MAY01 Lukion matematiikka 1
|
|
|
- Noora Leppänen
- 5 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 MAY01 Lukion matematiikka 1 - Oppikirja: Yhteinen tekijä, Lukion matematiikka 1: Luvut ja lukujonot (paperisena tai sähköisenä ) - Kurssilla tarvitaan myös tietokone, TI-laskinohjelma, geogebraohjelma, MAOL taulukkokirja (suositellaan paperisena), vihko Kurssin sisältö: - luvut - laskutoimitukset - yhtälö ja epäyhtälö - potenssi - eksponenttiyhtälö ja logaritmi, kevyesti käydään - prosentti - funktio, kevyesti - lukujonot ja summat, kevyesti Kurssin arviointi: - Kurssikoe, joka pidetään koeviikolla - Tehtävälista, jolla voi ansaita jopa 5 lisäpistettä koetta varten. (voi korottaa numeroa yhdellä arvosanalla) - Pikkutestit (0 2 kpl) Opiskelemisesta: - tehtävien tekemisellä on suuri merkitys. Yritä parhaasi, se riittää. Kysy neuvoa opettajalta, kaverilta, neuvo itse kaveria ja opettajaa. Yhteistyö on voimaa - virheistä oppii. Älä pelkää vastata kysymyksiin virheiden pelosta. Opettaja tekee myös virheitä => huomauta heti, jos näin käy - tunnin alussa on teoriaosa. Silloin opiskellaan hiljaa. Lopputunti on omaa työskentelyä. Metelöidä ei saa, mutta aiheesta keskustelu on suotavaa - ellet ehdi tehdä kaikkia tehtäviä, jatka loppuun kotona tai hyppytunnilla Motivaatiosta: - kun motivaatio on hyvä, sujuu opiskelukin. Mikä sinua auttaa parhaiten motivoitumaan matematiikan opiskeluun? Työn iloa sinulle, lukiolainen!
2 Mihin matematiikkaa tarvitaan? s. 6 - yksi yhteinen kurssi - sitten valitaan pitkä tai lyhyt matematiikka - ks. kurssimäärät taulukosta. Lisäkursseja on myös mahdollista valita koulussamme - jatko-opintojen valintapisteitä saa usein myös matematiikasta - pääsykokeissa tarvitaan matematiikan taitoja (ks. s. 7 yläreuna, kohta 2.) - eri alojen opinnoissa tarvitaan matematiikkaa. Millä aloilla? Mistä saat tietoa asiasta? - eri ammateissa tarvitaan matematiikkaa. Tutki tekstejä s. 7 8, ja poimi ne ammatit, jotka yllättivät - matematiikka voi tuntua vaikealta välillä ja uuden oppiminen on haastavaa. Muista, aina kun ponnistelet vaikeiden asioiden opiskelemisessa, aivosi kehittyvät, ajattelusi kehittyy ja nopeutuu. Vaikka et tarvitsisi matematiikkaa tulevaisuudessa, sen opiskelusta on silti valtavasti hyötyä. - Opetus TV on hyvä apuväline kertaamista varten kotona. 1.1 Kokonaisluvut s. 10 Luonnolliset luvut Ν = { 0,1, 2,3,... } - Ovat positiivisia kokonaislukuja - Peruslaskutoimituksina summa ja tulo - Voimassa seuraavat lait: 1. Vaihdantalaki (järjestys voidaan vaihtaa) m + n = n + m m. n = n. m
3 2. Liitäntälaki (laskujärjestys voidaan vaihtaa) (m + n) + p = m + (n + p) (m. n). p = m. (n. p) 3. Osittelulaki ( yhteenlaskettavat voidaan kertoa erikseen yhteisellä tekijällä) p. (m + n) = p. m + p. n Toisinpäin: Tulojen summasta voidaan erottaa yhteinen tekijä!!! p. m + p. n = p. (m + n) Esim. 11.c) ja 4. d) Huomaa! Luonnollisten lukujen tulo on aina luonnollinen luku, samoin luonnollisten lukujen summa on luonnoll. luku. Erotus ei ole: 6-9 = -3. Kokonaisluvut Z = 3, 2, 1,0,1,2,3, - vaihdanta-, liitäntä-, ja osittelulaki ovat voimassa Vastaluku a + (- a) = 0 Itseisarvo Lukusuoralla luku ja sen vastaluku ovat yhtä kaukana luvusta nolla: Niiden itseisarvot ovat samat: 2 = 2 2 = 2 Itseisarvo ilmaisee luvun etäisyyden luvusta nolla.
4 Vähennyslasku yhteenlaskuna: a b = a + (-b) Lukuun a lisätään luvun b vastaluku b. Muista! +(-b) =-b ja -(-b) = +b Merkkisäännöt: - kahden samanmerkkisen luvun tulo ja osamäärä ovat positiivisia, esim. -6:(-3) = 2 - kahden erimerkkisen luvun tulo ja osamäärä ovat negatiivisia Laske: -2. (-2). (-2) = (Huomaa: Kirjan esimerkeissä on merkitty, mitkä tehtävistä lasketaan ilman laskinta. Samoin tehtävissä siniset tehtävät ilman laskinta, vihreissä saa käyttää laskinta.) Laskujärjestys: 1. Ensin sulut 2. Sitten potenssiin korotukset 3. Kerto- ja jakolaskut vasemmalta oikealle 4. Yhteen- ja vähennyslaskut vasemmalta oikealle Esim. 8.c) Esim. vaativasta tehtävästä 22.d) Johdantoa: Epäyhtälömerkki > ja < mitä tarkoittavat? Onko totta: 1 > 2 1 < 2-1 < 1 1 > 1 a > 1
5 1.2 Reaaliluvut s. 20 Rationaaliluvut Q = +,, m ja n ovat kokonaislukuja, n 0. - osamäärä ei ole aina kokonaisluku, joten laajennetaan lukujoukkoa - murtoluvussa on osoittaja m ja nimittäjä n. - murtoluku voidaan esittää myös desimaalilukuna 2 0, (päättymätön, jaksollinen) 3 - tai sekalukuna 14 3 = = Reaaliluvut R - irrationaaliluvut ovat päättymättömiä ja jaksottomia desimaalilukuja 7 = 2, laajennetaan lukujoukkoa: o Reaaliluvut = rationaaliluvut ja irrationaaliluvut Murtolukujen laskutoimitukset s.22 Yhteen- ja vähennyslasku 30.
