AB TEKNILLINEN KORKEAKOULU
|
|
- Eeva Oksanen
- 6 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 B TEKNILLINEN KORKEKOULU Tetoverkkolaboratoro luento05.ppt S Lkenneteoran perusteet - Kevät 00 Ssältö eruskästteet Dskreett satunnasmuuttujat Dskreett jakaumat lkm-jakaumat Jatkuvat satunnasmuuttujat Jatkuvat jakaumat akajakaumat Muut satunnasmuuttujat
2 Otosavaruus, alkestapaus, tapahtuma Otosavaruus Ω sample space on kakken mahdollsten alkestapausten ω sample muodostama joukko, ω Ω Esm. 0. Rahanhetto: Ω {H,T} Esm.. Nopanhetto: Ω {,,3,4,5,6} Esm.. sakkaden lkm jonossa: Ω {0,,,...} Esm. 3. sakkaan palveluaka esm. mnuuttena: Ω { R >0} Tapahtumat,B,C,... events ovat otosavaruuden Ω mtallsa osajoukkoja,,b,c,... Ω Esm.. Nopanhetossa parllnen luku : {,4,6} Esm.. Jono tyhjä : {0} Esm. 3. sakkaan palvelu kestää yl 3 mnuutta : { R >3.0} Merktään :llä kakken tapahtumen joukkoa, Varma tapahtuma: otosavaruus Ω tse Mahdoton tapahtuma: tyhjä joukko 3 Tapahtumen yhdstely Yhdste unon ta B : B {ω Ω ω ta ω B} Lekkaus ntersecton ja B : B {ω Ω ω ja ω B} Komplementt complement e : c {ω Ω ω } Tapahtumat ja B ovat tostensa possulkeva dsjont, jos B Kokoelma tapahtuma {B, B, }muodostaa tapahtuman ostuksen partton, jos B B j kaklla j B B B B 3 4
3 Todennäkösyys Tapahtuman todennäkösyyttä tn, probablty merktään :lla, [0,] Todennäkösyysmtta on ss ns. joukkofunkto, : [0,] Omnasuuksa: 0 0 Ω v c v B + B B v B B + B v kokoelma {B } on tapahtuman ostus Σ B v B B 5 Ehdollnen todennäkösyys Oletetaan, että tapahtumalle B: B > 0 Määr. Tapahtuman ehdollnen todennäkösyys condtonal probablty ehdolla B on B B B Seuraus: B B B B 6
4 Kokonastodennäkösyyden kaava Olkoon kokoelma {B } otosavaruuden Ω ostus Tällön kokoelma { B } on tapahtuman ostus, joten kts. kalvo 5 v Oletaan lsäks, että B > 0 kaklla. Tällön kts. kalvo 6 B B B Tätä kutsutaan kokonastodennäkösyyden kaavaks B B 3 Ω B B 4 7 Bayesn kaava Olkoon kokoelma {B } otosavaruuden Ω ostus Oletetaan, että > 0 ja B > 0 kaklla. Tällön kts. kalvo 6 B B B B Nän ollen, kokonastodennäkösyyden kaavan nojalla kts. kalvo 7, B B B j B j B j Tätä kutsutaan Bayesn kaavaks tn:ksä B kutsutaan tapahtumen B aprortodennäkösyyksks tn:ksä B taas sanotaan tapahtumen B a posteror todennäkösyyksks ehdolla, että tapahtuma tapahtu 8
5 9 Tlastollnen rppumattomuus Määr. Tapahtumat ja B ovat rppumattoma ndependent, jos Seuraus: Vastaavast: B B B B B B B B B B B 0 Määr. Reaalarvonen satunnasmuuttuja sm, random varable on mtallnen kuvaus otosavaruudesta Ω reaallukujen joukkoon R, : Ω R jokaseen alkestapaukseen ω Ω ltetään reaalluku ω Mtallsuus measurablty tarkottaa, että kakk tyyppä olevat otosavaruuden joukot kuuluvat tapahtumen joukkoon,ts. { } Tapahtuman tnonsten{ } Satunnasmuuttujat Ω Ω } { }: { ω ω
6 Esmerkk Rahaa hetetään kolme kertaa peräkkän Otosavaruus: Ω { ω, ω, ω3 ω {H,T},,,3} Olkoon satunnasmuuttuja, joka kertoo klaavojen T tals lkm:n nässä kolmessa hetossa: ω HHH HHT HTH THH HTT THT TTH TTT ω 0 3 Tapahtuman ndkaattor Olkoon melvaltanen tapahtuma Määr. Satunnasmuuttujaa, joka määrtellään kaavalla, ω 0, ω ω sanotaan tapahtuman ndkaattorks ndcator Selvästkn: { { } 0} c
7 Kertymäfunkto Määr. Sm:n kertymäfunkto kf, cumulatve dstrbuton functon on kuvaus F : R [0,], joka määrtellään kaavalla F { } Kf määrää täydellsest ko. sm:n jakauman dstrbuton so. tn:t { B}, mssä B Rja { B} Omnasuuksa: F on kasvava F on okealta jatkuva F 0 v F 0 F 3 Satunnasmuuttujen tlastollnen rppumattomuus Määr. Sm:t ja Y ovat rppumattoma, jos kaklla ja y {, Y y} { } { Y y} Määr. Sm:t,, n ovat täydellsest rppumattoma, jos kaklla ja {,..., n n} { } { n n } 4
8 Rppumattomen satunnasmuuttujen maksm ja mnm Olkoot sm:t,, n täydellsest rppumattoma Merktään ma : ma{,, n }. Tällön ma { } {,, n } { } { } Merktään mn : mn{,, n }. Tällön mn n { > } { >,, n > } { > } { n > } 5 Ssältö eruskästteet Dskreett satunnasmuuttujat Dskreett jakaumat lkm-jakaumat Jatkuvat satunnasmuuttujat Jatkuvat jakaumat akajakaumat Muut satunnasmuuttujat 6
9 Dskreett satunnasmuuttujat Määr. Joukkoa R sanotaan dskreetks dscrete, jos se on äärellnen, {,, n }, ta numerotuvast ääretön, {,, }. Määr. Sm on dskreett, jos on olemassa sellanen dskreett joukko S R, että Seuraus: { } 0 kaklla S { S } { } 0 kaklla S Joukkoa S sanotaan sm:n arvojoukoks 7 stetodennäkösyysfunkto Olkoon sm dskreett Sm:n jakauman määräävät pstetodennäkösyydet p, p : { }, S Määr. Sm:n pstetodennäkösyysfunkto ptnf, probablty mass functon p : R [0,] määrtellään kaavalla p : { p, } 0, S Kf on tässä tapauksessa seuraava porrasfunkto: F { } p : S 8
