Matematiikkalehti 2/

Transkriptio

1 Matmatiikkalhti 2/2001

2 2 Solmu Solmu 2/2001 Matmatiikan laitos PL 4 (Yliopistonkatu 5) Hlsingin yliopisto Päätoimittaja Pkka Alstalo Toimitussihtrit Jouni Sppänn ja Mika Kosknoja Sähköposti toimitus@solmu.math.hlsinki.fi Toimituskunta: Hikki Apiola Matti Lhtinn Kullrvo Niminn Marjatta Näätänn Graafinn avustaja Marjaana Bddard Suraavaan lhtn tarkoittut kirjoitukst pyydämm lähttämään lokuun 2001 loppuun mnnssä. Kiitämm taloudllissta tusta Optusministriötä ja Jnny ja Antti Wihurin rahastoa. Huom! Solmun paprivrsio postittaan nykyisin vain niihin kouluihin, jotka ovat sitä riksn pyytänt. Solmun Intrnt-sivuilta saatava paprivrsio on mahdollista tulostaa omalla kirjoittimlla. Toivomm, ttä lhti i jää vain opttajin luttavaksi, vaan sitä kopioidaan kaikill halukkaill. Täydllisn kokolman Solmun jo ilmstynitä paprikopioita voi pyytää sim. koulun kirjastoon niin kauan kuin niitä riittää. Ilmoittakaa postiosoittnn ja mitkä numrot haluatt joko yllä mainittuun Solmun postiosoittsn tai sähköpostilla osoittsn toimitus@solmu.math.hlsinki.fi.

3 Solmu 3 Sisällys Pääkirjoitus Toimitussihtrin palsta Miksi π on irrationaalinn? Matikkapää pilvissä Mitä titokonvirhistä suraa? Räjähdyksiä, uppoamisia ja tappavaa sätilyä Unkarilaisn matmatiikan optukssta Suomssa ja Englannissa Diofantoksn onglmat Suomn ja sn sukukiltn lukusanoista Oxfordissa matmatiikkaa opisklva Pirita Paajann sai tunnustuspalkinnon

4 4 Solmu Pääkirjoitus Suhtllisuudntaju on tyypillinn inhimillinn ominaisuus: suurin osa mistä kuvittl sitä omaavansa ainakin siihn saakka, kunns ryhdymm vrtailmaan käsityksiämm muidn kanssa. Plkkä milipitistä kinastlminn i ylnsä johda mihinkään, vaan pidmmän pääll olisi kummankin osapuoln tuotava mukaan myös asiatitoja. Numroihin prustuvat tosiasiat ovat ainakin priaattssa kaikkin yksinkrtaisimpia. Vaikka simrkiksi työttömin lukumäärästä i olla täysin yksimilisiä, onglmana ivät titnkään ol yhtnlaskuun liittyvät onglmat vaan s, mitä työttömällä oikastaan tarkoittaan. Valitttavasti numrotitoja mainittassa i usinkaan kiinnittä tarpksi huomiota siihn, millä prustilla luvut on saatu, ja nnn kaikka, miksi prustluina sittään juuri näitä lukuja. Jälkimmäisn kysymyksn törmää simrkiksi jokainn, joka omasta kannastaan riippumatta yrittää surata ydinvoimasta käynnissä olvaa kskustlua. Kirjassaan Numrotaidottomuus John Alln Paulos tuo sill myös suhtllisuudntajuun liittyviä simrkkjä. Suraavassa muutamia numrotitoja, jotka ovat tullt itsllni miln. Niin sanotun hullun lhmän taudin vuoksi (lähtistä riippun) % saksalaisista on olnnaissti vähntänyt naudanlihan syöntiään. Tautiin i ilmissti ol Saksassa kuollut vilä yhtään ihmistä. Sn sijaan autokolarissa kuol vuosittain n saksalaista. Suomssa vastaavat luvut ovat nolla ja yli 300. Pyöräilijöill on jo pitkään hdotttu kypäräpakkoa. Vuosittain liikntssä kuol n. 50 pyöräilijää. Sn sijaan kuolmaan johtanita jalankulkijoidn liukastumisia sattuu n tapausta. Ptoläimt kutn karhu ja susi surmasivat Suomssa viimistn sadan vuodn aikana ilmissti yhdn ihmisn. Samaan aikaan lmmikkiläintn, lähinnä koirin, uhrista saamm luka vuosittain. Lopuksi näistä synkistä aihista himan harmittomampaan simrkkiin: Suomssakin on ryhdytty joissakin säätidotuksissa sittlmään koko maailman säätä. Niitä on milnkiintoista surata, mutta mikä lin nnustidn tarkoitus? Kun Etlä-Amrikkaan on luvassa puolipilvistä ja kuurosatita, niin kannattaa muistaa, ttä jo plkästään Argntiinan pinta-ala on lähs km 2 li sama kuin koko Länsi- Euroopalla. Esimrkkihin liittyvin numroidn oikllisuudn voi jokainn itskin tarkistaa, muttn väitä, ttä aihisiin pitäisi suhtautua niin suoraviivaissti kuin numrotidot näyttäisivät viittaavan. Sn sijaan päiln, ttä simrkkin valinta todistaa vain kirjoittajan huonosta suhtllisuudntajusta. Pkka Alstalo

5 Solmu 5 Toimitussihtrin palsta Kskustlupalsta on toiminut Solmun vrkkosivuilla vuodn 2000 alusta lähtin. Lukijoidn milipitill, kysymyksill ja muull palauttll tarkoitttu palsta on jo osoittanut tarpllisuutnsa sinn saapunidn vistin prustlla. Palauttta on voinut lähttää vrkkosivujn wwwlomakklla ja sähkö- tai kirjpostina. Aluksi palauttta tuli ainoastaan lomakkn välityksllä, mutta viim aikoina sitä on tullut myös sähköpostivistinä tosin lomakkllakin lähttyt vistit tulvat toimituksll sähköpostina. Sn sijaan kukaan i vilä ol lähttänyt palautttaan Solmun toimituksn printisnä kirjnä. Kulunn 15 kuukaudn aikana (tammikuu 2000 maaliskuu 2001) kskustlupalstalla on julkaistu noin 30 palautvistiä ja toimituksn vastausta. Lähs kaikki vistit on lähttty omalla nimllä varustttuna, joka vahvistaa palstan asiallisn ja titoa välittävän luontn. Sinänsä hyödyllistä kriittistä palauttta jonka lähttäjät usin siintyvät nimimrkin suojassa on tullut hyvin vähän. Mrkittävä osa palauttsta on ollut lukijoita kiinnostavia matmaattisia onglmia ja muita matmatiikkaan liittyviä kysymyksiä, joihin Solmun toimitus on julkaissut ratkaisuja ja vastauksia. Aikaismpaa nmmän toivottaisiinkin lukijoidn omia ratkaisuja toistn lukijoidn sittämiin onglmiin. Ratkaisu johonkin onglmaan voisi syntyä monn palstall saapunn vistin surauksna, jolloin vistin lähttäjät yhdssä ratkaisisivat onglman pinin ja miksi suurmminkin asklin dtn kohti lopullista ratkaisua. Tällöin kskustlupalstan alkupräinn ida joissakin yhtyksissä väärin prustin käytttynä lähs kirosanan mrkityksn saanut intraktiivisuus tulisi parhaitn sill palstan toiminnassa. Pari simrkkiä kskustlupalstall saapunista vististä: Hti palstan prustamisn ja vuodnvaihtn jälkn nimimrkki Totuudn tsijä kysyi, ttä vitttiinkö vuosituhannn vaihtumista liian aikaisin. Voitt luka Matti Lhtisn hyvin prustllun vastauksn tammikuun 2000 vististä Solmun vrkkosivuilla. Maaliskuun 2001 vistissä tsintäkuuluttaan yläastn AHAA matmatiikan kirjoja. Jos kirjahyllyssäsi on näitä kirjoja pölyttymässä, tarvittavat yhtystidot löytyvät kskustlupalstalta. Jos toivot Solmuun artikklia jostakin titystä matmatiikan aihsta, niin lähtä hdotukssi kskustlupalstall. Solmun toimitus yrittää mahdollisuuksin mukaan totuttaa toivsi. Ja toki palstall odottaan saapuvan ntistä nmmän lukijoita kiinnostavia matmaattisia onglmia, joita muut lukijat ja toimitus voivat yhdssä ratkoa. Mika Kosknoja

