Moderni portfolioteoria

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Moderni portfolioteoria"

Transkriptio

1 Modern portfoloteora Helsngn Ylopsto Kansantalousteteen Kanddaatntutkelma Juho Kostanen ( )

2 2 1. Johdanto Sjotusmarkknat Osakemarkknat Lanamarkknat Muut sjotusnstrumentt Modernn portfoloteoran rakennuspalkat Arvopapern tuotto Portfolon tuotto Osakkeden tuoton odotusarvo Osakkeen tuottojen varanss rskn mttana Kovaranss Vaadttavat oletukset Markowtzn porfoloteora Osakkeden yhtesvahtelu Tehokas rntama Tehokkaan portfolon muodostamnen Sjottajan hyötyfunkto Tehokas salkku esmerkkanestosta Parametren estmont Portfolon optmont Tulokset Sjotussalkku ja rsktön korko Rsktön lanaamnen ja tallettamnen portfolossa Varallsuuden allokont Rskn ja tuoton muutosten vakutus varallsuuden allokontn CAP-mall Markknaportfolo Pääomamarkknasuora Osakemarkknasuora Karakterstnen suora Johtopäätökset Lähteet Ltteet... 28

3 3 1.Johdanto Modernn portfoloteoran lähtökohta on sjotussalkun tehokas hajauttamnen rskn penentämseks. Sjottajan tavotteena on saada mahdollsmman hyvää tuottoa sjotukslleen penmmällä mahdollsella rskllä. Arvopapermarkknolla on suur määrä osakketa ja muta sjotusnstrumenttejä, josta sjottaja vo valta tselleen parhaten sopvat. Modern portfoloteora antaa sjottajalle matemaattsen ja tlastollsen pohjan valta hänen preferensselleen sopvan optmaalsen sjotusportfolon. Modernn portfoloteoran perustan esttel nobelst Harry Markowtz artkkelssaan Portfolo Selecton (Journal of Fnance 1952). Markowtz havats, että er osakkeden tuottojen korrelaatot vahtelevat systemaattsest, jollon sjotussalkun kannalta paras hajautushyöty saadaan valtsemalla osakketa joden tuotot korrelovat mahdollsmman vähän. Tällön tosen osakkeen mahdollnen kursslasku kompensotuu muden osakkeden kurssnousulla, jollon koko sjotussalkun rsk penenee, mutta tuotto pysyy ennallaan. Kun osakkeden tuottoa mtataan tuoton odotusarvolla, ja rskä tuoton keskhajonnalla, pystymme matemaattsn menetelmn valtsemaan ne osakkeet sjotussalkkuun, jotka antavat sjottajalle parhamman mahdollsen hajautushyödyn. Amerkkalanen talousteteljä James Tobn jatko Markowtzn malln kehttämstä edelleen, artkkelssaan Lqudty preference as behavor towards rsk, (The Revew of Economc Studes 1958). Tobn ott sjotussalkun yhdeks nstrumentks rskttömän koron, jonka tehtävänä on säädellä salkun rsktasoa. Tobnn hahmottelema varallsuuden allokontteora kertoo, mssä suhteessa sjottajan tuls valta salkkuunsa rskllsä arvopapereta ja tosaalta rskttömä korkosjotuksa. Wllam Sharpe esttel vuonna 1964 Captal asset prcng malln, joka yksnkertastaa Markowtzn ja Tobnn teorota. Sharpen mallssa yksttästen osakkeden tuottojen vahtelua e vertalla keskenään vaan ntä verrataan markknaportfolon tuottoon. Osakkeen rskä mtataan osakkeen Beta-kertomella, joka kertoo osakkeen rsktasosta suhteessa markknaportfolon rskn. Tutkelmassan pyrn ntomaan yhdeks kokonasuudeks kakk kolme modernn portfoloteoraan lttyvää teoraa, auttaen nän lukjaa ymmärtämään modernn

4 4 portfoloteoran koko krjon. Hyvn matemaattsen teoran havannollstamseks pyrn myös laskemaan yksnkertasa esmerkkejä mallen melekkyyden testaamseks. 2.Sjotusmarkknat Sjotusmarkknat ovat Suomessa tunnetust olleet hyvn pankktalletuskeskeset. Tämä juontaa juurensa sjotusten säätelystä ennen 1990-luvun tatetta, jollon sjotustomnta vapautu ja ulkomaset raha- ja sjotusmarkknat avautuvat luvun alusta lähten arvoper-nstrumentten osuus suomalasten rahotusvarallsuudesta on kasvanut (Martkanen 2006, ). Rahotusnstrumentten krjo on myös kasvanut humast kahden vuoskymmenen akana. Etenkn monen tavallsen säästäjän valkomaan ovat tulleet mukaan sjotusrahastot, jotka ovat pensjottajalle hyvä välne saada akaan hajautushyötyä penelläkn alkupääomalla. Sjotusportfolo ptää ssällään kakk sjottajan omstamat arvopapert ja pankktalletukset, stä kutsutaan arkkelessä nmellä sjotussalkku. Lähtökohtasest sjottajat ovat knnostuneet kunka hedän sjotuksensa tuottavat kokonasuutena, jollon sjotusportfolon tuoton optmonta vodaan ptää melekkäänä lähtökohtana sjotusnstrumentteja valttaessa Osakemarkknat Pörssosakkeet ovat yks perntesstä rskllsstä sjotusmuodosta. Osakkeden tuotot muodostuvat osakkeelle maksetusta osngosta sekä osakkeen arvon noususta. Osakkeden hnnanmuodostus tapahtuu markknolla kysynnän ja tarjonnan mukaan. Osakkeden hnnat perustuvat yrtyksen substanssarvon lsäks ptkält yrtyksen tulevasuuden odotuksn, jonka taka osakkeden tuottojen ennustamnen etukäteen on lähes mahdotonta. Mtä epävarmemmat ovat tulevasuuden tuotot, stä suurempaa tuottoa yl rskttömän koron sjottajat osakkelta vaatvat. Osakemarkknat ovat hyvn lkvdt, joka tarkottaa stä, että osakkeden muuttamnen rahaks onnstuu vavattomast. Suomen osakemarkknat ovat tutkmusten mukaan keskvahvalla muodolla tehokkata. Tällön osakkeden kursst ssältävät jo akasemman kursshstoran, ekä tätä voda käyttää hyväks tulevan kursskehtyksen ennustamseen. Seuraamalla uutta markkna- ja yrtyskohtasta nformaatota e ole mahdollsta saada yltuottoja, koska nformaato välttyy hntohn nopeast.

5 5 Osakkeden erkosprteenä on lyhyeksmyynt, el osakkeden lanaamnen. Tämä tarkottaa osakkeden myyntä ennen kun ne on hankttu, jollon deana on hyötyä mahdollsesta kursslaskusta. Lyhyeksmyynnn suorttaja myy osakkeet eteenpän aamulla, mutta lunastaa jo eteenpän myymänsä osakkeet vasta llalla. Tomeksantaja tekee ss kaupalla vottoa, jos osakekursst ovat aamulla korkeammalla kun llalla. Lyhyeksmyynnssä osakkeden pano sjotussalkussa on negatvnen Lanamarkknat Lanamarkknat vodaan jakaa kahteen osaan: rahamarkknohn, jotka ptävät ssällään alle vuoden mttaset talletukset ja lanat, sekä joukkovelkakrjamarkknohn, jotka puolestaan ovat yl vuoden mttasa sjotusvaateta. Euroakana rahamarkknakoron määrää Euroopan keskuspankn ohjauskorko. Ohjauskorko määrttää rskttömän koron, jolla on keskenen rool sekä sjotusportfolon muodostamsessa, että osakkeden hnnottelussa. Rsktön korko kertoo mllä hnnalla rahaa saadaan lanaks, ta mllä hnnalla stä vodaan tallettaa lman rskä. Korkojen noustessa osakkeden suhteellnen klpalukyky hekkenee, koska osakkesta saatava tuotto yl rskttömän koron penenee. Joukkovelkakrjat ovat julksenvallan ta yrtyksen lkkeelle laskema lanatodstuksa, jolle maksetaan knteä korko. Mkäl joukkovelkakrjan ptää tsellään koko juoksuajan, e etenkään valton lkkeelle laskemssa lanossa ole rskä menettää rahojaan. Joukkovelkakrjohn lttyy kutenkn jotakn rskejä, kuten nflaatorsk, lkvdteettrsk, korkorsk ja konkurssrsk (yrtyslanossa). Joukkovelkakrjat ovat yks hyvä nstrumentt arvopapersalkun hajauttamsessa, koska ne tarjoavat varmaa tuottoa suhdantesta rppumatta Muut sjotusnstrumentt Asuntomarkknat ovat suomalasten suurn yksttänen sjotuskohde, ekä stä tule jättää huomotta rakennettaessa henklökohtasta sjotussalkkua. Asuntosjotusten analysonnssa käytetään myös hyväks portfoloteoraa, joka tosn sop vahtelevas-

6 6 t mona ertysprtetä omaavlle asuntomarkknolle. Asuntomarkknolle onkn sovellettu Johdannasmarkknat ovat yks nopeten kasvava sjotusmuoto, ja stä käytetäänkn laajast rsken hallntaan. Sjotusportfolon rskä vodaan lsätä ta vähentää johdannasten avulla, suojautumalla kursslaskujen varalta ta hakemalla vpuvakutusta kurssnousuun. Sjotussalkun muodostamsessa kesktyn nässä puttessa lähnnä pörssosakkesn sekä rskttömään korkoon. 3. Modernn portfoloteoran rakennuspalkat Modern portfoloteora ptää ssällään mona matemaattsa ja tlastollsa menetelmä. Kuten edellä manttn, osakkeden tuleva lkketä e pystytä etukäteen ennustamaan, joten tarvttavat parametrt on laskettava hstorallssta muutokssta, sekä käyttämällä todennäkösyyksä tulevsta lkkestä. Osakkeden hstorallset lkkeet antavat kutenkn osvttaa osakkeden käyttäytymsen luonteesta. Tällä perusteella tuleva tapahtuma vodaan yrttää mallntaa Arvopapern tuotto Arvopapern hstorallnen kesktuotto r saadaan kun arvopapern hnnasta myynthetkellä vähennetään ostohnta ja erotus jaetaan ostohnnalla. Tuottoapproksmaato vodaan lmasta myös logartmsena tuottona, joka on luonnollnen logartm myynt- ja ostohnnan suhteesta. (2.1) r X X 1 0 = ta X 0 r = ln X X 1 0 Osnkotuotot on myös otettava huomoon arvopapern tuoton laskemsessa. Osnkojen määrä dskontataan myynthetkeen ja lsätään myynthntaan, jollon myynthnnaks tulee osakkeen myyntarvo lsättynä osnkojen nykyarvoon.

