Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1"

Transkriptio

1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

2 Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kaksiulotteiset todennäköisyysjakaumat Kaksiulotteisten jakaumien reunajakaumat ja riippumattomuus Kaksiulotteisten jakaumien odotusarvot ja varianssit Kovarianssi ja korrelaatio Ehdolliset jakaumat ja odotusarvot TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 2

3 Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat: Mitä opimme? 1/5 Yhden satunnaismuuttujan todennäköisyysjakaumat kuvaavat useimpia satunnaisilmiötä vain rajoitetusti. Satunnaisilmiöihin liittyy tavallisesti useita satunnaisia tekijöitä, joiden väliset riippuvuudet ovat varsinaisen mielenkiinnon kohteina. Useiden satunnaisten tekijöiden välisten riippuvuuksien mallintaminen vaatii tekijöihin liittyvien satunnaismuuttujien yhteisjakauman tarkastelua. Jos usean satunnaismuuttujan yhteisjakauma tunnetaan, hallitaan myös muuttujien erilaisten kombinaatioiden muodostamat reunajakaumat. Satunnaismuuttujat ovat riippumattomia, jos ja vain jos niiden yhteisjakauman pistetodennäköisyys- tai tiheysfunktio voidaan esittää reunajakaumien pistetodennäköisyys- tai tiheysfunktioiden tulona. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 3

4 Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat: Mitä opimme? 2/5 Usean satunnaismuuttujan yhteisjakauman karakteristisia ominaisuuksia kuvataan erilaisilla tunnusluvuilla. Yhteisjakauman satunnaismuuttujien odotusarvot määräävät ko. satunnaismuuttujien reunajakaumien todennäköisyysmassojen painopisteet. Yhteisjakauman satunnaismuuttujien odotusarvot määräävät yhdessä ko. satunnaismuuttujien yhteisjakauman todennäköisyysmassan painopisteen. Yhteisjakaumien satunnaismuuttujien varianssit tai standardipoikkeamat kuvaavat ko. satunnaismuuttujien reunajakaumien todennäköisyysmassan vaihtelua omien odotusarvojensa ympärillä. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 4

5 Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat: Mitä opimme? 3/5 Satunnaismuuttujien X ja Y kovarianssi kuvaa satunnaismuuttujien X ja Y yhteisjakauman todennäköisyysmassan yhteisvaihtelua niiden odotusarvojen muodostaman lukuparin määräämän pisteen ympärillä. Kahden satunnaismuuttujan X ja Y lineaarisen riippuvuuden voimakkuutta kuvataan muuttujien korrelaatiolla. Satunnaismuuttujien X ja Y korrelaatiokertoimella Cor(X,Y) on seuraavat ominaisuudet: (i) 1 Cor(X,Y) +1 (ii) Jos satunnaismuuttujat X ja Y ovat riippumattomia, niin Cor(X,Y) = 0 (iii) Jos Cor(X,Y) = ±1 niin satunnaismuuttujien välillä on eksakti lineaarinen riippuvuus. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 5

6 Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat: Mitä opimme? 4/5 Mitä suurempi on Cor(X,Y) sitä voimakkaammin muuttujat X ja Y riippuvat lineaarisesti toisistaan. Satunnaismuuttujien riippumattomuudesta seuraa aina niiden korreloimattomuus, mutta satunnaismuuttujien korreloimattomuudesta ei välttämättä seuraa niiden riippumattomuutta. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 6

7 Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat: Mitä opimme? 5/5 Satunnaismuuttujien välisiä riippuvuuksia voidaan luonnehtia ns. ehdollisten jakaumien avulla. Ehdollisen jakauman odotusarvoa kutsutaan ehdolliseksi odotusarvoksi ja ehdollisen jakauman varianssia kutsutaan ehdolliseksi varianssiksi. Ehdollista odotusarvoa kutsutaan ehtomuuttujien arvojen funktiona regressiofunktioksi. Regressiofunktioita käytetään apuna, kun satunnaismuuttujan käyttäytymistä pyritään ennustamaan toisten satunnaismuuttujien saamien arvojen avulla. Regressiofunktiot muodostavat teoreettisen perustan tilastotieteen ehkä tärkeimmälle menetelmälle regressioanalyysille; ks. lukuja Johdatus regressioanalyysiin ja Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 7

8 Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat: Esitiedot Esitiedot: ks. seuraavia lukuja: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Jakaumien tunnusluvut TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 8

9 Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat: Lisätiedot Kahta tärkeätä moniulotteista jakaumaa (multinomi- ja kaksiulotteista normaalijakaumaa) esitellään luvussa Moniulotteisia jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 9

10 Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat: Huomautus Vaikka tässä luvussa rajoitutaan pääasiassa kaksiulotteisiin todennäköisyysjakaumiin, esitetty teoria voidaan ilmeisellä tavalla laajentaa useampiulotteisiin todennäköisyysjakaumiin. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 10

11 Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat >> Kaksiulotteiset todennäköisyysjakaumat Kaksiulotteisten jakaumien reunajakaumat ja riippumattomuus Kaksiulotteisten jakaumien odotusarvot ja varianssit Kovarianssi ja korrelaatio Ehdolliset jakaumat ja odotusarvot TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 11

12 Kaksiulotteiset todennäköisyysjakaumat Avainsanat Diskreetti kaksiulotteinen jakauma Diskreetti kaksiulotteinen satunnaismuuttuja Jatkuva kaksiulotteinen jakauma Jatkuva kaksiulotteinen satunnaismuuttuja Kaksiulotteinen satunnaismuuttuja Kaksiulotteinen todennäköisyysjakauma Kertymäfunktio Pistetodennäköisyysfunktio Symmetrinen todennäköisyyskenttä Tiheysfunktio Yhteisjakauma TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 12

13 Kaksiulotteiset todennäköisyysjakaumat Satunnaistekijöiden väliset riippuvuudet Yhden satunnaismuuttujan todennäköisyysjakaumat kuvaavat useimpia satunnaisilmiötä vain rajoitetusti. Satunnaisilmiöihin liittyy tavallisesti useita satunnaisia tekijöitä, joiden väliset riippuvuudet ovat mielenkiinnon kohteina. Useiden satunnaisten tekijöiden välisten riippuvuuksien mallintaminen vaatii tekijöihin liittyvien satunnaismuuttujien yhteisjakauman tarkastelua. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 13

14 Kaksiulotteiset todennäköisyysjakaumat Esimerkkejä riippuvuustarkasteluista Miten työttömyysaste Suomessa (% työvoimasta) riippuu BKT:n kasvuvauhdista, viennin volyymista ja BKT:n kasvuvauhdista muissa EUmaissa ja USA:ssa? Miten alkoholin kokonaiskulutus (l per capita vuodessa) riippuu alkoholijuomien hintatasosta, käytettävissä olevista tuloista ja alkoholin saatavuudesta? Miten todennäköisyys sairastua keuhkosyöpään (p) riippuu tupakoinnin määrästä ja kestosta? Miten vehnän sato (t/ha) riippuu kesän keskilämpötilasta, sademäärästä, maan muokkaustavoista, lannoituksesta ja tuholaisten torjunnasta? TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 14

15 Kaksiulotteiset todennäköisyysjakaumat Kaksiulotteiset satunnaismuuttujat Olkoot X ja Y satunnaismuuttujia, joiden otosavaruudet ovat R ja S. Tällöin X : S Y : R Olkoon R S otosavaruuksien R ja S karteesinen tulo: R S = {(,) r s r R, s S} Satunnaismuuttujien X ja Y järjestetty pari (X, Y) määrittelee kaksiulotteisen satunnaismuuttujan: ( XY, ): S R 2 TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 15

16 Kaksiulotteiset todennäköisyysjakaumat Diskreetit kaksiulotteiset satunnaismuuttujat ja niiden jakaumat Olkoot X ja Y diskreettejä satunnaismuuttujia. Tällöin järjestetty pari (X, Y) määrittelee diskreetin kaksiulotteisen satunnaismuuttujan. Diskreetti kaksiulotteinen satunnaismuuttuja (X, Y) määrittelee diskreetin kaksiulotteisen todennäköisyysjakauman, jota kutsutaan satunnaismuuttujien X ja Y yhteisjakaumaksi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 16

17 Kaksiulotteiset todennäköisyysjakaumat Diskreetit kaksiulotteiset jakaumat: Pistetodennäköisyysfunktio Reaaliarvoinen funktio f XY määrittelee diskreettien satunnaismuuttujien X ja Y yhteisjakauman pistetodennäköisyysfunktion, jos seuraavat ehdot pätevät: (1) f ( xy, ) 0 kaikille xja y XY 2 : 4 4 (2) fxy ( x, y ) = 1 x y (3) Pr( X = x ja Y = y) = f ( x, y) XY TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 17

18 Kaksiulotteiset todennäköisyysjakaumat Diskreetit kaksiulotteiset jakaumat: Tapahtumien todennäköisyydet Olkoon f XY diskreettien satunnaismuuttujien X ja Y yhteisjakauman pistetodennäköisyysfunktio. Olkoon 2 A 4 jokin tapahtuma. Tällöin 2 : 4 4 = Pr(( X, Y) A) f ( x, y) ( xy, ) A XY TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 18

19 Kaksiulotteiset todennäköisyysjakaumat Diskreetit kaksiulotteiset jakaumat: Symmetriset todennäköisyyskentät Olkoon (x i, y i ), i = 1, 2,, n erillisten tason pisteiden muodostama diskreetti pistejoukko. Määritellään diskreetin kaksiulotteisen jakauman pistetodennäköisyysfunktio kaavalla 1 f XY ( xi, yi ) = Pr( X = xi ja Y = yi ) =, i= 1,2,..., n n Tällöin satunnaismuuttuja (X, Y) määrittelee symmetrisen todennäköisyyskentän, jossa kaikki alkeistapahtumat (x i, y i ), i = 1, 2,, n ovat yhtä todennäköisiä. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 19

20 Kaksiulotteiset todennäköisyysjakaumat Diskreetit kaksiulotteiset jakaumat: 1. esimerkki nopanheitosta 1/6 Heitetään virheetöntä noppaa kaksi kertaa. Määritellään satunnaismuuttujat X ja Y: X = tulos (silmäluku) 1. heitosta Y = tulos (silmäluku) 2. heitosta Voimme olettaa, että 2. heiton tulos on riippumaton 1. heiton tuloksesta (ja kääntäen). Satunnaismuuttujien X ja Y mahdolliset arvot: X: {1, 2, 3, 4, 5, 6} Y: {1, 2, 3, 4, 5, 6} Muodostetaan satunnaismuuttujien X ja Y yhteisjakauma. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 20

21 Kaksiulotteiset todennäköisyysjakaumat Diskreetit kaksiulotteiset jakaumat: 1. esimerkki nopanheitosta 2/6 Kahden nopanheiton tulosvaihtoehdot voidaan esittää seuraavana taulukkona: Tulos 1. nopanheitosta Mahdolliset tulokset 2. nopanheitosta Siten satunnaismuuttujien X ja Y järjestetty pari (X, Y) määrittelee diskreetin kaksiulotteisen satunnaismuuttujan, jonka arvoina on 36 lukuparia (x, y) ; x = 1, 2, 3, 4, 5, 6 ; y = 1, 2, 3, 4, 5, 6 TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 21

22 Kaksiulotteiset todennäköisyysjakaumat Diskreetit kaksiulotteiset jakaumat: 1. esimerkki nopanheitosta 3/6 Koska noppa oletettiin virheettömäksi ja heittojen tulokset oletettiin riippumattomiksi, on luontevaa ajatella, että kahden nopanheiton tulosten muodostamat 36 tulosvaihtoehtoa (x, y) ; x = 1, 2, 3, 4, 5, 6 ; y = 1, 2, 3, 4, 5, 6 ovat yhtä todennäköisiä. Tällöin satunnaismuuttujien X ja Y yhteisjakauman pistetodennäköisyysfunktio saa positiiviset arvot kun 1 fxy ( x, y) = Pr( X = x, Y = y) = 36 x = 1, 2, 3, 4, 5, 6 y = 1, 2, 3, 4, 5, 6 TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 22

