Mitta ja integraali 1

Transkriptio

1 Mitta ja integraali 1 Ilkka Holopainen osittain muokannut ja täydentänyt Okko Kanerva tammikuuta Perustuu pääosin luentomonisteisiin Tylli: Mitta ja integraali (2000) ja Väisälä: Diff. Int. III (1985). 2 Ilmoita painovirheistä esim. sähköpostitse osoitteeseen okko.kanerva@helsinki.fi.

2 2

3 Sisältö 0 Taustatietojen kertausta ja täydennystä Käytännön logiikkaa Käytännön joukko-oppia Laajennettu lukusuora [, + ] Järjestys ja välit Peruslaskutoimitukset Raja-arvot, infimum ja supremum Summausteoriaa Jonon lim sup ja lim inf uklidinen avaruus R n Lebesguen mitta R n :ssä Johdanto Lebesguen ulkomitta R n :ssä Lebesgue-mitalliset joukot simerkkejä mitallisista joukoista Yleistä mittateoriaa. Hausdorffin mitta Mitan konvergenssi Lebesguen mitan yhteys Jordanin mittaan pä-lebesgue-mitallinen joukko R:ssä Mitalliset kuvaukset Mitallinen kuvaus Rajafunktion mitallisuus Lebesguen integraali Tapaus 1: yksinkertaiset funktiot Tapaus 2: epänegatiiviset mitalliset funktiot Tapaus 3: integroituvat funktiot Fubinin lauseet w 87 Kirjallisuutta 97 sitietoja Lisämateriaalia

4 4 SISÄLTÖ

5 Luku 0 Taustatietojen kertausta ja täydennystä 0.1 Käytännön logiikkaa Kurssi ei vaadi syvällisiä logiikan opintoja, mutta eksakti päättely ja todistaminen on sillä keskeisessä asemassa. Näiden selventämiseksi tehdään lukijalle myös symbolisen notaation tasolla selväksi ilmausten Jos..., niin... ja Tästä seuraa, että... välinen ero. 1 Näissä kahdessa eri tilanteessa käytämme vastaavasti eri symboleita ja. Korostettakoon vielä, että symbolia käytämme ainoastaan edellisessä merkityksessä! Ilmaus p q luetaan esimerkiksi Jos p, niin q. tai q aina, kun p.. Implikaation merkitys saadaan tutusta totuustaulusta: p q p q Huomaa erityisesti, että sanomalla vaikkapa Tällöin p q. emme ota mitään kantaa siihen, onko p tosi vai ei! Tarkoitamme vain, että väitteiden p ja q sisältö on sellainen, että totuustaulun toinen rivi ei ole mahdollinen. simerkki: Oletetaan, että x R. Tällöin x < 1 x 2 > 1. Lisäksi 0 = 1 x = 2. Tarkastelu/selitys: Väite 0 = 1 on epätosi. Väitteet x < 1, x 2 > 1 ja x = 2 ovat joskus tosia, joskus epätosia mutta niiden totuusarvoilla on tiettyjä suhteita. 1 Lukija on ehkä tottunut siihen, että taulutyylissä molempia on merkitty samalla symbolilla. 5

6 6 LUKU 0. TAUSTATITOJN KRTAUSTA JA TÄYDNNYSTÄ Symboli luetaan esimerkiksi Tästä seuraa, että tai Täten tai Siten tai Siis tai mistä seuraa, että tai joten. Kirjoittamalla, että p qpätee, tarkoitamme, että sekä p että q pätevät ja että lisäksi q:n totuus jotenkin seuraa p:n totuudesta, minkä päättelyn perustelu joskus merkitään nuolisymbolin yläpuolelle. simerkki: Oletetaan, että x R. Tällöin x R. x 2 +1 Tarkastelu: Totesimme lyhyesti oletuksen seurauksia: Tällöin x 2 0, mistä seuraa, 1 että on olemassa reaaliluku. Väitteet x 2 +1 x2 0 ja 1 R ovat molemmat x 2 +1 tosia (riippumatta siitä, mikä reaaliluku x on). Muistettakoon, että kuten implikaatiosuhde, myöskään yhtäpitävyys p q ei kerro p:n ja q:n totuusarvoista sinänsä vaan suhteessa toisiinsa: se, että p q, merkitsee, että p ja q joko ovat molemmat epätosia tai molemmat tosia. Joskus merkitsemme myös toteamallemme implikaatiolle tai ekvivalenssille perustelun ao. nuolen yläpuolelle. Tällainen perustelu voi olla määritelmä tai lause tms.; ellei kumpaakaan ole tarjolla, joudumme perustelemaan itse, jolloin ekvivalenssi on yleensä paras perustella erikseen kahteen eri suuntaan (koska nämä perustelut ovat tavallisesti erilaiset). Myös käytettävä oletus voi olla kätevää merkitä nuolisymbolin ylle. 0.2 Käytännön joukko-oppia Yleisesti ottaen noudatamme Väisälän [Topo I] merkintöjä ja puhetapoja. (Selvä poikkeus on alkukuvan merkinnässä, jonka nuoliosan otamme prof. Toivo Niemiseltä.) Kertaamme tärkeitä asioita ja täydennämme esitystä joukkojen mahtavuustarkastelulla (numeroituvuus). Olkoon X mikä tahansa joukko. Tällöin X:n potenssijoukko on P(X) = {A: A X} ja X:n joukkoperhe (eli perhe X:n osajoukkoja) on mikä tahansa P(X):n osajoukko F P(X). Tällainen F on yksinkertaisesti joukko eli kokoelma X:n osajoukkoja. Perheen F yhdiste on A = { x X : x A jollekin A F } ja leikkaus on A F A F A = { x X : x A kaikille A F }. Olkoon A jokin (indeksi)joukko; oletetaan, että jokaista α A vastaa yksikäsitteinen X:n osajoukko V α X. Toisin sanoen α V α on kuvaus A P(X). Sanomme, että tämä kuvaus on X:n indeksoitu joukkoperhe. 2 Siihen liittyy X:n joukkoperhe F = { V α : α A }, 2 Indeksoitua perhettä voidaan merkitä (V α ) α A. Jos A = N, puhutaan jonosta; (V n ) n N lyh. = (V n ).

7 0.2. KÄYTÄNNÖN JOUKKO-OPPIA 7 mutta joissakin yhteyksissä on syytä muistaa, että tämä sama joukkoperhe (sama joukko) liittyy äärettömän moneen muuhunkin X:n indeksoituun joukkoperheeseen: voimme esim. indeksoida tietyn P(X):n alkion moneen kertaan (ja samalla laajentaa indeksijoukkoa A). 3 Indeksoidun perheen yhdiste on em. perheen F yhdiste, jota merkitään tässä myös V α = { x X : x V α jollekin α A } α A ja vastaavasti leikkaus on α A V α = { x X : x V α kaikille α A }. Merkitsemme myös jos A käy selville asiayhteydestä. α V α ja V α, α simerkki Olkoon F P(X). Yksi tapa muodostaa indeksoitu perhe, johon liittyy perhe F, on käyttää F:ää itseään indeksijoukkona. Tarkemmin: jos α F (jolloin α on X:n osajoukko), merkitään V α = α. Tällöin F = { α : α F } = { V α : α F }. 2. Kun käytetään yksiömerkintää {x}, saadaan yhtälö X = x X{x}. Usein indeksijoukkona on N = {1, 2, 3,...}, jolloin merkitään n N V n tai n=1 V n tai V n, n ja vastaavasti n N V n tai n=1 V n tai V n. Merkinnät (V n ), (V n ) n=1, (V n) n N, ja V 1, V 2,... tarkoittavat (joukkojen) jonoja. Joukkojen A, B X erotus on A B = { x X : x A ja x B }. Joukon B X komplementti (X:n suhteen) on B = X B. 3 Muistamme, että [Topo I] tuli toimeen ilman indeksoidun perheen käsitettä, ja lukija voisi ehkä tässäkin niin tehdä. Alla esitettävät yhdisteet ja leikkaukset, joiden merkinnöissä esiintyy indeksejä, ovat meille se tärkeä asia. n

8 8 LUKU 0. TAUSTATITOJN KRTAUSTA JA TÄYDNNYSTÄ Huomautus 0.2. Tutkimalla alkioita nähdään, että (ks. myös kuva) A B = A B. X A B = A B A B B Lause 0.3. Olkoon (V α ) α A X:n joukkoperhe. Tällöin ovat voimassa ns. de Morganin lait: (0.4) α V α = α V α ja (0.5) α V α = α V α. Olkoon lisäksi B X. Tällöin ovat voimassa ns. osittelulait: (0.6) B ( ) V α = (B V α ) α α ja (0.7) B ( ) V α = (B V α ). α α (Sanomme, että leikkaus osittelee yhdisteen yli ja että yhdiste osittelee leikkauksen yli.) Tod. (0.4): Osoitetaan, että vasemman ja oikean puolen joukolla on samat alkiot: x α V α määr. x α V α α: x V α määr. α: x V α määr. x α V α. (0.5): Vastaavasti (perustuen määritelmiin ja predikaattilogiikkaan). (0.6): x B ( α V α ) määr. määr. x B ja x V α x B ja x V α jollakin α A α määr. x B V α jollakin α A määr. x ( ) B Vα. α (0.7): Vastaavasti.

