Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A"

Transkriptio

1 TKK / Systeemianalyysin laboratorio Nordlund Mat-.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A Harjoitus 5 (vko 4/003) (Aihe: jatkuvia satunnaismuuttujia ja jakaumia, sekamalli, Laininen luvut , ) 1. Erään projektin arvioidaan tuottavan voittoa parhaimmillaan 3 miljoonaa euroa ja pahimmassa tapauksessa miljoonaa euroa tappiota. Projektin tuotto on satunnaismuuttuja X, jonka jakaumalla on seuraavat ominaisuudet: (i) Tiheysfunktio on kuvion mukaista 'kolmio'-tyyppiä. Kolmion kanta on jana [-, 3] x [milj. euroa] (ii) Projekti on tappiollinen todennäköisyydellä 0.0. Määritä näiden tietojen pohjalta X:n tiheysfunktio ja vastaa kysymyksiin: a) Millä todennäköisyydellä projekti tuottaa voittoa vähintään 1.8 miljoonaa euroa? b) Määritä projektin tuoton odotusarvo ja keskihajonta. Mikä on odotusarvon tulkinta? c) Määritä projektin tuoton mediaani. Mikä on mediaanin tulkinta? d) Jos yritetään arvata projektin tuotto etukäteen (esim euron tarkkuudella), mikä on paras arvaus? Kolmion pinta-ala on 1 (tiheysfunktio!), kannan pituus 5, P(X < 0) = 0.0 ja P(X > 0) = Merkitään kolmion huipun y-koordinaattia kirjaimella h. Korkeus saadaan yhtälöstä: 5 h = 1 h = 0.4 y-akselin vasemmalla puolella olevan kolmion osan pinta-ala on 0.0 ja kannan pituus. Tästä saadaan ratkaistua korkeus k, jolla kolmio leikkaa y-akselin: k = 0. k = 0. Tästä nähdään, että kolmion vasemman kyljen kulmakerroin on 0.1 ja huipun x-koordinaatti on. Tiheysfunktioksi saadaan:

2 0 kun x 0.1x + 0. kun x f ( x) = 0.4x + 1. kun x 3 0 kun x 3 ( 1.8 ( ) )( ) a) P( X 1.8) = 1 P( X < 1.8) = 1 = 0.78 Tämä ratkaisu perustuu geometriaan (kolmion ala on kanta kertaa korkeus jaettuna kahdella). Todennäköisyyden voi laskea myös integroimalla tai tarkastelemalla yhdenmuotoisia kolmioita (alojen suhde on sama kuin janojen pituuksien suhteen neliö) b) E( X) = x( 0.1x + 0.) dx + x( 0.4x + 1.) dx = + = Tulkinta: Jos vastaavia projekteja on paljon, toistokertojen kasvaessa rajatta projektien keskimääräinen tuotto on 1 miljoona euroa E( X ) = x ( 0.1x + 0.) dx + x ( 0.4x + 1.) dx = = = = =, D( X ) = ( X) ( X ) [ ( X) ] Var E E c) Mediaani m d jakaa jakauman kahteen yhtä suureen osaan siten, että P(X < m d ) = P(X > m d ) = 0.5. Selvästi mediaani on positiivinen, koska projektit ovat tappiollisia todennäköisyydellä 0.. Koska jakauma on vasemmalle vino, on syytä olettaa, että mediaani sijaitsee tiheysfunktion huipun vasemmalla puolella. Integroidaan kolmion vasenta puolta: m d ( 0.1x + 0.) dx = 0.05m + 0.m + 0. d d Saadaan yhtälö 0.05md + 0.md + 0. = 0.5, jonka (positiivinen) ratkaisu on m d = Tulkinta: Puolet vastaavista projekteista tuottaa alle 1.16 miljoonaa euroa. d) Paras arvaus on jakauman moodi eli tiheysfunktion maksimi ( miljoonaa euroa).. (satunnaismuuttujan funktion tiheysfunktio, Laininen 5.7) Keppi, jonka pituus on m, taitetaan kahtia täysin satunnaisesti valitusta paikasta (katkaisukohta on tasajakautunut) ja muodostetaan suorakulmainen kolmio, jonka kateetteina ovat syntyneet kepin palaset. Kolmion pinta-ala on satunnaismuuttuja A. a) Määritä A:n tiheysfunktio. b) Määritä A:n odotusarvo A:n tiheysfunktion avulla. c) Määritä A:n odotusarvo helpommalla tavalla. d) Keppi katkeaa keskimäärin keskeltä (tasajakauman odotusarvo). Mitä käy, jos lasketaan kolmion pinta-ala olettaen, että keppi katkeaa keskeltä?

3 Merkitään katkaisukohtaa satunnaismuuttujalla X: X ~ Tas(0, ) (usein jatkuvasta tasaisesta jakaumasta käytetään myös merkintää X ~ Uniform(0, )). Toisen kateetin pituudeksi tulee X ja toisen pituudeksi X. Tällöin kolmion ala on A = 0.5 X ( X). a) A:n kertymäfunktio saadaan tarkastelemalla paraabelia y = 0.5 x ( x) ja tutkimalla millä x:n arvoilla paraabelin pisteet ovat vaakasuoran y = a alapuolella, missä kiinnostavat arvot ovat 0 < a < 0.5 (paraabelin huippu on korkeudella 0.5). Tarkastellaan vain paraabelin vasenta puolta eli arvoja 0 < x < 1 (näillä arvoilla funktio A on kasvava). 0.5x( x) a 0.5x + x a 0 Merkitään epäyhtälön arvo nollaksi ja ratkaistaan x:n suhteen: x = 1± 1 a Tarkastellaan vain paraabelin vasenta puolta ja saadaan epäyhtälö: x 1 1 a Näin saatiin pinta-alalle kertymäfunktio: F ( a) = 1 1 a, kun 0 < a < 0.5 A Pinta-alan tiheysfunktio: f a = F a =, kun 0 < a < a ' 1 ( ) ( ) A A Toinen muotoilu: Merkitään lyhyemmän kepin palan pituutta satunnaismuuttujalla X: X ~Tas(0, 1). Tällöin pidemmän kepin palan pituus on X. 0, x 0 f ( x) = 1, 0 < x < 1 0, x 1 0, x 0 F( x) = P( X x) = x, 0 < x < 1 1, x 1 Tällöin muodostuvan kolmion alan kertymäfunktio F A (a) voidaan kirjoittaa muotoon: ( ) ( ) F ( ) A a = P( A a) = P 0.5X( X) a = P 0.5X + X a 0 Asetetaan epäyhtälön arvo nollaksi ja hylätään toinen juuri (koska 0 < x < 1). Saadaan: F a = P X 1 1 a = F 1 1 a = 1 1 a, 0< a < 0.5 A ( ) ( ) X ( ) b) E( A) = a da 1 a