23 Kaksiulotteiset todennäköisyysjakaumat Diskreetit kaksiulotteiset jakaumat: 1. esimerkki nopanheitosta 4/6 Satunnaismuuttujien X ja Y yhteisjakauman pistetodennäköisyysfunktio voidaan esittää seuraavana taulukkona: 2. heiton silmäluku y 1 fxy ( x, y) = Pr( X = x ja Y = y) = 36 x= 1,2,3,4,5,6 ; y = 1,2,3,4,5,6 6 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 5 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 4 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 3 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 2 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/ heiton silmäluku x TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 23

24 Kaksiulotteiset todennäköisyysjakaumat Diskreetit kaksiulotteiset jakaumat: 1. esimerkki nopanheitosta 5/6 Heitetään virheetöntä noppaa kaksi kertaa: X = tulos 1. heitosta Y = tulos 2. heitosta Kuva oikealla esittää satunnaismuuttujien X ja Y yhteisjakauman pistetodennäköisyysfunktiota. Kuvassa on 36 pylvästä, joista jokaisen korkeus 1/ x y TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 24

25 Kaksiulotteiset todennäköisyysjakaumat Diskreetit kaksiulotteiset jakaumat: 1. esimerkki nopanheitosta 6/6 Heitetään virheetöntä noppaa kaksi kertaa: X = tulos 1. heitosta Y = tulos 2. heitosta Kuva oikealla havainnollistaa satunnaismuuttujien X ja Y yhteisjakaumaa. Kuvassa on 36 pistettä, joista jokaisen todennäköisyys on 1/ heitto heitto TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 25

26 Kaksiulotteiset todennäköisyysjakaumat Diskreetit kaksiulotteiset jakaumat: 2. esimerkki nopanheitosta 1/9 Heitetään virheetöntä noppaa kaksi kertaa. Määritellään satunnaismuuttujat X, Y ja Z: X = tulos (silmäluku) 1. heitosta Y = tulos (silmäluku) 2. heitosta Z = X + Y = silmälukujen summa Voimme olettaa, että 2. heiton tulos on riippumaton 1. heiton tuloksesta (ja kääntäen). Satunnaismuuttujien X, Y ja Z mahdolliset arvot: X: {1, 2, 3, 4, 5, 6} Y: {1, 2, 3, 4, 5, 6} Z: {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} Määrätään satunnaismuuttujien X ja Z yhteisjakauma. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 26

27 Kaksiulotteiset todennäköisyysjakaumat Diskreetit kaksiulotteiset jakaumat: 2. esimerkki nopanheitosta 2/9 Muodostetaan ensin summamuuttujan Z = X + Y jakauma. Muodostetaan sitä varten aputaulukko, joka esittää kaikkia mahdollisia tapoja, joilla nopanheittojen silmälukujen summa Z = X + Y voi syntyä: 2. heiton silmäluku y Silmälukujen summat z = x + y heiton silmäluku x TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 27

28 Kaksiulotteiset todennäköisyysjakaumat Diskreetit kaksiulotteiset jakaumat: 2. esimerkki nopanheitosta 3/9 Aputaulukosta voidaan suoraan lukea 1. ja 2. nopanheiton silmälukujen summan Z = X + Y todennäköisyysjakauma: I Silmälukujen summat z = x + y ja niiden todennäköisyydet /36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36 Esimerkki: Summa 5 voi syntyä kahden nopanheiton tuloksena 4:llä eri tavalla: 5 = = = = joten todennäköisyys saada summaksi 5 on 4/36. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 28

29 Kaksiulotteiset todennäköisyysjakaumat Diskreetit kaksiulotteiset jakaumat: 2. esimerkki nopanheitosta 4/9 1. nopanheiton tulos ja 1. ja 2. nopanheiton tulosten kaikki mahdolliset summat voidaan esittää seuraavana taulukkona: Tulos 1. nopanheitosta Mahdolliset summat 1. ja 2. nopanheiton tuloksista Siten satunnaismuuttujien X ja Z = X + Y järjestetty pari (X, Z) määrittelee diskreetin kaksiulotteisen satunnaismuuttujan, jonka arvoina on 66 lukuparia (x, z) ; x = 1, 2, 3, 4, 5, 6 ; z = 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 12 TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 29

30 Kaksiulotteiset todennäköisyysjakaumat Diskreetit kaksiulotteiset jakaumat: 2. esimerkki nopanheitosta 5/9 Koska noppa oletettiin virheettömäksi ja heittojen tulokset oletettiin riippumattomiksi, on luontevaa ajatella, että 1. heiton tulos ja 1. ja 2. heiton tulosten mahdollisten summien muodostamat 36 tulosvaihtoehtoa (x, z) ; x = 1, 2, 3, 4, 5, 6 ; z = x + y ; y = 1, 2, 3, 4, 5, 6 ovat yhtä todennäköisiä. Tällöin satunnaismuuttujien X ja Y yhteisjakauman pistetodennäköisyysfunktion saa positiiviset arvot kun 1 fxz ( x, z) = Pr( X = z ja Z = z) = 36 x = 1, 2, 3, 4, 5, 6 z = x + y y = 1, 2, 3, 4, 5, 6 TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 30

31 Kaksiulotteiset todennäköisyysjakaumat Diskreetit kaksiulotteiset jakaumat: 2. esimerkki nopanheitosta 6/9 Satunnaismuuttujien X ja Z = X + Y yhteisjakauman pistetodennäköisyysfunktio voidaan esittää seuraavana taulukkona: Silmälukujen summa z / /36 1/ /36 1/36 1/ /36 1/36 1/36 1/ /36 1/36 1/36 1/36 1/36 7 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 6 1/36 1/36 1/36 1/36 1/ /36 1/36 1/36 1/ /36 1/36 1/ /36 1/ / nopan silmäluku x TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 31

32 Kaksiulotteiset todennäköisyysjakaumat Diskreetit kaksiulotteiset jakaumat: 2. esimerkki nopanheitosta 7/9 Esimerkkejä: (i) Oletetaan, että 1. nopalla on saatu 2. Tällöin silmälukujen summaksi ei voi tulla 10, joten Pr(X = 1 ja Z = 10) = 0 (ii) Oletetaan, että 1. nopalla on saatu 6. Tällöin silmälukujen summaksi ei voi tulla 3, joten Pr(X = 6 ja Z = 3) = 0 (iii) Oletetaan, että 1. nopalla on saatu 2. Tällöin silmälukujen summaksi voi tulla 3, 4, 5, 6, 7 tai 8, joten Pr(X = 1 ja Z = z) = 1/36 ; z = 3, 4, 5, 6, 7, 8 (iv) Oletetaan, että 1. nopalla on saatu 6. Tällöin silmälukujen summaksi voi tulla 7, 8, 9, 10, 11 tai 12, joten Pr(X = 6 ja Z = z) = 1/36 ; z = 7, 8, 9, 10, 11, 12 TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 32

33 Kaksiulotteiset todennäköisyysjakaumat Diskreetit kaksiulotteiset jakaumat: 2. esimerkki nopanheitosta 8/9 Heitetään virheetöntä noppaa kaksi kertaa: X = tulos 1. heitosta Y = tulos 2. heitosta Z = X + Y Kuva oikealla esittää satunnaismuuttujien X ja Z yhteisjakauman pistetodennäköisyysfunktiota. Kuvassa on 36 pylvästä, joista jokaisen korkeus on 1/ x z TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 33

34 Kaksiulotteiset todennäköisyysjakaumat Diskreetit kaksiulotteiset jakaumat: 2. esimerkki nopanheitosta 9/9 Heitetään virheetöntä noppaa kaksi kertaa: X = tulos 1. heitosta Y = tulos 2. heitosta Z = X + Y Kuva oikealla havainnollistaa satunnaismuuttujien X ja Z yhteisjakaumaa. Kuvassa on 36 pistettä, joista jokaisen todennäköisyys on 1/36. Heittotulosten summa heitto TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 34

35 Kaksiulotteiset todennäköisyysjakaumat Jatkuvat kaksiulotteiset satunnaismuuttujat ja niiden jakaumat Olkoot X ja Yjatkuviasatunnaismuuttujia. Tällöin järjestetty pari (X, Y) määrittelee jatkuvan kaksiulotteisen satunnaismuuttujan. Kaksiulotteinen jatkuva satunnaismuuttuja (X, Y) määrittelee jatkuvan kaksiulotteisen todennäköisyysjakauman, jota kutsutaan satunnaismuuttujien X ja Y yhteisjakaumaksi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 35

36 Kaksiulotteiset todennäköisyysjakaumat Jatkuvat kaksiulotteiset jakaumat: Tiheysfunktio Reaaliarvoinen jatkuva funktio f XY määrittelee jatkuvien satunnaismuuttujien X ja Y yhteisjakauman tiheysfunktion, jos seuraavat ehdot pätevät: (1) f ( xy, ) 0 kaikille xja y XY 2 : (2) f ( x, y) dydx = 1 XY (3) Pr( a X b ja c Y d) = fxy ( x, y) dydx bd ac TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 36

37 Kaksiulotteiset todennäköisyysjakaumat Kaksinkertaiset integraalit: Integrointijärjestys Huomautus: Käytämme kaksinkertaisten integraalien yhteydessä seuraavaa sopimusta integrointijärjestyksestä: bd b d fxy ( x, y) dydx= fxy ( x, y) dy dx a c a c TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 37

38 Kaksiulotteiset todennäköisyysjakaumat Jatkuvat kaksiulotteiset jakaumat: Tapahtumien todennäköisyydet Olkoon f XY jatkuvien satunnaismuuttujien X ja Y yhteisjakauman tiheysfunktio. Olkoon 2 A 4 jokin tapahtuma. Tällöin 2 : 4 4 = Pr(( X, Y) A) f ( x, y) dydx A XY TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 38

39 Kaksiulotteiset todennäköisyysjakaumat Kaksiulotteisten jakaumien kertymäfunktiot Olkoon (X, Y) satunnaismuuttujien X ja Y muodostama järjestetty pari. Satunnaismuuttujien X ja Y yhteisjakauman kertymäfunktio F XY määritellään kaavalla: F ( x, y) = Pr( X x ja Y y) XY TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 39

40 Kaksiulotteiset todennäköisyysjakaumat Diskreettien kaksiulotteisten jakaumien kertymäfunktiot Olkoon (X, Y) diskreetti kaksiulotteinen satunnaismuuttuja. Olkoon {x 1, x 2, x 3, } satunnaismuuttujan X tulosvaihtoehtojen eli arvojen joukko. Olkoon {y 1, y 2, y 3, } satunnaismuuttujan Y tulosvaihtoehtojen eli arvojen joukko. Diskreetin kaksiulotteisen jakauman kertymäfunktio on F ( x, y) = Pr( X x ja Y y) XY = x x y y i i f ( x, y ) XY i i jossa f XY satunnaismuuttujien X ja Y yhteisjakauman pistetodennäköisyysfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 40

41 Kaksiulotteiset todennäköisyysjakaumat Jatkuvien kaksiulotteisten jakaumien kertymäfunktiot Olkoon (X, Y) jatkuva kaksiulotteinen satunnaismuuttuja. Jatkuvan kaksiulotteisen jakauman kertymäfunktio on F ( x, y) = Pr( X x ja Y y) XY x y = f XY ( u, v) dvdu jossa f XY satunnaismuuttujien X ja Y yhteisjakauman tiheysfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 41

42 Kaksiulotteiset todennäköisyysjakaumat Jatkuvan kaksiulotteisen jakauman tiheysfunktion ja kertymäfunktion yhteys Olkoon (X, Y) jatkuva kaksiulotteinen satunnaismuuttuja. Olkoon F XY (x, y) satunnaismuuttujien X ja Y yhteisjakauman kertymäfunktio. Jos derivaatta 2 FXY ( x, y) = f XY ( xy, ) xy on olemassa ja on jatkuva, funktio f XY (x, y) on satunnaismuuttujien X ja Y yhteisjakauman tiheysfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 42