7 Portfolon tuotto Portfolon tuotto on sen ssältämen arvopaperen tuottojen summa. Oletetaan, että portfolo ssältää n arvopapera. Kutakn osaketta on salkussa panolla w, jollon panojen summa on yks. (2.2) w = 1 n = 1 Portfolon tuotto R saadaan summaamalla sen osakkeden tuotot ja panojen summat. (2.3) R = wr n = 1 Sjottajan kannalta onkn oleellsta tarkastella kakken sjotusten yhtestä tuottoa, kun arvodaan yksttäsen sjotuksen onnstumsta Osakkeden tuoton odotusarvo Osakkeen tuotto muodostuu osngosta ja osakkeen arvon noususta. Osakkeden ja osnkojen arvoa tulevasuudessa e pystytä etukäteen määrttelemään. Nden tuleva tuottoja on arvotava todennäkösten tulemen pohjalta. Osakkaan odotusarvo E(x) muodostuu satunnasmuuttujasta x, joka on tuoton mahdollnen realsaato, sekä sen todennäkösyydestä p. (2.4) E( x) = µ = x p n = 1 Tuoton odotusarvo on sten kakken vahtoehtosten realsaatoden panotettu keskarvo, jossa panokertomna ovat todennäkösyydet Osakkeen tuottojen varanss rskn mttana Osakkeen rsk vodaan jakaa kahteen osaan: osakekohtaseen rskn ja markknarskn. Markknarsk tarkottaa koko osakemarkknohn vakuttava suhdanteden muutoksa, jotka vakuttavat lähes kakkn osakkesn. Osakekohtanen rsk on tettyyn osakkeeseen lttyvä hntarsk. Osakekohtasta rskä pystytään vähentämään hajauttamalla sjotussalkku useampaan er osakkeeseen. Modern portfoloteora

8 8 (MPT) tutk juur hajauttamsen tehokkuutta ja antaa välneet optmoda kuluttajan salkun ssällön epävarmuuden valltessa. Varanss kertoo osakkeen rskstä. Mtä suuremp varanss, stä enemmän osakkeen tuotot vahtelevat keskarvon ympärllä, ja stä epävarmempa ovat odotetut tuotot. Osakkessa rsk tarkottaa ss epävarmuutta stä mkä on tuleva tuotto. Varanss e mttaa anoastaan osakkeden rskä tuoton penenemselle, vaan myös keskarvon yläpuolella tapahtuvaa vahtelua. Sjottajan kannalta rskä on anoastaan alaspän tapahtuva vahtelu, jota vodaan mtata sem-varansslla. Tuottojen normaaljakautumaoletuksen ansosta vahtelut keskarvon ympärllä ovat symmetrset, joten varanssa vodaan ptää valdna rskn mttana, jollon emme tarvtse sem-varanssa. (Sharpe , 1990). Varanss ² on nelö satunnasmuuttujan x pokkeamasta sen odotusarvosta x, jonka jokanen tulema kerrotaan velä sen todennäkösyydellä. Keskhajonta el volatlteett saadaan ottamalla varansssta ² nelojuur. (2.5) Var = ² = n = 1 p ( x x) 2 Varanss on ana e-negatvnen luku, johtuen toseen potenssn korottamsesta. Volatlteett kertoo kunka monta prosentta osakkeden tuotot keskmäärn vahtelevat keskarvon ympärllä 68 %:n todennäkösyydellä Kovaranss Kovaranss on keskenen tekjä portfolon optmonnssa. Se mttaa kahden osakkeen tuottojen välstä yhtesvahtelua. Kovaranss rppuu osakkeden x ja y välsestä korrelaatosta, joten se vodaan lmasta myös korrelaaton ja keskhajontojen summana. Postvnen kovaranss tarkottaa stä, että osakkeden tuotot lkkuvat keskmäärn enemmän samaan suuntaan. (2.6) COVx, y = p ( x x)( y y) N = 1 (2.7) COVx, y = ρ xyσ xσ y Korrelaato saa ana arvoja välltä +1 ja -1. Kun korrelaato on +1 vahtelevat kahden osakkeen tuotot täysn samaan tahtn, ja vastaavast korrelaaton ollessa -1 osakkeden lkkeet ovat täysn vastakkassuuntasa.

9 Vaadttavat oletukset Portfoloteoran ylesyyden taka on tehtävä muutama yksnkertastava oletuksa. Oletetaan, että markknat ovat täydellset nn, että arvopapert ovat jaettavssa äärettömän penn yksköhn, ekä verotusta ja transaktokustannuksa oteta huomoon. Informaaton oletetaan olevan lmasta ja kakken saatavlla. Rskttömän korot oletetaan olevan sama sekä lanatessa että talletettaessa, ja lanaa on kakken tomjoden saatavlla tasapuolsest (Bellemore 1979 s.152). Sjotusten pävttäset tuotot oletetaan normaaljakautuneks. Tällön pystymme kuvaamaan tuotot odotusarvon µ ja varanssn 2 σ avulla. 4. Markowtzn porfoloteora Harry Markowtzä pdetään modernn portfoloteoran sänä. Hän hahmottel luvun alussa matemaattsen menetelmän optmaalsen sjotussalkun muodostamseen. Portfolon valnnan tavotteena on valta tehokas salkku, joka tuottaa: 1. suurmman odotetun tuoton annetulla rsktasolla ta 2. penmmän mahdollsen rskn annetulla tuottotasolla. Sjottajan on sten tasapanoteltava odotettujen tuottojen ja rskn välllä (Bellemore 1979 s.153). Sjottajalla on tetty alkuvarallsuus, jonka hän haluaa sjottaa ennalta määrätyks ajaks. Kyseessä on yhden perodn mall, jossa sjottajan valtsee ajan hetkellä t=0 mtä er arvopapereta hän ostaa salkkuunsa. Ajan hetkellä t=1 sjottaja myy sjotuksen ta optmo uudestaan sjotussalkkunsa ssällön. Se mtä arvopapereta sjottaja salkkuunsa valtsee, rppuu arvopaperen tuoton odotusarvosta ja varansssta sekä er osakkeden odotettujen tuottojen yhtesvahtelusta, el kovaransssta (Sharpe , 1990). Markowtzn portfolon hajautus perustuu er arvopaperen odotettujen tuottojen yhtesvahtelun erohn. Jos arvoperen tuotot lkkuvat er suuntn, kumoaa tosen arvopapern tuotto tosesta syntyneen tappon. Tällön koko salkun tuotto e romahda yhden osakkeen epäonnstuessa. Kun tämän ajattelumalln mukasest salkkuun valtaan useta osakketa joden tuotot yhtesvahtelevat mahdollsmman vastakkases-

10 10 t keskenään, saadaan arvopapersalkku, jonka keskmääränen tuotto on samalla tasolla kun yksttäsen osakkeen, mutta rsktaso on huomattavast alhasemp. Yhteen osakkeeseen sjottanut osakkeenomstaja kantaa suurempaa rskä kun portfoloon sjottanut, sllä portfolossa osakekohtanen rsk on hajautettu pos Osakkeden yhtesvahtelu Alotetaan tehokkaden arvopaperyhdstelmen tarkastelu kahden arvopapern tapauksesta. Portfolo ssältää kahta arvopapera A ja B. Arvopaper A on penemprsksemp kun B, mutta vastaavast sllä on penemp tuotto-odotus kun B:llä. Jos osakkeden A ja B tuotot lkkuvat ana samaan suuntaan, el nden korrelaato on yks, saadaan nästä osakkesta portfolo valtsemalla jokn pste suoralta A-B kuvosta 2.1. Tällön portfolon tuotto on osakkeden tuottojen panotettu keskarvo. Salkun keskhajonta on vastaavast A:n ja B:n panotettu keskhajonta, joten hajauttamalla e saada penennettyä kokonasrskä. Mkäl osakkeden tuotot evät vahtele täysn samaan suuntaan, vaan oletetaan korrelaaton olevan 0,3 saadaan portfolo valttua kaarevalta lnjalta välllä A-B. Tällön on tehokkaampaa valta portfoloon kumpaakn osaketta, koska hajauttamalla saadaan parempaa tuottoa samalla rskllä, jollon keskhajonta on penemp kun keskhajonnan panotettu keskarvo. Jos osakkeden A ja B tuotot lkkuvat täysn er suuntn, el nden korrelaato on -1, vodaan portfolo valta A:n ja B;n välseltä lnjalta, joka kulkee y-akseln kautta. Tällön on mahdollsta muodostaa salkku joka on täysn rsktön. Rsktön salkku saavutetaan valtsemalla osakkeden panot nden varanssen kääntesessä suhteessa. Salkun tuotto e vo kutenkaan ylttää rsktöntä korkoa, jos sen täysn rsktön.

11 11 E(x) ρ = 1 B ρ = 0.3 ρ = 1 A 0 σ 2 = var Kuvo 2.1, Kahdesta osakkeesta muodostettava salkku er korrelaatolla Osakkeden tuottojen korrelaatoden eroavuus yhdestä mahdollstaa hajauttamalla saatavan rskn penenemsen. Intutvsest vodaan ajatella, että ulkopuolset shokt vakuttavat osakkeden arvoon er tavalla, jollon hajautuksella vodaan penentää yhden osakkeen hekkenemsestä johtuva tappo. Jos osakkeden tuottojen korrelaatot ovat negatvsa, nousee tosen osakkeen arvo kun tosen arvo laskee. Esmerkks kohonnut öljyn hnta penentää kuljetusyhtöden tuottoja, mutta vastaavast parantaa öljy-yhtöden tuottoja. Kun portfolo ssältää molempa osakketa päädytään edelleen keskmääräseen tuottoon. Emprsestä anestosta on vakea löytää osakketa joden korrelaatot olsvat negatvsa, joten rskttömän salkun muodostamnen on hypoteettnen ajatus, mutta lähes korrelomattomlla osakkellakn saavutetaan jo merkttävää hajautushyötyä Tehokas rntama Kahden osakkeen mallsta vodaan srtyä tarkastelemaan portfolota, joka ssältää n kappaletta er arvopapereta. Useamman osakkeen tapauksessa vodaan portfolo muodostaa kaksta saatavssa olevsta arvopaperesta. Jokanen arvopaper saa panon w salkussa kutenkn sten, että panot summatuvat ykköseen. n 4.1 w = 1. Er arvopaperen yhdstelmät muodostavat nn sanotun käyvän alueen, joka ssältää kakk mahdollset er arvoparen yhdstelmät. Käypä alue on vasemmalle konveks joukko, joka muodostuu kuvossa 2.2 psteden A, B ja C läp kulkevan rntaman okealle puolelle (Luenberger 1998, s ).

12 12 Sjottajat ovat kutenkn knnostuneta mahdollsmman hyvn hajautetusta salkusta, joka antaa penmmän varanssn annetulla tuotolla. Tätä optmaalsta sjotussalkkujen joukkoa kutsutaan tehokkaaks rntamaks, joka on kuvossa 2.2 psteden B ja C välnen paksu vva. Tehokkaalla rntamalla sjatsevlla portfololla on paras mahdollnen tuotot suhteessa rskn. E(x) Tehokas rntama C B Käypä alue A Mn var σ 2 = var Kuvo 2.2, Tehokas rntama ja käypä alue 4.3. Tehokkaan portfolon muodostamnen Tehokkaan rntaman portfoloden ssältö vodaan ratkasta mnmomalla salkun varanssa rajotteena annettu tuotto r ja panojen summautuessa ykköseks. Yhtälössä 3.1 σ j on osakkeden välnen kovaranss ja kerron ½ varanssn edessä on mukavuustekjä, joka tekee lopullsesta muodosta yksnkertasemman. n 1 (3.1) Mn w w jσ, j 2, j= 1 Rajotteet: n =1 w r = r n w = 1 = 1

13 13 Mnmontongelmasta vodaan ratkasta Lagrangen menetelmällä osakkeden panot salkussa. n n (3.2) = n L 1 2 w w jσ j λ w r r w j= = µ 1, 1 1 = 1 Ratkastaan ensmmäsen kertaluvun ehdot ottamalla osttasdervaatat kakken muuttujen suhteen ja asettamalla ne nollaks, josta saadaan ulos optmaalset osakkeden panot salkussa. Tarkastamalla tosen kertaluvun ehdot varmstetaan että kyseessä on mnm. Yllä estetty ongelma vo antaa osakkeden panoks myös negatvsa arvoja, joka tarkottaa, että osaketta on myyty lyhyeks. Jos lyhyeksmyyntä e sallta mnmontongelmassa, tulee rajottesn lsätä ehto w 0. Tätä yhtälöä e kutenkaan vo enää ratkasta lneaarslla menetelmllä, vaan avuks tulee ottaa nelö-optmont, jollon tosen kertaluvun ehtojen tarkstamseen tarvtaan myös Kuhn-Tucker-ehtoja (Luenberger 1998, s ) Sjottajan hyötyfunkto Kun tehokas rntama on ratkastu, rppuu sjottajan preferenssestä mnkä osakeyhdstelmän hän valtsee. Nätä preferenssejä vodaan kuvata sjottajan ndffenrensskäyrllä tuoton ja keskhajonnan suhteen. Sjottajlla on luonnollsest erlasa preferenssejä rskn ja tuoton suhteen. Sjottajen suhtautumsta rskn, el rskaversota vodaan mallntaa Von Neuman- Morgensten hyötyfunktolla sjoutusvarallsuudesta w, jossa hyöty rppuu negatvsest rskstä ja postvsest tuotosta. 3.3 E[U(w)]=E( ). Ylesest oletetaan, että ratonaalsest käyttäytyvä henklö on rskn kahtaja, jollon hänen hyötyfunktonsa on konkaav. Erkostapauksssa sjottaja vo olla myös rskn rakastaja, jollon hänen hyötyfunktonsa on konveks, ta rskneutraal, jollon hyötyfunkto on lneaarnen.