9 0.2. KÄYTÄNNÖN JOUKKO-OPPIA 9 Kuvat ja alkukuvat Olkoot X ja Y joukkoja ja olkoon f : X Y kuvaus. Osajoukon A X kuva kuvauksessa f on fa = { f(x) : x A } ( Y ). Tätä merkitään tarvittaessa myös f[a], mutta kaarisulkuja emme (Väisälän mukaan) tässä yhteydessä käytä. 4 Merkinnän fa voi lukea f-kuva A:sta. Osajoukon B Y alkukuva kuvauksessa f on f B = { x X : f(x) B } ( X). Tätä merkitään tarvittaessa myös f [B]. Merkinnän f B voi lukea f-alkukuva B:stä. On tärkeää muistaa, että alkukuvaa ei muodosteta käänteisfunktion avulla eihän tuota ole edes yleisesti olemassa! (Siksi emme merkinnässä halua vilauttaa potenssia miinus yksi.) Kannattaa osata takuuvarmasti ulkoa, että (0.8) x f B f(x) B (kaikille x kuvauksen f lähdössä). simerkiksi jos y B, niin x f {y} f(x) = y. Lause 0.9. Olkoon f : X Y kuvaus, (V α ) α A lähdön X ja (W β ) β B maalin Y joukkoperhe. Silloin (0.10) f α V α = α fv α (0.11) f β W β = β f W β (0.12) f β W β = β f W β. Tod. (0.10): Kuvat ja niiden yhdisteet asuvat maalissa Y, joten merkitään alkiota y:llä. y f α V α määr. y = f(x) jollekin x α V α määr. y = f(x) joillekin x V α, α A määr. y fv α jollekin α A määr. y α fv α. (0.11) ja (0.12): Vastaavasti itse asiassa helpommin; käytä kaavaa (0.8). Huomautus Saimme siis tuloksen, että alkukuvan ottaminen säilyttää sekä yhdisteet että leikkaukset ja että kuvan ottaminen säilyttää yhdisteet. (simerkiksi kaava (0.12) voidaan karkeasti lukea f-alkukuva leikkauksesta on leikkaus f-alkukuvista.) Neljäs tapaus on mutkikkaampi: Aina pätee f V α fv α, α α mutta inkluusio voi olla aito. Yhtälö f α V α = α fv α pätee esimerkiksi, jos f on injektio. 4 Sellainen aiheuttaisikin monikäsitteisyyden, sillä aivan hyvin voi olla samanaikaisesti A X ja A X.

10 10 LUKU 0. TAUSTATITOJN KRTAUSTA JA TÄYDNNYSTÄ Numeroituvat ja ylinumeroituvat joukot Numeroituvuus on erittäin tärkeä mittateoriassa! Määritelmä Sanomme 5, että joukko A on numeroituva, jos on olemassa injektio f : A N. Joukko A on ylinumeroituva, jos A ei ole numeroituva. Huomautus Joukon A numeroituvuus merkitsee, että se on bijektiossa jonkin N:n osajoukon kanssa (nimittäin esim. joukon f A). Tällainen on myös tyhjä joukko (sillä on olemassa ns. tyhjä kuvaus N, joka on kyllä injektio). 2. A numeroituva A äärellinen (ml. ) tai numeroituvasti ääretön. Vm. tarkoittaa, että on olemassa bijektio f : A N. 3. Jos A, pätee, että injektio A N surjektio N A. Tästä sovellus: 4. A numeroituva A = {x n : n N} (toisto sallittu, joten A voi olla äärellinen). 5. B A ja A numeroituva = B numeroituva. Lause Oletetaan, että joukko A n on numeroituva jokaiselle n N. Silloin A n on numeroituva. n N (Tästä saadaan, että numeroituva yhdiste numeroituvista joukoista on numeroituva.) Tod. Voi olettaa, että jokainen A n. Tällöin A n on muotoa { x m (n) : m N }. Määritellään kuvaus g: N N n A n, g(n, m) = x m (n). Silloin g on surjektio N N n A n. Riittää löytää surjektio h: N N N, koska silloin g h: N n N A n on surjektio ja siten n A n numeroituva. simerkki surjektiosta h: N N N : (1, 1) =h(1) (2, 1) =h(2) (3, 1) =h(4) (4, 1) =h(7) (5, 1) =h(11). (1, 2) =h(3) (1, 3) =h(6) (1, 4) =h(10) ր ր ր ր (2, 2) =h(5) (2, 3) =h(9) ր ր ր ր ր (3, 2) =h(8) (4, 2) =h(12) ր (3, 3) =h(13) (2, 4) =h(14)... (1, 5) =h(15) 5 Huomaa, että tässä maailma ei ole lähestulkoonkaan saavuttanut terminologista yhtenäisyyttä.

11 0.3. LAAJNNTTU LUKUSUORA [, + ] 11 Seuraus Rationaalilukujen joukko Q = { m n : m, n Z, n 0 } on numeroituva. Syy: Jokaiselle k N on joukko A k = { m n : n, m Z, m k, 0 < n k } äärellinen ja siten numeroituva. Nyt lauseen 0.16 mukaan Q = k N A k on numeroituva. simerkki (Ylinumeroituva joukko.) Väli [0, 1] (ja siten myös R) on ylinumeroituva. Idea: x [0, 1] = x:llä on desimaalikehitelmä x = 0,a 1 a 2 a 3..., missä a j {0, 1, 2,..., 9}. Vastaoletus: [0, 1] numeroituva, jolloin [0, 1] = {x n : n N}. Alkioilla x n on desimaalikehitelmät x 1 = 0,a (1) 1 a (1) 2 a (1) 3..., x 2 = 0,a (2) 1 a (2) 2 a (2) 3..., x 3 = 0,a (3) 1 a (3) 2 a (3) 3...,. x n = 0,a (n) 1 a(n) 2 a(n) 3...a (n) n...,.. Lävistäjällä on lukujono a (1) 1, a(2) 2, a(3) 3,...,a(n) n,..., missä a (n) n on luvun x n n:s desimaali. 6 Määritellään luku x [0, 1] asettamalla x = 0,b 1 b 2 b 3..., missä { a n (n) + 1, jos a (n) n {0, 1, 2,..., 7}, b n = a n (n) 1, jos a (n) n {8, 9}. Saadussa kehitelmässä ei luku 9 esiinny lainkaan, se on siis sopimuksemme mukainen. Luvun x n:s desimaali toteuttaa b n a n (n) = 1 n N, joten x x n n N. Tämä on ristiriita, sillä [0, 1] = {x n : n N}. Siis [0, 1] on ylinumeroituva. 0.3 Laajennettu lukusuora [, + ] Tavalliseen lukusuoraan R liittyvät perusasiat on esitetty esim. kurssimateriaaleissa [Ana I] ja [Ana II]. Laajennamme joukkoa R kahdella uudella alkiolla, joita merkitään ja + 6 Huomaa, että käsite reaaliluvun n:s desimaali ei ole hyvin määritelty niin kuin se usein ajatellaan! Desimaalikehitelmä ei nimittäin aina ole yksikäsitteinen: esim. 0, = 0, (geometriset sarjat). Yksikäsitteisyys kuitenkin saavutetaan vaikka hylkäämällä päättymättömät 9-jonot. Tehdään tässä niin!