43 Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kaksiulotteiset todennäköisyysjakaumat >> Kaksiulotteisten jakaumien reunajakaumat ja riippumattomuus Kaksiulotteisten jakaumien odotusarvot ja varianssit Kovarianssi ja korrelaatio Ehdolliset jakaumat ja odotusarvot TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 43

44 Kaksiulotteisten jakaumien reunajakaumat ja riippumattomuus Avainsanat Diskreetin kaksiulotteisen jakauman reunajakaumat Jatkuvan kaksiulotteisen jakauman reunajakaumat Kertymäfunktio Pistetodennäköisyysfunktio Reunajakaumat Riippumattomuus Tiheysfunktio Yhteisjakauma TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 44

45 Kaksiulotteisten jakaumien reunajakaumat ja riippumattomuus Diskreetin kaksiulotteisen jakauman reunajakaumat Olkoon f XY (x, y) diskreetin kaksiulotteisen jakauman pistetodennäköisyysfunktio. Satunnaismuuttujan X reunajakauman pistetodennäköisyysfunktio on f X( x) = Pr( X = x) = fxy( x, y) Satunnaismuuttujan Y reunajakauman pistetodennäköisyysfunktio on fy( y) = Pr( Y = y) = fxy( x, y) Satunnaismuuttujien X ja Y reunajakaumat yhtyvät satunnaismuuttujien X ja Y todennäköisyysjakaumiin. x y TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 45

46 Kaksiulotteisten jakaumien reunajakaumat ja riippumattomuus Diskreetin 2-ulotteisen jakauman reunajakaumat: 1. esimerkki nopanheitosta 1/5 Heitetään virheetöntä noppaa kaksi kertaa. Määritellään satunnaismuuttujat X ja Y: X = tulos (silmäluku) 1. heitosta Y = tulos (silmäluku) 2. heitosta Satunnaismuuttujien X ja Y mahdolliset arvot: X: {1, 2, 3, 4, 5, 6} Y: {1, 2, 3, 4, 5, 6} Määrätään satunnaismuuttujien X ja Y reunajakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 46

47 Kaksiulotteisten jakaumien reunajakaumat ja riippumattomuus Diskreetin 2-ulotteisen jakauman reunajakaumat: 1. esimerkki nopanheitosta 2/5 Satunnaismuuttujien X ja Y yhteisjakauman pistetodennäköisyysfunktio: Pr(X = x ja Y = y) = f XY (x, y) ; x = 1, 2,, 6 ; y = 1, 2,, 6 2. heiton silmäluku y 1. heiton silmäluku x /36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 5 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 4 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 3 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 2 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 47

48 Kaksiulotteisten jakaumien reunajakaumat ja riippumattomuus Diskreetin 2-ulotteisen jakauman reunajakaumat: 1. esimerkki nopanheitosta 3/5 Satunnaismuuttujien X ja Y reunajakaumien pistetodennäköisyysfunktiot saadaan määräämällä yhteisjakauman todennäköisyydet antavassa taulukossa rivi-ja sarakesummat. Satunnaismuuttujan X reunajakauman pistetodennäköisyysfunktio on fx( x) = Pr( X = x) = fxy( x, y) = 6 = ; x= 1,2,3,4,5,6 y= koska 1 fxy ( x, y) = ; x= 1, 2,3, 4,5,6 ; y = 1, 2,3, 4,5,6 36 Satunnaismuuttujan Y reunajakauman pistetodennäköisyysfunktio on fy( y) = Pr( Y = y) = fxy( x, y) = 6 = ; y = 1,2,3,4,5,6 x= koska 1 fxy ( x, y) = ; x= 1, 2,3, 4,5,6 ; y = 1, 2,3, 4,5,6 36 TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 48

49 Kaksiulotteisten jakaumien reunajakaumat ja riippumattomuus Diskreetin 2-ulotteisen jakauman reunajakaumat: 1. esimerkki nopanheitosta 4/5 Satunnaismuuttujien X ja Y yhteisjakauman ja reunajakaumien pistetodennäköisyysfunktiot: 2. heiton silmäluku y 1. heiton silmäluku x Yht 6 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/6 5 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/6 4 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/6 3 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/6 2 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/6 1 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/6 Yht 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1 TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 49

50 Kaksiulotteisten jakaumien reunajakaumat ja riippumattomuus Diskreetin 2-ulotteisen jakauman reunajakaumat: 1. esimerkki nopanheitosta 5/ heiton tuloksen jakauma 2. heiton tuloksen jakauma Kuvat yllä esittävät satunnaismuuttujien X ja Y reunajakaumien pistetodennäköisyysfunktioita: X = tulos 1. heitosta Y = tulos 2. heitosta TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 50

51 Kaksiulotteisten jakaumien reunajakaumat ja riippumattomuus Diskreetin 2-ulotteisen jakauman reunajakaumat: 2. esimerkki nopanheitosta 1/5 Heitetään virheetöntä noppaa kaksi kertaa. Määritellään satunnaismuuttujat X, Y ja Z seuraavasti: X = tulos (silmäluku) 1. heitosta Y = tulos (silmäluku) 2. heitosta Z = X + Y = silmälukujen summa Satunnaismuuttujien X, Y ja Z mahdolliset arvot: X: {1, 2, 3, 4, 5, 6} Y: {1, 2, 3, 4, 5, 6} Z: {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} Määrätään satunnaismuuttujien X ja Z reunajakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 51

52 Kaksiulotteisten jakaumien reunajakaumat ja riippumattomuus Diskreetin 2-ulotteisen jakauman reunajakaumat: 2. esimerkki nopanheitosta 2/5 Satunnaismuuttujien X ja Z yhteisjakauman pistetodennäköisyysfunktio: Pr(X = x ja Z = z) = f XZ (x, z) ; x = 1, 2,, 6 ; z = 2, 3,, 12 Silmälukujen summa z 1. nopan silmäluku x / /36 1/ /36 1/36 1/ /36 1/36 1/36 1/ /36 1/36 1/36 1/36 1/36 7 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 6 1/36 1/36 1/36 1/36 1/ /36 1/36 1/36 1/ /36 1/36 1/ /36 1/ / TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 52

53 Kaksiulotteisten jakaumien reunajakaumat ja riippumattomuus Diskreetin 2-ulotteisen jakauman reunajakaumat: 2. esimerkki nopanheitosta 3/5 Satunnaismuuttujien X ja Y reunajakaumien pistetodennäköisyysfunktiot saadaan määräämällä yhteisjakauman todennäköisyydet antavassa taulukossa rivi-ja sarakesummat. Esimerkkejä: (i) Satunnaismuuttujan X reunajakauman pistetodennäköisyys, kun X = 4: (ii) 12 f (4) = f (4, z) X z= 1 XZ = = Satunnaismuuttujan Z reunajakauman pistetodennäköisyys, kun Z = 10: fz(10) = fxz( x,10) = = x= 1 TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 53

54 Kaksiulotteisten jakaumien reunajakaumat ja riippumattomuus Diskreetin 2-ulotteisen jakauman reunajakaumat: 2. esimerkki nopanheitosta 4/5 Satunnaismuuttujien X ja Z = X + Y yhteisjakauma ja reunajakaumat: Silmälukujen summa z 1. nopan silmäluku x Yht /36 1/ /36 1/36 2/ /36 1/36 1/36 3/ /36 1/36 1/36 1/36 4/ /36 1/36 1/36 1/36 1/36 5/36 7 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 6/36 6 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 0 5/36 5 1/36 1/36 1/36 1/ /36 4 1/36 1/36 1/ /36 3 1/36 1/ /36 2 1/ /36 Yht 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1 TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 54

55 Kaksiulotteisten jakaumien reunajakaumat ja riippumattomuus Diskreetin 2-ulotteisen jakauman reunajakaumat: 2. esimerkki nopanheitosta 5/ heiton tuloksen jakauma Heittotuloksien summan jakauma Kuvat yllä esittävät satunnaismuuttujien X ja Z reunajakaumien pistetodennäköisyysfunktioita: X = tulos 1. heitosta Y = tulos 2. heitosta Z = X + Y = heittotulosten summa TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 55

56 Kaksiulotteisten jakaumien reunajakaumat ja riippumattomuus Jatkuvan kaksiulotteisen jakauman reunajakaumat Olkoon f XY (x, y) jatkuvan kaksiulotteisen jakauman tiheysfunktio. Satunnaismuuttujan X reunajakauman tiheysfunktio on + f X( x) = fxy( x, y) dy Satunnaismuuttujan Y reunajakauman tiheysfunktio on + fy( y) = fxy( x, y) dx Satunnaismuuttujien X ja Y reunajakaumat yhtyvät satunnaismuuttujien X ja Y todennäköisyysjakaumiin. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 56

57 Kaksiulotteisten jakaumien reunajakaumat ja riippumattomuus Satunnaismuuttujien riippumattomuus 1/2 Oletukset: (i) Olkoon satunnaismuuttujien X ja Y yhteisjakauman pistetodennäköisyys- tai tiheysfunktio f XY (x, y). (ii) Olkoon satunnaismuuttujan X reunajakauman pistetodennäköisyys- tai tiheysfunktio f X (x). Olkoon satunnaismuuttujan Y reunajakauman pistetodennäköisyys- tai tiheysfunktio f Y (y). Määritelmä 1: Satunnaismuuttujat X ja Y ovat riippumattomia, jos ja vain, jos f XY (x, y) = f X (x)f Y (y) TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 57

58 Kaksiulotteisten jakaumien reunajakaumat ja riippumattomuus Satunnaismuuttujien riippumattomuus 2/2 Oletukset: (i) Olkoon satunnaismuuttujien X ja Y yhteisjakauman kertymäfunktio F XY (x, y). (ii) Olkoon satunnaismuuttujan X reunajakauman kertymäfunktio F X (x). Olkoon satunnaismuuttujan Y reunajakauman kertymäfunktio F Y (y). Määritelmä 2: Satunnaismuuttujat X ja Y ovat riippumattomia, jos ja vain, jos F XY (x, y) = F X (x)f Y (y) TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 58

59 Kaksiulotteisten jakaumien reunajakaumat ja riippumattomuus Satunnaismuuttujien riippumattomuus: Yleistys 1/2 Oletukset: (i) Olkoon satunnaismuuttujien X i, i = 1, 2,, p yhteisjakauman pistetodennäköisyys- tai tiheysfunktio f(x 1, x 2,, x p ) (ii) Olkoot satunnaismuuttujien X i, i = 1, 2,, p reunajakaumien pistetodennäköisyys- tai tiheysfunktiot f(x i ), i = 1, 2,, p. Määritelmä 1: Satunnaismuuttujat X i, i = 1, 2,, p ovat riippumattomia, jos ja vain, jos f(x 1, x 2,, x p ) = f(x 1 )f(x 2 ) f(x p ) TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 59

60 Kaksiulotteisten jakaumien reunajakaumat ja riippumattomuus Satunnaismuuttujien riippumattomuus: Yleistys 2/2 Oletukset: (i) Olkoon satunnaismuuttujien X i, i = 1, 2,, p yhteisjakauman kertymäfunktio F(x 1, x 2,, x p ) (ii) Olkoot satunnaismuuttujien X i, i = 1, 2,, p reunajakaumien kertymäfunktiot F(x i ), i = 1, 2,, p. Määritelmä 2: Satunnaismuuttujat X i, i = 1, 2,, p ovat riippumattomia, jos ja vain, jos F(x 1, x 2,, x p ) = F(x 1 )F(x 2 ) F(x p ) TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 60

61 Kaksiulotteisten jakaumien reunajakaumat ja riippumattomuus Satunnaismuuttujien riippumattomuus ja tapahtumien riippumattomuus Olkoot satunnaismuuttujat X ja Y riippumattomia. Tällöin Pr( a X b ja c Y d) = Pr( a X b)pr( c Y d) Huomautus: Vrt. riippumattomien tapahtumien tulosääntö: Pr(A B) = Pr(A)Pr(B) TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 61

