Tilastolliset inversio-ongelmat
|
|
- Sami Sala
- 6 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Luku 4 Tilastolliset inversio-ongelmat Tilastollisen inversio-ongelman ratkaisu ei niinkään vastaa kysymykseen "mikä tuntematon vektori x 0 on"vaan pikemminkin kysymykseen "mitä tiedämme tuntemattomasta vektorista x 0 ". Maallikkotermejä käyttäen inversio-ongelmassa pyritään päättelemään seurauksista syihin Samaan tapaan ilmaistuna tilastollisessa inversio-ongelmassa pyritään arvioimaan syiden x 0 todennäköisyyksiä kun arvon y = F (x 0 ) + ε lisäksi tunnetaan epätarkkojen seurausten y todennäköisyydet. Tämän luvun päämäärä on ymmärtää tilastollisten inversio-ongelmien ratkaisuperiaate. Luvussa 5.1. kerrataan inversio-ongelmien kannalta tärkeitä todennäköisyyslaskennan käsitteitä (alla sinisellä tekstillä) ja moniulotteisia integraaleja, joiden avulla lasketaan tuntemattoman todennököisyyksiä. Luvussa 5.2. ryhdytään tarkastelemaan tilastollisia inversio-ongelmia. (Äärellisulotteisen) tilastollisen inversio-ongelman ratkaisuperiaate: 1. Dataa ja tuntematona mallinnetaan satunnaisvektoreina Y = (Y 1,..., Y m ) ja X = (X 1,, X n ). 2. Datan annettu arvo y R m on otos (näyte) satunnaisvektorista Y. 3. Tuntemattoman jakaumaa nimitetään priorijakaumaksi. Se edustaa tietoa tuntemattoman arvoista. 4. Tilastollisen inversio-ongelman ratkaisu on posteriorijakauma. Posteriorijakauma on X:n jakauma ehdolla Y = y ja sen todennäköisyystiheysfunktio (tntf) on f(x y) = cf(y x)f pr (x) (ayesin kaava) missä f(y x) on satunnaisvektorin Y tntf ehdolla X = x, f pr (x) on tuntematton priorijakauman tntf ja c > 0 on normitusvakio. 79
2 Huomautus 17. Sana priori viittaa aikaan, jolloin mittaushavaintoa y satunnaisvektorin Y arvosta ei ole vielä tehty. Sana posteriori viittaa aikaan, jolloin mittaushavainto Y = y on käytettävissä. Esimerkki 31. Mitä tarkoittaa, että todennäköisyysjakauma edustaa tietoa tuntemattomasta? Tarkastellaan kahta yksinkertaista tapausta: (a) Olkoon tuntematon luku X huomisen keskipäivän lämpötila. Tänään emme voi varmasti tietää huomisen lämpötilaa, mutta olemassaolevan tiedon perusteella X:lle on annettu todennäköisyysjakauma, jonka tntf on f(x). Alla on esimerkkejä funktiosta f. f Temperature Kuva 4.1: Tntf:n f kuvaaja: Lämpötilat välillä [ 10, 0] näyttävät epätodennäköisiltä. Samoin lämpötilat välillä [+5,+10] Lämpötila +2 näyttäisi todennäköisimmältä. Tntf näyttää, että uskomme huomisen keskipäivän lämpotilan olevan +2 asteen kieppeillä. (b) Olkoon tuntematon X = (X 1, X 2 ), missä X 1 ja X 2 ovat samassa tasossa planeettojen kanssa kulkevan asteroidin elliptisen radan x2 + y2 = 1 parametrit. Olkoon X:n X1 2 X2 2 tntf f(x) = f(x 1, x 2 ). Samoin voidaan asettaa korkeaulotteisia todennäköisyysjakaumia äärellisulotteisten inversio-ongelmien tuntemattomille, kuten kuvan terävöittämisessä pikselien väriarvoille, tietokonetomografiassa massa-absorptiokertoimen äärellisulotteisille approksimaatioille ja impedanssitomografiassa johtavuuden äärellisulotteisille approksimaatioille. Huomautus 18. Tilastollisissa inversio-ongemissa käsitellään usein korkeaulotteisia satunnaisvektoreita. Moniulotteisten satunnaisvektorien jakaumien visualisointi tehdään usein koordinaatti tai koordinaattipari kerrallaan tai jakauman tunnuslukuja käyttäen. 80
3 f Temperature Kuva 4.2: Tntf:n f kuvaaja: Lämpötilat välillä [5, 10] näyttävät epätodennäköisiltä. Lämpötila -2 näyttäisi todennäköisimmältä, mutta jakauma on leveä. Tämä heijastaa epävarmuutta seuraavan keskipäivän lämpötilasta. f Temperature Kuva 4.3: Tntf:n f kuvaaja: Lämpötilat välillä [ 10, 5] sekä [5, 10] näyttävät epätodennäköisiltä. Lämpötilat +2 näyttää todennäköisimmältä, mutta myös -2 on melko todennäköinen. Tämä heijastaa epävarmuutta seuraavan keskipäivän lämpötilasta. Lämpötila on luultavimmin +2:n, mutta ehkä myös -2:n kieppeillä. 81