12 12 LUKU 0. TAUSTATITOJN KRTAUSTA JA TÄYDNNYSTÄ (tai vain ) mistä kuitenkaan ei pidä luulla, että niiden keskinäinen summa olisi nolla! Ääretön -symboleihin ei kannata liittää tarpeetonta mystiikkaa: otamme vain kaksi oliota, jotka eivät kuulu joukkoon R, ja merkitsemme niitä kuten yllä. Laajennamme R:n järjestyksen ja peruslaskutoimitukset joukkoon Ṙ = R {, } (sikäli kuin mahdollista), samoin merkintöihin lim, inf ja sup liittyvät asiat. Lisäksi otamme käyttöön merkinnät lim inf ja lim sup. Puhumme sarjateoriasta ja summausteoriasta Järjestys ja välit Laajennamme R:n tavallisen järjestyksen joukkoon Ṙ määrittelemällä, että on sen minimi ja + on sen maksimi. Jos nyt a, b R, niin a b tarkoittaa samaa kuin ennenkin ja < x < kaikille x R. Helposti nähdään, mitkä tutut perusominaisuudet ovat yhä voimassa. (Joukon Ṙ relaatio on ns. refleksiivinen, antisymmetrinen ja transitiivinen, ja järjestys on täydellinen eli lineaarinen. Näitä termejä ei tarvitse tällä kurssilla hallita.) Määritelmä Olkoot a, b Ṙ ja a < b. Silloin merkitään [a, b] = { x Ṙ : a x b }, [a, b[ = { x Ṙ : a x < b }, ]a, b] = { x Ṙ : a < x b }, ]a, b[ = { x Ṙ : a < x < b }. Näistä käytetään nimityksiä suljettu väli, puoliavoin väli ja avoin väli. Tarvittaessa selvennämme, puhummeko välistä Ṙ:ssä vai välistä R:ssä. Jos nyt a, b R, niin [a, b] jne. tarkoittavat samaa kuin ennenkin, samoin kuin esim. ], b] ja [a, [. Lisäksi [, ] = Ṙ Peruslaskutoimitukset Laajennamme R:n tavallisen yhteenlaskun ja tavallisen kertolaskun rajoitetusti joukkoon Ṙ. Yhteen- ja kertolaskun reaalisten tapausten lisäksi asetamme alkiolle a +, että a + (+ ) = + = (+ ) + a, a + ( ) = = ( ) + a, kun a ; kun a + ; ( ) + (+ ) ja (+ ) + ( ) ei määritellä; a (+ ) = (+ ) a = a ( ) = ( ) a = +, kun a > 0, 0, kun a = 0,, kun a < 0;, kun a > 0, 0, kun a = 0, +, kun a < 0.

13 0.3. LAAJNNTTU LUKUSUORA [, + ] 13 Huomaa, että kertolasku on Ṙ:ssä rajoituksetta määritelty; esimerkiksi 0 = 0, mikä on monesta syystä hyödyllinen valinta määritelmäksi (jollainen on aina sopimuskysymys). Lukija voi tutkia, mitkä hänen systeemistä (R, +,, ) tuntemansa laskusäännöt ovat voimassa tässä laajennetussa tapauksessa. simerkiksi on suoraviivaista todeta, että jos tarkastellaan joukkoa [0, ] joukon Ṙ = [, ] sijasta, saadaan melko helposti hallittava systeemi: Sekä + että antavat laskutoimitukset joukossa [0, ], 7 ja nämä toteuttavat tutut liitäntä-, vaihdanta- ja osittelulait. Ns. supistussääntöjen kanssa on kuitenkin oltava varovainen: yhteenlaskussa ei voi supistaa :llä, ja kertolaskussa supistaa ei voi paitsi 0:lla ei myöskään :llä; muuten kyllä: kun a, b, c [0, ], niin a + c = b + c = a = b, jos 0 c <, ja ac = bc = a = b, jos 0 < c <. Tämä systeemi ([0, ], +,, ) onkin meille tärkeä summausteoriassa ja integrointiteoriassa (varsinkin kohdassa ja pykälissä 3.1 ja 3.2) Raja-arvot, infimum ja supremum Analyysin kursseissa R:n jonon (x n ) sanottiin suppenevan, jos oli olemassa luku a R niin, että jokaiselle reaaliluvulle ε > 0 on olemassa (kynnys)indeksi n ε N, jolle n > n ε = x n a < ε (kaikille n N). Osoittautui, että jos tuollainen a oli olemassa, se oli yksikäsitteinen. Sitä sanottiin jonon (x n ) raja-arvoksi ja merkittiin esim. lim n x n. (Topologian kurssissa nämä suppenemisen ja raja-arvon käsitteet yleistettiin kaikkiin metrisiin avaruuksiin.) Jos R:n jono ei supennut, sen sanottiin hajaantuvan. Hajaantumisesta poimittiin kaksi erikoistapausta: määriteltiin käsitteet kasvaminen rajatta ja väheneminen rajatta. Näissäkin tapauksissa käytettiin lim-merkintää ja raja-arvoja merkittiin ääretön-symboleilla, vaikka viimeksi mainitut eivät merkinneet mitään oliota! Nyt tilanteemme on uusi ja uudistamme terminologiaa. Pidämme kiinni puhetavasta, että hajaantuminen on suppenemisen vastakohta, mutta laajennamme suppenemisen käsitettä. Sallimme raja-arvoiksi oliot ± samoin jonon jäseniksi. Määritelmä Olkoon (x n ) on jono Ṙ:ssä. Sanomme, että se suppenee (Ṙ:ssä), jos 1. joko on olemassa sellainen a R, että ε ]0, [ n ε N: n > n ε x n a < ε (sanomme: (x n ) suppenee a:han) 2. tai tai M R n M N: n > n M x n > M M R n M N: n > n M x n < M (sanomme: (x n ) kasvaa rajatta) (sanomme: (x n ) vähenee rajatta). 7 Ts. kumpikin muodostaa kuvauksen [0, ] [0, ] [0, ].

14 14 LUKU 0. TAUSTATITOJN KRTAUSTA JA TÄYDNNYSTÄ On helppo nähdä, että suppenevien jonojen (luonnollisella tavalla määritellyt) raja-arvot ovat edelleen yksikäsitteisiä; merkitsemme niitä kuten ennenkin. 8 Huomaa, että jos R:n jono (x n ) on sellainen, että on olemassa lim x n Ṙ R, niin jono (x n) suppenee Ṙ:ssä mutta hajaantuu R:ssä! simerkki Jono,,,... kasvaa rajatta ja siis suppenee. Samoin jono 1, 2, 3,... suppenee. Huomaa, että tämä jälkimmäinen on samalla jono R:ssä, mutta se ei suppene [Ana I]:n mielessä! (Asia on luonnollinen: [Ana I]:ssähän ei ole oliota, joka olisi jonon 1, 2, 3,... raja-arvo. Siinä kurssissa symbolilla ei ole itsenäistä merkitystä, symbolia käytetään vain osana tiettyjä merkintöjä. Toisin on meillä.) Lukija voi nyt tutkia, miten [Ana I]:n lukujonoja koskevia lauseita voi mahdollisesti muotoilla uudella tavalla tai yleistää ottaen huomioon tämän laajennetun tilanteemme. Varoitus Jonojen tulon raja-arvosääntö ei päde yleisesti tilanteessa, jossa puhutaan raja-arvoista Ṙ:ssä! (i edes, vaikka itse jonot olisivat R:ssä.) Voidaan esimerkiksi helposti konstruoida sellaiset R:n jonot (x n ) ja (y n ), että on olemassa lim x n = 0, lim y n = ja lim x n y n =. Tässä tapauksessa (lim x n ) (lim y n ) lim(x n y n ). Olemmehan määritelleet, että 0 = 0. Määritelmän muuttaminenkaan ei pelastaisi tulosääntöä, sillä yksinkertaisesti tilanteessa, että (x n ) ja (y n ) suppenevat, ei tulojonon (x n y n ) edes tarvitse supeta ja jos se suppenee, sen raja-arvo voi olla mikä tahansa Ṙ:en alkio! Tulosääntö on siis esimerkki lauseesta, joka pätee suppenemiselle R:ssä mutta ei päde suppenemiselle Ṙ:ssä. Uudistamme vastaavasti sarjateorian terminologiaa: Määritelmä Oletetaan, että n=1 x n on sarja Ṙ:ssä. Sanomme, että sarja suppenee (Ṙ:ssä), jos sen osasummien jono ( n k=1 x k) n N suppenee (Ṙ:ssä). Suppenevan sarjan summa on sen osasummien jonon raja-arvo, ja sitä merkitään samoin kuin sarjaa itseään. Nyt siis reaalilukusarja suppenee [Ana I]:n mielessä, jos ja vain jos se suppenee tämän kurssin mielessä ja sen summa on äärellinen (tarkoittaa: reaaliluku). Seuraavaksi palautamme mieleen [Ana I]:stä käsitteet joukon suurin alaraja eli infimum ja pienin yläraja eli supremum. Kaikilla R:n osajoukoilla ei tällaisia ollut, mutta täydellisyysaksiooman mukaan jokaisen alhaalta rajoitetun epätyhjän osajoukon alarajoista jokin on suurin ja jokaisen ylhäältä rajoitetun epätyhjän osajoukon ylärajoista jokin on pienin. Toisin sanoen: jos R, niin :n reaalisten alarajojen joukossa A on maksimi, kunhan A on epätyhjä, ja :n reaalisten ylärajojen joukossa Y on minimi, kunhan Y on epätyhjä. (Tämä on hyvin syvällinen R:n ominaisuus eikä päde esim. Q:lle.) Helposti nähtiin, että jos :llä on infimum, se on yksikäsitteinen; sitä merkitään esim. inf. Vastaava pätee supremumille (sup ). 8 Syvemmin topologiaan paneutuva huomaa, että tässäkin suppenemisen ja raja-arvon käsite ovat erikoistapauksia yleisestä. Tällä kurssilla kuitenkaan Ṙ:tä eli [, + ]:tä ei tarkastella topologisena avaruutena.