10 Esmerkk p F pstetodennäkösyysfunkto ptnf kertymäfunkto kf S {,, 3, 4 } 9 Dskreetten satunnasmuuttujen rppumattomuus Dskreett sm:t ja Y ovat rppumattoma, jos ja van jos kaklla S ja y j S Y {, Y y j} { } { Y y j} 0
11 Odotusarvo Määr. Sm:n odotusarvo mean, epectaton määrtellään kaavalla µ : E[ ]: { } p S S p Huom.. Odotusarvo on hyvn määrtelty van, jos Σ p < Huom.. Jos Σ p, nn vodaan merktä E[] Omnasuuksa: c R E[c] ce[] E[ + Y] E[] + E[Y] ja Y rppumattoma E[Y] E[]E[Y] Varanss Määr. Sm:n varanss varance määrtellään kaavalla σ : D [ ]: Var[ ]: E[ E[ ] ] Kätevä kaava todsta!: D [ ] E[ ] E[ ] Omnasuuksa: c R D [c] c D [] ja Y rppumattoma D [ + Y] D [] + D [Y]
12 Kovaranss Määr. Sm:en ja Y välnen kovaranss covarance määr. kaavalla σ Y : Cov[, Y ]: E[ E[ ] Y E[ Y ]] Kätevä kaava todsta!: Cov[, Y ] E[ Y ] E[ ] E[ Y ] Omnasuuksa: Cov[,] Var[] Cov[,Y] Cov[Y,] Cov[+Y,Z] Cov[,Z] + Cov[Y,Z] v ja Y rppumattoma Cov[,Y] 0 3 Muta jakaumaan lttyvä tunnuslukuja Määr. Sm:n hajonta standard devaton: σ : D [ ]: D [ ] Määr. Sm:n varaatokerron coeffcent of varaton: c : C[ ]: D[ ] E[ ] Määr. Sm:n k:s momentt moment, k,,...: µ k k : E[ ] 4
13 Rppumattomen satunnasmuuttujen keskarvo Olkoot sm:t,, n rppumattoma ja samon jakautuneta IID odotusarvonaan µ ja varanssnaan σ Merktään näden sm:en keskarvoa sample mean seuraavast: n n : n Tällön todsta! E[ D D[ n [ n ] µ n ] ] σ n σ n 5 Suurten lukujen lak SLL Olkoot sm:t,, n rppumattoma ja samon jakautuneta IID odotusarvonaan µ ja varanssnaan σ Hekko suurten lukujen lak: kaklla ε >0 { µ > ε} 0 n Vahva suurten lukujen lak: todennäkösyydellä n µ 6
14 Ssältö eruskästteet Dskreett satunnasmuuttujat Dskreett jakaumat lkm-jakaumat Jatkuvat satunnasmuuttujat Jatkuvat jakaumat akajakaumat Muut satunnasmuuttujat 7 Bernoull-jakauma Bernoull p, p 0, kuvaa yksttästä satunnaskoetta, jonka tuloksena joko onnstumnen ta epäonnstumnen 0; vrt. rahanhetto onnstumnen tn:llä p ja epäonnstumnen tn:llä p rvojoukko: S {0,} stetodennösyydet: { 0} p, { } Odotusarvo: E[] p 0 + p p Tonen momentt: E[ ] p 0 + p p Varanss: D [] E[ ] E[] p p p p p 8
15 Bnomjakauma Bn n, p, n {,,...}, p 0, onnstumsten lkm n:ssä perättäsessä ja tosstaan rppumattomassa satunnaskokeessa; + + n mssä Bernoullp n satunnaskokeden lkm n p onnstumsen tn yksttäsessä satunnaskokeessa n!! n! rvojoukko: S {0,,,n} n! n n stetodennäkösyydet: { n n p p } Odotusarvo: E[] E[ ] + + E[ n ] np Varanss: D [] D [ ] + + D [ n ] np p rppumattomuus! 9 Geometrnen jakauma Geom p, p 0, peräkkästen onnstumsten lkm ennen ensmmästä epäonnstumsta sarjassa peräkkäsä ja tosstaan rppumattoma satunnaskoketa p onnstumsen tn yksttäsessä satunnaskokeessa rvojoukko: S {0,, } stetodennäkösyydet: { } p p Odotusarvo: E[] p p p/ p Tonen momentt: E[ ] p p p/ p + p/ p Varanss: D [] E[ ] E[] p/ p 30
16 Geometrsen jakauman unohtavasuusomnasuus Geometrsella jakaumalla on ns. unohtavasuusomnasuus memoryless property: kaklla,j {0,,...} Todsta! { + j } { j} Ohje: Todsta ensn, että { } p 3 Geometrsest jakautuneden satunnasmuuttujen mnm Olkoot sm:t Geomp ja Geomp rppumattoma Tällön mn : mn{, } Geom p p ja { mn } p p p, {,} Todsta! Ohje: Kts. kalvo 5 3
17 osson-jakauma osson a, a > 0 bnomjakauman rajatapaus, kun n ja p 0 sten, että np a rvojoukko: S {0,, } stetodennäkösyydet: Odotusarvo: E[] a { } Tonen momentt: E[ ] a E[ ] a + a Varanss: D [] E[ ] E[] a a a e! 33 Esmerkk Oletetaan, että pakallskeskukseen on kytkettynä 00 tlaajaa yksttäsen tlaajan omnaslkenne on 0.0 erlanga tlaajat tomvat tosstaan rppumattomast Tällön käynnssäoleven puhelujen lkm Bn00,0.0 Vastaava osson-approksmaato: osson.0 stetodennäkösyyksen vertalua: Bn00, osson
18 osson-jakauman omnasuuksa Summa: Olkoot sm:t ossona and ossona rppumattoma. Tällön + osson a + a Satunnasotanta: Olkoon ossona alkoden lkm jossakn satunnasen kokosessa joukossa. Valtaan nästä alkosta satunnanen osajoukko jokanen yksttänen alko otetaan mukaan tn:llä p, jonka kokoa merktään Y:llä. Tällön Y osson pa Satunnaslajttelu: Olkoot sm:t ja Y kuten yllä. Merk. Z Y. Tällön Y ja Z ovat rppumattoma ehdolla, että :ää e tunneta, Y osson pa ja Z osson p a 35 Ssältö eruskästteet Dskreett satunnasmuuttujat Dskreett jakaumat lkm-jakaumat Jatkuvat satunnasmuuttujat Jatkuvat jakaumat akajakaumat Muut satunnasmuuttujat 36
19 Jatkuvat satunnasmuutujat Määr. Sm on jatkuva contnuous, jos on olemassa sellanen ntegrotuva funkto f : R R +, että kaklla R pätee F : { } f y dy Funktota f sanotaan sm:n theysfunktoks tf, probablty densty functon Joukkoa S, mssä f > 0, sanotaan sm:n arvojoukoks Omnasuuksa: { } 0 kaklla R {a < < b} {a b} a b f d { } f d v { R} - f d S f d 37 Esmerkk f F 3 3 theysfunkto tf kertymäfunkto kf S, 3 38