4 Luntataan laiskuuden vuoksi kirjasta valmis integrointikaava, joka sanoo: x dx = ( kx l ) kx + l + C, missä k, l ja C ovat vakioita. Saadaan: kx + l 3k a ( ) ( ) ( ) 1 E A = da a a 1 = + = 1 a c) E(A) voidaan määrittää suoraan E( A) = E 0.5X( X) = 0.5 E X X [ ] [ ( )] 1 = 0.5 ( ) ( ) x x fx x dx = 0.5 x ( x) 0.5dx = (tasajakauman tiheysfunktion f X (x) arvo välillä [0, ] on 0.5. d) Kun keppi katkeaa keskeltä, X saa arvon 1. Tällöin kolmion pinta-alaksi tulee 0.5 1( 1) = 0.5, joka on pinta-alan maksimi. Yleensä E[H(X)] H[E(X)], missä H(x) on satunnaismuuttujan muunnokseen käytettävä funktio. 3. Vertaillaan tasajakauma- ja eksponenttijakaumamalleja: Säähavaintojärjestelmään kuuluva mittalaite toimii ilman huoltoa moitteettomasti ajan, joka on satunnaismuuttuja Y. Oletetaan, että (i) Y:n jakauma on tasajakauma välillä (1, ) (aikayksikkönä vuosi) (ii) Y:n jakauma on eksponenttijakauma parametrilla λ = /3 (yksikkönä vuosi). Tarkastele molempien mallien kohdalla seuraavia kysymyksiä: a) Kuinka kauan laite keskimäärin toimii ilman huoltoa? b) Mikä on Y:n jakauman mediaani m d? (Mediaani jakaa jakauman kahteen yhtä suureen osaan siten, että tapahtumat Y < m d ja Y > m d ovat yhtä todennäköiset) c) Jos laite on asennettu tasan vuosi sitten, millä todennäköisyydellä se toimii vielä nyt? Jos laite toimii nyt, millä todennäköisyydellä se toimii vielä kuukauden kuluttua? d) Samat kysymykset kuin c-kohdassa, mutta oletetaan, että laite on asennettu 0 kk sitten. e) Samat kysymykset kuin c-kohdassa, mutta oletetaan, että laite on asennettu 4 kk sitten. f) Mittalaitteita hankitaan 10 kappaletta ja kaikkia käytetään yhtä paljon samoissa olosuhteissa. Mikä on ensimmäisen 1.5 vuoden aikana hajonneiden mittalaitteiden lukumäärän X odotusarvo? Eksponenttijakauman tiheysfunktio: f ( x) = λe λx, x 0 Eksponenttijakauman kertymäfunktio: x λt λt λx F( x) = P( X x) = λe dt = e = 1 e, x Eksponenttijakauman häntätodennäköisyydet saadaan laskettua helposti: λx P( X > x) = 1 P ( X x) = e, x 0 x

5 (1, ) tasajakauman tiheysfunktio: f(x) = 1, kun 1 < x <, ja 0 muualla (1, ) tasajakauman kertymäfunktio: x F( x) = P( X x) = 1dt = x 1, kun 1 < x <, ja 0, kun x 1, ja 1, kun x 1 (1, ) tasajakauman häntätodennäköisyydet: P( X > x) = 1 P( X x) = x, kun 1 < x <, ja 1, kun x 1, ja 0, kun x a) Molemmissa tapauksissa E(Y) = 1.5 (vuotta). b) Tasajak: m d = 1.5 m d ln( 0.5) 3 Eksp: F( md) = 1 e = 0.5 md = (Mediaania kutsutaan ajan yhteydessä usein puoliintumisajaksi: kun aikaa on kulunut mediaanin verran, puolet samaan aikaan käyttöönotetuista mittalaitteista on hajonnut) c) Tasajak: P(Y > 1) = 1 P(Y > 13/1 Y > 1) = P(Y > 13/1) = 11/ Eksp: P(Y > 1) = e λ λ 1 λ λ e 1 P(Y > 13/1 Y > 1) = = e e d) Tasajak: P(Y > 0/1) = 1/ P(Y > 1/1 Y > 0/1) = 3/4 = Eksp: P(Y > 0/1) = e 0.39 P(Y > 1/1 Y > 0/1) e) Tasajak: P(Y > 4/1) = 0 P(Y > 5/1 Y > 4/1) ei ole määritelty (0/0) 4 Eksp: 3 1 P(Y > 4/1) = e 0.64 P(Y > 5/1 Y > 4/1) f) Tasajak: Hajonneiden mittalaitteiden lukumäärä on binomijakautunut. E(X) = n P("yksi laite kestää alle 1.5 vuotta") = = 5. Eksp: Hajonneiden mittalaitteiden lukumäärä on binomijakautunut. E(X) = n P("yksi laite kestää alle 1.5 vuotta") = 10 (1 3 3 e ) 6.3. Eksponenttijakaumaan liittyy unohtamisominaisuus, jonka vuoksi laite toimii vielä yhden kuukauden lisää todennäköisyydellä riippumatta siitä, miten kauan laite on jo toiminut. Eksponenttijakauma liittyy kiinteästi Poisson-jakaumaan: jos tapahtumien aikavälit (tässä tapauksessa mittalaitteiden hajoamisten välit) ovat riippumattomia, eksponenttijakautuneita ja tapahtumia on äärettömän paljon, aikavälillä t tapahtuvien tapahtumien (tässä hajonneiden laitteiden lukumäärä) on Poisson-jakautunut. Vastaavasti jos tapahtumien lukumäärä aikavälillä on Poisson-jakautunut, tapahtumien väliajat ovat eksponenttijakautuneita.