62 Kaksiulotteisten jakaumien reunajakaumat ja riippumattomuus Satunnaismuuttujien riippumattomuus ja tapahtumien riippumattomuus: Perustelu Olkoot satunnaismuuttujat X ja Y jatkuvia ja riippumattomia. Pr( a X b ja c Y d) = f ( x, y) dydx = = f ( x) f ( y) dydx f ( x) f ( y) dydx = f ( x)pr( c Y d) dx = Pr( c Y d) f ( x) dx = Pr( c Y d)pr( a X b) TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 62 bd ac bd ac b a b a X X XY X d c Y Y b a X

63 Kaksiulotteisten jakaumien reunajakaumat ja riippumattomuus Satunnaismuuttujien riippumattomuus: 1. esimerkki nopanheitosta Heitetään virheetöntä noppaa kaksi kertaa: X = tulos (silmäluku) 1. heitosta Y = tulos (silmäluku) 2. heitosta Tarkastellaan satunnaismuuttujien X ja Y yhteisjakaumaa: 1 Pr( X = x ja Y = y) = = 6 6 = Pr( X = x)pr( Y = y) x= 1,2,3,4,5,6 ; y = 1,2,3,4,5,6 Siten satunnaismuuttujat X ja Y ovat riippumattomia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 63

64 Kaksiulotteisten jakaumien reunajakaumat ja riippumattomuus Satunnaismuuttujien riippumattomuus: 2. esimerkki nopanheitosta Heitetään virheetöntä noppaa kaksi kertaa: X = tulos (silmäluku) 1. heitosta Y = tulos (silmäluku) 2. heitosta Z = X + Y = silmälukujen summa Tarkastellaan satunnaismuuttujien X ja Z yhteisjakaumaa. Esimerkiksi: 1 5 Pr( X = 1 ja Z = 8) = 0 = Pr( X = 1)Pr( Z = 8) 6 36 Siten satunnaismuuttujat X ja Z eivät ole riippumattomia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 64

65 Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kaksiulotteiset todennäköisyysjakaumat Kaksiulotteisten jakaumien reunajakaumat ja riippumattomuus >> Kaksiulotteisten jakaumien odotusarvot ja varianssit Kovarianssi ja korrelaatio Ehdolliset jakaumat ja odotusarvot TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 65

66 Kaksiulotteisten jakaumien odotusarvot ja varianssit Avainsanat Odotusarvo Painopiste Riippumattomuus Standardipoikkeama Summan odotusarvo Varianssi TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 66

67 Kaksiulotteisten jakaumien odotusarvot ja varianssit Diskreetin kaksiulotteisen satunnaismuuttujan funktion yleinen odotusarvo Olkoon satunnaismuuttujien X ja Y yhteisjakauman pistetodennäköisyysfunktio f XY (x, y). Olkoon 2 g : jatkuva funktio. Tällöin satunnaismuuttujan g(x, Y) odotusarvo on vakio E( g( X, Y)) g( x, y) f ( x, y) = x y XY TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 67

68 Kaksiulotteisten jakaumien odotusarvot ja varianssit Jatkuvan kaksiulotteisen satunnaismuuttujan funktion yleinen odotusarvo Olkoon satunnaismuuttujien X ja Y yhteisjakauman tiheysfunktio f XY (x, y). Olkoon 2 g : jatkuva funktio. Tällöin satunnaismuuttujan g(x, Y) odotusarvo on vakio + + E( g( X, Y)) g( x, y) f ( x, y) dydx = XY TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 68

69 Kaksiulotteisten jakaumien odotusarvot ja varianssit Reunajakaumien odotusarvot: Diskreetit jakaumat 1/2 Olkoon diskreettien satunnaismuuttujien X ja Y yhteisjakauman pistetodennäköisyysfunktio f XY (x, y). Satunnaismuuttujan X odotusarvo E(X) = µ X yhtyy satunnaismuuttujan X reunajakauman odotusarvoon: E( X ) = xf ( x, y) = x f ( x, y) = XY x y x y x xf X ( x) XY TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 69

70 Kaksiulotteisten jakaumien odotusarvot ja varianssit Reunajakaumien odotusarvot: Diskreetit jakaumat 2/2 Olkoon diskreettien satunnaismuuttujien X ja Y yhteisjakauman pistetodennäköisyysfunktio f XY (x, y). Satunnaismuuttujan Y odotusarvo E(Y) = µ Y yhtyy satunnaismuuttujan Y reunajakauman odotusarvoon: E( Y) = yf ( x, y) = y f ( x, y) = XY x y y x y yf Y ( y) XY TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 70

71 Kaksiulotteisten jakaumien odotusarvot ja varianssit Reunajakaumien odotusarvot: Jatkuvat jakaumat 1/2 Olkoon jatkuvien satunnaismuuttujien X ja Y yhteisjakauman tiheysfunktio f XY (x, y). Satunnaismuuttujan X odotusarvo E(X) = µ X yhtyy satunnaismuuttujan X reunajakauman odotusarvoon: E( X ) = xf ( x, y) dydx = x f ( x, y) dydx = XY + xf X ( x) dx XY TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 71

72 Kaksiulotteisten jakaumien odotusarvot ja varianssit Reunajakaumien odotusarvot: Jatkuvat jakaumat 2/2 Olkoon jatkuvien satunnaismuuttujien X ja Y yhteisjakauman tiheysfunktio f XY (x, y). Satunnaismuuttujan Y odotusarvo E(Y) = µ Y yhtyy satunnaismuuttujan Y reunajakauman odotusarvoon: E( Y) = yf ( x, y) dydx= y f ( x, y) dxdy = XY + yf Y ( y) dy XY TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 72

73 Kaksiulotteisten jakaumien odotusarvot ja varianssit Odotusarvot ja todennäköisyysmassan painopiste Olkoot satunnaismuuttujien X ja Y odotusarvot E( X ) = µ X E( Y ) = µ Y Tällöin kaksiulotteisen satunnaismuuttujan (X, Y) odotusarvo on järjestetty pari (E( X ),E( Y )) = ( µ X, µ Y) Satunnaismuuttujien X ja Y odotusarvojen muodostama järjestetty pari (µ X, µ Y ) määrää satunnaismuuttujien X ja Y yhteisjakauman todennäköisyysmassan painopisteen. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 73

74 Kaksiulotteisten jakaumien odotusarvot ja varianssit Summan ja erotuksen odotusarvot Satunnaismuuttujien X ja Y summan X + Y odotusarvo: E( X + Y) = E( X) + E( Y) Satunnaismuuttujien X ja Y erotuksen X Y odotusarvo: E( X Y) = E( X) E( Y) Huomautus: Satunnaismuuttujien summan ja erotuksen odotusarvojen kaavat on esitetty ilman perustelua luvussa Jakaumien tunnusluvut. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 74

75 Kaksiulotteisten jakaumien odotusarvot ja varianssit Summan ja erotuksen odotusarvot: Perustelu 1/2 Esitetään satunnaismuuttujien summan odotusarvoa koskevan tuloksen perustelu kahden jatkuvan satunnaismuuttujan tapauksessa. Olkoot satunnaismuuttujien X ja Y yhteisjakauman tiheysfunktio f XY (x, y) ja X:n ja Y:n reunajakaumien tiheysfunktiot vastaavasti f X (x) ja f Y (y) TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 75

76 Kaksiulotteisten jakaumien odotusarvot ja varianssit Summan ja erotuksen odotusarvot: Perustelu 2/2 + + Tällöin E( X ± Y) = ( x± y) f ( x, y) dydx + + [ (, ) (, )] XY = xf ( x, y) dydx± yf ( x, y) dydx XY = x f ( x, y) dydx± y f ( x, y) dxdy = xf ( x) dx ± yf ( y) dy = E( X ) ± E( Y ) XY = xf x y ± yf x y dydx XY XY X Y XY XY TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 76

77 Kaksiulotteisten jakaumien odotusarvot ja varianssit Lineaarikombinaation odotusarvo Olkoot satunnaismuuttujien X i, i = 1, 2,, k odotusarvot E( X i) = µ i, i = 1,2,, k ja olkoot a i, i = 1, 2,, kvakioita. Tällöin satunnaismuuttujien X i, i = 1, 2,, k lineaarikombinaation Y = a1x1+ a2x2 + + akxk odotusarvo on E( Y) = E( a1x1+ a2x2 + + akxk) = a1e( X1) + a2e( X2) + + ak E( Xk) = aµ + a µ + + a µ k k TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 77

78 Kaksiulotteisten jakaumien odotusarvot ja varianssit Riippumattomuus ja tulon odotusarvo Olkoot satunnaismuuttujien X ja Y odotusarvot E( X ) = µ X E( Y ) = µ Y Jos satunnaismuuttujat X ja Y ovat riippumattomia, niin tulon XY odotusarvo on odotusarvojen tulo: E( XY) = E( X)E( Y) = µ Xµ Y Huomautus: Käänteinen ei päde: Siitä, että E(XY) = E(X)E(Y) ei seuraa, että satunnaismuuttujat X ja Y ovat riippumattomia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 78

79 Kaksiulotteisten jakaumien odotusarvot ja varianssit Riippumattomuus ja tulon odotusarvo: Perustelu 1/2 Esitetään riippumattomien satunnaismuuttujien tulon odotusarvoa koskevan tuloksen perustelu kahden jatkuvan satunnaismuuttujan tapauksessa. Olkoot satunnaismuuttujien X ja Y yhteisjakauman tiheysfunktio f XY (x, y) ja X:n ja Y:n reunajakaumien tiheysfunktiot vastaavasti f X (x) ja f Y (y) Olkoot satunnaismuuttujat X ja Y riippumattomia, jolloin f XY (x, y) = f X (x) f Y (y) TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 79

80 Kaksiulotteisten jakaumien odotusarvot ja varianssit Riippumattomuus ja tulon odotusarvo: Perustelu 2/2 Tällöin E( XY) = xyf ( x, y) dydx = = = XY xyf ( x) f ( y) dydx X xf ( x) yf ( y) dydx X Y Y xf ( x)e( Y ) dx X + = E( Y) xf ( x) dx X = E( Y)E( X) TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 80

81 Kaksiulotteisten jakaumien odotusarvot ja varianssit Riippumattomuus ja tulon odotusarvo: Yleistys Olkoot satunnaismuuttujien X i, i = 1, 2,, k odotusarvot E( X i) = µ i, i = 1, 2,, k Jos satunnaismuuttujat X i, i = 1, 2,, k ovat riippumattomia, niin E( X1X2 Xk) = E( X1) E( X2) E( Xk) = µµ 1 2 µ k Huomautus: Käänteinen ei päde: Siitä, että E( X1X2 Xk) = E( X1) E( X2) E( Xk) ei seuraa, että satunnaismuuttujat X i, i = 1, 2,, k ovat riippumattomia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 81

82 Kaksiulotteisten jakaumien odotusarvot ja varianssit Reunajakaumien varianssit Olkoot satunnaismuuttujien X ja Y odotusarvot E( X ) = µ X E( Y ) = µ Y Satunnaismuuttujien X ja Y varianssit yhtyvät vastaavien reunajakaumien variansseihin: 2 2 Var( X) = D ( X) = σ X 2 E[( X µ X ) ] 2 2 Y σ Y 2 E[( Y µ Y ) ] = Var( Y) = D ( ) = = TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 82

83 Kaksiulotteisten jakaumien odotusarvot ja varianssit Varianssi vaihtelun mittana Satunnaismuuttujan X varianssi Var(X) kuvaa satunnaismuuttujan X todennäköisyysjakauman todennäköisyysmassan vaihtelua satunnaismuuttujan X oman odotusarvon E(X) ympärillä. Satunnaismuuttujan Y varianssi Var(Y) kuvaa satunnaismuuttujan Y todennäköisyysjakauman todennäköisyysmassan vaihtelua satunnaismuuttujan Y oman odotusarvon E(Y) ympärillä. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 83