6 6 Solmu Miksi π on irrationaalinn? Matti Lhtinn Slailin rästä hiljattain ilmstynyttä lukion lyhyn matmatiikan oppikirjaa. Siinä käsitltiin, niin kuin oikin ja kohtuullista on, rityyppisiä lukuja. Irrationaaliluvuista nsimmäisnä simrkkinä oli kuuluisin irrationaaliluku π = 3, Kirja i krro, miksi π, ympyrän khän ja halkaisijan pituuksin suhd, on irrationaalinn. Eipä titoa löydy muistakaan oppikirjoista. Kaikki m kuitnkin pidämm asiaa tunnttuna ja slvänä. Mutta ihän matmatiikassa saa luottaa kuulopuhisiin, väittt on prustltava! Irrationaalilukuja on Raaliluvut ovat joko rationaalisia, kokonaislukujn osamääriä p q, q 0, tai sittn i. Raaliluvut, jotka ivät ol rationaalisia, ovat irrationaalisia. Jo lähs 2500 vuotta sittn krikkalaisn kulttuurin piirissä thtiin s mrkittävä ja matmatiikan khityksn syvällissti vaikuttanut havainto, ttä muutamat janojn pituuksin suhtt kutn nliön sivun ja lävistäjän pituuksin suhd tai säännöllisn viisikulmion sivun ja lävistäjän pituuksin suhd ivät ol ilmaistavissa kokonaislukujn suhtna, toisin sanon n ovat irrationaalisia. Irrationaalisuustodistukst ovat päsuoria: jos nliön sivu olisi 1 ja sn lävistäjän ja sivun suhd olisi p q, ja p:llä ja q:lla i olisi yhtisiä tkijöitä (sllaisthan voidaan aina supistaa murtoluvusta pois), niin Pythagoraan lausn mukaan olisi p 2 q 2 = = 2. Tällöin olisi p 2 = 2q 2. Mutta nyt p olisi parillinn, p = 2s, ja saataisiin 4s 2 = 2q 2, q 2 = 2s 2. Siis q:kin olisi parillinn, ja p:llä ja q:lla olisikin yhtinn tkijä 2. Irrationaalilukuja on paljon Irrationaalilukuja on siis olmassa. Its asiassa niitä on kovin paljonkin. Umpimähkään valittu raaliluku on mlkoislla varmuudlla irrationaalinn. Rationaalilukujn joukko on nimittäin numroituva. Jokaisll rationaaliluvull voidaan antaa ikioma järjstysnumro luonnollistn lukujn joukosta. Its asiassa tullaan toimn vain nännäissti pinllä osalla kaikista luonnollisista luvuista. Jokainn rationaaliluku r voidaan kirjoittaa yksikäsittissti muotoon r = ( 1) k p q, missä k = 0 tai k = 1, p on luonnollinn luku (0 on mukana) ja q nollasta roava luonnollinn luku, jolla i ol yhtisiä tkijöitä p:n kanssa. Jos p = 0, kiinnittään vilä q = 1. Nyt jokaisn rationaalilukuun r voidaan liittää simrkiksi luonnollinn luku f(r) = 2 k 3 p 5 q. Kahtn ri rationaalilukuun tul näin aina liittyksi ri luonnollinn luku. Väittty rationaalilukujn harvalukuisuus suraa dllisstä. Ottaan mikä hyvänsä positiivinn luku a, kuinka lähltä nollaa tahansa. Ympäröidään jokainn

7 Solmu 7 a rationaaliluku r janalla, jonka pituus on. Näidn 2 f(r) janojn yhtinn pituus on varmasti nintään a ( ) 3 +. Mutta gomtrisn sarjan summakaavan mukaan summa on sama kuin a = 2a. Kaikki rationaaliluvut voidaan siis lukusuoralla ristää sllaisn osaan, jonka pituus voidaan (a:n valinnalla) saada mitn pinksi tahansa. Kaikki, mitä yli jää, on irrationaalilukujn alutta. (Asia i titnkään ol kovin havainnollinn. Rationaalilukuja on toisaalta tihässä; simrkiksi jokainn lukusuoran jana, mitn lyhyt tahansa, sisältää äärttömän monta rationaalilukua.) Mutta onko π irrationaalinn? Vaikka irrationaaliluvut näyttävätkin muodostavan lukujn nmmistön, yksittäisn luvun irrationaalisuus i ylnsä ol hlppo osoittaa. Lukua π (mrkintä on präisin 1700-luvulta) ounastltiin irrationaalisksi jo antiikin aikoina. Ensimmäisn, joskin hiukan aukkoisn todistuksn asiall on kuitnkin julkaissut svitsiläinn Johann Hinrich Lambrt vuonna Lambrt johti tangnttifunktioll ktjumurtolukusityksn ja päättli sn prustlla, ttä jos x on rationaalinn, tan x on irrationaalinn. Koska tan π 4 = 1, π 4 ja sitn myös π on irrationaalinn. Suraavaa π:n irrationaalisuustodistusta pidtään nykyisin yksinkrtaisimpana. S on koulutidoin ymmärrttävissä, mutta on silti mlko monipolvinn. Tämän todistuksn ajatuksn sittivät amrikkalainn I. Nivn ja japanilainn Y. Iwamoto 1940-luvun lopulla. Todisttaan its asiassa vähän nmmän kuin π:n irrationaalisuus, nimittäin, ttä luku π 2 on irrationaalinn. Tämä riittää its π:nkin irrationaalisksi todistamisn, koska rationaaliluvun nliö titnkin on rationaalinn. Muutamia polynomja ja niidn drivaattoja Lähdtään liikkll asttta 2n olvista polynomista On ilmistä, ttä p n (x) = 1 n! xn (1 x) n, n 1. (1) 0 < p n (x) < 1, kun 0 < x < 1. n! Väitämm, ttä polynomin p n kaikkin krtalukujn drivaatat saavat pistissä 0 ja 1 kokonaislukuarvon. Tämä nähdään oikaksi induktiopäättlyn avulla. Ensiksikin p 1 (x) = x(1 x) = x x 2, jotn p 1(x) = 1 2x, p 1(x) = 2 ja p 1 :n korkammat drivaatat p (k) 1 (x), k > 2, ovat nollia. Väit on siis tosi, kun n = 1. Thdään sittn sllainn induktio-oltus, ttä polynomin p 1 (x),..., p n 1 (x) kaikkin krtalukujn drivaatat saavat pistissä 0 ja 1 kokonaislukuarvon. Nyt p n(x) = 1 ( nx n 1 (1 x) n nx n (1 x) n 1) n! 1 = (n 1)! (1 2x)xn 1 (1 x) n 1 = (1 2x)p n 1 (x). Tulon drivaattakaavaa toistuvasti sovltan nämm, ttä p n (x):n kaikkin krtalukujn drivaatat ovat x:n ja polynomin p j (x), j n 1, drivaattojn polynomja. Induktio-oltukssta suraa, ttä kysist drivaatat saavat 0:ssa ja 1:ssä vain kokonaislukuarvoja. Muodosttaan nyt polynomin p n drivaatoista ja luvusta π suraavanlainn polynomi: P n (x) = π 2n p n (x) π 2n 2 p n(x) + π 2n 4 p (4) n (x) + ( 1) n p n (2n) (x). P n (x):n lausk on pantu kokoon tarkoitushakuissti. Ensinnäkin havaitaan, ttä p n :n n drivaatat, joidn krtaluku on suurmpi kuin 2n, ovat nollia, onhan p n (x) polynomi, jonka ast on 2n. Edlln jotn n (x) = π 2n p n(x) π 2n 2 p (4) n (x)+ P + ( 1) n 1 p n (2n) (x), π 2 P n (x) + P n (x) = π 2n+2 p n (x). Muodosttaan nyt tulon drivointikaavan avulla funktion f(x) = P n(x) sin(πx) πp n (x) cos(πx) drivaatta f (x): f (x) = P n (x) sin(πx) + πp n(x) cos(πx) πp n(x) cos(πx) + π 2 P n (x) sin(πx) = (P n (x) + π 2 P n (x)) sin(πx) = π 2n+2 p n (x) sin(πx). Mihin tätä tarvitaan? S näyttää mill, ttä (2) 1 0 π 2n+2 p n (x) sin(πx) dx = = π(p n (1) + P n (0)). 1 0f(x)

