LCAO-menetelmä Tämä on lyhyt johdanto molekyylien laskentaan LCAO-menetelmällä.
|
|
- Esa Karvonen
- 6 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 LCAO-menetelmä Tämä on lyhyt johdanto molekyylien laskentaan LCAO-menetelmällä. LCAO-menetelmä on yleisin molekyylien elektoniakenteen laskemiseen kehitetyistä numeeisista menetelmistä. Se on laajalti käytössä mm. lääkkeiden kehittämiseen liittyvässä tutkimuksessa. Kuva: Vetymolekyylin ( ) hajottava (antibonding) V s-molekyyliobitaali. Itsenäisten elektonien malli Molekyyleissä itsenäisten elektonien malli muodostetaan samaan tapaan kuin atomeissa. Jos yhden elektonin spin-obitaalit laskentaan SCFmenetelmällä, niistä muodostettu Slatein deteminantti on yleensä jäkevä alimman asteen appoksimaatio monen elektonin aaltofunktiolle. Molekyylissä elektonin spin-obitaali eoaa atomin elektonin spin-obitaalista siten, että sen avauusosa on yleinen elektonin paikkavektoin (kompleksiavoinen) funktio, ts. sitä ei voi esittää adiaaliosan ja kulmaosan tulona, kuten yksittäisten vapaiden atomien tapauksessa.
2 aulin kieltosääntö molekyyleissä Molekyyliin kuuluvan elektonin spin-obitaalin paikkaavauusosaa kutsutaan molekyyliobitaaliksi. Slatein deteminantti muodostetaan samaan tapaan kuin atomeille. Myös aulin kieltosäännön sisältö on sama kuin atomeissa. x Kaksi elektonia ei voi sijaita samalla spinobitaalilla muuten aaltofunktio < { kaikkialla. x Monielektonisysteemissä enegiatilat täyttyvät alimmalta tilalta alkaen kunnes kaikki elektonit on sijoitettu systeemiin x Spin-obitaali )jakaantuu spin- ja paikka-avauusosaan siten, että spin-ylös-hiukkaselle aaltofunktio on muotoa )() I ()Dja spin-alas-hiukkaselle)() I ()E Slatein deteminantti N:lle elektonille Monielektonisysteemin Slatein deteminantti on muotoa " N N " N N " I D I D I D a a a Ib E Ib E Ib E < a... u σ,..., Nσ N Ic D Ic D Ic N D N N! # # " N N I E I E I E u u u ½ ¾ Yhteensä N kpl vaakaivejä ja pystyivejä I k (j) on elektonin j molekyyliobitaalin k paikka-avauusosa ( j = j ) D(j) ja E(j) kuvaavat spin-ylös- ja spin-alas-tiloja elektonille j eli ne muodostavat aaltofunktion spin-osan. Slatein deteminantti sisältää itsessään aulin kieltosäännön siten, että se menee nollaksi, jos kaksi elektonia on samalla tilalla. Tällöin jollain deteminanttiesityksen vaakaivillä on kaksi nollasta poikkeavaa alkiota ja jokin ivi on kokonaan tyhjä!
3 Keskimäääisen kentän (SCF) malli molekyyleissä Esimekki -molekyyli: Molekyylissä elektonien ajatellaan liikkuvan toisten elektonien ja ytimien keskimäääisessä kentässä Elektonin todennäköisyystiheys on mekittävä vain keltaisella alueella. Molekyylissä elektonin näkemä kokonaispotentiaali ei ole pallosymmetinen Elektoni näkee elektonin liikkuvan keltaisella mekityllä alueella. Yhden elektonin näkemä potentiaali Elektoni näkee vaaustiheyden, joka saadaan elektonin todennäköisyystiheydestä ketomalla se elektonin vaauksella. Kokonaispotentiaali on muiden elektonien ja ytimien aiheuttamien potentiaalien summa: V i Ze R 4S i V Elektoni otentiaalienegia on vastaavasti: Ep ev Summa lasketaan molekyyliin kuuluvien atomien ytimien paikkavektoeiden R i yli.
4 Elektonin osuus potentiaalista Elektonin aiheuttama potentiaali lasketaan sähköstatiikan oissonin yhtälöstä: Elektoni missä V U U e I Elektoni / I Elektoni on elektonin molekyyliobitaali Kun elektonin näkemä muiden elektonien vajostus lasketaan suoaan todennäköisyystiheydestä, puhutaan ateen monielektonimallista. ateen malli ei ota huomioon elektoni-elektoni-vuoovaikutukseen liittyvää, aulin kieltosäännöstä johtuvaa, ei-lokaalia ns. vaihtopotentiaalia. Vaihtopotentiaali johtuu siitä, että kaksi elektonia, joilla on sama spin, eivät voi sijaita aivan toistensa vieessä. Aloita käyttämällä "jäkeviä" alkuavauksia molekyyliobitaaleille I Laske elektonin potentiaalienegia E p Ratkaise elektonin Schödingein yhtälöstä i I a Laske elektonin potentiaalienegia E p Ratkaise elektonin Schödingein yhtälöstä i I b, I a b SCF -algoitmi Elektonien ja Schödingein yhtälöt atkaistaan vuootellen, kunnes muutokset ovat iittävän pieniä. Muuttuivatko obitaalit: i i I I! Kyllä? i i Ei Itseytyneet (self-consistent) obitaalit SCF = Self Consistent Field method
5 Kantafunktiot ja LCAO-menetelmä Linea combination of atomic obitals (LCAO) -menetelmässä molekyyliobitaali (I i ) esitetään kantafunktioiden (F j ) lineaaikombinaationa. Tavallisesti kantafunktiot ovat ns. STO (Slate-type obitals) -funktioita. Ii cijf j cifcif ci3f3 " Yleisesti, mitä useampia kantafunktioita summataan, sitä takempi molekyyliobitaali voidaan saada laskennan lopputuloksena. Vetaa signaalinkäsittelyyn: Mitä enemmän Fouie-kantafunktioita on signaalin sajakehitelmässä, sitä takempi on kuvaus! ahaiden kantafunktioiden valinta on taiteenlaji vaikka menetelmän nimi puhuu atomiobitaaleista, kantafunktiot eivät yleensä ole molekyyliin kuuluvien atomien spin-obitaaleja vaan niitä yksinketaisempia, analyyttisesti tunnettuja, funktioita kuten STO-funktioita niistä lisää jälempänä! Atomi- ja Slate-type -obitaalit (STO:t) Vetymolekyyli-ionin enegian laskemisessa käytettiin LCAOmenetelmän kantafunktioina molekyyliin kuuluviin atomiytimiin sijoitettuja s-obitaaleja (obitaalin keskus ytimen kohdalla). Yleisesti STO:t samoin kuin monielektoniatomien keskeiskenttäobitaalit ovat muotoa: ψ (,θ, φ) R ( ) Y ( T, I) nlm nl lm Vedyn(kaltaisilla) adiaaliosilla, R nl () on monimutkainen noodiakenne, joka iippuu kvantiluvuista n ja l (ketaa vedyn kvanttimekaaninen teoia). R s R s R 3s /a o R p R 3p R 3d /a o ienimpiä kvanttilukuja n ja l vastaavien aaltofunktioiden adiaaliosia
