JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO Taloustieteiden tiedekunta

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO Taloustieteiden tiedekunta"

Transkriptio

1 JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO Talousteteden tedekunta AIKA- IKÄ- JA KOHORTTIVAIKUTUKSET KOTITALOUKSIEN RAHOITUSVARALLISUUDEN RAKENTEISIIN SUOMESSA VUOSINA Kansantaloustede Pro gradu -tutkelma Maalskuu 2007 Tekjä: Oll Kannas Ohjaajat: Professor Markku Lanne ja Tutkja Markku Säylä (Tlastokeskus)

2 JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO TALOUSTIETEIDEN TIEDEKUNTA Tekjä Oll Kannas Työn nm Aka- kä- ja kohorttvakutukset kottalouksen rahotusvarallsuuden rakentesn Suomessa vuosna Oppane Kansantaloustede Aka Maalskuu 2007 Työn laj Pro gradu -tutkelma Svumäärä Tvstelmä Abstract Tutkmuksen tarkotus ol selvttää än ajankohdan ja sukupolven vakutusta kottalouksen sjotuskäyttäytymseen. Ertysest tutkmuksessa pyrttn selvttämään vahteleeko rsknottohalukkuus kottalouden elnkaaren akana ja sukupolven välllä. Tutkmuksessa analysotn erkseen Tobt-malllla sjotuskohteen suhteellsta portfolo-osuutta kottalouksen portfolossa ja probt-malllla sjotuskohteen omstustodennäkösyyttä. Tutkmusongelmalle tyypllnen dentfkaato-ongelma ratkastn olettamalla kä- ja kohorttvakutukset samoks vden vuoden ntervallella. Tutkmusanesto koostu Tlastokeskuksen varallsuustutkmusten pokklekkausanestosta vuoslta ja Perntesten portfolonvalntateoroden mukaan sjottajan portfolon koostumuksen tuls pysyä vakona koko elnkaaren ajan ekä sjottajan nvestontpäätökseen tuls vakuttaa ykskään sjottajan omnasuus. Ammattmasten sjotusneuvojen suostusten mukaan sjottajan rskaverson tuls kutenkn kasvaa än mukana. Lsäks useat vmeakaset tutkmukset ovat osottaneet että kottalouksen portfoloden rakenteet vahtelevat demografoden välllä. Tutkmustulokset kä- ja kohorttproflesta ovat kutenkn vahdelleet paljon. Tutkmustulokset osottvat että ertysest sjotusrahastojen ja eläkevakuusten kysyntä on kasvanut huomattavast tutkmusperodn akana. Suurn osa suomalasten kottalouksen sjotukssta on kutenkn edelleen talletuksssa. Tobt-regressoden tulosten mukaan nuoret sjottavat suhteellsest enemmän arvopaperehn ja vähemmän talletuksn kun vanhemmat kottaloudet. Tutkmuksen mukaan kohorttvakutuksen huomomatta jättämnen vo kutenkn aheuttaa harhasa tuloksa käproflsta. Kohortlla olkn huomattavast merkttävämp vakutus jonka mukaan rskaverso on korkeamp nuoremmlla kun vanhemmlla sukupolvlla. Myös probt-mallen tulokset olvat samansuuntaset. Inhmllnen pääoma e kutenkaan selttänyt kä- ja kohorttvakutuksa. Tutkmustulokset tukevat nmenomaan ammattmasten sjotusneuvojen suostuksa ja moderneja portfolonvalntateorota joden mukaan kottalouksen sjotuskäyttäytymnen vo vahdella demografoden välllä. Tulokset tukevat myös kästystä jonka mukaan väestön kääntymnen ja suurten käluokken eläkkeelle srtymnen vo aheuttaa rskllsten sjotuskohteden kysynnän vähenemsen. Asasanat Portfolonvalnta rahotusvarallsuus elnkaar kohortt kottalous Tobt-mall Probt-mall Sälytyspakka Jyväskylän ylopsto / Talousteteden tedekunta

3 SISÄLLYS 1 JOHDANTO JA TUTKIMUSTEHTÄVÄ LYHYEN AIKAVÄLIN PORTFOLIONVALINTATEORIAT Keskarvo-varanssanalyys Portfoloseparaatoteoreema CAP -mall PITKÄN AIKAVÄLIN PORTFOLIONVALINTATEORIAT Elnkaarhypotees Staattnen ptkän akaväln mall Yhden perodn lognormaal mall CRRA-hyötyfunkton tapauksessa Staattnen ptkän akaväln mall lman portfolon uudelleen balansonta Staattnen ptkän akaväln mall portfolon uudelleen balansonnn kanssa Modernt ptkän akaväln portfolonvalntateorat Ammattmasten sjotusneuvojen suostukset Joukkovelkakrjat ptkän akaväln sjotuskohteena Osakkeet ptkän akaväln sjotuskohteena Inhmllnen pääoma Vahtoehtoset hyötyfunktot Transaktokustannukset AIKAISEMMAT EMPIIRISET TUTKIMUKSET Identfkaato-ongelma Aka- kä- ja kohorttvakutukset Mahdollset vakutuskanavat Akasemmat emprset tutkmustulokset VARALLISUUSTUTKIMUKSEN AINEISTO Aneston yleskuvaus Tutkmusmenetelmä Katoanalyys Ylpetto ja ykskkökato Keskvrhelaskelmat...58

4 6 TUTKIMUSMENETELMÄT Aneston rajaus ja käytettävät muuttujat Graafnen tarkastelu Arvopapert Pörssosakkeet Sjotusrahastot Pörssosakkeet ja sjotusrahastot Eläkevakuutukset Talletukset Sjotuskohteen suhteellnen portfolo-osuus: Tobt-mall Regressomalln spesfont Malln oletukset ja robustsuustarkastelu Symmetrcally censored least squares Sjotuskohdetta omstaven osuus: Probt-mall Tutkmustulokset Arvopapert Pörssosakkeet Sjotusrahastot Pörssosakkeet ja sjotusrahastot Eläkevakuutukset Talletukset PÄÄTELMÄT LÄHTEET LIITTEET

5 1 1 JOHDANTO JA TUTKIMUSTEHTÄVÄ Kottalouksen sjotuskäyttäytymsen tutkmnen on lsääntynyt vme vuosna ja stä on tullut suosttu tutkmuskohde ekonomsten keskuudessa. Yks tärkemmstä systä tähän on se että sjotusmarkknolla tomven kottalouksen määrä on kasvanut huomattavast vmesten 15 vuoden akana. Vuonna 1989 Yhdysvallossa arvopapereta omst van joka kolmas kottaloukssta mutta vuonna 2001 sama suhde ol noussut jo yl 50 prosenttn (Amerks & Zeldes 2004). Myös Suomessa rahotusmarkknoden vapautumsen jälkeen kottalouksen sjotuskäyttäytymnen on muuttunut huomattavast. Etenkn sjotusrahastojen ja eläkevakuutusten suoso on kasvanut 2000-luvulla kottalouksen keskuudessa. Vakka arvopapereden pano onkn kasvanut vme vuosna suomalasten kottalouksen portfolossa nn valtaosa rahotusvarallsuudesta pdetään edelleen talletuksssa. (Säylä 2006a.) Teora rahotusvarallsuuden koostumuksen vahteluun vakuttavsta tekjöstä on rstrtasta ja shen lttyvää emprstä tutkmusta on tehty yllättävän vähän (Andersson 2001; Campbell & Vcera ). Vasta avan vme vuosna tutkmukset ovat lsääntyneet mutta esmerkks Suomessa aheprn analysont on vasta alkuvaheessa. Tutkmusongelma on myös melenkntonen ja ajankohtanen väestön kääntymsen ja suurten käluokken eläkkeelle srtymsen kannalta. Esmerkks ennustettua rahotusmarkknoden mahdollsta luhstumsta tulevasuudessa on perusteltu sllä että suuret käluokat lopettavat eläkkeelle srtyessään eläkesäästämsen ja ryhtyvät kuluttumaan karttunutta varallsuuttaan jollon markknolle syntyy yltarjontaa kun suuret käluokat joutuvat myymään sjotuksaan penemmälle väestöryhmälle. Tämän johdosta sjotuskohteden hnnat romahtavat ja sen myötä katoaa myös eläkesäästöjen arvo. Jos väestö kääntyy ja samalla rskaverso kasvaa än myötä nn sllon myös talouden kokonasrskaverso penenee. Tämä vo puolestaan kasvattaa markknoden rskpreemota ja sten aheuttaa arvopapereden hntojen laskun. Väestön kääntymsen ja suurten käluokken eläkkeelle srtymnen vo sten muuttaa oleellsest sjotuskohteden kysynnän koostumusta (Baksh & Chen 1994; Poterba 2004; Scheber & Shoven 1997). Lsäks usessa teollstunessa massa ollaan srtymässä eläkejärjestelmn jossa ykslöllä on mahdollsuus vakuttaa osttan shen mten hedän eläkesäästönsä sjotetaan (esm. 401(k)-järjestelmä Yhdysvallossa). Kottalouksen tekemen sjotusvalntojen vakutus eläkeän elntasoon tulee

6 2 olemaan merkttävä nässä järjestelmssä. Huonoja sjotusvalntoja tehneden kottalouksen kulutus vo laskea eläkkeellä nn alhaseks ette stä voda ptää hyväksyttävänä elntasona. (Amerks & Zeldes ) Tämän tutkmuksen tarkotus on tarkastella än ajankohdan ja syntymävuoskohortn el sukupolven vakutusta kottalouksen sjotuskäyttäytymseen. Ertysest tutkmuksessa pyrttn selvttämään vahteleeko rsknottohalukkuus kottalouden elnkaaren akana ja sukupolven välllä el onko esmerkks elämänkokemuksella vakutusta shen mten kottalous jakaa sjotuksensa rskttömän sjotuskohteen ja rskllsen portfolon välllä. Tutkmuksessa rahotusvarallsuus jaetaan rskptosuudeltaan erlasn sjotuskohtesn josta tässä tutkmuksessa tarkastellaan talletuksa ja arvopapapereta. Arvopaperesta erkseen kästellään osakketa ja sjotusrahastoja. Tämän lsäks tutkmuksessa tarkastellaan erkseen ykslöllsä eläkevakuutuksa. Tutkmusmenetelmnä käytetään sekä graafsta tarkastelua että regressoanalyysä. Todellsuudessa sjottajen portfolonvalnta koostuu kahdesta erllsestä päätöksestä: ensn kottalous valtsee sjotuskohteet john se haluaa nvestoda jonka jälkeen päätetään kunka varat jaetaan valttujen kohteden kesken. Tutkmuksen enssjasena oletuksena on että päätös nvestoda johonkn sjotuskohteeseen on täsmälleen sama kun päätös stä kunka paljon nvestodaan. Kysesen oletuksen perusteella tutkmusmenetelmänä käytetään Tobtregressomalla selvttämään onko ällä ajankohdalla ta syntymäajalla tlastollsest merktsevää vakutusta sjotuskohteden suhteellsn osuuksn kottalouksen portfolossa. Tobt-malln oletus nvestontpäätöksen ykskästtesyydestä e kutenkaan välttämättä kuvaa todellsuutta jonka vuoks tässä tutkmuksessa tarkastellaan myös Probt-malln avulla kunka tarkasteltavat tekjät vakuttavat todennäkösyyteen jolla kottalous omstaa tettyä sjotuskohdetta. Perntesten portfolonvalntateoroden mukaan sjotuspäätös jakautuu kahteen osaan josta ensmmänen koskee rskllsstä arvopaperesta koostuvan portfolon optmaalsen koostumuksen valntaa. Rskllsen portfolon koostumuksen tuls olla kaklla sjottajlla samanlanen ekä kyseseen päätökseen tuls sten vakuttaa ykskään sjottajan omnasuus. Päätöksenteon tosessa vaheessa sjottaja valtsee kunka hän jakaa varansa rskttömän sjotuskohteen ja rskllsen portfolon välllä. Tähän päätökseen vovat vakuttaa henklön preferensst kosken hänen rsknsetokykyään. Staattsten portfolonvalntateoroden mukaan

