Vektorilaskenta. Luennot / 54
|
|
- Aila Hänninen
- 4 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Luennot / 54
2 Välin mitta Alasumma 1 Alasumma 2 Yläsumma 1 Yläsumma 2 Tihennys 1 Tihennys 2 Integroituvuus Jatkuva 1 Jatkuva 2 Jatkuva 3 Jatkuva 4 Jatkuva 5 Jatkuva 6 2 / 54
3 Välin mitta Välin mitta Alasumma 1 Alasumma 2 Yläsumma 1 Yläsumma 2 Tihennys 1 Tihennys 2 Integroituvuus Jatkuva 1 Jatkuva 2 Jatkuva 3 Jatkuva 4 Jatkuva 5 Jatkuva 6 Käytämme n-ulotteisiksi välejä (tai laatikoita) I = [a 1, b 1 ] [a 2, b 2 ] [a n, b n ] = {(x 1, x 2,..., x n ) R n a i x i b i kaikille i} missä a i b i. Välin I mitta on m(i) = n (b i a i ). i=1 Jos n = 1, niin m([a, b]) = b a on pituus. Jos n = 2 on kyseessä suorakaiteen pinta-ala. Jos n = 3 on kyseessä suorakulmaisen särmiön tilavuus. Kutsutaan lukua d(i) = ni=1 (b i a i ) 2 I halkaisijaksi. 3 / 54
4 Alasumma 1 Välin mitta Alasumma 1 Alasumma 2 Yläsumma 1 Yläsumma 2 Tihennys 1 Tihennys 2 Integroituvuus Jatkuva 1 Jatkuva 2 Jatkuva 3 Jatkuva 4 Jatkuva 5 Jatkuva 6 Olkoon I R n väli, ja f : I R rajoitettu funktio. Valitsemalla kutakin koordinaattia x i, i = 1, 2,..., n, kohti [a i, b i ] jaon D i (eli jakopisteitä x i0 = a i < x i1 < x i2 <... < x iki = b i ) saamme osavälien karteesisten tulojen I 1, I 2,..., I m kokoelman (m = i k i). I on osavälien I i unioni. Osavälien sisäosat eivät leikkaa toisiaan, eli leikkauksiin kuuluvat pisteet ovat välien reunoilla. Kutsutaan myös kokoelmaa P = {I i i = 1, 2,..., m} I jaoksi. Kullakin osavälillä I i funktiolla f on infimum m i := inf{f(x) x I i }. Voidaan muodostaa funktion f alasumma jaon P suhteen: s P (f) = m m i m(i i ). i=1 4 / 54
5 Alasumma 2 Välin mitta Alasumma 1 Alasumma 2 Yläsumma 1 Yläsumma 2 Tihennys 1 Tihennys 2 Integroituvuus Jatkuva 1 Jatkuva 2 Jatkuva 3 Jatkuva 4 Jatkuva 5 Jatkuva 6 Vasemmanpuoleisen kuvan funktion eräs alasumma saadaan oikeanpuoleisen kuvan pylväiden yhteenlaskettuna mittana. 5 / 54
6 Yläsumma 1 Välin mitta Alasumma 1 Alasumma 2 Yläsumma 1 Yläsumma 2 Tihennys 1 Tihennys 2 Integroituvuus Jatkuva 1 Jatkuva 2 Jatkuva 3 Jatkuva 4 Jatkuva 5 Jatkuva 6 Vastaavasti koska funktiolla f on jokaisella jaon P osavälillä I i myös supremum M i := sup{f(x) x I i } saamme yläsumman m S P (f) = M i m(i i ). Selvästi aina i=1 S P (f) s P (f), ja erotus S P (f) s P (f) voidaan visualisoida (tapauksessa n = 2) kuvaajan alle jäävien, ja sen nipin napin ylittävien pylväiden "erotuslaatikoiden"mittojen m(i i )[M i m i ] summana. 6 / 54
7 Yläsumma 2 Välin mitta Alasumma 1 Alasumma 2 Yläsumma 1 Yläsumma 2 Tihennys 1 Tihennys 2 Integroituvuus Jatkuva 1 Jatkuva 2 Jatkuva 3 Jatkuva 4 Jatkuva 5 Jatkuva 6 7 / 54
8 Tihennys 1 Välin mitta Alasumma 1 Alasumma 2 Yläsumma 1 Yläsumma 2 Tihennys 1 Tihennys 2 Integroituvuus Jatkuva 1 Jatkuva 2 Jatkuva 3 Jatkuva 4 Jatkuva 5 Jatkuva 6 Voimme Analyysi II:n tapaan tihentää jakoja (joidenkin tai kaikkien koordinaattien suhteen) lisäämällä jakoihin D i lisää jakopisteitä. Kutsumme myös tälla tavalla saatua I jakoa P jaon P tihennykseksi. Kuten yhden muuttujan tapauksessakin tihennyksessä yläsumma pienenee ja alasumma kasvaa: s P (f) s P (f) S P (f) S P (f). Ylä- ja alasumman erotus siis pienee tihennykseen siirryttäessä S P (f) s P (f) S P (f) s P (f). 8 / 54
9 Tihennys 2 Välin mitta Alasumma 1 Alasumma 2 Yläsumma 1 Yläsumma 2 Tihennys 1 Tihennys 2 Integroituvuus Jatkuva 1 Jatkuva 2 Jatkuva 3 Jatkuva 4 Jatkuva 5 Jatkuva 6 9 / 54
10 Integroituvuus Välin mitta Alasumma 1 Alasumma 2 Yläsumma 1 Yläsumma 2 Tihennys 1 Tihennys 2 Integroituvuus Jatkuva 1 Jatkuva 2 Jatkuva 3 Jatkuva 4 Jatkuva 5 Jatkuva 6 Kuten yhden muuttujan funktionkin tapauksessa: Kun jakoa tihennetään, yläsumma pienenee ja alasumma kasvaa (ei välttämättä aidosti). Kahdella eri jaolla on yhteinen tihennys. Mikä tahansa yläsumma mikä tahansa alasumma. Voidaan määritellä ylä- ja alaintegraalit (yläsummien infimum, alasummien supremum). Integroituvuus ylä- ja alaintegraalit yhtyvät. Eli kutakin ε > 0 kohti löytyy sellainen jako P = P(ε), että S P (f) s P (f) < ε. Eli on olemassa jono jakoja P 1, P 2,..., joille lim k S Pk (f) s Pk (f) = 0. Integraalista käytetään merkintöjä f ja f(x 1, x 2,..., x n ) dx 1 dx 2 dx n. I I 10 / 54
11 Jatkuva 1 Välin mitta Alasumma 1 Alasumma 2 Yläsumma 1 Yläsumma 2 Tihennys 1 Tihennys 2 Integroituvuus Jatkuva 1 Jatkuva 2 Jatkuva 3 Jatkuva 4 Jatkuva 5 Jatkuva 6 Luonnollinen ensimmäinen tavoite on perustella, miksi jatkuva funktio on integroituva yli kompaktin myös useamman muuttujan funktion tapauksessa. Kerrataanpa Analyysi II:sta tältä osin. 11 / 54
12 Jatkuva 2 Välin mitta Alasumma 1 Alasumma 2 Yläsumma 1 Yläsumma 2 Tihennys 1 Tihennys 2 Integroituvuus Jatkuva 1 Jatkuva 2 Jatkuva 3 Jatkuva 4 Jatkuva 5 Jatkuva 6 Jos f : [a, b] R on jatkuva, niin todistettiin, että kutakin lukua ε > 0 kohti löytyy sellainen väliin [a, b] jako, jonka kussakin osavälissä sup f inf f = G i g i < ε. Eli edellisen kalvon kuvassa kaikkien pinkkien laatikoiden korkeus < ε. Tällöin ylä- ja alasumman erotus on ε(b a), joten S P s P 0, kun ε 0. Integroituvuus seuraa tästä. Tässä b a = [a, b] mitta. Vaaditussa jaossa osaväli on sitä lyhyempi, mitä nopeammin funktion arvo siinä muuttuu. Vaaditun jaon olemassaolo ei ollut selvää. Harjulehdon kirja käyttää tasaista jatkuvuutta sen perustelemiseksi Lahtosen monisteessa se todistettiin erikseen. Se, että kyseessä on suljettu väli oli oleellista (kompaktisuus). 12 / 54