6 - lavennus - osoittajat yhteen /vähennä - nimittäjäksi yhteinen nimittäjä - supista, jos voi Kertolasku kerro osoittajat keskenään, nimittäjät keskenään - supista ennen kertomista, jos voi Käänteisluku - luku kertaa sen käänteisluku = 1 a 1 a =1, a 0 Esim. Mikä on luvun 1 5 käänteisluku? Jakolasku muuta kertolaskuksi: jaettava kerrotaan jakajan käänteisluvulla - supista ennen kertomista, jos voi Harjoittele murtolukujen laskemista laskimella (teht. 33.). Lataa TI:n ilmainen kokeiluversio koneellesi.
7 1.3 Yhtälö ja epäyhtälö s. 30 Kertaa termit: - lauseke - yhtälö - muuttuja Ensimmäisen asteen yhtälö - muuttujan eksponentti on yksi - yhtälö säilyy samana, jos o puolet vaihdetaan keskenään o molemmille puolille lisätään sama luku o molemmat puolet jaetaan tai kerrotaan samalla luvulla (ei nollalla!) Esim. 47 b) 3x + 12 = 4x 4x = 3x x 4x 3x = 12 x =
8 Ensimmäisen asteen epäyhtälö - epäyhtälössä on epäyhtälömerkki: - ratkaisuna saadaan ratkaisujoukko Tutkitaan suuruusjärjestyksiä: 55.
9 Harjoittele yhtälön ja epäyhtälön ratkaisemista TI:n solve-toiminnolla: Laskin x= 3.Algebra 1.ratkaise kirjoita ratkaistava yhtälö: solve (,x) (kerro laskimelle pilkun jälkeen, mikä muuttuja ratkaistaan) (epäyhtälömerkki löytyy esim. kämmenlaitteesta, ctrl =, joka antaa valikon) Esim. 64. Vastaus: Epäyhtälöä ei toteuta mikään muuttujan arvo. Muista! Summasta ei saa supistaa!! Esim. 62.
10 2.1 Potenssi s.42 Tutkimus s. 42 Esim. kirjoita tulo potenssimerkintää käyttäen. Esim. kirjoita luku 8 potenssimerkintää käyttäen. Eksponenttina positiivinen kokonaisluku Olkoon n positiivinen kokonaisluku (n= 1, 2, 3, ). Luvun a n:s potenssi on n kappaletta a on kantaluku n on eksponentti Huomaa!
11 Laske: Negatiivisen kantaluvun potenssi on positiivinen, kun eksponentti on parillinen. negatiivinen, kun eksponentti on pariton. Laske: Eksponenttina nolla ja negatiivinen kokonaisluku Kun, on voimassa: Minkä tahansa luvun 0. potenssi on 1. Huomaa, että kantaluku ei voi olla nolla: jne ei määritellä. Esim. 69.
12 Kymmenpotenssimuoto s. 45 Luku esitetään muodossa Esim. missä n on kokonaisluku ja kerroin a yleensä välillä Esim. 77 Laskinharjoitus: käytä desimaalipistettä käytä symboleista E merkkiä, kun syötät kymmenpotenssimuotoa 78. d) Sanallinen tehtävä Esim. 80.
13 2.2 Potenssien laskusäännöt s. 52 Tutkimus s. 52 Tulon potenssi: Osamäärän potenssi: Samankantaisten potenssien tulo: Samankantaisten potenssien osamäärä:
14 Potenssin potenssi: Luvun a käänteisluvun n:s potenssi: Esim. 93 c Esim. 97 b) Esim. 103 c) Esim. 107 c)
15 2.3 Eksponentin ratkaiseminen Tutkimus s. 61 Eksponenttiyhtälö muuttuja x on eksponentissa Yleisesti: Yhtälöt, jotka voidaan sieventää muotoon ovat eksponenttiyhtälöitä. kantaluku a on aina positiivinen, eikä voi olla yksi. Miksi? kun kantaluku on positiivinen, niin a x on myös positiivinen. Siksi b on sekin aina positiivinen. Esim. 114.
16 Eksponenttiyhtälön ratkaiseminen - ratkaise yhtälö muotoon a x = b - muuta yhtälön molemmat puolet saman kantaluvun potensseina - käytä potenssien laskusääntöjä (luku 2.2) - yhtälö toteutuu vain, jos eksponentit ovat yhtä suuret - muodosta yhtälö eksponenteista - ratkaise x Esim. 116 Esim. 119 Esim. 121
17 Logaritmi Esim. 2 x = 9 Nyt yhtälön oikeaa puolta ei voi muuttaa kuten edellä luvun 2 potenssiksi. Voidaan arvioida, että x on suurempi kuin 3, 2 3 = 8, mutta pienempi kuin 4, 2 4 = 16. Tarkan vastauksen antaa luvun 9 kaksikantainen logaritmi: x = log2 9 Laskimella voidaan laskea sen likiarvo 3,16993 (cmd enter antaa likiarvon) Esim. 125 Siis log3 81 on se luku, mihin kantaluku 3 on korotettava, että tulokseksi tulee 81 Esim. 127 a)
18 Kymmenkantainen logaritmi: Merkintätapa: log10 = lg Esim. Laske päässä: lg Prosentti s. 75 Suhde = osamäärä 5mm 25mm = 1 5 = = 20% - suhde on yksikötön - voidaan ilmoittaa prosentteina - prosentti on sadasosa Esim. 142 c) Esim b)
19 Esim. Muutos- ja vertailuprosentti s. 78 Kun verrataan kahta suuretta toisiinsa, päättele tehtävästä perusarvo (alkuperäinen arvo tai arvo johon verrataan; nimittäjä) ja vertailuarvo (muutos tai arvo, jota verrataan; osoittaja).