6 Slate-type-obitaalit STO-kantafunktioiden adiaaliosa on yksinketaisempi: n ] / a n ] e e n ] S (,θφ), N e Y ( TI, ) nlm lm aametein ] ( zeta ) avo määää sen, kuinka kauas ytimestä obitaali ulottuu..5 (in SI-units) o (in atomic units), jossa n on pääkvanttiluku.4 n- e -].3... pieni ] keskikokoinen ] suui ] [a ] STO-kantafunktio ja numeeinen ongelma STO-kantafunktiot esittävät hyvin elektonitiheyden etäisyyden funktiona ytimestä. Ratkaistaessa molekyyliobitaalin SCF-Schödingein yhtälöä joudutaan laskemaan elektoni-elektoniepulsiota kuvaavia ns. nelikeskusintegaaleja. Niiden laskemiseksi STO-kantafunktiot on edullista esittää ns. Gaussin funktioiden avulla. Gaussin funktiot (Gaussian type obital, GTO) määitellään: Gxyz (,, ) missä a, b ja c ovat kokonaislukuja ja vaikuttavat obitaalin symmetiaan. Gaussin obitaali on sidottu jonkun molekyyliin kuuluvaan atomin ytimeen. a b c Nx yze D x y z Obitaalin muodon iippuvuus paameteistä:,s symmetia ab c, p symmetia,d symmetia
7 GTO- vs. STO-kantafunktiot ja s-obitaali \ s STO: s GTO: S Ae ] G s s Ae D STO kuvaa pahaiten atomin tai molekyylin elektoniobitaalin. STO-funktioita sisältävät monikeskusintegaalit ovat kuitenkin laskennallisesti työläitä. On helpompaa laskea GTO-funktioita sisältäviä integaaleja. GTO ei kuitenkaan kuvaa yhtä hyvin elektonitiheyttä atomissa tai molekyylissä. uomaa, että GTO-funktiot ovat vain tekninen apuneuvo numeeisen laskentatehon lisäämiseen! LCAO-MO-SCF-menetelmän alkeet /5 Lyhenteet: LCAO = Linea combination of atomic obitals, molekyyliobitaalien lineaaikombinaatio MO = Molecula obital, molekyyliobitaali SCF = Self-consistent field, itsensämuodostava kenttä Vuonna 95 Roothaan kehitti LCAO-laajennuksen ateen ja Fockin alun pein atomeita vaten kehittämään menetelmään. Menetelmä esittää atee-fockin yhtälöt matiisimuodossa, mikä on kätevää suuikokoisille molekyyleille tehtävissä laskuissa. Yksityiskohdat LCAO-MO-SCF-menetelmästä ohitetaan ja esitetään vain menetelmän ajatus.
8 LCAO-MO-SCF-menetelmän alkeet /5. Kukin elektoni sijaitsee molekyyliobitaalilla (I i ). Kullekin MO:lle mahtuu kaksi elektonia, toinen spin ylös -tilaan (D) ja toinen spin alas -tilaan (E).. Kokonaisaaltofunktio < voidaan esittää molekyyliobitaaleista muodostettuna Slatein deteminanttina. Jos molekyylissä on N elektonia, tavitaan vähintään N/ molekyyliobitaalia.. \ ID IE ID I E " IN /E N! Molekyylin elektonien kokonaisaaltofunktio on saman tyyppinen deteminantti kuin monielektoniatomeissa. Eo on siinä, että atomiobitaalit kovautuvat molekyyliobitaaleilla. LCAO-MO-SCF-menetelmän alkeet 3/5 3. Kukin molekyyliobitaali esitetään STO-funktioiden painotettuna summana: I k ck Esim. ensimmäiselle molekyyliobitaalille: I c F c F c F " F - Yhteensä kehitelmässä on n b kantafunktiota (STO:ta). 3 3 uom: Jos kehitelmässä on n b kantafunktiota, niistä voidaan saada enintään n b molekyyliobitaalia (lineaainen iippumattomuus). Ainoastaan N/ enegialtaan alinta molekyyliobitaalia on miehitetty.
9 LCAO-MO-SCF-menetelmän alkeet 4/5 4. Voidaan osoittaa, että yhden elektonin SCF-Schödingein yhtälö tulee molekyyliobitaalille numeo k muotoon h I I () ˆk k k k, jossa esiintyvä opeaattoi h k on elektonin keskimäääisen kentän amiltonin opeaattoi. Elektoni liikkuu keskimäääisessä muiden elektonien ja molekyyliin kuuluvien atomiydinten muodostamassa sähkökentässä. 5. Kun molekyyliobitaalien kehitelmä STO-funktioiden kannassa sijoitetaan yo. yhtälöön, saadaan ns. matiisimuotoinen Schödinegin yhtälö: h I I + Ik k ˆk k k k ( h S ) c k k c F Matiisimuotoinen Schödingein yhtälö Matiisimuotoinen Schödingein yhtälö saadaan, kun sijoitus I c F tehdään yhtälöön () hˆ k k c F c F k k k k Ketomalla vasemmalta F S * F ˆ F F F ³ ³ * * hk ck k c k Mekitsemällä ³ ³ () :lla ja integoidaan puolittain saadaan * * F ( ) F ( ) d 3 ja hk F ( ) hkf ( ) d 3 saadaan ( h S ) c,.. n k k k b ˆ (3) (4)
10 LCAO-MO-SCF-menetelmän alkeet 5/5 6. Ketoimien c k ei-tiviaaleille atkaisuille ketoimien sekulaaisen deteminantin on oltava nolla. ( hk k S ) ck fk ks 7. Kun deteminanttiyhtälöstä on ensin atkaistu ominaisavo k voidaan lineaaiyhtälöstä atkaista vastaavat ketoimet c k. Koska kullekin molekyyliobitaalille k saadaan sille spesifinen oma Schödingein yhtälö otetaan sekulaaiyhtälön atkaisuista vain tähän kyseiseen molekyyliobitaaliin liittyvä ominaisavo ja atkaistaan siihen liittyvä ominaisvektoi (eli painoketoimet c k ). Ylläoleva skemaattinen takastelu on yksinketaistettu yhteenveto LCAO laskennasta sen peusteella on kuitenkin mahdollista muodostaa kohtalaisen oikea yleiskuva todellisesta numeeisesta atkaisumenetelmästä. Esimekki + ioni + -molekyylin kahden obitaalin vuoovaikutukselle voidaan kijoittaa: \ c s c s a a b b - + -molekyylissä kaksi potonia (ydintä) ja vain yksi elektoni. Lineaaiset yhtälöt: aa V s ca ab V ssab cb S c c ab V s ab a bb V s b Sekulaainen deteminantti: ab aa V s V s S ab ab bb V s S V s ab Ratkaistaan sekulaaideteminantti kahdelle enegian avolle ja sen jälkeen enegioita vastaavat ketoimien c avot. Sekulaaisesta deteminantista saadaan matiisin kaakteistinen polynomi ja sen nollakohdista ominaisavot.