13 Jatkuva 3 Välin mitta Alasumma 1 Alasumma 2 Yläsumma 1 Yläsumma 2 Tihennys 1 Tihennys 2 Integroituvuus Jatkuva 1 Jatkuva 2 Jatkuva 3 Jatkuva 4 Jatkuva 5 Jatkuva 6 Tämä yleistyy vektorimuuttujan funktiolle seuraavalla tavalla. Lemma. Olkoon I R n kompakti väli, ja olkoon f : I R rajoitettu funktio, jolla on seuraava ominaisuus. Mielivaltaista lukua ε > 0 kohti on olemassa sellainen I jako, että kullakin I i, i = 1,..., m, on voimassa inf{f( x) x I i } > sup{f( x) x I i } ε. Tällöin funktio f on Riemann-integroituva yli I. Huom. Siis M i m i > M i ε kaikille i = 1, 2,..., m. 13 / 54
14 Jatkuva 4 Välin mitta Alasumma 1 Alasumma 2 Yläsumma 1 Yläsumma 2 Tihennys 1 Tihennys 2 Integroituvuus Jatkuva 1 Jatkuva 2 Jatkuva 3 Jatkuva 4 Jatkuva 5 Jatkuva 6 Todistus. Kiinnitetään ε > 0. Määritellään ε = ε/m(i), jolloin ε > 0. Oletuksen perusteella on siis olemassa sellainen jako P = P(ε ), että jaon P kaikilla osaväleillä I i, i = 1,..., s, epäyhtälö m i > M i ε ( ) on voimassa. Kertomalla ( ) puolittain osa mitalla saadaan epäyhtälö m i m(i i ) M i m(i i ) ε m(i i ). 14 / 54
15 Jatkuva 5 Välin mitta Alasumma 1 Alasumma 2 Yläsumma 1 Yläsumma 2 Tihennys 1 Tihennys 2 Integroituvuus Jatkuva 1 Jatkuva 2 Jatkuva 3 Jatkuva 4 Jatkuva 5 Jatkuva 6 Laskemalla yhteen nämä eri osavälien kontribuutiot saadaan epäyhtälö s m i m(i i ) i=1 s M i m(i i ) ε i=1 s m(i i ). i=1 ( ) Sen vasemmalla puolella on alasumma s P (f). Oikean puolen ensimmäinen termi on yläsumma S P (f). Koska mitta on jaon osavälien mittojen summa, oikean puolen jälkimmäinen termi on ε m(i) = ε. Näin ollen epäyhtälöstä ( ) seuraa S P s P S P ε, mikä on juurikin integroituvuusehto. MOT 15 / 54
16 Jatkuva 6 Välin mitta Alasumma 1 Alasumma 2 Yläsumma 1 Yläsumma 2 Tihennys 1 Tihennys 2 Integroituvuus Jatkuva 1 Jatkuva 2 Jatkuva 3 Jatkuva 4 Jatkuva 5 Jatkuva 6 Seuraus. Kompaktissa välissä I R n jatkuva funktio f : I R on Riemann-integroituva yli tämän. Todistus. Kiinnitetään ε > 0. Monisteen Lause kertoo, että on olemassa sellainen δ > 0, jolle f( x) f( y) < ε aina, kun pisteet x, y I toteuttavat epäyhtälön x y < δ. Valitaan sitten jokin sellainen I jako P, jolle jokaisen osa halkaisija on < δ (esim. n-kuutioita, joiden sivun pituus < δ/n). Tällöin nähdään, että Lemman oletukset toteutuvat, ja väite seuraa. MOT 16 / 54
17 integraali 1 integraali 2 integraali 3 integraali 4 Perustelu......kuvina Huomautuksia Esimerkki 4.A1 Esimerkki 4.A2 Esimerkki 4.B1 Esimerkki 4.B2 17 / 54
18 integraali 1 integraali 1 integraali 2 integraali 3 integraali 4 Perustelu......kuvina Huomautuksia Esimerkki 4.A1 Esimerkki 4.A2 Esimerkki 4.B1 Esimerkki 4.B2 Jos funktio f(x, y) on jatkuva välillä I = [a 1, b 1 ] [a 2, b 2 ], niin voimme muodostaa sen iteroidut integraalit b1 x=a 1 ( b2 y=a 2 f(x, y) dy ) dx. Tässä lasketaan ensin sisempi integraali (ks. kuva seur. kalvolla) A 1 (x) = b2 ja sen jälkeen ulompi integraali I = b1 y=a 2 f(x, y) dy x=a 1 A 1 (x) dx. 18 / 54
19 integraali 2 integraali 1 integraali 2 integraali 3 integraali 4 Perustelu......kuvina Huomautuksia Esimerkki 4.A1 Esimerkki 4.A2 Esimerkki 4.B1 Esimerkki 4.B2 Sisäintegraalin arvo A 1 (x 0 ) on integraalin tilavuustulkinnassa kappaleen ja tason x = x 0 leikkauksen pinta-ala (oranssi) 19 / 54
20 integraali 3 integraali 1 integraali 2 integraali 3 integraali 4 Perustelu......kuvina Huomautuksia Esimerkki 4.A1 Esimerkki 4.A2 Esimerkki 4.B1 Esimerkki 4.B2 Voimme muodostaa myös iteroidun integraalin b2 y=a 2 ( b1 x=a 1 f(x, y) dx Tässä lasketaan ensin sisempi integraali A 2 (y) = b1 ja sen jälkeen ulompi integraali I = b2 ) x=a 1 f(x, y) dx y=a 2 A 2 (y) dy. dy. 20 / 54
21 integraali 4 integraali 1 integraali 2 integraali 3 integraali 4 Perustelu......kuvina Huomautuksia Esimerkki 4.A1 Esimerkki 4.A2 Esimerkki 4.B1 Esimerkki 4.B2 Sisäintegraalin arvo A 2 (y 0 ) on integraalin tilavuustulkinnassa kappaleen ja tason y = y 0 leikkauksen pinta-ala (violetti) 21 / 54
22 integraali 1 integraali 2 integraali 3 integraali 4 Perustelu......kuvina Huomautuksia Esimerkki 4.A1 Esimerkki 4.A2 Esimerkki 4.B1 Esimerkki 4.B2 Lause.(Fubini) Jos f(x, y) on jatkuva välissä I = [a 1, b 1 ] [a 2, b 2 ], niin I f = = b1 x=a 1 b2 y=a 2 ( ) b2 f(x, y) dy dx y=a 2 ( ) b1 f(x, y) dx dy. x=a 1 Kumpi tahansa iteroiduista integraaleista antaa siis integraalin I f arvon. 22 / 54
23 Perustelu... integraali 1 integraali 2 integraali 3 integraali 4 Perustelu......kuvina Huomautuksia Esimerkki 4.A1 Esimerkki 4.A2 Esimerkki 4.B1 Esimerkki 4.B2 Integraali I f laskee xy-tason ja funktion f kuvaajapinnan välissä olevan kappaleen tilavuuden laskemalla yhteen pylväitä, joiden korkeus on h = f(x, y) ja pohjan ala A = dx dy, V = ah. integraali b 1 b2 x=a 1 y=a 2 f(x, y) dy dx laskee saman tilavuuden laskemalla yhteen siivuja, joiden poikkileikkausala on A 1 (x) ja paksuus dx (ks. seur. kalvo) Toinen iteroitu integraali laskee yhteen siivuja, joiden poikkileikkausala on A 2 (y) ja paksuus dy (ks. seur. kalvo) Hieman tarkempi perustelu saadaan toteamalla, että yhteen siivuun kuuluvien pylväiden alasumma on pienempi kuin poikkileikkausfunktion alasummaan ko. osa tuottama kontribuutio. Vastaavasti yläsummille. Koska I f on olemassa, niin Sandwich-periaate antaa tuloksen. 23 / 54
24 ...kuvina integraali 1 integraali 2 integraali 3 integraali 4 Perustelu......kuvina Huomautuksia Esimerkki 4.A1 Esimerkki 4.A2 Esimerkki 4.B1 Esimerkki 4.B2 24 / 54
25 Huomautuksia integraali 1 integraali 2 integraali 3 integraali 4 Perustelu......kuvina Huomautuksia Esimerkki 4.A1 Esimerkki 4.A2 Esimerkki 4.B1 Esimerkki 4.B2 Sisempi ja ulompi integraali ovat molemmat tavallisia yhden muuttujan integraaleja, joten niiden laskemiseen on käytössä kaikki aiempien kurssien menetelmät. Sisäintegraalin arvo riippuu ulomman integraalin muuttujasta, mutta sisäintegraalia laskettaessa tätä muuttujaa pidetään vakiona (vrt. osittaisderivointi). esta on olemassa versiot integraalille yli korkeampiulotteisen. Muuttujat integroidaan jossakin valitussa järjestyksessä. Sisempiä integraaleja laskettaessa pidetään ulompia integroimismuuttujia vakioina. 25 / 54