6 4. a) Olkoon satunnaismuuttujan X momentit generoiva funktio m X (t). Määritä lineaarisen muunnoksen Y = a + bx (missä a ja b ovat vakioita ja b > 0) momentit generoiva funktio m Y (t). t b) Standardoidun normaalijakauman N(0, 1) momentit generoiva funktio on m Z (t) = / e. Määritä tämän ja a-kohdan tuloksen perusteella N(µ, σ )-jakautuneen satunnaismuuttujan W momentit generoiva funktio m W (t). a) () ( ) ty ta ( + bx) ( ) ( at btx ) at X ( ) m t = E e = E e = E e e = e m bt Y b) Jos W ~ N(µ, σ ), voidaan kirjoittaa W = µ +σz, missä Z ~N(0, 1). Tästä seuraa: tw µ t σ tz µ t µ t σ t / µ t+ σ t / Z m () t E( e ) E( e e ) e m ( σt) e e e W = = = = =. 5. Varastossa on 8 kpl 0 litran ja 1 kpl 45 litran viinitynnyreitä, joissa kussakin on satunnainen määrä viiniä (tässä tapauksessa "satunnainen" tarkoittaa välille 0 % 100 % tasajakautunut osa tynnyrin tilavuudesta). Varastosta satunnaisesti valittu tynnyri sisältää Y litraa viiniä. Määritä Y:n kertymäfunktio, tiheysfunktio ja odotusarvo. Lasketaan ensin esim. kertymäfunktion arvo F(18). Tämä ratkeaa helpoiten puumallin avulla: 18/0 Y < Y > / /45 45 Y < /45 Y > Puumallin avulla on helppo määrätä todennäköisyys, että satunnaisesti valitussa viinikanisterissa on korkeintaan 18 litraa viiniä: F(18) = P(Y 18) = / /45 = = 0.6 Tämän jälkeen määrätään kertymäfunktio yleisessä tapauksessa samaan tapaan. Merkitään: A = "valitaan 0 l tynnyri", B = "valitaan 45 l tynnyri" (jolloin B = A C ). Y:n kertymäfunktio on F(Y) = P(Y y) = P(A)P(Y y A) + P(B) P(Y y B). y y Arvoilla 0 y 0 saadaan P(Y y) = ja 0 45 y arvoilla 0 < y 45 saadaan P(Y y) = Siis 45

7 0, kun y < 0 y, kun 0 y 0 30 F( y) = y, kun 0 < y , kun y > 45 Tiheysfunktio saadaan derivoimalla kertymäfunktio: 0, kun y < 0 1, kun 0 y 0 30 f ( y) = 0.4, kun 0 < y , kun y > 45 Odotusarvon saa laskettua tiheysfunktion avulla integroimalla paloittain: E( Y) = ydy + ydy = Tai suoraan viinien määrän odotusarvoista (ks. puumalli): 0 45 E( Y ) = = 17.5 HUOM! Laskuharjoituspaperissa luki "esimerkki sekamallista". Tämä on painovirhe, kyseessä ei ole sekajakauma vaan kahden tiheysfunktion lineaarikombinaatio, josta käytetään termiä "sekoitettu jakauma" (sekamallissa on mukana diskreetti komponentti eikä sillä ole siten tiheysfunktiota). 6. Suuressa kalansaaliissa kalojen paino X on normaalijakautunut odotusarvona 600 g ja keskihajontana 160 g. Kaikki alle 400 g painavat kalat syötetään kissoille. Määritä jäljelle jäävien kalojen painojakauman mediaani ja odotusarvo. Arvoa x = 400 vastaavan standardoidun muuttujan arvo on z = (x µ) / σ = 1.5. Siis P(X < 400) = Φ( 1.5) = = (eli % kaloista heitetään pois). Jäljelle jäävän jakauman mediaani x Med toteuttaa ehdon P(X > x Med ) = / = (piirrä kuvio!). Vastaava arvo z Med toteuttaa ehdon Φ(z Med ) = = 0.558, joten z Med 0.13 (taulukosta luettava tarkkuus, Φ(z) on standardoidun normaalijakauman kertymäfunktio). Kysytty mediaani on x Med = µ σ = 60.8 g. 1 Katkaistun N(0, 1)-jakauman tiheysfunktio on e, z > 1.5. Huomaa, että π termi nimittäjässä skaalaa katkaistun tiheysfunktion, jotta pinta-alaksi tulee 1. z

8 Odotusarvo saadaan integroimalla: + + z z ( 1.5) ze dz e e π = π = π Yli 400 g painavien kalojen painon odotusarvo on µ σ 63.7 g. 7. Tätä tehtävää ei käydä laskuharjoituksissa läpi, vaan kaikkien on tarkoitus tehdä se itsenäisesti kaavakokoelman taulukon avulla. Kysy tuntiopettajaltasi, jos et osaa jotakin kohtaa. Olkoon satunnaismuuttuja Z ~ N(0, 1). a) Määrää P(Z > 1) (vastaus: ) b) Määrää P(Z 1.5) (vastaus: ) c) Määrää z siten, että P(Z z) = 0.95 (vastaus: z = 1.64) d) Määrää z siten, että P(Z z) = 0.01 (vastaus: z =.33) e) Määrää P( Z ). (vastaus: ) f) Määrää z siten, että P( Z z) = 0.05 (vastaus: z = 1.96) Olkoon satunnaismuuttuja X ~N(1, 9). g) Määrää P(X 1) (vastaus: 0.514) h) Määrää x siten, että P(X x) = 0.05 (vastaus: x = 5.9) Kannattaa hahmottaa paperille kuva, johon on varjostettu kysytty todennäköisyys (joka siis vastaa tiheysfunktion pinta-alaa). Standardoidun normaalijakauman (odotusarvo 0, varianssi 1) kertymäfunktiota P(Z z) merkitään tyypillisesti Φ(z). a) P(Z > 1) = 1 P(Z 1) = = b) P(Z 1.5) = P(Z 1.5) = 1 P(Z < 1.5) = = c) P(Z z) = 0.95 z = 1.64 d) P(Z z) = 0.01 P(Z < z) = 0.99 z =.33 e) P( Z ) = P( Z ) = P(Z ) P(Z < ) = 1 P(Z < ) = 1 (1 P(Z )) = P(Z ) 1 = = f) P( Z z) = 0.05 P(Z z) = 0.05 P(Z z) = 0.05 P(Z < z) = z = 1.96 Olkoon satunnaismuuttuja X ~N(1, 9). Standardoitu satunnaismuuttuja Z noudattaa standardoitua normaalijakaumaa: Z = (X µ X ) / σ X = (X 1) / 3 ~ N(0, 1) Vastaavasti standardoidusta satunnaismuuttujasta Z saadaan N(1, 9)-normaalijakaumaa noudattava satunnaismuuttuja X seuraavasti: X = σ X Z + µ X = 3 Z + 1 ~ N(1, 9)

