Moderni portfolioteoria

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Moderni portfolioteoria"

Transkriptio

1 Modern portfoloteora Helsngn Ylopsto Kansantalousteteen Kanddaatntutkelma Juho Kostanen ( )

2 2 1. Johdanto Sjotusmarkknat Osakemarkknat Lanamarkknat Muut sjotusnstrumentt Modernn portfoloteoran rakennuspalkat Arvopapern tuotto Portfolon tuotto Osakkeden tuoton odotusarvo Osakkeen tuottojen varanss rskn mttana Kovaranss Vaadttavat oletukset Markowtzn porfoloteora Osakkeden yhtesvahtelu Tehokas rntama Tehokkaan portfolon muodostamnen Sjottajan hyötyfunkto Tehokas salkku esmerkkanestosta Parametren estmont Portfolon optmont Tulokset Sjotussalkku ja rsktön korko Rsktön lanaamnen ja tallettamnen portfolossa Varallsuuden allokont Rskn ja tuoton muutosten vakutus varallsuuden allokontn CAP-mall Markknaportfolo Pääomamarkknasuora Osakemarkknasuora Karakterstnen suora Johtopäätökset Lähteet Ltteet... 28

3 3 1.Johdanto Modernn portfoloteoran lähtökohta on sjotussalkun tehokas hajauttamnen rskn penentämseks. Sjottajan tavotteena on saada mahdollsmman hyvää tuottoa sjotukslleen penmmällä mahdollsella rskllä. Arvopapermarkknolla on suur määrä osakketa ja muta sjotusnstrumenttejä, josta sjottaja vo valta tselleen parhaten sopvat. Modern portfoloteora antaa sjottajalle matemaattsen ja tlastollsen pohjan valta hänen preferensselleen sopvan optmaalsen sjotusportfolon. Modernn portfoloteoran perustan esttel nobelst Harry Markowtz artkkelssaan Portfolo Selecton (Journal of Fnance 1952). Markowtz havats, että er osakkeden tuottojen korrelaatot vahtelevat systemaattsest, jollon sjotussalkun kannalta paras hajautushyöty saadaan valtsemalla osakketa joden tuotot korrelovat mahdollsmman vähän. Tällön tosen osakkeen mahdollnen kursslasku kompensotuu muden osakkeden kurssnousulla, jollon koko sjotussalkun rsk penenee, mutta tuotto pysyy ennallaan. Kun osakkeden tuottoa mtataan tuoton odotusarvolla, ja rskä tuoton keskhajonnalla, pystymme matemaattsn menetelmn valtsemaan ne osakkeet sjotussalkkuun, jotka antavat sjottajalle parhamman mahdollsen hajautushyödyn. Amerkkalanen talousteteljä James Tobn jatko Markowtzn malln kehttämstä edelleen, artkkelssaan Lqudty preference as behavor towards rsk, (The Revew of Economc Studes 1958). Tobn ott sjotussalkun yhdeks nstrumentks rskttömän koron, jonka tehtävänä on säädellä salkun rsktasoa. Tobnn hahmottelema varallsuuden allokontteora kertoo, mssä suhteessa sjottajan tuls valta salkkuunsa rskllsä arvopapereta ja tosaalta rskttömä korkosjotuksa. Wllam Sharpe esttel vuonna 1964 Captal asset prcng malln, joka yksnkertastaa Markowtzn ja Tobnn teorota. Sharpen mallssa yksttästen osakkeden tuottojen vahtelua e vertalla keskenään vaan ntä verrataan markknaportfolon tuottoon. Osakkeen rskä mtataan osakkeen Beta-kertomella, joka kertoo osakkeen rsktasosta suhteessa markknaportfolon rskn. Tutkelmassan pyrn ntomaan yhdeks kokonasuudeks kakk kolme modernn portfoloteoraan lttyvää teoraa, auttaen nän lukjaa ymmärtämään modernn

4 4 portfoloteoran koko krjon. Hyvn matemaattsen teoran havannollstamseks pyrn myös laskemaan yksnkertasa esmerkkejä mallen melekkyyden testaamseks. 2.Sjotusmarkknat Sjotusmarkknat ovat Suomessa tunnetust olleet hyvn pankktalletuskeskeset. Tämä juontaa juurensa sjotusten säätelystä ennen 1990-luvun tatetta, jollon sjotustomnta vapautu ja ulkomaset raha- ja sjotusmarkknat avautuvat luvun alusta lähten arvoper-nstrumentten osuus suomalasten rahotusvarallsuudesta on kasvanut (Martkanen 2006, ). Rahotusnstrumentten krjo on myös kasvanut humast kahden vuoskymmenen akana. Etenkn monen tavallsen säästäjän valkomaan ovat tulleet mukaan sjotusrahastot, jotka ovat pensjottajalle hyvä välne saada akaan hajautushyötyä penelläkn alkupääomalla. Sjotusportfolo ptää ssällään kakk sjottajan omstamat arvopapert ja pankktalletukset, stä kutsutaan arkkelessä nmellä sjotussalkku. Lähtökohtasest sjottajat ovat knnostuneet kunka hedän sjotuksensa tuottavat kokonasuutena, jollon sjotusportfolon tuoton optmonta vodaan ptää melekkäänä lähtökohtana sjotusnstrumentteja valttaessa Osakemarkknat Pörssosakkeet ovat yks perntesstä rskllsstä sjotusmuodosta. Osakkeden tuotot muodostuvat osakkeelle maksetusta osngosta sekä osakkeen arvon noususta. Osakkeden hnnanmuodostus tapahtuu markknolla kysynnän ja tarjonnan mukaan. Osakkeden hnnat perustuvat yrtyksen substanssarvon lsäks ptkält yrtyksen tulevasuuden odotuksn, jonka taka osakkeden tuottojen ennustamnen etukäteen on lähes mahdotonta. Mtä epävarmemmat ovat tulevasuuden tuotot, stä suurempaa tuottoa yl rskttömän koron sjottajat osakkelta vaatvat. Osakemarkknat ovat hyvn lkvdt, joka tarkottaa stä, että osakkeden muuttamnen rahaks onnstuu vavattomast. Suomen osakemarkknat ovat tutkmusten mukaan keskvahvalla muodolla tehokkata. Tällön osakkeden kursst ssältävät jo akasemman kursshstoran, ekä tätä voda käyttää hyväks tulevan kursskehtyksen ennustamseen. Seuraamalla uutta markkna- ja yrtyskohtasta nformaatota e ole mahdollsta saada yltuottoja, koska nformaato välttyy hntohn nopeast.

5 5 Osakkeden erkosprteenä on lyhyeksmyynt, el osakkeden lanaamnen. Tämä tarkottaa osakkeden myyntä ennen kun ne on hankttu, jollon deana on hyötyä mahdollsesta kursslaskusta. Lyhyeksmyynnn suorttaja myy osakkeet eteenpän aamulla, mutta lunastaa jo eteenpän myymänsä osakkeet vasta llalla. Tomeksantaja tekee ss kaupalla vottoa, jos osakekursst ovat aamulla korkeammalla kun llalla. Lyhyeksmyynnssä osakkeden pano sjotussalkussa on negatvnen Lanamarkknat Lanamarkknat vodaan jakaa kahteen osaan: rahamarkknohn, jotka ptävät ssällään alle vuoden mttaset talletukset ja lanat, sekä joukkovelkakrjamarkknohn, jotka puolestaan ovat yl vuoden mttasa sjotusvaateta. Euroakana rahamarkknakoron määrää Euroopan keskuspankn ohjauskorko. Ohjauskorko määrttää rskttömän koron, jolla on keskenen rool sekä sjotusportfolon muodostamsessa, että osakkeden hnnottelussa. Rsktön korko kertoo mllä hnnalla rahaa saadaan lanaks, ta mllä hnnalla stä vodaan tallettaa lman rskä. Korkojen noustessa osakkeden suhteellnen klpalukyky hekkenee, koska osakkesta saatava tuotto yl rskttömän koron penenee. Joukkovelkakrjat ovat julksenvallan ta yrtyksen lkkeelle laskema lanatodstuksa, jolle maksetaan knteä korko. Mkäl joukkovelkakrjan ptää tsellään koko juoksuajan, e etenkään valton lkkeelle laskemssa lanossa ole rskä menettää rahojaan. Joukkovelkakrjohn lttyy kutenkn jotakn rskejä, kuten nflaatorsk, lkvdteettrsk, korkorsk ja konkurssrsk (yrtyslanossa). Joukkovelkakrjat ovat yks hyvä nstrumentt arvopapersalkun hajauttamsessa, koska ne tarjoavat varmaa tuottoa suhdantesta rppumatta Muut sjotusnstrumentt Asuntomarkknat ovat suomalasten suurn yksttänen sjotuskohde, ekä stä tule jättää huomotta rakennettaessa henklökohtasta sjotussalkkua. Asuntosjotusten analysonnssa käytetään myös hyväks portfoloteoraa, joka tosn sop vahtelevas-

6 6 t mona ertysprtetä omaavlle asuntomarkknolle. Asuntomarkknolle onkn sovellettu Johdannasmarkknat ovat yks nopeten kasvava sjotusmuoto, ja stä käytetäänkn laajast rsken hallntaan. Sjotusportfolon rskä vodaan lsätä ta vähentää johdannasten avulla, suojautumalla kursslaskujen varalta ta hakemalla vpuvakutusta kurssnousuun. Sjotussalkun muodostamsessa kesktyn nässä puttessa lähnnä pörssosakkesn sekä rskttömään korkoon. 3. Modernn portfoloteoran rakennuspalkat Modern portfoloteora ptää ssällään mona matemaattsa ja tlastollsa menetelmä. Kuten edellä manttn, osakkeden tuleva lkketä e pystytä etukäteen ennustamaan, joten tarvttavat parametrt on laskettava hstorallssta muutokssta, sekä käyttämällä todennäkösyyksä tulevsta lkkestä. Osakkeden hstorallset lkkeet antavat kutenkn osvttaa osakkeden käyttäytymsen luonteesta. Tällä perusteella tuleva tapahtuma vodaan yrttää mallntaa Arvopapern tuotto Arvopapern hstorallnen kesktuotto r saadaan kun arvopapern hnnasta myynthetkellä vähennetään ostohnta ja erotus jaetaan ostohnnalla. Tuottoapproksmaato vodaan lmasta myös logartmsena tuottona, joka on luonnollnen logartm myynt- ja ostohnnan suhteesta. (2.1) r X X 1 0 = ta X 0 r = ln X X 1 0 Osnkotuotot on myös otettava huomoon arvopapern tuoton laskemsessa. Osnkojen määrä dskontataan myynthetkeen ja lsätään myynthntaan, jollon myynthnnaks tulee osakkeen myyntarvo lsättynä osnkojen nykyarvoon.