20 Odotusarvo ja muta jakaumaan lttyvä tunnuslukuja Määr. Sm:n odotusarvo mean määrtellään kaavalla µ : E[ ]: f d Huom.. Odotusarvo on hyvn määrtelty van, jos - f d < Huom.. Jos - f, nn vodaan merktä E[] Jatkuvan sm:n odotusarvolla on samat omnasuudet kun dskreetn sm:n odotusarvolla kts. kalvo Muut jakaumaan lttyvät tunnusluvut varanss, kovaranss,... määrtellään odotusarvon avulla täsmälleen samon kun dskreetn sm:n tapauksessa Nän ollen myös näden tunnuslukujen omnasuudet sälyvät kts. kalvot Ssältö eruskästteet Dskreett satunnasmuuttujat Dskreett jakaumat lkm-jakaumat Jatkuvat satunnasmuuttujat Jatkuvat jakaumat akajakaumat Muut satunnasmuuttujat 40
21 Tasajakauma U a, b, a < b jatkuva vastne nopanhetolle kakk arvot yhtä todennäkösä rvojoukko: S a,b Theysfunkto tf: Kertymäfunkto kf: f F : { d}, a, b b a a b a : { }, a, b Odotusarvo: E[] a b /b a d a + b/ Tonen momentt: E[ ] a b /b a d a + ab + b /3 Varanss: D [] E[ ] E[] b a / 4 Eksponenttjakauma Ep λ, λ > 0 geometrsen jakauman jatkuva vastne epäonnstumnen tn:llä λdt rvojoukko: S 0, Theysfunkto tf: f λ : { d} λe, > 0 Kertymäfunkto kf: F : { } e, > 0 Odotusarvo: E[] 0 λ ep λ d /λ Tonen momentt: E[ ] 0 λ ep λ d /λ Varanss: D [] E[ ] E[] /λ λ 4
22 Eksponenttjakauman unohtavasuusomnasuus Eksponenttjakaumalla on ns. unohtavasuusomnasuus memoryless property: kaklla,y 0, Todsta! { > + y > } { > y} Ohje: Todsta ensn, että { > }e λ Sovellus: Oletetaan, että puhelujen ptoajat ovat eksponentaalsest jakautuneta odotusarvonaan h mnuutta. Tarkastellaan puhelua, joka on jo kestänyt ajan mnuutta. Unohtavasuusomnasuuden nojalla tällä e ole mtään merktystä puhelun jäljellä olevan keston kannalta: keskmäärn tällanen puhelu kestää velä h mnuutta ss + h mnuutta kakenkakkaan! 43 Eksponentaalsest jakautuneden satunnasmuuttujen mnm Olkoot sm:t Epλ and Epλ rppumattoma. Tällön mn : mn{, } Ep λ + λ ja { mn } λ λ λ +, {,} Todsta! Ohje: Kts. kalvo 5 44
23 Normeerattu normaaljakauma N0, rppumattomen ja samon jakautuneden odotusarvona 0 ja varanssna sm:en normeeratun summan rajatapaus kts. kalvo 48 rvojoukko: S, Theysfunkto tf: f : { d} ϕ : π e Kertymäfunkto kf: Odotusarvo: E[] 0 tf symmetrnen! Varanss: D [] F : { } Φ : ϕ y dy 45 Normaaljakauma N µ, σ, µ R, σ > 0 jos µ/σ N0, rvojoukko: S, Theysfunkto tf: Kertymäfunkto kf: f : { d}: F ' σ ϕ µ σ F : { } { µ µ } µ Φ Odotusarvo: E[] µ+σe[ µ/σ] µ tf symmetr. µ:n suhteen Varanss: D [] σ D [ µ/σ] σ σ σ σ 46
24 Normaaljakauman omnasuuksa Lneaarmuunos: Olk. Nµ,σ ja α,β R. Tällön Y : α + β N αµ + β, α σ Summa: Olkoot sm:t Nµ,σ ja Nµ,σ rppumattoma. Tällön + N µ + µ, σ + σ Otoskeskarvo: Olkoot sm:t Nµ,σ,, n, rppumattoma ja samon jakautuneta IID noudattaen normaaljakaumaa. Tällön n : N, n µ n σ n 47 Keskenen raja-arvolause KRL Olkoot sm:t,, n rppumattoma ja samon jakautuneta IID odotusarvonaan µ ja varanssnaan σ ja lsäks kolmas momentt olemassa Keskenen raja-arvolause:.d. µ N0, σ / n n Seuraus: n N µ, n σ 48
25 Ssältö eruskästteet Dskreett satunnasmuuttujat Dskreett jakaumat lkm-jakaumat Jatkuvat satunnasmuuttujat Jatkuvat jakaumat akajakaumat Muut satunnasmuuttujat 49 Muta satunnasmuuttuja uhtaast dskreetten ja jatkuven sm:en lsäks on olemassa näden sekamuotoja Esmerkk: Merk. W:llä asakkaan odotusakaa M/M/ jonossa. Sm:n W jakaumalla on ns. atom nollassa ts. {W 0} ρ>0, mutta muuten jakauma on jatkuva F W ρ
26 Sanastoa otosavaruus sample space tapahtuma event todennäkösyys probablty ehdollnen tn condtonal probablty rppumattomuus ndependence satunnasmuuttuja random varable ndkaattor ndcator jakauma dstrbuton kertymäfunkto cumulatve dstrbuton functon dskreett dscrete pstetodennäkösyysfunkto probablty mass functon odotusarvo mean value epectaton varanss varance kovaranss covarance hajonta standard devaton varaatokerron coeffcent of varaton suurten lukujen lak law of large numbers jatkuva contnuous theysfunkto probablty densty functon unohtavasuusomnasuus memoryless property keskenen raja-arvolause central lmt theorem 5 THE END 5
4. Todennäköisyyslaskennan kertausta
luento04.ppt S-38.1145 - Liikenneteorian perusteet - Kevät 2006 1 Sisältö eruskäsitteet Diskreetit satunnaismuuttujat Diskreetit jakaumat lkm-jakaumat Jatkuvat satunnaismuuttujat Jatkuvat jakaumat aikajakaumat
Lisätiedot3.5 Generoivat funktiot ja momentit
3.5. Generovat funktot ja momentt 83 3.5 Generovat funktot ja momentt 3.5.1 Momentt Eräs tapa luonnehta satunnasmuuttujan jakaumaa, on laskea jakauman momentt. Ne määrtellään odotusarvon avulla. Määrtelmä
Lisätiedot1. Luvut 1, 10 on laitettu ympyrän kehälle. Osoita, että löytyy kolme vierekkäistä