9 g) P(X 1) = P(Z ( 1 1)/3) = P(Z /3) = 1 P(Z < /3) = = h) P(Z z) = 0.05 P(Z < z) = 0.95 z = 1.64 x = 3 z + 1 = 5.9 Pistetehtävä 1. Kahvilan päivittäinen myynti on satunnaismuuttuja, joka oletetaan normaalijakautuneeksi. Jos oletetaan, että kuukaudessa (30 päivää) on pitkällä ajalla keskimäärin.7 päivää, jolloin myynti alittaa 1000 mk, ja keskimäärin 6 päivää, jolloin myynti ylittää 000 mk, niin kuinka usein sattuu päivä, jolloin myynti ylittää 3000 mk? Merkitään X = "kahvilan päivittäinen myynti", x 1 = 1000 ja x = 000. Näitä vastaavat standardoidun muuttujan arvot z i = (x i µ)/σ, (i = 1, ), jotka toteuttavat ehdot: P(X x 1 ) = P(Z z 1 ) = Φ(z 1 ) =.7/30 = 0.09 z 1 = 1.34 (taulukosta) P(X x ) = P(Z z ) = Φ(z ) = 1 6/30 = 0.80 z = 0.84 (taulukosta) Saadaan yhtälöpari (x i = z i σ + µ, i = 1, ): 1.34σ + µ = σ + µ = 000 Ratkaistaan σ 458.7, µ Tällöin arvoa x 3 = 3000 vastaa z 3 = (x 3 µ)/σ 3.0. P(X > 3000) = 1 P(X 3000) = 1 Φ(( )/458.7) = 1 Φ(3.0) = = , joten päivämyynti ylittää 3000 mk keskimäärin päivän eli 5.6 kuukauden välein.

10 Pistetehtävä. (Kirjan tehtävä , ks. luku 5.7) Satunnaismuuttuja X on Tas(0, 1)-jakautunut. Määritä satunnaismuuttujien a) X b) X c) e X tiheys- ja kertymäfunktiot. Muista myös mainita, millä väleillä (eli millä y:n arvoilla) funktiot on määritelty. Merkitään X:n kertymäfunktiota F X (x) = x, 0 < x < 1. a) Y = X : F Y (y) = P(Y y) = P( X y) = P(X y ) = F X ( y ) = y, 0 < y < 1 ' 1 f Y (y) = FY ( y ) = y, 0 < y < 1 b) Y = X : F Y (y) = P(Y y) = P( X y) = P(X y ) = F X (y ) = y, 0 < y < 1 ' f Y (y) = FY ( y ) = y, 0 < y < 1 X c) Y = e : F Y (y) = P(Y y) = P(e X y) = P(X ln(y)) = F X (ln(y)) = ln(y), ' f Y (y) = F ( y ) = 1 y, 1 < y < e Y 1 < y < e

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A TKK / Systeemianalyysin laboratorio Nordlund Mat-.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A Harjoitus 7 (vko 44/003) (Aihe: odotusarvon ja varianssin ominaisuuksia, satunnaismuuttujien lineaarikombinaatioita,

Lisätiedot

(b) Onko hyvä idea laske pinta-alan odotusarvo lähetmällä oletuksesta, että keppi katkeaa katkaisukohdan odotusarvon kohdalla?

(b) Onko hyvä idea laske pinta-alan odotusarvo lähetmällä oletuksesta, että keppi katkeaa katkaisukohdan odotusarvon kohdalla? 6.10.2006 1. Keppi, jonka pituus on m, taitetaan kahtia täysin satunnaisesti valitusta kohdasta ja muodostetaan kolmio, jonka kateetteina ovat syntyneet palaset. Kolmion pinta-ala on satunnaismuuttuja.

Lisätiedot

5. laskuharjoituskierros, vko 8, ratkaisut

5. laskuharjoituskierros, vko 8, ratkaisut Mat-.09 Sovellettu todennäköisyyslasku, kevät -05 5. laskuharjoituskierros, vko 8, ratkaisut D. Eräässä maata kiertävällä radalla olevassa satelliitissa on ilmaisin, jonka elinikä X yksikkönä vuosi noudattaa

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 28. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 28. syyskuuta 2007 1 / 20 1 Jatkoa diskreeteille jakaumille Negatiivinen binomijakauma Poisson-jakauma Diskreettien

Lisätiedot

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A TKK / Systeemianalyysin laboratorio Nordlund Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A Harjoitus 4 (vko 41/2003) (Aihe: diskreettejä satunnaismuuttujia ja jakaumia, Laininen luvut 4.1 4.7) 1. Kone tekee

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa : Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (7) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio

Lisätiedot

Harjoitus 2: Matlab - Statistical Toolbox

Harjoitus 2: Matlab - Statistical Toolbox Harjoitus 2: Matlab - Statistical Toolbox Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen tavoitteet Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Jatkuvia jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Jatkuvia jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Jatkuvia jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Jatkuvia jakaumia Jatkuva tasainen jakauma Eksponenttijakauma Normaalijakauma Keskeinen raja-arvolause TKK (c) Ilkka Mellin

Lisätiedot

Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat

Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Satunnaismuuttujien muunnokset ja

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat Satunnaismuuttujien muunnosten jakaumat

Lisätiedot

1. Kuusisivuista noppaa heitetään, kunnes saadaan silmäluku 5 tai 6. Olkoon X niiden heittojen lukumäärä, joilla tuli 1, 2, 3 tai 4.

1. Kuusisivuista noppaa heitetään, kunnes saadaan silmäluku 5 tai 6. Olkoon X niiden heittojen lukumäärä, joilla tuli 1, 2, 3 tai 4. HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Todennäköisyyslaskenta II, syksy 206 Kurssikoe 28.0.206 Ratkaisuehdotuksia. Kuusisivuista noppaa heitetään, kunnes saadaan silmäluku 5 tai 6. Olkoon X niiden

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (5) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Momenttiemäfunktio Diskreettien jakaumien momenttiemäfunktioita

Lisätiedot

Lisätehtäviä ratkaisuineen luentomonisteen lukuihin 2-4 liittyen

Lisätehtäviä ratkaisuineen luentomonisteen lukuihin 2-4 liittyen MTTTP5, kevät 2016 4.2.2016/RL Lisätehtäviä ratkaisuineen luentomonisteen lukuihin 2-4 liittyen 1. Laitosneuvostoon valitaan 2 professoria, 4 muuta henkilökuntaan kuuluvaa jäsentä sekä 4 opiskelijaa. Laitosneuvostoon