7 Portfolon tuotto Portfolon tuotto on sen ssältämen arvopaperen tuottojen summa. Oletetaan, että portfolo ssältää n arvopapera. Kutakn osaketta on salkussa panolla w, jollon panojen summa on yks. (2.2) w = 1 n = 1 Portfolon tuotto R saadaan summaamalla sen osakkeden tuotot ja panojen summat. (2.3) R = wr n = 1 Sjottajan kannalta onkn oleellsta tarkastella kakken sjotusten yhtestä tuottoa, kun arvodaan yksttäsen sjotuksen onnstumsta Osakkeden tuoton odotusarvo Osakkeen tuotto muodostuu osngosta ja osakkeen arvon noususta. Osakkeden ja osnkojen arvoa tulevasuudessa e pystytä etukäteen määrttelemään. Nden tuleva tuottoja on arvotava todennäkösten tulemen pohjalta. Osakkaan odotusarvo E(x) muodostuu satunnasmuuttujasta x, joka on tuoton mahdollnen realsaato, sekä sen todennäkösyydestä p. (2.4) E( x) = µ = x p n = 1 Tuoton odotusarvo on sten kakken vahtoehtosten realsaatoden panotettu keskarvo, jossa panokertomna ovat todennäkösyydet Osakkeen tuottojen varanss rskn mttana Osakkeen rsk vodaan jakaa kahteen osaan: osakekohtaseen rskn ja markknarskn. Markknarsk tarkottaa koko osakemarkknohn vakuttava suhdanteden muutoksa, jotka vakuttavat lähes kakkn osakkesn. Osakekohtanen rsk on tettyyn osakkeeseen lttyvä hntarsk. Osakekohtasta rskä pystytään vähentämään hajauttamalla sjotussalkku useampaan er osakkeeseen. Modern portfoloteora

8 8 (MPT) tutk juur hajauttamsen tehokkuutta ja antaa välneet optmoda kuluttajan salkun ssällön epävarmuuden valltessa. Varanss kertoo osakkeen rskstä. Mtä suuremp varanss, stä enemmän osakkeen tuotot vahtelevat keskarvon ympärllä, ja stä epävarmempa ovat odotetut tuotot. Osakkessa rsk tarkottaa ss epävarmuutta stä mkä on tuleva tuotto. Varanss e mttaa anoastaan osakkeden rskä tuoton penenemselle, vaan myös keskarvon yläpuolella tapahtuvaa vahtelua. Sjottajan kannalta rskä on anoastaan alaspän tapahtuva vahtelu, jota vodaan mtata sem-varansslla. Tuottojen normaaljakautumaoletuksen ansosta vahtelut keskarvon ympärllä ovat symmetrset, joten varanssa vodaan ptää valdna rskn mttana, jollon emme tarvtse sem-varanssa. (Sharpe , 1990). Varanss ² on nelö satunnasmuuttujan x pokkeamasta sen odotusarvosta x, jonka jokanen tulema kerrotaan velä sen todennäkösyydellä. Keskhajonta el volatlteett saadaan ottamalla varansssta ² nelojuur. (2.5) Var = ² = n = 1 p ( x x) 2 Varanss on ana e-negatvnen luku, johtuen toseen potenssn korottamsesta. Volatlteett kertoo kunka monta prosentta osakkeden tuotot keskmäärn vahtelevat keskarvon ympärllä 68 %:n todennäkösyydellä Kovaranss Kovaranss on keskenen tekjä portfolon optmonnssa. Se mttaa kahden osakkeen tuottojen välstä yhtesvahtelua. Kovaranss rppuu osakkeden x ja y välsestä korrelaatosta, joten se vodaan lmasta myös korrelaaton ja keskhajontojen summana. Postvnen kovaranss tarkottaa stä, että osakkeden tuotot lkkuvat keskmäärn enemmän samaan suuntaan. (2.6) COVx, y = p ( x x)( y y) N = 1 (2.7) COVx, y = ρ xyσ xσ y Korrelaato saa ana arvoja välltä +1 ja -1. Kun korrelaato on +1 vahtelevat kahden osakkeen tuotot täysn samaan tahtn, ja vastaavast korrelaaton ollessa -1 osakkeden lkkeet ovat täysn vastakkassuuntasa.

9 Vaadttavat oletukset Portfoloteoran ylesyyden taka on tehtävä muutama yksnkertastava oletuksa. Oletetaan, että markknat ovat täydellset nn, että arvopapert ovat jaettavssa äärettömän penn yksköhn, ekä verotusta ja transaktokustannuksa oteta huomoon. Informaaton oletetaan olevan lmasta ja kakken saatavlla. Rskttömän korot oletetaan olevan sama sekä lanatessa että talletettaessa, ja lanaa on kakken tomjoden saatavlla tasapuolsest (Bellemore 1979 s.152). Sjotusten pävttäset tuotot oletetaan normaaljakautuneks. Tällön pystymme kuvaamaan tuotot odotusarvon µ ja varanssn 2 σ avulla. 4. Markowtzn porfoloteora Harry Markowtzä pdetään modernn portfoloteoran sänä. Hän hahmottel luvun alussa matemaattsen menetelmän optmaalsen sjotussalkun muodostamseen. Portfolon valnnan tavotteena on valta tehokas salkku, joka tuottaa: 1. suurmman odotetun tuoton annetulla rsktasolla ta 2. penmmän mahdollsen rskn annetulla tuottotasolla. Sjottajan on sten tasapanoteltava odotettujen tuottojen ja rskn välllä (Bellemore 1979 s.153). Sjottajalla on tetty alkuvarallsuus, jonka hän haluaa sjottaa ennalta määrätyks ajaks. Kyseessä on yhden perodn mall, jossa sjottajan valtsee ajan hetkellä t=0 mtä er arvopapereta hän ostaa salkkuunsa. Ajan hetkellä t=1 sjottaja myy sjotuksen ta optmo uudestaan sjotussalkkunsa ssällön. Se mtä arvopapereta sjottaja salkkuunsa valtsee, rppuu arvopaperen tuoton odotusarvosta ja varansssta sekä er osakkeden odotettujen tuottojen yhtesvahtelusta, el kovaransssta (Sharpe , 1990). Markowtzn portfolon hajautus perustuu er arvopaperen odotettujen tuottojen yhtesvahtelun erohn. Jos arvoperen tuotot lkkuvat er suuntn, kumoaa tosen arvopapern tuotto tosesta syntyneen tappon. Tällön koko salkun tuotto e romahda yhden osakkeen epäonnstuessa. Kun tämän ajattelumalln mukasest salkkuun valtaan useta osakketa joden tuotot yhtesvahtelevat mahdollsmman vastakkases-

10 10 t keskenään, saadaan arvopapersalkku, jonka keskmääränen tuotto on samalla tasolla kun yksttäsen osakkeen, mutta rsktaso on huomattavast alhasemp. Yhteen osakkeeseen sjottanut osakkeenomstaja kantaa suurempaa rskä kun portfoloon sjottanut, sllä portfolossa osakekohtanen rsk on hajautettu pos Osakkeden yhtesvahtelu Alotetaan tehokkaden arvopaperyhdstelmen tarkastelu kahden arvopapern tapauksesta. Portfolo ssältää kahta arvopapera A ja B. Arvopaper A on penemprsksemp kun B, mutta vastaavast sllä on penemp tuotto-odotus kun B:llä. Jos osakkeden A ja B tuotot lkkuvat ana samaan suuntaan, el nden korrelaato on yks, saadaan nästä osakkesta portfolo valtsemalla jokn pste suoralta A-B kuvosta 2.1. Tällön portfolon tuotto on osakkeden tuottojen panotettu keskarvo. Salkun keskhajonta on vastaavast A:n ja B:n panotettu keskhajonta, joten hajauttamalla e saada penennettyä kokonasrskä. Mkäl osakkeden tuotot evät vahtele täysn samaan suuntaan, vaan oletetaan korrelaaton olevan 0,3 saadaan portfolo valttua kaarevalta lnjalta välllä A-B. Tällön on tehokkaampaa valta portfoloon kumpaakn osaketta, koska hajauttamalla saadaan parempaa tuottoa samalla rskllä, jollon keskhajonta on penemp kun keskhajonnan panotettu keskarvo. Jos osakkeden A ja B tuotot lkkuvat täysn er suuntn, el nden korrelaato on -1, vodaan portfolo valta A:n ja B;n välseltä lnjalta, joka kulkee y-akseln kautta. Tällön on mahdollsta muodostaa salkku joka on täysn rsktön. Rsktön salkku saavutetaan valtsemalla osakkeden panot nden varanssen kääntesessä suhteessa. Salkun tuotto e vo kutenkaan ylttää rsktöntä korkoa, jos sen täysn rsktön.

11 11 E(x) ρ = 1 B ρ = 0.3 ρ = 1 A 0 σ 2 = var Kuvo 2.1, Kahdesta osakkeesta muodostettava salkku er korrelaatolla Osakkeden tuottojen korrelaatoden eroavuus yhdestä mahdollstaa hajauttamalla saatavan rskn penenemsen. Intutvsest vodaan ajatella, että ulkopuolset shokt vakuttavat osakkeden arvoon er tavalla, jollon hajautuksella vodaan penentää yhden osakkeen hekkenemsestä johtuva tappo. Jos osakkeden tuottojen korrelaatot ovat negatvsa, nousee tosen osakkeen arvo kun tosen arvo laskee. Esmerkks kohonnut öljyn hnta penentää kuljetusyhtöden tuottoja, mutta vastaavast parantaa öljy-yhtöden tuottoja. Kun portfolo ssältää molempa osakketa päädytään edelleen keskmääräseen tuottoon. Emprsestä anestosta on vakea löytää osakketa joden korrelaatot olsvat negatvsa, joten rskttömän salkun muodostamnen on hypoteettnen ajatus, mutta lähes korrelomattomlla osakkellakn saavutetaan jo merkttävää hajautushyötyä Tehokas rntama Kahden osakkeen mallsta vodaan srtyä tarkastelemaan portfolota, joka ssältää n kappaletta er arvopapereta. Useamman osakkeen tapauksessa vodaan portfolo muodostaa kaksta saatavssa olevsta arvopaperesta. Jokanen arvopaper saa panon w salkussa kutenkn sten, että panot summatuvat ykköseen. n 4.1 w = 1. Er arvopaperen yhdstelmät muodostavat nn sanotun käyvän alueen, joka ssältää kakk mahdollset er arvoparen yhdstelmät. Käypä alue on vasemmalle konveks joukko, joka muodostuu kuvossa 2.2 psteden A, B ja C läp kulkevan rntaman okealle puolelle (Luenberger 1998, s ).

12 12 Sjottajat ovat kutenkn knnostuneta mahdollsmman hyvn hajautetusta salkusta, joka antaa penmmän varanssn annetulla tuotolla. Tätä optmaalsta sjotussalkkujen joukkoa kutsutaan tehokkaaks rntamaks, joka on kuvossa 2.2 psteden B ja C välnen paksu vva. Tehokkaalla rntamalla sjatsevlla portfololla on paras mahdollnen tuotot suhteessa rskn. E(x) Tehokas rntama C B Käypä alue A Mn var σ 2 = var Kuvo 2.2, Tehokas rntama ja käypä alue 4.3. Tehokkaan portfolon muodostamnen Tehokkaan rntaman portfoloden ssältö vodaan ratkasta mnmomalla salkun varanssa rajotteena annettu tuotto r ja panojen summautuessa ykköseks. Yhtälössä 3.1 σ j on osakkeden välnen kovaranss ja kerron ½ varanssn edessä on mukavuustekjä, joka tekee lopullsesta muodosta yksnkertasemman. n 1 (3.1) Mn w w jσ, j 2, j= 1 Rajotteet: n =1 w r = r n w = 1 = 1

13 13 Mnmontongelmasta vodaan ratkasta Lagrangen menetelmällä osakkeden panot salkussa. n n (3.2) = n L 1 2 w w jσ j λ w r r w j= = µ 1, 1 1 = 1 Ratkastaan ensmmäsen kertaluvun ehdot ottamalla osttasdervaatat kakken muuttujen suhteen ja asettamalla ne nollaks, josta saadaan ulos optmaalset osakkeden panot salkussa. Tarkastamalla tosen kertaluvun ehdot varmstetaan että kyseessä on mnm. Yllä estetty ongelma vo antaa osakkeden panoks myös negatvsa arvoja, joka tarkottaa, että osaketta on myyty lyhyeks. Jos lyhyeksmyyntä e sallta mnmontongelmassa, tulee rajottesn lsätä ehto w 0. Tätä yhtälöä e kutenkaan vo enää ratkasta lneaarslla menetelmllä, vaan avuks tulee ottaa nelö-optmont, jollon tosen kertaluvun ehtojen tarkstamseen tarvtaan myös Kuhn-Tucker-ehtoja (Luenberger 1998, s ) Sjottajan hyötyfunkto Kun tehokas rntama on ratkastu, rppuu sjottajan preferenssestä mnkä osakeyhdstelmän hän valtsee. Nätä preferenssejä vodaan kuvata sjottajan ndffenrensskäyrllä tuoton ja keskhajonnan suhteen. Sjottajlla on luonnollsest erlasa preferenssejä rskn ja tuoton suhteen. Sjottajen suhtautumsta rskn, el rskaversota vodaan mallntaa Von Neuman- Morgensten hyötyfunktolla sjoutusvarallsuudesta w, jossa hyöty rppuu negatvsest rskstä ja postvsest tuotosta. 3.3 E[U(w)]=E( ). Ylesest oletetaan, että ratonaalsest käyttäytyvä henklö on rskn kahtaja, jollon hänen hyötyfunktonsa on konkaav. Erkostapauksssa sjottaja vo olla myös rskn rakastaja, jollon hänen hyötyfunktonsa on konveks, ta rskneutraal, jollon hyötyfunkto on lneaarnen.