7 3 tämän suhteen tuls kutenkn pysyä vakona koko sjottajan elnkaaren ajan ekä sjottajan nvestontpäätökseen tuls vakuttaa varallsuus ta mkään muu omnasuus. Ammattmasten sjotusneuvojen suostusten mukaan sjottajan rskaverson tuls kutenkn kasvaa än mukana. Perntenen portfolonvalntateora on rstrdassa myös usempen vme akasten tutkmusten kanssa jotka ovat osottaneet että kottalouksen portfoloden rakenteet vahtelevat paljon ja nssä tapahtuu ajan mttaan muutoksa. Useat vme akaset tutkmukset ovat osottaneet että kottalouksen portfoloden rakenteet vahtelevat demografoden välllä. Tutkmustulokset kä- ja kohorttprofleden muodosta ovat kutenkn vahdelleet paljon er tutkmusten välllä. Tutkmuksessa käytetään Tlastokeskuksen varallsuustutkmuksen pokklekkausanestoja vuoslta ja 2004 jossa tutkmusykskkönä on kottalous. Varallsuustutkmus kuvaa kottalouksen varallsuuden kokonasmäärää rakennetta ja jakautumsta er väestöryhmen kesken. Anesto kästtää van kottalouksen henklökohtasen varallsuuden ja velat. Tedot pohjautuvat varallsuustutkmuksssa pääosn haastattelutetohn mutta tetoja on täydennetty yhdstelemällä nhn reksterpohjasa tetoja. Vuosen varallsuustutkmusten keskenen tetossältö koostuu reaal- ja rahotusvarallsuudesta mutta anestot ssältävät myös runsaast erlasa kottalouksa luoktteleva taustamuuttuja. Varallsuustutkmuksssa on sovellettu kaksvahesta ostettua otantaa ja tutkmuksen tavoteperusjoukkona ovat Suomessa vaktusest asuvat kottaloudet. Vuosen otokset ovat tosstaan rppumattoma el jokasena tutkmusvuotena otokseen on pomttu er kottaloudet. (Säylä 2000; 2005.) Tutkelma rakentuu sten että aluks käydään läp staattsa lyhyen akaväln portfolonvalntateorota. Tämän jälkeen tarkastellaan krjallsuudessa esntyvän teoran perusteella kunka sjotushorsontn muuttumsen useaks perodks tuls vakuttaa portfolonvalntaongelmaan. Teoreettsen tarkastelun jälkeen käydään läp tärkempä aheprä koskeva tutkmustuloksa ja tarkastellaan ertysest kään ajankohtaan ja syntymäakaan lttyvää dentfkaato-ongelmaa. Tämän jälkeen estellään kattavast tutkmuksessa käytettävä anesto kuvataan ylesellä tasolla suomalasten kottalouksen sjotuskäyttäytymstä ja tarkastellaan graafsest ajan än ja sukupolven vakutusta rahotusvarallsuuden koostumukseen. Varsnasessa emprsessä osossa käydään läp tutkmusmenetelmät ja estetään estmotavat regressomallt. Lopuks käydään läp tutkmustulokset ja nden perusteella tehdyt johtopäätökset.

8 4 2 LYHYEN AIKAVÄLIN PORTFOLIONVALINTATEORIAT Pernteset portfolonvalntateorat ovat lyhyen akaväln malleja koska nssä sjotuspäätös tehdään van yhdelle perodlle kerrallaan. Nästä mallesta tunnetumpa ovat keskarvovaranssanalyys ja shen pohjautuva Captal Asset Prcng -mall (CAP -mall). Suurn ero näden perusmallen välllä on se että keskarvo-varanssanalyysn mukaan sjottaja maksmo suoraan portfolon tuottoa suhteessa rskn kun puolestaan CAP -mallssa sjottaja maksmo hyötyään johon portfolon tuotto vakuttaa postvsest ja rsk negatvsest. Lsäks CAP -mall kästtelee enemmänkn arvopapereden hnnottelua kun portfolonvalntateoraa. Kummatkn mallt johtavat kutenkn samanlaseen johtopäätökseen stä kunka sjottajen rahotusvarallsuuden tuls jakautua erlasten sjotuskohteden kesken. 2.1 Keskarvo-varanssanalyys Modernen portfolonvalntateoroden katsotaan rahotusteorassa pohjautuvan pääosn Markowtzn (1952) esttämään keskarvo-varanssanalyysn. Markowtz osott kunka sjottajen tuls valta arvopapereta kun sjotusakaväl on van yhden jakson mttanen ja 2 sjottajat välttävät van portfolon tuoton keskarvosta (R ) ja varansssta ( σ ) (ta vahtoehtosest keskhajonnasta (σ ) ). Keskesmmät oletukset teorassa ovat että sjottajen näkemykset kysesstä objektvssta mttaresta ovat homogeensa ja että sjottajat preferovat korkeaa tuottoa ja matalaa rskä. Markowtz osott että sjottajan lsätessä arvopapereta portfoloonsa sen kokonasrsk (portfolon tuoton varanss) penenee jatkuvast. Yks keskarvo-varanssanalyysn tärkemmstä kontrbuutosta onkn se että kun yksttästen arvopapereden panot penenevät portfolossa nn epäsystemaattnen (arvopaperkohtanen) rsk vähenee olemattomn. Nän ollen täydellsest hajautetussa portfolossa anoa jäljelle jäävä rsk on systemaattnen rsk (mm. makrotaloudellset ja polttset rskt) joka on kaklle arvopaperelle yhtenen.

9 5 Hajautuksen vakutusta vodaan havannollstaa matemaattsest. Oletetaan että jokaseen yksttäseen arvopapern sjotetaan suhteellsest saman verran jollon portfolossa on N kappaletta sjotuskohteta john jokaseen sjotetaan 1/N osuus. Oletetaan lsäks että kakken yksttästen arvopapereden odotettu tuotto on m ja että yksttäset arvopapert evät ole tosstaan täysn rppumattoma (kovaranss nden välllä on 0). Portfolon tuoton odotusarvo (E(R p )) on portfoloon ssältyven yksttästen arvopapereden odotettujen tuottojen panotettu keskarvo (Elton & Gruber ): N N N (1) E R = 1 P E X j R j = E R j = 1 ) ( ) ( ) m = m ( N j= 1 j= 1 j= 1 N jossa X j on arvopapern j sjotettu prosenttosuus koko portfolosta ja R j on arvopapern j odotettu tuotto. Kaavasta (1) huomataan että odotettu tuotto pysyy vakona hajautuksesta 2 huolmatta. Portfolon tuoton varanss ( σ ) koostuu puolestaan yksttästen arvopapereden P varanssen panotetusta keskarvosta sekä arvopapereden välsstä kovaransstermestä (Elton & Gruber ): N N N (2) σ P = X jσ j + = = j= 1 N = 1 j= 1 k = 1 k j X j X k N N j= 1 k = 1 k j σ 2 2 ( 1/ N ) σ + (1/ N )(1/ N ) σ N σ 2 j (1/ N ) j= 1 N + ( N N jk N N σ jk 1) jk j= 1 k = 1 N ( N k j 1) jossa X j on arvopapern j sjotettu suhteellnen portfolo-osuus 2 σ on arvopapern j j varanss ja σ jk on arvopapereden j ja k välnen kovaranss 1. Korvaamalla summat keskarvolla saadaan portfolon varanssks (Elton & Gruber ): 1 j Kovaranss vodaan myös standardoda korrelaatokertomeks σ = ρ σ σ ρ = j j j j σ σ j σ

10 6 1 2 N 1 (3) σ P = σ + σ jk 2 N N Kaavasta (3) vodaan päätellä että yksttästen arvopapereden varanssen osuus portfolon varansssta lähestyy nollaa kun N kasvaa suureks. Nän ollen epäsystemaattnen rsk on hajautettavssa pos. Tästä johtuen sjottaja vo penentää kohtaamaansa kokonasrskä hajauttamalla sjotuksensa portfoloon yksttästen arvopapereden sjaan lman että sjotuksen odotettu tuotto laskee. 2 Kovaransstermen osuus kaavassa (3) lähestyy kutenkn arvopapereden välstä keskmäärästä kovaranssa kun N kasvaa suureks. Nän ollen systemaattsta rskä jonka kovaransstermt aheuttavat e voda hajauttamalla elmnoda. Anoastaan nssä tapauksssa että kakk yksttäset arvopapert ovat tosstaan täysn rppumattoma ( ρ = 0) ta täydellsest negatvsest korrelotuneta ( ρ = 1) vodaan j koko portfolon rsk postaa hajauttamalla. Todellsuudessa markknolla arvopapereden välset kovaransst ovat yleensä postvsa. (Elton & Gruber ) Markowtzn (1952) teorasta seuraa myös se että täydellsest hajautetun portfolon tuottoa on mahdotonta enää kasvattaa lman että sjottaja kasvattaa portfolon rskä. j Keskarvo-varanssteoran mukaan sjottajen tuls valta osakketa jolla on suurn tuottorsk -suhde ja yhdstellä nämä tehokkaks portfoloks jossa rsk mnmotuu jokasella annetulla odotetulla tuottotasolla ta vastakkasest tuotto maksmotuu jokasella rsktasolla. (Meggnson ) Nän ollen sjottaja prefero kahden portfolon tapauksessa portfolota A suhteessa B:hen jos seuraava keskarvo-varanss krteer toteutuu (Cuthbertson ): (4) E ( R ) > E ( R ) ja var ( R) var ( R) A B A B ta E ( R ) E ( R ) ja var ( R ) < var ( R ) A B A B jossa E A (R) on portfolon A odotettu tuotto E B (R) on portfolon B odotettu tuotto var ( R) on portfolon A varanss ja var ( R) on portfolon B varanss. Portfolot jotka täyttävät B A 2 Kokonasrskä vodaan penentää van jos yksttästen arvopapereden tuotot evät ole täydellsest postvsest korrelotuneta (korrelaatokerron 1) (Markowtz 1952).

11 7 kysesen keskarvo-varanss krteern sanotaan olevan tehokkata portfolota jotka tarjoavat sjottajlle parhaan mahdollsen kombnaaton rskn ja tuoton välllä (Cuthbertson ). Kuvossa 1 on kuvattu rskllsen portfolon valntaa graafsest. Jokanen rskllnen portfolo joka on konveksn alueen CBA ssällä on mahdollnen valnta sjottajalle. Portfolot jotka sjatsevat hyperbelllä CBA ovat nn kutsuttuja mnmvaranssportfolota jotka vodaan ratkasta knnttämällä portfolon tuotto ja mnmomalla varanss tämän jälkeen (ks. Ingersoll ). Käyrä BC domno kutenkn käyrää AB koska ensks mantulla käyrällä on korkeamp odotettu tuotto jokasella annetulla rsktasolla. Tätä käyrää BC kutsutaan tehokkaaks rntamaks jolla sjatsevat portfolot jotka ovat keskarvo-varanss - tehokkata. Ratonaalnen sjottaja valtsee yhden nstä porfolosta jotka sjatsevat kysesellä käyrällä. Kuvosta 1 selvää että kakk keskarvo-varanss -tehokkaat portfolot ovat mnmvaranssporfolota mutta sama e päde tosnpän. Rskä erttän paljon karttava sjottaja valtsee porfolon B kun taas rskä enemmän setävä sjottaja valtsee portfolon joka on lähempänä C:tä. Tehokas rskllsten portfoloden joukko koostuu sten nstä portfolosta jotka sjatsevat globaaln mnmvaranssportfolon B ja maksmtuottoportfolon välllä C. (Cuthbertson ; Elton & Gruber ; Meggnson ) Odotettu tuotto E(R P ) C B A Rsk σ 2 (R p ) KUVIO 1 Tehokas rntama (Cuthbertson ).