Johdatus dskreettn matematkkaan Harjotus 3, 30.9.2015 1. Luvut 1, 10 on latettu ympyrän kehälle. Osota, että löytyy kolme verekkästä lukua, joden summa on vähntään 17. Ratkasu. Tällasa kolmkkoja on 10
Lisätiedot4. Todennäköisyyslaskennan kertausta
Sisältö Peruskäsitteet Diskreetit satuaismuuttujat Diskreetit jakaumat (lkm-jakaumat) Jatkuvat satuaismuuttujat Jatkuvat jakaumat (aikajakaumat) Muut satuaismuuttujat lueto04.ppt S-38.45 - Liikeeteoria
Lisätiedot6. Stokastiset prosessit (2)
Ssältö Markov-prosesst Syntymä-kuolema-prosesst luento6.ppt S-38.45 - Lkenneteoran perusteet - Kevät 6 Markov-prosess Esmerkk Tark. atkuva-akasta a dskreetttlasta stokaststa prosessa X(t) oko tla-avaruudella
LisätiedotABTEKNILLINEN KORKEAKOULU
ABTEKNILLINEN KORKEAKOULU Tetoverkkolaboratoro 6. Stokastset prosesst () Luento6.ppt S-38.45 - Lkenneteoran perusteet - Kevät 5 6. Stokastset prosesst () Ssältö Markov-prosesst Syntymä-kuolema-prosesst
Lisätiedot6. Stokastiset prosessit
luento6.ppt S-38.45 - Lkenneteoran perusteet - Kevät Ssältö Peruskästtetä Posson-prosess Markov-prosesst Syntymä-kuolema-prosesst Stokastset prosesst () Tarkastellaan otakn (lkenneteoran kannalta ta stten
LisätiedotMarkov-prosessit (Jatkuva-aikaiset Markov-ketjut)
J. Vrtamo Lkenneteora a lkenteenhallnta / Markov-prosesst 1 Markov-prosesst (Jatkuva-akaset Markov-ketut) Tarkastellaan (statonaarsa) Markov-prosessea, oden parametravaruus on atkuva (yleensä aka). Srtymät
LisätiedotJaksolliset ja toistuvat suoritukset
Jaksollset ja tostuvat suortukset Korkojakson välen tostuva suortuksa kutsutaan jaksollsks suortuksks. Tarkastelemme tässä myös ylesempä tlanteta jossa samansuurunen talletus tehdään tasavälen mutta e
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (5) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Momenttiemäfunktio Diskreettien jakaumien momenttiemäfunktioita
LisätiedotMat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Mat-2.204 Tlastollsen analyysn perusteet, kevät 2007 5. luento: Tlastollnen rppuvuus ja korrelaato Ka Vrtanen Muuttujen välsten rppuvuuksen analysont Tlastollsssa analyysessä tutktaan usen muuttujen välsä
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa : Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (7) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio
LisätiedotMat Tilastollinen päättely 7. harjoitukset / Tehtävät. Hypoteesien testaus. Avainsanat:
Mat-.36 Tlastollnen päättely 7. harjotukset Mat-.36 Tlastollnen päättely 7. harjotukset / Tehtävät Aheet: Avansanat: ypoteesen testaus. lajn vrhe,. lajn vrhe, arhaton test, ylkäysalue, ylkäysvrhe, ypotees,
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslasku A
TKK / Systeemaalyys laboratoro Mat-.9 Sovellettu todeäkösyyslasku A Nordlud Harjotus 8 (vko 45/3) (Ahe: Raja-arvolauseta, otostuuslukuja, johdatusta estmot, Lae luvut 9.5,.-.6). Olkoo X ~ p(λ), mssä λ
LisätiedotMat Lineaarinen ohjelmointi
Mat-.4 Lneaarnen ohelmont 8..7 Luento 6 Duaaltehtävä (kra 4.-4.4) S ysteemanalyysn Lneaarnen ohelmont - Syksy 7 / Luentorunko Motvont Duaaltehtävä Duaalteoreemat Hekko duaalsuus Vahva duaalsuus Täydentyvyysehdot
LisätiedotKokonaislukuoptimointi
Kokonaslukuotmont Robust dskreett otmont ysteemanalyysn Laboratoro Teknllnen korkeakoulu Ar-Pekka Perkkö ovelletun matematkan tutkasemnaar Kevät 28 sältö Robustn lneaarsen kokonasluku- sekä sekalukuotmontongelman
Lisätiedot7. Modulit Modulit ja lineaarikuvaukset.
7. Modult Vektoravaruudet ovat vahdannasa ryhmä, jossa on määrtelty jonkn kunnan skalaartomnta. Hyväksymällä kerronrakenteeks kunnan sjaan rengas saadaan rakenne nmeltä modul. Moduln käste on ss vektoravaruuden
LisätiedotTodennäköisyyden ominaisuuksia
Todennäköisyyden ominaisuuksia 0 P(A) 1 (1) P(S) = 1 (2) A B = P(A B) = P(A) + P(B) (3) P(A) = 1 P(A) (4) P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) (5) Tapahtuman todennäköisyys S = {e 1,..., e N }. N A = A. Kun alkeistapaukset
LisätiedotLohkoasetelmat. Lohkoasetelmat. Lohkoasetelmat: Mitä opimme? Lohkoasetelmat. Lohkoasetelmat. Satunnaistettu täydellinen lohkoasetelma 1/4
TKK (c) lkka Melln (005) Koesuunnttelu TKK (c) lkka Melln (005) : Mtä opmme? Tarkastelemme tässä luvussa seuraavaa kysymystä: Mten varanssanalyysssa tutktaan yhden tekän vakutusta vastemuuttujaan, kun
LisätiedotTODENNÄKÖISYYSLASKUN KERTAUS Peruskäsitteitä
J. Virtamo 38.3143 Jonoteoria / Todennäköisyyslaskenta 1 TODENNÄKÖISYYSLASKUN KERTAUS Peruskäsitteitä Otosavaruus S S on satunnaiskokeen E kaikkien mahdollisten alkeistapahtumien e joukko. Esim. 1. Noppaa
LisätiedotKonvergenssikäsitteet ja raja-arvolauseet. Konvergenssikäsitteet ja raja-arvolauseet. Konvergenssikäsitteet ja raja-arvolauseet: Mitä opimme?