11 Matiisien f ja S laskeminen Kuinka molekyyliobitaalit atkaistaan matiisimuotoisesta yhtälöstä? ( hk S ) c h S Yhtälön temit: Matiisien peittointegaalit: S F F amiltonin matiisi: * ³ F ) F h h J K k ( ( )d Elektonin ja ytimien vuoovaikutuksen integaali (hamiltonissa): h Z D F F D, D 3 Z D ³ F F ¹ 3 d D, D k F ja F ovat STOobitaaleja. Temit J F ja K F määitellään myöhemmin. h on yhden elektonin usean keskuksen integaali. Summa käy kaikkien ytimien D yli. Coulombin integaalit Coulombin integaalit kuvaavat kahden elektonin vuoovaikutukseen liittyvää enegiaa. Elektonit ja vuoovaikuttavat Coulombin potentiaalienegian 4S e välityksellä. Vuoovaikutuksessa elektoni siityy STO-obitaalilta F obitaalille F ja elektoni vastaavasti obitaalilta F V obitaalille F O. Vuoovaikutukseen liittyvää enegiaa kuvaa integaali F F ³ F F 3 3 ( ) V( ) ( ) O( )d d joka on tapana kijoittaa lyhyemmin muodossa F () F () F () F () V O Coulombin integaalit kuvaavat elektonien keskinäistä epulsiota. Elektonit sioavat toisistaan vaihtaen enegiaa, siityen samalla uusille obitaaleille.
12 Coulombin integaalien laskeminen /4 Coulombin integaali: J c c F () F () F () F () jo jv V O j V O Vaihtointegaali: K c c F () F () F () F () jo jv V O j V O Nämä integaalit ovat laskennallisesti askaita. Integaalit aiheuttavat kaksi numeeista ongelmaa: I. Koska sekä J että K iippuvat molekyyliobitaalin ketoimista, myös Fockin matiisin elementit F sekulaaideteminantissa iippuvat ketoimista c id. II. Sekä J että K ovat kahden elektonin ja neljän keskuksen integaaleja, joiden laskeminen STO kantafunktioille on vaativaa. Coulombin integaalien laskeminen /4 Ratkaisu ongelmaan I: Käytetään iteatiivista menetelmää (kuten aiemmin atomeille SCF algoitmi).. Avataan obitaalin ketoimet, c.. Muodostetaan Fockin matiisin elementit. 3. Ratkaistaan sekulaaideteminantit enegioille ja sen jälkeen homogeeniset yhtälöt uusilla obitaalin ketoimilla. 4. Iteoidaan kunnes saavutetaan itsensämuodostava kenttä. Tällöin lasketut ketoimet ovat samat kuin ne, joita käytettiin matiisin muodostamiseen.
13 Coulombin integaalien laskeminen 3/4 Ratkaisu ongelmaan II: Käytetään Gaussin funktioita integaalin laskemiseen: s C s b p zcl Cl C s a J c c F () F () F () F () jo jv V O j V O Esim. molekyylille C 3 Cl integaalit ovat muotoa: Fs () F () () () a p F zcl s F C sb - Neljän atomin molekyylissä Coulombin integaali voi sisältää neljään ei ytimeen sidottuja obitaaleja. - Tämä tekee numeeisen integoinnin työlääksi. Coulombin integaalien laskeminen GTO:illa 4/4 STO voidaan esitettää muutaman GTO:n summana. S (, TI, ) ag i i(, TI, ) Tyypillisesti yhden STO:n esittämiseen tavitaan 3 GTO:ta S (, TI, ) ag(, TI, ) ag(, TI, ) ag(, TI, ) 3 3 Suuen paametin ] omaavan STO:n esittämiseen tavitaan useampia GTO-funtioita. Kun SLO:t on esitetty GTO-funktioiden avulla, Coulomb- ja vaihtointegaalit voidaan laskea nopeasti.
14 STO:n esittäminen GTO-funktioiden avulla Ei GTO-funktioiden osuus kehitelmässä \ \ STO appoksimoituna kolmen GTO:n summana STO appoksimoituna yhden GTO:n avulla. Yleisesti, sisemmän kuoen STO:n appoksimointiin tavitaan useampia GTOfunktioita. Sisäkuoten elektonit ovat lähellä ydintä ja niillä on suui paametin ] avo. - ] määää, kuinka kauas ytimestä obitaali ulottuu! ienin STO-kantafunktiojoukko ienin STO-kantafunktiojoukko LCAO-laskua vaten (molekyyli obitaaleja vähintään puolet elektonien kokonaismääästä!) Ensimmäisen jakson atomit (s kuoi,e): F (] ) s s Toisen jakson atomit (Li,Be,B,C,O,N,F,Ne): F (] ) s s C C F s (] ) C sc F (] ), F (] ), F (] ) px p py p pz p C C C C C C Kolmannen jakson atomit (Na,Mg,Al,Si,,S,Cl,A): F s (] ) s F s (] ) s F px (] ), ( ), ( ) p F py ] p F pz ] p F 3s (] 3 ) s F (] ), F (] ), F (] ) 3px 3p 3py 3p 3pz 3p
15 Esimekki: Metyylikloidi, C 3 Cl ienin STO-kantafunktiojoukko metyylikloidille. Kukin STO appoksimoidaan kolmen GTO funktion avulla. : 3x STO C: 5 STO Cl: 9 STO Yht.: 7 STO => 5 GTO Lisää aiheesta:
Tilavuusintegroin3. Tilavuusintegroin3 3/19/13. f(x, y, z)dxdydz. ρ(x,y,z) = x 2 + y 2 + z 2 (kg) Ratkaisu: ρ(x,y,z)dxdydz
/9/ z 2 y 2 x 2 z y x Tilavuusintegoin f(x, y, z)dxdydz z 2 # y 2 # x 2 & & = % % f(x, y, z)dx( dy( dz $ $ ' ' z y x Tyypillises kemian sovelluksissa f(x,y,z) on massaheys, jolloin integaalin avo on massa
LisätiedotTilavuusintegroin3. Tilavuusintegroin3
/5/ z 2 y 2 x 2 z y x Tilavuusintegoin f(x,y,z)dxdydz z 2 # y 2 # x 2 & & = % % f(x,y,z)dx( dy( dz $ $ ' ' z y x Tyypillises kemian sovelluksissa f(x,y,z) on massaheys, jolloin integaalin avo on massa
LisätiedotTietoa sähkökentästä tarvitaan useissa fysikaalisissa tilanteissa, esimerkiksi jos halutaan
3 Sähköstatiikan laskentamenetelmiä Tietoa sähkökentästä tavitaan useissa fysikaalisissa tilanteissa, esimekiksi jos halutaan tietää missäläpilyönti on todennäköisin suujännitelaitteessa tai mikä on kahden
LisätiedotVinkkejä Gaussin lain käyttöön laskettaessa sähkökenttiä
Vinkkejä Gaussin lain käyttöön laskettaessa sähkökenttiä Kun yhdistetään kahdella tavalla esitetty sähkökentän vuo, saadaan Gaussin laki: S d S Q sis Gaussin laki peustuu siihen, että suljetun pinnan läpi
Lisätiedot40 LUKU 3. GAUSSIN LAKI
Luku 3 Gaussin laki 3.1 Coulombin laista Gaussin lakiin Takastellaan pistemäisen vaauksen q aiheuttamaa sähkökenttää, joka noudattaa yhtälöä (1.1). Tämän sähkökentän vuo etäisyydellä olevan pienen pintaelementin
LisätiedotLaskennalinen kemia. Menetelmien hierarkia: Molekyyligeometria Molekyylimekaniikka Molekyylidynamiikka
Laskennalinen kemia Menetelmien hierarkia: Molekyyligeometria Molekyylimekaniikka Molekyylidynamiikka Molekyyligeometria ja elektronirakenteet Empiiriset menetelmät (Hückel, Extended Hückel) Semi-empiiriset
LisätiedotMekaniikan jatkokurssi Fys102
Mekaniikan jatkokussi Fys10 Kevät 010 Jukka Maalampi LUENTO 5 Copyight 008 Peason Education, Inc., publishing as Peason Addison-Wesley. Newtonin painovoimateoia Knight Ch. 13 Satunuksen enkaat koostuvat
LisätiedotPHYS-C0240 Materiaalifysiikka (5op), kevät 2016
PHYS-C0240 Mateiaalifysiikka (5op), kevät 2016 Pof. Matti Puska Lehtoi Emppu Salonen DI Tomi Ketolainen DI Ville Vieimaa Luento 2, tostai 17.3.2016 1 Mitä on mateiaalifysiikka? paljon (~ 10 25 ) hiukkasia
Lisätiedot4-1 Prosessien suunta
43 4 Toinen pääsääntö 4-1 Posessien suunta Itsekseen jätetyn systeemin tilan tiedetään aina muuttuvan spontaanisti siten, että se lähestyy tasapainotilaa. Tällaiset luonnolliset posessit tapahtuvat siis
LisätiedotJ 2 = J 2 x + J 2 y + J 2 z.