20 Muutos prosenttiyksikköinä tai prosentteina s Prosentuaalinen muutos s. 85 Muuttuneen arvon laskeminen
21 Esim. Mikä on prosenttikerroin, kun suure kasvaa 67%? Entä, mikä on kerroin, kun suure pienenee 15%? Esim. Jos prosenttikerroin on 0,45, paljonko suureen arvo on muuttunut? Entä, jos kerroin on 1,05, paljonko suureen arvo on muuttunut prosentteina? Peräkkäiset muutokset Esim. 164
22 Kilohinnan muutos tai myyntitulojen muutos myyntitulot = myydyt tuotteet (kappaletta) x yhden hinta ( ) kilohinta = tuotteen hinta tuotteen massa kg Esim Prosenttiyhtälöitä s. 89 Esim. 171 a) Kuvan piirtäminen sallittu, jos se auttaa yhtälön laatimisessa
23
24 4.1 Funktio s. 98 Funktio = sääntö, joka liittää jokaiseen lukuun täsmälleen yhden uuden luvun. Määrittelyjoukko = luvut, jotka voidaan syöttää funktioon. Esim. Mikä on funktion määrittelyjoukko? (millaisia lukuja voi sijoittaa x:n paikalle?) Arvojoukko = luvut, jotka funktio tuottaa. Funktion nimi, muuttuja, funktion lauseke: Muuttujan arvo, funktion arvo: Määrittelyjoukon merkitseminen: Esim. 186 Esim. 193b Funktion nollakohta = ne määrittelyjoukon luvut (x:n arvot), joilla funktion arvo on nolla. Teht.s. 106: 185, 187,192,199,201
25 4.2 Funktion kuvaaja s. 110 Tee tutkimustehtävä, yhteistyö sallittua J s. 110 Funktion arvo, funktioiden kuvaajien leikkauspiste Esim. 208 a,d,e
26 Funktion merkki, nollakohta ja arvo kohdassa nolla s. 114 Kirjan esim. 2 digiaineiston avulla Esim. 211 Kuvaajan piirtäminen Esim. 215 a Lasketaan taulukkoon xy-arvopareja: x f(x)= 2-0.5x Merkitään pisteet koordinaatistoon:
27 Merkitään kuvaan annettu piste (-1,2). Piste on kuvaajan alapuolella. Laskemalla: Suoran piirtäminen laskimella: (laskinohjelmalla) Esim. 220 Valitse: Lisää Kuvaajat - syötä funktio f(x) = 4 3 x a) f(1) saadaan helposti jäljitystoiminnolla: - säädä jäljitysaskeleksi 1: 5: jäljitys -> 3: jäljityksen asetukset -> jäljitysaskel: 1 - jäljitä: 5: jäljitys -> 1: jäljitä kuvaaja. Nuolinäppäimellä pääset haluamiisi pisteisiin, pisteen koordinaatit näkyvät alla:
28 f(1) = 1 jne Tee tehtävä loppuun. Voit säätää akseleita Ikkuna/Zoomaa valikosta. (Miten löydetään kuvaajan piste syöttämällä y-koordinaatti?) (Miten määritetään polynomi ja lasketaan arvot näppärästi?)
29 5.1 Lukujono s. 130
30 Lukujono Esim. 4,6,8,10 päättyvä lukujono, neljä jäsentä (termiä) Merkitään: a1 = 4 (lukujonon ensimmäinen jäsen on kaksi) a2 =6 a3 = 8 jne Esim. 2,4,6,8,10,. päättymätön lukujono Lukujonolle voidaan määrittää yleinen jäsen keksimällä sääntö: an = 2n + 2 Säännöllä voidaan laskea vaikkapa kolmannen jäsenen arvo: a3 = = 8 a100 = Esim. 4,6,, 16,18 päättyvä lukujono, 8 jäsentä. Kaikkia jäseniä ei tarvitse merkitä näkyviin. Esim. 123 b) an = 3n 2 7n Esim. 234.
31 Laskin harjoitus: Ylävalikosta: Lisää: Kuvaajat Työkaluista: 3.Kuvaajan syöttö/muokkaus: 7.Sekvenssi: 1. Sekvenssi Kirjoita sääntö kohtaan u1(n) Muuta akselistoa kouratyökalulla sopivaksi Jäljitys: 1.Jäljitä kuvaaja
32 Siirry pisteestä toiseen nuolinäppäimellä (vasemmalle) Laskimella, jäljitystoiminnolla näkymä:
33 Laskimen näyttö:
34 Sama ilman laskinta: Ratkaistaan epäyhtälö 8n -5 < 500 8n < 505 n < 63,125 Joten 63 jäsentä on pienempiä kuin Rekursiivinen lukujono s. 143
35 Rekursiokaava tälle jonolle olisi: a1 = 3 a2 = 4 a n = an-2 + an-1, n= 3,4, Rekursiokaavassa on siis kerrottu tarvittava määrä jäseniä jonon alusta sääntö, jolla saadaan laskettua seuraava jäsen edellisten avulla Esim. 250
36 Esim a) päätellään lisättävä luku b) Rekursiokaava on Laskinharjoitus: EI näin! Alapuolella järkevämpi tapa. Kirjan esimerkki 3. s. 147 Lisää: Listat & Taulukot Napsauta listasta: 3:Data 1:Luo sekvenssi o kirjoita kaava:
37 paina ok rullaa listaa, kunnes näet 25. jäsenen arvon
38 Laskinharjoitus: Kirjan esimerkki 3. s. 147 Lisää listat ja taulukot: nimeä sarakkeet n ja an täytä sarake n jäsenen järjestysnumeroilla 1,2,3 ja kopioi taulukko alareunasta venyttämällä 25 jäseneen asti
39 an sarakkeeseen ensimmäiseksi jäseneksi 6 (annettu tehtävässä) ja enter toisen jäsenen kohdalle kirjoitetaan kaava: o eteen = o 2. o sitten valitse ensimmäinen jäsen yläpuolelta ja enter: lisää kaavaan +7 ja enter kopioi kaava 25 jäseneen asti (kaava solussa b2, valitse se, venytä valinta alakulmasta 25 jäseneen asti): katso 25 jäsenen arvo: Kuvan piirtäminen: Lisää Data ja Tilastot Lisää muuttuja vaaka-akselille: n Lisää muuttuja pystyakselille: an
40 (Voit lukea kuvasta vastauksen menemällä kysytyn pisteen luo) Kokeile tehtävää 256 (lisää tehtävälistaan, ellei jo ole siellä) 5.3 Aritmeettinen jono s. 154 Esim. Jatka lukujonoa 4,7,10,13, Laske peräkkäisten jäsenten erotus. Mitä huomaat? Differenssi d = Esitä toinen, kolmas ja neljäs jäsen ensimmäisen jäsenen avulla: a2 = a3 = Päättele jonon n. jäsenen sääntö: an =
41 Esim. 268 Esim. 273 Esim Aritmeettinen summa s. 165 Tutkimustehtävä s. 165
42 Aritmeettinen summa = aritmeettisen jonon peräkkäisten jäsenten muodostama summa Esim Merkitään S20 = (20 jonon jäsentä on laskettu yhteen) Summan kaavan johtaminen: s. 166
43 Esimerkit: a) a)
44 5.5 Geometrinen jono s. 178 Esim. Jatka jonoa: 5,10,20,40, Keksitkö säännön? a1 = a2 = a3 = a4 = an =
45 Esim Esim Lisää listat&taulukot muodosta n -sarake (A-sarake) (jäsenet 1 12 riittää tässä) muodosta an -sarake (B-sarake) o kaava soluun B1:
46 potenssi ^-näppäimellä, a1 tulee näppäämällä vieressä olevaa ruutua, jossa on luku 1 venytä saraketta Kuvan piirtäminen: Jaa näyttö kahtia: Sivun asettelu-kuvakkeesta Napsauta tyhjän sivun päällä 5:Lisää Data&Tilastot Valitse n vaaka-akseliksi, an pystyakseliksi. Saat kuvan: 5.6 Geometrinen summa s. 191 c) Lue vastaus kuvasta.