14 14 Rskn sedon astetta vodaan mallntaa Arrow-Pratt rskmtalla, kaava 3.4. Hyötyfunkton tosen dervaatan suhde ensmmäseen dervaattaan kertoo hyötyfunkton konkaavsuuden asteen, joka mttaa rskaverson suuruutta. Mtä konkaavmp hyötyfunkto on, stä suuremp on rskaverso el stä penemprsksempä sjotuksa henklö suos. 3.4 R( w) = u ( w) u ( w) Sjottajan preferenssejä vodaan kuvata ndfferensskäyrllä, jossa vaaka-aksellla on rsk ja pystyaksellla tuotto. Mtä korkeammalle ndfferensskäyrälle kuluttaja pääsee stä suuremp on hänen hyötynsä. Kuvossa 5.1 sjottaja A:n ndfferensskäyrät ovat huomattavast enemmän konveksejä, joten hänellä on suuremp rskaverso kun B:llä, joka hänkn on rskn kahtaja. Tuotto = µ I 3 I 2 I 1 Tuotto = µ I 3 I 2 I 1 A) Rsk = σ B) Rsk = σ Kuvo 2.3 Sjottajen A) ja B) ndfferensskäyrä, jossa A) kahtaa enemmän rskä kun B) Lkuttaessa ptkn ndfferensskäyrää sjottajan hyöty pysyy samana. Kussakn psteessä ndfferensskäyrän jyrkkyys kertoo, paljonko sjottaja on valms lsäämään rskä tuoton kasvaessa. Kun tehokas rntama on määrtelty, sjottaja valtsee osakeyhdstelmän jossa hän maksmo oman hyötyfunktonsa. Graafsest tämä vodaan esttää sten, että sjottaja valtsee osakesalkun tehokkaasta rntamasta snä kohdassa jossa hän saavuttaa korkemman ndfferensskäyrän.

15 15 E(x) I 2 I 1 C Tehokas rntama B Käypä alue A Mn var σ 2 = var Kuvo 2.4 Sjottajan optmaalsen portfolon valnta. Pste, jossa tehokas rntama svuaa sjottajan ndfferensskäyrää, osottaa sjottajan hyödyn maksmovan osakesalkun. Ratonaalsest käyttäytyvä rskä kahtava sjottaja valtseekn juur kysesen salkun Tehokas salkku esmerkkanestosta Teoreettsen tarkastelun havannollstamseks olen laskenut esmerkn portfolon optmonnsta okella pörssosakkella. Tarkasteltavaks valtsn vs knnostavaa suomalasta pörssyhtötä, jotka kukn edustavat er tomaloja. Esmerkksalkku ssältää Nokan, Sampon, UPM-Kymmenen, Fortumn ja Wärtslän osakketa. Esmerkssä osakkeden määrä on rajattu vteen estmotaven parametren määrän rajottamseks, mutta todellsuudessa sjottajalla on mahdollsta valta salkkuunsa osakketa kakken pörssosakkeden joukosta Parametren estmont Emprnen tutkmus lähtee lkkeelle osakkeden kursshstoran tetojen hankkmsella. Tarkasteluajanjaksoks valttn yks vuos, ja havannot ovat ajalta Käytn esmerkssä osakkeden kuukauden päätöskursseja, josta laskn jokaselle osakkeelle logartmset kuukaustuotot (kaava 2.1). Osnkotuottoja e ole huomotu esmerkssä malln yksnkertastamseks. Seuraava askel on lattaa kuukaustuotot matrsn ja laskea tuottojen keskarvot kullekn osakkeelle. Kun tedämme keskmääräset tuotot, vomme laskea osakke-

16 16 den kuukausttaset yltuotot kovaranssen laskemseks. Yltuottojen matrs täytyy velä transponoda varanss-kovaranss-matrsn laskemseks. Varansskovaranss-matrs saadaan kertomalla yltuottomatrs sen transpooslla (kaava 2.6), (Lte 1, esmerkn taulukot). Osakkeden odotusarvojen (kaava 2.3) ja varanssen (kaava 2.5) oletettn vastaavan nden hstorallsten tuottojen ja varanssen tasoa. Estmonnn parantamseks ols mahdollsta käyttää esmerkks kutstamsmenetelmää tuleven tuottojen estmonnssa, mutta se on jätetty tämän työn ulkopuolelle Portfolon optmont Tarkotuksena on selvttää osakkeden optmaalset panot sjotussalkussa. Optmont suortetaan Exceln optmonttyökalulla (solver). Ensmmäseks lasketaan mnmvaranssportfolo. Optmonttyökalu laskee portfolon osakkeden panot, jotka mnmovat salkun rskn rajottena panojen summautumnen yhteen, sekä suurmman mahdollsen tuoton annetulla varansslla. Optmont on estetty formaalssa muodossa kaavassa 3.1.Tuloksena saadaan salkku, joka kannattaa valta jos haluaa sjottaa kysesn osakkesn mahdollsmman penellä rskllä. Mnmvaransssalkun panot ovat seuraavat: Optmaalset panot Noka 0,62 Sampo 0,00 UPM 0,03 Fortum 0,35 Wärtslä 0,00 summa 1 Taulukko 4.1 Mnmvaransssalkun osakkeden panot Portfolon rskn mnmovan sjottajan tuls antaa osakkelle panot: Noka 62%, Fortum 35% ja UPM-Kymmene 3%. Wärtslän ja Sampon osakkeet saavat panon nolla. Salkun vuosttaseks keskhajonnaks saadaan 13,34 % ja vuostuotoks 14,41 %.Samalla mekankalla vodaan laskea tehokas portfolo mlle tahansa annetulle tuotto- ta rsktasolle. Kakk optmaalset portfolot muodostavat yhdessä tehokkaan rntaman (Kappale 3.2). Tehokkaan rntaman vo muodostaa laskemalla kaks optmaalsta portfolota. Yhdstelemällä nätä kahta porfolota er kertomlla vodaan muodostaa kakk muut tehokkaat portfolot.

17 17 Laskn tosen tehokkaan porfolon jonka vuostuotto on 20,20 % ja volatlteett 15,72%. Optmpanoks saatn Noka 26,64%, Sampo 26,77% ja Fortum 46,60%. Vertalukohdaks vodaan ottaa portfolo, jossa jokasen osakkeen panoks on annettu 20%. Tällasen salkun tuotto on 16,6% ja volatlteett 15,6%. Tästä vomme havata, että tehokkaalla portfolon allokonnlla saadaan n.3% parempaa tuottoa samalla rsktasolla verrattuna portfoloon joka on hajautettu tasajaolla Tulokset Kuvossa 2.1 on estetty osakkeet tuotto-rsk-yhdstelmät, sekä tehokas rntama. Kuvosta vomme havata, että sjottamalla portfoloon saamme parempaa tuottoa annetulla rsktasolla, ta vastaavast penemmän rskn annetulla tuottotasolla kun yksttässtä osakkesta, joten esmerkk tukee Markowtzn teoraa. Tulosten melekkyydestä on kutenkn vakea tehdä johtopäätöksä, koska tulevasuuden kursskehtys osottaa onko salkku ollut lähellä optmaalsta allokaatota. Vakeuksa optmonssa aheuttaa lähtöparametren estmont, sllä tuotot ja kovaransst perustuvat hstorallseen dataan, ekä sten voda tetää mten tuotot ja varansst tulevasuudessa käyttäytyvät. Kovaranssen estmonnssa ols hyvä käyttää pdempää akasarjaa tarkempen estmaatten saavuttamseks. 30,00 % 25,00 % Fortum Tuotto 20,00 % 15,00 % Tehokas rntama Sampo Wärtslä 10,00 % Noka UPM 5,00 % 0,00 % 0,00 % 5,00 % 10,00 % 15,00 % 20,00 % 25,00 % 30,00 % Keskhajonta Kuvo 2.1 Tehokas rntama ja osakkeden tuotto-rsk yhdstelmät Esmerkn apuna on käytetty krjaa Bennnga, Smon Fnancal modelng 2000.

18 18 5.Sjotussalkku ja rsktön korko Tutkelman alussa manttn, että rskttömät korkosjotukset ovat suomalaslle merkttävä sjotuskohde, joten on syytä myös analysoda rsktöntä korkoa osana sjotusportfolota. Rskttömän koron volatlteett on nolla, joten se tarjoaa varmaan tuottoa. Osakesjotukset hajautetaan edelleen tehokkaast kuten edellsessä kappaleessa, jollon saadaan kunkn tuoton mnmova volatlteett. Oletetaan malln yksnkertastamseks, että kaklla sjottajlla on mahdollsuus lanata rahaa rskttömällä korolla, vakka todellsuudessa lanan saanta saattavat rajottaa sjottajan vakuudet Rsktön lanaamnen ja tallettamnen portfolossa Osakkeden ja rskttömän koron muodostaman portfolon tuotto R saadaan laskemalla kaavasta 5.1, jossa α, α [0,1] on osakesjotusten pano salkussa, rf rsktön korko ja r sjotussalkun odotettu tuotto. (5.1) R = ( 1 α ) rf + α * r (5.2) σ p = α * σ s Vastaavalla tavalla saadaan laskettua yhdstetyn portfolon keskhajonta σ p kaavasta 5.2, jossa rskttömän koron keskhajonta on nolla, jollon portfolon rsk muodostuu osakesalkun rskstä. Osakesalkun allokaatota muuttamalla sjottaja vo säädellä sjotuksensa rskä ta tuottoa. Rsk vähenee kun alfaa kasvatetaan, jollon myös vastaavast tuotto penenee (Luenberg , 1998). Kuvossa 4.1 on havannollstettu sjottajan valntaa rsk-tuotto -akselstossa. Mkäl sjottaja lattaa osan rahostaan rskttömään korkoon ja osan osakesalkkuun, sjatsee hänen portfolonssa suoralla r f - S, jollon tuotto ja rsk ovat penemmät kun sjotettaessa pelkästään osakesalkkuun. Jos sjottaja valtsee salkun psteestä S ylävstoon osottavalta suoralta, lanaa hän rahaa rskttömällä korolla, ja sjottaa lanaamansa rahat osakeportfoloon. Sjottaja saa osakesalkkua parempaa tuottoa velan vpuvakutuksen ansosta, mutta samalla rsktaso on velatonta osakesalkkua korkeamp.