15 0.3. LAAJNNTTU LUKUSUORA [, + ] 15 simerkki Jos = { 1 n : n N }, niin ja jos = { n : n N } = N, niin inf = 0 ja sup = max = 1, inf = min = 1 mutta sup R. Lyhyt perustelu osalle väitteistä: Joukon minimi on väkisin sen alarajojen maksimi, siis joukon infimum. Tällainen on helppo tapaus. Vaikeampi tapaus on inf n N Siinä käytännössä ensin arvataan, että suurin alaraja olisi olemassa ja olisi luku 0. Sitten perustellaan, että 0 todella on alaraja ts. että 1 0 kaikille n N. Lopuksi osoitetaan n jollain tavalla, että suurempia alarajoja ei ole. Viimeksi mainitusta esitämme kaksi vaihtoehtoa, jotka tässä yksinkertaisessa tapauksessa tosin näyttävät melkein samoilta. I: Olkoon m > 0 reaaliluku. Koska 1 < m, kun n > 1/m, ei m ole alaraja.9 n II: Olkoon ε > 0 reaaliluku. Löydetäänkö n N, jolle alkio 1 < 0+ε? Kyllä, valitsemalla n n > 1/ε Siis infimumin epsilon-kriteerin 0.25 nojalla 0 = inf n N. n Tässä kurssissa kuitenkin sallimme infimumiksi ja supremumiksi myös oliot ± Ṙ. Määritelmät ovat teknisesti aivan entisenlaisia, puhutaan vain systeemistä (Ṙ, ) sen sijaan, että puhuttaisiin systeemistä (R, ) kuten [Ana I]:ssä. Laajennetulla lukusuoralla tilanne on yksinkertainen: Jokaisella (epätyhjällä) osajoukolla Ṙ on inf Ṙ ja sup Ṙ. (Formaalisti katsoen on olemassa jopa inf, sup Ṙ.) simerkiksi inf R = inf Ṙ = ja sup N =. simerkin 0.24 väitteet (ja perustelut) pätevät silti edelleen. Koska reaaliset infimum ja supremum ovat kurssin kannalta hyvin tärkeitä, koostamme ja kirjaamme esitiedoistamme työkaluiksi kaksi teknistä lausetta (katso [Ana I]:n lauseet 2.3, 2.4 ja 2.5 sivulla 12): Lause (Infimumin epsilon-kriteeri) Olkoon R ja g R. Tällöin inf = g, jos ja vain jos seuraavat kaksi ehtoa ovat molemmat voimassa: 1. Luku g on :n alaraja (ts. jokaiselle x on x g). 2. Jokaiselle reaaliluvulle ε > 0 on olemassa x, jolle x < g + ε. Lause (Supremumin epsilon-kriteeri) Olk. R ja G R. Tällöin sup = G, jos ja vain jos seuraavat kaksi ehtoa ovat molemmat voimassa: 1. Luku G on :n yläraja (ts. jokaiselle x on x G). 2. Jokaiselle reaaliluvulle ε > 0 on olemassa x, jolle x > G ε. 9 Tässä olennaista on tietysti, että luonnollisia lukuja n > 1/m on olemassa, koska tarvitsemme tietää, että on olemassa muotoa 1 n (n N) olevia lukuja, jotka ylittävät alarajakandidaatin m. Olemassaolo saadaan kuitenkin vakiotavalla, vetoamalla ns. Arkhimedeen lauseeseen. 10 Periaatteessa vetoamme taas Arkhimedeen lauseeseen. 1. n

16 16 LUKU 0. TAUSTATITOJN KRTAUSTA JA TÄYDNNYSTÄ Lauseet 0.25 ja 0.26 ovat karakterisaatioita siinä mielessä, että ne tarjoavat määritelmälle täysin vaihtoehtoisen tavan selvittää, onko annettu luku tietyn joukon infimum tai supremum vai ei. (Tällä siis viittaamme siihen, että lauseissa annetaan yhtäpitävä luonnehdinta.) Lopuksi päivitämme kaksi [Ana I]:n tärkeää tulosta, joissa yhdistyvät lim ja inf tai sup. Ko. monisteen lauseet 4.8 ja 4.9 (s. 25) yhdistämällä saadaan, että R:n monotoninen lukujono suppenee R:ssä, jos ja vain jos se on rajoitettu. Laajennetulla lukusuoralla kuitenkin jokainen monotoninen jono suppenee. Lause Olkoon (x n ) kasvava jono Ṙ:ssä. Silloin (x n) suppenee Ṙ:ssä. Tarkemmin: lim x n = sup x n. n Tod. Merkitään = { x n : n N }. Muistamme, että joka tapauksessa sup Ṙ. Tapaus sup < : Nyt :llä on siis reaalisia ylärajoja eli on ylhäältä rajoitettu. Siis mikäli jonolla (x n ) on häntä R:ssä, [Ana I, lause 4.8 (s. 25)] sanoo, että se suppenee R:ssä, ja lauseen todistus kertoo, että lim x n = sup. Muussa tapauksessa (x n ) on vakiojono (,,...), jolloin väite pätee triviaalisti. n N Tapaus sup = : Se, ettei :llä ole pienempiä ylärajoja kuin, merkitsee, ettei :llä ole reaalisia ylärajoja. Jos siis M R, ei M ole :n yläraja eli ainakin yhdelle n 0 N on x n0 > M. Mutta koska jono on kasvava, on x n x n0 > M kaikille n > n 0. Tämä merkitsee (M0.20:n mukaan olihan luku M mielivaltainen), että (x n ) kasvaa rajatta. Ja tämä on juuri sitä, mitä tarkoitamme väitteellä, että lim x n =. Lause Olkoon (x n ) vähenevä jono Ṙ:ssä. Silloin (x n) suppenee Ṙ:ssä. Tarkemmin: lim x n = inf x n. n n N Tod. Vastaavasti. Korollaari Olkoon n=1 x n sarja, jossa x n [0, ] jokaiselle n N. Silloin sarja n=1 x n suppenee. Sen summa on sup n n N k=1 x k ( [0, ]). Tod. Osasummien jono on Ṙ:n kasvava jono. Vastaava tulos saadaan sarjoille, joissa x n [, 0].

17 0.3. LAAJNNTTU LUKUSUORA [, + ] Summausteoriaa Olkoon A mielivaltainen joukko, ja olkoon annettu a α R jokaiselle α A. Miten voisimme määritellä summan α A tai onko sellainen jo määritelty? Onko lukija tottunut vaatimaan, että A =? Huomattakoon ensin, että indeksijoukkoon A ei ole annettu mitään järjestystä. Jos A on äärellinen, tiedetään, ettei summaamisen järjestyksellä olekaan väliä. Mutta lukija saattaa tietää sarjateoriasta, että jos A on (numeroituvasti) ääretön, on summattavien a α järjestys oleellinen! simerkiksi sarjasta , jonka summa on ln 2, saadaan termien järjestystä vaihtamalla sarja, jonka summa on mikä tahansa ennalta annettu Ṙ:n alkio! (Tällöin on tietysti vaihdettava äärettömän monen termin paikka.) Siitä saadaan vieläpä sarja, jolla ei ole summaa lainkaan joka ei suppene Ṙ:ssä. Kuitenkin [Ana II]:ssa on osoitettu (ks. lause III.3.4 s. 72), että positiivitermisessä sarjassa termien järjestys ei vaikuta suppenemiseen eikä (suppenemisen tapauksessa) summaan. Rajoitummekin tarkastelemaan tilannetta, jossa a α [0, ] kaikille α A. Teoriamme on siinä suhteessa yleisempi kuin sarjateoria, ettemme rajoitu numeroituvaan indeksijoukkoon. Määritelmä Oletetaan, että I on mielivaltainen joukko ja a i [0, ] jokaiselle i I. Jos osajoukko J I on äärellinen, merkitään ja S J = a i, mihin kuuluu erikoistapaus S = 0, i J a i = sup{ S J : J I äärellinen }. i I Huomaa, että näin tuli määritellyksi summa jokaiselle (jopa ylinumeroituvalle) perheelle epänegatiivisia reaalilukuja (tai + :iä)! Summa on hyvin määritelty, sillä kaksi epäilyttävää kohtaa eivät tuota ongelmaa: a α Alkiot a i, kun i käy läpi äärellisen J:n, on järjestettävä ennen (tavallista iteroitua) summaamista, mutta järjestyksen valinta ei vaikuta summan arvoon. Jos itse I on äärellinen, on merkintä S I määritelty kahteen kertaan, mutta kumpikin johtaa samaan lopputulokseen, koska silloin joukossa { S J : J I äärellinen } on maksimi S I ensimmäisessä merkityksessä. Tässä käytämme sitä, että termit eivät ole negatiivisia, jolloin S J on sitä suurempi, mitä suurempi on J. Lemma rikoistapauksessa I = N olkoon a i [0, ] jokaiselle i N. Silloin n a i = lim a i. n i N Toisin sanoen i N a i = a i eli tässä tapauksessa määritelmän 0.30 yleinen summa on sarjan summa.