8 8 Solmu Lopullinn hyökkäys Thdään nyt ratkaisva vastaoltus. Oltamm, ttä π 2 = a b, missä a ja b ovat kokonaislukuja. Koska P n (x) koostuu π 2 :sta, nintään potnssiin n korotttuna, ja p n (x):n drivaatoista, niin P n (0) ja P n (1) ovat muotoa A b ja n B b, missä A ja B ovat kokonaislukuja. Lisäksi π 2n+2 = n ja (2) saa muodon π 2 an b n 1 πa n p n (x) sin(πx) dx = C, 0 missä C on positiivinn kokonaisluku. Mutta kun 0 < x < 1, niin 0 < sin(πx) < 1. Kun ottaan mukaan päyhtälö (1), nähdään, ttä dllisn intgraalin intgroitava funktio on koko intgroimisvälillä positiivinn, mutta arvoltaan pinmpi kuin 1 n!. Koska intgroimisvälin pituus on 1, its intgraali on positiivinn luku, joka on pinmpi kuin 1 n!. Mutta tämä mrkits, ttä (3) π an n! C, riippumatta n:n arvosta. Nyt tarvitsmm vilä yhdn matmatiikan ylistidon. Jos a on milivaltainn luku, niin a n (4) lim n n! = 0. Tästä yhtälöstä on hlppo vakuuttua vaikkapa ajattlmalla, ttä osamäärän osoittajassa ja nimittäjässä on molmmissa n tkijää, ja kun n kasvaa, nimittäjään krääntyy nmmän ja nmmän tkijöitä, jotka ovat > a. Mutta (3) ja (4) ovat ilmisssä ristiriidassa ksknään. Vastaoltus luvun π 2 rationaalisuudsta on siis väärä! Mutta onglmia vilä jääkin Irrationaaliluvutkin jakautuvat kahtn luokkaan. Algbrallist luvut ovat jonkin kokonaislukukrtoimisn polynomin nollakohtia. Muut irrationaaliluvut ovat transkndnttilukuja. Esimrkiksi 2 on algbrallinn, koska s on polynomin x 2 2 nollakohta. Osoittautuu, ttä algbrallisiakin irrationaalilukuja on vain numroituva määrä, jotn mlkin kaikki raaliluvut ovat transkndnttilukuja. Mutta kysymys yksittäisn luvun transkndnttisuudsta on ylnsä vaika ratkaista. Luku π todistttiin transkndnttiluvuksi vuonna Tämä ratkaisi yli 2000 vuotta pohditun onglman ympyrän nliöinnistä, gomtrissta konstruktiosta, jolla voitaisiin (harppia ja viivoitinta käyttän) löytää sllaisn nliön sivu, jonka ala on tunntun, simrkiksi yksikkösätisn, ympyrän ala. Koska gomtrist konstruktiot ovat suorin ja ympyröidn likkauspistidn tsimisiä ja näidn yhtälöt ovat nsimmäisn ja toisn astn polynomja, i konstruktioilla päästä pististä, joidn koordinaatit ovat rationaalilukuja, pistisiin, joidn koordinaatit ovat transkndnttilukuja. Luvun π transkndnttisuus mrkits, ttä ympyrän nliöintionglma on ratkamaton. Mutta siihn, miksi π on transkndnttinn, mm nyt puutu.

9 Solmu 9 Matikkapää pilvissä Marjatta Näätänn Suomalaisnuori kuvittl osaavansa hinosti matmatiikkaa, mutta plus-lasku on hänll hpraa kirjoittaa Ylioppilaslhti 5 ( ). Itsptos on sivistynyt rikos. Uhrit ovat tyytyväisiä, olisi voinut sanoa, kun Suomn koululaistn matmatiikan osaaamista ylistttiin joulun alla. Omakhun puuskan aihutti kansainvälisn TIMSS tutkimuksn tulostn julkaisminn. Suomi sijoittui slvästi yli kskitason, Hlsingin Sanomat kirjoitti. Jopa prsidntti Tarja Halonn innostui kiittlmään nuortn matikkataitoja uudnvuodnpuhssaan. Suomalaiskoululaist itskin arvioivat tutkimuksssa omat matmatiikan taitonsa hyviksi. Tutkimusta i taidttu luka järin tarkkaan. Suomi sijoittui yli kskitason surkassa joukossa. Vrtailuun osallistui sllaisia maita kuin Indonsia, Tunisia, Marokko, Thaimaa, Chil, Filippiinit, Etlä-Afrikka ja Makdonia, joidn taloudllist dllytykst kilpailla Suomn kanssa ovat kaikka muuta kuin tasavroist. Poissa vrtailusta olivat simrkiksi Ranska, Saksa, Skotlanti, Norja, Ruotsi, Svitsi ja Krikka. Kirjoituksssa haastatllaan mm. prof. Olavi Nvanlinnaa, joka krtoo, ttä jopa Tknillisssä korkakoulussa uusin opisklijoidn huono osaaminn on onglma. Hänn milstään Luma-talkoidn lopputulos on, ttä lukiot tarjoavat kaikka kivaa ja ksoottista, ja opisklijat oppivat vähän sitä sun tätä, ivätkä mitään kunnolla. Midän on pian pakko thdä oma linjaus siitä, millaist pohjatidot opisklijoilla pitää olla nnn Otanimn tuloa. Erityisopttaja Juha Pitkänn Hlsingin palvlualojn oppilaitokssta krtoo, ttä Opisklijoilta ovat jopa yksinkrtaist plus- ja miinuslaskut hukassa. Mittaamm opisklijoidn taidot aina lukuvuodn alussa ja nykyään noin joka kolmannlla on onglmia matmatiikan kanssa. Joudumm aloittamaan matmatiikan krtauksn ihan ala-asttasolta. Puuttllist taidot ovat korostunt osaksi sn vuoksi, ttä palvlualojn vaatimukst ovat kovntunt. Enää i riitä, ttä ravintolakokki osaa laittaa ruokaa. Pitää pystyä tkmään kustannuslasklmia ja olmaan tarkkana raaka-ainidn kanssa. Samatn vaattuspuollla laskupää on tarpn, sillä matriaalit maksavat, ikä hittoja saa tulla. Tarkmmin TIMSS-tutkimukssta: Solmu 1/ achivmnt rport.html

10 10 Solmu Mitä titokonvirhistä suraa? Räjähdyksiä, uppoamisia ja tappavaa sätilyä Juha Haataja Titotkniikan onglmat aihuttavat mitä ihmllisimpiä virhtilantita. Usin virhn syyksi paljastuu väärin toimiva ohjlmakoodi. Syynä voi olla triviaali virh ohjlmakoodissa tai syvällinn suunnittluvirh ohjlmiston rakntssa. Klassinn simrkki ohjlmistovirhstä on Wdnsday-koodi, joka toimi vain kskiviikkoisin. Tämä johtui siitä, ttä kskiviikon nimssä olva y-kirjain kirjoitttiin suraavan kntän pääll ja tämä y-mrkki sai koodin toimimaan oikin (y = ys). Mitn luotttavia titokonohjlmistot ovat? Käytännön kokmus osoittaa, ttivät kovinkaan. Tilanntta kuvaamaan onkin syntynyt trmi banaaniohjlmistot : käyttäjät kypsyttävät raa at tuottt jotakuinkin käyttöklpoisiksi. Esittln suraavassa muutamia titsn ja tkniikkaan liittyviä tapahtumia, joissa titotknisillä virhillä on ollut mrkittävä rooli. Titotkniikan käyttö i ol titnkään plkkiä virhitä ja onglmia. Parhaimmillaan titotkniikka on rinomainn työkalu ja apuvälin. Tuon sill onglmatilantita ri tyyppistn virhidn havainnollistamisksi. Ehkä kokmukssta voi oppia. Urbaanja lgndoja Vuonna 1962 Nasa laukaisi Vnuksn tarkoittun Marinr I -luotaimn. Pian lähdön jälkn raktti alkoi käyttäytyä holtittomasti, minkä takia s jouduttiin tuhoamaan. Luotain putosi Atlantin valtamrn. Tapaturman syynä oli laitvirh yhdistynnä ohjlmistovirhsn. Laitvian takia rakttia ohjattiin tutkan avulla maasta käsin. Tutkan antamissa mittaustidoissa oli virhttä, minkä takia mittausarvoista olisi pitänyt laska juoksva kskiarvo. Ohjauskoodin suunnitlmista kuitnkin puuttui kskiarvostusta tarkoittava yläviiva nopusmuuttujan päältä. Sitn ohjauksn käyttiin viimisintä tutkan antamaa arvoa, jossa oli mukana satunnaista virhttä. Ohjausjärjstlmä kuvittli raktin hittlhtivän ja yritti kompnsoida tätä komnnoilla, jotka todlla saivat raktin käyttäytymään holtittomasti. Marinr I -luotaimn tuhoutumissta muodostui ydin monill tarinoill. Koska onglman syy oli hiukan monimutkainn, puhutaan tarinoissa ylnsä koodissa ollsta tumrkkivirhstä tai pilkkuvirhstä. Pilkkuvirhtarinan alkuprä löytyy ilmissti suraavassa kuvatusta onglmasta, joka tapahtui samoihin aikoihin.