4 z f(x1,x2) x x2 Kuva 4.4: Tntf:n f kuvaaja: kahden muuttujan funktion f = f(x 1, x 2 ) arvot esitetään korkeuden avulla avulla. Arvo f(10, 5) on koordinaateissa x 1 = 10, x 2 = 5 olevia parametreja X 1 = 10 ja X 2 = 5 vastaava arvo. Tuntemattoman arvot ovat todennäköisimmin lähellä arvoa (10,5). Sen sijaan esimerkiksi pistettä (6,4) lähellä olevat arvot näyttävät epätodennäköisiltä. 4.1 Todennäköisyyslaskennasta Kertaamme todennäköisyyslaskennan perusteet ennen kuin ryhdymme käsittelemään tilastollisia inversio-ongelmia Tilastollisille inversio-ongelmille tärkeitä käsitteitä ovat mm. satunnaisvektori riippumattomuus tiheysfunktio, odotusarvot (mm. varianssi). ehdolliset jakaumat, ayesin kaava Todennäköisyyslaskennan mittateoreettiset perusteet Olkoon Ω perusjoukko, jonka alkiota ω Ω nimitetään alkeistapahtumia. Olkoon Σ kokoelma perusjoukon joukkoja joka muodostaa σ-algebran eli 1. Ω Σ 2. Jos A Σ, niin A C Σ. 3. Jos A i Σ kun i N, niin i=1a i Σ. Joukkoja A, Σ nimitetään tapahtumiksi (eng. event). Tapahtumien yhdiste A tarkoittaa että joko tapahtuma A tai sattuu (tai molemmat). 82
5 Kuva 4.5: Sinisellä todennäköinen rata x2 x 2 + y2 = y2 5 2 = 1. Oranssilla epätodennäköinen rata Joukkojen leikkaus A tarkoittaa että molemmat tapahtumat sattuvat. Joukon komplementti A C = Ω\A tarkoittaa, että tapahtuma A ei satu. Määritelmä 15. Olkoon Ω joukko ja Σ sen jokin σ-algebra. Kuvaus P : Σ [0, 1] on todennäköisyysmitta (eng. probability measure), jos 1. P (Ω) = 1 2. Jos joukot A i Σ, i N, ovat sellaisia että A i A j = kaikiilla i j, niin P ( i=1a i ) = i=1 P (A i) (täysadditiivisuus). 83
6 Lukua P (A) kutsutaan tapahtuman A todennäköisyydeksi. Määritelmä 16. Kaksi tapahtumaa A ja Σ ovat riippumattomia (eng. independent/statistically independent), jos P (A ) = P (A)P (). Satunnaisvektori Olkoon (Ω, Σ, P ) todennäköisyysavaruus. Avaruuden R n orel-joukkojen luokka on pienin sigma-algebra (R n ) joka sisältää avoimet joukot. Määritelmä 17. Satunnaismuuttuja (eng. random variable) X on kuvaus X : Ω R, jolle orel-joukkojen alkukuvat ovat tapahtumia eli X 1 () Σ kun (R). Satunnaismuuttujan X jakauma (eng. distribution) on kuvaus (R) P (X ). Satunnaisvektori (eng. random vector) X = (X 1,..., X n ) on kuvaus X : Ω R n, jolle avaruuden R n orel-joukkojen alkukuvat ovat tapahtumia eli X 1 () Σ kun (R n ). Satunnaisvektorin X jakauma on kuvaus (R n ) P (X ). Huomautus 19. 1) Merkintätapa: P (X A) = P (X 1 (A)) = P ({ω Ω : X(ω) A}). 2) Satunnaisvektori on matemaattinen käsite, joka sallii todennäköisyysjakauman määrittelemisen. orel-joukot taas sallivat integroinnin määrittelemissen todennäköisyysjakauman suhteen (jos yritettäisiin määritellä integraalia, joka sallisi integroinnin yli minkä tahansa avaruuden osajoukon, osa integraalin intuitiivisistä ominaisuuksista menisi rikki). Sivuutamme seuraavan lauseen todistuksen, joka voidaan osoittaa avaruuden R n oreljoukkojen ominaisuuksien avulla (erit. orel-joukkojen generointi hyperkuutioiden avulla). Lause 14. Kuvaus X : Ω R n on satunnaisvektori jos ja vain jos kuvauksen X = (X 1,..., X n ) komponentit X i, i = 1,..., n ovat satunnaismuuttujia. Määritelmä 18. Kaksi satunnaisvektoria X : Ω R n ja Y : Ω R m ovat riippumattomia (eng. independent/statistically independent), jos P (X A Y ) = P (X A)P (Y ) kaikilla orel-joukoilla A (R n ) ja (R m ). 84
7 Miksi tarvitaan mittateoriaa? 1900-luvun alkaessa todennäköisyyslaskentaa ei pidetty matematiikan aitona osaalueena, sillä todennäköisyyslaskennalla ei ollut aksiomaattista pohjaa. Hilbertin kuuluisista 23:sta ongelmasta kuudes vaati todennäköisyyslaskennan aksiomatisointia seuraavin sanoin: 6. Mathematical Treatment of the Axioms of Physics. The investigations on the foundations of geometry suggest the problem: To treat in the same manner, by means of axioms, those physical sciences in which already today mathematics plays an important part; in the first rank are the theory of probabilities and mechanics. Todennäköisyyslaskennan aksiomatisointi onnistui abstraktin mittateorian ja integraalilaskennan kehittämisen avulla 1920-luvun lopussa. Todennäköisyyslaskennan aksioomien isä on A. N. Kolmogorov ( ). Tämä on ainoa konsistentti tapa, jolla todennäköisyyslaskentaa on kyetty käsittelemään. Matemaattisina objekteina satunnaismuuttujat ja satunnaisvektorit ovat funktioita; niissä itsessään ei ole mitään satunnaista, ei mitään satunnaisuutta aiheuttavaa mekanismia eikä keinoa generoida satunnaislukuja. Tämä voi vaikuttaa hieman oudolta......että satunnaisia ilmiöitä käsitellään ilman minkäänlaista satunnaisuutta...? Kolmogorovin aksioamatisoinnissa satunnaisilmiötä ei pyritä selittämään kokonaan! Ajatellaan esimerkiksi, että satunnainen ilmiö tuottaa reaaliluvun (vaikka hissin saapumisaika napin painalluksen jälkeen), jota mallinnetaan matemaattisesti satunnaismuuttujan X