47 Esim Esim a)
48 345. Testi 1
49 Nimi: Ryhmä: Laske tehtävät ilman laskinta. 1. a) 5 4 (2 6 : 3) = b) Merkitse ja laske lukujen 12 ja -15 vastalukujen summa. c) = d) : = e) = 2. Ratkaise yhtälö: x 5x 1= 2 6
1 Peruslaskuvalmiudet
1 Peruslaskuvalmiudet 11 Lukujoukot N {1,, 3, 4,} on luonnollisten lukujen joukko (0 mukana, jos tarvitaan), Z {, 3,, 1, 0, 1,, 3,} on kokonaislukujen joukko, Q m n : m, n Z, n 0 on rationaalilukujen joukko,
Merkitse kertolasku 3 3 3 3 potenssin avulla ja laske sen arvo.
13 Luvun potenssi Kertolasku, jonka kaikki tekijät ovat samoja, voidaan merkitä lyhyemmin potenssin avulla. Potenssimerkinnässä eksponentti ilmaisee, kuinka monta kertaa kantaluku esiintyy tulossa. Potenssin
Opettaja: tyk.fi Aika ja paikka: ma, ke klo 17:00-18:25, luokka 26.
MAB 0: Kertauskurssi Opettaja: Janne.Lemberg @ tyk.fi Aika ja paikka: ma, ke klo 17:00-18:25, luokka 26. Alustava aikataulu: ma 29.8 ke 31.8 ma 5.9 ke 7.9 ma 12.9 ke 14.9 ma 19.9 ke 21.9 ma 26.9 ke 28.9
MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.
KERTAUS Lukujono KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. Ratkaisussa annetaan esimerkit mahdollisista säännöistä. a) Jatketaan lukujonoa: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, Rekursiivinen sääntö on, että lukujonon ensimmäinen jäsen
Huom! (5 4 ) Luetaan viisi potenssiin neljä tai viisi neljänteen. 7.1 Potenssin määritelmä
61 7.1 Potenssin määritelmä Potenssi on lyhennetty merkintä tulolle, jossa kantaluku kerrotaan itsellään niin monta kertaa kuin eksponentti ilmaisee. - luvun toinen potenssi on nimeltään luvun neliö o
TEHTÄVIEN RATKAISUT. Luku Kaikki luvut on kokonaislukuja. Luonnollisia lukuja ovat 35, 7 ja 0.
TEHTÄVIEN RATKAISUT Luku.. Kaikki luvut on kokonaislukuja. Luonnollisia lukuja ovat, 7 ja 0.. a) Luvun vastaluku on, koska + ( ) 0. b) Luvun 7 vastaluku on 7, koska 7 + ( 7) 0. c) Luvun 0 vastaluku on
1.1. YHDISTETTY FUNKTIO
1.1. YHDISTETTY FUNKTIO (g o f) () = g(f()) Funktio g = yhdistetyn funktion g o f ulkofunktio Funktio f = yhdistetyn funktion g o f sisäfunktio E.2. Olkoon f() = 2 + 3 ja g() = 4-5. Muodosta funktio a)
k-kantaisen eksponenttifunktion ominaisuuksia
3.1.1. k-kantaisen eksponenttifunktion ominaisuuksia f() = k (k > 0, k 1) Määrittely- ja arvojoukko M f = R, A f = R + Jatkuvuus Funktio f on jatkuva Monotonisuus Funktio f aidosti kasvava, kun k > 1 Funktio
Tekijä MAA2 Polynomifunktiot ja -yhtälöt = Vastaus a)
K1 a) Tekijä MAA Polynomifunktiot ja -yhtälöt 6.8.016 ( + + ) + ( ) = + + + = + + + = + 4 b) 4 4 ( 5 + ) ( 5 + 1) = 5 + + 5 + 1 4 = + + + 4 = + 5 5 1 1 Vastaus a) 4 + b) 4 + 1 K a) f ( ) = + 1 f () = +
1 Rationaalifunktio , a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen.
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 Rationaalifunktio. a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen. f (50) 50 8 50 4 8 50 500 400 4 400
4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio
4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Tutkitaan yhtälöiden ratkaisuja piirtämällä funktioiden f(x) = x, f(x) = x 3, f(x) = x 4 ja f(x) = x 5 kuvaajat. Näin nähdään, monessako
4 LUKUJONOT JA SUMMAT
Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 0.7.08 4 LUKUJONOT JA SUMMAT ALOITA PERUSTEISTA 45A. Määritetään lukujonon (a n ) kolme ensimmäistä jäsentä ja sadas jäsen a 00 sijoittamalla
1 Ensimmäisen asteen polynomifunktio
Ensimmäisen asteen polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT. a) f(x) = x 4 b) Nollakohdassa funktio f saa arvon nolla eli kuvaaja kohtaa x-akselin. Kuvaajan perusteella funktion nollakohta on x,. c) Funktion f
TEHTÄVIEN RATKAISUT. Tehtäväsarja A. 2. a) a + b = = 1 b) (a + b) = ( 1) = 1 c) a + ( b) = 13 + ( 12) = = 1.
TEHTÄVIEN RATKAISUT Tehtäväsarja A.. a) a b b) (a b) ( ) c) a ( b) ( ) ). a) 4 4 5 6 6 6 6 6 b) Pienin arvo: ) 4 4 4 6 6 6 6 6 6 6 Suurin arvo: ) 4) 4 8 7 7 4 6 6 6 6 4. @ tekijät ja Sanoma Pro Oy 06 5.
Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x 1 ja x 2 on voimassa ehto:
4 Reaalifunktiot 4. Funktion monotonisuus Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x ja x on voimassa ehto: "jos x < x, niin f (x
3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö
Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.8.016 3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) x + x + 1 = 4 (x + 1) = 4 Luvun x + 1 tulee olla tai, jotta sen
MAY1 Luvut ja lukujonot, opintokortti
MAY1 Luvut ja lukujonot, opintokortti Nimi: Minimivaatimukset kurssin suorittamiseksi: Vihkoon on laskettu laadukkaasti vähintään 50 tehtävää. Opiskelija palauttaa viimeistään kokeeseen o Opintokortin
Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 11 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma
Johdatus lukuteoriaan Harjoitus syksy 008 Eemeli Blåsten Ratkaisuehdotelma Tehtävä Todista ketjumurtoluvun peräkkäisille konvergenteille kaava ( ) n induktiolla käyttämällä jonojen ( ) ja ( ) rekursiokaavaa.
o Ohjeet annetaan kurssin aikana. MAY1 Luvut ja lukujonot, Opintokortti
MAY1 Luvut ja lukujonot, Opintokortti Nimi: Minimivaatimukset kurssin suorittamiseksi: Vihkoon on laskettu laadukkaasti vähintään 50 tehtävää. Opiskelija palauttaa viimeistään kokeeseen o Opintokortin
KOMPLEKSILUVUT C. Rationaaliluvut Q. Irrationaaliluvut
KOMPLEKSILUVUT C Luonnolliset luvut N Kokonaisluvut Z Rationaaliluvut Q Reaaliluvut R Kompleksi luvut C Negat kokonaisluvut Murtoluvut Irrationaaliluvut Imaginaariluvut Erilaisten yhtälöiden ratkaiseminen
MABK1 Kurssimateriaali. Eiran aikuislukio 2005
MABK1 Kurssimateriaali Eiran aikuislukio 2005 Sisältö 1 Sanasto 1 2 Luvut ja laskutoimitukset 5 2.1 Lukujoukot................................ 5 2.2 Peruslaskutoimitukset.......................... 6 2.3
Geogebra -koulutus. Ohjelmistojen pedagoginen hyödyntäminen
Geogebra -koulutus Ohjelmistojen pedagoginen hyödyntäminen Geogebra Ilmainen dynaaminen matematiikkaohjelmisto osoitteessa http://www.geogebra.org Geogebra-sovellusversion voi asentaa tietokoneilla ja
Laskentaa kirjaimilla
MAB1 Polynomit Laskentaa kirjaimilla Tähän asti olemme laskeneet luvuilla, jotka on esitetty numeroiden avulla. Matematiikan säännöt, laskentamenetelmät, kaavat samoin kuin fysiikan ja itse asiassa kaikkien
Matematiikka vuosiluokat 7 9
Matematiikka vuosiluokat 7 9 Matematiikan opetuksen ydintehtävänä on tarjota oppilaille mahdollisuus hankkia sellaiset matemaattiset taidot, jotka antavat valmiuksia selviytyä jokapäiväisissä toiminnoissa
TEHTÄVIEN RATKAISUT. Luku a) Merkintä f (5) tarkoittaa lukua, jonka funktio tuottaa, kun siihen syötetään luku 5.
TEHTÄVIEN RATKAISUT Luku 4.1 183. a) Merkintä f (5) tarkoittaa lukua, jonka funktio tuottaa, kun siihen syötetään luku 5. Lasketaan funktioon syötetyn luvun neliö: 5 = 5. Saatuun arvoon lisätään luku 1:
niin järjestys on tämä: ensin kerto- ja jakolaskut vasemmalta oikealle, sen jälkeen plus- ja miinuslaskut vasemmalta oikealle.
Alkeistason matikkaa Plus-, miinus-, kerto- ja jakolaskujen laskujärjestys Esim. jos pitää laskea tällainen lasku:? niin järjestys on tämä: ensin kerto- ja jakolaskut vasemmalta oikealle, sen jälkeen plus-
Aloitustunti MAA22 Starttikurssi pitkän matematiikan opiskeluun
Aloitustunti MAA22 Starttikurssi pitkän matematiikan opiskeluun 13. elokuuta 2015 Miksi matikkaa Erityisen tärkeää teknillisillä ja luonnontieteellisillä aloilla Ohjelmointi ja tietojenkäsittelytiede Lääketieteellinen
MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:
MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla
Potenssi eli potenssiin korotus on laskutoimitus, jossa luku kerrotaan itsellään useita kertoja. Esimerkiksi 5 4 = Yleisesti.
x 3 = x x x Potenssi eli potenssiin korotus on laskutoimitus, jossa luku kerrotaan itsellään useita kertoja. Esimerkiksi 4 = Yleisesti a n = a a a n kappaletta a n eksponentti kuvaa tuloa, jossa a kerrotaan
PERUSKOULUSTA PITKÄLLE
Raimo Seppänen Tytti Kiiski PERUSKOULUSTA PITKÄLLE KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ LUKION PITKÄLLE MATEMATIIKALLE JA MATEMATIIKKAA VAATIVAAN AMMATILLISEEN KOULUTUKSEEN MFKA-KUSTANNUS OY HELSINKI 2007 SISÄLLYS
KORJAUSMATIIKKA 3, MATERIAALI
1 SISÄLTÖ KORJAUSMATIIKKA, MATERIAALI 1) Potenssi ) Juuri ) Polynomit 4) Ensimmäisen asteen yleinen yhtälön ratkaisu 5) Yhtälöt ongelmaratkaisuissa (tehtävissä esitellään myös. asteen yhtälön ratkaisu)
MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:
MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: 1 Funktio 1.1 Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet: 1 1. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä.
NELIÖJUURI. Neliöjuuren laskusääntöjä
NELIÖJUURI POLYNOMIFUNKTIOT JA -YHTÄLÖT, MAA2 Tarkoittaa positiivista tai nollaa Määritelmä, neliöjuuri: Luvun a R neliöjuuri, merkitään a, on se ei-negatiivinen luku, jonka neliö (eli toiseen potenssiin
2.2 Neliöjuuri ja sitä koskevat laskusäännöt
. Neliöjuuri ja sitä koskevat laskusäännöt MÄÄRITELMÄ 3: Lukua b sanotaan luvun a neliöjuureksi, merkitään a b, jos b täyttää kaksi ehtoa: 1o b > 0 o b a Esim.1 Määritä a) 64 b) 0 c) 36 a) Luvun 64 neliöjuuri
n. asteen polynomilla on enintään n nollakohtaa ja enintään n - 1 ääriarvokohtaa.
MAA 12 kertaus Funktion kuvaaja n. asteen polynomilla on enintään n nollakohtaa ja enintään n - 1 ääriarvokohtaa. Funktion nollakohta on piste, jossa f () = 0, eli kuvaaja leikkaa -akselin. Kuvaajan avulla
Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan. ILMAN LASKINTA -OSIO! LASKE KAIKKI SEURAAVAT TEHTÄVÄT:
MAA Koe 8.1.014 Arto Hekkanen ja Jussi Tyni Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan. ILMAN LASKINTA -OSIO! LASKE KAIKKI SEURAAVAT TEHTÄVÄT: 1. a) Laske polynomien x x
Opettaja: tyk.fi Aika ja paikka: ma, ke klo 18:40-20:05, luokka 26.