19 19 R Talletus Lana Tehokas rntama S= Tangenttportfolo r f Kuvo 5.1, Lanaamnen ja tallettamnen sjotusportfolossa σ Tämän separaatoteoraks kutsutun varallsuuden allokontmenetelmän estt nobelst James Tobn artkkelssaan Lqudty preference as behavor toward rsk, Separaatoteorassa sjottajan salkun valnta jakautuu kahteen vahteeseen: 1. Sjottaja valtsee osakeportfolon Markowtzn teoran mukasest tehokkaasta rntamasta. 2. Sen jälkeen sjottaja valtsee preferenssensä mukaan kunka suur osuus sjotetaan osakesalkkuun ja paljonko sjotetaan rskttömään korkoon. Sjottaja valtsee ana nn sanotun tangenttportfolon, joka saadaan prtämällä vva, joka alkaa rskttömän koron tasolta ja tangeeraa tehokasta rntamaa, kuvo 5.1. Optmaalsta osakesalkkua valttaessa e tarvta enää tetoa sjottajan preferenssestä, sllä ne vakuttavat enää sjottajan valntaan osakeportfolon ja rskttömän koron suhteesta. Malla, jossa sjottaja valtsee yhden osakesalkun ja vahtelee koko portfolon rskä rskttömän koron määrällä kutsutaan myös yhden rahaston teoraks (sngle ndex model). Kappaleessa kuus kästtelemme tasapanomalla, jossa kakk sjottajat ostavat tätä samaa rahastoa Varallsuuden allokont Sjottajan varallsuuden allokaato rppuu hänen rsksetokyvystään, jota edellä kuvattn hyötyfunkton avulla. Sjottaja ss optmo rsksjotusten ja rskttömän koron suhteen ottaen huomoon oman hyötyfunktonsa. Mtä enemmän sjottaja kart-

20 20 taa rskä, stä penemmäks osakesjotusten osuus jää. Jätetään formaalnen tarkastelu seuraavaan kappaleeseen ja kesktytään tässä graafseen tarkasteluun. Tällön alfan suuruus vodaan määrttää psteessä, jossa ndfferensskäyrän tangeeraa pääoman allokontsuoraa. Kuvon 4.2 psteestä, jossa ndfferenss käyrä I tangeeraa osakkeen allokontsuoraa, prretään suora vva alaspän. Tämä osottaa koordnaatston alapuolsella osalla osakesjotusten osuuden α 1. R I r s r 1 r f 0 σ 1 σ s σ α 1 1 α Kuvo 4.2 Alfan ollessa 1, sjottaja lattaa koko varallsuutensa osakeportfoloon. Kun alfa on <1, jakaa sjottaja rahansa rskttömään korkoon ja osakeportfoloon. Vastaavast kun alfa on >1, ottaa sjottaja lanaa alkuvarallsuutensa lsäks ja sjottaa nämäkn varat osakeportfoloon. (Tobn, 1958.) 5.3. Rskn ja tuoton muutosten vakutus varallsuuden allokontn Osake- ja korkomarkknolla tapahtuvat tuotto- ja rsktasojen muutokset vakuttavat sjottajan portfolon allokaatoon rskttömän koron ja osakkeden välllä. Osakkeden rsktason kohoamnen johtaa pääoman allokontsuoran kulmakertomen penenemseen. Stä kautta kuluttaja joutuu alemmalle ndfferensskäyrälle. Uudessa sjottajan optmssa osakesjotusten määrä on laskenut, ja rskttömen korkos-

21 21 jotusten määrä vastaavast kasvanut. Intutvsest tulknta on melekäs, koska rskä karttavan sjottajan uskotaan penentävän rsksjotusten määrää kun markknatlanne muuttuu epävarmemmaks (Tobn, 1958). Vastaavast osakkeden tuottojen noustessa nden osuus koko portfolossa kasvaa. Tämä johtuu pääoman allokaatosuoran jyrkkenemsestä, joka tekee osakesjotukssta houkuttelevampa kun akasemmn. Rskttömän koron noustessa osakkeden osuus portfolossa laskee, koska nden tuotto yl rskttömän koron penenee. Tämä taas johtaa osakkeden hntojen laskuun kysynnän penentyessä. Osakemarkknat reagovat herkäst nflaato-odotusten muutoksn, mkä johtuu juur korkeata nflaatota seuraavasta rskttömän koron noususta. Sjottajan tulee olla valms muuttamaan portfolonsa allokaatota markknatlanteen muuttuessa, koska parametren muuttuessa salkku e välttämättä ole enää optmaalnen sjottajan kannalta. Rskttömks korkosjotuksks lasketaan lyhyet pankktalletukset, jotka luetaan mukaan lavean M3 rahan määrtelmään. Tobn estt spekulatvsen rahan kysynnän määräytyvän juur separaatoteoran mukasest sjotustarkotuksesta. Sten osakkeden tuotto- ja rsktasot vakuttavat välllsest myös rahan kysyntään. 6. CAP-mall Portfoloanalyysn yksnkertastamseks Treynor ('61), Sharpe ('64) and Lntner ('65), kehttvät Captal Asset Prcng Model menetelmän. CAP-mallssa oletetaan, että kakk sjottajat ovat hajauttaneet osakesalkkunsa optmaalsest, jollon osakkeden hntohn vakuttaa van nden markknarsk, ekä osakekohtasen rskn kannosta makseta korvausta. Markknanformaaton oletetaan olevan lmasta, sekä kakken saatavlla. Tästä seuraa, että kakk sjottavat samaan osakeportfoloon ja säätelevät rsktasoa rskttömän koron määrällä. Kyseessä on tasapanomall, jollon markknoden tulee olla tasapanossa, ja osakkeden oken hnnoteltuja suhteessa nden rskn. Lsäoletuksena sjottajen tulevasuuden odotusten tulee olla homogeenset, ja rajaton lyhyeksmyynt sallttua. Yksttäsen osakkeen mttana käytetään keskhajonnan sjaan betakerronta, joka kertoo osakkeen markknarskstä.

Kuluttajahintojen muutokset

Kuluttajahintojen muutokset Kuluttajahntojen muutokset Samu Kurr, ekonomst, rahapoltkka- ja tutkmusosasto Tutkmuksen tausta ja tavotteet Tavaroden ja palveluden hnnat evät muutu jatkuvast, vaan ovat ana jossan määrn jäykkä lyhyellä

Lisätiedot

A250A0100 Finanssi-investoinnit Harjoitukset 24.03.15

A250A0100 Finanssi-investoinnit Harjoitukset 24.03.15 A50A000 Fnanss-nvestonnt Hajotukset 4.03.5 ehtävä. akknapotolon keskhajonta on 9 %. Laske alla annettujen osakkeden ja makknapotolon kovaanssen peusteella osakkeden betat. Osake Kovaanss A 40 B 340 C 60

Lisätiedot

Tchebycheff-menetelmä ja STEM

Tchebycheff-menetelmä ja STEM Tchebycheff-menetelmä ja STEM Optmontopn semnaar - Kevät 2000 / 1 1. Johdanto Tchebycheff- ja STEM-menetelmät ovat vuorovakuttesa menetelmä evät perustu arvofunkton käyttämseen pyrkvät shen, että vahtoehdot

Lisätiedot

Tietojen laskentahetki λ α per ,15 0,18 per ,15 0,18 per tai myöhempi 0,20 0,18

Tietojen laskentahetki λ α per ,15 0,18 per ,15 0,18 per tai myöhempi 0,20 0,18 SU/Vakuutusmatemaattnen ykskkö 6.3.07 (6) Rahastoonsrtovelvotteeseen ja perustekorkoon lttyvät laskentakaavat Soveltamnen. Rahastosrtovelvote RSV. Täydennyskerron b 6 Nätä laskentakaavoja sovelletaan täydennyskertomen,

Lisätiedot

JOHDANNAISTEN KÄYTTÖ JOUKKOVELKAKIRJALAINASALKUN RISKIENHALLINNASSA: empiirinen tutkimus kotimaisista pitkän koron rahastoista vuosilta 2001 2005.

JOHDANNAISTEN KÄYTTÖ JOUKKOVELKAKIRJALAINASALKUN RISKIENHALLINNASSA: empiirinen tutkimus kotimaisista pitkän koron rahastoista vuosilta 2001 2005. TAMPEREEN YLIOPISTO Talousteteden latos JOHDANNAISTEN KÄYTTÖ JOUKKOVELKAKIRJALAINASALKUN RISKIENHALLINNASSA: emprnen tutkmus kotmassta ptkän koron rahastosta vuoslta 2001 2005. Kansantaloustede Pro gradu

Lisätiedot

SU/Vakuutusmatemaattinen yksikkö (5)

SU/Vakuutusmatemaattinen yksikkö (5) SU/Vakuutusmatemaattnen ykskkö 0..06 (5) Rahastoonsrtovelvotteeseen ja perustekorkoon lttyvät laskentakaavat Soveltamnen. Rahastosrtovelvote RSV. Täydennyskerron b 6 Nätä laskentakaavoja sovelletaan täydennyskertomen,

Lisätiedot

FYSA220/2 (FYS222/2) VALON POLARISAATIO

FYSA220/2 (FYS222/2) VALON POLARISAATIO FYSA220/2 (FYS222/2) VALON POLARSAATO Työssä tutktaan valoaallon tulotason suuntasen ja stä vastaan kohtsuoran komponentn hejastumsta lasn pnnasta. Havannosta lasketaan Brewstern lan perusteella lasn tatekerron

Lisätiedot

Mat /Mat Matematiikan peruskurssi C3/KP3-I Harjoitus 2, esimerkkiratkaisut

Mat /Mat Matematiikan peruskurssi C3/KP3-I Harjoitus 2, esimerkkiratkaisut Harjotus, esmerkkratkasut K 1. Olkoon f : C C, f(z) z z. Tutk, mssä pstessä f on dervotuva. Ratkasu 1. Jotta funkto on dervotuva, on sen erotusosamäärän f(z + ) f(z) raja-arvon 0 oltava olemassa ja ss

Lisätiedot

3. Datan käsittely lyhyt katsaus

3. Datan käsittely lyhyt katsaus 3. Datan kästtel lht katsaus Havatsevan tähtteteen peruskurss I, luento..0 Thomas Hackman HTTPK I, kevät 0, luento 3 3. Datan kästtel Ssältö Tähtteteellsten havantojen vrheet Korrelaato Funkton sovtus

Lisätiedot

Jaetut resurssit. Tosiaikajärjestelmät Luento 5: Resurssien hallinta ja prioriteetit. Mitä voi mennä pieleen? Resurssikilpailu ja estyminen

Jaetut resurssit. Tosiaikajärjestelmät Luento 5: Resurssien hallinta ja prioriteetit. Mitä voi mennä pieleen? Resurssikilpailu ja estyminen Tosakajärjestelmät Luento : Resurssen hallnta ja prorteett Tna Nklander Jaetut resursst Useat tapahtumat jakavat ohjelma-/lattesto-olota, jossa kesknänen possulkemnen on välttämätöntä. Ratkasuja: Ajonakanen

Lisätiedot

Rahastoonsiirtovelvoitteeseen ja perustekorkoon liittyvät laskentakaavat. Soveltaminen

Rahastoonsiirtovelvoitteeseen ja perustekorkoon liittyvät laskentakaavat. Soveltaminen SU/Vakuutusmatemaattnen ykskkö 0.4.05 Rahastoonsrtovelvotteeseen ja perustekorkoon lttyvät laskentakaavat Soveltamnen. Rahastosrtovelvote RSV. Täydennyskerron b 6 Nätä perusteta sovelletaan täydennyskertomen,