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Viikko 2 Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Lasse Leskelä, Heikki Seppälä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden

Lisätiedot

2. Jatkoa HT 4.5:teen ja edelliseen tehtavään: Määrää X:n kertymäfunktio F (x) ja laske sen avulla todennäköisyydet

2. Jatkoa HT 4.5:teen ja edelliseen tehtavään: Määrää X:n kertymäfunktio F (x) ja laske sen avulla todennäköisyydet Tilastotieteen jatkokurssi Sosiaalitieteiden laitos Harjoitus 5 (viikko 9) Ratkaisuehdotuksia (Laura Tuohilampi). Jatkoa HT 4.5:teen. Määrää E(X) ja D (X). E(X) = 5X p i x i =0.8 0+0.39 +0.4 +0.4 3+0.04

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Jatkuvia jakaumia

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Jatkuvia jakaumia Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Jatkuvia jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 1 Jatkuvia jakaumia >> Jatkuva tasainen jakauma Eksponenttijakauma Normaalijakauma Keskeinen

Lisätiedot

JATKUVAT JAKAUMAT Laplace-muunnos (Laplace-Stieltjes-muunnos)

JATKUVAT JAKAUMAT Laplace-muunnos (Laplace-Stieltjes-muunnos) J. Virtamo 38.3143 Jonoteoria / Jatkuvat jakaumat 1 JATKUVAT JAKAUMAT Laplace-muunnos (Laplace-Stieltjes-muunnos) Määritelmä Ei-negatiivisen satunnaismuuttujan X 0, jonka tiheysfunktio on f(x), Laplace-muunnos

Lisätiedot

Lisää Diskreettejä jakaumia Lisää Jatkuvia jakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia

Lisää Diskreettejä jakaumia Lisää Jatkuvia jakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Lisää Diskreettejä jakaumia Lisää Jatkuvia jakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia KE (2014) 1 Hypergeometrinen jakauma Hypergeometrinen jakauma

Lisätiedot

Poisson-prosessien ominaisuuksia ja esimerkkilaskuja

Poisson-prosessien ominaisuuksia ja esimerkkilaskuja 4B Poisson-prosessien ominaisuuksia ja esimerkkilaskuja Tuntitehtävät 4B1 Eksponentiaalisten odotusaikojen toistuva odottaminen. Satunnaisluvun X sanotaan noudattavan Gamma-jakaumaa parametrein k ja λ,

Lisätiedot

Jatkuvat satunnaismuuttujat

Jatkuvat satunnaismuuttujat Jatkuvat satunnaismuuttujat Satunnaismuuttuja on jatkuva jos se voi ainakin periaatteessa saada kaikkia mahdollisia reaalilukuarvoja ainakin tietyltä väliltä. Täytyy ymmärtää, että tällä ei ole mitään

Lisätiedot

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus:

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus: . Koska F( ) on jokin funktion f ( ) integraalifunktio, niin a+ a f() t dt F( a+ t) F( a) ( a+ ) b( a b) Vastaus: Kertausharjoituksia. Lukujonot 87. + n + lim lim n n n n Vastaus: suppenee raja-arvona

Lisätiedot

MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen

MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen MAT-5 Todennäköisyyslaskenta Tentti.. / Kimmo Vattulainen Vastaa jokainen tehtävä eri paperille. Funktiolaskin sallittu.. a) P A). ja P A B).6. Mitä on P A B), kun A ja B ovat riippumattomia b) Satunnaismuuttujan

Lisätiedot

4.1. Olkoon X mielivaltainen positiivinen satunnaismuuttuja, jonka odotusarvo on

4.1. Olkoon X mielivaltainen positiivinen satunnaismuuttuja, jonka odotusarvo on Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Otanta Poisson- Jakaumien tunnusluvut Diskreetit jakaumat Binomijakauma, Diskreetti tasainen jakauma, Geometrinen jakauma, Hypergeometrinen

Lisätiedot

MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen

MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen MAT-25 Todennäköisyyslaskenta Tentti 12.4.216 / Kimmo Vattulainen Funktiolaskin sallittu. Palauta kaavakokoelma 1. a) Pelaajat A ja B heittävät noppaa vuorotellen ja pelin voittaa se, joka saa ensimmäiseksi

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A050 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi B Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto

Lisätiedot

6. laskuharjoitusten vastaukset (viikot 10 11)

6. laskuharjoitusten vastaukset (viikot 10 11) 6. laskuharjoitusten vastaukset (viikot 10 11) 1. a) Sivun 102 hypergeometrisen jakauman määritelmästä saadaan µ µ 13 39 13! 13 12 11 10 9 µ 0! 8! 1! 2 2! 2 1 0 49 48! 47!! 14440 120 31187200 120 1287

Lisätiedot

4. laskuharjoituskierros, vko 7, ratkaisut

4. laskuharjoituskierros, vko 7, ratkaisut 4. laskuharjoituskierros, vko 7, ratkaisut D1. Kone valmistaa kuulalaakerin kuulia, joiden halkaisija vaihtelee satunnaisesti. Halkaisijan on oltava tiettyjen rajojen sisällä, jotta kuula olisi käyttökelpoinen.

Lisätiedot

(b) Tarkista integroimalla, että kyseessä on todella tiheysfunktio.

(b) Tarkista integroimalla, että kyseessä on todella tiheysfunktio. Todennäköisyyslaskenta I, kesä 7 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia. Satunnaismuuttujalla X on ns. kaksipuolinen eksponenttijakauma eli Laplacen jakauma: sen tiheysfunktio on fx = e x. a Piirrä tiheysfunktio.

