5-1 Gibbsin entropia. Boltzmannin entropian lausekkeessa S = k ln Ω esiintyvä Ω on systeemin niiden mikrotilojen
|
|
- Tiina Kinnunen
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 57 5 Yhdistetty pääsääntö 5-1 Gibbsin entopia Boltzmannin entopian lausekkeessa S = k ln Ω esiintyvä Ω on systeemin niiden mikotilojen lukumäää, joissa systeemin sisäinen enegia on hyvin pienellä välillä E E + δe. Näin ollen tällä lausekkeella voidaan laskea systeemin sellaisen makotilan entopia, joka spesifioidaan enegian avulla (esimekiksi eistetyn systeemin entopia). Monissa tapauksissa systeemin makotila on kuitenkin spesifioitava jollakin muulla tavalla kuin antamalla sen enegia. Jos systeemi on esimekiksi temisessä tasapainossa lämpötilassa olevan lämpökylvyn kanssa, sen enegia vaihtelee eikä sen hetkellistä avoa yleensä voida tietää vaaditulla δe:n takkuudella. iedetään vain, että enegia E esiintyy todennäköisyydellä p(e ), joka saadaan Boltzmannin jakaumafunktiosta (4.23) tai (4.27). Miten entopia on tässä tapauksessa laskettava? akastellaan aivan yleisesti systeemiä, josta tiedetään, että sen mikotilat esiintyvät todennäköisyyksillä p. ässä yhteydessä ei tehdä mitään oletuksia siitä, minkälaisesta jakaumafunktiosta nämä todennäköisyydet saadaan. Miten tällä tavoin määitellyn makotilan entopia lasketaan? Vastauksen saamiseksi kuvitellaan, että systeemistä tehdään hyvin monta identtistä kopiota. Kuten yhtälöä (4.28) johdettaessa todettiin, mikotila esiintyy N:n samanlaisen systeemin joukossa N = Np ketaa, kun N. Käyttämällä tätä todennäköisyyden fekvenssitulkintaa voidaan p :n avot siis muuttaa systeemien joukon objektiivisiksi, mitattaviksi ominaisuuksiksi (lukumääiksi N ). Systeemien joukolla on yksikäsitteinen enegia (4.28), joten sen entopia voidaan laskea Boltzmannin kaavalla (4.3). ätä vaten on määitettävä ko. makotilaan kuuluvien mikotilojen lukumäää Ω N. ilojen laskeminen tapahtuu samoin kuin kappaleen 4-2 esimekissä ja johtaa yhtälön (4.2) yleistykseen Ω N = N! N 1!N 2! N!. (5.1) Yhtälöä (4.2) johdettaessa alasysteemillä (molekyylillä) oli vain kaksi eilaista sisäistä tilaa ( spin ylös ja spin alas ). Nyt takasteltavassa tapauksessa sisäisiä tiloja on enemmän ja tästä syystä alasysteemejä on useaa ei tyyppiä. Samassa mikotilassa olevat alasysteemit (yhteensä N kappaletta) kuuluvat samaan tyyppiin, eikä niitä voida mitenkään eottaa toisistaan (joten niiden N! pemutaatiota vastaavat samaa tilaa). Sen sijaan ei mikotiloissa olevat alasysteemit voidaan eottaa toisistaan. Boltzmannin entopian määittely-yhtälöä (4.3) käyttäen systeemien joukon entopiaksi saadaan S N = k ln Ω N = k ln N! k (ln N 1! + ln N 2! +...) = k ln N! k ln N!. (5.2)
2 58 Ketomafunktion logaitmille voidaan käyttää Stilingin appoksimaatiota ln M! M ln M M, (5.3) joka on suuilla M:n avoilla eittäin takka. ätä käyttäen lauseke (5.2) saadaan muotoon S N = k(n ln N N) k (N ln N N ) = k N ln(n /N), (5.4) missä on käytetty hyväksi tulosta N = N. Kun näin saatu systeemien joukon kokonaisentopian lauseke jaetaan systeemien lukumääällä N, saadaan yhden systeemin entopiaksi S = k p ln p, (5.5) missä p = N /N. ämä lauseke määittelee Gibbsin entopian. Sitä voidaan pitää entopian yleisenä lausekkeena, jonka avulla voidaan laskea minkä tahansa makotilan entopia. Jos makotila spesifioidaan antamalla sen enegia, Gibbsin entopian lauseke (5.5) edusoituu Boltzmannin entopian lausekkeeksi (4.3). ässä eikoistapauksessa makotilaan kuuluvat kaikki ne ja vain ne annettujen side-ehtojen (V, N, α) mukaiset mikotilat, joiden enegia on välillä E E+δE. Yhtäläisten a pioi -todennäköisyyksien postulaatin mukaan kaikki nämä mikotilat esiintyvät yhtä suuella todennäköisyydellä p 1 = p 2 = p 3 = = p. Jos näitä mikotiloja on yhteensä Ω kappaletta, tämä yhteinen esiintymistodennäköisyys on p = 1/Ω. ällöin kaikkien todennäköisyyksien summa Ω p on 1, kuten pitääkin, sillä välin E E + δe ulkopuolella olevien mikotilojen esiintymistodennäköisyys on nolla. Lausekkeen (5.5) summassa on siis Ω nollasta eoavaa temiä (tässä yhteydessä 0 ln 0 = 0), joilla kaikilla p = 1/Ω, joten S = k Ω 1 Ω ln 1 Ω = k ln Ω. (5.6) Näin on päästy takaisin alkupeäiseen Boltzmannin entopian lausekkeeseen (4.3). Makoskooppista systeemiä tutkittaessa on hyödyllistä kuvitella suui joukko tämän systeemin kopioita (engl. ensemble), joilla kaikilla on samat side-ehdot kuin alkupeäisellä systeemillä. oisin kuin yhtälöä (5.5) johdettaessa, kopioiden lukumäää on kuitenkin pienempi kuin yhden systeemin mikotilojen lukumäää. ästä seuaa, että kaikkien kopioiden voidaan olettaa olevan ei mikotiloissa. ällöin ne voidaan eottaa toisistaan (esimekiksi kijoittamalla niihin numeot 1,2,3,...), joten ne käyttäytyvät kuten nomaalit makoskooppiset systeemit. ästä syystä systeemien identtisyyden aiheuttamat ongelmat vältetään tilojen lukumääiä laskettaessa. Siitä huolimatta kopioiden lukumäää voidaan valita niin suueksi, että tilamuuttujien fluktuaatiot tulevat mekityksettömiksi. Jos alkupeäinen systeemi on eistetty, sen kopioista muodostuu mikokanoninen joukko (engl. micocanonical ensemble). Jokaisen kopion enegia on välillä (E, E + δe). Kuten yhtälöä (5.6) johdettaessa todettiin, niiden mikotiloilla on siis seuaava todennäköisyysjakauma: p = 1/Ω, jos E on välillä (E, E + δe), ja p = 0 muissa tapauksissa. Kanoninen joukko (engl. canonical ensemble) muodostuu suuesta määästä samanlaisia systeemejä, joilla on sama lämpötila. ämä ehto voidaan toteuttaa asettamalla systeemit heikkoon temiseen kontaktiin toistensa kanssa. ällöin mitä tahansa kopiota voidaan pitää tutkittavana systeeminä, jolloin kaikki muut yhdessä muodostavat lämpökylvyn. Systeemien mikotilat noudattavat Boltzmannin todennäköisyysjakaumaa (4.23).
3 Yhtälöllä (5.5) voidaan nyt laskea lämpötilan avulla spesifioidun makotilan entopia (esimekiksi kanoniseen joukkoon kuuluvan systeemin entopia). Sitä vaten yhtälöön (5.5) sijoitetaan Boltzmannin jakaumafunktion (4.23) mukaiset todennäköisyydet: S(, V, N) = k p ln e E /k = k p ( E /k ln Z) Z = 1 p E + k ln Z p = E + k ln Z. (5.7) ätä lauseketta johdettaessa on käytetty hyväksi yhtälöitä (4.17) ja (4.29). Koska lämpökylvyssä olevan makoskooppisen systeemin enegiafluktuaatiot ovat hyvin pieniä, voitaisiin toisaalta käyttää myös Boltzmannin entopian lauseketta (4.3), mihin on enegian E paikalle sijoitettava enegian keskiavo E : S(, V, N) = k ln Ω( E, V, N). (5.8) 59 Helmholtzin vapaa enegia (Helmholtzin funktio) määitellään yhtälöllä F (, V, N) = k ln Z(, V, N). (5.9) ästä lausekkeesta voidaan eliminoida patitiofunktio Z käyttämällä hyväksi entopian lauseketta (5.7). ällä tavoin Helmholtzin vapaa enegia voidaan esittää tilamuuttujien E = E, ja S yksinketaisena funktiona F = E S. (5.10) Myöhemmin osoitetaan, että Helmholtzin vapaalla enegialla on lämpökylvyssä vakiotilavuudessa olevalle systeemille samankaltainen mekitys kuin entopialla on eistetylle systeemille. Kun entopia on eistetyn systeemin (E, V ja N vakioita) tasapainossa maksimissaan, on Helmholtzin vapaa enegia lämpökylvyssä vakiotilavuudessa olevan systeemin (, V ja N vakioita) tasapainossa minimissään. Entopian yleistä lauseketta (5.5) voidaan käyttää myös infomaation I kvantitatiivisena mittana, jota kutsutaan infomaatioentopiaksi tai Shannonin entopiaksi: I = C p ln p. (5.11) Lausekkeessa (5.5) keoin C on k, mutta infomaatioteoiassa sen avoksi on tapana valita C = 1/ ln 2, jolloin lauseke (5.11) antaa infomaation bitteinä (C valitaan positiiviseksi, koska entopian kasvaessa infomaatio vähenee; infomaatio tulkitaan negatiiviseksi entopiaksi eli negentopiaksi). 5-2 emodynamiikan peuselaatio akastellaan N:n hiukkasen suljettua systeemiä (N = vakio), jonka kahdella infinitesimaalisen lähellä toisiaan olevalla tasapainotilalla on lämpötilapaametit β ja β + dβ
4 (yhtälön (4.24) mukaan β = 1/k ) ja tilavuudet V ja V + dv. Systeemin enegian muutos siiyttäessä tilasta (β, V ) tilaan (β + dβ, V + dv ) on ( ) de = d p E = p de + E dp, (5.12) missä käytetään mekintää E = E. Mikotilojen enegiat E eivät iipu lämpötilasta, joten E ei ole β:n funktio: E E (β). Sen sijaan ne iippuvat systeemin tilavuudesta: E = E (V ). odennäköisyydet p iippuvat yhtälön (4.23) mukaan sekä lämpötilasta että tilavuudesta (jälkimmäisestä E :n välityksellä). Näin ollen E ja de ovat β:n ja V :n funktioita. Yhtälö (5.12) voidaan kijoittaa puhtaasti makoskooppisten suueiden avulla eliminoimalla siitä todennäköisyydet p. Koska E = E (V ), yhtälön (5.12) oikean puolen ensimmäinen temi voidaan esittää muodossa p de = de p dv. (5.13) dv Jos systeemi on tilassa ja pysyy siinä koko muutoksen ajan, tilavuuden muutos V V + dv muuttaa systeemin enegiaa määällä 60 de = de dv dv P dv. (5.14) ämä on tilassa olevaan systeemiin tehty työ, joka määittelee tässä tilassa olevan systeemin paineen P : yhtälön (5.14) mukaan P = de /dv. Jos tila esiintyy todennäköisyydellä p, havaittu paine on keskiavo P = p P = p ( de dv ). (5.15) ästä nähdään, että yhtälön (5.12) ensimmäinen temi, lauseke (5.13), on p de = P dv. (5.16) ämä yhtälö on voimassa, jos tilavuuden muutos on niin hidas, että systeemi ei häiiön vaikutuksesta siiy enegiatasolta E jollekin toiselle tasolle. ilavuuden muutoksen täytyy siis olla kvasistaattinen. Jos se on lisäksi kitkaton, P on sama kuin ympäistön paine P 0. ämä on sopusoinnussa yhtälön (2.1) kanssa: tilavuuden evesiibelissä muutoksessa systeemiin tehty työ on d W = P dv. Yhtälön (5.12) ensimmäinen temi on siis tämän työn lauseke. Kun se jaetaan dv :llä, saadaan systeemin paineen lauseke, ts. yhtälö (5.15). Paineelle voidaan johtaa myös yhtälön (4.30) kanssa analoginen lauseke. Deivoimalla patitiofunktion Z lauseke (4.25) V :n suhteen saadaan ( ) Z = ( e βe β de ) = βz ( p de ) = βzp, (5.17) V β dv dv missä on käytetty p :n lauseketta (4.23) (e βe = Zp ) ja P :n määittely-yhtälöä (5.15). Näin ollen paine voidaan kijoittaa muodossa P = 1 ( ) Z = 1 ( ) ln Z. (5.18) βz V β β V β
5 Helmholtzin vapaan enegian F = (ln Z)/β (yhtälö (5.9)) avulla esitettynä P :n lauseke yksinketaistuu deivaataksi ( ) F P =. (5.19) V Yhtälön (5.12) oikean puolen jälkimmäisestä temistä voidaan todennäköisyydet p eliminoida käyttämällä ensin p :n lauseketta (4.23), jonka mukaan ln p = βe ln Z. Sijoittamalla tästä atkaistu E :n lauseke E = 1 β (ln Z + ln p ) (5.20) 61 yhtälön (5.12) jälkimmäiseen temiin saadaan E dp = ln Z β dp 1 β ln p dp = 1 β ln p dp, (5.21) missä on käytetty hyväksi tulosta ( ) dp = d p = d(1) = 0 (5.22) (todennäköisyyksien p summa on 1, siis vakio). oisaalta entopian yleisestä määitelmästä (5.5) seuaa, että todennäköisyyksien muuttuessa entopian muutos on ds = k d(p ln p ) dp = k dp (ln p + 1)dp = k ln p dp k dp = k ln p dp, (5.23) missä on jälleen käytetty hyväksi tulosta (5.22). ds:n lausekkeesta (5.23) seuaa, että yhtälön (5.12) jälkimmäinen temi, lauseke (5.21), on E dp = ds. (5.24) Sijoittamalla tulokset (5.16) ja (5.24) de:n lausekkeeseen (5.12) saadaan täkeä yhtälö de = ds P dv, (5.25) jota sanotaan usein temodynamiikan peuselaatioksi (engl. fundamental themodynamic elation) tai temodynamiikan yhdistetyksi pääsäännöksi (engl. combined law of themodynamics). Koska se sisältää ainoastaan tilamuuttujia ja niiden eotuksia, se on yleisesti voimassa kaikille infinitesimaalisen lähellä toisiaan oleville tasapainotiloille, iippumatta siitä tapahtuuko tilojen välillä evesiibeli vai ievesiibeli muutos (vai tapahtuuko muutosta lainkaan). Vaikka välitulos (5.16) johdettiin käyttäen tilavuuden evesiibeliä muutosta, saatu lopputulos ei siis iipu muutoksen luonteesta. Saatu tulos (5.25) voidaan johtaa myös toisella, hyvin kompaktilla tavalla, jos tyydytään temodynaamisen lämpötilan ja paineen P fomaaleihin määitelmiin (4.9) ja (4.12). ällöin takastellaan systeemin entopian lauseketta, joka on esitetty E:n, V :n ja N:n
6 funktiona: S = S(E, V, N). Kun systeemin sisäistä enegiaa ja tilavuutta muutetaan de:n ja dv :n vean, sen entopian muutos on ( ) ( ) S S ds = de + dv. (5.26) E V,N V E,N ässä kokonaisdiffeentiaalin lausekkeessa esiintyvät deivaatat voidaan yhtälöiden (4.9) ja (4.12) mukaan kijoittaa makoskooppisten tilamuuttujien ja P yksinketaisina funktioina: de:n keoin on 1/ ja dv :n keoin on P/. Näin ollen entopian muutos on ds = de 62 + P dv. (5.27) emodynamiikan peuselaatio (5.25) seuaa tästä yhtälöstä välittömästi, kun se keotaan puolittain :llä. 5-3 Entopia makoskooppisena suueena Infinitesimaalisessa evesiibelissä muutoksessa sisäisen enegian muutos on ensimmäisen pääsäännön (2.9) mukaan de = d Q P dv. Vetaamalla tätä temodynamiikan peuselaatioon (5.25) nähdään, että tässä tapauksessa d Q = ds ja entopian muutokselle saadaan eittäin täkeä lauseke ds = d Q. (5.28) Jos siis systeemiin tuodaan lämpötilassa evesiibelisti infinitesimaalinen lämpömäää d Q, systeemin entopia kasvaa määällä d Q/. Eistetyn systeemin evesiibelissä posessissa entopia pysyy vakiona, sillä adiabaattisessa posessissa d Q = 0 ja näin ollen yhtälön (5.28) mukaan ds = 0. Vaikka itse takasteltava systeemi olisi lämmönvaihdossa ympäistönsä kanssa, sen ja ympäistön yhdessä muodostamaa kokonaissysteemiä voidaan aina pitää eistettynä. Näin ollen systeemin ja ympäistön entopioiden summa on evesiibelissä posessissa aina vakio. Jos muutos on ievesiibeli, yhtälön (2.10) mukaan de > d Q P dv. ällöin yhtälön (5.25) mukaan de = ds P dv > d Q P dv, josta seuaa epäyhtälö ds > d Q. Ievesiibelin muutoksen tapauksessa entopian muutokselle pätee siis epäyhtälö ds > d Q. (5.29) ämä on sopusoinnussa toisen pääsäännön kanssa: eistetyn systeemin ievesiibelissä posessissa entopia kasvaa, sillä tällöin d Q = 0 ja yhtälön (5.29) mukaan ds > 0. ästä seuaa, että ievesiibelissä posessissa systeemin ja ympäistön entopioiden summa kasvaa. Vaikka d Q ei ole minkään funktion diffeentiaali, yhtälö (5.28) osoittaa, että evesiibelissä muutoksessa siitä saadaan jakamalla :llä tilamuuttujan S diffeentiaali. ekijää 1/ sanotaan d Q:n integoivaksi tekijäksi. Esimekki: Yhtälön (2.9) mukaan suljetun systeemin (N = vakio) tilavuuden evesiibelissä muutoksessa d Q/ on d Q = de + P dv. (5.30)
7 Koska tämän yhtälön vasen puoli on ds, sen oikean puolen täytyy olla funktion S kokonaisdiffeentiaalin lauseke muuttujien E ja V suhteen. Jotta saataisiin selville, miten funktio S(E, V, N) iippuu muuttujista E ja V, yhtälössä (5.30) esiintyvät tilamuuttujat ja P on kijoitettava E:n ja V :n funktioina. Jos kyseessä on ideaalikaasu, yhtälön (5.30) oikean puolen jälkimmäisen temin keoin P/ voidaan tilanyhtälön (1.12) mukaan kijoittaa V :n ja N:n funktiona muodossa P/ = N k/v. Myöhemmin osoitetaan, että yksiatomisen ideaalikaasun sisäinen enegia on E = 3 2Nk. Näin ollen yhtälön (5.30) oikean puolen ensimmäisen temin keoin 1/ voidaan kijoittaa E:n ja N:n funktiona muodossa 1/ = 3 2Nk/E. Yhtälö (5.30) saa siis muodon Integoimalla nähdään, että tämä on funktion kokonaisdiffeentiaali: ds(e, V, N) = 63 d Q = 3 2 Nk de E + Nk dv V. (5.31) S(E, V, N) = Nk ln(v E 3/2 ) + vakio (5.32) ( ) ( ) S S de + dv = 3 E V V E 2 Nk de E + Nk dv V. (5.33) Myöhemmin yksiatomisen ideaalikaasun entopialle johdetaan täydellinen lauseke suoaan kaasun patitiofunktiosta, käyttämättä tilanyhtälöä P V = N k tai enegiayhtälöä E = 3 2 Nk. Koska systeemin entopia on tilamuuttuja, sen muutos siiyttäessä tilasta 1 tilaan 2 on iippumaton käytetystä posessista. Sen sijaan systeemin ympäistön entopian muutos iippuu yleensä posessista (koska valittu posessi määää ympäistön alku- ja lopputilat). Yhtälön (5.28) mukaan systeemin entopian ääellinen muutos voidaan laskea kaavalla S S 2 S 1 = 2 1 d Q, (5.34) missä integaali on laskettava tilat 1 ja 2 yhdistävää evesiibeliä tietä pitkin. Esimekiksi, jos systeemin lämpötila on alku- ja lopputilassa sama, on yleensä yksinketaisinta valita isoteminen posessi. ällöin S = 2 1 d Q = d Q = Q, (5.35) missä Q on posessin aikana systeemiin siitynyt kokonaislämpömäää. Jos systeemin tilavuus on alku- ja lopputilassa sama, voidaan valita isokooinen (vakiotilavuudessa tapahtuva) posessi. ässä tapauksessa systeemiin tuotu lämpömäää voidaan esittää yhtälön (2.11) mukaisesti muodossa d Q = C V d, (5.36) missä C V on systeemin lämpökapasiteetti vakiotilavuudessa. Jos C V :n iippuvuus lämpötilasta tunnetaan, integaali (5.34) voidaan tällöin laskea (usein C V voidaan appoksimoida ajoitetulla lämpötilavälillä vakioksi). Jos systeemin paine on alku- ja lopputilassa
8 sama, voidaan valita evesiibeli isobaainen (vakiopaineessa tapahtuva) posessi. ällöin d Q voidaan kijoittaa yhtälön (2.12) mukaisesti muodossa missä C P on systeemin lämpökapasiteetti vakiopaineessa. 64 d Q = C P d, (5.37) Esimekki: Säiliö, jonka tilavuus on V, sisältää yhden moolin tasapainotilassa olevaa ideaalikaasua. oinen säiliö, jolla on sama tilavuus, on tyhjä. Säiliöitä eottava väliseinä poistetaan ja systeemi hakeutuu uuteen tasapainotilaan. (a) Mikä on systeemin entopian muutos? (b) Monikoketaiseksi systeemin makotilaa vastaavien mikotilojen lukumäää kasvaa? (a) Kaasun laajeneminen tyhjiöön on tyypillinen ievesiibeli posessi, koska se ei etene tasapainotilojen kautta. Näin ollen toisen pääsäännön mukaan kokonaisentopia kasvaa. Kaasun laajeneminen ei muuta säiliöiden ympäistöä millään tavalla, joten ympäistön entopia ei muutu. ästä syystä entopian kasvu tapahtuu itse systeemissä. Entopian muutoksen laskemiseksi käytetään jotakin systeemin alku- ja lopputilat yhdistävää evesiibeliä posessia. Kaasun laajentuessa vapaasti tyhjiöön se ei tee työtä systeemin ulkopuolelle, joten sen sisäinen enegia E pysyy vakiona. Ideaalikaasun tapauksessa myös sen lämpötila pysyy vakiona, koska molekyylien välillä ei ole vetovoimia, jotka hidastaisivat niitä laajenemisen aikana. Sen sijaan eaalikaasun lämpötila laskee jonkin vean, koska molekyylit menettävät laajenemisen aikana liike-enegiaansa niiden välisten vetovoimien aiheuttaman potentiaalienegian kasvaessa. Koska ideaalikaasun tapauksessa alku- ja lopputilat ovat samassa lämpötilassa, ne on yksinketaisinta yhdistää evesiibelillä isotemisellä posessilla. ällainen on kaasun laajentaminen hyvin hitaasti kitkattoman männän avulla siten, että säiliö on koko ajan temisessä kontaktissa vakiolämpötilassa olevan lämpökylvyn kanssa. Kun ideaalikaasu laajenee evesiibelisti ja isotemisesti tilavuudesta V tilavuuteen 2 V työntäen sylinteissä liikkuvaa mäntää ulospäin, se tekee yhtälön (2.3) mukaan työn W = 2V V P dv = nr 2V V dv V = nr ln 2. (5.38) Jos kaasua on yksi mooli (n = 1) ja lämpötila on = 300 K, työ on W = 1729 J. Jos kaasusäiliö olisi eistetty, kaasu tekisi työtä sisäisen enegiansa E( ) kustannuksella, jolloin sen lämpötila laskisi. Jos säiliö on sen sijaan temisessä kontaktissa lämpökylvyn kanssa, siihen siityy laajenemisen aikana lämpömäää Q, joka pitää kaasun lämpötilan vakiona. ällöin (ideaali)kaasun sisäinen enegia ei muutu, joten kaasun tekemän työn W täytyy olla sama kuin siihen absoboitunut lämpöenegia Q: Q = W = nr ln 2. (5.39) ämä seuaa suoaan ensimmäisestä pääsäännöstä (2.7): jos sisäisen enegian muutos on E = 0, Q = W. ässä on esimekki posessista, jossa lämpöenegia muuttuu täydellisesti mekaaniseksi työksi (mutta systeemi on posessin jälkeen ei tilassa kuin sitä ennen). Yhtälön (5.35) mukaan evesiibelissä isotemisessä posessissa systeemin entopian muutos on S = Q/. Näin ollen ideaalikaasun tilavuuden kasvaessa kaksinketaiseksi entopian muutos on S = Q = nr ln 2. (5.40)
9 Jos n = 1, systeemin entopian kasvu on S = 5, 763 J/K. ämä tulos ei iipu siitä, millä tavalla siityminen tilasta (, V ) tilaan (, 2V ) tapahtuu. Sen sijaan systeemin ympäistön entopian muutos iippuu valitusta posessista. Kuten alussa todettiin, kaasun todellisessa (ievesiibelissä) laajenemisessa tyhjiöön ympäistön entopia ei muutu. Männän avulla tapahtuvassa hypoteettisessa evesiibelissä laajenemisessa ympäistössä oleva lämpökylpy luovuttaa systeemille lämpömäään Q, ts. ottaa vastaan lämpömäään Q. Näin ollen ympäistön entopia muuttuu tässä posessissa yhtälön (5.35) mukaan määällä 65 S = Q. (5.41) Ympäistön entopia siis pienenee siten, että entopioiden muutosten summa on nolla: S + S = 0. Näin täytyy ollakin, koska evesiibelissä posessissa kokonaisentopia pysyy vakiona. Systeemin alku- ja lopputilat voidaan yhdistää muillakin käyillä kuin isotemeillä. Kaasu voitaisiin esimekiksi ensin jäähdyttää evesiibelisti vakiotilavuudessa tilasta (, V ) tilaan (/2, V ), jolloin sen entopian muutos olisi yhtälöiden (5.34) ja (5.36) mukaan 3 d Q 3 S 1 = 1 = C V d. (5.42) 1 Koska tietyn ideaalikaasumäään E on vain lämpötilan funktio, myös sen C V = ( E/ ) V = de/d on vain lämpötilan funktio. Näin ollen entopian muutos S 1 voidaan esittää muodossa S 1 = /2 C V ( ) d. (5.43) Välitilasta (/2, V ) päästäisiin lopputilaan (, 2V ) esimekiksi lämmittämällä kaasu evesiibelisti vakiopaineessa takaisin alkupeäiseen lämpötilaansa, jolloin sen tilavuus kasvaisi kaksinketaiseksi. ällöin d Q = C P d, missä yhtälön (2.14) mukaan C P = C V + nr, joten lämmittämisen aiheuttama entopian muutos olisi S 2 = 2 3 C P d = /2 C V ( ) d d + nr /2 /2 = C V ( ) d + nr ln 2. (5.44) Systeemin entopian kokonaismuutos siiyttäessä alkutilasta (, V ) lopputilaan (, 2V ) olisi tällöin S = S 1 + S 2 = /2 C V ( ) d /2 C V ( ) d + nr ln 2 = nr ln 2. (5.45) Näin saatu S on sama kuin isotemistä posessia käytettäessä, kuten pitää ollakin. ässäkin tapauksessa ympäistön entopian muutoksen täytyy olla S, koska kyseessä on evesiibeli posessi. (b) Eistetyn systeemin entopia on yhtälön (4.3) mukaan S = k ln Ω, missä Ω on systeemin makotilaa vastaavien mikotilojen lukumäää (statistinen paino). Mikotilojen lukumäää on siis Ω = exp(s/k). Alkutilassa (tilassa 1) on Ω 1 = exp(s 1 /k) mikotilaa ja lopputilassa (tilassa 2) on Ω 2 = exp(s 2 /k) mikotilaa. Niiden lukumääien suhde on Ω 2 Ω 1 = es2/k e S 1/k = e(s 2 S 1 )/k = e S/k. (5.46)
10 66 Sijoittamalla tähän entopian muutos S = nr ln 2 saadaan Ω 2 Ω 1 = e nr ln 2/k = e nn A ln 2 = e N ln 2 = (e ln 2 ) N = 2 N, (5.47) missä N A = R/k on Avogadon vakio ja N = nn A on säiliössä olevien kaasumolekyylien lukumäää. ämä mekitsee sitä, että kaasun tilavuuden kasvaessa kaksinketaiseksi systeemin makotilaa vastaavien mikotilojen lukumäää kasvaa 2 N -ketaiseksi. ämä tulos voidaan tulkita siten, että tilavuuden kasvaessa kaksinketaiseksi jokaisen molekyylin tilojen (ns. yksihiukkastilojen) lukumäää kasvaa kaksinketaiseksi. Jos systeemissä on N identtistä hiukkasta, joista jokainen voi olla muista iippumatta missä tahansa m:stä yksihiukkastilasta (m N), systeemin mikotilojen kokonaislukumäää on Ω = m N /N!, missä tekijä N! johtuu hiukkasten identtisyydestä. Jos siis m kasvaa kaksinketaiseksi (m 2m), Ω kasvaa 2 N -ketaiseksi: Ω (2m) N /N! = 2 N m N /N! = 2 N Ω. Makoskooppisella systeemillä 2 N on ääimmäisen suui luku. Jos n = 1, se on 2 N = 2 N A = (10 log 2 ) N A = 10 N A log 2 = 10 1, (5.48) Jos tämä luku kijoitettaisiin näkyviin eksplisiittisesti (käyttämättä kymmenen potensseja), siihen kuuluisi ennen desimaalipilkkua 1, numeoa. ämän luentomonisteen papeille tulostetun tekstin kijasinkokoa käytettäessä sen kokonaisosan pituus olisi m, noin valovuotta, joka on samaa suuuusluokkaa kuin Maan etäisyys Linnunadan keskustasta.
4-1 Prosessien suunta
43 4 Toinen pääsääntö 4-1 Posessien suunta Itsekseen jätetyn systeemin tilan tiedetään aina muuttuvan spontaanisti siten, että se lähestyy tasapainotilaa. Tällaiset luonnolliset posessit tapahtuvat siis
Lisätiedot= P 0 (V 2 V 1 ) + nrt 0. nrt 0 ln V ]
766328A Termofysiikka Harjoitus no. 7, ratkaisut (syyslukukausi 2014) 1. Sylinteri on ympäristössä, jonka paine on P 0 ja lämpötila T 0. Sylinterin sisällä on n moolia ideaalikaasua ja sen tilavuutta kasvatetaan
Lisätiedot9 Klassinen ideaalikaasu
111 9 Klassinen ideaalikaasu 9-1 Klassisen ideaalikaasun patitiofunktio Ideaalikaasu on eaalikaasun idealisaatio, jossa molekyylien väliset keskimäääiset etäisyydet oletetaan hyvin suuiksi molekyylien
LisätiedotP = kv. (a) Kaasun lämpötila saadaan ideaalikaasun tilanyhtälön avulla, PV = nrt
766328A Termofysiikka Harjoitus no. 2, ratkaisut (syyslukukausi 204). Kun sylinterissä oleva n moolia ideaalikaasua laajenee reversiibelissä prosessissa kolminkertaiseen tilavuuteen 3,lämpötilamuuttuuprosessinaikanasiten,ettäyhtälö
Lisätiedotln2, missä ν = 1mol. ja lopuksi kaasun saama lämpömäärä I pääsäännön perusteella.
S-114.42, Fysiikka III (S 2. välikoe 4.11.2002 1. Yksi mooli yksiatomista ideaalikaasua on alussa lämpötilassa 0. Kaasu laajenee tilavuudesta 0 tilavuuteen 2 0 a isotermisesti, b isobaarisesti ja c adiabaattisesti.
Lisätiedot1 Eksergia ja termodynaamiset potentiaalit
1 PHYS-C0220 Termodynamiikka ja statistinen fysiikka, kevät 2017 Emppu Salonen 1 Eksergia ja termodynaamiset potentiaalit 1.1 Suurin mahdollinen hyödyllinen työ Tähän mennessä olemme tarkastelleet sisäenergian
Lisätiedot1. Yksiulotteisen harmonisen oskillaattorin energiatilat saadaan lausekkeesta
766328A Termofysiikka Harjoitus no. 5, ratkaisut syyslukukausi 204). Yksiulotteisen harmonisen oskillaattorin energiatilat saadaan lausekkeesta E n n + ) ω, n 0,, 2,... 2 a) Oskillaattorin partitiofunktio
Lisätiedot6. Yhteenvetoa kurssista
Statistinen fysiikka, osa A (FYSA241) Vesa Apaja vesa.apaja@jyu.fi Huone: YN212. Ei kiinteitä vastaanottoaikoja. kl 2016 6. Yhteenvetoa kurssista 1 Keskeisiä käsitteitä I Energia TD1, siirtyminen lämpönä
LisätiedotFYSA242 Statistinen fysiikka, Harjoitustentti
FYSA242 Statistinen fysiikka, Harjoitustentti Tehtävä 1 Selitä lyhyesti: a Mikä on Einsteinin ja Debyen kidevärähtelymallien olennainen ero? b Mikä ero vuorovaikutuksessa ympäristön kanssa on kanonisella
Lisätiedotenergian), systeemi on eristetty (engl. isolated). Tällöin sekä systeemiin siirtynyt
14 2 Ensimmäinen pääsääntö 2-1 Lämpömäärä ja työ Termodynaaminen systeemi on jokin maailmankaikkeuden osa, jota rajoittaa todellinen tai kuviteltu rajapinta (engl. boundary). Systeemi voi olla esimerkiksi
LisätiedotZ 1 = Np i. 2. Sähkömagneettisen kentän värähdysliikkeen energia on samaa muotoa kuin molekyylin värähdysliikkeen energia, p 2
766328A Termofysiikka Harjoitus no., ratkaisut (syyslukukausi 24). Klassisen ideaalikaasun partitiofunktio on luentojen mukaan Z N! [Z (T, V )] N, (9.) missä yksihiukkaspartitiofunktio Z (T, V ) r e βɛr.
Lisätiedot7 Termodynaamiset potentiaalit
82 7 ermodynaamiset potentiaalit 7-1 Clausiuksen epäyhtälö Kappaleessa 4 tarkasteltiin Clausiuksen entropiaperiaatetta, joka määrää eristetyssä systeemissä (E, ja N vakioita) tapahtuvien prosessien suunnan.
Lisätiedot4. Termodynaamiset potentiaalit
Statistinen fysiikka, osa A (FYSA241) uomas Lappi tuomas.v.v.lappi@jyu.fi Huone: FL249. Ei kiinteitä vastaanottoaikoja. kl 2013 4. ermodynaamiset potentiaalit 1 asapainotila Mikrokanoninen ensemble Eristetty
LisätiedotT F = T C ( 24,6) F = 12,28 F 12,3 F T K = (273,15 24,6) K = 248,55 K T F = 87,8 F T K = 4,15 K T F = 452,2 F. P = α T α = P T = P 3 T 3
76628A Termofysiikka Harjoitus no. 1, ratkaisut (syyslukukausi 2014) 1. Muunnokset Fahrenheit- (T F ), Celsius- (T C ) ja Kelvin-asteikkojen (T K ) välillä: T F = 2 + 9 5 T C T C = 5 9 (T F 2) T K = 27,15
LisätiedotMikrotila Makrotila Statistinen paino Ω(n) 3 Ω(3) = 4 2 Ω(2) = 6 4 Ω(4) = 1
76628A Termofysiikka Harjoitus no. 4, ratkaisut (syyslukukausi 204). (a) Systeemi koostuu neljästä identtisestä spin- -hiukkasesta. Merkitään ylöspäin olevien spinien lukumäärää n:llä. Systeemin mahdolliset
LisätiedotClausiuksen epäyhtälö
1 Kuva 1: Clausiuksen epäyhtälön johtaminen. Clausiuksen epäyhtälö otesimme Carnot n koneelle, että syklissä lämpötiloissa H ja L vastaanotetuille lämmöille Q H ja Q L pätee Q H H oisin ilmaistuna, Carnot
LisätiedotTietoa sähkökentästä tarvitaan useissa fysikaalisissa tilanteissa, esimerkiksi jos halutaan
3 Sähköstatiikan laskentamenetelmiä Tietoa sähkökentästä tavitaan useissa fysikaalisissa tilanteissa, esimekiksi jos halutaan tietää missäläpilyönti on todennäköisin suujännitelaitteessa tai mikä on kahden
Lisätiedot2 Termodynamiikan ensimmäinen pääsääntö (First Law of Thermodynamics)
2 Termodynamiikan ensimmäinen pääsääntö (First Law of Thermodynamics) 1 Tässä luvussa päästää käsittelemään lämmön ja mekaanisen työn välistä suhdetta. 2 Näistä molemmat ovat energiaa eri muodoissa, ja
LisätiedotIdeaalikaasulaki. Ideaalikaasulaki on esimerkki tilanyhtälöstä, systeemi on nyt tietty määrä (kuvitteellista) kaasua
Ideaalikaasulaki Ideaalikaasulaki on esimerkki tilanyhtälöstä, systeemi on nyt tietty määrä (kuvitteellista) kaasua ja tilanmuuttujat (yhä) paine, tilavuus ja lämpötila Isobaari, kun paine on vakio Kaksi
LisätiedotPHYS-A0120 Termodynamiikka syksy 2016
PHYS-A0120 Termodynamiikka syksy 2016 Emppu Salonen Prof. Peter Liljeroth Viikko 2: Työ ja termodynamiikan 1. pääsääntö Maanantai 7.11. ja tiistai 8.11. Kurssin aiheet 1. Lämpötila ja lämpö 2. Työ ja termodynamiikan
Lisätiedot1 Clausiuksen epäyhtälö
1 PHYS-C0220 ermodynamiikka ja statistinen fysiikka, kevät 2017 Emppu Salonen 1 Clausiuksen epäyhtälö Carnot n koneen syklissä lämpötilassa H ja L vastaanotetuille lämmöille Q H ja Q L pätee oisin ilmaistuna,
LisätiedotSpontaanissa prosessissa Energian jakautuminen eri vapausasteiden kesken lisääntyy Energia ja materia tulevat epäjärjestyneemmäksi
KEMA221 2009 TERMODYNAMIIKAN 2. PÄÄSÄÄNTÖ ATKINS LUKU 3 1 1. TERMODYNAMIIKAN TOINEN PÄÄSÄÄNTÖ Lord Kelvin: Lämpöenergian täydellinen muuttaminen työksi ei ole mahdollista 2. pääsääntö kertoo systeemissä
Lisätiedot= 1 kg J kg 1 1 kg 8, J mol 1 K 1 373,15 K kg mol 1 1 kg Pa
766328A Termofysiikka Harjoitus no. 8, ratkaisut syyslukukausi 2014 1. 1 kg nestemäistä vettä muuttuu höyryksi lämpötilassa T 100 373,15 K ja paineessa P 1 atm 101325 Pa. Veden tiheys ρ 958 kg/m 3 ja moolimassa
LisätiedotIntegroimalla ja käyttämällä lopuksi tilanyhtälöä saadaan T ( ) ( ) H 5,0 10 J + 2,0 10 0,50 1,0 10 0,80 Pa m 70 kj
S-4.35 Fysiikka (ES) entti 3.8.. ääritä yhden haikaasumoolin (O) (a) sisäenergian, (b) entalian muutos tilanmuutoksessa alkutilasta =, bar, =,8 m3 loutilaan =, bar, =,5 m3. ärähtelyn vaausasteet voidaan
LisätiedotBiofysiikka Luento Entropia, lämpötila ja vapaa energia. Shannonin entropia. Boltzmannin entropia. Lämpötila. Vapaa energia.
Biofysiikka Luento 7 1 6. Entropia, lämpötila ja vapaa energia Shannonin entropia Boltzmannin entropia M I NK P ln P S k B j1 ln j j Lämpötila Vapaa energia 2 Esimerkkiprobleemoita: Miten DNA-sekvenssistä
LisätiedotPHYS-A0120 Termodynamiikka syksy 2016
PHYS-A0120 Termodynamiikka syksy 2016 Emppu Salonen Prof. Peter Liljeroth Viikko 4: Entropia Maanantai 21.11. ja tiistai 22.11. Ideaalikaasun isoterminen laajeneminen Kaasuun tuodaan määrä Q lämpöä......
Lisätiedot4. Termodynaamiset potentiaalit
FYSA241, kevät 2012 uomas Lappi tuomas.v.v.lappi@jyu.fi Huone: FL249. Ei kiinteitä vastaanottoaikoja. kl 2012 4. ermodynaamiset potentiaalit 1 asapainotila Mikrokanoninen ensemble Eristetty järjestelmä
Lisätiedot3. Statistista mekaniikkaa
Statistinen fysiikka, osa A (FYSA241) Tuomas Lappi tuomas.v.v.lappi@jyu.fi Huone: FL249. Ei kiinteitä vastaanottoaikoja. kl 2013 3. Statistista mekaniikkaa 1 Mikrotilojen laskenta Kvanttimekaniikka: diskreetit
LisätiedotIX TOINEN PÄÄSÄÄNTÖ JA ENTROPIA...208
IX OINEN PÄÄSÄÄNÖ JA ENROPIA...08 9. ermodynaamisen systeemin pyrkimys tasapainoon... 08 9. ermodynamiikan toinen pääsääntö... 0 9.3 Entropia termodynamiikassa... 0 9.3. Entropian määritelmä... 0 9.3.
Lisätiedot. Veden entropiamuutos lasketaan isobaariselle prosessille yhtälöstä
LH- Kilo vettä, jonka lämpötila on 0 0 asetetaan kosketukseen suuren 00 0 asteisen kappaleen kanssa Kun veden lämpötila on noussut 00 0, mitkä ovat veden, kappaleen ja universumin entropian muutokset?
LisätiedotPHYS-C0220 TERMODYNAMIIKKA JA STATISTINEN FYSIIKKA
PHYS-C0220 TERMODYNAMIIKKA JA STATISTINEN FYSIIKKA Kevät 2016 Emppu Salonen Lasse Laurson Arttu Lehtinen Toni Mäkelä Luento 8: Kemiallinen potentiaali, suurkanoninen ensemble Pe 18.3.2016 1 AIHEET 1. Kanoninen
Lisätiedotvetyteknologia Polttokennon termodynamiikkaa 1 DEE Risto Mikkonen
DEE-5400 olttokennot ja vetyteknologia olttokennon termodynamiikkaa 1 DEE-5400 Risto Mikkonen ermodynamiikan ensimmäinen pääsääntö aseraja Ympäristö asetila Q W Suljettuun systeemiin tuotu lämpö + systeemiin
LisätiedotVinkkejä Gaussin lain käyttöön laskettaessa sähkökenttiä
Vinkkejä Gaussin lain käyttöön laskettaessa sähkökenttiä Kun yhdistetään kahdella tavalla esitetty sähkökentän vuo, saadaan Gaussin laki: S d S Q sis Gaussin laki peustuu siihen, että suljetun pinnan läpi
Lisätiedot8. Klassinen ideaalikaasu
Statistinen fysiikka, osa B (FYSA242) Tuomas Lappi tuomas.v.v.lappi@jyu.fi Huone: FL240. Ei kiinteitä vastaanottoaikoja. kl 2016 8. Klassinen ideaalikaasu 1 Fysikaalinen tilanne Muistetaan: kokeellisesti
LisätiedotTermodynamiikka. Termodynamiikka on outo teoria. Siihen kuuluvat keskeisinä: Systeemit Tilanmuuttujat Tilanyhtälöt. ...jotka ovat kaikki abstraktioita
Termodynamiikka Termodynamiikka on outo teoria. Siihen kuuluvat keskeisinä: Systeemit Tilanmuuttujat Tilanyhtälöt...jotka ovat kaikki abstraktioita Miksi kukaan siis haluaisi oppia termodynamiikkaa? Koska
Lisätiedot3. Statistista mekaniikkaa
Statistinen fysiikka, osa A (FYSA241) Vesa Apaja vesa.apaja@jyu.fi Huone: YN212. Ei kiinteitä vastaanottoaikoja. kl 2016 3. Statistista mekaniikkaa 1 Mikrotilojen laskenta Kvanttimekaniikka: diskreetit
LisätiedotLuku Pääsääntö (The Second Law)
Luku 3 2. Pääsääntö (he Second Law) Some things happen naturally, some things don t Spontaneous must be interpreted as a natural tendency that may or may not be realized in prac=ce. hermodynamics is silent
LisätiedotTeddy 1. välikoe kevät 2008
Teddy 1. välikoe kevät 2008 Vastausaikaa on 2 tuntia. Kokeessa saa käyttää laskinta ja MAOL-taulukoita. Jokaiseen vastauspaperiin nimi ja opiskelijanumero! 1. Ovatko seuraavat väitteet oikein vai väärin?
LisätiedotT H V 2. Kuva 1: Stirling kiertoprosessi. Ideaalisen Stirlingin koneen sykli koostuu neljästä osaprosessista (kts. kuva 1):
1 c 3 p 2 T H d b T L 4 1 a V Kuva 1: Stirling kiertoprosessi. Stirlingin kone Ideaalisen Stirlingin koneen sykli koostuu neljästä osaprosessista kts. kuva 1: 1. Työaineen ideaalikaasu isoterminen puristus
Lisätiedotm h = Q l h 8380 J = J kg 1 0, kg Muodostuneen höyryn osuus alkuperäisestä vesimäärästä on m h m 0,200 kg = 0,
76638A Termofysiikka Harjoitus no. 9, ratkaisut syyslukukausi 014) 1. Vesimäärä, jonka massa m 00 g on ylikuumentunut mikroaaltouunissa lämpötilaan T 1 110 383,15 K paineessa P 1 atm 10135 Pa. Veden ominaislämpökapasiteetti
Lisätiedot- Termodynamiikka kuvaa energian siirtoa ( dynamiikkaa ) systeemin sisällä tai systeemien kesken (vrt. klassinen dynamiikka: kappaleiden liike)
KEMA221 2009 TERMODYNAMIIKAN 1. PÄÄSÄÄNTÖ ATKINS LUKU 2 1 1. PERUSKÄSITTEITÄ - Termodynamiikka kuvaa energian siirtoa ( dynamiikkaa ) systeemin sisällä tai systeemien kesken (vrt. klassinen dynamiikka:
Lisätiedot4. Termodynaamiset potentiaalit
Statistinen fysiikka, osa A (FYSA241) Vesa Apaja vesa.apaja@jyu.fi Huone: YN212. Ei kiinteitä vastaanottoaikoja. kl 2015 4. ermodynaamiset potentiaalit 1 ermodynaaminen tasapaino kanonisessa joukossa Mikrokanoninen
LisätiedotCh 19-1&2 Lämpö ja sisäenergia
Ch 19-1&2 Lämpö ja sisäenergia Esimerkki 19-1 Olet syönyt liikaa täytekakkua ja havaitset, että sen energiasisältö oli 500 kcal. Arvioi kuinka korkealle mäelle sinun pitää pitää kiivetä, jotta kuluttaisit
LisätiedotV T p pv T pv T. V p V p p V p p. V p p V p
S-45, Fysiikka III (ES välikoe 004, RAKAISU Laske ideaalikaasun tilavuuden lämötilakerroin ( / ( ja isoterminen kokoonuristuvuus ( / ( Ideaalikaasun tilanyhtälö on = ν R Kysytyt suureet ovat: ilavuuden
Lisätiedot6. Entropia, lämpötila ja vapaa energia
6. Entropia, lämpötila a vapaa energia 1 Luento 6 24.2.2017: Shannonin entropia M I NK P ln P 1 Boltzmannin entropia S k B ln Lämpötila Vapaa energia 2 Probleemoita: Miten DNA-sekvenssistä määräytyvän
LisätiedotMekaniikan jatkokurssi Fys102
Mekaniikan jatkokussi Fys10 Kevät 010 Jukka Maalampi LUENTO 5 Copyight 008 Peason Education, Inc., publishing as Peason Addison-Wesley. Newtonin painovoimateoia Knight Ch. 13 Satunuksen enkaat koostuvat
LisätiedotPHYS-A0120 Termodynamiikka syksy 2017
PHYS-A0120 Termodynamiikka syksy 2017 Emppu Salonen Prof. Peter Liljeroth Viikko 5: Termodynaamiset potentiaalit Maanantai 27.11. ja tiistai 28.11. Kotitentti Julkaistaan ti 5.12., palautus viim. ke 20.12.
LisätiedotSähkökentät ja niiden laskeminen I
ähkökentät ja niiden laskeminen I IÄLTÖ: 1.1. Gaussin lain integaalimuoto ähkökentän vuo uljetun pinnan sisään jäävän kokonaisvaauksen laskeminen Vinkkejä Gaussin lain käyttöön laskettaessa sähkökenttiä
Lisätiedot= 84. Todennäköisin partitio on partitio k = 6,
S-435, Fysiikka III (ES) entti 43 entti / välikoeuusinta I Välikokeen alue Neljän tunnistettavissa olevan hiukkasen mikrokanonisen joukon mahdolliset energiatasot ovat, ε, ε, 3ε, 4ε,, jotka kaikki ovat
Lisätiedot3. Statistista mekaniikkaa
FYSA241, kevät 2012 Tuomas Lappi tuomas.v.v.lappi@jyu.fi Huone: FL249. Ei kiinteitä vastaanottoaikoja. kl 2012 3. Statistista mekaniikkaa 1 Mikrotilojen laskenta Muistelua johdanto-osasta: Kvanttimekaniikassa
LisätiedotKAASUJEN YLEISET TILANYHTÄLÖT ELI IDEAALIKAASUJEN TILANYHTÄLÖT (Kaasulait) [pätevät ns. ideaalikaasuille]
KAASUJEN YLEISET TILANYHTÄLÖT ELI IDEAALIKAASUJEN TILANYHTÄLÖT (Kaasulait) [pätevät ns. ideaalikaasuille] A) p 1, V 1, T 1 ovat paine tilavuus ja lämpötila tilassa 1 p 2, V 2, T 2 ovat paine tilavuus ja
LisätiedotPHYS-C0220 Termodynamiikka ja statistinen fysiikka Kevät 2017
PHYS-C0220 Termodynamiikka ja statistinen fysiikka Kevät 2017 Emppu Salonen Lasse Laurson Toni Mäkelä Touko Herranen Luento 4: entropia Pe 3.3.2017 1 Aiheet tänään 1. Klassisen termodynamiikan entropia
LisätiedotÖljysäiliö maan alla
Kaigasniemen koulu Öljysäiliö maan alla Yläkoulun ketaava ja syventävä matematiikan tehtävä Vesa Maanselkä 009 Ostat talon jossa on öljylämmitys. Takapihalle on kaivettu maahan sylintein muotoinen öljysäiliö
LisätiedotLuento 8 6.3.2015. Entrooppiset voimat Vapaan energian muunoksen hyötysuhde Kahden tilan systeemit
Luento 8 6.3.2015 1 Entrooppiset voimat Vapaan energian muunoksen hyötysuhde Kahden tilan systeemit Entrooppiset voimat 3 2 0 0 S k N ln VE S, S f ( N, m) 2 Makroskooppisia voimia, jotka syntyvät pyrkimyksestä
LisätiedotS , Fysiikka III (Sf) tentti/välikoeuusinta
S-114.45, Fysiikka III (Sf) tentti/välikoeuusinta.11.4 1. välikokeen alue 1. Osoita, että hyvin alhaisissa lämpötiloissa elektronin FD systeemin energia on U = (3/ 5) ε F. Opastus: oleta, että kaikki tilat
LisätiedotVauhti = nopeuden itseisarvo. Nopeuden itseisarvon keskiarvo N:lle hiukkaselle määritellään yhtälöllä
S-4.35, Fysiikka III (ES) entti 8.3.006. Laske nopeuden itseisarvon keskiarvo v ave ja nopeuden neliöllinen keskiarvo v rms seuraaville 6 molekyylien nopeusjakaumille: a) kaikkien vauhti 0 m/s, b) kolmen
LisätiedotLuento 4. Termodynamiikka Termodynaamiset prosessit ja 1. pääsääntö Entropia ja 2. pääsääntö Termodynaamiset potentiaalit
Luento 4 Termodynamiikka Termodynaamiset prosessit ja 1. pääsääntö Entropia ja 2. pääsääntö Termodynaamiset potentiaalit Luento 4 Termodynamiikka Termodynaamiset prosessit ja 1. pääsääntö Entropia ja 2.
LisätiedotPHYS-C0220 TERMODYNAMIIKKA JA STATISTINEN FYSIIKKA
PHYS-C0220 TERMODYNAMIIKKA JA STATISTINEN FYSIIKKA Kevät 2016 Emppu Salonen Lasse Laurson Arttu Lehtinen Toni Mäkelä Luento 7: Ekvipartitioteoreema, partitiofunktio ja ideaalikaasu Ke 16.3.2016 1 KURSSIN
LisätiedotSuurkanoninen joukko
Suurkanoninen joukko Suurkanonisessa joukossa systeemi on kanonisen joukon tavoin yhdistettynä lämpökylpyyn, mutta nyt systeemin ja kylvyn väliset (kuvitellut) seinät läpäisevät energian lisäksi myös hiukkasia
LisätiedotPHYS-A0120 Termodynamiikka. Emppu Salonen
PHYS-A0120 ermodynamiikka Emppu Salonen 1. joulukuuta 2016 ermodynamiikka 1 1 Lämpötila ja lämpö 1.1 ilanyhtälö arkastellaan kolmea yksinkertaista fluidisysteemiä 1, jotka koostuvat kukin vain yhdentyyppisistä
LisätiedotLuku 4 SULJETTUJEN SYSTEEMIEN ENERGIA- ANALYYSI
Thermodynamics: An Engineering Approach, 7 th Edition Yunus A. Cengel, Michael A. Boles McGraw-Hill, 2011 Luku 4 SULJETTUJEN SYSTEEMIEN ENERGIA- ANALYYSI Copyright The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission
LisätiedotPHYS-C0220 Termodynamiikka ja statistinen fysiikka Kevät 2016
PHYS-C0220 Termodynamiikka ja statistinen fysiikka Kevät 2016 Emppu Salonen Lasse Laurson Toni Mäkelä Arttu Lehtinen Luento 6: Vapaaenergia Pe 11.3.2016 1 AIHEET 1. Kemiallinen potentiaali 2. Maxwellin
LisätiedotTASAPAINOJAKAUMAT KVANTTIMEKAANISISSA SYSTEEMEISSÄ (AH 5.4, 6.1, 6.4, 6.5) Mikrokanoninen joukko
1 TASAPAINOJAKAUMAT KVANTTIMEKAANISISSA SYSTEEMEISSÄ (AH 5.4, 6.1, 6.4, 6.5) Mikrokanoninen joukko Aivan kuten klassisessa tapauksessa, myös kvanttimekaanisille monihiukkassysteemeille voidaan määritellä
LisätiedotPHYS-A0120 Termodynamiikka syksy 2016
PHYS-A0120 Termodynamiikka syksy 2016 Emppu Salonen Prof. Peter Liljeroth Viikko 6: Faasimuutokset Maanantai 5.12. Kurssin aiheet 1. Lämpötila ja lämpö 2. Työ ja termodynamiikan 1. pääsääntö 3. Lämpövoimakoneet
Lisätiedotkertausta Boltzmannin jakauma infoa Ideaalikaasu kertausta Maxwellin ja Boltzmannin vauhtijakauma
infoa kertausta Boltzmannin jakauma Huomenna itsenäisyyspäivänä laitos on kiinni, ei luentoa, ei laskareita. Torstaina laboratoriossa assistentit neuvovat myös laskareissa. Ensi viikolla tiistaina vielä
LisätiedotPHYS-C0220 TERMODYNAMIIKKA JA STATISTINEN FYSIIKKA
PHYS-C0220 TERMODYNAMIIKKA JA STATISTINEN FYSIIKKA Kevät 2016 Emppu Salonen Lasse Laurson Arttu Lehtinen Toni Mäkelä Luento 10: Reaalikaasut Pe 1.4.2016 1 AIHEET 1. Malleja, joissa pyritään huomioimaan
LisätiedotKLASSISET TASAPAINOJOUKOT (AH 4.3, , 7.2) Yleisesti joukoista
KLASSISET TASAPAINOJOUKOT (AH 4.3, 6.1-6.7, 7.2) 1 Yleisesti joukoista Seuraavaksi tarkastelemme konkreettisella tasolla erilaisia termodynaamisia ensemblejä eli joukkoja, millä tarkoitamme tiettyä makrotilaa
LisätiedotTapa II: Piirretään voiman F vaikutussuora ja lasketaan momentti sen avulla. Kuva 3. d r. voiman F vaikutussuora
VOIMAN MOMENTTI Takastellaan jäykkää kappaletta, joka pääsee kietymään akselin O ympäi. VOIMAN MOMENTTI on voiman kietovaikutusta kuvaava suue. Voiman momentti määitellään voiman F ja voiman vaen tulona:
LisätiedotS , Fysiikka III (Sf) tentti/välikoeuusinta
S-445, Fysiikka III (Sf) tentti/välikoeuusinta 43 välikokeen alue ristetyssä astiassa, jonka lämötila idetään, kelvinissä, on nestemäistä heliumia tasaainossa helium kaasun kanssa Se on erotettu toisesta
LisätiedotFysp240/1 Ising-malli (lyhyt raportti)
Tiia Monto Työ tehty: 19.1. tiia.monto@jyu. 7515 Fysp/1 Ising-malli (lyhyt apotti) Assistentti: Avostellaan (joko hyväksytty tai hylätty) Työ jätetty: Abstact I simulated paamagnet, feomagnet and antifeomagnet
Lisätiedot2. Termodynamiikan perusteet
Statistinen fysiikka, osa A (FYSA241) Tuomas Lappi tuomas.v.v.lappi@jyu.fi Huone: FL249. Ei kiinteitä vastaanottoaikoja. kl 2013 2. Termodynamiikan perusteet 1 TD ja SM Statistisesta fysiikasta voidaan
LisätiedotMatematiikan kurssikoe, Maa 9 Integraalilaskenta RATKAISUT Torstai A-OSA
Matematiikan kussikoe, Maa 9 Integaalilaskenta RATKAISUT Tostai..8 A-OSA Sievin lukio. a) Integoi välivaiheineen i) (x t ) dt ii) x dx. b) Määittele integaalifunktio. c) i) Olkoon 5 f(x) dx =, f(x) dx
Lisätiedoty 2 h 2), (a) Näytä, että virtauksessa olevan fluidialkion tilavuus ei muutu.
Tehtävä 1 Tarkastellaan paineen ajamaa Poisseuille-virtausta kahden yhdensuuntaisen levyn välissä Levyjen välinen etäisyys on 2h Nopeusjakauma raossa on tällöin u(y) = 1 dp ( y 2 h 2), missä y = 0 on raon
LisätiedotLämmityksen lämpökerroin: Jäähdytin ja lämmitin ovat itse asiassa sama laite, mutta niiden hyötytuote on eri, jäähdytyksessä QL ja lämmityksessä QH
Muita lämpökoneita Nämäkin vaativat työtä toimiakseen sillä termodynamiikan toinen pääsääntö Lämpökoneita ovat lämpövoimakoneiden lisäksi laitteet, jotka tekevät on Clausiuksen mukaan: Mikään laite ei
LisätiedotKertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0
Kertaus K. a) 6 4 64 0, 0 0 0 0 b) 5 6 = 5 6 = =, 0 c) d) 4 4 4 7 4 ( ) 7 7 7 7 87 56 7 7 7 K. a) b) c) d) 6 6 a a a, a > 0 6 6 a a a a, a > 0 5 5 55 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 a a a a a ( a ) a a a, a > 0 K.
LisätiedotLämpöoppi. Termodynaaminen systeemi. Tilanmuuttujat (suureet) Eristetty systeemi. Suljettu systeemi. Avoin systeemi.
Lämpöoppi Termodynaaminen systeemi Tilanmuuttujat (suureet) Lämpötila T (K) Absoluuttinen asteikko eli Kelvinasteikko! Paine p (Pa, bar) Tilavuus V (l, m 3, ) Ainemäärä n (mol) Eristetty systeemi Ei ole
LisätiedotPHYS-C0220 TERMODYNAMIIKKA JA STATISTINEN FYSIIKKA
PHYS-C0220 TERMODYNAMIIKKA JA STATISTINEN FYSIIKKA Kevät 206 Emppu Salonen Lasse Laurson Arttu Lehtinen Toni Mäkelä Luento 2: BE- ja FD-jakaumat, kvanttikaasut Pe 5.4.206 AIHEET. Kvanttimekaanisesta vaihtosymmetriasta
LisätiedotTermodynamiikka. Fysiikka III 2007. Ilkka Tittonen & Jukka Tulkki
Termodynamiikka Fysiikka III 2007 Ilkka Tittonen & Jukka Tulkki Tilanyhtälö paine vakio tilavuus vakio Ideaalikaasun N p= kt pinta V Yleinen aineen p= f V T pinta (, ) Isotermit ja isobaarit Vakiolämpötilakäyrät
Lisätiedot766328A Termofysiikka Harjoitus no. 10, ratkaisut (syyslukukausi 2014)
7668A Termofysiikka Harjoitus no., ratkaisut (syyslukukausi 4). Johdetaan yksiatomisen klassisen ideaalikaasun kemiallisen potentiaalin µ(t,, N) lauseke. (a) Luentojen yhtälön mukaan kemiallinen potentiaali
Lisätiedot3Työ. 3.1 Yleinen määritelmä
3Työ Edellisessä luvussa käsittelimme systeemin sisäenergian muutosta termisen energiansiirron myötä, joka tapahtuu spontaanisti kahden eri lämpötilassa olevan kappaleen välillä. Toisena mekanismina systeemin
LisätiedotTASAPAINOJAKAUMAT KVANTTIMEKAANISISSA SYSTEEMEISSÄ (AH 5.4, 6.1, 6.4, 6.5) Mikrokanoninen joukko
TASAPAINOJAKAUMAT KVANTTIMEKAANISISSA SYSTEEMEISSÄ (AH 5.4, 6.1, 6.4, 6.5) Mikrokanoninen joukko Aivan kuten klassisessa tapauksessa, myös kvanttimekaanisille monihiukkassysteemeille voidaan määritellä
LisätiedotPHYS-C0220 Termodynamiikka ja statistinen fysiikka Kevät 2017
PHYS-C0220 Termodynamiikka ja statistinen fysiikka Kevät 2017 Emppu Salonen Lasse Laurson Toni Mäkelä Touko Herranen Luento 2: kineettistä kaasuteoriaa Pe 24.2.2017 1 Aiheet tänään 1. Maxwellin ja Boltzmannin
LisätiedotPHYS-C0220 Termodynamiikka ja statistinen fysiikka Kevät 2016
PHYS-C0220 Termodynamiikka ja statistinen fysiikka Kevät 2016 Emppu Salonen Lasse Laurson Toni Mäkelä Arttu Lehtinen Luento 1: Lämpötila ja Boltzmannin jakauma Ke 24.2.2016 1 YLEISTÄ KURSSISTA Esitietovaatimuksena
LisätiedotAstrokemia Kevät 2011 Harjoitus 1, Massavaikutuksen laki, Ratkaisut
Astrokemia Kevät 2011 Harjoitus 1, Massavaikutuksen laki, Ratkaisut 1 a Kaasuseoksen komponentin i vapaa energia voidaan kirjoittaa F i (N,T,V = ln Z i (T,V missä on ko hiukkasten lukumäärä tilavuudessa
LisätiedotKäytetään lopuksi ideaalikaasun tilanyhtälöä muutoksille 1-2 ja 3-1. Muutos 1-2 on isokorinen, joten tilanyhtälöstä saadaan ( p2 / p1) = ( T2 / T1)
LH0- Lämövoimakoneen kiertorosessin vaiheet ovat: a) Isokorinen aineen kasvu arvosta arvoon 2, b) adiabaattinen laajeneminen, jolloin aine laskee takaisin arvoon ja tilavuus kasvaa arvoon 3 ja c) isobaarinen
LisätiedotEkvipartitioperiaatteen mukaisesti jokaiseen efektiiviseen vapausasteeseen liittyy (1 / 2)kT energiaa molekyyliä kohden.
. Hiilidioksidiolekyyli CO tiedetään lineaariseksi a) Mitkä ovat eteneisliikkeen, pyöriisliikkeen ja värähtelyn suuriat ekvipartitioperiaatteen ukaiset läpöenergiat olekyyliä kohden, kun kaikki vapausasteet
LisätiedotPHYS-C0220 Termodynamiikka ja statistinen fysiikka Kevät 2016
PHYS-C0220 Termodynamiikka ja statistinen fysiikka Kevät 2016 Emppu Salonen Lasse Laurson Toni Mäkelä Arttu Lehtinen Luento 5: Termodynaamiset potentiaalit Ke 9.3.2016 1 AIHEET 1. Muut työn laadut sisäenergiassa
Lisätiedot11 Kvantti-ideaalikaasu
35 Kvantti-ideaalikaasu - Kvanttistatistiikka Kappaleessa 9 tarkasteltiin klassisissa olosuhteissa esiintyvää ideaalikaasua. Tällaisessa kaasussa molekyylien tavoitettavissa on niin paljon yksihiukkastiloja,
Lisätiedot4) Törmäysten lisäksi rakenneosasilla ei ole mitään muuta keskinäistä tai ympäristöön suuntautuvaa vuorovoikutusta.
K i n e e t t i s t ä k a a s u t e o r i a a Kineettisen kaasuteorian perusta on mekaaninen ideaalikaasu, joka on matemaattinen malli kaasulle. Reaalikaasu on todellinen kaasu. Reaalikaasu käyttäytyy
LisätiedotLHSf5-1* Osoita, että van der Waalsin kaasun tilavuuden lämpötilakerroin on 2 γ = ( ) RV V b T 2 RTV 2 a V b. m m ( ) m m. = 1.
S-445 FSIIKK III (ES) Syksy 004, LH 5 Ratkaisut LHSf5-* Osoita, että van der Waalsin kaasun tilavuuden läötilakerroin on R ( b ) R a b Huoaa, että läötilakerroin on annettu oolisen tilavuuden = / ν avulla
LisätiedotLCAO-menetelmä Tämä on lyhyt johdanto molekyylien laskentaan LCAO-menetelmällä.
LCAO-menetelmä Tämä on lyhyt johdanto molekyylien laskentaan LCAO-menetelmällä. LCAO-menetelmä on yleisin molekyylien elektoniakenteen laskemiseen kehitetyistä numeeisista menetelmistä. Se on laajalti
LisätiedotLujuusopin jatkokurssi IV.1 IV. KUORIEN KALVOTEORIAA
Lujuusoin jatkokussi IV. IV. KUORIE KALVOTEORIAA Kuoien kalvoteoiaa Lujuusoin jatkokussi IV. JOHDATO Kuoiakenteen keskiinta on jo ennen muoonmuutoksia kaaeva inta. Kaaevasta muoosta seuaa että keskiinnan
LisätiedotSMG-4200 Sähkömagneettisten järjestelmien lämmönsiirto Ehdotukset harjoituksen 3 ratkaisuiksi
SMG-4 Sähkömagneettisten jäjestelmien lämmönsiito Ehdotukset hajoituksen 3 atkaisuiksi 1. Voidaan kohtuullisella takkuudella olettaa, että pallonmuotoisessa säiliössä lämpötila muuttuu vain pallon säteen
Lisätiedotl 1 2l + 1, c) 100 l=0 AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 7. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + 5 + +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c) +
LisätiedotEntalpia - kuvaa aineen lämpösisältöä - tarvitaan lämpötasetarkasteluissa (usein tärkeämpi kuin sisäenergia)
Luento 4: Entroia orstai 12.11. klo 14-16 47741A - ermodynaamiset tasaainot (Syksy 215) htt://www.oulu.fi/yomet/47741a/ ermodynaamisten tilansuureiden käytöstä Lämökaasiteetti/ominaislämö - kuvaa aineiden
LisätiedotEkvipartitioteoreema. Entropia MB-jakaumassa. Entropia tilastollisessa mekaniikassa
Ekvipartitioteoreema lämpötilan ollessa riittävän korkea, kukin molekyylin liikkeen vapausaste tuo energian ½ kt sekä keskimääräiseen liike-energiaan ja kineettiseen energiaan energian lisäys ja riittävän
LisätiedotEkvipartitioteoreema
Ekvipartitioteoreema lämpötilan ollessa riittävän korkea, kukin molekyylin liikkeen vapausaste tuo energian ½ kt sekä keskimääräiseen liike-energiaan ja kineettiseen energiaan energian lisäys ja riittävän
Lisätiedotη = = = 1, S , Fysiikka III (Sf) 2. välikoe
S-11445 Fysiikka III (Sf) välikoe 710003 1 Läpövoiakoneen kiertoprosessin vaiheet ovat: a) Isokorinen paineen kasvu arvosta p 1 arvoon p b) adiabaattinen laajeneinen jolloin paine laskee takaisin arvoon
LisätiedotLämpöopin pääsäännöt
Lämpöopin pääsäännöt 0. Eristetyssä systeemissä lämpötilaerot tasoittuvat. Systeemin sisäenergia U kasvaa systeemin tuodun lämmön ja systeemiin tehdyn työn W verran: ΔU = + W 2. Eristetyn systeemin entropia
LisätiedotOhjeellinen pituus: 2 3 sivua. Vastaa joko tehtävään 2 tai 3
PHYS-A0120 Termodynamiikka, syksy 2017 Kotitentti Vastaa tehtäviin 1, 2/3, 4/5, 6/7, 8 (yhteensä viisi vastausta). Tehtävissä 1 ja 7 on annettu ohjeellinen pituus, joka viittaa 12 pisteen fontilla sekä
Lisätiedot