Lisätiedot

SU/Vakuutusmatemaattinen yksikkö (6)

SU/Vakuutusmatemaattinen yksikkö (6) SU/Vakuutusmatemaattnen ykskkö 28.0.206 (6) Rahastoonsrtovelvotteeseen ja perustekorkoon lttyvät laskentakaavat Soveltamnen. Rahastosrtovelvote RSV 2. Täydennyskerron b 6 Nätä laskentakaavoja sovelletaan

Lisätiedot

Lohkoasetelmat. Lohkoasetelmat. Lohkoasetelmat: Mitä opimme? Lohkoasetelmat. Lohkoasetelmat. Satunnaistettu täydellinen lohkoasetelma 1/4

Lohkoasetelmat. Lohkoasetelmat. Lohkoasetelmat: Mitä opimme? Lohkoasetelmat. Lohkoasetelmat. Satunnaistettu täydellinen lohkoasetelma 1/4 TKK (c) lkka Melln (005) Koesuunnttelu TKK (c) lkka Melln (005) : Mtä opmme? Tarkastelemme tässä luvussa seuraavaa kysymystä: Mten varanssanalyysssa tutktaan yhden tekän vakutusta vastemuuttujaan, kun

Lisätiedot

r i m i v i = L i = vakio, (2)

r i m i v i = L i = vakio, (2) 4 TÖRMÄYKSET ILMATYYNYPÖYDÄLLÄ 41 Erstetyn systeemn sälymslat Kun kaks kappaletta törmää tosnsa ne vuorovakuttavat keskenään tetyn ajan Vuorovakutuksella tarkotetaan stä että kappaleet vahtavat keskenään

Lisätiedot

Painokerroin-, epsilon-rajoitusehtoja hybridimenetelmät

Painokerroin-, epsilon-rajoitusehtoja hybridimenetelmät Panokerron-, epslon-rajotusehtoja hybrdmenetelmät Optmontopn semnaar - Kevät 000 / Estelmän ssältö Ylestä jälkkätespreferenssmenetelmstä Panokerronmenetelmä Epslon-rajotusehtomenetelmä Hybrdmenetelmä Esmerkkejä

Lisätiedot

Epälineaaristen pienimmän neliösumman tehtävien ratkaiseminen numeerisilla optimointimenetelmillä (valmiin työn esittely)

Epälineaaristen pienimmän neliösumman tehtävien ratkaiseminen numeerisilla optimointimenetelmillä (valmiin työn esittely) Epälneaarsten penmmän nelösumman tehtäven ratkasemnen numeerslla optmontmenetelmllä valmn työn esttely Lar Pelkola 9.9.014 Ohjaaja/valvoja: Prof. Harr Ehtamo yön saa tallentaa ja julkstaa Aalto-ylopston

Lisätiedot

1, x < 0 tai x > 2a.

1, x < 0 tai x > 2a. PHYS-C020 Kvanttmekankka Laskuharotus 2, vkko 45 Tarkastellaan ptkn x-aksela lkkuvaa hukkasta, onka tlafunkto on (x, t) Ae x e!t, mssä A, a! ovat reaalsa a postvsa vakota a) Määrtä vako A sten, että tlafunkto

Lisätiedot

Säilörehun korjuuajan vaikutus maitotilan talouteen -lyhyen aikavälin näkökulma

Säilörehun korjuuajan vaikutus maitotilan talouteen -lyhyen aikavälin näkökulma Sälörehun korjuuajan vakutus matotlan talouteen -lyhyen akaväln näkökulma Elna Vauhkonen Mastern tutkelma Helsngn Ylopsto Helsnk 13.5.2011 Tedekunta/Osasto Fakultet/Sekton Faculty Latos Insttuton Department

Lisätiedot

4. MARKKINOIDEN TASAPAINOTTUMINEN 4.1. Tasapainoperiaate Yritysten ja kuluttajien välinen tasapaino

4. MARKKINOIDEN TASAPAINOTTUMINEN 4.1. Tasapainoperiaate Yritysten ja kuluttajien välinen tasapaino 4. MARKKINOIDEN TASAPAINOTTUMINEN 4.. Tasapanoperaate 4... Yrtysten ja kuluttajen välnen tasapano Näkymätön käs muodostuu kahdesta vakutuksesta: ) Yrtysten voton maksmont johtaa ne tuottamaan ntä hyödykketä,

Lisätiedot

3D-mallintaminen konvergenttikuvilta

3D-mallintaminen konvergenttikuvilta Maa-57.270, Fotogammetan, kuvatulknnan ja kaukokatotuksen semnaa 3D-mallntamnen konvegenttkuvlta nna Evng, 58394J 2005 1 Ssällysluettelo Ssällysluettelo...2 1. Johdanto...3 2. Elasa tapoja kuvata kohdetta...3

Lisätiedot

Mat Tilastollinen päättely 7. harjoitukset / Tehtävät. Hypoteesien testaus. Avainsanat:

Mat Tilastollinen päättely 7. harjoitukset / Tehtävät. Hypoteesien testaus. Avainsanat: Mat-.36 Tlastollnen päättely 7. harjotukset Mat-.36 Tlastollnen päättely 7. harjotukset / Tehtävät Aheet: Avansanat: ypoteesen testaus. lajn vrhe,. lajn vrhe, arhaton test, ylkäysalue, ylkäysvrhe, ypotees,

Lisätiedot

Maanhintojen vikasietoisesta mallintamisesta

Maanhintojen vikasietoisesta mallintamisesta Maanmttaus 8:-2 (2006) 5 Maanmttaus 8:-2 (2006) Saapunut 0.8.2005 ja tarkstettuna.4.2006 Hyväksytty 30.6.2006 Maanhntojen vkasetosesta mallntamsesta Marko Hannonen Teknllnen korkeakoulu, Kntestöopn laboratoro

Lisätiedot

COULOMBIN VOIMA JA SÄHKÖKENTTÄ, PISTEVARAUKSET, JATKUVAT VARAUSJAKAUMAT

COULOMBIN VOIMA JA SÄHKÖKENTTÄ, PISTEVARAUKSET, JATKUVAT VARAUSJAKAUMAT COUOMBIN VOIMA JA SÄHKÖKENTTÄ, PISTEVARAUKSET, JATKUVAT VARAUSJAKAUMAT SISÄTÖ: Coulombn voma Sähkökenttä Coulombn voman a sähkökentän laskemnen pstevaaukslle Jatkuvan vaauksen palottelemnen pstevaauksks

Lisätiedot

Kuntoilijan juoksumalli

Kuntoilijan juoksumalli Rakenteden Mekankka Vol. 42, Nro 2, 2009, s. 61 74 Kuntoljan juoksumall Matt A Ranta ja Lala Hosa Tvstelmä. Urhelututkmuksen melenknnon kohteena ovat yleensä huppu-urheljat. Tuokon yksnkertastettu juoksumall

Lisätiedot

3 Tilayhtälöiden numeerinen integrointi

3 Tilayhtälöiden numeerinen integrointi 3 Tlayhtälöden numeernen ntegront Alkuarvotehtävässä halutaan ratkasta lopputla xt f ) sten, että tlayhtälöt ẋ = fx,u, t) toteutuvat, kun alkutla x 0 on annettu Tlayhtälöden numeernen ntegront vodaan suorttaa

Lisätiedot

Sähköstaattinen energia

Sähköstaattinen energia ähköstaattnen enega Potentaalenegan a potentaaln suhde on samanlanen kun Coulomn voman a sähkökentän suhde: ähkökenttä vakuttaa vaattuun kappaleeseen nn, että se kokee Coulomn voman, mutta sähkökenttä

Lisätiedot

Taustaa. Sekventiaalinen vaikutuskaavio. Päätöspuista ja vaikutuskaavioista. Esimerkki: Reaktoriongelma. Johdantoa sekventiaalikaavioon

Taustaa. Sekventiaalinen vaikutuskaavio. Päätöspuista ja vaikutuskaavioista. Esimerkki: Reaktoriongelma. Johdantoa sekventiaalikaavioon Taustaa Sekventaalnen vakutuskaavo Sekventaalnen päätöskaavo on 1995 ovalun ja Olven esttämä menetelmä päätösongelmen mallntamseen, fomulontn ja atkasemseen. Päätöspuun omnasuukssta Hyvää: Esttää eksplsttsest

Lisätiedot

JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO JULKISEN JA YKSITYISEN SEKTORIN VÄLISET PALKKAEROT SUOMESSA 2000-LUVULLA

JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO JULKISEN JA YKSITYISEN SEKTORIN VÄLISET PALKKAEROT SUOMESSA 2000-LUVULLA JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO Talousteteden tedekunta JULKISEN JA YKSITYISEN SEKTORIN VÄLISET PALKKAEROT SUOMESSA 2000-LUVULLA Kansantaloustede, Pro gradu- tutkelma Huhtkuu 2007 Laatja: Terh Maczulskj Ohjaaja:

Lisätiedot

T p = 0. λ n i T i B = Käytetään kohdan (i) identiteetin todistamiseen induktiotodistusta. : Oletetaan, että väite on totta, kun n = k.

T p = 0. λ n i T i B = Käytetään kohdan (i) identiteetin todistamiseen induktiotodistusta. : Oletetaan, että väite on totta, kun n = k. Olkoot A R n n ja T R n n sten, että on olemassa ndeks p N jolle T p = Tällästä matrsa kutsutaa nlpotentks Näytä, että () () () Olkoot Määrtä matrs B n (λi + A) n = (λi + T ) n = B = n mn n,p ( ) n λ n

Lisätiedot

Soile Kulmala. Yksikkökohtaiset kalastuskiintiöt Selkämeren silakan kalastuksessa: bioekonominen analyysi

Soile Kulmala. Yksikkökohtaiset kalastuskiintiöt Selkämeren silakan kalastuksessa: bioekonominen analyysi Sole Kulmala Ykskkökohtaset kalastuskntöt Selkämeren slakan kalastuksessa: boekonomnen analyys Helsngn Ylopsto Talousteteen latos Selvtyksä nro 29 Ympärstöekonoma Helsnk 2005 Ssällys 1 Johdanto... 1 1.1

Lisätiedot

Geneettiset algoritmit ja luonnossa tapahtuva mikroevoluutio

Geneettiset algoritmit ja luonnossa tapahtuva mikroevoluutio Mat-2.108 Sovelletun matematkan erkostyöt Geneettset algortmt ja luonnossa tapahtuva mkroevoluuto 11.5.2005 Teknllnen korkeakoulu Systeemanalyysn laboratoro Oll Stenlund 47068f 1 Johdanto 3 2 Geneettset

Lisätiedot

d L q i = V = mc 2 q i 1 γ = = p i. = V = γm q i + QA i. ṗ i + Q A i + Q da i t + j + V + Q φ

d L q i = V = mc 2 q i 1 γ = = p i. = V = γm q i + QA i. ṗ i + Q A i + Q da i t + j + V + Q φ TTKK/Fyskan latos FYS-1640 Klassnen mekankka syksy 2009 Laskuharjotus 5, 16102009 1 Ertysessä suhteellsuusteorassa Lagrangen funkto vodaan krjottaa muodossa v L = m 2 u t 1! ṙ 2 V (r) Osota, että tämä

Lisätiedot

Raja-arvot. Osittaisderivaatat.