MAB 0: Kertauskurssi Opettaja: Janne.Lemberg @ tyk.fi Aika ja paikka: ma, ke klo 18:40-20:05, luokka 26. Alustava aikataulu: ma 9.1 ke 11.1 ma 16.1 ke 18.1 ma 23.1 ke 25.1 ma 30.1 ke 1.2 ma 6.2 ke 8.2
Juuri 2 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Kertaus K. a) E Nouseva suora. b) A 5. asteen polynomifunktio, pariton funktio Laskettu piste f() = 5 =, joten piste (, ) on kuvaajalla. c) D Paraabelin mallinen, alaspäin aukeava. Laskettu piste f() =
1 Numeroista lukuja 1.
1 1 Numeroista lukuja Mitä lukuyksikköä edustaa numero a) 4 luvussa 5 469 satoja b) 7 luvussa 35,271 sadasosia c) 1 luvussa 0,5281? kymmenestuhannesosia Kirjoita lukuyksiköiden mukaisena summalausekkeena.
811120P Diskreetit rakenteet
811120P Diskreetit rakenteet 2016-2017 2. Lukujen esittäminen ja aritmetiikka 2.1 Kantajärjestelmät ja lukujen esittäminen Käytettävät lukujoukot: Luonnolliset luvut IN = {0,1,2,3,... } Positiiviset kokonaisluvut
x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua
Mallivastaukset - Harjoituskoe E E a) x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4,35 < 0 x 3 7 4 b) 0 / x + dx = 0 ln x + = ln + ln 0 + = ln 0 Vastaus: ln c) x 4 3x 4 = 0 Sijoitetaan x = u Tulon nollasääntö
Rationaalilauseke ja -funktio
4.8.07 Rationaalilauseke ja -funktio Määritelmä, rationaalilauseke ja funktio: Kahden polynomin ja osamäärä, 0 on rationaalilauseke, jonka osoittaja on ja nimittäjä. Huomaa, että pelkkä polynomi on myös
2 Pistejoukko koordinaatistossa
Pistejoukko koordinaatistossa Ennakkotehtävät 1. a) Esimerkiksi: b) Pisteet sijaitsevat pystysuoralla suoralla, joka leikkaa x-akselin kohdassa x =. c) Yhtälö on x =. d) Sijoitetaan joitain ehdon toteuttavia
Reaalilukuvälit, leikkaus ja unioni (1/2)
Luvut Luonnolliset luvut N = {0, 1, 2, 3,... } Kokonaisluvut Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... } Rationaaliluvut (jaksolliset desimaaliluvut) Q = {m/n m, n Z, n 0} Irrationaaliluvut eli jaksottomat desimaaliluvut
Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3
Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus
Algebra. 1. Ovatko alla olevat väittämät tosia? Perustele tai anna vastaesimerkki. 2. Laske. a) Luku 2 on luonnollinen luku.
Algebra 1. Ovatko alla olevat väittämät tosia? Perustele tai anna vastaesimerkki. a) Luku on luonnollinen luku. b) Z c) Luvut 5 6 ja 7 8 ovat rationaalilukuja, mutta luvut ja π eivät. d) sin(45 ) R e)
Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0
Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8.9.07 Kertaus K. a) 6 4 64 0, 0 0 0 0 b) 5 6 = 5 6 = =, 0 c) d) K. a) b) c) d) 4 4 4 7 4 ( ) 7 7 7 7 87 56 7 7 7 6 6 a a a, a > 0 6 6 a
KESKEISET SISÄLLÖT Keskeiset sisällöt voivat vaihdella eri vuositasoilla opetusjärjestelyjen mukaan.
VUOSILUOKAT 6 9 Vuosiluokkien 6 9 matematiikan opetuksen ydintehtävänä on syventää matemaattisten käsitteiden ymmärtämistä ja tarjota riittävät perusvalmiudet. Perusvalmiuksiin kuuluvat arkipäivän matemaattisten
Matematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Jatkuvuus Jatkuvan funktion määritelmä Tarkastellaan funktiota f x) jossakin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jatkuva tai epäjatkuva. Jatkuvuuden
c) 22a 21b x + a 2 3a x 1 = a,
Tehtäviä on kahdella sivulla; kuusi ensimmäistä tehtävää on monivalintatehtäviä, joissa on 0 4 oikeata vastausta. 1. Lukion A ja lukion B oppilasmäärien suhde oli a/b vuoden 2017 lopussa. Vuoden 2017 aikana
Käy vastaamassa kyselyyn kurssin pedanet-sivulla (TÄRKEÄ ensi vuotta ajatellen) Kurssin suorittaminen ja arviointi: vähintään 50 tehtävää tehtynä
Käy vastaamassa kyselyyn kurssin pedanet-sivulla (TÄRKEÄ ensi vuotta ajatellen) Kurssin suorittaminen ja arviointi: vähintään 50 tehtävää tehtynä (vihkon palautus kokeeseen tullessa) Koe Mahdolliset testit
Reaaliluvut 1/7 Sisältö ESITIEDOT:
Reaaliluvut 1/7 Sisältö Reaalilukujoukko Reaalilukujoukkoa voidaan luonnollisimmin ajatella lukusuorana, molemmissa suunnissa äärettömyyteen ulottuvana suorana, jonka pisteet ja reaaliluvut vastaavat toisiaan:
Matematiikan peruskurssi 2
Matematiikan peruskurssi Tentti, 9..06 Tentin kesto: h. Sallitut apuvälineet: kaavakokoelma ja laskin, joka ei kykene graaseen/symboliseen laskentaan Vastaa seuraavista viidestä tehtävästä neljään. Saat
Ratkaisut Summa on nolla, sillä luvut muodostavat vastalukuparit: ( 10) + 10 = 0, ( 9) + 9 = 0,...
Ratkaisut 1 1. Summa on nolla, sillä luvut muodostavat vastalukuparit: ( 10) + 10 = 0, ( 9) + 9 = 0,.... Nolla, koska kerrotaan nollalla. 3. 16 15 50 = ( 8) 15 50 = (8 15) ( 50) = 1000 500 = 500 000. 4.
1 Aritmeettiset ja geometriset jonot
1 Aritmeettiset ja geometriset jonot Johdatus Johdatteleva esimerkki 1 Kasvutulille talletetaan vuoden jokaisen kuukauden alussa tammikuusta alkaen 100 euroa. Tilin nettokorkokanta on 6%. Korko lisätään
matematiikkaa maahanmuuttajille Eeva Rinne
matematiikkaa maahanmuuttajille Eeva Rinne 1 Turun kristillisen opiston oppimateriaaleja -sarja Tekijä: Eeva Rinne Julkaisija: Turun kristillisen opiston säätiö, Lustokatu 7, 20380 Turku. www.tk-opisto.fi
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 4.9.09 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alustavat hyvän vastauksen piirteet on suuntaa-antava kuvaus kokeen tehtäviin odotetuista vastauksista ja tarkoitettu ensisijaisesti
B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja?