12 8 2.2 Portfoloseparaatoteoreema Markowtzn (1952) keskarvo-varanssanalyysn tarkastelu kesktty pelkästään rskllsen portfolon muodostamseen. Tobn (1958a) laajens tutkmuksessaan malln lsäämällä shen myös rskttömän sjotuskohteen. Nän ollen sjottaja tekee päätöksen myös stä kunka hän sjottaa varansa rskttömän ja rskllsen sjotuskohteen välllä. Tähän päätökseen vakuttavat myös ykslön preferensst. Tobnn teoran lopputulos on nn kutsuttu portfoloseparaatoteoreema jonka mukaan yksttäsen sjottajan valntaongelma rajottuu kahteen portfoloon: rskttömään rahamarkknasjotukseen ja rskllseen portfoloon joka on koostumukseltaan kaklla sjottajlla samanlanen. Oletetaan seuraava portfolonvalntaongelma jossa ykslö vo sjottaa yhteen rskttömään ja useaan rskllseen sjotuskohteeseen. Sjottaja maksmo tuoton keskarvon ja varanssn lneaarsta kombnaatota jossa keskarvolla on postvnen ja varansslla negatvnen pano. Tuoton ja rskn kombnaato on paras portfolossa joka jakautuu rskllsten arvopapereden kesken vektorn α osottamalla tavalla. Maksmonttehtävä ja sen ratkasu ovat seuraavat t (Cambell & Vcera ): (5) max α t ( Et R t R ft 1ι α + + ) 1 t α t 2 t α t k 1 α t = t t t+ 1 f t+ 1 (6) ( E R R ι). k 1 jossa vektor α ssältää rskllsten arvopapereden optmaalset portfolo-osuudet E t t R t+1 on vektor rskllsten arvopapereden ehdollssta tuottojen odotusarvosta (N kappaletta) jotka realsotuvat hetkellä t+1 ja jotka perustuvat olemassa olevaan nformaatoon hetkellä t. 1 on rskttömän sjotuskohteen tuotto hetkellä t+1 joka tedetään hetkellä t. Vektor (E t R t+1 R ft+1 ι ) kuvaa portfolon rskpreemota joka merktsee stä ylmäärästä tuottovaatmusta jonka sjottajat vaatvat rskllsn arvopaperehn sjottamsesta rskttömän sjotuksen R f t+ sjaan. ι term tarkottaa ykskkövektora. on rskllsten arvopapereden tuottojen t

13 9 varanss-kovaranss -matrs ja Portfolon tuoton varanss on t 1 on varanss-kovaranss -matrsn kääntesmatrs. t α α. t t Kaavan (6) mukaan sjottajan preferensst vakuttavat ykslön sjotuspäätökseen ss van skalaartermn 1/k kautta joka kuvastaa sjottajan rsknsetokykyä. Nän ollen sjottajat eroavat tosstaan rskllseen portfoloon sjotetun varallsuuden määrän mukaan mutta portfolon koostumus on kaklla sjottajlla sama. Kun k on suuremp kun yks sjottaja on rsknkahtaja jollon hän sjottaa enemmän rskttömään sjotuskohteeseen ja vähemmän kakkn rskllsn arvopaperehn. Rskneutraalella sjottajlla k on tasan yks ja rsknottajlla penemp kun yks. Sjottaja e kutenkaan muuta rskllsen portfolonsa tr t+ 1 f t+ 1 1 suhteellsa sjotusosuuksa jotka määrää vektor ( E R ι). (Cambell & Vcera ) t Keskarvo-varanssanalyysn keskesntä tulosta vodaan havannollstaa myös graafsest. Kuvossa 2 käyrä kuvaa tehokasta rntamaa el kakka ntä odotetun tuoton ja rskn (keskhajonnan) tehokkata yhdstelmä jotka vodaan saavuttaa yhdstelemällä rskllsä arvopapereta. Rsktön sjotuskohde R f joka on lkvd rahamarkknasjotus on tuotoltaan penn mutta täysn rsktön kun kyseessä on yhden perodn mttanen sjotus. Kun malln lsätään kysenen rsktön sjotuskohde nn sjottajen on mahdollsta antaa lanaks rahaa rskttömällä korolla. Tehokkaden tuotto-rsk -yhdstelmen joukoks tulee nyt suora rskttömän sjotuskohteen ja rskllsen tangenttportfolon S välllä. Tätä keskarvo-varanss -tehokasta rntamaa kutsutaan arvopapermarkknasuoraks (Captal market lne CML) jossa sjottajlla on mahdollsuus saavuttaa parempa rsk-tuotto yhdstelmä kun sjottamalla pelkästään rskllsn portfolohn. Sjottajan e kannata nvestoda esmerkks portfoloon B koska sjottamalla portfoloon B sjottaja vo saavuttaa korkeamman tuoton samalla rsktasolla. Arvopapermarkknasuora osottaa että rskn ja tuoton välllä on lneaarnen suhde. (Elton & Gruber ; Meggnson ) Jos sjottajat vovat myös ottaa lanaa samalla rskttömällä korolla nn mahdollsten portfoloden joukko laajenee suorana tangenttportfolosta ylöspän okealle. Sjottajat vovat tällön ottaa lanaa rskttömällä korolla sjottaakseen portfoloon jonka rsk on suuremp kun tangenttportfolon (kohta D). Tässäkään tapauksessa sjottajan e kannata nvestoda portfoloon D koska sjottamalla portfoloon D sjottaja saavuttaa korkeamman tuoton

14 10 samalla rsktasolla. Kohta S jossa arvopapermarkknasuora on tangentt rskllstä portfolosta koostuvan tehokkaan rntaman kanssa on nän ollen paras yhdstelmä rskllsä arvopapereta. 3 Kakk sjottajat jotka välttävät van portfolon tuoton keskarvosta ja varansssta (ta keskhajonnasta) sjottavat samaan rskllseen tangenttportfoloon. Koska ykslöden odotuksen ja näkemyksen keskarvosta ja varanssesta oletetaan olevan homogeensa sjottajat ptävät samassa suhteessa rskllsä arvopapereta kun tangenttportfolon panot ovat. Nän ollen rskllsen portfolon koostumus on kaklla sjottajlla sama ekä shen vakuta ykslön preferensst ta ykskään sjottajan omnasuus. 4 (Elton & Gruber ; Meggnson ) Sjottajen preferensst vakuttavat van shen kunka he jakavat sjotuksensa rskttömän sjotuskohteen ja rskllsen portfolon S välllä. Jos sjottaja on konservatvnen rskä paljon karttava hän sjottaa suuremman osan varostaan rskttömään sjotuskohteeseen ja van vähän rskllseen portfoloon (kohta A). Maltllnen sjottaja kasvattaa sjotustaan srtyen arvopapermarkknasuoralla ylöspän okealle (kohta B). Aggressvnen rskä paljon setävä sjottaja puolestaan lanaa rskttömällä korolla ja lsää varallsuudestaan optmaalseen rskllseen portfoloon S sjotettavaa osuutta (kohta D). (Elton & Gruber ; Meggnson ) 3 Jos markknolla on olemassa rsktön sjotuskohde nn portfolo S tarjoaa sllon korkemman odotetun rskpreemon yhtä rskykskköä (keskhajontaa) koht. Tosn sanoen kohdassa S Sharpen suhdeluku ( E ( R ) R ) / σ ( R ) maksmotuu jollon portfolon S tuotto on paras mahdollnen suhteessa p f p rsknsä verrattuna muhn mahdollsn rskllsn portfolohn tehokkaalla rntamalla. (Brealey & Myers ) 4 Tässä tarkastelussa e ole otettu huomoon lyhyeks myyntä (short sellng) jollon arvopapereden panot vovat olla myös negatvsa. Lyhyeks myynt tarkottaa stä että sjottaja vo myydä mnkä tahansa arvopapern vakka hän e omsta stä tse ja nvestoda hankkmansa varat haluamaansa sjotuskohteeseen. Tämä tulos on kutenkn ylestettävssä myös snä tapauksessa jos lyhyeks myynt sallttasn. (Elton & Gruber )

15 11 Odotettu tuotto E(R P ) D CML B S D A B R f Rsk σ(r p ) KUVIO 2 Arvopapermarkknasuora (Meggnson ). 2.3 CAP -mall Tobnn (1958a) esttämä portfoloseparaatoteoreema todst sen että kakken ratonaalsten sjottajen tuls ptää hallussaan samaa rskllstä portfolota. Summat jota kyseseen portfoloon sjotetaan vovat vahdella nvestojen kesken mutta rskllsen portfolon koostumus ja sten myös yksttästen rskllsten arvopapereden panojen sjottajen portfolossa tuls olla kaklla sama. Nän ollen sjottajen nvestontvalnnat rajottuvat kahteen sjotussalkkuun: rahamarkknasalkku sjottaa varat rskttömään sjotuskohteeseen ja tonen salkku sjottaa varat rskllseen tangenttportfoloon. Anoa asa joka vahtelee on se osuus joka sjotetaan rskllseen portfoloon ja mkä rskttömään sjotuskohteeseen. (Tobn 1958a.) Keskarvo-varanssanalyys e kutenkaan anna vastausta shen mstä arvopaperesta optmaalnen tangenttportfolo koostuu ja mtkä ovat näden arvopapereden panot kysesessä portfolossa.

16 12 Sharpe (1964) estt ensmmäsenä 5 teoran Captal Asset Prcng -mallsta (CAP -mall) joka osottaa että kuvossa 2 kuvattu tangenttportfolo on tse asassa markknaportfolo joka ssältää kakk rskllset sjotuskohteet. CAP -mall pohjautuu hyvn ptkält keskarvovaranssanalyysn tuloksn. Suurn ero näden perusmallen välllä on se että keskarvovaranssanalyysssä sjottaja maksmo suoraan portfolon tuotto-rsk -suhdetta kun puolestaan CAP -mallssa sjottaja maksmo varallsuudesta saatavaa hyötyään johon portfolon tuotto vakuttaa postvsest ja rsk negatvsest. 6 Mtä penemp sjottajan rsknsetokyky on stä enemmän tuottoon lttyvä epävarmuus vähentää sjottajan hyötyä. Kuten keskarvo-varanssanalyysssä myös CAP -malln mukaan rskllsen salkun valnta rppuu pelkästään ykslön näkemyksstä objektvssta mttaresta el arvopapereden odotetusta tuotosta varanssesta ja kovaranssesta (Cuthbertson ). Vakka CAP -mall kästtelee enemmänkn arvopapereden hnnottelua kun optmaalsta portfolonvalntaa nn se johtaa samanlaseen portfoloseparaatoteoreemaan kun edellä on estetty. Ennen kun tarkastellaan CAP -malln portfolonvalntateoran kannalta keskesmpä tuloksa on syytä tarkastella teoran taustalla oleva lukusa rajottava ja osttan epärealstsa oletuksa (Copeland ; Elton & Gruber ): 1. Sjottajat ovat rsknkarttaja ja he maksmovat odotettua hyötyään joka on suoraan verrannollnen hedän varallsuutensa tasoon sjotusperodn lopussa 2. Markknolla e ole epätäydellsyyksä kuten transaktokustannuksa ja veroja 3. Kakk sjotuskohteet ovat myytävssä ja ostettavssa markknolta (mukaan luken nhmllnen pääoma) ja kakk sjotuskohteet vodaan jakaa äärettömän penks erks 4. Markknolla valltsee täydellnen klpalu joten yksttänen sjottaja e vo vakuttaa arvopapereden hntohn 5. Informaato on lmasta ja samanakasest kakken sjottajen saatavlla 6. Lyhyeks myynt on sallttua 7. Sjottaja vo antaa velaks rahaa ta ottaa lanaa rskttömällä korolla rajottamattoma määrä 5 Myös muun muassa Lntner (1965) ja Mossn (1966) ovat kehttäneet CAP -malln teoraa. 6 2 U U Ykslön hyötyfunkto on muotoa U ( E( R ) σ ) jossa > 0 < 0. Hyötyfunkto U on P P E( R ) 2 P σ P lsäks konkaav jollon sjottajat ovat rsknkarttaja. (Elton & Gruber ; Ingersoll )

17 13 8. Sjottajat tekevät nvestontpäätökset pelkästään portfolon odotetun tuoton ja varanssn (ta keskhajonnan) perusteella 9. Sjottajen odotukset arvopapereden tuotosta varanssesta ja kovaranssesta ovat yhdelle perodlle homogeenset. 10. Arvopapereden tuotot ovat normaalst jakautuneta CAP -malln oletusten taka teora e välttämättä kuvaa todellsuudessa kovnkaan hyvn kottalouksen sjotuskäyttäytymstä. Tulevssa luvussa kästtelemme ptkän akaväln portfolonvalntateorota ja huomaamme että monet nästä oletukssta ovat kestämättömä. Ptkän akaväln portfolonvalntateorossa sjotushorsontt on usean perodn mttanen ja se vakuttaa teorassa oleellsest sjottajen portfoloden koostumukseen. Staattsssa mallessa sjottajan elnkaareen perustuva portfolonvalntaongelma vo tulla kysymykseen van jos demografoden (esmerkks kä ja kohortt) annetaan vakuttaa muun muassa rsknsetokykyä mttaavn parametrehn (Andersson 2001). Koska kakk sjottajat maksmovat sjotusperodn lopun varallsuudestaan saamaansa hyötyä nn CAP -mall on mplsttsest yhden perodn mall (Copeland ). CAP - mallssa sjottajat maksmovat hyötyään seuraavalla nvestontrajotteella (Sharpe 1991): (7) X = 1 k jossa X k osottaa stä osuutta sjottajan k portfolosta joka on sjotettu arvopapern. Tämä tarkottaa stä että portfoloon kuuluven arvopapereden suhteellsten panojen on summauduttava ykköseks. Malln oletuksen mukaan sjotukset vovat olla sekä postvsa että negatvsa el lyhyeks myynt on sallttua. 7 CAP -mallssa sjottaja valtsee portfolon joka maksmo hänen hyötynsä. 8 Hyödyn maksmomseks yksttästen arvopapereden rajahyötyjen on oltava yhtä suura sllä muuten hyötyä votasn lsätä nvestontrajotetta rkkomatta (Sharpe 1991). 7 Tämä e ole kutenkaan välttämätön ehto koska CAP -malln mukaan kakk sjottajat nvestovat markknatasapanossa optmaalseen markknaportfoloon. Koska tasapanossa e ole lyhyeks myyntä yhdestäkään arvopapersta sllon se e vakuta myöskään markknoden tasapanotlaan. (Elton & Gruber ) 8 Ks. esm. Sharpe (1991) tarkempaa sjottajan hyödynmaksmonttehtävän analysonta varten.