11 Solmu 11 Matkalla avaruutn Vuonna 1963 Nasassa khitttiin ja tstattiin aimmilla Mrcury-lnnoilla käytttyä rakttisimulaattoria. Tstauksssa havaittiin, ttä tulokst olivat kohtalaisn tarkkoja, mutta ivät kuitnkaan täysin vastannt tunnttuja tuloksia. Usan viikon tstauksn jälkn Fortran-ohjlmakoodista löytyi rivi DO 10 I=1.10 Tässä piti olla toistoraknn, jota suorittaan kymmnn krtaa. Pilkun vaihtuminn pistksi muunsi lausn kuitnkin sijoituslausksi, jossa muuttujaan DO10I sijoitttiin arvo Siispä kysinn toistoraknn suoritttiin vain krran. Saadut tulokst olivat riittävän tarkkoja aimmilla lnnoilla, jolloin rakttin thot olivat pinmpiä. Onnksi virhstä i aihutunut mitään todllisia vahinkoja. Nykyisssä Fortran-kiln vrsiossa tämänkaltaist virht huomattaisiin jo ohjlman käännösaikana. Euroopassa khittyn Arian 5 -raktin nsimmäinn laukaisu tapahtui Rakttia oli khittty vuosikymmnn ajan ja khityskulut olivat luokkaa 50 miljardia markkaa. Noin 37 skuntia laukaisun jälkn raktti alkoi käyttäytyä holtittomasti ja lopulta räjähti. Raktin ja sn lastin arvo oli usita miljardja markkoja. Turman syy slvisi kahdn viikon kulussa. Ohjlmassa käytttiin Arian 4 -raktill khitttyä ohjauskoodia, jossa raktin vaakasuoraa noputtaa kuvaava 64- bittinn liukuluku muutttiin 16-bittisksi kokonaisluvuksi. Tässä tapauksssa lukuarvo oli kuitnkin yli , joka on suurin 16-bittisssä kokonaislukuaritmtiikassa sitttävissä olva luku. Prosssori antoi virhtilantsta ilmoituksn ja tulosti virhraportin. Virhtilantn käsittlyä i kuitnkaan määritlty Adakoodissa, jolloin ohjausjärjstlmä yritti tulkita tuloksn raktin ohjauskomnnoiksi. Surauksna oli holtiton käyttäytyminn ja lopulta raktin itstuhomkanismin käynnistyminn. Kysinn osa ohjauskoodia i ollut tarpn Arian 5:ssä ja oli joka tapauksssa ohjlmoitu poistumaan käytöstä 40 skuntia laukaisun jälkn. Nasan Marsiin lähttämä Climat Orbitr -luotain on viimisimpiä avaruusmatkailun takaiskuja. Luotain tuhoutui syöksyttyään Marsiin. Virhn syyksi slvisi mittayksikkövirh ohjausrakttin thon määrittlyssä. Lockhd Martin oli käyttänyt määrittlyissä nglantilaisia yksiköitä ja Nasan Jt Propulsion Laboratory puolstaan oltti käytttävän mtrijärjstlmän yksiköitä (paunat vs. Nwtonit). Tämän johdosta raktti ajautui 80 kilomtriä ohi kurssin ja törmäsi Marsiin. Indksit matkalla tlään Vuonna 1982 Vancouvrin pörssi otti käyttöön uudn pörssi-indksin, jota päivitttiin jokaisn kaupan jälkn. Indksin alkuarvoksi astttiin Indksin arvo putosi 20 kuukaudn kulussa 520:n. Syynä oli lasknnassa käyttty katkaisva aritmtiikka: päivitttyä indksin arvoa i pyöristtty lähimpään tuhannsosaan vaan arvo katkaistiin ja loput dsimaalit unohdttiin. Pyöristystä käyttän saatiin indksin arvoksi Tappavaa sätilyä Vuosina aihutui sätilyhoitoon käyttyn Thrac-25 -laittiston toimintavirhstä usita kuolmantapauksia ja loukkaantumisia. Laittisto dusti uutta tkniikkaa ja oli aimmista vrsioista poiktn kokonaan titokonohjattu. Turvallisuudn varmistaminn oli hoidttu ohjlmallissti aimpin laitmkanismin sijaan. Riskianalyysissä unohdttiin huomioida mahdollistn ohjlmistovikojn vaikutukst toimintaan. Vuosina tapahtui kuusi massiivista sätilyn yliannostusta potilaill. Sätilymäärät olivat pahimmillaan jopa yli satakrtaisia normaaliin sätilyhoitoon vrrattuna. Onglman syyksi osoittautui laitopraattorin käyttöliittymä: jos käyttäjä ditoi konll annttavia komntoja liian nopasti, hyväksyi kon virhllisn annostusmääräyksn. Koska annostusmääräystä i tarkistttu ikä konssa ollut yliannostuksn havaitsvia snsorita, i virhtilanntta havaittu nnn kuin potilaat valittivat sätilyn aihuttamista akuutista oirista. Sätilyn yliannostukssta oli surauksna ainakin kolm kuolmantapausta. Ohjuksia väärään kohtsn Vuonna 1988 USA:n hävittäjäkon ampui alas Iran Air -lhtoyhtiön Airbus A300B2 -konn. Lnto 655 lähti Iranista Bandar Abbasin lntokntältä ja oli matkalla Dubaihin. Prsianlahdlla ollut ristilijä USS Vincnns havaitsi lnnon Agislnnonvalvontajärjstlmässään. Vaikka lnto oli jokaviikkoinn, i sitä löydtty vakiolntojn aikataulusta. Titokonjärjstlmä oltti konn olvan F-14 -hävittäjä, jotn ristilijästä lähttiin pyyntö iranilaisll F- 14 -hävittäjäll tunnistautua. Tällöin matkustajalntokon kskustli yhä lnnonjohdon kanssa.

12 12 Solmu Vahvistus lntokonn vihamilisistä aikista saatiin, kun Agis-järjstlmä näytti ilmoittavan konn olvan nopassa syöksyssä normaalin lntorittin ulkopuollla kohti Vincnnssiä. Todllisuudssa kon oli yhä nousussa ja normaalilla lntoritillä. Ristilijästä annttiin käsky ampua lntokon alas. Konssa kuoli 290 ihmistä. Vuodn 1991 alussa USA ja Irak kävivät sotaa Prsianlahdlla. Irak ampui Scud-ohjuksia amrikkalaisiin sotilaskohtisiin ja USA käytti torjuntaan Patriot-ilmatorjuntaohjuksia. Kuitnkaan 25. hlmikuuta Patriot-ohjus i osunut kohtsnsa ja Scudohjus tappoi 28 amrikkalaissotilasta. Syyksi osoittautui ohjlmistovika. Patriot-ohjuksssa on kllo, joka mittaa ajan kulumista kymmnsosaskuntina käyttän kokonaislukulaskuria. Ohjusjärjstlmä oli ollut yhtäjaksoissti toiminnassa yli 100 tuntia. Siis laskurin arvo oli suuruusluokkaa 3,6 miljoonaa. Patriot-ohjus tsii tulvaa ohjusta alulta, jonka paikka arvioidaan dllisn mittausarvon prustlla. Kulunut aika määrätään krtomalla aikalaskurin arvo luvulla 0,1. Koska luvun 0,1 binäärisitys katkaistiin 24 bittiin, oli tämän luvun sitysmuodossa suuruusluokkaa 10 7 olva virh. Tämä luku krrottiin luvulla 3,6 10 6, jotn tuloksn tuli virhttä noin 0,3 skunnin vrran. Tässä ajassa Scud-ohjus hti lntää yli 600 mtriä, jotn Patriot-ohjus yritti paikantaa tulvaa ohjusta aivan väärältä suunnalta. Plataan lautanupotusta Slipnr A -öljynporauslautta tuottaa öljyä ja kaasua Pohjanlahdlla 82 mtrin syvyisssä vdssä. Lautta on raknnttu btonisll alustall. Alustasta kohoaa nljä tornia, joidn varassa on lautan laittistokansi. Lautan alustaa tstattiin painolastin avulla nnn kannn asnnusta paikalln. Tstauksssa alustaan tuli vuoto ja s upposi vuonoon Stavangrin lähllä. Uppoaminn 220 mtrin syvyytn aihutti järistyksn, jonka suuruus oli 3,0 Richtrin astikolla. Taloudllist tappiot olivat miljardiluokkaa. Tutkimuksissa kävi ilmi, ttä yhtn alustan sinämistä tuli vakava vuoto, jota pumput ivät pystynt kompnsoimaan. Syynä oli suunnittlu- ja raknnusvirh. Alustan lujuuslasklmat oli thty lmnttimntlmällä käyttän NASTRAN-ohjlmistoa. Alustan osastn liitoskohdan analyysissä oli käyttty vääränlaista lmnttimallia, jolloin osaan vaikuttavia voimia aliarvioitiin lähs 50%. Tarkmmissa lasklmissa päädyttiin tuloksn, ttä rakntn kstävyys pttäisi 62 mtrin syvyydssä. Todllisuudssa raknn ptti 65 mtrin syvyydssä. Virhllistä laskuoppia Vuonna 1994 havaittiin virh Pntium-prosssorin jakolaskuopraation tuloksissa. Virh siintyi harvoin, mutta oli potntiaalissti mrkittävä. Virhn suhtllinn suuruusluokka oli pahimmillaan 10 5 ja tuloksssa oli tarkkuutta vain 14 bittiä. (Tätä voi vrrata Patriotohjuksn aritmtiikkavirhsn.) Intlin main koki virhn ansiosta pahan takaiskun. Lopulta Intl lupasi vaihtaa virhllist prosssorit virhttömiin. Vuonna 1998 Intlin Pntium II ja Pntium Pro -prosssorissa havaittiin virh ylivuototilantn käsittlyssä. Jos liian iso liukuluku yritttiin muuntaa 16- bittisksi kokonaisluvuksi, prosssorin olisi pitänyt antaa tilantsta virhilmoitus. Kuitnkaan prosssori i thnyt tätä kaikissa tilantissa, jotn virh jäi havaitsmatta. Tätä virhttä voi vrrata Arian 5 -raktin aritmtiikkavirhsn. Ohjlmistojn luotttavuus Titn ja tkniikan ohjlmistojn luotttavuutta on slvittty usissa tutkimuksissa. Eräs prustllisimmista oli lhdssä IEEE Computational Scinc & Enginring (April Jun 1997) sitlty vrtailu. Lhdssä oli tutkittu FORTRAN 66/77 ja C-kilisiä titn ja tkniikan ohjlmistoja. Tsti koostui kahdsta vaihsta: ohjlmakoodin staattissta analyysistä skä sismistn analyysiohjlmistojn vrtailusta. Lähdkoodin staattisssa analyysissä oli tutkittavana 55 FORTRAN-ohjlmistoa ja 68 C- kilistä ohjlmistoa, joissa oli yhtnsä 3,3 miljoonaa FORTRAN-kilistä koodiriviä ja 1,9 miljoonaa C-kilistä koodiriviä. Eri sovllusaluita oli 40. Suurin osa koodista oli präisin kaupallisista yrityksistä ja kaikki koodit olivat tuotantokäytössä. Koodin käyttäjät uskoivat koodin olln täysin tstattuja. FORTRAN-koodissa oli kskimäärin 12 vakavaa virhttä 1000 koodiriviä kohdn; C-koodissa puolstaan oli 8 vakavaa virhttä 1000 riviä kohdn. Eräässä ydintkniikan koodissa oli 140 virhttä 1000 koodiriviä kohdn. Tämä koodi onkin lähinnä hyvin kallis satunnaislukugnraattori.