Nimi Koulutus Ryhmä Jokaisessa tehtävässä on vain yksi vastausvaihtoehto oikein. Laske tehtävät ilman laskinta.. Missä pisteessä suora y = 3x 6 leikkaa x-akselin? A. 3 D. B. E. en tiedä C. 6. Mitkä luvuista,,,
Luvut ja lukujonot. otavan matematiikka. Helsingissä Kustannusyhtiö Otava
otavan matematiikka Luvut ja lukujonot Hanna Halinen Markus Hähkiöniemi Satu Juhala Sampsa Kurvinen Sari Louhikallio-Fomin Erkki Luoma-aho Jukka Ottelin Kati Parmanen Terhi Raittila Tommi Tauriainen Tommi
Kokonaisluvut. eivät ole kokonaislukuja!
Luvut Lähdetään liikkeelle kertaamalla mitä tiedämme luvuista. Mitä erilaiset luvut kuvaavat ja millaisia ominaisuuksia niillä on? Mikä voisi olla luonnollisin luku aloittaa? Luonnolliset luvut Luonnolliset
Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1
Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1 1 Joukko-oppia Matematiikassa joukko on mikä tahansa kokoelma objekteja. Esimerkiksi joukkoa A, jonka jäseniä ovat numerot 1, 2 ja 5 merkitään A = {1, 2, 5}. Joukon
Epäyhtälöt 1/7 Sisältö ESITIEDOT: yhtälöt
Epäyhtälöt 1/7 Sisältö Epäyhtälö Epäyhtälöllä tarkoitetaan ehtoa, missä kahdesta lausekkeesta toinen on suurempi tai mahdollisesti yhtä suuri kuin toinen: f(x) < g(x), f(x) g(x).merkit voidaan luonnollisesti
Tekijä Pitkä Matematiikka 11 ratkaisut luku 2
Tekijä Pitkä matematiikka 11 0..017 170 a) Koska 8 = 4 7, luku 8 on jaollinen luvulla 4. b) Koska 104 = 4 6, luku 104 on jaollinen luvulla 4. c) Koska 4 0 = 80 < 8 ja 4 1 = 84 > 8, luku 8 ei ole jaollinen
MATEMATIIKKA VL LUOKKA. Laaja-alainen osaaminen. liittyvät sisältöalueet
MATEMATIIKKA VL.7-9 7.LUOKKA Opetuksen tavoitteet Tavoitteisiin liittyvät sisältöalueet Laaja-alainen osaaminen Merkitys, arvot ja asenteet T1 vahvistaa oppilaan motivaatiota, myönteistä minäkuvaa ja itseluottamusta
Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0
Kertaus K. a) 6 4 64 0, 0 0 0 0 b) 5 6 = 5 6 = =, 0 c) d) 4 4 4 7 4 ( ) 7 7 7 7 87 56 7 7 7 K. a) b) c) d) 6 6 a a a, a > 0 6 6 a a a a, a > 0 5 5 55 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 a a a a a ( a ) a a a, a > 0 K.
Juuri 12 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.5.08 Kertaus K. a) Polynomi P() = + 8 on jaollinen polynomilla Q() =, jos = on polynomin P nollakohta, eli P() = 0. P() = + 8 = 54 08 +
2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä
2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2.1 Ensimmäisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Muuttujan x ensimmäisen asteen yhtälöksi sanotaan yhtälöä, joka voidaan kirjoittaa muotoon ax + b = 0, missä vakiot a ja b ovat reaalilukuja
Tekijä Pitkä matematiikka
K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π
Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus:
. Koska F( ) on jokin funktion f ( ) integraalifunktio, niin a+ a f() t dt F( a+ t) F( a) ( a+ ) b( a b) Vastaus: Kertausharjoituksia. Lukujonot 87. + n + lim lim n n n n Vastaus: suppenee raja-arvona
1 PERUSLASKUTAITOJA. ALOITA PERUSTEISTA 1A. a) = 4 15 = 11. Vastaus: 11. b) 2 ( 6 + 5) = 2 ( 1) = 2. Vastaus: 2. c)
Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty.7.08 PERUSLASKUTAITOJA ALOITA PERUSTEISTA A. a) 5 = 5 = Vastaus: b) ( 6 + 5) = ( ) = Vastaus: c) 0 0 6 Vastaus: 6 d) 8 + 8 : = 8
MAB 9 kertaus MAB 1. Murtolukujen laskutoimitukset: Yhteen- ja vähennyslaskuissa luvut lavennettava samannimisiksi
MAB 9 kertaus MAB 1 Murtolukujen laskutoimitukset: Yhteen- ja vähennyslaskuissa luvut lavennettava samannimisiksi Kertolaskussa osoittajat ja nimittäjät kerrotaan keskenään Jakolasku lasketaan kertomalla
1. Kymmenjärjestelmä ja desimaalilukujen yhteen- ja vähennyslaskua
. Kymmenjärjestelmä ja desimaalilukujen yhteen- ja vähennyslaskua. Jatka. + 00 000 0 0 0 0 0 0 0 000 + 0 000 0 0 0 0 0 0 0 + 0,0,,,,,,0 0,,,,,,, + 0,,,0,,0,,00. Merkitse laskutapa ja laske. a), +, + 0,,
LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN
LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN 1 LUKULAUSEKKEITA Ratkaise seuraava tehtävä: Retkeilijät ajoivat kahden tunnin ajan polkupyörällä maantietä pitkin 16 km/h nopeudella, ja sitten vielä kävelivät metsäpolkua
MATP153 Approbatur 1B Ohjaus 2 Keskiviikko torstai
MATP15 Approbatur 1B Ohjaus Keskiviikko 4.11. torstai 5.11.015 1. (Opiskeluteht. 6 s. 0.) Määritä sellainen vakio a, että polynomilla x + (a 1)x 4x a on juurena luku x = 1. Mitkä ovat tällöin muut juuret?.
R1 Harjoitustehtävien ratkaisut
MAB R Harjoitustehtävien ratkaisut R Harjoitustehtävien ratkaisut. Jos lämpötila nousee asteesta asteella, mikä on uusi lämpötila? +. Lämpötila nousee viiteen asteeseen. Lukusuoralla: 0 + Nuolen pituus.