18 14 Keskarvo-varanssanalyysn mukaan kakk sjottajat ptävät hallussaan samaa rskllstä portfolota jos hedän odotuksensa ovat homogeensa. Oletetaan sen lsäks että markknat ovat tasapanottuneet jollon kakk talouden arvopapert ovat sjottajen hallussa. Markknoden ollessa tasapanossa yhdestäkään arvopapersta e vo olla ylkysyntää ta tarjontaa jollon jokanen yksttänen arvopaper on yhtä knnostava sjotuskohde kaklle sjottajlle. Markknat evät kutenkaan tasapanotu ennen kun tangenttportfolon panot ovat nden markkna-arvojen mukaset. Sten markknoden ollessa tasapanossa tangenttportfolossa arvopapereden panojen on oltava täsmälleen samat kun mtä ne edustavat koko markknolla. (Copeland ) Tasapanossa optmaalnen rskllnen portfolo on sten markknaportfolo joka koostuu kaksta markknolla olevsta arvopaperesta joden panot X määräytyvät nden suhteellsten markkna-arvojen mukaan (Copeland ): (8) X V = = N V = 1 yksttäsen arvopapern markkna - arvo kakken arvopapereden markkna - arvo Jos esmerkks sjottajalla ols nformaatota (jota toslla e ole) arvopaperesta jotka ovat alhnnoteltuja markknolla hän todennäkösest kasvattas näden osakkeden panoa portfolossaan. Koska tämä e ole täydellsen klpalun markknolla mahdollsta nn kenenkään e ole syytä ptää koostumukseltaan erlasta portfolota kun mulla sjottajlla. Tämän vuoks markknaportfolo on kaklle sjottajlle optmaalnen rskllnen portfolo jollon rskllsen portfolon koostumus on samanlanen kaklla sjottajlla. 9 Myers ) (Brealey & Annettujen oletusten mukaan CAP -mall johtaa ss lopulta samanlaseen lopputulokseen kun kuvossa 2 on estetty. Nyt tangenttportfolo S on markknaportfolo joka ssältää kakk arvopapert ja se on sten täydellsest hajautettu portfolo (tällön systemaattnen rsk on sama kun markknaportfolon rsk). Jos sjottajen odotukset ovat homogeensä nn kakk kohtaavat saman tehokkaan rntaman joka on kuvossa 2 estetty arvopapermarkknasuora. 9 Jos markknaportfolon kokonasarvosta 5 prosentta on osakkeessa A ja 10 prosentta osakkeessa B sllon kakk yksttäset sjottajat ptävät 5 prosentta rskllsestä portfolostaan osakkeessa A ja 10 prosentta osakkeessa B (Cuthbertson ).

19 15 Tästä vomme päätellä että markknaportfolo sjatsee myös tehokkaalla rntamalla ja mkä tahansa rskttömän sjotuskohteen ja markknaportfolon yhdstelmä on tehokas portfolo. Kakk tehokkaat ja sten hyödyn maksmovat portfolot ovat sten kahden salkun yhdstelmä. Van kokonasportfolon rskllsen osan koko erottaa sjottajat tosstaan. (Elton & Gruber )

20 16 3 PITKÄN AIKAVÄLIN PORTFOLIONVALINTATEORIAT Ptkän akaväln portfolonvalntateorat pohjautuvat shen että nssä sjotushorsontt on usean perodn mttanen. Varhasmpa teorota än ja varallsuuden tason yhteydestä on nn sanottu elnkaarhypotees. Kottalouksen taloudellnen asema rppuu kutenkn säästöjen tason lsäks myös stä kunka ne on sjotettu. Elnkaarhypotees e seltä tätä än ja varallsuuden rakenteen yhteyttä ekä sten ole käyttökelponen sellasenaan arvotaessa hmsten sjotuskäyttäytymstä. Perntenen ptkän akaväln staattnen portfolonvalntamall tuottaa useden rajottaven oletusten mukasessa tlanteessa samanlasen lopputuloksen kun edellä estetyt lyhyen akaväln mallt. Osttan epärealststen oletusten vuoks malla on kutenkn krtsotu paljon. Lsäks ammattmasten sjotusneuvojen suostukset evät vastaa usenkaan staattsten mallen lopputuloksa vaan hedän neuvojensa mukaan portfolon koostumuksen tuls vahdella muun muassa hmsen än mukaan. Vme vuosna tutkjat ovat kehttäneet ptkän akaväln portfolonvalntateoraa modernmmaks. Sjottajen varallsuuden koostumuksen ja shen vakuttaven tekjöden tutkmus onkn perustunut vme vuosna ptkän akaväln dynaamsn portfolonvalntateorohn. 3.1 Elnkaarhypotees Yks varhasmpa ja tunnetumpa ykslön än sekä varallsuuden kerääntymstä ja kulutuksen yhteyttä kuvaava teorota on elnkaarhypotees (Brumberg & Modglan ; Ando & Modglan 1963). Teorassa oletetaan että äärellsen ptkään eläven kuluttajen päätöksentekohorsontt on usean perodn mttanen. Elnkaarhypoteesn mukaan ykslön varallsuuden taso rppuu hänen ästään mutta kuluttaja pyrk varallsuuden tasosta huolmatta ptämään kulutuksensa suhteellsen vakaana elnkaarensa ajan. Kuluttaja saa mallssa hyötynsä hänen kokonaskulutuksestaan joka koostuu tämän hetksestä ja tuleven peroden kulutuksesta (Branson ): (9) U = U ( C C C C C... C ) T

Kuluttajahintojen muutokset

Kuluttajahintojen muutokset Kuluttajahntojen muutokset Samu Kurr, ekonomst, rahapoltkka- ja tutkmusosasto Tutkmuksen tausta ja tavotteet Tavaroden ja palveluden hnnat evät muutu jatkuvast, vaan ovat ana jossan määrn jäykkä lyhyellä

Lisätiedot

Tchebycheff-menetelmä ja STEM

Tchebycheff-menetelmä ja STEM Tchebycheff-menetelmä ja STEM Optmontopn semnaar - Kevät 2000 / 1 1. Johdanto Tchebycheff- ja STEM-menetelmät ovat vuorovakuttesa menetelmä evät perustu arvofunkton käyttämseen pyrkvät shen, että vahtoehdot

Lisätiedot

FYSA220/2 (FYS222/2) VALON POLARISAATIO

FYSA220/2 (FYS222/2) VALON POLARISAATIO FYSA220/2 (FYS222/2) VALON POLARSAATO Työssä tutktaan valoaallon tulotason suuntasen ja stä vastaan kohtsuoran komponentn hejastumsta lasn pnnasta. Havannosta lasketaan Brewstern lan perusteella lasn tatekerron

Lisätiedot

Jaetut resurssit. Tosiaikajärjestelmät Luento 5: Resurssien hallinta ja prioriteetit. Mitä voi mennä pieleen? Resurssikilpailu ja estyminen

Jaetut resurssit. Tosiaikajärjestelmät Luento 5: Resurssien hallinta ja prioriteetit. Mitä voi mennä pieleen? Resurssikilpailu ja estyminen Tosakajärjestelmät Luento : Resurssen hallnta ja prorteett Tna Nklander Jaetut resursst Useat tapahtumat jakavat ohjelma-/lattesto-olota, jossa kesknänen possulkemnen on välttämätöntä. Ratkasuja: Ajonakanen

Lisätiedot

A250A0100 Finanssi-investoinnit Harjoitukset 24.03.15

A250A0100 Finanssi-investoinnit Harjoitukset 24.03.15 A50A000 Fnanss-nvestonnt Hajotukset 4.03.5 ehtävä. akknapotolon keskhajonta on 9 %. Laske alla annettujen osakkeden ja makknapotolon kovaanssen peusteella osakkeden betat. Osake Kovaanss A 40 B 340 C 60

Lisätiedot

Tietojen laskentahetki λ α per ,15 0,18 per ,15 0,18 per tai myöhempi 0,20 0,18

Tietojen laskentahetki λ α per ,15 0,18 per ,15 0,18 per tai myöhempi 0,20 0,18 SU/Vakuutusmatemaattnen ykskkö 6.3.07 (6) Rahastoonsrtovelvotteeseen ja perustekorkoon lttyvät laskentakaavat Soveltamnen. Rahastosrtovelvote RSV. Täydennyskerron b 6 Nätä laskentakaavoja sovelletaan täydennyskertomen,

Lisätiedot

4. MARKKINOIDEN TASAPAINOTTUMINEN 4.1. Tasapainoperiaate Yritysten ja kuluttajien välinen tasapaino

4. MARKKINOIDEN TASAPAINOTTUMINEN 4.1. Tasapainoperiaate Yritysten ja kuluttajien välinen tasapaino 4. MARKKINOIDEN TASAPAINOTTUMINEN 4.. Tasapanoperaate 4... Yrtysten ja kuluttajen välnen tasapano Näkymätön käs muodostuu kahdesta vakutuksesta: ) Yrtysten voton maksmont johtaa ne tuottamaan ntä hyödykketä,

Lisätiedot

JOHDANNAISTEN KÄYTTÖ JOUKKOVELKAKIRJALAINASALKUN RISKIENHALLINNASSA: empiirinen tutkimus kotimaisista pitkän koron rahastoista vuosilta 2001 2005.