18 18 LUKU 0. TAUSTATITOJN KRTAUSTA JA TÄYDNNYSTÄ Tod. Merkitään J n = {1,...,n} jokaiselle n N ja S = i N a i (joka joka tapauksessa on olemassa Ṙ:ssä). Nyt ( SJn )n N kasvava jono L0.27 lim S Jn = sup S Jn n n N S M0.30 = sup{ S J : J N äärellinen } Toisaalta merk. = S, J n äärell. n N: S Jn S S S. J N äärellinen n N: J J n a i 0 = n N: S J S Jn S. Siis S on joukon { S J : J N äärellinen } yläraja. Siksi S S (sup:n määritelmä). Seuraavissa sekä I että J on mielivaltainen indeksijoukko ja alkio a (i,j) eli lyhyesti a ij kuuluu joukkoon [0, ] jokaiselle (i, j) I J. Lemma (i,j) I J a ij = i I j J a ij = j J a ij. Tod. Merkitään S vas = vasemmanpuoleisin summa, S kes = keskimmäinen summa ja S oik = oikeanpuoleisin summa. (a) Jos A I J on äärellinen, niin äärelliset I I, J J se. A I J, jolloin S A S I J ( ) = i I j J a ij i I a ij S kes. Yhtälö ( ) perustuu siihen, että I J on äärellinen. Siis S vas S kes (käytetään sanontaa otetaan sup yli kaikkien A ; epäyhtälön syy on sama kuin lemman 0.31 todistuksen lopussa). (b) Olkoon I I äärellinen ja J i J äärellinen jokaiselle i I. Merkitään i I j J A = { (i, j) : i I, j J i }. Silloin S vas S A = a ij. i I j J i Otetaan (jokaiselle i I erikseen) supremumit yli äärellisten J i S vas a ij. i I j J J, jolloin saadaan Ottamalla nyt supremum yli äärellisten I I saadaan S vas S kes. Kohdista a ja b saadaan S vas = S kes. Vastaavasti voidaan osoittaa, että S vas = S oik. Korollaari ij = (i,j) N Na a ij = a ij. i N j N j N i N

19 0.3. LAAJNNTTU LUKUSUORA [, + ] Jonon lim sup ja lim inf Olkoon a 1, a 2,... jono Ṙ:ssä. Kullekin k N merkitään (0.34) b k = sup a i ja c k = inf a i i k i k (jolloin b k, c k Ṙ). Koska { a i : i k } { a i : i k + 1 }, on (0.35) (0.36) b 1 b 2 b k b k+1 c 1 c 2 c k c k+1, ja joten lauseiden 0.28 ja 0.27 nojalla on olemassa raja-arvot (0.37) lim b k = inf b k = β ja lim c k = sup k k N k k N c k = γ (sallitaan ± ). Määritelmä Olkoon (a i ) jono Ṙ:ssä. dellä saatuja Ṙ:n alkioita β ja γ merkitään β = lim sup a i i tai lima i i γ = lim inf i i tai lima i i yläraja-arvo eli limes superior, alaraja-arvo eli limes inferior. Huomautus Jokaisella Ṙ:n jonolla (a i) on Ṙ:ssä yksikäsitteinen ylä- ja alaraja-arvo: ( ) ( ) lim sup a i = lim sup a i = inf sup a i, i k i k k N i k ( ) ( ) lim inf a i = lim inf a i = sup inf a i. i k i k k N i k simerkki ,,,,... ; kaikille k on b k =, c k = ; β =, γ =. 2. 1, 2, 3, 4,... ; kaikille k on b k =, c k = k ; β = = γ. 3. 0, 1, 0, 1, 0, 1,... ; kaikille k on b k = 1, c k = 0 ; β = 1, γ = , 1, 0, 2, 0, 3,... ; kaikille k on b k = 0, c k = ; β = 0, γ =. Lause Oletetaan, että (a i ) on mielivaltainen jono Ṙ:ssä. (i) Aina on lim inf i a i lim sup i a i. (ii) Jos on olemassa i 0, jolle a i M kaikille i i 0, niin lim sup i a i M. (iii) Jos on olemassa i 0, jolle a i m kaikille i i 0, niin lim inf i a i m. Tod. Käytetään sitä, että raja-arvon ottaminen säilyttää tyyppiä olevat epäyhtälöt. (i): k 1: c k b k γ = lim k c k lim k b k = β.

20 20 LUKU 0. TAUSTATITOJN KRTAUSTA JA TÄYDNNYSTÄ (ii): ( k i 0 : b k M) β = lim k b k M. (iii): ( k i 0 : c k m) γ = lim k c k m. Alaraja-arvo on siis aina korkeintaan yläraja-arvo. Osoittautuu, että jonon suppeneminen Ṙ:ssä voidaan karakterisoida sillä, että ala- ja yläraja-arvot yhtyvät: Lause Olkoon (a i ) jono Ṙ:ssä. Tällöin Suppenemisen tapauksessa lim a i ( Ṙ) lim inf i i a i = lim sup a i ( Ṙ). i lim a i = lim inf i i a i = lim sup a i i (± sallitaan). Tod. : Oletetaan, että on olemassa α = lim i a i. On osoitettava (pykälän alun merkinnöin), että β = γ. Lauseen 0.41 mukaan γ β aina. rotetaan tapauksia: (a1) α R: (a2) α = : ε > 0 supp. määr. = i 0 se. α ε < a i < α + ε kaikille i i 0 inf, sup määr. 2 = α ε 0.34 c i γ β 0.37 b i M R (a3) α = vastaavasti. ε mieliv. γ = β supp. määr. = i 0 se. a i > M kaikille i i 0 inf, sup määr. = M 0.34 c i M mieliv. γ β γ = β = α + ε : Oletetaan, että (pykälän alun merkinnöin) β = γ merk. = α. On osoitettava, että on olemassa lim i a i = α. (b1) α R: ε > 0 L0.25 ja L0.26 = k 1 se. b k1 < inf b k + ε 0.37 = β + ε = α + ε ja k k 2 se. c k2 > sup c k ε 0.37 = γ ε = α ε k 0.35 ja 0.36 = b k < α + ε kaikille k k 1 ja c k > α ε kaikille k k = α ε < c k a k b k < α + ε kaikille k max{k 1, k 2 } ε mieliv. määr. α = lim k a k

21 0.4. UKLIDINN AVARUUS R N 21 (b2) α = : Käytetään hyväksi sitä, että nyt sup k N c k 0.37 = γ =. M R sup määr. = k 0 se. c k0 > M = 0.36 c k > M kaikille k k 0 inf määr. = a k 0.34 c k > M kaikille k k 0 M mieliv. määr. lim k a k = (b3) α = vastaavasti. 0.4 uklidinen avaruus R n Tämä pykälä on kertausta [Topo I]:stä. sitämme (samastamme) n-ulotteisen euklidisen avaruuden eri muodoissa, esimerkiksi: R n = n kpl {}}{ R R (karteesinen tulo). Alkoita kutsutaan pisteiksi tai vektoreiksi; x R n x = (x 1,...,x n ), missä x j R kaikille j = 1,...,n. Algebrallinen rakenne Pisteiden eli vektorien x, y R n summa on x + y = (x 1 + y 1,..., x n + y x ) R n. Reaaliluvun eli skalaarin λ R ja vektorin x R n tulo on λx = (λx 1,..., λx n ) R n. Origo eli nollavektori on 0 = 0 = (0,...,0). Pisteen eli vektorin x R n vastavektori on x = ( 1)x = ( x 1,..., x n ). Pisteiden x, y R n erotus on x y = x + ( y). Avaruudessa R n summa ja reaaliluvulla kertominen toteuttavat vektoriavaruuden aksioomat (ks. [Topo I, 1.1]), esimerkiksi kaikille x, y R n ja λ, µ R on x + y = y + x, x + 0 = 0 + x = x, λ(x + y) = λx + λy, (λ + µ)x = λx + µx.