avulla. Satunnaismuuttujan mahdollisten arvojen tiedetään olevan reaalilukuja, mutta emme tiedä etukäteen tarkasti minkä arvon satunnaismuuttuja tulee saamaan. Tieto satunnaismuuttujan toteutuvasta arvosta on epätäydellistä. Kun hissi saapuu hetkellä x 0, on luku x 0 otos eli näyte satunnaismuuttujasta X. Tämä tarkoittaa, että x 0 = X(ω 0 ) jollakin ω 0 Ω. Matematiikka ei kerra kuinka satunnaismuuttujasta on saatu näyte X(ω 0 ). Alkeistapahtuman ω 0 valintamekanismi on tuntematon. Vaikka funktio X, joukko Ω ja todenäköisyys P on tiedossa, emme sen perusteella pysty etukäteen sanomaan satunnaismuuttujan toteutuvasta arvosta sen enempää kuin mitä jakauma P (X ), kun (R) paljastaa. Moniulotteinen Riemann-integraali Todennäköisyyslaskenta toimii luentevimmin Lebesgue n integraalin (jota ei kuulu tämän kurssin esitietoihin) kanssa. Tällä kurssilla käytämme Riemann-integraalia. Kerrataan moniulotteisen Riemann-integroinnin periaatteet (kirjallisuutta: Apostol: Calculus (vol II), Lang: Analysis I, Apostol: Mathematical Analysis). Olkoon R n n-ulotteinen suorakulmainen särmiö = {x = (x 1,..., x n ) R n : a i x i b i, i = 1,..., n} 85
8 missä a i, b i R ja a i < b i. Merkitään särmiö sisäpisteiden joukkoa Int(). Määritelmä 19. Funktiota f : R kutsutaan porrasfunktioksi, jos särmiö voidaan jakaa suorakulmaisiin särmiöihin i, i = 1,..m siten että löytyy luvut c i R joilla kun x Int( i ), i = 1,..., m. f(x) = c i, Määritelmä 20. Määritelmän 19 porrasfunktion f : R integraali yli joukon on m f(x)dx := c i Vol( i ) missä Vol( i ) on särmiön tilavuus i=1 i = {x = (x 1,..., x n ) R n : a (i) j Vol( i ) = n (b (i) j j=1 x j b (i) j, j = 1,.., n} a (i) j ). Määritelmä 21. Olkoon f : R rajoitettu funktio. Jos on olemassa vain yksi luku I R, jolle s(x)dx I S(x)dx jokaisella porrasfunktiolla s : R, jolla s f, ja jokaisella porrasfunktiolla S : R, jolla f S, niin sanotaan, että f on Riemann-integroituva (yli joukon ) ja merkitään f(x)dx = I. Olkoon K() kaikkien porrasfunktioiden f : R joukko. Lause 15. Rajoitettu funktio f : R on Riemann-integroituva jos ja vain jos s(x)dx = I = S(x)dx jolloin Todistus. Sivuutetaan. sup s K() s f inf S K() f S f(x)dx = I. Lause 16 (Fubinin lause Riemann-integroituville funktioille). Olkoon R n ja C R m kompakteja suorakulmaisia särmiöitä. Olkoon f : C R integroituva funktio, jolla f(x, y)dy C on olemassa jokaisella x. Silloin funktio x f(x, y)dy on integroituva ja C ( ) f(x, y)dy dx = f(z)dz. C 86 C
9 Todistus. Sivuutetaan. Fubinin lauseen nojalla moniulotteinen integraali voidaan laskea yksiulotteisten integraalien iteraationa eli esim kun n = 3, niin b 3 ( b2 ( b1 ) ) f(x)dx = f(x 1, x 2, x 3 )dx 1 dx 2 dx 3, x 1 =a 1 x 3 =a 3 x 2 =a 2 kunhan kaikki integraalit ovat määriteltyjä. Lisäksi integroimisjärjestystä voi vaihtaa. Integraali yli koko avaruuden R n määritellään epäoleellisena integraalina (eli rajaarvona integraaleista yli kasvavien osajoukkojen). Jos f on ei-negatiivinen, Fubinin lause on edelleen totta kun = R n ja C = R m sillä ei-vähenevien lukujen raja on joko rajoitettu tai +. Jos f saa myös negatiivisia arvoja, ilmaistaan f muodossa f = f + f, missä f +, f 0, ja pyritään laskemaan integraali epäoleellisten integraalien erotuksena f(x)dx = f + (x)dx f (x)dx, mikäli mahdollista. Muuttujanvaihto x = H(y) moniulotteisessa integraalissa tehdään Jakobin determinantin avulla. Jos f : R n R on jatkuva funktio, U R n avoin kuutio ja H : U R n injektiivinen C 1 -funktio, jonka Jakobin matriisin determinantti ei häviä, niin f(x)dx = H() (JH(y)) ij = H i y j (y), i, j = 1,..., n. kaikilla avoimilla tai suljetuilla kuutioilla U. Tiheysfunktiot f(h(y)) det(jh(y)) dy, Määritelmä 22. Todennäköisyystiheysfunktio (lyh, tntf. eng. probability density function) f : R n [0, ) on integroituva funktio, jolle R n f(x)dx = 1. Esimerkki 32. Olkoon Silloin f(x) = 1 f(x)dx = [ 1,1] 2 dx = 1 n n 2 n { 1 2 n, x [ 1, 1] n 0, x [ 1, 1] n. [ 1,1] n dx Fubini 87 = 1 ( 1 n dx) = 1. 2 n 1