= 3 = 1. Induktioaskel. Induktio-oletus: Tehtävän summakaava pätee jollakin luonnollisella luvulla n 1. Induktioväite: n+1
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka tutuksi Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia 4-810 1 Osoita induktiolla, että luku 15 jakaa luvun 4 n 1 aina, kun n Z + Todistus Tarkastellaan ensin väitettä
Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin
Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin
Python-ohjelmointi Harjoitus 2
Python-ohjelmointi Harjoitus 2 TAVOITTEET Kerrataan tulostuskomento ja lukumuotoisen muuttujan muuttaminen merkkijonoksi. Opitaan jakojäännös eli modulus, vertailuoperaattorit, ehtorakenne jos, input-komento
3. Kirjoita seuraavat joukot luettelemalla niiden alkiot, jos mahdollista. Onko jokin joukoista tyhjä joukko?
HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät luentokalvoihin 1 14. Erityisesti esimerkistä 4 ja esimerkin
MATEMATIIKKA. Matematiikkaa pintakäsittelijöille. Ongelmanratkaisu. Isto Jokinen 2017
MATEMATIIKKA Matematiikkaa pintakäsittelijöille Ongelmanratkaisu Isto Jokinen 2017 SISÄLTÖ 1. Matemaattisten ongelmien ratkaisu laskukaavoilla 2. Tekijäyhtälöt 3. Laskukaavojen yhdistäminen 4. Yhtälöiden
y z = (x, y) Kuva 1: Euklidinen taso R 2
Kompleksiluvut. Määritelmä Tarkastellaan euklidista tasoa R = {(, y), y R}. y y z = (, y) R Kuva : Euklidinen taso R Suorakulmaisessa koordinaatistossa on -akseli ja y-akseli. Luvut ja y ovat pisteen z
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Vastaus: Määrittelyehto on x 1 ja nollakohta x = 1.
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4..6 Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. a) Funktion f( ) = määrittelyehto on +, eli. + Ratkaistaan funktion nollakohdat. f(
Tämän luvun tarkoituksena on antaa perustaidot kompleksiluvuilla laskemiseen sekä niiden geometriseen tulkintaan. { (a, b) a, b œ R }
7 Kompleksiluvut Tämän luvun tarkoituksena on antaa perustaidot kompleksiluvuilla laskemiseen sekä niiden geometriseen tulkintaan. 7.1 Kompleksilukujen määritelmä Määritelmä 7.1.1. Kompleksilukujen joukko
Funktiot ja raja-arvo P, 5op
Funktiot ja raja-arvo 800119P, 5op Pekka Salmi 15. syyskuuta 2017 Pekka Salmi FUNK 15. syyskuuta 2017 1 / 122 Yleistä Luennot: ke 810, to 1214 (ensi viikosta lähtien) Luennoitsija: Pekka Salmi, MA327 Laskupäivä:
Talousmatematiikan perusteet, L2
Talousmatematiikan perusteet, L2 orms.1030 EPKY / kevät 2011 Toisen Laskutoimitukset tehdään seuraavassa järjestyksessä 1. Sulkujen sisällä olevat (alkaen sisältä ulospäin) 2. potenssit ja juuri 3. kerto-
Hannu Mäkiö. kertolasku * jakolasku / potenssiin korotus ^ Syöte Geogebran vastaus
Perusohjeita, symbolista laskentaa Geogebralla Kielen vaihtaminen. Jos Geogebrasi kieli on vielä englanti, niin muuta se Options välilehdestä kohdasta Language suomeksi (finnish). Esittelen tässä muutaman
Talousmatematiikan perusteet: Luento 4. Potenssifunktio Eksponenttifunktio Logaritmifunktio
Talousmatematiikan perusteet: Luento 4 Potenssifunktio Eksponenttifunktio Logaritmifunktio Viime luennolla Funktiolla f: A B kuvataan muuttujan y B riippuvuutta muuttujasta x A A on lähtö- tai määrittelyjoukko
Luvuilla laskeminen. 1. Laske. a) 2 5 b) 6 11 c) 4 + ( 4) d) 1 ( 7) Ratkaisu. a) 2 5 = 7 b) 6 11 = 5 c) 4 + ( 4) = 4 4 = 0 d) 1 ( 7) = = 6
Luvuilla laskeminen. Laske. 6 4 + ( 4) d) ( 7) = 7 6 = 4 + ( 4) = 4 4 = 0 d) ( 7) = + 7 = 6. Laske. ( 9) 7 ( 8) 8 : ( ) d) 4 : 6 ( 9) = 7 7 ( 8) = 6 8 : ( ) = 9 d) 4 : 6 = 7. Muunna 8 sekaluvuksi 6 sekaluvuksi
Negatiiviset luvut ja laskutoimitukset
7.lk matematiikka Negatiiviset luvut ja laskutoimitukset Hatanpään koulu Syksy 2017 Janne Koponen 2 Sisällys 1. Negatiiviset ja positiiviset luvut sekä vertailut... 4 2. Lukujen vertailu... 8 3. Plussien
Negatiiviset luvut ja laskutoimitukset
7.lk matematiikka Negatiiviset luvut ja laskutoimitukset Hatanpään koulu Syksy 2017 Janne Koponen 2 Sisällys 1. Negatiiviset ja positiiviset luvut sekä vertailut... 4 2. Lukujen vertailu... 8 3. Plussien
Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.
Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän
KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4
KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + ( 1) + 3 ( 1) 3 = 3 + 3 = 4 K. a) x 3x + 7x 5x = 4x + 4x b) 5x 3 (1 x ) = 5x 3 1 + x = 6x 4 c) (x + 3)(x 4) = x 3 4x + 3x 1 = x 3 + 3x 4x 1 Vastaus: a) 4x +
Talousmatematiikan perusteet, L2 Kertaus Aiheet
Talousmatematiikan perusteet, L2 Kertaus 1 Laskutoimitukset tehdään seuraavassa järjestyksessä 1. Sulkujen sisällä olevat lausekkeet (alkaen sisältä ulospäin) 2. potenssit ja juurilausekkeet 3. kerto-
Lukujonon raja-arvo 1/7 Sisältö ESITIEDOT: lukujonot
Lukujonon raja-arvo 1/7 Sisältö Esimerkki lukujonon raja-arvosta Lukujonossa a 1,a 2,a 3,... (jossa on äärettömän monta termiä) voivat luvut lähestyä jotakin arvoa, kun jonossa edetään yhä pidemmälle.
3.4 Rationaalifunktion kulku ja asymptootit
.4 Rationaalifunktion kulku ja asymptootit Rationaali- eli murtofunktiolla tarkoitetaan funktiota R, jonka lauseke on kahden polynomin osamäärä: P() R(). Q() Ainakin nimittäjässä olevan polynomin asteluvun
Aiemmin opittu. Jakson tavoitteet. Ajankäyttö. Tutustu kirjaan!
Aiemmin opittu Perusopetuksen opetussuunnitelman mukaan seuraavat lukuihin ja laskutoimituksiin liittyvät sisällöt on käsitelty vuosiluokilla 3 5: kymmenjärjestelmä-käsitteen varmentaminen, tutustuminen