JOHDANNAISTEN KÄYTTÖ JOUKKOVELKAKIRJALAINASALKUN RISKIENHALLINNASSA: empiirinen tutkimus kotimaisista pitkän koron rahastoista vuosilta 2001 2005. TAMPEREEN YLIOPISTO Talousteteden latos JOHDANNAISTEN KÄYTTÖ JOUKKOVELKAKIRJALAINASALKUN RISKIENHALLINNASSA: emprnen tutkmus kotmassta ptkän koron rahastosta vuoslta 2001 2005. Kansantaloustede Pro gradu

Lisätiedot

Lohkoasetelmat. Lohkoasetelmat. Lohkoasetelmat: Mitä opimme? Lohkoasetelmat. Lohkoasetelmat. Satunnaistettu täydellinen lohkoasetelma 1/4

Lohkoasetelmat. Lohkoasetelmat. Lohkoasetelmat: Mitä opimme? Lohkoasetelmat. Lohkoasetelmat. Satunnaistettu täydellinen lohkoasetelma 1/4 TKK (c) lkka Melln (005) Koesuunnttelu TKK (c) lkka Melln (005) : Mtä opmme? Tarkastelemme tässä luvussa seuraavaa kysymystä: Mten varanssanalyysssa tutktaan yhden tekän vakutusta vastemuuttujaan, kun

Lisätiedot

JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO JULKISEN JA YKSITYISEN SEKTORIN VÄLISET PALKKAEROT SUOMESSA 2000-LUVULLA

JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO JULKISEN JA YKSITYISEN SEKTORIN VÄLISET PALKKAEROT SUOMESSA 2000-LUVULLA JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO Talousteteden tedekunta JULKISEN JA YKSITYISEN SEKTORIN VÄLISET PALKKAEROT SUOMESSA 2000-LUVULLA Kansantaloustede, Pro gradu- tutkelma Huhtkuu 2007 Laatja: Terh Maczulskj Ohjaaja:

Lisätiedot

Mat /Mat Matematiikan peruskurssi C3/KP3-I Harjoitus 2, esimerkkiratkaisut

Mat /Mat Matematiikan peruskurssi C3/KP3-I Harjoitus 2, esimerkkiratkaisut Harjotus, esmerkkratkasut K 1. Olkoon f : C C, f(z) z z. Tutk, mssä pstessä f on dervotuva. Ratkasu 1. Jotta funkto on dervotuva, on sen erotusosamäärän f(z + ) f(z) raja-arvon 0 oltava olemassa ja ss

Lisätiedot

Esitä koherentin QAM-ilmaisimen lohkokaavio, ja osoita matemaattisesti, että ilmaisimen lähdöstä saadaan kantataajuiset I- ja Q-signaalit ulos.

Esitä koherentin QAM-ilmaisimen lohkokaavio, ja osoita matemaattisesti, että ilmaisimen lähdöstä saadaan kantataajuiset I- ja Q-signaalit ulos. Sgnaalt ja järjestelmät Laskuharjotukset Svu /9. Ampltudmodulaato (AM) Spektranalysaattorlla mtattn 50 ohmn järjestelmässä ampltudmodulaattorn (AM) lähtöä, jollon havattn 3 mpulssa spektrssä taajuukslla

Lisätiedot

SU/Vakuutusmatemaattinen yksikkö (5)

SU/Vakuutusmatemaattinen yksikkö (5) SU/Vakuutusmatemaattnen ykskkö 0..06 (5) Rahastoonsrtovelvotteeseen ja perustekorkoon lttyvät laskentakaavat Soveltamnen. Rahastosrtovelvote RSV. Täydennyskerron b 6 Nätä laskentakaavoja sovelletaan täydennyskertomen,

Lisätiedot

SU/Vakuutusmatemaattinen yksikkö (6)

SU/Vakuutusmatemaattinen yksikkö (6) SU/Vakuutusmatemaattnen ykskkö 28.0.206 (6) Rahastoonsrtovelvotteeseen ja perustekorkoon lttyvät laskentakaavat Soveltamnen. Rahastosrtovelvote RSV 2. Täydennyskerron b 6 Nätä laskentakaavoja sovelletaan

Lisätiedot

Rahastoonsiirtovelvoitteeseen ja perustekorkoon liittyvät laskentakaavat. Soveltaminen

Rahastoonsiirtovelvoitteeseen ja perustekorkoon liittyvät laskentakaavat. Soveltaminen SU/Vakuutusmatemaattnen ykskkö 0.4.05 Rahastoonsrtovelvotteeseen ja perustekorkoon lttyvät laskentakaavat Soveltamnen. Rahastosrtovelvote RSV. Täydennyskerron b 6 Nätä perusteta sovelletaan täydennyskertomen,

Lisätiedot

1, x < 0 tai x > 2a.

1, x < 0 tai x > 2a. PHYS-C020 Kvanttmekankka Laskuharotus 2, vkko 45 Tarkastellaan ptkn x-aksela lkkuvaa hukkasta, onka tlafunkto on (x, t) Ae x e!t, mssä A, a! ovat reaalsa a postvsa vakota a) Määrtä vako A sten, että tlafunkto

Lisätiedot

3. Datan käsittely lyhyt katsaus

3. Datan käsittely lyhyt katsaus 3. Datan kästtel lht katsaus Havatsevan tähtteteen peruskurss I, luento..0 Thomas Hackman HTTPK I, kevät 0, luento 3 3. Datan kästtel Ssältö Tähtteteellsten havantojen vrheet Korrelaato Funkton sovtus

Lisätiedot

r i m i v i = L i = vakio, (2)

r i m i v i = L i = vakio, (2) 4 TÖRMÄYKSET ILMATYYNYPÖYDÄLLÄ 41 Erstetyn systeemn sälymslat Kun kaks kappaletta törmää tosnsa ne vuorovakuttavat keskenään tetyn ajan Vuorovakutuksella tarkotetaan stä että kappaleet vahtavat keskenään

Lisätiedot

Sähköstaattinen energia

Sähköstaattinen energia ähköstaattnen enega Potentaalenegan a potentaaln suhde on samanlanen kun Coulomn voman a sähkökentän suhde: ähkökenttä vakuttaa vaattuun kappaleeseen nn, että se kokee Coulomn voman, mutta sähkökenttä

Lisätiedot

Mat Tilastollinen päättely 7. harjoitukset / Tehtävät. Hypoteesien testaus. Avainsanat:

Mat Tilastollinen päättely 7. harjoitukset / Tehtävät. Hypoteesien testaus. Avainsanat: Mat-.36 Tlastollnen päättely 7. harjotukset Mat-.36 Tlastollnen päättely 7. harjotukset / Tehtävät Aheet: Avansanat: ypoteesen testaus. lajn vrhe,. lajn vrhe, arhaton test, ylkäysalue, ylkäysvrhe, ypotees,

Lisätiedot

Säilörehun korjuuajan vaikutus maitotilan talouteen -lyhyen aikavälin näkökulma

Säilörehun korjuuajan vaikutus maitotilan talouteen -lyhyen aikavälin näkökulma Sälörehun korjuuajan vakutus matotlan talouteen -lyhyen akaväln näkökulma Elna Vauhkonen Mastern tutkelma Helsngn Ylopsto Helsnk 13.5.2011 Tedekunta/Osasto Fakultet/Sekton Faculty Latos Insttuton Department

Lisätiedot

Geneettiset algoritmit ja luonnossa tapahtuva mikroevoluutio

Geneettiset algoritmit ja luonnossa tapahtuva mikroevoluutio Mat-2.108 Sovelletun matematkan erkostyöt Geneettset algortmt ja luonnossa tapahtuva mkroevoluuto 11.5.2005 Teknllnen korkeakoulu Systeemanalyysn laboratoro Oll Stenlund 47068f 1 Johdanto 3 2 Geneettset

Lisätiedot

COULOMBIN VOIMA JA SÄHKÖKENTTÄ, PISTEVARAUKSET, JATKUVAT VARAUSJAKAUMAT

COULOMBIN VOIMA JA SÄHKÖKENTTÄ, PISTEVARAUKSET, JATKUVAT VARAUSJAKAUMAT COUOMBIN VOIMA JA SÄHKÖKENTTÄ, PISTEVARAUKSET, JATKUVAT VARAUSJAKAUMAT SISÄTÖ: Coulombn voma Sähkökenttä Coulombn voman a sähkökentän laskemnen pstevaaukslle Jatkuvan vaauksen palottelemnen pstevaauksks

Lisätiedot

Soile Kulmala. Yksikkökohtaiset kalastuskiintiöt Selkämeren silakan kalastuksessa: bioekonominen analyysi

Soile Kulmala. Yksikkökohtaiset kalastuskiintiöt Selkämeren silakan kalastuksessa: bioekonominen analyysi Sole Kulmala Ykskkökohtaset kalastuskntöt Selkämeren slakan kalastuksessa: boekonomnen analyys Helsngn Ylopsto Talousteteen latos Selvtyksä nro 29 Ympärstöekonoma Helsnk 2005 Ssällys 1 Johdanto... 1 1.1

Lisätiedot

= m B splini esitys. B splini esitys. Tasaiset B splinit

= m B splini esitys. B splini esitys. Tasaiset B splinit .2. spln estys ézer estyksen yksnkertasuus ja voma ovat ettämättä sen suoson salasuus. Kakesta huolmatta slläkn on rajotuksensa, jotka ovat yltettävssä splnejä käyttäen. Lsäämällä kontrollpstetä saadaan

Lisätiedot

d L q i = V = mc 2 q i 1 γ = = p i. = V = γm q i + QA i. ṗ i + Q A i + Q da i t + j + V + Q φ

d L q i = V = mc 2 q i 1 γ = = p i. = V = γm q i + QA i. ṗ i + Q A i + Q da i t + j + V + Q φ TTKK/Fyskan latos FYS-1640 Klassnen mekankka syksy 2009 Laskuharjotus 5, 16102009 1 Ertysessä suhteellsuusteorassa Lagrangen funkto vodaan krjottaa muodossa v L = m 2 u t 1! ṙ 2 V (r) Osota, että tämä

Lisätiedot

Taustaa. Sekventiaalinen vaikutuskaavio. Päätöspuista ja vaikutuskaavioista. Esimerkki: Reaktoriongelma. Johdantoa sekventiaalikaavioon

Taustaa. Sekventiaalinen vaikutuskaavio. Päätöspuista ja vaikutuskaavioista. Esimerkki: Reaktoriongelma. Johdantoa sekventiaalikaavioon Taustaa Sekventaalnen vakutuskaavo Sekventaalnen päätöskaavo on 1995 ovalun ja Olven esttämä menetelmä päätösongelmen mallntamseen, fomulontn ja atkasemseen. Päätöspuun omnasuukssta Hyvää: Esttää eksplsttsest

Lisätiedot

3 Tilayhtälöiden numeerinen integrointi

3 Tilayhtälöiden numeerinen integrointi 3 Tlayhtälöden numeernen ntegront Alkuarvotehtävässä halutaan ratkasta lopputla xt f ) sten, että tlayhtälöt ẋ = fx,u, t) toteutuvat, kun alkutla x 0 on annettu Tlayhtälöden numeernen ntegront vodaan suorttaa

Lisätiedot

3D-mallintaminen konvergenttikuvilta

3D-mallintaminen konvergenttikuvilta Maa-57.270, Fotogammetan, kuvatulknnan ja kaukokatotuksen semnaa 3D-mallntamnen konvegenttkuvlta nna Evng, 58394J 2005 1 Ssällysluettelo Ssällysluettelo...2 1. Johdanto...3 2. Elasa tapoja kuvata kohdetta...3

Lisätiedot

Galerkin in menetelmä

Galerkin in menetelmä hum.9.3 Galerkn n menetelmä Galerknn menetelmän soveltamnen e ole rajottunut van ongelmn, jotka vodaan pukea sellaseen varaatomuotoon, joka on seurauksena funktonaaln mnmomsesta, kuten potentaalenergan

Lisätiedot

Raja-arvot. Osittaisderivaatat.