22 22 LUKU 0. TAUSTATITOJN KRTAUSTA JA TÄYDNNYSTÄ Pisteiden x, y R n sisätulo on x y = n x i y i R. delleen pisteen x R n normi on x = ( n ) 1/2 x x = x i x i [0, [. uklidinen etäisyys R n :ssä Pisteiden x, y R n etäisyys on ( n ) 1/2 ( ) 2 x y = xi y i. Usein merkitään d(x, y) = x y. Tällöin d on metriikka R n :ssä, ts. kuvaus d: R n R n R toteuttaa (metriikan) ehdot: d(x, y) 0 x, y R n d(x, y) = 0 x = y d(x, y) = d(y, x) x, y R n d(x, y) d(x, z) + d(z, y) x, y, z R n (kolmioepäyhälöt, -ey). Avoimet ja suljetut joukot R n :ssä uklidinen metriikka d määrää R n :ään avoimet ja suljetut joukot (ja siten R n :n topologian) seuraavasti: Olkoon x R n ja r ]0, [. Joukko B(x, r) = { y R n : y x < r } on avoin (x-keskinen, r-säteinen) kuula (engl. ball) ja S(x, r) = { y R n : y x = r } on (x-keskinen, r-säteinen) pallo (tai pallonkuori) (engl. sphere). Vastaavasti on suljettu (x-keskinen, r-säteinen) kuula. B(x, r) = {y R n : y x r } Määritelmä Joukko V R n on avoin, jos x V r x ]0, [ se. B(x, r x ) V. Joukko V R n on suljettu, jos sen komplementti V = R n V on avoin.

23 0.4. UKLIDINN AVARUUS R N 23 S(x, r) r x y > 0 B(x, r) y x r simerkki Kirjassa [Topo I] on todistettu mm. seuraavaa: 1. B(x, r) on avoin kaikille pisteille x R n ja reaaliluvuille r > 0 ( -ey, ks. yo. kuva). 2. Suljettu kuula B(x, r) on suljettu joukko. 3. R n ja ovat sekä avoimia että suljettuja. 4. Puoliavoin väli, esim. [0, 1[, ei ole avoin eikä suljettu. Huomautus Joukon A R n sulkeuma on A = { x R n : x A tai x on A:n kasautumispiste }. Piste x R n on joukon A R n kasautumispiste, jos kaikille reaaliluvuille r > 0 on B(x, r) (A {x}). Avaruudessa R n pätee, että B(x, r) = B(x, r). Varoitus: Joskus kuulaa B(x, r) kutsutaankin palloksi, jolloin S(x, r):ää on kutsuttava pallonkuoreksi. Huomautus Jos (X, d) on metrinen avaruus, ts. d: X X R toteuttaa metriikan ehdot, voidaan määritellä X:n avoimet ja suljetut joukot (metriikan d suhteen) kuten edellä korvaamalla lauseke y x lausekkeella d(y, x). Seuraava tulos pätee yleisestikin: Lause Olkoon A mikä tahansa indeksijoukko. Silloin (0.48) V α R n avoin α A = α A V α avoin; (0.49) V α R n suljettu α A = α A V α suljettu; (0.50) V 1,...,V k R n avoimia = (0.51) V 1,...,V k R n suljettuja = k V j avoin; k V j suljettu.

24 24 LUKU 0. TAUSTATITOJN KRTAUSTA JA TÄYDNNYSTÄ Tod. Vertaa [Topo I]:een. (0.48): x α A V α = α 0 A se. x V α0, x V α0 avoin = avoin kuula B(x, r) V α0 α A V α. (0.49): V α suljettu α = (0.48) = α = α V α avoin α de Morg. V α = V α avoin V α α suljettu. (0.50) ja (0.51): Harjoitustehtävä. Huomautus On hyvä harjoitustehtävä perustella itselleen, että V j avoin j N V j suljettu j N V j avoin, V j suljettu.

25 Luku 1 Lebesguen mitta R n :ssä 1.1 Johdanto Geometrinen lähtökohta: Jos I = [a, b] R on suljettu väli, sen pituus (engl. length) on luku l(i) = b a. Vastaavasti R:n avoimella ja puoliavoimella välillä on luonnollinen pituus. Yleistääksemme sanomme, että joukko I R n on n-väli, jos se on muotoa I = I 1 I n, missä kukin I j R on väli (joko avoin, suljettu tai puoliavoin). b 2 I a 2 a 1 b 1 Kirjan [Topo I] nojalla ym. I on avoin (vastaavasti suljettu) joukko R n :ssä, jos ja vain jos jokainen I j on avoin (vastaavasti suljettu) R:ssä. Vastaavasti I on rajoitettu, jos ja vain jos jokainen I j on rajoitettu. Olkoon nyt I rajoitettu n-väli, ja olkoot välit I j kuten edellä. Silloin jokaisella I j :llä on päätepisteinä kaksi reaalilukua, sanokaamme a j, b j R, missä a j < b j. Sanomme, että I:n geometrinen mitta on luku n l(i) = (b 1 a 1 )(b 2 a 2 ) (b n a n ) = (b j a j ). (Jos n = 1, käytämme myös termiä pituus; jos taas n = 2, pinta-ala; jos n = 3, tilavuus.) Asetamme lisäksi, että l( ) = 0. Tavoitteeksi voisimme asettaa määritellä yleinen mitta joka toteuttaisi seuraavat ehdot: 25

26 26 LUKU 1. LBSGUN MITTA R N :SSÄ (1) Mitan arvo m n () olisi määritelty jokaiselle osajoukolle R n ja 0 m n (), toisin sanoen meillä olisi kuvaus mitta m n : P(R n ) [0, ]. (2) Jos I on rajoitettu n-väli, niin m n (I) = l(i). (3) Jos ( k ) on jono erillisiä R n :n osajoukkoja, ts. j k = kun j k, niin ( ) m n k = m n ( k ) ( täysadditiivisuus ). k=1 k=1 (4) Mitta m n olisi siirtoinvariantti, ts. m n ( + x) = m n () kaikille R n ja x R n (missä + x = { y + x : y }). Osoittautuu, ettei kaikkia ehtoja (1) (4) voida samanaikaisesti toteuttaa. Seuraavassa, kun konstruoimme (n-ulotteisen) Lebesguen mitan m n, luovumme ehdosta (1) ja saamme aikaan kuvauksen m n : Leb R n [0, ], joka toteuttaa ehdot (2), (3) ja (4), missä Leb R n P(R n ) on Lebesgue-mitallisten joukkojen perhe. Perhe Leb R n sisältää mm. kaikki R n :n avoimet ja suljetut joukot. 1.2 Lebesguen ulkomitta R n :ssä Olkoon A R n. Tarkastellaan A:n numeroituvia avoimia peitteitä F = {I 1, I 2,...}, missä kukin I k R n on rajoitettu avoin n-väli tai ja A I k. (Huomaa, että tässä F voi olla äärellinen; vrt. huomautus 0.15, kohta 4.) k=1 A

27 1.2. LBSGUN ULKOMITTA R N :SSÄ 27 m. tilanteessa sanomme, että F on A:n Lebesguen peite. Muodostetaan summa (1.1) S(F) = I F l(i). Näin S(F) [0, ] on hyvin määritelty, sillä jokainen l(i) 0. Huomautus Käytimme määritelmää Koska F on numeroituva, saamme summan S(F) myös tavallisemmin sarjan summana (ks. 0.31) tai jopa (äärellisen monen alkion) iteroituna eli aivan tavallisena summana. Tämä vaatii kuitenkin tarkkuutta: 2. Summassa (1.1) yhteenlaskettavat on indeksoitu n-väleillä I {I 1, I 2,...}. Jos ne sen sijaan indeksoidaankin käyttäen kuvausta k l(i k ), saattavat jotkin termit toistua, jolloin ne tulevat summaan mukaan monta kertaa ja summasta tulee (yleensä) eri. (simerkiksi voisi olla I 1 = I 2 = I 3 =.) Kuitenkin: Jos joukon F esityksessä {I 1, I 2,...} kukin n-väli on indeksoitu täsmälleen kerran, vastaavat geometristen mittojen indeksoinnit I l(i) ja k l(i k ) toisiaan ja (lemma 0.31) S(F) = l(i k ). Jos taas F = {I 1, I 2,...,I m } eikä n-välien toistoja nytkään ole, on S(F) = k=1 m l(i k ). k=1 Kaava (1.1), jossa käytettiin määritelmän 0.30 yleistä summaa, kattoi kätevästi nämä molemmat tapaukset (sekä äärellisen että numeroituvasti äärettömän peitteen) eikä myöskään ollut herkkä sille, että joukon esityksessä saa alkioita luetella monta kertaa ilman että joukko muuttuu. Huomaa vielä, että termit voi (indeksoida ja) summata missä järjestyksessä tahansa. 3. (Toinen ratkaisu olisi ollut määritellä geometristen mittojen summa jonolle (I k ) k N eikä perheelle { I k : k N }. Tätä vaihtoehtoa ei kurssissamme puida enempää.) Määritelmä 1.3. Joukon A R n n-ulotteinen (Lebesguen) ulkomitta on Huomautus 1.4. m n (A) = inf { S(F) : F on A:n Lebesguen peite }. 1. Merkitään J k = { x R n : x j < k j = 1,...,n}, joka on avoin n-väli kaikille k > 0. Selvästi R n = J k, k=1 joten määritelmän A:lla aina on Lebesguen peitteitä.