FYSA5 Kvanttimekaniikka I, Osa B.. tentti: 4 tehtävää, 4 tuntia. Tarkastellaan pyörimismääräoperaattoria J, jonka komponentit toteuttavat kommutaatiorelaatiot [J x, J y ] = i hj z, [J y, J z ] = i hj x,
LisätiedotS Fysiikka III (EST) Tentti ja välikoeuusinta
S-437 Fysiikka III (EST) Tentti ja välikoeuusinta 65007 Välikoeuusinnassa vastataan vain kolmeen tehtävään Kokeesta saatu pistemäärä kerrotaan tekijällä 5/3 Merkitse paperiin uusitko jommankumman välikokeen,
LisätiedotSähkökentät ja niiden laskeminen I
ähkökentät ja niiden laskeminen I IÄLTÖ: 1.1. Gaussin lain integaalimuoto ähkökentän vuo uljetun pinnan sisään jäävän kokonaisvaauksen laskeminen Vinkkejä Gaussin lain käyttöön laskettaessa sähkökenttiä
LisätiedotKäytetään nykyaikaista kvanttimekaanista atomimallia, Bohrin vetyatomi toimii samoin.
1.2 Elektronin energia Käytetään nykyaikaista kvanttimekaanista atomimallia, Bohrin vetyatomi toimii samoin. -elektronit voivat olla vain tietyillä energioilla (pääkvanttiluku n = 1, 2, 3,...) -mitä kauempana
Lisätiedot1. (a) (2p.) Systeemin infinitesimaalista siirtoa matkan ɛ verran esittää operaattori
FYSA5 Kvanttimekaniikka I, Osa B 7.. tentti: 4 tehtävää, 4 tuntia. a) p.) Systeemin infinitesimaalista siirtoa matkan ɛ verran esittää operaattori T ɛ) = iɛ h P. Osoita tämän avulla, että äärellistä siirtoa
Lisätiedot5-1 Gibbsin entropia. Boltzmannin entropian lausekkeessa S = k ln Ω esiintyvä Ω on systeemin niiden mikrotilojen
57 5 Yhdistetty pääsääntö 5-1 Gibbsin entopia Boltzmannin entopian lausekkeessa S = k ln Ω esiintyvä Ω on systeemin niiden mikotilojen lukumäää, joissa systeemin sisäinen enegia on hyvin pienellä välillä
Lisätiedot1. Tarkastellaan kaksiulotteisessa Hilbert avaruudessa Hamiltonin operaattoria
Kvanttimekaniikka I, tentti 6.. 015 4 tehtävää, 4 tuntia 1. Tarkastellaan kaksiulotteisessa Hilbert avaruudessa Hamiltonin operaattoria ( { ( ( } E iδ H =, E, δ R, kannassa B = 1 =, =. iδ E 0 1 (a (p.
LisätiedotNyt n = 1. Tästä ratkaistaan kuopan leveys L ja saadaan sijoittamalla elektronin massa ja vakiot
S-1146 Fysiikka V (ES) Tentti 165005 1 välikokeen alue 1 a) Rubiinilaserin emittoiman valon aallonpituus on 694, nm Olettaen että fotonin emissioon tällä aallonpituudella liittyy äärettömän potentiaalikuopan
LisätiedotAikariippuva Schrödingerin yhtälö
Aineaaltodynamiikka Aineaaltokenttien riippuvuus ajasta aikariippuva Schrödingerin yhtälö Stationääriset ja ei-stationääriset tilat Aaltopaketit Kvanttimekaniikan postulaatit Aikariippuva Schrödingerin
LisätiedotTilat ja observaabelit
Tilat ja observaabelit Maksimaalinen informaatio systeemistä tietyllä ajanhetkellä sisältyy tilaan ψ (ket). Tila = vektori Hilbertin avaruudessa sisätulo ψ ψ C ψ c 1 ψ 1 + c 2 ψ 2 = c 1 ψ ψ 1 + c 2 ψ ψ
Lisätiedot1 WKB-approksimaatio. Yleisiä ohjeita. S Harjoitus
S-114.1427 Harjoitus 3 29 Yleisiä ohjeita Ratkaise tehtävät MATLABia käyttäen. Kirjoita ratkaisut.m-tiedostoihin. Tee tuloksistasi lyhyt seloste, jossa esität laskemasi arvot sekä piirtämäsi kuvat (sekä
LisätiedotJukka Tulkki 8. Laskuharjoitus (ratkaisut) Palautus torstaihin 3.4 klo 12:00 mennessä. x 2
S 437 Fysiikka III Kevät 8 Jukka Tulkki 8 askuharjoitus (ratkaisut) Palautus torstaihin 34 klo : mennessä Assistentit: Jaakko Timonen Ville Pale Pyry Kivisaari auri Salmia (jaakkotimonen@tkkfi) (villepale@tkkfi)
Lisätiedot[B] = [F ] [q][v] = Vs. m 2
Luku 7 Magneettikenttä 7.1 Loentz-voima Liikkuviin vaauksiin kohdistuu sähkökentän aiheuttaman voiman lisäksi toinenkin voima, joka selitetään magneettikentän avulla. Vasinaisesti magneettikenttä on havaittu
LisätiedotSMG-4200 Sähkömagneettisten järjestelmien lämmönsiirto Ehdotukset harjoituksen 3 ratkaisuiksi
SMG-4 Sähkömagneettisten jäjestelmien lämmönsiito Ehdotukset hajoituksen 3 atkaisuiksi 1. Voidaan kohtuullisella takkuudella olettaa, että pallonmuotoisessa säiliössä lämpötila muuttuu vain pallon säteen
Lisätiedot, m s ) täytetään alimmasta energiatilasta alkaen. Alkuaineet joiden uloimmalla elektronikuorella on samat kvanttiluvut n,
S-114.6, Fysiikka IV (EST),. VK 4.5.005, Ratkaisut 1. Selitä lyhyesti mutta mahdollisimman täsmällisesti: a) Keskimääräisen kentän malli ja itsenäisten elektronien approksimaatio. b) Monen fermionin aaltofunktion
LisätiedotYlioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n
Ylioilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 904 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten iiteiden, sisältöjen ja isteitysten luonnehdinta
LisätiedotLuku 10: Atomien rakenne ja spektrit. Vedyn kaltaiset atomit Atomiorbitaalit Spektrisiirtymät Monielektroniset atomit
Luku 10: Atomien rakenne ja spektrit Vedyn kaltaiset atomit Atomiorbitaalit Spektrisiirtymät Monielektroniset atomit 1 n 1 = 3 n 1 = 4 n 1 = 2 n 1 =1 Vetyatomin spektri koostuu viivoista Viivojen sijainti
LisätiedotMuita sähkökentän laskemismenetelmiä ovat muun muassa potentiaalin gradientti ja kuvalähdeperiaate. Niistä puhutaan myöhemmin.
