Kollektiivinen korvausvastuu

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Kollektiivinen korvausvastuu"

Transkriptio

1 Kollektvnen korvausvastuu Sar Ropponen pävtetty 3..03

2 Ssällysluettelo JOHDANTO... KORVAUSVASTUUSEEN LIITTYVÄT KÄSITTEET VAHINKOVAKUUTUKSESSA MERKINNÄT VAHINGON SELVIÄMINEN JA KORVAUSVASTUU Vahngon selvämsprosess Korvausvastuun arvont KORVAUSKOLMIO Vahnkoen lukumääräkolmo Maksettuen korvausten korvauskolmo Korvausmenokolmo....4 KORVAUSINFLAATIO SIJOITUSTOIMINTA JA KORVAUSVASTUUN DISKONTTAUS KORVAUSVASTUUN ARVIOINTIMENETELMIÄ DETERMINISTISET MENETELMÄT Chan-ladder -menetelmä Vahnkoen lukumäärät Maksetut korvaukset Käyräsovtus a ekstrapolont Bornhuetter-Ferguson -menetelmä Perntenen Bornhuetter-Ferguson -menetelmä Kokonaskorvausmenon arvont a PPCI-menetelmä Hovsen menetelmä * Hovsen menetelmän er versot Determnststen menetelmen korvausvastuden estmaatt STOKASTISET MALLIT Ennustevrheen haonta a varmuuslsä Mackn mall Oletukset Korvausvastuun odotusarvon estmont Ennustevrheen haonnan estmont Oletusten testaamnen Bornhuetter-Ferguson -menetelmä stokastsena mallna Oletukset Korvausvastuun odotusarvon estmont * Ennustevrheen haonnan estmont Stokaststen mallen vertalua Posson-mall ylhaonnalla Mackn mall ylestettynä lneaarsena mallna KORVAUSVASTUUN ENNUSTEJAKAUMAN MUODOSTAMINEN BOOTSTRAP- MENETELMÄN JA SIMULOINNIN AVULLA BOOTSTRAP-/SIMULOINTIMENETELMÄ ESIMERKKI YHTEENVETO... 7 LÄHTEET... 75

3 Johdanto Vakuutussopmusten perusteella vakuutusyhtölle syntyy velvollsuus korvata vahngosta aheutuvat kustannukset samalla hetkellä, kun vahnko sattuu. Yleensä kutenkn kestää onkn akaa ennen, kun vahnko lmotetaan yhtöön. Lsäks esmerkks korvausten kästtely ta se, että kustannukset yleensäkn syntyvät vasta onkn aan kuluttua vahngon sattumsesta, aheuttavat vveen korvausten maksun a vahngon sattumshetken välllä. Vve vo ossan tapauksssa, esmerkks eläkkeden maksussa, olla useta vuoskymmenä. Vakuutusyhtölle on oka tapauksessa syntynyt velvollsuus korvata vahnko, a nän ollen o sattuneden vahnkoen maksamattomat korvaukset on ssällytettävä tlnpäätöksessä yhtön velkohn rppumatta stä, onko vahnko yhtön tedossa va e. Tätä velkaa kutsutaan korvausvastuuks a se muodostaa merkttävän osan vakuutusyhtön velosta. Vakuutusyhtölan ( /5) mukaan vastuuvelan on ana oltava rttävä sten, että vakuutusyhtö kohtuudella arvoden selvytyy vakuutussopmukssta aheutuvsta velvotteestaan. Vakuutusyhtöllä on oltava turvaavat laskuperusteet, oden mukasest yhtö laskee vastuuvelan määrän, a lsäks lassa säädetään, mllaslla varolla vastuuvelka vodaan kattaa. Vakuutuksenottaen edut turvataan nän ollen varmstamalla, että vakuutusyhtö arvo korvausvastuunsa mahdollsmman okean suuruseks a että korvausten suorttamseen tarvttavat varat ovat rttävän turvallsest sotettuna. Myös yhtön vakavarasuuden arvont edellyttää, että velat on arvotu mahdollsmman oken. Koska korvausvastuu tarkottaa tuntematonta a tulevasuudessa realsotuvaa määrää, onka yhtö on velvollnen suorttamaan, on yhtön rskenhallnnan kannalta tärkeää pystyä arvomaan, kunka palon toteutuvat korvaukset vovat poketa arvodusta määrstään. Myös vakuutusyhtölan vaatmus, että yhtö selvytyy kohtuudella arvoden velvottestaan, vaat korvausvastuun rttävyyden arvomsta. Lsäks Euroopan Unonssa valmsteltavana olevassa vakavarasuusvaatmuksa koskevassa drektvssä, Solvenss II:ssa, korostetaan entsestään yhtön rskenhallntaa a rsken, muun muassa korvausvastuun rttävyyden, arvomsta. Korvausvastuun laskenta on tuleven korvausten ennustamsta, ossa apuna käytetään tedossa oleva maksettua korvauksa a muuta sattunesn vahnkohn lttyvää nformaatota. Korvausvastuulle lasketaan estmaatt, oka pyrtään saamaan maksamattomen korvausten keskmääräselle tasolle. Korvausvastuun estmaatn lsäks varataan varmuuslsä, olla varaudutaan shen, että toteutuvat korvaukset ylttävät nden estmaatn. Suorteperustesen kranptokäytännön mukaan meno krataan kokonasuudessaan sen syntymshetkellä. Korvausvastuun lsäks vastuuvelkaan ssältyy muun muassa vakuutusmaksuvastuu, olla tarkotetaan arvonthetkellä vomassa oleven vakuutussopmusten tuleven vakuutustapahtumen suortuksa (Vakuutusyhtölan 9. luku).

4 Korvausvastuun estmomseks on olemassa useta erlasa menetelmä. Menetelmät on aettu determnstsn menetelmn a stokastsn mallehn. Determnstsssä menetelmssä korvausvastuu arvodaan suoraan käytössä olevsta tlastosta onkn algortmn mukasest. Koska algortm e ota huomoon korvausmenon taustalla olevaa satunnasuutta, e determnstsllä menetelmllä voda arvoda menetelmän tarkkuutta a korvausvastuuseen lttyvää epävarmuutta. Stokastsssa mallessa sen saan tarkastellaan tuntematonta mekansma, oka tuottaa havatut korvaukset, a nssä satunnasuus otetaan huomoon olettaen korvausten noudattavan tettyä akaumaa. Malln a käytössä oleven tlastoen sovttamsen seurauksena saadaan estmaatt sekä korvausvastuun odotusarvolle että ennustevrheen haonnalle. Ennustevrheen haonnan avulla arvodaan malln tarkkuutta a tarvttavan varmuuslsän määrää. Koska stokastsssa mallessa vodaan estmoda korvausvastuun odotusarvon lsäks ennustevrheen haonta, saadaan nstä enemmän tetoa estmodun korvausvastuun rttävyydestä kun determnstsssä menetelmssä. Tosaalta pelkkä ennustevrheen haonnan estmont e usen rtä, vaan tarvtaan lsäks oletus korvausvastuun akaumasta, ota työssä kutsutaan ennusteakaumaks (predctve dstrbuton [6]). Ennusteakaumasta vodaan tarkastella ennustevrheen haonnan lsäks muun muassa luottamusväleä a prosenttpstetä. Ennusteakauman laskemnen analyyttsest on kutenkn usessa stokastsssa mallessa haastavaa. Tetokoneden laskentatehon a -nopeuden kasvamsen myötä on tullut mahdollseks tuottaa arvo ennusteakaumasta esmerkks bootstrap-menetelmän a smulonnn avulla lman analyyttsta laskentaa. Bootstrap-menetelmässä deana on korvata teoreettset päätelmät useast tostetulla emprsllä päätelmllä. Menetelmällä vodaan esmerkks tutka malln tuottaman estmaattorn luotettavuutta suorttamalla estmont usesta samankaltassta anestosta [8]. Smulonnssa puolestaan otetaan huomoon korvausten satunnasuuden aheuttama epävarmuus korvausvastuun estmonnssa. Knnostusta smulonnn hyödyntämseen korvausvastuun arvontn lttyven epävarmuusteköden tutkmsessa on ollut alalla o ptkään, ks. esmerkks [4]. Solvenss II:n myötä smulonnsta a ennusteakauman arvomsesta on tullut entstä aankohtasemp ahe, sllä Solvenss II mahdollstaa yhtön omen ssästen mallen käytön vakavarasuusvaatmusten laskemsessa. Ssästen mallen käyttämnen vaat korvausten mallntamsta a lsäks estmodun korvausvastuun rttävyyden luotettavaa arvomsta. Euroopan komsson teetättämssä harotuksssa 3, ossa on testattu erlasa tuleva vakavarasuusvaatmusten laskentatapoa, on vme vuosna vaadttu sellasta pääoman määrää, olla yhtö selvää 99,5 %:n todennäkösyydellä. Työssä tarkastellaan vahnkovakuutuksen korvausvastuun arvomsta er menetelmllä. Solvenss II:n näkökulmasta työssä kesktytään nän ollen korvausvastuun parhaan estmaatn laskentaan. Luvussa tarkastellaan vahnkovakuutusyhtön vahnkoen selvämstä a korvausvastuun arvomsessa käytettyä tlastoa. Alaluvussa 3. estellään ylesmpä determnstsä korvausvastuun laskentamenetelmä, kuten Chan-ladder - menetelmä a Bornhuetter-Ferguson -menetelmä, a alaluvussa 3. stokastsa mallea 3 Vmesmmät ovat vuonna 007 harotus QIS 3 (Quanttatve Impact Study 3), vuonna 008 QIS 4 a vuonna 00 QIS 5.

5 3 kuten Mackn [0], [] muotolemat stokastset mallt Chan-ladder a Bornhuetter- Ferguson -menetelmlle. Stokaststen mallen yhteydessä tarkastellaan mallen tarkkuuden arvomsta sekä varmuuslsän määrttämstä. Luvussa 4 kästellään korvausvastuun ennusteakauman tuottamsta bootstrap-/smulontmenetelmällä, kun korvaukset on mallnnettu Posson-akaumaan perustuvalla, alaluvussa 3..4 estellyllä stokastsella malllla. Korvausvastuuseen lttyvät kästteet vahnkovakuutuksessa. Merknnät Työssä käytetään seuraava merkntöä C vuonna sattunesta vahngosta vuonna + - maksetut korvaukset; nkrementaalset korvaukset (vuotta kutsutaan kehtysvuodeks) D vuonna sattunesta vahngosta vuoden + - loppuun mennessä maksetut korvaukset yhteensä; kumulatvset korvaukset d yksttänen kehtyskerron kehtysvuodesta - kehtysvuoteen (ks. alaluku 3..) d kehtyskerron kehtysvuodesta - kehtysvuoteen (ks. alaluku 3..) F ( ) selvämsakauman arvo. kehtysvuoden lopussa; esmerkks. kehtysvuoden loppuun mennessä maksettuen korvausten osuus kokonaskorvausmenosta U f ( ) selvämsakauman theysfunkto; esmerkks tetyn sattumsvuoden vahngosta. kehtysvuoden akana maksettuen korvausten osuus kokonaskorvausmenosta U, f( k) = F( ) å k= sattumsvuos I sattumsvuoden korvausmeno vuoden + - lopussa (ncurred clams, ks. alaluku.3.3) kehtysvuos M vuonna sattuneden a vuonna + - raportotuneden vahnkoen lukumäärä; nkrementaalnen vahnkoen lukumäärä