13 Solmu 13 Prosduurin kutsut olivat yhtnsopimattomia joka 7. tapauksssa FORTRAN-koodissa ja joka 37. tapauksssa C-koodissa. Ero johtun lähinnä FORTRAN-koodin suurmmasta argumnttin lukumäärästä skä automaattistn tarkistustn puuttsta. (Nykyisssä Fortran 95 -standardissa on khittynmpiä virhntarkistuksia.) Osa koodista oli kirjoitttu käyttän hyvin hämärää ja virhaltista ohjlmointityyliä. Pahimmassa simrkissä oli rilaista rittiä ohjlmayksikön läpi. Pinikin muutos tällaisn koodiin saattaa muuttaa koodin käyttäytymisn täydllissti. Sitn kysisn koodin ylläpidttävyys on olmaton. Ohjlmistovrtailussa tutkittiin sismistä dataa käsittlviä ohjlmistoja. Sismistä analyysiä käyttään maaprän rakntn slvittämisn, jotta voidaan valita oika paikka koporauksill. Yksi poraus voi maksaa kymmniä miljoonia markkoja, jotn tulostn pitäisi olla luotttavia. Tstattavina oli yhdksän toisistaan riippumattomasti khitttyä tuottta. Sismisn datan analyysissä käyttty matmaattinn algoritmi on suhtllisn yksinkrtainn ja käytössä kaikissa tstatuissa ohjlmistoissa. Tstissä annttiin kaikill ohjlmistoill sama syöttödata, jonka jälkn tuloksia vrrattiin skä koodin kskn ttä ajamalla samaa koodia ri konissa ja ri tarkkuuksilla. Usista koodista löytyi tyypillisiä yhdllä pilssä indksointivirhitä datan analyysissä. Toisaalta samalla ohjlmistolla ri konissa ja ri tarkkuuksilla saadut tulokst olivat muutaman dsimaalin tarkkuudlla idnttist. Ikävä kyllä ohjlmistojn kskinäinn vrtailu paljasti, ttä saadut tulokst olivat rilaist: tuloksissa oli yhtnväisyyttä noin yhdn mrkitsvän numron vrran. Lisäksi osa koodista oli ilmisn virhalttiita: lasknnan kulussa saadut tulokst rosivat yhä nmmän kskimääräistästä tuloksista. Yksikään koodista i näyttänyt olvan hyvä kaikissa vrtailupistissä: kullakin tuntui olvan sokat pistnsä. Yksi koodista tosin oli johdonmukaisn huono, mutta muut kilpailivat mnstyksllissti huonoudn kakkossijasta. Tämä artikkli on julkaistu lähs samassa muodossa Titoyhtys-lhdn numrossa 1/2001, ja s julkaistaan Solmussa Titoyhtys-lhdn luvalla.

14 14 Solmu Unkarilaissta matmatiikan optukssta Suomssa ja Englannissa Marjatta Näätänn Dosntti, matmatiikan laitos, Hlsingin yliopisto Miksi juuri Unkari? Koulutusjärjstlmä on kuin pyramidi, jossa suraavat vaiht rakntuvat dllistn pääll. Jos pinn maan koulutusjärjstlmä tuottaa poikkuksllisn hyviä tuloksia ri tasoilla mitattuna aivan yläpäähän asti syynä ovat todnnäköissti hyvät printt, varsinkin, jos taloudllist rsurssit ovat ollt niukat. Kansainvälisissä vrtailuissa Unkari on tällainn niukoista rsurssistaan huolimatta hyvin mnstynyt maa. Kilisukulaisuudn takia unkarilaisilla on rittäin lämmin kiinnostus ja halu yhtistyöhön suomalaistn kanssa. Näin olln Unkari on mlko luonnollinn valinta yhtistyökumppaniksi Suomll. Unkarilaisn matmatiikanoptuksn hyvät tulokst ovat hrättänt kansainvälistä huomiota. Englannissa on jo vuosia thty kokilua, jossa on sovitttu unkarilaisia vaikuttita nglantilaisn matmatiikan optuksn. Profssori David Burghs Extrin yliopistosta johtaa tätä projktia. Extrin ryhmä valitsi yhtistyökumppaniksi Unkarin sn jälkn, kun h olivat käynt tutustumassa matmatiikan optuksn usissa maissa. Englantilaisill oli yllätys Unkarissa opttun ja ymmärrtyn matmatiikan korka taso. Tämä päti myös ammattiin suuntautuvalla linjalla, jossa asiaan sopivaa yhtyttä käytttiin koko ajan. Unkarilaistn osoittama itsluottamus ja pystyvyys matmatiikassa tki suurn vaikutuksn nglantilaisiin. Englantilaist tulivat siihn tuloksn, ttä hillä on paljon oppimista Unkarista ja päättivät yrittää totuttaa oppja käytännön tasolla. H totsivat kuitnkin, ttä samantapaisia huomioita oltaisiin voitu thdä muistakin maista, joissa on samantapaisia optusstratgioita. Vrkosta löytyy titoa tästä hankksta osoittssa Unkarin mnstyksn avaimt Unkarissa tidtään, tti matmatiikkaan ol kuninkaan titä. Pitkät printt, työ ja matmaattisluonnontitllistn alojn arvostus ovat nostant Unkarin matmatiikan mnstyksn. Jo sata vuotta sittn aloitttiin matmatiikkalhti Kömal, joka tarjosi matmaattisia onglmia ja lisämatriaalia toisn astn kouluill, skä matmatiikkakilpailut. Nämä yhdssä mahdollistivat matmaattistn kykyjn löytämisn ja khittämisn tasapuolissti koko maassa.