10 Esimerkki 33. Olkoon Silloin f(x)dx = = f(x) = 1 e 1 (2π) n 2 x (2π) n 2 1 (2π) n 2 e 1 2 x 2 dx = 1 (2π) n 2 e 1 2 x 2 dx e 1 2 (x x2 n) dx 1 dx n Fubini = 1 Määritelmä 23. Olkoon (Ω, Σ, P ) todennäköisyysavaruus. Satunnaismuuttujalla X : Ω R sanotaan olevan tntf f X, jos f X : R [0, ) on sellainen tntf, että kaikilla a, b R, a b. P (a X b) = b a f X (x)dx Määritelmä 24. Olkoon (Ω, Σ, P ) todennäköisyysavaruus Satunnaisvektorilla X = (X 1,..., X n ) : Ω R n sanotaan olevan tntf f X, jos f X : R n [0, ) on sellainen tntf, että P (a i X i b i, i = 1,..n) = b1 a 1 bn a n f X (x 1,..., x n )dx 1 dx n. kaikilla a i, b i R, a i b i, i = 1,..n. Tntf:ta f X kutsutaan satunnaismuuttujien X 1,..., X n yhteistodennäköisyystiheysfunktioksi. Määritelmä 25. Funktiota R x i f Xi (x i ) = x 1 = x i 1 = x i+1 = f X (x 1,..., x n )dx 1 dx i 1 dx i+1 dx n x n= kutsutaan satunnaismuuttujan X i reunatodennäköisyystiheysfunktioksi (tai marginaalitntf). Satunnaisvektorin tntf on työkalu, jolla satunnaisvektorin jakauman arvoja P (X ) voidaan laskea. Tällä työkalulla on kuitenkin rajoitteita. Kaikilla satunnaisvektoreilla ei ole tntf. Tntf ei ole yksikäsitteinen. Esimerkki 34 (Jakauma ilman tntf:ta). Olkoon X satunnaismuuttuja jolla on tntf f X : R [0, ). Näytetään, että satunnaisvektorilla (X, X) ei ole tntf:ta: Vastaoletus: oletetaan että satunnaisvektorilla (X, X) olisi tntf f (X,X) (x, y). Merkitään = {(x, y) R n R n : x y} 88
11 (on orel-joukko, jonka indikaattorifunktio 1 (x, y) on Riemann-integroituva). Silloin jakauma antaa joukolle todennäköisyyden P ((X, X) ) = 0 koska (X, X) /. Tntf:n olemassaolosta seuraisi, että 0 = P ((X, X) ) = f (X,X) (x, y)dxdy ( x ) Fubini = x= f (X,X) (x, y)dy + y= y=x mikä on mahdotonta. Täten sv:lla (X, X) ei ole tntf:ta. f (X,X) (x, y)dy dx = 1, Esimerkki 35 (Tntf epäyksikäsitteisyys). Olkoon X : Ω R n satunnaismuuttuja, jolla on tntf Tällöin jokaisella a < b pätee Siis myös P (x [a, b]) = f X (x) = 1 [0,1] (x). (4.1) b a 1 [0,1] (x)dx = f X (x) = 1 (0,1) (x) b a 1 (0,1) (x)dx. on sm:n X tntf. Selvästi fx f X. Tämä yleistyy helposti n-ulotteiseen tapaukseen, kun merkitään X = (X 1,..., X n ), missä satunnaismuuttujat X i ovat riippumattomia satunnaismuuttujia, joiden tntf on annettu kaavalla (4.1). Silloin ja määrittelevät saman jakauman. f X (x 1,..., x n ) = 1 [0,1] n(x 1,..., x n ) f X (x 1,..., x n ) = 1 (0,1) n(x 1,..., x n ) Määritelmä 26. Olkoon X : Ω R n satunnaisvektori. Eri todennäköisyystiheysfunktioita f : R n [0, ), joilla P (X ) = f X (x)dx kaikilla suorakulmaisilla särmiöillä R n, nimitetään satunnaisvektorin X tntf:n versioiksi. Huomautus 20. Olkoon X sellainen n-ulotteinen ja Y sellainen m-ulotteinen satunnaisvektori, että satunnaisvektorilla (X, Y ) on (yhteis)tntf f (X,Y ) (x, y). Kun reunatntf f X (x) = f (X,Y ) (x, y)dy on olemassa, niin se on versio sv:n X tntf:sta, sillä P (X ) = P (X Y R m ) = P ((X, Y ) R m ) = f (X,Y ) (x, y)dxdy = f X (x)dx R m jokaisella suorakulmaisella särmiöllä R n. 89
Määritelmä 17. Olkoon Ω joukko ja Σ sen jokin σ-algebra. Kuvaus P : Σ [0, 1] on todennäköisyysmitta (eng. probability measure), jos
0.02 0.04 0.06 0.08 f 0 5 0 5 0 Temperature Kuva 5.2: Tntf:n f kuvaaja: Lämpötilat välillä [5, 0] näyttävät epätodennäköisiltä. Lämpötila -2 näyttäisi todennäköisimmältä, mutta jakauma on leveä. Tämä heijastaa
LisätiedotP (X B) = f X (x)dx. xf X (x)dx. g(x)f X (x)dx.
Yhteenveto: Satunnaisvektorit ovat kuvauksia tn-avaruudelta seillaiselle avaruudelle, johon sisältyy satunnaisvektorin kaikki mahdolliset reaalisaatiot. Satunnaisvektorin realisaatio eli otos on jokin
Lisätiedot4.2.2 Uskottavuusfunktio f Y (y 0 X = x)
Kuva 4.6: Elektroniikassa esiintyvän lämpökohinan periaate. Lämpökohinaa ε mallinnetaan additiivisella häiriöllä y = Mx + ε. 4.2.2 Uskottavuusfunktio f Y (y 0 X = x) Tarkastellaan tilastollista inversio-ongelmaa,
Lisätiedotpeitteestä voidaan valita äärellinen osapeite). Äärellisen monen nollajoukon yhdiste on nollajoukko.
Esimerkki 4.3.9. a) Piste on nollajoukko. Suoran rajoitetut osajoukot ovat avaruuden R m, m 2, nollajoukkoja. Samoin suorakaiteiden reunat koostuvat suoran kompakteista osajoukoista. b) Joukko = Q m [0,
LisätiedotInversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 7
Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 7 Kevät 2012 1 Tilastolliset inversio-ongelmat Tilastollinen ionversio perustuu seuraaviin periaatteisiin: 1. Kaikki mallissa olevat muuttujat mallinnetaan
Lisätiedot4.3 Moniulotteinen Riemannin integraali
4.3 Moniulotteinen Riemannin integraali Tässä luvussa opitaan miten integroidaan usean muuttujan reaaliarvoista tai vektoriarvoista funktiota, millaisten joukkojen yli jatkuvaa funktiota voi integroida,
Lisätiedot4.0.2 Kuinka hyvä ennuste on?