14 14 Rskn sedon astetta vodaan mallntaa Arrow-Pratt rskmtalla, kaava 3.4. Hyötyfunkton tosen dervaatan suhde ensmmäseen dervaattaan kertoo hyötyfunkton konkaavsuuden asteen, joka mttaa rskaverson suuruutta. Mtä konkaavmp hyötyfunkto on, stä suuremp on rskaverso el stä penemprsksempä sjotuksa henklö suos. 3.4 R( w) = u ( w) u ( w) Sjottajan preferenssejä vodaan kuvata ndfferensskäyrllä, jossa vaaka-aksellla on rsk ja pystyaksellla tuotto. Mtä korkeammalle ndfferensskäyrälle kuluttaja pääsee stä suuremp on hänen hyötynsä. Kuvossa 5.1 sjottaja A:n ndfferensskäyrät ovat huomattavast enemmän konveksejä, joten hänellä on suuremp rskaverso kun B:llä, joka hänkn on rskn kahtaja. Tuotto = µ I 3 I 2 I 1 Tuotto = µ I 3 I 2 I 1 A) Rsk = σ B) Rsk = σ Kuvo 2.3 Sjottajen A) ja B) ndfferensskäyrä, jossa A) kahtaa enemmän rskä kun B) Lkuttaessa ptkn ndfferensskäyrää sjottajan hyöty pysyy samana. Kussakn psteessä ndfferensskäyrän jyrkkyys kertoo, paljonko sjottaja on valms lsäämään rskä tuoton kasvaessa. Kun tehokas rntama on määrtelty, sjottaja valtsee osakeyhdstelmän jossa hän maksmo oman hyötyfunktonsa. Graafsest tämä vodaan esttää sten, että sjottaja valtsee osakesalkun tehokkaasta rntamasta snä kohdassa jossa hän saavuttaa korkemman ndfferensskäyrän.

15 15 E(x) I 2 I 1 C Tehokas rntama B Käypä alue A Mn var σ 2 = var Kuvo 2.4 Sjottajan optmaalsen portfolon valnta. Pste, jossa tehokas rntama svuaa sjottajan ndfferensskäyrää, osottaa sjottajan hyödyn maksmovan osakesalkun. Ratonaalsest käyttäytyvä rskä kahtava sjottaja valtseekn juur kysesen salkun Tehokas salkku esmerkkanestosta Teoreettsen tarkastelun havannollstamseks olen laskenut esmerkn portfolon optmonnsta okella pörssosakkella. Tarkasteltavaks valtsn vs knnostavaa suomalasta pörssyhtötä, jotka kukn edustavat er tomaloja. Esmerkksalkku ssältää Nokan, Sampon, UPM-Kymmenen, Fortumn ja Wärtslän osakketa. Esmerkssä osakkeden määrä on rajattu vteen estmotaven parametren määrän rajottamseks, mutta todellsuudessa sjottajalla on mahdollsta valta salkkuunsa osakketa kakken pörssosakkeden joukosta Parametren estmont Emprnen tutkmus lähtee lkkeelle osakkeden kursshstoran tetojen hankkmsella. Tarkasteluajanjaksoks valttn yks vuos, ja havannot ovat ajalta Käytn esmerkssä osakkeden kuukauden päätöskursseja, josta laskn jokaselle osakkeelle logartmset kuukaustuotot (kaava 2.1). Osnkotuottoja e ole huomotu esmerkssä malln yksnkertastamseks. Seuraava askel on lattaa kuukaustuotot matrsn ja laskea tuottojen keskarvot kullekn osakkeelle. Kun tedämme keskmääräset tuotot, vomme laskea osakke-

16 16 den kuukausttaset yltuotot kovaranssen laskemseks. Yltuottojen matrs täytyy velä transponoda varanss-kovaranss-matrsn laskemseks. Varansskovaranss-matrs saadaan kertomalla yltuottomatrs sen transpooslla (kaava 2.6), (Lte 1, esmerkn taulukot). Osakkeden odotusarvojen (kaava 2.3) ja varanssen (kaava 2.5) oletettn vastaavan nden hstorallsten tuottojen ja varanssen tasoa. Estmonnn parantamseks ols mahdollsta käyttää esmerkks kutstamsmenetelmää tuleven tuottojen estmonnssa, mutta se on jätetty tämän työn ulkopuolelle Portfolon optmont Tarkotuksena on selvttää osakkeden optmaalset panot sjotussalkussa. Optmont suortetaan Exceln optmonttyökalulla (solver). Ensmmäseks lasketaan mnmvaranssportfolo. Optmonttyökalu laskee portfolon osakkeden panot, jotka mnmovat salkun rskn rajottena panojen summautumnen yhteen, sekä suurmman mahdollsen tuoton annetulla varansslla. Optmont on estetty formaalssa muodossa kaavassa 3.1.Tuloksena saadaan salkku, joka kannattaa valta jos haluaa sjottaa kysesn osakkesn mahdollsmman penellä rskllä. Mnmvaransssalkun panot ovat seuraavat: Optmaalset panot Noka 0,62 Sampo 0,00 UPM 0,03 Fortum 0,35 Wärtslä 0,00 summa 1 Taulukko 4.1 Mnmvaransssalkun osakkeden panot Portfolon rskn mnmovan sjottajan tuls antaa osakkelle panot: Noka 62%, Fortum 35% ja UPM-Kymmene 3%. Wärtslän ja Sampon osakkeet saavat panon nolla. Salkun vuosttaseks keskhajonnaks saadaan 13,34 % ja vuostuotoks 14,41 %.Samalla mekankalla vodaan laskea tehokas portfolo mlle tahansa annetulle tuotto- ta rsktasolle. Kakk optmaalset portfolot muodostavat yhdessä tehokkaan rntaman (Kappale 3.2). Tehokkaan rntaman vo muodostaa laskemalla kaks optmaalsta portfolota. Yhdstelemällä nätä kahta porfolota er kertomlla vodaan muodostaa kakk muut tehokkaat portfolot.

17 17 Laskn tosen tehokkaan porfolon jonka vuostuotto on 20,20 % ja volatlteett 15,72%. Optmpanoks saatn Noka 26,64%, Sampo 26,77% ja Fortum 46,60%. Vertalukohdaks vodaan ottaa portfolo, jossa jokasen osakkeen panoks on annettu 20%. Tällasen salkun tuotto on 16,6% ja volatlteett 15,6%. Tästä vomme havata, että tehokkaalla portfolon allokonnlla saadaan n.3% parempaa tuottoa samalla rsktasolla verrattuna portfoloon joka on hajautettu tasajaolla Tulokset Kuvossa 2.1 on estetty osakkeet tuotto-rsk-yhdstelmät, sekä tehokas rntama. Kuvosta vomme havata, että sjottamalla portfoloon saamme parempaa tuottoa annetulla rsktasolla, ta vastaavast penemmän rskn annetulla tuottotasolla kun yksttässtä osakkesta, joten esmerkk tukee Markowtzn teoraa. Tulosten melekkyydestä on kutenkn vakea tehdä johtopäätöksä, koska tulevasuuden kursskehtys osottaa onko salkku ollut lähellä optmaalsta allokaatota. Vakeuksa optmonssa aheuttaa lähtöparametren estmont, sllä tuotot ja kovaransst perustuvat hstorallseen dataan, ekä sten voda tetää mten tuotot ja varansst tulevasuudessa käyttäytyvät. Kovaranssen estmonnssa ols hyvä käyttää pdempää akasarjaa tarkempen estmaatten saavuttamseks. 30,00 % 25,00 % Fortum Tuotto 20,00 % 15,00 % Tehokas rntama Sampo Wärtslä 10,00 % Noka UPM 5,00 % 0,00 % 0,00 % 5,00 % 10,00 % 15,00 % 20,00 % 25,00 % 30,00 % Keskhajonta Kuvo 2.1 Tehokas rntama ja osakkeden tuotto-rsk yhdstelmät Esmerkn apuna on käytetty krjaa Bennnga, Smon Fnancal modelng 2000.

18 18 5.Sjotussalkku ja rsktön korko Tutkelman alussa manttn, että rskttömät korkosjotukset ovat suomalaslle merkttävä sjotuskohde, joten on syytä myös analysoda rsktöntä korkoa osana sjotusportfolota. Rskttömän koron volatlteett on nolla, joten se tarjoaa varmaan tuottoa. Osakesjotukset hajautetaan edelleen tehokkaast kuten edellsessä kappaleessa, jollon saadaan kunkn tuoton mnmova volatlteett. Oletetaan malln yksnkertastamseks, että kaklla sjottajlla on mahdollsuus lanata rahaa rskttömällä korolla, vakka todellsuudessa lanan saanta saattavat rajottaa sjottajan vakuudet Rsktön lanaamnen ja tallettamnen portfolossa Osakkeden ja rskttömän koron muodostaman portfolon tuotto R saadaan laskemalla kaavasta 5.1, jossa α, α [0,1] on osakesjotusten pano salkussa, rf rsktön korko ja r sjotussalkun odotettu tuotto. (5.1) R = ( 1 α ) rf + α * r (5.2) σ p = α * σ s Vastaavalla tavalla saadaan laskettua yhdstetyn portfolon keskhajonta σ p kaavasta 5.2, jossa rskttömän koron keskhajonta on nolla, jollon portfolon rsk muodostuu osakesalkun rskstä. Osakesalkun allokaatota muuttamalla sjottaja vo säädellä sjotuksensa rskä ta tuottoa. Rsk vähenee kun alfaa kasvatetaan, jollon myös vastaavast tuotto penenee (Luenberg , 1998). Kuvossa 4.1 on havannollstettu sjottajan valntaa rsk-tuotto -akselstossa. Mkäl sjottaja lattaa osan rahostaan rskttömään korkoon ja osan osakesalkkuun, sjatsee hänen portfolonssa suoralla r f - S, jollon tuotto ja rsk ovat penemmät kun sjotettaessa pelkästään osakesalkkuun. Jos sjottaja valtsee salkun psteestä S ylävstoon osottavalta suoralta, lanaa hän rahaa rskttömällä korolla, ja sjottaa lanaamansa rahat osakeportfoloon. Sjottaja saa osakesalkkua parempaa tuottoa velan vpuvakutuksen ansosta, mutta samalla rsktaso on velatonta osakesalkkua korkeamp.

