(d) f (x,y,z) = x2 y. (d)

Transkriptio

1 BM20A5840 Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 2, Kevät 2017 Tässä harjoituksessa ja tulevissakin merkitään punaisella tähdellä sellaisia tehtäviä joiden tyyppisten osaamattomuus tentissä/välikokeessa johtaa automaattisesti arvosanaan 0. Pääosin nämä "tähtitehtävät" ovat yksinkertaisemmasta päästä olevia mekaanisia tehtäviä. Tässä harjoituksessa niitä on ehkäpä harvinaisen paljon. Ja syytä on muistaa ettei pelkästään näiden osaaminen tähtitehtävien osaaminen välttämättä takaa kurssin läpäisyä. Päivityksiä: 1. Muodosta gradientit seuraaville funktioille. a f x,y 3x 2 + 5y b f x,y xe c f x,y,z e x+2y cos1 + z 2 x,y,z lnx + y + z a 6xi + 5j b e + 1i + x 2 e j c e x+2y cos1 + z 2 i + 2e x+2y cos1 + z 2 j + 2ze x+2y sin1 + z 2 k d + ylnx + y + z i + + xlnx + y + z j + k x + y + z x + y + z x + y + z 2. Muodosta gradientti funktiolle f. Mikä on gradientti pisteessä P? a f x,y 2x x y, P 3,1 b f x,y x sin, P 1, π 2 c f x,y x y 2 + z 2, P 2, 3,4 x,y,z x2 y z 3xz4, P 2,2,1 a 2x y 2x f x,y x y 2 2x i + x y 2 j, f 3,1 1 i j 2 b f x,y sin + cosi + x 2 cos j, f 1, π 2 i c y z f x,y,z i + j + k, f 2, 3,4 i + 3 y 2 + z 2 y 2 + z 2 5 j k

2 d 2 f x,y,z z 3z4 i + x 2 z j + x2 y + 12xz 5 z 2 k, f 2,2,1 5i + 4j 32k 3. a Kun t 0, laske ketjusäännöllä kun f x,y x 4 + sinyx ja yt 2t, xt t 3. b Kun s 2, laske ketjusäännöllä dz kun zt,u u2 t 4 ja us 9, ts s 4. c Laske ketjusäännöllä dg kun gx,y,z,t tx + 2y + z 3, xt t + 1, yt t 4 ja zt t 2. d Laske edellisen kohdan tapauksessa dg sijoittamalla ensin x, y ja z funktion g lausekkeeseen. a f x,y x 4 + sinyx xt 2t xt t 3 dx x + dy y 4x 3 + cosy3t 2 + cosy2 12x 3 t 2 + 3t 2 ycosyx + 2ycosyx Kun t 0 2ycosyx t0 b zt,u u 2 t 4 us 9 ts s 4 dz z + z u du 4u 2 t 3 4s 3 + 2ut u 2 t 3 s 3 Kun s 2 dz s2 16 8u 2 t 3 c gx,y,z,t tx + 2y + z 3 tx + 2yt + z 3 xt t + 1 yt t 4 zt t 2 dg g dx x + g dy y + g z dz + g t1 + 2t4t 3 + 3z 2 2t + x + 2y t + 8t 4 + 6z 2 t + x + 2y t + 8t 4 + 6t 5 +t t 4 6t t 4 + 2t + 1 d gt tt t 4 t + t 2 3 t 2 +t + 2t 5 +t 6 g t 2t t 4 + 6t 5 Huomataan, ett% g t p% % tyy samaan muotoon, laskimme sen ketjus% % nn^ll% tai k% ytt% en suoraa sijoitusta. N% in toki pit% % ollakin.