Luonteva ennuste on käyttää yhtälöä (4.0.1), jolloin estimaattori on muotoa X t = c + φ 1 X t 1 + + φ p X t p ja estimointivirheen varianssi on σ 2. X t }{{} todellinen arvo Xt }{{} esimaattori = ε t Esimerkki
Lisätiedot4.3.7 Epäoleellinen integraali
Esimerkki 4.3.16. (Lineaarinen muuttujien vaihto) Olkoot A R m sellainen kompakti joukko, että A on nollajoukko. Olkoon M R m m säännöllinen matriisi (eli det(m) 0) ja f : R m R jatkuva funktio. Tehdään
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 20. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 20. syyskuuta 2007 1 / 17 1 Kolmogorovin aksioomat σ-algebra Tapahtuman todennäköisyys 2 Satunnaismuuttujat Todennäköisyysjakauma
Lisätiedot4.3.6 Eräitä diskreettejä Markov-kenttiä
0.4 0.35 Gauss l1 Cauchy 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 10 8 6 4 2 0 2 4 6 8 10 Kuva 4.20: L2-priorin tnft, Cauchy-priorin tntf kun α = α = 2. 2π π 2π ja L1-priorin tntf kun 4.3.6 Eräitä diskreettejä Markov-kenttiä
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kertymäfunktio TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Kertymäfunktio Kertymäfunktio: Määritelmä Diskreettien jakaumien kertymäfunktiot Jatkuvien jakaumien kertymäfunktiot TKK (c)
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Kertymäfunktio >> Kertymäfunktio: Määritelmä Diskreettien jakaumien
Lisätiedotf(tx + (1 t)y) tf(x) + (1 t)f(y) jokaisella x, y A ja t [0, 1].
Tässä luvussa näytetään divergenssilause konveksin joukon tapauksessa. Määritelmä 4.5.1. 1. Joukko R m on konveksi, jos kaikilla x, y pisteet tx + (1 t)y jokaisella t [0, 1]. 2. Olkoon R m konveksi. Funktio
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A050 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi B Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto
LisätiedotSallitut apuvälineet: MAOL-taulukot, kirjoitusvälineet, laskin sekä itse laadittu, A4-kokoinen lunttilappu. f(x, y) = k x y, kun 0 < y < x < 1,
Todennäköisyyslaskenta, 2. kurssikoe 7.2.22 Sallitut apuvälineet: MAOL-taulukot, kirjoitusvälineet, laskin sekä itse laadittu, A4-kokoinen lunttilappu.. Satunnaismuuttujien X ja Y yhteistiheysfunktio on
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A050 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi B Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto
LisätiedotTehtäväsarja I Tehtävät 1-5 perustuvat monisteen kappaleisiin ja tehtävä 6 kappaleeseen 2.8.
HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 8 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Tehtävät -5 perustuvat monisteen kappaleisiin..7 ja tehtävä 6 kappaleeseen.8..
LisätiedotOsa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 1: Moniulotteiset integraalit
MS-A35 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento : Moniulotteiset integraalit Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 26 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A35 Syksy
LisätiedotABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY
Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Mitä tänään? Jos satunnaisilmiötä halutaan mallintaa matemaattisesti, on ilmiön tulosvaihtoehdot kuvattava numeerisessa muodossa. Tämä tapahtuu liittämällä
Lisätiedot9. Tila-avaruusmallit
9. Tila-avaruusmallit Aikasarjan stokastinen malli ja aikasarjasta tehdyt havainnot voidaan esittää joustavassa ja monipuolisessa muodossa ns. tila-avaruusmallina. Useat aikasarjat edustavat dynaamisia
Lisätiedot0 3 y4 dy = 3 y. 15x 2 ydx = 15. f Y (y) = 5y 4 1{0 y 1}.
HY, MTL / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIb, syksy 18 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsar I 1. Satunnaismuuttujilla X Y on tkuva yhteiskauma yhteistiheysfunktiolla f
LisätiedotIlkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin
LisätiedotMatematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg)
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus 4 9.4.-23.4.200 Malliratkaisut (Sauli Lindberg). Näytä, että Lusinin lauseessa voidaan luopua oletuksesta m(a)
Lisätiedot3.4 Käänteiskuvauslause ja implisiittifunktiolause
3.4 Käänteiskuvauslause ja implisiittifunktiolause Tässä luvussa käsitellään kahta keskeistä vektorianalyysin lausetta. Esitellään aluksi kyseiset lauseet ja tutustutaan niiden käyttötapoihin. Lause 3.4.1
LisätiedotLikimääräisratkaisut ja regularisaatio
Luku 3 Likimääräisratkaisut ja regularisaatio Käytännön inversio-ongelmissa annettu data y ei aina ole tarkkaa, vaan sisältää häiriöitä. Tuntemattomasta x on annettu häiriöinen data y F (x + }{{}}{{} ε.
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Estimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteeseen Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Estimointi Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin ominaisuudet TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 2 Estimointi:
Lisätiedotr > y x z x = z y + y x z y + y x = r y x + y x = r
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi I, syksy 018 Harjoitus Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Osoita, että avoin kuula on avoin joukko ja suljettu kuula on suljettu joukko. Ratkaisu.
Lisätiedot1 Määrittelyjä ja aputuloksia
1 Määrittelyjä ja aputuloksia 1.1 Supremum ja infimum Aluksi kerrataan pienimmän ylärajan (supremum) ja suurimman alarajan (infimum) perusominaisuuksia ja esitetään muutamia myöhemmissä todistuksissa tarvittavia
LisätiedotTODENNÄKÖISYYSLASKUN KERTAUS Peruskäsitteitä
J. Virtamo 38.3143 Jonoteoria / Todennäköisyyslaskenta 1 TODENNÄKÖISYYSLASKUN KERTAUS Peruskäsitteitä Otosavaruus S S on satunnaiskokeen E kaikkien mahdollisten alkeistapahtumien e joukko. Esim. 1. Noppaa
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 1: Moniulotteiset integraalit
MS-A35 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 1: Moniulotteiset integraalit Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 215 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A35 Syksy 215 1 / 24 Skalaarikenttä Olkoon R
LisätiedotTodennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 3
Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 3 Aiheet: Satunnaisvektorit ja moniulotteiset jakaumat Tilastollinen riippuvuus ja lineaarinen korrelaatio Satunnaisvektorit ja moniulotteiset
LisätiedotTäydellisyysaksiooman kertaus
Täydellisyysaksiooman kertaus Luku M R on joukon A R yläraja, jos a M kaikille a A. Luku M R on joukon A R alaraja, jos a M kaikille a A. A on ylhäältä (vast. alhaalta) rajoitettu, jos sillä on jokin yläraja
LisätiedotSallitut apuvälineet: kirjoitusvälineet, laskin sekä käsinkirjoitettu, A4-kokoinen lunttilappu ja MAOL taulukkokirjaa
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Todennäköisyyslaskenta II. kurssikoe 18.1.15 Sallitut apuvälineet: kirjoitusvälineet, laskin sekä käsinkirjoitettu, A4-kokoinen lunttilappu ja MAOL taulukkokirjaa
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (006) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia >> Multinomijakauma Kaksiulotteinen
LisätiedotMS-A0202 Di erentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 8: Taso- ja avaruusintegraalit
MS-A22 i erentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 8: Taso- ja avaruusintegraalit Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 25 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A22 Syksy 25 / 8 Tasointegraali Olkoon R
LisätiedotKonvergenssilauseita
LUKU 4 Konvergenssilauseita Lause 4.1 (Monotonisen konvergenssin lause). Olkoon (f n ) kasvava jono Lebesgueintegroituvia funktioita. Asetetaan f(x) := f n (x). Jos f n
LisätiedotTodennäköisyyslaskun kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Todennäköisyyslaskun kertaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Vilkkumaa / Kuusinen 2 Motivointi Kokeellisessa tutkimuksessa tutkittaviin ilmiöihin liittyvien havaintojen
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 21. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 21. syyskuuta 2007 1 / 19 1 Satunnaismuuttujien riippumattomuus 2 Jakauman tunnusluvut Odotusarvo Odotusarvon ominaisuuksia
LisätiedotLause 4.2. Lineearinen pienimmän keskineliövirheen estimaattoi on lineaarinen projektio.