TKK (c) Ilkka Mell (004) Kovergesskästteet ja raja-arvolauseet Kovergesskästtetä Suurte lukuje lat Keskee raja-arvolause Keskese raja-arvolausee seurauksa Johdatus todeäkösyyslasketaa Kovergesskästteet
Lisätiedot3. Teoriaharjoitukset
3. Teoriaharjoitukset Demotehtävät 3.1 a Olkoot u ja v satunnaumuuttujia, joilla on seuraavat ominaisuudet: E(u = E(v = 0 Var(u = Var(v = σ 2 Cov(u, v = E(uv = 0 Näytä että deterministinen prosessi. x
LisätiedotIlkka Mellin. Sovellettu todennäköisyyslasku: Kaavat ja taulukot
Mat-.09 Sovellettu todeäkösyyslasku Systeemaalyys laboratoro Teklle korkeakoulu SYKSY 00 Ilkka Mell Sovellettu todeäkösyyslasku: Kaavat ja taulukot f XY x X x X y Y ( x, y) exp XY ( XY ) XY XY X X Y Tomttaut
Lisätiedot9. Jakojärjestelmät. Sisältö. Puhdas jakojärjestelmä. Yksinkertainen liikenneteoreettinen malli
Ssältö Kertausta: ykskertae lkeeteoreette mall M/M/-PS asakasta palvelja asakaspakkaa M/M/-PS asakasta palveljaa asakaspakkaa Sovellus elastse datalketee malltamsee vuotasolla M/M//k/k-PS k asakasta palvelja
LisätiedotSatunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat
Satuasmuuttujat ja todeäkösyysjakaumat Todeäkösyyslasketa: Satuasmuuttujat ja todeäkösyysjakaumat 9. Satuasmuuttujat ja todeäkösyysjakaumat 0. Kertymäfukto. Jakaume tuusluvut. Moulotteset satuasmuuttujat
Lisätiedotd L q i = V = mc 2 q i 1 γ = = p i. = V = γm q i + QA i. ṗ i + Q A i + Q da i t + j + V + Q φ
TTKK/Fyskan latos FYS-1640 Klassnen mekankka syksy 2009 Laskuharjotus 5, 16102009 1 Ertysessä suhteellsuusteorassa Lagrangen funkto vodaan krjottaa muodossa v L = m 2 u t 1! ṙ 2 V (r) Osota, että tämä
LisätiedotKokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava. Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava. Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava: Esitiedot
TKK (c) Ilkka Mell (2004) Kokoastodeäkösyys ja Kokoastodeäkösyys ja : Johdato Kokoastodeäkösyyde ja Bayes kaavoje systeemteoreette tulkta Johdatus todeäkösyyslasketaa Kokoastodeäkösyys ja TKK (c) Ilkka
LisätiedotLuento 6 Luotettavuus Koherentit järjestelmät
Aalto-ylosto erustetede korkeakoulu Matematka a systeemaalyys latos Lueto 6 Luotettavuus Koherett ärestelmät Aht Salo Systeemaalyys laboratoro Matematka a systeemaalyys latos Aalto-ylosto erustetede korkeakoulu
LisätiedotHASSEN-WEILIN LAUSE. Kertausta
HASSEN-WEILIN LAUSE Kertausta Käytetään seuraava merkntjä F = F/F q on sukua g oleva funktokunta Z F (t = L F (t (1 t(1 qt on funktokunnan F/F q Z-funkto. α 1, α 2,..., α 2g ovat polynomn L F (t nollakohten
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 21. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 21. syyskuuta 2007 1 / 19 1 Satunnaismuuttujien riippumattomuus 2 Jakauman tunnusluvut Odotusarvo Odotusarvon ominaisuuksia
Lisätiedot9. Jakojärjestelmät. Sisältö. Puhdas jakojärjestelmä. Yksinkertainen liikenneteoreettinen malli
lueto9.ppt S-38.45 Lkeeteora perusteet Kevät 5 Ykskertae lkeeteoreette mall Puhdas jakojärjestelmä Asakkata saapuu keskmäär opeudella asakasta per akayks. / keskmääräe asakkade välaka Asakkata palvellaa
LisätiedotPainotetun metriikan ja NBI menetelmä
Panotetun metrkan ja NBI menetelmä Optmontopn semnaar - Kevät / 1 Estelmän ssältö Paretopsteden generont panotetussa metrkossa Panotettu L p -metrkka Panotettu L -metrkka el panotettu Tchebycheff -metrkka
LisätiedotTilastomatematiikka Kevät 2008
Tilastomatematiikka Kevät 2008 Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta Matematiikan jaos Tilastomatematiikka p.1/19 4.3 Varianssi Satunnaismuuttuja on neliöintegroituva, jos odotusarvo
LisätiedotMAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen
MAT-5 Todennäköisyyslaskenta Tentti.. / Kimmo Vattulainen Vastaa jokainen tehtävä eri paperille. Funktiolaskin sallittu.. a) P A). ja P A B).6. Mitä on P A B), kun A ja B ovat riippumattomia b) Satunnaismuuttujan
Lisätiedot= E(Y 2 ) 1 n. = var(y 2 ) = E(Y 4 ) (E(Y 2 )) 2. Materiaalin esimerkin b) nojalla log-uskottavuusfunktio on l(θ; y) = n(y θ)2
HY / Matematka ja tlastotetee latos Tlastolle päättely II, kevät 28 Harjotus 3A Ratkasuehdotuksa Tehtäväsarja I Olkoot Y,, Y ja Nθ, ) Osota, että T T Y) Y 2 o parametr gθ) θ 2 harhato estmaattor Laske
Lisätiedot1. Jatketaan luentojen esimerkkiä 8.3. Oletetaan kuten esimerkissä X Y Bin(Y, θ) Y Poi(λ) λ y. f X (x) (λθ)x
HY, MTL / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIb, syksy 017 Harjoitus 5 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I 1. Jatketaan luentojen esimerkkiä 8.3. Oletetaan kuten esimerkissä X
Lisätiedot4. Datan käsittely lyhyt katsaus. Havaitsevan tähtitieteen peruskurssi I, luento Thomas Hackman
4. Datan kästtel lht katsaus Havatsevan tähtteteen peruskurss I, luento 7..008 Thomas Hackman 4. Datan kästtel Ssältö Tähtteteellsten havantojen vrheet Korrelaato Funkton sovtus Akasarja-anals 4. Tähtteteellsten
LisätiedotMat /Mat Matematiikan peruskurssi C3/KP3-I Harjoitus 2, esimerkkiratkaisut
Harjotus, esmerkkratkasut K 1. Olkoon f : C C, f(z) z z. Tutk, mssä pstessä f on dervotuva. Ratkasu 1. Jotta funkto on dervotuva, on sen erotusosamäärän f(z + ) f(z) raja-arvon 0 oltava olemassa ja ss
LisätiedotTehtäväsarja I Tehtävät 1-5 perustuvat monisteen kappaleisiin ja tehtävä 6 kappaleeseen 2.8.
HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 8 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Tehtävät -5 perustuvat monisteen kappaleisiin..7 ja tehtävä 6 kappaleeseen.8..