15 Solmu 15 Millaista on unkarilainn matmatiikan optus ala-astlla? Matmatiikkaa raknntaan prustasta alkan kuin taloa, niinpä alkuoptus on nsisijalla, kun uusia mntlmiä altaan sovltaa. Paitsi pruskäsittidn omaksumisn, alkuoptus vaikuttaa voimakkaasti myös asntisiin. Lastntarhassa tai sikoulussa varmisttaan Unkarissa, ttä tulvilla nsiluokkalaisilla on koulun aloittamista vartn tarvittavat taidot ja tidot, myös tarpllinn kyky kskittyä. Näin nsimmäisn vuodn opttaja voi lähtä siitä, ttä kaikilla on titty prustaso. Poikkuksllisn hyviä tuloksia tuottanut matmatiikan optuksn mntlmä tn harkitusti ja rakntaa systmaattissti pohjaa matmatiikan käsittidn omaksumisll samalla khittän lasta monipuolissti. Äidinkiltä painottaan; lapst oppivat vastaamaan kokonaislla lauslla ja krtomaan, mitn h päättlvät asioita. Omaa kulttuuria (lastn lorut, sadut, laulut) tuodaan sill, samalla tutustutaan luontoon, läimiin ja ympäristöön hauskojn päättlythtävin ja likkin avulla. Mntlmä on hyvin konkrttinn, likinja askartlunomainn alkuvaihssa, jolloin apuvälinitä käyttään paljon. Lapst pitävät tämäntyyppisstä toiminnasta ja s auttaa hitä oppimaan kskittymiskykyä skä luo positiivisn suhtautumisn oppimisn, matmatiikka on suosittu ja tärkä ain. Koulukurssiin kuuluvia matmatiikan käsittitä lähstytään konkrttisin tavoin, samaa asiaa usilla ri tavoilla. Opttaja johdattl oppilaita its oivaltamaan ja pukmaan sanoiksi oivaltamansa asian, mutta vasta siinä vaihssa, kun milikuva on kyllin slkä vrbalisointia vartn. Jos pohja saadaan raknnttua hyvin, voi sill jatkossa rakntaa. Myöhmmin koulussa abstraktissa muodossa siin tulvia matmatiikan käsittitä (sim. funktio, yhtälö, päyhtälö, lukusuora, jaollisuus) pohjusttaan alkuoptuksssa konkrttisilla apuvälinillä ja hauskoilla thtävillä. Näin käsittt htivät kypsyä. Englantilaistn havaintoja unkarilaissta matmatiikan optukssta Ennn päätöstä yhtistyöstä nimnomaan Unkarin kanssa oli Extrin ryhmä käynyt usissa maissa tutustumassa matmatiikan optuksn. Tämä kokmus i kuitnkaan valmistanut hitä siihn radikaalisti rilaisn optusstratgiaan, joka vallits Unkarissa: Opttaja johtaa luokkaa innolla, huumorilla ja vauhdilla. Lopputulos on rikoinn yhdistlmä kurinalaista, jännittävää ja hauskaa toimintaa. Ratkaisvan tärkää on oppilaidn ja opttajan luottamuksn ja yhtistyön tunn. Kaikilla on slkä ymmärrys siitä, ttä oppilas on koulussa thdäksn työtä ja distyäksn. Vallitsvana on koko luokan intraktiivinn optustapa, johon on sirotltu lyhyitä itsnäisn työskntlyn palasia. Tällä optustavalla saadaan khitttyä jo alusta alkan voimakas koko luokan yhtnkuuluvuudn tunn. Tällöin siis luokka työskntl yhtistyössä, ja kskustllaan avoimsti virhistä ilman noloutta tai plkoa joutua naurunalaisksi. Opttaja suraa jokaisn oppilaan distystä koko ajan. Hän ohjaa oppituntia huolllissti ja tarkkaan, mutta i ol plottava, jotn oppilaat ottavat milllään aktiivisn roolin oppimistapahtumassa sittävät taululla ratkaisuja, slittävät niitä, tarjoavat vaihtohtoisia mntlmiä, osoittavat virhitä ja yrittävät tarvittassa slvittää asioita. Luokkahuonn ulkoisissa järjstlyissä tämä näkyy niin, ttä oppilaat istuvat parittain, kasvot opttajaan päin ja taulull on hlppo mnnä. Oppilaat pääsvät nopasti taulull sittämään ratkaisujaan ja slittämään niitä, samoin opttajan on hlppo liikkua luokassa. Muita tärkitä yksityiskohtia olivat huomion kiinnittäminn täsmällisn, oikaan matmaattisn kiln käyttöön ja mrkintöihin. Kotithtäviä käyttään, n tarkasttaan intraktiivissti joka tunnin alussa ja luokalta krätään rilaisia ratkaisutapoja. Tunnin aikana anntaan harjoituksia ja n käydään läpi thtävä krrallaan, niin ttä koko luokka työskntl aina saman onglman ratkaismisksi mutta toist pääsvät pidmmäll kuin toist. Kaavojn suhtn on pyrkimyksnä, ttä oppilaat ymmärtävät n, jolloin muistaminn on hlppoa ikä ol tarvtta kaavakokolmin käytöll. Englantilaistn kokmuksia unkarilaisn optusstratgian toimnpanosta Kokilun aikana on tullut siin monnlaisia vaikuksia, mutta kokonaisuutna tulokst ovat ollt hyviä. Paljon työtä on thty matriaalin valmistuksssa, opttajin koulutuksssa skä työnohjauksssa. Unkarilaisll optustyylill kskisn koko luokan yhtishngn luomisn i riittänyt, ttä opttaja sai oppilaat siintymään luokan dssä. Tämä oli thtävä niin, ttä oppilaat myös slittivät, mitn h olivat päätllt. Luokka osallistui, oli joko samaa tai ri miltä ja opttaja otti hti siin virht skä kskustli vaihtohtoisista ratkaisumntlmistä tai ylisistä väärinkäsityksistä. Kaikkia oppilaita pyrittiin rohkaismaan. Samantapainn oli tilann opttajan tkmin kysymystn suhtn. Jotkut nglantilaist opttajat luulivat, ttä oli hyvää intraktiivista optusta kysyä paljon kysymyksiä, joihin oli

16 16 Solmu slkät vastaukst. Hidän tuli kuitnkin kysyä myös haastllismpia kysymyksiä kannustan luovaan ajattluun ja kriittisn kskustluun. Muita ilmisiksi tullita onglmia olivat haluttomuus hyväksyä säännöllinn, vaikkakin lyhyt kotityö, kotityön tarkistus thtävittäin, opttajan ollssa nsin täysin slvillä siitä, mitä kukin oli thnyt. Vasta tämän jälkn thtävä käytiin läpi yhdssä, ylnsä taululla avoimsti kskustlln siitä (i siis niin, ttä oppilaill anntaan 1 10 thtävää, opttaja kirtää nuvomassa niitä, jotka pyytävät). Koko luokan intraktiivinn opttaminn on mahdotonta, llivät oppilaat istu niin, ttä voivat vaivatta nähdä opttajan, mnnä taulull hlposti ja opttaja voi mnnä jokaisn oppilaan luo onglmitta, mutta tämä järjstly on vaikaa monissa täysissä ja huonosti suunnitlluissa luokkahuonissa. Taulutyöskntlyn kskisn asman takia hyvälaatuinn ja laaja taulu oli tärkä. Opttajan ja oppilaidn taulutyöskntlyn tuli olla slkää ja täsmällistä, jotta muut saivat hyvän mallin surattavaksn. Englannissa opttajin poissaolot olivat onglma monissa kouluissa, koska sijaisilla i ollut kokilua vartn tarvittavaa koulutusta. Kaikkin koulujn opttajat ivät tuknt yksimilissti optuskokilua, räänä syynä saattoi olla, ttä kokilun optustapa tuo näkyviin myös opttajan kyvyt, jotn tavallinn optustyyli tuntuu hlpommalta ja vaarattomammalta. Kokilussa mukana olvill thtiin työnohjausta käymällä suraamassa tuntja ja arvioimalla, mitn thokkaasti opttajat noudattivat optusstratgiaa. Myös aimmin tavallisn tyyliin opttut oppilaat tarvitsivat aikaa tottuaksn siihn, tti aikaismpi passiivinn oppimistyyli nää riittänytkään. Opttajan optustyyliin tuli kuulua sopiva rytmi ja vauhti, innostus ja huumori, lisäksi jatkuva kaikkin oppilaidn suranta. Harjoituksssa oli pääpaino omassa päässä thdyllä työllä, rityissti alkuvuosina. Laskimt otttiin mukaan myöhmmin, vasta sittn, kun tarvittava pohja oli hankittu. Opttajan tuli käyttää oppitunnill varattu aika hyvin, siis valmistaa oppitunnit ja pitää kaikki tarvittavat välint käsillä. Opttajan tuli käydä läpi kaikki kysymykst ja harjoitukst tukätn jotta titäisi, missä voi syntyä onglmia. Ollaksn slvillä oppilaidn tasosta hänn tuli tstata säännöllissti oppilaidn titoja ja krrata onglmia aihuttavia aihita. Hänn tuli olla koko ajan titoinn siitä, mitä kukin oppilas tk, havainnoida itsnäistä työtä kattavasti ja thokkaasti. Oli myös hyvä kskustlla ylisistä virhistä nnnkuin kovin moni oppilas oli nnättänyt thdä niitä, käydä läpi ja krrata unohtunita tai väärinkäsitttyjä käsittitä hti, kun tuli siin onglmia. Opttajan tuli saada mahdollisimman moni oppilas mukaan osallistumaan oppituntiin ja työskntlmään taululla, kysllä thokkaasti, johdatlln oppilaita ajattlmaan itsnäissti skä yhdistää matmatiikka oppilaan kokmuksiin ja luokkahuonn ulkopuolisn maailmaan. Opttajaa khotttiin antamaan tunnustusta luovuudll ja hyväll työll skä krtaamaan tunnin lopuksi oppitunnin pääkohdat. Unkarilainn optustyyli vaatii siis hyvin paljon opttajalta. Englantilaist huomasivat, ttä optusvidot hyvin pidtyiltä oppitunnilta olivat rittäin tarpllisia ja opttajat pitivät näistä paljon. Samalla sudulla olvin opttajin ryhmät tukivat toisiaan, aina kuitnkaan koulujn rhtorit ivät ollt myötämilisiä. Kaikki opttajat ivät ottant käyttöön kaikkia suosituksia. Työstään nglantilaist saivat tuloksia. Mrkittävää tulostn parantumista tapahtui, kun opttajat tulivat tutummiksi oppimatriaalin ja optustyylin kanssa. Myös rittäin huonolla alulla olvia kouluja oli mukana ja niissä tapahtui jopa radikaalia oppimistulostn nousua. Oppilaidn luottamus omiin matmatiikan taitoihinsa ja positiivinn suhtautuminn lisääntyivät huomattavasti ja tulokst paranivat. Englantilaist surasivat innostunina unkarilaistn mntlmiä, mutta huomasivat, ttä pitkäaikainn mnstys riippuisi mrkittävin muutostn tosta myös alkuoptuksssa. Unkarin koulujärjstlyistä Unkarissa oppilaat tulvat kouluun 6-vuotiaina, ylnsä kahdn lastntarhavuodn jälkn. Tämän tarkoitus on valmistaa koulunkäyntiin kskittymällä killlisiin kykyihin, kuuntluun, kskittymisn, hiljaa istumisn, ohjidn noudattamisn. Matmatiikassa luvut 1 10 siintyvät, mutta niitä i kirjoitta. Ylnsäkin symbolit ottaan käyttöön vasta, kun niitä on pohjustttu ri tavoin, ala-astlla hyvin konkrttissti. Matmatiikassa pyritään rakntamaan kunnon prustaa, korosttaan mrkintöjä, logiikkaa, käsittitä, ikä kiirhditä suuriin lukuihin, sim. nsimmäisnä vuonna käsitllään vain luvut 1 20, mutta päyhtälön ja yhtälön käsittt ovat mukana. Thokkaat laskutaidot saadaan tuloksksi khittystä vahvasta matmatiikan pohjasta. Pitkäjäntisyys näkyy optuksssa ja algbraan valmistautumisn saattaa nähdä jo aivan alkuvaihsta alkan. Äidinkiln käyttöä harjoittaan sim. niin, ttä suullisksi vastauksksi anntaan kokonainn laus ikä vain vastausta ja oppilaat krtovat, mitn ovat asian päätllt. Kaikki opttajat, nsimmäisstä vuodsta lähtin, ymmärtävät matmatiikan pruskäsittt (ainakin osittain siksi, ttä ovat opiskllt mlko laajasti its sitä jo nnn opttajankoulutusta). Oppilaill, joilla on oppimisvaikuksia, anntaan iltapäivällä lisäharjoitusta muidn aktivitttin sijasta, koska matmatiikkaa ja äidinkiltä pidtään niitä paljon tärkämpinä oppiainina. Tuka tarvitsvill oppilaill annttiin hill muokattuja lisäharjoitusthtäviä.