Raja-arvot. Osittaisderivaatat. 1 MAT-13440 LAAJA MATEMATIIKKA 4 Tamperee teklle ylopsto Rsto Slveoe Kevät 2010 Luku 3 Raja-arvot Osttasdervaatat 1 Fuktode raja-arvot Tarkastelemme fuktota f : A, jode määrttelyjoukko A T Muuttujat ovat

Lisätiedot

= m B splini esitys. B splini esitys. Tasaiset B splinit

= m B splini esitys. B splini esitys. Tasaiset B splinit .2. spln estys ézer estyksen yksnkertasuus ja voma ovat ettämättä sen suoson salasuus. Kakesta huolmatta slläkn on rajotuksensa, jotka ovat yltettävssä splnejä käyttäen. Lsäämällä kontrollpstetä saadaan

Lisätiedot

Usean muuttujan funktioiden integraalilaskentaa

Usean muuttujan funktioiden integraalilaskentaa Usean muuttujan funktoden ntegraallaskentaa Pntantegraaln määrtelmä Yhden muuttujan tapaus (kertausta) Olkoon f() : [a, b] R jatkuva funkto Oletetaan tässä ksnkertasuuden vuoks, että f() Remann-ntegraal

Lisätiedot

1 0 2 x 1 a. x 1 2x c b 2a c a. Alimmalta riviltä nähdään että yhtälöyhmällä on ratkaisu jos ja vain jos b 3a + c = 0.

1 0 2 x 1 a. x 1 2x c b 2a c a. Alimmalta riviltä nähdään että yhtälöyhmällä on ratkaisu jos ja vain jos b 3a + c = 0. BM20A5800 - Funktot, lneaaralgebra, vektort Tentt, 26.0.206. (a) Krjota yhtälöryhmä x + 2x 3 = a 2x + x 2 + 5x 3 = b x x 2 + x 3 = c matrsmuodossa Ax = b ja ratkase x snä erkostapauksessa kun b = 0. Mllä

Lisätiedot

AquaPro 3-10 11-18 19-26 27-34. Bedienungsanleitung Operating instructions Gebruiksaanwijzing Käyttöohje FIN. 046.01.00 Rev.0607

AquaPro 3-10 11-18 19-26 27-34. Bedienungsanleitung Operating instructions Gebruiksaanwijzing Käyttöohje FIN. 046.01.00 Rev.0607 046.01.00 Rev.0607 D GB NL FIN Bedenungsanletung Operatng nstructons Gebruksaanwjzng Käyttöohje 3-10 11-18 19-26 27-34 120 Automaattnen pyörvä laser kallstustomnnolla: Itsetasaus vaakasuorassa tasossa

Lisätiedot

Esitä koherentin QAM-ilmaisimen lohkokaavio, ja osoita matemaattisesti, että ilmaisimen lähdöstä saadaan kantataajuiset I- ja Q-signaalit ulos.

Esitä koherentin QAM-ilmaisimen lohkokaavio, ja osoita matemaattisesti, että ilmaisimen lähdöstä saadaan kantataajuiset I- ja Q-signaalit ulos. Sgnaalt ja järjestelmät Laskuharjotukset Svu /9. Ampltudmodulaato (AM) Spektranalysaattorlla mtattn 50 ohmn järjestelmässä ampltudmodulaattorn (AM) lähtöä, jollon havattn 3 mpulssa spektrssä taajuukslla

Lisätiedot

Paikkatietotyökalut Suomenlahden merenkulun riskiarvioinnissa

Paikkatietotyökalut Suomenlahden merenkulun riskiarvioinnissa Teknllnen korkeakoulu Lavalaboratoro Helsnk Unversty of Technology Shp Laboratory Espoo 2007 M-300 Tomm Arola Pakkatetotyökalut Suomenlahden merenkulun rskarvonnssa TEKNILLINEN KORKEAKOULU HELSINKI UNIVERSITY

Lisätiedot

. g = 0,42g. Moolimassat ovat vastaavasti N 2 :lle 28, 02g/ mol ja typpiatomille puolet tästä 14, 01g/ mol.

. g = 0,42g. Moolimassat ovat vastaavasti N 2 :lle 28, 02g/ mol ja typpiatomille puolet tästä 14, 01g/ mol. LH-1 Kaasusälö ssältää 1, g typpeä 1800 K lämpötlassa Sälön tlavuus on 5,0 l Laske pane sälössä ottamalla huomoon, että tässä lämpötlassa 30 % typpmolekyylestä, on hajonnut atomeks Sovella Daltonn laka

Lisätiedot

Turingin kone on kuin äärellinen automaatti, jolla on käytössään

Turingin kone on kuin äärellinen automaatti, jolla on käytössään 4 TUINGIN KONEET Ala Turg 1935 36 auha Koe vo srtää auha: T U I N G auhapää: ohjausykskkö: Turg koe o ku äärelle automaatt, jolla o käytössää auhapäätä vasemmalle ta okealle; se vo myös lukea ta krjottaa

Lisätiedot

Pyörimisliike. Haarto & Karhunen.

Pyörimisliike. Haarto & Karhunen. Pyörmslke Haarto & Karhunen www.turkuamk.f Pyörmslke Lttyy jäykän kappaleen pyörmseen akselnsa ympär Pyörmsenerga on pyörmsakseln A ympär pyörvän kappaleen osasten lke-energoden summa E r Ek mv mr mr www.turkuamk.f

Lisätiedot

, tuottoprosentti r = X 1 X 0

, tuottoprosentti r = X 1 X 0 Ostat osakkeen hintaan ja myyt sen vuoden myöhemmin hintaan X 1. Kokonaistuotto on tällöin R = X 1, tuottoprosentti r = X 1 ja pätee R = 1 + r. Lyhyeksimyymisellä tarkoitetaan, että voit myydä osakkeen

Lisätiedot

Galerkin in menetelmä

Galerkin in menetelmä hum.9.3 Galerkn n menetelmä Galerknn menetelmän soveltamnen e ole rajottunut van ongelmn, jotka vodaan pukea sellaseen varaatomuotoon, joka on seurauksena funktonaaln mnmomsesta, kuten potentaalenergan

Lisätiedot

Hakemikaoen on liitettävä asiakirja. Jolla valitsijayhdistys on

Hakemikaoen on liitettävä asiakirja. Jolla valitsijayhdistys on 5 bdokaelbtojen Ttedstalallt tl Valt8lJ«yhdlstyks«a MlMdehon ta tmnmn valtuuttankma vaalltoo ManahM tul««hak««ohdokaalstan ottaaata ehdokaslstojan ybdatelayn va«8t«mn MlJHkyMntM (40) pävmm «nnen ennl MlntM

Lisätiedot

TUTKIMUKSEN VAIKUTTAVUUDEN MITTAAMINEN MAANMITTAUSTIETEISSÄ. Juha Hyyppä, Anna Salonen

TUTKIMUKSEN VAIKUTTAVUUDEN MITTAAMINEN MAANMITTAUSTIETEISSÄ. Juha Hyyppä, Anna Salonen The Photogrammetrc Journal of Fnland, Vol. 22, No. 3, 2011 TUTKIMUKSEN VAIKUTTAVUUDEN MITTAAMINEN MAANMITTAUSTIETEISSÄ Juha Hyyppä, Anna Salonen Geodeettnen latos, Kaukokartotuksen ja fotogrammetran osasto

Lisätiedot

AINEIDEN OMINAISUUKSIIN PERUSTUVA SEOSTEN LUOKITUS JA VAARAA OSOITTAVAT LAUSEKKEET

AINEIDEN OMINAISUUKSIIN PERUSTUVA SEOSTEN LUOKITUS JA VAARAA OSOITTAVAT LAUSEKKEET N:o 979 3731 te 2 AINEIDEN OMINAISUUKSIIN ERUSTUVA SEOSTEN UOKITUS JA VAARAA OSOITTAVAT AUSEKKEET JOHDANTO Vaarallsa aneta ssältävä seoksa luokteltaessa ja merkntöjä valttaessa aneden ptosuuksen perusteella

Lisätiedot

Yleistä. Teräsrakenteiden liitokset. Liitos ja kiinnitys

Yleistä. Teräsrakenteiden liitokset. Liitos ja kiinnitys Ylestä Teäsakenteden ltokset (EC3-1-8, EC3-1-8-NA) Teäsakenteden lttämsessä tosnsa vodaan käyttää seuaava menetelmä: uuv-, ntt- ja nveltappltokset htsausltokset lmaltokset Ltos ja knntys Ltosta asttavan

Lisätiedot

Tietoa työnantajille 2010

Tietoa työnantajille 2010 Tetoa työnantajlle 2010 Ssältö Alkusanat 5 Sanasto 6 Maahanmuuttajan kotouttamnen 8 Faktat 9 Oleskeluluvat 10 Akusten maahanmuuttajen koulutusmahdollsuudet Kanuussa 11 Maahanmuuttaja työntekjänä 12 Maahanmuuttajen

Lisätiedot

Jäykän kappaleen liike

Jäykän kappaleen liike aananta 9.9.014 1/17 Jäykän kappaleen lke Tähän ast tarkasteltu massapstemekankkaa : m, r, v Okeast fyskaalset systeemt ovat äärellsen kokosa, esm. jäykät kappaleet r r j = c j =vako, j elastset kappaleet

Lisätiedot

KANSANTALOUSTIETEEN PÄÄSYKOE : Mallivastaukset

KANSANTALOUSTIETEEN PÄÄSYKOE : Mallivastaukset KANSANTALOUSTIETEEN PÄÄSYKOE.6.016: Mallivastaukset Sivunumerot mallivastauksissa viittaavat pääsykoekirjan [Matti Pohjola, Taloustieteen oppikirja, 014] sivuihin. (1) (a) Julkisten menojen kerroin (suljetun

Lisätiedot

Näytteenoton virhelähteet, luotettavuuden estimointi ja näytteenottoketjun optimointi

Näytteenoton virhelähteet, luotettavuuden estimointi ja näytteenottoketjun optimointi FIAS S5/000 Opas äytteeoto tekste vaatmuste täyttämseks akkredtota varte 5 (9) Lte äytteeoto vrhelähteet, luotettavuude estmot ja äytteeottoketju optmot Pett Mkke äytteeoto vrhelähteet, luotettavuude estmot

Lisätiedot

Asennus- ja käyttöohjeet. Videoterminaali 2600..

Asennus- ja käyttöohjeet. Videoterminaali 2600.. Asennus- ja käyttöohjeet Vdeotermnaal 2600.. Ssällysluettelo Latekuvaus...3 Asennus...4 Lassuojuksen rrottamnen...5 Käyttö...5 Normaal puhekäyttö...6 Kutsun vastaanotto... 6 Puheen suunnan ohjaus... 7

Lisätiedot

Arvo (engl. value) = varmaan attribuutin tulemaan liittyvä arvo. Päätöksentekijä on riskipakoinen, jos hyötyfunktio on konkaavi. a(x) = U (x) U (x)

Arvo (engl. value) = varmaan attribuutin tulemaan liittyvä arvo. Päätöksentekijä on riskipakoinen, jos hyötyfunktio on konkaavi. a(x) = U (x) U (x) Arvo (engl. value) = varmaan attribuutin tulemaan liittyvä arvo. Hyöty (engl. utility) = arvo, jonka koemme riskitilanteessa eli, kun teemme päätöksiä epävarmuuden (todennäköisyyksien) vallitessa. Vrt.