26 Esimerkki 4.A1 integraali 1 integraali 2 integraali 3 integraali 4 Perustelu......kuvina Huomautuksia Esimerkki 4.A1 Esimerkki 4.A2 Esimerkki 4.B1 Esimerkki 4.B2 Tehtävä: Olkoon I = [0, 1] [0, 1]. Osoita laskemalla, että kumpikin iteroitu integraali antaa saman arvon integraalille I = (xy + x 2 ) dx dy. I Ratkaisu: Integroimalle ensin y:n ja sitten x:n suhteen saadaan 1 ( 1 ) I = (x 2 + xy) dy dx = x=0 1 x=0 y=0 ( x 2 + x 2 = = ) dx = 1 x=0 ( x x2 4 ) 26 / 54
27 Esimerkki 4.A2 integraali 1 integraali 2 integraali 3 integraali 4 Perustelu......kuvina Huomautuksia Esimerkki 4.A1 Esimerkki 4.A2 Esimerkki 4.B1 Esimerkki 4.B2 Jos taas integroidaan ensin x:n ja sitten y:n suhteen saadaan I = = = 1 y=0 1 ( 1 x=0 ( 1 y=0 3 + y ) dy 2 ( ) 1 y 3 + y2 4 y=0 = = ) (x 2 + xy) dx dy 27 / 54
28 Esimerkki 4.B1 integraali 1 integraali 2 integraali 3 integraali 4 Perustelu......kuvina Huomautuksia Esimerkki 4.A1 Esimerkki 4.A2 Esimerkki 4.B1 Esimerkki 4.B2 Tehtävä: Laske funktion f(x, y) = e x2 sin y [0, 2π] [0, 2π]. Ratkaisu: Jos yritämme ensin integroida muuttujan x suhteen joudumme vaikeuksiin, sillä sisäintegraalissa joudumme laskemaan määrätyn integraalin 2π x=0 e x2 dx, eikä funktion e x2 määräämätöntä integraalia voida lausua alkeisfunktioiden avulla. 28 / 54
29 Esimerkki 4.B2 integraali 1 integraali 2 integraali 3 integraali 4 Perustelu......kuvina Huomautuksia Esimerkki 4.A1 Esimerkki 4.A2 Esimerkki 4.B1 Esimerkki 4.B2 Sitä vastoin, jos integroimme ensin muuttujan y suhteen, ongelmamme ratkeaa! I = = = = 2π x=0 2π x=0 2π x=0 2π x=0 ( 2π y=0 e x2 ( 2π e x2 2π y=0 ) e x2 sin y dy y=0 ) sin y dy ( cos y) dx e x2 0 dx = 0. dx dx 29 / 54
30 Integroimisalue Geom. tulkinta Olemassaolo Nollajoukko Esimerkki 4.C1 Esimerkki 4.C2 Yleistys 1 Yleistys 2 Esimerkki 4.D Integroituvuus 1 Integroituvuus 2 Integroituvuus 3 Integroituvuus 4 Integroituvuus 5 Integroituvuus 6 Sama kuvina 30 / 54
31 Integroimisalue Integroimisalue Geom. tulkinta Olemassaolo Nollajoukko Esimerkki 4.C1 Esimerkki 4.C2 Yleistys 1 Yleistys 2 Esimerkki 4.D Integroituvuus 1 Integroituvuus 2 Integroituvuus 3 Integroituvuus 4 Integroituvuus 5 Integroituvuus 6 Sama kuvina Usean muuttujan funktion integraaleilla on useita sellaisia sovelluksia, joissa halutaan integroida yli sellaisen A R n, joka EI ole väli. Jos kuitenkin A I, I kompakti väli, niin määritellään seuraavasti. Määritellään funktio f A,I : I R f A,I ( x) = { f( x), jos x A, ja 0, jos x / A. Jos tällöiin funktio f A,I on integroituva yli I, niin sanotaan, että f on integroituva ylin A:n, ja määritellään f = f A,I. 31 / 54 A I
32 Geometrinen tulkinta Integroimisalue Geom. tulkinta Olemassaolo Nollajoukko Esimerkki 4.C1 Esimerkki 4.C2 Yleistys 1 Yleistys 2 Esimerkki 4.D Integroituvuus 1 Integroituvuus 2 Integroituvuus 3 Integroituvuus 4 Integroituvuus 5 Integroituvuus 6 Sama kuvina f aiemman esimerkin funktio. A neliön I = [0, 1] [0, 1] ja kiekon {(x, y) x 2 + y 2 1} leikkausjoukko. Funktion f A,I kuvaajapinta ohessa (mittakaavaa lytistetty z-suunnassa). 32 / 54
33 Olemassaolo Integroimisalue Geom. tulkinta Olemassaolo Nollajoukko Esimerkki 4.C1 Esimerkki 4.C2 Yleistys 1 Yleistys 2 Esimerkki 4.D Integroituvuus 1 Integroituvuus 2 Integroituvuus 3 Integroituvuus 4 Integroituvuus 5 Integroituvuus 6 Sama kuvina Onko tällainen integraali olemassa? Kuvan perusteella näemme heti, että tyypillisesti funktio f A,I ei ole kaikkialla jatkuva, vaikka f olisikin. Tähän pulmaan paneudumme joksikin aikaa (vaikkemme aivan riittävällä tarkkuudella). Haluamme ehkä sallia f:lle epäjatkuvuuden jossakin. Analyysi II:ssa näimme, ettei yksittäinen epäjatkuvuuskohta haittaa. Ongelmia tulee ainakin alueen A reunalla = epäjatkuvuuskohtia voi nyt olla äärettömän monta. Epäjatkuvuus on kuitenkin rajattu pieneen osajoukkoon (tyypillisesti juuri reunalle). 33 / 54
34 Nollajoukko Integroimisalue Geom. tulkinta Olemassaolo Nollajoukko Esimerkki 4.C1 Esimerkki 4.C2 Yleistys 1 Yleistys 2 Esimerkki 4.D Integroituvuus 1 Integroituvuus 2 Integroituvuus 3 Integroituvuus 4 Integroituvuus 5 Integroituvuus 6 Sama kuvina Sanotaan, että joukko N R n on (Jordanin) nollajoukko, jos jokaista lukua ε > 0 kohti löytyy sellainen luonnollinen luku p ja sellaiset avoimet välit I 0, I 1, I 2,..., I p, että i) N ii) 34 / 54 p i=0 I i, ja p m(i i ) < ε. i=0
35 Esimerkki 4.C1 Integroimisalue Geom. tulkinta Olemassaolo Nollajoukko Esimerkki 4.C1 Esimerkki 4.C2 Yleistys 1 Yleistys 2 Esimerkki 4.D Integroituvuus 1 Integroituvuus 2 Integroituvuus 3 Integroituvuus 4 Integroituvuus 5 Integroituvuus 6 Sama kuvina Osoitetaan, että jana on nollajoukko. L = {(x, x) R 2 0 x 1} Ratkaisu: Valitaan ε > 0. Olkoon p > 0 kokonaisluku. Olkoot I i = ((i 1)/p, (i + 1)/p) ((i 1)/p, (i + 1)/p), i = 0, 1,..., p. Tällöin selvästi L p i=0 I i. Koska I i on avoin neliö, jonka sivun pituus on 2/p, niin m(i i ) = 4/p 2. Näin ollen p i=0 m(i i ) = (p + 1) 4 2 4(p + 1) = p2 p < 8p p 2 = 8 p. 35 / 54
36 Esimerkki 4.C2 Integroimisalue Geom. tulkinta Olemassaolo Nollajoukko Esimerkki 4.C1 Esimerkki 4.C2 Yleistys 1 Yleistys 2 Esimerkki 4.D Integroituvuus 1 Integroituvuus 2 Integroituvuus 3 Integroituvuus 4 Integroituvuus 5 Integroituvuus 6 Sama kuvina Kunhan p valitaan siten, että p > 8/ε, niin vaatimus peittävien välien yhteenlasketusta mitasta toteutuu / 54