6 4 m MSE( R ˆ ) nkrementaalsten korvausten odotusarvo Posson-mallssa ylhaonnalla (ks. alaluku 3..4) kesknelövrhe (mean square error of predcton); ennustevrheen va- E R ˆ = E R ranss, kun ( ) ( ) N vuonna sattuneden a vuoden + - loppuun mennessä raportotuneden vahnkoen lukumäärä; kumulatvnen vahnkoen lukumäärä O vuonna sattuneden vahnkoen vuoden + - lopun vahnkokohtaset varaukset (ks. alaluvut. a.3.3) P q R R sattumsvuoden vakuutusmaksutuotto sattumsvuoden kokonaskorvausmeno suhteessa sattumsvuoden rskmttaan; esmerkks sattumsvuoden vahnkosuhde (ks. alaluku 3..) vuonna sattunesta vahngosta vuoden t älkeen maksettavat korvaukset; sattumsvuoden korvausvastuu vuoden t lopussa vuoden t loppuun mennessä sattunesta vahngosta vuoden t älkeen maksettavat korvaukset; korvausvastuu vuoden t lopussa N R vuonna sattuneden a vuoden t lopussa tuntemattomna oleven vahnkoen lukumäärä N R vuoden t loppuun mennessä sattuneden a vuoden t lopussa tuntemattomna oleven vahnkoen lukumäärä r s h Sd( R ˆ ) t sattumsvuoden kehtysvuoden havattuen a estmotuen arvoen erotus (äännös), mahdollsest panotettu ta muokattu (ks. mm. kaava (48) a (64)) sotustomnnan vuostuotto-odotus, kun sotusten maturteett on h vuotta kesknelövrheen nelöuur (predcton error, root mean square error); E R ˆ = E R ennustevrheen haonta, kun ( ) ( ) vuos, onka lopussa korvausvastuu arvodaan; arvontvuos (arvonthetkellä tarkotetaan vuoden t loppua)

7 5 U vuonna sattunesta vahngosta maksetut korvaukset, kun vahngot ovat loppuunkästeltyä; sattumsvuoden kokonaskorvausmeno ( U = DJ, kun vahngot selvävät J vuoden akana) f haontaparametr Posson-mallssa ylhaonnalla (ks. alaluku 3..4) l k korvausnflaato vuonna k. Vahngon selvämnen a korvausvastuu Vakuutusyhtön taseessa korvausvastuu akautuu varsnaseen korvausvastuuseen, yhtestakuuerään a tasotusmäärään. Yhtestakuuerä on varaus stä varten, että okn laksäätestä tapaturmavakuutusta ta lkennevakuutusta harottava vakuutusyhtö aautuu maksukyvyttömäks ekä suorudu korvausvelvottestaan. Tällön muut kysesä vakuutuslaea harottavat yhtöt vastaavat korvausten suorttamsesta yhtesest. Tasotusmäärä on puolestaan sosaal- a terveysmnsterön asetuksen mukasest laskettu määrä runsasvahnkosten vuosen varalle (Vakuutusyhtölan 9 luku 4 ). Yhtestakuuerä postunee vakuutusyhtöden tasesta vuoden 00 lopussa. Tasotusmäärää koskeva säännöksä tullaan puolestaan uudstamaan Solvenss II:n myötä. Arvot sattuneden vahnkoen velä maksamatta olevsta korvaukssta ssältyvät varsnaseen korvausvastuuseen, oka koostuu vahnkokohtassta varaukssta, kollektvsesta korvausvastuusta a vahnkoen selvttelykuluvarauksesta. Vahnkoen selvttelykuluvaraus ssältää arvon vuoden t loppuun mennessä sattuneden vahnkoen maksettavaks tuleven korvausten selvttelystä aheutuvsta kustannukssta 4. Vahnkokohtaslla varaukslla puolestaan tarkotetaan keskenerästen vahnkoen maksamattoma korvauksa, otka on arvotu erkseen okaselle vahngolle ottaen huomoon vahngon luonne, suuruus a muut vahngon ertysprteet. Kollektvnen korvausvastuu tarkottaa tetylle vahnkoen oukolle tlastollsn menetelmn yhtesest estmotua korvausvastuuta. Nän ollen, tosn kun vahnkokohtassta varaukssta, kollektvsesta korvausvastuusta e voda määrtellä, kunka suur osuus stä kohdstuu mllekn vahngolle. Kollektvseen korvausvastuuseen ssältyy arvo tuntemattomen vahnkoen kokonaskorvausmenosta, ohon vtataan usen lyhenteellä IBNR, Incurred But Not Reported. Loppuosa kollektvsesta korvausvastuusta muodostuu varmuuslsästä a tunnettuen vahnkoen sellasten maksamattomen korvausten estmaatesta, ota e ole varattu vahnkokohtasest. Tunnettuen vahnkoen kollektvsta korvausvastuuta merktään lyhenteellä RBNS, Reported But Not Settled 5. 4 Vahnkoen selvttelykuluvarausta e kästellä työssä tarkemmn. 5 Tunnettuen vahnkoen kollektvselle korvausvastuulle on olemassa myös muta lyhentetä kuten IBNER, Incurred But Not Enough Reported. Työssä on päädytty käyttämään lyhennettä RBNS, sllä se kuvaa paremmn vahnkoen kästtelyvahetta kun IBNER (ks. alaluku.. a kuva ).

8 6 Korvausvastuu taseessa Varsnanen korvausvastuu Yhtestakuuerä Tasotusmäärä Varsnanen korvausvastuu Vahnkokohtaset varaukset Kollektvnen korvausvastuu Vahnkoen selvttelykuluvaraus Kollektvnen korvausvastuu IBNR RBNS Varmuuslsä.. Vahngon selvämsprosess Tarkastellaan vahngon selvämstä a shen lttyvä kästtetä kuvan esmerkktapauksessa. Kuva Eräs realsaato vahngon selvämsestä sekä vahngon korvausmenon a korvausvastuun kehttymsestä. Kuvassa vahnko sattuu hetkellä t. Vuotta, onka akana vahnko on sattunut, kutsutaan sattumsvuodeks. Vahnko lmotetaan vakuutusyhtöön onkn aan kuluttua vahngon sattumsesta hetkellä t ³ t. Kulunutta akaa vahngon sattumsesta sen raportotumseen t - t kutsutaan raportotumsvveeks. Raportotumsvveen akana vahnko on tuntematon vahnko, kun taas vakuutusyhtöön lmotettu vahnko on tunnettu vahnko.

9 7 Kun vahnko on lmotettu yhtöön a tarvttavat selvtystyöt on tehty, suortetaan vahngosta korvaus C ( t 3 ) hetkellä t 6 3. Kakka korvauksa e välttämättä makseta samalla kertaa, vaan vahngon luonteesta rppuu, kunka monessa erässä a kunka ptkän aan kuluessa korvaukset suortetaan 7. Kuvan esmerkssä välllä ( t 3,t p ) maksetaan vahngosta useta korvauserä, kunnes hetkellä t p suortetaan vmenen korvaus. Sattumshetkestä vmesen korvauserän suorttamseen ast vahnko on keskeneränen, a vastaavast vmesen korvauserän maksamsen älkeen stä tulee loppuunkästelty/sulettu. Vahngon kokonaskorvausmenolla tarkotetaan loppuunkästellystä vahngosta maksettua korvauksa yhteensä. t,t arvodun korvausvastuun tuls ssältää vahngon kokonaskorvausmenon. Tämä ssältyy tuntemattomen vahnkoen kollektvseen korvausvastuuseen IBNR. Vahngon ollessa tunnettu mutta selvämseltään keskeneränen akavälllä [ t,t p ) vodaan vahngosta maksamatta olevat korvaukset varata vahnkokohtasena varauksena a/ta ssällyttää ne kollektvsen korvausvastuun tunnettuen vahnkoen osaan RBNS. Yleensä, os vahngosta maksamatta oleven korvausten arvodaan ylttävän etukäteen asetetun raan, varataan raan ylttävä osa vahnkokohtasena varauksena, kun taas raan alttavat korvaukset ssältyvät kollektvseen korvausvastuuseen. Hetkestä t p lähten vahnko on loppuunkästelty ekä stä ole korvausvastuuta Kuvan esmerkssä akavälllä [ ) älellä... Korvausvastuun arvont Korvausvastuu vuoden t lopussa on summa useden kuvan kaltasten vahnkoen vuoden t älkeen maksettavsta korvaukssta. Nästä okanen vahnko on selvämseltään er vaheessa osa on velä tuntemattomna, kun taas osa on lähes loppuunkästeltyä. Vahngon selvämsvaheesta, luonteesta a suuruudesta rppuu, varataanko arvodut, maksettavaks tulevat korvaukset vahnkokohtasena varauksena va ssältyvätkö ne kollektvseen korvausvastuuseen. Joka tapauksessa korvausvastuun arvontn ssältyy ana epävarmuutta, sllä vahngosta tulevasuudessa maksettava korvauksa e voda tetää tarkast etukäteen. Vahnkokohtasa varauksa tehtäessä vodaan ottaa mahdollsmman tarkalla tasolla huomoon vahngosta tedetyt sekat, otta varaus vastas mahdollsmman hyvn todellsa maksettavaks tuleva korvauksa. Kakka vahnkoa e kutenkaan kannata varata vahnkokohtasest tosaalta tehokkuussystä okasen yksttäsen vahngon varaamnen vahnkokohtasest on erttän työlästä a tosaalta, koska vahnkoen lukumäärän ollessa suur vahnkokohtasten varausten summa on usen epätarkemp estmaatt maksettavaks tulevlle korvaukslle kun kollektvnen korvausvastuu 8. Kollektvsen korvausvastuun laskenta nmttän noautuu suurten lukuen lakn mtä enemmän samanlasa vahnkoa on, stä lähempänä korvausten vahnkokohtanen keskarvo on sen odotusarvoa. Nän ollen vahngolle, otka selvävät keskmäärn saman prosessn 6 Kuvan esmerkkn lttyvllä merknnöllä tarkotetaan yhteen vahnkoon lttyvä määrä erotuksena alaluvussa. estellystä vastaavsta suuresta, ossa on kyse usean vahngon summsta. 7 Esmerkks henklövahnkoen eläkemuotosa korvauksa maksetaan kymmenä vuosa, kun taas omasuusvahngot selvävät huomattavast nopeammn. 8 ks. [9] alaluku 3.

10 8 mukasest a noudattavat samankaltasta suuruuden akaumaa, lasketaan yhtesest kollektvnen korvausvastuu, kun taas suuret vahngot ta muuton keskmääräsestä pokkeavat vahngot varataan vahnkokohtasest. Usen vahngot ryhmtellään vakuutuslan a/ta korvauslan perusteella kollektvsen korvausvastuun laskemseks. Kollektvsen korvausvastuun laskenta tarkottaa vahngosta maksamatta oleven korvausten odotusarvon estmonta. Odotusarvon estmaatn lsäks kollektvseen korvausvastuuseen ssällytetään varmuuslsä, otta kollektvnen korvausvastuu on vakuutusyhtölan mukasest turvaava. Varmuuslsän suuruus rppuu korvausvastuuseen lttyvästä epävarmuudesta a valtun arvontmenetelmän tarkkuudesta. Jatkossa korvausvastuulla tarkotetaan pelkästään ntä maksettavaks tuleva korvauksa, oden estmaatt ssältyvät vakuutusyhtön taseessa kollektvseen korvausvastuuseen. Tämän korvausvastuun estmomseks on olemassa useta erlasa menetelmä, ota työssä tarkastellaan. Osa menetelmstä arvo korvausvastuun suoraan rahan määräsenä kun taas osa vahnkoen lukumäärän a keskmääräsen vahngon suuruuden tulona. Usen laskenta ssältää sekä IBNR:n että RBNS:n arvomsen yhdessä. Tarkastellaan tästä lähten van yhtä vahnkoen ryhmää (esmerkks tettyä vakuutuslaa), olle korvausvastuu estmodaan yhtesest..3 Korvauskolmo Korvausvastuu arvodaan vahngosta käytössä olevan tlastoaneston avulla. Tlastonanestona ovat oko vahnkoen lukumäärät, maksetut korvaukset ta maksettuen korvausten a vahnkokohtasten varausten yhtesmäärä. Tlastoanesto estetään yleensä korvauskolmona (run-off -kolmo) el sattums- a kehtysakson mukaan taulukotuna. Sattums- a kehtysakson ptuus vo olla esmerkks kuukaus, kvartaal ta vuos. Työssä käytetään akson ptuutena yhtä vuotta a merktään sattumsvuotta ndeksllä. Vuoden k lopussa vakuutusyhtöllä on sattumsvuoden, k, vahngosta käytössään tlastoanesto vuoslta, +, +,..., k. Nätä vuosa kutsutaan kehtysvuosks,, 3 a nn edelleen. [9] Merktään kehtysvuosa ndeksllä. Kehtysvuoden, vuoden k ³ a sattumsvuoden välllä on yhteys k = + - a vastaavast = k - +. ().3. Vahnkoen lukumääräkolmo Kun korvausvastuun laskennassa käytetään tlastoanestona vahnkoen lukumäärä, kutsutaan korvauskolmota lukumääräkolmoks. Taulukossa a on estetty nkrementaalnen lukumääräkolmo a taulukossa b vastaava kumulatvnen lukumääräkolmo. Sattumsvuodet on merktty yksnkertasest luvulla,,, 7. Sattumsvuos vastaa vanhnta sattumsvuotta a 7 tuorenta havattua sattumsvuotta. Rppuen stä, mtä sattumsvuotta tarkastellaan, on slle ehtnyt arvonthetkeen, el vuoden 7 loppuun, mennessä kertyä yhdestä setsemään kehtysvuotta. Lukumäären kehtysvuos määrtellään sten, että kaavassa () k vastaa vahngon raportomsvuotta. Inkrementaalsen lukumääräkolmon solussa (, ) on nän ollen vuonna sattuneden a vuonna + - raportotuneden vahnkoen lukumäärä M. Näden vahnkoen raportotumsvve on

