe Redlch-Kster-yhtälöde käytöllä saavutettava etu o se, että e ovat helost laaeettavssa myös mokomoettsysteemeh. atemaattssta luosmallesta ertysest Redlch-Kster-yhtälötä o käytetty alo metallste luoste tarkasteluu. ykys ktede aase malluksessa ovat kutek ylestyeet erlaset alhlamallt. Regulaarset luokset Ykskertasuutesa vuoks yks laamm käytetystä 4 yskaalssta luosmallesta o regulaarste luoste mall, oka mukaa bäärseokse eksess-gbbs eerga o muotoa: G E α (9 ossa α o osaslae a väle vuorovakutuseerga, oka e tarkast regulaarsssa luoksssa ru lämötlasta. Yhtälöstä (9 havataa, että regulaarste luoste eksessukto koostumusruvuus o samaa muotoa ku matemaattste luosmalle mukae eksessukto käytettäessä aoastaa ollae kertaluvu olyomea. Tos saoe regulaarsa luoksa vodaa tää myös matemaattste luosmalle (ykskertasmaa erkostaauksea, vakka se luoktellaak yskaals luosmalleh kuuluvaks ohtue mallarametr α: merktyksestä komoette välseä vuorovakutuseergaa. O myös syytä huomata, että matemaattste luosmalle ollae astee mallarametrt (esm. a a b yhtälössä (5 a (8 evät välttämättä ole lämötlasta rumattoma. Termodyaamslta omasuuksltaa regulaarset luokset ovat symmetrsä. Yhtäältä o hyvä, että luokse omasuukse malltamsee rttää va yhde mallarametr käyttö, mutta tosaalta mall o la ykskertae kuvaamaa termodyaamslta omasuuksltaa momutkasema luoksa. Ertyse ogelmallsa ovat luokset, ossa komoette aktvsuuskertome arvot lamessa luoksssa okkeavat suurest tosstaa. Regulaarste luoste ylesmä käyttökohteta ovat sellaset e-elektrolyyttset luokset, osta o käytössä va raotetust kokeellsta mttausdataa, a tä käytetääk use ohaa aalysotaessa mokomoettseoksa sekä edellytettäessä eksessuktolta hyvää ekstraolotuvuutta useamma komoet systeemeh. Ylestäe vodaak todeta regulaarste luoste etua oleva hyvä 4 Varsk ee lasketaohelmstoa.

6 4774S / Ilmömallus rosessmetallurgassa ekstraolotuvuude a laaetamsmahdollsuudet, ku taas keskee hatta o ykskertasuudesta aheutuva karkeus a eätarkkuus. Osaslae aktvsuuskertomet vodaa regulaarslle luokslle määrttää vuorovakutuseerga avulla yhtälö ( mukasest: l l α R T α R T ( Regulaarste luoste sekotusuktode (Gbbs eerga, etroa a etala lausekkeet bäärslle systeemelle o estetty yhtälössä (-(3. G S H R T ( l G R T ( l l α E ( l l R ( α (3 Yhtälöstä (3 ähdää, että regulaarste luoste muodostumsee lttyvät etala muutokset ovat suoraa komoette välse vuorovakutuseerga kotrolloma. Vuorovakutuseerga ollessa ostve (el ku seokse komoette välllä o hylkvä vuorovakutuksa vo luoksee muodostua luokosuusaukko el koostumusalue, ossa luokset evät muodosta keskeää homogeestä systeemä, vaa erottuvat kahdeks er aasks. Regulaarslle luokslle vodaa vuorovakutuseerga ohalta määrttää krtte lämötla, oka yläuolella lukosuusaukkoa e vo estyä. Krttse lämötla lasketakaava o estetty yhtälössä (4. ( T cr α R (4 Prosessmetallurgsssa sovelluksssa regulaarsa luoksa o käytetty mm. kuoe malluksessa. Useamma ku kahde komoet kuoasysteemelle o käytössä olettamus, oka mukaa regulaarsssa luoksssa tarvtsee huomoda aoastaa bäärset vuorovakutukset er komoette välllä. Tällö kuoa oksdse osasla aktvsuuskertome tosuusruvuudelle saadaa lauseke: ( R T l α (5 okomoettsysteemelle saadaa uolestaa: ( α [ ( α α k α k R T l ] k k (6 ollo summaus käy yl systeem kakke osaslae. allettaessa metallurgsa kuoa regulaarsta malla käyttäe valtaa osaslaeks yleesä ykskatoset oksdt kute ao ta go. ussa taauksssa oksdt muokataa ykskatosks: esmerkks lo3:a kuvaava osasla ols lo,5, oka stadardmuodostumseerga saatas akamalla lo3: stadardmuodostumseerga kahdella. Taulukossa o estetty ota slkaattslle kuolle määrtettyä regulaarste luoste mukasa mallarametrea.