37 Yleistys 1 Integroimisalue Geom. tulkinta Olemassaolo Nollajoukko Esimerkki 4.C1 Esimerkki 4.C2 Yleistys 1 Yleistys 2 Esimerkki 4.D Integroituvuus 1 Integroituvuus 2 Integroituvuus 3 Integroituvuus 4 Integroituvuus 5 Integroituvuus 6 Sama kuvina Lause. Oletetaan, että I R n on kompakti väli, ja f : I R on jatkuva funktio. Tällöin sen kuvaaja G f = {( x, f( x)) R n R = R n+1 x I} on avaruuden R n+1 nollajoukko (huom. dimensio kasvoi yhdellä). Todistus. Kiinnitetään ε > 0. Kuten aiemmin, nähdään että on olemassa I sellainen jako, että kullakin osavälillä I i funktion f arvot poikkeavat toisistaan < ε. Olkoot jälleen m i = inf{f( x) x I i } ja M i = sup{f( x) x I i }, jolloin siis M i m i < ε. 37 / 54
38 Yleistys 2 Integroimisalue Geom. tulkinta Olemassaolo Nollajoukko Esimerkki 4.C1 Esimerkki 4.C2 Yleistys 1 Yleistys 2 Esimerkki 4.D Integroituvuus 1 Integroituvuus 2 Integroituvuus 3 Integroituvuus 4 Integroituvuus 5 Integroituvuus 6 Sama kuvina Tällöin kuvaaja G f i I i [m i, M i ], ja välien I i [m i, M i ] yhteenlaskettu mitta on ( ) m(i i )(M i m i ) ε m(i i ) = ε m(i). i Lihavoittamalla välejä I i [m i, M i ] voidaan ne korvata avoimilla väleillä joiden yhteenlaskettu mitta on < 2ε m(i). Tämä saadaan mielivaltaisen pieneksi ja väite seuraa. MOT Huomautus. Koska nolla osajoukko on aina nollajoukko, tässä voidaan väli I i korvata jollakin sen osajoukolla. i 38 / 54
39 Esimerkki 4.D Integroimisalue Geom. tulkinta Olemassaolo Nollajoukko Esimerkki 4.C1 Esimerkki 4.C2 Yleistys 1 Yleistys 2 Esimerkki 4.D Integroituvuus 1 Integroituvuus 2 Integroituvuus 3 Integroituvuus 4 Integroituvuus 5 Integroituvuus 6 Sama kuvina Tehtävä: Osoita, että yksikköympyrä S = {(x, y) R 2 x 2 + y 2 = 1} on tason R 2 nollajoukko. Ratkaisu: Ylempi puoliympyrä on suljetulla välillä [ 1, 1] jatkuvan funktion y = 1 x 2 kuvaaja, joten se on Lauseemme nojalla nollajoukko. Alempi puoliympyrä on vastaavasti jatkuvan funktion y = 1 x 2 kuvaajana nollajoukko. Koko ympyrä on näiden unioni, joten se on Esimerkin C tuloksen nojalla nollajoukko. 39 / 54
40 Integroituvuus 1 Integroimisalue Geom. tulkinta Olemassaolo Nollajoukko Esimerkki 4.C1 Esimerkki 4.C2 Yleistys 1 Yleistys 2 Esimerkki 4.D Integroituvuus 1 Integroituvuus 2 Integroituvuus 3 Integroituvuus 4 Integroituvuus 5 Integroituvuus 6 Sama kuvina Motiivina nollajoukkojen tarkasteluun meillä on ollut seuraava tulos. Lause. Oletetaan, että kompaktissa välissä I määritellyn rajoitetun funktion f : I R epäjatkuvuuspisteet muodostavat nolla. Tällöin f on integroituva yli I. Idea tässä on sama kuin Analyysi II:ssa, jossa saatoimme sallia rajoitetulle funktiolle yhden (tai induktiolla äärelllisen monen) epäjatkuvuuskohdan välillä [a, b]. Siellä peitimme epäjatkuvuuskohdan lyhyellä välillä. 40 / 54
41 Integroituvuus 2 Integroimisalue Geom. tulkinta Olemassaolo Nollajoukko Esimerkki 4.C1 Esimerkki 4.C2 Yleistys 1 Yleistys 2 Esimerkki 4.D Integroituvuus 1 Integroituvuus 2 Integroituvuus 3 Integroituvuus 4 Integroituvuus 5 Integroituvuus 6 Sama kuvina Suljetulla välillä [a, b] rajoitettu funktio, jolla on vain yksi epäjatkuvuuskohta c [a, b], on integroituva yli tämän. 41 / 54
42 Integroituvuus 3 Integroimisalue Geom. tulkinta Olemassaolo Nollajoukko Esimerkki 4.C1 Esimerkki 4.C2 Yleistys 1 Yleistys 2 Esimerkki 4.D Integroituvuus 1 Integroituvuus 2 Integroituvuus 3 Integroituvuus 4 Integroituvuus 5 Integroituvuus 6 Sama kuvina Näin se meni: Kiinnitetään ε > 0 ja tuotetaan jako, jolla ylä- ja alasummien erotus < ε. Ylä- ja alasummien erotus (=pinkki alue) muodostuu kolmesta osasta, kukin < ε/3. Soiro (c δ, c + δ) [ M, M] pisteen c ympärillä: Korkeus 2M (M on f(x) :n yläraja), leveys 2δ < ε/6m. f jatkuva välillä [a, c δ], joten ko. välillä jako, jossa yläja alasummien erotus < ǫ/3. f jatkuva välillä [c + δ, b], joten ko. välillä jako, jossa yläja alasummien erotus < ǫ/3. "(< ε/3) + (< ε/3) + (< 2M (ε/6m)) < ε." MOT 42 / 54
43 Integroituvuus 4 Integroimisalue Geom. tulkinta Olemassaolo Nollajoukko Esimerkki 4.C1 Esimerkki 4.C2 Yleistys 1 Yleistys 2 Esimerkki 4.D Integroituvuus 1 Integroituvuus 2 Integroituvuus 3 Integroituvuus 4 Integroituvuus 5 Integroituvuus 6 Sama kuvina Mitä muutoksia tähän todistukseen tarvitaan moniulotteisessa tilanteessamme? Tavoitteena on edelleen tuottaa jako, jolle ylä- ja alasummien erotus < ε, kun ε > 0 ensin kiinnitettiin. Olkoon N epäjatkuvuuspisteiden joukko, ja M jokin funktion f yläraja. Valitaan avoimet välit U 1, U 2,..., U p jotka peittävät nolla N, ja joiden yhteenlaskettu mitta on < ε/(4m). Joukko K = I \ p i=1 U i on suljettu ja rajoitettu ja siis kompakti. Koska f on jatkuva, Lauseen 1.25 nojalla on olemassa sellainen δ > 0, että M i m i < ε/(2 m(i)) kaikille sellaisille osaväleille I i, jotka K, ja joiden halkaisija on < δ. 43 / 54
44 Integroituvuus 5 Integroimisalue Geom. tulkinta Olemassaolo Nollajoukko Esimerkki 4.C1 Esimerkki 4.C2 Yleistys 1 Yleistys 2 Esimerkki 4.D Integroituvuus 1 Integroituvuus 2 Integroituvuus 3 Integroituvuus 4 Integroituvuus 5 Integroituvuus 6 Sama kuvina Olkoon sitten P I jako, joka saadaan ottamalla mukaan välien U i, i = 1, 2,..., p, jakopisteet, ja tihentämällä tätä siten, että kunkin osa halkaisija < δ. Tämän jaon jokainen osaväli I i joko sisältyy kokonaisuudessaan joukkoon K tai kokonaisuudessaan johonkin avoimista väleistä U j. Jos I i U j, niin M i M, m i M, ja osa I i kontribuutio erotukseen S p s P on 2M m(i i ). Tällaisista väleistä siis yhteen saadaan kontribuutio 2M i,j,i i U j m(i i ) = 2M m(u j ) < 2M 44 / 54 j ε 4M = ε 2.
45 Integroituvuus 6 Integroimisalue Geom. tulkinta Olemassaolo Nollajoukko Esimerkki 4.C1 Esimerkki 4.C2 Yleistys 1 Yleistys 2 Esimerkki 4.D Integroituvuus 1 Integroituvuus 2 Integroituvuus 3 Integroituvuus 4 Integroituvuus 5 Integroituvuus 6 Sama kuvina Jos I i K, niin M i m i ε/(2m(i)). Tällaisista väleistä siis yhteensä saadaan erotukseen S p s P kontribuutio i,i i K Siis S p s P ε 2 + ε 2 m(i i )(M i m i ) ε 2m(I) 45 / 54 = ε. MOT. i,i i K m(i i ) ε 2m(I) m(i) = ε 2.
46 Sama kuvina Integroimisalue Geom. tulkinta Olemassaolo Nollajoukko Esimerkki 4.C1 Esimerkki 4.C2 Yleistys 1 Yleistys 2 Esimerkki 4.D Integroituvuus 1 Integroituvuus 2 Integroituvuus 3 Integroituvuus 4 Integroituvuus 5 Integroituvuus 6 Sama kuvina Neljännesympyrään A rajoitetun funktio f A,I kuvaajapinta vasemmalla. Oikealla ylä- ja alasummien erotus eräässä jaossa. Korkeat, yhteenlasketulta pohjaltaan pienet, kaarelle sijoittuneet oranssit pylväät = epäjatkuvuuspisteiden kontribuutio. Matalat vihreät laatikot = osa K kontribuutio. Molemmat ovat pieniä. 46 / 54
47 Pohdintaa Muotoilu 1 Muotoilu 2 Esimerkki 4.E1 Esimerkki 4.E2 Esimerkki 4.E3 Esimerkki 4.E4 47 / 54
48 Pohdintaa Pohdintaa Muotoilu 1 Muotoilu 2 Esimerkki 4.E1 Esimerkki 4.E2 Esimerkki 4.E3 Esimerkki 4.E4 Usein haluamma laskea integraalin yli rajoitetun alueen A, jonka reuna muodostuu palasista, joilla yksi koordinaatti on muiden jatkuva funktio. Tällaisen alueen reuna on yllä kerrotun perusteella nollajoukko, joten jos f : A R on jatkuva ja rajoitettu funktio, se on integroituva yli alueen A. Tällaisessa tilanteessa on edelleen voimassa (perustelu sivuutetaan). Voimme sisäintegraalia laskettaessa jättää pois osat joissa funktio f A,I häviää. Tällöin tyypillisesti päädymme tilanteeseen, jossa sisemmissä integraaleissa integroimisrajat riippuvat ulompien integraalien muuttujista (koska niiden arvo vaikuttaa siihen, milloin olemme alueen A reunalla). 48 / 54
49 Muotoilu 1 Pohdintaa Muotoilu 1 Muotoilu 2 Esimerkki 4.E1 Esimerkki 4.E2 Esimerkki 4.E3 Esimerkki 4.E4 (Fubini) Oletetaan, että funktio f(x, y) on jatkuva tason R 2 osa S jokaisessa pisteessä. Oletetaan, että alueen S määräävät epäyhtälöt S = {(x, y) R 2 a x b, c(x) y d(x)}, missä c(x) ja d(x) ovat välillä [a, b] jatkuvia funktioita, ja c(x) d(x) aina, kun x [a, b]. Tällöin integraali S f voidaan laskea iteroituna integraalina S f(x, y) dx dy = b x=a ( d(x) y=c(x) f(x, y) dy ) dx. 49 / 54
50 Muotoilu 2 Pohdintaa Muotoilu 1 Muotoilu 2 Esimerkki 4.E1 Esimerkki 4.E2 Esimerkki 4.E3 Esimerkki 4.E4 Jos taas alueen S määräävät epäyhtälöt S = {(x, y) R 2 c y d, a(y) x b(y)}, missä funktiot a(y) ja b(y) ovat välillä [c, d] jatkuvia funktiota, ja a(y) b(y) aina, kun y [c, d], niin tällöinkin f on integroituva yli S, ja S f(x, y) dx dy = d y=c ( b(y) x=a(y) f(x, y) dx ) dy. 50 / 54
51 Esimerkki 4.E1 Pohdintaa Muotoilu 1 Muotoilu 2 Esimerkki 4.E1 Esimerkki 4.E2 Esimerkki 4.E3 Esimerkki 4.E4 Tehtävä: Olkoon S xy-tason suljettu kolmio, jota rajaavat suorat x = 0, y = 1 ja x = y. Oletetaan, että funktio f on jatkuva S. Kirjoita integraali S f kahdella eri tavalla iteroituna integraalina. Ratkaisu: Joukko S sisältyy neliöön [0, 1] [0, 1], ja näemme, että kumpikin muuttujista x,y saa S kaikki arvot väliltä [0, 1]. Jos haluamme ensin integroida muuttujan x suhteen, kiinnitämme muuttujalle y jonkin arvon väliltä [0, 1]. Koska S on suorien x = 0 ja x = y välissä, piste (x, y) S sjvsk 0 x 1. Näin ollen sisäintegraalin integroimisrajoiksi tulee a(y) = 0 ja b(y) = y. 51 / 54
52 Esimerkki 4.E2 Pohdintaa Muotoilu 1 Muotoilu 2 Esimerkki 4.E1 Esimerkki 4.E2 Esimerkki 4.E3 Esimerkki 4.E4 Näin ollen S f = 1 y=0 ( y x=0 ) f(x, y) dx dy. Jos taas integroimme ensin muuttujan y suhteen, kiinnitämme x:n arvon välilltä [0, 1]. Piste (x, y) S sjvsk x y 1, joten sisäintegraalin integroimisrajoiksi tulee c(x) = x ja d(x) = 1. antaa siten tuloksen S f = 1 x=0 ( 1 y=x ) f(x, y) dy dx. 52 / 54
53 Esimerkki 4.E3 Pohdintaa Muotoilu 1 Muotoilu 2 Esimerkki 4.E1 Esimerkki 4.E2 Esimerkki 4.E3 Esimerkki 4.E4 Kun yllä ensin integroimme x:n yli sisäintegraali laskee erästä poikkileikkausta y = y 0 vastaavan kontribuution. Kuvassa pinkki alue on S, ja musta jana tällainen poikkileikkaus (kuvassa y 0 = 0,53) Y X 53 / 54
54 Esimerkki 4.E4 Pohdintaa Muotoilu 1 Muotoilu 2 Esimerkki 4.E1 Esimerkki 4.E2 Esimerkki 4.E3 Esimerkki 4.E4 Kun yllä ensin integroimme y:n yli sisäintegraali laskee erästä poikkileikkausta x = x 0 vastaavan kontribuution. Kuvassa pinkki alue on S, ja musta jana tällainen poikkileikkaus (kuvassa x 0 = 0,47) Y X 54 / 54
Vektorilaskenta Luennot / 42. Vektorilaskenta Napakoordinaatit
Luennot 19.09.-21.09. 1 / 42 Määritelmä (1/3) Määritelmä (2/3) Määritelmä (3/3) 2 / 42 Määritelmä (1/3) Määritelmä (1/3) Määritelmä (2/3) Määritelmä (3/3) Tason pisteen P sijainti voidaan karteesisten
Lisätiedot4.3 Moniulotteinen Riemannin integraali
4.3 Moniulotteinen Riemannin integraali Tässä luvussa opitaan miten integroidaan usean muuttujan reaaliarvoista tai vektoriarvoista funktiota, millaisten joukkojen yli jatkuvaa funktiota voi integroida,
Lisätiedot1 Määrittelyjä ja aputuloksia
1 Määrittelyjä ja aputuloksia 1.1 Supremum ja infimum Aluksi kerrataan pienimmän ylärajan (supremum) ja suurimman alarajan (infimum) perusominaisuuksia ja esitetään muutamia myöhemmissä todistuksissa tarvittavia
Lisätiedot1 sup- ja inf-esimerkkejä
Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Nollakohdan olemassaolo. Kaikki tuntevat
Lisätiedot1 sup- ja inf-esimerkkejä
Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Kaarenpituus. Olkoon r: [a, b] R
Lisätiedotpeitteestä voidaan valita äärellinen osapeite). Äärellisen monen nollajoukon yhdiste on nollajoukko.
Esimerkki 4.3.9. a) Piste on nollajoukko. Suoran rajoitetut osajoukot ovat avaruuden R m, m 2, nollajoukkoja. Samoin suorakaiteiden reunat koostuvat suoran kompakteista osajoukoista. b) Joukko = Q m [0,
Lisätiedot1 Supremum ja infimum
Pekka Alestalo, 2018 Tämä moniste täydentää reaalilukuja ja jatkuvia reaalifunktioita koskevaa kalvosarjaa lähinnä perustelujen ja todistusten osalta. Suurin osa määritelmistä jms. on esitetty jo kalvoissa,
LisätiedotAnalyysi 1. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Syksy Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko A = x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu.
Analyysi Harjoituksia lukuihin 3 / Syksy 204. Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko { 2x A = x ]4, [. x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu. 2. Anna jokin ylä- ja alaraja joukoille { x( x) A = x ], [,
LisätiedotSinin jatkuvuus. Lemma. Seuraus. Seuraus. Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Sini on jatkuva funktio.
Sinin jatkuvuus Lemma Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Seuraus Sini on jatkuva funktio. Seuraus Kosini, tangentti ja kotangentti ovat jatkuvia funktioita. Pekka Salmi FUNK 19. syyskuuta 2016 22 / 53 Yhdistetyn
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 2 Lisää osamurtoja Tutkitaan jälleen rationaalifunktion P(x)/Q(x) integrointia. Aiemmin käsittelimme tapauksen, jossa nimittäjä voidaan esittää muodossa Q(x) = a(x x
LisätiedotMäärätty integraali. Markus Helén. Mäntän lukio
Määrätty integraali Markus Helén Pinta-ala Monikulmio on tasokuvio, jota rajoittaa suljettu, itseään leikkaamaton murtoviiva. Monikulmio voidaan aina jakaa kolmioiksi. Alueen pinta-ala on näiden kolmioiden
LisätiedotSarjat ja integraalit
Sarjat ja integraalit Peter Hästö 1. huhtikuuta 2015 Matemaattisten tieteiden laitos Eteneminen pvm luku v 11 2.1, 2.2 v 12 2.3, 2.4 v 13 3.0, 3.1 v 14 3.2 v 15 4 v 16 5.1 v 17 5.2 v 18 6.1 v 19 6.2 Peter
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 1: Moniulotteiset integraalit
MS-A35 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento : Moniulotteiset integraalit Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 26 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A35 Syksy
LisätiedotLuku 2. Jatkuvien funktioiden ominaisuuksia.