Raja-arvot. Osittaisderivaatat. 1 MAT-13440 LAAJA MATEMATIIKKA 4 Tamperee teklle ylopsto Rsto Slveoe Kevät 2010 Luku 3 Raja-arvot Osttasdervaatat 1 Fuktode raja-arvot Tarkastelemme fuktota f : A, jode määrttelyjoukko A T Muuttujat ovat

Lisätiedot

Kuntoilijan juoksumalli

Kuntoilijan juoksumalli Rakenteden Mekankka Vol. 42, Nro 2, 2009, s. 61 74 Kuntoljan juoksumall Matt A Ranta ja Lala Hosa Tvstelmä. Urhelututkmuksen melenknnon kohteena ovat yleensä huppu-urheljat. Tuokon yksnkertastettu juoksumall

Lisätiedot

TUTKIMUKSEN VAIKUTTAVUUDEN MITTAAMINEN MAANMITTAUSTIETEISSÄ. Juha Hyyppä, Anna Salonen

TUTKIMUKSEN VAIKUTTAVUUDEN MITTAAMINEN MAANMITTAUSTIETEISSÄ. Juha Hyyppä, Anna Salonen The Photogrammetrc Journal of Fnland, Vol. 22, No. 3, 2011 TUTKIMUKSEN VAIKUTTAVUUDEN MITTAAMINEN MAANMITTAUSTIETEISSÄ Juha Hyyppä, Anna Salonen Geodeettnen latos, Kaukokartotuksen ja fotogrammetran osasto

Lisätiedot

asettamia ehtoja veroluonteisesta suhdannetasausjärjestelmästä. komitean mietintöön. Esityksessä on muutama ratkaisevan heikko kohta.

asettamia ehtoja veroluonteisesta suhdannetasausjärjestelmästä. komitean mietintöön. Esityksessä on muutama ratkaisevan heikko kohta. -112- asettama ehtoja veroluontesesta suhdannetasausjärjestelmästä. Estetty hntasäännöstelyjärjestelmä perustuu nk. Wahlroosn komtean metntöön. Estyksessä on muutama ratkasevan hekko kohta. 15 :ssä todetaan:

Lisätiedot

Maanhintojen vikasietoisesta mallintamisesta

Maanhintojen vikasietoisesta mallintamisesta Maanmttaus 8:-2 (2006) 5 Maanmttaus 8:-2 (2006) Saapunut 0.8.2005 ja tarkstettuna.4.2006 Hyväksytty 30.6.2006 Maanhntojen vkasetosesta mallntamsesta Marko Hannonen Teknllnen korkeakoulu, Kntestöopn laboratoro

Lisätiedot

TYÖVÄENARKISTO SUOMEN SOSIALIDEMOKRAATTISEN PUOLUEEN PUOLUENEUVOSTON PÖYTÄKIRJA

TYÖVÄENARKISTO SUOMEN SOSIALIDEMOKRAATTISEN PUOLUEEN PUOLUENEUVOSTON PÖYTÄKIRJA TYÖVÄENARKSTO SUOMEN SOSALDEMOKRAATTSEN PUOLUEEN PUOLUENEUVOSTON PÖYTÄKRJA ) _ V 1973 RULLA 455 KUVANNUT r > ' V t K MONKKO OY 1994 a - ) - ;! kuljetus tämän seurauksena taas vähenee sekä rautateden pakallslkenteen

Lisätiedot

Paikkatietotyökalut Suomenlahden merenkulun riskiarvioinnissa

Paikkatietotyökalut Suomenlahden merenkulun riskiarvioinnissa Teknllnen korkeakoulu Lavalaboratoro Helsnk Unversty of Technology Shp Laboratory Espoo 2007 M-300 Tomm Arola Pakkatetotyökalut Suomenlahden merenkulun rskarvonnssa TEKNILLINEN KORKEAKOULU HELSINKI UNIVERSITY

Lisätiedot

AquaPro 3-10 11-18 19-26 27-34. Bedienungsanleitung Operating instructions Gebruiksaanwijzing Käyttöohje FIN. 046.01.00 Rev.0607

AquaPro 3-10 11-18 19-26 27-34. Bedienungsanleitung Operating instructions Gebruiksaanwijzing Käyttöohje FIN. 046.01.00 Rev.0607 046.01.00 Rev.0607 D GB NL FIN Bedenungsanletung Operatng nstructons Gebruksaanwjzng Käyttöohje 3-10 11-18 19-26 27-34 120 Automaattnen pyörvä laser kallstustomnnolla: Itsetasaus vaakasuorassa tasossa

Lisätiedot

Painokerroin-, epsilon-rajoitusehtoja hybridimenetelmät

Painokerroin-, epsilon-rajoitusehtoja hybridimenetelmät Panokerron-, epslon-rajotusehtoja hybrdmenetelmät Optmontopn semnaar - Kevät 000 / Estelmän ssältö Ylestä jälkkätespreferenssmenetelmstä Panokerronmenetelmä Epslon-rajotusehtomenetelmä Hybrdmenetelmä Esmerkkejä

Lisätiedot

Epälineaaristen pienimmän neliösumman tehtävien ratkaiseminen numeerisilla optimointimenetelmillä (valmiin työn esittely)

Epälineaaristen pienimmän neliösumman tehtävien ratkaiseminen numeerisilla optimointimenetelmillä (valmiin työn esittely) Epälneaarsten penmmän nelösumman tehtäven ratkasemnen numeerslla optmontmenetelmllä valmn työn esttely Lar Pelkola 9.9.014 Ohjaaja/valvoja: Prof. Harr Ehtamo yön saa tallentaa ja julkstaa Aalto-ylopston

Lisätiedot

AINEIDEN OMINAISUUKSIIN PERUSTUVA SEOSTEN LUOKITUS JA VAARAA OSOITTAVAT LAUSEKKEET

AINEIDEN OMINAISUUKSIIN PERUSTUVA SEOSTEN LUOKITUS JA VAARAA OSOITTAVAT LAUSEKKEET N:o 979 3731 te 2 AINEIDEN OMINAISUUKSIIN ERUSTUVA SEOSTEN UOKITUS JA VAARAA OSOITTAVAT AUSEKKEET JOHDANTO Vaarallsa aneta ssältävä seoksa luokteltaessa ja merkntöjä valttaessa aneden ptosuuksen perusteella

Lisätiedot

1 0 2 x 1 a. x 1 2x c b 2a c a. Alimmalta riviltä nähdään että yhtälöyhmällä on ratkaisu jos ja vain jos b 3a + c = 0.

1 0 2 x 1 a. x 1 2x c b 2a c a. Alimmalta riviltä nähdään että yhtälöyhmällä on ratkaisu jos ja vain jos b 3a + c = 0. BM20A5800 - Funktot, lneaaralgebra, vektort Tentt, 26.0.206. (a) Krjota yhtälöryhmä x + 2x 3 = a 2x + x 2 + 5x 3 = b x x 2 + x 3 = c matrsmuodossa Ax = b ja ratkase x snä erkostapauksessa kun b = 0. Mllä

Lisätiedot

A = B = T = Merkkijonon A osamerkkijono A[i..j]: n merkkiä pitkä merkkijono A:

A = B = T = Merkkijonon A osamerkkijono A[i..j]: n merkkiä pitkä merkkijono A: Merkkjonot (strngs) n merkkä ptkä merkkjono : T T T G T n = 18 kukn merkk [], mssä 0 < n, kuuluu aakkostoon Σ, jonka koko on Σ esm. bttjonot: Σ = {0,1} ja Σ = 2, DN: Σ = {,T,,G} ja Σ = 4 tetokoneen aakkosto

Lisätiedot

Asennus- ja käyttöohjeet. Videoterminaali 2600..

Asennus- ja käyttöohjeet. Videoterminaali 2600.. Asennus- ja käyttöohjeet Vdeotermnaal 2600.. Ssällysluettelo Latekuvaus...3 Asennus...4 Lassuojuksen rrottamnen...5 Käyttö...5 Normaal puhekäyttö...6 Kutsun vastaanotto... 6 Puheen suunnan ohjaus... 7

Lisätiedot

Hakemikaoen on liitettävä asiakirja. Jolla valitsijayhdistys on

Hakemikaoen on liitettävä asiakirja. Jolla valitsijayhdistys on 5 bdokaelbtojen Ttedstalallt tl Valt8lJ«yhdlstyks«a MlMdehon ta tmnmn valtuuttankma vaalltoo ManahM tul««hak««ohdokaalstan ottaaata ehdokaslstojan ybdatelayn va«8t«mn MlJHkyMntM (40) pävmm «nnen ennl MlntM

Lisätiedot

ffirls O/n/ O//n& Kukkasielu Anne Kostian: l"t i" meille puutarhuri, ihmisille. y,s' yrittäiä Anne Kostianin, joka ayaa kukkien ia Sielurkukan

ffirls O/n/ O//n& Kukkasielu Anne Kostian: lt i meille puutarhuri, ihmisille. y,s' yrittäiä Anne Kostianin, joka ayaa kukkien ia Sielurkukan Kukkaselu Anne Kostan: r ff,, I O/n/ O//n& Tapasmrne F puutarhur, yrttää Anne Kostann, joka ayaa kukken a Selurkukan * herkkää ssntä. Kukkaselunmellä hmsä auttana Kostan kertoo, mkä on kukken henknen l"t

Lisätiedot

VERKKO-OPPIMATERIAALIN LAATUKRITEERIT

VERKKO-OPPIMATERIAALIN LAATUKRITEERIT VERKKO-OPPIMATERIAALIN LAATUKRITEERIT Työryhmän raportt 16.12.2005 Monste 1/2006 Opetushalltus ja tekjät Tm Eja Högman ISBN 952-13-2718-9 (nd.) ISBN 952-13-2719-7 ISSN 1237-6590 Edta Prma Oy, Helsnk 2006

Lisätiedot

KANSANTALOUSTIETEEN PÄÄSYKOE : Mallivastaukset

KANSANTALOUSTIETEEN PÄÄSYKOE : Mallivastaukset KANSANTALOUSTIETEEN PÄÄSYKOE.6.016: Mallivastaukset Sivunumerot mallivastauksissa viittaavat pääsykoekirjan [Matti Pohjola, Taloustieteen oppikirja, 014] sivuihin. (1) (a) Julkisten menojen kerroin (suljetun

Lisätiedot

Mat Sovellettu todennäköisyyslaskenta B 8. harjoitukset / Ratkaisut Aiheet: Otos ja otosjakaumat Avainsanat:

Mat Sovellettu todennäköisyyslaskenta B 8. harjoitukset / Ratkaisut Aiheet: Otos ja otosjakaumat Avainsanat: Mat-1.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa Mat-1.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B / Ratkasut Aheet: Otos ja otosjakaumat Avasaat: Artmeette keskarvo, Beroull-jakauma, Beroull-koe, χ -jakauma, Frekvess, Frekvessjakauma,

Lisätiedot

Webbihaku /indeksointi

Webbihaku /indeksointi Tedonhakumenetelmät Helsngn ylopsto/ TKTL, k 2014 Webbhaku Tedonhakumenetelmät Hakuobott (cawle) Indeksoja Indekst Manosndekst Webbhaku /ndeksont Hakukone Hae 1 2 Hakuobott Robotn elämää Hakuobotn (cawle,

Lisätiedot

Sisällysluettelo Laitteen asennus Toiminnot Tekniset tiedot Asetukset Viestikoodit Huolto Takuu Turvallisuusohjeet Toiminnot

Sisällysluettelo Laitteen asennus Toiminnot Tekniset tiedot Asetukset Viestikoodit Huolto Takuu Turvallisuusohjeet Toiminnot DEWALT DW03201 Ssällysluettelo Latteen asennus - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2 Johdanto- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2 Yleskuva -

Lisätiedot

Turingin kone on kuin äärellinen automaatti, jolla on käytössään

Turingin kone on kuin äärellinen automaatti, jolla on käytössään 4 TUINGIN KONEET Ala Turg 1935 36 auha Koe vo srtää auha: T U I N G auhapää: ohjausykskkö: Turg koe o ku äärelle automaatt, jolla o käytössää auhapäätä vasemmalle ta okealle; se vo myös lukea ta krjottaa

Lisätiedot

Usean muuttujan funktioiden integraalilaskentaa

Usean muuttujan funktioiden integraalilaskentaa Usean muuttujan funktoden ntegraallaskentaa Pntantegraaln määrtelmä Yhden muuttujan tapaus (kertausta) Olkoon f() : [a, b] R jatkuva funkto Oletetaan tässä ksnkertasuuden vuoks, että f() Remann-ntegraal

Lisätiedot

Yleistä. Teräsrakenteiden liitokset. Liitos ja kiinnitys

Yleistä. Teräsrakenteiden liitokset. Liitos ja kiinnitys Ylestä Teäsakenteden ltokset (EC3-1-8, EC3-1-8-NA) Teäsakenteden lttämsessä tosnsa vodaan käyttää seuaava menetelmä: uuv-, ntt- ja nveltappltokset htsausltokset lmaltokset Ltos ja knntys Ltosta asttavan

Lisätiedot

Tilastollinen mekaniikka. Peruskäsitteitä Mikro- ja makrotilat Maxwell-Boltzmann jakauma Bose-Einstein jakauma Fermi-Dirac jakauma Jakaumafunktiot

Tilastollinen mekaniikka. Peruskäsitteitä Mikro- ja makrotilat Maxwell-Boltzmann jakauma Bose-Einstein jakauma Fermi-Dirac jakauma Jakaumafunktiot Tlastollnen mekankka Peruskästtetä Mkro- ja makrotlat Maxwell-Boltzmann jakauma Bose-Ensten jakauma Ferm-Drac jakauma Jakaumafunktot Tlastollnen mekankka Teora on stä vakuttavamp, mtä yksnkertasemmat ovat

Lisätiedot

Ilkka Mellin. Sovellettu todennäköisyyslasku: Kaavat ja taulukot

Ilkka Mellin. Sovellettu todennäköisyyslasku: Kaavat ja taulukot Mat-.09 Sovellettu todeäkösyyslasku Systeemaalyys laboratoro Teklle korkeakoulu SYKSY 00 Ilkka Mell Sovellettu todeäkösyyslasku: Kaavat ja taulukot f XY x X x X y Y ( x, y) exp XY ( XY ) XY XY X X Y Tomttaut

Lisätiedot

Jäykän kappaleen liike

Jäykän kappaleen liike aananta 9.9.014 1/17 Jäykän kappaleen lke Tähän ast tarkasteltu massapstemekankkaa : m, r, v Okeast fyskaalset systeemt ovat äärellsen kokosa, esm. jäykät kappaleet r r j = c j =vako, j elastset kappaleet

Lisätiedot

Kulutus. Kulutus. Antti Ripatti. Helsingin yliopisto, HECER, Suomen Pankki Antti Ripatti (HECER) Kulutus

Kulutus. Kulutus. Antti Ripatti. Helsingin yliopisto, HECER, Suomen Pankki Antti Ripatti (HECER) Kulutus Kulutus Antti Ripatti Helsingin yliopisto, HECER, Suomen Pankki 13.11.2013 Antti Ripatti (HECER) Kulutus 13.11.2013 1 / 11 Indifferenssikäyrät ja kuluttajan teoria Tarkastellaan edustavaa kotitaloutta.