17 Solmu 17 Ala-astlla käytttävät oppikirjat: Varga-mntlmä on antanut paljon vaikuttita kirjasarjoihin. Sandor Hajdulla on tällä htkllä suuri markkinaosuus Unkarin kouluissa käytttävistä kirjoista. Hänn kirjasarjansa kattaa koko kouluajan. Uusiakin kirjoja on juuri tulossa markkinoill. Alaastlla Varga-mntlmää ovat sovltant oppikirjoihinsa Esztr Nményi ja Márta Oravcz. Edllytyksnä mntlmän käyttöön on Unkarissa opttajan kouluttautuminn mntlmän käyttöön. Myös luvuilla manipulointiin rikoistunut oppikirja siintyy ala-astlla, ivätkä mont opttajat halua luopua siitä, koska sn mukaan opttaminn on vaivatonta. Alkuoptuksn tuloksia Englannissa Ensimmäistä vuotta tarkkaan ohjidn mukaan opttant nglantilaist opttajat antoivat palauttta tyyliin: Oln opttanut aikaismmin nsimmäistä luokkaa ja vrratssani nykyisn tyylin tuloksia aikaismpaan oln aivan ällistynyt nykyisn luokkani saavutuksista. Eivät vain parhaasn ja kskiryhmään kuuluvat lapst opi päässälaskuja ällistyttävällä tavalla, vaan myös hikoimmat. H näyttävät khittänn nopat, vilkkaat aivot, jotka saavat minut häpämään omiani. Joillain kouluilla ja opttajilla oli vaikuksia totuttaa kokilun optustyyliä. Usill opttajill radikaaliin ja mnstykskkääsn optustyyliin muuttamisn riittää, ttä mntlmä slittään ja sittään vidoidn avulla, yksityskohtainn kirjallinn tuki anntaan, ja ttä lisäksi rityissti alkuoptuksssa anntaan yksityiskohtaist tuntisuunnitlmat. Joidnkin opttajin optustyylin muuttumisll oli välttämätöntä opttajatovrin suorittama havainnointi oppitunnilla. Havainnoinnin i titnkään tul olla opttajall uhkaavaa, ikä kritisoivan rhtorin tkmää, parasta olisi taitavan opttajan oppitunnin suranta toisssa koulussa. Onglmia tuottivat opttajin ja oppilaidn poissaolot, koska muutaman oppitunnin poissaolo voi aihuttaa dramaattisia surauksia oppilaan tnmisll ja asian ymmärtämisll jatkossa. Englantilainn tutkijaryhmä totaa tyytyväisnä surantatutkimuksn tuloksiin, ttä optustyylillä saa hyviä tuloksia, vaikka sn olnnainn osa on tuotu maahan toissta maasta ja sovllttu Englantiin. Englantilaist ajattlvat, ttä thokkain kino lvittää optuskäytäntöjä on opttajankoulutuksn kautta skä toivovat, ttä lähitulvaisuudssa koittaa aika, jolloin Englanti on ylpä matmatiikan optuksstaan ja kansalaist luottavat kykyihinsä. Englantilainn tutkimusryhmä päätyi suraaviin suosituksiin Englannin matmatiikan optuksn suhtn: Oppisisällöt: 1. Systmaattismpi käsittly, asioita käsitltävä syvällismmin ikä hypittävä dstakaisin. 2. Slkästi määritllyt työtavoittt ri suoritustasoill. 3. Enmmän painoa käytännön laskutaidoll, rityissti niill, jotka ivät jatka matmatiikan opintojaan yli 16 ikävuodn. Matmatiikan optus: 1. Korostttava nmmän optttavan prusidan tai käsittn slkää, täsmällistä kuvausta. 2. Virhtön, tarkka, järjstlmällinn tyyli puhutun ja kirjoittun matmatiikan suhtn. 3. Rajoitttu, mutta thokas laskimn käyttö. 4. Rohkaistaan oman pään käyttöä ja tärkidn faktojn ja kaavojn omaksumista ulkoa. 5. Asiaan hyvin kuuluvin sovllustn käyttö kurssitöinä ja uusin aihidn motivoinnissa. Optustyyli: 1. Enmmän koko luokan optusta, vähmmän itsnäistä työtä, mutta hyvin suunnitltu kokonaisuus. 2. Slkät tavoittt ja raknn kaikill oppitunnill. 3. Kotityö olnnaisna oppimisn osana. 4. Yksittäisn oppilaan virht käyttöön koko luokan optuksssa. 5. Opttaja suraa koko ajan jokaista oppilasta ja rohkais mahdollisimman monia, myös taululla koko luokan dssä työskntlviä oppilaita. Optuksn liittyy myös säännöllinn oppimistulostn tstaus. Unkari on liittymässä EU:hun Unkarissa on tällä htkllä paljon tulvaisuudn khityksstä huolstunita matmatiikanopttajia. Läntist tuult ottaan hlposti vastaan ilman kritiikkiä ja oma, huollla khittty ja hyvin toimiva järjstlmä voi jäädä huonoja tuloksia tuottavin muotivirtaustn ja säästöjn jalkoihin.