1 MAT-1343 Laaja matematiikka 3 TTY 21 Risto Silvennoinen Luku 2. Jatkuvien funktioiden ominaisuuksia. Jatkossa väli I tarkoittaa jotakin seuraavista reaalilukuväleistä: ( ab, ) = { x a< x< b} = { x a
LisätiedotKonvergenssilauseita
LUKU 4 Konvergenssilauseita Lause 4.1 (Monotonisen konvergenssin lause). Olkoon (f n ) kasvava jono Lebesgueintegroituvia funktioita. Asetetaan f(x) := f n (x). Jos f n
LisätiedotCantorin joukon suoristuvuus tasossa
Cantorin joukon suoristuvuus tasossa LuK-tutkielma Miika Savolainen 2380207 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Cantorin joukon esittely 2 2 Suoristuvuus ja
Lisätiedot5 Funktion jatkuvuus ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT Määritelmä ja perustuloksia. 1. Tarkastellaan väitettä
ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 2019 5 Funktion jatkuvuus 5.1 Määritelmä ja perustuloksia 1. Tarkastellaan väitettä a > 0: b > 0: c > 0: d U c (a): f(d) / U b (f(a)), missä a, b, c, d R. Mitä funktion
Lisätiedot3 Lukujonon raja-arvo
ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 208 3 Lukujonon raja-arvo 3 Määritelmä Osoita, että 6n + 2n + 3 3 < 4 n ja määritä jokin sellainen n 0 Z +, että 6n + 2n + 3 3 < 0 87 aina, kun n > n 0 2 Olkoon x n
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 9: Greenin lause
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 9: Greenin lause Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015 1 / 19 Esimerkki Olkoon F : R 3 R 3 vakiofunktio
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 1: Moniulotteiset integraalit
MS-A35 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 1: Moniulotteiset integraalit Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 215 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A35 Syksy 215 1 / 24 Skalaarikenttä Olkoon R
LisätiedotIV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n
IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee
Lisätiedot3 Lukujonon raja-arvo
ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 209 3 Lukujonon raja-arvo 3 Määritelmä Osoita, että 6n + 2n + 3 3 < 4 n ja määritä jokin sellainen n 0 Z +, että 6n + 2n + 3 3 < 0 87 aina, kun n > n 0 2 Olkoon x n
LisätiedotJordanin sisältö ja Lebesguen ulkomitta
Jordanin sisältö ja Lebesguen ulkomitta Jennika Ojalehto Matematiikan pro gradu Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kevät 2016 Tiivistelmä: Jennika Ojalehto, Jordanin sisältö ja
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 19.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 5 Tasointegraalin laskeminen iemmin tutkimme ylä- ja alasummien antamia arvioita tasointegraalille f (x, ydxdy. Tässä siis funktio f (x, y integroidaan muuttujien x
LisätiedotIntegrointi ja sovellukset
Integrointi ja sovellukset Tehtävät:. Muodosta ja laske yläsumma funktiolle fx) x 5 välillä [, 4], kun väli on jaettu neljään yhtä suureen osaan.. Määritä integraalin x + ) dx likiarvo laskemalla alasumma,
LisätiedotCantorin joukko LUKU 8
LUKU 8 Cantorin joukko 8.. Cantorin 3 -joukko Merkitään J = J 0, = [0, ]. Poistetaan välin J keskeltä avoin väli I,, jonka pituus on /3; siis I, = (, 2). Olkoot jäljelle jäävät suljetut välit J 3 3, ja
LisätiedotTäydellisyysaksiooman kertaus
Täydellisyysaksiooman kertaus Luku M R on joukon A R yläraja, jos a M kaikille a A. Luku M R on joukon A R alaraja, jos a M kaikille a A. A on ylhäältä (vast. alhaalta) rajoitettu, jos sillä on jokin yläraja
Lisätiedot1.1. Joukon Jordanin sisältö. Reaaliakselin kompaktin välin [t 0, t m ] jako on
1. Jordan-joukot Yksinkertaisuuden (ja havainnollisuuden vuoksi) seuraavassa tarkastellaan vain tason osajoukkoja, vaikka päättelyt voitaisiin helposti siirtää yleiseen n-ulotteiseen euklidiseen avaruuteen
LisätiedotSelvästi. F (a) F (y) < r x d aina, kun a y < δ. Kolmioepäyhtälön nojalla x F (y) x F (a) + F (a) F (y) < d + r x d = r x
Seuraavaksi tarkastellaan C 1 -sileiden pintojen eräitä ominaisuuksia. Lemma 2.7.1. Olkoon S R m sellainen C 1 -sileä pinta, että S on C 1 -funktion F : R m R eräs tasa-arvojoukko. Tällöin S on avaruuden
LisätiedotReaaliluvut. tapauksessa metrisen avaruuden täydellisyyden kohdalla. 1 fi.wikipedia.org/wiki/reaaliluku 1 / 13
Reaaliluvut Reaalilukujen joukko R. Täsmällinen konstruointi palautuu rationaalilukuihin, jossa eri mahdollisuuksia: - Dedekindin leikkaukset - rationaaliset Cauchy-jonot - desimaaliapproksimaatiot. Reaalilukujen
LisätiedotMS-A0202 Di erentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 8: Taso- ja avaruusintegraalit
MS-A22 i erentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 8: Taso- ja avaruusintegraalit Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 25 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A22 Syksy 25 / 8 Tasointegraali Olkoon R
Lisätiedot3.1 Väliarvolause. Funktion kasvaminen ja väheneminen
Väliarvolause Funktion kasvaminen ja väheneminen LAUSE VÄLIARVOLAUSE Oletus: Funktio f on jatkuva suljetulla välillä I: a < x < b f on derivoituva välillä a < x < b Väite: On olemassa ainakin yksi välille
LisätiedotMatematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg)
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus 4 9.4.-23.4.200 Malliratkaisut (Sauli Lindberg). Näytä, että Lusinin lauseessa voidaan luopua oletuksesta m(a)
LisätiedotA-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.
PITKÄ MATEMATIIKKA PRELIMINÄÄRIKOE 7..07 NIMI: A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.. Valitse oikea vaihtoehto ja
LisätiedotFunktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina.
Funktiot Tässä luvussa käsitellään reaaliakselin osajoukoissa määriteltyjä funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Avoin väli: ]a, b[ tai ]a, [ tai ],
LisätiedotPerusidea: Jaetaan väli [a, b] osaväleihin ja muodostetaan osavälejä vastaavat suorakulmiot/palkit, joiden korkeus funktion arvot kyseisellä välillä.
Lähtötilanne Lähtötilanne Tavoite: Määritellään funktion f : [a, b] R integraali siten, että integraalin arvo yhtyy funktion f kuvaajan ja x-akselin väliin jäävän alueen pinta-alaan. Perusidea: Jaetaan
Lisätiedotr > y x z x = z y + y x z y + y x = r y x + y x = r
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi I, syksy 018 Harjoitus Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Osoita, että avoin kuula on avoin joukko ja suljettu kuula on suljettu joukko. Ratkaisu.
LisätiedotLuentoesimerkki: Riemannin integraali
Luentoesimerkki: Riemannin integraali Heikki Apiola, "New perpectives "-esitykseen lievästi muokattu Kurssi: Informaatioverkostot, keväällä Tässä (4..) käytetään "worksheet-modea", uudempaa "document mode"
LisätiedotSekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä
Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja
LisätiedotLUKU 3. Ulkoinen derivaatta. dx i 1. dx i 2. ω i1,i 2,...,i k
LUKU 3 Ulkoinen derivaatta Olkoot A R n alue k n ja ω jatkuvasti derivoituva k-muoto alueessa A Muoto ω voidaan esittää summana ω = ω i1 i 2 i k dx i 1 dx i 2 1 i 1
LisätiedotAnalyysi III. Jari Taskinen. 28. syyskuuta Luku 1
Analyysi III Jari Taskinen 28. syyskuuta 2002 Luku Sisältö Sarjat 2. Lukujonoista........................... 2.2 Rekursiivisesti määritellyt lukujonot.............. 8.3 Sarja ja sen suppenminen....................