Määritelmä 4.3. Estimaattoria X(Y ) nimitetään lineaariseksi projektioksi, jos X on lineaarinen kuvaus ja E[(X X(Y )) Y] 0 }{{} virhetermi Lause 4.2. Lineearinen pienimmän keskineliövirheen estimaattoi
Lisätiedot3.1 Kaksiulotteinen satunnaisvektori ja sen jakauma
3 Yhteisjakauma Kappaleessa 2 tarkastelimme aina yhtä satunnaismuuttujaa kerrallaan. Tässä kappaleessa näemme, miten aikaisemmat käsitteet yleistyvät siihen tilanteeseen, jossa samalla perusjoukolla on
LisätiedotOrtogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle
Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle Olkoon X sisätuloavaruus ja Y X äärellisulotteinen aliavaruus. Tällöin on olemassa lineaarisesti riippumattomat vektorit y 1, y 2,..., yn, jotka
LisätiedotMoniulotteisia todennäköisyysjakaumia
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia >> Multinomijakauma Kaksiulotteinen
Lisätiedot2 exp( 2u), kun u > 0 f U (u) = v = 3 + u 3v + uv = u. f V (v) dv = f U (u) du du f V (v) = f U (u) dv = f U (h(v)) h (v) = f U 1 v (1 v) 2
HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 208 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I. Satunnaismuuttuja U Exp(2) ja V = U/(3 + U). Laske f V käyttämällä muuttujanvaihtotekniikkaa.
LisätiedotABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY
Todennäköisyyslaskennan käsitteitä Satunnaisuus ja deterministisyys Deterministisessä ilmiössä alkutila määrää lopputilan yksikäsitteisesti. Satunnaisilmiö puolestaan arpoo - yhdestä alkutilasta voi päätyä
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 4. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 4. lokakuuta 2007 1 / 17 1 Moniulotteiset todennäköisyysjakaumat Johdanto Kaksiulotteiset satunnaismuuttujat Kaksiulotteisen
Lisätiedot1 sup- ja inf-esimerkkejä
Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Nollakohdan olemassaolo. Kaikki tuntevat
LisätiedotEstimointi. Estimointi. Estimointi: Mitä opimme? 2/4. Estimointi: Mitä opimme? 1/4. Estimointi: Mitä opimme? 3/4. Estimointi: Mitä opimme?
TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus tilastotieteeseen TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 2 Mitä opimme? 1/4 Tilastollisen tutkimuksen tavoitteena on tehdä johtopäätöksiä prosesseista, jotka generoivat reaalimaailman
Lisätiedot1 sup- ja inf-esimerkkejä
Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Kaarenpituus. Olkoon r: [a, b] R
Lisätiedot1. Jatketaan luentojen esimerkkiä 8.3. Oletetaan kuten esimerkissä X Y Bin(Y, θ) Y Poi(λ) λ y. f X (x) (λθ)x
HY, MTL / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIb, syksy 017 Harjoitus 5 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I 1. Jatketaan luentojen esimerkkiä 8.3. Oletetaan kuten esimerkissä X
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (005) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Multinomijakauma Kaksiulotteinen normaalijakauma TKK (c) Ilkka
Lisätiedotd ) m d (I n ) = 2 d n d. Koska tämä pätee kaikilla
MAT21007 Mitta ja integraali Harjoitus 2 viikko 25.3-29.3 2019) Palauta mieleen: monisteen luku 0; Topologia I) avaruuden d euklidinen etäisyys, avoimet kuulat ja joukot. Ohjausta laskuharjoitusten tekoon:
LisätiedotSelvästi. F (a) F (y) < r x d aina, kun a y < δ. Kolmioepäyhtälön nojalla x F (y) x F (a) + F (a) F (y) < d + r x d = r x
Seuraavaksi tarkastellaan C 1 -sileiden pintojen eräitä ominaisuuksia. Lemma 2.7.1. Olkoon S R m sellainen C 1 -sileä pinta, että S on C 1 -funktion F : R m R eräs tasa-arvojoukko. Tällöin S on avaruuden
LisätiedotTodennäköisyyslaskenta IIa, syyslokakuu 2019 / Hytönen 2. laskuharjoitus, ratkaisuehdotukset
Todennäköisyyslaskenta IIa, syyslokakuu 019 / Hytönen. laskuharjoitus, ratkaisuehdotukset 1. Kurssilla on 0 opiskelijaa, näiden joukossa Jutta, Jyrki, Ilkka ja Alex. Opettaja aikoo valita umpimähkään opiskelijan
LisätiedotSatunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Satunnaismuuttujien muunnokset ja
Lisätiedot30A02000 Tilastotieteen perusteet
30A02000 Tilastotieteen perusteet Kertaus 1. välikokeeseen Lauri Viitasaari Tieto- ja palvelujohtamisen laitos Kauppatieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2019 Periodi I-II Sisältö Välikokeesta Joukko-oppi
LisätiedotMatemaattisten tieteiden kandiohjelma / MTL Todennäköisyyslaskenta IIb Kurssikoe (kesto 2h 30 min)
Matemaattisten tieteiden kandiohjelma / MTL Todennäköisyyslaskenta IIb Kurssikoe 8..7 (kesto h 3 min) Sallitut apuvälineet: kirjoitusvälineet, laskin sekä käsinkirjoitettu, A4-kokoinen lunttilappu. Ei
LisätiedotMoniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia: Mitä opimme?
TKK (c) Ilkka Mellin (4) Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (4) Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia: Mitä
LisätiedotTutkimustiedonhallinnan peruskurssi
Tutkimustiedonhallinnan peruskurssi Hannu Toivonen, Marko Salmenkivi, Inkeri Verkamo hannu.toivonen, marko.salmenkivi, inkeri.verkamo@cs.helsinki.fi Helsingin yliopisto Hannu Toivonen, Marko Salmenkivi,
Lisätiedotx 4 e 2x dx Γ(r) = x r 1 e x dx (1)
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Todennäköisyyslaskenta IIA, syksy 217 217 Harjoitus 6 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I 1. Laske numeeriset arvot seuraaville integraaleille: x 4 e 2x dx ja 1
Lisätiedot7. Tasaisen rajoituksen periaate
18 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 7. Tasaisen rajoituksen periaate Täydellisyydestä puristetaan maksimaalinen hyöty seuraavan Bairen lauseen avulla. Bairen lause on keskeinen todistettaessa kahta funktionaalianalyysin
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila Kalvoissa käytetään materiaalia P. Palon vuoden 2005 kurssista. 07.09.2007 Antti Rasila () SovTodB 07.09.2007 07.09.2007 1 / 24 1 Todennäköisyyslaskennan
Lisätiedot2.6 Funktioiden kuvaajat ja tasa-arvojoukot
2.6 Funktioiden kuvaajat ja tasa-arvojoukot Olkoon I R väli. Yhden muuttujan funktion g : I R kuvaaja eli graafi on avaruuden R 2 osajoukko {(x, y) R 2 : x I, y = g(x)}. 1 0 1 2 3 1 0.5 0 0.5 1 Kuva 2.1:
LisätiedotOletetaan ensin, että tangenttitaso on olemassa. Nyt pinnalla S on koordinaattiesitys ψ, jolle pätee että kaikilla x V U
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 018 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Olkoon U R avoin joukko ja ϕ = (ϕ 1, ϕ, ϕ 3 ) : U R 3 kaksiulotteisen C 1 -alkeispinnan
Lisätiedot1 Sisätulo- ja normiavaruudet
1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1.1 Sisätuloavaruus Määritelmä 1. Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus : V V R on reaalinen sisätulo eli pistetulo, jos (a) v w = w v (symmetrisyys); (b) v + u w = v
LisätiedotVektorilaskenta. Luennot / 54
Luennot 22.09.-27.09.2017 1 / 54 Välin mitta Alasumma 1 Alasumma 2 Yläsumma 1 Yläsumma 2 Tihennys 1 Tihennys 2 Integroituvuus Jatkuva 1 Jatkuva 2 Jatkuva 3 Jatkuva 4 Jatkuva 5 Jatkuva 6 2 / 54 Välin mitta
Lisätiedot(b) Tarkista integroimalla, että kyseessä on todella tiheysfunktio.
Todennäköisyyslaskenta I, kesä 7 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia. Satunnaismuuttujalla X on ns. kaksipuolinen eksponenttijakauma eli Laplacen jakauma: sen tiheysfunktio on fx = e x. a Piirrä tiheysfunktio.
LisätiedotKuva 3.1: Näyte Gaussisesta valkoisest kohinasta ε t N(0, 1) Aika t
Kuva 3.1: Näyte Gaussisesta valkoisest kohinasta ε t N(0, 1) Valkoinen kohina ε t 2 1 0 1 2 Voimme tehdä saman laskun myös yleiselle välille [ a, a], missä 0 < a
Lisätiedoty x1 σ t 1 = c y x 1 σ t 1 = y x 2 σ t 2 y x 2 x 1 y = σ(t 2 t 1 ) x 2 x 1 y t 2 t 1
1. Tarkastellaan funktiota missä σ C ja y (y 1,..., y n ) R n. u : R n R C, u(x, t) e i(y x σt), (a) Miksi funktiota u(x, t) voidaan kutsua tasoaalloksi, jonka aaltorintama on kohtisuorassa vektorin y
LisätiedotSatunnaismuuttujan odotusarvo ja laskusäännöt
Luku 3 Satunnaismuuttujan odotusarvo ja laskusäännöt Lasse Leskelä Aalto-yliopisto 16. syyskuuta 2017 3.1 Odotusarvon käsite ja suurten lukujen laki Lukuarvoisen satunnaismuuttujan X odotusarvo määritellään
LisätiedotFUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto
FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. Johdanto Funktionaalianalyysissa tutkitaan muun muassa ääretönulotteisten vektoriavaruuksien, ja erityisesti täydellisten normiavaruuksien eli Banach avaruuksien ominaisuuksia.
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA II
802320A LINEAARIALGEBRA OSA II Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 64 Sisätuloavaruus Määritelmä 1 Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus on reaalinen
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (5) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Momenttiemäfunktio Diskreettien jakaumien momenttiemäfunktioita
LisätiedotMS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 8: Newtonin iteraatio. Taso- ja avaruusintegraalit
MS-A25/MS-A26 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 8: Newtonin iteraatio. Taso- ja avaruusintegraalit Jarmo Malinen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät 216 1 Perustuu
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa : Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (7) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat Satunnaismuuttujien muunnosten jakaumat
Lisätiedotk S P[ X µ kσ] 1 k 2.