Lisätiedot

ANTIBIOOTTIEN POISTO VEDESTÄ ADSORPTIOLLA

ANTIBIOOTTIEN POISTO VEDESTÄ ADSORPTIOLLA LAPPEENRANNAN TEKNILLINEN YLIOPISTO Teknllnen tedekunta Kemanteknkan koulutusohjelma Teknllsen keman laboratoro Kanddaatntyö ANTIBIOOTTIEN POISTO VEDESTÄ ADSORPTIOLLA Removal of antbots from water by adsorpton

Lisätiedot

MTTTP1 SELITYKSIÄ JA ESIMERKKEJÄ KAAVAKOKOELMAN KAAVOIHIN LIITTYEN

MTTTP1 SELITYKSIÄ JA ESIMERKKEJÄ KAAVAKOKOELMAN KAAVOIHIN LIITTYEN MTTTP SELITYKSIÄ JA ESIMERKKEJÄ KAAVAKOKOELMAN KAAVOIHIN LIITTYEN Aesto kaavoje () (3), (9) ja () esmerkkeh Lepakot pakallstavat hyötesä lähettämällä korkeataajusta äätä Ne pystyvät pakallstamaa hyöteset

Lisätiedot

Pyörimisliike. Haarto & Karhunen.

Pyörimisliike. Haarto & Karhunen. Pyörmslke Haarto & Karhunen www.turkuamk.f Pyörmslke Lttyy jäykän kappaleen pyörmseen akselnsa ympär Pyörmsenerga on pyörmsakseln A ympär pyörvän kappaleen osasten lke-energoden summa E r Ek mv mr mr www.turkuamk.f

Lisätiedot

DEE Polttokennot ja vetyteknologia

DEE Polttokennot ja vetyteknologia DEE-54020 Polttokennot ja vetyteknologa Polttokennon hävöt 1 Polttokennot ja vetyteknologa Rsto Mkkonen Polttokennon tyhjäkäyntjännte Teoreettnen tyhjäkäyntjännte E z g F Todellnen kennojännte rppuu er

Lisätiedot

SEKAELEMENTIT ABSOLUUTTISTEN SOLMUKOORDINAATTIEN MENETELMÄSSÄ

SEKAELEMENTIT ABSOLUUTTISTEN SOLMUKOORDINAATTIEN MENETELMÄSSÄ LAPPEENRANNAN TEKNILLINEN YLIOPISTO Teknllnen tedekunta / LUT School of Energy Systems LUT Kone Koneensuunnttelu Elas Altarrba SEKAELEMENTIT ABSOLUUTTISTEN SOLMUKOORDINAATTIEN MENETELMÄSSÄ Työn tarkastajat:

Lisätiedot

A. Huutokaupat ovat tärkeitä ainakin kolmesta syystä. 1. Valtava määrä taloudellisia transaktioita tapahtuu huutokauppojen välityksellä.

A. Huutokaupat ovat tärkeitä ainakin kolmesta syystä. 1. Valtava määrä taloudellisia transaktioita tapahtuu huutokauppojen välityksellä. HUUTOKAUPOISTA A. Huutokaupat ovat tärkeitä ainakin kolmesta syystä 1. Valtava määrä taloudellisia transaktioita tapahtuu huutokauppojen välityksellä. 2. Huutokauppapelejä voidaan käyttää taloustieteen

Lisätiedot

Kertomus Sos.-dem. Naisten Keskusliiton toiminnasta vuodelta 1964

Kertomus Sos.-dem. Naisten Keskusliiton toiminnasta vuodelta 1964 Lte n:o 2 ' 1 n Kertomus Sos.-dem. Nasten Keskuslton tomnnasta vuodelta 1964 m ; Tlasuudet Sos.-demo Nasten Keskuslton tärkemmstä tomntatapahtumsta manttakoon kunnallspävät, jotka pdettn Kuopossa helmkuun

Lisätiedot

KOKONAISRATKAISUT YHDESTÄ PAIKASTA

KOKONAISRATKAISUT YHDESTÄ PAIKASTA KOKONAISRATKAISUT YHDESTÄ PAIKASTA Monpuolset järjestelmät varastontn ja tuotantoon TUOTELUETTELO 2009 Kappale D Varasto- ja hyllystövältasot vältasot optmaalsta tlankäyttöä varten SSI SCHÄFER: n varasto-

Lisätiedot

Reaaliarvoinen funktio f : on differentioituva pisteessä x, jos f:lle on siinä voimassa kehitelmä. h h. eli. Silloin

Reaaliarvoinen funktio f : on differentioituva pisteessä x, jos f:lle on siinä voimassa kehitelmä. h h. eli. Silloin MAT-3440 LAAJA MATEMATIIKKA 4 Tampereen teknllnen ylopsto Rsto Slvennonen Kevät 00 4. Vektorfunkton dervaatta. Ketjusääntö.. Reaalarvosen funkton dervaatta Tässä luvussa estetään dervaattakäste ensn reaalarvoselle

Lisätiedot

Fysiikkaa työssä. fysiikan opiskelu yhteistyössä yritysten kanssa

Fysiikkaa työssä. fysiikan opiskelu yhteistyössä yritysten kanssa Fyskkaa työssä yskan opskelu yhtestyössä yrtysten kanssa Fyskkaa työssä yskan opskelu yhtestyössä yrtysten kanssa Annka Ampuja Suv Vanhatalo Hannele Levävaara 1 Käytännön kytkentöjä yskan opskeluun...

Lisätiedot

3 Kuluttajan valintateoria: työn tarjonta ja säästäminen ( Mankiw & Taylor, 2 nd ed, ch 21)

3 Kuluttajan valintateoria: työn tarjonta ja säästäminen ( Mankiw & Taylor, 2 nd ed, ch 21) 3 Kuluttajan valintateoria: työn tarjonta ja säästäminen ( Mankiw & Taylor, 2 nd ed, ch 21) 1. Työn tarjonta Kuluttajan valintateorian perusmalli soveltuu suoraan kotitalouksien työn tarjontapäätöksen

Lisätiedot

SUOMI LATAAMINEN LAITEPARI NÄYTTÖTILAT PUHELUT ILMOITUKSET AKTIVITEETTI UNITILA TAVOITTEET MUISTUTUKSET ÄÄNIKOMENNOT MUSIIKKI ETÄISYYSHÄLYTYS

SUOMI LATAAMINEN LAITEPARI NÄYTTÖTILAT PUHELUT ILMOITUKSET AKTIVITEETTI UNITILA TAVOITTEET MUISTUTUKSET ÄÄNIKOMENNOT MUSIIKKI ETÄISYYSHÄLYTYS SUOMI LATAAMINEN LAITEPARI NÄYTTÖTILAT PUHELUT ILMOITUKSET AKTIVITEETTI 06 07 11 12 13 14 UNITILA TAVOITTEET MUISTUTUKSET ÄÄNIKOMENNOT MUSIIKKI ETÄISYYSHÄLYTYS 15 16 17 18 19 19 YLEISKUVAUS VASEN panke

Lisätiedot

KÄYTTÖTURVALLISUUSTIEDOTE

KÄYTTÖTURVALLISUUSTIEDOTE Pvys: 10.01.2006 Verso: 5.1 Muutettu vmeks: 22.12.2005 Svu: 1/7 1. AINEEN TAI VALMISTEEN SEKÄ YHTIÖN TAI YRITYKSEN TUNNISTUSTIEDOT Tuotetedot - Kauppanm: MULTIMIX BASIS-BINDEMITTEL NKL (5L) 93162 - Kyttötarkotus:

Lisätiedot

T p = 0. λ n i T i B = Käytetään kohdan (i) identiteetin todistamiseen induktiotodistusta. : Oletetaan, että väite on totta, kun n = k.

T p = 0. λ n i T i B = Käytetään kohdan (i) identiteetin todistamiseen induktiotodistusta. : Oletetaan, että väite on totta, kun n = k. Olkoot A R n n ja T R n n sten, että on olemassa ndeks p N jolle T p = Tällästä matrsa kutsutaa nlpotentks Näytä, että () () () Olkoot Määrtä matrs B n (λi + A) n = (λi + T ) n = B = n mn n,p ( ) n λ n

Lisätiedot

KÄYTTÖTURVALLISUUSTIEDOTE

KÄYTTÖTURVALLISUUSTIEDOTE Pvys: 10.01.2006 Verso: 6.1 Muutettu vmeks: 22.12.2005 Svu: 1/7 1. AINEEN TAI VALMISTEEN SEKÄ YHTIÖN TAI YRITYKSEN TUNNISTUSTIEDOT Tuotetedot - Kauppanm: MULTIMIX-BASIS-PIGMENT MIX 853 BRILLANTBLAU MIX

Lisätiedot

PUTKIKELLON SUUNNITTELU 1 JOHDANTO 2 VÄRÄHTELEVÄN PALKIN TEORIAA. dm Q dx = (1) Matti A Ranta

PUTKIKELLON SUUNNITTELU 1 JOHDANTO 2 VÄRÄHTELEVÄN PALKIN TEORIAA. dm Q dx = (1) Matti A Ranta Matt A Aaltoylopsto Perusteteden korkeakoulu Matematkan ja systeemanalyysn latos PL 1100, 02015 Espoo matt.ranta@tkk.f 1 JOHDANTO Putkkellot kuuluvat lyömäsotnten ryhmään. Putkkellot koostuvat erptussta

Lisätiedot

W Hz. kohinageneraattori. H(f) W Hz. W Hz. ELEC-A7200 Signaalit ja järjestelmät Laskuharjoitukset. LASKUHARJOITUS 5 Sivu 1/7

W Hz. kohinageneraattori. H(f) W Hz. W Hz. ELEC-A7200 Signaalit ja järjestelmät Laskuharjoitukset. LASKUHARJOITUS 5 Sivu 1/7 ELEC-A700 LASKUHARJOIUS 5 Svu /7. Satunnassgnaaln x ( t ) keskarvo on V ja keskhajonta 4 V. Mttaukslla on todettu, että x ( t ) ja x ( t + τ ) ovat rppumattoma, kun τ 5µ s. Lsäks tedetään, että x ( t )

Lisätiedot

voittaa vastustus.. Puolueen kohdallahan on tilanne se, että me tarvitsemme näis

voittaa vastustus.. Puolueen kohdallahan on tilanne se, että me tarvitsemme näis l maassa sllä tavon, että Jälkjättösyys. Joka ntä uhkaa, tu- s tällä tavon torjutuks. Mnä luulen, että mellä on ahetta Jatkaa tällä lnjalla sekä krtkkämme että ehdotusten tekoa snä melessä, että me vomme

Lisätiedot

. g = 0,42g. Moolimassat ovat vastaavasti N 2 :lle 28, 02g/ mol ja typpiatomille puolet tästä 14, 01g/ mol.

