Sähköstaattisen potentiaalin laskeminen

Transkriptio

1 Sähköstaattisen potentiaalin laskeminen Potentiaalienegia on tuttu mekaniikan kussilta eikä se ole vieas akielämässäkään. Sen sijaan potentiaalin käsite koetaan usein vaikeaksi. On hyvä muistaa, että staattisissa tapauksissa on edelleen kaiken peustana Coulombin voima: eimekkistä sähkövaausta sisältävät kappaleet vetävät toisiaan puoleensa, samanmekkistä sisältävät hylkivät. Voiman avulla selitettynä moni ilmiö tulee kuitenkin liian monimutkaiseksi. Siksi on otettu käyttöön uusia käsitteitä kuten sähkökenttä aikaisemmin ja nyt potentiaali. Yksinketaista määitelmää potentiaalille on vaikea keksiä. Potentiaalin ominaisuuksia kuitenkin voidaan luetella: Positiivinen vaaus pykii matalamman potentiaalin suuntaan, negatiivinen kokeamman potentiaalin suuntaan. Potentiaali pienenee sähkökentän suunnassa ja kasvaa sähkökenttää vastaan. Jos kahden pisteen välillä on potentiaalieo, sanotaan, että niiden välillä on jännite. Jos nämä pisteet yhdistetään johteella, alkaa siinä kulkea sähkövita edellä mainituista syistä. Absoluuttista potentiaalin nollakohtaa ei tavitse eikä voikaan määittää. Riittää, kun tietää ei pisteiden välisen potentiaalieon. Usein potentiaalin nollakohdaksi valitaan ääettömän kaukana vaauksista oleva piste, mutta sen voi valita muutenkin, esimekiksi maan potentiaalin. Potentiaalin nollakohdassa ei ole aina pienin potentiaali, sillä potentiaali voi olla myös negatiivista. Potentiaali on skalaaisuue. Älä unissasikaan laita potentiaalin symboliin vektoimekkiä. Usean pistevaauksen aiheuttama potentiaali pisteessä voidaan laskea yhtälöllä: qi ( ) i 4 i Tässä on valittu potentiaali ääettömyydessä nollaksi. Paikkavektoeilla i ilmaistaan pistevaausten paikat koodinaatistossa. Potentiaali on vakio alueessa, missä ei ole sähkökenttää ja vastaavasti muuttuu paikan funktiona alueessa, missä on sähkökenttää. Sähkökentälle ja potentiaalille on siis olemassa yhteys, jota voidaan kuvata seuaavalla yhtälöllä. Potentiaalieo kahden pisteen välillä: ( ) ( ) E dl A A Yhtälön oikealla puolella oleva pistetulo sähkökentän ja polkuelementin välillä ketoo, että potentiaali muuttuu vain sähkökentän suunnassa. Usein oletetaan, että potentiaali on nolla ääettömyydessä. Silloin tietyn pisteen potentiaalia laskettaessa täytyy ottaa huomioon kaikki sähkökentän lausekkeet ääettömyyden ja laskettavan pisteen välillä: A ( ) ( ) ( ) E1 dl E dl E3 B A B dl

2 Jatkuville vaausjakaumille voidaan laskea potentiaali myös paloittele ja integoi - menetelmällä, jos systeemi ei ole symmetinen. Tästä on esimekkejä jäljempänä. Myöhemmin ei kappaleessa esittelemme Poissonin yhtälön, jolla myös voi laskea potentiaalin. Vastaavasti sähkökenttä voidaan laskea potentiaalin avulla: E Esimekki 1: Neljä pistevaausta (Q, -Q, 3Q ja -4Q) on asetettu kuvan mukaisesti neliön käkiin. Neliön sivun pituus on. aske potentiaali neliön keskipisteessä. -Q 3Q Q -4Q Ratkaisu: Käytetään yhtälöä ( ) i 4 q i i Tässä on valittu potentiaalin nollakohdaksi ääettömän kaukana oleva piste eli Φ( ) =. -Q 3Q Q -4Q Paikkavektoi kuvaa sitä kohtaa, jossa potentiaali lasketaan. Paikkavektoit i kuvaavat pistevaausten paikkoja: iˆ iˆ ˆj ˆj ˆ ˆ iˆ ˆ 1 i j 3 4 j

3 Voimme oikaista ja mekitä kuvan mukaisesti suoaan: Potentiaaliksi saamme: ( ) 1 4 Q 1 3 i Q ( Esimekki : Pallossa, jonka säde on R, on vaaustiheys (1 / R ). aske vaaustiheyden aiheuttama potentiaali kun < R ja kun > R. Oleta potentiaali ääettömyydessä nollaksi. Takista laskusi yhtälöllä E. Ratkaisu: Kappaleessa Sähkökentät ja niiden laskeminen määitettiin sähkökentät: 4) 1 Q

4

5 Esimekki 3: Sylinteisymmetinen vaaustiheys alueessa < R on muotoa (1 / R ), missä ρ ja R ovat vakioita ja on etäisyys symmetia-akselista. Tämän alueen ulkopuolella vaaustiheys on nolla. aske vaaustiheyden aiheuttama potentiaalieo kohtien = ja = R välillä. Ratkaisu: Kappaleessa Sähkökentät ja niiden laskeminen määitettiin sähkökenttä:

6 Esimekki 4: aaja levy, jonka paksuus on d, on asetettu xz-tason suuntaisesti symmetisesti xz-tasoon nähden. (Katso kuva!). aske potentiaalieo levyn pintojen välillä, kun levyn vaaustiheys on Cy. evyn ulkopuolella ei ole vaausta. y x Ratkaisu: Kappaleessa Sähkökentät ja niiden laskeminen määitettiin sähkökentät:

7 Esimekki 5: Pitkä, suoa lanka, jonka pituus on, on vaattu siten, että positiivinen vaaustiheys langassa on vakio λ. aske potentiaali langan toisen pään kohdalla pisteessä P, jonka kohtisuoa etäisyys langasta on a. a P Opastus: dx x a ln[ x x a ] Ratkaisu:

8 Esimekki 6: Ympyän muotoisesta langasta, jonka säde on R, on vaattu puolet siten, että tällä vaatulla alueella positiivinen vaaustiheys on vakio λ. aske potentiaali ympyän akselilla pisteessä P, jonka kohtisuoa etäisyys ympyän tasosta on a. z P a y Ratkaisu: R x K Esimekki 7: aske sähkökenttä, jos sähköstaattinen potentiaali on muotoa. x y Ratkaisu: