Fysp240/1 Ising-malli (lyhyt raportti)

Transkriptio

1 Tiia Monto Työ tehty: Fysp/1 Ising-malli (lyhyt apotti) Assistentti: Avostellaan (joko hyväksytty tai hylätty) Työ jätetty: Abstact I simulated paamagnet, feomagnet and antifeomagnet in a * spin lattice with a Matlab pogam. These simulations demonstated spins' behaviou in dieent tempeatues and magnet elds. It became appaent that entopy gew when a tempeatue was inceased. In these simulation I simulated a hysteesis phenomenon too by changing magnetig eld in a lattice nea to citical tempeatue.

2 1 Johdanto Ising-mallin keksi Wilhelm Lenz, mutta ensimmäisen kean sen julkaisi Enest Ising. Ising-mallin [1] ideana on takastella spin-hilaa. Suosituin tapa käyttää ising-mallia on simuloida sillä kaksiulotteista feomagneettista spin-hilaa, jossa jokaisella spinillä on kaksi mahdollista tilaa: ylös ja alas. Spin-hilassa spinit vaikuttavat myös naapuispinien tilaan. Teoeettiset lähtökohdat Ising-mallissa spin-hilan kokonaisenegia mikotilassa määitellään yhtälöllä E tot = J <i,j> S () i S () j µb N i=1 S () i, (1) missä N on spinien lukumäää, µ = 9, 7 1 J T spinin i suunta. Yhtälössä lasketaan jokainen lähinaapuipai S () i ominaismagneettidipoli ja S() i S () kean. J on kytkentävakio. Jos J =, niin kyseessä on paamagneetti, spinit eivät siis vuoovaikuta. Jos J >, niin vuoovaikutus on feomagneettista: spinit pykivät osoittamaan samaan suuntaan kuin naapuispin. Jos J <, niin vuoovaikutus on antifeomagneettista: spinit pykivät osoittamaan päinvastaiseen suuntaan kuin naapuinsa. j.1 Ideaalinen paamagneetti Kun J =, niin yhtälön 1 temi J <i,j> S() i on muotoa S () j saa avon nolla, jolloin kokonaisenegia E tot = µb N i=1 S () i. () Tällöin magneettinen momentti lämpötilan T suhteen on Ja spiniä kohti oleva enegia on M = µ tanh( µb ). (3) E = E tot N µb = µb tanh( ) = MB. ()

3 . Feo- ja antifeomagneetti Kun kyseessä on feo- tai antifeomagneetti, eli J saa nollasta poikkeavan avon, ei voida käyttää yhtälöitä -. Temodynaamisessa systeemissä voidaan laskea suueen A keskiavo yhtälöillä < A >= 1 Z A e E tot ; Z = e E tot. (5) Mutta systeemin, jossa on hilapaikkaa, tietyn suueen keskiavon laskeminen eo. yhtälöillä tulisi tuhan askaaksi, pitäisi laskea eikseen ei avoa temille e E tot. Tällaisessä tilanteessa käytämme Monte Calo -simulointia []. Eäs Monte Calon menetelmistä on Metopolis-algoitmi, joka määää, miten spinin tila muuttuu systeemin tilan muuttuessa. Tämä voidaan siis suoittaa Matlab-ohjelmalla [3]. Kun lämpötila ylittää kiittisen lämpötilan T c, aine ei enää magnetisoidu spontaanisti. Kiittisen lämpötilan määittämiseksi voidaan käyttää yhtälöä sinh( J c ) = 1; T c, 9 J k B. () 3 Mittauslaitteisto ja kokeelliset menetelmät Työssä käytin Matlab 7.. -ohjelmistoa ja valmiiksi saatuja Matlab-tiedostoja []. Aluksi testasin ohjelman toimivuuden antamalla ohjelmalle komennolla ising(1.,,1,3,.1,.1,5,,,1,1,,1) ja totesin ohjelman toimivan niin kuin pitikin, sain kuvan hilasysteemistä. Ensimmäinen vasinainen tehtävä oli takastella ideaalista paamagneettia J =. Piisin Matlabilla kuvaajat magneettisesta momentista funktion 3 mukaisesti (kuva 1) ja enegiasta spiniä kohti funktion mukaisesti (kuva ). Muuttujana käytin x = µb, jossa x muuttui välillä... Seuaavaksi määäsin hilasysteemin feomagneettiseksi laittamalla J:n avoksi 1 ja magneettikentän laitoin nollaksi B =. Matlab-ohjelmalla laskin magneettisen momentin itseisavon M muuttujan y = k BT funktiona ja piisin Matlabilla kuvaajan 3. Koska J ohjelmaan on asetettu avot k B = 1 ja J = 1, niin voidaan mekitä muuttujaksi y = T, J kuten kuvassakin vaaka-akselilla lukee. Sitten määitin feomagneettiselle hilalle magneettikentän nollaa suuemmaksi B >. Ajoin Matlabilla ising.m-tiedoston avoilla J = 1 ja B = 1 sekä B =. Plottasin Matlabilla magneettisten momenttien kuvaajat, kuten edellä, T :n funktiona ja yhdistin kuvaajat, J kuten kuvasta näkee. Antifeomagneettista hilaa simuloin Ising-ohjelmalla määittelemällä J = 1 ja B =. Tällä ketaa ajoin ohjelman useasti ei lämpötiloilla tallentaen hilatilojen kuvat 5-1 ei 3

4 lämpötiloissa. Viimeisimmäksi simuloin hysteesis-ilmiötä. Valitsin lämpötilan avoksi T = ja kytkentävakioksi J = 1 ja piisin Matlabilla magneettisen momentin M kuvaajan magneettikentän B funktiona. Ensiksi ajoin ohjelman siten, että B menee avosta 1 avoon 1, sitten ajoin B:n liikkuessa avosta 1 avoon 1 ja lopuksi ajoin siten, että B liikkui :sta 1:een. Havainnot ja laskut.1 Ideaalinen paamagneetti x x µ tanh((µ B)/(k B T)) µ tanh((µ B)/(k B T))B (µ B)/(k B T) (µ B)/(k B T) Kuva 1: Magneettinen momentti Kuva : Enegia spiniä kohti Ideaalisen paamagneetin tapauksessa näytti siltä, että lämpötilan kasvaessa magneettinen momentti laskee ja enegia spiniä kohti suuenee. Eli mitä suuempi lämpötila, sitä vähemmän systeemmissä on jäjestäytymistä, siis sitä satunnaisemmin hilan spinit asettautuvat.. Feomagneetti, B = Kun lämpötila ylittää kiittisen lämpötilan T c, niin magneettinen momentti laskee yht'äkkiä nopeasti alas ja saa lähes nollaa olevia hajanaisia avoja, kuten kuvasta 3 näkyy, tällöin spinit ovat epäjäjestäytyneet. Magneettisen momentin pysyessä avossa 1 hilan spinit ovat jäjestäytyneet. Kuvasta 3 voidaan määitellä silmämäääisesti kiittiseksi lämpötilaksi T c noin, K. Teoeettisen avon tälle voidaan laskea yhtälön 7 mukaan ja huomataan, että avioitu avo T c :lle on hieman teoeettista avoa pienempi. T c, 9 J k B =, 9K. (7) Raudan kiittinen lämpötila on T c = 13 K [5, sivu 97]. Tällöin voidaan saada audan J:n avo yhtälöllä seuaavasti:

5 D Ising model Magnetization compaed with exact B= esult in the themodynamical limit (ed line, spin up side) L= J=1 B= M, M T/J Kuva 3: Magneettisen momentin itseisavo T c, 9 J k B J T c = 13 ev 59, ev (), 9k B, 9.3 Feomagneetti, B > D Ising model Magnetization compaed with exact B= esult in the themodynamical limit (ed line, spin up side) L= J=1 pisteet: B=1, uksit: B= M, M T/J Kuva : Magneettinen momentti, kun B = 1 ja kun B = Kuvaajat näyttävät loivemmilta kuin aikaisemmassa tapauksessa (kuva 3), jossa magneettikentän avo oli nolla. Kiittiseksi lämpötilaksi tässä tapauksessa silmämäääisesti määittelin T c =, K, kun B = 1 ja T c =, 5 K, kun B =. Lämpötilan ylitettyä tämä määittelemäni kiittinen lämpötila magneettiset momentin avot eivät ole lähellä nollaa ja hajanaisia toisistaan, kuten aikaisemmassa tapauksessa, vaan ne pienenevät hitaammin lämpötilnan muutoksen suhteen. 5

6 . Antifeomagneetti, B = Antifeomagneettitapauksessa hilakuviot tuntuivat muuttuvan nopeammin pienillä lämpötiloilla, kuten kuvista 5-1 ilmenee. Pienimmällä lämpötilalla T =, 1 K hilassa oli symmetisesti joka toinen spin ei suuntaan siten, ettei yhdenkaan spinin suunta ollut sama kuin lähinaapuin. Jo muutaman kelvinin lämpötilassa spinit alkoivat sekottua ja shakkiuudukko-kuvio hilassa hävitä. Tämä ilmiö johtuu kiittisen lämpötilan ylittymisestä. J= 1 T=.1 B= J= 1 T=1.5 B= nz = nz = 19 Kuva 5: Hilasysteemin tila, kun T=,1K J= 1 T=3 B= nz = 19 Kuva : Hilasysteemin tila, kun T=1,5K J= 1 T=5 B= nz = 193 Kuva 7: Hilasysteemin tila, kun T=3K J= 1 T=7 B= nz = 191 Kuva : Hilasysteemin tila, kun T=5K J= 1 T=3 B= nz = 19 Kuva 9: Hilasysteemin tila, kun T=7K Kuva 1: Hilasysteemin tila, kun T=3K

7 .5 Hysteesis 1 D Ising model T= J=1.... M B Kuva 11: Hysteesis-ilmiö. Katkeamaton viiva: B: 1 1, katkoviiva: B: 1 1 ja pisteviiva: B: 1. Tässä simulaatiossa katsoin, miten M(B)-funktio käyttäytyy, kun magneettikenttää B kasvattaa ja laskee välillä Kuten kuvassa 11 ilmenee, nostamalla magneettikentän avoa välillä 1.. 1, niin magneettinen momentti ylitti nollapisteensä, kun B, ja välillä magneettisen momentin avo ylitti nollakohtansa jo, kun B,. Tämä johtuu hysteesis-ilmiöstä []. Hysteesis-ilmiö voidaan nähdä niillä lämpötilan avoilla, jotka ovat lähellä kiittistä lämpötilaa T c. Hysteesis-ilmiössä epäevesiibelissä posessissa eaktio kulkee pisteestä A pisteeseen B ei eittiä. Esimekiksi supejäähdytetty neste kiinteytyy jäähdytettäessä alemmassa lämpötilassa kuin missä kiinteä neste sulaa, mikä sotii akijäkeä vastaan. Hysteesis on jäänne magnetismista. Kun esimekiksi auta tuodaan magneettikenttään, sen spinit alkavat osoittamaan kaikki samaan suuntaan. Rauta pysyy magnetoituneena, vaikka se otetaan pois ulkoisesta magneettikentästä. Spinit kääntyvät ei suuntaan vasta, kun joutuvat vastakkaisen suuntaiseen magneettikenttään. 5 Johtopäätökset Jäjestelmät pykivät minimoimaan Helmholzin vaan enegian F = E T S, missä S on entopia. Lämpötilan kasvaessa entopia alkaa suuentua. Tämä näkyy ideaalisessa paamagneetissa ja feomagneetissa siten, että lämpötilan suuentuessa spinien magnetoituma pienenee. Antifeomagneetissa ilmiö näkyy suoaan kuvissa 5-: mitä suuempi lämpötila, sitä enemmän spinit ovat sekoittuneet ja sitä enemmän siis myös entopia on kasvanut. Isingmalli on oivallinen väline kuvaamaan systeemeitä, joissa on jaksollisuutta, kuten spinhilaa, jossa on hilakuvioissa toistoa. Tämä malli ei kuitenkaan sovellu imitoimaan ääettömän systeemin sellasia ominaisuuksia, joilla ei ole jaksollisuutta. 7

8 Isingmallissa ja muissa fysikaalisissa malleissa on yhtäläisyys faasimuutosten ilmentämisessä: lähellä kiittistä lämpötilaa ei malleissa näkyy hysteesisilmiö.

9 Viitteet [1] Ising model. [] Lisa Laimoe. Monte calo simulation of the d ising model. lisal/physics/pesentations/ising.pdf. [3] Matlab. [] Matlab-tiedostot. ohjelma.pdf. [5] Ashcoft & Memin. Solid State Physics. [] Hysteesis-ilmiö. 9