11 9 ollut -, on puolestaan vuonna sattuneden a vuoden + - loppuun mennessä raportotuneden vahnkoen lukumäärä N. Sattumsvuoden kumulatvnen vahnkoen lukumäärä saadaan vuotta. Kumulatvsen lukumääräkolmon solussa ( ) sattumsvuoden nkrementaalsten lukumäären summana a vastaavast nkrementaalnen lukumäärä saadaan sattumsvuoden peräkkästen kehtysvuosen kumulatvsten lukumäären erotuksena: å N = M k k = a M = N - N, -. () Lukumääräkolmon dagonaalssa on vuoden k akana raportotuneden sellasten vahnkoen lukumäärä, otka ovat sattuneet vuosna,..., k (kaavan () perusteella kehtysvuos on tällön = k - + ). Kehtysvuos Raportotuneet Sattumsvuos teensä vahngot yh Taulukko a Inkrementaalnen lukumääräkolmo. Ulommassa dagonaalssa ovat sellasten vuosna -7 sattuneden vahnkoen lukumäärät, otka ovat raportotuneet vuonna 7 (kuvassa lhavodut luvut). Tyhät solut lttyvät tulevn vuosn ( k > 7 ). Summaamalla saman sattumsvuoden havannot saadaan kysesen sattumsvuoden tunnettuen vahnkoen lukumäärä vuoden 7 lopussa N, 8- (raportotuneet vahngot yhteensä). Kehtysvuos Raportotuneet Sattumsvuos teensä vahngot yh Taulukko b Taulukko a kumulatvsessa muodossa. Tarkasteltaessa lukumääräkolmon er rveä el sattumsvuosa, saadaan kästys stä, kunka ptkä vahnkoen raportotumsvve on. Jos vahngot raportotuvat korvauskolmossa näkyven kehtysvuosen akana, tarkottaa vahnkoen lopullsen lukumäärän

12 0 estmont lukumääräkolmon tyhen soluen täyttämstä arvolla. Tosn sanoen, pyrtään arvomaan, kunka monta o sattunutta vahnkoa on velä tuntemattomana a mnä kehtysvuosna ne raportotuvat. Kuvassa on havannollstettu tätä estmonta, kun merktään tuorenta sattumsvuotta I a kehtysvuotta, onka loppuun mennessä kakk tetyn sattumsvuoden vahngot ovat tunnettua, J. Vuonna sattuneden a vuoden t N lopussa tuntemattomna oleven vahnkoen lukumäärän estmaatt Rˆ saadaan oko lopullsen vahnkoen lukumäärän estmaatn Nˆ J a arvonthetkeen mennessä tunnettuen vahnkoen lukumäärän N, t-+ erotuksena ta tuleven kehtysvuosen nkrementaalsten vahnkoen lukumäären estmaatten summana:, t- + = J å N Rˆ = Nˆ - N Mˆ. (3) J = t-+ Estmotu tuntemattomen vahnkoen lukumäärä yhteensä saadaan sattumsvuosttasten tuntemattomen vahnkoen lukumäären summana I å N N Rˆ = Rˆ. (4) = Sattumsvuodet 3... Kehtysvuodet 3 Havattu anesto Arvot tulevlle kehtysvuoslle Kuva. Kolmon täyttämnen tuleven kehtysvuosen arvolla..3. Maksettuen korvausten korvauskolmo Kun tlastoanestona käytetään tedossa oleva maksettua korvauksa, puhutaan ylesest korvauskolmosta ta maksettuen korvausten korvauskolmosta. Korvauskolmossa kehtysvuos määrtellään sten, että kaavassa () k vastaa korvauserän maksuvuotta. Kehtysvuos kuvaa nän ollen korvauseren maksun vvettä sattumsvuodesta. Taulukossa a a b on estetty taulukon vahnkoen nkrementaalset a kumulatvset korvaukset korvauskolmona. Inkrementaalsen korvauskolmon (taulukko a) solussa (, ) on sattumsvuoden vahngosta. kehtysvuoden (el vuoden + -) akana maksetut korvaukset, C. Kumulatvsen korvauskolmon (taulukko b) solussa ( ) on vastaavast sattumsvuoden vahngosta. kehtysvuoden loppuun mennessä

13 maksetut korvaukset D. Kuten vahnkoen lukumäärlle, myös maksetulle korvaukslle pätee nkrementaalsten a kumulatvsten korvausten yhteys å D = C k k = a C = D - D, -. (5) Korvauskolmon dagonaalssa on vuoden k akana vuosna,..., k sattunesta vahngosta maksetut korvaukset (kaavan () perusteella = k - + ). Kehtysvuos Maksetut korvaukset yh- Sattumsvuos teensä Taulukko a. Inkrementaalnen korvauskolmo taulukon vahngosta. Ulommassa dagonaalssa ovat vuosna -7 sattunesta vahngosta vuonna 7 maksetut korvaukset (kuvassa lhavodut luvut). Sattumsvuoden vahngosta maksetut korvaukset yhteensä vuoden 7 lopussa saadaan summaamalla kysesen sattumsvuoden havannot. Kehtysvuos Maksetut korvaukset yh- Sattumsvuos teensä Taulukko b. Kumulatvnen korvauskolmo Jos vahngot selvävät korvauskolmossa näkyven kehtysvuosen akana, tarkottaa korvausvastuun arvont korvauskolmon tyhen soluen täyttämstä arvodulla maksettavaks tulevlla korvaukslla. Pyrtään ss arvomaan, kunka palon korvauskolmossa näkyven sattumsvuosen vahngosta maksetaan velä korvauksa, kunnes vahngot ovat loppuunkästeltyä (ks. kuva ). Kun tuoren sattumsvuos on I a vahngot selvävät J kehtysvuoden akana, vuonna sattuneden vahnkoen korvausvastuun estmaatt vuoden t lopussa on

14 J t- + = åc ˆ, = t-+ Rˆ = Dˆ - D. (6) J Koko korvausvastuun estmaatt vuoden t lopussa saadaan sattumsvuosttasten estmaatten summana I å R = Rˆ = ˆ. (7) Nn kutsutussa ptkähäntässsä vakuutuslaessa vahnkoen selvämnen saattaa kestää pdempään, kun korvauskolmossa näkyven kehtysvuosen aan. 9 Tällön korvauskolmon täyttämstä atketaan kakken sattumsvuosen osalta kolmosta okealle, kuten kuvassa 3 on havannollstettu. Jos vmenen korvauskolmossa näkyvä kehtysvuos on J, pyrtään ss arvomaan myös kehtysvuosna J +, J +,..., J + n maksettavat korvaukset. Nästä kehtysvuossta e ole korvauskolmossa havattua maksettua korvauksa, oden perusteella kehtystä vos arvoda. Tällön estmonnssa käytetään hyväks esmerkks ekstrapolonta (ks. alaluku 3...3). täseks. Sattumsvuodet 3... Kehtysvuodet 3... Korvauskolmo; havatut korvaukset Kehtysvuodet, osta on vanhmpen sattumsvuosen osalta havantoa Kehtysvuodet, osta e ole havantoa Kuva 3. Korvausvastuun estmont, kun vahnkoen selvämnen kestää pdempään kun korvauskolmossa näkyven kehtysvuosen aan (vrt. kuva ). Jos kyseessä on nkrementaalnen korvauskolmo, korvausvastuu saadaan sävytettyen alueden estmotuen korvausten summana..3.3 Korvausmenokolmo Usen vahngosta tedetään korvausvastuun arvonthetkellä enemmän kun van maksetut korvaukset. Tämä teto ssältyy vahnkokohtasn varauksn. Kun tlastoanestona käytetään tedossa oleven maksettuen korvausten lsäks vahnkokohtasa varauksa, puhutaan korvausmenokolmosta. Sattumsvuoden kehtysvuoden (kumulatvsella) korvausmenolla I tarkotetaan kumulatvsten maksettuen korvausten D a 9 Esmerkks vakuutuslaa, ossa vahnkoen selvämnen kestää yl 0 vuotta, vodaan kutsua ptkähän-

15 3 sattumsvuoden vahnkoen kehtysvuoden lopun vahnkokohtasten varausten summaa O I = D + O. Sattumsvuoden kehtysvuoden nkrementaalsella korvausmenolla tarkotetaan puolestaan sattumsvuoden korvausmenon muutosta kehtysvuoden akana. Korvausmenon muutos on kehtysvuoden nkrementaalsten maksettuen korvausten a vahnkokohtasten varausten muutoksen summa ( O O ) I. - I, - = C Taulukossa 3 a a 3 b on taulukon vahnkoen vahnkokohtaset varaukset vuosttan sekä vahnkokohtasten varausten muutos kehtysvuosttan. Taulukossa 4 a a 4 b on taulukon 3 vahnkokohtassta varaukssta a taulukon maksetusta korvaukssta muodostettu nkrementaalnen a kumulatvnen korvausmenokolmo. Vuos k Sattumsvuos Taulukko 3 a. Vahnkokohtaset varaukset vuosen,,7 lopussa sattumsvuosttan. Kehtysvuos Sattumsvuos Taulukko 3 b. Taulukon 3 a vahnkokohtasten varausten muutos kehtysvuosttan.

16 4 Kehtysvuos Sattumsvuos yhteensä Korvausmeno Taulukko 4 a. Inkrementaalnen korvausmenokolmo (summa taulukon a nkrementaalssta maksetusta korvaukssta a taulukon 3 b vahnkokohtasten varausten muutoksesta. Kehtysvuos Sattumsvuos yhteensä Korvausmeno Taulukko 4 b. Kumulatvnen korvausmenokolmo. Korvausmeno selvää usen nopeammn kun maksetut korvaukset. Kuvassa 4 on esmerkk sattumsvuoden korvausmenon a maksettuen korvausten kehtyksestä. Kuvassa kakk vahngot ovat tunnettua kehtysvuoden lopussa a vahnkokohtaset varaukset on arvotu tästä lähten täsmälleen yhtä suurks, kun vahngosta on maksamatta korvauksa. Nän ollen korvausmeno on yhtä suur kun kokonaskorvausmeno U kehtysvuodesta lähten. Vastaavast korvausmenon muutos kehtysvuosna > on nolla, koska korvauksa maksetaan yhtä palon, kun vahnkokohtaset varaukset purkautuvat. Kumulatvset maksetut korvaukset ovat sen saan selvnneet vasta kehtysvuoden J lopussa.