19 19 R Talletus Lana Tehokas rntama S= Tangenttportfolo r f Kuvo 5.1, Lanaamnen ja tallettamnen sjotusportfolossa σ Tämän separaatoteoraks kutsutun varallsuuden allokontmenetelmän estt nobelst James Tobn artkkelssaan Lqudty preference as behavor toward rsk, Separaatoteorassa sjottajan salkun valnta jakautuu kahteen vahteeseen: 1. Sjottaja valtsee osakeportfolon Markowtzn teoran mukasest tehokkaasta rntamasta. 2. Sen jälkeen sjottaja valtsee preferenssensä mukaan kunka suur osuus sjotetaan osakesalkkuun ja paljonko sjotetaan rskttömään korkoon. Sjottaja valtsee ana nn sanotun tangenttportfolon, joka saadaan prtämällä vva, joka alkaa rskttömän koron tasolta ja tangeeraa tehokasta rntamaa, kuvo 5.1. Optmaalsta osakesalkkua valttaessa e tarvta enää tetoa sjottajan preferenssestä, sllä ne vakuttavat enää sjottajan valntaan osakeportfolon ja rskttömän koron suhteesta. Malla, jossa sjottaja valtsee yhden osakesalkun ja vahtelee koko portfolon rskä rskttömän koron määrällä kutsutaan myös yhden rahaston teoraks (sngle ndex model). Kappaleessa kuus kästtelemme tasapanomalla, jossa kakk sjottajat ostavat tätä samaa rahastoa Varallsuuden allokont Sjottajan varallsuuden allokaato rppuu hänen rsksetokyvystään, jota edellä kuvattn hyötyfunkton avulla. Sjottaja ss optmo rsksjotusten ja rskttömän koron suhteen ottaen huomoon oman hyötyfunktonsa. Mtä enemmän sjottaja kart-

20 20 taa rskä, stä penemmäks osakesjotusten osuus jää. Jätetään formaalnen tarkastelu seuraavaan kappaleeseen ja kesktytään tässä graafseen tarkasteluun. Tällön alfan suuruus vodaan määrttää psteessä, jossa ndfferensskäyrän tangeeraa pääoman allokontsuoraa. Kuvon 4.2 psteestä, jossa ndfferenss käyrä I tangeeraa osakkeen allokontsuoraa, prretään suora vva alaspän. Tämä osottaa koordnaatston alapuolsella osalla osakesjotusten osuuden α 1. R I r s r 1 r f 0 σ 1 σ s σ α 1 1 α Kuvo 4.2 Alfan ollessa 1, sjottaja lattaa koko varallsuutensa osakeportfoloon. Kun alfa on <1, jakaa sjottaja rahansa rskttömään korkoon ja osakeportfoloon. Vastaavast kun alfa on >1, ottaa sjottaja lanaa alkuvarallsuutensa lsäks ja sjottaa nämäkn varat osakeportfoloon. (Tobn, 1958.) 5.3. Rskn ja tuoton muutosten vakutus varallsuuden allokontn Osake- ja korkomarkknolla tapahtuvat tuotto- ja rsktasojen muutokset vakuttavat sjottajan portfolon allokaatoon rskttömän koron ja osakkeden välllä. Osakkeden rsktason kohoamnen johtaa pääoman allokontsuoran kulmakertomen penenemseen. Stä kautta kuluttaja joutuu alemmalle ndfferensskäyrälle. Uudessa sjottajan optmssa osakesjotusten määrä on laskenut, ja rskttömen korkos-

21 21 jotusten määrä vastaavast kasvanut. Intutvsest tulknta on melekäs, koska rskä karttavan sjottajan uskotaan penentävän rsksjotusten määrää kun markknatlanne muuttuu epävarmemmaks (Tobn, 1958). Vastaavast osakkeden tuottojen noustessa nden osuus koko portfolossa kasvaa. Tämä johtuu pääoman allokaatosuoran jyrkkenemsestä, joka tekee osakesjotukssta houkuttelevampa kun akasemmn. Rskttömän koron noustessa osakkeden osuus portfolossa laskee, koska nden tuotto yl rskttömän koron penenee. Tämä taas johtaa osakkeden hntojen laskuun kysynnän penentyessä. Osakemarkknat reagovat herkäst nflaato-odotusten muutoksn, mkä johtuu juur korkeata nflaatota seuraavasta rskttömän koron noususta. Sjottajan tulee olla valms muuttamaan portfolonsa allokaatota markknatlanteen muuttuessa, koska parametren muuttuessa salkku e välttämättä ole enää optmaalnen sjottajan kannalta. Rskttömks korkosjotuksks lasketaan lyhyet pankktalletukset, jotka luetaan mukaan lavean M3 rahan määrtelmään. Tobn estt spekulatvsen rahan kysynnän määräytyvän juur separaatoteoran mukasest sjotustarkotuksesta. Sten osakkeden tuotto- ja rsktasot vakuttavat välllsest myös rahan kysyntään. 6. CAP-mall Portfoloanalyysn yksnkertastamseks Treynor ('61), Sharpe ('64) and Lntner ('65), kehttvät Captal Asset Prcng Model menetelmän. CAP-mallssa oletetaan, että kakk sjottajat ovat hajauttaneet osakesalkkunsa optmaalsest, jollon osakkeden hntohn vakuttaa van nden markknarsk, ekä osakekohtasen rskn kannosta makseta korvausta. Markknanformaaton oletetaan olevan lmasta, sekä kakken saatavlla. Tästä seuraa, että kakk sjottavat samaan osakeportfoloon ja säätelevät rsktasoa rskttömän koron määrällä. Kyseessä on tasapanomall, jollon markknoden tulee olla tasapanossa, ja osakkeden oken hnnoteltuja suhteessa nden rskn. Lsäoletuksena sjottajen tulevasuuden odotusten tulee olla homogeenset, ja rajaton lyhyeksmyynt sallttua. Yksttäsen osakkeen mttana käytetään keskhajonnan sjaan betakerronta, joka kertoo osakkeen markknarskstä.

Uuden eläkelaitoslain vaikutus allokaatiovalintaan

Uuden eläkelaitoslain vaikutus allokaatiovalintaan TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemanalyysn laboratoro Mat-2.108 Sovelletun matematkan erkostyö Uuden eläkelatoslan vakutus allokaatovalntaan Tmo Salmnen 58100V Espoo, 14. Toukokuuta 2007 Ssällysluettelo Johdanto...

Lisätiedot

JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO Taloustieteiden tiedekunta

JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO Taloustieteiden tiedekunta JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO Talousteteden tedekunta AIKA- IKÄ- JA KOHORTTIVAIKUTUKSET KOTITALOUKSIEN RAHOITUSVARALLISUUDEN RAKENTEISIIN SUOMESSA VUOSINA 1994 2004 Kansantaloustede Pro gradu -tutkelma Maalskuu

Lisätiedot

Kuluttajahintojen muutokset

Kuluttajahintojen muutokset Kuluttajahntojen muutokset Samu Kurr, ekonomst, rahapoltkka- ja tutkmusosasto Tutkmuksen tausta ja tavotteet Tavaroden ja palveluden hnnat evät muutu jatkuvast, vaan ovat ana jossan määrn jäykkä lyhyellä

Lisätiedot

Mittausvirhe. Mittaustekniikan perusteet / luento 6. Mittausvirhe. Mittausepävarmuus ja siihen liittyvää terminologiaa

Mittausvirhe. Mittaustekniikan perusteet / luento 6. Mittausvirhe. Mittausepävarmuus ja siihen liittyvää terminologiaa Mttausteknkan perusteet / luento 6 Mttausepävarmuus ja shen lttyvää termnologaa Mttausepävarmuus = mttaustulokseen lttyvä parametr, joka kuvaa mttaussuureen arvojen odotettua vahtelua Mttauksn lttyvä kästtetä

Lisätiedot

A250A0100 Finanssi-investoinnit Harjoitukset 24.03.15

A250A0100 Finanssi-investoinnit Harjoitukset 24.03.15 A50A000 Fnanss-nvestonnt Hajotukset 4.03.5 ehtävä. akknapotolon keskhajonta on 9 %. Laske alla annettujen osakkeden ja makknapotolon kovaanssen peusteella osakkeden betat. Osake Kovaanss A 40 B 340 C 60

Lisätiedot

Jaksolliset ja toistuvat suoritukset

Jaksolliset ja toistuvat suoritukset Jaksollset ja tostuvat suortukset Korkojakson välen tostuva suortuksa kutsutaan jaksollsks suortuksks. Tarkastelemme tässä myös ylesempä tlanteta jossa samansuurunen talletus tehdään tasavälen mutta e

Lisätiedot

Aamukatsaus 13.02.2002

Aamukatsaus 13.02.2002 Indekst & korot New Yorkn päätöskursst, euroa Muutos-% Päätös Muutos-% Helsnk New York (NY/Hel) Dow Jones 9863.7-0.21% Noka 26.21 26.05-0.6% S&P 500 1107.5-0.40% Sonera 5.05 4.99-1.1% Nasdaq 1834.2-0.67%

Lisätiedot

Mittausepävarmuus. Mittaustekniikan perusteet / luento 7. Mittausepävarmuus. Mittausepävarmuuden laskeminen. Epävarmuuslaskelma vai virhearvio?

Mittausepävarmuus. Mittaustekniikan perusteet / luento 7. Mittausepävarmuus. Mittausepävarmuuden laskeminen. Epävarmuuslaskelma vai virhearvio? Mttausteknkan perusteet / luento 7 Mttausepävarmuus Mttausepävarmuus Mttaustulos e ole koskaan täysn oken Mttaustulos on arvo mtattavasta arvosta Mttaustuloksen ja mtattavan arvon ero on mttausvrhe Mkäl

Lisätiedot

Mat-2.108 Sovelletun matematiikan erikoistyö. Sijoitussalkun optimointi Black-Litterman -mallilla

Mat-2.108 Sovelletun matematiikan erikoistyö. Sijoitussalkun optimointi Black-Litterman -mallilla Mat-2.8 Sovelletu matematka erkostyö Sjotussalku optmot Black-Ltterma -malllla Kar Vatae (4753V) 9.5.24 Ssällysluettelo Johdato...2 2 Sjotussalku optmot Markowtz malllla...3 2. Sjotussalku optmot...5 2.2

Lisätiedot

1. Luvut 1, 10 on laitettu ympyrän kehälle. Osoita, että löytyy kolme vierekkäistä

1. Luvut 1, 10 on laitettu ympyrän kehälle. Osoita, että löytyy kolme vierekkäistä Johdatus dskreettn matematkkaan Harjotus 3, 30.9.2015 1. Luvut 1, 10 on latettu ympyrän kehälle. Osota, että löytyy kolme verekkästä lukua, joden summa on vähntään 17. Ratkasu. Tällasa kolmkkoja on 10

Lisätiedot

Sähkön- ja lämmöntuotannon kustannussimulointi ja herkkyysanalyysi

Sähkön- ja lämmöntuotannon kustannussimulointi ja herkkyysanalyysi Sähkön- ja lämmöntuotannon kustannussmulont ja herkkyysanalyys Pekka Nettaanmäk Osmo Schroderus Jyväskylän ylopsto Tetoteknkan latos 2010 1 2 Tvstelmä Raportn tarkotuksena on esttää pelkstetyn matemaattsen