Lisätiedot

MTTTP1 SELITYKSIÄ JA ESIMERKKEJÄ KAAVAKOKOELMAN KAAVOIHIN LIITTYEN

MTTTP1 SELITYKSIÄ JA ESIMERKKEJÄ KAAVAKOKOELMAN KAAVOIHIN LIITTYEN MTTTP SELITYKSIÄ JA ESIMERKKEJÄ KAAVAKOKOELMAN KAAVOIHIN LIITTYEN Aesto kaavoje () (3), (9) ja () esmerkkeh Lepakot pakallstavat hyötesä lähettämällä korkeataajusta äätä Ne pystyvät pakallstamaa hyöteset

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 10 1 Funktion monotonisuus Derivoituva funktio f on aidosti kasvava, jos sen derivaatta on positiivinen eli jos f (x) > 0. Funktio on aidosti vähenevä jos sen derivaatta

Lisätiedot

A = B = T = Merkkijonon A osamerkkijono A[i..j]: n merkkiä pitkä merkkijono A:

A = B = T = Merkkijonon A osamerkkijono A[i..j]: n merkkiä pitkä merkkijono A: Merkkjonot (strngs) n merkkä ptkä merkkjono : T T T G T n = 18 kukn merkk [], mssä 0 < n, kuuluu aakkostoon Σ, jonka koko on Σ esm. bttjonot: Σ = {0,1} ja Σ = 2, DN: Σ = {,T,,G} ja Σ = 4 tetokoneen aakkosto

Lisätiedot

Tilastollinen mekaniikka. Peruskäsitteitä Mikro- ja makrotilat Maxwell-Boltzmann jakauma Bose-Einstein jakauma Fermi-Dirac jakauma Jakaumafunktiot

Tilastollinen mekaniikka. Peruskäsitteitä Mikro- ja makrotilat Maxwell-Boltzmann jakauma Bose-Einstein jakauma Fermi-Dirac jakauma Jakaumafunktiot Tlastollnen mekankka Peruskästtetä Mkro- ja makrotlat Maxwell-Boltzmann jakauma Bose-Ensten jakauma Ferm-Drac jakauma Jakaumafunktot Tlastollnen mekankka Teora on stä vakuttavamp, mtä yksnkertasemmat ovat

Lisätiedot

Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava. Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava. Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava: Esitiedot

Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava. Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava. Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava: Esitiedot TKK (c) Ilkka Mell (2004) Kokoastodeäkösyys ja Kokoastodeäkösyys ja : Johdato Kokoastodeäkösyyde ja Bayes kaavoje systeemteoreette tulkta Johdatus todeäkösyyslasketaa Kokoastodeäkösyys ja TKK (c) Ilkka

Lisätiedot

KOKONAISRATKAISUT YHDESTÄ PAIKASTA

KOKONAISRATKAISUT YHDESTÄ PAIKASTA KOKONAISRATKAISUT YHDESTÄ PAIKASTA Monpuolset järjestelmät varastontn ja tuotantoon TUOTELUETTELO 2009 Kappale D Varasto- ja hyllystövältasot vältasot optmaalsta tlankäyttöä varten SSI SCHÄFER: n varasto-

Lisätiedot

SIJOITTAJAN OPAS ETF-rahastoihin

SIJOITTAJAN OPAS ETF-rahastoihin SIJOITTAJAN OPAS ETF-rahastoihin Pörssinoteerattu rahasto eli ETF (Exchange-Traded Fund) on rahasto, jolla voidaan käydä kauppaa pörssissä. ETF:ien avulla yksityissijoittajalla on mahdollisuus sijoittaa

Lisätiedot

Mat Sovellettu todennäköisyyslaskenta B 8. harjoitukset / Ratkaisut Aiheet: Otos ja otosjakaumat Avainsanat:

Mat Sovellettu todennäköisyyslaskenta B 8. harjoitukset / Ratkaisut Aiheet: Otos ja otosjakaumat Avainsanat: Mat-1.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa Mat-1.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B / Ratkasut Aheet: Otos ja otosjakaumat Avasaat: Artmeette keskarvo, Beroull-jakauma, Beroull-koe, χ -jakauma, Frekvess, Frekvessjakauma,

Lisätiedot

Pankkitalletukset ja rahamarkkinasijoitukset. Henri Huovinen, analyytikko Osakesäästäjien Keskusliitto ry

Pankkitalletukset ja rahamarkkinasijoitukset. Henri Huovinen, analyytikko Osakesäästäjien Keskusliitto ry Pankkitalletukset ja rahamarkkinasijoitukset Henri Huovinen, analyytikko Osakesäästäjien Keskusliitto ry Korkosijoitukset Korkosijoituksiin luokitellaan mm. pankkitalletukset, rahamarkkinasijoitukset,

Lisätiedot

A. Huutokaupat ovat tärkeitä ainakin kolmesta syystä. 1. Valtava määrä taloudellisia transaktioita tapahtuu huutokauppojen välityksellä.

A. Huutokaupat ovat tärkeitä ainakin kolmesta syystä. 1. Valtava määrä taloudellisia transaktioita tapahtuu huutokauppojen välityksellä. HUUTOKAUPOISTA A. Huutokaupat ovat tärkeitä ainakin kolmesta syystä 1. Valtava määrä taloudellisia transaktioita tapahtuu huutokauppojen välityksellä. 2. Huutokauppapelejä voidaan käyttää taloustieteen

Lisätiedot

Nyt ensimmäisenä periodina (ei makseta kuponkia) odotettu arvo on: 1 (qv (1, 1) + (1 q)v (0, 1)) V (s, T ) = C + F

Nyt ensimmäisenä periodina (ei makseta kuponkia) odotettu arvo on: 1 (qv (1, 1) + (1 q)v (0, 1)) V (s, T ) = C + F Mat-2.34 Investointiteoria Laskuharjoitus 2/2008, Ratkaisut 29.04.2008 Binomihilan avulla voidaan laskea T vuoden ja tietyn kupongin sisältävän joukkovelkakirjan arvo eli hinta rekursiivisesti vaihtelevan

Lisätiedot

W Hz. kohinageneraattori. H(f) W Hz. W Hz. ELEC-A7200 Signaalit ja järjestelmät Laskuharjoitukset. LASKUHARJOITUS 5 Sivu 1/7

W Hz. kohinageneraattori. H(f) W Hz. W Hz. ELEC-A7200 Signaalit ja järjestelmät Laskuharjoitukset. LASKUHARJOITUS 5 Sivu 1/7 ELEC-A700 LASKUHARJOIUS 5 Svu /7. Satunnassgnaaln x ( t ) keskarvo on V ja keskhajonta 4 V. Mttaukslla on todettu, että x ( t ) ja x ( t + τ ) ovat rppumattoma, kun τ 5µ s. Lsäks tedetään, että x ( t )

Lisätiedot

SUOMI LATAAMINEN LAITEPARI NÄYTTÖTILAT PUHELUT ILMOITUKSET AKTIVITEETTI UNITILA TAVOITTEET MUISTUTUKSET ÄÄNIKOMENNOT MUSIIKKI ETÄISYYSHÄLYTYS

SUOMI LATAAMINEN LAITEPARI NÄYTTÖTILAT PUHELUT ILMOITUKSET AKTIVITEETTI UNITILA TAVOITTEET MUISTUTUKSET ÄÄNIKOMENNOT MUSIIKKI ETÄISYYSHÄLYTYS SUOMI LATAAMINEN LAITEPARI NÄYTTÖTILAT PUHELUT ILMOITUKSET AKTIVITEETTI 06 07 11 12 13 14 UNITILA TAVOITTEET MUISTUTUKSET ÄÄNIKOMENNOT MUSIIKKI ETÄISYYSHÄLYTYS 15 16 17 18 19 19 YLEISKUVAUS VASEN panke

Lisätiedot

DEE Polttokennot ja vetyteknologia

DEE Polttokennot ja vetyteknologia DEE-54020 Polttokennot ja vetyteknologa Polttokennon hävöt 1 Polttokennot ja vetyteknologa Rsto Mkkonen Polttokennon tyhjäkäyntjännte Teoreettnen tyhjäkäyntjännte E z g F Todellnen kennojännte rppuu er

Lisätiedot

Sisällysluettelo Laitteen asennus Toiminnot Tekniset tiedot Asetukset Viestikoodit Huolto Takuu Turvallisuusohjeet Toiminnot

Sisällysluettelo Laitteen asennus Toiminnot Tekniset tiedot Asetukset Viestikoodit Huolto Takuu Turvallisuusohjeet Toiminnot DEWALT DW03201 Ssällysluettelo Latteen asennus - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2 Johdanto- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2 Yleskuva -

Lisätiedot

TYÖVÄENARKISTO SUOMEN SOSIALIDEMOKRAATTISEN PUOLUEEN PUOLUENEUVOSTON PÖYTÄKIRJA

TYÖVÄENARKISTO SUOMEN SOSIALIDEMOKRAATTISEN PUOLUEEN PUOLUENEUVOSTON PÖYTÄKIRJA TYÖVÄENARKSTO SUOMEN SOSALDEMOKRAATTSEN PUOLUEEN PUOLUENEUVOSTON PÖYTÄKRJA ) _ V 1973 RULLA 455 KUVANNUT r > ' V t K MONKKO OY 1994 a - ) - ;! kuljetus tämän seurauksena taas vähenee sekä rautateden pakallslkenteen

Lisätiedot

VERKKO-OPPIMATERIAALIN LAATUKRITEERIT

VERKKO-OPPIMATERIAALIN LAATUKRITEERIT VERKKO-OPPIMATERIAALIN LAATUKRITEERIT Työryhmän raportt 16.12.2005 Monste 1/2006 Opetushalltus ja tekjät Tm Eja Högman ISBN 952-13-2718-9 (nd.) ISBN 952-13-2719-7 ISSN 1237-6590 Edta Prma Oy, Helsnk 2006

Lisätiedot

Leikkijunan kunto toimiva ei-toimiva Työvuoro aamuvuoro päivävuoro iltavuoro

Leikkijunan kunto toimiva ei-toimiva Työvuoro aamuvuoro päivävuoro iltavuoro Lsätehtävä 1. Erään yrtyksen satunnasest valttujen työntekjöden possaolopäven määrät olvat vuonna 003: 5, 3, 1, 9, 0, 1, 3,, 19, 5, 19, 11,, 0, 4,, 1, 15, 4, 0,, 4, 3, 3, 8, 3, 9, 11, 19, 17, 14, 7 a)

Lisätiedot

Harjoitukset (KOMPRIMOINTI)

Harjoitukset (KOMPRIMOINTI) Kmrmntharjtuksa (7) Harjtukset (KOMPRIMOINI) Kmressreja käytetään esmerkks seuraavssa svelluksssa: kaasujen srt, neumaattnen kuljetus anelmahult rsesstellsuudessa kaasureaktden, kaasujen nesteyttämsen

Lisätiedot

Webbihaku /indeksointi

Webbihaku /indeksointi Tedonhakumenetelmät Helsngn ylopsto/ TKTL, k 2014 Webbhaku Tedonhakumenetelmät Hakuobott (cawle) Indeksoja Indekst Manosndekst Webbhaku /ndeksont Hakukone Hae 1 2 Hakuobott Robotn elämää Hakuobotn (cawle,

Lisätiedot

asettamia ehtoja veroluonteisesta suhdannetasausjärjestelmästä. komitean mietintöön. Esityksessä on muutama ratkaisevan heikko kohta.

asettamia ehtoja veroluonteisesta suhdannetasausjärjestelmästä. komitean mietintöön. Esityksessä on muutama ratkaisevan heikko kohta. -112- asettama ehtoja veroluontesesta suhdannetasausjärjestelmästä. Estetty hntasäännöstelyjärjestelmä perustuu nk. Wahlroosn komtean metntöön. Estyksessä on muutama ratkasevan hekko kohta. 15 :ssä todetaan:

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi: kurssikerta 10

Matematiikan tukikurssi: kurssikerta 10 Matematiikan tukikurssi: kurssikerta 10 1 Newtonin menetelmä Oletetaan, että haluamme löytää funktion f(x) nollakohan. Usein tämä tehtävä on mahoton suorittaa täyellisellä tarkkuuella, koska tiettyjen

Lisätiedot

Mekaniikan jatkokurssi Fys102

Mekaniikan jatkokurssi Fys102 Mekankan jatkokurss Fys10 Syksy 010 Jukka Maalamp LUENTO 4 Vermnen Vermnen tarkottaa yhdstettyä lkettä, jossa kappale pyör akseln ympär ja aksel etenee suoravvasest. Vermsessä kappale e lu alustalla. Tämä

Lisätiedot

Eurojärjestelmän rahapolitiikka Tavoite, välineet ja tase

Eurojärjestelmän rahapolitiikka Tavoite, välineet ja tase Samu Kurri Kansainvälisen ja rahatalouden toimisto, Suomen Pankki Eurojärjestelmän rahapolitiikka Tavoite, välineet ja tase Elvyttävä kansalaisosinko tilaisuus 6.2.2016 Esitetyt näkemykset ovat omiani.