7 4774S / Ilmömallus rosessmetallurgassa Taulukko. Slkaattste kuoe regulaarsa mallarametrea el vuorovakutuseerga (α arvoa [J] (ollek katoarelle o lmotettu useame tutkode määrttämä arvoa. \ l 3 a Fe Fe 3 g a P 5 S 4 T 4 l a Fe Fe g a P S T Fyskaalslla luosmallella mallettavat lmöt Tos ku matemaattset luosmallt, ossa malle muoto a mallarametrt evät ole sdottua tarkasteltava aas raketeesee a omasuuks, yrkvät yskaalset luosmallt kuvaamaa ota luokse todellsa yskaalsa omasuuksa. Ee erlaste yskaalste luosmalle esttelyä ok syytä tarkastella termodyaamse mallukse kohteea oleva lmötä. allettavat luokset vovat olla raketeeltaa hyvk erlasa, ollo myös mallettavat lmöt eroavat tosstaa. Tässä yhteydessä erlaste luoste rtetä tarkastellaa äkökulmasta, ossa luokset o aoteltu s. korvausluoks, alhloa ssältäv luoks sekä sulaaaseh. äde lsäks vesluokset votas erottaa omaks kokoasuudeksee, mutta de kästtely o tässä svuutettu, koska o haluttu keskttyä yrometallurga kaalta keskes lmöh. Korvausluokset ovat seosaasea, ossa aas osaslat estyvät samassa hlassa. Tos saoe erlaset atomt sottuvat korvausluoksssa samakaltas hlaakkoh, ollo yhde osasla tosuude kasvattamse edellytykseä o hlaakkoe vaauttame multa osaslaelta. Korvausluoksa mallettaessa huomotava lmötä ovat mm. osaslae välsstä kokoerosta ohtuvat hlaätykset sekä kemalle ärestäytyme, ossa tetyt osaslat ärestyvät tetyllä tavalla toste osaslae suhtee. Kemalle ärestäytyme vo estyä oko lähärestykseä (egl. short rage order; SRO ta kaukoärestykseä (egl. log rage order; LRO, osta es mattu o ruvae osaslae välsstä sdosvomsta, ku taas älkmmäsee vakuttavat vomat ovat okseek osaslae välsstä sdosvomsta rumattomat. Kemalle ärestäytyme malletaa yleesä osaslae välsä vuorovakutusvoma käyttäe. Useama alhloa ssältävät luokset ovat seoksa, ossa aee mkrorakee ssältää kahde ta useamma kaltasa hlaakkoa, a ossa tetyllä osaslaella o taumus sottua aoastaa tetytyys akkoh. Korvausluoste taaa myös useamma alhla luoksssa vo estyä hlaätyksä sekä kemallsta ärestäytymstä, otka o huomotava luokse termodyaamsa omasuuksa mallettaessa. lhloa ssältävlle luokslle o yleesä omasta, että yksttäse atom ta osasla lähmmät aaurt ovat

8 4774S / Ilmömallus rosessmetallurgassa ohok tosee alhlaa sottueta 5. Sks alhlaluoste lähärestyme ok osaslae sottumsta aauralhla atome suhtee edullsm asem. Lähärestykse ollessa vomakasta vodaa uhua s. assosaatesta el eräälassta atome/oe/osaslae yhteelttymstä, ode termodyaame tarkastelu o melekkätä suorttaa kokoasuutea - e yksttäsä atomea. Useta alhloa ssältävä luoksa tarkasteltaessa o lsäks huomotava myös lmötä, ota korvausluokslla e esy. Tällasa rtetä ovat mm. hlavrheet, ossa tety alhla osasla estyy väärässä alhlassa, a ollo alhlossa estyy myös vakassea el tyhä hlaakkoa sekä välsa-atomt, olla tarkotetaa vaaasest täytetyssä alhlassa oleva atomea. Vaata alhloa ssältävä luosaasea mallettaessa o luokse ääteaast valttava ste, että tosessa ääräässä välsa-alhla o täyä välsa-atomea a tosessa ääräässä vastaavast täyä vakassea (el välsa-alhla o tyhä. Seosuolohteta mallettaessa o lsäks huomotava ohtavuusvöde (a mahdollsest myös elektroe a elektroaukkoe koostumusruvuudet. Elektrolyyttsssä luoksssa o lsäks otettava huomoo elektroeutraalsuusehto el reuaehto, oka mukaa luoksessa valltsee sähköe eutraalsuus. Sule aase yskaale luosmallus o ktede aase mallusta ogelmallsemaa ohtue sulaaaseh lttyvä kokeellse rakeetedo uutteesta. Ktestä aasesta okete sulaaasella e ole varsasta hlaa, mkä vuoks vodaak olettaa, ette ssä esy kaukoärestystä (LRO, ta että aak se merktys o lähärestyksee (SRO verrattua vars vähäe. Tämä vuoks lähärestykse vodaak olettaa kuvaava sulaaas er osaslae välsä vuorovakutuksa vars hyv. Luoksssa, ode eksess- Gbbs eerga o egatve, vodaa aatella oleva attraktvsa vuorovakutuksa er osaslae keske. Vemällä tätä aatusta demmälle äästää olettamuksee, oka mukaa ostvse vetovoma tosaa kohtaa omaavat komoett vovat muodostaa molekulaarsa assosaattea (vrt. edellä, otka evät varsasest ole atomea evätkä systeem osaslaea, mutta otka malluksessa vodaa huomoda yhteäsä kokoasuuksa, olla o