17 5 Kuva 4. Sattumsvuoden maksettuen korvausten a korvausmenon kehtys. Korvausmenon a kumulatvsten korvausten erotuksena saadaan vahnkokohtaset varaukset. Jotta maksettuen korvausten a korvausmenon erlanen selvämnen kävs lm, on vahnkokohtaset varaukset latettu kuvassa ertysen ylarvoduks. Korvausvastuu vodaan arvoda korvausmenokolmosta käyttäen samoa menetelmä kun maksettuen korvausten korvauskolmolle. Koska korvausmeno lähestyy nopeammn kokonaskorvausmenoa kun maksetut korvaukset, korvausvastuun estmomnen korvausmenokolmosta vo olla helpompaa a käytännöllsempää ertysest ptkähäntässsä vakuutuslaessa. Esmerkks kuvassa 3 havannollstetulta ekstrapolonnlta vodaan välttyä kokonaan. Tosaalta, os ykskään korvausmenokolmon sattumsvuos e ole lopullsest selvnnyt, saattaa vahnkokohtasten varausten epätarkkuus aheuttaa ylmäärästä epätarkkuutta korvausmenokolmosta estmotuun korvausvastuuseen. Korvausmenokolmosta a maksettuen korvausten korvauskolmosta estmotuen korvausvastuden tuls olla lähellä tosaan. Korvausmenokolmosta vuoden t lopussa estmotu korvausvastuu ssältää kutenkn maksettavaks tuleven korvausten lsäks arvot vahnkokohtasten varausten tulevsta muutokssta 0 I J åå = = t-+ I J I J I ( Iˆ -Iˆ - ) = åå( Cˆ + Oˆ -Oˆ,,- ) = ååc ˆ -å Rˆ = O. = = t-+ = = t -+ =,t -+ Nän ollen maksettuen korvausten korvauskolmon perusteella arvodusta korvausvastuusta on vähennettävä vuoden t lopun vahnkokohtaset varaukset ennen korvausvastuden vertalua (vertaa edellä laskettua kaavohn (6)-(7), kun oletetaan vahnkoen selvävän J vuodessa). Jatkossa tarkastellaan korvausvastuun estmomsta pelkästään vahnkoen lukumääräkolmosta a maksettuen korvausten korvauskolmosta. Maksettuen korvausten korvauskolmota kutsutaan atkossa lyhyest korvauskolmoks. 0 Muutos ssältää arvon stä, kunka palon varaus on purkautunut maksetuks korvauksks a kunka palon varausta on pävtetty uuden tedon perusteella.

18 6.4 Korvausnflaato Inflaatolla on merkttävä vakutus maksettavaks tuleven korvausten suuruuteen. Suomessa ylestä nflaatota mtataan kuluttaahntandeksllä, oka on kulutusosuukslla panotettu keskarvo kottalouksen ostamen tavaroden a palveluden hnnosta [0]. Inflaaton vakutus maksettavn korvauksn e ana vastaa ylesen nflaaton mukasta kustannusten kasvua, vaan vakutus rppuu tarkasteltavasta korvauslasta. Esmerkks ansotasoon sdotussa eläkekorvauksssa ylenen palkkatason muutos vakuttaa korvausten suuruuteen, kun taas okeusturvavakuutuksessa ertysest asanaokustannusten kasvu on merkttävä tekä. Tämän taka korvauksn vakuttavaa nflaatota kutsutaan korvausnflaatoks erotuksena kuluttaahntandeksllä mtattavasta ylesestä nflaatosta. Korvausnflaato aetaan yleseen nflaatoon a korvauslalle tyypllseen nflaatoon, oden summana korvausnflaato saadaan [3]. Koska korvauskolmon dagonaal kuvaa tettyä kalentervuotta, lmenee korvausnflaato korvauskolmossa dagonaalsena vakutuksena. Dagonaaln maksetut korvaukset ovat ss altstuneet samansuuruselle korvausnflaatolle rppumatta vahngon sattumsvuodesta. Vastaavast korvausnflaato näkyy vuonna sattuneden vahnkoen maksettuen korvausten kehtyksessä. Jotta saatasn selvlle sattumsvuoden korvausten kehtys lman korvausnflaaton vakutusta, muutetaan maksetut korvaukset saman vuoden rahan arvoon yleensä arvontvuoden t rahan arvoon. Olkoon vuoden k, k t, korvausnflaato l k. Tällön sattumsvuoden vahngosta vuonna + - t maksetut korvaukset vuoden t rahan arvossa ovat t Õ( + λk ) * C = C. (8) k= + Kun korvausnflaaton vakutus on elmnotu korvauskolmosta, vodaan arvoda muden teköden kuten mahdollsten ehtomuutosten, lakmuutosten sekä korvaustomnnassa tapahtuneden muutosten vakutusta maksettuen korvausten tasoon a selvämseen. Taulukossa 5 on estetty taulukon a nkrementaalnen korvauskolmo vuoden 7 rahan arvossa olettaen, että korvausnflaato λ k = % kaklla k =,..., 7. Taulukkoa b vastaava, vuoden 7 rahan arvossa oleva kumulatvnen korvauskolmo on laskettu nkrementaalssta korvaukssta kaavalla (5).

19 7 t- Kertomet ( ) ( + - ) + 0,0 nkrementaalslle korvaukslle kaavassa (8) Kehtysvuos Sattumsvuos ,66,0408,0843,06,0404,000,0000,0408,0843,06,0404,000,0000 3,0843,06,0404,000,0000 4,06,0404,000,0000 5,0404,000,0000 6,000,0000 7,0000 Inkrementaalnen korvauskolmo vuoden 7 rahan arvossa Kehtysvuos Maksetut korvaukset yh- Sattumsvuos teensä Kumulatvnen korvauskolmo vuoden 7 rahan arvossa Kehtysvuos Maksetut korvaukset yh- Sattumsvuos teensä Taulukko 5. Taulukoden a a b korvaukset vuoden 7 rahan arvossa, kun λ k = % kaklla k =,..., 7. Korvausnflaaton kustannuksa kasvattava vakutus on otettava huomoon korvausvastuuta arvotaessa. Ertysest ptkähäntässsä vakuutuslaessa korvausnflaato vakuttaa merkttäväst maksettavaks tuleven korvausten suuruuteen mtä kauempana tulevasuudessa o sattuneen vahngon kustannukset aheutuvat, stä pdempään ne ovat altstuneet korvausnflaaton aheuttamalle kustannusten kasvulle. Korvausnflaaton vakutus otetaan huomoon korvausvastuun estmonnssa mplsttsest ta eksplsttsest alaluvussa 3... estetyllä tavalla.

20 8 Jossan vakuutuslaessa korvaukset maksetaan, edellä estetystä poketen, vahngon sattumsvuoden tasossa rppumatta stä, mnä vuonna korvauserän suortus tapahtuu. Tällön korvausnflaaton vakutus lmenee korvauskolmossa dagonaalen saan rvellä el sattumsvuosttan. Tällasssa vakuutuslaessa korvausnflaaton vakutus elmnodaan kaavan (8) saan kaavalla C ** = C I Õ( + λk ) k= +, kun t -..5 Sotustomnta a korvausvastuun dskonttaus Korvausnflaaton lsäks sotustomnnalla a sotustuotolla on suur merktys vakuutustomnnassa. Vakuutusmaksut pertään vakuutuksenottalta vakuutuskauden alussa ta ennen vakuutuskauden alkua, kun taas vahnko sattuu tämän älkeen vakuutuskauden akana. Korvauksa vodaan suorttaa velä usean vuoden älkeen vakuutusmaksun permsestä. Johtuen vakuutusmaksu- a korvauskassavrtoen erakasuudesta, vakuutusyhtölle kertyy sotettava varoa, olle saadaan tuottoa. Sotustomnta vakuttaa korvausvastuun laskentaan, kun päätetään korvausvastuun dskonttauksesta a snä käytettävästä tuotto-odotuksesta. Korvausvastuuta dskontattaessa estmodusta korvausvastuusta vähennetään tuotto, oka slle oletetaan saatavan snä akana, kun se on sotettuna, tosn sanoen, kunnes korvaukset on suortettu. Dskontattu korvausvastuu tarkottaa nän ollen estmotuen tulevasuudessa maksettaven korvausten kassavrran nykyarvoa (pääoma-arvo). Kun merktään vuonna t + h, h =,,... I + J -- t, maksettavaks arvotua määrä C F ˆ, t + h + h = I å CFˆ t Cˆ, (9) =, t+ h-+ on dskontattu korvausvastuu vuoden t lopussa d CFˆ Rˆ =, (0) I + J - å - t h= t + h h h ( + s ) mssä s h on h vuoden aan sotettuna oleven varoen vuostuotto-odotus. Kaavassa (0) on oletettu, että korvaukset maksetaan vuoden lopussa. Vahnkovakuutuksessa on ollut tapana dskontata anoastaan eläkemuotosten korvausten korvausvastuu, onka realsotumnen kestää useden vuosen aan. Tuottoodotuksena s h käytetään rsktöntä korkoa, otta dskontattu korvausvastuu on vakuutusyhtölan mukasest turvaavast arvotu. Usen tuotto-odotukseks valtaan vakokorko s h = s kaklla h =,,..., I + J -- t, a stä kutsutaan dskonttauskoroks. Myös muden korvauslaen kun eläkemuotosten korvausten korvausvastuu on mahdollsta dskontata, mutta tällön on noudatettava vakuutusyhtölan määräyksä stä, mllon Käytännössä usen oletetaan, että korvaukset maksetaan tasasest vuoden akana, ollon dskonttaus tapahtus puoleen väln vuotta.

Jaksolliset ja toistuvat suoritukset

Jaksolliset ja toistuvat suoritukset Jaksollset ja tostuvat suortukset Korkojakson välen tostuva suortuksa kutsutaan jaksollsks suortuksks. Tarkastelemme tässä myös ylesempä tlanteta jossa samansuurunen talletus tehdään tasavälen mutta e

Lisätiedot

Uuden eläkelaitoslain vaikutus allokaatiovalintaan

Uuden eläkelaitoslain vaikutus allokaatiovalintaan TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemanalyysn laboratoro Mat-2.108 Sovelletun matematkan erkostyö Uuden eläkelatoslan vakutus allokaatovalntaan Tmo Salmnen 58100V Espoo, 14. Toukokuuta 2007 Ssällysluettelo Johdanto...

Lisätiedot

Mittausepävarmuus. Mittaustekniikan perusteet / luento 7. Mittausepävarmuus. Mittausepävarmuuden laskeminen. Epävarmuuslaskelma vai virhearvio?

Mittausepävarmuus. Mittaustekniikan perusteet / luento 7. Mittausepävarmuus. Mittausepävarmuuden laskeminen. Epävarmuuslaskelma vai virhearvio? Mttausteknkan perusteet / luento 7 Mttausepävarmuus Mttausepävarmuus Mttaustulos e ole koskaan täysn oken Mttaustulos on arvo mtattavasta arvosta Mttaustuloksen ja mtattavan arvon ero on mttausvrhe Mkäl

Lisätiedot

Kuluttajahintojen muutokset

Kuluttajahintojen muutokset Kuluttajahntojen muutokset Samu Kurr, ekonomst, rahapoltkka- ja tutkmusosasto Tutkmuksen tausta ja tavotteet Tavaroden ja palveluden hnnat evät muutu jatkuvast, vaan ovat ana jossan määrn jäykkä lyhyellä

Lisätiedot

Mittausvirhe. Mittaustekniikan perusteet / luento 6. Mittausvirhe. Mittausepävarmuus ja siihen liittyvää terminologiaa

Mittausvirhe. Mittaustekniikan perusteet / luento 6. Mittausvirhe. Mittausepävarmuus ja siihen liittyvää terminologiaa Mttausteknkan perusteet / luento 6 Mttausepävarmuus ja shen lttyvää termnologaa Mttausepävarmuus = mttaustulokseen lttyvä parametr, joka kuvaa mttaussuureen arvojen odotettua vahtelua Mttauksn lttyvä kästtetä

Lisätiedot

Luento 6 Luotettavuus Koherentit järjestelmät

Luento 6 Luotettavuus Koherentit järjestelmät Aalto-ylosto erustetede korkeakoulu Matematka a systeemaalyys latos Lueto 6 Luotettavuus Koherett ärestelmät Aht Salo Systeemaalyys laboratoro Matematka a systeemaalyys latos Aalto-ylosto erustetede korkeakoulu

Lisätiedot

COULOMBIN VOIMA JA SÄHKÖKENTTÄ, PISTEVARAUKSET, JATKUVAT VARAUSJAKAUMAT

COULOMBIN VOIMA JA SÄHKÖKENTTÄ, PISTEVARAUKSET, JATKUVAT VARAUSJAKAUMAT COUOMBIN VOIMA JA SÄHKÖKENTTÄ, PISTEVARAUKSET, JATKUVAT VARAUSJAKAUMAT SISÄTÖ: Coulombn voma Sähkökenttä Coulombn voman a sähkökentän laskemnen pstevaaukslle Jatkuvan vaauksen palottelemnen pstevaauksks