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A050 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi B Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto

Lisätiedot

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.01 klo 10 13 t ja pisteytysohjeet 1. Ratkaise seuraavat yhtälöt ja epäyhtälöt. (a) 3 x 3 3 x 1 4, (b)

Lisätiedot

ABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY

ABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Mitä tänään? Jos satunnaisilmiötä halutaan mallintaa matemaattisesti, on ilmiön tulosvaihtoehdot kuvattava numeerisessa muodossa. Tämä tapahtuu liittämällä

Lisätiedot

3. laskuharjoituskierros, vko 6, ratkaisut

3. laskuharjoituskierros, vko 6, ratkaisut Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku, kevät - eliövaara, Palo, Mellin. laskuharjoituskierros, vko 6, ratkaisut D. Uurnassa A on 4 valkoista ja 6 mustaa kuulaa ja uurnassa B on 6 valkoista ja 4 mustaa

Lisätiedot

HY, MTL / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIb, syksy 2017 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia

HY, MTL / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIb, syksy 2017 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia HY, MTL / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIb, syksy 07 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Osa tämän viikon tehtävistä ovat varsin haastavia, joten ei todellakaan

Lisätiedot

MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen

MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen MAT-200 Todennäköisyyslaskenta Tentti 29.04.20 / Kimmo Vattulainen Funktiolaskin sallittu.. a) Pelaajat A ja B heittävät noppaa vuorotellen ja pelin voittaa se, joka saa ensimmäiseksi kuutosen. A aloittaa

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet: Luento 17. Integraalin sovelluksia kassavirta-analyysissa Integraalin sovelluksia todennäköisyyslaskennassa

Talousmatematiikan perusteet: Luento 17. Integraalin sovelluksia kassavirta-analyysissa Integraalin sovelluksia todennäköisyyslaskennassa Talousmatematiikan perusteet: Luento 17 Integraalin sovelluksia kassavirta-analyysissa Integraalin sovelluksia todennäköisyyslaskennassa Motivointi Kahdella edellisellä luennolla olemme oppineet integrointisääntöjä

Lisätiedot

, c) x = 0 tai x = 2. = x 3. 9 = 2 3, = eli kun x = 5 tai x = 1. Näistä

, c) x = 0 tai x = 2. = x 3. 9 = 2 3, = eli kun x = 5 tai x = 1. Näistä Pitkä matematiikka 8.9.0, ratkaisut:. a) ( x + x ) = ( + x + x ) 6x + 6x = + 6x + 6x x = x =. b) Jos x > 0, on x = + x x = + x. Tällä ei ole ratkaisua. Jos x 0, on x = + x x = + x x =. c) x = x ( x) =

Lisätiedot

Tilastomatematiikka Kevät 2008

Tilastomatematiikka Kevät 2008 Tilastomatematiikka Kevät 2008 Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta Matematiikan jaos Tilastomatematiikka p.1/19 4.3 Varianssi Satunnaismuuttuja on neliöintegroituva, jos odotusarvo

Lisätiedot

MTTTP5, luento Otossuureita ja niiden jakaumia (jatkuu)

MTTTP5, luento Otossuureita ja niiden jakaumia (jatkuu) 21.11.2017/1 MTTTP5, luento 21.11.2017 Otossuureita ja niiden jakaumia (jatkuu) 4) Olkoot X 1, X 2,..., X n satunnaisotos (, ):sta ja Y 1, Y 2,..., Y m satunnaisotos (, ):sta sekä otokset riippumattomia.

Lisätiedot

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A) Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut

Lisätiedot

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 3A Satunnaismuuttujien summa ja keskihajonta Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto

Lisätiedot

Todennäköisyyslaskun kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Todennäköisyyslaskun kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Todennäköisyyslaskun kertaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Vilkkumaa / Kuusinen 2 Motivointi Kokeellisessa tutkimuksessa tutkittaviin ilmiöihin liittyvien havaintojen

Lisätiedot

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 4A Parametrien estimointi Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016, periodi

Lisätiedot

MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 2A Satunnaismuuttujan odotusarvo Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Lukuvuosi

Lisätiedot

MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 3A Normaaliapproksimaatio Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Lukuvuosi 2016

Lisätiedot

Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia

Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia >> Multinomijakauma Kaksiulotteinen

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle /

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle / MS-A8 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/7 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 5. viikolle / 9..5. Integroimismenetelmät Tehtävä : Laske osittaisintegroinnin avulla a) π x sin(x) dx,

Lisätiedot

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei. PITKÄ MATEMATIIKKA PRELIMINÄÄRIKOE 7..07 NIMI: A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.. Valitse oikea vaihtoehto ja

Lisätiedot

Sallitut apuvälineet: MAOL-taulukot, kirjoitusvälineet, laskin sekä itse laadittu, A4-kokoinen lunttilappu. f(x, y) = k x y, kun 0 < y < x < 1,

Sallitut apuvälineet: MAOL-taulukot, kirjoitusvälineet, laskin sekä itse laadittu, A4-kokoinen lunttilappu. f(x, y) = k x y, kun 0 < y < x < 1, Todennäköisyyslaskenta, 2. kurssikoe 7.2.22 Sallitut apuvälineet: MAOL-taulukot, kirjoitusvälineet, laskin sekä itse laadittu, A4-kokoinen lunttilappu.. Satunnaismuuttujien X ja Y yhteistiheysfunktio on

Lisätiedot

Johdatus tn-laskentaan torstai 16.2.2012

Johdatus tn-laskentaan torstai 16.2.2012 Johdatus tn-laskentaan torstai 16.2.2012 Muunnoksen jakauma (ei pelkkä odotusarvo ja hajonta) Satunnaismuuttujien summa; Tas ja N Vakiokerroin (ax) ja vakiolisäys (X+b) Yleinen muunnos: neulanheittoesimerkki

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 2A Satunnaismuuttujan odotusarvo Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016,

Lisätiedot

Todennäköisyyden ominaisuuksia

Todennäköisyyden ominaisuuksia Todennäköisyyden ominaisuuksia 0 P(A) 1 (1) P(S) = 1 (2) A B = P(A B) = P(A) + P(B) (3) P(A) = 1 P(A) (4) P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) (5) Tapahtuman todennäköisyys S = {e 1,..., e N }. N A = A. Kun alkeistapaukset

Lisätiedot

https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=6909&i dx=5&uilang=fi&lang=fi&lvv=2014

https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=6909&i dx=5&uilang=fi&lang=fi&lvv=2014 1 MTTTP3 Tilastollisen päättelyn perusteet 2 Luennot 8.1.2015 ja 13.1.2015 1 Kokonaisuudet johon opintojakso kuuluu https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=6909&i dx=5&uilang=fi&lang=fi&lvv=2014

Lisätiedot

D ( ) E( ) E( ) 2.917

D ( ) E( ) E( ) 2.917 Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku 4. harjoitukset/ratkaisut Aiheet: Diskreetit jakaumat Avainsanat: Binomijakauma, Diskreetti tasainen jakauma, Geometrinen jakauma, Hypergeometrinen jakauma, Kertymäfunktio,

Lisätiedot

Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi

Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia Johdanto χ 2 -jakauma F-jakauma t-jakauma TKK (c) Ilkka Mellin

Lisätiedot

Käytetään satunnaismuuttujaa samoin kuin tilastotieteen puolella:

Käytetään satunnaismuuttujaa samoin kuin tilastotieteen puolella: 8.1 Satunnaismuuttuja Käytetään satunnaismuuttujaa samoin kuin tilastotieteen puolella: Esim. Nopanheitossa (d6) satunnaismuuttuja X kertoo silmäluvun arvon. a) listaa kaikki satunnaismuuttujan arvot b)

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: Lokaatio ja hajonta

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: Lokaatio ja hajonta Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: ja hajonta Sisältö Havaittujen arvojen jakauma Havaittujen arvojen jakaumaa voidaan kuvailla ja esitellä tiivistämällä havaintoarvot sopivaan muotoon. Jakauman

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 20. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 20. syyskuuta 2007 1 / 17 1 Kolmogorovin aksioomat σ-algebra Tapahtuman todennäköisyys 2 Satunnaismuuttujat Todennäköisyysjakauma

Lisätiedot

031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 2

031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 2 031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 2 Jukka Kemppainen Mathematics Division Satunnaismuuttuja Useissa luonnon- tai teknistieteellisissä sovellutuksissa satunnaiskokeen lopputulos on numeerinen lukuarvo.

Lisätiedot

3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO

3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO 3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO POHDITTAVAA 1. Kuvasta voidaan arvioida, että frisbeegolfkiekko käy noin 9 metrin korkeudella ja se lentää noin 40 metrin päähän. Vastaus: Frisbeegolfkiekko käy n. 9 m:n

Lisätiedot

Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku 5. harjoitukset/ratkaisut. Jatkuvat jakaumat

Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku 5. harjoitukset/ratkaisut. Jatkuvat jakaumat Mat-2.09 Sovellettu todennäköisyyslasku /Ratkaisut Aiheet: Jatkuvat jakaumat Avainsanat: Binomijakauma, Eksponenttijakauma, Jatkuva tasainen jakauma, Kertymäfunktio, Mediaani, Normaaliapproksimaatio, Normaalijakauma,

Lisätiedot

031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 3

031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 3 031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 3 Jukka Kemppainen Mathematics Division Jakauman tunnusluvut Jakauman tärkeimmät tunnusluvut ovat odotusarvo ja varianssi. Odotusarvo ilmoittaa jakauman keskikohdan

Lisätiedot

TKK @ Ilkka Mellin (2008) 1/5

TKK @ Ilkka Mellin (2008) 1/5 Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Tehtävät Demo-tehtävät: 1, 3, 6, 7 Pistetehtävät: 2, 4, 5, 9 Ylimääräiset tehtävät: 8, 10, 11 Aiheet: Moniulotteiset jakaumat Avainsanat: Diskreetti jakauma,

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ

MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 1 YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 25.9.2017 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ A-osa Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät 1 4. Tehtävät arvostellaan pistein 0 6. Kunkin tehtävän ratkaisu kirjoitetaan tehtävän

Lisätiedot

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän

Lisätiedot

Estimointi populaation tuntemattoman parametrin arviointia otossuureen avulla Otossuure satunnaisotoksen avulla määritelty funktio

Estimointi populaation tuntemattoman parametrin arviointia otossuureen avulla Otossuure satunnaisotoksen avulla määritelty funktio 17.11.2015/1 MTTTP5, luento 17.11.2015 Luku 5 Parametrien estimointi 5.1 Piste-estimointi Estimointi populaation tuntemattoman parametrin arviointia otossuureen avulla Otossuure satunnaisotoksen avulla

Lisätiedot

/1. MTTTP5, luento Normaalijakauma (jatkuu) Binomijakaumaa voidaan approksimoida normaalijakaumalla

/1. MTTTP5, luento Normaalijakauma (jatkuu) Binomijakaumaa voidaan approksimoida normaalijakaumalla 17.11.2016/1 MTTTP5, luento 17.11.2016 3.5.5 Normaalijakauma (jatkuu) Binomijakaumaa voidaan approksimoida normaalijakaumalla likimain Jos X ~ Bin(n, p), niin X ~ N(np, np(1 p)), kun n suuri. 17.11.2016/2

Lisätiedot

Tilastollinen testaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Tilastollinen testaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Tilastollinen testaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Viime luennolla: havainnot generoineen jakauman muoto on usein tunnettu, mutta parametrit tulee estimoida Joskus parametreista on perusteltua esittää

Lisätiedot

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A TKK / Systeemianalyysin laboratorio Nordlund Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A Harjoitus 3 (vko 4/3) (Aihe: tasainen todennäköisyysmalli, pistetodennäköisyysfunktio, tiheysfunktio, kertymäfunktio,

Lisätiedot

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6 MAA Koe, Arto Hekkanen ja Jussi Tyni 5.5.015 Loppukoe LASKE ILMAN LASKINTA. 1. Yhdistä kuvaaja ja sen yhtälö a) 3 b) 1 c) 5 d) Suoran yhtälö 1) y=3x ) 3x+y =0 3) x y 3=0 ) y= 3x 3 5) y= 3x 6) 3x y+=0 y=-3x+

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 18. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 18. lokakuuta 2007 1 / 19 1 Tilastollinen aineisto 2 Tilastollinen malli Yksinkertainen satunnaisotos 3 Otostunnusluvut

Lisätiedot

KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4

KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4 KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + ( 1) + 3 ( 1) 3 = 3 + 3 = 4 K. a) x 3x + 7x 5x = 4x + 4x b) 5x 3 (1 x ) = 5x 3 1 + x = 6x 4 c) (x + 3)(x 4) = x 3 4x + 3x 1 = x 3 + 3x 4x 1 Vastaus: a) 4x +

Lisätiedot

Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1

Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1 Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1 Bernoulli-jakauman odotusarvon luottamusväli 1/2 Olkoon havainnot X 1,..., X n yksinkertainen satunnaisotos Bernoulli-jakaumasta parametrilla p. Eli X Bernoulli(p).