Lisätiedot8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa
8 Potenssisarjoista 8. Määritelmä Olkoot a 0, a, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.. Muotoa a 0 + a (x c) + a 2 (x c) 2 + olevaa sarjaa sanotaan c-keskiseksi potenssisarjaksi. Selvästi jokainen
LisätiedotFunktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot
3. Funktion raja-arvo ja jatkuvuus 3.1. Reaali- ja kompleksifunktiot 43. Olkoon f monotoninen ja rajoitettu välillä ]a,b[. Todista, että raja-arvot lim + f (x) ja lim x b f (x) ovat olemassa. Todista myös,
Lisätiedotreaalifunktioiden ominaisuutta, joiden perusteleminen on muita perustuloksia hankalampaa. Kalvoja täydentää erillinen moniste,
Reaaliluvuista Pekka Alestalo Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Nämä kalvot sisältävät tiivistelmän reaaliluvuista ja niihin liittyvistä käsitteistä.
Lisätiedot1. Integrointi n-ulotteisessa avaruudessa
1 Laaja matematiikka 5 Kevät 2010 1. Integrointi n-ulotteisessa avaruudessa Taso-integraali 2 Yleistetään määrätyn integraalin käsite ensin tasoon, sitten 3 n kolmiulotteiseen avaruuteen ja lopuksi yleiseen
LisätiedotFunktiojonon tasainen suppeneminen
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Taina Saari Funktiojonon tasainen suppeneminen Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Elokuu 2009 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen
LisätiedotDIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS
DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1 Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS Huomautus. Analyysin yksi keskeisimmistä käsitteistä on jatkuvuus! Olkoon A R mielivaltainen joukko
LisätiedotAnalyysin peruslause
LUKU 10 Analyysin peruslause 10.1. Peruslause I Aiemmin Cantorin funktion ψ kohdalla todettiin, että analyysin peruslause II ei päde: [0,1] ψ (x) dm(x) < ψ(1) ψ(0). Kasvavalle funktiolle analyysin peruslauseesta
LisätiedotMATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS
f ( n JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS n Harjoitusten 8 ratkaisut Topologiset vektoriavaruudet 2010 8.1. Olkoon P n = {f : K K p on enintään asteen n 1 polynomi} varustettuna
LisätiedotTopologia Syksy 2010 Harjoitus 11
Topologia Syksy 2010 Harjoitus 11 (1) Tarkastellaan tason (a, )-topologiaa. (Tässä topologiassa A R 2 on avoin jos ja vain jos A =, A = R 2 tai A = {(x, y) R 2 x > a ja y > b} joillekin a, b R.) Jokaiselle
LisätiedotMatematiikan peruskurssi 2
Matematiikan peruskurssi Demonstraatiot III, 4.5..06. Mikä on funktion f suurin mahdollinen määrittelyjoukko, kun f(x) x? Mikä on silloin f:n arvojoukko? Etsi f:n käänteisfunktio f ja tarkista, että löytämäsi
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 2. viikolle /
MS-A008 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/207 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 2. viikolle / 8. 2.4. Jatkuvuus ja raja-arvo Tehtävä : Määritä raja-arvot a) 3 + x, x Vihje: c)-kohdassa
LisätiedotPRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011
PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan
LisätiedotMatematiikan peruskurssi 2
Matematiikan peruskurssi Tentti, 9..06 Tentin kesto: h. Sallitut apuvälineet: kaavakokoelma ja laskin, joka ei kykene graaseen/symboliseen laskentaan Vastaa seuraavista viidestä tehtävästä neljään. Saat
LisätiedotMatematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot.
7 Sovelluksia 90 a) Koska sin saa kaikki välillä [,] olevat arvot, niin funktion f ( ) = sin pienin arvo on = ja suurin arvo on ( ) = b) Koska sin saa kaikki välillä [0,] olevat arvot, niin funktion f
LisätiedotMS-C1350 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Harjoitukset 5, syksy Mallivastaukset
MS-C350 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Haroitukset 5, syksy 207. Oletetaan, että a > 0 a funktio u on yhtälön u a u = 0 ratkaisu. a Osoita, että funktio vx, t = u x, t toteuttaa yhtälön a v = 0. b Osoita,
Lisätiedot5 Funktion jatkuvuus ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT Määritelmä ja perustuloksia
ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 2018 5 Funktion jatkuvuus 5.1 Määritelmä ja perustuloksia 1. Tarkastellaan väitettä a > 0: b > 0: c > 0: d U c (a): f(d) / U b (f(a)), missä a, b, c, d R. Mitä funktion
LisätiedotMS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (CHEM) Luento 2: Usean muuttujan funktiot
MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (CHEM) Luento 2: Usean muuttujan funktiot Harri Hakula Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät 2018 1 Perustuu Antti Rasilan luentomonisteeseen
LisätiedotMS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 2: Usean muuttujan funktiot
MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 2: Usean muuttujan funktiot Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 2016 Antti Rasila (Aalto-yliopisto)
LisätiedotAnalyysi 1. Harjoituksia lukuihin 4 7 / Syksy Tutki funktion f(x) = x 2 + x 2 jatkuvuutta pisteissä x = 0 ja x = 1.
Analyysi 1 Harjoituksia lukuihin 4 7 / Syksy 014 1. Tutki funktion x + x jatkuvuutta pisteissä x = 0 ja x = 1.. Määritä vakiot a ja b siten, että funktio a x cos x + b x + b sin x, kun x 0, x 4, kun x
LisätiedotDI matematiikan opettajaksi: Täydennyskurssi, kevät 2010 Luentorunkoa ja harjoituksia viikolle 11: ti klo 13:00-15:30
DI matematiikan opettajaksi: Tädennskurssi, kevät Luentorunkoa ja harjoituksia viikolle : ti 6 klo :-5: Kädään läpi: funktioita f : D f R n R m ja integrointia R n :ssä Oletetaan, että, R n ovat mielivaltaisia
Lisätiedot7. Tasaisen rajoituksen periaate
18 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 7. Tasaisen rajoituksen periaate Täydellisyydestä puristetaan maksimaalinen hyöty seuraavan Bairen lauseen avulla. Bairen lause on keskeinen todistettaessa kahta funktionaalianalyysin
LisätiedotVektorilaskenta, tentti
Vektorilaskenta, tentti 27102017 Tentin kesto n 3 tuntia Vastaa NELJÄÄN tehtävään Jos vastaat kaikkiin, niin neljä PARASTA otetaan huomioon Kuvat vievät tilaa, joten muista kurkistaa paperin toiselle puolelle
LisätiedotDerivaattaluvut ja Dini derivaatat
Derivaattaluvut Dini derivaatat LuK-tutkielma Helmi Glumo 2434483 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Taustaa 2 2 Määritelmät 4 3 Esimerkkejä lauseita 7 Lähdeluettelo
LisätiedotInjektio (1/3) Funktio f on injektio, joss. f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 x 1, x 2 D(f )
Injektio (1/3) Määritelmä Funktio f on injektio, joss f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 x 1, x 2 D(f ) Seurauksia: Jatkuva injektio on siis aina joko aidosti kasvava tai aidosti vähenevä Injektiolla on enintään
Lisätiedotf(tx + (1 t)y) tf(x) + (1 t)f(y) jokaisella x, y A ja t [0, 1].
Tässä luvussa näytetään divergenssilause konveksin joukon tapauksessa. Määritelmä 4.5.1. 1. Joukko R m on konveksi, jos kaikilla x, y pisteet tx + (1 t)y jokaisella t [0, 1]. 2. Olkoon R m konveksi. Funktio
LisätiedotPolkuintegraali yleistyy helposti paloitain C 1 -poluille. Määritelmä Olkoot γ : [a, b] R m paloittain C 1 -polku välin [a, b] jaon
Polkuintegraali yleistyy helposti paloitain C 1 -poluille. Määritelmä 4.1.3. Olkoot : [a, b] R m paloittain C 1 -polku välin [a, b] jaon P = {a = t 1 < < t k = b} ja joukko D R m sellainen, että ([a, b])
Lisätiedot5. Integrointi n-ulotteisessa avaruudessa
71 5. Integrointi n-ulotteisessa avaruudessa Taso-integraali 2 Yleistetään edellä esitetty määrätyn integraalin käsite ensin tasoon, 3 n sitten kolmiulotteiseen avaruuteen ja lopuksi yleiseen :ään. Kaikissa
LisätiedotKOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY exp z., k = 1, 2,... Eksponenttifunktion z exp(z) Laurent-sarjan avulla
KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 11. Integrointi erillisen erikoispisteen ympäri Olkoot f analyyttinen punkteeratussa kiekossa D(z 0.r\{z 0 }. Funktiolla f on erikoispiste z 0.