vuorovakutuksa toste assosaatte kassa. Tältä ohalta kehtettyä luosmalla kutsutaa assosaattmallks. Toe aattelutaa o lähteä olettamuksesta, oka mukaa sulaluokse komoette välllä taahtuu aak tetyssä taauksssa varaukse srtoa, ollo ko. aaslla o elektrolyyttluokse luoe. Tältä ohalta o kehtetty s. kahde alhla sulamall, oka atamat tulokset ovat lähellä assosaattmall atama tuloksa. Jossa taauksssa sula osaslae vällle muodostuu vomakkata kovalettsa sdoksa, ollo e todella muodostavat yskaalsest havattava komleksea. Tällasssa taauksssa sula termodyaame mallus ols äärmmäse vakeaa lma, että ao. komlekst huomotas oma osaslaeaa. Esmerkkä sulassa estyvästä komlekssta vodaa mata slkaattsssa kuoasulssa estyvät ortoslkaattaot (SO4 4-. Ol tarkastelu kohteea oleva aas rakee stte mtä hyväsä, o termodyaamse mallukse äämäärää aa kuvata luokse Gbbs eergaa hyv ku mahdollsta käyttäe erlasa aasessa taahtuva yskaalsa rosessea mallukse kohteea. Käytäössä käy vars use kutek, että va raalle määrä lmötä vodaa kuvata tyydyttäväst yskaals malle, ollo mall ää lähes aa myös uhtaa matemaatte term G(UFO, oka arametrt o sovtettu kokeellssta mttaustulokssta käyttäe ota sovaa muuttue otesssaraa kute esmerkks Redlch-Kster-yhtälötä (vrt. matemaattset luosmallt. Tos saoe G(UFO-term ssältää kakk e luokse omasuudet, ota e tueta rttävä hyv de yskaalseks malltamseks. Ktede aase malluksessa käytettävät mallt Ktede aase malluksessa käytetää ykys yleesä erlasa alhlamallea, ku taas aemm käytössä olvat myös korvausluoksa sovttavat matemaattset luosmallt a ertysest ktetä metallseoksa mallettaessa käytetyt Redlch-Kster-yhtälöt (vrt. matemaattset luosmallt 6. lhlamalle o havattu soveltuva hyv aak ktede suoloe, metalle välste yhdstede, keraame sekä välsaluoste termodyaamste omasuukse malluksee. 5 Esmerkks kteä oyhdstee vodaa aatella koostuvat lomtta sottuesta ao- a katohlosta. Yksttästä aoa (egatve o tarkasteltaessa havataa, että stä lähmää olevat toset hukkaset ovat sähkövaraukseltaa vastakkasmerkksä el katoea (ostve o. Tos saoe tarkastelu kohteea oleva ao lähmmät aaurt ovat sottuea katohlaa, ku taas ao tse o luoollsest aohlassa. 6 atemaattste luosmalle a regulaarste luoste välste yhteykse vuoks matemaattsa luosmallea (a ertysest argulesyhtälötä kutsutaa mossa yhteyksssä myös sub-regulaarsks luoksks. Tämä o ylestä varsk mossa artkkelessa, ossa ktede metallseoste termodyaamsa omasuuksa o mallettu matemaattsa luosmallea käyttäe.

9 4774S / Ilmömallus rosessmetallurgassa Kuva 3. Ykskertas esmerkk kahde alhla aassta. Tummeetut allot vovat esmerkks kuvata katoea, ollo valkeat allot kuvaavat vastaavast aoea. lhlamall havaollstamseks vodaa tarkastella esmerkks kteää ao-go-seosta, oka avulla saadaa muodostettua kuva alhlamall ykskertasmmasta muodosta, ossa luoksessa o kaks tostesa kassa lomtta sottuutta alhlaa (vrt. kuva 3, osta tosta täyttävät katot (a a g a tosta vastaavast aot (O -. Luosta vodaa ss kuvata rakeekaavalla (a,g(o, ossa samoe sulkumerkke ssää o sotettu samaa alhlaa täyttävät atomt/ot. yt aas er osaslae tosuudet vodaa lmottaa hlaakkaosuuksa (y el osuuksa tetyssä alhlassa, ollo esmerkks (a,g(o-luokse sekotus- Gbbs eerga vodaa esttää yhtälö (7 mukasest. ( y l y GE R T ( ya l ya g l yg GE G R T (7 Edellä kuvatu aas raketee ohalta vodaa äätellä, että yhtälössä (7 estyvät kalsum- a magesumoe hlaakkaosuudet ya a yg ovat yhteevä luokse äätekomoette ao a go aemääräosuukse ao a go kassa, ollo yhtälö (7 saadaa muotoo: ( ao ao go go GE G R T l l (8 Taauksssa, ossa aas lukeeva osasla koko o merkttäväst matrsssa oleve osaslae kokoa eem, taahtuu lukeeva aee sottume hla välsoh. Tällö uhutaa välsa-alhlasta, ossa lukeevalta aeelta vaaaks ääve hlaakkoe vodaa olettaa täyttyvä vakassella (Va. Jos tarkastellaa : lukeemsta :stä a :stä koostuva luokse välsoh, saadaa alhlamall mukaseks luokse Gbbs eerga lausekkeeks: G y R T Va G Va Va G Va ( y l y l y l y Va l yva GE G G (9 ossa y vttaa komoet hlaakkaosuutee omassa hlassaa a G Va a G Va vttaavat uhtade aede a Gbbs eergoh. eet a ovat samassa hlassa (y - y, ku taas aeet a Va ovat omassa (välsahlassaa (y - yva. omutkasemmssa taauksssa alhloa vo olla useama ku kaks. Esmerkkä vodaa mata lmettaas mall, ossa seossara ääteaast ovat TO3 a FeTO3. Luokse rakeetta vodaa kuvata kaavamasest muodossa (Fe-,T 3 (T- 4,T 3 B(O3, oka er kombaatosta saadaa mallettava luokse kvasyhdsteks (Fe (T 4 B(O3, (Fe (T 3 B(O3 -, (T 3 (T 4 B(O3 a (T 3 (T 3 B(O3. ästä toe a kolmas ovat yskaalsest e-realsotuva sähkösest varautueta yhdstetä. Luokse Gbbs eerga votas krottaa edellä estettye osaslae hlaakkaosuukse avulla samaa taaa ku yhtälössä (7 a (9. Useammsta osaslaesta ohtue yhtälö ols edellä estettyä momutkasem, mutta matemaattselta muodoltaa se e okkeas ykskertaseme luoste Gbbs eergode mallukssta. Yhtälössä (7 - (9 estyvä eksessterm vodaa uolestaa malltaa er tavo rue stä, mte momutkase (tarka mallraketee käytössä oleva kokeelle mttausdata sall. Ykskertasmmassa

10 4774S / Ilmömallus rosessmetallurgassa taauksessa huomodaa aoastaa alhloe ssäsä vuorovakutuksa (L, ollo esmerkks hyoteettse (,B α (,D β -luokse Gbbs eerga lausekkeeks saadaa: G y R T ( y l y l y l y l y B L G B B B D L G D B B D G D D B D D G BD (3 Leee kutek kohtuuttoma otmststa olettaa, että sama alhla ssällä oleve osaslae vuorovakutukset olsvat rumattoma vereset alhlaakat varaesta osaslaesta. Huomomalla er alhlossa oleve osaslae vakutukset tossa saadaa Gbbs eerga lausekkeeks: G y R T G B G B ( y l y B l yb l y D l yd B ( y LB : D LB : D D ( y LD : B LD : B D G D B D G BD (3 ossa L:k vttaa er alhlassa oleva osasla k vakutusta tosessa alhlassa oleve osaslae a välsee vuorovakutuksee. Yhtälössä (3 o huomotu aoastaa bäärset vuorovakutukset. Sule aase malluksessa käytettävät mallt Kute edellä o todett, o sule luosaase yskaale luosmallus osottautuut sule rakeetta kästtelevä tedo uutteesta a vaavasuudesta ohtue vars vakeaks huolmatta stä, että sule malluksessa e tarvtse ktede aede taaa huomoda kaukoärestystä a hlarakeetta, koska tä e (aakaa merkttävssä määr esy. Tähä meessä e olekaa velä ystytty kehttämää malla, oka avulla votas samaa mallrakeetta käyttäe malltaa tosstaa huomattavast okkeava sulaaasea (esm. metallsula a slkaattsa kuoasula. Puhtaast metallslle luokslle käytetää edellee alo Redlch-Kster-tyysä yhtälötä (ta ukkaseosteste teräste taauksessa lamede luoste malla a kosetrodummlle luokslle se ohdaasa 7, ku taas sulaluokslle, ossa estyy vomakkaamaa lähärestystä, vodaa käyttää kvaskemallsta malla, kahde alhla sulamalla ta assosaattmalla. Kuoasullle vodaa käyttää myös regulaarste luoste malla, mkäl tarkasteltavasta luoksesta o käytössä va vähä kokeellsta mttausdataa. Tässä yhteydessä o esmerkkä kästelty tarkemm s. lamede luoste malla el WLE-ormalsma, mkä lsäks muta sulaaase malluksee käytettävä mallea o tarkasteltu lyhyemm. WLE-ormalsm (Lamede luoste mall Kute mall mestäk o hyv lmeee, ovat lamede luoste mall keskesä sovellukohteta luokset, ossa yks komoetesta o määrällsest selväst halltsevassa roolssa ( luot, ollo muta eemä tosuuksa luoksessa estyvä komoettea sekä de termodyaamsta käyttäytymstä vodaa tarkastella lamede luoste malla käyttäe. äeäse sueasta sovellusalueestaa huolmatta lamede luoste mall soveltuu erttä hyv mo rosessmetallurga käytäö tlates, ossa tarkastelu kohteea ovat eä tosuuksa estyvät svukomoett ta eäuhtaudet (esmerkks metallsulassa. atemaattse erusta lamede luoste malllle estett Wager tomesta vuoa all erustuu aktvsuuskertome ylesee matemaattsee muotoo, oka tulee olla oklae atkuva sekä atkuvast dervotuva ukto luokse koostumuksesta. Tällö aktvsuuskertome ( logartm vodaa esttää kuk koostumukse lähellä Taylor sara avulla kute yhtälössä (3 o estetty. 7 Esmerkkä rauta- a terässule termodyamkkaa kästtelevästä revew-tyysestä artkkelsta vodaa mata: Iguch, Y. The thermochemstry o errous melts. Ellott symosum o chemcal rocess metallurgy, ambrdge,, US, Warredale, P, US, 99. The ro ad steel socety, Ic. s Lamede luoste mallsta käytetää myös mstystä WLE-ormalsm, olla vtataa mall kehttä Wager, Lus a Elot. Wager a hma sovelsvat Taylor sarakehtelmää lames luoks, ku taas Lus a Ellott uolestaa laaesvat tarkastelua tose kertaluvu vuorovakutuks.