84 Kaksiulotteisten jakaumien odotusarvot ja varianssit Reunajakaumien varianssit: Diskreetit jakaumat Olkoon diskreettien satunnaismuuttujien X ja Y yhteisjakauman pistetodennäköisyysfunktio f XY (x, y) ja vastaavien reunajakaumien pistetodennäköisyyfunktiot f X (x) ja f Y (y). Tällöin satunnaismuuttujien X ja Y varianssit ovat vakioita 2 2 D( X ) = ( x µ ) f () x x 2 2 D( Y) = ( y µ Y) fy( y) jossa y µ X = E( X ) µ = E( Y ) Y X X TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 84

85 Kaksiulotteisten jakaumien odotusarvot ja varianssit Reunajakaumien varianssit: Jatkuvat jakaumat Olkoon jatkuvien satunnaismuuttujien X ja Y yhteisjakauman tiheysfunktio f XY (x, y) ja vastaavien reunajakaumien tiheysfunktiot f X (x) ja f Y (y). Tällöin satunnaismuuttujien X ja Y varianssit ovat vakioita jossa µ X µ D( ) = ( µ X) X() D( ) = ( µ Y) Y( ) Y X x f x dx Y y f y dy = E( X ) = E( Y ) TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 85

86 Kaksiulotteisten jakaumien odotusarvot ja varianssit Varianssien vaihtoehtoiset laskukaavat Satunnaismuuttujien X ja Y varianssien kaavat voidaan kirjoittaa seuraaviin yhtäpitäviin muotoihin: 2 2 D( X) = E[( X µ )] = E( X ) X 2 2 µ X 2 2 = E( X ) [E( X )] 2 2 D( Y) = E[( Y µ Y )] 2 2 = E( Y ) µ Y 2 2 = E( Y ) [E( Y)] TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 86

87 Kaksiulotteisten jakaumien odotusarvot ja varianssit Varianssien vaihtoehtoiset laskukaavat: Perustelu Esitetään varianssin vaihtoehtoisen laskukaavan perustelu satunnaismuuttujalle X: 2 2 D( X) = E[( X µ )] X 2 2 E[ X 2 µ XX µ X] 2 2 X µ X X µ X 2 2 E( X ) 2µ X E( X) µ X 2 2 E( X ) 2µ Xµ X µ X 2 2 E( X ) µ X = + = E( ) E(2 ) + E( ) = + = + = TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 87

88 Kaksiulotteisten jakaumien odotusarvot ja varianssit Reunajakaumien standardipoikkeamat Olkoot satunnaismuuttujien X ja Y odotusarvot E( X ) = µ X E( Y ) = µ Y Satunnaismuuttujien X ja Y standardipoikkeamat yhtyvät vastaavien reunajakaumien standardipoikkeamiin: D( X ) = σ D ( Y ) X = X = σ 2 E[( µ X ) ] Y = Y 2 E[( µ Y ) ] TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 88

89 Kaksiulotteisten jakaumien odotusarvot ja varianssit Standardipoikkeama vaihtelun mittana Satunnaismuuttujan X standardipoikkeama D(X) kuvaa satunnaismuuttujan X todennäköisyysjakauman todennäköisyysmassan vaihtelua satunnaismuuttujan X oman odotusarvon E(X) ympärillä. Satunnaismuuttujan Y standardipoikkeama D(Y) kuvaa satunnaismuuttujan Y todennäköisyysjakauman todennäköisyysmassan vaihtelua satunnaismuuttujan Y oman odotusarvon E(Y) ympärillä. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 89

90 Kaksiulotteisten jakaumien odotusarvot ja varianssit Odotusarvo, varianssi ja standardipoikkeama: Suureiden dimensio eli laatu Satunnaismuuttujalla sekä sen odotusarvolla ja standardipoikkeamalla on aina sama dimensio eli laatu. Esimerkki: Jos satunnaismuuttujan laatuna on m (metri), niin myös niiden odotusarvon ja standardipoikkeaman laatuna on m. Satunnaismuuttujan ja sen varianssilla ei ole sama dimensio eli laatu. Esimerkki: Jos satunnaismuuttujan laatuna on m (metri), niin sen varianssin laatuna on m 2. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 90

91 Kaksiulotteisten jakaumien odotusarvot ja varianssit Odotusarvot ja standardipoikkeamat: 1. esimerkki nopanheitosta Heitetään virheetöntä noppaa kaksi kertaa: X = tulos (silmäluku) 1. heitosta Y = tulos (silmäluku) 2. heitosta Tarkastellaan satunnaismuuttujien X ja Y yhteisjakaumaa. Odotusarvot, varianssit ja standardipoikkeamat: E( X) = xpr( X = x) = x= = 3.5 = E( Y) x= 1 6 x= E( X ) = x Pr( X = x) = x = = E( Y ) x= 1 6 x= D( X ) = E( X ) [E( X)] = = = 2.917= D( Y) D( X) = = = D( Y) TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 91

92 Kaksiulotteisten jakaumien odotusarvot ja varianssit Odotusarvot ja standardipoikkeamat: 2. esimerkki nopanheitosta 1/2 Heitetään virheetöntä noppaa kaksi kertaa: X = tulos (silmäluku) 1. heitosta Y = tulos (silmäluku) 2. heitosta Z = X + Y = silmälukujen summa Tarkastellaan satunnaismuuttujien X ja Z yhteisjakaumaa. Odotusarvot ja 2. momentit: 6 21 E( X ) = xpr( X = x) = = 3.5 = E( Y) x= E( Z) = zpr( Z = z) = = 7 z= E( X ) = x Pr( X = x) = = E( X ) x= E( Z ) = z Pr( Z = z) = 36 z= 1 TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 92

93 Kaksiulotteisten jakaumien odotusarvot ja varianssit Odotusarvot ja standardipoikkeamat: 2. esimerkki nopanheitosta 2/2 Varianssit ja standardipoikkeamat : D( X ) = E( X ) [E( X)] = = 2.917= D( Y) 12 D( X) = = = D( Y) D( Z) = E( Z ) [E( Z)] = = D( Z) = = TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 93

94 Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kaksiulotteiset todennäköisyysjakaumat Kaksiulotteisten jakaumien reunajakaumat ja riippumattomuus Kaksiulotteisten jakaumien odotusarvot ja varianssit >> Kovarianssi ja korrelaatio Ehdolliset jakaumat ja odotusarvot TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 94

95 Kovarianssi ja korrelaatio Avainsanat Korrelaatiokerroin Kovarianssi Riippumattomuus Summan varianssi Varianssi TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 95

96 Kovarianssi ja korrelaatio Kovarianssi Olkoot satunnaismuuttujien X ja Y odotusarvot E( X ) = µ X E( Y ) = µ Y Satunnaismuuttujien X ja Y kovarianssi on vakio Cov( X, Y ) = σ XY = E[( X µ X)( Y µ Y)] Satunnaismuuttujien X ja Y kovarianssi Cov(X, Y) kuvaa satunnaismuuttujien X ja Y yhteisjakauman todennäköisyysmassan yhteisvaihtelua satunnaismuuttujien X ja Y odotusarvojen E(X) ja E(Y) määräämän pisteen (E(X), E(Y)) ympärillä. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 96

97 Kovarianssi ja korrelaatio Kovarianssi: Diskreetit jakaumat Olkoon diskreettien satunnaismuuttujien X ja Y yhteisjakauman pistetodennäköisyysfunktio f XY (x, y). Tällöin satunnaismuuttujien X ja Y kovarianssi on vakio jossa µ X µ Cov( X, Y) = ( x µ )( y µ ) f ( x, y) Y = E( X ) = E( Y ) x y X Y XY TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 97

98 Kovarianssi ja korrelaatio Kovarianssi: Jatkuvat jakaumat Olkoon jatkuvien satunnaismuuttujien X ja Y yhteisjakauman tiheysfunktio f XY (x, y). Tällöin satunnaismuuttujien X ja Y kovarianssi on vakio jossa µ X µ + + Cov( X, Y ) = ( x µ )( y µ ) f ( x, y) dxdy Y = E( X ) = E( Y ) X Y XY TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 98

99 Kovarianssi ja korrelaatio Kovarianssi: Vaihtoehtoinen laskukaava Satunnaismuuttujien X ja Y kovarianssin kaava voidaan kirjoittaa seuraaviin yhtäpitäviin muotoihin: Cov( X, Y) = E[( X µ X)( Y µ Y)] = E( XY ) µ Xµ Y = E( XY) E( X)E( Y) Huomautus: Vrt. kovarianssin vaihtoehtoista laskukaavaa varianssin vaihtoehtoisiin laskukaavoihin. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 99

100 Kovarianssi ja korrelaatio Kovarianssin vaihtoehtoinen laskukaava: Perustelu Esitetään satunnaismuuttujien kovarianssin vaihtoehtoisen laskukaavan perustelu: Cov( X, Y) = E[( X µ X)( Y µ Y)] = E[ XY µ XY µ YX + µ Xµ Y] = E( XY ) E( µ XY ) E( µ YX ) + E( µ Xµ Y) = E( XY ) µ X E( Y ) µ Y E( X ) + µ Xµ Y = E( XY ) µ Xµ Y µ Yµ X + µ Xµ Y = E( XY ) µ µ X Y TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 100

101 Kovarianssi ja korrelaatio Kovarianssi ja varianssit Satunnaismuuttujien kovarianssit itsensä kanssa yhtyvät satunnaismuuttujien variansseihin: Cov( X, X) = E[( X µ X)( X µ X)] = Var( X ) = σ 2 X Cov( YY, ) = E[( Y µ Y)( Y µ Y)] = Var( Y ) = σ 2 Y TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 101

102 Kovarianssi ja korrelaatio Odotusarvot, varianssit ja kovarianssi sekä lineaarimuunnokset 1/2 Olkoot satunnaismuuttujien X ja Y odotusarvot, varianssit ja kovarianssi: 2 E( X) = µ Var( X) = σ Olkoot X E( Y) = µ Y Var( Y) = σ Cov( XY, ) = E[( X µ )( Y µ )] = σ W = a+ bx Z = c+ dy jossa a, b, c, d 4 ovat reaalisia vakioita. X 2 Y X Y XY TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 102

103 Kovarianssi ja korrelaatio Odotusarvot, varianssit ja kovarianssi sekä lineaarimuunnokset 2/2 Tällöin pätevät seuraavat kaavat: E( W) = a+ be( X) = a+ bµ Var( W) = b Var( X) = b σ X X E( Z) = c+ de( Y) = c+ dµ Var( Z) = d Var( Y) = d σ Y Y Cov( W, Z) = bd Cov( X, Y ) = bdσ XY TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 103

104 Kovarianssi ja korrelaatio Kovarianssi ja lineaarimuunnokset: Perustelu Jos satunnaismuuttujien X ja Y kovarianssi on Cov(X, Y), niin Cov( W, Z) = E[( W E( W))( Z E( Z))] = E[( a + bx E( a + bx ))( c + dy E( c + dy ))] = E[( bx E( bx ))( dy E( dy ))] = bd E[( X E( X ))( Y E( Y ))] = bd Cov( X, Y ) TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 104

105 Kovarianssi ja korrelaatio Summan ja erotuksen varianssit Olkoot satunnaismuuttujien X ja Y varianssit 2 2 Var( X) = σ Var( Y) = σ ja kovarianssi Cov( X, Y ) = σ XY Tällöin X Var( X ± Y) = Var( X) + Var( Y) ± 2Cov( X, Y) = σ + σ ± 2σ 2 2 X Y XY Y TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 105