GAUIN LAKI IÄLTÖ: Gaussin lain integaalimuoto Gaussin lain diffeentiaalimuoto Menetelmän valinta sähkökentän laskemisessa ähkökentän voivat aiheuttaa vaaukset tai muuttuva magneettikenttä. Tässä kappaleessa
Lisätiedot1. Työn tavoitteet. 2. Teoria ELEKTRONIN OMINAISVARAUS
Oulun yliopisto Fysiikan ja kemian laitos Fysikaalisen kemian laboatoiohajoitukset 1 1. Työn tavoitteet Englantilainen fyysikko J. J. Thomson teki vuonna 1897 katodisäteillä kokeita, joiden peusteella
Lisätiedot(1) (2) Normalisointiehdoksi saadaan nytkin yhtälö (2). Ratkaisemalla (2)+(3) saamme
S-446 Fysiikka IV (Sf) Tentti 3934 Oletetaan, että φ ja φ ovat ajasta riippumattoman Scrödingerin yhtälön samaan ominaisarvoon E liittyviä ominaisfunktioita Nämä funktiot ovat normitettuja, mutta eivät
Lisätiedot9 Klassinen ideaalikaasu
111 9 Klassinen ideaalikaasu 9-1 Klassisen ideaalikaasun patitiofunktio Ideaalikaasu on eaalikaasun idealisaatio, jossa molekyylien väliset keskimäääiset etäisyydet oletetaan hyvin suuiksi molekyylien
LisätiedotKvanttimekaniikka I tentti : 4 tehtävää, 4 tuntia
Kvanttimekaniikka I.. 4 tentti : 4 tehtävää, 4 tuntia. (a (p. Olkoon H systeemin Hamiltonin operaattori, ja A jotakin observaabelia kuvaava operaattori. Johda Ehrenfestin teoreema d A dt = ī [A, H] + A
LisätiedotKvanttimekaaninen atomimalli. "Voi hyvin sanoa, että kukaan ei ymmärrä kvanttimekaniikkaa. -Richard Feynman
Kvanttimekaaninen atomimalli "Voi hyvin sanoa, että kukaan ei ymmärrä kvanttimekaniikkaa. -Richard Feynman Tunnin sisältö 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. Kvanttimekaaninen atomimalli Orbitaalit Kvanttiluvut Täyttymisjärjestys
LisätiedotDEE Sähkötekniikan perusteet Tasasähköpiirien lisätehtäviä
DEE-0 Sähkötekniikan peusteet Tasasähköpiiien lisätehtäviä Laske oheisen piiin vita E = V, R = 05, R =, R 3 = 05, R 4 = 05, R 5 = 05 Ykköstehtävän atkaisuehdotus: Kun kytkentä on oheisen kuvan mukainen,
LisätiedotVedynkaltaiset radiaaliaaltofunktiot Roothaan Hall- ja CI-menetelmissä
Vedynkaltaiset radiaaliaaltofunktiot Roothaan Hall- ja CI-menetelmissä Pro Gradu -tutkielma Henrik Kurkela henrik.kurkela@gmail.com Oulun Yliopisto Luonnontieteellinen tiedekunta Fysiikan koulutusohjelma
Lisätiedot5.10. HIUKKANEN POTENTIAALIKUOPASSA
5.10. HIUKKANEN POTENTIAALIKUOPASSA eli miten reunaehdot ja normitus vaikuttavat aaltofunktioihin Yleensä Schrödingerin yhtälön ratkaiseminen matemaattisesti on hyvin työlästä ja edellyttää vahvaa matemaattista
LisätiedotVarauksensiirto-siirtymä
Vaauksensiito-siitymä LMCT vaauksen siito ligandilta metallille MLCT vaauksen siito metallilta ligandille Väähtelyspektoskopia Klassisen mekaniikan mukainen malli kaksiatomiselle molekyylille: Hooken laki:
LisätiedotTapa II: Piirretään voiman F vaikutussuora ja lasketaan momentti sen avulla. Kuva 3. d r. voiman F vaikutussuora
VOIMAN MOMENTTI Takastellaan jäykkää kappaletta, joka pääsee kietymään akselin O ympäi. VOIMAN MOMENTTI on voiman kietovaikutusta kuvaava suue. Voiman momentti määitellään voiman F ja voiman vaen tulona:
LisätiedotMatemaattiset apuneuvot II, harjoitus 6
Matemaattiset apuneuvot II, hajoitus 6 K. Tuominen 0. joulukuuta 207 Palauta atkaisusi Moodlessa.pdf tiedostona maanantaina.2. kello 0:5 mennessä. Mekitse vastauspapeiin laskuhajoitusyhmäsi assain nimi.
LisätiedotHMM ja geenien etsintä
Kuten makovin mallien yhteydessä, niin HMM halutulla topologialla voidaan opettaa tunnistamaan geenejä. Ohessa eäs geenitunnistukseen käytetty topologia, joka tunnistaa ihmisen geenit (5 -> 3 ). Edellä
LisätiedotLuku 4. Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia.
1 MAT-1343 Laaja matematiikka 3 TTY 1 Risto Silvennoinen Luku 4 Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia Derivaatan olemassaolosta seuraa funktioille eräitä säännöllisyyksiä Näistä on jo edellisessä luvussa
LisätiedotSähköstaattisen potentiaalin laskeminen
Sähköstaattisen potentiaalin laskeminen Potentiaalienegia on tuttu mekaniikan kussilta eikä se ole vieas akielämässäkään. Sen sijaan potentiaalin käsite koetaan usein vaikeaksi. On hyvä muistaa, että staattisissa
Lisätiedot13 Atomien sidokset. H 2 molekyylistä.
13 Atomien sidokset Tähän asti kurssilla on ainoastaan keskusteltu atomien elektronitiloista ja niiden ominaisuuksista. Kun atomit muodostavat yhdisteitä muuttuvat prosessissa elektronien ominaistilat.