18 18 Solmu Kokmuksia Suomssa Ensimmäisn luokan optus Suomn kokilussa aloitttiin syksyllä 2000 usissa kouluissa, pääosin Jyväskylässä ja Polvijärvllä unkarista käänntyillä Nményi Oravcz oppikirjoilla. Unkarilainn kustantaja Nmzti tankönyvkiado on suhtautunut hyvin ymmärtäväissti varsin pinin rsurssin aloitttuun kokiluumm ja antanut kääntää oppikirjoja. Ehtona on, ttä käännöksiä käyttään vain nyt käynnissä olvaan kokiluun, ikä niitä lvittä tämän ryhmän ulkopuolll. Opttajin kokmukst ovat ollt oikin hyviä ja h ovat innostunita uudn mntlmän opttlun aihuttamasta lisätyöstä huolimatta. Ainoa onglma on, ttä jotkut lapst ivät ol tottunt monistidn käyttöön, vaan haluaisivat oikan kirjan. Kirjojn hankkiminn kokilua vartn on kustannussyistä täysin mahdotonta. Tutkimustitoa i vilä ol tuloksista, mutta skä opttajin, vanhmpin ttä lastn nsivaikutlmat ovat ollt kaikn kaikkiaan hyviä. Vaikuttaa myös siltä, ttä mntlmällä on khittävä siirtovaikutus äidinkiln. Solmusta löytää yksityiskohtaista titoa siitä, mitn nsimmäisn vuodn matmatiikan asiat opttaan unkarilaisn tyyliin. Ei kiirhditä suuriin lukuihin, nsimmäisnä vuonna luvut 0 20, ja pohjaa raknntaan huollla. Tämä antaa aikasäästöä myöhmmin, sittn kun jo valmiiksi pohjusttut asiat tulvat vastaan. Käsittidn omaksuminn abstraktimmalla tasolla varmistuu, kun niitä on lähstytty aikaismmassa vaihssa konkrttissti. TIMSS Tyypillinn ro Unkarin ja Suomn oppimistuloksissa tuli sill tuorssa kansainvälisssä vrtailussa (TIMSS). Ensimmäisn astn yhtälön 12x 10 = 6x + 32 osasi suomalaisista 7. luokkalaisista ratkaista vain 24 prosnttia, unkarilaisista 74, TIMSS:iin osallistunidn maidn kskiarvo oli 44 prosnttia. Symbolin (kutn dllä x) käsittly on dllytys jatkon ymmärtämisll ja oppimisll, jotn asia on aivan olnnainn matmatiikan taitojn kannalta ja tul vastaan opintoja jatkttassa. Unkarilaisssa mntlmässä näkyy nsimmäisn astn yhtälön pohjustus jo nsimmäisltä luokalta alkan. TIMSS:in tuloksia tarkastltiin matmatiikkalhti Solmun numrossa 1/2001. Pystyäksn pohjustamaan käsittitä, niidn on oltava itsllä kirkkaana milssä. Unkarilaisn mntlmän onnistunut käyttö dllyttää opttajilta paljon työtä ja unkarilaistn oppimatriaalin tarkkaa suraamista. Unkarilainn, vuosikymmniä optustyötä thnyt opttaja voi hyvin toimia ilman oppikirjaa, mutta suomalaisn opttajan, joka vasta opttl mntlmän käytön alkita, on parasta pitää kurinalaissti kiinni valmiiksi khittystä oppimatriaalista. Milstäni on olmassa mlkoinn vaara, ttä suomalaist opttajat innostuvat unkarilaisn mntlmän likistä ja hauskuudsta skä haluavat jättää omat sormnjälknsä siihn sim. muuttlmalla opisklujärjstystä ja poimimalla hosun makupaloja siltä täältä. Mntlmä on kuitnkin systmaattinn ja pitkän khittlyn tulos. Sn hajottaminn palasiin ja ri järjstyksssä uudlln kokoaminn tai välistä osan poisjättäminn mrkitsisi hkä vain huononnusta vrrattuna nykyisin käytössä olvaan, lukuja painottavaan käytäntöömm. Englantiin valittu Hajdun kirjasarja on jonkin vrran vaativampi ja hiukan vähmmän likinomainn kuin Nményi Oravcz. Erot ivät ol kuitnkaan suurt. Pinnalta katson voi unkarilaisssa luokkahuonssa äkkisltään virailva luulla, ttä kys on paluusta vanhaan suomalaisn optustyyliin. Vaikka luokkahuonn pulpttijärjstlyt näyttävätkin ulkoissti samanlaislta kuin omamm vuosia sittn, i kys ol samasta optustyylistä! Pohjatitoa Unkarista Unkarissa matmatiikan opttajat ja yliopistomatmaatikot kuuluvat samaan järjstöön, János Bolyai - matmaattisn yhdistyksn. Yhdistys julkais Unkarin 107 vuotta vanhaa matmatiikka- ja fysiikkalhtä. Kömal sisältää nykyisin sivua. Tämän vuodn kulussa tul valmiiksi Unkarin kouluvrkon käyttöön Kömaliin krätyt ri tasoista matmatiikan ja fysiikan thtävää ratkaisuinn ja lukiotasoista artikklia. Kömal säilyttää satoja vuosia vanhan unkarilaisn matmatiikan optuksn ja khittämisn tradition ja on ainutlaatuinn Euroopassa. Noin puolt sn thtävistä on käänntty nglanniksi, mutta ratkaisut ja artikklit ovat yhä vain unkariksi. Kömalin osoit on Unkarilaisn mntlmän vaarat Suomssa On ollut rittäin ilahduttavaa, ttä opttajamm ovat its huomannt tarvitsvansa vahvmpaa matmatiikan pohjaa ja ovat halukkaita saamaan lisäoppia. Ylistä titoa Unkarin korkakouluista löytyy osoittsta

19 Solmu 19 Pini maa suurt aivot Tutkijatasolla noin kymmnn miljoonan asukkaan Unkarilla on hkä maailmannnätys laskttassa nsi luokan matmaatikkojn lukumäärää suhtutttuna väkilukuun ja yli kymmnn Noblin palkintoa aloilla, jotka vaativat hyvää matmaattista pohjaa. Taloudllinn murros Unkarissa on kuitnkin nyt hyvin voimakas, myös koululaitos näyttää joutuvan kärsimään säästöistä. Tulvaisuudssa voi pätvistä opttajista tulla pulaa Unkarissakin. Jotkut koulujn tulvaisuudn khityksstä huolstunt unkarilaist sanovatkin jo, ttä hidän varmaan täytyy tulvaisuudssa ostaa takaisin oma mntlmänsä ulkomailta sittn, kun h ovat its mnttänt korkan koulutustasonsa. Nykyinn korka taso on tärkä syy sill, ttä sim. Nokia on laajntanut tutkimus- ja khitystoimintojaan Unkariin. Unkarilaist ovat ylpitä matmatiikan osaamisstaan, h käyttävät siitä sanontaa Pini maa suurt aivot. Osia kirjoitukssta on julkaistu lhdssä Dimnsio n:o 2/2001.

20 20 Solmu Diofantoksn onglmat Kalvi Suominn Profssori, matmatiikan laitos, Hlsingin yliopisto 1. Etsittävä kaksi lukua, joista nsimmäisn kuution ja toisn luvun summa on sama kuin lukujn summan kuutio. 2. Jattava annttu luku kahtn osaan, joidn tulo on rään luvun kuution ja its luvun rotus. Nämä thtävät ovat simrkkjä yli sadasta antiikin matmatiikan onglmasta, jotka krikkalainn matmaatikko Diofantos kokosi nimllä Aritmtiikka tunnttuun thtäväkokolmaansa. Tos on säilynyt vain osaksi, ikä sn historiaa tunnta. Its Diofantos li Egyptin Alksandriassa luultavasti roomalaisajan loppupuollla, rään arvion mukaan 200-luvulla. Yhtistä kaikill Diofantoksn onglmill on, ttä niissä luvuilla tarkoittaan rationaalilukuja; raalilukuja i thtäviä laadittassa vilä tunnttu. Siksi niidn ratkaismisn on käytttävä rilaisia kinoja kuin nykyisin tavanmukaisissa thtävissä. Esimrkiksi thtävä 1 on nykyaikaisin mrkinnöin hlppo muotoilla yhtälöksi (1) x 3 + y = (x + y) 3. Tämä on kolmannn astn algbrallinn yhtälö kahdn tuntmattoman, x:n ja y:n suhtn. S totutuu aina, kun y = 0, mutta on slvää, ttä Diofantos i tsinyt tällaista ratkaisua. Jos luvull x anntaan jokin kiintä, riittävän pini arvo, voidaan y aina valita niin, ttä yhtälö totutuu. Mitään takita i kuitnkaan ol siitä, ttä saatu ratkaisu olisi rationaalinn. Asiaa i auta, vaikka y valittaisiin nsin rationaalisksi ja sittn ratkaistaisiin x. Vaikka thtävä siis vaikuttaakin aluksi hlpolta, kun siinä asttaan vain yksi hto kahdll tuntmattomall, niin tällainn vapaus osoittautuukin ratkaisun suurimmaksi stksi! Its asiassa voidaan ajatlla, ttä ratkaisujn rationaalisuus on lisähto, joka vastaa vähintään yhtä yhtälöä. Tämä on luontnomaista kaikill Diofantoksn onglmill. Ratkaisut Diofantoksn sittämät ratkaisut prustuvat siihn, ttä asttaan uusia htoja tuntmattomin välill, kunns yhtälöitä on yhtä monta kuin tuntmattomia. Silloin ratkaisuja jää vain äärllinn määrä. Jos hdot on vilä valittu sitn, ttä ratkaisu on yksikäsittinn, niin sn löytäminn i ds vaadi juurnottoa ja tulos on rationaalinn. Esimrkiksi yhtälöstä (1) saadaan sijoitukslla y = 2x 1 kolmannn astn yhtälö (2) 0 = 26x 3 27x 2 + 7x. Tällä on kolm ratkaisua: Triviaali juuri x = 0, arvoa y = 0 vastaava toinn juuri x = 1/2 ja lopuksi tsitty juuri x = 7/13. Ratkaisu on rationaalinn, koska s on olllissti yksikäsittinn, kun arvoja x = 0 ja y = 0 vastaavia rikoistapauksia i laskta.