Lisätiedot

Työn tavoitteita. 1 Johdanto. 2 Ideaalikaasukäsite ja siihen liittyvät yhtälöt

Työn tavoitteita. 1 Johdanto. 2 Ideaalikaasukäsite ja siihen liittyvät yhtälöt FYSP103 / 1 KAASUTUTKIMUS Työn tavotteta havannollstaa deaalkaasun tlanyhtälöä oppa, mten lman kosteus vakuttaa havattavn lmöhn ja mttaustuloksn kerrata mttauspöytäkrjan ja työselostuksen laatmsta Luento-

Lisätiedot

Tchebycheff-menetelmä ja STEM

Tchebycheff-menetelmä ja STEM Tchebycheff-menetelmä ja STEM Optmontopn semnaar - Kevät 2000 / 1 1. Johdanto Tchebycheff- ja STEM-menetelmät ovat vuorovakuttesa menetelmä evät perustu arvofunkton käyttämseen pyrkvät shen, että vahtoehdot

Lisätiedot

Monte Carlo -menetelmä

Monte Carlo -menetelmä Monte Carlo -menetelmä Helumn perustlan elektron-elektron vuorovakutuksen laskemnen parametrsodulla yrteaaltofunktolla. Menetelmän käyttökohde Monen elektronn systeemen elektronkorrelaato oteuttamnen mulla

Lisätiedot

Kollektiivinen korvausvastuu

Kollektiivinen korvausvastuu Kollektvnen korvausvastuu Sar Ropponen 4.9.00 pävtetty 3..03 Ssällysluettelo JOHDANTO... KORVAUSVASTUUSEEN LIITTYVÄT KÄSITTEET VAHINKOVAKUUTUKSESSA... 3. MERKINNÄT... 3. VAHINGON SELVIÄMINEN JA KORVAUSVASTUU...

Lisätiedot

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 7: Lagrangen kertojat. Pienimmän neliösumman menetelmä.

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 7: Lagrangen kertojat. Pienimmän neliösumman menetelmä. MS-A0205/MS-A0206 Dfferentaal- ja ntegraallaskenta 2 Luento 7: Lagrangen kertojat. Penmmän nelösumman menetelmä. Jarmo Malnen Matematkan ja systeemanalyysn latos 1 Aalto-ylopsto Kevät 2016 1 Perustuu Antt

Lisätiedot

JOHDANNAISTEN KÄYTTÖ JOUKKOVELKAKIRJALAINASALKUN RISKIENHALLINNASSA: empiirinen tutkimus kotimaisista pitkän koron rahastoista vuosilta 2001 2005.

JOHDANNAISTEN KÄYTTÖ JOUKKOVELKAKIRJALAINASALKUN RISKIENHALLINNASSA: empiirinen tutkimus kotimaisista pitkän koron rahastoista vuosilta 2001 2005. TAMPEREEN YLIOPISTO Talousteteden latos JOHDANNAISTEN KÄYTTÖ JOUKKOVELKAKIRJALAINASALKUN RISKIENHALLINNASSA: emprnen tutkmus kotmassta ptkän koron rahastosta vuoslta 2001 2005. Kansantaloustede Pro gradu

Lisätiedot

Tietojen laskentahetki λ α per ,15 0,18 per ,15 0,18 per tai myöhempi 0,20 0,18

Tietojen laskentahetki λ α per ,15 0,18 per ,15 0,18 per tai myöhempi 0,20 0,18 SU/Vakuutusmatemaattnen ykskkö 6.3.07 (6) Rahastoonsrtovelvotteeseen ja perustekorkoon lttyvät laskentakaavat Soveltamnen. Rahastosrtovelvote RSV. Täydennyskerron b 6 Nätä laskentakaavoja sovelletaan täydennyskertomen,

Lisätiedot

Mittaustulosten käsittely

Mittaustulosten käsittely Mttaustulosten kästtely Vrhettä ja epävarmuutta lmasevat kästteet Tostokoe ja satunnasten vrheden tlastollnen kästtely. Mttaustulosten jakaumaa kuvaavat tunnusluvut. Normaaljakauma 7. Tostokoe ja suurmman

Lisätiedot

Kansainvälisen konsernin verosuunnittelu ja tuloksenjärjestely

Kansainvälisen konsernin verosuunnittelu ja tuloksenjärjestely Kansanvälsen konsernn verosuunnttelu ja tuloksenjärjestely Kansantaloustede Pro gradu -tutkelma Talousteteden latos Tampereen ylopsto Toukokuu 2007 Pekka Kleemola TIIVISTELMÄ Tampereen ylopsto Talousteteden

Lisätiedot

Työssä tutustutaan harmonisen mekaanisen värähdysliikkeen ominaisuuksiin seuraavissa

Työssä tutustutaan harmonisen mekaanisen värähdysliikkeen ominaisuuksiin seuraavissa URUN AMMAIKORKEAKOULU YÖOHJE (7) FYSIIKAN LABORAORIO V.2 2.2 38E. MEKAANISEN VÄRÄHELYN UKIMINEN. yön tavote 2. eoraa yössä tutustutaan harmonsen mekaansen värähdyslkkeen omnasuuksn seuraavssa tapauksssa:

Lisätiedot

4. A priori menetelmät

4. A priori menetelmät 4. A pror menetelmät 4. Arvofunkto-menetelmä 4.2 Lekskografnen järjestämnen 4.3 Tavoteohjelmont Tom Bäckström Optmontopn semnaar - Kevät 2000 / 4. Arvofunkto-menetelmä Päätöksentekjä antaa eksplsttsen

Lisätiedot

Epätäydelliset sopimukset

Epätäydelliset sopimukset Eätäydellset somukset Matt Rantanen 15.4.008 ysteemanalyysn Laboratoro Teknllnen korkeakoulu Estelmä 16 Matt Rantanen Otmonton semnaar - Kevät 008 Estelmän ssältö Eätäydellset somukset ja omstusokeus alanén

Lisätiedot

Yrityksen teoria ja sopimukset

Yrityksen teoria ja sopimukset Yrtyksen teora a sopmukset Mat-2.4142 Optmontopn semnaar Ilkka Leppänen 22.4.2008 Teemoa Yrtyksen teora: tee va osta? -kysymys Yrtys kannustnsysteemnä: ylenen mall Työsuhde vs. urakkasopmus -analyysä Perustuu

Lisätiedot

Painotetun metriikan ja NBI menetelmä

Painotetun metriikan ja NBI menetelmä Panotetun metrkan ja NBI menetelmä Optmontopn semnaar - Kevät / 1 Estelmän ssältö Paretopsteden generont panotetussa metrkossa Panotettu L p -metrkka Panotettu L -metrkka el panotettu Tchebycheff -metrkka

Lisätiedot

Mekaniikan jatkokurssi Fys102

Mekaniikan jatkokurssi Fys102 Mekankan jatkokurss Fys102 Syksy 2009 Jukka Maalamp LUENTO 2 Alkuverryttelyä Vääntömomentt Oletus: Vomat tasossa, joka on kohtsuorassa pyörmsaksela vastaan. Oven kääntämseen tarvtaan er suurunen voma

Lisätiedot

Työn tavoitteita. 1 Johdanto. 2 Ideaalikaasukäsite ja siihen liittyvät yhtälöt

Työn tavoitteita. 1 Johdanto. 2 Ideaalikaasukäsite ja siihen liittyvät yhtälöt FYSP103 / 1 KAASUTUTKIUS Työn tavotteta havannollstaa deaalkaasun tlanyhtälöä oa, mten lman kosteus vakuttaa havattavn lmöhn ja mttaustuloksn kerrata mttausöytäkrjan ja työselostuksen laatmsta Luento-

Lisätiedot

SU/Vakuutusmatemaattinen yksikkö (5)

SU/Vakuutusmatemaattinen yksikkö (5) SU/Vakuutusmatemaattnen ykskkö 0..06 (5) Rahastoonsrtovelvotteeseen ja perustekorkoon lttyvät laskentakaavat Soveltamnen. Rahastosrtovelvote RSV. Täydennyskerron b 6 Nätä laskentakaavoja sovelletaan täydennyskertomen,

Lisätiedot

4. Datan käsittely lyhyt katsaus. Havaitsevan tähtitieteen peruskurssi I, luento Thomas Hackman

4. Datan käsittely lyhyt katsaus. Havaitsevan tähtitieteen peruskurssi I, luento Thomas Hackman 4. Datan kästtel lht katsaus Havatsevan tähtteteen peruskurss I, luento 7..008 Thomas Hackman 4. Datan kästtel Ssältö Tähtteteellsten havantojen vrheet Korrelaato Funkton sovtus Akasarja-anals 4. Tähtteteellsten

Lisätiedot

Tavoitteet skaalaavan funktion lähestymistapa eli referenssipiste menetelmä

Tavoitteet skaalaavan funktion lähestymistapa eli referenssipiste menetelmä Tavotteet skaalaavan funkton lähestymstapa el referensspste menetelmä Optmontopn semnaar - Kevät 2000 / 1 Estelmän ssältö Panotetun metrkan ongelmen havatsemnen Referensspste menetelmän dean esttely Referensspste

Lisätiedot

Työllistääkö aktivointi?

Työllistääkö aktivointi? Jyväskylän ylopsto Matemaatts-luonnonteteellnen tedekunta Työllstääkö aktvont? Vakuttavuusanalyys havannovassa tutkmuksessa Elna Kokkonen tlastoteteen pro gradu tutkelma 31. elokuuta 2007 Tlastoteteen

Lisätiedot

FYSA220/2 (FYS222/2) VALON POLARISAATIO

FYSA220/2 (FYS222/2) VALON POLARISAATIO FYSA220/2 (FYS222/2) VALON POLARSAATO Työssä tutktaan valoaallon tulotason suuntasen ja stä vastaan kohtsuoran komponentn hejastumsta lasn pnnasta. Havannosta lasketaan Brewstern lan perusteella lasn tatekerron

Lisätiedot

TIES592 Monitavoiteoptimointi ja teollisten prosessien hallinta. Yliassistentti Jussi Hakanen syksy 2010

TIES592 Monitavoiteoptimointi ja teollisten prosessien hallinta. Yliassistentti Jussi Hakanen syksy 2010 TIES592 Montavoteoptmont ja teollsten prosessen hallnta Ylassstentt Juss Hakanen juss.hakanen@jyu.f syksy 2010 Interaktvset menetelmät Idea: päätöksentekjää hyödynnetään aktvsest ratkasuprosessn akana

Lisätiedot

3. Datan käsittely lyhyt katsaus

3. Datan käsittely lyhyt katsaus 3. Datan kästtel lht katsaus Havatsevan tähtteteen peruskurss I, luento..0 Thomas Hackman HTTPK I, kevät 0, luento 3 3. Datan kästtel Ssältö Tähtteteellsten havantojen vrheet Korrelaato Funkton sovtus

Lisätiedot

Mat /Mat Matematiikan peruskurssi C3/KP3-I Harjoitus 2, esimerkkiratkaisut

Mat /Mat Matematiikan peruskurssi C3/KP3-I Harjoitus 2, esimerkkiratkaisut Harjotus, esmerkkratkasut K 1. Olkoon f : C C, f(z) z z. Tutk, mssä pstessä f on dervotuva. Ratkasu 1. Jotta funkto on dervotuva, on sen erotusosamäärän f(z + ) f(z) raja-arvon 0 oltava olemassa ja ss