Lisätiedotρ = qψ ψ ja pallokoordinaatiston differentiaalielementti * 2 3 * l lm 1 ml
S-6 FSIIKKA IV (Sf) Kevät 5 LHSf Ratkaisut LHSf- Vaausjakauman ρ( ) dipoimomentti määiteään ( ) zρdv ja quadupoimomentti z ρdv (a) Osoita että dipoimomenttiopeaattoin odotusavo on noa kaikie vedyn stationääisie
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslasku A. Diskreetit jakaumat Jatkuvat jakaumat. Avainsanat:
Mat-2.090 Sovellettu todeäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avaisaat: Diskeetit jakaumat Jatkuvat jakaumat Biomijakauma, Ekspoettijakauma, Jatkuva tasaie jakauma, Ketymäfuktio, Mediaai, Negatiivie biomijakauma,
LisätiedotCh7 Kvanttimekaniikan alkeita. Tässä luvussa esitellään NMR:n kannalta keskeiset kvanttimekaniikan tulokset.
Ch7 Kvanttimekaniikan alkeita Tässä luvussa esitellään NMR:n kannalta keskeiset kvanttimekaniikan tulokset. Spinnittömät hiukkaset Hiukkasta kuvaa aineaaltokenttä eli aaltofunktio. Aaltofunktio riippuu
LisätiedotAineaaltodynamiikkaa
Aineaaltodynamiikkaa Aineaaltokenttien riippuvuus ajasta aikariippuva Schrödingerin yhtälö Stationääriset ja ei-stationääriset tilat Aaltopaketit Kvanttimekaniikan postulaatit = kuinka hiukkasen fysikaaliset
LisätiedotDemo: Kahden elektronin spintilojen muodostaminen
Demo: Kahden elektronin spintilojen muodostaminen Tämän demonstraation tarkoituksena on havainnollistaa kvanttimekaniikan operaattoriformalismin soveltamista kahden elektronin systeemin spintilojen muodostamiseen.
LisätiedotMonen elektronin atomit
Monen elektronin atomit Helium atomi Keskimääräisen kentän approksimaatio Aaltofunktion symmetria hiukkasvaihdossa Paulin kieltosääntö Alkuaineiden jaksollinen järjestelmä Heliumin emissiospektri Vety
LisätiedotYksinkertainen korkolasku
Sivu 1/7 Rahan lainaus voidaan innastaa tavaan vuokaukseen, jolloin lainatusta ahasta maksetaan kokoa sitä enemmän, mitä suuemmasta ahamääästä on kysymys ja mitä pidempään aha on lainattuna. äyttöön saatua
Lisätiedot766334A Ydin- ja hiukkasfysiikka
1 76633A Ydin- ja hiukkasfysiikka Luentomonistetta täydentävää materiaalia: 3 5-3 Kuorimalli Juhani Lounila Oulun yliopisto, Fysiikan laitos, 011 Kuva 7-13 esittää, miten parillis-parillisten ydinten ensimmäisen
LisätiedotFYSA2031 Potentiaalikuoppa
FYSA2031 Potentiaalikuoppa Työselostus Laura Laulumaa JYFL YK216 laura.e.laulumaa@student.jyu.fi 16.10-2.11. 2017 Ohjaus Työn ja ohjelman esittely ( 30 min) Harjoitellaan ohjelman käyttöä Harmoninen potentiaali
LisätiedotKäänteismatriisin ominaisuuksia
Käänteismatriisin ominaisuuksia Lause 1.4. Jos A ja B ovat säännöllisiä ja luku λ 0, niin 1) (A 1 ) 1 = A 2) (λa) 1 = 1 λ A 1 3) (AB) 1 = B 1 A 1 4) (A T ) 1 = (A 1 ) T. Tod.... Ortogonaaliset matriisit
LisätiedotKvanttifysiikan perusteet, harjoitus 5
Kvanttifysiikan perusteet, harjoitus 5 February 4, 07 Tehtävä Oletetaan energian ominaisfunktiot φ n ortonormitetuiksi, dxφ nφ m = δ nm, jossa δ nm on Kroneckerin delta. Määritetään ensin superpositiotilan
LisätiedotKvanttifysiikan perusteet 2017
Kvanttifysiikan perusteet 207 Harjoitus 2: ratkaisut Tehtävä Osoita hyödyntäen Maxwellin yhtälöitä, että tyhjiössä magneettikenttä ja sähkökenttä toteuttavat aaltoyhtälön, missä aallon nopeus on v = c.
Lisätiedot8. MONIELEKTRONISET ATOMIT
8. MONIELEKTRONISET ATOMIT 8.1. ELEKTRONIN SPIN Epärelativistinen kvanttimekaniikka selittää vetyatomin rakenteen melko tarkasti, mutta edelleen kokeellisissa atomien energioiden mittauksissa oli selittämättömiä
LisätiedotKvanttifysiikan perusteet 2017
Kvanttifysiikan perusteet 7 Harjoitus 3: ratkaisut Tehtävä Tarkastellaan äärettömän syvässä laatikossa (väli [, L) olevaa hiukkasta. Kirjoita energiatiloja E n vastaavat aaltofunktiot muodossa ψ n (x,
LisätiedotHYDRODYNAMIIKKA 763654S. Erkki Thuneberg
HYDRODYNAMIIKKA 763654S Ekki Thunebeg Fysiikan laitos Oulun yliopisto 2011 Jäjestelyjä Kussin vekkosivu on https://wiki.oulu.fi/display/763654s/etusivu Vekkosivulta löytyy luentomateiaali (tämä moniste),
LisätiedotLuku 9: Kvanttimekaniikan soveltaminen eri liiketyyppeihin:
Luku 9: Kvanttimekaniikan soveltaminen eri liiketyyppeihin: Translaatioliike (hiukkanen laatikossa) Rotaatio eli pyörimisliike Vibraatio eli värähdysliike 1 Vapaan hiukkasen (V =0) Schrödingerin yhtälön
LisätiedotLuku 11: Molekyylien rakenne. Valenssisidosteoria Kaksiatomiset ja moniatomiset molekyylit Molekyyliorbitaaliteoria H
Luku 11: Molekyylien rakenne Valenssisidosteoria Kaksiatomiset ja moniatomiset molekyylit Molekyyliorbitaaliteoria H + 2 ja muut kaksiatomiset molekyylit Hückel approksimaatio 1 Elektronien liike on hyvin
LisätiedotYlioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n
Ylioilastutkintolautakunta S t u d e n t e a m e n s n ä m n d e n MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 904 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten iiteiden sisältöjen isteitysten luonnehdinta ei
