MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ (1 piste/kohta)

Transkriptio

1 MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ ( piste/kohta) Sivu / 8 Kohta Vaihtoehdon numero A B C D E F 3. a) Ainakin yhdet sulut kerrottu oikein auki 6x 4x x( 3x) Ratkaistu nollakohdat sieventämisen lisäksi 0 Ratkaistu nollakohdat ilman sievennysvaihetta max b) Muodostettu tulo \sqrt{6}/ * \sqrt{6}/3 TAI yhtälö \sqrt{6}/ = 3/\sqrt{6} TAI lähdetty manipuloimaan /\sqrt{6} 3/\sqrt{6} päädytty laskuilla identiteettiin c) Idea neliöinnistä, esim. ()^ suoritettu lasku oikein Ei perustelua neliöinnille. 0 < sijaan \le 0 Kerrottu puolitn \sqrt{a+b}, ei vielä hyvä alku Empiirinen päättely 0 3. a) a ( 3) 3 b ( ) ( 7) 50 5 ab ( ) ( 3) ( 7) 9 b-kohdassa kelpaa myös \sqrt{50} 0 b) Integraalifunktio 3x Integraalifunktio /3 x^{3/} Vastaus 45 Vastauksessa neliöjuuri 4. a) Vastaus x 0 ja x 3. (Perusteluja ei vaadita) (0,0) ja (3,0) 0 Vastaus x= ja x=3, ellei selvää, että kyse on kirjoitusvirhe 0 b) Funktio on kasvava, kun 0 x 5. x 3 ei mukana Yläraja puuttuu 0 \le ja < sekaisin 0 c) Merkkikaavio TAI pisteet, 0, 3 ja 5 TAI piste x=0 joten ainoa ääriarvokohta on x=0, joka on minimi

2 Sivu / 8 5. Laskettu ensimmäinen voittotodennäköisyys Laskettu kaikki voittotodennäköisyydet (/37, 3/37, 8/37) Komplementtitapahtumien todennäköisyydet (36/37, 34/37, 9/37) Voittojen arvot (35,, ) Häviön arvot Vastaus -/37 ( ) Voittotodennäköisyyden sijaan häviötodennäköisyys 0 Vain 36 alkeistapausta max 4 Tyyppitapaus: 3* 0,97 4p Odotusarvo 37 pelin sarjalle ( ) 5p 6. Napapiirin säde on r Rsin ( 540,4... km). Ensimmäinen piste hyvästä alusta, esim. piirros. Tunnelin pituus 3590 km. Ensimmäinen piste hyvästä alusta, esim. piirros. Napapiirillä lyhemmän kaaren pituus 3990 km 4000 km. Ensimmäinen piste hyvästä alusta, esim. piirros kaava \pi r/4. Virhe säteen laskemisessa, kahdesta jälkimmäisestä kohdasta Muu säde, esim. maapallon säde (pisteet kohditn 0++) max4 max

3 Sivu 3 / 8 7. Kuva, jossa kolmion sivun pituudet (5, 5 ja 6) () Kuvassa lisäksi näkyvissä korkeusjana ja 3+r +r pituus () pienemmän ympyrän keskukseen Kolmion korkeus h=4 Pienen ympyrän etäisyys kannasta -r Pythagoraan lauseella yhtälö muodostettu Ratkaisu r=/5 Laskettu kulmilla mutta oletettu, että pieni ympyrä on kulman max3 puolittajalla laskettu likiarvoilla max5 Huomaa, että tehtävän voi ratkaista kosiinilauseella (Kuva p, huippukulma p, sivunpituudet p, kosiinilauseella yhtälö p, vastaus p) 8. a) Koska xy tasossa z 0, on tason yhtälö muotoa x y kz 3. Koska taso kulkee pisteen (,4,6) kautta, niin pisteen koordinaatit toteuttavat sen yhtälön, eli 4 6k 3 joten k 7 ja yhtälö on siten x y 7 z 3 6x y 7z vektorimuoto OP OA t AB sac Laskettu AB ja AC Vastaus a(x-)+b(y-4)+c(z-6)=0 generoitu kaksi muuta pistettä tasolla, yksi piste ja sijoitettu se vastaus b) x=3 TAI (3,0,0) y=3/ TAI (0,3/,0) z=-8/7 TAI (0,0,-8/7) Ratkaistu oikealla menetelmällä a-kohdan virheellisestä vastauksesta - Vastauksessa (3,0) ja (0,3/) -

4 9.. Palautuskaava luvun 0 laskemiseksi on x 0 x n,,3,... Iteroitu laskimella ja saatu x 5,003 0 n n x n, jossa Sivu 4 / 8 x 4, Verlu:, joten suhteellinen virhe on noin 0, % Iterointi askel kerrallaan x:n ja y:n arvot laskemalla alkuarvoilla x, y 0 x 0,5, 40,9047 y //4 x 6,03, y 3, x 4,734, y 4, x 4, (Yksi arvo oikein p, kaksi arvoa oikein p, kaikki oikein 4p) x 5,003 0 Verlu:, joten suhteellinen virhe on noin 0, % Kaava puuttuu, kaikki x-arvot näkyvissä max6 Virhe pienempi kuin 0, % -0 Verlu väärin päin (\sqrt{0}/x_5) max4