28 28 LUKU 1. LBSGUN MITTA R N :SSÄ 2. Koska S(F) [0, ] kaikille A:n Lebesguen peitteille F, on myös m n (A) [0, ]. Tämä pätee jokaiselle A R n. Siten A m n (A) on kuvaus m n : P(Rn ) [0, ]. rityisesti m n on määritelty koko P(Rn ):ssä. (Vrt. johdantopykälän 1.1 tavoitteisiin.) 3. Joskus joukko A ajatellaan (samastetaan) usean eri R n :n osajoukoksi. Silloin ulkomitta m n(a) voi riippua dimensiosta n. Jos n on selvä asiayhteydestä, merkitsemme lyhyemmin m (A) = m n (A). 4. Olkoon A R n. Joskus (harvoin) A on sellainen, että määritelmän 1.3 joukossa { S(F) : F on A:n Lebesguen peite } on minimi. Silloin siis on mahdollista löytää A:n Lebesguen peite F, jolle S(F) = m (A). Tämä on helppo tapaus. Kuitenkin usei(mmite)n löydetään vain jokaiselle ε > 0 sellainen A:n (haluttaessa ääretön) Lebesguen peite F ε, että (vrt. L0.25) m (A) S(F ε ) m (A) + ε. (Koska sallitaan m (A) =, yhtälön mahdollisuus on tarjottava.) Huomaathan, että tällainen F ε ei voi olla sama kaikille ε > 0, ellei ole S(F ε ) = m (A). 5. Myöhemmin osoitetaan, että Lebesguen ulkomitan m n määrittelyssä olisi voitu käyttää suljettuja n-välejä avoimien sijasta (ja saada sama käsite). simerkki Olkoon n = 2 ja olkoon A = { (x, 0) : a x b } R 2 (jana tasossa). Väite: m 2(A) = 0. Tod. Olkoon ε > 0 ja I ε = ]a ε, b + ε[ ] ε, ε[ R 2 avoin 2-väli. joten m 2 (A) = 0. A I ε 0 m 2(A) l(i ε ) = 2ε(b a + 2ε) ε 0 0, 2. Olkoon n = 1. Tarkastellaan rationaalilukujen joukkoa Q R. Väite: m 1 (Q) = 0. Tod. Q numeroituva, joten Q = {q j : j N}. Olkoon ε > 0 mielivaltainen. Jokaisella j N olkoon I j = ] q j ε 2 j+1, q j + ε [ R 2 j+1 avoin väli. Sen pituus l(i j ) = 2ε/2 j+1 = ε/2 j. q j I j j N Q j I j 0 m 1 (Q) l(i j ) = ε 2 = ε 1 j 2 = ε ε 0 0, j joten m 1 (Q) = 0. (II tapa: Käytetään infimumin epsilon-kriteeriä 0.25.)

29 1.2. LBSGUN ULKOMITTA R N :SSÄ A R n numeroituva m n (A) = 0 (kuten 2). 4. Olkoon A R n rajoitettu joukko, ts. R > 0 se. A B(0, R). Silloin A I, missä I = n kpl ] R, R[ ] R, R[ on avoin n-väli. R A R Saadaan arvio m (A) l(i) = (2R) n. Lebesguen ulkomitan ominaisuuksia Lause 1.6. (1) m n ( ) = 0; (2) monotonisuus : A B = m n (A) m n (B); (3) subadditiivisuus : A 1, A 2,... jono R n :n osajoukkoja = ( ) m n A j m n (A j). Huomautus 1.7. (3) koskee myös äärellistä yhdistettä k A j (valitaan = A k+1 = ). Tod. (1): Selvä. (2): Olkoon A B, ja olkoon F mikä tahansa B:n Lebesguen peite. A B F on myös A:n Lebesguen peite M1.3 m n(a) S(F). Ottamalla infimum yli kaikkien B:n Lebesguen peitteiden (ts. käyttämällä inf B:n määritelmää) saadaan nyt, että m n (A) m n (B). (3): Olkoon (A j ) jono P(R n ):ssä. Merkitään A = j A j. Olkoon ε > 0. Jokaiselle j valitaan A j :n Lebesguen peite F j = {I j1, I j2,...}, missä luettelossa ei ole toistoja, se. S(F j ) m n (A j) + ε/2 j.

30 30 LUKU 1. LBSGUN MITTA R N :SSÄ (Valinta on mahdollista eli ko. peitteitä on olemassa: vrt. huomautuksen 1.4 kohta 4.) 1 Nyt F = j F j = { I jk : j N, k N } on A:n Lebesguen peite, joten m n(a) M1.3 S(F) H1.8 S(F j ) [Ana II] m n(a j )+ ε/2 j geom. = m n(a j )+ε. Antamalla ε 0 epäyhtälössä 2 m n(a) m n(a j ) + ε saadaan väite. Huomautus 1.8. Yllä epäyhtälöön S(F) S(F j) tarvitaan summausteoriaa: S(F) (1.1) = l(i) ( ) I F (j,k) N N l(i jk ) L0.32 = j N l(i jk ) k N ei toist. = S(F j ) L0.31 = j N S(F j ). Huomaa, että lemmoja 0.31 ja 0.32 voitiin käyttää, koska summattavat ovat joukossa [0, ]. Kohtaan ( ) tulee epäyhtälön mahdollisuus, koska peitteelle F käytetty lukupari-indeksointi saattaa sisältää toistoja. (Muista huomautus 1.2.) Lause 1.9. Olkoon A R n. Silloin kaikille x R n on (1.10) m n(a + x) = m n(a), missä A + x = { y + x : y A }, ja kaikille t ]0, [ on (1.11) m n(ta) = t n m n(a), missä ta = { ty : y A }. Tod. HT. Huomautus Subadditiivisuus ei päde yleisyydessä ( ) (1.13) m n A i m n(a i ), missä A i R n kaikille i I ja I on ylinumeroituva indeksijoukko. Syy: R n = x R n {x} ja m n ({x}) = 0 x Rn. Jos (1.13) pätisi, niin olisi i I i I ( 0 m n (Rn ) = m n {x} ) (1.13) m n x R n x R n ({x}) M0.30 = 0. Toisaalta myöhemmin todetaan, että m n (Rn ) =, ristiriita. Siis (1.13) ei päde! 1 Monasti sanaa valitaan (väärin)käytetään merkityksessä ( otetaan mielivaltainen ), jossa olemassaoloa ei tarvitse perustella. Tässä materiaalissa niin ei tehdä, vaan valinta on aina voitava perustella mahdolliseksi. 2 Tässä eivät enää häiritse perheet F j ja F, jotka riippuvat ε:sta vaikkei sitä merkitty!

31 1.3. LBSGU-MITALLIST JOUKOT Lebesgue-mitalliset joukot Määrittelemme R n :n (Lebesgue-)mitalliset joukot, Leb R n, ns. Carathéodoryn ehdon avulla. Subadditiivisuudesta (lause 1.6, kohta (3)) saadaan, että jos A, B R n, niin m (A B) m (A) + m (B). Jos A B, on yo. epäyhtälö usein aito. Kuitenkin myöhemmin nähdään, että on olemassa sellaiset A, B R n, että A B = mutta silti m (A B) < m (A) + m (B), mikä merkitsee, ettei m ole ns. täysadditiivinen. Tällaisista tapauksista halutaan eroon hylkäämällä osa osajoukoista: Olkoon R n annettu joukko ja A R n mielivaltainen (sanomme: testijoukko ). Nyt A = (A ) (A ) (erillinen yhdiste) m subadditiivinen m (A) m (A ) + m (A ). A A A Määritelmä (Carathéodoryn ehto vuodelta 1914.) Joukko R n on (Lebesgue-) mitallinen, jos m (A) = m (A ) + m (A }{{ } ) kaikille A R n. =A Huomautus R n mitallinen m (A) m (A ) + m (A ) kaikille A R n, joille m (A) <. Syy: seuraa aina subadditiivisuudesta, ja pätee automaattisesti, jos m (A) =. Määritelmä Jos R n on mitallinen, niin merkitään m() = m (), tarvittaessa m n (). Sanomme, että m() on :n n-ulotteinen (Lebesguen) mitta. delleen merkitään Leb R n = { R n : on Lebesgue-mitallinen } P(R n ).