LisätiedotKanta ja Kannan-vaihto
ja Kannan-vaihto 1 Olkoon L vektoriavaruus. Äärellinen joukko L:n vektoreita V = { v 1, v 2,..., v n } on kanta, jos (1) Jokainen L:n vektori voidaan lausua v-vektoreiden lineaarikombinaationa. (Ts. Span(V
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 5. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 5 () Numeeriset menetelmät / 28
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 5 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 5 () Numeeriset menetelmät 3.4.2013 1 / 28 Luennon 5 sisältö Luku 4: Ominaisarvotehtävistä Potenssiinkorotusmenetelmä QR-menetelmä
LisätiedotTeema 4. Homomorfismeista Ihanne ja tekijärengas. Teema 4 1 / 32
1 / 32 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.2 Esimerkki 4B.1 Esimerkki 4B.2 Esimerkki 4B.3 Esimerkki 4C.1 Esimerkki 4C.2 Esimerkki 4C.3 2 / 32 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.2 Esimerkki 4B.1 Esimerkki
Lisätiedot2m 2 r + V (r) ψ n (r) = ɛ n ψ n (r)
Kvanttimekaniikka I. 5. 4 tentti : 4 tehtävää, 4 tuntia. (a (p. Tarkastellaan keskeisliikettä potentiaalissa V (r = V (r, missä r = r on keskeisliikkeeseen liittyvä suhteellinen etäisyys. Separoi Schrödingerin
Lisätiedot5.1 Johdanto 185. 5.2 Helium-atomi 186. 5.3 Keskeiskenttämalli 201. 5.4 Paulin kieltosääntö 206. 5.5 Atomien elektronirakenne 208
MONIELEKTRONIATOMIT 5. Johdanto 85 5. Helium-atomi 86 5.3 Keskeiskenttämalli 0 5.4 Paulin kieltosääntö 06 5.5 Atomien elektronirakenne 08 5.6 L--kytkentä monen elektronin atomeissa 3 5.7 Röntgenspektrien
LisätiedotLujuusopin jatkokurssi IV.1 IV. KUORIEN KALVOTEORIAA
Lujuusoin jatkokussi IV. IV. KUORIE KALVOTEORIAA Kuoien kalvoteoiaa Lujuusoin jatkokussi IV. JOHDATO Kuoiakenteen keskiinta on jo ennen muoonmuutoksia kaaeva inta. Kaaevasta muoosta seuaa että keskiinnan
LisätiedotMATEMATIIKKA. Matematiikkaa pintakäsittelijöille. Ongelmanratkaisu. Isto Jokinen 2017
MATEMATIIKKA Matematiikkaa pintakäsittelijöille Ongelmanratkaisu Isto Jokinen 2017 SISÄLTÖ 1. Matemaattisten ongelmien ratkaisu laskukaavoilla 2. Tekijäyhtälöt 3. Laskukaavojen yhdistäminen 4. Yhtälöiden
LisätiedotSähköpotentiaali. Haarto & Karhunen.
Sähköpotentiaali Haato & Kahunen www.tukuamk.fi Johantoa Kun vaaus q on sähkökentässä siihen vaikuttaa voima Saman suuuinen voima tavitaan siitämään vaausta matkan sähkökentän aiheuttamaa voimaa vastaan
Lisätiedotax + y + 2z = 0 2x + y + az = b 2. Kuvassa alla on esitetty nesteen virtaus eräässä putkistossa.
BM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 7, Syksy 206 Tutkitaan yhtälöryhmää x + y + z 0 2x + y + az b ax + y + 2z 0 (a) Jos a 0 ja b 0 niin mikä on yhtälöryhmän ratkaisu? Tulkitse ratkaisu
LisätiedotYhtälöryhmät 1/6 Sisältö ESITIEDOT: yhtälöt
Yhtälöryhmät 1/6 Sisältö Yhtälöryhmä Yhtälöryhmässä on useita yhtälöitä ja yleensä myös useita tuntemattomia. Tavoitteena on löytää tuntemattomille sellaiset arvot, että kaikki yhtälöt toteutuvat samanaikaisesti.
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 8. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 8 () Numeeriset menetelmät / 35
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 8 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 8 () Numeeriset menetelmät 11.4.2013 1 / 35 Luennon 8 sisältö Interpolointi ja approksimointi Funktion approksimointi Tasainen
LisätiedotReaalilukuvälit, leikkaus ja unioni (1/2)
Luvut Luonnolliset luvut N = {0, 1, 2, 3,... } Kokonaisluvut Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... } Rationaaliluvut (jaksolliset desimaaliluvut) Q = {m/n m, n Z, n 0} Irrationaaliluvut eli jaksottomat desimaaliluvut
LisätiedotKryogeniikka ja lämmönsiirto. DEE-54030 Kryogeniikka Risto Mikkonen
DEE-54030 Kyogeniikka Kyogeniikka ja lämmönsiito 1 DEE-54030 Kyogeniikka Risto Mikkonen 5.5.015 Lämmönsiion mekanismit '' q x ( ) x q '' h( s ) q '' 4 4 ( s su ) DEE-54030 Kyogeniikka Risto Mikkonen 5.5.015
LisätiedotLuku 9: Atomien rakenne ja spektrit. https://www.youtube.com/watch? v=bmivwz-7gmu https://www.youtube.com/watch? v=dvrzdcnsiyw
Luku 9: Atomien rakenne ja spektrit Vedyn kaltaiset atomit Atomiorbitaalit Spektrisiirtymät Monielektroniset atomit https://www.youtube.com/watch? v=bmivwz-7gmu https://www.youtube.com/watch? v=dvrzdcnsiyw
LisätiedotH7 Malliratkaisut - Tehtävä 1
H7 Malliratkaisut - Tehtävä Eelis Mielonen 7. lokakuuta 07 a) Palautellaan muistiin Maclaurin sarjan määritelmä (Taylorin sarja origon ympäristössä): f n (0) f(x) = (x) n Nyt jos f(x) = ln( + x) saadaan
Lisätiedot11. MOLEKYYLIT. Kvanttimekaniikka on käyttökelpoinen molekyyleille, jos se pystyy selittämään atomien välisten sidosten syntymisen.
11. MOLEKYYLIT Vain harvat alkuaineet esiintyvät luonnossa atomeina (jalokaasut). Useimmiten alkuaineet esiintyvät yhdisteinä: pieninä tai isoina molekyyleinä, klustereina, nesteinä, kiinteänä aineena.