Lisätiedot

Paperikoneiden tuotannonohjauksen optimointi ja tuotefokusointi

Paperikoneiden tuotannonohjauksen optimointi ja tuotefokusointi TEKNILLINEN KORKEAKOULU Teknllsen fyskan koulutusohjelma ERIKOISTYÖ MAT-2.108 Sovelletun matematkan erkostyöt 22.4.2003 Paperkoneden tuotannonohjauksen optmont ja tuotefokusont Jyrk Maaranen 38012p 1 Ssällysluettelo

Lisätiedot

Tilastollisen fysiikan luennot

Tilastollisen fysiikan luennot Tlastollsen fyskan luennot Tvstelmät luvuttan I PERUSKÄSITTEITÄ JA MÄÄRITELMIÄ Lämpö on systeemen mkroskooppsten osen satunnasta lkettä Lämpöenerga vrtaa kuumemmasta kappaleesta kylmempään Jos kaks kappaletta

Lisätiedot

Lohkoasetelmat. Lohkoasetelmat. Lohkoasetelmat: Mitä opimme? Lohkoasetelmat. Lohkoasetelmat. Satunnaistettu täydellinen lohkoasetelma 1/4

Lohkoasetelmat. Lohkoasetelmat. Lohkoasetelmat: Mitä opimme? Lohkoasetelmat. Lohkoasetelmat. Satunnaistettu täydellinen lohkoasetelma 1/4 TKK (c) lkka Melln (005) Koesuunnttelu TKK (c) lkka Melln (005) : Mtä opmme? Tarkastelemme tässä luvussa seuraavaa kysymystä: Mten varanssanalyysssa tutktaan yhden tekän vakutusta vastemuuttujaan, kun

Lisätiedot

Kynä-paperi -harjoitukset. Taina Lehtinen Taina I Lehtinen Helsingin yliopisto

Kynä-paperi -harjoitukset. Taina Lehtinen Taina I Lehtinen Helsingin yliopisto Kynä-paper -harjotukset Tana Lehtnen 8.8.07 Tana I Lehtnen Helsngn ylopsto Etelä-Suomen ja Lapn lään, 400 opettajaa a. Perusjoukon (populaaton) muodostvat kakk Etelä-Suomen ja Lapn läänn peruskoulun opettajat

Lisätiedot

Rahastoonsiirtovelvoitteeseen ja perustekorkoon liittyvät laskentakaavat. Soveltaminen

Rahastoonsiirtovelvoitteeseen ja perustekorkoon liittyvät laskentakaavat. Soveltaminen SU/Vakuutusmatemaattnen ykskkö 0.4.05 Rahastoonsrtovelvotteeseen ja perustekorkoon lttyvät laskentakaavat Soveltamnen. Rahastosrtovelvote RSV. Täydennyskerron b 6 Nätä perusteta sovelletaan täydennyskertomen,

Lisätiedot

3.3 Hajontaluvuista. MAB5: Tunnusluvut

3.3 Hajontaluvuista. MAB5: Tunnusluvut MAB5: Tunnusluvut 3.3 Hajontaluvusta Esmerkk 7 Seuraavat kolme kuvaa osottavat, että jakaumlla vo olla sama keskarvo ja stä huolmatta ne vovat olla avan erlaset. Kakken kolmen keskarvo on 78,0! Frekvenss

Lisätiedot

Puupintaisen sandwichkattoelementin. lujuuslaskelmat. Sisältö:

Puupintaisen sandwichkattoelementin. lujuuslaskelmat. Sisältö: Puupntasen sandwchkattoelementn lujuuslaskelmat. Ssältö: Sandwch kattoelementn rakenne ja omnasuudet Laatan laskennan kulku Tulosten vertalua FEM-malln ja analyyttsen malln välllä. Elementn rakenne Puupntasa

Lisätiedot

SU/Vakuutusmatemaattinen yksikkö (6)

SU/Vakuutusmatemaattinen yksikkö (6) SU/Vakuutusmatemaattnen ykskkö 28.0.206 (6) Rahastoonsrtovelvotteeseen ja perustekorkoon lttyvät laskentakaavat Soveltamnen. Rahastosrtovelvote RSV 2. Täydennyskerron b 6 Nätä laskentakaavoja sovelletaan

Lisätiedot

Jaetut resurssit. Tosiaikajärjestelmät Luento 5: Resurssien hallinta ja prioriteetit. Mitä voi mennä pieleen? Resurssikilpailu ja estyminen

Jaetut resurssit. Tosiaikajärjestelmät Luento 5: Resurssien hallinta ja prioriteetit. Mitä voi mennä pieleen? Resurssikilpailu ja estyminen Tosakajärjestelmät Luento : Resurssen hallnta ja prorteett Tna Nklander Jaetut resursst Useat tapahtumat jakavat ohjelma-/lattesto-olota, jossa kesknänen possulkemnen on välttämätöntä. Ratkasuja: Ajonakanen

Lisätiedot

r i m i v i = L i = vakio, (2)

r i m i v i = L i = vakio, (2) 4 TÖRMÄYKSET ILMATYYNYPÖYDÄLLÄ 41 Erstetyn systeemn sälymslat Kun kaks kappaletta törmää tosnsa ne vuorovakuttavat keskenään tetyn ajan Vuorovakutuksella tarkotetaan stä että kappaleet vahtavat keskenään

Lisätiedot

Markov-prosessit (Jatkuva-aikaiset Markov-ketjut)

Markov-prosessit (Jatkuva-aikaiset Markov-ketjut) J. Vrtamo Lkenneteora a lkenteenhallnta / Markov-prosesst 1 Markov-prosesst (Jatkuva-akaset Markov-ketut) Tarkastellaan (statonaarsa) Markov-prosessea, oden parametravaruus on atkuva (yleensä aka). Srtymät

Lisätiedot

Ilmari Juva. Jalkapallo-ottelun lopputuloksen stokastinen mallintaminen

Ilmari Juva. Jalkapallo-ottelun lopputuloksen stokastinen mallintaminen Ilmar Juva 45727R Mat-2.108 Sovelletun matematkan erkostyö Jalkaallo-ottelun loutuloksen stokastnen mallntamnen 1 Johdanto Jalkaallo-ottelun loutuloksen mallntamsesta tlastollsn ja todennäkösyyslaskun

Lisätiedot

Painokerroin-, epsilon-rajoitusehtoja hybridimenetelmät

Painokerroin-, epsilon-rajoitusehtoja hybridimenetelmät Panokerron-, epslon-rajotusehtoja hybrdmenetelmät Optmontopn semnaar - Kevät 000 / Estelmän ssältö Ylestä jälkkätespreferenssmenetelmstä Panokerronmenetelmä Epslon-rajotusehtomenetelmä Hybrdmenetelmä Esmerkkejä

Lisätiedot

Sähkökiukaan kivimassan vaikutus saunan energiankulutukseen

Sähkökiukaan kivimassan vaikutus saunan energiankulutukseen LAPPEENRANNAN ENILLINEN YLIOPISO eknllnen tedekunta LU Energa Sähkökukaan kvmassan vakutus saunan energankulutukseen Lappeenrannassa 3.6.009 Lass arvonen Lappeenrannan teknllnen ylopsto eknllnen tedekunta

Lisätiedot

Yksikköoperaatiot ja teolliset prosessit

Yksikköoperaatiot ja teolliset prosessit Ykskköoperaatot ja teollset prosesst 1 Ylestä... 2 2 Faasen välnen tasapano... 3 2.1 Neste/höyry-tasapano... 4 2.1.1 Puhtaan komponentn höyrynpane... 4 2.1.2 Ideaalnen seos... 5 2.1.3 Epädeaalnen nestefaas...

Lisätiedot

Mat Lineaarinen ohjelmointi

Mat Lineaarinen ohjelmointi Mat-.4 Lneaarnen ohelmont 8..7 Luento 6 Duaaltehtävä (kra 4.-4.4) S ysteemanalyysn Lneaarnen ohelmont - Syksy 7 / Luentorunko Motvont Duaaltehtävä Duaalteoreemat Hekko duaalsuus Vahva duaalsuus Täydentyvyysehdot

Lisätiedot

6. Stokastiset prosessit (2)

6. Stokastiset prosessit (2) Ssältö Markov-prosesst Syntymä-kuolema-prosesst luento6.ppt S-38.45 - Lkenneteoran perusteet - Kevät 6 Markov-prosess Esmerkk Tark. atkuva-akasta a dskreetttlasta stokaststa prosessa X(t) oko tla-avaruudella

Lisätiedot

Epälineaaristen pienimmän neliösumman tehtävien ratkaiseminen numeerisilla optimointimenetelmillä (valmiin työn esittely)

Epälineaaristen pienimmän neliösumman tehtävien ratkaiseminen numeerisilla optimointimenetelmillä (valmiin työn esittely) Epälneaarsten penmmän nelösumman tehtäven ratkasemnen numeerslla optmontmenetelmllä valmn työn esttely Lar Pelkola 9.9.014 Ohjaaja/valvoja: Prof. Harr Ehtamo yön saa tallentaa ja julkstaa Aalto-ylopston

Lisätiedot

LAPPEENRANNAN TEKNILLINEN YLIOPISTO Kauppatieteiden tiedekunta Rahoitus VALUUTTAKURSSIRISKIN VAIKUTUS ARGENTIINAN OSAKEMARKKINOILLA

LAPPEENRANNAN TEKNILLINEN YLIOPISTO Kauppatieteiden tiedekunta Rahoitus VALUUTTAKURSSIRISKIN VAIKUTUS ARGENTIINAN OSAKEMARKKINOILLA LAPPEENRANNAN TEKNILLINEN YLIOPISTO Kauppateteden tedekunta Rahotus VALUUTTAKURSSIRISKIN VAIKUTUS ARGENTIINAN OSAKEMARKKINOILLA Kanddaatntutkelma Matt Jääskelänen 18.5.2007 SISÄLLYSLUETTELO 1 JOHDANTO...

Lisätiedot

FDS-OHJELMAN UUSIA OMINAISUUKSIA

FDS-OHJELMAN UUSIA OMINAISUUKSIA FDS-OHJELMAN UUSIA OMINAISUUKSIA Smo Hostkka VTT PL 1000, 02044 VTT Tvstelmä Fre Dynamcs Smulator (FDS) ohjelman vdes verso tuo mukanaan joukon muutoksa, jotka vakuttavat ohjelman käyttöön ja käytettävyyteen.