106 Kovarianssi ja korrelaatio Summan ja erotuksen varianssit: Perustelu Summan ja erotuksen varianssia koskevat kaavat nähdään oikeaksi seuraavalla tavalla: Var( X ± Y) = E[ X ± Y E( X ± Y)] = E[ X ± Y E( X) E( Y)] = E[( X E( X)) ± ( Y E( Y))] 2 2 = E[( X E( X)) + ( Y E( Y)) ± 2( X E( X))( Y E( Y))] 2 2 E[( E( ))] E[( E( ))] = X X + Y Y ± 2E[( X E( X))( Y E( Y))] = Var( X ) + Var( Y) ± 2Cov( X, Y) TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 106

107 Kovarianssi ja korrelaatio Riippumattomuus ja kovarianssi Jos satunnaismuuttujat X ja Y ovat riippumattomia, niin Cov( X, Y ) = 0 Huomautus: Käänteinen ei päde: Siitä, että Cov( X, Y ) = 0 ei välttämättä seuraa, että satunnaismuuttujat X ja Y olisivat riippumattomia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 107

108 Kovarianssi ja korrelaatio Riippumattomuus ja kovarianssi: Perustelu Jos satunnaismuuttujat X ja Y ovat riippumattomia, niin E(XY) = E(X)E(Y) Siten Cov( X, Y) = E( XY) E( X)E( Y) = E( X )E( Y) E( X)E( Y) = 0 TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 108

109 Kovarianssi ja korrelaatio Riippumattomuus sekä summan ja erotuksen varianssit Olkoot satunnaismuuttujien X ja Y varianssit 2 2 Var( X) = σ X Var( Y) = σy Olkoot X ja Y ovat riippumattomia, jolloin Cov( X, Y ) = 0 Tällöin Var( X ± Y) = Var( X) + Var( Y) Huomautus: Riippumattomien satunnaismuuttujien summan ja erotuksen varianssien kaavat on esitetty ilman perustelua luvussa Jakaumien tunnusluvut. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 109

110 Kovarianssi ja korrelaatio Korrelaatiokerroin 1/2 Oletetaan, että satunnaismuuttujilla X ja Y on seuraavat odotusarvot, varianssit ja kovarianssi: 2 2 E( X) = µ Var( X) = D ( X) = σ X X 2 2 Y E( Y) = µ Y Var( Y) = D ( Y) = σ Cov( XY, ) = E[( X µ )( Y µ )] = σ X Y XY TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 110

111 Kovarianssi ja korrelaatio Korrelaatiokerroin 2/2 Satunnaismuuttujien X ja Y korrelaatiokerroin on vakio Cor( X, Y ) = ρ XY Cov( XY, ) = Var( X )Var( Y ) Cov( XY, ) = D( X)D( Y) σ XY = σ σ X Y TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 111

112 Kovarianssi ja korrelaatio Korrelaatiokerroin lineaarisen riippuvuuden mittana Satunnaismuuttujien X ja Y korrelaatiokerroin Cor(X, Y) kuvaa satunnaismuuttujien X ja Y lineaarisen riippuvuuden voimakkuutta: (i) Mitä suurempi on Cor(X, Y) sitä voimakkaampaa on satunnaismuuttujien X ja Y välinen lineaarinen riippuvuus. (ii) Mitä pienempi on Cor(X, Y) sitä heikompaa on satunnaismuuttujien X ja Y välinen lineaarinen riippuvuus. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 112

113 Kovarianssi ja korrelaatio Kovarianssi ja korrelaatio: Suureiden dimensio eli laatu Huomaa, että satunnaismuuttujien korrelaatio on dimensioton eli laaduton suure toisin kuin niiden kovarianssi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 113

114 Kovarianssi ja korrelaatio Korrelaatiokerroin ja lineaarimuunnokset Olkoon satunnaismuuttujien X ja Y korrelaatiokerroin Cor(X, Y). Olkoot W= a + bx Z = c + dy Tällöin Cor( W, Z) = sgn( bd)cor( X, Y) jossa sgn on ns. merkkifunktio: + 1, jos x > 0 sgn( x) = 0, jos x = 0 1, jos x < 0 TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 114

115 Kovarianssi ja korrelaatio Lineaarimuunnosten korrelaatiokerroin: Perustelu Olkoon satunnaismuuttujien X ja Y korrelaatiokerroin Cor(X, Y). Olkoot W = a + bx Z = c + dy Tällöin Cov( W, Z) Cor( W, Z) = Var( W) Var( Z) bd Cov( X, Y ) = 2 2 b Var( X) d Var( Y) Cov( XY, ) = sgn( bd) Var( X ) Var( Y ) = sgn( bd)cor( X, Y ) TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 115

116 Kovarianssi ja korrelaatio Korrelaatiokerroin: Ominaisuudet Olkoon satunnaismuuttujien X ja Y korrelaatiokerroin Cor(X, Y). Tällöin (i) 1 Cor( X, Y ) + 1 (ii) Jos X ja Y ovat riippumattomia, niin Cor( X, Y ) = 0 (iii) Cor( XY, ) =± 1, jos ja vain, jos Y = α + βx, jossa α ja β ovat reaalisia vakiota, β 0 TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 116

Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat

Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (4) todennäköisyysjakaumat Johdatus todennäköisyyslaskentaan todennäköisyysjakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (4) todennäköisyysjakaumat: Mitä opimme? /5 hden satunnaismuuttujan todennäköisyysjakaumat

Lisätiedot

Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja jakaumat

Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja jakaumat Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja jakaumat KE (2014) 1 Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat >> Kaksiulotteiset

Lisätiedot

TKK @ Ilkka Mellin (2008) 1/5

TKK @ Ilkka Mellin (2008) 1/5 Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Tehtävät Demo-tehtävät: 1, 3, 6, 7 Pistetehtävät: 2, 4, 5, 9 Ylimääräiset tehtävät: 8, 10, 11 Aiheet: Moniulotteiset jakaumat Avainsanat: Diskreetti jakauma,

Lisätiedot

Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 3

Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 3 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 3 Aiheet: Satunnaisvektorit ja moniulotteiset jakaumat Tilastollinen riippuvuus ja lineaarinen korrelaatio Satunnaisvektorit ja moniulotteiset

Lisätiedot

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A. Moniulotteiset jakaumat. Avainsanat:

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A. Moniulotteiset jakaumat. Avainsanat: Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Moniulotteiset jakaumat Diskreetti jakauma, Ehdollinen jakauma, Ehdollinen odotusarvo, Jatkuva

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 4. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 4. lokakuuta 2007 1 / 17 1 Moniulotteiset todennäköisyysjakaumat Johdanto Kaksiulotteiset satunnaismuuttujat Kaksiulotteisen

Lisätiedot

Todennäköisyyslaskun kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Todennäköisyyslaskun kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Todennäköisyyslaskun kertaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Vilkkumaa / Kuusinen 2 Motivointi Kokeellisessa tutkimuksessa tutkittaviin ilmiöihin liittyvien havaintojen

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (005) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Multinomijakauma Kaksiulotteinen normaalijakauma TKK (c) Ilkka

Lisätiedot

Olkoon R S otosavaruuksien R ja S karteesinen tulo: Satunnaismuuttujien X ja Y järjestetty pari (X, Y) määrittelee kaksiulotteisen satunnaismuuttujan:

Olkoon R S otosavaruuksien R ja S karteesinen tulo: Satunnaismuuttujien X ja Y järjestetty pari (X, Y) määrittelee kaksiulotteisen satunnaismuuttujan: Mat-.6 Sovellettu todennäköisslaskenta B Mat-.6 Sovellettu todennäköisslaskenta B / Ratkaisut Aiheet: Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköissjakaumat Moniulotteisia jakaumia Avainsanat: Diskreetti

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi. Viikko 3. Kaksiulotteiset satunnaismuuttujat

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi. Viikko 3. Kaksiulotteiset satunnaismuuttujat .9. Kaksiulotteiset satunnaismuuttujat MS-A Todennäköisslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Viikko Moniulotteiset satunnaismuuttujat sekä niiden jakaumat ja tunnusluvut; Moniulotteisia jakaumia Usein

Lisätiedot

Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia

Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia >> Multinomijakauma Kaksiulotteinen

Lisätiedot

Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia: Mitä opimme?

Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia: Mitä opimme? TKK (c) Ilkka Mellin (4) Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (4) Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia: Mitä

Lisätiedot

Tilastomatematiikka Kevät 2008

Tilastomatematiikka Kevät 2008 Tilastomatematiikka Kevät 2008 Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta Matematiikan jaos Tilastomatematiikka p.1/19 4.3 Varianssi Satunnaismuuttuja on neliöintegroituva, jos odotusarvo

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kertymäfunktio TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Kertymäfunktio Kertymäfunktio: Määritelmä Diskreettien jakaumien kertymäfunktiot Jatkuvien jakaumien kertymäfunktiot TKK (c)

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa : Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (7) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio

Lisätiedot

4.1. Olkoon X mielivaltainen positiivinen satunnaismuuttuja, jonka odotusarvo on

4.1. Olkoon X mielivaltainen positiivinen satunnaismuuttuja, jonka odotusarvo on Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Otanta Poisson- Jakaumien tunnusluvut Diskreetit jakaumat Binomijakauma, Diskreetti tasainen jakauma, Geometrinen jakauma, Hypergeometrinen

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Kertymäfunktio >> Kertymäfunktio: Määritelmä Diskreettien jakaumien

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (5) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Momenttiemäfunktio Diskreettien jakaumien momenttiemäfunktioita

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Jakaumien tunnusluvut. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Jakaumien tunnusluvut. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Jakaumien tunnusluvut TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Jakaumien tunnusluvut >> Odotusarvo Varianssi Markovin ja Tshebyshevin

Lisätiedot

031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 7

031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 7 0302P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 7 Jukka Kemppainen Mathematics Division Yhteisjakauma Edellä on tarkasteltu yksiulotteista satunnaismuuttujaa. Sovelluksissa joudutaan usein tarkastelemaan samanaikaisesti

Lisätiedot

Sallitut apuvälineet: MAOL-taulukot, kirjoitusvälineet, laskin sekä itse laadittu, A4-kokoinen lunttilappu. f(x, y) = k x y, kun 0 < y < x < 1,

Sallitut apuvälineet: MAOL-taulukot, kirjoitusvälineet, laskin sekä itse laadittu, A4-kokoinen lunttilappu. f(x, y) = k x y, kun 0 < y < x < 1, Todennäköisyyslaskenta, 2. kurssikoe 7.2.22 Sallitut apuvälineet: MAOL-taulukot, kirjoitusvälineet, laskin sekä itse laadittu, A4-kokoinen lunttilappu.. Satunnaismuuttujien X ja Y yhteistiheysfunktio on

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat Satunnaismuuttujien muunnosten jakaumat

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Jakaumien tunnusluvut. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Jakaumien tunnusluvut. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Jakaumien tunnusluvut TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Jakaumien tunnusluvut Odotusarvo Varianssi Markovin ja Tshebyshevin epäyhtälöt Momentit Vinous ja huipukkuus Kvantiilit

Lisätiedot

Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat

Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Satunnaismuuttujien muunnokset ja

Lisätiedot

1. Kuusisivuista noppaa heitetään, kunnes saadaan silmäluku 5 tai 6. Olkoon X niiden heittojen lukumäärä, joilla tuli 1, 2, 3 tai 4.