Lisätiedot1 Aaltofunktio, todennäköisyystulkinta ja normitus
KEMA5 syksy 16 Kertausta keskeisistä asioista 1 Aaltofunktio, todennäköisyystulkinta ja normitus Kvanttimekaniikassa tarkasteltavaa systeemiä kuvaa aaltofunktio ψ. Aaltofunktio on puhtaan matemaattinen
LisätiedotFysp240/1 Ising-malli (lyhyt raportti)
Tiia Monto Työ tehty: 19.1. tiia.monto@jyu. 7515 Fysp/1 Ising-malli (lyhyt apotti) Assistentti: Avostellaan (joko hyväksytty tai hylätty) Työ jätetty: Abstact I simulated paamagnet, feomagnet and antifeomagnet
LisätiedotHarjoitus 5 / viikko 7
DEE-000 Piiianalyysi Hajoitus 5 / viikko 7 5. Laske solmupistemenetelmällä oheisen kuvan esittämän piiin jännite ja vita i. 0k ma k k k i ma Solmupistemenetelmää käytettäessä takasteltavan kytkennän jännitelähteet
LisätiedotFYSA242 Statistinen fysiikka, Harjoitustentti
FYSA242 Statistinen fysiikka, Harjoitustentti Tehtävä 1 Selitä lyhyesti: a Mikä on Einsteinin ja Debyen kidevärähtelymallien olennainen ero? b Mikä ero vuorovaikutuksessa ympäristön kanssa on kanonisella
LisätiedotTilastotieteen jatkokurssi Sosiaalitieteiden laitos Harjoitus 9 (viikko 16) Ratkaisuehdotuksia (Laura Tuohilampi)
Tilastotieteen jatkokussi Sosiaalitieteiden laitos Hajoitus 9 (viikko 16) Ratkaisuehdotuksia (Laua Tuohilampi) 1. Alla mainituissa testitilanteissa saatiin otoskeskiavoon peustuvan testisuueen avoksi z
Lisätiedotψ(x) = A cos(kx) + B sin(kx). (2) k = nπ a. (3) E = n 2 π2 2 2ma 2 n2 E 0. (4)
76A KIINTEÄN AINEEN FYSIIKKA Ratkaisut 4 Kevät 214 1. Tehtävä: Yksinkertainen malli kovalenttiselle sidokselle: a) Äärimmäisen yksinkertaistettuna mallina elektronille atomissa voidaan pitää syvää potentiaalikuoppaa
LisätiedotÖljysäiliö maan alla
Kaigasniemen koulu Öljysäiliö maan alla Yläkoulun ketaava ja syventävä matematiikan tehtävä Vesa Maanselkä 009 Ostat talon jossa on öljylämmitys. Takapihalle on kaivettu maahan sylintein muotoinen öljysäiliö
LisätiedotNumeeriset menetelmät
Numeeriset menetelmät Luento 3 Ti 13.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 3 Ti 13.9.2011 p. 1/37 p. 1/37 Epälineaariset yhtälöt Newtonin menetelmä: x n+1 = x n f(x n) f (x n ) Sekanttimenetelmä:
LisätiedotMagneettikenttä. Liikkuva sähkövaraus saa aikaan ympärilleen sähkökentän lisäksi myös magneettikentän
3. MAGNEETTIKENTTÄ Magneettikenttä Liikkuva sähkövaraus saa aikaan ympärilleen sähkökentän lisäksi myös magneettikentän Havaittuja magneettisia perusilmiöitä: Riippumatta magneetin muodosta, sillä on aina
LisätiedotPaulin spinorit ja spinorioperaattorit
Paulin spinorit ja spinorioperaattorit Spinoreita on useita erilaisia. Esimerkiksi Paulin, Dirackin ja Weyelin spinorit. Yhteisenä piirteenä eri spinoreilla on se, että kukin liittyy tavallisesti johonkin
LisätiedotHYDRODYNAMIIKKA S. Erkki Thuneberg
HYDRODYNAMIIKKA 763654S Ekki Thunebeg Fysiikan laitos Oulun yliopisto 2011 Jäjestelyjä Kussin vekkosivu on https://www.oulu.fi/tf/hd/index.html Vekkosivulta löytyy luentomateiaali (tämä moniste), hajoitustehtävät
LisätiedotFYSA234 Potentiaalikuoppa, selkkarityö
FYSA234 Potentiaalikuoppa, selkkarityö Jari Partanen, Jani Komppula JYFL FL246, S118 japapepa@jyu.fi, jani.komppula@jyu.fi 13. lokakuuta 2014 Ohjaus Työn ja ohjelman esittely (15-30 min) Harjoitellaan
LisätiedotFYSA234 Potentiaalikuoppa, selkkarityö
FYSA234 Potentiaalikuoppa, selkkarityö Jari Partanen, Jani Komppula JYFL FL246, S118 japapepa@jyu.fi, jani.komppula@jyu.fi 16. lokakuuta 2013 Ohjaus Työn ja ohjelman esittely (15-30 min) Harjoitellaan
LisätiedotLuento 2: Liikkeen kuvausta
Luento 2: Liikkeen kuvausta Suoraviivainen liike integrointi Kinematiikkaa yhdessä dimensiossa Luennon sisältö Suoraviivainen liike integrointi Kinematiikkaa yhdessä dimensiossa Liikkeen ratkaisu kiihtyvyydestä
Lisätiedot9. Elektronirakenteen laskeminen
9. Elektronirakenteen laskeminen MNQT, sl 2015 165 MNQT, sl 2015 166 Tarkastellaan vielä eri menetelmiä seuraavan jaottelun mukaisesti. Elektronirakenteen laskeminen tarkoittaa tavallisesti tarkasteltavan
Lisätiedot1240eV nm. 410nm. Kun kappaleet saatetaan kontaktiin jännite-ero on yhtä suuri kuin työfunktioiden erotus ΔV =
S-47 ysiikka III (ST) Tentti 88 Maksimiaallonpituus joka irroittaa elektroneja metallista on 4 nm ja vastaava aallonpituus metallille on 8 nm Mikä on näiden metallien välinen jännite-ero? Metallin työfunktio
LisätiedotAlikuoret eli orbitaalit
Alkuaineiden jaksollinen järjestelmä Alkuaineen kemialliset ominaisuudet määräytyvät sen ulkokuoren elektronirakenteesta. Seuraus: Samanlaisen ulkokuorirakenteen omaavat alkuaineen ovat kemiallisesti sukulaisia
LisätiedotVapaan hiukkasen Schrödingerin yhtälö (yksiulotteinen)
Vapaan hiukkasen Schrödingerin yhtälö (yksiulotteinen Vapaaseen hiukkaseen ei vaikuta voimia, joten U(x = 0. Vapaan hiukkasen energia on sen liike-energia eli E=p /m. Koska hiukkasella on määrätty energia,
LisätiedotKorkeammat derivaatat
Korkeammat derivaatat Jo kerran derivoitu funk1o voidaan derivoida uudelleen. d df(x) dx dx = d2 f(x) dx 2 = f''(x) = f 2 (x) Yleisemmin merkitään: d n f(x) dx n = f n (x) Esimerkki: 2 atominen molekyyli
LisätiedotTaivaanmekaniikkaa Kahden kappaleen liikeyhtälö
Taivaanmekaniikkaa kaavojen johto, yksityiskohdat yms. ks. Kattunen, Johdatus taivaanmekaniikkaan tai Kattunen, Donne, Köge, Oja, Poutanen: Tähtitieteen peusteet tai joku muu tähtitieteen/taivaanmekaniikan
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 24.2.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Voiman momentin käsite (Kirjan luvut 4.1-4.6) Mikä on voiman momentti? Määritetään momentti skalaari- ja vektorimuodossa Opitaan
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 10 1 Funktion monotonisuus Derivoituva funktio f on aidosti kasvava, jos sen derivaatta on positiivinen eli jos f (x) > 0. Funktio on aidosti vähenevä jos sen derivaatta
LisätiedotAluevarausmerkinnät: T/kem Maakuntakaava
kk mk mv se jl ma ge pv nat luo un kp me va sv rr rr A AA C P TP T TT T/kem V R RA RM L LM LL LS E ET EN EJ EO EK EP S SL SM SR M MT MU MY W c ca km at p t t/ kem mo vt/kt/st vt/kt st yt tv /k /v ab/12
Lisätiedot9. Elektronirakenteen laskeminen
9. Elektronirakenteen laskeminen MNQT, sl 2013 159 MNQT, sl 2013 160 Tarkastellaan vielä eri menetelmiä seuraavan jaottelun mukaisesti. Elektronirakenteen laskeminen tarkoittaa tavallisesti tarkasteltavan
Lisätiedot