3 4. Tarkastellaan pintaa z f x, y. Piirrä näkyville muutamia tämän pinnan tasa-arvokäyriä sellaisia käyriä, joilla f x,y c vakio. Laske f :n gradientti. Piirrä näkyviin gradienttivektori haluamaasi pisteeseen, joka kuuluu jollekin piirtämällesi tasa-arvokäyrälle. Mitä havaitaan? a z f x,y x + y + 2 b z f x,y x 2 + 4y 2 a c x + y + 2 y x + 2 c. Tasa-arvokäyrät ovat siis suoran y x suuntaisia suoria. f i+j. Mihin tahansa pisteeseen gradienttivektori piirretäänkin, pointti on selvä; se on kohtisuorassa tasa-arvokäyrien kanssa ja tämähän ei ole yllätys. b c x 2 + 4y 2. Tasa-arvokäyrät ovat sisäkkäisiä ellipsejä. Jos vaikkapa c 1, saamme ellipsin joka leikkaa x-akselin pisteissä x ±1, ja y-akselin pisteissä y ± 1 2. Kaikki ellipsit ovat siis saman muotoisia, mutta eri kokoisia. f 2x i + 8y j. Valitaan vaikkapa joku äsken mainituista pisteistä; jälleen kerran gradienttivektori on tasa-arvokäyrän kanssa kohtisuorassa. 5. a -tason suuntaisen pinnan lämpötila noudattaa funktiota f x,y x 2 + 2y 3. Pieni ötökkä kulkee pinnalla elliptistä rataa, joka voidaan ilmoittaa muodossa rt xti + ytj sinti + cos2tj. Ötökän havaitsema lämpötila ajanhetkellä t voidaan siis kirjoittaa muotoon f xt,yt. Mikä on ötökän havaitseman lämpötilan muutos ajanhetkellä t? Vinkki: ketjusääntö. b Laske funktion f x,y,z x+y x+z gradientti. Mikä on gradientin arvo pisteessä 1,2,3? a ˆf t f x r x + f y r y 2x x +6y 2 y 2sintcost+6cos 2 2t[ 2sin2t] 2sintcost 12cos 2 2tsin2t. b f x,y,z z y x+z 2 i + 1 x+z j x+y x+z 2 k f 1,2, i j 3 16 k 6. a Tunnemme funktiot f x,y,z x 2 + 3y 2 + 2z 2, xt,s t + s, yt,s t 2 + s 2, zt,s t s. Laske ketjusääntöä luentomonisteesta löytyviä ketjusäännön kaavoja käyttämällä ja. Huom: Esein merkitään kun tahdotaan korostaa että sijoitusten jälkeen funktio riippuu pohjimmiltaan kahdesta muuttujasta s ja t jotka ovat riippumattomia toisistaan. Näin tehdään myös luentomonisteessa. Tarkemmin sanoen, olemme käyttäneet merkinnän tulkintana " f :n muutosnopeus muuttujan t suhteen kun s pysyy vakiona". Jos s:n ja t:n välillä on mahdollisesti tuntematon kytkentä, käytännön kannalta relevantti informaatio muutosnopeuksista on usein, ei. Jos kytkentää muuttujien välillä ei ole niin, ja tälläiseen tilanteeseen tottuneena merkintää tulee helposti käytettyä silloinkin kun ei sitä tarkoita! Ja käyttävätpä jotkut tarkoituksellisesti merkintää silloinkin kun kytkentä t:n ja s:n välillä on olemassa, tällöin sen merkitys on tietysti erilainen kuin mihin olemme tottuneet. On siis aika paljon lukijan vastuulla että ymmärtää tilanteen, jotta voi ymmärtää merkintöjen merkityksen : Tiukoista standardeista olisi joskus kyllä hyötyäkin. b Tunnemme funktiot w tan 1 xz + y z, x t, y t2, z sinkt, missä k R. Laske dw. ja a x x + y y + z z 2t + s + 6t 2 + s 2 2t + 4t s. x x + y y + z z 2t + s + 6t2 + s 2 2s 4t s. b dw z 1+x 2 z 2 z 1+x 2 z 2 2zt y z y 2 x 1+x 2 z y 2t + x cosktk 1+x 2 z y cosktk

4 7. Mietitään nyt funktiota f x,y 2x + y kun x s 2 +t ja y t 2 s. i Laske käyttäen ketjusääntöä x x + y y. Laske samoin myös ii Laske f :n derivaatta t:n suhteen sijoittamalla ensin x:n ja y:n lausekkeet ja sitten derivoimalla, ja olettamalla että s ei riipu t:stä. iii Jos nyt tiedettäisiinkin että s 2 + 3t niin mikä olisi f :n derivaatta t:n suhteen. Käytä tässä ensin ketjusääntöä dy ja laske myös tarvittavat derivaatat dx ja dy ketjusäännöllä. x dx + y käytetään kun tarkoite- Huomaa että tässä tehtävässä todellakin taan.. Valitettavan usein kuitenkin merkintää iv Ajattelemalla f :ää muuttujien t ja s funktiona, perus ketjusääntö kertoo että + avulla että jos tilanne on kuin kohdassa ii niin i. Osoita nyt tämän f x,y 2x + y xt s 2 +t yt t 2 s x x + y y t 2t + 2 x x + y y 22s s 1 ii f 2x + y 2s 2 +t +t 2 s 2s 2 + 2t t 2 s 2 + 2t iii s 2 + 3t Nyt, koska s:n on t:n funktio erona edellisiin kohtiin, p% teekin dx x ja dy y + x + y Saadaan siis x x + y y x [ ] x + x + y [ ] y + y 2[2s3 + 1] + 1[ t] 2[6s + 1] + [ 3 + 2t] 12s t 12s + 2t 1 iv x x + y y ja dx x + dy y Koska x dx ja y dy, lausekkeet ovat identtiset. 8. Oletetaan että funktio z f x,y 1 4 yx y2 ilmoittaa maaston korkeuden. i Jos seisomme pisteessä 2,1, ja lähdemme kävelemään suoraan kohti itää, kuinka jyrkkää ylä/alamäkeä lähdemme kulkemaan? Entä jos lähtisimmekin

5 suoraan kohti etelää? ii Jos seisomme pisteessä 0,0, ja haluamme syystä tai toisesta kulkea sellaista reittiä, että maastonkorkeus ei muutu, niin mikä tulee reittimme olemaan? Ilmoita tämä -tason tasokäyränä. i z x 1 z 2yx y 1 4 x2 +y Jos sijoitetaan piste x 2,y 1 ensimmäiseen osittaisderivaattaan, saadaan z x 1 2, Lähtisimme siis etenemään 45 astetta jyrkkää ylämäkeä. Jos sijoitetaan piste x 2,y 1 toiseen osittaisderivaattaan, saadaan z 1 2, Tämä kertoisi meille mäen jyrkkyyden lähdettäessä kohti pohjoista vektorin j suuntaan, mutta sitähän ei kysytty. Etelään lähdettäessä kulkisimme siis kohti alamäkeä, jonka jyrkkyys on tan ii z f x,y 1 4 yx y2. f 0,0 0. Etsitään siis sellaista tasa-arvokäyrää, jolla yx y yx2 1 2 y2. yx 2 2y 2. x 2 2y. 1 2 x2 y. Kyseinen reitti on muodoltaan paraabeli. Kohdassa jaetaan puolittain y:llä, ja tässä kadotetaan y 0 mahdollisten ratkaisujen joukosta. x

6 Vastauksia: Teht.#1: a 6xi + 5j b e + 1i + x 2 e j c e x+2y cos1 + z 2 i + 2e x+2y cos1 + z 2 j + 2ze x+2y sin1 + z 2 k d x+y+z + ylnx + y + z i + x+y+z + xlnx + y + z j + x+y+z k Teht.#2: a f 3,1 1 2 i + 32 j b f 1, π 2 i c f 2, 3,4 i j k d f 2,2,1 5i + 4j 32k Teht.#3: a 0, b , c 1 + 2t + 10t 4 + 6t 5, d 1 + 2t + 10t 4 + 6t 5 Teht.#4: a Tasa-arvokäyrät ovat suoran y x suuntaisia suoria. Havaitaan että... b Tasa-arvokäyrät ovat sisäkkäisiä ellipsejä. Havaitaan että... Teht.#5: a 2sintcost 12cos 2 2tsin2t b f 1,2, i j 16 3 k Teht.#6: a 2t + s + 6t 2 + s 2 2t + 4t s ja 2t + s + 6t 2 + s 2 z 2s 4t s, b 2zt + x x 2 z 2 y 2 1+x 2 z 2 y cosktk Teht.#7: i 2 + 2t ja 1 + 4s ii 2 + 2t iii t Teht.#8: i Itään kulkiessa lähtisimme etenemään 45 astetta jyrkkää ylämäkeä ii Pitäisi kulkea erästä paraabelia tai erästä suoraa pitkin.