Lisätiedot

TYÖVOIMAKOULUTUKSEN VAIKUTUS TYÖTTÖMIEN TYÖLLISTYMISEEN

TYÖVOIMAKOULUTUKSEN VAIKUTUS TYÖTTÖMIEN TYÖLLISTYMISEEN VATT-TUTKIMUKSIA 85 VATT-RESEARCH REPORTS Juha Tuomala TYÖVOIMAKOULUTUKSEN VAIKUTUS TYÖTTÖMIEN TYÖLLISTYMISEEN Valton taloudellnen tutkmuskeskus Government Insttute for Economc Research Helsnk 2002 ISBN

Lisätiedot

REILUUS, SOSIAALISET PREFERENSSIT JA PELITEORIA

REILUUS, SOSIAALISET PREFERENSSIT JA PELITEORIA TAMPEREEN YLIOPISTO Talousteteden latos REILUUS, SOSIAALISET PREFERENSSIT JA PELITEORIA Kansantaloustede Pro gradu -tutkelma Marraskuu 2009 Ohaaat: Snkka Hämälänen Matt Tuomala Lsa Ekman TIIVISTELMÄ Tampereen

Lisätiedot

Säilörehun korjuuajan vaikutus maitotilan talouteen -lyhyen aikavälin näkökulma

Säilörehun korjuuajan vaikutus maitotilan talouteen -lyhyen aikavälin näkökulma Sälörehun korjuuajan vakutus matotlan talouteen -lyhyen akaväln näkökulma Elna Vauhkonen Mastern tutkelma Helsngn Ylopsto Helsnk 13.5.2011 Tedekunta/Osasto Fakultet/Sekton Faculty Latos Insttuton Department

Lisätiedot

7. Modulit Modulit ja lineaarikuvaukset.

7. Modulit Modulit ja lineaarikuvaukset. 7. Modult Vektoravaruudet ovat vahdannasa ryhmä, jossa on määrtelty jonkn kunnan skalaartomnta. Hyväksymällä kerronrakenteeks kunnan sjaan rengas saadaan rakenne nmeltä modul. Moduln käste on ss vektoravaruuden

Lisätiedot

TULEVAISUUDEN KILPAILUKYKY VAATII OSAAVAT TEKIJÄNSÄ. Suomen Ammattiin Opiskelevien Liitto - SAKKI ry

TULEVAISUUDEN KILPAILUKYKY VAATII OSAAVAT TEKIJÄNSÄ. Suomen Ammattiin Opiskelevien Liitto - SAKKI ry TULEVAISUUDEN KILPAILUKYKY VAATII OSAAVAT TEKIJÄNSÄ Suomen Ammattn Opskeleven Ltto - SAKKI ry AMMATILLINEN KOULUTUS MUUTOKSEN KOURISSA Suomalasen ammatllsen koulutuksen vahvuus on sen laaja-alasuudessa

Lisätiedot

1, x < 0 tai x > 2a.

1, x < 0 tai x > 2a. PHYS-C020 Kvanttmekankka Laskuharotus 2, vkko 45 Tarkastellaan ptkn x-aksela lkkuvaa hukkasta, onka tlafunkto on (x, t) Ae x e!t, mssä A, a! ovat reaalsa a postvsa vakota a) Määrtä vako A sten, että tlafunkto

Lisätiedot

VAIKKA LAINAN TAKAISIN MAKSETTAVA MÄÄRÄ ON SEN NIMELLISARVO, SIJOITTAJA VOI MENETTÄÄ OSAN MERKINTÄHINNASTA, JOS LAINA ON MERKITTY YLIKURSSIIN

VAIKKA LAINAN TAKAISIN MAKSETTAVA MÄÄRÄ ON SEN NIMELLISARVO, SIJOITTAJA VOI MENETTÄÄ OSAN MERKINTÄHINNASTA, JOS LAINA ON MERKITTY YLIKURSSIIN DANSKE BANK A/S 2017: NOUSEVA KIINA Lanakohtaset ehdot A. Sopmusehdot Nämä lanakohtaset ehdot muodostavat yhdessä 28.6.2012 pävättyyn sekä 8.8.2012, 5.11.2013 ja 13.2.2013 täydennettyyn ohjelmaestteeseen

Lisätiedot

Tuotteiden erilaistuminen: hintakilpailu

Tuotteiden erilaistuminen: hintakilpailu Tuotteden erlastumnen: hntaklalu Lass Smlä 19.03.003 Otmonton semnaar - Kevät 003 / 1 Johdanto Yrtykset evät yleensä halua tuottaa saman tuoteavaruuden tlan täyttävä tuotteta (syynä Bertrandn aradoks)

Lisätiedot

Maanhintojen vikasietoisesta mallintamisesta

Maanhintojen vikasietoisesta mallintamisesta Maanmttaus 8:-2 (2006) 5 Maanmttaus 8:-2 (2006) Saapunut 0.8.2005 ja tarkstettuna.4.2006 Hyväksytty 30.6.2006 Maanhntojen vkasetosesta mallntamsesta Marko Hannonen Teknllnen korkeakoulu, Kntestöopn laboratoro

Lisätiedot

3D-mallintaminen konvergenttikuvilta

3D-mallintaminen konvergenttikuvilta Maa-57.270, Fotogammetan, kuvatulknnan ja kaukokatotuksen semnaa 3D-mallntamnen konvegenttkuvlta nna Evng, 58394J 2005 1 Ssällysluettelo Ssällysluettelo...2 1. Johdanto...3 2. Elasa tapoja kuvata kohdetta...3

Lisätiedot

Suomen ja Ruotsin metsäteollisuuden kannattavuusvertailu v. 1971-78 31.10. 1979. No. 47. Pekka Ylä-Anttila

Suomen ja Ruotsin metsäteollisuuden kannattavuusvertailu v. 1971-78 31.10. 1979. No. 47. Pekka Ylä-Anttila El~r~H(r:n\! ElY~:, ~t/!.) TUTK,, J~- LJ.T ~ THE RESEARCH NSTrTUTE OF THE FNNSH ECONOMY Lönnrotnkatu 4 8, 0020 Helsnk 2, Fnland, tel. 60322 Pekka Ylä-Anttla Suomen ja Ruotsn metsäteollsuuden kannattavuusvertalu

Lisätiedot

KUVIEN LAADUN ANALYSOINTI

KUVIEN LAADUN ANALYSOINTI KUVIEN LAADUN ANALYSOINTI Lasse Makkonen 1.7.2003 Joensuun Ylopsto Tetojenkästtelytede Pro gradu tutkelma Tvstelmä Tutkelmassa luodaan katsaus krjallsuudessa esntyvn dgtaalsten kuven laadullsen analysonnn

Lisätiedot

Automaattinen 3D - mallinnus kalibroimattomilta kuvasekvensseiltä

Automaattinen 3D - mallinnus kalibroimattomilta kuvasekvensseiltä Maa-57.270 Fotogrammetran, kuvatulknnan ja kaukokartotuksen semnaar Automaattnen 3D - mallnnus kalbromattomlta kuvasekvensseltä Terh Ahola 2005 Ssällysluettelo 1 Johdanto...2 2 Perusteoraa...2 2.1 Kohteen

Lisätiedot

Yrityksen teoria. Lari Hämäläinen S ysteemianalyysin. Laboratorio. Teknillinen korkeakoulu

Yrityksen teoria. Lari Hämäläinen S ysteemianalyysin. Laboratorio. Teknillinen korkeakoulu Yrtyksen teora Lar Hämälänen.1.003 Yrtys Organsaato, joka muuttaa tuotantopanokset tuotteks ja tom tehokkaammn kun sen osat erllään Yrtys tenaa rahaa myynthnnan sekä ostohnnan ja aheutuneden kustannuksen

Lisätiedot

VERKKOJEN MITOITUKSESTA

VERKKOJEN MITOITUKSESTA J. Vrtamo 38.3141 Telelkenneteora / Verkon mtotus 1 VERKKOJEN MITOITUKSESTA 1. Prkytkentäset verkot Lnkken kapasteetten (johtoja/lnkk) määräämnen sten, että verkon kokonaskustannukset mnmotuvat, kun päästä-päähän

Lisätiedot

Luento 6 Luotettavuus Koherentit järjestelmät

Luento 6 Luotettavuus Koherentit järjestelmät Aalto-ylosto erustetede korkeakoulu Matematka a systeemaalyys latos Lueto 6 Luotettavuus Koherett ärestelmät Aht Salo Systeemaalyys laboratoro Matematka a systeemaalyys latos Aalto-ylosto erustetede korkeakoulu

Lisätiedot

4. MARKKINOIDEN TASAPAINOTTUMINEN 4.1. Tasapainoperiaate Yritysten ja kuluttajien välinen tasapaino

4. MARKKINOIDEN TASAPAINOTTUMINEN 4.1. Tasapainoperiaate Yritysten ja kuluttajien välinen tasapaino 4. MARKKINOIDEN TASAPAINOTTUMINEN 4.. Tasapanoperaate 4... Yrtysten ja kuluttajen välnen tasapano Näkymätön käs muodostuu kahdesta vakutuksesta: ) Yrtysten voton maksmont johtaa ne tuottamaan ntä hyödykketä,

Lisätiedot

ER-kaaviot. Ohjelmien analysointi. Tilakaaviot. UML-kaaviot (luokkakaavio) Tietohakemisto. UML-kaaviot (sekvenssikaavio) Kirjasto

ER-kaaviot. Ohjelmien analysointi. Tilakaaviot. UML-kaaviot (luokkakaavio) Tietohakemisto. UML-kaaviot (sekvenssikaavio) Kirjasto Ohelmen analsont Ohelmen kuvaamnen kaavolla ohelmen mmärtämnen kaavoden avulla kaavoden tuottamnen ohelmasta Erlasa kaavotppeä: ER-kaavot, tlakaavot, UML-kaavot tetohakemsto vuokaavot (tarkemmn) Vuoanals

Lisätiedot

HASSEN-WEILIN LAUSE. Kertausta

HASSEN-WEILIN LAUSE. Kertausta HASSEN-WEILIN LAUSE Kertausta Käytetään seuraava merkntjä F = F/F q on sukua g oleva funktokunta Z F (t = L F (t (1 t(1 qt on funktokunnan F/F q Z-funkto. α 1, α 2,..., α 2g ovat polynomn L F (t nollakohten

Lisätiedot

Palkanlaskennan vuodenvaihdemuistio 2014

Palkanlaskennan vuodenvaihdemuistio 2014 Palkanlaskennan vuodenvahdemusto 2014 Pkaohje: Tarkstettavat asat ennen vuoden ensmmästä palkanmaksua Kopo uudet verokortt. Samat arvot kun joulukuussa käytetyssä, lman kumulatvsa tetoja. Mahdollsest muuttuneet

Lisätiedot

Kokonaislukuoptimointi

Kokonaislukuoptimointi Kokonaslukuotmont Robust dskreett otmont ysteemanalyysn Laboratoro Teknllnen korkeakoulu Ar-Pekka Perkkö ovelletun matematkan tutkasemnaar Kevät 28 sältö Robustn lneaarsen kokonasluku- sekä sekalukuotmontongelman

Lisätiedot

Karttaprojektion vaikutus alueittaisten geometristen tunnuslukujen määritykseen: Mikko Hämäläinen 50823V Maa-123.530 Kartografian erikoistyö

Karttaprojektion vaikutus alueittaisten geometristen tunnuslukujen määritykseen: Mikko Hämäläinen 50823V Maa-123.530 Kartografian erikoistyö Karttaprojekton vakutus aluettasten geometrsten tunnuslukujen määrtykseen: Mkko Hämälänen 50823V Maa-23.530 Kartografan erkostyö SISÄLLYSLUETTELO JOHDANTO... 4. TUTKIMUKSEN LÄHTÖKOHTA... 4.2 RAPORTISTA...