11 4774S / Ilmömallus rosessmetallurgassa K T T T,,,,,, l l l l (3 Seokse komoetesta esmmäe (aladeks vttaa luottmee, oka tosuus o lähellä ykköstä, a oho muut seokse komoett ovat eemä tosuuksa lueeet. Yhtälössä (3 o tarkastelu kohteeks valttu seokse mude komoette (,..., vakutus aee aktvsuuskertomee (. Hyv ellä tosuukslla yhtälössä (3 estyvät osttasdervaatat ovat vakota, ollo e vodaa merktä krekkalas symbole (ε a ρ a yhtälö (3 vodaa krottaa muodossa: (33 ( ( K l l ρ ε Yhtälössä (33 estyvä termeä ε a ρ kutsutaa. a. kertaluvu Wager vuorovakutusarametreks, otka ovat kokeellsest määrtettävä luokse komoette välsä vuorovakutuksa kuvaava a luokselle omasa muuttua. Lueede aede tosuukse ollessa rttävä eä vodaa tose (a stä korkeamma astee vuorovakutukset ättää huomomatta, ollo aktvsuuskertome logartm tosuusruvuus oletetaa leaarseks (ks. kuva 4. Kuva 4. Vuorovakutusarametre estys graasest. ossa käytäö sovelluksssa - teräkse valmstuksee lttyvssä tarkastelussa okeastaa aa - o melekkäämää kuvata tosuutta käyttäe aorosettastekkoa. Paorosettastekolle määrtetyt vuorovakutusarametrt merktää yleesä symbole e a r erotuksea moolosuusastekolle määrtetystä aramatresta. Huomaa myös, että aorosettastekkoa käytettäessä käytetää kymmekatasta logartma luoollse sasta. [ ] ( [ ] ( K r e % % lg lg (34 käl stadardtlaks valtaa ääretö lameus (mkä lameta luoksa tarkastellessa o use ärkevä valta, saa Hery la mukaa arvoksee, ollo yhtälöde (3 - (34 okede uolte esmmäe term ( : logartm saa arvo olla. Raoult stadardtlaa vastaave moolosuukse a luoollste logartme kassa käytettäve vuorovakutusarametre ε a ρ sekä Hery stadardtlaa vastaave

12 4774S / Ilmömallus rosessmetallurgassa aorosettosuukse a -kataste logartme kassa käytettäve vuorovakutusarametre e välllä o olemassa yhtälössä (35 a (36 estetyt yhteydet 9. a r l ε 3, 6 e (35 l l [ r ( e ] 3,6 l ρ l (36 l l Yhtälössä (35 a (36 o moolmassa a aladekst, a l vttaavaat tarkastelu kohteea olevaa komoett, : aktvsuutee vakuttavaa lueeesee aeesee sekä luottmee l. Vuorovakutusarametre lämötlaruvuude muoto o estetty yhtälössä (37 a äärettömässä lameuksessa vomassa oleva rstkkäsvakutus uolestaa yhtälössä (38. η ε σ K T (37 ε ε (38 Lamede luoste mall etua o se ykskertae matemaatte muoto, oka mahdollstaa käslaskea regulaarse luosmall taaa. Hattauolea o kutek mall mestäk arvattavssa oleva raalle vomassaoloalue, oka raottuu luoks, ossa tarkasteltave komoette määrät ovat eä. Raotetusta sovellusalueesta huolmatta metallurgsesta teollsuudesta löytyy lukusa rosessvaheta, ode tarkasteluu lamede luoste mall soveltuu eromasest. Tyyllsä kohteta ovat esmerkks metalle (rauda, kuar,... raotrosesst, ossa tarkastelu kohteea ovat metallssa hyvk eä tosuuksa estyvät eäuhtaudet, ota raossa ollaa ostamassa. Esmerkkä vodaa mata rautaa/teräksee lueeet hl a ha kovertterrosessssa. Wager vuorovakutusarametrea ok määrtetty rusaast mm. Fe-, u-, - a o-ohaslle metallsullle. Taulukossa o estetty esmmäse kertaluvu vuorovakutusarametrea Fe-sullle. Tose kertaluvu vuorovakutusarametrea sekä u-, - a o-sule vuorovakutusarametrea e estetä tässä yhteydessä, vaa e vo tarvttaessa hakea alavtteessa matusta lähtestä, osta taulukko :k o koottu. Kuvassa 5 o estetty vahtoehtoe taa teräksee lueede aede välste vuorovakutuste kuvaamseks. 9 Sltä varalta, että herkemmllä lukolla o vaaraa meettää yöuesa ohtessaa, mstä luku 3,6 o saatu yhtälöh (35 a (36, kerrottakoo, että kysee luku o seurausta logartm kataluvu muutoksesta kymmekatasesta luoollseks: l 3,6 lg e Yhtälöde (35 a (36 ohtame ätetää kutek tässä yhteydessä luka oma aktvsuude varaa. ks. Sgworth GK & Ellott JF. The thermodyamcs o lqud dlute ro alloys. etal scece. Vol s / Sgworth GK & Ellott JF. The thermodyamcs o dlute lqud cobalt alloys. aada metallurgcal quarterly. Vol o.. s / Sgworth GK & Ellott JF. The thermodyamcs o dlute lqud coer alloys. aada metallurgcal quarterly. Vol o. 3. s / Sgworth GK, Ellott JF, Vaugh G & Geger GH. The thermodyamcs o dlute lqud ckel alloys. The metallurgcal socety o I, otreal. ual volume 977. s. 4-. ästä artkkelesta löytyy vuorovakutusarametre lsäks myös taulukkoarvoa, ode ohalta stadardtlat vodaa muuttaa uhtasta aesta a moolosuukssta äärettömä lameukse a aorosettosuukse mukasks.