LisätiedotMS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 3A Satunnaismuuttujien summa ja keskihajonta Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto
LisätiedotS , FYSIIKKA III (ES), Syksy 2002, LH 4, Loppuviikko 39. Partitiofunktiota käyttäen keskiarvo voidaan kirjoittaa muotoon
S-11435, FYSIIKKA III (ES), Syksy 00, LH 4, Loppuvkko 39 LH4-1* Käyttän Maxwll-Boltzmann-jakauman parttofunktota määrtä a) nrgan nlön kskarvo (E ) skä b) nrgan nlöllnn kskpokkama kskarvosta l nrgan varanss,
Lisätiedot5. Datan käsittely lyhyt katsaus. Havaitsevan tähtitieteen peruskurssi I, luento Thomas Hackman
5. Datan kästtel lht katsaus Havatsevan tähtteteen peruskurss I, luento 7.4.006 Thomas Hackman 5. Datan kästtel Ssältö Tähtteteellsten havantojen vrheet Korrelaato Funkton sovtus Akasarja-anals 5. Tähtteteellsten
LisätiedotMS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 3A Normaaliapproksimaatio Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Lukuvuosi 2016
Lisätiedot811120P Diskreetit rakenteet
811120P Diskreetit rakenteet 2016-2017 4. Joukot, relaatiot ja funktiot Osa 1: Joukot 4.1 Joukot Matemaattisesti joukko on mikä tahansa hyvin määritelty kokoelma objekteja, joita kutsutaan joukon alkioiksi
LisätiedotTavoitteet skaalaavan funktion lähestymistapa eli referenssipiste menetelmä
Tavotteet skaalaavan funkton lähestymstapa el referensspste menetelmä Optmontopn semnaar - Kevät 2000 / 1 Estelmän ssältö Panotetun metrkan ongelmen havatsemnen Referensspste menetelmän dean esttely Referensspste
LisätiedotV ar(m n ) = V ar(x i ).
Mat-.3 Stokastiset prosessit Syksy 007 Laskuharjoitustehtävät 6 Poropudas/Kokkala. Olkoon M n = X +... + X n martingaali ja M 0 = 0. Osoita, että V ar(m n ) = n V ar(x i ). i= Huomattavaa on, että muuttujia
Lisätiedot3. Datan käsittely lyhyt katsaus
3. Datan kästtel lht katsaus Havatsevan tähtteteen peruskurss I, luento..0 Thomas Hackman HTTPK I, kevät 0, luento 3 3. Datan kästtel Ssältö Tähtteteellsten havantojen vrheet Korrelaato Funkton sovtus
LisätiedotProjektin arvon aleneminen
Projektin arvon aleneminen sivut 99-07 Optimointiopin seminaari - Syksy 000 / Arvon aleneminen Jatketaan projektin arvon tutkimista. Nyt huomioidaan arvon aleneminen. Syitä esimerkiksi: kaluston vanheneminen
LisätiedotTodennäköisyyslaskun kertaus. Heliövaara 1
Todennäköisyyslaskun kertaus Heliövaara 1 Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Heliövaara 2 Stunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Jos satunnaisilmiötä halutaan mallintaa matemaattisesti,
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Viikko 2 Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Lasse Leskelä, Heikki Seppälä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslaskenta B 8. harjoitukset / Ratkaisut Aiheet: Otos ja otosjakaumat Avainsanat:
Mat-1.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa Mat-1.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B / Ratkasut Aheet: Otos ja otosjakaumat Avasaat: Artmeette keskarvo, Beroull-jakauma, Beroull-koe, χ -jakauma, Frekvess, Frekvessjakauma,
LisätiedotHanna-Kaisa Hurme Teräksen tilastollinen rakenneanalyysi Diplomityö
Hanna-Kasa Hurme Teräksen tlastollnen rakenneanalyys Dplomtyö Tarkastajat: professor Kejo Ruohonen (TUT) ja dosentt Esko Turunen (TUT) Tarkastajat ja ahe hyväksytty Luonnonteteden ja ympärstöteknkan tedekuntaneuvoston
Lisätiedot4.1. Olkoon X mielivaltainen positiivinen satunnaismuuttuja, jonka odotusarvo on
Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Otanta Poisson- Jakaumien tunnusluvut Diskreetit jakaumat Binomijakauma, Diskreetti tasainen jakauma, Geometrinen jakauma, Hypergeometrinen
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 3: Todennäköisyysjakaumia. Diskreettejä jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Diskreettejä jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Diskreettejä jakaumia >> Diskreetti tasainen jakauma Bernoulli-jakauma Binomijakauma
Lisätiedot4.0.2 Kuinka hyvä ennuste on?
Luonteva ennuste on käyttää yhtälöä (4.0.1), jolloin estimaattori on muotoa X t = c + φ 1 X t 1 + + φ p X t p ja estimointivirheen varianssi on σ 2. X t }{{} todellinen arvo Xt }{{} esimaattori = ε t Esimerkki
LisätiedotTodennäköisyyslaskun kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Todennäköisyyslaskun kertaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Vilkkumaa / Kuusinen 2 Motivointi Kokeellisessa tutkimuksessa tutkittaviin ilmiöihin liittyvien havaintojen
Lisätiedot8.1 Ehdolliset jakaumat
8 Ehdollinen jakauma Tämän kappaleen tärkeitä käsitteitä: Ehdollinen jakauma; ehdollinen ptnf/tf. Kertolaskusääntö eli ketjusääntö yhteisjakauman esittämiseksi. Ehdollinen odotusarvo ja ehdollinen varianssi.
LisätiedotMittausepävarmuus. Mittaustekniikan perusteet / luento 7. Mittausepävarmuus. Mittausepävarmuuden laskeminen. Epävarmuuslaskelma vai virhearvio?
Mttausteknkan perusteet / luento 7 Mttausepävarmuus Mttausepävarmuus Mttaustulos e ole koskaan täysn oken Mttaustulos on arvo mtattavasta arvosta Mttaustuloksen ja mtattavan arvon ero on mttausvrhe Mkäl
LisätiedotTodennäköisyyden aksioomat. Todennäköisyyden aksioomat. Todennäköisyyden aksioomat: Mitä opimme? 2/2. Todennäköisyyden aksioomat: Mitä opimme?
TKK () Ilkka Mell (2004) 1 Todeäkösyyde aksoomat Suhteelle rekvess, klasse todeäkösyys ja ehdolle todeäkösyys Johdatus todeäkösyyslasketaa Todeäkösyyde aksoomat TKK () Ilkka Mell (2004) 2 Todeäkösyyde
Lisätiedot3.6 Su-estimaattorien asymptotiikka
3.6 Su-estimaattorien asymptotiikka su-estimaattorit ovat usein olleet puutteellisia : ne ovat usein harhaisia ja eikä ne välttämättä ole täystehokkaita asymptoottisilta ominaisuuksiltaan ne ovat yleensä
LisätiedotJohdatus tn-laskentaan torstai 16.2.2012
Johdatus tn-laskentaan torstai 16.2.2012 Muunnoksen jakauma (ei pelkkä odotusarvo ja hajonta) Satunnaismuuttujien summa; Tas ja N Vakiokerroin (ax) ja vakiolisäys (X+b) Yleinen muunnos: neulanheittoesimerkki
Lisätiedot5/11 6/11 Vaihe 1. 6/10 4/10 6/10 4/10 Vaihe 2. 5/11 6/11 4/11 7/11 6/11 5/11 5/11 6/11 Vaihe 3
Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Verkot todennäköisyyslaskennassa Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Jakaumien tunnusluvut Kertymäfunktio, Momentit, Odotusarvo,
Lisätiedot1. Kuusisivuista noppaa heitetään, kunnes saadaan silmäluku 5 tai 6. Olkoon X niiden heittojen lukumäärä, joilla tuli 1, 2, 3 tai 4.