Lisätiedot

Tarkastellaan kuvan 8.1 (a) lineaarista nelitahoista elementtiä, jonka solmut sijaitsevat elementin kärkipisteissä ja niiden koordinaatit ovat ( xi

Tarkastellaan kuvan 8.1 (a) lineaarista nelitahoista elementtiä, jonka solmut sijaitsevat elementin kärkipisteissä ja niiden koordinaatit ovat ( xi Elementtmenetelmän erusteet 8. 8 D-SOLIDIRKEEE 8. ohdanto Kolmulottesa soldelementtejä tartaan kolmulottesten kaaleden mallntamseen. ällön tarkasteltaan kaaleen geometralla e ole ertsrtetä jotka teksät

Lisätiedot

Mat Tilastollinen päättely 7. harjoitukset / Tehtävät. Hypoteesien testaus. Avainsanat:

Mat Tilastollinen päättely 7. harjoitukset / Tehtävät. Hypoteesien testaus. Avainsanat: Mat-.36 Tlastollnen päättely 7. harjotukset Mat-.36 Tlastollnen päättely 7. harjotukset / Tehtävät Aheet: Avansanat: ypoteesen testaus. lajn vrhe,. lajn vrhe, arhaton test, ylkäysalue, ylkäysvrhe, ypotees,

Lisätiedot

Eräs Vaikutuskaavioiden ratkaisumenetelmä

Eräs Vaikutuskaavioiden ratkaisumenetelmä Mat-2.142 Optmontopn semnaar, s-99 28.9. 1999 Semnaarestelmän referaatt Joun Ikonen Lähde: Ross D. Schachter: Evaluatng nfluence dagrams, Operatons Research, Vol 34, No 6, 1986 Eräs Vakutuskaavoden ratkasumenetelmä

Lisätiedot

TKK @ Ilkka Mellin (2008) 1/24

TKK @ Ilkka Mellin (2008) 1/24 Mat-.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B Mat-.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B / Ratkasut Aheet: Mtta-astekot Havatoaesto kuvaame ja otostuusluvut Avasaat: Artmeette keskarvo, Frekvess, Frekvessjakauma,

Lisätiedot

Timo Tarvainen PUROSEDIMENTIIANALYYSIEN HAVAINNOLLISTAMINEN GEOSTATISTIIKAN KEINOIN. Outokumpu Oy Atk-osasto

Timo Tarvainen PUROSEDIMENTIIANALYYSIEN HAVAINNOLLISTAMINEN GEOSTATISTIIKAN KEINOIN. Outokumpu Oy Atk-osasto Tmo Tarvanen PUROSEDMENTANALYYSEN HAVANNOLLSTAMNEN GEOSTATSTKAN KENON Outokumpu Oy Atk-osasto PUROSEDMENTTANALYYSEN HAVANNOLLSTAMNEN GEOSTATSSTKAN KENON 1. Johdanto Nn sanotulla SKALAn alueella (karttaleht

Lisätiedot

Mat Lineaarinen ohjelmointi

Mat Lineaarinen ohjelmointi Mat-2.340 Lneaarnen ohjelmont 3.9.2007 Luento Johdanto (krja.-.4) S ysteemanalyysn Laboratoro eknllnen korkeakoulu Eeva Vlkkumaa Lneaarnen ohjelmont - Syksy 2007 / Luentorunko Hstoraa Lneaarnen optmonttehtävä

Lisätiedot

Vesipuitedirektiivin mukainen kustannustehokkuusanalyysi maatalouden vesienhoitotoimenpiteille Excel sovelluksena

Vesipuitedirektiivin mukainen kustannustehokkuusanalyysi maatalouden vesienhoitotoimenpiteille Excel sovelluksena Vesputedrektvn mukanen kustannustehokkuusanalyys maatalouden vesenhototomenptelle Excel sovelluksena En Kunnar Helsngn ylopsto Talousteteen latos Ympärstöekonoma Pro gradu tutkelma Maaluu 2008 Tedekunta/Osasto

Lisätiedot

Segmentointimenetelmien käyttökelpoisuus

Segmentointimenetelmien käyttökelpoisuus Metsäteteen akakauskrja t e d o n a n t o Rasa Sell Segmentontmenetelmen käyttökelposuus ennakkokuvonnssa Rasa Sell Sell, R. 00. Segmentontmenetelmen käyttökelposuus ennakkokuvonnssa. Metsäteteen akakauskrja

Lisätiedot

5. Datan käsittely lyhyt katsaus. Havaitsevan tähtitieteen peruskurssi I, luento Thomas Hackman

5. Datan käsittely lyhyt katsaus. Havaitsevan tähtitieteen peruskurssi I, luento Thomas Hackman 5. Datan kästtel lht katsaus Havatsevan tähtteteen peruskurss I, luento 7.4.006 Thomas Hackman 5. Datan kästtel Ssältö Tähtteteellsten havantojen vrheet Korrelaato Funkton sovtus Akasarja-anals 5. Tähtteteellsten

Lisätiedot

10.5 Jaksolliset suoritukset

10.5 Jaksolliset suoritukset 4.5 Jaksollset suortukset Tarkastellaa tlaetta, jossa asakas tallettaa pakktllle tostuvast yhtäsuure rahasumma k aa korkojakso lopussa. Asakas suorttaa talletukse kertaa. Lasketaa tlllä oleva pääoma :e

Lisätiedot

FYSIIKAN LABORATORIOTYÖT 1 761121P

FYSIIKAN LABORATORIOTYÖT 1 761121P FYSIIKAN LABORATORIOTYÖT 76P Espuhe Fyskassa pyrtään löytämään luonnosta lanalasuuksa, jota vodaan mtata kokeellsest ja kuvata matemaattsest. Tässä kurssssa tutustutaan yksnkertasten mttausvälneden käyttöön

Lisätiedot

Kuntoilijan juoksumalli

Kuntoilijan juoksumalli Rakenteden Mekankka Vol. 42, Nro 2, 2009, s. 61 74 Kuntoljan juoksumall Matt A Ranta ja Lala Hosa Tvstelmä. Urhelututkmuksen melenknnon kohteena ovat yleensä huppu-urheljat. Tuokon yksnkertastettu juoksumall

Lisätiedot

Kanoniset muunnokset

Kanoniset muunnokset Kanonset muunnokset Koordnaatstomuunnokset Lagrangen formalsmssa pstemuunnoksa: Q = Q (q, t) nopeudet saadaan nästä dervomalla Kanonnen formalsm: p:t ja q:t samanarvosa 2n-ulottesen faasavaruuden muuttuja

Lisätiedot

COULOMBIN VOIMA JA SÄHKÖKENTTÄ, PISTEVARAUKSET, JATKUVAT VARAUSJAKAUMAT

COULOMBIN VOIMA JA SÄHKÖKENTTÄ, PISTEVARAUKSET, JATKUVAT VARAUSJAKAUMAT COUOMBIN VOIMA JA SÄHKÖKENTTÄ, PISTEVARAUKSET, JATKUVAT VARAUSJAKAUMAT SISÄTÖ: Coulombn voma Sähkökenttä Coulombn voman a sähkökentän laskemnen pstevaaukslle Jatkuvan vaauksen palottelemnen pstevaauksks

Lisätiedot

BL20A0600 Sähkönsiirtotekniikka

BL20A0600 Sähkönsiirtotekniikka BLA6 Sähkönsrtoteknkka Tehonaon laskenta Jarmo Partanen LT Energy Electrcty Energy Envronment Srtoverkkoen laskenta Verkon tehonaon laskemnen srron hävöt ännteolosuhteet ohtoen kuormttumnen verkon käyttäytymnen

Lisätiedot

JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO JULKISEN JA YKSITYISEN SEKTORIN VÄLISET PALKKAEROT SUOMESSA 2000-LUVULLA

JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO JULKISEN JA YKSITYISEN SEKTORIN VÄLISET PALKKAEROT SUOMESSA 2000-LUVULLA JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO Talousteteden tedekunta JULKISEN JA YKSITYISEN SEKTORIN VÄLISET PALKKAEROT SUOMESSA 2000-LUVULLA Kansantaloustede, Pro gradu- tutkelma Huhtkuu 2007 Laatja: Terh Maczulskj Ohjaaja:

Lisätiedot

PPSS. Roolikäyttäytymisanalyysi 28.03.2011. Tämän raportin on tuottanut: MLP Modular Learning Processes Oy Äyritie 8 A FIN 01510 Vantaa info@mlp.

PPSS. Roolikäyttäytymisanalyysi 28.03.2011. Tämän raportin on tuottanut: MLP Modular Learning Processes Oy Äyritie 8 A FIN 01510 Vantaa info@mlp. PP Roolkäyttäytymsanalyys Roolkäyttäytymsanalyys Rool: Krjanptäjä Asema: Laskentapäällkkö Organsaato: Mallyrtys Tekjä: Matt Vrtanen 8.0.0 Tämän raportn on tuottanut: MLP Modular Learnng Processes Oy Äyrte

Lisätiedot

157 TYÖTTÖMYYS- VAKUUTUS- JÄRJESTELMÄN EMU- PUSKUROINTI

157 TYÖTTÖMYYS- VAKUUTUS- JÄRJESTELMÄN EMU- PUSKUROINTI VATT-KESKUSTELUALOITTEITA VATT-DISCUSSION PAPERS 157 TYÖTTÖMYYS- VAKUUTUS- JÄRJESTELMÄN EMU- PUSKUROINTI Pas Holm ja Mkko Mäknen Valton taloudellnen tutkmuskeskus Government Insttute for Economc Research

Lisätiedot

Geneettiset algoritmit ja luonnossa tapahtuva mikroevoluutio

Geneettiset algoritmit ja luonnossa tapahtuva mikroevoluutio Mat-2.108 Sovelletun matematkan erkostyöt Geneettset algortmt ja luonnossa tapahtuva mkroevoluuto 11.5.2005 Teknllnen korkeakoulu Systeemanalyysn laboratoro Oll Stenlund 47068f 1 Johdanto 3 2 Geneettset

Lisätiedot

Taustaa. Sekventiaalinen vaikutuskaavio. Päätöspuista ja vaikutuskaavioista. Esimerkki: Reaktoriongelma. Johdantoa sekventiaalikaavioon

Taustaa. Sekventiaalinen vaikutuskaavio. Päätöspuista ja vaikutuskaavioista. Esimerkki: Reaktoriongelma. Johdantoa sekventiaalikaavioon Taustaa Sekventaalnen vakutuskaavo Sekventaalnen päätöskaavo on 1995 ovalun ja Olven esttämä menetelmä päätösongelmen mallntamseen, fomulontn ja atkasemseen. Päätöspuun omnasuukssta Hyvää: Esttää eksplsttsest

Lisätiedot

VATT-TUTKIMUKSIA 124 VATT RESEARCH REPORTS. Tarmo Räty* Jussi Kivistö** MITATTAVISSA OLEVA TUOTTAVUUS SUOMEN YLIOPISTOISSA

VATT-TUTKIMUKSIA 124 VATT RESEARCH REPORTS. Tarmo Räty* Jussi Kivistö** MITATTAVISSA OLEVA TUOTTAVUUS SUOMEN YLIOPISTOISSA VATT-TUTKIMUKSIA 124 VATT RESEARCH REPORTS Tarmo Räty* Juss Kvstö** MITATTAVISSA OLEVA TUOTTAVUUS SUOMEN YLIOPISTOISSA Valton taloudellnen tutkmuskeskus Government Insttute for Economc Research Helsnk

Lisätiedot

Saatteeksi. Vantaalla vuoden 2000 syyskuussa. Hannu Kyttälä Tietopalvelupäällikkö

Saatteeksi. Vantaalla vuoden 2000 syyskuussa. Hannu Kyttälä Tietopalvelupäällikkö Saatteeks Tomtlojen rakentamsta seurattn velä vme vuoskymmenen lopulla säännöllsest vähntään kerran vuodessa tehtävllä raportella. Monsta tosstaan rppumattomsta ja rppuvsta systä johtuen raportont loppu

Lisätiedot

Soile Kulmala. Yksikkökohtaiset kalastuskiintiöt Selkämeren silakan kalastuksessa: bioekonominen analyysi

Soile Kulmala. Yksikkökohtaiset kalastuskiintiöt Selkämeren silakan kalastuksessa: bioekonominen analyysi Sole Kulmala Ykskkökohtaset kalastuskntöt Selkämeren slakan kalastuksessa: boekonomnen analyys Helsngn Ylopsto Talousteteen latos Selvtyksä nro 29 Ympärstöekonoma Helsnk 2005 Ssällys 1 Johdanto... 1 1.1

Lisätiedot