Lisätiedot

Työn tavoitteita. 1 Johdanto. 2 Ideaalikaasukäsite ja siihen liittyvät yhtälöt

Työn tavoitteita. 1 Johdanto. 2 Ideaalikaasukäsite ja siihen liittyvät yhtälöt FYSP103 / 1 KAASUTUTKIMUS Työn tavotteta havannollstaa deaalkaasun tlanyhtälöä oppa, mten lman kosteus vakuttaa havattavn lmöhn ja mttaustuloksn kerrata mttauspöytäkrjan ja työselostuksen laatmsta Luento-

Lisätiedot

Tietojen laskentahetki λ α per ,15 0,18 per ,15 0,18 per tai myöhempi 0,20 0,18

Tietojen laskentahetki λ α per ,15 0,18 per ,15 0,18 per tai myöhempi 0,20 0,18 SU/Vakuutusmatemaattnen ykskkö 6.3.07 (6) Rahastoonsrtovelvotteeseen ja perustekorkoon lttyvät laskentakaavat Soveltamnen. Rahastosrtovelvote RSV. Täydennyskerron b 6 Nätä laskentakaavoja sovelletaan täydennyskertomen,

Lisätiedot

Monte Carlo -menetelmä

Monte Carlo -menetelmä Monte Carlo -menetelmä Helumn perustlan elektron-elektron vuorovakutuksen laskemnen parametrsodulla yrteaaltofunktolla. Menetelmän käyttökohde Monen elektronn systeemen elektronkorrelaato oteuttamnen mulla

Lisätiedot

Aamukatsaus 13.02.2002

Aamukatsaus 13.02.2002 Indekst & korot New Yorkn päätöskursst, euroa Muutos-% Päätös Muutos-% Helsnk New York (NY/Hel) Dow Jones 9863.7-0.21% Noka 26.21 26.05-0.6% S&P 500 1107.5-0.40% Sonera 5.05 4.99-1.1% Nasdaq 1834.2-0.67%

Lisätiedot

Lohkoasetelmat. Lohkoasetelmat. Lohkoasetelmat: Mitä opimme? Lohkoasetelmat. Lohkoasetelmat. Satunnaistettu täydellinen lohkoasetelma 1/4

Lohkoasetelmat. Lohkoasetelmat. Lohkoasetelmat: Mitä opimme? Lohkoasetelmat. Lohkoasetelmat. Satunnaistettu täydellinen lohkoasetelma 1/4 TKK (c) lkka Melln (005) Koesuunnttelu TKK (c) lkka Melln (005) : Mtä opmme? Tarkastelemme tässä luvussa seuraavaa kysymystä: Mten varanssanalyysssa tutktaan yhden tekän vakutusta vastemuuttujaan, kun

Lisätiedot

FYSA220/2 (FYS222/2) VALON POLARISAATIO

FYSA220/2 (FYS222/2) VALON POLARISAATIO FYSA220/2 (FYS222/2) VALON POLARSAATO Työssä tutktaan valoaallon tulotason suuntasen ja stä vastaan kohtsuoran komponentn hejastumsta lasn pnnasta. Havannosta lasketaan Brewstern lan perusteella lasn tatekerron

Lisätiedot

SU/Vakuutusmatemaattinen yksikkö (5)

SU/Vakuutusmatemaattinen yksikkö (5) SU/Vakuutusmatemaattnen ykskkö 0..06 (5) Rahastoonsrtovelvotteeseen ja perustekorkoon lttyvät laskentakaavat Soveltamnen. Rahastosrtovelvote RSV. Täydennyskerron b 6 Nätä laskentakaavoja sovelletaan täydennyskertomen,

Lisätiedot

6. Stokastiset prosessit (2)

6. Stokastiset prosessit (2) Ssältö Markov-prosesst Syntymä-kuolema-prosesst luento6.ppt S-38.45 - Lkenneteoran perusteet - Kevät 6 Markov-prosess Esmerkk Tark. atkuva-akasta a dskreetttlasta stokaststa prosessa X(t) oko tla-avaruudella

Lisätiedot

Rahastoonsiirtovelvoitteeseen ja perustekorkoon liittyvät laskentakaavat. Soveltaminen

Rahastoonsiirtovelvoitteeseen ja perustekorkoon liittyvät laskentakaavat. Soveltaminen SU/Vakuutusmatemaattnen ykskkö 0.4.05 Rahastoonsrtovelvotteeseen ja perustekorkoon lttyvät laskentakaavat Soveltamnen. Rahastosrtovelvote RSV. Täydennyskerron b 6 Nätä perusteta sovelletaan täydennyskertomen,

Lisätiedot

Työn tavoitteita. 1 Johdanto. 2 Ideaalikaasukäsite ja siihen liittyvät yhtälöt

Työn tavoitteita. 1 Johdanto. 2 Ideaalikaasukäsite ja siihen liittyvät yhtälöt FYSP103 / 1 KAASUTUTKIUS Työn tavotteta havannollstaa deaalkaasun tlanyhtälöä oa, mten lman kosteus vakuttaa havattavn lmöhn ja mttaustuloksn kerrata mttausöytäkrjan ja työselostuksen laatmsta Luento-

Lisätiedot

Työssä tutustutaan harmonisen mekaanisen värähdysliikkeen ominaisuuksiin seuraavissa

Työssä tutustutaan harmonisen mekaanisen värähdysliikkeen ominaisuuksiin seuraavissa URUN AMMAIKORKEAKOULU YÖOHJE (7) FYSIIKAN LABORAORIO V.2 2.2 38E. MEKAANISEN VÄRÄHELYN UKIMINEN. yön tavote 2. eoraa yössä tutustutaan harmonsen mekaansen värähdyslkkeen omnasuuksn seuraavssa tapauksssa:

Lisätiedot

TULEVAISUUDEN KILPAILUKYKY VAATII OSAAVAT TEKIJÄNSÄ. Suomen Ammattiin Opiskelevien Liitto - SAKKI ry

TULEVAISUUDEN KILPAILUKYKY VAATII OSAAVAT TEKIJÄNSÄ. Suomen Ammattiin Opiskelevien Liitto - SAKKI ry TULEVAISUUDEN KILPAILUKYKY VAATII OSAAVAT TEKIJÄNSÄ Suomen Ammattn Opskeleven Ltto - SAKKI ry AMMATILLINEN KOULUTUS MUUTOKSEN KOURISSA Suomalasen ammatllsen koulutuksen vahvuus on sen laaja-alasuudessa

Lisätiedot

SU/Vakuutusmatemaattinen yksikkö (6)

SU/Vakuutusmatemaattinen yksikkö (6) SU/Vakuutusmatemaattnen ykskkö 28.0.206 (6) Rahastoonsrtovelvotteeseen ja perustekorkoon lttyvät laskentakaavat Soveltamnen. Rahastosrtovelvote RSV 2. Täydennyskerron b 6 Nätä laskentakaavoja sovelletaan

Lisätiedot

Tchebycheff-menetelmä ja STEM

Tchebycheff-menetelmä ja STEM Tchebycheff-menetelmä ja STEM Optmontopn semnaar - Kevät 2000 / 1 1. Johdanto Tchebycheff- ja STEM-menetelmät ovat vuorovakuttesa menetelmä evät perustu arvofunkton käyttämseen pyrkvät shen, että vahtoehdot

Lisätiedot

Hyrynsalmen kunta, jäljempänä kunta. Laskutie 1, 89400 HYRYNSALMI. Kohde sijaitsee Hallan Sauna- nimisessä kiinteistössä.

Hyrynsalmen kunta, jäljempänä kunta. Laskutie 1, 89400 HYRYNSALMI. Kohde sijaitsee Hallan Sauna- nimisessä kiinteistössä. VUOKRASOPIMUS 1.1 Sopjapuolet Hyrynsalmen kunta, jäljempänä kunta. Laskute 1, 89400 HYRYNSALMI Hallan Sauna Oy (y-tunnus: 18765087) CIO Tl- Tekno Oulu Oy Kauppurnkatu 12, 90100 OULU 1.2 Sopmuksen kohde

Lisätiedot

Palkanlaskennan vuodenvaihdemuistio 2014

Palkanlaskennan vuodenvaihdemuistio 2014 Palkanlaskennan vuodenvahdemusto 2014 Pkaohje: Tarkstettavat asat ennen vuoden ensmmästä palkanmaksua Kopo uudet verokortt. Samat arvot kun joulukuussa käytetyssä, lman kumulatvsa tetoja. Mahdollsest muuttuneet

Lisätiedot

JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO Taloustieteiden tiedekunta

JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO Taloustieteiden tiedekunta JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO Talousteteden tedekunta AIKA- IKÄ- JA KOHORTTIVAIKUTUKSET KOTITALOUKSIEN RAHOITUSVARALLISUUDEN RAKENTEISIIN SUOMESSA VUOSINA 1994 2004 Kansantaloustede Pro gradu -tutkelma Maalskuu

Lisätiedot

ER-kaaviot. Ohjelmien analysointi. Tilakaaviot. UML-kaaviot (luokkakaavio) Tietohakemisto. UML-kaaviot (sekvenssikaavio) Kirjasto

ER-kaaviot. Ohjelmien analysointi. Tilakaaviot. UML-kaaviot (luokkakaavio) Tietohakemisto. UML-kaaviot (sekvenssikaavio) Kirjasto Ohelmen analsont Ohelmen kuvaamnen kaavolla ohelmen mmärtämnen kaavoden avulla kaavoden tuottamnen ohelmasta Erlasa kaavotppeä: ER-kaavot, tlakaavot, UML-kaavot tetohakemsto vuokaavot (tarkemmn) Vuoanals

Lisätiedot

VAIKKA LAINAN TAKAISIN MAKSETTAVA MÄÄRÄ ON SEN NIMELLISARVO, SIJOITTAJA VOI MENETTÄÄ OSAN MERKINTÄHINNASTA, JOS LAINA ON MERKITTY YLIKURSSIIN

VAIKKA LAINAN TAKAISIN MAKSETTAVA MÄÄRÄ ON SEN NIMELLISARVO, SIJOITTAJA VOI MENETTÄÄ OSAN MERKINTÄHINNASTA, JOS LAINA ON MERKITTY YLIKURSSIIN DANSKE BANK A/S 2017: NOUSEVA KIINA Lanakohtaset ehdot A. Sopmusehdot Nämä lanakohtaset ehdot muodostavat yhdessä 28.6.2012 pävättyyn sekä 8.8.2012, 5.11.2013 ja 13.2.2013 täydennettyyn ohjelmaestteeseen

Lisätiedot

FDS-OHJELMAN UUSIA OMINAISUUKSIA

FDS-OHJELMAN UUSIA OMINAISUUKSIA FDS-OHJELMAN UUSIA OMINAISUUKSIA Smo Hostkka VTT PL 1000, 02044 VTT Tvstelmä Fre Dynamcs Smulator (FDS) ohjelman vdes verso tuo mukanaan joukon muutoksa, jotka vakuttavat ohjelman käyttöön ja käytettävyyteen.

Lisätiedot

Ilmari Juva. Jalkapallo-ottelun lopputuloksen stokastinen mallintaminen

Ilmari Juva. Jalkapallo-ottelun lopputuloksen stokastinen mallintaminen Ilmar Juva 45727R Mat-2.108 Sovelletun matematkan erkostyö Jalkaallo-ottelun loutuloksen stokastnen mallntamnen 1 Johdanto Jalkaallo-ottelun loutuloksen mallntamsesta tlastollsn ja todennäkösyyslaskun

Lisätiedot

Työllistääkö aktivointi?

Työllistääkö aktivointi? Jyväskylän ylopsto Matemaatts-luonnonteteellnen tedekunta Työllstääkö aktvont? Vakuttavuusanalyys havannovassa tutkmuksessa Elna Kokkonen tlastoteteen pro gradu tutkelma 31. elokuuta 2007 Tlastoteteen

Lisätiedot

Mittaustulosten käsittely

Mittaustulosten käsittely Mttaustulosten kästtely Vrhettä ja epävarmuutta lmasevat kästteet Tostokoe ja satunnasten vrheden tlastollnen kästtely. Mttaustulosten jakaumaa kuvaavat tunnusluvut. Normaaljakauma 7. Tostokoe ja suurmman

Lisätiedot

Jaetut resurssit. Tosiaikajärjestelmät Luento 5: Resurssien hallinta ja prioriteetit. Mitä voi mennä pieleen? Resurssikilpailu ja estyminen

Jaetut resurssit. Tosiaikajärjestelmät Luento 5: Resurssien hallinta ja prioriteetit. Mitä voi mennä pieleen? Resurssikilpailu ja estyminen Tosakajärjestelmät Luento : Resurssen hallnta ja prorteett Tna Nklander Jaetut resursst Useat tapahtumat jakavat ohjelma-/lattesto-olota, jossa kesknänen possulkemnen on välttämätöntä. Ratkasuja: Ajonakanen

Lisätiedot

Sähköstaattinen energia

Sähköstaattinen energia ähköstaattnen enega Potentaalenegan a potentaaln suhde on samanlanen kun Coulomn voman a sähkökentän suhde: ähkökenttä vakuttaa vaattuun kappaleeseen nn, että se kokee Coulomn voman, mutta sähkökenttä

Lisätiedot

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 7: Lagrangen kertojat. Pienimmän neliösumman menetelmä.