13 4774S / Ilmömallus rosessmetallurgassa Taulukko. Wager esmmäse kertaluvu vuorovakutusarametrea (e sulassa raudassa. / g l s u B a e o r u Ge H La g o b g -,4 -,8, -, l -,7,45,9 -,47,4 -,58 s,5,77 u B,38,,49,74,8,43,43,4,4 -,97,8 -,4,6,8,67,7 -, -,8, -,6 a -,7 -,34 -, o,, -, -,4,3 r -, -, -,9,6 -,33, -,9 u,66,8,3 -,4,6 Ge,3,7,4 H,3,5,6, -,, -,7 -,, -, g,5 -,7 -,3 -,9 o -,97 -, -, -,8,8,94,3, -,47,9 -, -, -,6 b -,49 -,6 -,4 d -6,,4 -,67 -,5,8 O -3,9 -,5 -,6 -,45-3,8 -,4 -,3-3, -5 -,,4,57 -,4 P,3 -,3,4,,94 Pb,,66, -,8 -,3 Pd, Pt S,35,4,4,3,,3 -, -,8,4, -,6,3, -,3 Sb,43 Se,4 S,58,,8 -,67,4,64,,9 S,37,5,,7 Ta -,37-4,4 -,47 T,55 -, -,8 U,59 V -,34 -,59 -,35 W -,5,88 -,7 Zr -4, / O P Pb Pd Pt Rh S Sb Se S S Ta Te T U V W Zr g l -6,6,7,3,6, s,4 u -,,4 B -,8,48,78, -,34,5,8,46,8,4 -, -,77 -,6 a -,44 -,97 o,8,3, r -,4 -,53,8 -, -,4,9,59 u -,65,44 -,6 -,,7 Ge,7 H -,9,,6,6,8,7,5 -, -,9 -,7,5 g -,83 -,4 -,3 -,48 o -,, -,,,5,45,7,9,6,47,7 -,3,7 -,53 -,93 -, -,63 b -,83 -,47 d,, -,4 -, -,4,6 O,6 -,,7 -,9,5,4 -,33 -,3 -,3 -, -,6 -,3 -,9-3 P,3,6,,8,,3 Pb -,9,48 -,3,48,57 Pd -,84 Pt,6,3 S -,7,9 -,46,9 -,8,4,63 -,4 -,7 -,6, -,5 Sb -,, Se S,5 -,3,,,56,,7,5 S -,,36,35 -,8,57, Ta -, T -,8 -,,3 U,3 V -,97 -,8,4,5 W -,5,,35 Zr -,6

14 4774S / Ilmömallus rosessmetallurgassa Kuva 5. Lueede aede vakutus rk aktvsuuskertomee rautasulassa 6 :ssa stadardtlaa ½ S(g. uta sule aase malluksessa käytettävä mallea etallsule malluksee käytetää edellä mattue matemaattste luosmalle a WLE-ormalsm lsäks s. UIP-ormalsma (egl. Ued Iteracto Parameter Formalsm. UIP-ormalsm käyttää samoa mallarametrea ku WLE-ormalsm (el Wager vuorovakutus-arametrea, mutta lamede luoste mallsta okete se o ätevä luoste koko koostumusalueella. Lsäks se alautuu WLE-ormalsmks, ku seokse koostumus lähestyy ääretötä lameusta. Tämä WLE-ormalsm-yhteyde lsäks UIP-ormalsm vodaa alauttaa myös Darke 96-luvulla esttämää WLE-ormalsm laaeuksee (s. elölle ormalsm, egl. quadratc ormalsm sekä se vodaa ohtaa argules-tyysstä matemaattssta luosmallyhtälöstä, mkä vuoks mall ok saaut mesä (ued yhdstyyt tästä erlasa teorota yhdstävästä luoteestaa ohtue 3. Koska UIP-ormalsma e uurkaa käytetä käslaskeassa, e se mukasa mallyhtälötä ole katsottu aheellseks esttää tässä yhteydessä. heesta kostueet vovat erehtyä mall tarkemm alavttessä 4 a 6 mattua lähtetä hyödytäe. Edellä todett, että vomakkaamma lähärestykse omaave sulaaase (esm. kuoasule malluksessa vodaa käyttää mm. kvaskemallsta malla, kahde alhla sulamalla ta assosaattmalla. ästä kvaskemalle mall o yks vahmmsta yskaalssta luosmallesta a se keskttyy sulaaase malluksessa keskese lähärestykse tarkasteluu. Kvaskemallse mall alkueräe aatus o Guggehem o 93-luvu louuolella esttämä, mutta se ykys käytössä oleva muoto erustuu Blader a Pelto ävtyks 4. all rakee erustuu aatuksee, oka mukaa luos muodostuu Tarkemm UIP-ormalsm vo tutustua käyttäe lähtetä: Pelto & Bale : moded teracto arameter ormalsm or odlute solutos. etallurgcal trasactos. Vol s. -5. / Bale & Pelto : The ued teracto arameter ormalsm: Thermodyamc cosstecy ad alcatos. Vol s Darke elöllsee ormalsm vo tutustua tarkemm käyttäe lähtetä: Darke LS: Thermodyamcs o bary metallc solutos. Tras. IE. Vol s / Darke LS: Thermodyamcs o terary metallc