32 32 LUKU 1. LBSGUN MITTA R N :SSÄ Siis m = m Leb R n : Leb R n [0, ] Myöhemmin näytetään, että Lause Olkoon R n. Silloin pätee: Leb R n P(R n ). m () = 0 mitallinen. Tod. Oletetaan, että m () = 0. Olkoon A R n testijoukko. A monot. m (A ) = 0 ulkomitan rajoittuma. A A monot. m (A) m (A ) = 0 + m (A ) = m (A ) + m (A ) Lause Olkoon R n. Silloin pätee: H1.15 mitallinen. mitallinen mitallinen. Tod. Symmetrian takia riittää osoittaa : Olkoon mitallinen ja A R n. Silloin m (A) = m (A ) + m (A ) = m ( A ) + m (A ) M1.14 on mitallinen. simerkki Numeroituvat joukot ovat mitallisia, samoin sellaisten komplementit: rikoistapaukset: R n numeroituva L1.17 = mitallinen = m () = 0 L1.18 = mitallinen. Leb R, Q Leb R (rationaaliluvut), R Leb R, R Q Leb R (irrationaaliluvut). Pykälän lopuksi haluamme osoittaa ( Lebesgue-mitallisten joukkojen peruslause ), että jos 1, 2,... ovat mitallisia, samoin ovat myös i ja i. Tätä varten tarvitsemme useita lemmoja. Aloitamme äärellisestä tapauksesta. Lemma Jos 1,..., k ovat mitallisia, samoin ovat k i ja k i.

33 1.3. LBSGU-MITALLIST JOUKOT 33 Tod. Olkoon k N ja olkoot 1,..., k R n mitallisia. (a) yhdiste: Koska ( k k 1 ) i = i k, riittää käsitellä tapaus k = 2. Olkoon A R n testijoukko. 1 mitallinen m (A) = m (A 1 ) + m (A 1 ) 2 mitallinen, testijoukkona A 1 m (A 1 ) = m (A 1 2 ) + m (A 1 2 ) missä Siten m (A) = m (A 1 ) + m (A 1 2 ) +m (A }{{} 1 2 ) subadd. m (B), B merk. = (A 1 ) (A 1 2 ) ositt. = A ( 1 ( 1 2 ) ) ositt. = A ( ( 1 1 ) ( 1 2 ) ) = A ( R n ( 1 2 ) ) = A ( 1 2 ). m (A) eo. m (B) + m (A 1 2 ) de M. = m ( A ( 1 2 ) ) + m ( A ( 1 2 ) ). Koska A oli mielivaltainen, on 1 2 mitallinen. B 1 2 A A 1 (b) leikkaus: nojalla on mitallinen. de Morganin lain, komplementin mitallisuuden (L1.18) ja kohdan (a) k k i = i

34 34 LUKU 1. LBSGUN MITTA R N :SSÄ Lause Jos 1 ja 2 ovat mitallisia R n :n osajoukkoja, myös 1 2 on mitallinen. Tod. 1 2 = 1 2. Lemma Olkoot 1,..., k erillisiä ja mitallisia ja A R n mielivaltainen. Tällöin m ( k ) k A i = m (A i ) A 2 Tod. Käytetään matemaattista induktiota: Tapaus k = 2: 1 mitallinen, testijoukkona A ( 1 2 ) merk. = B 1 2 = m (B) = m (B }{{} 1 ) + m (B }{{} 1 =A 1 =A 2 ) = m (A 1 ) + m (A 2 ). Siis väite pätee, kun k = 2. Induktioaskel: Oletetaan, että p 2 ja väite pätee, kun k = p, eli että 1,..., p mitallisia p i j = i j A R n = m ( ) p A i = m (A i ). Tällöin saadaan, kun 1,..., p+1 ja A ovat vastaavanlaisia, että A p+1 i = A (( p ) ) i p+1 p i ja p+1 erillisiä ja mitallisia m ( A p+1 Siis väite pätee, kun k = p + 1. i ) k=2 = m ( A k=p = = p ) i + m (A p+1 ) p m (A i ) + m (A p+1 ) p+1 m (A i ).

35 1.3. LBSGU-MITALLIST JOUKOT 35 Lemma Olkoon = i, missä i :t ovat mitallisia. Tällöin on olemassa erilliset ja mitalliset joukot F i i se. = F i. Tod. Valitaan F 1 = 1, F 2 = 2 1, [mitallinen suoraan oletuksen mukaan] [mitallinen lauseen 1.21 nojalla]. F k = k.. k 1 i, [mitallinen lemman 1.20 ja lauseen 1.21 nojalla] 1 = F 1 2 F 2 = 3 F 3 = Tällöin (selvästi) F i i i, = F i ja F i F j = i j. Lebesgue-mitallisten joukkojen peruslause Lause Olkoon 1, 2,... jono (tai olkoon ( 1,..., p ) p-jono) mitallisia joukkoja. Tällöin joukot ja i ovat mitallisia. Jos joukot i ovat lisäksi erillisiä, niin ( ) (1.25) m i = m( i ) ( täysadditiivisuus ). i i i Tod. Siinä tapauksessa, että on annettu p-jonollinen i :tä, tiedetään lemmasta 1.20, että yhdiste ja leikkaus ovat mitallisia, ja mikäli nämä i :t ovat erillisiä, yhtälö (1.25) seuraa lemmasta 1.22, kun siinä valitaan A:ksi koko avaruus R n. Seuraavassa oletetaankin, että joukkoja i on (päättymätön) jono. i i

36 36 LUKU 1. LBSGUN MITTA R N :SSÄ Lemmasta 1.23 saadaan mitalliset ja erilliset joukot F i, joille S merk. = merk. S k = i = F i ; k F i kaikille k, jolloin jokainen S k S. Lemman 1.20 nojalla jokainen S k on mitallinen. Osoitetaan, että myös S on mitallinen: Olkoon A testijoukko. Silloin m (A) M1.14 = m (A S k ) + m (A S k ) monot. m (A S k ) + m (A S) ( k ) ositt. = m (A F i ) + m (A S) L1.22 = k m (A F i ) + m (A S) kaikille k N. Antamalla k saadaan, että (1.26) m (A) subadd. L1.6 m (A F i ) + m (A S) ( ) m (A F i ) + m (A S) ositt. = m ( A ) F i + m (A S) = m (A S) + m (A S). Koska testijoukko A oli mielivaltainen, huomautuksen 1.15 nojalla S = i i on mitallinen. Seuraavaksi todistetaan lauseen lisäväite tässäkin tapauksessa. Sitä varten huomataan, että epäyhtälö (1.26) pätee myös, kun A = S = i F i. Saadaan: m(f i ) subadd. m(s) (1.26) =F i =0 {}}{{}}{ m ( S F i ) + m (S S) = m(f i ). Jos i :t ovat erillisiä, niin olisi voitu ilman lemmaakin käyttää F i = i jokaiselle i, jolloin yltä näemme, että (1.25) pätee. Lopulta nähdään tämän lauseen jo todistetun alkuosan sekä lauseen 1.18 perusteella, että i i on mitallinen, koska se on i i. Lopuksi otetaan tekninen esimerkki, jossa sovelletaan monia edellisen ja tämän pykälän tuloksia.

37 1.4. SIMRKKJÄ MITALLISISTA JOUKOISTA 37 simerkki Oletus: A R 2 on se. (1.28) m ( A B(x, r) ) x r 3 x R 2, r > 0. Väite: m(a) = 0. Tod. Tarkastellaan kahta tapausta. (a) Joukko A on rajoitettu: Tällöin A Q = [ a, a] [ a, a] (suljettu neliö) jollekin a. Olkoon n N. Jaetaan Q suljettuihin (osa)neliöihin Q j, joiden sivun pituus on 2a/n ja lukumäärä on n 2. Olkoon x j neliön Q j keskipiste. Silloin: x j 2a ja Q j B(x j, 2a/n) (karkeita arvioita) m (A Q j ) monot. m ( A B(x j, 2a/n) ) (1.28) x j (2a/n) 3 (2a) 4 n 3. A = n 2 (A Q j ) ( subadd. n2 ) m (A) = m (A Q j ) n 2 m (A Q j ) yo. n 2 (2a) 4 n 3 = (2a) 4 n 1, mikä toimii kaikille n N. Kun annetaan n, saadaan, että m (A) 0. Siis m (A) = 0, joten lauseen 1.17 mukaan A on mitallinen ja määritelmän 1.16 mukaan m(a) = 0. (b) Yleinen tapaus: A = j NA j, missä jokainen A j = A B(0, j) on rajoitettu. Jokaiselle j N on A j A monot. A j :lle pätee sama ehto (1.28) (a) m(a j ) = 0. Siis subadditiivisuuden nojalla m(a) = simerkkejä mitallisista joukoista Kaikki konkreettiset esimerkit tähän mennessä ovat perustuneet siihen, että m (A) = 0 = A ja A mitallisia. Tässä pykälässä osoitamme, että mm. avoimet ja suljetut joukot ovat mitallisia. nsin: I R n rajoitettu n-väli (avoin, suljettu, jne.) = I mitallinen ja m(i) = l(i).