Lisätiedot

Fysiikkaa työssä. fysiikan opiskelu yhteistyössä yritysten kanssa

Fysiikkaa työssä. fysiikan opiskelu yhteistyössä yritysten kanssa Fyskkaa työssä yskan opskelu yhtestyössä yrtysten kanssa Fyskkaa työssä yskan opskelu yhtestyössä yrtysten kanssa Annka Ampuja Suv Vanhatalo Hannele Levävaara 1 Käytännön kytkentöjä yskan opskeluun...

Lisätiedot

Korko ja inflaatio. Makrotaloustiede 31C00200 Kevät 2016

Korko ja inflaatio. Makrotaloustiede 31C00200 Kevät 2016 Korko ja inflaatio Makrotaloustiede 31C00200 Kevät 2016 Sisältö Nimellis ja reaalikorot, Fisher yhtälö Lyhyt ja pitkä korko Rahapolitiikka ja korot Korko ja inflaatio Nimellinen korko i: 1 tänä vuonna

Lisätiedot

Suoran sovittaminen pistejoukkoon

Suoran sovittaminen pistejoukkoon Suora sovttame pstejoukkoo Ku halutaa tutka kahde tlastollse muuttuja rppuvuutta tosstaa, käytetää use leaarsta regressota el suora sovttamsta havatojoukkoo. Sä o aettu joukko havatopareja (x, y ), ja

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 1 Funktion kuperuussuunnat Derivoituva funktio f (x) on pisteessä x aidosti konveksi, jos sen toinen derivaatta on positiivinen f (x) > 0. Vastaavasti f (x) on aidosti

Lisätiedot

MS-C2105 Optimoinnin perusteet Malliratkaisut 5

MS-C2105 Optimoinnin perusteet Malliratkaisut 5 MS-C2105 Optimoinnin perusteet Malliratkaisut 5 Ehtamo Demo 1: Arvaa lähimmäksi Jokainen opiskelija arvaa reaaliluvun välillä [0, 100]. Opiskelijat, joka arvaa lähimmäksi yhtä kolmasosaa (1/3) kaikkien

Lisätiedot

Ilkka Mellin. Sovellettu todennäköisyyslasku: Kaavat ja taulukot

Ilkka Mellin. Sovellettu todennäköisyyslasku: Kaavat ja taulukot Mat-.09 Sovellettu todeäkösyyslasku Systeemaalyys laboratoro Teklle korkeakoulu SYKSY 00 Ilkka Mell Sovellettu todeäkösyyslasku: Kaavat ja taulukot f XY x X x X y Y ( x, y) exp XY ( XY ) XY XY X X Y Tomttaut

Lisätiedot

Muistio tehostamiskannustimen kahdeksan vuoden siirtymäajan vaikutuksista

Muistio tehostamiskannustimen kahdeksan vuoden siirtymäajan vaikutuksista Musto 15.3.2011 Musto tehostamskannustmen kahdeksan vuoden srtymäajan vakutukssta Jakeluverkonhaltjoden tehostamstavotteet kolmannelle valvontajaksolle lasketaan suuntavvossa tarkemmn kuvatulla StoNED-menetelmällä

Lisätiedot

Mat Investointiteoria Laskuharjoitus 1/2008, Ratkaisu Yleistä: Laskarit tiistaisin klo luokassa U352.

Mat Investointiteoria Laskuharjoitus 1/2008, Ratkaisu Yleistä: Laskarit tiistaisin klo luokassa U352. Yleistä: Laskarit tiistaisin klo 14-16 luokassa U352. Kysyttävää laskareista yms. jussi.kangaspunta@tkk. tai huone U230. Aluksi hieman teoriaa: Kassavirran x = (x 0, x 1,..., x n ) nykyarvo P x (r), kun

Lisätiedot

ELÄKEKASSAN LASKUPERUSTEET TYÖNTEKIJÄN ELÄKELAIN MUKAISTA ELÄKETURVAA VARTEN Kokonaisperuste, vahvistettu

ELÄKEKASSAN LASKUPERUSTEET TYÖNTEKIJÄN ELÄKELAIN MUKAISTA ELÄKETURVAA VARTEN Kokonaisperuste, vahvistettu ELÄKEKAAN LAKPEREE YÖNEKJÄN ELÄKELAN KAA ELÄKERVAA VAREN Kokonasperuste ahstettu 29.6.2007. ELÄKEKAAN LAKPEREE YÖNEKJÄN ELÄKELAN KAA ELÄKERVAA VAREN ÄLLYLEELO PEREDEN OVELAALE... 2 VAKEKNE REE... 3 VAVELKA...

Lisätiedot

Mitä metsänomistajan on hyvä tietää hajauttamisesta. Risto Kuoppamäki, Nordea Varallisuudenhoito

Mitä metsänomistajan on hyvä tietää hajauttamisesta. Risto Kuoppamäki, Nordea Varallisuudenhoito Mitä metsänomistajan on hyvä tietää hajauttamisesta Risto Kuoppamäki, Nordea Varallisuudenhoito 3.9.2016 Sisältö Metsä sijoituskohteena: hyvät puolet ja riskit Eri sijoitusvaihtoehdot ja niiden pääpiirteet

Lisätiedot

9. Muuttuva hiukkasluku

9. Muuttuva hiukkasluku Statstnen fyskka, osa B (FYSA242) Tuomas Lapp tuomas.v.v.lapp@jyu.f Huone: FL240. E kntetä vastaanottoakoja. kl 2016 9. Muuttuva hukkasluku 1 Kertaus: lämpökylpy Mustetaan kurssn A-osasta Mkrokanonnen

Lisätiedot

Lähdemateriaalina käytetty Pertti Louneston kirjaa Clifford Algebras and spinors [1]

Lähdemateriaalina käytetty Pertti Louneston kirjaa Clifford Algebras and spinors [1] Lähdmatraala kättt Prtt Lousto kraa Clfford Algbras ad spors [] Krtausta Clfford algbra määrtllää algbraks kvadraattsll vktoravaruudll (sm. skalaartulolla. Clfford algbra oka alko vodaa sttää algbra katavktord

Lisätiedot

KVANTISOINTIKOHINA JA KANAVAN AWGN- KOHINA PULSSIKOODIMODULAATIOSSA

KVANTISOINTIKOHINA JA KANAVAN AWGN- KOHINA PULSSIKOODIMODULAATIOSSA KVANTIOINTIKOHINA JA KANAVAN AWGN- KOHINA PULIKOODIMODULAATIOA Teolkenneeknkka I 5359A Kar Kärkkänen Osa 6 5 Kvansonkohna PCM-järjeselmässä PCM:ssa on kaks vrhelähdeä:. kvansonkohna,. kanavan kohnan aheuama

Lisätiedot

Nordnetin luottowebinaari

Nordnetin luottowebinaari Nordnetin luottowebinaari Tervetuloa webinaariin! Webinaarissa opit käyttämään luottoa kaupankäynnissä. Lisää ostovoimaa luotolla, käytä salkkuasi luoton vakuutena ja paranna tuottomahdollisuuksia. Webinaarissa

Lisätiedot

Integrointi ja sovellukset

Integrointi ja sovellukset Integrointi ja sovellukset Tehtävät:. Muodosta ja laske yläsumma funktiolle fx) x 5 välillä [, 4], kun väli on jaettu neljään yhtä suureen osaan.. Määritä integraalin x + ) dx likiarvo laskemalla alasumma,

Lisätiedot

Kuluttajan teoriaa tähän asti. Luento 6. Hyötyfunktion ja indifferenssikäyrien yhteys. Kuluttajan hyöty. Laajennuksia. Kuluttajan ylijäämä

Kuluttajan teoriaa tähän asti. Luento 6. Hyötyfunktion ja indifferenssikäyrien yhteys. Kuluttajan hyöty. Laajennuksia. Kuluttajan ylijäämä Kuluttajan teoriaa tähän asti Valintojen tekemistä niukkuuden vallitessa - Tavoitteen optimointia rajoitteella Luento 6 Kuluttajan ylijäämä 8.2.2010 Budjettirajoite (, ) hyödykeavaruudessa - Kulutus =

Lisätiedot

KERTOMUS SOSIALIDEMOKRAATTISEN EDUSKUNTARYHMÄN

KERTOMUS SOSIALIDEMOKRAATTISEN EDUSKUNTARYHMÄN 'e.. f. : J.'. l f. f KERTOMUS SOSALDEMOKRAATTSEN EDUSKUNTARYHMÄN TOMNNASTA VUONNA 1972 V'!( 1 l M? ^ l ; ' f l, - -, Jt f-j l SSÄLLYSLUETTELO Svu YLESTÄ 2. LANSÄÄDÄNTÖ 2,1* Perustuslakvalokunta 2.2. Lakvalokunta

Lisätiedot

YRITYSKOHTAISEN TEHOSTAMISTAVOITTEEN MÄÄRITTELY 1 YRITYSKOHTAISEN TEHOSTAMISPOTENTIAALIN MITTAAMINEN

YRITYSKOHTAISEN TEHOSTAMISTAVOITTEEN MÄÄRITTELY 1 YRITYSKOHTAISEN TEHOSTAMISPOTENTIAALIN MITTAAMINEN ENERGIAMARKKINAVIRASTO 1 Le 2 Säkön jakeluverkkoomnnan yryskoasen eosamsavoeen määrely YRITYSKOHTAISEN TEHOSTAMISTAVOITTEEN MÄÄRITTELY Asanosanen: Vaasan Säköverkko Oy Lyy pääökseen dnro 491/424/2007 Energamarkknavraso

Lisätiedot

mukaisuudet nyt kuoppakorotuksilla oikaistaan«normaaleihin palkkamarkkinoihin siirryttäessä tällainen toimenpide Joka tapauksessa

mukaisuudet nyt kuoppakorotuksilla oikaistaan«normaaleihin palkkamarkkinoihin siirryttäessä tällainen toimenpide Joka tapauksessa 21 T mukasuudet nyt kuoppakorotukslla okastaan«normaalehn palkkamarkknohn srryttäessä tällanen tomenpde Joka tapauksessa ols suortettava. Mlle ryhmlle ja mten suurna okasut ols 1 1 l enssjasest tehtävä,

Lisätiedot

Reaaliarvoinen funktio f : on differentioituva pisteessä x, jos f:lle on siinä voimassa kehitelmä. h h. eli. Silloin

Reaaliarvoinen funktio f : on differentioituva pisteessä x, jos f:lle on siinä voimassa kehitelmä. h h. eli. Silloin MAT-3440 LAAJA MATEMATIIKKA 4 Tampereen teknllnen ylopsto Rsto Slvennonen Kevät 00 4. Vektorfunkton dervaatta. Ketjusääntö.. Reaalarvosen funkton dervaatta Tässä luvussa estetään dervaattakäste ensn reaalarvoselle

Lisätiedot