LisätiedotPositiivitermisten sarjojen suppeneminen
Positiivitermisten sarjojen suppeneminen Jono (b n ) n= on kasvava, jos b n+ b n kaikilla n =, 2,... Lemma Jokainen ylhäältä rajoitettu kasvava jono (b n ) n= raja-arvo on lim n b n = sup n Z+ b n. suppenee
Lisätiedoty = 3x2 y 2 + sin(2x). x = ex y + e y2 y = ex y + 2xye y2
Matematiikan ja tilastotieteen osasto/hy Differentiaaliyhtälöt I Laskuharjoitus 2 mallit Kevät 219 Tehtävä 1. Laske osittaisderivaatat f x = f/x ja f y = f/, kun f = f(x, y) on funktio a) x 2 y 3 + y sin(2x),
Lisätiedota) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3.
Integraalilaskenta. a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. b) Mitä määrätty integraali tietyllä välillä x tarkoittaa? Vihje: * Integraali * Määrätyn integraalin
LisätiedotTopologia Syksy 2010 Harjoitus 4. (1) Keksi funktio f ja suljetut välit A i R 1, i = 1, 2,... siten, että f : R 1 R 1, f Ai on jatkuva jokaisella i N,
Topologia Syksy 2010 Harjoitus 4 (1) Keksi funktio f ja suljetut välit A i R 1, i = 1, 2,... siten, että f : R 1 R 1, f Ai on jatkuva jokaisella i N, i=1 A i = R 1, ja f : R 1 R 1 ei ole jatkuva. Lause
LisätiedotÄärettömät raja-arvot
Äärettömät raja-arvot Määritelmä Funktion f oikeanpuoleinen raja-arvo pisteessä x 0 on + mikäli kaikilla R > 0 löytyy sellainen δ > 0 että f (x) > R aina kun x 0 < x < x 0 + δ. Funktion f oikeanpuoleinen
LisätiedotJohdantoa INTEGRAALILASKENTA, MAA9
Lyhyehkö johdanto integraalilaskentaan. Johdantoa INTEGRAALILASKENTA, MAA9 Integraalilaskennan lähtökohta 1: Laskutoimitukset + ja ovat keskenään käänteisiä, samoin ja ovat käänteisiä, kunhan ei jaeta
LisätiedotTehtävä 1. Oletetaan että uv on neliö ja (u, v) = 1. Osoita, että kumpikin luvuista u ja v on. p 2j i. p j i
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 07) HARJOITUS 8, MALLIRATKAISUT Tehtävä. Oletetaan että uv on neliö ja (u, v) =. Osoita, että kumpikin luvuista u ja v on neliö. Ratkaisu. Olkoon p i alkuluku, joka jakaa luvun
LisätiedotPyramidi 10 Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu 298 Päivitetty
Pyramidi Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu 98 Päivitetty.5. Pyramidi Harjoituskokeet 6.5.7 Ensimmäinen julkaistu versio..7.7 Korjattu ulkoasua ja painovirheitä..8.7 Täydennetty ratkaisuja
LisätiedotMS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 8: Newtonin iteraatio. Taso- ja avaruusintegraalit
MS-A25/MS-A26 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 8: Newtonin iteraatio. Taso- ja avaruusintegraalit Jarmo Malinen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät 216 1 Perustuu
LisätiedotMatematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista
Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Valitse seuraaville säännöille mahdollisimman laajat lähtöjoukot ja sopivat maalijoukot niin, että syntyy kahden muuttujan funktiot (ks. monisteen
LisätiedotAnna jokaisen kohdan vastaus kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella muodossa
Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (* merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä
LisätiedotPreliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009
Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka..9 x x a) Ratkaise yhtälö =. 4 b) Ratkaise epäyhtälö x > x. c) Sievennä lauseke ( a b) (a b)(a+ b).. a) Osakkeen kurssi laski aamupäivällä,4 % ja keskipäivällä 5,6 %.
LisätiedotDerivaatasta ja derivoituvuudesta
Derivaatasta ja derivoituvuudesta Piia Lehtola Matematiikan pro gradu Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Syksy 2018 Tiivistelmä: Piia Lehtola, Derivaatasta ja derivoituvuudesta,
LisätiedotKertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a)
Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.5.6 Kertaus Integraalifunktio ja integrointi KERTAUSTEHTÄVIÄ K. a) ( )d C C b) c) d e e C cosd cosd sin C K. Funktiot F ja F ovat saman
LisätiedotKOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012
KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 7. Integaalilauseita 7.1. Gousatin lemma. (Edouad Jean-Baptiste Gousat, 1858-1936, anskalainen matemaatikko) Olkoon R tason suljettu suoakaide,
LisätiedotVille Suomala INTEGRAALI
Ville Suomala INTEGRAALI Luentotiivistelmä kevät 2018 Aluksi Tämä on kurssin Integraali alustava luentomoniste/tiivistelmä. Klassisessa mielessä integroinnilla tarkoitetaan usein funktion kuvaajan alapuolelle
LisätiedotTodista raja-arvon määritelmään perustuen seuraava lause: Jos lukujonolle a n pätee lima n = a ja lima n = b, niin a = b.
2 Lukujonot 21 Lukujonon määritelmä 16 Fibonacci n luvut määritellään ehdoilla Osoita: 17 a 1 = a 2 = 1; a n+2 = a n+1 + a n, n N a n = 1 [( 1 + ) n ( 2 1 ) n ] 2 Olkoon a 1 = 3, a 2 = 6, a n+1 = 1 n (na
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 4.9.09 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alustavat hyvän vastauksen piirteet on suuntaa-antava kuvaus kokeen tehtäviin odotetuista vastauksista ja tarkoitettu ensisijaisesti
LisätiedotDiplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)
Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut
LisätiedotReaalifunktioista 1 / 17. Reaalifunktioista
säilyy 1 / 17 säilyy Jos A, B R, niin funktiota f : A B sanotaan (yhden muuttujan) reaalifunktioksi. Tällöin karteesinen tulo A B on (aiempia esimerkkejä luonnollisemmalla tavalla) xy-tason osajoukko,
Lisätiedot4.3.7 Epäoleellinen integraali
Esimerkki 4.3.16. (Lineaarinen muuttujien vaihto) Olkoot A R m sellainen kompakti joukko, että A on nollajoukko. Olkoon M R m m säännöllinen matriisi (eli det(m) 0) ja f : R m R jatkuva funktio. Tehdään
Lisätiedot{ 2v + 2h + m = 8 v + 3h + m = 7,5 2v + 3m = 7, mistä laskemmalla yhtälöt puolittain yhteen saadaan 5v + 5h + 5m = 22,5 v +
9. 0. ÄÙ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ Ð Ù ÐÔ ÐÙÒ Ö Ø ÙØ 009 È ÖÙ Ö P. Olkoon vadelmien hinta v e, herukoiden h e ja mustikoiden m e rasialta. Oletukset voidaan tällöin kirjoittaa yhtälöryhmäksi v + h + m = 8 v +
Lisätiedot4. Martingaalit ja lokaalit martingaalit
STOKASTISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 45 4. Martingaalit ja lokaalit martingaalit Lähestymme nyt jo kovaa vauhtia hetkeä, jolloin voimme aloittaa stokastisen integroinnin. Ennen sitä käymme vielä läpi yhtä
LisätiedotMatematiikan tukikurssi, kurssikerta 3
Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus
LisätiedotPYÖRÄHDYSKAPPALEEN PINTA-ALA
PYÖRÄHDYSKAPPALEEN PINTA-ALA PYÖRÄHDYSKAPPALEEN PINTA-ALA Pyörädyskappaleen pinta syntyy, kun funktion kuvaaja pyörätää suoran ympäri., suomennos Matti Pauna LIERIÖ JA KARTIO Lieriöt ja kartiot ovat yksinkertiaisimpia
LisätiedotPreliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4
Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa A
Lisätiedot13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista. Muodosta viidennen asteen Taylorin polynomi kehityskeskuksena origo funktiolle
13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista 13.1. Taylorin polynomi 552. Muodosta funktion f (x) = x 4 + 3x 3 + x 2 + 2x + 8 kaikki Taylorin polynomit T k (x, 2), k = 0,1,2,... (jolloin siis potenssien
LisätiedotJohdatus reaalifunktioihin P, 5op
Johdatus reaalifunktioihin 802161P, 5op Osa 2 Pekka Salmi 1. lokakuuta 2015 Pekka Salmi FUNK 1. lokakuuta 2015 1 / 55 Jatkuvuus ja raja-arvo Tavoitteet: ymmärtää raja-arvon ja jatkuvuuden määritelmät intuitiivisesti
Lisätiedot