solutos. Tras. IE. Vol s Turkdoga ET & Darke, LS: Thermodyamcs o bary metallc solutos. Part II. Tras. IE. Vol s / Turkdoga ET, Frueha R & Darke, LS: Thermodyamcs o bary metallc solutos. Part III. Tras. IE. Vol s Erlasa Wager vuorovakutusarametrea mallarametreää hyödytävä luosmallea (mm. WLE- a UIP-ormalsmea o vertaltu myös lähteessä: a Z: Thermodyamc descrto or cocetrated metallc solutos usg teracto arameters. etallurgcal ad materals trasactos. Vol. 3B.. o.. s Jos asa kostaa tarkemm ks. esm. Pelto & Blader : Thermodyamc aalyss o ordered lqud solutos by a moded quaschemcal aroach - lcato to slcate slags. etallurgcal trasactos. Vol. 7B s sekä Blader, Pelto a hedä tutkaryhmesä lukusat aheesee lttyvät ulkasut 98-luvulta ykyävää.

15 4774S / Ilmömallus rosessmetallurgassa vako-koordaatoluvulla olevasta (kvashlasta a ko. hlaa sottuvsta artkkelesta, ode keskäe akautume (lähme aaure art -, B-B a -B määräytyy vuorovakutuseerga kautta are muodostuessa yhtälössä (39 estetyllä tavalla: [ ] [ B B] [ B ] (39 Reakto vuorovakutuseerga ollessa olla, o kyseessä deaalluos. egatvslla arvolla -B-are muodostume o eergeettsest edullsta a luos (lähärestyy muodostae assosaattea. Postvslla arvolla -atomt ovat todeäkösemm toste -atome ku B-atome ymärömä samo ku B-atomt ovat emmäksee toste B-atome ymärömä. Tällö seoksella o yrkmystä haota kahtee sama aas er koostumukslla estyvää muotoo a systeem muodostuu lukosuusaukko. Kvaskemallsessa mallssa assosaatte (mahdollsta muodostumsta lähestytää mkroyskaalsesta äkökulmasta, ku taas assosaattmall lähestyy samaa asaa kemallsemmasta äkökulmasta. Jos yhtälössä (39 estety reakto vuorovakutuseergaa kuvataa yhtälö (4 mukasella lausekkeella, ar muodostuksessa taahtuvalla moolselle etala muutokselle (ω saadaa yhtälö (4 mukae lauseke a vastaavast moolselle e-koguratoaalselle etroa muutokselle (η yhtälöä (4 vastaava muoto. E B BB (4 ω z ( B BB (4 η z ( σ B σ σ BB (4 vttaa are kokoasmäärää moola kohde ( (z/, σ sdokse muodostukse ekoguratoaalsee etroaa, vogadro lukuu a z o kvashla koordaatoluku. Jos merktää --tyyste sdoste (, ta B osuutta kaksta sdokssta :llä: (43 B BB saadaa seokse sekottumsetalaks ( H a e-koguratoaalseks sekotusetroaks ( S e-ko. : H X B ω (44 e ko. S X B η (45 Blader a Pelto tekemät muutokset edellä estettyy kvaskemallsee mall lttyvät yhtäältä mall sueemsee deaalluokse lausekkeeks taauksessa, ossa armuodostukse eerga lähestyy ääretötä (ω - ηt, a ossa seos o täydellsest ärestyyt koostumuksella B,5, ollo - a B-atomella o lähmä aaureaa va toselasa atomea sekä tosaalta reaalluoste eäsymmetrsyyde huomot käyttämällä aemääräosuukse sasta s. ekvvalettosuuksa (Y, otka määrtetää aemäärä-osuukssta käyttämällä sova kertoma, olla mall saadaa vastaamaa todellsta tlaetta (el kokeellsa mttaustuloksa. Seokse muodostumsetala a eksessetroa käyttäytyme vodaa ääos selttää vakode ω a η avulla, mutta sekotussuurede kvattatvseks kuvaamseks o välttämätötä käyttää de koostumusruvuuksa, otka vodaa esttää ekvvalettosuukse avulla yhtälötä (46 a (47 käyttäe. ω ω ω Y ω Y K (46