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 7: Lagrangen kertojat. Pienimmän neliösumman menetelmä. MS-A0205/MS-A0206 Dfferentaal- ja ntegraallaskenta 2 Luento 7: Lagrangen kertojat. Penmmän nelösumman menetelmä. Jarmo Malnen Matematkan ja systeemanalyysn latos 1 Aalto-ylopsto Kevät 2016 1 Perustuu Antt

Lisätiedot

4. Datan käsittely lyhyt katsaus. Havaitsevan tähtitieteen peruskurssi I, luento Thomas Hackman

4. Datan käsittely lyhyt katsaus. Havaitsevan tähtitieteen peruskurssi I, luento Thomas Hackman 4. Datan kästtel lht katsaus Havatsevan tähtteteen peruskurss I, luento 7..008 Thomas Hackman 4. Datan kästtel Ssältö Tähtteteellsten havantojen vrheet Korrelaato Funkton sovtus Akasarja-anals 4. Tähtteteellsten

Lisätiedot

3.3 Hajontaluvuista. MAB5: Tunnusluvut

3.3 Hajontaluvuista. MAB5: Tunnusluvut MAB5: Tunnusluvut 3.3 Hajontaluvusta Esmerkk 7 Seuraavat kolme kuvaa osottavat, että jakaumlla vo olla sama keskarvo ja stä huolmatta ne vovat olla avan erlaset. Kakken kolmen keskarvo on 78,0! Frekvenss

Lisätiedot

A250A0100 Finanssi-investoinnit Harjoitukset 24.03.15

A250A0100 Finanssi-investoinnit Harjoitukset 24.03.15 A50A000 Fnanss-nvestonnt Hajotukset 4.03.5 ehtävä. akknapotolon keskhajonta on 9 %. Laske alla annettujen osakkeden ja makknapotolon kovaanssen peusteella osakkeden betat. Osake Kovaanss A 40 B 340 C 60

Lisätiedot

Moderni portfolioteoria

Moderni portfolioteoria Modern portfoloteora Helsngn Ylopsto Kansantalousteteen Kanddaatntutkelma 4.12.2006 Juho Kostanen (013297143) juho.kostanen@helsnk.f 2 1. Johdanto... 3 2. Sjotusmarkknat... 4 2.1. Osakemarkknat... 4 2.2.

Lisätiedot

HE 174/2009 vp. määräytyisivät 6 15-vuotiaiden määrän perusteella.

HE 174/2009 vp. määräytyisivät 6 15-vuotiaiden määrän perusteella. Halltuksen estys Eduskunnalle laks kunnan peruspalvelujen valtonosuudesta, laks opetus- ja kulttuurtomen rahotuksesta ja laeks eräden nhn lttyven laken muuttamsesta ESITYKSEN PÄÄASIALLINEN SISÄLTÖ Estyksessä

Lisätiedot

Mat /Mat Matematiikan peruskurssi C3/KP3-I Harjoitus 2, esimerkkiratkaisut

Mat /Mat Matematiikan peruskurssi C3/KP3-I Harjoitus 2, esimerkkiratkaisut Harjotus, esmerkkratkasut K 1. Olkoon f : C C, f(z) z z. Tutk, mssä pstessä f on dervotuva. Ratkasu 1. Jotta funkto on dervotuva, on sen erotusosamäärän f(z + ) f(z) raja-arvon 0 oltava olemassa ja ss

Lisätiedot

Yksikköoperaatiot ja teolliset prosessit

Yksikköoperaatiot ja teolliset prosessit Ykskköoperaatot ja teollset prosesst 1 Ylestä... 2 2 Faasen välnen tasapano... 3 2.1 Neste/höyry-tasapano... 4 2.1.1 Puhtaan komponentn höyrynpane... 4 2.1.2 Ideaalnen seos... 5 2.1.3 Epädeaalnen nestefaas...

Lisätiedot

3. Datan käsittely lyhyt katsaus

3. Datan käsittely lyhyt katsaus 3. Datan kästtel lht katsaus Havatsevan tähtteteen peruskurss I, luento..0 Thomas Hackman HTTPK I, kevät 0, luento 3 3. Datan kästtel Ssältö Tähtteteellsten havantojen vrheet Korrelaato Funkton sovtus

Lisätiedot

KUVIEN LAADUN ANALYSOINTI

KUVIEN LAADUN ANALYSOINTI KUVIEN LAADUN ANALYSOINTI Lasse Makkonen 1.7.2003 Joensuun Ylopsto Tetojenkästtelytede Pro gradu tutkelma Tvstelmä Tutkelmassa luodaan katsaus krjallsuudessa esntyvn dgtaalsten kuven laadullsen analysonnn

Lisätiedot

Kansainvälisen konsernin verosuunnittelu ja tuloksenjärjestely

Kansainvälisen konsernin verosuunnittelu ja tuloksenjärjestely Kansanvälsen konsernn verosuunnttelu ja tuloksenjärjestely Kansantaloustede Pro gradu -tutkelma Talousteteden latos Tampereen ylopsto Toukokuu 2007 Pekka Kleemola TIIVISTELMÄ Tampereen ylopsto Talousteteden

Lisätiedot

Karttaprojektion vaikutus alueittaisten geometristen tunnuslukujen määritykseen: Mikko Hämäläinen 50823V Maa-123.530 Kartografian erikoistyö

Karttaprojektion vaikutus alueittaisten geometristen tunnuslukujen määritykseen: Mikko Hämäläinen 50823V Maa-123.530 Kartografian erikoistyö Karttaprojekton vakutus aluettasten geometrsten tunnuslukujen määrtykseen: Mkko Hämälänen 50823V Maa-23.530 Kartografan erkostyö SISÄLLYSLUETTELO JOHDANTO... 4. TUTKIMUKSEN LÄHTÖKOHTA... 4.2 RAPORTISTA...

Lisätiedot

Hallin ilmiö. Laatija - Pasi Vähämartti. Vuosikurssi - IST4SE. Tekopäivä 2005-9-14 Palautuspäivä 2005-9-28

Hallin ilmiö. Laatija - Pasi Vähämartti. Vuosikurssi - IST4SE. Tekopäivä 2005-9-14 Palautuspäivä 2005-9-28 Jyväskylän Aattkorkeakoulu, IT-nsttuutt IIF00 Sovellettu fyskka, Syksy 005, 4.5 ETS Opettaja Pas epo alln lö Laatja - Pas Vähäartt Vuoskurss - IST4SE Tekopävä 005-9-4 Palautuspävä 005-9-8 8.9.005 /7 LABOATOIOTYÖ

Lisätiedot

Paikkatietotyökalut Suomenlahden merenkulun riskiarvioinnissa

Paikkatietotyökalut Suomenlahden merenkulun riskiarvioinnissa Teknllnen korkeakoulu Lavalaboratoro Helsnk Unversty of Technology Shp Laboratory Espoo 2007 M-300 Tomm Arola Pakkatetotyökalut Suomenlahden merenkulun rskarvonnssa TEKNILLINEN KORKEAKOULU HELSINKI UNIVERSITY

Lisätiedot

Sähkön- ja lämmöntuotannon kustannussimulointi ja herkkyysanalyysi

Sähkön- ja lämmöntuotannon kustannussimulointi ja herkkyysanalyysi Sähkön- ja lämmöntuotannon kustannussmulont ja herkkyysanalyys Pekka Nettaanmäk Osmo Schroderus Jyväskylän ylopsto Tetoteknkan latos 2010 1 2 Tvstelmä Raportn tarkotuksena on esttää pelkstetyn matemaattsen

Lisätiedot

Yrityksen teoria ja sopimukset

Yrityksen teoria ja sopimukset Yrtyksen teora a sopmukset Mat-2.4142 Optmontopn semnaar Ilkka Leppänen 22.4.2008 Teemoa Yrtyksen teora: tee va osta? -kysymys Yrtys kannustnsysteemnä: ylenen mall Työsuhde vs. urakkasopmus -analyysä Perustuu

Lisätiedot

TKK @ Ilkka Mellin (2008) 1/24

TKK @ Ilkka Mellin (2008) 1/24 Mat-.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B Mat-.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B / Ratkasut Aheet: Mtta-astekot Havatoaesto kuvaame ja otostuusluvut Avasaat: Artmeette keskarvo, Frekvess, Frekvessjakauma,

Lisätiedot

Suomen ja Ruotsin metsäteollisuuden kannattavuusvertailu v. 1971-78 31.10. 1979. No. 47. Pekka Ylä-Anttila

Suomen ja Ruotsin metsäteollisuuden kannattavuusvertailu v. 1971-78 31.10. 1979. No. 47. Pekka Ylä-Anttila El~r~H(r:n\! ElY~:, ~t/!.) TUTK,, J~- LJ.T ~ THE RESEARCH NSTrTUTE OF THE FNNSH ECONOMY Lönnrotnkatu 4 8, 0020 Helsnk 2, Fnland, tel. 60322 Pekka Ylä-Anttla Suomen ja Ruotsn metsäteollsuuden kannattavuusvertalu

Lisätiedot

PPSS. Roolikäyttäytymisanalyysi 28.03.2011. Tämän raportin on tuottanut: MLP Modular Learning Processes Oy Äyritie 8 A FIN 01510 Vantaa info@mlp.

PPSS. Roolikäyttäytymisanalyysi 28.03.2011. Tämän raportin on tuottanut: MLP Modular Learning Processes Oy Äyritie 8 A FIN 01510 Vantaa info@mlp. PP Roolkäyttäytymsanalyys Roolkäyttäytymsanalyys Rool: Krjanptäjä Asema: Laskentapäällkkö Organsaato: Mallyrtys Tekjä: Matt Vrtanen 8.0.0 Tämän raportn on tuottanut: MLP Modular Learnng Processes Oy Äyrte

Lisätiedot

Muistio tehostamiskannustimen kahdeksan vuoden siirtymäajan vaikutuksista

Muistio tehostamiskannustimen kahdeksan vuoden siirtymäajan vaikutuksista Musto 15.3.2011 Musto tehostamskannustmen kahdeksan vuoden srtymäajan vakutukssta Jakeluverkonhaltjoden tehostamstavotteet kolmannelle valvontajaksolle lasketaan suuntavvossa tarkemmn kuvatulla StoNED-menetelmällä

Lisätiedot

Saatteeksi. Vantaalla vuoden 2000 syyskuussa. Hannu Kyttälä Tietopalvelupäällikkö

Saatteeksi. Vantaalla vuoden 2000 syyskuussa. Hannu Kyttälä Tietopalvelupäällikkö Saatteeks Tomtlojen rakentamsta seurattn velä vme vuoskymmenen lopulla säännöllsest vähntään kerran vuodessa tehtävllä raportella. Monsta tosstaan rppumattomsta ja rppuvsta systä johtuen raportont loppu

Lisätiedot

Paperikoneiden tuotannonohjauksen optimointi ja tuotefokusointi

Paperikoneiden tuotannonohjauksen optimointi ja tuotefokusointi TEKNILLINEN KORKEAKOULU Teknllsen fyskan koulutusohjelma ERIKOISTYÖ MAT-2.108 Sovelletun matematkan erkostyöt 22.4.2003 Paperkoneden tuotannonohjauksen optmont ja tuotefokusont Jyrk Maaranen 38012p 1 Ssällysluettelo

Lisätiedot

Epälineaaristen pienimmän neliösumman tehtävien ratkaiseminen numeerisilla optimointimenetelmillä (valmiin työn esittely)

Epälineaaristen pienimmän neliösumman tehtävien ratkaiseminen numeerisilla optimointimenetelmillä (valmiin työn esittely) Epälneaarsten penmmän nelösumman tehtäven ratkasemnen numeerslla optmontmenetelmllä valmn työn esttely Lar Pelkola 9.9.014 Ohjaaja/valvoja: Prof. Harr Ehtamo yön saa tallentaa ja julkstaa Aalto-ylopston

Lisätiedot

BL20A0600 Sähkönsiirtotekniikka

BL20A0600 Sähkönsiirtotekniikka BLA6 Sähkönsrtoteknkka Tehonaon laskenta Jarmo Partanen LT Energy Electrcty Energy Envronment Srtoverkkoen laskenta Verkon tehonaon laskemnen srron hävöt ännteolosuhteet ohtoen kuormttumnen verkon käyttäytymnen

Lisätiedot

AINEIDEN OMINAISUUKSIIN PERUSTUVA SEOSTEN LUOKITUS JA VAARAA OSOITTAVAT LAUSEKKEET

AINEIDEN OMINAISUUKSIIN PERUSTUVA SEOSTEN LUOKITUS JA VAARAA OSOITTAVAT LAUSEKKEET N:o 979 3731 te 2 AINEIDEN OMINAISUUKSIIN ERUSTUVA SEOSTEN UOKITUS JA VAARAA OSOITTAVAT AUSEKKEET JOHDANTO Vaarallsa aneta ssältävä seoksa luokteltaessa ja merkntöjä valttaessa aneden ptosuuksen perusteella

Lisätiedot

Suurivaltaisin, Armollisin Keisari ja Suuriruhtinas!