5 Sivu 5 / Koska f (0) 0, niin f (0 h) f (0) erotusosamäärä h h g( h) hg( h). h Koska gh ( ) 0 kaikilla h, niin lim hg( h) 0, h0 joten f on derivoituva kohdassa x 0. lim h * \lim g(h) - -0h \le h g(h) \le 6h, argumentti suppiloperiaattella (ei tarvitse max6 nimellä mainita) 0. Koska kaikki luvun 6 potenssit päättyvät kuutoseen (todettu, a) perusteltu kokeilulla) niin tekevät myös kaikki luvun 06 potenssit. Viimeinen numero on siten 6. Laskimesta 6 0 b) 06^{06} = 0^{666,859.} 0, , , joten kaksi ensimmäistä numeroa ovat 7 ja. Laskimesta 7.695e+666 Joten 7 c) Eksponentista nähdään, että luvussa on = 6 66 numeroa. Vastattu 666 Käytetty lg:n sijaan ln:a, b&c kohdassaa yhteensä (näppäilyvirhe), 666,8 tilalla 5339,48 Toinen logaritmi, ei näy 0 potenssia 0. Tölkin pohjaympyrän säde on r ja korkeus h. Tilavuusehto antaa rh 000 Pohjan pinta-ala \pi r^, vaipan pinta-ala \pi r h Minimoidaan siis lauseketta 4 r r r r r (sievennystä ei vaadita) Derivaatta on 8\pi r 000/r^ 3 3 Derivaatan nollakohta r 50 r 50 r 5 3 antaa minimin h Kysytty suhde on TAI / 3 r r r r 50

6 Sivu 6 / 8 Minimointi laskimella, vastauksena tarkka arvo Minimointi laskimella, vastauksena likiarvo /m^ ja /m^ puuttuu lausekkeesta max6 max5 max. a) Piirretty y sin t kuvaaja Todettu pinta alat välillä 0, ja, samoiksi, josta johtopäätös f ( ) f ( ). Todettu integraalin yhteys funktion ja x-akselin väliin jäävän pintaalan kanssa (yleensä kuvan kanssa, selkeä selitys) kuvaajan y sin t tapauksessa kaava f ( ) 0 sin t dt sint dt laskimella b) Kun 0 t, niin sint sint. sin t dt f ( ), esim. x x Nyt sin sin / x t dt t dt ( cos t) cos x cos0 cos x x. Kun t, niin sint sint. Nyt 0, kun x x sin t dt sin t dt ( sin t) dt 0 0 / / x ( cos t) cost cos cos0 cos x cos 3 cos x, kun x. cos x, 0 x Vastaus: f( x) 3 cos x, x Vain tapaus x=\pi 0 Laskimella vastaus b-kohdassa max3 0

7 Sivu 7 / 8 3. Tetraedrin pohjakolmion sivut ovat a b, b c ja a c. Kolmioiden alat ovat A bc, B ac ja C ab x h b c Kuvion merkinnöin: a b x h a c Vähentämällä yhtälöt puolitn: b x a b x a b x b a, josta x. a b Tällöin h b c x b a b 4 b c ( a b )( b c ) b a b b c a c a b a b 4 joten D a b h a b b c a c 4 A B C b c a c a b D TAI: Jos tetraedrin huippu on origossa, niin sen pohjatason yhtälö on x y z T :, a b c josta kertomalla puolitn lausekkeella abc saadaan yhtälö bcx acy abz abc. Origon etäisyys tasosta T = tetraedrin korkeus a 0 b0 c 0 abc abc h b c a c a b b c a c a b Koska tetraedrin tilavuus on toisaalta 3 ab c 6abc, niin saadaan abc yhtälö 3D 6abc b c a c a b, josta D b c a c a b. Koska akselitasoissa olevien kolmioiden alat ovat A bc, B ac C ab A B C b c a c a b D. ja, niin TAI: Muodostetaan tetraedrin kärkiä yhdistävät vektorit XY u ai b j ja XZ v ai ck. (Kuvio ) 4.

8 Sivu 8 / 8 i j k Tällöin u v a b 0 bci ac j abk. a Kolmion XYZ pinta ala on 0 c D u v b c a c a b. Koska akselitasoissa olevien kolmioiden alat ovat A bc, B ac ja C ab, niin A B C b c a c a b D Heronin kaavan avulla perustellen 4. Pistetulon kosinilauseen avulla laskettu pohjakolmion jonkin kulman kosini, josta päätelty vastaavan kulman sini ja edelleen pinta ala Ratkaistu koko tehtävä olettaen korkeuteen asti) a b c (piste jos pääsee kolmion D max Kuvio Kuvio