1. Kuusisivuista noppaa heitetään, kunnes saadaan silmäluku 5 tai 6. Olkoon X niiden heittojen lukumäärä, joilla tuli 1, 2, 3 tai 4. HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Todennäköisyyslaskenta II, syksy 206 Kurssikoe 28.0.206 Ratkaisuehdotuksia. Kuusisivuista noppaa heitetään, kunnes saadaan silmäluku 5 tai 6. Olkoon X niiden

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia Johdanto χ 2 -jakauma F-jakauma t-jakauma TKK (c) Ilkka Mellin

Lisätiedot

5/11 6/11 Vaihe 1. 6/10 4/10 6/10 4/10 Vaihe 2. 5/11 6/11 4/11 7/11 6/11 5/11 5/11 6/11 Vaihe 3

5/11 6/11 Vaihe 1. 6/10 4/10 6/10 4/10 Vaihe 2. 5/11 6/11 4/11 7/11 6/11 5/11 5/11 6/11 Vaihe 3 Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Verkot todennäköisyyslaskennassa Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Jakaumien tunnusluvut Kertymäfunktio, Momentit, Odotusarvo,

Lisätiedot

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A TKK / Systeemianalyysin laboratorio Nordlund Mat-.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A Harjoitus 7 (vko 44/003) (Aihe: odotusarvon ja varianssin ominaisuuksia, satunnaismuuttujien lineaarikombinaatioita,

Lisätiedot

MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen

MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen MAT-5 Todennäköisyyslaskenta Tentti.. / Kimmo Vattulainen Vastaa jokainen tehtävä eri paperille. Funktiolaskin sallittu.. a) P A). ja P A B).6. Mitä on P A B), kun A ja B ovat riippumattomia b) Satunnaismuuttujan

Lisätiedot

Odotusarvo. Odotusarvon ominaisuuksia Satunnaismuuttujien ominaisuuksia 61

Odotusarvo. Odotusarvon ominaisuuksia Satunnaismuuttujien ominaisuuksia 61 3.3. Satunnaismuuttujien ominaisuuksia 61 Odotusarvo Määritelmä 3.5 (Odotusarvo) Olkoon X diskreetti satunnaismuuttuja, jonka arvojoukko on S ja todennäköisyysfunktio f X (x). Silloin X:n odotusarvo on

Lisätiedot

Käytetään satunnaismuuttujaa samoin kuin tilastotieteen puolella:

Käytetään satunnaismuuttujaa samoin kuin tilastotieteen puolella: 8.1 Satunnaismuuttuja Käytetään satunnaismuuttujaa samoin kuin tilastotieteen puolella: Esim. Nopanheitossa (d6) satunnaismuuttuja X kertoo silmäluvun arvon. a) listaa kaikki satunnaismuuttujan arvot b)

Lisätiedot

Johdatus regressioanalyysiin

Johdatus regressioanalyysiin Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 4: Lineaarinen regressioanalyysi Johdatus regressioanalyysiin TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Johdatus regressioanalyysiin >> Regressioanalyysin lähtökohdat ja tavoitteet

Lisätiedot

Keskihajonta ja korrelaatio

Keskihajonta ja korrelaatio Luku 4 Keskihajonta ja korrelaatio Lasse Leskelä Aalto-yliopisto 19. syyskuuta 2017 4.1 Jakauman varianssi ja keskihajonta Edellisessä luvussa opittiin, että satunnaismuuttujan odotusarvo on X:n jakauman

Lisätiedot

3. laskuharjoituskierros, vko 6, ratkaisut

3. laskuharjoituskierros, vko 6, ratkaisut Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku, kevät - eliövaara, Palo, Mellin. laskuharjoituskierros, vko 6, ratkaisut D. Uurnassa A on 4 valkoista ja 6 mustaa kuulaa ja uurnassa B on 6 valkoista ja 4 mustaa

Lisätiedot

Verkot ja todennäköisyyslaskenta Verkko Verkko eli graafi muodostuu pisteiden joukosta V, särmien joukosta A ja insidenssikuvauksesta : A V V jossa

Verkot ja todennäköisyyslaskenta Verkko Verkko eli graafi muodostuu pisteiden joukosta V, särmien joukosta A ja insidenssikuvauksesta : A V V jossa Mat-.6 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Mat-.6 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Ratkaisut Aiheet: Verkot ja todennäköisyyslaskenta Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio Jakaumien

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Johdatus regressioanalyysiin. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus tilastotieteeseen Johdatus regressioanalyysiin. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus tilastotieteeseen Johdatus regressioanalyysiin TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus regressioanalyysiin Regressioanalyysin lähtökohdat ja tavoitteet Deterministiset mallit ja regressioanalyysi

Lisätiedot

Luento KERTAUSTA Kaksiulotteinen jakauma Pisteparvi, Toyota Avensis -farmariautoja

Luento KERTAUSTA Kaksiulotteinen jakauma Pisteparvi, Toyota Avensis -farmariautoja 1 Luento 23.9.2014 KERTAUSTA Kaksiulotteinen jakauma Pisteparvi, Toyota Avensis -farmariautoja 2 Ristiintaulukko Esim. Toyota Avensis farmariautoja, nelikenttä (2x2-taulukko) 3 Esim. 5.2.6. Markkinointisuunnitelma

Lisätiedot

D ( ) E( ) E( ) 2.917

D ( ) E( ) E( ) 2.917 Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku 4. harjoitukset/ratkaisut Aiheet: Diskreetit jakaumat Avainsanat: Binomijakauma, Diskreetti tasainen jakauma, Geometrinen jakauma, Hypergeometrinen jakauma, Kertymäfunktio,

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A050 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi B Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 20. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 20. syyskuuta 2007 1 / 17 1 Kolmogorovin aksioomat σ-algebra Tapahtuman todennäköisyys 2 Satunnaismuuttujat Todennäköisyysjakauma

Lisätiedot

1. Jatketaan luentojen esimerkkiä 8.3. Oletetaan kuten esimerkissä X Y Bin(Y, θ) Y Poi(λ) λ y. f X (x) (λθ)x

1. Jatketaan luentojen esimerkkiä 8.3. Oletetaan kuten esimerkissä X Y Bin(Y, θ) Y Poi(λ) λ y. f X (x) (λθ)x HY, MTL / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIb, syksy 017 Harjoitus 5 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I 1. Jatketaan luentojen esimerkkiä 8.3. Oletetaan kuten esimerkissä X

Lisätiedot

(b) Tarkista integroimalla, että kyseessä on todella tiheysfunktio.

(b) Tarkista integroimalla, että kyseessä on todella tiheysfunktio. Todennäköisyyslaskenta I, kesä 7 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia. Satunnaismuuttujalla X on ns. kaksipuolinen eksponenttijakauma eli Laplacen jakauma: sen tiheysfunktio on fx = e x. a Piirrä tiheysfunktio.

Lisätiedot

Varma tapahtuma, Yhdiste, Yhdistetty tapahtuma, Yhteenlaskusääntö

Varma tapahtuma, Yhdiste, Yhdistetty tapahtuma, Yhteenlaskusääntö Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Unioni, Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt Alkeistapahtuma, Ehdollinen todennäköisyys,

Lisätiedot

Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio

Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio KE (2014) 1 Satunnaismuuttujat ja niiden todennäköisyysjakaumat Satunnaismuuttujat

Lisätiedot

TODENNÄKÖISYYSLASKUN KERTAUS Peruskäsitteitä

TODENNÄKÖISYYSLASKUN KERTAUS Peruskäsitteitä J. Virtamo 38.3143 Jonoteoria / Todennäköisyyslaskenta 1 TODENNÄKÖISYYSLASKUN KERTAUS Peruskäsitteitä Otosavaruus S S on satunnaiskokeen E kaikkien mahdollisten alkeistapahtumien e joukko. Esim. 1. Noppaa

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 6: Korrelaatio ja riippuvuus tilastotieteessä

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 6: Korrelaatio ja riippuvuus tilastotieteessä Tilastollisen analyysin perusteet Luento 6: Korrelaatio ja riippuvuus tilastotieteessä Sisältö Riippumattomuus Jos P(A B) = P(A)P(B), niin tapahtumat A ja B ovat toisistaan riippumattomia. (Keskustelimme

Lisätiedot

ABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY

ABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Mitä tänään? Jos satunnaisilmiötä halutaan mallintaa matemaattisesti, on ilmiön tulosvaihtoehdot kuvattava numeerisessa muodossa. Tämä tapahtuu liittämällä

Lisätiedot

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 3A Satunnaismuuttujien summa ja keskihajonta Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto

Lisätiedot

Gripenberg. MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Tentti ja välikoeuusinta

Gripenberg. MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Tentti ja välikoeuusinta MS-A00 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Tentti ja välikoeuusinta 7.. Gripenberg Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi ym. tiedot ja minkä kokeen suoritat! Laskin,

Lisätiedot

Johdatus tn-laskentaan perjantai 17.2.2012

Johdatus tn-laskentaan perjantai 17.2.2012 Johdatus tn-laskentaan perjantai 17.2.2012 Kahden diskreetin muuttujan yhteisjakauma On olemassa myös monen muuttujan yhteisjakauma, ja jatkuvien muuttujien yhteisjakauma (jota ei käsitellä tällä kurssilla;

Lisätiedot

Todennäköisyyslaskenta. β versio. Todennäköisyyslaskenta. Ilkka Mellin. Teknillinen korkeakoulu, Matematiikan laboratorio. Ilkka Mellin (2006) I

Todennäköisyyslaskenta. β versio. Todennäköisyyslaskenta. Ilkka Mellin. Teknillinen korkeakoulu, Matematiikan laboratorio. Ilkka Mellin (2006) I β versio Todennäköisyyslaskenta Ilkka Mellin Teknillinen korkeakoulu, Matematiikan laboratorio TKK @ Ilkka Mellin (2006) I TKK @ Ilkka Mellin (2006) II Esipuhe Tämä moniste antaa perustiedot todennäköisyyslaskennasta.

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Estimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus tilastotieteeseen Estimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus tilastotieteeseen Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Estimointi Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin ominaisuudet TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 2 Estimointi:

Lisätiedot

Harjoitus 2: Matlab - Statistical Toolbox

Harjoitus 2: Matlab - Statistical Toolbox Harjoitus 2: Matlab - Statistical Toolbox Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen tavoitteet Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat

Lisätiedot

Olkoot X ja Y riippumattomia satunnaismuuttujia, joiden odotusarvot, varianssit ja kovarianssi ovat

Olkoot X ja Y riippumattomia satunnaismuuttujia, joiden odotusarvot, varianssit ja kovarianssi ovat Mat-.3 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit. harjoituset Mat-.3 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit. harjoituset / Rataisut Aiheet: Avainsanat: Satunnaismuuttujat ja todennäöisyysjaaumat Kertymäfuntio

Lisätiedot

Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia

Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia >> Johdanto χ 2 -jakauma F-jakauma

Lisätiedot

MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen

MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen MAT-25 Todennäköisyyslaskenta Tentti 12.4.216 / Kimmo Vattulainen Funktiolaskin sallittu. Palauta kaavakokoelma 1. a) Pelaajat A ja B heittävät noppaa vuorotellen ja pelin voittaa se, joka saa ensimmäiseksi

Lisätiedot

7. laskuharjoituskierros, vko 10, ratkaisut

7. laskuharjoituskierros, vko 10, ratkaisut 7. laskuharjoituskierros, vko 10, ratkaisut D1. a) Oletetaan, että satunnaismuuttujat X ja Y noudattavat kaksiulotteista normaalijakaumaa parametrein E(X) = 0, E(Y ) = 1, Var(X) = 1, Var(Y ) = 4 ja Cov(X,

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A050 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi B Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto

Lisätiedot

4. laskuharjoituskierros, vko 7, ratkaisut

4. laskuharjoituskierros, vko 7, ratkaisut 4. laskuharjoituskierros, vko 7, ratkaisut D1. Kone valmistaa kuulalaakerin kuulia, joiden halkaisija vaihtelee satunnaisesti. Halkaisijan on oltava tiettyjen rajojen sisällä, jotta kuula olisi käyttökelpoinen.