Suurivaltaisin, Armollisin Keisari ja Suuriruhtinas! 1907. Edusk. Krj. Suomen Pankn vuosrahasääntö. Suomen Eduskunnan alamanen krjelmä uudesta Suomen Pankn vuosrahasäännöstä. Suurvaltasn, Armollsn Kesar ja Suurruhtnas! Suomen Eduskunnan pankkvaltuusmehet

Lisätiedot

r i m i v i = L i = vakio, (2)

r i m i v i = L i = vakio, (2) 4 TÖRMÄYKSET ILMATYYNYPÖYDÄLLÄ 41 Erstetyn systeemn sälymslat Kun kaks kappaletta törmää tosnsa ne vuorovakuttavat keskenään tetyn ajan Vuorovakutuksella tarkotetaan stä että kappaleet vahtavat keskenään

Lisätiedot

157 TYÖTTÖMYYS- VAKUUTUS- JÄRJESTELMÄN EMU- PUSKUROINTI

157 TYÖTTÖMYYS- VAKUUTUS- JÄRJESTELMÄN EMU- PUSKUROINTI VATT-KESKUSTELUALOITTEITA VATT-DISCUSSION PAPERS 157 TYÖTTÖMYYS- VAKUUTUS- JÄRJESTELMÄN EMU- PUSKUROINTI Pas Holm ja Mkko Mäknen Valton taloudellnen tutkmuskeskus Government Insttute for Economc Research

Lisätiedot

TYÖVOIMAKOULUTUKSEN VAIKUTUS TYÖTTÖMIEN TYÖLLISTYMISEEN

TYÖVOIMAKOULUTUKSEN VAIKUTUS TYÖTTÖMIEN TYÖLLISTYMISEEN VATT-TUTKIMUKSIA 85 VATT-RESEARCH REPORTS Juha Tuomala TYÖVOIMAKOULUTUKSEN VAIKUTUS TYÖTTÖMIEN TYÖLLISTYMISEEN Valton taloudellnen tutkmuskeskus Government Insttute for Economc Research Helsnk 2002 ISBN

Lisätiedot

7. Modulit Modulit ja lineaarikuvaukset.

7. Modulit Modulit ja lineaarikuvaukset. 7. Modult Vektoravaruudet ovat vahdannasa ryhmä, jossa on määrtelty jonkn kunnan skalaartomnta. Hyväksymällä kerronrakenteeks kunnan sjaan rengas saadaan rakenne nmeltä modul. Moduln käste on ss vektoravaruuden

Lisätiedot

Yrityksellä on oikeus käyttää liketoimintaansa kunnan kanssa määriteltyä Hallan Saunan piha-aluetta.

Yrityksellä on oikeus käyttää liketoimintaansa kunnan kanssa määriteltyä Hallan Saunan piha-aluetta. VUOKRSOPMUS 1.1 Sopjapuolet Hyrynsalmen kunta, jäljempänä kunta. Laskute 1, 89400 HYRYNSALM Hallan Sauna Oy (y-tunnus: 18765087) CO Tl-Tekno Oulu Oy Kauppurnkatu 12, 90100 OULU 1.2 Sopmuksen kohde Hallan

Lisätiedot

Tavoitteet skaalaavan funktion lähestymistapa eli referenssipiste menetelmä

Tavoitteet skaalaavan funktion lähestymistapa eli referenssipiste menetelmä Tavotteet skaalaavan funkton lähestymstapa el referensspste menetelmä Optmontopn semnaar - Kevät 2000 / 1 Estelmän ssältö Panotetun metrkan ongelmen havatsemnen Referensspste menetelmän dean esttely Referensspste

Lisätiedot

Puupintaisen sandwichkattoelementin. lujuuslaskelmat. Sisältö:

Puupintaisen sandwichkattoelementin. lujuuslaskelmat. Sisältö: Puupntasen sandwchkattoelementn lujuuslaskelmat. Ssältö: Sandwch kattoelementn rakenne ja omnasuudet Laatan laskennan kulku Tulosten vertalua FEM-malln ja analyyttsen malln välllä. Elementn rakenne Puupntasa

Lisätiedot

VATT-TUTKIMUKSIA 124 VATT RESEARCH REPORTS. Tarmo Räty* Jussi Kivistö** MITATTAVISSA OLEVA TUOTTAVUUS SUOMEN YLIOPISTOISSA

VATT-TUTKIMUKSIA 124 VATT RESEARCH REPORTS. Tarmo Räty* Jussi Kivistö** MITATTAVISSA OLEVA TUOTTAVUUS SUOMEN YLIOPISTOISSA VATT-TUTKIMUKSIA 124 VATT RESEARCH REPORTS Tarmo Räty* Juss Kvstö** MITATTAVISSA OLEVA TUOTTAVUUS SUOMEN YLIOPISTOISSA Valton taloudellnen tutkmuskeskus Government Insttute for Economc Research Helsnk

Lisätiedot

Mat-2.108 Sovelletun matematiikan erikoistyö. Sijoitussalkun optimointi Black-Litterman -mallilla

Mat-2.108 Sovelletun matematiikan erikoistyö. Sijoitussalkun optimointi Black-Litterman -mallilla Mat-2.8 Sovelletu matematka erkostyö Sjotussalku optmot Black-Ltterma -malllla Kar Vatae (4753V) 9.5.24 Ssällysluettelo Johdato...2 2 Sjotussalku optmot Markowtz malllla...3 2. Sjotussalku optmot...5 2.2

Lisätiedot

Maanhintojen vikasietoisesta mallintamisesta

Maanhintojen vikasietoisesta mallintamisesta Maanmttaus 8:-2 (2006) 5 Maanmttaus 8:-2 (2006) Saapunut 0.8.2005 ja tarkstettuna.4.2006 Hyväksytty 30.6.2006 Maanhntojen vkasetosesta mallntamsesta Marko Hannonen Teknllnen korkeakoulu, Kntestöopn laboratoro

Lisätiedot

JOHDANNAISTEN KÄYTTÖ JOUKKOVELKAKIRJALAINASALKUN RISKIENHALLINNASSA: empiirinen tutkimus kotimaisista pitkän koron rahastoista vuosilta 2001 2005.

JOHDANNAISTEN KÄYTTÖ JOUKKOVELKAKIRJALAINASALKUN RISKIENHALLINNASSA: empiirinen tutkimus kotimaisista pitkän koron rahastoista vuosilta 2001 2005. TAMPEREEN YLIOPISTO Talousteteden latos JOHDANNAISTEN KÄYTTÖ JOUKKOVELKAKIRJALAINASALKUN RISKIENHALLINNASSA: emprnen tutkmus kotmassta ptkän koron rahastosta vuoslta 2001 2005. Kansantaloustede Pro gradu

Lisätiedot

Kuntoilijan juoksumalli

Kuntoilijan juoksumalli Rakenteden Mekankka Vol. 42, Nro 2, 2009, s. 61 74 Kuntoljan juoksumall Matt A Ranta ja Lala Hosa Tvstelmä. Urhelututkmuksen melenknnon kohteena ovat yleensä huppu-urheljat. Tuokon yksnkertastettu juoksumall

Lisätiedot

Ilmanvaihdon lämmöntalteenotto lämpöhäviöiden tasauslaskennassa

Ilmanvaihdon lämmöntalteenotto lämpöhäviöiden tasauslaskennassa Y m ä r s t ö m n s t e r ö n m o n s t e 122 Ilmanvahdon lämmöntalteenotto lämöhävöden tasauslaskennassa HELINKI 2003 Ymärstömnsterön monste 122 Ymärstömnsterö Asunto- ja rakennusosasto Tatto: Lela Haavasoja

Lisätiedot

HASSEN-WEILIN LAUSE. Kertausta

HASSEN-WEILIN LAUSE. Kertausta HASSEN-WEILIN LAUSE Kertausta Käytetään seuraava merkntjä F = F/F q on sukua g oleva funktokunta Z F (t = L F (t (1 t(1 qt on funktokunnan F/F q Z-funkto. α 1, α 2,..., α 2g ovat polynomn L F (t nollakohten

Lisätiedot

VIHDIN KUNTA TOIMEENTULOTUKIHAKEMUS 1(5) PERUSTURVAKESKUS Perhehuolto

VIHDIN KUNTA TOIMEENTULOTUKIHAKEMUS 1(5) PERUSTURVAKESKUS Perhehuolto VIHDIN KUNTA TOIMEENTULOTUKIHAKEMUS 1(5) PERUSTURVAKESKUS Perhehuolto Hakemus kuulle 200 (Vranomanen täyttää) Hakemus saapunut/jätetty / 200 Henklötedot hakjasta ja hänen perheenjäsenstä Sukunm ja etunmet

Lisätiedot

KOHTA 1. AINEEN/SEOKSEN JA YHTIÖN/YRITYKSEN TUNNISTETIEDOT

KOHTA 1. AINEEN/SEOKSEN JA YHTIÖN/YRITYKSEN TUNNISTETIEDOT Käyttöturvallsuustedote Tekjänokeuden haltja vuonna 2015, 3M Company Kakk okeudet pdätetään. Tämän tedon kopomnen ja/ta lataamnen on sallttua anoastaan 3M tuotteden käyttämstä varten, mkäl (1) tedot on

Lisätiedot

Korvausvastuun ennustejakauma bootstrap-menetelmän avulla

Korvausvastuun ennustejakauma bootstrap-menetelmän avulla Korvausvastuun ennustejakauma bootstrap-menetelmän avulla Sari Ropponen 13.5.2009 1 Agenda Korvausvastuu vahinkovakuutuksessa Korvausvastuun arviointi Ennustevirhe Ennustejakauma Bootstrap-/simulointimenetelmä

Lisätiedot

10.5 Jaksolliset suoritukset

10.5 Jaksolliset suoritukset 4.5 Jaksollset suortukset Tarkastellaa tlaetta, jossa asakas tallettaa pakktllle tostuvast yhtäsuure rahasumma k aa korkojakso lopussa. Asakas suorttaa talletukse kertaa. Lasketaa tlllä oleva pääoma :e

Lisätiedot

1, x < 0 tai x > 2a.