HY, MTL / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIb, syksy 28 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Osa tämän viikon tehtävistä ovat varsin haastavia, joten ei todellakaan
LisätiedotHarjoitus 2: Matlab - Statistical Toolbox
Harjoitus 2: Matlab - Statistical Toolbox Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen tavoitteet Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat
LisätiedotMS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 9: Muuttujanvaihto taso- ja avaruusintegraaleissa
MS-A24 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 9: Muuttujanvaihto taso- ja avaruusintegraaleissa Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kevät 216 Antti Rasila
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia Johdanto χ 2 -jakauma F-jakauma t-jakauma TKK (c) Ilkka Mellin
LisätiedotJatkuvat satunnaismuuttujat
Jatkuvat satunnaismuuttujat Satunnaismuuttuja on jatkuva jos se voi ainakin periaatteessa saada kaikkia mahdollisia reaalilukuarvoja ainakin tietyltä väliltä. Täytyy ymmärtää, että tällä ei ole mitään
LisätiedotTilastomatematiikka Kevät 2008
Tilastomatematiikka Kevät 2008 Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta Matematiikan jaos Tilastomatematiikka p.1/19 4.3 Varianssi Satunnaismuuttuja on neliöintegroituva, jos odotusarvo
LisätiedotPolkuintegraali yleistyy helposti paloitain C 1 -poluille. Määritelmä Olkoot γ : [a, b] R m paloittain C 1 -polku välin [a, b] jaon
Polkuintegraali yleistyy helposti paloitain C 1 -poluille. Määritelmä 4.1.3. Olkoot : [a, b] R m paloittain C 1 -polku välin [a, b] jaon P = {a = t 1 < < t k = b} ja joukko D R m sellainen, että ([a, b])
LisätiedotSatunnaismuuttujat ja jakaumat
Luku 2 Satunnaismuuttujat ja jakaumat Lasse Leskelä Aalto-yliopisto 2. syyskuuta 207 2. Satunnaismuuttujan käsite Käytännön tilanteissa ei yleensä olla kiinnostuneita satunnaisilmiön kaikista yksityiskohdista,
LisätiedotPoistumislause Kandidaatintutkielma
Poistumislause Kandidaatintutkielma Mikko Nikkilä 013618832 26. helmikuuta 2011 Sisältö 1 Johdanto................................... 2 2 Olemassaolon ja yksikäsitteisyyden historiaa............ 3 3 Esitietoja..................................
LisätiedotMAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen
MAT-200 Todennäköisyyslaskenta Tentti 29.04.20 / Kimmo Vattulainen Funktiolaskin sallittu.. a) Pelaajat A ja B heittävät noppaa vuorotellen ja pelin voittaa se, joka saa ensimmäiseksi kuutosen. A aloittaa
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 5B Bayesläiset piste- ja väliestimaatit Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto
Lisätiedot4. Todennäköisyyslaskennan kertausta
luento04.ppt S-38.1145 - Liikenneteorian perusteet - Kevät 2006 1 Sisältö eruskäsitteet Diskreetit satunnaismuuttujat Diskreetit jakaumat lkm-jakaumat Jatkuvat satunnaismuuttujat Jatkuvat jakaumat aikajakaumat
LisätiedotJohdatus matemaattiseen päättelyyn
Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 2 3 Joukko-oppia Tässä luvussa tarkastellaan joukko-opin
LisätiedotLineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus
Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus 1 / 51 Lineaarikombinaatio Johdattelua seuraavaan asiaan (ei tarkkoja määritelmiä): Millaisen kuvan muodostaa joukko {λv λ R, v R 3 }? Millaisen
LisätiedotMS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 5B Frekventistiset vs. bayeslaiset menetelmät Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto
Lisätiedot1. Tilastollinen malli??
1. Tilastollinen malli?? https://fi.wikipedia.org/wiki/tilastollinen_malli https://en.wikipedia.org/wiki/statistical_model http://projecteuclid.org/euclid.aos/1035844977 Tilastollinen malli?? Numeerinen
LisätiedotTN-IIa (MAT22001), syksy 2017
TN-IIa (MAT22001), syksy 2017 Petteri Piiroinen 4.9.2017 Todennäköisyyslaskennan IIa -kurssin asema opetuksessa Tilastotieteen pääaineopiskelijoille pakollinen aineopintojen kurssi. Suositus: toisen vuoden
Lisätiedot031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 7
0302P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 7 Jukka Kemppainen Mathematics Division Yhteisjakauma Edellä on tarkasteltu yksiulotteista satunnaismuuttujaa. Sovelluksissa joudutaan usein tarkastelemaan samanaikaisesti
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 2A Satunnaismuuttujan odotusarvo Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016,
Lisätiedot1. Kuusisivuista noppaa heitetään, kunnes saadaan silmäluku 5 tai 6. Olkoon X niiden heittojen lukumäärä, joilla tuli 1, 2, 3 tai 4.
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Todennäköisyyslaskenta II, syksy 206 Kurssikoe 28.0.206 Ratkaisuehdotuksia. Kuusisivuista noppaa heitetään, kunnes saadaan silmäluku 5 tai 6. Olkoon X niiden
LisätiedotP(X = x T (X ) = t, θ) = p(x = x T (X ) = t) ei riipu tuntemattomasta θ:sta. Silloin uskottavuusfunktio faktorisoituu
1. Tyhjentävä tunnusluku (sucient statistics ) Olkoon (P(X = x θ) : θ Θ) todennäköisyysmalli havainnolle X. Datan funktio T (X ) on Tyhjentävä tunnusluku jos ehdollinen todennäköisyys (ehdollinen tiheysfunktio)
LisätiedotMAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen
MAT-5 Todennäköisyyslaskenta Tentti.. / Kimmo Vattulainen Vastaa jokainen tehtävä eri paperille. Funktiolaskin sallittu.. a) P A). ja P A B).6. Mitä on P A B), kun A ja B ovat riippumattomia b) Satunnaismuuttujan
LisätiedotKannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos:
8 Kanta Tässä luvussa tarkastellaan aliavaruuden virittäjävektoreita, jotka muodostavat lineaarisesti riippumattoman jonon. Merkintöjen helpottamiseksi oletetaan luvussa koko ajan, että W on vektoreiden
LisätiedotIV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n
IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee
Lisätiedot