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 2A Satunnaismuuttujan odotusarvo Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016,

Lisätiedot

(x, y) 2. heiton tulos y

(x, y) 2. heiton tulos y Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Tehtävät Demo-tehtävät: 1, 2, 4, 6, 8, 11 Pistetehtävät: 3, 5, 9, 12 Ylimääräiset tehtävät: 7, 10, 13 Aiheet: Joukko-oppi Todennäköisyys ja sen määritteleminen

Lisätiedot

Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi

Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin

Lisätiedot

MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 3A Normaaliapproksimaatio Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Lukuvuosi 2016

Lisätiedot

D ( ) Var( ) ( ) E( ) [E( )]

D ( ) Var( ) ( ) E( ) [E( )] Mat-.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Ratkaisut Aiheet: Diskreettejä jakaumia Avainsanat: Binomijakauma, Diskreetti tasainen jakauma, Eksponenttijakauma, Geometrinen jakauma, Hypergeometrinen

Lisätiedot

4.0.2 Kuinka hyvä ennuste on?

4.0.2 Kuinka hyvä ennuste on? Luonteva ennuste on käyttää yhtälöä (4.0.1), jolloin estimaattori on muotoa X t = c + φ 1 X t 1 + + φ p X t p ja estimointivirheen varianssi on σ 2. X t }{{} todellinen arvo Xt }{{} esimaattori = ε t Esimerkki

Lisätiedot

MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 2A Satunnaismuuttujan odotusarvo Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Lukuvuosi

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila Kalvoissa käytetään materiaalia P. Palon vuoden 2005 kurssista. 07.09.2007 Antti Rasila () SovTodB 07.09.2007 07.09.2007 1 / 24 1 Todennäköisyyslaskennan

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Viikko 2 Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Lasse Leskelä, Heikki Seppälä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden

Lisätiedot

Estimointi. Estimointi. Estimointi: Mitä opimme? 2/4. Estimointi: Mitä opimme? 1/4. Estimointi: Mitä opimme? 3/4. Estimointi: Mitä opimme?

Estimointi. Estimointi. Estimointi: Mitä opimme? 2/4. Estimointi: Mitä opimme? 1/4. Estimointi: Mitä opimme? 3/4. Estimointi: Mitä opimme? TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus tilastotieteeseen TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 2 Mitä opimme? 1/4 Tilastollisen tutkimuksen tavoitteena on tehdä johtopäätöksiä prosesseista, jotka generoivat reaalimaailman

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Jatkuvia jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Jatkuvia jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Jatkuvia jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Jatkuvia jakaumia Jatkuva tasainen jakauma Eksponenttijakauma Normaalijakauma Keskeinen raja-arvolause TKK (c) Ilkka Mellin

Lisätiedot

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Luennot, osa I

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Luennot, osa I MS-A050 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Luennot, osa I G. Gripenberg 1 Todennäköisyys Satunnaismuuttujat Keskeinen raja-arvolause Aalto-yliopisto. tammikuuta 015 Kaksiulotteiset satunnaismuuttujat

Lisätiedot

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Luennot, osa I

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Luennot, osa I MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Luennot, osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 2. tammikuuta 2015 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen

Lisätiedot

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku. Aiheet: Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt Avainsanat:

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku. Aiheet: Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt Avainsanat: Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku Aiheet: Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt Avainsanat: Alkeistapahtuma, Ehdollinen todennäköisyys, Erotustapahtuma,

Lisätiedot

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin

Lisätiedot

χ = Mat Sovellettu todennäköisyyslasku 11. harjoitukset/ratkaisut

χ = Mat Sovellettu todennäköisyyslasku 11. harjoitukset/ratkaisut Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku /Ratkaisut Aiheet: Yhteensopivuuden testaaminen Homogeenisuuden testaaminen Riippumattomuuden testaaminen Avainsanat: Estimointi, Havaittu frekvenssi, Homogeenisuus,

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Satunnaismuuttujat ja niiden todennäköisyysjakaumat

Lisätiedot

Otosavaruus ja todennäköisyys Otosavaruus Ë on joukko, jonka alkiot ovat kokeen tulokset Tapahtuma on otosavaruuden osajoukko

Otosavaruus ja todennäköisyys Otosavaruus Ë on joukko, jonka alkiot ovat kokeen tulokset Tapahtuma on otosavaruuden osajoukko ÌÓÒÒĐĐÓ ÝÝ ÔÖÙ ØØ Naiiveja määritelmiä Suhteellinen frekvenssi kun ilmiö toistuu Jos tehdas on valmistanut 1000000 kpl erästä tuotetta, joista 5013 ovat viallisia, niin todennäköisyys, että tuote on viallinen

Lisätiedot

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Luennot, osa I

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Luennot, osa I MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Luennot, osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 2. tammikuuta 2015 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen

Lisätiedot

FoA5 Tilastollisen analyysin perusteet puheentutkimuksessa. 6. luento. Pertti Palo

FoA5 Tilastollisen analyysin perusteet puheentutkimuksessa. 6. luento. Pertti Palo FoA5 Tilastollisen analyysin perusteet puheentutkimuksessa 6. luento Pertti Palo 1.11.2012 Käytännön asioita Harjoitustöiden palautus sittenkin sähköpostilla. PalautusDL:n jälkeen tiistaina netistä löytyy

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Testit laatueroasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1

Johdatus tilastotieteeseen Testit laatueroasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus tilastotieteeseen Testit laatueroasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Testit laatueroasteikollisille muuttujille Laatueroasteikollisten muuttujien testit Testi suhteelliselle

Lisätiedot

8.1 Ehdolliset jakaumat

8.1 Ehdolliset jakaumat 8 Ehdollinen jakauma Tämän kappaleen tärkeitä käsitteitä: Ehdollinen jakauma; ehdollinen ptnf/tf. Kertolaskusääntö eli ketjusääntö yhteisjakauman esittämiseksi. Ehdollinen odotusarvo ja ehdollinen varianssi.

Lisätiedot

1. laskuharjoituskierros, vko 4, ratkaisut

1. laskuharjoituskierros, vko 4, ratkaisut 1. laskuharjoituskierros, vko 4, ratkaisut D1. Heitetään kahta virheetöntä noppaa, joiden kuudella tahkolla on silmäluvut 1, 2, 3, 4, 5 ja 6. Tällöin heittotuloksiin liittyvä otosavaruus on S = {(x, y)

Lisätiedot

5. laskuharjoituskierros, vko 8, ratkaisut

5. laskuharjoituskierros, vko 8, ratkaisut Mat-.09 Sovellettu todennäköisyyslasku, kevät -05 5. laskuharjoituskierros, vko 8, ratkaisut D. Eräässä maata kiertävällä radalla olevassa satelliitissa on ilmaisin, jonka elinikä X yksikkönä vuosi noudattaa

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Tilastollinen riippuvuus ja korrelaatio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus tilastotieteeseen Tilastollinen riippuvuus ja korrelaatio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus tilastotieteeseen Tilastollinen riippuvuus ja korrelaatio TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Tilastollinen riippuvuus ja korrelaatio Tilastollinen riippuvuus, korrelaatio ja regressio Kahden muuttujan

Lisätiedot

Todennäköisyyslaskenta

Todennäköisyyslaskenta Todennäköisyyslaskenta Ilkka Mellin 1. korjattu painos Ilkka Mellin I Ilkka Mellin II Esipuhe Tämä moniste pyrkii antamaan perustiedot todennäköisyyslaskennasta. Monisteen ensisijaisena tavoitteena on

Lisätiedot

Mat Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Mat Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisslaskenta B 1. välikoe 08.03.2011 / Kibble Kirjoita selvästi jokaiseen koepaperiin seuraavat tiedot: Mat-1.2620 SovTnB 1. vk 08.03.2011 opiskelijanumero + kirjain TEKSTATEN

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 18. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 18. lokakuuta 2007 1 / 19 1 Tilastollinen aineisto 2 Tilastollinen malli Yksinkertainen satunnaisotos 3 Otostunnusluvut

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Jatkuvia jakaumia

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Jatkuvia jakaumia Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Jatkuvia jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 1 Jatkuvia jakaumia >> Jatkuva tasainen jakauma Eksponenttijakauma Normaalijakauma Keskeinen

Lisätiedot

B. Siten A B, jos ja vain jos x A x

B. Siten A B, jos ja vain jos x A x Mat-1.2600 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Ratkaisut Aiheet: Johdanto Joukko-opin peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt Avainsanat: Alkeistapahtuma,

Lisätiedot

Tilastotieteen kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Tilastotieteen kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Tilastotieteen kertaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Reaalimaailman ilmiöihin liittyy tyypillisesti satunnaisuutta ja epävarmuutta Ilmiöihin liittyvien havaintojen ajatellaan usein olevan peräisin

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Diskreettejä jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Diskreettejä jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Diskreettejä jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Diskreettejä jakaumia Diskreetti tasainen jakauma Bernoulli-jakauma Binomijakauma Geometrinen jakauma Negatiivinen

Lisätiedot

Tilastollisen päättelyn perusteet

Tilastollisen päättelyn perusteet Tilastollisen päättelyn perusteet Tilastotiede käytännön tutkimuksessa -kurssi, kesä 2001 Reijo Sund Motivointiako? opiskelijoiden, jotka kammoavat matematiikkaa tai eivät katso ehtivänsä tai haluavansa

Lisätiedot

Epäyhtälöt ovat yksi matemaatikon voimakkaimmista

Epäyhtälöt ovat yksi matemaatikon voimakkaimmista 6 Epäyhtälöitä Epäyhtälöt ovat yksi matemaatikon voimakkaimmista työvälineistä. Yhtälö a = b kertoo sen, että kaksi ehkä näennäisesti erilaista asiaa ovat samoja. Epäyhtälö a b saattaa antaa keinon analysoida

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 3: Todennäköisyysjakaumia. Diskreettejä jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 3: Todennäköisyysjakaumia. Diskreettejä jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Diskreettejä jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Diskreettejä jakaumia >> Diskreetti tasainen jakauma Bernoulli-jakauma Binomijakauma

Lisätiedot

Todennäköisyyden ominaisuuksia

Todennäköisyyden ominaisuuksia Todennäköisyyden ominaisuuksia 0 P(A) 1 (1) P(S) = 1 (2) A B = P(A B) = P(A) + P(B) (3) P(A) = 1 P(A) (4) P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) (5) Tapahtuman todennäköisyys S = {e 1,..., e N }. N A = A. Kun alkeistapaukset

Lisätiedot

Lisää Diskreettejä jakaumia Lisää Jatkuvia jakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia

Lisää Diskreettejä jakaumia Lisää Jatkuvia jakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Lisää Diskreettejä jakaumia Lisää Jatkuvia jakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia KE (2014) 1 Hypergeometrinen jakauma Hypergeometrinen jakauma

Lisätiedot

Tilastollinen testaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Tilastollinen testaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Tilastollinen testaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Viime luennolla: havainnot generoineen jakauman muoto on usein tunnettu, mutta parametrit tulee estimoida Joskus parametreista on perusteltua esittää

Lisätiedot

Teema 7: Todennäköisyyksien laskentaa

Teema 7: Todennäköisyyksien laskentaa Teema 7: Todennäköisyyksien laskentaa Teemassa 6 tutustuttiin todennäköisyyden ja satunnaisuuden käsitteisiin sekä todennäköisyyslaskennan perusteisiin. Seuraavaksi tätä aihepiiriä syvennetään perehtymällä

Lisätiedot

P (X B) = f X (x)dx. xf X (x)dx. g(x)f X (x)dx.

P (X B) = f X (x)dx. xf X (x)dx. g(x)f X (x)dx. Yhteenveto: Satunnaisvektorit ovat kuvauksia tn-avaruudelta seillaiselle avaruudelle, johon sisältyy satunnaisvektorin kaikki mahdolliset reaalisaatiot. Satunnaisvektorin realisaatio eli otos on jokin

Lisätiedot

2. Jatkoa HT 4.5:teen ja edelliseen tehtavään: Määrää X:n kertymäfunktio F (x) ja laske sen avulla todennäköisyydet

2. Jatkoa HT 4.5:teen ja edelliseen tehtavään: Määrää X:n kertymäfunktio F (x) ja laske sen avulla todennäköisyydet Tilastotieteen jatkokurssi Sosiaalitieteiden laitos Harjoitus 5 (viikko 9) Ratkaisuehdotuksia (Laura Tuohilampi). Jatkoa HT 4.5:teen. Määrää E(X) ja D (X). E(X) = 5X p i x i =0.8 0+0.39 +0.4 +0.4 3+0.04

Lisätiedot