1, x < 0 tai x > 2a. PHYS-C020 Kvanttmekankka Laskuharotus 2, vkko 45 Tarkastellaan ptkn x-aksela lkkuvaa hukkasta, onka tlafunkto on (x, t) Ae x e!t, mssä A, a! ovat reaalsa a postvsa vakota a) Määrtä vako A sten, että tlafunkto

Lisätiedot

MTTTP1 SELITYKSIÄ JA ESIMERKKEJÄ KAAVAKOKOELMAN KAAVOIHIN LIITTYEN

MTTTP1 SELITYKSIÄ JA ESIMERKKEJÄ KAAVAKOKOELMAN KAAVOIHIN LIITTYEN MTTTP SELITYKSIÄ JA ESIMERKKEJÄ KAAVAKOKOELMAN KAAVOIHIN LIITTYEN Aesto kaavoje () (3), (9) ja () esmerkkeh Lepakot pakallstavat hyötesä lähettämällä korkeataajusta äätä Ne pystyvät pakallstamaa hyöteset

Lisätiedot

Mat Tilastollinen päättely 7. harjoitukset / Tehtävät. Hypoteesien testaus. Avainsanat:

Mat Tilastollinen päättely 7. harjoitukset / Tehtävät. Hypoteesien testaus. Avainsanat: Mat-.36 Tlastollnen päättely 7. harjotukset Mat-.36 Tlastollnen päättely 7. harjotukset / Tehtävät Aheet: Avansanat: ypoteesen testaus. lajn vrhe,. lajn vrhe, arhaton test, ylkäysalue, ylkäysvrhe, ypotees,

Lisätiedot

Automaattinen 3D - mallinnus kalibroimattomilta kuvasekvensseiltä

Automaattinen 3D - mallinnus kalibroimattomilta kuvasekvensseiltä Maa-57.270 Fotogrammetran, kuvatulknnan ja kaukokartotuksen semnaar Automaattnen 3D - mallnnus kalbromattomlta kuvasekvensseltä Terh Ahola 2005 Ssällysluettelo 1 Johdanto...2 2 Perusteoraa...2 2.1 Kohteen

Lisätiedot

Esitä koherentin QAM-ilmaisimen lohkokaavio, ja osoita matemaattisesti, että ilmaisimen lähdöstä saadaan kantataajuiset I- ja Q-signaalit ulos.

Esitä koherentin QAM-ilmaisimen lohkokaavio, ja osoita matemaattisesti, että ilmaisimen lähdöstä saadaan kantataajuiset I- ja Q-signaalit ulos. Sgnaalt ja järjestelmät Laskuharjotukset Svu /9. Ampltudmodulaato (AM) Spektranalysaattorlla mtattn 50 ohmn järjestelmässä ampltudmodulaattorn (AM) lähtöä, jollon havattn 3 mpulssa spektrssä taajuukslla

Lisätiedot

5. Datan käsittely lyhyt katsaus. Havaitsevan tähtitieteen peruskurssi I, luento Thomas Hackman

5. Datan käsittely lyhyt katsaus. Havaitsevan tähtitieteen peruskurssi I, luento Thomas Hackman 5. Datan kästtel lht katsaus Havatsevan tähtteteen peruskurss I, luento 7.4.006 Thomas Hackman 5. Datan kästtel Ssältö Tähtteteellsten havantojen vrheet Korrelaato Funkton sovtus Akasarja-anals 5. Tähtteteellsten

Lisätiedot

d L q i = V = mc 2 q i 1 γ = = p i. = V = γm q i + QA i. ṗ i + Q A i + Q da i t + j + V + Q φ

d L q i = V = mc 2 q i 1 γ = = p i. = V = γm q i + QA i. ṗ i + Q A i + Q da i t + j + V + Q φ TTKK/Fyskan latos FYS-1640 Klassnen mekankka syksy 2009 Laskuharjotus 5, 16102009 1 Ertysessä suhteellsuusteorassa Lagrangen funkto vodaan krjottaa muodossa v L = m 2 u t 1! ṙ 2 V (r) Osota, että tämä

Lisätiedot

Sähkökiukaan kivimassan vaikutus saunan energiankulutukseen

Sähkökiukaan kivimassan vaikutus saunan energiankulutukseen LAPPEENRANNAN ENILLINEN YLIOPISO eknllnen tedekunta LU Energa Sähkökukaan kvmassan vakutus saunan energankulutukseen Lappeenrannassa 3.6.009 Lass arvonen Lappeenrannan teknllnen ylopsto eknllnen tedekunta

Lisätiedot

A = B = T = Merkkijonon A osamerkkijono A[i..j]: n merkkiä pitkä merkkijono A:

A = B = T = Merkkijonon A osamerkkijono A[i..j]: n merkkiä pitkä merkkijono A: Merkkjonot (strngs) n merkkä ptkä merkkjono : T T T G T n = 18 kukn merkk [], mssä 0 < n, kuuluu aakkostoon Σ, jonka koko on Σ esm. bttjonot: Σ = {0,1} ja Σ = 2, DN: Σ = {,T,,G} ja Σ = 4 tetokoneen aakkosto

Lisätiedot

3 Tilayhtälöiden numeerinen integrointi

3 Tilayhtälöiden numeerinen integrointi 3 Tlayhtälöden numeernen ntegront Alkuarvotehtävässä halutaan ratkasta lopputla xt f ) sten, että tlayhtälöt ẋ = fx,u, t) toteutuvat, kun alkutla x 0 on annettu Tlayhtälöden numeernen ntegront vodaan suorttaa

Lisätiedot

Uuden opettajan opas

Uuden opettajan opas Uuden opettajan opas Ssällys 1 Opettajan työn hakemnen 4 1.1 Kuka vo saada vaknasen opettajan pakan? 5 1.2 Ulkomalla suortetun tutknnon tunnustamnen 6 1.3 Kunka hakemus tehdään? 7 1.4 Ansoluettelo el currculum

Lisätiedot

1. YLEISKATSAUS MYYNTIPAKKAUKSEN SISÄLTÖ. ZeFit USB -latausklipsi Käyttöohje. Painike

1. YLEISKATSAUS MYYNTIPAKKAUKSEN SISÄLTÖ. ZeFit USB -latausklipsi Käyttöohje. Painike Suom USER GUIDE YLEISKATSAUS LATAAMINEN KIINNITTÄMINEN KÄYTÖN ALOITTAMINEN TIETOJEN SYNKRONOINTI NÄYTTÖTILAT AKTIIVISUUSMITTARI UNITILA TAVOITTEET MUISTUTUKSET TEKNISET TIEDOT 6 8 10 12 16 18 20 21 22

Lisätiedot

LIGNIININ RAKENNE JA OMINAISUUDET

LIGNIININ RAKENNE JA OMINAISUUDET 16006 LIGNIININ RAKENNE JA INAISUUDET Hlatomen nmeämnen γ 16006 6 α 1 β 5 3 4 e Lgnnn prekursort (monomeert) Lgnnn bosyntees e e e Peroksdaasn ja vetyperoksdn läsnäollessa prekursorsta muodostuu resonanssstablotu

Lisätiedot

Betoniteollisuus ry 18.2.2010 1 (43)

Betoniteollisuus ry 18.2.2010 1 (43) Betonteollsuus r 18.2.2010 1 (43) 2 Jäkstsjärjestelmät... 2 2.1 Rakennuksen jäkstssuunnttelun tehtävät... 4 Alustava jäkstssuunnttelu... 4 Jäkstksen mtotus murtorajatlassa... 6 Jäkstksen mtotus kättörajatlassa...

Lisätiedot

AMMATTIMAISTA KIINTEISTÖPALVELUA JO 50 VUODEN AJAN

AMMATTIMAISTA KIINTEISTÖPALVELUA JO 50 VUODEN AJAN AMMATTIMAISTA KIINTEISTÖPALVELUA JO 50 VUODEN AJAN VUO-KIINTEISTÖPALVELUT 50 VUOTTA Vuosaarelaset asunto-osakeyhtöt perustvat vuonna 1965 Vuosaaren Isännötsjätomsto Oy:n, joka tuott omstajlleen kohtuuhntasa

Lisätiedot

KOKONAISRATKAISUT YHDESTÄ PAIKASTA

KOKONAISRATKAISUT YHDESTÄ PAIKASTA KOKONAISRATKAISUT YHDESTÄ PAIKASTA Monpuolset järjestelmät varastontn ja tuotantoon TUOTELUETTELO 2009 Kappale D Varasto- ja hyllystövältasot vältasot optmaalsta tlankäyttöä varten SSI SCHÄFER: n varasto-

Lisätiedot

Geneettiset algoritmit ja luonnossa tapahtuva mikroevoluutio

Geneettiset algoritmit ja luonnossa tapahtuva mikroevoluutio Mat-2.108 Sovelletun matematkan erkostyöt Geneettset algortmt ja luonnossa tapahtuva mkroevoluuto 11.5.2005 Teknllnen korkeakoulu Systeemanalyysn laboratoro Oll Stenlund 47068f 1 Johdanto 3 2 Geneettset

Lisätiedot

VERKKOJEN MITOITUKSESTA

VERKKOJEN MITOITUKSESTA J. Vrtamo 38.3141 Telelkenneteora / Verkon mtotus 1 VERKKOJEN MITOITUKSESTA 1. Prkytkentäset verkot Lnkken kapasteetten (johtoja/lnkk) määräämnen sten, että verkon kokonaskustannukset mnmotuvat, kun päästä-päähän

Lisätiedot

Tarkastellaan kuvan 8.1 (a) lineaarista nelitahoista elementtiä, jonka solmut sijaitsevat elementin kärkipisteissä ja niiden koordinaatit ovat ( xi

Tarkastellaan kuvan 8.1 (a) lineaarista nelitahoista elementtiä, jonka solmut sijaitsevat elementin kärkipisteissä ja niiden koordinaatit ovat ( xi Elementtmenetelmän erusteet 8. 8 D-SOLIDIRKEEE 8. ohdanto Kolmulottesa soldelementtejä tartaan kolmulottesten kaaleden mallntamseen. ällön tarkasteltaan kaaleen geometralla e ole ertsrtetä jotka teksät

Lisätiedot

LAUSUNTO KIRJANPITOLAIN SOVELTAMISESTA POTILASVAHINKOVASTUUN KIR- JANPITOKÄSITTELYSSÄ

LAUSUNTO KIRJANPITOLAIN SOVELTAMISESTA POTILASVAHINKOVASTUUN KIR- JANPITOKÄSITTELYSSÄ Kirjanpitolautakunnan kuntajaosto LAUSUNTO 42 16.11.1999 LAUSUNTO KIRJANPITOLAIN SOVELTAMISESTA POTILASVAHINKOVASTUUN KIR- JANPITOKÄSITTELYSSÄ 1. Lausuntopyyntö Sairaanhoitopiirin kuntayhtymä pyytää kuntajaostolta

Lisätiedot

TYÖVÄENARKISTO SUOMEN SOSIALIDEMOKRAATTISEN PUOLUEEN PUOLUENEUVOSTON PÖYTÄKIRJA

TYÖVÄENARKISTO SUOMEN SOSIALIDEMOKRAATTISEN PUOLUEEN PUOLUENEUVOSTON PÖYTÄKIRJA TYÖVÄENARKSTO SUOMEN SOSALDEMOKRAATTSEN PUOLUEEN PUOLUENEUVOSTON PÖYTÄKRJA ) _ V 1973 RULLA 455 KUVANNUT r > ' V t K MONKKO OY 1994 a - ) - ;! kuljetus tämän seurauksena taas vähenee sekä rautateden pakallslkenteen

Lisätiedot

Tilastollisen fysiikan luennot

Tilastollisen fysiikan luennot Tlastollsen fyskan luennot Tvstelmät luvuttan I PERUSKÄSITTEITÄ JA MÄÄRITELMIÄ Lämpö on systeemen mkroskooppsten osen satunnasta lkettä Lämpöenerga vrtaa kuumemmasta kappaleesta kylmempään Jos kaks kappaletta

Lisätiedot

REILUUS, SOSIAALISET PREFERENSSIT JA PELITEORIA

REILUUS, SOSIAALISET PREFERENSSIT JA PELITEORIA TAMPEREEN YLIOPISTO Talousteteden latos REILUUS, SOSIAALISET PREFERENSSIT JA PELITEORIA Kansantaloustede Pro gradu -tutkelma Marraskuu 2009 Ohaaat: Snkka Hämälänen Matt Tuomala Lsa Ekman TIIVISTELMÄ Tampereen

Lisätiedot

Painotetun metriikan ja NBI menetelmä

Painotetun metriikan ja NBI menetelmä Panotetun metrkan ja NBI menetelmä Optmontopn semnaar - Kevät / 1 Estelmän ssältö Paretopsteden generont panotetussa metrkossa Panotettu L p -metrkka Panotettu L -metrkka el panotettu Tchebycheff -metrkka

Lisätiedot