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Todennäköisyyslaskenta II, syksy 206 Kurssikoe 28.0.206 Ratkaisuehdotuksia. Kuusisivuista noppaa heitetään, kunnes saadaan silmäluku 5 tai 6. Olkoon X niiden
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet, L2 Kertaus Aiheet
Talousmatematiikan perusteet, L2 Kertaus 1 Laskutoimitukset tehdään seuraavassa järjestyksessä 1. Sulkujen sisällä olevat lausekkeet (alkaen sisältä ulospäin) 2. potenssit ja juurilausekkeet 3. kerto-
Lisätiedotx 4 e 2x dx Γ(r) = x r 1 e x dx (1)
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Todennäköisyyslaskenta IIA, syksy 217 217 Harjoitus 6 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I 1. Laske numeeriset arvot seuraaville integraaleille: x 4 e 2x dx ja 1
LisätiedotInversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 7
Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 7 Kevät 2012 1 Tilastolliset inversio-ongelmat Tilastollinen ionversio perustuu seuraaviin periaatteisiin: 1. Kaikki mallissa olevat muuttujat mallinnetaan
LisätiedotJohda jakauman momenttiemäfunktio ja sen avulla jakauman odotusarvo ja varianssi.
Mat-2.090 Sovellettu todeäköisyyslasku A Mat-2.090 Sovellettu todeäköisyyslasku A / Pistetehtävät 2, 4, 6, 8, 0 Aiheet: Avaisaat: Momettiemäfuktio Satuaismuuttujie muuokset ja iide jakaumat Kovergessikäsitteet
Lisätiedot8.1 Ehdolliset jakaumat
8 Ehdollinen jakauma Tämän kappaleen tärkeitä käsitteitä: Ehdollinen jakauma; ehdollinen ptnf/tf. Kertolaskusääntö eli ketjusääntö yhteisjakauman esittämiseksi. Ehdollinen odotusarvo ja ehdollinen varianssi.
Lisätiedot031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 3
031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 3 Jukka Kemppainen Mathematics Division Jakauman tunnusluvut Jakauman tärkeimmät tunnusluvut ovat odotusarvo ja varianssi. Odotusarvo ilmoittaa jakauman keskikohdan
LisätiedotABTEKNILLINEN KORKEAKOULU
ABTEKNILLINEN KORKEAKOULU Tietoverkkolaboratorio Sisältö Peruskäsitteitä Poisson-prosessi Luento05.ppt S-38.45 - Liikenneteorian perusteet - Kevät 2005 2 Stokastiset prosessit () Stokastiset prosessit
LisätiedotJohdatus tekoälyn taustalla olevaan matematiikkaan
Johdatus tekoälyn taustalla olevaan matematkkaan Informaatoteknologan tedekunta Jyväskylän ylopsto 4. luento 24.11.2017 Neuroverkon opettamnen - gradenttmenetelmä Neuroverkkoa opetetaan syöte-tavote-parella
Lisätiedot5. Stokastiset prosessit (1)
luento05.ppt S-38.45 - Liikenneteorian perusteet - Kevät 2006 Sisältö Peruskäsitteitä Poisson-prosessi 2 Stokastiset prosessit () Tarkastellaan jotakin (liikenneteorian kannalta tai sitten muuten) kiinnostavaa
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Diskreettejä jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Diskreettejä jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Diskreettejä jakaumia Diskreetti tasainen jakauma Bernoulli-jakauma Binomijakauma Geometrinen jakauma Negatiivinen
LisätiedotT p = 0. λ n i T i B = Käytetään kohdan (i) identiteetin todistamiseen induktiotodistusta. : Oletetaan, että väite on totta, kun n = k.
Olkoot A R n n ja T R n n sten, että on olemassa ndeks p N jolle T p = Tällästä matrsa kutsutaa nlpotentks Näytä, että () () () Olkoot Määrtä matrs B n (λi + A) n = (λi + T ) n = B = n mn n,p ( ) n λ n
LisätiedotMoraalinen uhkapeli: N:n agentin tapaus eli moraalinen uhkapeli tiimeissä
Moraalnen uhkapel: N:n agentn tapaus el moraalnen uhkapel tmessä Mat-2.4142 Optmontopn semnaar Ismo Räsänen 4.3.2008 S ysteemanalyysn Laboratoro Teknllnen korkeakoulu Estelmä 11 - Ismo Räsänen Optmontopn
LisätiedotOlkoon R S otosavaruuksien R ja S karteesinen tulo: Satunnaismuuttujien X ja Y järjestetty pari (X, Y) määrittelee kaksiulotteisen satunnaismuuttujan:
Mat-.6 Sovellettu todennäköisslaskenta B Mat-.6 Sovellettu todennäköisslaskenta B / Ratkaisut Aiheet: Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköissjakaumat Moniulotteisia jakaumia Avainsanat: Diskreetti
LisätiedotMO-teoria ja symmetria
MO-teora ja symmetra () Kaks atomorbtaaa vovat muodostaa kaks moekyyorbtaaa - Stova orbtaa - ajottava orbtaa () Atomorbtaaen energoden otava keskenään samansuurusa () Atomorbtaaen symmetravaatmukset LCAO
LisätiedotMat Lineaarinen ohjelmointi
Mat-2.340 Lneaarnen ohjelmont 3.9.2007 Luento Johdanto (krja.-.4) S ysteemanalyysn Laboratoro eknllnen korkeakoulu Eeva Vlkkumaa Lneaarnen ohjelmont - Syksy 2007 / Luentorunko Hstoraa Lneaarnen optmonttehtävä
Lisätiedot11 Raja-arvolauseita ja approksimaatioita
11 Raja-arvolauseita ja approksimaatioita Tässä luvussa esitellään sellaisia kuuluisia todennäköisyysteorian raja-arvolauseita, joita sovelletaan usein tilastollisessa päättelyssä. Näiden raja-arvolauseiden
Lisätiedot3 Tilayhtälöiden numeerinen integrointi
3 Tlayhtälöden numeernen ntegront Alkuarvotehtävässä halutaan ratkasta lopputla xt f ) sten, että tlayhtälöt ẋ = fx,u, t) toteutuvat, kun alkutla x 0 on annettu Tlayhtälöden numeernen ntegront vodaan suorttaa
Lisätiedot2 exp( 2u), kun u > 0 f U (u) = v = 3 + u 3v + uv = u. f V (v) dv = f U (u) du du f V (v) = f U (u) dv = f U (h(v)) h (v) = f U 1 v (1 v) 2
HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 208 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I. Satunnaismuuttuja U Exp(2) ja V = U/(3 + U). Laske f V käyttämällä muuttujanvaihtotekniikkaa.