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (005) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Multinomijakauma Kaksiulotteinen normaalijakauma TKK (c) Ilkka

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Kertymäfunktio >> Kertymäfunktio: Määritelmä Diskreettien jakaumien

Lisätiedot

Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia

Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia >> Johdanto χ 2 -jakauma F-jakauma

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Jakaumien tunnusluvut. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Jakaumien tunnusluvut. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Jakaumien tunnusluvut TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Jakaumien tunnusluvut >> Odotusarvo Varianssi Markovin ja Tshebyshevin

Lisätiedot

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE Ratkaisut ja arvostelu < X 170

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE Ratkaisut ja arvostelu < X 170 VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 4.6.2013 Ratkaisut ja arvostelu 1.1 Satunnaismuuttuja X noudattaa normaalijakaumaa a) b) c) d) N(170, 10 2 ). Tällöin P (165 < X < 175) on likimain

Lisätiedot

3.6 Su-estimaattorien asymptotiikka

3.6 Su-estimaattorien asymptotiikka 3.6 Su-estimaattorien asymptotiikka su-estimaattorit ovat usein olleet puutteellisia : ne ovat usein harhaisia ja eikä ne välttämättä ole täystehokkaita asymptoottisilta ominaisuuksiltaan ne ovat yleensä

Lisätiedot

2 Raja-arvo ja jatkuvuus

2 Raja-arvo ja jatkuvuus Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.6 Raja-arvo ja jatkuvuus. a) Kun suorakulmion kärki on kohdassa =, on suorakulmion kannan pituus. Suorakulmion korkeus on käyrän y-koordinaatti

Lisätiedot

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion

Lisätiedot

V ar(m n ) = V ar(x i ).

V ar(m n ) = V ar(x i ). Mat-.3 Stokastiset prosessit Syksy 007 Laskuharjoitustehtävät 6 Poropudas/Kokkala. Olkoon M n = X +... + X n martingaali ja M 0 = 0. Osoita, että V ar(m n ) = n V ar(x i ). i= Huomattavaa on, että muuttujia

Lisätiedot

x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua

x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua Mallivastaukset - Harjoituskoe E E a) x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4,35 < 0 x 3 7 4 b) 0 / x + dx = 0 ln x + = ln + ln 0 + = ln 0 Vastaus: ln c) x 4 3x 4 = 0 Sijoitetaan x = u Tulon nollasääntö

Lisätiedot

2 Pistejoukko koordinaatistossa

2 Pistejoukko koordinaatistossa Pistejoukko koordinaatistossa Ennakkotehtävät 1. a) Esimerkiksi: b) Pisteet sijaitsevat pystysuoralla suoralla, joka leikkaa x-akselin kohdassa x =. c) Yhtälö on x =. d) Sijoitetaan joitain ehdon toteuttavia

Lisätiedot

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.8.016 3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) x + x + 1 = 4 (x + 1) = 4 Luvun x + 1 tulee olla tai, jotta sen

Lisätiedot

3.7 Todennäköisyysjakaumia

3.7 Todennäköisyysjakaumia MAB5: Todennäköisyyden lähtökohdat 4 Luvussa 3 Tunnusluvut perehdyimme jo jakauman käsitteeseen yleensä ja normaalijakaumaan vähän tarkemmin. Lähdetään nyt tutustumaan binomijakaumaan ja otetaan sen jälkeen

Lisätiedot

Integrointi ja sovellukset

Integrointi ja sovellukset Integrointi ja sovellukset Tehtävät:. Muodosta ja laske yläsumma funktiolle fx) x 5 välillä [, 4], kun väli on jaettu neljään yhtä suureen osaan.. Määritä integraalin x + ) dx likiarvo laskemalla alasumma,

Lisätiedot

Dierentiaaliyhtälöistä

Dierentiaaliyhtälöistä Dierentiaaliyhtälöistä Markus Kettunen 4. maaliskuuta 2009 1 SISÄLTÖ 1 Sisältö 1 Dierentiaaliyhtälöistä 2 1.1 Johdanto................................. 2 1.2 Ratkaisun yksikäsitteisyydestä.....................

Lisätiedot

/1. MTTTP1, luento Normaalijakauma (jatkoa) Olkoon Z ~ N(0, 1). Määritellään z siten, että P(Z > z ) =, graafisesti:

/1. MTTTP1, luento Normaalijakauma (jatkoa) Olkoon Z ~ N(0, 1). Määritellään z siten, että P(Z > z ) =, graafisesti: 4.10.2016/1 MTTTP1, luento 4.10.2016 7.4 Normaalijakauma (jatkoa) Olkoon Z ~ N(0, 1). Määritellään z siten, että P(Z > z ) =, graafisesti: Samoin z /2 siten, että P(Z > z /2 ) = /2, graafisesti: 4.10.2016/2

Lisätiedot

Odotusarvo. Odotusarvon ominaisuuksia Satunnaismuuttujien ominaisuuksia 61

Odotusarvo. Odotusarvon ominaisuuksia Satunnaismuuttujien ominaisuuksia 61 3.3. Satunnaismuuttujien ominaisuuksia 61 Odotusarvo Määritelmä 3.5 (Odotusarvo) Olkoon X diskreetti satunnaismuuttuja, jonka arvojoukko on S ja todennäköisyysfunktio f X (x). Silloin X:n odotusarvo on

Lisätiedot

Estimointi. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Estimointi. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Estimointi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Tilastollisessa tutkimuksessa oletetaan jonkin jakauman generoineen tutkimuksen kohteena olevaa ilmiötä koskevat havainnot Tämän mallina käytettävän todennäköisyysjakauman

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 8. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 8. marraskuuta 2007 1 / 15 1 Tilastollisia testejä Z-testi Normaalijakauman odotusarvon testaus, keskihajonta tunnetaan

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla

Lisätiedot

8.1 Ehdolliset jakaumat

8.1 Ehdolliset jakaumat 8 Ehdollinen jakauma Tämän kappaleen tärkeitä käsitteitä: Ehdollinen jakauma; ehdollinen ptnf/tf. Kertolaskusääntö eli ketjusääntö yhteisjakauman esittämiseksi. Ehdollinen odotusarvo ja ehdollinen varianssi.

Lisätiedot

Tutkimusongelmia ja tilastollisia hypoteeseja: Perunalastupussien keskimääräinen paino? Nollahypoteesi Vaihtoehtoinen hypoteesi (yksisuuntainen)

Tutkimusongelmia ja tilastollisia hypoteeseja: Perunalastupussien keskimääräinen paino? Nollahypoteesi Vaihtoehtoinen hypoteesi (yksisuuntainen) 1 MTTTP3 Luento 29.1.2015 Luku 6 Hypoteesien testaus Tutkimusongelmia ja tilastollisia hypoteeseja: Perunalastupussien keskimääräinen paino? H 0 : µ = µ 0 H 1 : µ < µ 0 Nollahypoteesi Vaihtoehtoinen hypoteesi

Lisätiedot

Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia: Mitä opimme?

Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia: Mitä opimme? TKK (c) Ilkka Mellin (4) Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (4) Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia: Mitä

Lisätiedot