. g = 0,42g. Moolimassat ovat vastaavasti N 2 :lle 28, 02g/ mol ja typpiatomille puolet tästä 14, 01g/ mol. LH-1 Kaasusälö ssältää 1, g typpeä 1800 K lämpötlassa Sälön tlavuus on 5,0 l Laske pane sälössä ottamalla huomoon, että tässä lämpötlassa 30 % typpmolekyylestä, on hajonnut atomeks Sovella Daltonn laka

Lisätiedot

Norjanmeri Norska havet. Suomi i Finland. Ruotsi Sverige. Norja Norge. Tanska Danmark. Itämeri Österjön. Liettua Litauen VENÄJÄ RYSSLAND.

Norjanmeri Norska havet. Suomi i Finland. Ruotsi Sverige. Norja Norge. Tanska Danmark. Itämeri Österjön. Liettua Litauen VENÄJÄ RYSSLAND. Barentsnmer Barents hav Islant Island Norjanmer Norska havet Euroopan unonn jäsenmaat ja lttymsvuodet Europeska unonens medlemsstater och anslutnngsår Atlantt Atlanten Portugal Portugal 1986 Espanja Spanen

Lisätiedot

Leikkijunan kunto toimiva ei-toimiva Työvuoro aamuvuoro päivävuoro iltavuoro

Leikkijunan kunto toimiva ei-toimiva Työvuoro aamuvuoro päivävuoro iltavuoro Lsätehtävä 1. Erään yrtyksen satunnasest valttujen työntekjöden possaolopäven määrät olvat vuonna 003: 5, 3, 1, 9, 0, 1, 3,, 19, 5, 19, 11,, 0, 4,, 1, 15, 4, 0,, 4, 3, 3, 8, 3, 9, 11, 19, 17, 14, 7 a)

Lisätiedot

Arvo (engl. value) = varmaan attribuutin tulemaan liittyvä arvo. Päätöksentekijä on riskipakoinen, jos hyötyfunktio on konkaavi. a(x) = U (x) U (x)

Arvo (engl. value) = varmaan attribuutin tulemaan liittyvä arvo. Päätöksentekijä on riskipakoinen, jos hyötyfunktio on konkaavi. a(x) = U (x) U (x) Arvo (engl. value) = varmaan attribuutin tulemaan liittyvä arvo. Hyöty (engl. utility) = arvo, jonka koemme riskitilanteessa eli, kun teemme päätöksiä epävarmuuden (todennäköisyyksien) vallitessa. Vrt.

Lisätiedot

SVT XXIX : 7. fmfre. 1916 Suomi - Finland

SVT XXIX : 7. fmfre. 1916 Suomi - Finland SVT XXIX : 7 0 kel 00 tekä 5 nmeke 6 rnnakkasn. fre 60 ulk. 0 sara fn 598 huom. 70 muu nmeketet. 650 svt ahealue 650 asasanat 650 tetov. 65 alue fmfre Eduskuntavaalt vuonna 96 Electons pour la dète en

Lisätiedot

YRITYSKOHTAISEN TEHOSTAMISTAVOITTEEN MÄÄRITTELY 1 YRITYSKOHTAISEN TEHOSTAMISPOTENTIAALIN MITTAAMINEN

YRITYSKOHTAISEN TEHOSTAMISTAVOITTEEN MÄÄRITTELY 1 YRITYSKOHTAISEN TEHOSTAMISPOTENTIAALIN MITTAAMINEN ENERGIAMARKKINAVIRASTO 1 Le 2 Säkön jakeluverkkoomnnan yryskoasen eosamsavoeen määrely YRITYSKOHTAISEN TEHOSTAMISTAVOITTEEN MÄÄRITTELY Asanosanen: Vaasan Säköverkko Oy Lyy pääökseen dnro 491/424/2007 Energamarkknavraso

Lisätiedot

LIITE 2. KÄSITELUETTELO

LIITE 2. KÄSITELUETTELO 222 LIITE 2. KÄSITELUETTELO Absoluttnen energa-astekko Adabaattnen palamslämpötla Adabaattnen prosess Aktvsuus Aktvsuuskerron Aktvaatoenerga Eksotermnen reakto Elektrod Elektrolyys Endotermnen reakto Entalpa

Lisätiedot

Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma

Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten Ratkaisuehdotelma Tehtävä 1 1. Etsi lukujen 4655 ja 12075 suurin yhteinen tekijä ja lausu se kyseisten lukujen lineaarikombinaationa ilman laskimen

Lisätiedot

M A ATA LO U S. III. MAANVILJELYS JA KARJANHOITO SUOMESSA VUONNA 1908. SUOMEN VIRALLINEN TILASTO. HELSINGISSA 1910.

M A ATA LO U S. III. MAANVILJELYS JA KARJANHOITO SUOMESSA VUONNA 1908. SUOMEN VIRALLINEN TILASTO. HELSINGISSA 1910. SUOMEN VIRALLINEN TILASTO. III. M A ATA LO U S.. MAANVILJELYS JA KARJANHOITO SUOMESSA VUONNA 908. HELSINGISSA 90. KEISARILLISEN SENAATIN KIRJAPAINOSSA. . K atsaus Suom en vrallsen m aataloustlaston kehtykseen.

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 10 1 Funktion monotonisuus Derivoituva funktio f on aidosti kasvava, jos sen derivaatta on positiivinen eli jos f (x) > 0. Funktio on aidosti vähenevä jos sen derivaatta

Lisätiedot

mukaisuudet nyt kuoppakorotuksilla oikaistaan«normaaleihin palkkamarkkinoihin siirryttäessä tällainen toimenpide Joka tapauksessa

mukaisuudet nyt kuoppakorotuksilla oikaistaan«normaaleihin palkkamarkkinoihin siirryttäessä tällainen toimenpide Joka tapauksessa 21 T mukasuudet nyt kuoppakorotukslla okastaan«normaalehn palkkamarkknohn srryttäessä tällanen tomenpde Joka tapauksessa ols suortettava. Mlle ryhmlle ja mten suurna okasut ols 1 1 l enssjasest tehtävä,

Lisätiedot

Yhdistä kodinkoneesi tulevaisuuteen. Pikaopas

Yhdistä kodinkoneesi tulevaisuuteen. Pikaopas Yhdstä kodnkonees tulevasuuteen. Pkaopas 1 Kots tulevasuus alkaa nyt! Henoa, että käytät Home onnect -sovellusta * Onneks olkoon käytät tulevasuuden kodnkonetta, joka jo tänään helpottaa arkeas. Mukavamp.

Lisätiedot

KVANTISOINTIKOHINA JA KANAVAN AWGN- KOHINA PULSSIKOODIMODULAATIOSSA

KVANTISOINTIKOHINA JA KANAVAN AWGN- KOHINA PULSSIKOODIMODULAATIOSSA KVANTIOINTIKOHINA JA KANAVAN AWGN- KOHINA PULIKOODIMODULAATIOA Teolkenneeknkka I 5359A Kar Kärkkänen Osa 6 5 Kvansonkohna PCM-järjeselmässä PCM:ssa on kaks vrhelähdeä:. kvansonkohna,. kanavan kohnan aheuama

Lisätiedot

Korko ja inflaatio. Makrotaloustiede 31C00200 Kevät 2016

Korko ja inflaatio. Makrotaloustiede 31C00200 Kevät 2016 Korko ja inflaatio Makrotaloustiede 31C00200 Kevät 2016 Sisältö Nimellis ja reaalikorot, Fisher yhtälö Lyhyt ja pitkä korko Rahapolitiikka ja korot Korko ja inflaatio Nimellinen korko i: 1 tänä vuonna

Lisätiedot

Metallurgiset liuosmallit: Yleistä

Metallurgiset liuosmallit: Yleistä Metallurgset luosmallt: Ylestä Ilmömallnnus rosessmetallurgassa Syksy 2016 Teema 2 - Luento 3 Tavote Tutustua deaal- ja reaalluosten kästtesn Tutustua luosmallehn ylesellä tasolla Luosmallen jaottelu Hyvän

Lisätiedot

11. Vektorifunktion derivaatta. Ketjusääntö

11. Vektorifunktion derivaatta. Ketjusääntö 7 Vektorfunkton dervaatta Ketjusääntö Täydennämme ja kertaamme seuraavassa dfferentaallaskennan teoraa kursslta Laaja matematkka Palautetaan meln dervaatan määrtelmä reaalfunktolle: Funkton f : R R dervaatta

Lisätiedot

X310 The original laser distance meter

X310 The original laser distance meter TM Leca DISTO touch TMD810 Leca DISTO X10 The orgnal laser dstance meter The orgnal laser dstance meter The orgnal laser dstance meter Ssällysluettelo Latteen asennus- - - - - - - - - - - - - - - - - -

Lisätiedot

KITTILÄ Levi MYYDÄÄN LOMARAKENNUS- KIINTEISTÖ 48. Kohde 202 261-409-33-94 283/2 YLEISKARTTA

KITTILÄ Levi MYYDÄÄN LOMARAKENNUS- KIINTEISTÖ 48. Kohde 202 261-409-33-94 283/2 YLEISKARTTA 8 7 0 :9 0 9 :97 6 9 609: 89 9:6 97 7 :60 rp :90 80 7 6 7 8 :9 0 rp0 6 68 69 6 7 :96 rp7rp8 6 8 9 YYDÄÄN LOAKENNUS- :6 KNTESTÖ 8 :98 :09 :9 6 :9 8 90 9: 9 :0 76 8 :9.7 Kohde 0 66 9 7 rp9 0.7 rp66 :9 9.8

Lisätiedot

, tuottoprosentti r = X 1 X 0

, tuottoprosentti r = X 1 X 0 Ostat osakkeen hintaan ja myyt sen vuoden myöhemmin hintaan X 1. Kokonaistuotto on tällöin R = X 1, tuottoprosentti r = X 1 ja pätee R = 1 + r. Lyhyeksimyymisellä tarkoitetaan, että voit myydä osakkeen

Lisätiedot

ELÄKEKASSAN LASKUPERUSTEET TYÖNTEKIJÄN ELÄKELAIN MUKAISTA ELÄKETURVAA VARTEN Kokonaisperuste, vahvistettu

ELÄKEKASSAN LASKUPERUSTEET TYÖNTEKIJÄN ELÄKELAIN MUKAISTA ELÄKETURVAA VARTEN Kokonaisperuste, vahvistettu ELÄKEKAAN LAKPEREE YÖNEKJÄN ELÄKELAN KAA ELÄKERVAA VAREN Kokonasperuste ahstettu 29.6.2007. ELÄKEKAAN LAKPEREE YÖNEKJÄN ELÄKELAN KAA ELÄKERVAA VAREN ÄLLYLEELO PEREDEN OVELAALE... 2 VAKEKNE REE... 3 VAVELKA...

Lisätiedot

Polvelta Toiselle - messut 6.5.2016 ja 14.5.2016. Kuolinpesä metsän omistajana

Polvelta Toiselle - messut 6.5.2016 ja 14.5.2016. Kuolinpesä metsän omistajana Polvelta Toiselle - messut 6.5.2016 ja 14.5.2016 Kuolinpesä metsän omistajana Projektineuvoja Jorma Kyllönen Tietoinen metsänomistus -hanke 2 Kuolinpesä Puhekielessä perikunta Itsenäinen verotusobjekti,

Lisätiedot

SUOM.EN PANKKI VU QSIKIRJA HELSINGISSÄ 1937 XVII VUO SIKERTA LAATINUT SUOMEN PANKIN TILASTO~OSA~TO

SUOM.EN PANKKI VU QSIKIRJA HELSINGISSÄ 1937 XVII VUO SIKERTA LAATINUT SUOMEN PANKIN TILASTO~OSA~TO SUOM.EN PANKK 936 VU QSKRJA LAATNUT SUOMEN PANKN TLASTO~OSA~TO XV VUO SKERTA HELSNGSSÄ 937 HELSNK 0s7 V.\,TfONEUVOSTON KRJAPANO Täten saatetaan julksuuteen Suomen Pankn vuoskrjan setsemästosta vuoskerta,

Lisätiedot