LisätiedotTaustaa. Sekventiaalinen vaikutuskaavio. Päätöspuista ja vaikutuskaavioista. Esimerkki: Reaktoriongelma. Johdantoa sekventiaalikaavioon
Taustaa Sekventaalnen vakutuskaavo Sekventaalnen päätöskaavo on 1995 ovalun ja Olven esttämä menetelmä päätösongelmen mallntamseen, fomulontn ja atkasemseen. Päätöspuun omnasuukssta Hyvää: Esttää eksplsttsest
LisätiedotTodennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 2
Todeäkösyyslaskea ja tlastotetee peruskurss Esmerkkkokoelma Aheet: Satuasmuuttujat ja todeäkösyysjakaumat Kertymäfukto Jakaume tuusluvut Dskreettejä jakauma Jatkuva jakauma Avasaat: Bomjakauma Desl Dskreett
LisätiedotJohdatus tn-laskentaan perjantai 17.2.2012
Johdatus tn-laskentaan perjantai 17.2.2012 Kahden diskreetin muuttujan yhteisjakauma On olemassa myös monen muuttujan yhteisjakauma, ja jatkuvien muuttujien yhteisjakauma (jota ei käsitellä tällä kurssilla;
LisätiedotLeikkijunan kunto toimiva ei-toimiva Työvuoro aamuvuoro päivävuoro iltavuoro
Lsätehtävä 1. Erään yrtyksen satunnasest valttujen työntekjöden possaolopäven määrät olvat vuonna 003: 5, 3, 1, 9, 0, 1, 3,, 19, 5, 19, 11,, 0, 4,, 1, 15, 4, 0,, 4, 3, 3, 8, 3, 9, 11, 19, 17, 14, 7 a)
Lisätiedot1, x < 0 tai x > 2a.
PHYS-C020 Kvanttmekankka Laskuharotus 2, vkko 45 Tarkastellaan ptkn x-aksela lkkuvaa hukkasta, onka tlafunkto on (x, t) Ae x e!t, mssä A, a! ovat reaalsa a postvsa vakota a) Määrtä vako A sten, että tlafunkto
LisätiedotTilastollisen fysiikan luennot
Tlastollsen fyskan luennot Tvstelmät luvuttan I PERUSKÄSITTEITÄ JA MÄÄRITELMIÄ Lämpö on systeemen mkroskooppsten osen satunnasta lkettä Lämpöenerga vrtaa kuumemmasta kappaleesta kylmempään Jos kaks kappaletta
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet, L2 Kertaus Aiheet
Talousmatematiikan perusteet, L2 Kertaus 1 Laskutoimitukset tehdään seuraavassa järjestyksessä 1. Sulkujen sisällä olevat lausekkeet (alkaen sisältä ulospäin) 2. potenssit ja juurilausekkeet 3. kerto-
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslasku A. Moniulotteiset jakaumat. Avainsanat:
Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Moniulotteiset jakaumat Diskreetti jakauma, Ehdollinen jakauma, Ehdollinen odotusarvo, Jatkuva
Lisätiedot5. laskuharjoituskierros, vko 8, ratkaisut
Mat-.09 Sovellettu todennäköisyyslasku, kevät -05 5. laskuharjoituskierros, vko 8, ratkaisut D. Eräässä maata kiertävällä radalla olevassa satelliitissa on ilmaisin, jonka elinikä X yksikkönä vuosi noudattaa
LisätiedotKäyttövarmuuden ja kunnossapidon perusteet, KSU-4310: Tentti ma
KSU-430/Ten 4..2008/Prof. Seppo Vranen /3 Käyövarmuuden ja kunnossapdon perusee, KSU-430: Ten ma 4..2008 Huom. Vasaus van veen kysymykseen. Funko- ja/a ohjelmoavan laskmen, musnpanojen, luenomonseden ja
LisätiedotTässä luvussa mietimme, kuinka paljon aineistossa on tarpeellista tietoa Sivuamme kysymyksiä:
4. Tyhjentyvyys Tässä luvussa mietimme, kuinka paljon aineistossa on tarpeellista tietoa Sivuamme kysymyksiä: Voidaanko päätelmät perustaa johonkin tunnuslukuun t = t(y) koko aineiston y sijasta? Mitä
LisätiedotSU/Vakuutusmatemaattinen yksikkö (5)
SU/Vakuutusmatemaattnen ykskkö 0..06 (5) Rahastoonsrtovelvotteeseen ja perustekorkoon lttyvät laskentakaavat Soveltamnen. Rahastosrtovelvote RSV. Täydennyskerron b 6 Nätä laskentakaavoja sovelletaan täydennyskertomen,
LisätiedotRahastoonsiirtovelvoitteeseen ja perustekorkoon liittyvät laskentakaavat. Soveltaminen
SU/Vakuutusmatemaattnen ykskkö 0.4.05 Rahastoonsrtovelvotteeseen ja perustekorkoon lttyvät laskentakaavat Soveltamnen. Rahastosrtovelvote RSV. Täydennyskerron b 6 Nätä perusteta sovelletaan täydennyskertomen,
LisätiedotMS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 7: Lagrangen kertojat. Pienimmän neliösumman menetelmä.
MS-A0205/MS-A0206 Dfferentaal- ja ntegraallaskenta 2 Luento 7: Lagrangen kertojat. Penmmän nelösumman menetelmä. Jarmo Malnen Matematkan ja systeemanalyysn latos 1 Aalto-ylopsto Kevät 2016 1 Perustuu Antt
Lisätiedot5 Tärkeitä yksiulotteisia jakaumia
5 Tärkeitä yksiulotteisia jakaumia Jakaumista löytyy lisätietoja ja kuvaajia Wikipediasta. Kirjallisuudessa käytetään useille näistä jakaumista monia erilaisia parametrointeja. Kussakin lähteessä käytetty
LisätiedotMittausvirhe. Mittaustekniikan perusteet / luento 6. Mittausvirhe. Mittausepävarmuus ja siihen liittyvää terminologiaa
Mttausteknkan perusteet / luento 6 Mttausepävarmuus ja shen lttyvää termnologaa Mttausepävarmuus = mttaustulokseen lttyvä parametr, joka kuvaa mttaussuureen arvojen odotettua vahtelua Mttauksn lttyvä kästtetä
LisätiedotMTTTP1 SELITYKSIÄ JA ESIMERKKEJÄ KAAVAKOKOELMAN KAAVOIHIN LIITTYEN
MTTTP SELITYKSIÄ JA ESIMERKKEJÄ KAAVAKOKOELMAN KAAVOIHIN LIITTYEN Aesto kaavoje () (3), (9) ja () esmerkkeh Lepakot pakallstavat hyötesä lähettämällä korkeataajusta äätä Ne pystyvät pakallstamaa hyöteset
LisätiedotVäliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1
Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1 Bernoulli-jakauman odotusarvon luottamusväli 1/2 Olkoon havainnot X 1,..., X n yksinkertainen satunnaisotos Bernoulli-jakaumasta parametrilla p. Eli X Bernoulli(p).
LisätiedotGripenberg. MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Tentti ja välikoeuusinta
MS-A00 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Tentti ja välikoeuusinta 7.. Gripenberg Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi ym. tiedot ja minkä kokeen suoritat! Laskin,
Lisätiedot