SATE1120 Staattinen kenttäteoria kevät / 5 Laskuharjoitus 2 / Coulombin laki ja sähkökentänvoimakkuus

Transkriptio

1 AT taattinen kenttäteoria kevät 6 / 5 Laskuharjoitus / Coulombin laki ja sähkökentänvoimakkuus Tehtävä Kaksi pistevarausta ja sijaitsevat x-tason pisteissä r x e x e ja r x e x e. Mikä ehto varauksien tulee toteuttaa, että pisteessä r xex e sähkökentällä ei ole lainkaan a) x-komponenttia? b) -komponenttia? c) Laske tulokset tapauksessa, kun x m, m, x m, m, x = - m ja = m. täissvektorit varauksista tutkittavaan pisteeseen: x x e e x x x e e x Tutkittavassa pisteessä vaikuttava sähkökentän voimakkuus: 4π 4π x x e e x x e e 4π x x 4π x x x x x x x x ex 4π x x x x 4π x x x x a) pisteessä r = xe x + e sähkökentällä ei ole lainkaan x-komponenttia: x x x x x 4π x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x e

2 AT taattinen kenttäteoria kevät 6 / 5 Laskuharjoitus / Coulombin laki ja sähkökentänvoimakkuus b) pisteessä r = xe x + e sähkökentällä ei ole lainkaan -komponenttia: 4π x x x x x x x x x x x x x x x x c) Tulokset tapauksessa, kun x m, m, x m, m, x = - m ja = m: x, kun, kun 4 Tehtävä. Pisteessä P (4, -, ) sijaitsee mc suuruinen positiivinen varaus ja pisteessä P (, -4, ) on negatiivinen -5 C varaus. Määritä negatiiviseen varaukseen vaikuttava voimavektori. Kuinka suuri voima vaikuttaa positiiviseen varaukseen? Varauksien paikat esitettnä karteesisessa koordinaatistossa: P 4,, r 4e e e P p, 4, r e 4e e n x x Negatiiviseen varaukseen vaikuttava voimavektori: r r 4 e 4 e e e e e np n p np np 7 4, F e n p n p n np np 4πnp 4πnp 6 5 6π ex e e ex e e Fn 9 4π e e e 5, 7 x Fn N x x N 5, N

3 AT taattinen kenttäteoria kevät 6 / 5 Laskuharjoitus / Coulombin laki ja sähkökentänvoimakkuus Positiiviseen varaukseen vaikuttava voima: r r 4 e 4 e e e e e pn p n pn pn 7 4, F e p n p n p pn pn 4πpn 4πpn p n x x 6 5 6π ex e e e x e e Fp 9 4π F F N 6,4 N Tehtävä. Kahdeksan pistevarausta (kukin varaukseltaan 5 nc) sijaitsevat smmetrisesti, tasaisin välimatkoin, mprän kehällä. Tämä origokeskinen mprä on x-tasossa ( = ) ja sen säde a = cm. Missä kohdassa -akselilla on sähkökenttä suurimmillaan? Laske tämä maksimi arvo? Yksittäisen varauksen aiheuttama sähkökenttä: a e 4π e a mmetriasstä sähkökentällä on -akselilla ainoastaan -suuntainen komponentti: 8 4π a ähkökentän maksimi: 8 d 4π d a d a 5 a a a a ; a i a ei kä a a a

4 AT taattinen kenttäteoria kevät 6 4 / 5 Laskuharjoitus / Coulombin laki ja sähkökentänvoimakkuus Joten sähkökentän maksimiarvo ko. pisteessä: a 8 8 a max 4π 4π a a 4π, 9 5 6π kv max m Tehtävä 4. Olkoon vapaassa tilassa (free space) äärettömän suuri tasainen tasovaraus ja pistevaraus, jonka etäiss tasovarauksesta on h. Jos kseisten varausjakaumien läheisteen tuodaan negatiivisesti varautunut pistevaraus, lötkö avaruudesta kohta, jossa ko. pistevaraukseen vaikuttava toisista varausjakaumista aiheutuva voima on nolla. Jos tällaisia alueita löt, määritä niiden paikat avaruudessa. ijaitkoon tasovaraus x-tasolla: en e Voima ja kokonaissähkökenttä on nolla, kun: Alueella < < h, kentät vahvistavat toisiaan -> voima ei voi mennä nollaksi. Alue > h: e 4π x x h ex e e e e e 4π 4π x x h Tutkittavan varauksen on oltava tasovarauksen normaalin suuntaisesti 4π h h π h π h e h x x

5 AT taattinen kenttäteoria kevät 6 5 / 5 Laskuharjoitus / Coulombin laki ja sähkökentänvoimakkuus Alue < : e e 4π 4π h h π Tehtävä 5. Kaksi -akselin suuntaista tasaisesti jakautunutta viivavarausta ( l = -4 nc/m) sijaitsevat kohdissa x x m, 4 m ja 4 m. Määritä sähkökenttä pisteessä (,, 4) m. v v v v Viivavarauksien aiheuttama sähkökenttä pisteessä (,, 4) m: xe l x e x l ex e x l ex e xex e l l πε x πε x πε x x x x C m As V F m As m m m V 9 4 6π ex e ex 5e ex e ex 5e 7 9 π 5 8 4,55ex,e 7,55ex,e 7,56,56,55ex,e 8, 4 V/m,56 Tehtävä 6. Tasolla 4x + = m on tasainen varaustihes ( =,6 nc/m ). Määritä origon puoleisessa avaruudessa. Tasovarauksen aiheuttama : en ε 4e e e 4e e e en 4 6 x x Tasovarauksen aiheuttama origon puoleisessa avaruudessa : 9,6 6π 4ex e e 4ex e e,9 V/m 9 6 6