16 4774S / Ilmömallus rosessmetallurgassa η η η Y η Y K (47 ttaustulokssta määrtettävät arametrt ω, ω,..., η, η,... ovat lämötla uktota. Kvaskemallsta malla o metallurgassa sovellettu mm. suolasule, yrometallurgste kuoe sekä suldkve termodyaamste omasuukse malluksee. Kahde alhla sulamallt erustuvat aatuksee, oka mukaa sule aede vodaa ktede aede taaa olettaa muodostuva eräälassta alhlosta 5, otka vovat olla esmerkks katoe a aoe täyttämä. Iosule taauksessa tämä oletukse vodaa olettaa oleva aak ossa määr erusteltu, mutta alhlamalla o sovellettu myös metalls sul se älkee, ku sähköohtavuusmttauste erusteella sullla metallseoksllak o havattu oleva osta luoetta, ollo er osaslae välllä taahtuu elektroe srtymstä. käl luokse osaslaella o vomakas taumus assosaatte muodostumsee, o alhlamallea käytettäessä rsk, että laskeallste tarkastelue tuloksssa systeemessä estyy e-todellsa lukosuusaukkoa. Tämä vuoks slkaattste kuoasule termodyaamsta käyttäytymstä ok vakea malltaa alhlamallea käyttäe, mutta suolasule, e-slkaattste kuoe sekä mude oste sule malluksee alhlamallt sovat hyv. Kuoa- a metallsule lsäks kahde alhla sulamallea ok sovellettu mm. uur suolasule malluksee (esm. s. IS (egl. coormal oc soluto-mall. ssosaattmalle taustalla o teto vesluoksssa estyvästä komlekse muodostumsesta, olla tarkotetaa vetee lueede oe taumusta mmoda systeem kokoaseergaa muodostamalla komlekseks kutsuttua assosaattea. Tätä deaa o yrtty laaetamaa myös muh kodesotuh seosaaseh olettamalla, että seokset koostuvat komoettesa attraktvste SRO-vuorovakutuste seurauksea sytyvstä assosaatesta, otka tomvat seokse mkroraketee muodostava osaslaea, ode välsä vuorovakutuksa malltamalla vodaa kuvata luokse termodyaamsa omasuuksa. Use vuorovakutuste mallus vodaa suorttaa esmerkks matemaattsa luosmallea kute Redlch-Ksteryhtälötä käyttäe (vrt. taas kerra matemaattset luosmallt edellä. ssosaattmall taustalla o ss aatus yhtälö (48 mukassta reaktosta, ossa luosaas (tässä taauksessa : a B: muodostama bääre seos muodostuu suhteellse tkä elä omaava komleksea (mb: ( ( B ( m m B (48 Tällö yhtälö (48 mukaslle reaktolle vodaa krottaa (mutta e mtata tasaaovako a she lttyvät muodostumssuureet kute etala a etroa. O kutek syytä huomata, että vakka assosaatte muodostumsee erustuvalla malllla saatask kuvattua tettye sulaaase omasuuksa, se e tarkota, että ko. luokset välttämättä olsvat komleksesta muodostueta. all tomvuus kertoo va se, että kysese kaltasella malllla vodaa kuvata tarkasteltava luokse omasuuksa 6. Vmesmää luosmalla vodaa velä mata slkaattste kuoasule malluksee kehtetty Kaoor- Frohberg-mall, oka ssältää kaks mallarametra kuoaseokse okasta bäärstä O-SO-osasysteemä kohde a yhde arametr okasta emäksste oksde O-eO muodostamaa bäärsysteemä kohde. Käytäö sovelluste kaalta mall tekee melektoseks se, että se avulla vodaa kuvata mokomoettkuoa elkkä bäärsysteeme taulukkoarvoa hyödytäe. all matemaatte muoto o kutek hyv raskas, a se ok otettu käyttöö vasta tetokoeohaste lasketaohelmstoe ylestymse myötä. all ylestyttyä ovat mm. llbert a Gaye määrttäeet ouko erlaste bäärste kuoasysteeme mallarametreä a malla kutsutaak ossa yhteyksssä myös Gaye-Frohberg-mallks. 5 Joko todellssta hlosta ta laskeassa hyödyettävstä kvashlosta. 6 Tämä tetyst tää akkasa kakessa malluksessa: se, että malllla vodaa kuvata ota lmötä, e tarkota, että mall välttämättä selttäs ko. lmö luotee - se avulla va ystytää kuvaamaa lmötä laskeallsest.